tareas matemáticas i

Matemáticas I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 01. Representación Verbal de una Función

M.C. Jorge Luis Figueroa Rodríguez Página 1 de 1

Realice lo que se pide en cada problema.

1. La suma de dos números no negativos es 15. Expresar el producto de uno de ellos con el cuadrado del otro como

una función de uno de los números.

2. Un rectángulo tiene dos vértices en el eje 𝑋 y dos vértices en el semicírculo cuya ecuación es 𝑦 = √25 − 𝑥2.

Determine el área de dicho rectángulo en términos de la distancia del origen a uno de los vértices del rectángulo

(medido sobre el eje 𝑋).

3. Un ranchero pretende delimitar un terreno rectangular que tenga 1000𝑚2 de superficie. El terreno será cercado y

dividido en dos partes iguales, con una cerca adicional, paralela a dos lados. Determine la cantidad de cerca utilizada

en términos de alguno de sus lados.

4. Un muro de 10 pies está a 5 pies de un edificio. Calcular la longitud de la escalera, apoyada en el muro, que vaya del

suelo hasta el edificio.

5. Sea la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 1 y el punto 𝑃(2,4). Encuentre la función de distancia entre cualquier punto de la

circunferencia y el punto 𝑃.

6. Una empresa desea construir una caja rectangular abierta, con 450 𝑐𝑚3 de volumen, de tal modo que la longitud de

su base sea el triple del ancho de su base. Exprese la superficie de la caja en función del ancho.

7. Un tanque cónico, con vértice hacia abajo, tiene 5 pies de radio y 15 pies de altura. Al tanque se bombea agua.

Exprese el volumen del agua en función de su profundidad.

8. Un alambre de longitud 𝐿 se corta a 𝑥 unidades de un extremo. Un trozo de alambre se dobla formando un

cuadrado y la otra parte se dobla para formar un círculo. Exprese la suma de las áreas en función de 𝑥.

9. Muchas medicinas se encierran en cápsulas. Suponga que se forma una cápsula pegando dos hemisferios a los

extremos de un cilindro circular recto. Si el volumen total de la cápsula debe ser de 0.007 𝑖𝑛3, encuentre la función

de área superficial en términos del radio o de la altura del cilindro.

10. Un canalón de agua de 20 pies de longitud tiene sus extremos en forma de triángulo isósceles, con lados de 4 pies de

longitud. Determine el volumen del canalón en función de la dimensión del lado superior del triángulo.

Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 02. Funciones Seccionadas

Agosto – Diciembre 2011 Página 1 de 2

Conteste lo que se pida en cada uno de los ejercicios

1. En 2002 el cobro por envío de un paquete por correo fue aumentado a 37 centavos por la primera onza o fracción y

23 centavos más por cada onza o fracción adicional. Cualquier paquete menor a 12 onzas puede ser enviado

mediante este servicio. ¿Cuál es la función que describe el cobro en términos del peso del paquete?

2. La cantidad de sólidos descargados por una planta de tratamiento a un río viene descrito por

𝑓(𝑡) =

{

130 0 ≤ 𝑡 ≤ 1−30𝑡 + 160 1 < 𝑡 ≤ 2

100 2 < 𝑡 ≤ 4−5𝑡2 + 25𝑡 + 80 4 < 𝑡 ≤ 6

1.25𝑡2 − 26.25𝑡 + 162.5 6 < 𝑡 ≤ 10

Donde 𝑓(𝑡) es medido en 𝑡𝑜𝑛/𝑑í𝑎 y 𝑡 en años con 𝑡 = 0 correspondiendo a 1989. Grafique la cantidad de sólidos

descargados con respecto al tiempo.

3. La esperanza de vida se ha visto incrementada por el aumento en la longevidad y el aumento en los nacimientos en

las décadas de los 40’s y 60’s. La esperanza de vida (en años) en la población de Estados Unidos desde 1900 hasta el

2000 se aproxima por la función

𝑓(𝑡) = {1.3𝑡 + 22.9 0 ≤ 𝑡 ≤ 3

−0.7𝑡2 + 7.2𝑡 + 11.5 3 < 𝑡 ≤ 72.6𝑡 + 9.4 7 < 𝑡 ≤ 10

Donde 𝑡 esta medida en décadas, con 𝑡 = 0 correspondiente a 1900. Grafique la esperanza de vida de la población

estadounidense.

4. El costo de una llamada telefónica diurna de larga distancia desde Toronto a Mumbai, India, es 69 centavos para el

primer minuto y 58 centavos por cada minuto adicional (o parte de un minuto). Dibuje la gráfica de 𝐶 (en dólares) de

la llamada telefónica como una función del tiempo 𝑡 (en minutos).

5. Una librería por Internet cobra $15 por envío para pedidos menores a $100, pero el envío es gratis para pedidos de

$100 o más. Encuentre el costo 𝐶 de un pedido como una función del precio total 𝑥 de los libros comprados.

6. Cierto país grava los primeros $20 000 del ingreso de una persona a razón del 15% y todo el ingreso de más de $20

000 se grava al 20%. Encuentre una función 𝑇 que especifique el impuesto total sobre un ingreso de 𝑥 pesos.

7. Cierta obra en rústica se vende en $12. Al autor se le pagan regalías del 10% en los primero 10 000 ejemplares

vendidos, 12.5% en los siguientes 5 000 ejemplares y 15% en cualquier ejemplar adicional. Encuentre una función 𝑅

que especifique las regalías totales si se venden 𝑥 ejemplares.

8. En las llamadas telefónicas interurbanas, el tiempo que dura cada paso del contador depende de la hora de la

llamada

Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 02. Funciones Seccionadas


De 8 a 14 hrs 12 segundos

De 14 a 20 hrs 18 segundos

De 20 hrs a 8 hrs del día siguiente 24 segundos

Encuentre el tiempo del contador en función de la hora en la que se realiza la llamada

9. En una tienda rebajan el 10% en compras inferiores a $50 y el 20% si son superiores a $50. ¿Cuál es la relación entre

el precio marcado 𝑥 y el que se paga 𝑦?

10. Un ciclista sale de excursión a un lugar que dista 20 km de su casa. A los 15 minutos de salida, cuando se encuentra a

6 km de su casa, hace una parada de 10 minutos. Reanuda la marcha y llega a su destino una hora después de haber

salido. ¿Cuál es la expresión analítica de la distancia de su casa en términos del tiempo de salida?

11. La función mayor entero 𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧, también llamada función piso 𝑓(𝑥) = ⌊𝑥⌋, se define como el entero más

grande que es menor o igual que un número 𝑥. Encuentre una forma alternativa de representar dicha función.

Realice la gráfica de dicha función.

12. La función techo 𝑓(𝑥) = ⌈𝑥⌉, se define como el entero más pequeño que es mayor o igual que un número 𝑥.

Encuentre una forma alternativa de representar dicha función. Realice la gráfica de dicha función.

13. La función parte entera 𝑓(𝑥) = [𝑥], se define como 𝑓(𝑥) = {⌈𝑥⌉ 𝑥 ≤ −10 −1 < 𝑥 < 1⌊𝑥⌋ 𝑥 ≥ 1

. Realice la gráfica de esta función

14. La función mantisa 𝑓(𝑥) = 𝑥 − ⟦𝑥⟧, se define como la diferencia entre cualquier número y la función mayor entero.

Realice la gráfica de esta función.

15. La función parte fraccionaria 𝑓(𝑥) = 𝑥 − [𝑥], se define como la diferencia entre cualquier número y la función parte

entera. Realice la gráfica de esta función.

16. La función signo se define como 𝑓(𝑥) = {

𝑥

|𝑥|, 𝑥 ≠ 0

0, 𝑥 = 0. Realice la gráfica de esta función.

17. Seccione la función 𝑓(𝑥) = |log(𝑥2 + 4𝑥 + 3)|

18. Seccione la función 𝑔(𝑥) = 𝑒|sin𝑥|

19. Seccione la función ℎ(𝑥) = |𝑥9 − 𝑥|

20. Seccione la función 𝑘(𝑥) = |𝑥4 − 5𝑥2 + 4|

Matemáticas I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 02. Transformación de Funciones


1. Sea 𝑓(𝑥) = √𝑥4 . Encuentre el dominio y el rango de

a. 𝑓(𝑥 − 4)

b. 𝑓(𝑥 + 6)

c. 𝑓(−𝑥 − 2)

d. 𝑓(𝑥) + 3

e. −𝑓(𝑥) + 2

f. 𝑓(2𝑥 + 3)

g. 𝑓(𝑥−1)

2

h. −𝑓(−2𝑥)

i. −2𝑓 (𝑥+1

2) − 3

j. 1.3𝑓(0.1𝑥 − 1)

2. Identifique los desplazamientos, contracciones, ensanchamientos, reflexiones, así como la función elemental y

realice la gráfica correspondiente.

a. 𝑓(𝑥) = 2(𝑥2 − 2)

b. 𝑓(𝑥) =1

2√𝑥 − 2 + 5

c. 𝑓(𝑥) = − ln(−𝑥)

d. 𝑓(𝑥) = −𝑒𝑥−4

e. 𝑓(𝑥) = 2|𝑥 + 4| − 2

f. 𝑓(𝑥) = (1

3𝑥)

2+ 3

g. 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 + 1

h. 𝑓(𝑥) = (−𝑥 − 1)3

i. 𝑓(𝑥) = √−𝑥3

+ 2

j. 𝑓(𝑥) = 3 log(𝑥 − 1)



3. Identifique la gráfica correspondiente a cada función

a. 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 2)2 + 3

b. 𝑓(𝑥) =1

2(𝑥 − 1)3 + 1

c. 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 + 2 − 1

d. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 23

− 1

e. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 + 2) − 1

f. 𝑓(𝑥) =1

2|𝑥 − 2| − 1

i. ii. iii.

iv. v. vi.

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y



4. Se muestra la gráfica de f(x). Dibuja lo que se pida en cada caso

a. 𝑓(𝑥 + 1) − 2 b. 2𝑓(2𝑥)

c. 𝑓(𝑥 + 2) − 2 d. −𝑓(𝑥) − 1

e. −𝑓(𝑥 − 2) f. 𝑓(−𝑥)

g. 1

2𝑓 (

1

2𝑥) h. 𝑓(−𝑥)

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

Matemáticas I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 04. Operaciones con funciones y Dominios


Exprese las siguientes funciones como una operación de funciones (suma, resta, multiplicación, división o composición

de funciones) y determine los dominios de las siguientes funciones.

a.

𝑓(𝑥) = √𝑥4 − 5𝑥2 + 4

b.

𝑔(𝑥) =√𝑥4 − 13

√(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)2(𝑥 + 4)(𝑥 + 5)

c.

ℎ(𝑥) = ln(√𝑥2 − 1

𝑥2 − 4𝑥 + 4)

d.

𝑘(𝑥) = √(𝑥 + 7)(𝑥 − 10)3(𝑥 + 2)2

(𝑥 − 5)8(𝑥 + 3)(𝑥 − 8)

e.

𝑓(𝑥) =𝑥2 + 3𝑥 + 5

𝑥2 + 3𝑥 − 4

f.

𝑔(𝑥) = √sin(𝑥20 + 5)3

g.

ℎ(𝑥) = √𝑥2 − 2𝑥

h.

𝑘(𝑥) = ln (𝑥 − 1

𝑥 + 2)

i.

𝑚(𝑥) =𝑒sin𝑥

4 − √𝑥2 − 9

j.

𝑣(𝑥) = tan (𝑥 −𝜋

3)

k.

𝑤(𝑥) = sec (𝜋

4− 𝑥)

Realice lo que se pide en cada pregunta

a. Sean las funciones 𝑓(𝑥) con dominio en 𝑥 ∈ [−1,10] e imagen en 𝑦 ∈ [−10,5] y la función 𝑔(𝑥) con dominio en

𝑥 ∈ [−5,6] e imagen en 𝑦 ∈ [−5,3]. Se sabe además que 𝑓(0) = 𝑓(4) = 𝑔(−3) = 𝑔(3) = 0. Encuentre el

dominio de las operaciones siguientes:

i. 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

ii. 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

iii. 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

iv. 𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)

b. Suponga que 𝑓(𝑥) tiene dominio en 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] e imagen en 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑] y la función 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥. Encuentre el

dominio de 𝑓(𝑔(𝑥))

Matemáticas I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 04. Operaciones con funciones y Dominios


c. Suponga que se tienen las siguientes gráficas

Obtenga 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) en el intervalo de [−5,5]

x

y

f(x)

g(x)

h(x)

Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Funciones Inversas. Funciones Trascendentes


Encuentre las funciones inversas de las siguientes funciones. En caso que la función no sea inyectiva, determine los intervalos de definición de cada una de las funciones inversas correspondientes.

a. 𝑦 = 𝑥|𝑥|

b. 𝑦 = √9 − 𝑥2

c. 𝑦 = sinh𝑥 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥

2

d. 𝑦 = cosh𝑥 =𝑒𝑥+𝑒−𝑥

2

e. 𝑦 = tanh 𝑥 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥

𝑒𝑥+𝑒−𝑥

f. 𝑦 = sin(𝑥2 − 𝑥 − 12)

g. 𝑦 =𝑥

√𝑥2+7

h. 𝑦 =3𝑥2

𝑥2+1

i. 𝑦 =3𝑥2

𝑥2−1

j. 𝑦 =1

√2𝜋𝑒−𝑥

2/2

Encuentre el(los) valor(es) de 𝒙 que satisfagan las siguientes ecuaciones.

a. log 𝑥 + log(𝑥 + 3) = 2 log(𝑥 + 1)

b. 22𝑥−1 = 4

c. cos(2𝑥) + 5 cos 𝑥 + 3 = 0

d. log(16−𝑥2)

log(3𝑥−4)= 2

e. 2𝑥+1 + 2𝑥 + 2𝑥−1 = 28

f. −3 sin 𝑥 + cos2 𝑥 = 3

g. √3𝑥−32𝑥−1

= √27

h. 2 log 𝑥 = 3 + log (𝑥

10)

i. log 2 + log(11 − 𝑥2) = 2 log(5 − 𝑥)

j. 4 log (𝑥

5) + log (

625

4) = 2 log 𝑥

k. 10𝑥+2 = 5

l. cos(5𝑥) − cos 𝑥 = 0

Encuentre los valores exactos de las siguientes expresiones.

a. sin (arccos (−2

3))

b. sec (arctan (2

3))

c. sin (arctan (1

2) − arccos (

4

5))

d. sin (arccos (−1

2))

e. cos (arcsin (1

2) + arccos(0))

f. csc (arccos (−1

4))

g. cot (arcsin (2

3))

h. tan (2 arcsin (−8

17))

i. cos (2 arcsin (15

17))

j. cos (1

2arcsin (

12

13))

Reescriba las siguientes expresiones trigonométricas como expresiones algebraicas de 𝒙.

a. cos(arcsin 𝑥)

b. sin(arctan𝑥)

c. sec (arcsin (𝑥

√𝑥2+4))

d. sin(2 arcsin 𝑥)

e. cos (1

2arccos𝑥)

f. tan(arccos 𝑥)

g. cot (arcsin (√𝑥2−9

𝑥))

h. cos(2 arctan 𝑥)

i. tan (1

2arccos (

1

𝑥))

j. sec(arctan 𝑥)

Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 06. Representación Verbal de Funciones Trascendentes.


Conteste lo que se pida en cada uno de los ejercicios

1. Se introducen alces, todos de la misma edad, en una bioreserva. El número de alces vivos disminuye un 10% cada

año. Encuentre una función que estime la cantidad de alces vivos después de 𝑡 años.

2. La cantidad de bacterias en cierto cultivo se triplica en un lapso de 2 horas. Si la cantidad inicial de bacterias era de

600, encuentre una función que calcule el número de bacterias después de 𝑡 horas.

3. La población del mundo en el año 2000 fue de 6.1 miles de millones y la tasa de crecimiento relativo era de 1.4%

por año. Si el crecimiento de la población continúa a este ritmo, encuentre una función que describa el número de

habitantes 𝑡 años después del año 2000.

4. La vida media del cesio 137 son 30 años. Suponga que se tiene una muestra de 10 g. Encuentre una función que

modele la masa restante después de 𝑡 años.

5. Si un fondo de ahorros paga interés a razón de 10% compuesto semestralmente. Encuentre una expresión que

determine el valor de la inversión de 𝐼0 pesos después de 𝑡 meses.

6. La fórmula para encontrar el nivel de intensidad del sonido es 𝐵 = 10 log (𝐼

𝐼0). Demuestra que el aumento de 1 dB

en el nivel de intensidad de sonido 𝐵 corresponde a un incremento del 26% de la intensidad 𝐼

7. Una ley de la física establece que la intensidad del sonido 𝐼 es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

𝑑 desde la fuente 𝐼 = 𝑘/𝑑2. Utilice el modelo 𝐵 = 10 log (𝐼

𝐼0) para mostrar que los niveles de decibeles 𝐵1 y 𝐵2 a

distancias 𝑑1 y 𝑑2 desde una fuente de sonido se relación mediante la ecuación 𝐵2 = 𝐵1 + 20 log (𝑑1

𝑑2)

8. En la región occidental de Estados Unidos, el área 𝐴 (en 𝑚𝑖2) afectada por un sismo se relaciona con la magnitud 𝑅

(en grados Richter) del fenómeno mediante la fórmula 𝑅 = 2.3 log(𝐴 + 3000) − 5.1. Exprese el área afectada en

términos de la magnitud del sismo.

9. La energía 𝐸 (en ergs) liberada durante un sismo de magnitud 𝑅 en la escala de Richter se puede calcular mediante

la fórmula log 𝐸 = 11.4 + 1.5𝑅. Encuentra la energía liberada durante el famoso terremoto de Alaska de 1964, que

tuvo una intensidad de 8.4 en la escala de Richter.

10. Un cohete de masa 𝑚1 se llena con combustible de masa inicial 𝑚2. Si se desprecian las fuerzas de fricción, la masa

total 𝑚 del cohete en el tiempo 𝑡, después de la ignición se relaciona con su velocidad de ascenso 𝑣 mediante la

ecuación 𝑣 = 𝑎 ln 𝑚 + 𝑏, donde 𝑎 y 𝑏 son constantes. En el tiempo de ignición 𝑡 = 0, 𝑣 = 0, 𝑚 = 𝑚1 + 𝑚2. Cuando

se apaga el cohete 𝑚 = 𝑚1. Con esta información, halla una fórmula, en términos de un logaritmo, para la velocidad

del cohete al momento en que se apaga.

Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 06. Representación Verbal de Funciones Trascendentes.


11. Las autoridades de cierta ciudad quieren construir un andador entre las calles A y B. En la esquina que forman las

dos calles se encuentra un edificio que ocupa un área de 9 por 16 metros. Escribe una ecuación de la longitud del

andador, como función del ángulo que hace el mismo andador con la calle A.

12. Una cámara de televisión está filmando el lanzamiento de un cohete, cuando éste despega, la cámara gira para

seguir su movimiento. Si la velocidad inicial del cohete es de 80 𝑘𝑚/𝑠 y durante 3 segundos viaja en línea recta, y la

cámara está situada a 5 km del lugar de lanzamiento. Encuentra una función que describa el ángulo de la cámara

durante los primeros 3 segundos.

13. Un anuncio espectacular de 12 metros de altura, se encuentra montado 4 metros por encima del nivel visual de un

observador. Encuentra una función que describa el ángulo subtendido por el observador como una función de la

distancia 𝑥 al espectacular.

14. Un sistema masa resorte, colocado sobre una mesa sin fricción, oscila de forma sinusoidal con periodo de 0.5

segundos. El resorte está conectado en un extremo a la masa y en el otro a un punto fijo 𝑃 sobre la mesa. Si la

mayor distancia de la masa al punto 𝑃 es de 12 cm y la menor de 8 cm, determine una expresión para la distancia de

la masa al punto 𝑃 como una función del tiempo 𝑡 medido en segundos

15. A medida que un globo de aire caliente sube, su ángulo de elevación desde un punto 𝑃 a nivel del suelo y a 110 km

del punto 𝑄 que está directamente bajo el globo. Encuentra una función que determina la altura del globo en

función del ángulo de elevación.

Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 07. Límites


Resuelva los siguientes límites algebraicos

1.

lim𝑥→1

𝑥2 − 1

2𝑥2 − 𝑥 − 1

2.

lim𝑥→∞

𝑥2 − 1

2𝑥2 − 𝑥 − 1

3.

lim𝑥→0

(1 + 𝑥)(1 + 2𝑥)(1 + 3𝑥) − 1

𝑥

4.

lim𝑥→0

(1 + 𝑥)5 − (1 + 5𝑥)

𝑥2 + 𝑥5

5.

lim𝑥→∞

(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 4)(𝑥 − 5)

(5𝑥 − 1)5

6.

lim𝑥→∞

(2𝑥 − 3)20(3𝑥 + 2)30

(2𝑥 + 1)50

7.

lim𝑥→3

𝑥2 − 5𝑥 + 6

𝑥2 − 8𝑥 + 15

8.

lim𝑥→1

𝑥3 − 3𝑥 + 2

𝑥4 − 4𝑥 + 3

9.

lim𝑥→2

𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥 + 8

𝑥4 − 8𝑥2 + 16

10.

lim𝑥→−1

𝑥3 − 2𝑥 − 1

𝑥5 − 2𝑥 − 1

11.

lim𝑥→3

√𝑥 + 13 − 2√𝑥 + 1

𝑥2 − 9

12.

lim𝑥→−2

√𝑥 − 63

+ 2

𝑥3 + 8

13.

lim𝑥→16

√𝑥4

− 2

√𝑥 − 4

14.

lim𝑥→4

√1 + 2𝑥 − 3

√𝑥 − 2

15.

lim𝑥→8

√9 + 2𝑥 − 5

√𝑥3

− 2

16.

lim𝑥→−8

√1 − 𝑥 − 3

2 + √𝑥3

17.

lim𝑥→0

√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥

√1 + 𝑥3

− √1 − 𝑥3

18.

lim𝑥→0

√1 − 2𝑥 − 𝑥2 − (1 + 𝑥)

𝑥

19.

lim𝑥→0

√8 + 3𝑥 − 𝑥23− 2

𝑥 + 𝑥2

20.

lim𝑥→0

√𝑥 + √𝑥3

+ √𝑥4

√2𝑥 + 1



Resuelva los siguientes límites trigonométricos.

1.

lim𝑥→0

sin𝑥2

𝑥

2.

lim𝜃→0

sin2 𝜃3

𝜃2

3.

lim𝑤→0

−4 cos 𝑤 + 4

8𝑤

4.

lim𝜃→0

sec 2𝜃 tan 3𝜃

5𝜃

5.

lim𝑡→0

3𝑡2

1 − cos2 𝑡2

6.

lim𝑥→0

1 − cos2 𝑥

2𝑥2

7.

lim𝜃→0

1 − cos 𝜃

𝜃2

8.

lim𝑥→0

1 − 2 cos 2𝑥

sin 3𝑥

9.

lim𝜃→0

sin 3𝜃

sin 6𝜃

10.

lim𝑥→0

1 − cos 𝑥

1 + sin 𝑥

11.

limℎ→0

sin ℎ

3ℎ2 + 2ℎ

12.

lim𝜃→0

sin 4𝜃

cos 3𝜃 − 1

13.

lim𝜃→0

tan4 𝜃

4𝜃4

14.

lim𝜃→0

𝜃 sin 𝜃

1 − cos 𝜃

15.

lim𝑘→

𝜋2

cos 𝑘

cot 𝑘

16.

lim𝑡→0

tan 𝑡

sin 𝑡

17.

lim𝑘→

7𝜋2

sec 𝑘

𝑘 −7𝜋2

18.

lim𝑘→0

√sin2 𝑘 + 2𝑘

𝑘

19.

lim𝑥→0

sin 5𝑥 − sin 3𝑥

sin 𝑥

20.

lim𝑥→0

tan 𝑥 − sin 𝑥

sin3 𝑥



Resuelva los siguientes límites exponenciales/logarítmicos

1.

lim𝑥→0

𝑎𝑥 − 𝑏𝑥

𝑥

2.

lim𝑥→0

6𝑥 − 3𝑥 − 2𝑥 + 1

𝑥2

3.

lim𝑥→0

𝑎𝑥 + 𝑎−𝑥 − 2

𝑥2

4.

lim𝑥→∞

(2𝑥 − 3

2𝑥 − 5)

3𝑥+4

5.

lim𝑥→0

(1 + 2𝑥)5𝑥

6.

lim𝑥→0

32𝑥 − 1

sin 𝑥

7.

lim𝑥→𝑒

ln 𝑥 − 1

𝑥 − 𝑒

8.

lim𝑥→0

𝑒1𝑥

𝑒1𝑥 + 1

9.

lim𝑥→0

(1 + 7𝑥

1 − 9𝑥)

1𝑥

10.

lim𝑥→∞

(𝑥2 + 3

𝑥2 + 4𝑥)

𝑥2−1𝑥

11.

lim𝑥→∞

(2𝑥 + 3

2𝑥 + 1)

3𝑥+1

12.

lim𝑥→∞

(3𝑥2 − 5

3𝑥2 + 2𝑥)

35

𝑥2

13.

lim𝑥→1

(2𝑥 + 1

𝑥 + 2)

1𝑥−1

14.

lim𝑥→∞

(2𝑥 + 1

2𝑥 + 4)

𝑥2

𝑥+1

15.

lim𝑥→0

(𝑥 + 𝑒𝑥)1𝑥

16.

lim𝑥→𝑎

ln 𝑥 − ln 𝑎

𝑥 − 𝑎; 𝑎 > 0

17.

lim𝑥→0

ln(1 + 𝑥)

𝑥

18.

lim𝑥→∞

𝑥[ln(𝑥 + 1) − ln 𝑥]

19.

limℎ→0

log(𝑥 + ℎ) + log(𝑥 − ℎ) − 2 log 𝑥

ℎ2

20.

lim𝑥→∞

(𝑥2 − 1

𝑥2 + 1)

𝑥−1𝑥+1



Esboce las siguientes funciones. En su esbozo incluya asíntotas verticales, asíntotas horizontales (en caso de no

existir calcular las asíntotas oblicuas o curvas asíntoticas), huecos, cortes con los ejes 𝑋 y 𝑌.

1.

𝑓(𝑥) =2𝑥2 + 3𝑥 + 2

𝑥 − 2

2.

𝑔(𝑥) =𝑥2 + 1

𝑥

3.

ℎ(𝑥) =𝑥2 + 4𝑥 − 21

𝑥 + 3

4.

𝑘(𝑥) =𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥 + 4

𝑥

5.

𝑛(𝑥) =𝑥2 − 1

𝑥

6.

𝑚(𝑥) =2𝑥4

3𝑥2 + 1

7.

𝑓(𝑥) =𝑥3

(𝑥 − 1)2

8.

𝑔(𝑥) = √𝑥2 + 2𝑥

9.

𝑘(𝑥) = 𝑥 − √𝑥2 − 1

10.

𝑚(𝑥) = 𝑥𝑒1/𝑥

11.

𝑛(𝑥) =𝑥4 + 2𝑥

𝑥2 + 1

12.

𝑓(𝑥) =16𝑥2 − 6𝑥 + 1

8𝑥2 − 8𝑥 + 3

13.

𝑔(𝑥) =𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 − 4

2𝑥2 + 2

14.

𝑘(𝑥) =𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 − 1

𝑥 − 1

15.

𝑛(𝑥) =𝑥 ln(𝑥 + 2) − ln(𝑥 + 2) − 1

𝑥 − 1

Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 08. Continuidad y Definición de la Derivada


Determine si las funciones son continuas en el punto indicado

1.

𝑓(𝑥) = {3𝑥 − 5 𝑥 ≠ 12 𝑥 = 1

, 𝑥 = 1

2.

𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 2𝑥 𝑥 ≤ −2𝑥3 − 6𝑥 𝑥 > −2

, 𝑥 = −2

3.

𝑓(𝑥) =

{

𝑥 − 6

𝑥 − 3𝑥 < 0

2 𝑥 = 0

√4 + 𝑥2 𝑥 > 0

, 𝑥 = 0

4.

ℎ(𝑥) =𝑥2 + 1

𝑥3 + 1, 𝑥 = −1

5.

𝑓(𝑥) = {

𝑥3 − 27

𝑥2 − 9𝑥 ≠ 3

9

2𝑥 = 3

, 𝑥 = 3, 𝑥 = −3

Determine para qué valores de 𝑥 la función es continua

1.

𝑓(𝑥) =𝑥2 + 3𝑥 + 5

𝑥2 + 3𝑥 − 4

2.

𝑔(𝑥) = √sin(𝑥20 + 5)3

3.

ℎ(𝑥) = √𝑥2 − 2𝑥

4.

𝑘(𝑥) = ln (𝑥 − 1

𝑥 + 2)

5.

𝑚(𝑥) =𝑒sin𝑥

4 − √𝑥2 − 9

Determine para qué valores de 𝐴 la siguiente función es continua para todos los valores de 𝑥.

𝑓(𝑥) = {𝐴2𝑥 − 𝐴 𝑥 ≥ 34 𝑥 < 3

Determine para qué valores de 𝐴 y 𝐵 la siguiente función es continua para todos los valores de 𝑥.

𝑓(𝑥) = {𝐴𝑥 − 𝐵 𝑥 ≤ −1

2𝑥2 + 3𝐴𝑥 + 𝐵 −1 < 𝑥 ≤ 14 𝑥 > 1

¿Para qué valores de 𝑥 la siguiente función es continua?

𝑓(𝑥) =

{

𝑥 − 1

√𝑥 − 1𝑥 > 1

5 − 3𝑥 −2 ≤ 𝑥 ≤ 16

𝑥 − 4𝑥 < −2



Mediante la definición de la derivada, demuestre las siguientes igualdades

1. 𝑑

𝑑𝑥(𝑐) = 0

2. 𝑑

𝑑𝑥(𝑥) = 0

3. 𝑑

𝑑𝑥(𝑥2) = 2𝑥

4. 𝑑

𝑑𝑥(𝑥3) = 3𝑥2

5. 𝑑

𝑑𝑥(√𝑥) =

1

2𝑥−

12

6. 𝑑

𝑑𝑥(√𝑥3) =

1

3𝑥−

23

7. 𝑑

𝑑𝑥(√𝑥4) =

1

4𝑥−

34

8. 𝑑

𝑑𝑥(1

𝑥) = −

1

𝑥2

9. 𝑑

𝑑𝑥(1

𝑥2) = −

2

𝑥3

10. 𝑑

𝑑𝑥(1

𝑥3) = −

3

𝑥4

11. 𝑑

𝑑𝑥(sin 𝑥) = cos 𝑥

12. 𝑑

𝑑𝑥(cos 𝑥) = −sin 𝑥

13. 𝑑

𝑑𝑥(tan 𝑥) = sec2 𝑥

14. 𝑑

𝑑𝑥(cot 𝑥) = −csc2 𝑥

15. 𝑑

𝑑𝑥(sec 𝑥) = sec 𝑥 tan 𝑥

16. 𝑑

𝑑𝑥(csc 𝑥) = −csc 𝑥 cot 𝑥

17. 𝑑

𝑑𝑥(𝑒𝑥) = 𝑒𝑥

18. 𝑑

𝑑𝑥(𝑎𝑥) = 𝑎𝑥 ln 𝑎

19. 𝑑

𝑑𝑥(ln 𝑥) =

1

𝑥

20. 𝑑

𝑑𝑥(log𝑎 𝑥) =

1

𝑥 ln 𝑎

21. 𝑑

𝑑𝑥(sinh 𝑥) = cosh 𝑥

22. 𝑑

𝑑𝑥(cosh 𝑥) = sinh 𝑥

23. 𝑑

𝑑𝑥(tanh𝑥) = sech2 𝑥

24. 𝑑

𝑑𝑥(coth 𝑥) = −csch2 𝑥

25. 𝑑

𝑑𝑥(sech 𝑥) = −sech 𝑥 tanh𝑥

26. 𝑑

𝑑𝑥(csch 𝑥) = −csch 𝑥 coth 𝑥



Mediante la definición de derivada demuestre las reglas de la suma/diferencia, producto, cociente y regla de la cadena.

1.

𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) =

𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥)) ±

𝑑

𝑑𝑥(𝑔(𝑥))

2. 𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥) ⋅

𝑑

𝑑𝑥(𝑔(𝑥)) + 𝑔(𝑥) ⋅

𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥))

3.

𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)) =

𝑔(𝑥) ⋅𝑑𝑑𝑥(𝑓(𝑥)) − 𝑓(𝑥) ⋅

𝑑𝑑𝑥(𝑔(𝑥))

(𝑔(𝑥))2

4. 𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑔(𝑥))) =

𝑑𝑓

𝑑𝑔⋅𝑑𝑔

𝑑𝑥

Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 09. Derivadas


Encuentre las derivadas de las siguientes funciones (las respuestas aparecen en rojo)

1.

𝑑

𝑑𝑥(

𝑥𝑝

𝑥𝑚 − 𝑎𝑚) =

𝑥𝑝−1[(𝑝 − 𝑚)𝑥𝑚 − 𝑝𝑎𝑚]

(𝑥𝑚 − 𝑎𝑚)2

2.

𝑑

𝑑𝑥(√

1 + 𝑥

1 − 𝑥) =

1

(1 − 𝑥)√1 − 𝑥2

3.

𝑑

𝑑𝑥((1 + √𝑥

3)

3) = (1 +

1

√𝑥3 )

2

4.

𝑑

𝑑𝑥(√𝑥 + √𝑥 + √𝑥) =

1

2√𝑥 + √𝑥 + √𝑥

(1 + (1

2√𝑥 + √𝑥) (1 +

1

2√𝑥))

5.

𝑑

𝑑𝑡(sin3 𝑡 cos 𝑡) = sin2 𝑡 (3 cos2 𝑡 − sin2 𝑡)

6.

𝑑

𝑑𝑥(ln (cos 𝑥)) = − tan 𝑥

7.

𝑑

𝑑𝑥(tan(ln 𝑥)) =

sec2(ln 𝑥)

𝑥

8.

𝑑

𝑑𝑥(ln(𝑥2 + 𝑥)) =

2𝑥 + 1

𝑥2 + 𝑥

9.

𝑑

𝑑𝑥(ln √

1 + 𝑥

1 − 𝑥) =

1

1 − 𝑥2

10.

𝑑

𝑑𝑥(7𝑥2+2𝑥) = 2(𝑥 + 1)7𝑥2+2𝑥 ln 7



11.

𝑑

𝑑𝑥(𝑎ln 𝑥) =

𝑎ln 𝑥 ln 𝑎

𝑥

12.

𝑑

𝑑𝑥(𝑒𝑥 ln(sin 𝑥)) = 𝑒𝑥(cot 𝑥 + ln(sin 𝑥))

13.

𝑑

𝑑𝑥(tan (

1 − 𝑒𝑥

1 + 𝑒𝑥)) = −

2𝑒𝑥

(1 + 𝑒𝑥)2sec2 (

1 − 𝑒𝑥

1 + 𝑒𝑥)

14.

𝑑

𝑑𝑥(sin √1 − 2𝑥) = −

cos √1 − 2𝑥

2√1 − 2𝑥2𝑥 ln 2

15.

𝑑

𝑑𝑥(10𝑥 tan 𝑥) = 10𝑥 tan 𝑥 ln 10 (tan 𝑥 + 𝑥 sec2 𝑥)

16.

𝑑

𝑑𝑥(9 sin16 (

𝑥2 − 6𝑥 + 9

𝑥 + 8)) = 144 (

𝑥2 + 16𝑥 − 57

(𝑥 + 8)2) sin15 (

𝑥2 − 6𝑥 + 9

𝑥 + 8) cos (

𝑥2 − 6𝑥 + 9

𝑥 + 8)

17.

𝑑

𝑑𝑥(sin3(cos(𝑒4𝑥2−5𝑥))) = −3(8𝑥 − 5)𝑒4𝑥2−5𝑥 sin2(cos(𝑒4𝑥2−5𝑥)) cos(cos(𝑒4𝑥2−5𝑥)) sin(𝑒4𝑥−5𝑥)

18.

𝑑

𝑑𝑥(sin √ln(1 − 3𝑥)) = −

3 cos √ln(1 − 3𝑥)

2(1 − 3𝑥)√ln(1 − 3𝑥)

19.

𝑑

𝑑𝑥(cos(cos(cos 3𝑥))) = −3 sin(cos(cos 3𝑥)) sin(cos 3𝑥) sin 3𝑥

20.

𝑑

𝑑𝑥(arccot(ln 𝑥)) = −

1

𝑥(1 + ln2 𝑥)



Calcule 𝑑𝑦

𝑑𝑥 para las siguientes funciones (las respuestas aparecen en rojo)

1.

6𝑥 − 2𝑦 = 0 → (𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3)

2.

𝑥2 − 𝑦2 − 7 = 0 → (𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥

𝑦)

3.

𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 + 𝑦2 = 7 → (𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑦2 + 2𝑥𝑦

𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦)

4.

sec2 𝑥 + csc2 𝑦 = 0 → (𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

sec2 𝑥 tan 𝑥

csc2 𝑦 cot 𝑦)

5.

𝑥2 sin(𝑥 + 𝑦) − 5𝑦𝑒𝑥 = 3 → (𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

2𝑥 sin(𝑥 + 𝑦) + 𝑥2 cos(𝑥 + 𝑦) − 5𝑦𝑒𝑥

𝑥2 cos(𝑥 + 𝑦) − 5𝑒𝑥)

6.

𝑥𝑦 = cot(𝑥𝑦) → (𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑦 + 𝑦 csc2(𝑥𝑦)

𝑥 + 𝑥 csc2(𝑥𝑦))

7.

2(𝑥2 + 𝑦2)2 = 25(𝑥2 − 𝑦2) → (𝑑𝑦

𝑑𝑥=

−4 𝑥3 − 4 𝑥 𝑦2 + 25 𝑥

𝑦 (4 𝑥2 + 4 𝑦2 + 25))

8.

cos(𝑥 − 𝑦) = 𝑦 sin 𝑥 → (𝑑𝑦

𝑑𝑥=

sin(𝑥 − 𝑦) + 𝑦 cos 𝑥

sin(𝑥 − 𝑦) − sin 𝑥)

9.

𝑥2/3 + 𝑦2/3 = 4 → (𝑑𝑦

𝑑𝑥= −√

𝑦

𝑥

3)

10.

𝑦2 = 5𝑥4 − 𝑥2 → (𝑑𝑦

𝑑𝑥=

10𝑥3 − 𝑥

𝑦)

Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 10. Análisis Gráfico


Determine qué gráfica representa a la primera derivada, a la segunda derivada y a la función original.

x

y

x

y

x

y

Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 11. Tasas de Cambio Relacionadas y Regla de L’Hopital


Tasas de Cambio Relacionadas Resuelva los siguientes problemas

1. Un recipiente cónico (con el vértice hacia abajo) tiene 3 metros de ancho arriba y 3,5 metros de hondo. Si el agua fluye hacia el recipiente a razón de 3 m3/min, encuentre la razón de cambio de la altura del agua cuando tal altura es de 2 metros. (1.3 m/min)

2. Un hombre se aleja de un edificio de 18 metros de altura, a una velocidad de 1.8 m/s. Una persona en la azotea del edificio observa al hombre alejarse. ¿A qué velocidad varía el ángulo de depresión de la persona en la azotea hacia el hombre, cuando éste está a 24 metros de la base de la torre? (–0.036 rad/s)

3. La altura de un triángulo disminuye a razón de 2 cm/min mientras que el área del mismo disminuye a razón de 3 cm2/min. ¿A qué ritmo cambia la base del triángulo cuando la altura es igual a 20 cm y el área es de 150 cm2? (1.2 cm/min)

4. Un globo está a 100 metros sobre el suelo y se eleva verticalmente a una razón constante de 4 m/s. Un automóvil pasa por debajo viajando por una carretera recta a razón constante de 60 m/s. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre el globo y el automóvil ½ segundo después? (20.77 m/s)

5. Considere un triángulo rectángulo de catetos a y b. Si el cateto a decrece a razón de 0.5 cm/min y el cateto b crece a razón de 2 cm/min, determine la variación del área del triángulo cuando a mide 16 cm y b mide 12 cm. (13 cm2/min)

6. Dos lados paralelos de un rectángulo se alargan a razón de 2 cm/s, mientras que los otros dos lados se acortan de tal manera que la figura permanece como rectángulo de área constante igual a 50 cm2. ¿Cuál es la variación del lado que se acorta y la del perímetro cuando la longitud del lado que aumenta es de 5 cm? (4 cm/s)

7. Se vierte arena en el suelo a razón de 0.4 m3 por segundo. La arena forma en el suelo una pila en la forma de un cono cuya altura es igual al radio de la base. ¿A qué velocidad aumenta la altura de la pila 10 segundos después de que se empezó a verter la arena? (0.0521 m/s)

8. Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados positivos y su vértice opuesto al origen está sobre la curva de ecuación y = 2x, según se muestra en la figura adjunta. En este vértice, la coordenada y aumenta a razón de una unidad por segundo. ¿Cuál es la variación del área del rectángulo cuando x = 2? (3.443 u2/s)

Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 11. Tasas de Cambio Relacionadas y Regla de L’Hopital


9. El radio r y la altura h del cilindro circular recto se relacionan con el volumen del cilindro mediante la fórmula

V = r2h.

a. ¿Cómo se relaciona dV/dt con dh/dt, si r es constante? (𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝜋𝑟2

𝑑ℎ

𝑑𝑡)

b. ¿Cómo se relaciona dV/dt con dr/dt, si h es constante? (𝑑𝑉

𝑑𝑡= 2𝜋𝑟ℎ

𝑑𝑟

𝑑𝑡)

c. ¿Cómo se relaciona dV/dt con dr/dt y dh/dt, si ni r ni h son constantes? (𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝜋𝑟2

𝑑ℎ

𝑑𝑡+ 2𝜋𝑟ℎ

𝑑𝑟

𝑑𝑡)

d. En cierto instante la altura es de 6 cm y se incrementa en 1 cm/seg, mientras el radio es de 10 cm y disminuye a razón de 1 cm/s. ¿Con qué rapidez cambia el volumen en ese instante? ¿El volumen

aumenta o disminuye en ese instante? (–20 cm3/s) 10. Cuando un plato circular de metal se calienta en un horno, su radio aumenta a razón de 0,01 cm/min. ¿Cuál es la

razón de cambio del área cuando el radio mide 50 cm? ( cm2/min) Regla de L’Hopital Calcule los siguientes límites

1.

lim𝑥→0+

sin(𝑥)

√𝑥= 0

2.

lim𝑥→0

1 − cos(𝑥)

𝑥2=1

2

3.

lim𝑥→0

𝑒𝑥 − 1

𝑥= 1

4.

lim𝑥→1

ln(𝑥)

𝑥 − 1= 1

5.

lim𝑥→0+

(1 +1

𝑥)𝑥

= 1

6.

lim𝑥→∞

(1 +1

𝑥)𝑥

= 𝑒

7.

lim𝑥→0+

ln(𝑥 + 1)

sin(𝑥)= 1

8. lim𝑥→0+

𝑥3 ln(𝑥) = 0

9.

lim𝑥→∞

𝑥 + ln(𝑥)

𝑥 ln(𝑥)= 0

10.

lim𝑥→0+

𝑥sin(𝑥) = 1

11.

lim𝑥→0

tan(𝑥)

𝑥= 1

12.

lim𝑥→0+

ln(cos(𝑥))

𝑥= 0

13.

lim𝑥→0

arctan(𝑥)

𝑥= 1

14.

lim𝑥→0+

1

𝑥 ln2(𝑥)= ∞

15. lim𝑥→0+

𝑥2𝑥 = 1

Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 12 – Análisis Gráfico y Optimización


Análisis gráfico Grafique las siguientes funciones encontrando los puntos máximos/mínimos, asíntotas horizontales y verticales, intervalos de crecimiento/decrecimientos, concavidades.

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 2. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3 3. 𝑓(𝑥) = 𝑥3(𝑥 − 2)2

4. 𝑓(𝑥) =4𝑥

𝑥2+1

5. 𝑓(𝑥) =2𝑥2−3𝑥

𝑥−2

6. 𝑓(𝑥) =(𝑥−4)2

𝑥2−4

7. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥1/3

8. 𝑓(𝑥) = 𝑥2

3 (5

2− 𝑥)

9. 𝑓(𝑥) = sin(𝑥) − √3 cos(𝑥) ; [0,2𝜋]

10. 𝑓(𝑥) = 𝑥√4 − 𝑥2

11. Considere el polinomio de tercer grado 𝑦 = 𝐴𝑥3 + 6𝑥2 − 𝐵𝑥, donde A y B son constantes desconocidas. Determine (de ser posible) los valores de A y B tal que la gráfica de y tenga un valor máximo en x = –1 y un punto de inflexión en x = 1

En las siguientes gráficas identifique los intervalos de crecimiento/decrecimiento de la función, los puntos máximos/mínimos, las concavidades y los puntos de inflexión. Se sobreponen la primera (azul) y segunda derivada (rojo) para ayudar al proceso.

x

y

x

y

Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 12 – Análisis Gráfico y Optimización


Optimización Realice los siguientes problemas

1. Una hoja de cartón de 3m por 4m se utilizará para hacer una caja cortando cuadrados iguales en cada una de las esquinas de la hoja de cartón. ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja que contenga el mayor volumen? (0.57)

2. Considere todos los triángulos formados por las líneas que pasan por el punto (8/9, 3) y los ejes X y Y. Encuentre las dimensiones del triángulo con la hipotenusa más corta. (x=26/9, y=13/3)

3. Encuentre el punto (x, y) en la gráfica 𝑦 = √𝑥 más cercana al punto (4, 0). (x=7/2, y=√7/2)

4. Usted se encuentra en la orilla de un río (cuya velocidad es despreciable) de 1 km de ancho y requiere regresar a su campamento que se encuentra en el lado opuesto del río. Usted puede nadar a 2km/h y caminar a 3km/h. primero usted debe nadar a través del río a cualquier punto del lado opuesto del río. Desde dicho punto caminará hasta el campamento, él cual se encuentra a una milla del punto que se encuentra directamente cruzando el río del punto inicial. ¿Cuál es la ruta que tomará menos tiempo? (0.71)

5. Se quiere construir una ventana en de forma rectangular coronada con un semicírculo. El perímetro de dicha ventana es de 12m, ¿cuáles son las dimensiones que resultarán en el rectángulo de mayor área posible? (2.33, 3)

6. Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de 300 m de ancho. El punto D está a 600 m. de B y en su misma orilla. Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es el 25% más caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el cable, para que el costo total sea mínimo? (x=400)

7. Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un

cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que:

a. La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima. (𝑥 =400

4+𝜋)

b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima. (x=100)

8. Existen 50 árboles de manzana en un huerto. Cada árbol produce 800 manzanas. Por cada árbol adicional

plantado en el huerto, el número de manzanas por árbol cae 10 manzanas. ¿Cuántos árboles se pueden plantar

a los ya existentes para maximizar la producción? (15)

9. Considere un rectángulo de 12 m de perímetro. Forme un cilindro envolviendo este rectángulo sobre uno de sus lados. ¿Qué dimensiones tendrá el rectángulo que maximice el volumen del cilindro? (r=4, h=2)

10. Una pantalla de cine en la pared tiene 20 m de altura y 10 m sobre el suelo. ¿A qué distancia x desde el frente de

la sala se debería posicionar un espectador para que el ángulo de visión de la pantalla de cine sea tan grande como sea posible? (17.32)

tareas matemáticas i

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