lgebra Lineal

1

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.0 Matrices Las matrices son un conjunto de valores ordenados rectangularmente y son tiles en el clculo numrico, en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen tambin muchas aplicaciones en el campo de la fsica. Una matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la forma Se utilizan usualmente letras maysculas para denotar matrices y letras minsculas para denotar a sus elementos. La matriz anterior puede ser denota por A y sus elementos por (ai j), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (ai j ). Dada una matriz, los trminos horizontales son las filas (o renglones) de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m x n. Para la indicacin de cualquier elemento de la matriz, el primer nmero indica el rengln y el segundo la columna, por ejemplo: para el elemento a12 el nmero 1 indica el rengln 1 y el nmero 2 indica la columna 2. Una de las principales ventajas de las matrices es que la posicin de sus elementos queda determinada de manera nica por el rengln y la columna a la que pertenecen. Ejemplo:

La siguiente matriz es una matriz 2 x 3: 250

431

donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus columnas

0

1,

5

3 y

2

4

Los nmeros dentro del arreglo reciben el nombre de elementos de la matriz.

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

lgebra Lineal

2

1.1 TIPOS ESPECIALES DE MATRICES Segn el aspecto de las matrices, stas pueden clasificarse en diferentes tipos, dependiendo en algunos casos de la forma de la matriz y en otros de los valores de sus elementos, a continuacin se presentan los tipos ms comunes de matrices: 1.1.1 Matriz nula Una matriz nula es aquella que sin importar su forma o tamao, todos sus elementos valen cero. 1.1.2 Matrices cuadradas Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo nmero de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n x n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada. Ejemplo: Sean las matrices

A =

213

504

321

y B = 51

32

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente. 1.1.3 Matriz identidad Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann., es decir todos los elementos donde la posicin i = j. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales. La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posicin, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A I = I A = A. 1.1.4 Matrices triangulares Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular, si nicamente los elementos por arriba o por debajo de la diagonal principal son todos cero. As pues, se tienen dos tipos de matrices triangular, superior o inferior. Si todos los elementos bajo la diagonal principal son iguales a cero, es triangular superior, en caso contrario es triangular inferior. As pues, las matrices.

lgebra Lineal

3

10

35

200

430

271

5000

2600

7120

6381

son matrices triangulares superiores de rdenes 2, 3 y 4. Respectivamente. 1.1.5 Matrices diagonales La diagonal principal de una matriz cuadrada, esta compuesta de todos los elementos en cuya posicin es igual el nmero del rengln y el nmero de la columna. Una matriz cuadrada es diagonal, si todos sus elementos no diagonales son cero o nulos. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo,

700

010

003

30

04

1

0

6

2

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1). 1.1.6 Transpuesta de una matriz La transpuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT. As, la transpuesta de

A =

904

752

413

es AT =

974

051

423

Es decir, si A = (ai j ) es una matriz m x n, entonces AT = Tija es la matriz n x m.

La transposicin de una matriz cumple las siguientes propiedades: 1. (A + B)T = AT + BT. 2. (AT)T = A. 3. (kA)T = kAT (si k es un escalar). 4. (AB)T = BTAT.

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4

1.1.7 Matrices simtricas Se dice que una matriz real es simtrica, si AT = A; y que es antisimtrica, si AT = -A. Ejemplo: Consideremos las siguientes matrices:

A =

875

763

532

B =

054

503

430

C = 010

001

Podemos observar que los elementos simtricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo as, A es simtrica. Para B los elementos simtricos son opuestos entre s, de este modo B es antisimtrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simtrica ni antisimtrica. 1.1.8 Matrices ortogonales Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A

es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT. Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria:

A =

321

321

321

ccc

bbb

aaa

Si A es ortogonal, entonces:

AAT =

321

321

321

ccc

bbb

aaa

.

333

222

111

cba

cba

cba

=

100

010

001

= I

1.1.9 Matrices normales Una matriz es normal si conmuta con su transpuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simtrica, antisimtrica u ortogonal, es necesariamente normal.

lgebra Lineal

5

Ejemplo:

Sea A = 63

36. Entonces:

AAT = 63

36 .

63

36 =

450

045

ATA = 63

36 .

63

36 =

450

045

Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal. 1.2 OPERACIONES CON MATRICES En el lgebra matricial, se tiene definidas ciertas operaciones entre matrices, como son suma, resta y multiplicacin, la divisin no est considerada como tal., pero se realiza por medio de la multiplicacin utilizando el concepto de matriz inversa. 1.2.1 Suma y resta de matrices Para poder sumar o restar matrices, stas deben tener el mismo nmero de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 x 2 y otra de 3 x 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es as ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los trminos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Ejemplo:

Sean las matrices A =

407

350

213

y B =

210

852

421

. Entonces:

A + B =

407

350

213

+

210

852

421

=

217

5102

632

A - B =

407

350

213

210

852

421

=

617

1102

214

lgebra Lineal

6

Para sumar o restar ms de dos matrices se procede igual. Las matrices no tienen que ser necesariamente cuadradas, sino nicamente del mismo orden (tamao). Ejemplos:

Sean A = 672

421, B =

130

023 y C =

211

315.

A + B + C = 672

421 +

130

023 +

211

315 =

753

737.

A B + C = 672

421

130

023 +

211

315 =

9113

711.

1.2.2 Producto de matrices Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe ser en nmero de columnas igual al nmero de filas de la segunda. La matriz resultante del producto quedar con el mismo nmero de filas de la primera y con el mismo nmero de columnas de la segunda. Es decir, si tenemos una matriz 2 x 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 x 5, la matriz resultante ser de orden 2 x 5.

(2 x 3) x (3 x 5) = (2 x 5)

Para realizar la multiplicacin de matrices, se debe tomar en cuenta que no es lo mismo pre-multiplicar que post-multiplicar. En el ejemplo anterior, se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que si multiplicamos la segunda matriz por la primera, no podramos efectuar la operacin. 3 x 5 por 2 x 3, :........: puesto que la primera matriz no tiene el mismo nmero de columnas que filas la segunda.

COMPATIBLE

No DE FILAS Y COLUMNAS

DE LA MATRIZ RESULTANTE

Tamao de la nueva

matriz

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7

Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el nmero de columnas de A coincide con el nmero de filas de B; es decir, A es una matriz m x p y B una matriz p x n. Entonces el producto AB es la matriz m x n cuyo elemento ij se obtiene, sumando los productos de los elementos uno a uno de la fila i de A por la columna j de B. Esto es,

mpml

ipl

p

aa

aa

aa

...

.....

...

.....

... 111

.

pnpjpl

nj

bbb

bbb

......

........

........

........

...... 1111

=

mnml

ij

n

cc

c

cc

...

.....

..

.....

... 111

donde cij = aj1b1j + aj2b2j + + ajpbpj. Ejemplo:

43

21 .

20

11 =

24130413

22110211 =

113

51

Producto por un escalar

El producto de un escalar k por la matriz A, escrito kA o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:

kA =

mnmm

n

kakaka

kakaka

...

............

...

21

11211

Ejemplo:

Sea A = 254

321

Entonces:

3 A = )2(35343

33)2(313 =

61512

963

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8

1.2.3 Divisin de matrices La divisin de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A / B = A B -1, el concepto de inversa de una matriz se presentar mas adelante. 1.2.3 Divisin entre un escalar Si una matriz est dividida entre un escalar, todos los trminos de la matriz quedarn divididos entre ese escalar. Ejemplo:

Sean la matriz A = 63

168, y k = 2 un escalar. En este caso:

32/3

84

2/62/3

2/162/8

2

63

168

/ kA

1.2.4 Reglas para el lgebra matricial A continuacin se presentan algunas reglas para la operacin entre matrices y escalares. Las letras maysculas indican matrices y las minsculas escalares. 1. A + B = B + A 2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C 3. A ( B C ) = ( A B ) C 4. A ( B + C ) = A B + A C 5. ( B + C ) A = B A + C A 6. A ( B C ) = A B - A C 7. ( B C ) A = B A - C A 8. k ( B + C ) = k B + k C

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9

9. k ( B C ) = k B - k C 10. (k p ) C = k ( p C ) = p ( k C) 11. ( k p ) C = k C - p C 12. ( k + p ) C = k C + p C 13. ( k B ) C = k ( B C ) = B ( k C ) 1.3 MATRICES INVERTIBLES Se dice que una matriz cuadrada A es invertible (o tiene inversa), si existe una matriz B con la propiedad de que

AB = BA = I siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1. Ejemplo:

Supongamos A = 31

52y B =

21

53. Entonces:

AB = 31

52 .

21

53 =

6533

101056=

10

01= I

BA = 21

53 .

31

52 =

6522

151556=

10

01= I

Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.

Para que una matriz tenga inversa, debe ser forzosamente cuadrada, pero no todas las matrices cuadradas son invertibles. Existen varios mtodos para obtener la inversa de una matriz, de los cuales se presentar el de Gauss, con aplicaciones de operaciones elementales de rengln.

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10

1.3.1 Operaciones elementales de rengln Se conoce como operaciones elementales de rengln, a las operaciones que se pueden efectuar entre los renglones de una matriz, sin alterar su solucin, obteniendo, despus de efectuar alguna operacin elemental de rengln, una matriz resultante que es equivalente a la matriz original. Las operaciones validas a los renglones de una matriz con las cuales se obtiene una matriz equivalente son:

a) Multiplicacin de todos los elementos de un rengln por un escalar diferente de cero b) Adicionar n veces un rengln a otro c) Intercambio de renglones

Con las propiedades anteriores tenemos que para cualquier matriz cuadrada, se cumple que si mediante un nmero finito de operaciones elementales de rengln, es posible transformarla en la matriz identidad (unidad), entonces tiene inversa (es invertible) y si esas mismas operaciones elementales de rengln son aplicadas a una matriz identidad, esta es transformada en la inversa de la matriz original. Es decir Para asegurarnos que las mismas operaciones elementales de rengln son aplicadas a la matriz original (para transformarla en la identidad) y a la matriz identidad (para obtener la inversa), estas se debern trabajar juntas. El proceso se vuelve muy simple si se sistematiza, como solamente las matrices cuadradas pueden tener inversa, entonces se pueden definir los siguientes conceptos en trminos de matrices cuadradas: - A los elementos de la diagonal principal se les conoce como pivote y son los que permiten hacer cero, a los elementos de la misma columna pero en los diferentes renglones. - Al proceso de dividir a todos los elementos del rengln donde se encuentra el pivote, entre el valor del pivote se conoce como normalizacin (esto es el valor del pivote se hace 1). - Al proceso de hacer cero el valor de algn elemento se conoce como eliminacin. Ahora bien, para intentar llevar cualquier matriz cuadrada hacia la matriz unitaria, se deber hacer lo siguiente:

Nmero finito de operaciones

elementales de rengln

Matriz A Matriz I

Matriz I Inversa de A

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11

a) Se toma el primer elemento de la diagonal principal (pivote) b) Se normaliza el rengln c) Se eliminan los elementos de la misma columna del pivote exceptuando el mismo pivote. Esto se hace multiplicando cada elemento del rengln del pivote por el negativo del elemento a eliminar y sumando uno a uno los elementos del rengln del pivote con los elementos del rengln en donde se encuentra el elemento a eliminar. Con esta accin el elemento a eliminar se hace cero. d) Se toma el siguiente elemento de la diagonal principal, y se procede en la misma forma que los incisos b y c. En algunas ocasiones, el proceso de normalizacin se efecta al final, es decir cuando la matriz se ha convertido en una matriz diagonal. Si durante la aplicacin de estos pasos, no es posible obtener una matriz identidad, la matriz en cuestin no tiene inversa. 1.3.2 Mtodo de Gauss Este mtodo tambin es conocido como Mtodo de eliminacin de Gauss, y puede ser de eliminacin parcial o total. Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1. Construir la matriz M n x 2n. M = IA esto es, A est en la mitad izquierda de M y la

matriz identidad I en la derecha. Paso 2. Se deja tal y como est la primera fila de M, y debajo del primer trmino de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, hacemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

lgebra Lineal

12

Paso 1.

M = IA =

100

010

001

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Paso 2.

El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se toma como pivote el segundo trmino de la diagonal principal. Al llegar al ltimo trmino de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al tomar como pivote el ltimo trmino de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular. Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo est, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar. 2.0 DETERMINANTES Funciones tales como x2, sen x, Ln x, se conocen con el nombre de funciones de una variables real, porque a cada nmero real x, se le asigna como imagen un nmero real x2, sen x, Ln x. Esta funcin tiene como dominio al conjunto de matrices cuadradas y como imagen al conjunto de los nmeros reales R. La funcin determinante apareci por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtencin de stas. A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

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13

Una tabla ordenada n x n de escalares situada entre dos lneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz. 2.1 DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:

11a = a11

2221

1211

aa

aa = a11.a22 a12.a21

As, el determinante de una matriz 1 x 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| = a11. Ejemplos:

a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos lo siguiente: det (24) = 24 det (-3) = -3 det (3x+5) = 3x+5. b)

12

53 = (3)(1) (5)(2) = 3 10 = -7.

41

32 = (2)(-4) (-3)(1) = - 8 (-3) = - 8 + 3 = - 5.

2.2 DETERMINANTES DE ORDEN TRES Para encontrar el determinante de una matriz cuadrada de orden 3, se utiliza un mtodo conocido como regla de Cramer. Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue:

det (A) =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 a13 a22 a31 a12 a21 a33 a32 a23 a11

lgebra Lineal

14

Obsrvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:

(Para los tres productos positivos).

(Para los tres productos negativos).

Ejemplo: Calcular el valor del determinante:

412

520

123

= (3)(2)(4) + (2)(-5)(-2) + (0)(1)(1) (-2)(2)(1) (0)(2)(4) (1)(-5)(3) = 24 + 20 + 0

(-4) 0 (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 El determinante de la matriz 3 x 3 A = (ai j ) puede reescribirse como:

Det (A) = a11(a22a33 a23a32) a12(a21a33 a23a31) + a13(a21a32 a22a31)

= a11 3332

2322

aa

aa a12

3331

2321

aa

aa + a13

3231

2221

aa

aa

que es una combinacin lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinacin lineal puede indicarse de la forma siguiente:

a11

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

a12

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

+ a13

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

lgebra Lineal

15

Ntese que cada matriz 2 x 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente. Ejemplo: Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con:

412

520

123

= 3

412

520

123

2

412

520

123

+ 1

412

520

123

= 3 41

52 2

42

50 + 1

12

20 = 3(8+5) 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 +4 = 63

2.3 DETERMINANTE DE ORDEN MAYOR A 3 Para matrices de orden mayor a 3. La regla de Cramer, generalmente no encuentra el valor del determinante correctamente, por lo tanto es necesario utilizar un mtodo conocido como Expansin de Cofactores. 2.3.1 Definiciones Para poder describirlo es necesario definir los siguientes conceptos: Menor de ai j Si A es una matriz cuadrada de orden n x n, entonces el menor elemento ai j denotado por (Mi j ) se define como el determinante de la sub-matriz de orden (n-1) X (n-1) que se forma al suprimir el rengln i y la columna j de la matriz A. Cofactor de ai j El cofactor del elemento ai j denotado por (Ci j ) se define como el valor del menor de este elemento pero multiplicado por un signo, positivo o negativo, el cual se obtiene al elevar a la i + j el nmero (-1). De lo anterior se puede concluir que Ci j = - (Mi j ) si i + j es impar, o Ci j = (Mi j ) si i + j es par

lgebra Lineal

16

2.3.2 Expansin por cofactores El determinante de una matriz cuadrada de orden n, se puede obtener multiplicando los elementos de un rengln o columna por sus cofactores correspondientes y sumando estos productos. Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n x n (siendo n un nmero par). Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

= a11

nnn

n

aa

aa

...

.........

...

2

222

a21

nnn

n

aa

aa

...

.........

...

2

112

...... an1

.........

...

...

222

112

n

n

aa

aa

Los signos se van alternando segn la posicin que ocupen las entradas del determinante. Es decir:

...............

...

...

...

...

Cabe mencionar que cuando se utiliza este mtodo conviene seleccionar para el desarrollo, el rengln o columna que tenga mayor nmero de ceros, pues esto simplifica el clculo. Ejemplo:

Calcular el determinante de A =

2310

1024

0151

1023

Si observamos la matriz, podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros. As pues, si tomamos los elementos de la tercera columna para calcular el determinante, nos ahorraremos calcular dos determinantes, ya que el producto de un determinante por cero es cero.

det (A) = 1

210

124

123

(-3)

124

051

123

= 1(-12+0-4-16-3) + 3(15+0+2+20-2-0) = -1(-35) +

3(35) = 35 +105 = 140

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Ejercicio: clculo de determinantes ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Calcular los siguientes determinantes:

a) 53

21,

42

13

b)

000

725

231

,

104

725

231

,

705

422

013

c)

2601

2345

1210

4012

,

2421

0283

2514

2210

2.4 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Las propiedades bsicas del determinante son las siguientes: 1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir,

A = TA

2. Sea A una matriz cuadrada,

Si A posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente A = 0.

Si A es triangular, esto es, A slo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal

principal, entonces A es igual al producto de los elementos de la diagonal.

3. Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operacin elemental entre filas o columnas, Si se han intercambiado dos filas (columnas) de A, |B| = - |A|. Si se ha sumado un mltiplo de una fila (columna) a otra, entonces |B| = |A|. Si se ha multiplicado una fila (columna) de A por un escalar k, |B| = k|A|.

4. Sea A cualquier matriz n-cuadrada, son equivalentes los siguientes principios: A es invertible, es decir, A tiene inversa A-1.

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AX = 0 tiene solamente la solucin trivial. El determinante de A no es nulo: |A| 0.

5. El determinante es una funcin multiplicativa. Es decir, el determinante del producto de matrices A y B es el producto de los determinantes: |AB| = |A| |B|. 6. Supongamos que A y B son matrices similares, entonces: |A| = |B|. 2.5 OTROS TIPOS DE MATRICES Las matrices que se incluyen en esta seccin, no se definieron con anterioridad, debido a que en su definicin se involucra el concepto de determinante. 2.5.1 Matriz singular Si A es una matriz cuadrada tal que su determinante es igual a cero, entonces se dice que A es una matriz singular 2.5.2 Matriz no-singular Si A es una matriz cuadrada tal que su determinante es diferente de cero, entonces se dice que A es una matriz no-singular 2.5.3 Matriz de cofactores Sea A una matriz cuadrada de orden n, la matriz de cofactores de A, denotada por cof (A), se define como la matriz cuyos elementos son los cofactores correspondientes a los elementos de A. Para obtener la matriz de cofactores, primero hay que calcular el cofactor de cada elemento y despus en el lugar del elemento se coloca el cofactor. 2.5.4 Matriz adjunta Considerando una matriz cuadrada A. La matriz adjunta de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:

adj A =

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

...

............

...

...

21

22212

12111

lgebra Lineal

19

Ejemplo:

Sea A =

512

230

121

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

A11 = + 51

23= 17 A12 =

52

20 = 4 A13 = +

12

30 = 6

A21 = 51

12= 11 A22 = +

52

11 = 7 A23 =

12

21 = 3

A31 = + 23

12 = 1 A32 =

20

11 = 2 A33 = +

30

21 = 3

La transpuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj A =

336

274

11117

2.5.6 Aplicacin de adjunta para hallar la matriz inversa Para toda matriz cuadrada A, A(adj A) = (adj A) A = |A|I

De este modo, si |A| 0,

A-1 = adjAA

1

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro mtodo la inversa de una matriz. Ejemplo: Consideremos la matriz

lgebra Lineal

20

A =

512

230

121

, adj A =

336

274

11117

y el det A:

det A =

512

230

121

= 15 + 8 + 0 6 0 2 = 15 0.

As pues, aplicando la propiedad anterior:

A-1 = adjAA

1, obtendremos:

A-1 = 1/15

336

274

11117

Ejercicio: clculo de la matriz inversa ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices: a)

A = 42

21, B =

52

13.

b)

A =

210

052

231

.

3.0 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES La necesidad de tener mtodos eficientes para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, es ms importante an que la solucin de las ecuaciones no-lineales.

lgebra Lineal

21

Esto es debido a que en muchos casos los problemas de matemticas aplicadas se reducen a un conjunto de ecuaciones que constituyen un sistema lineal. Por este motivo puede decirse con razn, que la principal tarea del anlisis numrico es la solucin de ecuaciones lineales. Se ha desarrollado una gran cantidad de algoritmos para llevar a cabo la solucin de los sistemas lineales, lo que indica que es engaoso el aparente carcter elemental del problema, adems de que hay muchas fallas en los mtodos existentes. En la solucin de los sistemas de ecuaciones lineales, encontramos que bsicamente existen dos tipos de mtodos; exactos (directos) y de aproximaciones sucesivas (iterativos). Los mtodos exactos se basan en la realizacin de una serie de pasos los cuales llevan a

una solucin del sistema que no puede ser mejorada, la cual depende de la exactitud de las operaciones efectuadas. Aunque su nombre indica lo contrario, la solucin obtenida por los mtodos exactos, dista mucho, en algunos casos, de ser la solucin exacta del sistema.

Los mtodos iterativos se basan en determinar la solucin del sistema, por medio de

aproximaciones sucesivas hacia la solucin a partir de un valor inicial. La ventaja de estos mtodos es que se puede aproximar a la solucin del sistema tanto como se desee, dependiendo de la exactitud requerida y del nmero de iteraciones deseado. Por otra parte la desventaja de este tipo de mtodos es que el sistema debe estar bien condicionado para poder llegar a la convergencia y obtener su solucin, adicionalmente la seleccin de los valores iniciales de las incgnitas, pueden impactar en la rapidez de convergencia.

Una ecuacin algebraica lineal, es aquella donde en cada trmino de la ecuacin aparece nicamente una variable o incgnita elevada a la primera potencia, por ejemplo:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ................+ a1n xn = b1 es una ecuacin lineal en las variables x1, x2, x3, ........, xn. Se admite que los coeficientes a11, a12, a13, ....., a1n y el trmino independiente b1, de la ecuacin, son constantes reales. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultneamente para todas las incgnitas. En lo sucesivo se considerarn nicamente sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, o sea conjuntos de ecuaciones de la forma:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ................+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ................+ a2n xn = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ................+ a3n xn = b3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + ................+ ann xn = bn

lgebra Lineal

22

3.1 METODOS DIRECTOS Una de las aplicaciones principales de las matrices es la solucin de sistemas de ecuaciones lineales. Aplicando la definicin de producto entre matrices, el sistema presentado anteriormente, con n ecuaciones algebraicas lineales y con n incgnitas, puede escribirse en la forma matricial siguiente:

| a11 a12 a13 ........ a1n | | x1 | | b1 | | a21 a22 a23 ........ a2n | | x2 | | b2 | | a31 a32 a33 ........ a3n | | x3 | | b3 | | : : : :: | x | :: | = | : | | : : : :: | x | :: | = | : | | an1 an2 an3 ........ ann | | xn| | bn |

de donde este sistema puede escribirse simblicamente como:

A x = b En donde A se llama matriz del sistema, x es el vector de incgnitas y b es el vector de trminos independientes Para resolver este tipo de sistemas, se utiliza lo que se conoce como matriz ampliada del sistema, la cual se forma con la matriz A y se amplia con el vector de trminos independientes b. La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incgnitas es la siguiente:

M =

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

...

...............

...

...

21

222221

111211

Cada fila de M corresponde a una ecuacin del sistema y cada columna a los coeficientes de una incgnita, excepto la ltima, que corresponde a las constantes del sistema. A continuacin se presentan dos de los mtodos directos ms comunes en la solucin de sistemas de ecuaciones lineales 3.1.1 Mtodo de Gauss - Jordn Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada, especficamente, reducindola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.

lgebra Lineal

23

Ejemplo: Sea el sistema,

223

452

32

zyx

zyx

zyx

su matriz ampliada asociada es

2123

4152

3121

zyx

Ahora resolvemos por el mtodo de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los trminos independientes:

2123

4152

3121

zyx

4480

10310

3121

zyx

842800

10310

3121

zyx

3100

10310

3121

zyx

3100

1010

0021

zyx

3100

1010

2001

zyx

De este modo, el sistema tiene la solucin nica x = 2, y = -1, z = 3. La solucin de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el mtodo de Gauss u otros, es una de las mltiples aplicaciones que tienen las matrices.

lgebra Lineal

24

Ejercicio: solucin de sistemas de ecuaciones lineales por matrices ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hallar el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices: a) b)

12433

3322

542

tzyx

tzyx

tzyx

5475

3332

432

tzyx

tzyx

tzyx

3.1.1 Solucin por regla de Cramer En el tema de matrices y su aplicacin a los sistemas de ecuaciones lineales, se vio cmo resolverlas mediante el mtodo de eliminacin de Gauss. Con los determinantes, y aplicando la regla de Cramer, veremos otra manera de calcular los sistemas de ecuaciones lineales. Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones segn la regla de Cramer son los siguientes: 1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna est formada por las entradas de los coeficientes de la primera incgnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incgnita, y as hasta llegar a la ltima columna, que estar constituida por las entradas de los trminos independientes de las ecuaciones. 2. Calcular el determinante de A. 3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:

a) Ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los trminos i i independientes;

b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incgnita;

c) continuar sustituyendo los trminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incgnitas.

Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incgnitas:

35

123

yx

yx

Encontrar el valor de x y y mediante la regla de Cramer.

lgebra Lineal

25

Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:

351

123

byx

bA .

El segundo paso es calcular el determinante de A. As pues:

det (A) = 51

23 = 15 + 2 = 17

Y el tercero y ltimo paso consiste en calcular las incgnitas:

17

11

17

65

17

53

21

yb

x . 17

8

17

19

17

31

13

bx

y .

3.2 METODOS ITERATIVOS Para la mayora de los sistemas de ecuaciones lineales, los mtodos iterativos o de aproximaciones sucesivas, requieren de mayores clculos que los requeridos por el mtodo de Gauss Jordn, para llegar a un grado de aproximacin preestablecido, Sin embargo, cuando los elementos no nulos de la matriz se acumulan a lo largo de su diagonal principal, siendo los elementos de la misma los mayores en valor absoluto, las tcnicas iterativas pueden compararse favorablemente con los mtodos directos. Adems debido a que los mtodos iterativos usan relativamente poca parte de la memoria de una computadora, son particularmente ventajosos para resolver sistemas de gran nmero de ecuaciones. Existen una variedad muy grande de mtodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, de los cuales se presentarn solamente dos, ambos son muy similares en su planteamiento, la diferencia se encuentra bsicamente en la manera de ir sustituyendo los valores de las incgnitas encontradas.

lgebra Lineal

26

3.2.1 Mtodo de Jacobi Supngase un sistema de ecuaciones lineales como el siguiente:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ................+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ................+ a2n xn = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ................+ a3n xn = b3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + ................+ ann xn = bn

El mtodo se basa en despejar una incgnita de cada una de las ecuaciones, es decir, de la ecuacin 1 se despeja la incgnita x1, de la ecuacin 2 la incgnita x2 y as sucesivamente. Al desarrollar lo anterior, el sistema queda como se indica a continuacin:

X1 = ( b1 ( a12 x2 + a13 x3 + ...................+ a1n xn ) ) / a11 X2 = ( b2 ( a21 x1 + a23 x3 + ...................+ a2n xn ) ) / a22 X3 = ( b3 ( a31 x1 + a32 x2 + ...................+ a3n xn ) ) / a33 : : : : Xn = ( bn ( an1 x1 + an2 x2 + ............+ ann-1 xn-1 ) ) / ann

Ahora como puede verse, cada una de las incgnitas despejadas queda determinada en funcin del valor de las incgnitas restantes. Pues bien este mtodo consiste en dar valores iniciales arbitrarios a las incgnitas e ir determinando el nuevo valor de las incgnitas a partir de los valor calculados. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Sea el sistema, 4 X1 X2 + 0 X3 = 2 ..........ec. 1 - X1 + 4X2 X3 = 6 ..........ec. 2 0X1 - X2 + 4 X3 = 2 ..........ec. 3 Se despeja de cada ecuacin una incgnita, quedando el sistema como sigue: X1 = ( 2 ( -X2 + 0X3) ) / 4 ..........ec. 1 X2 = ( 6 ( -X1 X3 ) ) / 4 ..........ec. 2 X3 = ( 3 ( 0X1 X2 ) ) / 4 ..........ec. 3 Simplificando queda de la siguiente manera : X1 = 0.5 + 0.25 X2 X2 = 1.5 + 0.25 X1 + 0.25 X3 X3 = 0.5 + 0.25 X2

lgebra Lineal

27

Ahora bien, como podemos ver cada una de las incgnitas queda expresada en trminos de las otras incgnitas. El proceso consiste en dar valores arbitrarios a las incgnitas del lado derecho del sistema de ecuaciones y a partir de estos valores determinar un nuevo valor de las mismas, si reconocemos a los valores de las incgnitas en la iteracin k, y los nuevos valores como k+1, el sistema puede verse como sigue: X1(k+1) = 0.5 + 0.25 X2(k) X2(k+1) = 1.5 + 0.25 X1(k) + 0.25 X3(k) ..........sist. ec. (a) X3(k+1) = 0.5 + 0.25 X2(k) Al sistema de ecuaciones (a) se le conoce como ecuaciones de recurrencia.

Considerando el vector X(k=o) =

0

0

0

como primera aproximacin a la solucin, es decir

X1 (k=o) = 0 , X2 (k=o) = 0 , X3 (k=o) = 0 Este primer vector solucin puede tener cualquier valor, y entre mas cercano sea el valor supuesto con respecto al valor final, la convergencia es ms rpida. En general no se conocen los signos de los resultados y por esta razn se escoge el vector inicial supuesto igual a cero. Sustituyendo en el sistema de ecuaciones (a), se obtiene: X1(1) = 0.5 + 0.25 (0) = 0.5 X2(1) = 1.5 + 0.25 (0) + 0.25 (0) = 1.5 X3(1) = 0.5 + 0.25 (0) = 0.5

Obteniendo X(1) =

5.0

5.1

5.0

en la primera aproximacin

para la segunda aproximacin, se sustituyen los valores encontrados, nuevamente en el sistema (a), de la siguiente forma: X1(2) = 0.5 + 0.25 (1.5) = 0.875 X2(2) = 1.5 + 0.25 (0.5) + 0.25 (0.5) = 1.75 X3(2) = 0.5 + 0.25 (1.5) = 0.875

Obteniendo X(2) =

875.0

750.1

875.0

en la segunda aproximacin

continuando de igual forma las iteraciones, resultan

lgebra Lineal

28

938.0

940.1

938.0

)3(x

985.0

970.1

985.0

)4(x

995.0

990.1

995.0

)5(x

998.0

00.2

998.0

)6(x

0.1

0.2

0.1

)7(x

0.1

0.2

0.1

)8(x

como se puede observar en la iteracin 8 los valores de las incgnitas ya no cambian de valor respecto a los de la iteracin 7, esto indica que el sistema lleg a la convergencia en 7 iteraciones, y la solucin del sistema es: X1 = 1.0, X2 = 2.0, X3 = 1.0 Este mtodo de Jacobi, tambin es conocido como de sustituciones totales, debido a que una vez que se han determinado los valores para todas las incgnitas en una iteracin, estos son utilizados en la solucin de todas las ecuaciones. A continuacin se presentar otro mtodo el cual es muy similar en su planteamiento al de Jacobi, con la ventaja de que en algunos casos puede converger cuando el de Jacobi no lo hace. 3.2.2 Mtodo de Gauss Seidel En su planteamiento este mtodo es similar al de Jacobi, es decir se deber de despejar una incgnita de cada ecuacin y a partir de valores iniciales supuestos se itera hasta llegar a la solucin. La diferencia bsica estriba en el hecho de que al ir determinando el valor de una incgnita en cada ecuacin, este nuevo valor es utilizado inmediatamente en el clculo de la siguiente incgnita. Supngase el sistema de ecuaciones (a) del ejemplo anterior

Considerando el mismo vector X(k=o) =

0

0

0

como primera aproximacin a la solucin, es decir

X1 (k=o) = 0, X2 (k=o) = 0, X3 (k=o) = 0 Sustituyendo los valores correspondientes de las incgnitas, en el sistema de ecuaciones (a), pero nicamente para la primera ecuacin, ya que para la segunda ecuacin se sustituirn los valores iniciales excepto para el valor de X1, en el cual se sustituye el nuevo valor calculado, y para la tercera ecuacin, se toman los valores de las incgnitas ya calculados, es decir cada vez que se va determinando un nuevo valor de alguna incgnita, este es utilizado en las ecuaciones subsecuentes.

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29

X1(1) = 0.5 + 0.25 (0) = 0.5 X2(1) = 1.5 + 0.25 (0.5) + 0.25 (0) = 1.63 X3(1) = 0.5 + 0.25 (1.63) = 0.91

Obteniendo X(1) =

91.0

63.1

50.0

en la primera aproximacin

para la segunda aproximacin, se procede de igual forma X1(2) = 0.5 + 0.25 (1.63) = 0.91 X2(2) = 1.5 + 0.25 (0.91) + 0.25 (0.91) = 1.96 X3(2) = 0.5 + 0.25 (1.96) = 0.99

Obteniendo X(2) =

99.0

96.1

91.0

en la segunda aproximacin

continuando de igual forma las iteraciones, resultan

0.1

0.2

99.0

)3(x

0.1

0.2

0.1

)4(x

0.1

0.2

0.1

)4(x

Como se puede observar, con este mtodo se ha llegado a la solucin del sistema en 4 iteraciones, mientras que por medio de Jacobi, se llegaba a la solucin hasta la sptima iteracin. Para estos ejemplos, se puede observar que los valores de la solucin, se empiezan a repetir exactamente iguales, esto debido a los valores de los coeficientes del sistema de ecuaciones, pero en la prctica, es muy comn que por ejemplo el valor de alguna incgnita en cierta iteracin es 1.00009 y en la prxima sea 1.000089, y en la siguiente1.0000887, debido a esto, normalmente se fija de antemano un cierto margen de error o tolerancia numrica, y cuando la diferencia entre dos iteraciones seguidas, sea menor a esta tolerancia, el proceso se suspende. Por otra parte, puede suceder que el vector solucin, se aleje mas con cada iteracin, para asegurar que el proceso se suspende en algn momento, es necesario definir de antemano un nmero mximo de iteraciones.

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30

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31