operaciones básicas con expresiones algebraicas

7/30/2019 Operaciones bsicas con expresiones algebraicas

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Operaciones bsicas con expresiones algebraicas

1 Expresiones algebraicas

Algunas veces aparecern explcitamente los smbolos que comnmente usamos para representar

nmeros, tales como etc.No debe perderse de vista que, ya sea mediante los smbolosindicados o las letras, estaremos considerando nmeros reales y, por tal motivo, las reglas de operacindadas en el captulo anterior son aplicables.

La adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin y extraccin de races son conocidas como operacionesalgebraicas.

Definicin 4.1. Cualquier combinacin que resulte de operar con nmeros, ya sea representados por los

smbolos correspondientes o por letras, es conocida como expresin algebraica. Como por ejemplo,1) 2) 3)

En las expresiones algebraicas podrn aparecer nmeros explcitos, estos reciben el nombre de constantesen la expresin. Las letras pueden ser constantes o variables. Cuando decimos que una letra es unaconstante es porque su valor, aunque sea arbitrario, no cambiar a travs de la discusin de la situacin oel problema; en contraste, una variable es una letra que puede ser sustituida por cualquier nmero quepertenezca a cierto conjunto de nmeros. El conjunto de nmeros cuyos valores pueden tomar una

variable se llama dominio de la variable. Usualmente si en una situacin dada cierta letra corresponde auna constante, esto debe indicarse explcitamente si no est claro a partir del contexto. Por otra parte, esmuy importante tener claro el dominio de las variables de la expresin.

Ejemplo

1) Consideremos la expresin. Como sabemos, lo anterior se interpreta como el cociente de 2 entre , y, puesto que la divisin por 0 no tiene sentido, en la expresin anterior no puede ser igual . Podemos definir como dominio de esta variable el conjunto IR*+ o cualquier otro que sea

subconjunto de este.

2) Para la expresin (1) del ejemplo 1, podemos tomar como dominio de la variable al conjunto IR o acualquier subconjunto de IR.1 Seguimos la presentacin de Barrantes, H. (2005). Introduccin a las matemticas. San Jos: EUNED, pp.117 - 135.


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En el ejemplo anterior hemos establecido, en cada uno de los casos, un cierto dominio y hemos dicho quepodemos tomar como dominio un subconjunto de l. Ese primer dominio que hemos indicado en amboscasos es lo que se conoce como dominio mximo de la variable. En general, el dominio mximo de unavariable en una expresin algebraica es aquel dominio que se caracteriza por que contiene cualquier otroconjunto que pueda tomarse como dominio de la variable. En adelante, cuando digamos dominio nos

estaremos refiriendo a este dominio mximo a no ser que se indique otra cosa.

Ejemplo

1) En la expresin (2) del ejemplo 1, el dominio de la variable es * +,puesto que para que tenga sentido en IR, debemos tener que , es decir . El dominio de las variables y es IR.2) En (3) del ejemplo 1, el dominio de es IR *+, cul es el dominio de ?En lo que sigue, a travs de ejemplos ilustrativos, vamos a utilizar las propiedades de las operaciones enIR y las propiedades de las potencias y los radicales para operar con expresiones algebraicas.

2 Simplificacin de expresiones algebraicas

En primer lugar, consideraremos expresiones en las que aparecern involucrados productos, potencias,cocientes y radicales de constantes y variables. Para simplificar este tipo de expresiones se utilizarndirectamente las leyes y propiedades estudiadas en el captulo anterior, de modo que procederemos conejemplos ilustrativos.

Ejemplo

Simplificar la expresin . /, donde son nmeros reales diferentes de 0.Utilizando las propiedades de la multiplicacin y las leyes de las potencias tenemos

Para . Usted puede justificar todos los pasos.

Ejemplo

Simplificar la expresin() ,, donde , es un nmero real diferentes de 0 y es un nmero

racional.

De acuerdo con las propiedades de la multiplicacin y las leyes de las potencias tenemos


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() , para .Ejemplo

Simplificar la expresin

, siendo

y

nmeros reales positivos.

De acuerdo con las propiedades de las operaciones correspondientes tenemos

Ejemplo

Reescribir en forma simplificada la expresin siguiente, utilizando exponentes racionales, , siendo

y

nmeros reales positivos.

Solucin: Escribiendo primero la expresin con exponentes racionales y luego aplicando las leyes depotencias tenemos

Ejemplo

Sabiendo que

, evaluar la siguiente expresin

()()

(

)

Tenemos ()()() [] []


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Ejercicios A2

1 Realice las siguientes operaciones y simplifique al mximo los resultados.

Lista A

1. . / . / 2. ./ ./.3.

. / . /4.

5. . / . / .6. ./ . /7.

8. .9.

10. 11.(),- .12. 13. 14.

,-.

15.. / 16. 2 Tomados del libro Palmer. C. y Miser. W. (1965). College Algebra. Mxico: McGraw-Hill, pp. 129130.

Lista B.

/ .2.

3. ./ . /4.

.5.

0

.

/ 1

6. ,6 -7.

.

8. [ ] 9.

10.

,

-

11. 12.

./

13. 14. .

/ 15.

.

/

16.

17. . /

Lista C

1.

2. 3.

4.

5. 6.

.

7.

8. .

9.()()

10.

11. .

/ .

/ . /12. 0

./ 1

13. ./ ()

.

/

.

14. .

/ ./ 15.


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3 Expresiones polinomiales

Definicin 4.2. Una expresin algebraica en la que solamente aparecen las operaciones de suma, resta ymultiplicacin de constantes y variables se denomina un polinomio.

Ejemplo

1) 6 es un polinomio. En este caso es una polinomio en una variable.2) es un polinomio (en dos variables).3)

es un polinomio (en tres variables).4) no es un polinomio.5)

no es un polinomio.Observe que un polinomio no est formado por la suma o resta de expresiones del tipo ax1

n1 x2

n2 .xm

nm ,

donde es una constante,x1 , x2, xm son las variables y n1.n2., nm son nmeros naturales. Cadauna de estas expresiones se llama un trmino del polinomio. Si un polinomio consta de solamente untrmino se dice que un monomio, si consta de dos trminos se dice que es binomio y si consta de trestrmino se llama trinomio. El grado de un trmino del polinomio es la suma de las exponentes de lasvariables de ese trmino, es decir, y n1 + n2 + + nm . El grado del polinomio es el grado del trminono cero con mayor grado en el polinomio.

Cualquier constante no cero se define como un polinomio de grado 0. Tambin el nmero cero se definecomo un polinomio pero no se le asigna ningn grado. En la siguiente tabla se ilustran los conceptosanteriores.

Polinomio Nmero detrminos Grado 1er

trmino Grado 2do

trmino Grado delpolinomio

3x2y5 + 6x3 + 7xy2 3 (trinomio) 7 3 7

2a3b5a2b4 2 (binomio) 4 6 6

5p2q6 1 (monomio) 8 - 8

2x10 + 5y4 +x15 +10

4 10 4 15

238x2 2 (binomio) 0 2 2

3 1 (monomio) 0 - 00 1 (monomio) No se asigna - No se asigna

3Retomamos la presentacin de Barrantes, H. (2005).


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En un trmino del tipo , la constante a se llama coeficiente numrico (a veces se dicenicamente coeficiente) del trmino y la expresin se llama parte literal o factor literaldel trmino. Si dos trminos difieren solamente en su coeficiente numrico entonces se dice que sonsemejantes.

Ejemplo

1) En el polinomio 2x3 + 5x2 el coeficiente numrico del primer trmino es 2, el del segundo trmino es

5 y el del tercer trmino es 2. El factor literal del primer trmino es x3, el del segundo trmino es x y eltercer trmino es tiene factor literal.

2) En el binomio 3z4y3 + 5xyz los coeficientes numricos del primer y segundo trmino son,respectivamente -3 y 5.

3) Los trminos -5x4y4 y 6x4y4 son semejantes.

4) Los trminos 2a3b4 y 5b4a3 son semejantes.

5) Los trminos 8ab2a2 y 4b4a3 son semejantes.

6) Los trminos 2a3b3 y 5a3b2 NO son semejantes.

Observe que en (3), (4) y (5), son las propiedades de la multiplicacin en R, quienes nos permiten decirque los trminos indicados son semejantes. Cuando escribimos expresiones algebraicas, a menudo sedeben agrupar trminos.

Para ello se utilizan comnmente ciertos smbolos de agrupamiento tales como los parntesis ( ), los

corchetes [ ] y las llaves { }. Tambin la barra superior en el signo radical agrupa los trminos que seencuentran bajo ella y la barra que separa el numerador y el denominador de una fraccin agrupa, por unaparte, los trminos que se encuentran sobre ella y, por otra parte, los trminos que se encuentran debajo deella. Normalmente, cuando se deben eliminar, mediante operaciones, varios smbolos de agrupamiento, loms adecuado es eliminar primero los que sean ms interiores en la expresin. Finalmente, debemosindicar tambin, que primero se opera sobre cada trmino y finalmente se efectan las sumas y restascorrespondientes.


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Ejemplo

Obtener el resultado de efectuar las operaciones indicadas: 3 + 2(534)62.

En esta expresin aparecen tres trminos 3, 2(534),62. Primero debemos efectuar las operaciones en

el segundo y tercer trmino. A la vez, en el segundo trmino hay un smbolo de agrupamiento, por lo quese deben efectuar primero las operaciones dentro de l; en este caso se efecta en primer lugar lamultiplicacin. As,

3 + 2(534)62 = 3 + 2(512)12

= 3 + 2(7)12

= 3 + (14)12

=23

Ejemplo

Simplificar las expresiones algebraicas dadas: 1.) 3(ab)2(a2b), 2.)2[3(x2y) + 4x]1) La expresin consta de dos trminos: 3(a b) y 2(a 2b), operamos sobre cada uno de ellosseparadamente:

3(ab) = 3a3b, por la definicin dey la propiedad distributiva de con respecto a +).

2(a2b) =2a + 4b, por las diferentes propiedades de +,, y en R.

As, tenemos que

3(ab)2(a2b) = 3a3b2a + 4b = a + b

Para la ltima igualdad utilizamos la definicin de , la conmutatividad de + y la ley distributiva de con

respecto a +.2) A partir de ahora, a no ser que lo consideremos importante, no seguiremos realizando las indicacionesdetalladas sobre la forma en que operamos; el lector puede, si lo desea, justificar cada paso.

2[3(x2y) + 4x] =2[3x + 6y + 4x] =2[x + 6y] =2x12y.


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4 Suma, resta y producto de polinomios

Bsicamente, cuando sumamos y restamos polinomios lo que hacemos es combinar trminos semejantesmediante la conmutatividad de la adicin y la ley distributiva. En la multiplicacin de polinomios se hace

uso extensivo de la ley distributiva y las leyes de potencias. Ilustremos esto con ejemplos, en todos ellostendremos claro que las variables cumplen las restricciones necesarias para que las expresiones tengansentidos.

Ejemplo

Efectuar la suma de polinomios . /.Se trata simplemente de agrupar los trminos semejantes

.

Ejemplo

Efectuar la resta de polinomios indicada .De acuerdo con las propiedades de las operaciones vistas se tiene que

.6 6.Ejemplo

Multiplicar los polinomios indicados .Utilizando la ley distributiva y las propiedades de la multiplicacin tenemos que

6 6 .


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Ejemplo

Efectuar las operaciones indicadas y simplificar 3xy2 + 2x3y + (2 +x)(y2 +y)

Primero efectuamos la multiplicacin indicada y luego sumamos mediante la agrupacin de trminos:

.Podemos considerar tambin trminos en los que los exponentes de las variables no son necesariamentenmeros naturales sino que pueden ser nmeros racionales (o incluso irracionales) en general; esto enparticular incluye exponentes negativos y radicales. Las expresiones resultantes en estos casos no sonpolinomiales, pero la manera de operar con ellas es completamente semejante a la forma como se operacon los polinomios.

Ejemplo

Multiplicar los polinomios .Utilizando repetidamente la ley distributiva y las otras propiedades de la adicin y la multiplicacintenemos

Ejemplo

Efectuar las operaciones indicadas y simplificar( ) . / . /Utilizando las diferentes propiedades de las operaciones y de los radicales tenemos

( ) . / . / = = .


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Ejercicios B4

1. En cada ejercicio suma los polinomios.1. y 6 2. y 3. y 4. y 6 5. y 6. y 7. y 8. 6 y 9.

y

6

10. y 11. 6 y 12. y 13. y 6 14. 6 6 y

2. En cada ejercicio encuentre la resta del primer polinomio menos el segundo.

1.

y

6

2. y 3. y 4. y 5. y 6 6. y 6 7. y 8. y 6 9. y 6 10. 6 y 611. ,

4 Tomados del libro Oteyza. E., Hernndez. C. y Lam, E. (1996).Algebra. Mxico: Prentice Hall, pp. 126127.


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3. En cada ejercicio realiza las operaciones indicadas.

1. ,6-2.

6 , -

3. , - , -4.

Ejercicios C5

1. Hallar la suma de las siguientes expresiones.

1. 2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 6 6 14.

2. Restar.

1. de 2. de 6 3. de 6

5 Tomados del libro Baldor, A. (1976).Algebra. Madrid: EDIME, p. 45, 52.


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4. de 5. de 6.

6de

7. de 68. de 9. de 10. 6 de 11. de 12. de

Ejercicios D6

1. Efecta los siguientes productos.

6 Tomados del libro Oteyza. E., Hernndez. C. y Lam, E. (1996).Algebra. Mxico: Prentice Hall, pp. 134135.


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Lista A

1. 2. 6 3.

4. 6 5. 6. 7. . / . /8. . /

9. 10. 6 11. 12.

6

13. . / . /14. 6 . /15. 16.

Lista B

1.

6

2. 3. 4. 5. 6 6. 7. 8. 9. 6 6 10. 6 6 11.

6

12. 13. 14. 15. 16. 617. 18. 19. 20. 6 21.

, - , -

22. 23. 6 , 6 -24. 6 25. , -, -


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5 Productos o frmulas notables

Ciertos tipos de productos ocurren con frecuencia y, por lo tanto, es til anotar sus frmulas, conocidascon el nombre de frmulas notableso productos notables. Al igual que lo hicimos en el primer captulo

para priorizar la forma de la frmula ms que su contenido, enunciamos los productos,

La verificacin de estas frmulas es muy simple, basta con efectuar los productos indicados al ladoizquierdo del igual en cada de ellas. Nos detendremos en cada una de estas frmulas ilustrndolas

mediante ejemplos.

Primera frmula notable: Binomio al cuadrado

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(3v +p)

2

= (3v)

2

+ 2(3v)p +p2

(5m2 + 2n3)2 = (5m2)2 + 2(5m2)(2n3) + (2n3)2 = 25m4 + 20m2n3 + 4n6

(6x2 + 4x5)2 = (6x2)2 + 2(6x2)(4x5) + (4x5)2 = 36x4 + 48x7 + 16x10

Primera Frmula Notable:

BINOMIO AL CUADRADO

( +)2 = 2 + 2 +2

Segunda Frmula Notable:

BINOMIO AL CUADRADO

( )2 = 2 2 +2

Tercera Frmula Notable:

DIFERENCIA DE CUADRADOS

()( +) = 22

Cuarta Frmula Notable:

DIFERENCIA DE CUBOS

()(2 + +2) = 33

Quinta Frmula Notable:

SUMA DE CUBOS

( +)(2 +2) = 3 +3

Note que usamos parntesispara distinguir mejor lo que

correspondera acuadradito y lo que sera

triangulitoNotemos tambin queen este ejercicio, los

trminos involucranla misma variable,x, por lo que al

hacer esposible aplicar la ley

de potencias:

x2x

5 =x2+5 =x7


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(k2n +p3a)2 = (k2n)2 + 2(k2n)(p3a) + (p3a)2 = k4n + 2k2np3a +p6a

(a3m+1 + a5m-2)2 = (a3m+1)2 + 2(a3m+1)(a5m2) + (a5m2)2 = a2(3m+1) + 2a3m+1 + 5m2 + a2(5m2) = a6m+2 +2a8m1 + a10m4

Como hemos podido observar, las dos primeras frmulas notables son muy parecidas; nicamente difieren

en un signo.

En este punto, hemos estado aplicando laley:potencia de una potencia

Slo que en este caso, uno de los

exponentes es un binomio y el otro unnmero

Al igual que en el ejercicio 4,podemos aplicar la ley: suma de

potencias de igual base

Slo que en este caso, como ya lo

dijimos, los exponentes sonexpresiones algebraicas

Por lo que nicamente podemos sumar trminossemejantes (es decir, los que tengan el mismo

factor literal), tenemos entonces:

3m+1 + 5m2 = 8m1

Por lo que al multiplicar los exponentesaplicando distributividad, tenemos:

2 (3m + 1) = 6m + 2


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Segunda frmula notable: Binomio al cuadrado

(y w)2 =y2 2yw + w2

(7n q)2 = (7n)2 2(7n)q + q2

(5m2 2n3)2 = (5m2)2 2(5m2)(2n3) + (2n3)2 = 25m4 20m2n3 + 4n6

(2d5 9d-3)2 = (2d5)2 2(2d5)(9d-3) + (9d-3)2 = 4x10 36d2 + 81d-6

(t4n

p3a

)2

= (t4n

)2

2(t4n

)(p3a

) + (p3a

)2

= t4n

2t4np

3a

+p6a

(b3m+1 b5m-2)2 = (b3m+1)2 2(b3m+1)(b5m2) + (b5m2)2 = b2(3m+1) 2b3m+1 + 5m2 + b2(5m2) = b6m+2

2b8m1 +b10m4

Note que usamos parntesis

para distinguir mejor lo quecorrespondera a

cuadradito y lo que sera

Notemos tambin que eneste ejercicio, los

trminos involucran lamisma variable, x, por

lo que al hacer es

posible aplicar la ley depotencias:


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Veamos algunos ejemplos de operaciones que involucran a estas dos frmulas notables.

Ejemplo 1

(m3n)

2

+ (2m + 5n)

2

= m2 2m3n + (3n)2 + (2m)2 + 22m5n + (5n)2

= m2 6mn + 9n2 + 4m2 + 20mn + 25n2

= 5m2 + 14mn + 34n2

Ejemplo 2

(3p4k)2(3kp)2

(3p4k)2(3kp)2

= (3p)2 23p3k+ (4k)2[(3k)223kp +p2]

= 9p2 18pk+ 16k2[9k26kp +p2]

= 9p2 18pk+ 16k29k2 + 6kpp2]

= 82

12 k+ 7k2

Notemos que la segunda expresin, que correspondea la segunda frmula notable, est precedida por un

; por lo que su desarrollo DEBE escribirse entreparntesis.

Luego, ese se distribuye, afectando el signo de

Ejemplo 3

2(5b6x-1)25(a

3x + 4)2

= 2[2510b6x-1 + (b6x-1)2]5[(a3x)2 + 8(a3x) + 16]

= 2[2510b6x-1 + b12x-2]5[a6x + 8a3x + 16]

= 50 + 20b6x-1 2b12x-25a6x40a3x80

= 130 + 20b6x-1 2b12x-25a6x40a3x

En esta expresin, NO hay trminossemejantes, por lo que no puedesimplificarse o reducirse ms.


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Tercera frmula notable: Diferencia de cuadrados

(a + w)(aw) = a2w2

(5k ab)(ab + 5k) = (5k)2 (ab)2 = 25k2a2b2

(p3 + 4m) (p3 4m) = (p3)2 (4m)2=p616m2

[(2w4) + (12w)][(2w4)(12w)] = (2w4)2(12w)2= 2w216w + 16(14w + 4w2)= 2w216w + 161 + 4w4w2=12w + 152w2

(3x2m1) (1 + 3x2m) = (3x2m)21 = 9x4m1

Veamos algunos ejemplos de operaciones que involucran estas frmulas notables:

Observe de estos tres ejemplos, que elorden en que aparezcan los trminos en los

dos factores (en los dos parntesis) esindiferente. Lo que es realmente

importante, es la FORMA. Es decir, debe

haber un trmino que se repita (a,

5k, p3

en los ejemplos adjuntos), yotro que cambie de signo (w, ab,

4m).

La igualdad (p3)2 =p6 se justifica mediante las

propiedades estudiadas en stimo ao:

(base NEGATIVA)exponente PAR= resultado

Ejemplo 4

2(3k + 2n)2 5(n + 4k) ( n + 4k)

= 2(9k2 + 12kn + 4n2)5(16k2n2)

= 18k2 + 24kn + 8n280k2 + 5n2

=62k2 + 24kn + 13n2

Ejemplo 5

a(a3) (2a 8)2 + ( 3 6a) (6a 3)

= a2 + 3a(4a232a + 64) + (3)2(6a)2

= a2 + 3a4a2 + 32a64 + 936a2

= 41a2 + 34a55

Recuerde utilizarparntesis si la

potencia que va adesarrollar est

antecedida por unnegativo


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Ejemplo 6

(5kb)(b + 5k) (12b)( 2b

1)

= 25k2b2(4b21)

= 25k2b24b2 + 1

= 21k25b2 + 1

Ejemplo 7

(p-4m

q3a

)( p-4m

+ q3a

) 3(2p-4m

+ 5q3a

)2

= (p-4m)2(q3a)23[(2p-4m)222p-4m 5q3a + (5q3a)2]

=p-8mq6a3[4p-8m20p-4mq3a + 25q6a]

=p-8mq6a12p-8m + 60p-4mq3a75q6a

=11p-8m76q6a + 60p-4mq3a


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Cuarta frmula notable: Diferencia de cubos

(bv)(b2 + bv + v2) = b3v3

(5k 2)(4 + 10k+ 25k2) = (5k)3 (2)3 = 125k38

(3ab + 9 +a2b2) (ab 3) = (ab)3 (3)3 = a3b327

(16m6 + 25m4 + 20m5) (5m2 4m3) = (5m2)3 (4m3)3 = 125m364m9

(2w3k+1 + 4w6k+2+ 1) (2w3k+1 1) = (2w3k+1)3 (1)3 = 8w9k+31

Notemos que NO es necesario que los

trminos aparezcan en ORDEN. Lo que sdebemos garantizar es que se presentenTODOS los trminos de la frmula.

Ejemplo 8

(4k1)(16k2 + 4k + 1) 2k(13k)(3k + 1)

= (4k)3132k[12(3k)2]

= 64k312k[19k2]

= 64k312k+ 18k3

= 82k312k

Ejemplo 9

(2bp)(p2 + 4bp + 4b

2) (bp)(b2 +p2 +pb)

= 2bp2 + 8b2p + 8b3p34bp24b2p(b3p3)

=2bp2 + 4b2p + 8b3p3b3 +p3

=2bp2 + 4b2p + 7b3

Notemos que el primer producto, NOcorresponde a una frmula notable!

Por lo que debe realizarse aplicandodistributividad.

(2bp)(p2 + 4bp + 4b

2)

Debera ser 2bp

para coincidir con a la forma de lafrmula notable.


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Ejemplo 10

(a

x

y)(y

2

+ya

x

+ a

2x

) a

x

(2a

x

)

2

+ ( 3a

x

5)(3a

x

+ 5)

= (ax)3y3ax[44ax + a2x](3ax + 5)(3ax + 5)

= a3xy34ax + 4a2xa3x(9a2x + 30ax + 25)

=y34ax + 4a2x9a2x30ax25

=y334ax5a2x25

Observe que este producto NO corresponde a latercera frmula notable; ya que son los dos trminosdel primer factor los que cambian de signo.

Para que fuera diferencia de cuadrados, debera ser:

( 3ax5)( 3a

x 5 ) ( 3ax5)( 3ax + 5 )

cambi de signo

Se tiene entonces que

( 3ax5)(3a

x+ 5) = (3a

x+ 5)(3a

x+ 5)

por distributividad


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Quinta frmula notable: Suma de cubos

(x + t)(x2xt+ t2) =x3 + t3

(k2 k)(k2k3+k4) = (k2)3 (k)3 = k6 + k2+ +

(3ab + 9 +a2b2) (ab 3) = (ab)3 (3)3 = a3b3 + 27+ +

(36m8 + 25m1030m5) (5m5 6m4) = (5m5)3 (6m4)3 = 125m15216m12+ +

(4x4m - 2 + 2x3m-1+x2m) (2x2m-1 xm) = (2x2m-1)3+ (xm)3 = 8w6m-3x3m

Note que la quinta frmula notable tiene una forma similar a la anterior. nicamente difieren en dos

signos:

Al igual que en la frmula anterior,notemos que NO es necesario que los

trminos aparezcan en ORDEN. Loque s debemos garantizar es que sepresenten TODOS los trminos de la

frmula.

Cuarta frmula notable

(a b)(a2 + ab +b2) =a3

b3

(a b)(a2 + ab +b2) =a3 b

3

Quinta frmula notable

(a + b)(a2 ab +b2) =a3 + b3

(a + b)(a2 ab +b2) =a3 + b3

Ejemplo 11

(2n2

+m)(4n42n

2m + m

2) (3nm)(2n + 3)

2+ 2m( m + 4n)(m + 4n)

= (2n

)

3

+m

3

(3n

m

)[(2n

)

2

+ 12n

+ 9] + 2m

(16n

2

m

2

)= 8n3 + m3(3nm)[4n2 + 12n + 9] + 32mn22m3

= 8n3 + m3(12n3 + 36n2 + 27n4mn212mn9m) + 32mn22m3

= 8n3 + m312n336n227n + 4mn2 + 12mn + 9m + 32mn22m3

=4n3m336n227n + 36mn2 + 12mn + 9m

Recuerde que cuando una frmulanotable est precedida por un o

por alguna otra expresin, debeescribirse entre parntesis, paraluego hacer distributividad.


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Consideremos dos ejemplos ms que involucran radicales.

1) ( ) ( ) ()2) ( ) ( )( ) ( )( )Ejercicios F

1. Utilice las formas estudiadas de las frmulas notables para completar cada expresin.

a. ( m + _________ )2 = m2 + _________ + 4n2b. (_________ - _________)(_________ + _________) = 16p425q2c. (_________ - 3q3)( _________ + 6q5 + _________) = _________ - _________d. (_________ - _________)2 = 36w8p212w4p4 + _________e. (_________ - 2ab + _________)(_________ + _________) = a3 + _________f. (_________ + _________)(7p3a7 - _________)= _________ - 81w12g. (_________ - _________)2 = _________ - 18h3w7 + 9h4w14h. (2y3 - _________)(_________ + 12y5 + _________) = _________ - _________i. (10m3n2 + _________)2 = _________ + _________ + 100n4

j. (_________ + _________)(_________ - 12x5p3 + _________) = 64x9p3 + _________2. Realice las siguientes operaciones. Simplifique al mximo los resultados

a. (3x2x2)2x2(x1)(x + 1) d. y(2y1)2(y2)(y2 +2y + 4)b.

2(ab)

2

3(b + a)

2

e. (x +y)(x2

2xy +y2

)x(xy -x2

)c. (w2x2)2(w2x2)(wx)2 f. (m2n2) (m2 + n2)(2m23n2)

operaciones básicas con expresiones algebraicas

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