◊ π

◊ π

◊ π

◊ ◊ ◊ ◊ π

◊ π

◊ π

◊ π

Α Δ

α Δ

α α α α Δ

α Δ

α Δ

α Δ Δ π Δ π Δ π

1.2.1. Adición o Suma y Resta o Sustracción en Q.

Si las fracciones tienen IGUAL DENOMINADOR, se coloca el denominador común y se suman algebraicamente los numeradores. Si es posible se simplifica la fracción obtenida.

Vamos a resolver los siguientes ejemplos:

a. 1 −

6 +

17 = 2 2 2

Solución: 1

− 6

+ 17

= 1− 6 + 17

(Se coloca el denominador común, en el numerador

2 2 2 2

= 18 − 6 2

todos los valores de las fracciones)

(Se suman positivos con positivos y negativos con negativos)

= 12 (Se restan porque tienen diferentes signos) 2

= 6. (Como el numerador es divisible por el denominador

entonces se pudo reducir la fracción)

b. 5 + 7

10 10 − 9

− 8 = 10 10

Solución: Se coloca el denominador común, en el numerador todos los valores de las fracciones con sus respectivos signos:

5

+ 7 10 10

− 9 − 8

10 10 = 5 + 7 − 9 − 8

10

Se suman positivos con positivos y negativos con negativos

= 12 −17 10

Se restan porque tienen diferentes signos, y se coloca el signo del número mayor

= − 5 10

◊ π

◊ π

◊ π

◊ ◊ ◊ ◊ π

◊ π

◊ π

◊ π

Α Δ

α Δ

α α α α Δ

α Δ

α Δ

α Δ Δ π Δ π Δ π

−

−

Tanto el numerador como el denominador son divisibles por cinco (5), entonces se puede reducir la fracción; además el signo negativo del numerador se divide por el signo positivo del denominador, así

= − 5 / 5 = + 10 / 5

− 1 . 2

Si las fracciones poseen DIFERENTES DENOMINADOR, se reducen las fracciones a común denominador mediante el uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre ellos, y posteriormente se suman los numeradores.

Ahora fíjate en los siguientes ejemplos:

a. 3 2 5 3

+ 7

− 1 =

18 4 Solución:

Lo primero que se hace es eliminar el paréntesis, recordando la multiplicación del signo de cada fracción con el signo que está fuera del paréntesis

a. 3 2 5 3

+ 7

− 1 =

18 4

3 − 2

5 3 − 7

+ 1 18 4

Ahora encontramos el m.c.m. de los denominadores, así:

m.c.m.(5, 3, 18, 4) = 180

(Este valor será el denominador común)

Con este valor en el denominador, resolvemos de la siguiente forma: Dividimos 180 entre el denominador de cada fracción y el resultado lo multiplicamos por su respectivo numerador formando la suma algebraica.

180

× 3 5

= 108 ; 180 × 2

3

= 120; 180 × 7 = 70;

18 180

×1 = 45 4

= 3 −

2 −

7 + 1 = 108 −120 − 70 + 45

5 3 18 4 180

En el numerador se suman positivos con positivos y negativos con negativos, manteniendo igual el denominador

◊ π

◊ π

◊ π

◊ ◊ ◊ ◊ π

◊ π

◊ π

◊ π

Α Δ

α Δ

α α α α Δ

α Δ

α Δ

α Δ Δ π Δ π Δ π

−

−

−

+

= 153 − 190 180

Finalmente se restan porque tienen diferentes signos, quedando una fracción irreducible

= − 37 =

+ 180 − 37

180

Resumiendo

a. 3 2 5 3

+ 7

− 1 =

18 4

3 − 2

5 3 − 7

+ 1 18 4

= 108 −120 − 70 + 45 = 180

153 − 190 = 180

− 37 180

y ahora,

b. 2 +

3 4 2

5 5

+ 1

− 3 =

7 4 Solución:

De manera análoga lo resolvemos:

2 4 2

3 5 5 +

1 −

3 = 7 4

2 + 4

3 5 − 2

− 1 + 3

5 7 4

(Se elimina el paréntesis)

2 4 = + −

3 5 2 1 3

− + 5 7 4

(Se agrupan para restar porque tiene

el mismo denominador)

= 2 +

2 −

1 +

3 (Se realiza la operación algebraica) 3 5 7 4

m.c.m. (3, 4, 5, 7) = 420 (Se determina el m.c.m. de los denominadores)

Se escribe en el denominador el valor del m.c.m. y el numerador está conformado por los resultados de dividir 420 entre el denominador y multiplicarlo por el numerador de cada fracción:

420 x2 = 280;

3 420 x2 = 168;

5 420 x1= 7

60; 420 x3 = 4

315

Entonces:

◊ π

◊ π

◊ π

◊ ◊ ◊ ◊ π

◊ π

◊ π

◊ π

Α Δ

α Δ

α α α α Δ

α Δ

α Δ

α Δ Δ π Δ π Δ π

− + +

= 280 + 168 − 60 + 315 420

(Se sustituye)

= 763 − 60 420

(Se suman los términos de igual signo)

= 703 (Se resta porque los términos son de diferentes signo 420

resultando una fracción irreducible)

Resumiendo

2 4 2

3 5 5 +

1 −

3 = 7 4

2 + 4

3 5 − 2

− 1 + 3 =

5 7 4 2 4

3 5

2 1 3 − − + =

5 7 4 2

+ 2 3 5

− 1 + 3 .

7 4

= 280 + 168 − 60 + 315 = 420

763 − 60 = 420

703 420

1.2.2. Multiplicación o Producto en Q.

Para realizar el producto entre dos números racionales

a y c , solo se debe b d

multiplicar numeradores y denominadores entre si, es decir: a . c =

a . c

Por ejemplo: 4 . 7

= 4 . 7

= 28

b d b . d

7 5 7 . 5 35

Y si observas un poco, la fracción resultante es reducible, porque tanto 28 como 35 son divisibles por cinco (5), entonces:

= 28

= 28 / 7

= 4

35 35 / 7 5

Otra forma de operar en el ejemplo, es que si chequeamos en el momento de la multiplicación en el numerador existe un valor igual a uno ubicado en el denominador, por lo que se pueden simplificar:

4 . 7

= 4 . 7

= 4

7 5 7 . 5 5 ¿Crees tú que simplificar dos números en una fracción significa que al multiplicar y dividir por un mismo número resultará la unidad?

◊ π

◊ π

◊ π

◊ ◊ ◊ ◊ π

◊ π

◊ π

◊ π

Α Δ

α Δ

α α α α Δ

α Δ

α Δ

α Δ Δ π Δ π Δ π

Observa esto:

1.2.3. División o Cociente en Q.

Para dividir a y c , solo se debe multiplicar b d

a por la fracción inversa de b

c , es decir d

d , por lo que: a ÷

c =

a . d =

a . d dice que para c b d b c b . c

Otra forma de visualizar esta operación matemática, se dice que para dividir a y c , b d

se debe multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y este producto irá en el numerador del resultado; y el multiplicar el denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda irá ubicado en el denominador del resultado. Esto se conoce como producto en cruz. Un ejemplo de ello es:

4

÷ 7 =

7 5 4

÷ 7 =

7 5 4 . 5

= 20 7 . 7 49

◊ π

◊ π

◊ π

◊ ◊ ◊ ◊ π

◊ π

◊ π

◊ π

Α Δ

α Δ

α α α α Δ

α Δ

α Δ

α Δ Δ π Δ π Δ π

1.2.4. Potenciación en Q.

Si a es un racional y n un número natural, la potencia de b

a elevado a la n es el b

n

producto n veces de a : a

= a . a . a . a . a ... a

(n veces) . b b b b b b b b

Recordemos que lo manejamos en la Guía Didáctica de potenciación en N. Sin embargo, acá tenemos algunos ejemplos:

3 3

5 3

(−5)3

(-5) (-5) (-5)

− 125

125

a. 3

= 3 = 3 . 3 . 3

= 27

b. − =

= . . = = − 2 23 2 2 2 8 3 33 3 3 3 27 27

Actividad de Control: Ya tienes que ejercitar!!!! Efectúa y expresa el resultado como una fracción irreducible.

a. 3 + 1

− 9 =

5 5 5 b. 3

+ 1 −

9 − 1

=

7 7 5 2

3 1 10 1 c. − − − =

6 7 5 6 d. 1

− 9 − 7 + − 77 − 1 =

8 3 11 2

e. 3 . 1 . 1= 6 7

f. 3 ÷ 1

÷ 1= 6 7

3 1 g. − . . - 36 =

6 3 h. 12

÷ − 1 = 6 6

2 5 i. =

7 1 4

j. − = 5

4 5 − 3 4 k. . =

3 4 l. 1

− 9 − 2 ÷ − 77

− 2 =

2 3 11 2

m. Elisa recorre en bicicleta 60 Km los sábados y 60 km los domingos. ¿Cuántos 9 9

Kilómetros recorre Elisa en 3 sábados y 3 domingos?

n. Maribel tiene 16 Kg de azúcar. Si los quiere colocaren 3 recipientes con igual 3

cantidades cada uno. ¿Cuántos Kilogramos debe colocar en cada recipiente?