4. operaciones con vectores

Racso Editores 104/11/23

Dr. Félix Aucallanchi V.


MÉTODOS GRÁFICOS DE COMPOSICIÓN VECTORIAL

Llamamos métodos gráficos de composición vectorial a los distintos procesos que se siguen para obtener la suma o resta de vectores utilizando instrumentos de dibujo: regla, transportador, etc, y que se sustentan en el tratamiento de los vectores a partir de los segmentos dirigidos que los representan.

La adición de vectores es el proceso inverso de la descomposición vectorial.

ADICIÓN DE VECTORES

Sean los vectores V1 y V2 , representados

por AB1 y AB2. Definimos el vector suma o

resultante de estos vectores, denotado por

R = V1 + V2, como aquel vector

representado por AB, tal que BB1||AB2 y

B2B||AB1 .

[Álgebra Vectorial, Reznichenko, Editorial Mir, 1985, Moscú].

A

BB2

V2

V1

R

B1

Método del Paralelogramo


Ejemplo.- Utilizando el método del paralelogramo, determinemos una fórmula para calcular el módulo de la resultante de dos vectores de módulos A y B, cuyas direcciones forman un ángulo .

P A

B B B sen

B cos

T S

R

Q H

Elaborando la gráfica de los vectores se obtiene:

2 2 2PS = PH +HS

2 22R = A + Bcos + Bsen

2 2 2 2 2 2R = A +B cos + 2ABcos + B sen

2 2 2 2 2

1

R = A +B cos + sen + 2AB cos

2 2R = A + B + 2ABcos

En el PHS se cumple:

|R| = |A + B|


OBSERVACIONES

a) En general: |A + B| |A| + |B|

b) En esta demostración hemos considerado que A = PQ, B = PT y R = PS, donde el factor de escala entre las magnitudes de los vectores y las longitudes de los segmentos es k = 1.

d) Si A B , entonces = 90º y .2 2R = A +B

e) Si A B , entonces = 180º y R = |A - B|. Esta resultante se llama resultante mínima.

c) Si A B, entonces = 0º y R = A + B. Esta resultante se llama resultante máxima. En este caso: |A + B| = |A| + |B|


Ejemplo 1.- ¿Cuánto mide el ángulo que forman dos vectores cuyos módulos son 3 y 5, sabiendo que su resultante mide 7?

Aplicando la fórmula del paralelogramo, se tiene:

2 2 27 = 3 +5 +2 3 5cosθ 12cosθ= θ=60º

Ejemplo 2.- ¿Entre qué valores se encontrará el módulo de la resultante de dos vectores cuyos módulos son 12 y 5?

Sabiendo que la resultante de dos vectores tiene un módulo comprendido entre un valor máximo y un valor mínimo, llamados resultante máxima y mínima respectivamente, se tiene:

mín máxR R R o A - B A +B A + B

Reemplazando valores:

7 A +B 19

12 – 5 |A + B| 12 + 5


Este método, llamado también método del polígono, consiste en graficar los segmentos dirigidos, que representan a los vectores, de forma que se sucedan las colas (orígenes) con las puntas (extremos), así la resultante está dada por el segmento dirigido cuya cola es el primer origen y cuya punta es el último extremo.

[Física, D. Giancoli, 4ta Edición, 1997. Editorial Prentice Hall, USA.]

MÉTODO DE COLA A PUNTA

a) Vectores en una recta

(a1)

(a2)

A

A

B

B

V1

V1

R

R

V2

V2

R V V = + 1 2

R V V = - 1 2Si V V1 2>

(c) Tres o más vectores

A

B

V2

V1

V+ V

1

2

V3

R V+

V2

3

A

B

V2

V1

V3

R

Propiedad Asociativa de la suma de vectores

( ) ( + )V + V + V = V + V V1 2 3 1 2 3


Ejemplo.- Utilizando el método de cola a punta, determinar la resultante en los siguientes casos:

Nota.- La suma de un vector con su opuesto es el vector nulo: A + (-A) = 0

12 + 9 + 6

14 + 2539 - 27

a)

b c

a

m

n

p

b c

a

m

n

p

b)

R = 12


Es decir, la sustracción de dos vectores es una operación que se sustenta en la adición de vectores y consiste en sumarle al primero el opuesto del segundo.

BA

A - B

-B

A – B = A +(-B)

SUSTRACCIÓN DE VECTORES

La sustracción de dos vectores A y B, se define como:

Es común llamar vector diferencia, denotado como D, al resultado de una sustracción de vectores


Ejemplo.- Si V1 = (25; 60º) y V2 = (30; 0º), se pide determinar |V|,

si: |V| = V2 – V1.

60º 60º

120º

V1V1

-V1-V1

V2 V2

V2

Elaboramos una gráfica de los vectores:

Ahora aplicamos la fórmula de la diferencia de vectores:

2 2ΔV = 25 + 30 + 2 25 30 cos120º

V

V = 5 31


OBSERVACIONES

Ejemplo.- ¿Qué ángulo forman dos vectores de igual módulo si el módulo de su resultante es el doble del módulo de su correspondiente vector diferencia?

a) Recordar que los módulos de V1 y –V1 son iguales.

b) En general para dos vectores de módulos A y B que forman un ángulo , se verifica que el módulo D de su vector diferencia, es:

2 2D = A + B - 2ABcosθ D = A - B

Sean A = B = x, entonces, según condición se cumple que:

R = 2D 2 2 2 2x + x +2x xcosθ =2 x + x - 2x xcosθ

2 2 2 22x +2x cosθ = 4 2x - 2x cosθ

cos = 3/5 = 53º


MÉTODOS ALGEBRAICOS DE COMPOSICIÓN VECTORIAL

Con frecuencia la suma gráfica de vectores con regla y transportador no tiene la exactitud suficiente, sobre todo si los vectores están en tres dimensiones, por tal motivo el módulo y dirección se determinan aplicando métodos algebraicos sustentados en la descomposición rectangular.

ADICIÓN

Sean los vectores: cuya resultante se obtiene así:

x y x y x yA = A i + A j ; B = B i + B j ; C = C i + C j

R = A + B + C x y x y x yR = A i + A j + B i +B j + C i +C j

x x x y y y

R Rx y

R = A +B +C i + A +B +C j x x y yR = V ; R = V

y2 2 -1x y

x

RR = R + R ; θ = tan

R

, reemplazando:

, luego:

Finalmente:


Efectuando la suma así:

Luego:

Obsérvese que el ángulo direccional se mide en sentido antihorario desde el semieje +x.

Ejemplo.- Determinemos la resultante de:A = -14i+8 j ; B = 4i-14 j y C = - 6i - 6 j

R = -14i+8 j + 4i-14 j + -6i - 6 j

R = (-14+4- 6)i + (8 -14- 6)j R = -16i -12 j

2 2R = (-16) + (-12) R = 20

y : -12 3tanθ = =-16 4

= 217º

4. operaciones con vectores

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