Primer curso de lógica Matemática Ciertamente, la ciencia y tecnología ha llegado a un gran desarrollo que es cada vez más difícil de describir a medida que pasa el tiempo, para la muestra de ello, podemos ver computadores tan potentes como el Blue Gene P, fabricado por la IBM: “Blue Gene P alcanza los 884.736 microprocesadores, tiene una velocidad de un Peta Flop y es 100 mil veces más potente que el más moderno de los computadores personales”1. Un microprocesador es el cerebro de un computador, es el componente esencial y todas las funciones que realiza el computador tienen que ver directamente con éste. Tuvo sus inicios en los años sesenta y su desarrollo crece vertiginosamente, de tal manera que, se construyen cada vez con más capacidad en el procesamiento de información. Gracias a la Lógica Proposicional y al álgebra Booleana, se facilitó la construcción de compuertas lógicas, con las cuales se han diseñado circuitos eléctricos, integrados y los microprocesadores que son entonces vitales en tal desarrollo. Las aplicaciones de la lógica no terminan aquí, el desarrollo del pensamiento jurídico y la ciencia del Derecho, desde sus inicios ha tomado como base el estudio de las proposiciones y las reglas de inferencia lógicas para comprobar la validez de argumentos, demostración de hipótesis y la forma de la escritura de las leyes que rigen la convivencia de las naciones del mundo. Podemos encontrar por ejemplo, un artículo del Dr. Olsen Ghirardi, de la Academia Nacional de Derecho y Ciencias Sociales de Córdoba (Argentina), llamado2: “ Derecho, Lógica Y Experiencia” , donde encontramos comentarios relacionados con el tema: “La Lógica es un instrumento que nos previene del error y que nos permite razonar correctamente. Por eso, es importante cuando pensamos y cuando expresamos nuestros pensamientos”. “La Lógica rige el pensar jurídico: en el sistema codificado la deducción y, en el sistema del common law, la inducción”. Como podemos ver, la lógica y las matemáticas están inmersas en campos como el derecho y las leyes, obviamente, necesitamos desarrollar esta teoría que nos servirá, entre otras cosas, como dice O. Ghirardi, para “razonar correctamente”. Carlos Andrés Medina Gaviria Profesor e Investigador de Tiempo Completo: Universidad La Gran Colombia.

1 Basado en el artículo de la página: http://www.uandes.cl/ver_articulo.asp?id=1477&seccion_padre=30 2 Ver más acerca de este tema en: http://www.acader.unc.edu.ar/artderechologicaexperiencia.pdf

CAPITULO 1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL: Proposic iones y Conectivos Lógicos En este capítulo estudiaremos las bases de la Lógica Proposicional o Lógica Matemática, cuya importancia se ve evidenciada cuando la formación de los estudiantes tiene un enfoque investigativo, científico-Tecnológico, o simplemente, se quiere adelantar cursos de matemática a nivel superior. 1.1 Definición: Proposición Una proposición se define como un enunciado, una oración declarativa, o una expresión simbólica, de la cual se puede decir sin ambigüedad, que es verdadera o falsa, pero no ambas. 1.1.1 Ejemplos:

• El Transmilenio es una empresa de transporte masivo en Bogotá. • Todos los estudiantes de la Universidad la Gran Colombia son menores de

edad. • Si Juan vio la película:”La vida es Bella”, sabe la respuesta de: ¿Qué es lo

que al pronunciar su nombre deja de existir? 1.2 Definición: Conectivos Lógicos (Términos de Enlace) Son palabras y/o símbolos que enlazan proposiciones con el fin de construir un lenguaje (verbal o simbólico) más amplio. Los conectivos lógicos más usuales y que estudiaremos en este texto son: “y”, “o”, “no”, “Si…, entonces…”, “Si y sólo Si” 1.3 Definición: Proposición Atómica Una proposición es Atómica cuando no posee conectivos lógicos. Son entonces las más simples. 1.3.1 Ejemplos: Mary es hermosa El río Amazonas es el más caudaloso del mundo Juan tiene la hermana más tierna de la ciudad. 1.4 Definición: Proposición Molecular Es una o más proposiciones Atómicas adecuadamente escritas, unidas con términos de enlace. 1.4.1 Ejemplos: Mary es hermosa y muy inteligente El río Amazonas es el más caudaloso del mundo o el río Nilo es el más extenso. Si Juan tiene la hermana más tierna de Bogotá, entonces cualquier Bogotana no

es tan tierna como ella.

1.5 Nota El conectivo lógico “No”, puede actuar sobre una sola proposición atómica, mientras que los demás conectivos actúan a lo menos sobre dos proposiciones atómicas. La forma de las proposiciones moleculares depende de los conectivos lógicos que tienen, y no del contenido de cada proposición atómica. 1.6 Proposición con forma Disyuntiva o Disyunción Una proposición Disyuntiva, es aquella que está formada por proposiciones atómicas o moleculares, digamos P y Q, con el conectivo Lógico “o”. Se simboliza así: “V”, se escribe: P v Q y se lee: Ocurre P o ocurre Q.

1.6.1 Disyunción Inclusiva Es una disyunción que se caracteriza por permitir que las proposiciones que contiene sean todas verdaderas, así que se le llama también Incluyente.

A continuación se presenta una tabla de los valores que puede tener la Disyunción Inclusiva, que más adelante se estudiará:

P Q P ∨ Q V V V V F V F V V F F F

Tabla 1: Disyunción Inclusiva 1.6.1.1 Ejemplos:

A Juan compra en el supermercado o en la tienda de la esquina. O los estudiantes de la universidad descansan después de clase o caminan

hacia la casa. Compraré una camisa o un pantalón en Arturo Calle.

1.6.2 Disyunción Exclusiva Es una disyunción que no permite que las proposiciones que contiene sean todas verdaderas, así que se le llama también Excluyente. La siguiente tabla muestra los posibles valores que puede tomar la disyunción Excluyente, la cual se estudiará con detalle más adelante:

P Q V V F V F V F V V F F F

Tabla 2: Disyunción Exclusiva

1.6.2.1 Ejemplos: • María vende o alquila su única vivienda. • Abraham Lincoln está vivo o está muerto. • Yo estoy enfermo o tengo salud.

1.7 Proposición Conjuncional o Conjunción Una proposición Conjuncional, es aquella que está formada por proposiciones atómicas o moleculares, digamos P y Q, con el conectivo Lógico “y”. Se simboliza así: “∧∧∧∧”, se escribe: P ∧∧∧∧ Q y se lee: P y Q. Se dice que una Conjunción es verdadera solamente cuando cada una de las proposiciones que la conforman son verdaderas, ver tabla 3.

Tabla 3: Conjunción

1.7.1 Ejemplos: • Milena es tierna y también Hermosa. • Abraham se caso con Sara y, tuvo 2 hijos Isaac e Ismael. • Yo estoy enfermo y puedo ir a estudiar.

1.8 Proposición con forma de Negación Una proposición de este tipo, es aquella que está formada una proposición atómica o molecular, digamos P, con el Conectivo Lógico “No”. Se simboliza así: “¬”, se escribe: ¬ P y se lee: No P; negación de p; o, No es cierto que P. ver tabla 4.

P ¬P v F F V

Tabla 4: Negación 1.8.1 Ejemplos:

• No es cierto que, Milena es tierna y también Hermosa. • No se puede afirmar que, Abraham se caso con Sara y, tuvo 2 hijos: Isaac

e Ismael. • No sucede que, esté enfermo y pueda ir a estudiar.

P Q P ∧ ∧ ∧ ∧ Q V V V V F F F V F F F F

1.9 Proposición Condicional Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones atómicas o moleculares p y q, condicionadas una de la otra. La cual se indica de la siguiente manera:

P →→→→ Q Se lee “Si P entonces Q” 1.9.1Ejemplo: Un candidato R del polo democrático a la presidencia dice: “Si salgo electo presidente de la República recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una declaración como esta se conoce como condicional. Sean P: R Salió electo Presidente de la República. Q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año. De tal manera que el enunciado se puede expresar así:

P →→→→ Q

La siguiente es una tabla representa de manera sistemática la información de verdad o falsedad del conectivo lógico Condicional, se le llama Tabla de verdad, más delante se profundizará en este tema.

P Q P →→→→ Q V V V V F F F V V F F V

Tabla 5: Tabla para sistematizar la verdad o falsedad del condicional 1.10 Proposición Bicondicional Sean P y Q dos proposiciones (atómicas o moleculares), entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente manera:

P ↔↔↔↔ Q Se lee “P si solo si Q” Esto significa que P es verdadera si y solo si Q es también verdadera. O bien, P es falsa si y solo si Q también lo es. 1.10.1Ejemplo: El enunciado siguiente es una proposición bicondicional:

“Mauricio es excelente estudiante si y solo si, tiene promedio de calificaciones entre 4.8 y 5.0” Donde: P: Mauricio es excelente estudiante Q: Tiene promedio de calificaciones entre 4.8 y 5.0 Por lo tanto, podemos decir que: La proposición Bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q, son falsas o bien ambas verdaderas Consideremos la siguiente tabla:

p q p ↔↔↔↔ q V V V V F F F V F F F V

Tabla 6: Tabla para sistematizar la verdad o falsedad del Bicondicional A partir de este momento, se tienen algunas herramientas para lograr representar un enunciado con conectores lógicos. 1.10.2 Ejemplo: Consideremos el siguiente enunciado “Si no pago el recibo de la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica, y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o tengo que pedir prestado, pero Si me quedo sin dinero y tengo que pedir prestado, entonces no puedo pagar la deuda, si y sólo si, soy desorganizado” Donde: P: Pago la luz. Q: Me cortarán la corriente eléctrica. R: Me quedaré sin dinero. S: Tengo que pedir prestado. T: Puedo pagar la deuda. W: Soy desorganizado.

( ¬P →→→→ Q ) ∧∧∧∧ [[[[ P →→→→ ( R ∨∨∨∨ S ) ]]]] ∧∧∧∧ [[[[ ( R ∧∧∧∧ S) →→→→ ( ¬T ) ]]]] ↔↔↔↔ W 1.11 Equivalencias de las Proposiciones (respecto a l lenguaje verbal) A continuación podemos observar una tabla que nos muestra algunas formas equivalentes de escribir las distintas Proposiciones:

Tabla 7: Resumen de los Conectivos Lógicos. 1.12 Representación de fórmulas bien construidas Definición: Fórmula (en Lógica Proposicional) Se define como una proposición compuesta escrita sin ambigüedad en lenguaje simbólico. En esta parte veremos la forma correcta para representar las fórmulas de la lógica proposicional y estableceremos criterios de agrupación, así como también, prioridad de los conectivos.

1.12.1 Forma Usual Usualmente podemos considerar correcta la escritura de las siguientes fórmulas:

Es claro que el uso de los paréntesis nos quiere evitar confusiones y obviamente el término de enlace dominante, sin embargo, podemos establecer unos convenios de prioridad de los coactivos para escribir de una manera menos complicada las fórmulas.

1.12.2 Forma Abreviada Para escribir una fórmula en una forma abreviada, podemos realizar lo siguiente:

a)Omitir el par de paréntesis externo: De tal manera que las fórmulas 1), 2) y 3) quedarán abreviadas

respectivamente así:

b) Se introducen reglas de prioridad o potencia de los conectivos lógicos: Que debemos aplicar a la hora de reducir fórmulas:

Tabla 8: Niveles de Prioridad de los conectivos lógicos

Aplicando las reglas de prioridad, las fórmulas 1.1); 2.1) y 3.1) se escriben así respectivamente:

1.13 Agrupamiento y paréntesis La mayoría de las proposiciones moleculares no son sencillas de estudiar, por tal motivo, se hace a través del agrupamiento, y se establece con mayor claridad la forma que éstas poseen.

1.13.1 Término de Enlace Dominante Es el conectivo lógico que actúa sobre toda la proposición y define su forma. 1.13.2 Nota:

• El Término de Enlace Dominante debe estar por fuera de los paréntesis (en el caso de que éstos aparezcan), en al caso contrario, se entenderá que domina el que tenga prioridad de acuerdo a los niveles establecidos.

• Las “comas” en una proposición escrita en lenguaje “informal”, se colocarán para que al simbolizarla, se agrupe adecuadamente y, junto con las palabras “clave” que aparecen en la Tabla 7 (ver tabla 7) se determine el término de enlace dominante, y por ende, la forma de ésta proposición.

1.14 Resumen de las tablas de Certeza Básicas

1.15 Tautología Se denomina tautología una proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada únicamente por v (verdadero). Ejemplos de Tautologías:

Verifiquemos algunas tautologías: 1) P v ¬P

P ¬P P v ¬P V F V F V V 2) P ∧ ∧ ∧ ∧ Q →→→→ Q P Q P ∧ ∧ ∧ ∧ Q P ∧ ∧ ∧ ∧ Q →→→→ Q V V V V V F F V F V F V F F F V

1.16 Contradicción Se define como la negación de una tautología, luego es una proposición falsa cualesquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de una contradicción estará formada únicamente por F (falso). Ejemplo: Escribamos la negación del ejemplo anterior, como ya sabemos es una contradicción: ¬ (P ∧ ∧ ∧ ∧ Q →→→→ Q) P Q P ∧ ∧ ∧ ∧ Q P ∧ ∧ ∧ ∧ Q →→→→ Q ¬(P ∧ ∧ ∧ ∧ Q →→→→ Q) V V V V F V F F V F F V F V F F V F V F

1.17 Proposiciones Singulares y proposiciones Gener ales (Cuantificadores)

Como ya se sabe, las frases:

1. “… Es muy amable y le gusta hacer amigos”

2. “x es detallista y un buen amigo”

No son proposiciones, porque presentan “ambigüedad”, no se sabe a quién se refiere, es decir, no se sabe quien es el sujeto de la oración. Este tipo de expresiones serán muy comunes desde ahora en adelante, especialmente las del tipo 2., y les llamaremos cuasi-proposiciones, porque son casi unas proposiciones a las que hay que ejemplificar (agregarle un sujeto en particular) para que lo sean.

En este caso la ejemplificación sería:

Sea x: Marcela (un sujeto particular)

Así la frase se convierte en proposición: “Marcela es detallista y una buena amiga”

1.17.1 Cuasi-proposición

Se puede decir que es un enunciado, una oración declarativa, o una expresión simbólica que debe ejemplificarse o cuantificarse para que sea una proposición. Cuantificarse se refiere a decir cuántos individuos que integran el universo es aplicable, y ejemplificar, se refiere a enunciar el sujeto de la expresión.

Se cuantifica una cuasi-proposición para categorizar cualidades y generalizar o Particularizarla, de tal manera que hablamos de unos elementos que cumplen una cierta característica.

Ejemplo:

“Los x son seres vivos, que nacen, crecen, se reproducen y mueren” (es una cuasi-proposición)

Sea x: Hombres

Así, la cuasi proposición se convierte en Proposición, que es verdadera.

Cuantifiquemos para generalizar, en este caso, una característica de los seres humanos:

“Todos los hombres son seres vivos, que nacen, crecen, se reproducen y mueren”.

1.17.2 Proposiciones universales y proposiciones ex istenciales

Este segundo procedimiento para convertir un predicado en una proposición recibe el nombre de Generalización, puesto que es un modo de hablar "en general", sin especificar el nombre propio de nuestro sujeto lógico. De las muchas formas que puede revestir el procedimiento de generalización, dos son especialmente útiles. La primera, que llamaremos Cuantificador universal : consiste en anteponer a la cuasi-proposición las palabras "de todo x se dice que"; la segunda, que llamaremos Cuantificador Existencial: consiste en anteponerle las palabras "existe al menos un x tal que" a la cuasi proposición. Veamos unos ejemplos:

Si la expresión que tenemos es: "... es bueno", nuestra cuasi-proposición será "x es bueno", lo que no sabemos si es verdadero o falso ni tampoco podemos averiguarlo. Para ello hace falta anteponer alguna frase. Así, un optimista dirá: "de todo x, digo que x es bueno", lo que equivale en lenguaje ordinario a "todo es bueno". Un pesimista dirá en cambio: "de todo x digo que no es el caso que x es bueno", que en lenguaje cotidiano equivale a "nada es bueno". Las personas moderadas y sensatas dirán más bien: "existe al menos un x tal que es bueno" y "existe al menos un x tal que no es bueno". Las dos primeras generalizaciones son universales; las dos últimas, existenciales.

1.17.3 Formalización de los Cuantificadores

Nombre Notación Se lee Cuantificador Universal Para todo x... Cuantificador Existencial Existe por lo menos un x...

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma:

Que se leen "para todo x, es verdad que P" y "existe por lo menos un x tal que Q es verdad".

Estos dos cuantificadores se pueden escribir equivalentemente, ya que

dice lo mismo que dice: . En palabras, decir "no es para todo x que p es verdad" es igual que decir "existe x tal que p es falsa".

Ejercicio 1 (Ejercicio anexo al texto de Suppes). 1.1) Identifica cuales de las siguientes fórmulas no son proposicionales y cuales no son proposicionales abreviadas y por qué.

1.2) Escribe en forma abreviada las siguientes fórmulas proposicionales:

1.3) Escribe en forma no abreviada las siguientes fórmulas proposicionales:

1.4) Escribir las correspondientes fórmulas proposicionales a las siguientes frases: a) Una relación es una relación de equivalencia si y sólo si es reflexiva, simétrica

y transitiva. b) Si la humedad es alta, lloverá esta tarde o esta noche. c) El cáncer no se cura al menos se determine su causa y se encuentre un nuevo

fármaco. d) Se requiere valor y preparación para escalar esta montaña. e) Si es un hombre que hace una campaña dura, probablemente será elegido.

1.5) Con la siguiente asignación de significados a las variables proposicionales: P: María necesita un doctor urgentemente Q: María necesita un abogado que lo defienda R: María Tiene un accidente S: María Está enferma U: María Es injuriada Expresar en lenguaje verbal las siguientes fórmulas proposicionales: a) ( S → P ) ∧ ( U → Q ) b) P → ( S ∨ U ) c) ( P ∧ Q ) → R d) ( P ∧ Q ) ↔ ( S ∧ U ) e) ¬ ( S ∨ U ) → ¬ P 1.6) Inventarse unas proposiciones atómicas que se puedan representar con las siguientes fórmulas (se les debe asignar a cada una las letras correspondientes), luego, escribirlas en lenguaje verbal. En el caso de que sean contradictorias decir porqué lo son. a) ¬ ( ¬ P ) → P b) P → ( P ∧ Q ) c) ¬ ( S ∨ Q ) ∨ ¬ Q d) ( P ∨ Q ) → P e) ( P → Q ) → ( ¬ Q → ¬ P ) f) ( P → Q ) → ( Q → P ) g) P ∨ ( P → Q ) h) ( P ∧ ( Q → P ) ) → P i) P ∨ ( Q → ¬ P ) j) ( P ∨ ¬ Q ) ∧ ( ¬ P ∨ Q ) k) ¬ P ∧ ( ¬ ( P → Q ) ) l) P → ¬ P m) ¬ P → P 1.7 Sean P, Q, R y S fórmulas. Si se sabe únicamente que P es verdadero, ¿Qué

puede afirmarse del valor de verdad de cada una las proposiciones siguientes?

a) P ∧ Q e) R → P i) S → ¬ P b) R ∨ P f) P → Q j) R→ (S→ P) c) R ∧ P g) P → P ∨ S k) P ∨ S → (Q ∧ ¬ P) d) S ∨ ¬ P h) ¬ P → Q ∧ R l) Q ∧ ¬ P → R ∧ Q

1.8 ¿Qué puede concluirse de cada una de las proposiciones anteriores, en los siguientes casos?

a) Si P es falsa. b) Si P es falsa, Q es verdadera y R es verdadera.

1.9 Sean P, Q y R fórmulas proposicionales, entonces:

a) Si R ∨ P → Q ∧ P es falsa y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de R y de Q?

b) Si Q → Q ∧ P es verdadera y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de Q?

c) Si R ∧ P → Q ∧ P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?

d) Si (Q ∨ R) → (P ∧ Q) ∨ R es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?

e) Si (P → Q) → ( R ∨ P → R ∨ Q) es verdadera; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?

1.10 Sean P, Q y R fórmulas proposicionales. Determinar cuales de las siguientes proposiciones son tautologías: a) P ∧ Q → P ∧ R e) (P → Q ) → ( ¬ Q → P ) b) P → P ∧ Q f) (P ↔ Q) ∧ (P ∧ ¬ Q) c) P ∧ ¬ (Q ∨ P) g) P ∧ ¬ ((P ∨ Q) ∨ R) d) (P → (Q ∨ ¬ P)) → ¬ Q h) P ∨ (¬ P ∨ R) 1.11 Convertir cada una de las cuasi-proposiciones en proposiciones, utilizando cuantificadores. Decir si son verdaderas o falsas:

a) x es un senador Colombiano b) x es un estudiante de la universidad Gran Colombia c) y es un buen libro d) x es un número mayor o igual a 4

1.12 Utilizar los cuantificadores para simbolizar las siguientes proposiciones:

a) Para cada x, x tiene un nombre. b) Existen climas absolutamente fríos y donde no se puede vivir. c) Para cada y, y pertenece a un conjunto de países. d) Nadie es eterno en el mundo e) Ningún limón es dulce f) Ningún gato es canino g) Todos los caballos son cuadrúpedos. h) Existen hombres sabios. i) No existen jóvenes perezosos.

1.13 Escribir las cuasi proposiciones como proposiciones, después escribirlas

simbólicamente y también su negación simbólica (usando el cuantificador Dual). Por último, escribir esta negación en lenguaje verbal. (Utilizar las equivalencias vistas en clase).

a) Para Todos los x se cumple que si se puede escuchar, se puede cantar y tocar. b) No es cierto para algunos x que, si les gusta cantar y les gusta bailar, se quedan sentados en las fiestas. c) Todos los y, o no son arrogantes o son congéniales. d) No existen M tales que, son amigables y les gusta pelear.

1.14 Escribir las cuasi proposiciones como proposiciones, simbolizar y escribir

su equivalencia simbólica. (Utilizar las equivalencias vistas en clase). a) Para todo x, si le quitan un órgano vital, entonces vive una vida normal o sufre toda la vida. b) Para algunos y, no se van a vivir al polo norte, a menos que su promedio de vida disminuya. c) No se cumple en ningún caso que los x, no sean mamíferos, ni sean cuadrúpedos. d) No existen x que a la vez sean vegetarianos y, no se alimentan de: soya o cereales.