matemáticas giregas (i)

La matemLa matemáática griega tica griega El Edad El Edad TalTaláásicasica

(i) Tales de Mileto(i) Tales de Mileto((iiii) Pit) Pitáágoras de goras de SamosSamos((iiiiii) ) EuclidesEuclides de Alejandrde Alejandrííaa

Prof. Felipe E. RamírezFacultad de C.C. EconómicasUniversidad Autónoma de Madrid

Historia de la CienciaPUMA 2010-11

Universidad Autónoma de Madrid

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Introducción

Estando Euclides enseñando en Alejandría, Filolao de Tracia, uno de sus alumnos le preguntó:

-Maestro, ¿qué utilidad tiene estudiar geometría?Euclides, persona poco interesada en la aplicación de las teorías, llamó a un esclavo y le ordenó:

- Dale una monedas a Filolao ya que debe ganar algo necesariamente de lo que aprende.

Versión libre de la tradición sobre Euclides.

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Bibliografía

• Boyer, Carl B., Historia de la Matemática, Madrid, Alianza Universidad Textos, Alianza Editorial S.A., 1986.

• Kline, Morris, El pensamiento matemático desde la antigüedad a nuestos días, Vol. I, istoria de la Matemática, Madrid, Alianza Editorial S.A., 1992.

• González Urbaneja, Pedro M., Pitágoras. El filósofo del número, Madrid, Nivola Libros y Ediciones S.L.,2001.

• Stein, Sherman K., Mathematics. The Man-Made Universe, NewYork, Dover Publications Inc., 1999.

• VVAA, Matemáticas en el mundo moderno, Selecciones de Scientific American, Madrid, Editorial Blume, 1974.

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¿Por qué la matemática griega?

Racionalización

Abstracción

Sistematización

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La geografía de la Edad Talásica

EgiptoEgipto

MesopotamíaMesopotamíaMundo TalásicoMundo Talásico

6

Mapa de situación

Tales de Mileto

Pitágoras de Samos

Crotona. Magna Grecia

Euclides de Alejandría

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Cronología. (Boyer)

Pre-helénica Edad Talásica800 a.C. 800 d.C.2000 a.C.

Egi

pto

-Mes

opot

amia

650-500 a.C. 400-300 a.C.450-400 a.C.

Arquitas de Tarento

Hipaso de Metaponto

Demócrito de Abdera

Hipias de Ellis

Hipócrates de Chios

Zenón de Elea

Epoca heróica

AristótelesPlatón

Tales de Mileto

Pitágoras de Samos

Eudoxo de Cnido

Menecmo y Dinostrato


Apolonio de Perga

Época Helenística

Arquímedes de Siracusa

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Escala temporal

• Continuidad en el tiempo y en espacio• Son inevitables unos para los otros

Tales de Mileto(ca. 624 – 548 a.C.)

Para Tales… la cuestión no era quésabemos sino cómo lo sabemos. Aristóteles

Conócete a ti mismo.Tales

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Tales de Mileto

• Considerado el “primer” filósofo• Heredero de una fuerte tradición babilónica• ¿Creador de la geometría deductiva?• Fue el primer hombre en la historia al que se

le han atribuido descubrimientos matemáticos concretos.

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Tales de Mileto. Resultados

• El teorema de Tales• El ángulo inscrito en un semicírculo es recto• Todo círculo queda dividido en dos partes

iguales por un diámetro• Los ángulos opuestos por el vértice son

iguales• Si dos triángulos son tales que tienen dos

ángulos y un lado de uno de ellos iguales, entonces son congruentes.

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Tales de Mileto. Resultados

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Tales de Mileto. Herencia

• Perspectiva• Escala• Pantógrafo• Trigonometría• Proporcionalidad geométrica• Divisón de un segmento en partes

iguales

Pitágoras de Samos(ca. 580 – 500 a.C.)

Todo es número. Pitágoras

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Egipto-Babilonia vs Pitágoras

Egipto

Mesopotamia

•Aplicación métodos numéricos•Resolución problemas

prácticos y específicos•Poca estructura intelectual •No discusión filosófica

•Abstracción•Modelización•Elevada estructura intelectual •Profunda dimensión filosófica- mística

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Pitágoras

Pitágoras que vino después [de Tales] transformó esta ciencia en una forma de educación liberal, examinando los principios desde el comiezo y demostando los teoremas de una manera inmaterial e intelectual. Así descubrió la teoría de proporciones y la construcción de figuras cósmicas.

Proclo (410 - 485)

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Pitágoras

La geometría tiene dos grandes tesoros: uno de ellos es el Teorema de Pitágoras, el otro la división de un segmento en media y extrema razón. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo podríamos considerar como una preciosa joya.

J. Kepler.(1571-1630)

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Pitágoras. Teorema de Pitágoras

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Teorema de Pitágoras. Demostración de Perigal

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Pitágoras

• Pentagrama• Inconmensurables• Misticismo numérico• Cambio de lo numérico

babilonico) a lo geométrico (griego clásico): la sección. ¿Cómo y cuando?

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Pitágoras. Los inconmensurables

El pentagrama-pentángulo

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Pitágoras. Misticismo numérico

6 la creación (5+1)5 matrimonio, unión de los dos primeros macho y hembra (2+3)

4 justicia, el arreglo de cuentas

3 primer macho, armonía unión de la unidad (1) y la diversidad (2)

2 la opinión y el primer número hembra y par

1 generador de los números y el número de la razón

IMPARESMASCULINOS

PARESFEMENINOS

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Pitágoras. Misticismo numérico

10 TETRACTIS el número más sagrado representación del UNIVERSOIncluye la suma de todas las dimensiones geométricas1 punto genera las dimensiones2 generan la recta (dimensión 1)3 generan un plano (dimensión 2)4 generan el espacio (dimensión 3)

1 + 2 + 3 + 4 = 10Ejemplo de la ABSTRACCIÓN MATEMÁTICA

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Pitágoras. Cosmología Filolao

Fuego central

Tierra

TierraSolLunaMercurioVenusMarteJúpiterSaturno

Contra Tierra

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Pitágoras. Cosmología Filolao

TierraSolLunaMercurioVenusMarteJúpiterSaturnoFuego centralContra tierra

TOTAL 10TOTAL 10

Fuego central

Tierra

Contra Tierra

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Pitágoras. Números figurados

1, 6, 16, 28

HexagonalesSuma de 4n-3

1, 5,13, PentagonalesSuma de 3n-2

1, 4, 6, 8, 10…

OblongosSuma de pares

1, 4, 9, 16CuadradosSuma de (2n-1)

1, 3, 6, 10, 15…

TriangularesSuma de n

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Pitágoras. La música

Ejercicios musicales de Pitágoras. Xilografía de la Theorica Musicae, publicada en 1492. Imagen extraída del Diccionario de Autores.

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Pitágoras. Conclusión

¿Fantasias numéricas?

Los fenómenos de la naturaleza pueden ser comprendidos por la matemática. Idea del COSMOS.

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Pitagóricos

• Logística vs aritmética• Sistemas de numeración:

– Jónico– Ático

• Métodos de cálculo práctico

Euclides de Alejandría(ca. 325 – 265 a.C.)

Ptolomeo le preguntó una vez a Euclides si había algún camino más corto para el conocimiento de la geometria que los

Elementos, a lo que Euclides respondió que no había ningún camino real para la geometría. Proclo Diádoco

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Uno de los más antiguos y completos diagramas de los Elementos. Fragmento de un papiro hallado entre una pila en Oxyrhynchus en 1896-97 por la expedición de B. P. Grenfell y A. S. Hunt. Universidad de Pennsylvania. Acompaña la Proposicion5 del Libro Segundo.

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Euclides de Alejandría. Obras

• Óptica: la luz• Catóptrica: reflexión• Fenómenos: astronomía

geométrica• La división de figuras• Los datos …y

• Los Elementos

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Elementos de Euclides

Este manuscrito preserva una version antigua del texto. Aquí se muestra la Proposición 47 del Libro I sobre el Teorema de Pitágoras.

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Los Elementos de Euclides, escritos alrededor del año 300 a.C., obra sobre temas de Geometría, Proporciones y Teoría de los Números. Ha sido la obra de vigencia más prolongada de la Historia. Después de la Biblia es el libro del cual se han hecho mayor cantidad de impresiones.

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La axiomatización de una teoría fue estudiada por Aristóteles y perfectamente plasmada en la concepción de la Geometría de Euclides que legó en su libro Elementos.

Según esta forma clásica, una teoría axiomática sobre una realidad es aquella que se organiza alrededor de un conjunto de conceptos primitivos de verdades de las que se obtienen los restantes conceptos.

Además existen los axiomas, unas pocas verdades generales que se aceptan como verdaderas y que no requieren ser demostradas.

Todas las afirmaciones de la teoría deben estar basadas en los conceptos y los axiomas y deben deducirse de ellos.

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• 23 definiciones• 5 postulados• 5 nociones comunes (axiomas

según Aristóteles)

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Elementos de Euclides. Métodos

• Deductivo• Reducción al absurdo• Exhaución

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Definiciones. Libro I

• Definición 1. Un punto es lo que no tiene partes. • Definición 2. Un línea es una longitud sin anchura. • Definición 3. Los extremos de una línea son puntos. • Definición 4. Una línea recta es aquella que yace por

igual respecto de los puntos que están en ella. • Definición 5. Una superficie es aquello que sólo tiene

longitud y anchura. • Definición 6. Los extremos de una superficie son

líneas. • Definición 7. Una superficie plana es aquella superficie

que yace por igual respecto de las líneas que están en ella.

• Definición 10. Cuando una línea recta que está sobre otra hace que los ángulos adyacentes sean iguales, cada uno de los ángulos es recto, y la recta que estásobre la otra se llama perpendicular a la otra recta.

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Postulados. Libro I

• Postulado 1. Por dos puntos diferentes pasa una sola línea recta.

• Postulado 2. Un segmento rectilíneo puede ser siempre alargado.

• Postulado 3. Hay una sola circunferencia con un centro y un radio dados.

• Postulado 4. Todos los ángulos rectos son iguales.

• Postulado 5. Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales sea menor que dos ángulos rectos; las dos rectas, suficientemente alargadas se cortarán en el mismo lado.

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Nociones comunes. Libro I

• Noción común 1. Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.

• Noción común 2. Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales también.

• Noción común 3. Si a cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales también.

• Noción común 4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.

• Noción común 5. El todo es mayor que la parte.

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Postulado 5. Libro I

• Postulado 5. Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales sea menor que dos ángulos rectos; las dos rectas, suficientemente alargadas se cortarán en el mismo lado.

A

B

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Postulado 5. Libro I

ESFERA

Los ángulos de los triángulos suman menos de 180ºLos ángulos de los triángulos

suman más de 180º

SEUDO-ESFERA

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Proposición 1. Libro I

• Proposición 1. Construir un triángulo equilátero sobre un segmento dado.

Sea AB la recta finita dada.Así pues, se ha de dibujar sobre la recta AB un triángulo equilátero.Dibujar el círculo D con centro A y radio AB. Dibujar también el círculo E con centro B y radio BA. A partir del punto C, que es intersección de los dos círculos, dibujar las rectas CA y CB hasta los puntos A y Brespectivamente.Y dado que el punto A es el centro del círculo D, AC es igual a AB; y dado que el punto B es a su vez el centro del círculoE, BC es igual a BA. Se demuestra así que CA es igual a AB, por lo tanto, cada una de las rectas CA y CB es igual a AB. Ahora bien, las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí, por lo tanto, CA es también igual a CB y entonces CA, AB y BC son iguales entre sí.Por lo tanto, el triángulo ABC es equilátero y ha sido construido sobre la recta finita dada AB.Quod erat faciendum.

A B

CD E

La matemLa matemáática griega tica griega El Edad El Edad TalTaláásicasica

(i) Tales de Mileto(i) Tales de Mileto((iiii) Pit) Pitáágoras de goras de SamosSamos((iiiiii) ) EuclidesEuclides de Alejandrde Alejandrííaa

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matemáticas giregas (i)

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