UNIVERSIDAD REGIONAL AUTÓNOMA DE LOS ANDES

“UNIANDES”

FACULTAD DE SISTEMAS MERCANTILES

CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS

SILABO DE MATEMATICAS

Autores:

Burgos Flores Adriana Lisseth

Chávez Rojas Carlos Julio

Dávila Pinargote Angel Darío

Gómez Banegas Héctor Vinicio

Totoy Guilcapi Luis Hernán

Nivel: Segundo

PERIODO OCTUBRE – MAYO 2013

1 DEFINICION, TIPOS Y PROPIEDADES

1.1 DEFINICION

Del latín mathematĭca, aunque con origen más remoto en un vocablo griego que puede traducirse como “conocimiento”, la matemática es la ciencia deductiva que se dedica al estudio de las propiedades de los entes abstractos y de sus relaciones. Esto quiere decir que las matemáticas trabajan con números, símbolos, figuras geométricas, etc.

A partir de axiomas y siguiendo razonamientos lógicos, las matemáticas analizan estructuras, magnitudes y vínculos de los entes abstractos. Esto permite, una vez detectados ciertos patrones, formular conjeturas y establecer definiciones a las que se llegan por deducción. Las matemáticas trabajan con cantidades (números) pero también con construcciones abstractas no cuantitativas. Su finalidad es práctica, ya que las abstracciones y los razonamientos lógicos pueden aplicarse en modelos que permiten desarrollar cálculos, cuentas y mediciones con correlato físico. Podría decirse que casi todas las actividades humanas tienen algún tipo de vinculación con las matemáticas. Esos vínculos pueden ser evidentes, como en el caso de la ingeniería, o resultar menos notorios, como en la medicina o la música. Es posible dividir las matemáticas en distintas áreas o campos de estudio. En este sentido puede hablarse de la aritmética (el estudio de los números), el álgebra (el estudio de las estructuras), la geometría (el estudio de los segmentos y las figuras) y la estadística (el análisis de datos recolectados), entre otras. Cabe destacarse que, en la vida cotidiana, solemos recurrir a las matemáticas de manera casi inconsciente. Cuando vamos a una verdulería y compramos un kilo de tomates, el vendedor nos dice el precio y nosotros realizamos inmediatamente un cálculo básico para saber con qué billete pagar y cuánto vuelto tenemos que recibir. 1.2 TIPOS Y PROPIEDADES

Las propiedades matemáticas se pueden clasificar en distintos grupos de acuerdo con diversos criterios. Según los objetos que puedan cumplirlas se pueden distinguir, entre las más básicas y generales, las propiedades de las relaciones binarias sobre los conjuntos, las propiedades de las operaciones, las de las funciones o aplicaciones y las propiedades de los conjuntos.

Propiedad conmutativa: Si se altera el orden de los sumandos, no cambia el resultado, de esta forma, a+b=b+a. Piensa que conmutar es cambiar, o sea que si cambiamos el orden de los sumandos, no se cambia el resultado. 7+5=5+7 Esta definición es de la segunda página: Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. Por ejemplo 4+2 = 2+4

Propiedad asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c Piensa que asociar es unir, o sea, que si en una suma de tres, unimos los número por un lado dos y por otro uno, da igual que unamos 1º y 2º y le sumamos el 3º que si unimos 2º y 3º y le sumamos el 1º. (7+5)+4=7+(5+4) 12+4=7+9 Esta definición es de la segunda página: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos. Por ejemplo (2+3) + 4= 2 + (3+4)

Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3 Piensa que distributiva viene de distribuir, con lo cual es como repartir. 4*9=24+12, que sería el resultado de hacer los paréntesis en la primera parte y de hacer las multiplicaciones y sumarlas en la segunda. Esta definición es de la segunda página: La suma de dos números multiplicada por un tércer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3

Propiedad Conmutativa: Cuando se multiplican dos números, el producto es el mismo sin importar el orden de multiplicandos (el orden de los factores no altera el producto). Ejemplo: a x b = b x a

Propiedad Asociativa: No importa cómo agrupes los elementos de un conjunto cuando sumas o multiplicas, el resultado siempre será el mismo. Ejemplo: (a x b x c + d + e) = (b + c x d x e + a) Propiedad Distributiva: La suma de dos números por un tercero es igual a la suma de cada sumando por el tercer número. Ejemplo: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) Propiedad del Elemento Neutro: El producto de cualquier número multiplicado por 1 es ese mismo número. Ejemplo: a x 1 = a b x 1 = b c x 1 = c

2 VALOR NUMÉRICO Y ALGEBRA DE FUNCIONES

2.1 Valor numérico

2.1.1 Valor numérico de una expresión algebraica

El valor númerico de una expresión algebraica , para un determinado

valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico

dado y realizar las operaciones indicadas.

L(r) = 2 r

r = 5 cm. L (5)= 2 · · 5 = 10 cm

S(l) = l2

l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2

V(a) = a3

a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3

2.1.2 Valor numérico de un polinomio

El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al

sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x3 + 5x - 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Q(x) = x4 − 2x3 + x2 + x − 1 ; x = 1

Q(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0

R(x) = x10 − 1024 : x = −2

R(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0

2.2 Algebra de funciones

Algebra de funciones

Si dos funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x).

Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g

son las funciones definidas por:

Cada función está en la intersección de los dominios de f y g, excepto que los valores de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente.

3 GRAFICA DE UNA FUNCIÓN (DOMINIO-IMAGEN)

En matemáticas, la gráfica de una función:

Es la representación gráfica de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen. Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y.

Las únicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el

valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva.

En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la función para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes.

El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios y codominios diferentes.

4 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica

es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja

de papel.

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo

si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el l ímite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el l ímite de la

función en el punto.

5 FUNCIONES POR TRAMOS

Funciones por tramos se denomina a un tipo de funciones que, tal como su nombre

lo indica, están divididas en dos o más tramos, cada uno de los cuales obedece a

lógicas de comportamiento diferentes. Graficar las funciones por tramos no es una

tarea fácil, ya que hay que tener en cuenta varios factores, en primer lugar, en qué

intervalo está definido cada tramo. Aquí encontrarás toda la información relativa a las

funciones por tramos.

6 TEOREMAS SOBRE LÍMITES

Teorema de límite1: Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces

Teorema de límite2: Para cualquier número dado a,

Teorema de límite3: Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema de límite4:

Teorema de límite5:

Teorema de límite6: Si f es un polinomio y a es un número real, entonces

Teorema de límite7: Si q es una función racional y a pertenecer al dominio de q, entonces

Teorema de límite8:

7 LIMITES INFINITOS (REGLAS DE SOLUCIÓN)

Límite infinito

Una función f (x) t iene por l ími te +∞ cuando x a, s i f i jado un número

real posi t ivo K>0 se ver i f ica que f (x)>k para todos los valores

próximos a a.

Caso 1:

limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x)

> A.

El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A

(tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x

dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.

En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un

entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede

hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a.

Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.

Caso 2:

limx->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x)

< -A.

Caso 3:

limx->+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) > A.

Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un

número positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es

decir que f(x) puede ser mayor que cualquier número, si x es lo suficientemente

grande.

Caso 4:

limx->+inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) < -A.

Caso 5:

limx->-inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) > A.

Caso 6:

limx->-inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) < -A.

Caso 7:

limx->+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) pertenece al Eb,ε.

Caso 8:

limx->-inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) pertenece al Eb,ε.

8 LIMITES LATERALES

Límite de f(x) en el punto a por la derecha :

limx->a+f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a

(a, a + δ) |f(x) - b| < ε.

Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :

limx->a-f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a -

δ,a) |f(x) - b| < ε.

Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al

entorno (a,a + δ).

x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al

entorno (a - δ,a).

A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a,

pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda

puede ser distinto del límite por la derecha.

Ejemplo

f(x) = x2 si x <= 2

-2x + 1 si x > 2

limx->2-f(x)=4

limx->2+f(x)=-3

No existe limx->2f(x)

9 ASÍNTOTAS

Una asíntota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente. Trazar las

asíntotas, tanto verticales como horizontales (más adelante nos ocuparemos de estas

últimas), es de gran ayuda para dibujar la gráfica de una función.

Asíntota vertical: Una asíntota vertical es una recta paralela al eje y.

Se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si por lo

menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que,

por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia

entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de

asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

a) Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)

Si existe un número “a” tal, que :

La recta “x = a” es la asíntota vertical.

Ejemplo:

Es la asíntota vertical.

b) Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)

Si existe el límite: :

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

Ejemplo:

es la asíntota horizontal.

c) Asíntotas oblicuas (inclinadas)

Si existen los límites: :

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

Ejemplo:

es la asíntota oblicua.

10 EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Una recta es una

asíntota vertical de una

función

si o

Observa la gráfica de la

función f(x), en x=1 presenta

una asíntota vertical, ya que

la función se aproxima cada

vez más a la recta vertical

x=1 cuando x tiende a 1.

En el caso de funciones elementales, son candiatos a asíntotas verticales aquellos

puntos aislados que no forman parte del dominio, esto no quiere decir que no haya

una asíntota vertical en un punto que pertenezca al dominio de la función.

La función tiene una asíntota vertical en x=2, aunque existe

f(2).

Gráfica de la función a trozos

La determinanción de las asíntotas verticales es importante para el estudio global de

una función pues permite observar el comportamento su comportamiento cuando toma

valores muy próximos a la asíntota.

EJERCICIO

Halla las asíntotas verticales de la función

Estamos ante una función racional, los puntos candidatos a ser asíntotas son aquellos

que anulen el denominador.

Estudiamos los límites laterales en esos puntos, basta con que uno de los límites

laterales tienda a infinito para que exista la asíntota vertical.

11 LA DERIVADA, DEFINICIÓN

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que

cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable

independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula

como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo,

cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más

pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto

dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una

magnitud.

En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad .

En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.

En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.

12 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Observa el gráfico, en él está representada una función y=f(x) y hemos tomado dos

puntos:

P(xo,f(xo)) y Q(xo+h, f(xo+h))

La recta PQ es una recta secante a la curva cuya pendiente es:

tg α=

Cuando h tiende a 0, o lo que es lo mismo cuando Q tiende a P, la recta secante se

convierte en la recta tangente a la curva en el punto P y la pendiente de la recta

tangente será:

La derivada de una función f en un punto coincide con la pendiente de la recta

tangente a la curva en ese punto.

13 REGLAS DE LA DERIVACION

13.1 Derivada de una potencia real

Una función potencial con exponente real se representa por y su derivada

es .

Por ejemplo tomemos la función:

Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:

Quedando finalmente:

13.2 Derivada de una constante por una función

Cuando una función esté representada por medio de , su derivada

equivale a de la siguiente manera:

Consideremos la siguiente función: , lo primero a hacer es "bajar" al

exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se

halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

Para obtener

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el

valor de la constante:

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

Puesto que

13.3 Derivada de una suma

Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.

Es decir, o .

Como ejemplo consideremos la función , para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de la función:

13.4 Derivada de un producto

La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:

"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función"

Y matemáticamente expresado por la relación . Consideremos la siguiente función como ejemplo:

Identificamos a y , utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:

y que

Por lo tanto

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:

Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se

tratara de una tercera función es decir en donde (sin importar que dos funciones escogemos).

13.5 Derivada de un cociente

La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:

Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir así:

Es decir:

"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado".

Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el

denominador que en este caso es y se multiplique por la derivada del

numerador que seria ; luego la segunda parte dice que tomemos la función

del numerador ( ) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de ,

que seria , todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, así:

Ahora todo es cuestión de simplificar:

13.6 Regla de la cadena

La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de

dos o más funciones. Esto es, si f y g son dos funciones, entonces la regla de la cadena

expresa la derivada de la función compuesta f ∘ g en términos de las derivadas de f y g.

Por ejemplo, la regla de la cadena de f ∘ g (x) ≡ f [g (x)] es

o escrito en notación de Leibniz

13.7 Otras reglas

13.7.1 Funciones inversas y diferenciación

Si ,

entonces ,

y si y su inversa son diferenciables,

entonces para los casos en que y cuando ,

13.7.2 Derivada de una variable con respecto a otra cuando ambas son

funciones de una tercera variable

Sea y .

entonces

13.7.3 Diferenciación implícita

Si es una función implícita,

se tiene que:

14 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podriamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.

Notación

Se utiliza las siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior

1ra Derivada

; ; ; ; ;

2da Derivada

; ; ; ; ;

3ra Derivada

; ; ; ; ;

n-Derivada

; ; ;

Cuando el orden de la derivada es mayor a o igual a 4 hay ciertas notaciones que ya no se utilizan.

Ejemplo #1

Encontrar la 2da derivada de

Encontramos la 1ra derivada.

derivamos f'(x).

Ejemplo # 2

15 REGLAS DE LA CADENA

Resulta de la derivada de la función compuesta es el producto de las derivadas

de y . Este hecho es una de los mas importantes de las reglas de derivación. Si la

función es diferenciable en y la función es diferenciable en , entonces la

función compuesta es diferenciable en x,y

Ejemplo #1

Sean ;

Entonces la función compuesta está dada por:

Para poder aplicar la regla de la cadena necesitamos encontrar: ;

Entonces

Por lo tanto:

16 DERIVACION IMPLICITA Y LOGARITMICA

16.1 Derivación implícita

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y.

Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas de derivación y

teniendo presente que:

x'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Ejemplos

16.1 Derivación logarítmica

Con determinadas funciones, especialmente para la función potencial-

exponencial, es aconsejable el empleo de la derivación logarítmica, ya que

facilitan bastante el cálculo.

.

.

.

.

.

Ejercicios de derivación logarítmica

Calcular la derivada de las funciones:

17 MAXIMOS Y MINIMOS

17.1 Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

17.2 Mínimos Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

18 CONCAVIDAD DE UNA FUNCION

En geometría, la concavidad de una curva o de una superficie es la parte que se asemeja a la zona interior de una circunferencia o de una esfera.1 Es el concepto complementario al de convexidad.

Una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Presenta su concavidad hacia abajo.2

La concavidad, como característica del gráfico de una función, se refiere a la condición geométrica de la región situada bajo una curva.

Se dice que una función f(x) es cóncava cuando la región bajo la curva también lo es, en caso que la función sea dos veces derivable, ésta es cóncava si y sólo si f"(x) < 0.

Una función cóncava, también se llama cóncava hacia abajo, mientras que una función convexa es llamada cóncava hacia arriba.

19 DERIVACION DE FUNCIONES TRASCENDENTALES

Las funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes. Son funciones trascendentales elementales

Función exponencial: f(x)=ax; a > 0, a ≠ 1.

Función logarítmica: f(x)=loga(x); a > 0, a ≠ 1. Es inversa de la exponencial.

Funciones trigonométricas: También llamadas circulares f(x)=sen(x); f(x)=cos(x); f(x)=tg(x); f(x)=cosec(x); f(x)=sec(x) y f(x)=cotg(x)

20 TEORÍA DEL VALOR MEDIO

El teorema del valor medio o de Lagrange dice que:

Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:

La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un

punto en el que la tangente es paralela a la secante.

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, en el que

f(a) = f(b).

Ejemplos

1. ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 4x2 − 5x + 1 en [0, 2]?

f(x) es continua en [0, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:

2. ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 1/ x2 en [0, 2]?

La función no es continua en [−1, 2] ya que no definida en x = 0.

Los extremos absolutos conforman de tres partes que son:

21 EXTREMOS ABSOLUTOS

21.1 Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a = 0

21.2 Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

b = 0

21.3 Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a = 3.08 b = -3.08

22 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

Los posibles puntos de inflexión se identifican despejando a x de la ecuación que resulta una vez se ha igualado la segunda derivada de la función a cero; o para los valores de x para los cuales la segunda derivada no existe.

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7, halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función que se indica,

si los hay. Determine dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde lo es hacia abajo.

Trace la gráfica y muestre un segmento de cada tangente de inflexión.

S o l u c i o n e s

En la siguiente tabla se resumen los resultados obtenidos:

x f (x) f '(x) f ''(x) Conclusión

la gráfica de f es cóncava hacia abajo

0 9 0 f tiene un punto de inflexión

+ la gráfica de f es cóncava hacia arriba

23 DEFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN

Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente

al incremento h de la variable independiente, es el producto f ' (x) · h .

La diferencial de una función se representa por dy.

Interpretación geométrica

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la

tangente, correspondiente a un incremento de la variable.

Ejemplos

Aplicamos la def in ic ión de logar i tmo:

Un cuadrado tiene 2 m de lado. determínese en cuánto aumenta el área del cuadrado

cuando su lado lo hace en un milímetro. Calcúlese el error que se comete al usar

diferenciales en lugar de incrementos.

24 LA ANTI DERIVADA

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es

decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una anti derivada de f(x). Observe que no existe

una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra

anti derivada de f(x).

La anti derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se

expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de

integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

Notación

La notación que emplearemos para referirnos a una anti derivada es la siguiente:

Teorema

Si dos funciones h y g son anti derivadas de una misma función f en un conjunto D de

números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una anti derivada de f en un conjunto D de números reales,

entonces cualquier anti derivada de f es en ese conjunto D se puede escribir como

c constante real.

25 REGLAS DE INTEGRACIÓN

1) Cx dx

2)

Cx1n

1dx x 1nn (Si n -1)

3) dx )x(fc dx )x(fc

4) dx )x(gdx )x(fdx )x(g)x(f

5) Cxlnx

dx

6) C)x(flndx f(x)

)x(' f

7) Cedx e xx

8) Caln

adx a

xx

9)

Calnk

adx a

kxkx

10) Cxcosdx senx

11) Csenxdx xcos

12) C)xln(cosdx tgx

13) C)senxln(dx x gcot

14) C)tgxxln(secdx xsec

15) C)gxcotecxln(cosdx ecxcos

16) Cxxlnxdx xln

26 INTEGRACIÓN POR PARTES

Para integrar expresiones de la forma dx )x(fxn donde f(x) =

ax sen

ax cos

eax

haremos u = nx y dv = f(x) dx.

Para integrar expresiones de la forma dx x)x(f n donde f(x) =

tgx arc

xcos arc

senx arc

xln

haremos u = f(x) y dv = nx dx.

duvvudvu

27 INTEGRAL DEFINIDA

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral def inida es igual al área

limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por.

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f (x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x , e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral def inida cambia de signo si se permutan los límites de

integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral def inida vale cero .

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone

como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral def inida de una suma de funciones es igual a la suma de

integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante

por la integral de la función.

28 ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA

Ya en tiempos de los griegos se desarrolló un método llamado exhaución para calcular áreas de figuras planas.

El método consistía en sucesivas aproximaciones (esencialmente es un paso al límite) en las que el área que se quiere calcular se encierra entre polígonos inscritos y circunscritos de n lados. A medida que aumenta n el área que se quiere calcular se va delimitando más claramente.

Fue Arquímedes el que perfeccionó y afinó el método consiguiendo calcular áreas de elipses (obtuvo la fórmula para medir el área de esta cónica), sectores parabólicos y sectores de Espiral.

En el ejemplo de arriba puedes ver una aproximación para obtener el área de un círculo. Por supuesto faltan los polígonos circunscritos, puesto que el área final está comprendida entre el área del polígono inscrito y la del polígono circunscrito.

Nosotros vamos a hacer un ejercicio muy similar para intentar calcular el área de una región plana limitada por una curva y los ejes x e y.

Supongamos la gráfica de f(x)=-x2+5

Vamos a utilizar el método del exhaución para calcular el área comprendida entre la gráfica de f(x) y las rectas x=0 y x=5

Utilizaremos 5 rectángulos para aproximar el área de la región que ves es la captura de arriba.

Primero utilizaremos rectángulos que aproximarán el área por defecto.

La base de cada rectángulo dibujado es 2/5 (puesto que hemos dividido 2 unidades en cinco partes iguales).

Los puntos terminales de la derecha en cada intervalo los podemos expresar como 2i / 5, siendo i=1,2,3,4,5

Los puntos terminales de la izquierda los podemos expresar como 2 (i-1) /5 siendo i=1,2,3,4,5

El área de cada uno de los rectángulos se obtiene de multiplicar su base= 2/5 por la altura,

que será en cada caso el valor de la función en cada punto terminal de la

derecha.

Podemos expresarlo como Área del i-ésimo rectángulo= 2/5 . f(2i/5)

Si queremos obtener la suma de los cinco rectángulos podemos hacerlo de la siguiente forma mediante la notación sigma:

Aquí vemos que la aproximación por defecto al área buscada utilizando los cinco rectángulos es 6.48 unidades cuadradas

Procedamos ahora a aproximar el área por exceso

La base de cada rectángulo dibujado vuelve a ser 2/5 (puesto que hemos dividido 2 unidades en cinco partes iguales).

Ahora la altura de cada rectángulo viene dada por el valor de la función en cada punto terminal de la izquierda.

El Área del i-ésimo rectángulo= 2/5 . f(2(i-1)/5)

29 INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE

El método de integrac ión por sust i tuc ión o cambio de var iable se basa

en la der ivada de la función compuesta.

Para cambiar de var iable ident i f icamos una par te de lo que se va a

in tegrar con una nueva var iab le t , de modo que se obtenga una

integral más senci l la .

Pasos para integrar por cambio de var iable

1º Se hace e l cambio de var iable y se di ferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sut i tuyendo en la integral :

2º Si la in tegral resul tante es más senci l la , in tegramos:

3º Se vuelve a la var iable in ica l :

Ejemplo

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