Escalares: quedan perfectamente definidas con una cantidad (número) y una unidad

Ejemplo: el tiempo 3 s; la masa 8 kg.

de la flecha.

Ejemplo: la posición, velocidad, fuerza...

W

L/2 L/2

A B C

.spRe2

WLR0LR

2

LWL0M CCA+

Vectores

Se caracterizan por:

Módulo: (cantidad y unidad). Se representa por la longitud del vector. Es la parte escalar.

Dirección: es la recta que contiene el vector.

Sentido: indicado por la punta de la flecha.

Punto de aplicación: origen

Sobre cada eje se toma como unidad de medida los vectores unitarios (módulo igual a 1):

i sobre el eje x

j sobre el eje y

k sobre el eje z

j

x

y

z

i

k

Un ejemplo importante de unvector tridimensional es elvector de posición de unapartícula con coordenadas(x,y,z).

z

x

y

(x,y,z)

r

• Se acostumbra a denominarpor y esta definidocomo un vector que vadesde el origen del sistemade coordenadas hasta ellugar donde se encuentra lapartícula.

r

222

ˆˆˆ

zyxr

kzjyixr

v = x · i + y · j

v = x · i + y · j + z · k

En dos dimensiones

En tres dimensiones

El valor absoluto o magnitud de un vector es

su longitud, su tamaño.

Si el vector es , su magnitud se representa

como

ó

A

A A

Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 1

es unitario si 1

A los vectores unitarios los denotaremos

con un acento circunflejo ó "gorrito":

ˆ

a a

a

Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 0

es cero si 0

Lo denotaremos como 0

a a

Vector Cero

Métodos para resolver problemas usando

vectores:

Método gráfico = se dibujan vectores a

escala y su dirección se determina usando un

transportador.

Método matemático = proceso mediante el

cual se suman vectores usando trigonometría.

FUERZA RESULTANTE: es una fuerza única cuyo efecto es elmismo que el de un conjunto de fuerzas concurrentes coplanares.Es la suma de dos o mas vectores

El dibujo aquí también es una prueba de la ley comutativa de la suma de vectores, o sea, →A + →B = →B + →A.

Para otros tipos de vectores es más intuitivo

dibujarlos rabo con rabo. Cuando hacemos

este tipo de dibujo, se forma un

paralelograma y la suma de los vectores es

una de las diagonales del paralelograma.

a

b

a b

a b

Resta de Vectores Geométricamente

Aquí hemos dibujado el rabo de B en la

cabeza de A y hemos calculado A - B

como A + (-B) poniendo el rabo de (-B) en

la cabeza de A.

Aquí nos fijamos que el vector que

obtuvimos arriba (A – B) es igual a un

vector que va de la cabeza de B a la

cabeza de A, o sea, es la otra diagonal del

paralelograma!!

Con el paralelograma podemos calcular la

suma y también la resta de dos vectores.

El producto del escalar por el vector es

Es un vector cuya longitud es ,

tiene la misma dirección que ,

y el sentido es el de si >0

y el inverso que si 0

a

a

a

a

a

a

a a

Si llamamos al ángulo que hacen los vectores

y ,

se define el producto escalar (interno ó punto)

como

cos cos

a b

a b a b ab

a

b

Lo podemos ver como

cos cos

Es la proyección de uno de los dos en el otro,

por la magnitud de ese otro

a b a b b a

a

b

Producto escalar o producto

punto

cos cos

Es la proyección de uno de los dos en el otro,

por la magnitud de ese otro

a b a b b a

a

b

a

cos cosp

p aa

p

2 2

1) Si 1, entonces cos que es la

proyección de en la dirección de

2) Si entonces =0 cos 1 y se tiene

3) El producto escalar es conmutativo

4) El producto

a a b b

b a

a b a a a a

a b b a

escalar es distributivo respecto a la suma

a b c a b a c

Si el producto escalar, cos ,

de dos vectores es cero, entonces

1) Al menos uno de los dos es cero

ó

2) Los vectores son perpendiculares (ortogonales),

es decir, 90 / 2 ó

Si dos vecto

3 / 2

r

70

a b a b

es son ortogonales, entonces su

producto escalar es cero

a b

a b

sina b a b

Si llamamos al ángulo que hacen los vectores

y ,

se define el producto vectorial o cruz, de la

siguiente manera:

a b

1) sina b a b

2) Su dirección es perpendicular al plano formado

por los vectores y a b

3) El sentido del vector está definido por el avance

de un tornillo que va de a (por la regla de la

mano derecha)

a b

a b

a b

sina b a b

a b

a b

sin es el área

de este paralelogramo

a b a b

1) El producto vectorial NO ES CONMUTATIVO:

2) El producto vectorial es distributivo respecto

a la suma

3) Para todo vector 0

a b c a b a c

a a

a b b a

Si el producto vectorial de dos vectores

sin

es cero, entonces

1) Al menos uno de los dos es cero

ó

2) Los vectores son paralelos

es de

Si dos vectores son paralelos, entonce

cir, 0 0 ó 18

s su

0

a b a b

producto vectorial es cero

X

Y

Z

i

j

k

Denotaremos como

ˆˆ ˆ, ,

los vectores unitarios a lo largo de los ejes

, ,

Así un punto estará representado por el

vector

ˆˆ ˆ

i j k

X Y Z

P

r xi yj zk

ˆ ˆLos vectores 0

ˆˆbase cartesianos 0

ˆ ˆson ortogonales entre si 0

ˆ ˆLos vectores 1

base

i j

j k

k i

i i

ˆ ˆ cartesianos 1

ˆ ˆson unitarios 1

j j

k k

Los vectores base cartesianos constituyen,

además, una base "der

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

h ":

ˆ

ec a

i k

k

k i

j i

j

j

X

Y

Z

i

j

k

X

Y

Z

i

j

k

x

y

z

, ,P x y z

ˆˆ ˆr xi yj zk

r

FuerSon fuerzas que actúan en el mismo planoy, por lo mismo pueden identificarsecompletamente con sus coordenadas.

FUERZAS CONCURRENTES: Son fuerzas queintersectan en un punto común o tienen elmismo punto de aplicación.

F

f

F

a

F

N

W