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Sucesionesylogaritmos

1ºdeBachillerato

MatemáticasI

Contenidos

Aritmética:Sucesionesylogaritmos

ImagendeMarcoColínenFlickr.LicenciaCC

1.Sucesiones:númerosordenados

FotografíadeMichaelGaidaenPixabay.Licencia.CC0

De pequeños, a nuestros padres y familiares les hacían mucha gracia cuandoaprendíamosadecirlasvocales:a,e,i,o,u.Oacontarlosprimerosnúmeros:1,2,3,4,5...Después, cuando nos hicimos un poco mayores, no mucho más, seis o siete años,teníamosquerecitaryaprenderlastablasdemultiplicar,porejemplo,ladelsiete,queesunadelasquemástrabajocostaba:

7x1=77x2=147x3=217x4=287x5=35

...Algunos, a los que más le gustan las matemáticas, unos años más tarde,memorizábamos,porejemplo,elcuadradodelosprimerosnúmerosnaturales:

1x1=12x2=43x3=94x4=165x5=25

...Lastressecuenciasanteriores:

1,2,3,4,5...7,14,21,28,35...1,4,9,16,25...

sedenominansucesionesnuméricas.Unaprimeradefinicióndesucesiónseríaladeunconjuntoinfinitodenúmerosordenados.Este temaestádedicadoa conocermejor las sucesionesyalgunasde sus familiasmás famosas:progresionesaritméticas ygeométricas.Aunqueenunprincipiotepuedaparecerunasuntotrivial,sinimportancia,yaverásquelassucesionestienenmáshonduradeloqueaprimeravistapuedaparecer.Haysucesionesmuyfamosas,entreellasladeFibonaccipodemosdecirqueseencuentraenel"topten":

Comohaspodidoverenelvídeoanterior,lasucesióndeFibonacciestápresenteenlanaturalezaoelarte.

1.1.Conceptosbásicos

Terminábamos el apartado anterior hablando de Fibonacci, estaría bien empezar este disfrutando de un vídeo donde seexponeconbellezalamagíadelasucesiónporéldescubierta.

Unasucesiónnuméricaestodoconjuntoordenadodenúmerosreales.

Cadaunodeloselementosdelasucesiónsellamatérmino.Comopuedesver,seutilizanlossubíndicesparaconocerellugarqueocupacadatérminoenlasucesión.Sellamatérminogeneralalqueocupaellugarindeterminado .Dichotérminoseexpresacomo .En muchas ocasiones, los términos de las sucesiones se pueden determinar a partir de cierto criterio, este criterio sedenominaregladeformación.

Comohemosvistoenelapartado1.sucesionesexistenmuchasymuyfamosas,comopuedenserlasucesióndelosnúmerosprimos.

Primernúmeroprimo 1Segundonúmero

primo 2

Tercernúmeroprimo 3Cuartonúmeroprimo 5Quintonúmeroprimo 7Sextonúmeroprimo 11Séptimonúmero

primo 13

Elprimertérminode lasucesión,sesimbolizacomoa1,elsegundoa2yasísucesivamente,por loque losprimeros términosde lasucesiónsedenotaríancomoa1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=7,a6=11,a7=13...

Otra famosasucesiónes la formadapor loscuadradosde losnúmerosnaturales.Comoyahabrásadivinado, susprimeros términossona1=1,a2=4,a3=9,a4=16...Estatieneportérminogeneralan=n2.Graciasaestaexpresiónpodemosdeterminarcualquiertérminodelasucesión.Porejemplo,paracalculareltérminoquinto,tansolosustituimosnpor5yobtenemosa5=25.

Curiosidad

Importante

PreguntaVerdadero-Falso

Verdadero Falso

VerdaderoVeamoslosprimerostérminosdelasucesiónformadaporlosnúmeroscúbicosa1=1,a2=8,a3=27

Eltercertérminodelasucesióndelosnúmeroscúbicoses27

Solución

1.Opcióncorrecta(Retroalimentación)2.Incorrecto(Retroalimentación)3.Incorrecto(Retroalimentación)4.Incorrecto(Retroalimentación)

Indicaloscuatroprimerostérminosdelasucesiónan=2n+1

1,2,3,43,5,9,172,4,8,16-1,1,2,17

Tenencuentaeltérminogeneraldelasucesión.

Correcto

Tenencuentaladefinicióndeltérminogeneral.

Tenencuentaladefinicióndeltérminogeneral.

¿Te gustan los pasatiempos? En general son pequeños divertimentos lógicos que nos hacen pensar y nos evaden durante cierto tiempo de larealidad.AversierescapazdeadivinarestequeteproponemosDelosnúmerosdelasiguientesecuencianumérica,llamadosnúmerostriangulares.

Imagendeelaboraciónpropia

¿Sabríasdecircómocontinúalasecuencia,cuálessonelquintoysextonúmerotriangular?¿Yeldécimo?¿Seríascapazdedarunareglageneralparaconstruirlostodos?

Enelcasodenúmerostriangulares,tenemosque

Puedescomprobarqueeltérminogeneraldelasucesiónformadaporlosnúmerostriangulareses .Másadelanteenelapartado2veremosporqué.

Verificamosqueesciertoparaeltérminoqueocupaelsegundolugar: .Esaexpresiónes laregladeformaciónde losnúmeros triangularesquenospermitesaberelvalordecualquier término,ocupeel lugarque

ocupe.Porejemplo,eltérminoqueocupaellugar100: .Nosiempreesposibleescribireltérminogeneraldeunasucesiónconunaexpresiónalgebraica,aunqueconozcamoslareglaquesirveparahallarsustérminos.Eselcasodelassucesionesrecurrentes,enlasquecadatérminoquedadeterminadoapartirdelosanteriores.LayamencionadasucesióndeFibonacciesdeestetipo.Recuerda, ,yapartirdeltercertérminosecumpleque ,esdecircadatérminoeslasumadelosdosanteriores.

AplicandolaregladerecurrenciaanteriortenemosqueSi haces clic en el siguiente enlace, puedes acceder a los contenidos del proyecto EDAD en los que se desarrollan los conceptos anteriores,acompañadosdealgunosejemplosyejercicios.

PreguntadeElecciónMúltiple

a.Eltérminogeneraldelasucesiónformadaporlosnúmerosnaturalesesan= .

b.Enelcasodelatablademultiplicardel7a =49.

c.Eltérminogeneraldelasucesiónanterioresan= .

d.Enlasucesióndeloscuadradosa =81.

Enviar

Recuerdaslastresprimerassucesionesquevimosalprincipiodeltema:Losnúmerosnaturales:1,2,3,4,5...Latablademultiplicardel7:7,14,21,28,35...Loscuadradosdelosnúmerosnaturales:1,4,9,16,25...Completalassiguientesfrases.

Enesteenlacepuedesaccederaunarecopilacióndepasatiemposnuméricos.Lamayoríadeellossonsecuenciasnuméricas.Todossonentretenidos,peronosconformamosconqueresuelvasel1a,el3completoyel6.Terecomendamosqueescribasenunpapel lasdiferentessucesionesnuméricas,yanalicescondetenimientoquérelaciónexisteentrecadatérminoyelanterior.

1a)Lasecuenciaes0,3,8,15,24...Estudiemoslasdiferenciasentrecadatérminoyelanterior.Estasvuelvenaserotrasecuencia:3,5,7y9.Lasiguientediferenciaserá11,portanto,elsiguientetérminoserá35.3a)Lasecuenciaes60,63,57,66,54,69,51,72...Sinosfijamos,lostérminosimparesseincrementanen3unidades,entantoquelosparesdisminuyenen3.Eltérminoquenospideneselqueocupaellugaroctavo,par,portantoserá72,queseobtienedesumar3a69.3b)1,5,14,30,55,91,140...Lasdiferenciasentredosnúmerosconsecutivosgeneranlasiguientesecuencia:4,9,16,25,36,49.Estacorrespondealcuadradodelosprimerosnúmerosnaturales.Lasiguienteseríaelcuadradode8,esdecir,64.Losumamosa140yobtenemos204,queseráeltérminoquenospiden.6)2,6,30,210,2310...Enestecaso,cadatérminoseobtienedelanteriormultiplicadoporunnúmero,lasecuenciadedichosnúmeroses3,5,7...Yaquícreoquehayunfallo,porqueelsiguientees9,portantoeltérminoquintosería210·9=1890.Peroaparece2310queesiguala210·11,deahílodelfallo.

Actividadderellenarhuecos

Casodeestudio

1.2Monotoníayacotación

Enbiologíasenosenseñaquelosseresvivosnacen,crecen,etc.Enlassucesionessepuedenobservarcomportamientosparecidos.

FotografíadecocoparisienneenPixabay.Licencia.CC0 FotografíadeUnsplashenPixabay.Licencia.CC0

Una sucesión se llamamonótona creciente cuando para todo . Se dice estrictamentecrecientecuando paratodo .

Una sucesión se llamamonótona decreciente cuando para todo . Se dice estrictamentedecrecientecuando paratodo .Unasucesión sellamaalternadacuandoelsignode esdistintodelde paratodo .

Ejemplos

a.Lasucesión esmonótonaestrictamentecrecienteyaque paratodo .b.Lasucesión esmonótonadecrecienteperonoestrictamentedecreciente.c.Lasucesión esmonótonacrecienteydecrecientealmismotiempo.d.Lasucesión esalternada.

Verdadero Falso

Falso

Obviamente,elenunciadoesfalso,yaque,sitomamoslasucesión disminuyealaumentarlavariablen

Indicasiesciertalasiguienteexpresión"Alaumentarn,tambienaumentaelterminon-esimodeunasucesión"

Unasucesión sedicequeesacotadasuperiormentecuandoexisteunnúmeroMllamadocotasuperiordelasucesión,talque paratodo .Unasucesión sedicequeesacotadainferiormentecuandoexisteunnúmeromllamadocotasuperiordelasucesión,talque paratodo .Unasucesión sedicequeesacotadacuandoesacotadasuperioreinferiormentealmismotiempo.

EnlasiguienteescenadeGeogebradeLeonardoAlvarezVelasquezpuedesvisualizarlacotasuperiorylacotainferiordeunasucesión.

Actividad


Actividad

Ejemplos

a.Lasucesión esunasucesiónacotadasuperiormenteyunacota superioresM=3.Secomprueba tambiénquenoesacotadainferiormente.b.Lasucesión esunasucesiónacotadainferiormenteyunacotainferioresm=0.SinembargonoesacotadasuperiormentepuesdadounnúmeroMsiemprepodemosencontrarunnúmeronaturalntalque .c.Lasucesión esunasucesiónacotadadondepodemostomarM=1,m=0.d.Lasucesión noesacotadanisuperiorniinferiormente.

1.3.Límitesdesucesiones

Algunasveceslostérminosquecomponenunasucesiónsoncadavezmásgrandes,otrascadavezmáspequeños,yenuntercercasotiendenaestabilizarsealrededordeunvalordeterminado.Enesteapartadovamosaestudiarestainteresantecaracterísticadelassucesiones.

FotografíadeUnsplashenPixabay.Licencia.CC0

Ellímitedeunasucesiónan,esaquelnúmeroalquetiendelasucesiónalaumentarenormementelavariablen.

Silasucesióntienecomolímiteinfinito,diremosquelasucesióndiverge,mientrasquesiseacercaaunnúmeroreal,diremosqueconvergeadichonúmeroyqueesellímitedelasucesión.

Analicemos la sucesión an=n2+n. Los primeros términos de dicha sucesión son 2,6,12,20,... yapreciamosquetalcomoncrece,eltérminodelasucesiónaumenta,yaqueestamoselevandounnúmeronaturalalcuadradoysumándoledichonúmero.Alhacersen,infinitamentegrande,ellímitededichasucesiónseráinfinito.

Sinembargo,el límitedeunasucesióntambiénpuedesermuypequeño.Lasucesióntiene como primeros términos Al aumentar n, estamos divididiendo 1 entre numerosenormes, ya que estamos elevando 2 a números naturales cada vezmayores. Al dividir entonces

números,cadavezestamosmascercanosa0ydiremosquelasucesión convergeysulímitees0Debemosresaltarqueellímitenuncasealcanza,perocadavezestamosmáspróximoaél. FotografíadedamirbelavicenPixabay.Licencia.CC0

Llamamossucesióninfinitésimaonulasitienelímite0.

Algunosejemplosdesucesionesinfinitésimasonulasloshasvistomásarriba,otrosejemplosson: y .

En laescenadeGeogebradeabajosimueveseldeslizadordándolevaloresan, puedesapreciarcomolosvaloresde lasucesión

tiendena0.Ysianalizasestaotra ,observaráscomo,lasucesiónsevaacercandopocoapocoalnúmero2

Actividad

Actividad

Lasucesióncuyotérminogenerales esestrictamentecrecienteyestáacotadasuperiormentepor3.Portantoesconvergente,sulímiteesunnúmeroirracionalqueserepresentapor"e".

Estenúmeroeslabasedeloslogaritmosneperianosqueveremosenelapartado4deestetema.

Elsiguientevideotepuedeservirdeayudaalahoraderesolverlosdistintosejerciciosdelímitesdesucesionesquesepuedenplantear.

Hallarel .

Lospasosadarparalaresoluciónsonlossiguientes:

Esteresultadosepuedededucirdelsiguientehecho.

Sepuedeobservarquecuandontomavalorescadavezmásgrandes,lostérminosdelasucesiónsevanhaciendocadavezmáspequeños,aproximándosea0.

Actividad

Casopráctico

Objetivos

Terminamosconunenlaceconelquepodrásrepasaryampliarmuchosdeloscontenidostratadoseneltema:

Sucesiones

2.Progresionesaritméticas

ImagenenFlickrdeAgcstudiosbajoCC

JohannCarlFriedrichGauss,llamadoel"príncipedelasmatemáticas",fueunniñoprecoz.Tenía10añosdeedadcuandoundíaenelcolegioelmaestropidióalosalumnos,quizásparaquelodejarántranquiloduranteunbuenrato,quesumaranlos100primerosnúmerosnaturales.Trascurridounospocosminutos,Gaussseacercóalamesadelprofesorconelresultadocorrectodelasuma:5.050.¿Cómoloconsiguió?¿Sumólasciencifrasdeformarápida?¿CuálfueelrazonamientodelpequeñoGauss?Muyfácil,peroalavezingenioso.Gaussescribiódosveceslasucesión,laprimeraenelordennaturalde1a100,ylaotrade100a1.Sediócuentadequelasumadelosparesdenúmerosextremoserasiemprelamisma,101.Dichasumaaparecía100veces,esdecir100·101=10.100eraelresultadodesumardosveceslo que había pedido elmaestro, por tanto, bastaba dividir entre 2 esa cantidad. Así obtuvo el 5.050 quesorprendiótantoalmaestrocomoasuscompañeros.

1 2 3 4 ... 97 98 99 100 100 99 98 97 ... 4 3 2 1Suma 101 101 101 101 ... 101 101 101 101

No es la primera vez que aparece 5.050 en este tema, ¿recuerdas que era el número triángularcorrespondientea100?Elmotivoesbiensencillo.Enrealidad,elnúmerotriangularqueocupaellugarnoesmásquelasumadelos primerosnúmerosnaturales.Porejemplo,elqueocupaelquintolugareselresultadodesumar1+2+3+4+5=15.


Lasucesiónformadaporlosnúmerosnaturaleseselejemplomássencillodeuntipodesucesiónconnombrepropio,laprogresiónaritmética.Comopuedesver,noporsersencillasquieredecirquenosepuedenusarenmuchoscontextos.

2.1.Términogeneral

Nosololostriángulosdeterminanuntipodesucesiónnumérica,tambiénesposiblejugarconlasletrasdelabecedarioparagenerarsucesiones,porejemplo,conlaT.


¿CuántoscuadradossonnecesariosparaconstruirlaprimeraT?¿Ylasegunda?¿Ylatercera?¿YlassucesivasT?Enunprincipioparecequebastaconcontarloscuadrados:6paralaprimera,10paralasegunda,14paralatercera...Perosiqueremosconocerlaregladeformacióntendremosquefijarnosunpocomás:6paralaprimeraydespuésseañaden4cuadradosmásalassucesivasT.Vamosaescribirloutilizandolanotacióndesucesiones:

Deloanteriorpodemosdeducirque .Aestetipodesucesionesselasdenominaprogresionesaritméticas.

Sellamaprogresiónaritméticaatodasucesiónenlaquecadatérmino,exceptuandoelprimero,es lasumadelanteriormásunacantidadfijallamadadiferencia.

Esdecir ,donde esladiferenciay .

La sucesión anterior, la formadapor los cuadrados necesarios para ir construyendo las sucesivas T, es unaprogresión aritmética en la que ladiferenciavale4.

a.La sucesión formada por los números naturales es una progresiónaritméticacondiferenciaiguala .

b.Losmúltiplosde7tambiénformanunaprogresiónaritméticaenqued= .

c.La sucesión determinada por las losetas necesarias para rodear lasjardinerasformanunaprogresiónaritméticaenlaqued= .

EnviarImagendemckreynessenFlickr.LicenciaCC

Algunos de los ejemplos de sucesiones que hemos vista hasta ahora sonprogresionesaritméticas.Completalassiguientesafirmaciones.

¿Cuáldelassiguientessucesionessecorrespondenconunaprogresiónaritmética?

5,-5,5,-5,5,-5...

-5,0,5,10,15,20...

1,11,111,1111,11111...

Importante


PreguntadeSelecciónMúltiple

Solución

1.Incorrecto2.Correcto3.Incorrecto4.Correcto5.Incorrecto

50,42,34,26,18...

2,4,8,16,32...

Enunaprogresiónaritmética,sisonconocidossuprimertérminoyladiferenciaesposibleconocercómodamentecualquiertérmino,esdecir,esmuyfácildeterminarsutérminogeneral.LoanterioryalohemospodidocomprobarenelcasodeloscuadrosquehacenfaltaparairformandolassucesivasTyconlaslosetasnecesariaspararodearlasjardineras.En general, solo hace falta razonar un poco sobre los primeros términos de la progresión aritmética, como se puede ver en la siguientepresentación:

1of7

Unaprogresiónaritméticacuyoprimertérminoes ydediferencia ,tienecomotérminogeneral:

Enelcasodelaslosetas, y ,portanto .

YeneldelasT, y ,portanto .Si haces clic en la siguiente imagen, podrás acceder a las secciones del proyecto EDAD en las que se desarrollan los conceptos anteriores,acompañadosdealgunasactividades.

Actividad

ImagenenFlickrdeIokinbajoCC

LaprimerafiladelpatiodebutacasdelteatroAntonioGalademiciudad,tiene20asientos, el restode filas aumentaen2 asientos respecto a laquetienedelante.¿Cuántosasientostienelafilaqueocupaellugar15?

Lasituaciónseajustaaunaprogresiónaritméticadondeelprimertérmino, ,yladiferencia .Portanto,siqueremossabercuántasbutacashayenlafila15,bastaqueapliquemoslafórmuladeltérminogeneral:

.Porloqueelnúmerodeasientosenlafila15esde48.

Deunaprogresiónaritméticaseconocenelvalordelsegundoyelquintotérmino, y .Determinareltérminogeneraldelaprogresión.

Sabemosqueenunaprogresiónaritméticacadatérminoeslasumadelanteriormásunvalorfijollamadodiferencia, .Entre el segundo y el quinto término se ha sumado 5-2= 3 veces la diferencia. Por tanto , es decir

,despejando y .

Ahorapodemoshallarelprimertérmino, ,yaque .Portanto .Dedondeobtenemosque.

Yapodemoshallareltérminogeneraldelaprogresión

Esdecir .Otrasoluciónposiblesepuedeverenelsiguientevídeo.

Casodeestudio

Casodeestudio

2.2.Suma

RecordemosaGaussysubrillante ideaparasumar los100primerosnúmerosnaturales.¿Podremosgeneralizarlaparasumar los200primerosnúmeros?¿Olosnprimeros?Volvamostambiénalosnúmerostriángulares.¿Cuántospuntostendráelqueocupaellugarn?


Relacionemoslasdossucesionesanteriores.Porunladotenemosladelosnúmerosnaturales1,2,3,4...Porotroladelosnúmerostriangulares.Hagamosmemoria:


Podemosverqueelnúmerotriangularqueocupaellugarnesigualalasumadelosnprimerosnúmerosnaturales:1+2+3+...+n.OperandodeformasimilaracomolohizoGauss,tenemos:

1 2 3 4 ... n-3 n-2 n-1 n

n n-1 n-2 n-3 ... 4 3 2 1

Suma n+1 n+1 n+1 n+1 ... n+1 n+1 n+1 n+1

Portanto,dosveceslasumadelosnprimerosnúmerosnaturalesesigualaln·(n+1).Estoquieredecirquelasumadelosnprimerosnúmerosnaturalesesiguala:

¿Seráposiblerealizarunrazonamientosimilarparalasumadelosprimerostérminosdecualquierprogresiónaritmética?Comprobemosquesíenlasiguientepresentación:

1of14

Lasumadelos primerostérminosdeunaprogresiónaritméticadetérminogeneral esiguala

Importante

Volvamosalnúmerodeasientosquetieneelpatiodebutacasdel teatroAntonioGala,quevimosenelapartadoanterior.Recordemos que la primera fila tenía 20 asientos y que el resto de filas aumenta en 2 asientos respecto a la que tienedelante.Ahoranospreguntamos,cuántosasientoshayenelpatiodebutacassidisponede15filasentotal.

Elproblemaplanteadoseresuelvesihallamoslasumadelos15primerostérminosdeunaprogresiónaritméticadelaquesabemosque y .

Deunejercicioanteriorsabemosque .Aplicamos la fórmula anterior para la suma de los (en este caso ) primeros términos de una progresiónaritmética,ytenemosque:

Porloqueelnúmerodeasientostotalesdelpatiodebutacases510.

Enunaprogresiónaritméticade20términos,elprimeroes5yeldécimo32.Hallasudiferenciaylasumadesusprimeros20términos.

Delaprogresiónaritméticasabemosque y .Nospidenladiferencia, ,ylasumadelosprimeros20términos, .

Enprimerlugarcalculamos .Sabemosque .Sustituimosvaloresydespejamos :

Ahora, y aplicando la fórmula, hallaremos . Pero antes hay que calcular el valor de.

Portanto,lasumadelosprimeros20terminosserá:

Luegolasumaes335.

Sabiendoqueelprimertérminodeunaprogresiónaritméticaes30yelcuartoes39,hallaladiferenciadelaprogresiónylasumadesusprimeros25términos.

Lospasosaseguirsonidénticosalosdelejercicioanterior.Primerohallamosladiferencia ,paraloqueconocemos y :

,esdecir, .Portanto, .Antesdecalcularlasumadelos25primerostérminostendremosqueconocercuántovale .Operamos:

Casodeestudio

Casodeestudio

Casodeestudio

Yapodemosaplicarlafórmulaytendremosque

.

3.Progresionesgeométricas

ImagenenFlickrdejefedo61bajoCC

Existeunaleyendasobreelsupuestoinventordeljuegodelajedrez,SissaBenDahir.Ciertoreyhindúseencontrabamuytristedebidoalamuertedesuhijo.Paraaliviarsupena,Sissaleenseñóajugaralajedrez.Quedó tancontentoelmonarcaque leofrecióel regaloqueélquisiera.Sissa tan sólo lepidióque ledieraungranodetrigoporlaprimeracasilladeltablerodeajedrez,eldobleporlasegunda,eldobleporlatercerayasísucesivamentehastacompletarlas64casillas.El reyaccedióentresatisfechoysorprendidoa laextrañapetición,peroal realizar loscálculossediocuentadequeleseríaimposiblecumplirla.Elnúmerodegranosdearrozquecorrespondeacadaunadelascasillasesunasucesiónnumérica:

Elprimertérminoes1,lostérminosposterioresseobtienenmultiplicandopor2eltérminoanterior,esdecir:

Podríamosescribirloanteriordelasiguienteforma: y .Estonospermitesabercómodamenteelnúmerodegranosdelaúltimacasilla,la64:

granosdetrigo.Esdecir, granos.Yaúntendríamosquesumartodoslosgranosdelas64casillas.¿EntiendesahoracómosequedóelreycuandosediocuentadelregaloqueledebíaaSissa?Aestetipodesucesionesselesdenominaprogresionesgeométricas.

3.1.Términogeneral

Tehasparadoalgunavezapensaraquevelocidadpuedeextenderseunrumor.SupongamosqueJuanseenteradeunainformaciónqueleresultainteresanteyselacomunicaa3amigosatravésdeunaredsocialtardandounminutoenello.Posteriormenteestos3amigoslatransmitencadauno a otros tres en el siguiente minuto, y así sucesivamente. ¿Cómo evolucionaría el número de personas que tienen conocimiento de lainformaciónalolargodeltiempo?Lasecuenciaqueobtenemosseríalasiguiente:1(Juan),3,9,27,81,243...Encincominutos243personasestaríanaltantodelainformación.¿Tesorprendeesto?Alosfenómenosqueevolucionandeestaformadecimosquesiguenunaprogresióngeométrica.

FotografíadeLoboStudioHamburgenPixabay.Licencia.CC0

Se llamaprogresión geométrica a toda sucesión en la que cada término, exceptuando el primero, es el producto delanteriorporunacantidadfijallamadarazón.

Esdecir ,donde eslarazón,y .

Enlaprogresióngeométricadelosgranosdetrigolarazónes2,unnúmeromayorque1envalorabsoluto.Estoimplicaquelostérminosdelaprogresiónsevayanhaciendomuygrandeenvalorabsoluto,comohemospodidocomprobarconlosgranosquehabríaqueponerenlacasilla64.Perotambiénpodemosconsiderarprogresionesgeométricasenquelarazónesnúmeromenorque1envalorabsoluto.Observacondetenimientolasiguientepresentación.

1of9

Laprogresióngeométricaanterior ,larazón ,yeltérminogeneral .Yaveremoscómopodemoscalcularlassumasdelasdosprogresionesgeométricasanteriores.Aligualqueocurreconlasprogresionesaritméticas,existeunaleydeformaciónparalasgeométricas.

Importante

Unaprogresióngeométricacuyoprimertérminoes yderazón ,tienecomotérminogeneral:

Hallaloscincoprimerostérminosdeunaprogresióngeométricadelaquesabemosque y .

Sabemosque ,portanto: .Despejando,tenemosque .Porloquehaydosprogresionesposibles:Enelcasodeque :1,3,9,27,81.Y,para :1,-3,9,-27,81.

Pararesolverelproblemaplanteado,completalassiguientesfrases.Tenemosquebuscartresnúmerosa,byc,detalformaque3,a,b,cy determinenunaprogresióngeométrica.

Elprimertérminodelaprogresiónes3yel 48.Sabemosquea5=a1·r4,donde eslarazón.Sustituyendo:=3·r4.

Despejandonosquedaquer4= ,portantor= .

Tenemos entonces que los tres números buscados son , y , que junto con 3 y 48 formarán la progresióngeométrica.

Enviar

ImagenenFlickrdesergisblogbajoCC

Interpolatresmediosgeométricosentre3y48.Interpolartresmediosgeométricosentredosnúmerosaybquieredecirintercalar tres números c, d y e entre a y b, de tal forma que los cinconúmerosa,c,d,eybformenunaprogresióngeométrica.Esteproblemasepuedeextenderacualquiercantidaddenúmerosentredosnúmerosconocidos.Porejemplo,interpolarseismediosgeométricosentreaybquieredecirintercalarseisnúmerosentreellos,detalformaquelosochonúmeros,ordenadosdemenoramayor,formenunaprogresióngeométrica.Parasabermássobreinterpolacióngeométricapuedesiraesteenlace.

Si haces clic en este enlace, accederás una página del portal Vitutor donde está planteado el problema anterior. Siseleccionaselnúmero3queestárecuadrado,podrásverotraformaderesolverlo.

Importante

Casodeestudio


3.2.Suma

Delmismomodoqueocurríaconunaprogresiónaritmética,tambiénnospuedeinteresarenalgunasocasionessabercuántovalelasumadelostérminosdeunaprogresióngeométrica.PorejemploparasabercuántosgranosdetrigodeberíaentregarelreyaSissaodemostrarquelasumadelaspotenciasde vale1.Veamoscuálessonlasfórmulasquenospermitensumaralgunosomuchostérminosdeunaprogresióngeométrica.

1of18

Lasumadelos primerostérminosdeunaprogresióngeométricaderazón esiguala:

Silarazónes,envalorabsoluto,menorque1, lasumadelosinfinitostérminosdelaprogresióngeométrica

tomaunvalorfinitoysecalculautilizandolafórmula:

CalculaeltotaldegranosdetrigoquetuvoquedarelreyaSissa.Recuerdaquelaprogresiónformadaporlosgranosquecorrespondenalas64casillasesgeométricacon y .

Resolveremoselproblemautilizandolacalculadoracientífica.Enprimerlugarhallamoselúltimotérmino:

granosdetrigo.

Veamoslasumatotaldegranosentodoeltablerodeajedrez:granosdetrigo.¿Teparecenmuchos?

Demuestraquelasumadelosinfinitostérminosdelasucesiónformadaporlassucesivaspotenciasde es1.

Recuerdaqueesasucesiónesunaprogresióngeométricaenlaque y ,portanto .

Aplicamoslafórmuladelasumadelosinfinitostérminosdeunaprogresióngeométrica,yaquelarazónesmenorque1envalorabsoluto .Portantotenemos:

Actividad

Casodeestudio

Casodeestudio

Queeraelresultadoquenossalíaalirsumandolasáreasdelossucesivostriángulosqueibanrecubriendoelcuadradodeárea1.

Paraterminar lascuriosidades,¿teacuerdasdeSissaBenDahir,elsupuesto inventordelajedrez?Aúntenemospendientesabersielreylepudopagaronolosgranosdetrigoquelecorrespondían.

Yavimosque lasumatotaldegranosdetrigoascendíaa1,844·1019.Siconsideramosque1000granosdetrigopuedenpesarunos30gramos,entoncesungranopesaría0,03gramos.

Portanto,1,844·1019·0,03=5,433·1017gramos,quesignifican5,433·1011toneladasdetrigo,yexpresadoenmillonesdetoneladas,son5,433·105.Lasproduccionmundialdetrigoparalacosecha2012/13esde651,42millonesdetoneladas.Realizandounasimpledivisión,tenemosque543.300:651,42=834,02cosechasmundiales.Esdecir,haríanfalta834añosdeproducciónmundialdetrigoactuales,paraqueelreypagarasudeudaaSissa.Seguroqueelmonarcanosabíanadadeprogresiones.

Pre-conocimiento

4.Terremotoslogarítmicos

loslogaritmosseutilizanparamuchascuestionesdiarias,yentreellasunaquesiproducerealmentemiedocomosonlosterremotosylafamosaescaladeRichter.El11demayode2011enlalocalidadmurcianadeLorca,ocurrióunosdelospeoresterremotosquehansucedidoennuestropais.Previamente,el11demarzodelmismoaño,enJapónladesgracíasacudíaalpaisconunterremotodeescala9.AlgúnperiódicodijoqueelterremotodeJapónfuedeldobledepotenciadelterremotodeLorca.Observalosvideos,¿piensasquelapotenciadelterremotodeJapónfueeldoblequeelterremotodeLorca?

TerremotodeLorca TerremotodeJapón

Ambosterremotosfueranexperienciasterribles,perocomopuedesapreciar,losdesastresquecausaronunoyotronosepuedencatalogarcomo"deldoble".EsoesdebidoaquelaescaladeRichtereslogarítmica.¡Oh,no!,otravezladichosapalabreja.Veamosqueesellogaritmoenbase10.

Sellamalogaritmoenbase10delnúmeroxalexponentealquehayqueelevar10paraobtenerdichonúmero.

¿Aquénúmerotenemosqueelevar10paraobtener100,oloqueeslomismo ?Basicamenteesoescalcularellogaritmoenbase10deunnúmero,determinarelexponentealquedebemoselevar10paraobtenerelnúmerodado.Ejemplos:

Sellamalogaritmoenbaseadelnúmeroxalexponentebalquehayqueelevarlabaseparaobtenerdichonúmero.

cona>0yadistintode1Sinoseindicaningunabase,hacemosreferenciaalogaritmosenbase10.

Paraquepuedaspracticarelcálculodelogaritmos,teofrecemoselseguienteappletdeGeogebradePabloMiguelSancerni.

Actividad

Actividad

Solución

1.Incorrecto(Retroalimentación)2.Opcióncorrecta(Retroalimentación)3.Incorrecto(Retroalimentación)4.Incorrecto(Retroalimentación)

Solución

1.Incorrecto(Retroalimentación)2.Incorrecto(Retroalimentación)3.Opcióncorrecta(Retroalimentación)4.Incorrecto(Retroalimentación)

Calculael13425

Piensaenelexponentealquedebeselevar5paraobtener125.

¡Correcto!



Determina

278143



¡Correcto!



ImagenenINTEFdeRafaelBastanteCasadobajoCC

El terremoto de Japón tuvo una potencia 9 en la escala de Richter,mientrasqueelteremotodeLorca,enelepicentro,tuvounapotenciade5enlamismaescala.¿Cuántasvecesfueunterremotomayorqueotro?TenencuentaquelaescaladeRichteresunaescalalogarítmicadebase10.

Si el terremoto de Japón tuvo una potencia de 9, esto significa que,porloquelapotenciadelterremotoa=1000000000.

Razonandodemodoanálogo,obtenemosquesi

,entonceslapotenciadelterremotodeLorcab=100000.Siunterremototuvopotencia100000000yotro10000,elprimerofue10000vecesmáspotentequeelotro.

Sellamalogaritmoneperianooenbaseeallogaritmocuyabaseeselnúmeroe=2.718281.LorepresentamosporLoLn.

ImagenenINTEFdeJoaquínRebertéFerránbajoCC

¿Alguna vez te has planteado cómo los científicos determinan laantiguedad de un fósil? Piensa por unmomento que descubres en unaexcavaciónunoshuesosdeunagallina¿Tendrán5000añosolosenterróhace4añoselperrodelvecino?Laexpresiónquedeterminaeltiempodeunfósileslasiguiente

donde x representa el porcentaje de carbono 14 de los restos del fósilencontradorespectodeunespecimenvivo.Si en el fósil que hemos encontrado en nuestra excavación tan solo sedetecta el 10 % de carbono 14 respecto de un especimen vivo, ¿quéestimación podemos hacer de los años que han transcurrido desde que

murioelanimal?

Paradeterminarlaedaddenuestrofósil,tansolodebemossustituirlavariablexporelporcentajedecarbono14quesedetectaenelanimal.

Porlotantonuestrofósiltiene19138años.

Hallaelvalordexenlassiguientesexpresiones

a)

b)

Casodeestudio

Actividad

Casodeestudio

Casodeestudio

Aplicaremosenamboscasosladefinicióndelogaritmo.

a.Buscamos el valor que al elevarlo a , obtenemos 32, es decir . Si elevamos ambasexpresionesa ,obtenemos .

Tenencuentaquehemoselevadoa paraeliminarlapotenciadelaincógnitax.

b.Analogamente calculamos . Buscamos la x de la siguiente expresión . Elevamos ambasexpresionesa2paraeliminarlapotenciadelaincógnita ,porloquex=25.

Calculaelvalordexparalaexpresión

Buscamos el valor de x para la expresión . Elevamos ambas expresiones a para obtener

Así

Casodeestudio

5.Aprendemosamultiplicar

Como todoen lasmatemáticas, los logartimos sedescubrenpor necesidadesde la humanidad. Eneste caso la necesidadde realizar grandesoperaciones aritméticas, en concreto multiplicaciones y divisiones. Gracias a los logartimos, las enormes multiplicaciones relacionadas condistanciasespacialessepodíanconvertirensumas,utilizandounaseriedepropiedades.Lasfamosastablandelogaritmosayudanbanarealizarestastransformaciones.EnestevideoconocerasaVicenteVázquezQueipo,matemáticoespañolquesehizomuyfamosodebidoalaelaboracióndelastablasdelogaritmosdesdeel1hastael2000.

Propiedades

Estas propiedades sonmuy fáciles de recordar, tan solo debes pensar en la definición de logaritmos. Veamos la primerapropiedad ¿Cuáleselexponentealquedebemoselevaraunnúmeroparaqueel resultadosea0?Recuerda laspropiedadesdelosnúmeroexponenciales.Cualquiernúmeroelevadoa0es1,porloque .Puedesrazonarigualconelrestodelaspropiedades.

Solución

1.Incorrecto(Retroalimentación)

Calcula

-1012

Piensaenelexponentealquedebemoselevar4paraobtener4


Correcto!!!!


Actividad


2.Incorrecto(Retroalimentación)3.Opcióncorrecta(Retroalimentación)4.Incorrecto(Retroalimentación)

Solución

1.Incorrecto(Retroalimentación)2.Opcióncorrecta(Retroalimentación)3.Incorrecto(Retroalimentación)4.Incorrecto(Retroalimentación)

Determina

-5015


Correcto!!!!



Operaciones

Ellogaritmodeunproductoeslasumadeloslogaritmos

Ellogaritmodeuncocienteesladiferenciadeloslogaritmos

Ellogaritmodeunapotenciaeselexponentemultiplicadoporellogaritmodelabase

Ellogaritmodeunaraízesellogaritmodelradicandodivididoporelíndice

Elsiguientevídeoteayudaráaentendermejorlaspropiedadesanteriores.

…

Actividad

Sugerencia

Verdadero Falso

FalsoComopuedesobservarenlaspropiedadesdeloslogaritmoslog(a·b)=loga+logb,porloquelog7+log5=log(35),porloquelaafirmaciónesfalsa.

Antonioesunalumnode4.ºdeESOqueensuexamendelogaritmoshaobtenido4.5.Enunadelaspreguntas,Antoniohaindicado losiguiente log (7+5)= log7+ log5ysuprofesor loha tachado.Antonioestáconvencidoqueelejerciciosescorrectoyquesuperaráelexamen.¿PuedesindicarsielrazonamientodeAntonioescorrecto?ElrazonamientodeAntonioescorrecto.

ImagenpropiabajoCC

Sisabemosquelog2≈0.3ylog3≈0.48,calculalossiguientesvalores:

1.log202.log603.log0.34.log45

Utiliza las propiedades vistas en el anterior "Importante". Ten en cuenta siempreque conoces losvaloresdelog10ydelaspotenciasde10,log10=1,log100=2

1.log20=log(2·10)=log2+log10 0.3+1=1.32.log60=log(2·3·10)=log2+log3+log10 0.3+0.48+1=1.783.log0.3=log =log3-log10 0.48-1=-0.52

4.log45=log(9·5)=log9+log5=log9+log =log32+log10-log2=2·log3+log10-log2=0.96+1-0.3=1.66

Noolvidesquealahoradecalcularlogaritmossiempretienesquetenerencuentalabaseaplicada.Porejemplo,sitrabajasconlogaritmosenbase3(log3),sabesquelog33=1,log39=2oquelog327=3.

Sisabemosquelog2≈0.3ylog3≈0.48,calculaelvalordelog2.88.

Enprimerlugar,siempreconvertiremoselnúmérodecimalafracción,porloque

Factorizamos288obtenemosque288=2532

Así


Casodeestudio

Importante

Casodeestudio

Sabiendoqueel yel ,calcule:

Nota:Enesteejercicioseutilizaránlaspropiedadesdelasoperacionesconlogaritmos.

Ejemplooejercicioresuelto

Resumen

Sindudalomáscomplicadodeestetemadesucesionesesmemorizarlasfórmulasqueaparecen,parapoderluegoaplicarlasconseguridad.Porestemotivoteadjuntamosunmapaconceptualconlarecopilacióndetodas:


Sellamalogaritmoenbase10delnúmeroxalexponentealquehayqueelevar10paraobtenerdichonúmero.

Sellamalogaritmoenbaseadelnúmeroxalexponentebalquehayqueelevarlabaseparaobtenerdichonúmero.

cona>0yadistintode1Sinoseindicaningunabase,hacemosreferenciaalogaritmosenbase10.

Importante

Actividad

Actividad

Actividad

Sellamalogaritmoneperianooenbaseeallogaritmocuyabaseeselnúmeroe=2.718281.LorepresentamosporLoLn.

Propiedades

Estas propiedades sonmuy fáciles de recordar, tan solo debes pensar en la definición de logaritmos. Veamos la primerapropiedad ¿Cuál es el exponente al quedebemoselevar a unnúmeropara que el resultado sea0?Recuerda laspropiedadesdelosnúmeroexponenciales.Cualquiernúmeroelevadoa0es1,porloque .Puedesrazonarigualconelrestodelaspropiedades.

Operaciones

Ellogaritmodeunproductoeslasumadeloslogaritmos

Ellogaritmodeuncocienteesladiferenciadeloslogaritmos

Ellogaritmodeunapotenciaeselexponentemultiplicadoporellogaritmodelabase

Ellogaritmodeunaraízesellogaritmodelradicandodivididoporelíndice

Presentaciónlogaritmosdecristinagil2010

Actividad

Actividad

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