física i-grupo 3 (curso 2013/14) tema 1: magnitudes ... escalares y vectoriales. tipos de vectores....

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Departamento de Física Aplicada I. Escuela Politécnica Superior. Universidad de Sevilla.

Tema 1. Magnitudes Físicas. Vectores.

Física I (Grupo 3): Prof. Mª Carmen Morón. Curso 2013-14 GRADO EN INGENIERÍA DISEÑO INDUSTRIAL Y DES. PROD. DOBLE GRA. EN ING. DISEÑO IND. Y D.P E ING. MECÁNICA

Física I-Grupo 3 (Curso 2013/14)

Tema 1: Magnitudes Físicas.

Vectores.

10/8/2013

Grado en Ingeniería Diseño Industrial y Des. Prod.

Doble Gra. en Ing. Diseño Ind. y D.P e Ing. Mecánica Escuela Politécnica Superior

Universidad de Sevilla




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Tema 1: Magnitudes Físicas. Vectores.

1.1. Introducción.

1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional.

1.3. Magnitudes escalares y vectoriales. Tipos de vectores.

1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores

unitarios.

1.5. Operaciones con vectores. Producto escalar y vectorial.

Proyecto Docente: Relación detallada y ordenación temporal de los contenidos

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Bibliografía

Bibliografía General

SEARS, F et al.“Física universitaria. Vol. 1 TIPLER, P. A. et al. “Física para la Ciencia y la Tecnología, Vol. 1”

Problemas BURBANO, S., BURBANO, E., GRACIA, C.: Problemas de Físca Problemas de los libros anteriores...

Tutorial: MasteringPhysics: Ed. PEARSON Además... los demás libros que aparecen en el programa.




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Sistema Internacional de unidades Bureau International des Poids et Mesures International System of Units (NIST) Órdenes de magnitud Universcale Powers of ten Powers of ten (video) Fundamental particles and interactions The Periodic Table Biochemical gallery Light microscope and electron microscopy images Nanotechnology Micromachines The Earth from above Solar System Exploration Hubble Heritage

Enlaces de interés

http://www.bipm.org/




http://physics.nist.gov/cuu/Units/







http://www.nikon.com/about/feelnikon/universcale/index.htm

http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/



http://es.youtube.com/watch?v=BBsOeLcUARw



http://www.particleadventure.org/frameless/chart_frame.html





http://www.webelements.com/





http://staff.jccc.net/PDECELL/biochemistry/biochemtext.html



http://www.denniskunkel.com/









http://www.nist.gov/public_affairs/05nano_image_gallery.htm

http://mems.sandia.gov/gallery/images_dynamometer.html

http://www.yannarthusbertrand.org/index_new.htm







http://solarsystem.nasa.gov/multimedia/top10.cfm?CFID=7286668&CFTOKEN=7b1d71409be535d8-C021429C-0649-4BF8-C22DE340D7D3E4A3




http://heritage.stsci.edu/gallery/gallery.html

http://heritage.stsci.edu/gallery/gallery.html

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1.1. Introducción. 1.1..Introducción.

La Física: Física del griego “” (fisis) = Naturaleza

Es una ciencia experimental que se basa en modelos idealizados de los fenómenos naturales. Estos modelos constituyen las teorías físicas y las leyes y principios físicos, expresadas en función de una serie de magnitudes. Objetivos de la Física:

Estudiar el comportamiento de la materia y de sus interacciones.

Encontrar leyes que permitan:

- Describir los fenómenos naturales.

- Prever el comportamiento de la naturaleza.




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Física Clásica Física Moderna Mecánica (Clásica) Relatividad

Termodinámica Mecánica Cuántica Electricidad Física Atómica Magnetismo Física Nuclear

Óptica Física de partículas Acústica

Estos campos se dividen en las siguientes ramas:

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Los problemas de la Física pueden caer dentro de dos grandes campos:

- Física Clásica: problemas que no impliquen los fenómenos que ocurran a nivel atómico o inferior ni grandes velocidades.

- Física Moderna: para estudiar pequeñas partículas y grandes velocidades

La estructura conceptual de la Física:

Física Clásica Física Moderna Mecánica (Clásica) Relatividad (Einstein, 1905)

Termodinámica, Acústica, etc. (s XVIII y XIX)

Mecánica Cuántica (1926)

Electromagnetismo (Maxwell, 1860)

1.1.Introducción.




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1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional


1. Magnitud es todo aquello susceptible de medida. longitud (L), masa (M), tiempo (t), etc. 2. Medir una magnitud es compararla con cierto valor

unitario de la misma, que se toma como Unidad. L= 25 m: la longitud es 25 veces la unidad

“metro”. 3. Unidad es una cantidad arbitraria de una magnitud

que se adopta para comparar con ella cantidades del mismo tipo.

4. Cantidad de una magnitud es el número de unidades a que es equivalente dicha magnitud.

Magnitud: longitud. Cantidad: 25 m.

La física, al ser una ciencia experimental, requiere la realización de mediciones cuyos resultados suelen describirse numéricamente en comparación con cierta referencia.

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Leyes Físicas: Una ley física es una relación matemática entre magnitudes físicas: a = f (b,c,d, ...). Ejemplo: ley fundamental de la dinámica MAGNITUDES: Propiedades medibles de los cuerpos o procesos físicos. Existen dos tipos, magnitudes fundamentales, que sirven para expresar las demás en función de ellas, y magnitudes derivadas, que se pueden expresar en función de las fundamentales. Magnitud Fundamental: aquella que no tiene una ecuación que la defina, no deriva de otras magnitudes (ej: L, T, M). Se miden en unidades fundamentales (ej: m, s, kg...).

- L, t (Naturaleza) - Mecánica: además M (Física Teórica) ó F (técnica) - Termodinámica: temperatura

número de moles n - Electricidad: intensidad de corriente I

Magnitud Derivada: aquella que queda definida a partir de otras magnitudes (v, E, F). Se miden en unidades derivadas (m/s, J, N).

F m a





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Ejemplo: ley fundamental de la dinámica

Magnitudes fundamentales en mecánica, según el sistema de unidades:

- Sistema Internacional (S.I.): L, T, M - Sistema Cegesimal (CGS): L, T, M - Sistema Terrestre o Técnico: L, T, F

La elección de magnitudes fundamentales es arbitraria: las demás magnitudes (derivadas) dependerán de ellas.

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2

dva d rdt F mdtd rv

dt


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Sistemas de unidades Un sistema de unidades es un conjunto de magnitudes fundamentales y sus respectivas unidades patrones. Escogidas las unidades para un número de magnitudes, las unidades de las demás deben deducirse de ellas. - Sistema Internacional (S.I.) o métrico: En el artículo único del REAL DECRETO 1317/1989, de 27 de octubre de 1989 por el que se establecen las Unidades Legales de Medida, publicado el 3 de noviembre, se dice que El Sistema legal de Unidades de Medida obligatorio en España es el sistema métrico decimal de siete unidades básicas, denominado Sistema Internacional de Unidades (SI), adoptado en la Conferencia General de Pesas y Medidas y vigente en la Comunidad Económica Europea. - Otros sistemas: Británico (pulgada, libra, s), CGS (cm, g, s), Técnico (kgf, m, s).





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-Longitud / Metro (m): distancia recorrida por la luz en el vacío durante 1/299 792 458 segundos. - Tiempo / segundo (s): la duración de 9192631770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

- Masa / kilogramo (kg): masa de un patrón cilíndrico de platino-iridio guardado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sèvres (Francia). En la práctica, masa de 1 dm3 (1 litro) de agua destilada a la temperatura de 4 ºC y presión atmosférica estándar.

Magnitudes fundamentales / Unidades patrones (S.I.): 1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional.


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Ejercicio 1: Completar la siguiente tabla

Unidades fundamentales en el S.I.:

Magnitud física Unidad Símbolo

Longitud

Masa

Tiempo

Corriente eléctrica

Temperatura

Intensidad luminosa candela cd

Cantidad de sustancia

1.1. Magnitudes físicas y unidades.




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Unidades fundamentales en el S.I.: Magnitud física Unidad Símbolo

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Corriente eléctrica amperio A

Temperatura kelvin K

Intensidad luminosa candela cd

Cantidad de sustancia mol mol

Ejemplo de magnitud derivada a partir de las fundamentales: velocidad v -1 -1LT S.I. : msv


Símbolos: • Caracteres romanos • Minúsculas, salvo

nombres propios • No va seguidos de

punto • No llevan “s” para el

plural

Nombres: • Minúsculas, inicial

siempre

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Ejercicio 2: Corregir expresión resultados:

M = 3,2 Kg

t = 45 sg

I = 1 a

T = 273 °K





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Ejercicio 2: Corregir expresión resultados:

M = 3,2 Kg Cursiva y mayúscula M=3,2 kg

t = 45 sg Símbolo mal t=45 s

I = 1 a Nombre propio: mayúsculas

I=1 A

T = 273 °K Kelvin, no grados kelvin

T = 273 K


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Ejercicio 3: Completar la siguiente tabla: Las unidades que se muestrean en la siguiente tabla, no pertenecientes al SI pero su uso es aceptado. En el caso del litro no se ha descartado, por el momento, a uno de los dos símbolos. El primero se introdujo porque el segundo, el que siempre se ha utilizado, podría confundirse con el número 1.

Magnitud Unidad Valor en

el SI Nombre Símbolo

Tiempo

Minuto

Hora

Día

Ángulo plano

Grado

Minuto

Segundo

Área Hectárea

Volumen Litro

Masa Tonelada




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10Z Prefijo Símbolo 10Z Prefijo Símbolo

101 Deca da 10-1 Deci d

102 Hecto h 10-2

103 10-3

108 10-6

109 10-9

1012 Tera T 10-12

1015 Peta P 10-15 Femto f

1018 Exa E 10-18 Atto a

1021 Zetta Z 10-21 Zepto z

1024 Yotta Y 10-24 Yocto y

Ejercicio: Completar la siguiente tabla: Prefijos del Sistema Internacional de Unidades

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10Z Prefijo Símbolo 10Z Prefijo Símbolo

101 deca da 10-1 deci d

102 hecto h 10-2 centi c

103 kilo k 10-3 mili m

108 mega M 10-6 micro µ

109 giga G 10-9 nano n

1012 tera T 10-12 pico p

1015 peta P 10-15 femto f

1018 exa E 10-18 atto a

1021 zetta Z 10-21 zepto z

1024 yotta Y 10-24 yocto y

Ejercicio: Completar la siguiente tabla: Prefijos del Sistema Internacional de Unidades




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Prefijos de unidades: Definidas las unidades fundamentales, es fácil introducir unidades adicionales más grandes o más pequeñas para las mismas cantidades. Los nombres de las unidades adicionales se obtienen agregando un prefijo al nombre de la unidad fundamental.

Longitud: 1 nanómetro = 1 nm = 10-9 m

1 micrómetro = 1 µm = 10-6 m

1 milímetro = 1 mm = 10-3 m

1 centímetro = 1 cm = 10-2 m

1 kilómetro = 1 km = 103 m

Masa: 1 microgramo = 1 µg = 10-6 g = 10-9 kg

1 miligramo = 1 mg = 10-3 g = 10-6 kg

1 gramo = 1 g = 10-3 kg

Tiempo: 1 nanosegundo = 1 ng = 10-9 s

1 microsegundo = 1 µs = 10-6 s

1 milisegundo = 1 ms =10-3 s

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Ejercicio: Completar la siguiente tabla

Letras griegas

Α α β

Gamma Delta

Épsilon Dseda

Eta θ

ι Iota Kappa

Lambda Mi

Ni Xi

ο Ómicron

σ

Tau Ípsilon

φ




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Solución Ejercicio: Completar la siguiente tabla

Letras griegas

Α α Alfa β Beta

Gamma Delta

Épsilon Dseda

Eta θ Zeta

ι Iota Kappa

Lambda Mi

Ni Xi

ο Ómicron Pi

Ro σ Sigma

Tau Ípsilon

φ Fi Ji

Psi Omega

http://es.wikipedia.org/wiki/%CE%93












http://es.wikipedia.org/wiki/%CE%9A


http://es.wikipedia.org/wiki/%CE%9B


http://es.wikipedia.org/wiki/%CE%9D


http://es.wikipedia.org/wiki/%CE%9E


http://es.wikipedia.org/wiki/%CE%9F


http://es.wikipedia.org/wiki/%CE%A5


























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Conversión de unidades.

Ejemplo 1: 1 cal = 4,182 J

4,182 J3 cal 3 cal 12,546 J

1 cal

Ejemplo 2: 1 g/cm3 = 103 kg/m3

6 3

3 3 3 3

1 kgg g 10 cm1 1cm cm 10 g 1m





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Conversión de unidades al S.I. 1.2. Magnitudes físicas y unidades. Análisis dimensional.

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Unidades derivadas.





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Análisis dimensional. Toda magnitud derivada (U) se puede expresar por un producto

o Ecuación Dimensional de potencias de las magnitudes fundamentales (A, B, C, etc):

U = Cte · A · B · C ·...

siendo , , , etc las dimensiones de las magnitudes correspondientes. Las ecuaciones dimensionales indican la relación entre una

unidad derivada y las unidades fundamentales.

Las unidades fundamentales se representan mediante letras que indican su dimensión (L, T, M...)

La ecuación dimensional es independiente del sistema de unidades utilizado.





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¿Cómo se hallan las dimensiones de una magnitud derivada? Muchas veces, en el proceso de resolución de un problema de

Física, es necesario obtener las dimensiones y, consecuentemente, unidades de una magnitud derivada. Para ello el procedimiento consiste en escribir cada una de las magnitudes que entran en la expresión que define a dicha magnitud en términos de magnitudes fundamentales.

Para referirse a las dimensiones de una magnitud cualquiera, Q,

se suele utilizar el símbolo [Q].

DIMENSIONES: Las dimensiones de una magnitud derivada son la expresión de dicha magnitud en términos de las magnitudes fundamentales.

Análisis dimensional.

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Simplificando posteriormente la expresión a que se haya llegado por este proceso de sustitución, se obtendrá la expresión de las dimensiones de la magnitud derivada.

Nota importante: Este es un procedimiento habitual de comprobación del resultado obtenido en la resolución de problemas de Física. Por ejemplo, si en un problema nos piden una fuerza, una vez resuelto el problema, conviene hacer un sencillo cálculo para obtener las dimensiones del resultado final y comprobar que son las de una fuerza.

Ejemplos: [S] = L2 [V] = L3 [v] = LT-1 []=ML-3T0

F = m · a S.I.: [F] = MLT-2 S.T.: [F] = FL0T0

S.T.: [M] = FL-1T2




Ejercicio: Indique las dimensiones y unidades (nombre y símbolo) en el SI (Sistema Internacional) de las de las siguientes magnitudes físicas:

Magnitud Dimensiones

Unidades

Magnitud Dimensiones

Unidades

Nombre Símbolo Nombre Símbolo

longitud [L] metro m fuerza

masa presión

tiempo energía

superficie potencia

volumen calor

densidad

temperatura

velocidad ángulo

aceleración

velocidad

angular

[M] kilogramo kg

[T] segundo s

[L2] metro cuad. m2

[L3] metro cúbico m3

[M] [L-3] kilogramo por

metro cúbico kg/m3

[L] [T-1] metro por

segundo m/s

[L] [T-2] metro por

segundo cuad. m/s2

[M] [L] [T-2] Newton N

[M] [L-1] [T-2] Pascal Pa

[M] [L2] [T-2] Julio J

[M] [L2] [T-3] Watio W

[M] [L2] [T-2] Julio J

[θ] Kelvin K

adimensional radianes rad

[T-1] radianes

por segundo rad/s

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Magnitud Nombre Símbolo Expresión en

unidades SI básicas

Ángulo plano Radián rad mm-1= 1

Ángulo sólido Estereorradián sr m2m-2= 1

Unidades derivadas sin dimensión.

Ejercicio: De las siguientes expresiones: (4/3)πr3, 4πr2, πr2h, 2πr, 2πrh , 2πr2, πr2.

¿Cuáles podrían corresponder a la longitud de una circunferencia, al área de un

círculo, a la superficie lateral de un cilindro, a la superficie de una esfera y al volumen

de una esfera, siendo r y h longitudes?

Ejercicios: ¿Cuál es la dimensión (y la unidad) en el Sistema Internacional de las

magnitudes derivadas p = mv, F = ma, EC = (1/2) mv2 y EP = mgh , L= v·se θ, sabiendo

que m es la masa de un cuerpo, v su velocidad en m/s, a su aceleración en m/s2, g la

aceleración debida a la gravedad y h la altura del cuerpo respecto a la superficie

terrestre?




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No podemos sumar o igualar cantidades de diferentes magnitudes.

Homogeneidad dimensional: para que una ecuación matemática constituya una ley física independiente del sistema de unidades, es necesario que sea homogénea.

Ejemplo:

2 1

2 2 2

[ ]1 [ ]2

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o o

s Ls v t at v t LT T L

at LT T L

Al trabajar con números y unidades, verificar siempre que se usan las unidades correctas.

Ejemplo:

10 mm2 m/s 10 m= 2 5 ss

5 s

ss vt v

t


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Ejercicio. ¿Cuál es la fórmula correcta del período de un péndulo?

) 2 gb Tl

) 2 la T

g




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Ejercicio. Verifique la homogeneidad de la ecuación de Bernouilli.

2

: presión: densidad: aceleración de la gravedad1

2 : altura: velocidad: constante

p

gp gz v C

zvC


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Incertidumbre y cifras significativas (consultar apuntes laboratorio) Las mediciones siempre tienen incertidumbre

La incertidumbre también se llama error, porque indica la máxima diferencia probable entre el valor medido y el real. La incertidumbre o error de un valor medido depende de la técnica empleada.

Este espectacular percance se debió a un porcentaje de error muy pequeño: recorrer unos cuantos metros de más en un viaje de cientos de miles de metros




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Pagina web con actividades de vectores http://www.xtec.cat/~jbartrol/vectores/index.html




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Magnitud escalar es aquella que queda perfectamente definida por un valor numérico, que es su medida (masa, volumen, temperatura, etc). Su álgebra operacional es la numérica.

Magnitud vectorial ( ) es aquella que para quedar

perfectamente definida se necesita, además de su medida (módulo: ), una dirección y un sentido ( ).

Para operar con ellas se usa el Álgebra Vectorial. (Magnitud tensorial: se representan con matrices) Ejemplo: vector velocidad - Se representa con una flecha. - Su longitud a escala representa el

valor numérico de la magnitud. - La recta (línea de acción/recta

soporte) representa la dirección y la punta de la flecha, el sentido.

- “O” es el punto de aplicación.

, , , etcv F r

v

O

P

| | 0a

O

a

http://www.xtec.cat/~jbartrol/vectores/index.html










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Ejercicio: ¿Cuáles de las siguientes magnitudes son escalares o vectoriales?

• Masa

• Peso

• Volumen

• Distancia

• Desplazamiento

• Velocidad

• Aceleración

• Temperatura

• Presión

• Energía

• Cantidad de movimiento

• Carga

• Campo eléctrico

Necesidad de los vectores en Física Existen muchas magnitudes en Física que, para quedar bien determinadas, no basta con dar un valor numérico que indique su intensidad.




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¿Qué es un vector? La representación más elemental de un vector es un segmento orientado (que tiene un origen, O y un extremo, P, bien especificados) cuya longitud es proporcional a la intensidad de la magnitud que representa. ¿Cuáles son las características de un vector? Un vector tiene cuatro características fundamentales: Punto de aplicación: Es el punto del espacio en el que está el

origen del vector. Dirección: La de la recta que une el origen y el extremo. Sentido: El indicado por el origen y el extremo. Módulo: El valor numérico asociado a su longitud.

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¿Cómo se representa matemáticamente un vector? Dado que un vector es, básicamente, un segmento con un origen y un extremo, la representación matemática del vector tiene que venir dada por

las coordenadas del extremo y las del origen. Por otro lado, los puntos origen y extremo están matemáticamente determinados por sus

coordenadas cartesianas, de manera que si el punto O tiene coordenadas

y el punto el vector que une dichos puntos tiene como proyecciones sobre los ejes de coordenadas segmentos de longitudes respectivas




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Clasificación de vectores

Se clasifican atendiendo a la definición de la igualdad: Libres: son iguales cuando tienen el mismo módulo, dirección

y sentido. Carecen de punto de aplicación y línea de acción. (Ej: momento de un par de fuerzas )

Deslizantes: son iguales si, además de lo anterior, están sobre la misma línea de acción. Carecen de punto de aplicación. (Ej: fuerza )

Fijos o ligados: cuando, tienen el mismo módulo, dirección, sentido, están sobre la misma línea de acción y están aplicados sobre el mismo punto. (Ej: velocidad de un punto )

Otra clasificación: Polares: tienen sentido propio por definición (Ej: fuerzas,

velocidades) Axiales: no tienen sentido definido y se les asigna por

convenio (Ej: momento de una fuerza , momento angular ), velocidad angular )

F

v

M

M L

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Clasificación de vectores Libres Deslizantes Fijos

Axial




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1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.


Suma de vectores: Los vectores pueden sumarse, resultando un nuevo vector

A B C

Colocando uno a continuación del otro

Método del paralelogramo

Propiedades de la suma Conmutativa: Asociativa: Vector : Vector opuesto :

A B B A A B C A B C 0 0A A

A 0A A

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Sustracción de vectores Los vectores pueden restarse simplemente sumando el

vector opuesto: A B A B C





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Producto de un vector por un escalar: El producto de un vector por un número m

es otro vector con las siguientes características: - Misma dirección - Mismo sentido, si m > 0 u opuesto, si m < 0 - Módulo igual a

B mAA

B m APropiedades:

Asociativa: Distributiva (I): Distributiva (II): Cualquier vector en la misma dirección que otro podemos representarlo como:

A

3A

3A

m nA mn A m n A mA nA m A B mA mB

A B

A mB

B 3A B


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Homogeneidad: En las ecuaciones debe haber homogeneidad:

- Los dos miembros deben ser del mismo tipo - Todos los sumandos deben ser del mismo tipo

Un escalar NO puede ser igual a un vector Un escalar NO puede sumarse a un vector

A B C m n p

mA nB C

m B C A B m

mA nB p

Correcto Incorrecto





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Ejercicio: ¿Cuáles de las siguientes expresiones son correctas?

g = 9,8 m/s2

= 25 m/s

m = 75 kg

2

2

d sadt

3 5 3F i j k v

2

nvaR

(Bien: escalar) (Bien: vector)

(Bien: escalar)

(Mal: vector) (Mal: vector)

(Mal: vector)


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Componentes de un vector:

La componente de un vector a lo largo de una línea en el espacio es la longitud de la proyección a lo largo de dicha línea.

Componentes de un vector. Vectores unitarios. 1.4. Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.




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Vector unitario o versor:

Vector unitario es aquel vector cuyo módulo es la unidad: - El vector unitario en la dirección de es:

1u u

A

AAuA

Los vectores unitarios servirán para definir una dirección en el espacio.


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Sistema de Coordenadas Cartesiano En la Física se usa como sistema de

referencia el Sistema Cartesiano ortonormal dextrógiro: - Tres vectores unitarios perpendiculares

entre sí que siguen respectivamente las direcciones de los ejes x, y, z :

- Cualquier vector podrá expresarse:

donde vx, vy, vz son las componentes del vector, o sea, las proyecciones del vector sobre cada uno de los ejes.

ó también simbólicamente: , ,x y z x y zv v i v j v k v v v v

1 2 3Base Cartesiana = , , , ,i j k u u u i

jk

x

y

z

O





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Sistemas de Coordenadas Para estudiar cualquier fenómeno físico,

es necesario un sistema de referencia. Un conjunto de 3 vectores no colineales

ni coplanarios forman una base vectorial en el espacio tridimensional:

- Cualquier vector en el espacio 3D

puede expresarse como combinación lineal de esos 3 vectores de la base.

- [v1, v2, v3] son las componentes del vector en la base A

Colineales

Coplanarios

Base Vectorial

1a 2a3a

1 2 31 2 3v v a v a v a

1 2 3, ,A a a a

v

1 2 3, ,A

v v v v


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X

Y

A

Ax

Ay

Bx

By

B




Componentes de un vector

y

A

xO

yA

xA

A

yA

xA

yx AAA

Cada vector componente tiene la dirección de un eje de coordenadas, así solamente necesitamos un número para describirlo. De esta forma, cada vector A se puede definir como el par (Ax,Ay), conociendo además la dirección y sentido de cada vector componente.

cosAAx AsenAy 22

xx AAA

x

y

A

Aarctan

Vectores en el plano

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Suma de vectores a través de sus componentes

y

xO

A

y

xO

B

yA

xA

yB

xB

y

xO

A B

C

yA

xA

yB

xB

yyy BAC xxx BAC

y

x




y

xO

A

j

i

jAiAA yxˆˆ

BAC

jBiBjAiAC yxyxˆˆˆˆ

jBAiBAC yyxxˆˆ

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y

x

+

+

-

- 0 radianes radianes

3/2 radians

2 radianes

III

IV

I

II

sen cos tang + + +

- + -

/2 radianes 90 o

0 o 180 o

270 o

360 o

+ - - - - +




Ejemplo: Sumar los vectores A, B y C:

Vector A 30 m 45O

Vector B 50 m 0O

Vector C 30 m 90O

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AX = 30 cos 450 = 21,2 m

AY = 30 m sen 450 = 21,2 m

BX = 50 cos 00 = 50 m BY = 50 m sen 00 = 0 m CX = 30 cos 900 = 0 m CY = 30 sen 900 = 30 m




X = Suma de las Xs = 21.2 + 50 + 0 = +71.2 Y =Suma de las Ys = 21.2 + 0 + 30 = +51.2

X = +71.2 m

Y = +51.2 m

La hipotenusa es el valor del vector resultante

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Teorema de Pitagoras

X = +71,2

Y = +51,2

(+71,2)2 + (+51,2)2 = 87,7 m

Ángulo tang-1 (51,2/71,2) ángulo = 35,7 O

Cuadrante I

RESULTANTE = 87,7 m 35,7 O




Vector A 30 m 45O

Vector C 30 m 90O

Vector B 50 m 0O

A - + = B C R

A + (- ) + = B C R

Vector A

30 m 45O

- Vector B

50 m 180O

Vector C

30 m 90O

Ejemplo: Determinar:

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AX = 30 cos 450 = 21,2 m

AY = 30 m sen 450 = 21,2 m

-BX = 50 cos 1800 = -50 m BY = 50 m sen 00 = 0 m CX = 30 cos 900 = 0 m CY = 30 sen 900 = 30 m




X = Suma de las Xs = 21,2 + (-50) + 0 = -28,8 Y =Suma de las Ys = 21,2 + 0 + 30 = +51,2

X = -28.8

Y = +51.2

40




X = -28.8

Y = +51.2

Ángulo tang-1 (51,2/-28.8) ángulo = -60.6 0 (1800 –60,60 ) = 119,40

Cuadrante II

(-28,8)2 + (+51,2)2 = 58,7m

RESULTANTE = 58,7 m 119.4O




84

El módulo del vector es:

pues es la diagonal del paralelepípedo. Cosenos directores son los cosenos de

los ángulos que la dirección del vector forma con los ejes coordenados:

2 2 2x y zv v v v v

x

y

z

v

xvyv

zv

coscos

cos cos cos cos cos

cos cos

xx

yY

zZ

v v vvv

v v v v i v j v kvv

v vv

v


Vectores en el espacio. Cosenos directores

41




85

Los cosenos directores son las

componentes de un vector unitario en la dirección de

- Al ser un vector unitario, su módulo es la unidad:

xv

x

y

z

v

yv

zv

v

cos , cos ,cosvu

22 2 2

2 2 2 2

2 2 2cos cos cos 1

yx zvv v vv v v v

La suma vectorial en función de las coordenadas cartesianas

se puede expresar:

x y zx x y y z z

x y z

A A i A j A kA B A B i A B j A B k

B B i B j B k





86

Coordenadas Polares Planas

x

y

r ( , )P r tu

nu

ij

Las coordenadas de un punto P vienen

determinadas por el módulo (r) de su vector posición y el ángulo que forma con el sentido positivo del eje OX.

Los vectores unitarios son uno en la dirección de ( , normal) y otro en la dirección perpendicular ( , tangencial).

La relación entre los vectores unitarios es:

r

r rutu

cos sencos sen

sen cos

nn

t

u i jr ru r i r j

u i j


Existen otros sistemas de coordenadas cuyo uso simplifica el tratamiento de algunos problemas.

Las coordenadas polares planas sirven para muchos problemas en dos dimensiones (ej. movimiento circular).

42




87

Cualquier vector podrá expresarse en ese sistema de referencia polar, sin más que proyectar sobre los vectores unitarios correspondientes:

cos senn t n tn ta a u a u a u a u x

y

a

r

nata

tunu

ij

En tres dimensiones, además del sistema de coordenadas cartesiano, se emplean el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas esféricas, según la simetría del problema.





88

La posición de un punto P queda

unívocamente definida por su vector posición (vector trazado desde el origen O hasta la posición del punto)

- Se denominan coordenadas cartesianas del punto P a las componentes de su vector posición, esto es, la terna (p1, p2, p3)

r

1 2 3r OP p i p j p k

Conocidas las coordenadas del origen y del extremo de un

vector, se pueden obtener las componentes del mismo:

Siguiente: 1.6. Operaciones con vectores.

1 1 2 2 3 3, ,PQ OQ OP q p q p q p

x

y

z

O

P

1p i 2p j

3p kr

1 2 3, ,Q q q qPQ


43




Ejemplo

Hallar el vector unitario que va de (4, 6, − ) a (1, 8, 3)

Solución

1 2 2 1

1 4, 8 6, 3 ( 3)

3, 2, 6

P P OP OP

2 2 22 3 6 4 9 36

17 7 7 49

u

13, 2, 6

7u




Ejemplo: Hallar el vector a de (0, 0, 0) a (7, − , 13)

Solución a = (7, − , 13) = 7i − j + 13K

Ejemplo: a = 5i + 3k a) plano del vector a ; b) módulo del vector a

Solución (a) a = 5i + 3k está en el plano xz (b)

Ejemplo Si a = 3i − j + 8k, b = i − k, hallar 5a − b

Solución 5a − b = 13i − 0j + 48k

2 25 3 5 3 34 i k

44




Ejemplo

Hallar los cosenos directores y los ángulos directores de a = 2i + 5j + 4k.

Solución

2 2 22 5 4 45 3 5a 2 5 4

cos , cos , cos3 5 3 5 3 5




Ejemplo [BUR-II-1]: Si un vector forma con los ejes X e Y ángulos de 60° y tiene de módulo 4

unidades. Calcular:

a) Sus componentes coordenadas.

b) Ángulo que forma con el eje Z.

92

45




Ejemplo [BUR-II-2]: Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F1 = 5 kg-f y F2 = 7 kg-f, que forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 60° y -30°. Calcular:

a) La fuerza resultante.

b) Su módulo.

c) Ángulo que forma con el eje OX.

93




Ejemplo [BUR-II-8]: Dados los vectores: a = 3i2j, b = 4i + j, calcular: a) El vector suma y su módulo. b) El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje

OX. c) El vector c = 2a . 3b y el vector unitario que define la

dirección y sentido de c.

94

Ejemplo [BUR-II-6]: Descomponer la fuerza de módulo F = 20,0 N en las direcciones a y b indicadas en la figura.

46




95

1.5. Operaciones con vectores. Productos escalar y vectorial.

Producto escalar de dos vectores:

El producto escalar de dos vectores es un escalar cuyo valor es el producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman:

También se puede definir como:

siendo


cos cosA B A B AB

proy proyA BA B A B B A

proy cosAB B

00 1800




96

Propiedades del producto escalar: Conmutativa: Distributiva respecto de la suma: Asociativa respecto del escalar:

A B C A B A C mA B m A B

- El producto escalar NO es asociativo. - Módulo de un vector: - El producto escalar de dos vectores ortogonales no nulos es 0:

- Los vectores unitarios cumplen

A B C A B C 2 2 2 2

x y zA A A A A A A A

0A B A B

1

0

i i j j k k

i j i k j k

A B B A


47




Producto escalar empleando los vectores unitarios

BA

kAjAiAA zyxˆˆˆ kBjBiBB zyx

ˆˆˆ

kBjBiBkAjAiA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ

x

y

z

A

B




kkBAjkBAikBA

kjBAjjBAijBA

kiBAjiBAiiBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

x

y

z

i

jk

1ˆˆˆˆˆˆ kkjjii

0ˆˆˆˆˆˆ kjkiji

zzyyxx BABABABA

48




99

- El producto escalar en función de las componentes resulta

- Cálculo del ángulo entre dos vectores:

x y zx x y y z z

x y z

A A i A j A kA B A B A B A B

B B i B j B k

2 2 2 2 2 2cos

cosx x y y z z x x y y z z

x y z x y z

A B A B A B A B A B A B A BA BAB A A A B B BA B AB





100

Ejercicio: Halle el ángulo formado por los vectores: y calcule la componente de en la dirección de .

2 3

4 2

A i j k

B i j kA B

14 · 3 3cos14 21 29421

100º

x x y y z zA A A B A B A BA B

AB ABB B

La componente de A en la dirección de B es:

3 3proy cos 142114 21B A A


Para verificar el resultado, observe que el producto escalar es negativo. Esto implica que está entre 90º y 180º, lo que concuerda con nuestra respuesta

49




Ejemplo i, j, k son vectores ortogonales. i j = j i = 0, j k = k j = 0, k i = i k = 0

Ejemplo Si a = − i − j + 4k, b = 2i + 14j + 5k, entonces a b = –6 – 14 + 20 = 0 Son ortogonales.




Ejemplo

Hallar el ángulo entre a = 2i + 3j + k, b = −i + 5j + k.

Solución

14, 27, 14 a b a b

9

42

2714

14cos

44.9

77.09

42cos 1

50




Ejemplo

Sea F = 2i + 4j. Si el bloque se mueve de (1, 1) a (4, 6) en línea recta, hallar el trabajo realizado por F.

Solución d = 3i + 5j W = F d = 26 J




Ejemplo

Hallar la proyección de a = 4i + j sobre b = 2i + 3j.

Solución

1 11comp (4 ) (2 )

13 13 b i j i 3ja

11 1 22 33(2 3 )

13 1313 13

i j i jba

51







106

Producto vectorial de dos vectores:

El producto vectorial de dos vectores es un nuevo vector con las siguientes características: - Módulo que es igual al área del

paralelogramo que forman. - Dirección perpendicular al

plano que delimitan ambos. - Sentido: regla de la mano

derecha o del sacacorchos.

senA B A B A B

A B A B C


52




Producto vectorial: Se define el producto vectorial entre dos vectores A y B como un vector perpendicular al plano formado por A y B, con una magnitud igual a A·B·sen(φ) y se escribe de la forma:

BAC

o regla de la mano derecha

ABBA o el producto vectorial

NO es conmutativo

x

y

z

AB

C




Producto vectorial empleando los vectores unitarios

BA

kAjAiAA zyxˆˆˆ kBjBiBB zyx

ˆˆˆ

kBjBiBkAjAiA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ

x

y

z

AB

C

53




109

- Los vectores unitarios del sistema ortogonal cumplen:

-El producto vectorial en función de las componentes resulta

A partir de esto, se establece la condición de paralelismo:

0

0

0

i j k

i k j

j k i

k j i

i j k

y z z y z x x z x y y x x y z

x y z

i j kA B A B A B i A B A B j A B A B k A A A

B B B

yx z

x y z

AA A cteB B B





110

Propiedades del producto vectorial: No es conmutativo: Distributiva respecto de la suma: Asociativa respecto del escalar:

No es asociativo para el producto vectorial sucesivo:

A B C A B A C

m A B mA B A mB A B m

- El producto vectorial de dos vectores paralelos no nulos es 0:

A B B A

A B C A B C

0A B A B


54




Ejemplo

Para entender el sentido físico del producto vectorial, observe las figuras. El momento producido por la fuerza F que actúa en la posición final del vector r está dado por = r F.

Fsenθ




Ejemplo

Hallar el area del triángulo definido por los puntos (1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0, –1).

Solución Usando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemos dos vectores a = <1, 2, 3>, b = <2, –1, –2>

1 2 2 3

2 3 1 3 1 21 2 3

3 5 1 5 1 31 3 5

8 5

i j k

i j k

i j k

P P P P

1 38 5 10

2 2 i j kA

55




Ejemplo

(a) i i = 0, j j = 0, k k = 0 (b) Si a = 2i + 3j – k, b = –6i – 3j + 3k = –3a, entonces a y b son paralelos. Así a b = 0

Si a = i, b = j, entonces Siguiendo la regla de la mano derecha, n = k. Por lo que i j = k

| | | | s n2

e i j i j n n




Ejemplo [BUR-II-21] Dados los vectores a (1, 3, .2) y b (1, .1, 0). Calcular: a) Su producto vectorial. b) El área del paralelogramo que tiene a los dos

vectores como lados. c) Un vector c, de módulo 6, perpendicular al plano

en que se encuentran a y b. Ejemplo [ BUR-II-22] Los tres vértices de un triángulo

son: A (2, 1, 3), B (2, .1, 1) y C (0, .2, 1). Calcular: a) Área del triángulo. b) Ángulo A.

Ejemplo[BUR-II-23] Tres vértices de un paralelogramo

ABCD tienen por coordenadas: A (2, 0, 2), B (3, 2, 0) y D (1, 2, .1). Calcular: a) Las coordenadas del vértice C.; b)Área del paralelogramo.;c) Ángulo en B.

114

56




115

Ejercicio (B1-9): La placa triangular de la figura, gira alrededor de un eje perpendicular a ella y en el sentido indicado, siendo el módulo de su velocidad angular = 4 rad/s. Halle la expresión del vector que representa a en el sistema de referencia indicado. (El vector velocidad angular es un vector de módulo la velocidad angular, dirección la del eje de giro y sentido dado por el giro).





116

Producto mixto o triple producto escalar de vectores:

El producto mixto de

vectores es un escalar que se define como:

V= Volumen El escalar que resulta es el

volumen del paralelepípedo que tiene como aristas esos tres vectores: - Área de la base: - Altura:

1 2 3 1V v v v v A

2 3A A v v 1 1Aproy cosh v v

1 cosV Av


57




117

-El producto mixto en función de las componentes resulta

-Si los tres vectores son coplanarios y no nulos se cumple que

los tres vectores forman una base vectorial del espacio ordinario

1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 32 2 2 2 2 2

3 3 33 3 3 3

, ,

, ,

, ,

v x y z x y zv x y z V v v v x y z

x y zv x y z

1 2 3 0v v v

1 2 3 0v v v

Propiedades del producto mixto: Permutabilidad cíclica: Antipermutabilidad acíclica:

A B C B C A C B A A B C B A C





118

Ejercicio (B1-10): Determine el volumen de un prisma

triangular que tiene como base un triángulo equilátero

de lado 2 m y su altura es de 4 m.


58




119

Doble producto vectorial:

El doble producto vectorial es otro vector que se define como cumpliéndose:

siendo el vector resultante coplanario a y .

A B C

B CA B C A C B C A B

A B A C

-Desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales:

A B C D C D A B A C B D A D B C

B C





120

Derivada de un vector respecto de un escalar:

Frecuentemente las magnitudes físicas dependen de variables escalares.

- Ej: Vector velocidad La derivación respecto de un escalar es un caso particular de

multiplicación por un escalar.

x y zv v t v t i v t j v t k

0

0

lim

lim

t

t

d r t r tv tdt tr t t r t

t

r t

rt

t

rt


59




121

Consecuencias de la derivación de vectores respecto de un escalar:

Si es de dirección constante

Propiedades de la derivada de un vector respecto de un escalar: Son las mismas que para las derivadas de un escalar:

( )(1) d A B d A d Bdt dt dt

( )(2) d f A df d AA fdt dt dt

( )(3) d A B d A d BB Adt dt dt

( )(4) d A B d A d BB Adt dt dt

(5) 0d A d AA cte A Adt dt

vv v

dv d u dvv v t v t u v udt dt dt

vdv d u dvv v cte v v

dt dt dt v v v

dv dv dvu udt dt dt





122

Ejercicio: La posición de una partícula varía con el tiempo. Calcule su velocidad si su vector posición, dando las componentes en metros (m), es: - ¿En qué posición estará cuando t=15 s? ¿Cuál será su velocidad en ese instante?

- ¿Cuánto se habrá desplazado otros 15 s después de la posición anterior?

22 3 5 mr t ti t j k


60




123

Integración de funciones vectoriales:

La integral en Física se entiende como una suma de cantidades diferenciales infinitesimales:

El caso de integración vectorial sería análogo: - En función de las componentes coordenadas sería

V

i im v 0 0

lim limi im Vi iV V

M dm dV m V

0( ) lim ( )

bia t i

I v t dt v t t

( ) ( ) ( )b b b

x y z x y za a aI I i I j I k v t dt i v t dt j v t dt k


física i-grupo 3 (curso 2013/14) tema 1: magnitudes ... escalares y vectoriales. tipos de vectores....

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