matemáticas ii telesecundaria
TRANSCRIPT
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2do Grado Volumen I
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MATEMÁTICAS II
2do Grado Volumen I
Matemáticas II. Volumen I, fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de Educación Básica y el ILCE.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICAJosefina Vázquez Mota
SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICAJosé Fernando González Sánchez
Dirección General de Materiales EducativosMaría Edith Bernáldez Reyes
Dirección de Desarrollo e Innovaciónde Materiales Educativos
Subdirección de Desarrollo e Innovaciónde Materiales Educativos para la Educación Secundaria
Dirección Editorial
INSTITUTO LATINOAMERICANO DE LA COMUNICACIÓN EDUCATIVA
Dirección GeneralManuel Quintero Quintero
Coordinación de Informática EducativaFelipe Bracho Carpizo
Dirección Académica GeneralEnna Carvajal Cantillo
Coordinación AcadémicaArmando Solares Rojas
Asesoría AcadémicaMaría Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005)
AutoresAraceli Castillo Macías, Rafael Durán Ponce, Ernesto Manuel Espinosa Asuar, Silvia García Peña, José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero, Jesús Rodríguez Viorato
Apoyo técnico y pedagógicoMa. Catalina Ortega Núñez
Coordinación editorialSandra Hussein
Primera edición, 2007 (ciclo escolar 2007-2008)D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2007 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F.
ISBN 978-970-790-951-9 (obra completa)ISBN 978-970-790-953-3 (volumen I)
Impreso en MéxicoDISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA
Servicios editorialesDirección de arte:
Rocío Mireles Gavito
Diseño:
Zona gráfica
Diagramación:
Bruno Contreras, Gabriel González, Fernando Villafán, Víctor Vilchis, Ismael Vargas
Iconografía:
Cynthia Valdespino
Diagramación:
Bruno Contreras, Gabriel González, Fernando Villafán, Víctor Vilchis, Ismael Vargas
Ilustración:
Gustavo Cárdenas, Curro Gómez, Carlos Lara, Gabriela Podestá
Fotografía:
Cynthia Valdespino, Fernando Villafán
Índice
Mapa-índice
Clave de logos
BLOQUE 1
SECUENCIA 1 Multiplicación y división de números con signo
SECUENCIA 2 Problemas aditivos con expresiones algebraicas
SECUENCIA 3 Expresiones algebraicas y modelos geométricos
SECUENCIA 4 Ángulos
SECUENCIA 5 Rectas y ángulos
SECUENCIA 6 Ángulos entre paralelas
SECUENCIA 7 La relación inversa de una relación de proporcionalidad directa
SECUENCIA 8 Proporcionalidad múltiple
SECUENCIA 9 Problemas de conteo
SECUENCIA 10 Polígonos de frecuencias
BLOQUE 2
SECUENCIA 11 La jerarquía de las operaciones
SECUENCIA 12 Multiplicación y división de polinomios
SECUENCIA 13 Cubos, prismas y pirámides
SECUENCIA 14 Volumen de prismas y pirámides
SECUENCIA 15 Aplicación de volumenes
SECUENCIA 16 Comparación de situaciones de proporcionalidad
SECUENCIA 17 Medidas de tendencia central
Bibliografía
¿Quién es el INEA?
Recortables
4
9
10
12
30
46
56
70
82
92
104
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150
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BLOQUE 1
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SECUENCIA 1
En esta secuencia resolverás problemas que impliquen sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números con signo.
LOS NÚMEROS CON SIGNOPara empezarLos números con signo
Enlassecuencias25y33detulibroMatemáticas I Volumen IIresolvisteproblemasenlosqueutilizastesumasyrestasdenúmerosconsigno.Enestasesiónrecordaráscómohaceresasoperaciones.
Losnúmeros con signosonlosnúmerospositivosylosnúmerosnegativos.Elceronotienesigno.
Losnúmeros positivos seubicana laderechadelceroen la rectanumérica.Puedenaparecerconelsigno+osinél.Cuandollevanelsigno+esporquesedesearesaltarquesonpositivos.Porejemplo:+3,+16,+7.9,+10.35,+ 2
5,+ 37
3.
Losnúmeros negativosseubicanalaizquierdadelceroenlarectanuméricaysiempreseescribenanteponiéndoleselsigno–.Porejemplo:–7,–1,–4.1,–12.73,– 8
3,– 81
5.
SESIÓN 1
Multiplicación y división de números con signo
0–1 +16–12.73– 815
+7.9 +10.35–4.1–7
+ 25
+3
+ 373
– 83
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IIMATEMÁTICAS
Cuando sehacenoperaciones denúmeros con signo, los números se escriben entreparéntesisparanoconfundirlossignosdelosnúmerosconlossignosdelaoperación.Porejemplo:
(–4) + (+5) – (–15).
Sepuedeescribir5envezde+5yentoncesnosonnecesarioslosparéntises:
(–4) + 5 – (–15).
Lo que aprendimos1. Unasustanciaquímicaqueestáaunatemperaturade–5°Csecalientaenunmeche-
rohastaquealcanzaunatemperaturade12°C.
¿Cuántosgradossubiólatemperaturadelasustancia?
2. Enunatiendadeabarrotesserealizóelbalancebimestraldetodounaño.Seindica-ronlasgananciasconnúmeros negrosylaspérdidasconnúmeros rojos.Elsaldoparaunperiodosecalculasumandolasgananciasyrestandolaspérdidas:
Ene-Feb Mar-Abr May-Jun Jul-Ago Sept-Oct Nov-Dic
Balance bimestral 960.60 773.50 1 755.75 441.80 2 997.25 4 647.00
a) Respondansinhacerlacuenta,¿elsaldoanualfuepositivoonegativo?
b) ¿Decuántofueelsaldoanualenlatienda?
c) Enotratienda,elsaldoanualfuede$9 550.60.Enelbimestreenero-febrerotu-vieronpérdidaspor$845.25.
¿Cuálfueelsaldoenestatiendademarzoadiciembre?
3. Escribanmayorque(>)omenorque(<)segúncorresponda.
a)7 18 b)12 (–5)
c)(–19) 1 d)(–7) 14
e)(–27) (–35) f)(–11) (–3)
Recuerden que:El número mayor es el que está más a la derecha en la recta numérica.
14
SECUENCIA 14. Escriban el simétrico o el valor absoluto de los siguientes
númerosconsigno,segúncorresponda:
a) Elsimétricode29.3es
b) Elsimétricode(– 197 )es
c) |25.1|=
d) |– 213| =
5. Resuelvanlassiguientessumas:
a) (–8) + (–15) =
b) 24 + (–24) =
c) (–31) + 48 =
d) 59 + (–81) =
e) 4.3 + (–8.7) =
f) (– 12 ) + 7
9 =
6. Resuelvanlassiguientesrestas:
a) (–31) – 14 =
b) 46 – (–10) =
c) (–2) – (–65) =
d) (–52) – (–19) =
e) (–15.7) – (–17.9) =
f) (– 74 ) – (– 1
3 ) =
7. Resuelvanlassiguientessumas:
a) (–10) + 17 + (–15) =
b) 28 + (–4) + 11 =
c) (–10) + (–21) + 86 =
d) (–47) + (–12) + (–33) =
e) 14 + (–25) + (–39) + 32 =
f) (–10) + (–33) + (–38) + (–9) =
Recuerden que:
Para hacer restas de números con
signo se puede sumar el simétrico:
(–2) – 5 = (–2) + (–5) = –7.
(–3) – (–5) = (–3) + 5 = 2.
Recuerden que:
Para realizar una suma de varios números con signo podemos sumar primero todos los números positivos, después todos los números negativos y por último sumar los resultados. Por ejemplo:
(–18) + 31 + (–24) = 31 + (–42) = –11.
(–15) + 11 + (–8) + 28 = 39 + (–23) = 16.
Recuerden que:
• Para sumar dos números del
mismo signo se pueden
sumar los valores absolutos
de los números, y el signo del
resultado es el signo de los
números que se suman.
• Para sumar dos números de
signos distintos, se puede
encontrar la diferencia de
los valores absolutos de los
números, y el signo del
resultado es el signo del
número de mayor valor
absoluto.
Recuerden que:
• Los números simétricos son los que están a la misma distancia del cero.
• El valor absoluto de un número siempre es un número positivo, se representta utilizando dos barras verticales.
15
IIMATEMÁTICAS
8. ElmunicipiodeTemósachic,localizadoenelnoroestedelestadodeChihuahua,esunodelosmunicipiosconlastemperaturasmásbajasdelpaís.Enelaño2006,enesalocalidadseregistraronlassiguientestemperaturasmínimaspromediopormes(engradoscentígrados):
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sept Oct Nov Dic
Temperatura mínima promedio –7 –2 0 2 5 12 13 14 10 4 –3 –6
a) Dibujenunarectanuméricaycoloquenenellatodaslastemperaturas.
b) Conlosdatosmensualesdelcuadro,calculenelpromedioanualdelatemperatura
mínima.
9. ElfarodeAlejandríaesunadelassietemaravillasdelmundo antiguo. Ptolomeo I, rey de Egipto, mandóconstruirloenelaño291antesdenuestraera,enlaisladeFaro.Consistíaenunatorrede134metrosdealtura;ensupartesuperior,unahoguerapermanen-temarcabalaposicióndelaciudadalosnavegantes.
a) Laconstruccióndelfarotardó12añosencom-pletarse.¿Enquéañoseterminódeconstruir?
b) Ptolomeo I tenía76 años cuandomandó cons-truirelfaro,¿enquéañonació?
c) ElsucesordePtolomeoIfuesuhijo,PtolomeoII,quienseconvirtióenreyenelaño285antesdenuestra era, a la edadde24 años. Se sabequePtolomeoIInaciócuandosumadretenía31años.
¿Enquéañonaciólamadre?
16
SECUENCIA 1
MULTIPLICACIONES DE NÚMEROS CON SIGNOPara empezarLosnúmerostienensuorigenenlanecesidaddecontarydemedir.Losprimerosnúme-rosquefueronutilizadossonlosllamadosnúmeros naturales:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…
Alconjuntoformadoporlosnúmerosnaturales,lossimétricosdelosnúmerosnaturalesyelcero,selellamaconjuntodelosnúmeros enteros:
…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4…
Consideremos lo siguienteLassiguientestablassonpartedelastablasdemultiplicardel4ydel6.Completalosresultados:
4 × 6 = 24 6 × 6 = 36
4 × 5 = 20 6 × 5 = 30
4 × 4 = 16 6 × 4 = 24
4 × 3 = 6 × 3 =
4 × 2 = 6 × 2 =
4 × 1 = 6 × 1 =
4 × 0 = 0 6 × 0 =
4 × (–1) = 6 × (–1) =
4 × (–2) = 6 × (–2) =
4 × (–3) = 6 × (–3) =
4 × (–4) = 6 × (–4) = –24
4 × (–5) = 6 × (–5) =
4 × (–6) = 6 × (–6) =
4 × (–7) = 6 × (–7) =
Comparensusrespuestas.Comenten losprocedimientosquesiguieronpara llenarlastablas.
SESIÓN 2
17
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obraI. Observalastablasyrespondelaspreguntas:
a) ¿Cuántoserestaparapasardelresultadode4 × 5alresultadode4 × 4?
b) ¿Cuántoserestaparapasardelresultadode4 × 1alresultadode4 × 0?
c) Parapasardel resultadode4×0al resultadode4 × (–1), se resta lomismo.
¿Cuántoes4 × (–1)?
d) Entredos renglones consecutivosde la tabladel4, siempre se resta lomismo.
¿Cuántoes4 × (–5)?
e) ¿Cuántoserestaentredosrenglonesconsecutivosdelatabladel6?
f) ¿Cuántoes6 × (–2)?
g) ¿Cuántoes6 × (–5)?
Comparensusrespuestas.
II. Multiplicar4 × 2eslomismoquesumarcuatroveces2:
4 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8.
Sesumacuatroveces2.
Expresacadamultiplicacióncomosumas:
a) 5 × 3 = =
Sesuma veces3.
b) 4 × 0 = 0 + 0 + 0 + 0 =
Sesuma veces0.
18
SECUENCIA 1III.Cuandoenunamultiplicaciónelprimer factoresunnúmeroenteropositivoyel
segundo factor es un número negativo, también se hace una suma repetida, porejemplo:
2 × (–5) = (–5) + (–5) = –10.
Sesumadosveces–5.
Otambién:
4 × (–3.7) = (–3.7) + (–3.7) + (–3.7) + (–3.7) = –14.8.
Sesumacuatroveces–3.7.
Expresalassiguientesmultiplicacionescomosumasrepetidasyencuentraelresultado:
a) 3 × (–8) = ( ) + ( ) + ( ) =
b) × (–11) = (–11) + (–11) + (–11) + (–11) =
c) 5 × = (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) =
d) 4 × (–1.2) = (–1.2) + (–1.2) + (–1.2) + (–1.2) =
e) 6 × (– 43 ) = (– 4
3 ) + (– 43 ) + (– 4
3 ) + (– 43 ) + (– 4
3 ) + (– 43 ) =
f) 6 × (–7) =
g) 3 × = = –36.
Comparensusrespuestasycomenten:enotrogrupoencontraronelresultadode6 × (–7)diciendo que 6 × 7 = 42 y que, entonces, 6 × (–7) = –42. ¿Están de acuerdo conesteprocedimiento?¿Cómousaríanesteprocedimientoparaencontrarelresultadode4 × (–1.2) y de 6 × (– 4
3 )?
IV.Realizalassiguientesmultiplicaciones:
a) 8 × (–10) =
b) 12 × (–4) =
c) 7 × (–5.8) =
d) 10 × (– 17 ) =
19
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosCuando en una multiplicación el primer factor es un número entero positivo y el segundo factor es un número negativo, se suma varias veces el número negativo.
Por ejemplo:
5 × (–4) = (–4) + (–4) + (–4) + (–4) + (–4) = –20.
Se suma cinco veces –4
3 × (–6.4) = (–6.4) + (–6.4) + (–6.4) = –19.2.
Se suma tres veces –6.4
4 × (– 73 ) = (– 7
3 ) + (– 73 ) + (– 7
3 ) + (– 73 ) = (– 28
3 ) .
Se suma cuatro veces – 73 .
En general, para encontrar el resultado de una multiplicación de este tipo se multiplican los valores absolutos de los números y al resultado se le antepone el signo –. Por ejemplo:
6 × (–3) = –18 Se hace la multiplicación 6 × 3 = 18, se le antepone el signo –, y el resultado es –18.
10 × (–8.32) = –83.2 Se hace la multiplicación 10 × 8.32 = 83.2, se le antepone el signo –, y el resultado es –83.2.
Lo que aprendimos1. Completalaexpresióndecadaunadelassiguientesmultiplicacionescomounasuma
yencuentraelresultado.
a) 4 × = + + + = 32.
b) 8 × 0 = =
c) 3 × (–7) = =
d) 9 × (–1) = =
e) × (–2) = (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) =
f) 4 × = = –12.
20
SECUENCIA 1g) 5 × (–10.4) = =
h) 6 × (– 25 ) = =
2. Realizalassiguientesmultiplicaciones:
5 × (–8) = 8 × (–7) = 2 × 0 = 3 × (–9) =
11 × 0 = 2 × (–13) = 14 × (–3) = 10 × 0 =
6 × (–4.8) = 8 × (–2.25) = 7 × (– 34 ) = 4 × (– 11
3 ) =
MÁS MULTIPLICACIONES DE NÚMEROS CON SIGNOPara empezarEnestasesiónvasacontinuarhaciendomultiplicacionesdenúmerosnegativosconpositivos.
Consideremos lo siguienteLassiguientestablassonpartedelastablasdemultiplicardel8.Encuentralosresultados:
8 × 6 = 6 × 8 =
8 × 5 = 5 × 8 =
8 × 4 = 4 × 8 =
8 × 3 = 3 × 8 =
8 × 2 = 2 × 8 =
8 × 1 = 1 × 8 =
8 × 0 = 0 × 8 =
8 × (–1) = (–1) × 8 =
8 × (–2) = (–2) × 8 =
8 × (–3) = (–3) × 8 =
8 × (–4) = (–4) × 8 =
8 × (–5) = (–5) × 8 =
8 × (–6) = (–6) × 8 =
Comparensusrespuestas.Comentencómovancambiandolosresultadosenlastablas.
SESIÓN 3
21
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obraI. Observalastablasyrespondelaspreguntas:
a) Enlatabladelaizquierda,dearribahaciaabajo,¿losresultadosaumentanodis-
minuyen?
b) ¿Cuántoserestaparapasardelresultadode4 × 8alresultadode3 × 8?
c) ¿Cuántoserestaparapasardelresultadode2 × 8alresultadode1 × 8?
d) Parapasardel resultadode0 × 8 al resultadode (–1) × 8, se resta lomismo.
¿Cuántoes(–1) × 8?
e) Entredos renglones consecutivosde la tabladel8, siempre se resta lomismo.
¿Cuántoes(–5) × 8?
f) ¿Cómosonlosresultadosencadarenglóndelasdostablas?¿Sonigualesoson
distintos?
Comparensusrespuestas.Comenten:si8 × (–9) = –72,¿cuántoes(–9) × 8?
II. Completalossiguientesresultados:
10 × 5 = 50 5 × 10 = 50
10 × 4 = 40 4 × 10 = 40
10 × 3 = 30 3 × 10 = 30
10 × 2 = 20 2 × 10 = 20
10 × 1 = 10 1 × 10 = 10
10 × 0 = 0 0 × 10 = 0
10 × (–1) = (–1) × 10 =
10 × (–2) = (–2) × 10 =
10 × (–3) = (–3) × 10 =
10 × (–4) = (–4) × 10 =
10 × (–5) = (–5) × 10 =
a) Enlastablas,¿losresultadosaumentanodisminuyen?
b) Losresultados,encadarenglóndeambastablas,¿sonigualesosondiferentes?
22
SECUENCIA 1
Comparensusrespuestas.Comentencuáleselsignodelresultadocuandomultiplicamosunnúmeronegativoconunopositivo.
A lo que llegamosCuando en una multiplicación el primer factor es un número negativo y el segundo factor es un número entero positivo, se multiplican los valores absolutos de los números y al resultado se le antepone el signo –. Por ejemplo:
(–8) × 2 = –16 Se hace la multiplicación 8 × 2 = 16, se le antepone el signo –, y el resultado es –16.
IV.Cuandosemultiplicaunnúmeroenteropositivoporunafracciónounnúmerodeci-malnegativo,sehacelomismo:semultiplicanlosvaloresabsolutosdelosnúmerosyalresultadoseleanteponeelsigno–.Realizalassiguientesmultiplicaciones:
III.Encuentraelresultadodelassiguientesmultiplicaciones:
a) 7 × (–4) =
c) 11 × (–9) =
e) 5 × (–12) =
g) 4 × (–27) =
i) 15 × (–4) =
k) 10 × (–16) =
b) (–4) × 7 =
d) (–9) × 11 =
f) (–12) × 5 =
h) (–27) × 4 =
j) (–2) × 18 =
l) (–14) × 13 =
a) 3 × (–4.1) =
c) (– 45 ) × 3 =
b) (–9.47) × 10 =
d) 5 × (– 107 ) =
Comparensusrespuestas.
23
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimos1. Realizalassiguientesmultiplicaciones:
0 × 5 = 7 x (–1) = 3 × (–16) =
(–1) × 14 = (–7) × 11 = 1 × (–4) =
(–17) × 7 = 16 × (–12) = (–3.5) × 4 =
8 × (–6.2) = (– 29 ) × 6 = 8 × (– 13
4 ) =
LA REGLA DE LOS SIGNOS 1Para empezarCuandosemultiplicannúmerosconsignoseutilizalaregladelossignos.Enestasesiónvasaconoceryautilizarestaregla.
Consideremos lo siguienteEncuentralosresultadosquehacenfaltaenlasiguientetablayanótalos.
× 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4
4 16 12 8 4 0 –4 –8 –12 –16
3 12 9 6 3 0 –3 –6 –9 –12
2 8 6 4 2 0 –2 –4 –6 –8
1 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
–1 0
–2 0
–3 0
–4 0
Comparensusrespuestas.Comentencómovancambiandolosresultadosencadaren-glónyencadacolumna.
SESIÓN 4
24
SECUENCIA 1
Manos a la obraI. Observalastablasyrespondelaspreguntas:
a) ¿Cuántosesumaparapasardelresultadode4 × (–3)alresultadode3 × (–3)?
b) ¿Cuántosesumaparapasardelresultadode1 × (–3)alresultadode0 × (–3)?
c) Entredosresultadosconsecutivosdelatabladel(–3)siempresesumalomismo.
¿Cuántoes(–1) × (–3)?
d) ¿Cuántoes(–2) × (–3)?
II. Respondelassiguientespreguntas:
a) Enlatabladel(–1),parapasardeunresultadoalsiguiente¿sesumaoseresta?
.¿Cuántosesumaocuántoseresta?
b) En la tabladel1,parapasardeunresultadoal siguiente¿se sumaose resta?
.¿Cuántosesumaocuántoseresta?
c) Enlatabladel2,¿cuántosesumaocuántoserestaparapasardeunresultadoal
siguiente?
d) Enlatabladel(–4),¿cuántosesumaocuántoserestaparapasardeunresultado
alsiguiente?
e) ¿Cuáleselsignodelresultadodemultiplicardosnúmerosnegativos?
Comparensusrespuestas.Comentencuáleselresultadodemultiplicar(–3) × (–7).
III.Realizalassiguientesmultiplicaciones:
a) 7 × (–2) =
c) (–3) × (–6) =
e) 3 × (–15) =
b) (–12) × 4 =
d) (–9) × 2 =
f) (–17) × (–4) =
25
IIMATEMÁTICAS
IV.Completalasairmacionesconpositivoonegativo:
a) Cuandomultiplicamosunnúmeropositivoporunonegativoelresultadoes
b) Cuandomultiplicamosunnúmeronegativoporuno elresultadoespositivo.
c) Cuandomultiplicamosunnúmero porunopositivoelresultadoespositivo.
d) Cuandomultiplicamosunnúmeronegativoporuno elresultadoesnegativo.
Comparensusrespuestas.
A lo que llegamosPara multiplicar números con signo se multiplican los valores absolutos de los números y luego se determina el signo del resultado utilizando la regla de los signos:
cuando multiplicamos
Positivo por positivo el resultado es positivo.
Positivo por negativo el resultado es negativo.
Negativo por positivo el resultado es negativo.
Negativo por negativo el resultado es positivo.
Por ejemplo, para multiplicar (–4) × 11, primero se hace la multiplicación:
4 × 11 = 44,
y utilizando la regla de los signos sabemos que el resultado es negativo. Entonces,
(–4) × 11 = –44.
V. Cuandosemultiplicanfraccionesonúmerosdecimalesconsigno,tambiénseutilizalaregladelossignos.Realizalassiguientesmultiplicaciones:
a) (–5) × 8.4 =
c) (–5.8) × (–3.6) =
e) (– 17 ) × (– 14
9 ) =
b) (–10.35) × (–4) =
d) 411 × (–3) =
f) 125 × (– 1
2 ) =
26
SECUENCIA 1
Lo que aprendimos 1. Realizalassiguientesmultiplicaciones:
(–8) × 0 = 1 × (–15) = 0 × (–4) =
(–17) × 1 = (–3) × 13 = (–12) × (–8) =
(–16) × 2 = (–13) × (–15) = 7 × (–1.3) =
(–2.5) × 4.1 = (– 12 ) × (– 1
8 ) = 4 × (– 218 ) =
LA REGLA DE LOS SIGNOS 2Para empezarLaregla de los signostambiénseutilizaparahacerdivisionesentredosnúmerosconsigno.
Consideremos lo siguienteCompletenlosdatosylosresultadosquefaltanenlassiguientesmultiplicaciones:
× 7 –4 –12
2 14 –8 –24
–4 16
35
–56
–52
–105
216
Comparensusrespuestas.Comentenquéhicieronparaencontrarelsignodelosnúmerosquefaltaban.
Manos a la obraI. Respondanlassiguientespreguntas:
a) Unnúmeromultiplicadopor17dacomoresultado204,¿cuáleslaoperaciónque
sepuedehacerparaencontraresenúmero?
SESIÓN 5
27
IIMATEMÁTICAS
b) ¿Cuáleselnúmeroquebuscamos?
c) Estoesciertoporque: × 17 = 204.
d) Paraencontrarelnúmeroquemultiplicadopor–8 dacomoresultado184,¿cuál
eslaoperaciónquesepuedehacer?
e) ¿Cuáleselnúmeroquebuscamos?
f) Estoesciertoporque: × (–8) = 184.
II. Enlasiguientetablasepresentanalgunosproblemas.Complétenla:
ProblemaDivisión que se hace
para encontrar el númeroVerificación
¿Cuáleselnúmeroquealmultiplicarlopor3da–78? (–78) ÷ 3 = × 3 = –78
¿Cuáleselnúmeroquealmultiplicarlopor–9da171?
¿Cuáleselnúmeroquealmultiplicarlo
por da ? (–75) ÷ (–25) = × = –75
a) ¿Cuáleselsignodelresultadodedividirunnúmeronegativoentreunopositivo?
b) ¿Cuáleselsignodelresultadodedividirunnúmeropositivoentreunonegativo?
c) ¿Cuáleselsignodelresultadodedividirunnúmeronegativoentreunonegativo?
III.Encuentrenelresultadodelassiguientesdivisiones:
a) 12 ÷ (–6) =
c) (–44) ÷ (–4) =
e) (–16) ÷ (–8) =
b) (–18) ÷ 6 =
d) (–20) ÷ 5 =
f) 28 ÷ (–28) =
Comparensusrespuestas.Comentenquéhicieronparaencontrarelsignodelosresul-tados.
28
SECUENCIA 1
A lo que llegamosPara hacer divisiones entre números con signo se dividen los valores absolutos de los números y luego se encuentra el signo del resultado utilizando la regla de los signos:
Cuando dividimos,
Positivo entre positivo el resultado es positivo.
Positivo entre negativo el resultado es negativo.
Negativo entre positivo el resultado es negativo.
Negativo entre negativo el resultado es positivo.
Por ejemplo, para dividir (–110) ÷ (–5), primero se hace la división: 110 ÷ 5 = 22,
y utilizando la regla de los signos, sabemos que el resultado es positivo. Entonces,
(–110) ÷ (–5) = 22.
IV.Cuandosedividenfraccionesonúmerosdecimalesconsigno,tambiénseutilizalaregladelossignos.Realicenlassiguientesoperaciones:
a) (–7.4) ÷ 2 =
c) (–10) ÷ (– 114 ) =
e) (– 83 ) ÷ (– 7
4 ) =
b) (–15.5) ÷ (–5) =
d) (– 23 ) ÷ 7 =
f) 23 ÷ (– 1
3 ) =
Lo que aprendimos1. Realizalassiguientesoperaciones:
(–9) × 0 = (–1) × 17 = 1 × (–29) = 0 × (–24) =
(–2) × 7 = 6 × (–8) = (–7) × 3 = 11 × (–4) =
12 × (–1) = (–9) × (–5) = (–15) × (–1) = (–10) × (–13) =
44 ÷ (–11) = (–48) ÷ (–2) = (–56) ÷ 8 = (–18) ÷ (–4) =
(–35) ÷ 8 = 16 ÷ (–5) = (–29) ÷ (–4) = (–71) ÷ (–10) =
6 × (–5.3) = (–3) x 2.4 = (–3.75) ÷ (–5) = (–34.2) ÷ (–9) =
29
IIMATEMÁTICAS
(–3) × (– 16 ) = (– 13
2 ) × 5 = 78 ÷ (–4) = (–12) ÷ (– 2
7 ) =
(–7.4) × 5.1 = (–2.7) × (–10.5) = (– 65 ) × (– 9
5 ) = (– 17 ) × 13 =
86 × (– 9
2 ) = (–11) ÷ (– 103 ) = 2
3 ÷ (– 58 ) = (– 1
4 ) ÷ (– 103 ) =
2. Del25al29dediciembrede2006seregistraronlassiguientestemperaturasenTe-mósachic,Chihuahua:
25 26 27 28 29
Temperatura máxima 8 17.4 20.2 16 7
Temperatura mínima –10 –9.4 –8.8 0 –6
a) Encuentraelpromediodelastemperaturasmáximasenesosdías.
b) Encuentraelpromediodelastemperaturasmínimasenesosdías.
c) Encuentralatemperaturapromediodecadadía(elpromediocalculadoentrela
temperaturamáximaylamínimadeesedía).
3. Colocalosnúmerosquefaltanparaquetodaslasoperacionesseancorrectas:
× =
÷ × ÷
÷ 4 = –2
= = =
–3 × = 12
Para saber másSobre los números enteros consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Números enteros”, “Suma y resta de números enteros” y “Multiplicación y división de enteros”, en Una ventana al infinito. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Sobre los números con signo:Marván, Luz María. “Números con signo”, “¿Mayor o menor?”, “El valor absoluto” y “Reglas para operar con negativos”, en Representación numérica. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.
Sobre los egipcios consulta:http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/faro/home.htmRuta: Menú Sobre héroes, tumbas y sabios El periódico Egipcio[Fecha de consulta: 23 de mayo de 2007].Red Escolar, Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa.
30
SECUENCIA 2
En esta secuencia resolverás problemas de adición y sustracción de expresiones algebraicas.
LOS GALLINEROSConsideremos lo siguienteDonLenchoesungranjeroquedeseaconstruirungallinerodeformarectangular.Eltécnicoavícoladelaregiónleharecomendadoqueellargodelgallineromidaeldoblequesuancho.
Paradeterminarlasdimensionesdelgallinero,donLenchotieneunagrancantidaddeposibilidadesquerespetenlarecomendaciónanterior.
SESIÓN 1
Problemas aditivos con expresiones algebraicas
a
Sielnúmerodemetrosquetieneelanchoserepresentaconlaletraa,escribeunaexpresiónalgebraicaquerepresenteelpe-rímetrodelgallinero.
Perímetro =
Comparensusexpresionesalgebraicas.Comenten:
¿Cuáleselperímetrodelgallinerosielanchomide1metro?
31
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obraI. CompletalasiguientetablaparaayudaradonLenchoadecidireltamañodelgallinero.
Medida en metros del ancho
Medida en metros del largo
Operaciones que se realizan para calcular el perímetro del gallinero
Perímetro del gallinero en metros
1 2 6
1 12
2 4 12
3
8
4.5 27
48
a
Comparensustablas.Siesnecesario,veriiquensusrespuestasdibujandoensucuadernolosrectánguloscorrespondientes(utilicenunaescalade1cm = 1m).Comenten:
a) ¿Quéoperaciónhicieronparaobtenerlamedidadellargodelgallinerocuandoarepresentalamedidadelanchoenmetros?
b) ¿Quéoperacioneshicieronparaobtenerelperímetrodelgallinerocuandoarepre-sentalamedidadelanchoenmetros?
II. Contestalosiguiente:
a) Enlassiguientesexpresionesalgebraicaslaletraarepresentaelnúmerodemetrosquetieneelanchodelgallinero.Subrayalasexpresionesque,alsumarse,permitenobtenerelperímetro.¡Cuidado,puedehabermásdeunaqueseacorrecta!
a + a + a
a + a + 2a + 2a
a + a + a + a + a + a
3a + 3a
Recuerda que:
Para evitar confundir el signo × (por)
de la multiplicación con la literal x,
el signo “por” no se escribe.
Por lo mismo:
3a = 3 veces a = a + a + a
32
SECUENCIA 2b) Elresultadodelasumaa+aes2a,osea,2 veces a.Completaelsiguienteesque-
maparaencontrarelresultadodelasumaa + a + 2a + 2a.
a + a + 2a + 2a =
a + a + ( a + a) + (a + a)
c) ¿Cuántasvecesapareceaenlaexpresióna + a + (a + a) + (a + a)?
Comentenlassolucionesqueobtuvieron.
A lo que llegamosEn una suma de expresiones algebraicas los sumandos se llaman términos. Por ejemplo, a y 2a son términos de la suma a + a + 2a + 2a
Los términos tienen coeficiente, literales y exponentes.
El término 2a tiene:
Coeficiente: 2 Literal: a Exponente: 1
El término a tiene:
Coeficiente: 1 Literal: a Exponente: 1
El término 3a 2 tiene:
Coeficiente: 3 Literal: a Exponente: 2
A los términos que tienen la misma literal con igual exponente como a, 3a, 2a, 1.5a, se les llama términos semejantes.
Los términos numéricos son semejantes entre sí. Por ejemplo, 8 y –5 son términos semejantes.
3a 2 y 2a aunque tienen la misma literal no son semejantes porque no tienen el mismo exponente.
33
IIMATEMÁTICAS
III.UnhijodedonLencholepresentóasupapáotrosdiseñosparaconstruirelgallinero.
Uneconunalíneacadaiguraconlaexpresióndeladerechaquerepresentasuperímetro.
Comparenlassolucionesqueobtuvieron.Comenten:
¿Cómosumartérminossemejantescuandoloscoeicientessondecimales?
A lo que llegamosPara sumar términos semejantes se suman los coeficientes y se con-serva la parte literal. Por ejemplo:
5.2x + 7.3x = 12.5x
5.2 + 7.3 = 12.5
IV.ElperímetrodeltriánguloABCes13x.
¿CuáleslamedidadelladoBC?
Comparensusrespuestasycomenten:
¿QuéoperaciónhicieronparaencontrarlamedidadelladoBC?
3x
1.5x
x
2x
x
6.5x
4.5x
6x
8x
2x
3x
4x
C
AB
34
SECUENCIA 2
A lo que llegamosPara restar términos semejantes se restan los coeficientes y se conser-va la parte literal. Por ejemplo:
7x – 4x = 3x
7 – 4 = 3
Lo que aprendimos1. Elanchodeunrectánguloes15x,yellargotienelamedidadelanchomás3x.Dibu-
jaentucuadernoelrectánguloconlamedidadesusladosyescribelaexpresiónquecorrespondeasuperímetro.
2. Escribelaexpresióndelperímetroparacadaunodelossiguientespolígonosregulares.
2x 1.2z 2.4y
P = P = P =
3. Encuentraelvalorfaltanteencadaunadelasigurassiguientes.
a) b)
Elperímetrodeltriánguloisósceleses5y.¿Cuántomidecadaunodeloslados
iguales?
Elperímetrodelrectánguloes8y.¿Cuántomidedelargo?
y
y
35
IIMATEMÁTICAS
A MEDIR CONTORNOS
Para empezarSonbinomiosexpresionesalgebraicascondostérminoscomolassiguientes:
x + 3
x + z
y – 53
2x 2 + 7
Consideremos lo siguienteEnelsiguienterectángulosehandeterminadolasmedidasdelabaseylaaltura.
Largo = 2x
An
ch
o =
x +
2
a) ¿Cuáleslaexpresiónalgebraicaquerepresentaelperímetrodelrectángulo?
Comparensusrespuestasycomenten:
¿Cómoobtuvieronelperímetrodelrectángulo?
Manos a la obraI. ¿Cuálesdelassiguientesexpresionespermitenencontrarelperímetrodel
rectánguloanterior?Subráyenlas.
x + 2 + 2x
2x + 2x + (x +2) + (x + 2)
2x + (x +2) + 2x +(x + 2)
(3x + 2) + (3x + 2)
SESIÓN 2
Recuerden que:
Dos términos son semejantes
cuando:
1) tienen la misma parte
literal, como 3w y 2w.
2) son términos numéricos,
como -2, 8.
36
SECUENCIA 2Comparensusrespuestasycomenten:¿porquélasexpresionesqueseñalaronrepresen-tanlomismo(elperímetrodelrectángulo)?
II. Enlasesiónanterioraprendieronasumartérminos semejantes:sumar los coeicien-tes y conservar la parte literal.¿Cómosumaríanlostérminossemejantesdelasex-presionesanteriores?Contestenlassiguientespreguntas.
a) Parahacerlasuma2x + 2x + (x + 2) + (x + 2)sesumanlostérminossemejantes.Completen:
2x + 2x + (x + 2) + (x + 2) = +
2x + 2x + x + x = 2 + 2 =
b) Sumalostérminossemejantesdelassiguientesexpresiones:
2x + (x +2) + 2x +(x + 2) = +
x + 2 + 2x = +
(3x + 2) + (3x + 2) = +
Comparensusresultados.
III.¿Cuáleslaexpresiónalgebraicaquerepresentaelperímetrodelsiguienterectángulo?
x + 2
3x – 1
Comparenlassolucionesqueobtuvieron.Sumenlostérminossemejantesyveriiquensiobtienenelmismoresultado.
El paréntesis en (x + 2) se
usa para indicar que x + 2
es la medida de un lado del
rectángulo y el paréntesis se
puede quitar.
37
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosPara sumar binomios se suman los términos que son semejantes.
(2x + 3) + (x – 2) = 3x + 1
2x + x = 3x 3 – 2 = 1
Lo que aprendimos 1. Laalturadeunrectánguloesx,ylabasees5unidadesmayorquelaaltura.Dibuja
entucuadernoelrectánguloconlamedidadesusladosyescribelaexpresiónquecorrespondeasuperímetro.Noteolvidesdesumarlostérminossemejantes.
P =
2. Escribelaexpresiónquecorrespondealperímetrodecadapolígono.Noteolvidesdesumarlostérminossemejantes.
a) b)
Perímetro: Perímetro:
3. Elperímetrodelrectángulodeladerechaes10y + 6.
¿Cuáleslamedidadellargo?
2r
r + 1 r + 1
r
r + 2
r + 2
r r
r r
2y + 1
38
SECUENCIA 2
Recuerden que:
Para restar números enteros, al minuendo
se le suma el simétrico del sustraendo:
A - B = A + (simétrico de B)
A - B = A + (-B)
SESIÓN 3 LA TABLA NUMÉRICAPara empezarEnlacolumnaxdelasiguientetablaseencuentranalgunosnúmerosenteros.
Losnúmerosdelascolumnas:2x,3x,–3x,0x,y–x seobtuvieronalmultiplicarelcoei-cientedecadaexpresiónalgebraicaporelvalordexqueestáensumismorenglón.
x 2x 3x –3x 0x -x 3x – x 3x + (–x)
5 2×5=10 3×5=15 –3×5=–15 0×5=0 –1×5=–5 15 – 5 =10 15 + (–5) = 10
4 8 12 –12 0 –4 8 8
3 6 9 –9 0 –3 6 6
2 4 6 –6 0 –2 4
1 2 3 –3 0 –1 2
0 0 0 0 0 0 0 0
–1 2x(–1) = –2 3x(–1) = –3 (–3)×(1)=+3 0×(-1)=0 (–1)×(1)=+1(–3) – (–1)=
(–3) +(+1)=–2(–3) +(+1)=–2
–2 –4 –6 6 0 2 –4
–3 –6 –9 9 0 3 –6 –6
–4 –8 –12 12 0 4 –8
–5 –10 –15 15 0 5 –10
Tabla 1
Recuerda que:
–x = –1 por x
Completenlatablaycoementen:
¿Porqué3x – xequivalearestarelvalordexa3x?
¿Porquéelvalorde3x + (– x)equivaleasumarelvalorde– xa3x?
•
•
39
IIMATEMÁTICAS
Consideremos lo siguienteLas expresiones algebraicas del renglón superior de las primeras seis columnas son:x,2x,3x,–3x,0x,y–x.
a)¿Cuáldeellaseselresultadodelaresta3x – x?
b)¿Cuáleselresultadodelasuma3x + (–x)?
Comparensusrespuestasycomenten:
¿Cómohicieronlasoperaciones?
Manos a la obraI. Observenlatabla1ycontesten:
a) ¿Quécolumnastienenlosmismosnúmerosquelacolumna3x + (–x)?
Siseagregaranlacolumna2x + (–3x )ylacolumna2x + (–x ):
b) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendría los mismos números que la columna
2x + (–3x )?
c) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendría los mismos números que la columna
2x + (–x )?
Comparensusrespuestasycomenten:
¿Porquécreenquelacolumna3x + (–x )tienelosmismosresultadosquelacolumna2x?
A lo que llegamosPara sumar términos semejantes con coeficientes que son números con signo, se suman los coeficientes y se conserva la parte literal. Por ejemplo:
6x + (–8x ) = –2x
6 + (–8) = 6 – 8 = –2
40
SECUENCIA 2II. Agregenalatabla1lacolumna2x – (–x )yescribanlosnúmerosquedebeniren
cadarenglón.
a) ¿Quécolumnatienelosmismosnúmerosquelacolumna2x – (–x )?
b) ¿Cuáleselresultadodelaoperación2x – (–x )?
Siseagregaranlacolumnax – (–x )ylacolumna–x – (–3x ):
c) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendría los mismos números que la columna
x – (–x )?
d) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendría los mismos números que la columna
–x – (–3x )?
Comparen sus respuestas y comenten cómo encontraron el resultado de las restasanteriores.
A lo que llegamosPara restar términos semejantes con coeficientes negativos, se restan los coeficientes y se conserva la parte literal.
– 2x – (– 5x ) = 3x
– 2 – (– 5) = – 2 + (+5) = +3
III.Apliquenlasdosreglasanterioresparaencontrarelresultadodelasoperaciones:
a) 4x + (–x ) =
b) 2x – x =
c) x – (–x ) =
Comparensusrespuestas.
IV.Completenlassiguientesoperacionessumandoorestandotérminossemejantes.
a) x – = 0x = 0
b) x + = –2x
c) 2x + = 0x = 0
d) –3x – = –2x
e) x – = 5x
Recuerden que:
El coeiciente de -x es -1
41
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimos1. Paracadaoperacióndelaizquierdaescogesuresultadodelasexpresionesqueapa-
recenenlacolumnadeladerecha.
Operaciones Resultadosposibles
a) 5x + (–3x) = 2x
b) –5x – (–3x) = –8x
c) 5x – (+3x) = –2x
d) –5x + (3x) = +8x
e) –3x – (–5x) =
2. Ellargodeunterrenorectangularmide12.5metrosmenosqueeldobledelancho.Labardaquelorodeamide197metros.Sielanchomidexmetros:
Largo
An
ch
o =
x
a) ¿Quéexpresiónalgebraicacorrespondealamedidadellargo?
b) ¿Quéexpresióncorrespondealperímetro?
c) ¿Cuántosmetrosmidecadaladodelterreno?
Ancho: metrosLargo: metros
3. Un comerciante vendió cierta cantidad x de aguacate el lunes, el martes vendió20kgmásqueellunesyelmiércoleslefaltaron5kgparavendereltripledeloquevendióellunes.Sienlostresdíasvendióentotal167.5kgdeaguacate:
a) ¿Quécantidaddeestafrutavendiócadadía?
Lunes: kgMartes: kgMiércoles: kg
b) ¿Quédíavendióunpocomásde50kgdeaguacate?
c) ¿Quédíavendió86.5kg?
42
SECUENCIA 2
CUADRADOS MÁGICOS Y NÚMEROS CONSECUTIVOSPara empezarLa magia de los chinos
Elorigendeloscuadradosmágicosesincierto,aunquesabemosqueantiguascivilizacioneslosconocieron.Sepiensaquesuorigensedahacecercade400añosenlaantiguaChina.
Enelsiguientecuadradomágico,lassumasdelostresnúmerosdecadarenglón,decadacolumnaydecadadiagonaldancomoresultadoelmismonúmero.
Entotalhayochosumas.Compruebaquetodasdanelmismonúmerocomoresultado.
Lo que aprendimos1. Losnúmerosconsecutivos:–6,–5,–4,–3,–2,–1,0,1y2sepuedenacomodarenun
cuadradomágicoparaque sus renglones, columnasydiagonales sumenelmismonúmero.Completaelcuadradomágicousandolosnúmerosqueseproporcionan.
Númerosfaltantes:–6,–5,–4,–3y2
1
–2
0 –1
13 6 11
8 10 12
9 14 7
SESIÓN 4
43
IIMATEMÁTICAS
2. Paraelsiguientecuadradomágicolosnuevenúmerosconsecutivosestánrepresenta-dosporlasexpresionesalgebraicas:n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5,n+6,n+7,n+8.
Acomodalasexpresionesfaltantesdemaneraquelosrenglones,columnasodiago-nalessumenlomismo.
Expresionesquefaltacolocar:n+2, n+3, n+5, n+6 y n+7.
Hazlassiguientessumasparaveriicarsilosrenglones,columnasodiagonalessumanlomismo.Noteolvidesdesumarlostérminossemejantes.
a)Renglónsuperior: n + ( ) + ( ) =
b)Renglóncentral: (n + 4) + ( ) + ( ) =
c)Renglóninferior: (n + 8) + (n + 1) + ( ) =
d)Columnaizquierda: =
e)Columnacentral: n + (n + 4) + (n + 8) =
f)Columnaderecha: (n + 1) + ( ) + ( ) =
g)Diagonaldeizquierdaaderecha ( ) + (n + 4) + (n + 1) =
h)Diagonaldederechaaizquierda ( ) + (n + 4) + ( ) =
n
n + 4
n + 8 n + 1
44
SECUENCIA 23. Realizalassiguientessumas:
a) 1 + 2 + 3 =
b) 2 + 3 + 4 =
c) 15 + 16 + 17 =
d) n + (n+1) + (n+2) =
e) ¿Porquélasumadetresnúmerosconsecutivosesunmúltiplode3?
4. Realizalassiguientessumas:
a) 1 + 2 + 3 + 4=
b) 10 + 11+ 12 + 13 =
c) 45 + 46 + 47 + 48 =
d) 100 + 101 + 102 + 103 =
e) n + (n+1) + (n+2) + (n +3) =
f) ¿Seráciertoquelasumadecuatronúmerosconsecutivosesunmúltiplode4?
Justiicaturespuesta
5. Lasumadecinco númerosconsecutivosesunmúltiplode5.Realiza lasiguientesumaparacomprobarlo.
n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) =
¿Porqué5n+10esmúltiplode5?
6. Lasumadenuevenúmerosconsecutivosdeuncuadradomágicoesunmúltiplode9.
a) Realizalasiguientesumaparacomprobarlo.
n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) + (n+6) + (n+7) + (n+8) =
b) ¿Porquéelresultadodelasumaanterioresunmúltiplode9?
Recuerda que:
Los múltiplos de 3 se obtienen al
multiplicar los números enteros por 3.
Son múltiplos de 3:
…, –9, –6, –3, 0, 3, 6, 9, 12, …
45
IIMATEMÁTICAS
Para saber más
Sobre resolución de cuadrados mágicos consulta:http://interactiva.matem.unam.mx Ruta: Secundaria Juegos aritméticos Un cuadrado mágico.[Fecha de consulta: 23 de mayo de 2007].Proyecto Universitario de Enseñanza de la Matemáticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.
Explora las actividades del interactivo Suma y resta de expresiones algebraicas.
46
SECUENCIA 3
En esta secuencia reconocerás y obtendrás expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos
EXPRESIONES EQUIVALENTESPara empezarEnprimerañoaprendisteaobtenerexpresionesalgebraicasparacalculareláreadedis-tintasigurasgeométricas.Porejemplo,paraunrectángulodealturaaybasebobtuvis-telaexpresiónab.
Deigualmanera,laexpresión4brepresentaeláreade un rectángulo que mide 4 unidades de altura(a = 4)ybunidadesdebase.
Lossiguientesrectángulostienenaltura4ydistintasbases:2,3y6.Eláreadecadaunosepuedecalcularusandolaexpresión4b.Calculalasáreasusandoestaexpresión.
SESIÓN 1
Expresiones algebraicas y modelos geométricos
Recuerda que:
ab = a ×b
4b = 4 ×b
4
b
4 cm
b = 2 cm
Área=
4 cm
b = 3 cm
Área=
4 cm
b = 6 cm
Área=
47
IIMATEMÁTICAS
Enestasecuenciaencontrarásdistintasexpresionesalgebraicasquerepresentandisitintasformasdecalculareláreadeunrectángulo.Parasimpliicarloscálculosomitiremoslasunidadesdemedidadesuslados.Puedespensarquesetratademedidasencentímetros.
Consideremos lo siguienteDelassiguientesexpresiones,¿cuálesrepresentaneláreadelrectánguloenmarcadoenrojo?
4
a 2
a) 4(a + 2) b) 4a + 8 c) 4a + 2 d) 2(a + 2) + 2(a + 2)
Comparensusrespuestasycomenten:
¿Cómosabencuálessoncorrectasycuálesno?
Manos a la obraI. Contestenlassiguientespreguntas.
a) ¿Cuáleslamedidadelaalturadelrectánguloenmarcadoenrojo?
altura =
b) Escribanunaexpresiónquerepresentelamedidadelabasedeesterectángulo.
base =
c) ¿Quéexpresiónresultaalmultiplicarlamedidadelaalturaporlamedidadelabase?
altura × base =
Recuerden que:Para indicar que un número multiplica a una expresión se usan los paréntesis:
5 (b + 3) = 5 × (b + 3)
48
SECUENCIA 3II. Realicenlosiguiente.
a) Escribanunaexpresiónquerepresenteeláreadelrectánguloverde oscuro:
b) Escribanunaexpresiónquerepresenteeláreadelrectánguloverde claro:
c) Observenqueeláreadelrectánguloenmarcadoenrojoeslasumadeláreadelrectánguloverde claroydelverde oscuro.Escribanotraexpresiónquerepresen-teeláreadelrectánguloenmarcadoenrojoapartirdeláreadelosrectángulosverde claroyverde oscuro:
Comparensusrespuestas.
III.Enlasiguienteigura,lasupericiedelrectánguloenmarcadoenrojosedividióconunalíneahorizontal.
2
a + 2
2
a) Escribanunaexpresiónquerepresenteeláreadelrectángulogris oscuro:
b) Escribanunaexpresiónquerepresenteeláreadelrectángulogris claro:
c) Usandolasexpresionesanteriores,escribanunaexpresiónquerepresenteeláreadelrectánguloenmarcadoenrojo:
49
IIMATEMÁTICAS
IV.Dividanelrectángulodeabajoyusenesadivisiónparaencontrarotraexpresiónal-gebraicaquerepresentesuárea.
a + 2
4
Área =
Comparensusrespuestasycomentenlasiguienteinformación.
Existen varias expresiones algebraicas que representan el área de un rectángulo de medidas 4 y (a + 2). Por ejemplo, las tres expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2) representan su área.
V. Contestenlassiguientespreguntas:
a) ¿Cuántovalelaexpresión4(a + 2),sia = 3?
b) ¿Cuántovalelaexpresión4a + 8,sia = 3?
c) ¿Cuántovalelaexpresión2(a + 2)+2(a + 2),sia = 3?
VI.Completenlasiguientetablacalculandoelvalordelasexpresiones4(a + 2),4a + 8y2 (a + 2) + 2 (a + 2)paralosvaloresdeaindicadosenlaprimeracolumna.
a 4(a + 2) 4a + 8 2(a + 2)+2(a + 2)
4 4(4+2)=4(6)=24
4.5 4(4.5)+8=18+8=26
5
5.5
6 2(6+2)+2(6+2)=2(8)+2(8)=16+16=32
50
SECUENCIA 3Comparenlosresultadosqueobtuvieronenlastrescolumnasycomenten:
¿Creenqueparacualquierotrovalordealastresexpresionescoincidan?
Porejemplo,¿coincidiránparaa = 163.25?
A lo que llegamosLas expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2) siempre dan el mismo resultado al asignarle valores a a, pues representan el área del mismo rectángulo, por lo que se puede escribir:
4(a + 2) = 4a + 8 = 2(a + 2) + 2(a + 2)
A este tipo de expresiones se les llama expresiones equivalentes.
VI.Completenlasiguientetabla.
a 4a + 2
4
4.5 4(4.5) + 2 = 18 + 2 = 20
5
5.5
6
Laexpresión4a + 2no representaeláreadeun rectángulode ladosquemiden4 y
(a + 2),¿porqué?
Lo que aprendimos1. Lassiguientesigurassondibujosdelmismorectángulo,condistintasdivisionesdesu
supericie.Paracadaunadeestasigurasescribeunaexpresiónalgebraicaquerepre-sentesuáreaapartirdeladivisiónquesepropone.
b + 2
3
Expresión: 3(b+2)
51
IIMATEMÁTICAS
2. Encuentren dos expresiones equivalentes que repre-sentaneláreadelrectángulogrisoscuroapartirdelaiguraquesepropone.
Llenenlasiguientetablaparaveriicarquelasexpresionesqueobtuvierondanelmismoresultadoalsustituirlosvaloresc = 3,3.5,4,4.5yalgúnotrovalorqueelijan.
Expresión 1 Expresión 2
c
3
3.5
4
4.5
3. Dividanlaiguradeladerechaenrectángulosdeme-nor área y encuentren dos expresiones equivalentesquerepresenteneláreadelaiguracompleta.
2
b + 2
1
Expresión:
b 2
3
Expresión:
=
Expresión 1 Expresión 2 c
3
2
=
a + 2
a
52
SECUENCIA 3
MÁS EXPRESIONES EQUIVALENTESPara empezarEnlasesión1aprendisteaobtenerexpresionesalgebraicasequivalentesapartirdeunrectángulo.Enesta sesiónaprenderásaobtenerexpresionesequivalentesapartirdeotradada.
Consideremos lo siguienteParacadaunadelassiguientesexpresionesencuentrenunaexpresiónequivalente.
a)3(x +2) = b)2(2x + 4) =
Comparensusrespuestasycomentencómohicieronparaencontrarlas.
Manos a la obraI. Dibujenunrectángulocuyaáreaserepresenteconlaexpresión3(x+2)
SESIÓN 2
Dividanlasupericiedelrectánguloanteriorenvariosrectángulospequeños.Encuentrenlasexpresionesquecorrespondenaláreadecadaunode los rectángulospequeñosyanótenlas:
3(x+2) =
Comparensusrespuestas.Comentencómodividieronlasupericiedelrectángulograndeycómoencontraroneláreadecadaunodelosrectángulospequeños.
Expresión Rectángulo
3(x+2)
53
IIMATEMÁTICAS
II. Dibujenunrectángulocuyaáreaserepresenteconlaexpresión2(2x + 4),divídanloenrectángulosmáspequeñosyencuentrensusáreas.
Expresión Rectángulo
2(2x + 4)
2(2x + 4) =
Comparensusrespuestasycomenten:¿sonequivalenteslasexpresionesqueobtuvieron?¿Porqué?
III.Usenlasiguienteiguraparaencontrarunaexpresiónequivalenteax 2 + 2x.
x 2 2x
x 2 + 2x =
54
SECUENCIA 3
A lo que llegamosMás expresiones equivalentes
Cuando se quiere encontrar una expresión equivalente a otra dada, puede ser útil cons-truir un rectángulo cuya área se represente con la expresión. Por ejemplo, para la expre-sión dada 3(2x + 1) se puede construir un rectángulo que mida 3 unidades de altura y 2x+1 unidades de la base:
x x 1
1
1
1
Dividiendo este rectángulo en piezas de menor área se puede ver que la expresión 6x+3 también sirve para calcular su área, y por lo tanto es equivalente a la expresión 3(2x+1).
Lo que aprendimos1. Paracadaunadelassiguientesexpresionesencuentraunaexpresiónequivalentea
ésta.
a)3(2x+3) = b)x(2x+4) =
2. Paracadaunodelossiguientesrectángulosanotalasmedidasdesusladosenloses-paciosmarcados,ydespuésusa laiguraparaescribirdosexpresionesequivalentesquerepresentensuárea.
a)
5a 15
=
55
IIMATEMÁTICAS
b)
a 2 4a
=
3. Ayúdatedelasiguienteiguraparaencontrarunaexpresiónequivalentealaexpresión
(b + 1)(b + 2) =
b 1
b
1
1
Para saber másSobre otras expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos consulta: http://www.interactiva.matem.unam.mx Ruta: Álgebra Una embarrada de álgebra Binomio al cuadrado [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.
56
SECUENCIA 4
En esta secuencia determinarás la medida de ángulos usando tu transportador, y deducirás algunas medidas sin usarlo.
MEDIDAS DE ÁNGULOSPara empezar El grado como unidad de medida
Laregularidaddelosfenómenosnaturalesyastronómicosinteresóahombresdetodoslostiempos.Antiguascivilizaciones,comolababilónica,estimaronladuracióndelañoen360días.ComoestascivilizacionespensabanqueelSolgirabaalrededordelaTierra,dividieronen360 parteslatrayectoriaenlaqueveíanmoversealSol,haciendocorres-ponderacadaparteundíayunanoche.Esprobablequedeestadivisiónsederiveladivisióndeungirocompletoen360partes,llamadasgrados.
Lossiguientessonalgunosángulosqueencontrarásfrecuentementeentussecuenciasdegeometría.Observasusmedidasysusnombres.
Ángulos
SESIÓN 1
90º
180º
270º
360º
Ángulo recto Ángulo llano Ángulo entrante
Son los ángulos que miden más de 180º
y menos de 360º
Ángulo perigonal
Consideremos lo siguienteEnelbaúlde supapá, Jaimeencontróunviejopergaminoenelque se indicacómoydóndeencontraruncofrellenodemonedasdeoro.Lasindicacionesparallegaralte-soroestabanclaras,perounamanchadeaguaborróelmapa.SiguelasindicacionesyayúdaleaJaimeareproducirelmapa.Supónqueunpasoesigualauncentímetro.
57
IIMATEMÁTICAS
Comparensusmapasycomentencómohicieronparareconstruirlos.
Manos a la obra I. Encierraconuncírculolasilustracionesenlasqueeltransportadorseutilicedema-
neracorrectaparamedirelángulo.
Para encontrar el cofre tienes que llegar a la meseta del Cerro Colorado y caminar hasta el monolito que ahí encuentres. Luego, tienes que sentarte en el monolito viendo hacia al Este, gira 60º al Norte y camina de frente 3 pasos. En ese punto clava una estaca. Regresa al monolito y siéntate viendo al oeste. Gira 150º al sur y camina de frente 4 pasos, en este punto clava otra estaca. El cofre está enterrado justo a la mitad de la distancia entre las dos estacas.
1
4
2 3
5
58
SECUENCIA 4
monolito
estaca 1
monolito
estaca 1
monolito
estaca 1
monolito
estaca 1
Comparensusrespuestasycomentenloserroresquedescubrieronenelusodeltrans-portadorenlasilustraciones.Comenten¿enlailustracióndeabajoseestámidiendodemaneracorrectaelángulo?
II. ¿Cuáldelossiguientesánguloscumpleconlasindicacionesdelmapaparadetermi-narellugardelaprimeraestaca?
Comparensusresultadosycomentenloserroresquedescubrieronenlosángulos.Veri-iquensusmapas.Siesnecesario,háganlosotravez.
A lo que llegamosAl medir un ángulo hay que colocar la marca central del transportador sobre el vértice del ángulo. La marca que corresponde a 0° debe coincidir con un lado del ángulo.
115º115º
59
IIMATEMÁTICAS
III. Acontinuaciónsepresentaunaformademedirángulosmayoresde180º.
D
E
F
Prolongaunodelosladosdelángulomarcadodeformaquelaprolongaciónlodivi-daendosángulos.
a) ¿Cuántomidecadaunodelosángulosqueseformaron? y
b) ¿Cuántomideelángulo marcadooriginalmente?
Comparensusrespuestasycomenten:¿habráalgunaotramanerademedirunángulomayorque180º?¿Cuál?
IV.Recuerdaqueunángulo estáformadopordossemirrectasquetienenelmismopun-toinicial.Alassemirrectasselesllamalados delángulo.Alpuntoinicialselellamavértice.
ladovértice
lado
60
SECUENCIA 4 Anotaenloscuadritoslosnúmerosdel1al5paraordenardemayoramenorlossi-
guientesángulos.
Comparensusrespuestas.Comenten:
a)¿Enquéseijaronparacompararlosángulos?
b)¿Cuántomidecadaunodelosángulos?
A lo que llegamosLa medida de un ángulo no depende de la longitud de sus lados. Por ejemplo, el ángulo azul y el ángulo verde miden 100º.
61
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimos1. Consideralassiguientessemirrectascomounladoysupuntoinicialcomovértice.
Construyelosángulosquesepiden,utilizatutransportador.
2. Usatutransportadorydeterminacuántomidenlosángulosmarcados.
3. Variosestudiantesfueronalmuseoysepararonfrenteaunadelaspinturasparaobservarlamientrasescuchabanlaexplicacióndelguía.Lasigurasmuestranlafor-macomoseacomodaronlosestudiantes.Aindeverlapinturacompleta,identiicaquiéntieneelmayorángulo.
¿Cuáldetodostieneelmayoránguloparaverlapinturacompleta?
E
120º
Q
210º
R
70º
62
SECUENCIA 4
ÁNGULOS INTERNOS DE TRIÁNGULOSPara empezarUnángulosepuederepresentarpormediodeunaletramayúsculaasignadaasuvértice.Porejemplo,elsiguienteángulosepuederepresentarcomo D.
D
Consideremos lo siguiente¿Cuálesdelassiguientesternassonlasmedidasdelosángulosinternosdeuntriángulo?Construyeeltriángulocorrespondiente.UtilizaelsegmentoABcomounodeloslados.
a) 30°,60°,70°
A B
¿Pudisteconstruireltriángulo?
Justiicaturespuesta
b) 50°, 70°,120°
A B
¿Pudisteconstruireltriángulo?
Justiicaturespuesta
SESIÓN 2
63
IIMATEMÁTICAS
c) 50°,60°,70°
A B
¿Pudisteconstruireltriángulo?
Justiicaturespuesta
Comparensusrespuestasycomentencómoconstruyeronsustriángulos.
Manos a la obraI. Lasiguienteiguramuestraunaconstrucciónincompletaenlaqueseintentacons-
truireltriánguloconlaternademedidas30º,60º y70°yconelsegmentoNMcomounodesuslados.Completalaconstrucción.
a) Con tu transportadormideel tercerángulointernodeestetriángulo.
¿Cuántomide?
b) ¿Cuánto suman las medidas de losángulosinternosdeestetriángulo?
Comparensusrespuestas.
II. Enlasiguienteiguraseintentaconstruiruntrián-guloconlaterna50°,70°y120°comomedidasde sus ángulos internos y con el segmento QRcomounodesuslados.Completalaconstrucción.
¿Pudisteconstruireltriángulo?
Justiicaturespuesta
N M
70º30º
Q R
120º
64
SECUENCIA 4Comparensusconstruccionesycomenten:
a)SielánguloenelvérticeQmide 50°,¿cuántomideeltercerángulointerno?
b)¿Sepuedeconstruiruntriángulocondosángulosinternosquemidan70°y120°?¿Porqué?
III. Dibujauntriánguloenunahojablanca,pintacadaunodesusángulosinternosdeuncolordistinto.Cortaeltriánguloentrespartesdemaneraqueencadapartequedeunodelosángulosinternos.Pegalastresparteshaciendocoincidirlosvérticesenunpunto rojo,comoseindicaenlasfotos.Tencuidadodequenoseencimenlaspartesyquenodejenhuecosentreellas.
¿Cuántomideelánguloqueseobtienealpegarlostresángulosdeltriánguloquedibujaste?
Comparensusrespuestasycomenten:
¿Creenquesidibujanotrotriángulo, lamedidadelánguloformadoalpegarsustresángulosinternossealamisma?¿Porqué?
65
IIMATEMÁTICAS
IV. Midelosángulosinternosdelossiguientestriángulos.Anotalasmedidasenlatabla.
P
Q
R
X
WY
A
C
B
Triángulo Ángulo Ángulo Ángulo
Suma de las medidas de los
tres ángulos internos
ABC A=
WXY W=
PQR
HIJ J=
A lo que llegamosLa suma de las medidas de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a 180º.
H
I
J
66
SECUENCIA 4
Lo que aprendimos1.Lostriángulosequilaterostienensustresángulosinternosiguales.Sinusartransportador,contestalapregunta.
¿Cuántomidecadaunodelosángulosinternosde
cualquiertriánguloequilátero?
DEDUCCIÓN DE MEDIDAS DE ÁNGULOSPara empezar¿Sabías que en todos los triángulos isóscelesdos de sus ángulos internos son iguales?
Veriicaestapropiedadenlossiguientestrián-gulosisóscelesypintadelmismocolorlosán-gulosqueseaniguales.
SESIÓN 3
Recuerda que:
Se llaman triángulos isósceles
los triángulos que tienen
dos lados iguales.
Acontinuaciónsepresentanvariosproblemassobremedidasdeángulos.
Recuerda que:
Se llaman triángulos
equiláteros aquellos
que tienen sus tres
lados iguales.
67
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimosOtra forma de representar ángulos es con tres letras mayúsculas, una para el vértice y dos para un punto de cada lado del ángulo. Así, el ángulo
S
R
T
se representará como TSR. Observen que la letra correspondiente al vértice se coloca en medio de las otras dos.
1. ElpentágonoregularestáinscritoenuncírculodecentroOyradioOA.
O
AB
C
Sinutilizarinstrumentosdemediciónresponde:¿cuántomide ABC?
Comparenycomentensusrespuestas.
Respondelassiguientespreguntas.
a) ¿Cuántomideelángulocentraldelpentágono?
b) ¿QuétipodetriánguloesOAB?
c) ¿Cuántomiden OABy OBA?
d) OBA = OBC ¿por qué?
68
SECUENCIA 42. Enlossiguientestriángulosisóscelessemarcólamedidadelánguloformadoporlos
ladosiguales.Seleccionadelrecuadrolasmedidasdelosángulosfaltantesyanótalaseneltriángulocorrespondiente.
3. Determinaelvalordelosángulosmarcadosyescribeentucuadernoelprocesoqueutilizasteparadeterminarelvalordecadauno.
Hexágono regularPentágono formado
por un rectángulo y un triángulo equilátero
54º 80º 67.5º 33.5º 40º
113º
72º
100º
45º
69
IIMATEMÁTICAS
4. Sinutilizarinstrumentosdemedición,determinalamedidadelosángulosmarcadosconrojoenlasilustraciones.
50º
T
S
RN
M O
RST= MNO=
Para saber másSobre ángulos y cómo interactuar con ellos consulta:http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Medicion_de_angulos/index.htmRuta 1: El transportador de ángulosRuta 2: Ángulos complementarios y suplementarios[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España.
70
SECUENCIA 5
¿Cómo se llaman las rectas que no se cortan?, ¿y las que sí se cortan?; cuando dos rectas se cortan se forman cuatro ángulos, ¿cómo se relacionan sus medidas?
Este tipo de preguntas son las que podrás contestar cuando termines de estudiar esta secuencia.
RECTAS QUE NO SE CORTANPara empezarDesdelaescuelaprimariahasestudiadoeltrazodeparalelasusandodistintosrecursos,¿lorecuerdas?Unodeesosrecursosfueeldobladodepapel.Consigueunahojayhazlosdoblecestalcomosemuestraenlaiguraymarcalasrectasparalelas.Despuéspegalahojaentucuaderno.
SESIÓN 1
Rectas y ángulos
Recuerden que:
La distancia de un punto a una
recta se mide sobre la perpendicular
del punto a la recta.
Observen:
Consideren que la recta roja representa una carretera y que1cmrepresenta1km.LacasadeLetyestásituadaa2 kmdelacarreteradelladodondeestáelpuntoazul,señalaconpuntoscincolugaresdondepodríaestarlacasadeLety.
Consideremos lo siguiente
71
IIMATEMÁTICAS
Silocalizaronbienloscincopuntospodránunirlosconunalínearecta,tracenesalínearecta.
a) ¿Cómosonentresílarectarojaylaqueacabandetrazar?
b) Anotendoscosasdesualrededorquerepresentenrectasparalelas.
y
c) Escribanunadeiniciónpararectasparalelas.
Comparen lasdiferentesdeinicionesde rectasparalelascon suscompañerosy,entretodos,elijanaquellasquelesparezcanadecuadas.Sicreenquealgunaesincorrectatra-tendedarunejemplodeporquélaconsideranincorrecta.
Manos a la obraI. Encadacasomarquencon silasrectasrepresentadassonparalelas.
II. SedeseatrazarunaparalelaalarectaquepaseporelpuntoP.
1 2 3
4 5 6
P
72
SECUENCIA 5Lasiguienteiguramuestraunprocedimientocompletoconelque,usandoreglaycom-pás,setrazóunarectaquepasaporelpuntoPyesparalelaalarectanegra.
Analicenlaiguray
a)Reprodúzcanlaensucuaderno.
b)Escribanconsuspropiaspalabraslasecuenciadepasosquesiguieron.
III. Subrayenlasdosdeinicionescorrectasderectasparalelas.Encuantoalasincorrec-tas,busquenunejemploparamostrarporquéloson.
a)Sonrectashorizontales.
b)Sonrectasquesiempreconservanlamismadistanciaentresí.
c)Sonrectasquenosecortan.
d)Sonrectasquetienenlamismamedida.
A lo que llegamos
Las rectas que no se cortan se llaman rectas paralelas.
Si una recta m es paralela a la recta n, esto se escribe: m II n.
P
OC
P'
O'C'
73
IIMATEMÁTICAS
SESIÓN 2
Lo que aprendimos1. Buscaunamaneradetrazarrectasparalelasusandosóloreglaytransportador.Cuan-
dolohayashechocomentaengrupolosdiferentesprocedimientos,ysienalgunonoestándeacuerdoargumentensusrazones(pista:analizalosdoblecesquehicistealiniciodelasesión,teayudaráaresolveresteproblema).
2. Encadacaso,trazaunarectaparalelaalarectalquepaseporelpuntoM.
RECTAS QUE SE CORTANPara empezarTambiénlasrectasperpendicularespuedentrazarseusandodistintosrecursos,comoeldo-bladodepapel.Consigueunahojayhazlosdoblecesquesemuestranenlaigura,marcalasrectasperpendicularesydespuéspegalahojaentucuaderno.
M
l
l
M
74
SECUENCIA 5
Consideremos lo siguienteEnelprimerrecuadrotracendosrectasquesecortenformandocuatroángulosigualesyenelsegundorecuadrotracendosrectasquesecortenformandoángulosquenoseantodosiguales.
a) ¿Cuántomidecadaunodelosángulosdelprimerrecuadro?
b) Sitrazaronbienlasrectasdelprimerrecuadro,setratadedos
rectasperpendiculares.Anotendoscosasdesualrededorque
representenrectasperpendiculares.
c) Escribanunadeiniciónpararectasperpendiculares.
d) Las rectas que trazaron en el segundo recuadro se llaman
oblicuas.Escribanunadeiniciónpararectasoblicuas.
Comparenlasdiferentesdeinicionesderectasperpendicularesyrectasoblicuasconlasdesuscompañerosyentretodoselijanaquellasquelesparezcanadecuadas.Sicreenquealgunaesincorrectatratendedarunejemplodeporquéloes.
Manos a la obraI. Encadacasoanotensilasrectasrepresentadassonperpendicularesuoblicuas.
1 2 3
4 5 6
75
IIMATEMÁTICAS
II. SedeseatrazarunarectaquepaseporelpuntoPyqueseaperpendicularalarectadada.
Lasiguienteiguramuestraunprocedimientocompletoparahacereltrazoconreglaycompás.
Analicenlaiguray
a)Reprodúzcanlaensucuaderno.
b)Escribanconsuspropiaspalabraslasecuenciadepasosquesiguieron.
III. Subrayenlasdosdeinicionescorrectaspararectasperpendicularesypararectasoblicuas,paralasotrasdeinicionesdenunejemplodeporquélasconsideranin-correctas.
Rectasperpendiculares:
a)Sondosrectas,unaverticalyotrahorizontal
b)Sonrectasquesecortanformandoángulosrectos
c)Sonrectasquenosecortan
d)Sonrectasquealcortarseformancuatroángulosiguales
Rectasoblicuas:
a)Sonrectasquesecortanformandoángulosiguales
b)Sonrectasquesecortanformandodosángulosagudosydosobtusos
c)Sonrectasquesecortanformandoángulosquenosonrectos
d)Sonrectasquenosecortan
O P O'
P
76
SECUENCIA 5
A lo que llegamosSi dos rectas que se cortan forman ángulos de 90º, entonces se lla-man rectas perpendiculares; si se cortan formando ángulos que no son de 90º, se llaman rectas oblicuas.
Si una recta p es perpendicular a la recta q, esto se escribe: p q.
Para indicar que un ángulo mide 90º, es decir, que es recto, se coloca en el ángulo una marca como la roja.
Lo que aprendimos1. Busquenunamaneradetrazarrectasperpendicularesusandosóloreglaytranspor-
tador;cuandolohayanhechocomentenengrupolosdiferentesprocedimientos,sienalgunonoestándeacuerdoargumentensusrazones.
2. Realicenlossiguientestrazosenunahojablanca,utilizandosusinstrumentosgeomé-tricos.
a) Uncuadradodecualquiertamañocuyosladosnoseanparalelosalosbordesdelahoja.
b) Unrectángulodecualquiertamañocuyosladosnoseanparalelosalosbordesdelahoja.
3. Encadacaso,tracenunarectaperpendicularalarectarquepaseporelpuntoP.
P
r
r
P
77
IIMATEMÁTICAS
RELACIONES ENTRE ÁNGULOSPara empezarUnedospalitosolápicesconunaliga,comosemuestraenlafoto,ymanipúlalosparaformarángulos.
¿Cuántosángulosseforman? ,
¿sontodosdiferentes? ,
¿hayalgunosqueseanigualesentresí? .
Colocalospalitosdetalmaneraquetodoslosángulosseaniguales.Cuandoloscolocas
deestamanera¿cuántomidecadaángulo?
Consideremos lo siguienteSinutilizartransportador,encadaparejaderectasaverigüenyanotenlamedidadecadaunodelostresángulosa,byc.
a 60º
b c
a 90º
b c
a 115º
b c
SESIÓN 3
78
SECUENCIA 5Comparensusresultados.Sólohastaquetodosesténdeacuerdopodránutilizareltrans-portadorymedirlosángulos,paraveriicarsusrespuestas.Comenten:
a) ¿Cómopudieroncalcularlamedidadelosángulos?
b) ¿Cuáleslarelaciónentrelosángulosaycdecadaparejaderectas?
c) ¿Cuáleslarelaciónentrelosángulosaybdecadaparejaderectas?
Manos a la obraI. Deacuerdoconloilustradocontestenloquesepide.
Los ángulos a y b son ángulos opuestos por el vértice Los ángulos c y d son ángulos adyacentes
Escribanunadeiniciónpara:
Ángulosopuestosporelvértice
Ángulosadyacentes
Comparenlasdeinicionesqueescribieronparaángulosopuestosporelvérticeyángulosadyacentes.
Sialgunadeiniciónlespareceincorrectatratendedarargumentosdeporquéloconsi-deranasí;porejemplo,sialgúnequipodeinealosángulosopuestosporelvérticecomoángulosquesoniguales,puedenponerdeejemploquelosángulosdeuntriánguloequi-láterosoniguales,peronosonopuestosporelvértice.
a
b
ab
a
b
a
b
d
c dc
dc
c d
79
IIMATEMÁTICAS
II. Realicenloqueseindica.
360º
15º
30º
45º
60º75º90º105º
120º
135º
150º
165º
180º
345º195º
330º210º
315º225º
300º240º285º255º270º
Recortenunatiradepapelde10cmdelargopor 1
2cmdeancho;alolargodeellaypasan-
doporlamitad,tracenunalínearecta.Dibujenunpuntoenelcentrodelatira.
• Coloquen la tira en el transportador como semuestraeneldibujo,detalmaneraquepuedangirarla.
•
Girenlatirademodoqueelángulo1mida30º.Ayúdensedeltransportadorparaobtenerlasmedidasdelosángulos2,3y4.Anotenesasmedidasenlatablaquesemuestraadelante,enelrenglóndelángulode30º.Repitanlomismoconlasotrasmedidasqueseindicanenlatablaparaelángulo1.
80
SECUENCIA 5
a) ¿Quérelaciónencuentranentrelasmedidasdelosángulos1y3?
b) ¿Yentrelasmedidasdelosángulos2y4?
c) ¿Entrelasmedidasdelosángulos1y2?
d) ¿Yentrelasmedidasdelosángulos3y4?
e) RegresenalproblemadelapartadoConsideremos lo siguienteyveriiquenquesusrespuestascoincidanconlasrelacionesqueacabandeencontrar.
A lo que llegamosCuando dos rectas se cortan se forman cuatro ángulos.
Los ángulos a y c son opuestos por el vértice, observa que tienen el mismo vértice y los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos a y b suman 180º y, además, son ángulos adyacen-tes, observen que tienen en común el vértice y un lado.
Parejas de rectas
Ahorasabesquedosrectaspuedencortarseonocortarse.Sisecortanpuedenformarángulosrectosoángulosnorectos.
Ángulo 1 Ángulo 2 Ángulo 3 Ángulo 4
30º
45º
75º
90º
130º
145º
b
ac
d
81
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimos1. Planteaunaecuaciónyencuentraelvalordeloscuatroángulosdelasiguienteigura.
2. Silasumadelasmedidasdedosángulosadyacenteses180°,yunodeellosmideel
dobledelotro,¿cuántomidecadauno?
3. Anotalasmedidasdelosotrostresángulosqueformanlasdiagonales.
Para saber másConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:De la Peña, José Antonio. “Rectas y puntos”, en Geometría y el mundo. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Sobre las ilusiones ópticas que se refieren a objetos geométricos, en particular a lí-neas paralelas consulta:http://www.opticas.info/articulos/ilusiones-opticas.phphttp://perso.wanadoo.es/e/ochum/ilu02.htm[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
x
x + 20°
50°
82
SECUENCIA 6
En secuencias anteriores has estudiado, por un lado ángulos, y por otro rectas paralelas, ahora seguirás explorando ambos temas: ángu-los entre paralelas. También trabajarás con los ángulos interiores de triángulos y paralelogramos.
ÁNGULOS CORRESPONDIENTESPara empezarConsideralassiguientesrectasparalelas,r1yr2.Recuerdaqueestoseescribe:r1IIr2
Observaquelarectatcortaalasdosrectasparalelas.Estarectarecibeelnombredetransversalosecante.
Consideremos lo siguienteSinmedir,encuentrenyanotenelvalordecadaunodelosángulosmarcadosconrojo.
Comparensusresultadosconlosdelrestodelgrupo,ysihayresultadosdiferentesargu-mentensusrespuestasparaconvencerasuscompañeros.
SESIÓN 1
Ángulos entre paralelas
t
r2
r1
r2r1
135°
r1 II r2
83
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obraI. Realicenlasiguienteactividad.
1. Tracen en una hoja blanca de papel delgado (de pre-
ferencia transparente) dos rectas paralelas y una
transversal, y numeren los ángulos de la siguiente
manera:
2. Marquen una línea punteada como la que se muestra en el dibujo:
12
3 4
56
7 8
12
3 4
56
7 8
3. Corten la hoja por la línea punteada. 4. Coloquen una parte de la hoja encima de la otra de tal manera que el ángulo 1 coincida exactamente con el ángulo 5.
Ahoratienenelángulo5sobreelángulo1.
Losángulos1y5sellamanángulos correspondientes.
a) ¿Cuáleselángulocorrespondientedel2? ,¿ydel3? ¿ydel4?
b) ¿Cómosonentresílasmedidasdelosánguloscorrespondientes?
c) Veriiquen,midiendo,quecuandodosrectasparalelassoncortadasporunatrans-versallosánguloscorrespondientessoniguales.
84
SECUENCIA 6II. Subrayenlasairmacionesverdaderas.
a) 2= 6porquesonánguloscorrespondientes.
b) 1= 5porquesonángulosopuestosporelvértice.
c) 5= 7porquesonángulosopuestosporelvértice.
d) 5+ 6 =180ºporquesonángulosadyacentesqueseforman
cuandodosrectassecortan.
III. Completenelrazonamientoparaencontrar f considerandoque a =50ºyquesetratadedosrectasparalelascortadasporunatransversal.
IV. RegresenalproblemadelapartadoConsideremos lo siguiente,identiiquenlosángu-loscorrespondientesyveriiquenquesusrespuestashayansidocorrectas.
V. Considerenahoradosrectasquenosonparalelasyquesoncortadasporunatransversal.
a) Enestecasotambiénsedicequeelángulo 1escorrespondientedelángulo5,
yel2del6, ¿cuálesel correspondientedel3? ,
¿ydel4?
b) Comparenlasmedidasdelosánguloscorrespondientescuandolasrectasnosonparalelas.
a = e porque
Entonces, el ∠ e mide
e + f = 180º porque
Por lo tanto, f =
gea
fb
c
hd
123 4
56
7 8
Recuerden que:
a se lee “ángulo a”
a se lee ”la medida del ángulo a”
85
IIMATEMÁTICAS
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ángulos corres-pondientes iguales.
El 1 es correspondiente al 2 , por lo tanto 1 = 2.
Si dos rectas que no son paralelas son cortadas por una transversal los ángulos corres-pondientes tienen diferente medida.
SESIÓN 2
A lo que llegamos
Lo que aprendimosEncuentraelvalordelosángulosquefaltanencadacaso.
ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOSPara empezarCuandodosrectasparalelassoncortadasporunatransversalseformanochoángulos.
1
2
103°
80°
3xx
Observaquelosángulos2, 3, 6 y 7 estándentrodelasparalelas.
Estosángulossellamaninternos.
¿Quéángulosquedanfueradelasparalelas?
¿Cómocreesquesellamanestosángulos?
1 23 4
56 7 8
86
SECUENCIA 6
Consideremos lo siguienteSinmedirlosángulos,¿cómopodríanconvenceraalguiendeque a= h?Anotensusargumentos.
Comparensusargumentosconlosdelrestodelgrupo,observenquehaydiferentesma-nerasdellegaralmismoresultado.
Manos a la obraI. Leanlasiguienteinformación:
a) Sidosángulosestándediferenteladodelatransversal,endiferen-teparalelaydentrodelasparalelas,sellamanalternos internos.Porejemplo,losángulos2y7sonalternosinternos.
Hayotraparejadeángulosalternosinternos,¿cuáles?
b) Sidosángulosestándediferenteladodelatransversal,endiferen-teparalelayfueradelasparalelas,sellamanalternos externos.Porejemplo,losangulos1y8sonalternosexternos.
Hayotraparejadeángulosalternosexternos,¿cuáles?
c) EnlaiguradelapartadoConsideremos lo siguienteidentiiquenán-gulosalternosinternosoalternosexternosyveriiquenquemidenlomismo.
II. ConrespectoalaiguradelapartadoConsideremos lo siguientesubrayenlasairma-cionesquesonverdaderas.
a) c= fporquesonángulosalternosinternos.
b) a= cporquesonánguloscorrespondientes.
c) e= dporquesonángulosalternosexternos.
d) a= hporquesonángulosopuestosporelvértice.
gea
fb c
hd
1 23 4
56 7 8
87
IIMATEMÁTICAS
III. Enlasiguienteigura,losángulosdygsonalternosinternosentredosparalelascor-tadasporunatransversal.Completenelrazonamientoparajustiicarquelosángulosalternosinternossiempresoniguales.
d = f porque
f = g porque
Entonces, como los dos ángulos, el ∠ d y el ∠ g son iguales
al ∠ f, podemos decir que
IV. Escribanensucuadernounrazonamientoparecidoparajustiicarquedosángulosalternosexternossoniguales.
V. RegresenalproblemadelapartadoConsideremos lo siguienteyrevisenlosargumen-tosquedieronparajustiicarlaigualdaddelosángulosayh.
A lo que llegamosCuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ángulos alternos internos y alternos externos que miden lo mismo.
El ∠ 1 es alterno externo del ∠ 7 , por lo tanto 1 = 7.
El ∠ 4 es alterno interno del ∠ 6 , por lo tanto 4 = 6.
g
ea
fb ch
d
12
3 4
56
7 8
88
SECUENCIA 6
Lo que aprendimos1. Investiguensihayonoalgunarelaciónentrelosángulosalternosinternosyalternos
externoscuandolasdosrectasquecortalatransversalnosonparalelas.
LOS ÁNGULOS EN LOS PARALELOGRAMOS Y EN EL TRIÁNGULOPara empezarLasrelacionesentrelasparejasdeángulosqueseformancuandodosrectassoncortadasporunatransversalseusanparaseguirexplorandoydescubriendootraspropiedadesdelasiguras.
Lo que aprendimos1. Consideralaiguradeladerechayanotalasmedidasquefaltan.
1= 5=
2= 6=
3= ∠7=
4=45° 8=
2. Consideralossiguientesparalelogramos.
a) Enelromboidesehamarcadounaparejadeángulosopuestos.Cadacuadriláterotienedos parejas de ángulos opuestos. Identiica ymarca, condiferente color,cadaparejadeángulosopuestosencadaparalelogramo.
SESIÓN 3
1 2 3 4
5 6 7 8
89
IIMATEMÁTICAS
b) Subrayalaairmaciónverdadera
Losángulosopuestosdeunparalelogramotienendiferentemedida.
Losángulosopuestosdeunparalelogramomidenlomismo.
Losángulosopuestosdeunparalelogramosuman180º.
3. Ahora,enelromboidesehamarcadounaparejadeángulosconsecutivos.
a) Marcaenlosotrosparalelogramosunaparejadeángulosconsecutivos.
b) ¿Cuáleslarelaciónentrelasmedidasdelosángulosconsecutivosdeunparalelo-
gramo?
4. Consideralasrectasparalelasqueresultandeprolongarlosladosdelparalelogramo.
a) Completaelsiguienterazonamientoparademostrarqueelángulo1esigualalángulo3.
1= 5porque
3= 5porque
Siambosángulos,el∠1yel∠3,sonigualesal∠5,entonces: =
b) Escribeentucuadernounrazonamientoparademostrarqueelángulo2esigualalángulo4.
•
•
•
r1 II r2
t1 II t2
12
3 4
ea
bc d
r25
t1
r1
t2
90
SECUENCIA 65. Respondealaspreguntas,sereierenalaiguraanterior.
a) Consideralatransversalt 1ylasrectasparalelasr 1yr2,¿cuántosumanlasmedi-
dasdelosángulos2y3?
b) Justiicaturespuesta
6. Revisatusconjeturasdelosejercicios2y3 yveriicasicorrespondenalosresultadoshalladosenlosejercicios4y5.
7. En la secuencia4 exploraste la relaciónde losángulos interioresdeun triángulo,
¿cuántosumanlostresángulosinterioresdeuntriángulo?
8. Setieneunromboidecualquieraysetrazaunadesusdiagonales,observaqueseforman dos triángulos. Completa el siguiente razonamiento para justiicar que lasumadelosángulosinterioresdeltriánguloABCes180º.
d+ b+ e=180ºporqueformanunángulode180º.
d= aporque
e= cporque
Sisustituimos dy eporsusiguales,queson ay c,entonceslasumaqueda
+ + =180º
e
a
b
c
d
B
A C
91
IIMATEMÁTICAS
9. ¿Cuántomideelánguloformadoporlaescaleraylapared?
Relaciones importantes
Lasrelacionesdelosángulosentreparalelasyladelostriángulosyparalelogramostepermitenresolvermúltiplesproblemas.
A lo que llegamosLos ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180º.
En un paralelogramo:
Los ángulos opuestos son iguales.
Los ángulos consecutivos suman 180º.
Los cuatro ángulos interiores suman 360º.
Para saber másSobre animaciones que representan la suma de los ángulos interiores de un triángu-lo consulta:http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&subRuta: Triángulos, prismas y pirámides Ángulos en el triángulo[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Resuelve el problema 2.1 de la página de internet de Educabri Clase 5: http://www.oma.org.ar/omanet/educabri/00-05.htm [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
50º
92
SECUENCIA 7
En esta secuencia determinarás la relación inversa de una relación de proporcionalidad directa.
EL PESO EN OTROS PLANETASPara empezarEl peso en otros planetas
¿Sabías que el peso de un objeto varía en función de la fuerza de gravedad que actúa sobre él? Esto signiica que un objeto no pesa lo mismo en la Tierra que lo que pesa en la Luna, Marte o en algún otro lugar del sistema solar.
De hecho, el peso que tienen los objetos en un planeta y su peso en otro planeta son cantidades directamente proporcionales; por ejemplo, un objeto que en la Tierra pesa 4 kilogramos, en Júpiter pesa 10 kilogramos. ¿Cuánto pesa en Júpiter un objeto que en la
Tierra pesa 12 kilogramos?
En esta sesión descubrirás cómo encontrar el peso de un mismo objeto en distintos planetas y satélites del sistema solar.
Consideremos lo siguienteLa siguiente tabla muestra los distintos pesos que una misma barra de plomo tiene en la Tierra y en la Luna:
Peso de la barra de plomo
Peso en la Tierra (en kilogramos)
Peso en la Luna (en kilogramos)
720 120
SESIÓN 1
La relación inversa de una relación de proporcionalidad directa
93
IIMATEMÁTICAS
Con la información de la tabla anterior respondan lo siguiente:
a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un obje
to en la Luna a partir de su peso en la Tierra?
b) Si una barra de plomo pesa en la Tierra 18 kilogramos, ¿cuántos kilogramos pesa en
la Luna?
c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un obje
to en la Tierra a partir de que se conoce su peso en la Luna?
d) Si una barra de plomo pesa en la Luna 25 kilogramos, ¿cuántos kilogramos pesa en la
Tierra?
Comparen sus respuestas y comenten:
¿Cuántas veces es más pesado un objeto en la Tierra que en la Luna?
Manos a la obraI. Completen la siguiente tabla para encontrar el peso de algunas barras de plomo en la
Luna conociendo su peso en la Tierra.
Peso en la Tierra
(en kilogramos)
Peso respectivo en la Luna
(en kilogramos)
720 120
72
12
1
18
Observen que al encontrar cuánto pesa en la Luna un objeto que pesa 1 kilogra-mo en la Tierra, se encuentra también la constante de proporcionalidad que permite saber el peso de un objeto en la Luna conociendo su peso en la Tierra.
94
SECUENCIA 7
Recuerden que:
El recíproco de un número distinto
de cero a es: 1
a ,
además, a × 1
a = 1
Del diagrama anterior se observa que da el mismo resultado
dividir entre 6 que multiplicar por su recíproco, que es 16 .
¿Están de acuerdo con esta observación?
Justiiquen su respuesta
II. Completen la siguiente tabla para encontrar el peso de algunas barras de plomo en la Tierra conociendo su peso en la Luna.
Peso en la Luna (en kilogramos)
Peso en la Tierra (en kilogramos)
120 720
60
10
1
25
Comparen sus respuestas y veriiquen los resultados del apartado Consideremos lo si-guiente.
III. Completen el siguiente diagrama y comenten la relación que hay entre las constantes que utilizaron.
Se multiplica por la constante de proporcionalidad, que es:
o se divide entre:
Peso en la Tierra Peso en la Luna
Se multiplica por la constante de proporcionalidad, que es:
95
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosCuando dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales, siempre hay en juego dos relaciones de proporcionalidad. El siguiente diagrama ilustra esta situación.
Relación 1
Conjunto A Conjunto B
Relación 2
La relación 1 permite encontrar las cantidades del conjunto B a partir de las cantidades del conjunto A. La relación 2, al revés, permite encontrar las cantidades del conjunto A a partir de las cantidades del conjunto B. Se dice que estas dos relaciones son inversas una de la otra.
Además, las constantes de proporcionalidad asociadas a estas dos relaciones son recíprocas una de la otra.
Por ejemplo, 16 es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso en la
Luna a partir del peso en la Tierra. Mientras que 6 es la constante de proporcionalidad que permite conocer el peso en la Tierra a partir del peso en la Luna.
Estas dos relaciones son inversas y sus constantes de proporcionalidad son recíprocas.
6 y 16 son recíprocos porque 6 × 1
6 = 1 o 16 × 6 = 1.
Lo que aprendimosLa siguiente tabla muestra los distintos pesos que una barra de plomo tiene en la Tierra y en Venus:
Peso de la barra de plomo
Peso en la Tierra (en kilogramos)
Peso en Venus (en kilogramos)
720 648
96
SECUENCIA 7
Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de los
objetos en Venus a partir de conocer su peso en la Tierra?
b) Si una barra de plomo pesa 1 kilogramo en la Tierra, ¿cuánto pesa esa barra en el
planeta Venus?
c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de los
objetos en la Tierra a partir de conocer su peso en Venus?
d) Si una barra de plomo pesa 1 kilogramo en el planeta Venus, ¿cuánto pesa esa
barra en la Tierra?
EUROPA Y PLUTÓN Para empezar¿Sabías que Júpiter, el planeta más grande del sistema solar, tiene 16 lunas conocidas? Una de ellas se llama Europa. Europa tiene características que han fascinado a los astrónomos contemporáneos. Es un poco más grande que nuestro satélite, la Luna, pero lo más interesante es que su supericie está cubierta por una capa de hielo y se cree que debajo de esta helada capa existe una gran cantidad de agua. De ser así, sería el único lugar de nuestro sistema solar, además de nuestro planeta, donde existe agua en cantidades signiicativas.
Consideremos lo siguienteLas siguientes tablas muestran los pesos de algunas barras de plomo en la Tierra, Europa y Plutón.
Peso en Europa (en kilogramos)
Peso en la Tierra (en kilogramos)
Peso en la Tierra (en kilogramos)
Peso en Plutón (en kilogramos)
30 240 240 16
1 8 15 1
Tabla 1 Tabla 2
a) ¿Cuánto pesa en Plutón una barra de plomo que en la Tierra pesa 1 kilogramo?
SESIÓN 2
97
IIMATEMÁTICAS
b) ¿Cuánto pesa en Europa una barra de plomo que en la Tierra pesa 1 kilogramo?
c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un objeto en Europa a partir de su peso en Plutón?
d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un objeto en Plutón a partir de su peso en Europa?
Comparen sus respuestas y sus procedimientos.
Manos a la obraI. Completa la siguiente tabla para encontrar el peso de algunas barras de plomo en la
Tierra y Plutón.
Peso en Europa (en kilogramos)
Peso en la Tierra (en kilogramos)
Peso en Plutón (en kilogramos)
30 240 16
15
1
Comparen sus tablas y completen el siguiente diagrama, en el que se establecen algunas de las relaciones que hay entre los pesos de los objetos en Europa, la Tierra y Plutón.
Recuerda que:
El producto de la constante a de una
relación de proporcionalidad por la
constante 1
a de la relación inversa
es igual a 1, es decir:
a × 1
a =
1
a × a = 1
98
SECUENCIA 7
Recuerden que:
La constante asociada
a la aplicación sucesiva
de dos constantes de
proporcionalidad es
igual al producto de las
dos constantes que se
aplican sucesivamente.
Veriiquen sus respuestas del apartado Consideremos lo siguiente.
II. En la siguiente tabla se indican las relaciones de proporcionalidad del diagrama 1 y sus relaciones inversas correspondientes. Complétala.
Relación de proporcionalidad Relación inversa
Relación que a cada peso en Europa asocia el peso correspondiente en la Tierra.
Relación que a cada peso en asocia el peso correspondiente
en .
Relación que a cada peso en asocia el peso correspondiente
en Plutón.
Relación que a cada peso en asocia el peso correspondiente
en la Tierra.
Relación que a cada peso en asocia el peso correspondiente
en Plutón.
Relación que a cada peso en Plutón asocia el peso correspondiente en
.
Completa el siguiente diagrama para establecer las constantes de proporcionalidad de las relaciones inversas de las relaciones del diagrama 1.
Se multiplica por
Diagrama 1
Peso en Europa Peso en Plutón
Se multiplica por
Peso en la Tierra
Se multiplica por
Se multiplica por
Diagrama 2
Peso en Plutón Peso en Europa
Se multiplica por
Peso en la Tierra
Se multiplica por
99
IIMATEMÁTICAS
Comparen sus tablas y diagramas. Comenten:
a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un
objeto en Europa a partir de su peso en Plutón?
b) ¿Cuáles son los recíprocos de las constantes de proporcionalidad indicadas en el
Diagrama 2?
El siguiente esquema muestra las constantes de todas las relaciones de proporcionalidad que hay entre los pesos en Plutón, la Tierra y Europa.
Lo que aprendimos1. En la sesión 1 de la secuencia 16 de tu libro de Matemáticas I Volumen I aprendiste
que los microscopios compuestos tienen dos lentes, llamados objetivo y ocular.
Un microscopio compuesto tiene un lente objetivo que aumenta 15 veces el tamaño de lo que se observa y un lente ocular que lo aumenta 25 veces.
Completa el siguiente diagrama para encontrar el aumento inal obtenido con el microscopio.
Se multiplica por 158
Se multiplica por 15 Se multiplica por 18
Peso en Plutón Peso en la Tierra Peso en Europa
Se multiplica por 115
Se multiplica por 8
Se multiplica por 815
Se multiplica por Se multiplica por
Tamaño realTamaño obtenido
con la primera lente
Tamaño inal
Se multiplica por
100
SECUENCIA 7
Completa el siguiente diagrama para establecer las constantes de proporcionalidad de las relaciones inversas del diagrama anterior.
PROBLEMASLo que aprendimos1. El siguiente es el dibujo de un rompecabezas:
SESIÓN 3
Figura 1
4 cm
6 cm
4 cm 4 cm2 cm
4 cm6 cm
2 cm
6 cm
2 cm
Se multiplica por Se multiplica por
Tamaño inalTamaño obtenido
con el primer lente
Tamaño real
Se multiplica por
6 cm
101
IIMATEMÁTICAS
Se va a hacer una copia del rompecabezas de la igura 1 de manera que el lado que mide 4 centímetros mida ahora 7 centímetros.
a) Completen la siguiente tabla para encontrar algunas de las medidas de la copia.
Medidas en el original (en centímetros)
Medidas en la copia (en centímetros)
4 7
2
1
6
b) Construyan las piezas de la copia del rompecabezas. Cada uno de los integrantes de equipo contruirá una pieza distinta . Al inal, armen la copia del rompecabezas.
c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas de
la copia a partir de las medidas del original?
d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad de la relación inversa, la que permite
encontrar las medidas del original a partir de las medidas de la copia?
2. Se va a hacer otra copia del rompecabezas de la igura 1 pero de tal manera que el lado que mide 2 centímetros mida ahora 3 centímetros. Completen la siguiente tabla para encontrar algunas medidas que tendrá la nueva copia del rompecabezas.
Medidas del rompecabezas (en centímetros)
Medidas de la copia (en centímetros)
2 3
4
6
a) ¿Por qué número hay que multiplicar las medidas de la igura 1 para obtener las
medidas de la nueva copia?
b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que nos permite obtener las medidas
del rompecabezas original a partir de las medidas de la copia?
102
SECUENCIA 7
3. El siguiente es el dibujo del plano de una casa hecho a escala 2 000 cm a 10 cm.
Completa la siguiente tabla para encontrar algunas medidas reales y del dibujo de la casa.
Medidas reales (en centímetros)
Medidas en el dibujo (en centímetros)
Largo de la casa 2 00010
Ancho de la casa 5
Largo de la recámara 1 500
Ancho del baño 2 200
Largo del patio y jardín 3.5
Largo del baño 2 1.3
Ancho de la recámara 2 360
a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas rea
les a partir de las medidas del dibujo?
b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas del
dibujo a partir de las medidas reales?
Recámara 2
Recámara 1
Baño 1
Sala y Comedor
Patio y Jardín
Baño 2
103
IIMATEMÁTICAS
4. Un automóvil tiene un rendimiento de 20 kilómetros por cada litro de gasolina.
a) ¿Cuántos litros de gasolina consume si recorrió 380 kilómetros?
b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite conocer la cantidad de gaso
lina que consumió el automóvil a partir del número de kilómetros que recorrió?
Para saber másSobre el peso y el tiempo en otros planetas consulta:
http://www.astrored.org/contenidos/articulo.php/alex_dantart/peso
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Explora el interactivo Porporcionalidad con Logo.
104
SECUENCIA 8
En esta secuencia estudiarás problemas en los cuales hay dos o más cantidades que se encuentran en proporción directa o proporción inversa con otra cantidad. A este tipo de problemas se les llama problemas de proporcionalidad múltiple.
EL VOLUMENPara empezarLa proporcionalidad múltiple
SESIÓN 1
Proporcionalidad múltiple
Recuerden que:
Dos conjuntos de cantidades
son inversamente proporciona-
les cuando al aumentar una
cantidad al doble, triple, etcé-
tera, su cantidad correspon-
diente disminuye a la mitad,
tercera parte, etcétera.
Una de las situaciones en las que surgen problemas de proporcionalidad múltiple es el cálculo de volúmenes. En tu libro Matemáticas de sexto de primaria aprendieste a calcular los volúmenes de algunos prismas. Por ejemplo, para un prisma rectangular como el siguiente:
El volumen se calcula:
Volumen = 4 cm × 2 cm × 3 cm = 24 cm3
Altura3 cm
Largo4 cm
Ancho2 cm
Prisma 1
105
IIMATEMÁTICAS
Consideremos lo siguienteRespondan lo siguiente:
a) Si se aumenta al triple la medida del largo del prisma 1, ¿cuántas veces aumenta
su volumen?
b) Si disminuye a la mitad la medida del largo del prisma 1, ¿cuántas veces disminu
ye el volumen?
c) Si aumenta al doble la medida del largo y aumenta al triple la medida de la altura
del prisma 1, ¿cuántas veces aumenta el volumen?
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
Manos a la obraI. En la siguiente igura se aumentó al triple la medida del largo del prisma 1 y se ob
tuvo un nuevo prisma rectangular, al que llamaremos prisma 2.
a) ¿Cuánto mide el largo del prisma 2?
b) ¿Cuál es el volumen del prisma 2?
c) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el
volumen del prisma 2?
d) Supongan que aumentara cinco veces el largo del prisma 1, ¿cuántas veces au
mentará su volumen?
e) ¿Cuánto medirá el volumen del nuevo prisma?
4 cm 4 cm
Altura 3 cm
4 cm
Largo cm
Prisma 2
Ancho2 cm
106
SECUENCIA 8
Comparen sus respuestas.
II. En la siguiente igura se aumentó al triple la medida de la altura del prisma 1 y se obtuvo un nuevo prisma rectangular, al que llamaremos prisma 3.
Largo del prisma
(cm)
Ancho del prisma
(cm)
Altura del prisma
(cm)
Volumen del prisma
(cm3)
Variación del volumen del prisma (las medidas del ancho y la altura permanecen fijas
pero cambia la medida del largo)
4 2 3 24
2 × 4 2 3El largo aumentó 2 veces
¿Cuántas veces aumentó el volumen?
16 2 3El largo aumentó
¿Cuántas veces aumentó el volumen?
2 2 3El largo disminuyó
¿Cuántas veces disminuyó el volumen?
En la siguiente tabla las medidas del ancho y la altura del prisma 1 permanecen ijas, pero la medida del largo varía. Completen la tabla y encuentren los volúmenes correspondientes.
3 cm
3 cm
Altura
cm3 cm
Prisma 3
Ancho2 cm
Largo4 cm
107
IIMATEMÁTICAS
a) ¿Cuánto mide la altura del prisma 3?
b) ¿Cuánto mide el volumen del prisma 3?
c) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el
volumen del prisma 3?
En la siguiente tabla las medidas del largo y del ancho del prisma 1 permanecen ijas, pero la medida de la altura varía. Completen la tabla y encuentren los volúmenes correspondientes.
Largo del prisma
(cm)
Ancho del prisma
(cm)
Altura del prisma
(cm)
Volumen del prisma
(cm3)
Variación del volumen del prisma
(la medida del largo y el ancho permanecen fijas pero cambia la medida de la altura)
4 2 3 24
4 2 12La altura aumentó 4 veces
¿Cuántas veces aumentó el volumen?
4 2 24La altura aumentó
¿Cuántas veces aumentó el volumen?
4 2 12 × 3
La altura disminuyó
¿Cuántas veces disminuyó el volumen?
A lo que llegamosLas situaciones de proporcionalidad múltiple se caracterizan porque dos o más cantidades se encuentran relacionadas proporcionalmente con otra cantidad.
Por ejemplo, cuando las medidas del ancho y la altura de un prisma rectangular permanecen ijas, la medida de su largo se encuentra en proporción directa con la medida de su volumen.
Es decir, cuando se aumenta al doble, o triple, etcétera, la medida del largo del prisma rectangular y la altura y el ancho permanecen ijos, la medida del volumen aumenta al doble, o triple, etcétera.
Esto también sucede con las otras medidas del prisma. Es decir, cuan-do las medidas del largo y del ancho del prisma permanecen ijas, la medida de la altura del prisma se encuentra en proporción directa con el volumen del prisma. Y cuando las medidas de la altura y del largo del prisma permanecen ijas, la medida del ancho se encuentra en proporción directa con la medida del volumen.
108
SECUENCIA 8
III. Completen las medidas que faltan en el prisma 4 para encontrar qué sucede con el volumen del prisma 1 cuando la medida del largo se duplica y la medida de la altura se triplica, pero la medida del ancho permanece ija.
a) ¿Cuánto mide el volumen del prisma 4?
b) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el
volumen del prisma 4?
3 cm
3 cm
4 cm 4 cm
Largo cm
Altura
cm3 cm
Prisma 4
Ancho2 cm
109
IIMATEMÁTICAS
En la siguiente tabla las medidas del largo y de la altura del prisma 1 varían, pero la medida del ancho permanece ija. Completen la tabla y encuentren los volúmenes correspondientes.
Largo del prisma
(cm)
Ancho del prisma
(cm)
Altura del prisma
(cm)
Volumen del prisma (cm3)
Variación del volumen del prisma (las medidas del ancho permanece fija y
cambian las medidas de la altura y del largo)
4 2 3 24
8 = 2 × 4 2 9 = 3 × 3
¿Cuántas veces aumentó el largo? 2 veces
¿Cuántas veces aumentó la altura? 3 veces
¿Cuántas veces aumentó el volumen?
12 2 12
¿Cuántas veces aumentó el largo?
¿Cuántas veces aumentó la altura?
¿Cuántas veces aumentó el volumen?
16 2 9
¿Cuántas veces aumentó el largo?
¿Cuántas veces aumentó la altura?
¿Cuántas veces aumentó el volumen?
2 2 12
¿Cuántas veces disminuyo el largo?
¿Cuántas veces aumentó la altura?
¿Cuántas veces aumentó el volumen?
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
A lo que llegamosEn algunas situaciones de proporcionalidad múltiple, como en la del prisma rectangular, si dos o más de las cantidades varían al mismo tiempo, por ejemplo, si el largo aumenta n veces y al mismo tiempo el ancho aumenta m veces pero la altura permanece ija, entonces el volumen aumenta n × m veces.
110
SECUENCIA 8
Lo que aprendimos1. El siguiente prisma rectangular se obtuvo al variar las medidas del prisma 1 de la si
guiente manera: la altura aumentó al triple, el ancho aumentó al doble y el largo se mantuvo ijo. Completen los datos que faltan en el dibujo.
a) ¿Cuánto mide el volumen del prisma 5?
b) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el
volumen del prisma 5?
c) Si las medidas del largo y del ancho del prisma 1 aumentaran al triple y la altura
permaneciera ija, ¿cuántas veces aumentaría el volumen del prisma 1?
3 cm
3 cm
Altura
cm
2 cm
Altura 4 cm
3 cm
2 cm
Ancho: cm
Prisma 5
111
IIMATEMÁTICAS
LA EXCURSIÓNConsideremos lo siguienteEn una escuela se va a realizar una excursión. Los organizadores saben que en promedio 12 niños consumen 144 litros de agua durante 6 días.
a) ¿Cuántos litros de agua hay que llevar a la excursión si van a ir 60 niños durante 3
días?
b) Y si fueran 36 niños y los organizadores llevaran 144 litros de agua, ¿para cuántos
días de excursión alcanzaría el agua?
Comparen sus respuestas.
Manos a la obraI. Respondan las siguientes preguntas.
a) Si en lugar de ir 12 niños a la excursión fueran 24 niños:
¿Los 144 litros de agua alcanzarían para más o menos días?
¿Para cuántos días alcanzaría el agua?
¿El número de días aumentaría al doble o disminuiría a la mitad?
b) Si en lugar de ir 12 niños a la excursión fueran 6 niños:
¿Los 144 litros de agua alcanzarían para más o menos días?
¿Para cuántos días alcanzaría el agua?
¿El número de días aumentaría al doble o disminuiría a la mitad?
c) Si fueran a la excursión 4 niños y llevaran 144 litros de agua:
¿Para cuántos días alcanzaría el agua?
¿El número de días aumentaría al triple o disminuiría a la tercera parte?
Comparen sus respuestas.
•
•
•
•
•
•
•
•
SESIÓN 2
112
SECUENCIA 8
d) Comenten las siguientes airmaciones. Pongan la letra V cuando la airmación sea verdadera y la letra F cuando la airmación sea falsa.
Cuando el número de litros de agua permanece ijo (144 litros), el número de días y el número de niños son cantidades directamente proporcionales.
Cuando el número de litros de agua permanece ijo (144 litros), el número de días y el número de niños son cantidades inversamente proporcionales.
Las siguientes tablas son útiles para determinar si dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales o inversamente proporcionales.
Cantidades directamente proporcionales Cantidades inversamente proporcionales
Si una cantidad aumenta al do
ble, al triple, etcétera…
…la otra aumenta al doble, al
triple, etcétera.
Si una cantidad aumenta al doble,
al triple, etcétera…
…la otra cantidad disminuye a la
mitad, tercera parte, etcétera.
Si una cantidad disminuye a la
mitad, tercera parte, etcétera…
…la otra cantidad disminuye a
la mitad, tercera parte, etcétera.
Si una cantidad disminuye a la mi
tad, tercera parte, etcétera…
…la otra cantidad aumenta al
doble, al triple, etcétera.
II. Respondan las siguientes preguntas. Recuerden que en promedio 12 niños consumen 144 litros de agua durante 6 días.
a) Si en lugar de ir 12 niños a la excursión fueran 60 niños:
¿Habría que llevar más o menos agua para 6 días de excursión?
¿Cuánta agua habría que llevar?
¿La cantidad de agua aumentaría cinco veces o disminuiría a la quinta parte?
b) Comenten las siguientes airmaciones. Pongan la letra V cuando la airmación sea verdadera y la letra F cuando la airmación sea falsa.
Cuando el número de días permanece ijo (6 días), el número de niños y la cantidad de agua que se consumirá son cantidades directamente proporcionales.
Cuando el número de días permanece ijo (6 días), el número de niños y la cantidad de agua que se consumirá son cantidades inversamente proporcionales.
•
•
•
113
IIMATEMÁTICAS
c) Si en lugar de ir 6 días de excursión fueran sólo 3 días:
¿Los 12 niños necesitarían más o menos de 144 litros de agua?
¿Cuánta agua tendrían que llevar?
¿La cantidad de agua aumentaría al doble o disminuiría a la mitad?
d) ¿Cuántos litros de agua consumen 12 niños durante 1 día de excursión?
e) ¿Cuántos litros de agua consume 1 niño durante 1 día de excursión?
f) Comenten las siguientes airmaciones y pongan la letra V cuando la airmación sea verdadera y la letra F cuando la airmación sea falsa.
Cuando el número de niños permanece fijo
(12 niños), el número de días y la cantidad de
agua que se consumirá son cantidades directamente proporcionales.
Cuando el número de niños permanece fijo
(12 niños), el número de días y la cantidad de
agua que se consumirá son cantidades inversamente proporcionales.
g) ¿Cuántos litros de agua consumirán
60 niños durante 1 día de excursión?
h) ¿Cuántos litros de agua consumirán
60 niños durante 3 días de excursión?
•
•
•
114
SECUENCIA 8
A lo que llegamosEn los problemas de proporcionalidad múltiple puede suceder que cuando una de las cantidades permanece ija las otras dos sean direc-tamente proporcionales o inversamente proporcionales. Por ejemplo:
1. Si el número de niños que van a ir a la excursión permanece ijo, entonces el número de días que van a estar en la excursión y el número de litros de agua que se consumirán son cantidades direc-tamente proporcionales.
2. Si el número de litros de agua que se consumió en la excursión permanece ijo, entonces el número de días y el número de niños son cantidades inversamente proporcionales.
Una de las técnicas útiles para resolver algunos problemas de pro-porcionalidad múltiple es encontrar el valor que corresponde a las unidades. Por ejemplo, en el problema de la excursión la cantidad de agua que consume 1 niño durante 1 día es el valor que corresponde a las unidades: en 1 día 1 niño consume 2 litros de agua. El valor que le corresponde a las unidades en este caso es 2.
Luego, si queremos saber cuántos litros de agua consumirán 70 niños durante 5 días de excursión, solamente tenemos que hacer una multi-plicación, el siguiente esquema ilustra mejor este hecho.
Así que 70 niños durante 5 días de excursión consumirán 700 litros de agua.
2 × 5 × 70 = 700
Número de niños que fueron a la excursión
Número de litros de agua que consumieron 70 niños durante
5 días de excursión
Número de días que duró la excursión
Valor que le corresponde a las unidades: número de litros de
agua que consume 1 niño durante 1 día de excursión
115
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimos1. Responde las siguientes preguntas. Recuerda que en promedio 12 niños consumen
144 litros de agua durante 6 días.
a) Si en lugar de ir 6 días de excursión van 18 días.
¿Los 144 litros de agua alcanzarían para más o menos niños?
¿Para cuántos niños alcanzaría el agua?
¿El número de niños aumentó al triple o disminuyó a la tercera parte?
b) Si en lugar de ir 6 días de excursión van 2 días.
¿Los 144 litros de agua alcanzarían para más o menos niños?
¿Para cuántos niños alcanzaría el agua?
¿El número de niños aumentó al triple o disminuyó a la tercera parte?
2. Completa la siguiente tabla para veriicar si el número de niños y el número de días de la excursión son cantidades directamente proporcionales o inversamente proporcionales cuando la cantidad de agua permanece ija (144 litros).
Cantidad de agua consumida Días de excursión Número de niños
144 litros 6 12
144 litros 3
144 litros 12
144 litros 1
MÁS PROBLEMASLo que aprendimos1. En la sesión 1 de esta secuencia se calculó el volumen del prisma rectangular 1
Volumen = 4 cm × 2 cm × 3 cm = 24 cm3
•
•
•
•
•
•
4 cm
3 cm
2 cm
SESIÓN 3
Prisma 1
116
SECUENCIA 8
Contesta las siguientes preguntas:
a) Si se aumenta cada una de las dimensiones (altura, largo y ancho) del prisma 1 al
doble se obtiene un nuevo prisma: el prisma 6. ¿Cuál es el volumen del prisma 6?
b) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el
volumen del prisma 6?
c) Al aumentar cada una de las dimensiones (altura, largo y ancho) del prisma 1 al
triple se obtiene otro nuevo prisma: el prisma 7. ¿Cuál es el volumen del prisma 7?
d) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el
volumen del prisma 7?
2. Sabiendo que para construir un muro de 3 metros de largo y 2 metros de altura se necesitan 150 ladrillos, contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántos tabiques se necesitan para construir un muro que mida un metro de
largo por 3 metros de alto?
b) ¿Cuántos tabiques se necesitan para construir un muro que mida 1 metro de largo
por 1 metro de alto?
c) ¿Cuántos tabiques se necesitan para construir un muro que mida 12 metros de
largo por 3 metros de alto?
Subraya las airmaciones correctas:
Si la medida de la altura del muro permanece ija (2 metros), entonces el número de ladrillos es inversamente proporcional a la medida del largo del muro.
Si la medida del largo del muro permanece ija (3 metros), entonces la medida de la altura y el número de ladrillos que se necesitan son cantidades directa-mente proporcionales.
Si la medida de la altura del muro permanece ija (2 metros), entonces la medida del largo y el número de ladrillos que se necesitan son cantidades direc-tamente proporcionales.
d) Si un muro mide 4 metros de largo y está hecho con 100 tabiques, ¿cuánto mide
su altura?
•
•
•
117
IIMATEMÁTICAS
e) Si un muro mide 2 metros de largo y está hecho con 100 tabiques, ¿cuánto mide
su altura?
f) Si un muro mide 1 metro de largo y está hecho con 100 tabiques, ¿cuánto mide
su altura?
g) Completa la siguiente airmación para que sea correcta.
Si la cantidad de tabiques permanece ija (100 tabiques), entonces la medida del
largo y la medida de la altura son cantidades proporcionales.
3. Damián es un granjero y se dedica a la crianza de guajolotes. Él sabe que 10 guajolo
tes consumen aproximadamente 120 kilogramos de alimento durante 3 días.
a) ¿Cuántos kilogramos de alimento consumen 10 guajolotes durante 1 día?
b) ¿Cuántos kilogramos de alimento consume un guajolote durante 1 día?
c) ¿Cuántos kilogramos de alimento consumen 40 guajolotes durante 30 días?
d) Si se consumieron 240 kilogramos de alimento durante 12 días, ¿a cuántos gua
jolotes se alimentaron?
e) Si se consumieron 240 kilogramos de alimento durante 3 días, ¿a cuantos guajo
lotes se alimentaron?
Para saber másSobre los prismas rectangulares y otras figuras geométricas consulta:
http://es.wikipedia.org/wiki/Prisma
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
118
SECUENCIA 9
En esta secuencia vas a identiicar regularidades para resolver proble-mas de conteo. Veriicarás tus resultados utilizando arreglos rectangu-lares, diagramas de árbol u otros recursos.
¿CÓMO NOS ESTACIONAMOS?Para empezar¿De cuántas formas?
Existen situaciones en las que queremos ordenar o repartir varios objetos y resulta útil conocer de cuántas maneras distintas podemos realizarlo. En los problemas de conteo se responde la pregunta ¿de cuántas formas? Es importante contar de manera sistemática y para ello conviene saber desarrollar patrones. En ocasiones contar los casos de uno en uno no resulta práctico, ya que puede requerir de mucho tiempo y además se corre el riesgo de no contarlos todos.
En la secuencia 8 de tu libro Matemáticas I Volumen I resolviste problemas de conteo utilizando tablas, diagramas de árbol y enumeraciones. En esta secuencia conocerás otras técnicas de conteo. En la secuencia 32 de este libro aprenderás a calcular probabilidades y tomar decisones utilizando las técnicas de conteo.
Consideremos lo siguienteEn un ediico nuevo hay cinco departamentos y cinco lugares para estacionarse. Los lugares de estacionamiento se identiican con letras de la A a la E. Se han habitado dos departamentos únicamente, el de Sofía y el de Miguel, quienes estacionan cada noche su auto en alguno de los lugares. Por ejemplo, Sofía puede estacionarse en el lugar D y Miguel en el lugar B. ¿Cuáles son todas las formas en las que se pueden estacionar Sofía y Miguel? ¿En total cuántas son?
Comparen sus respuestas. Comenten los procedimientos que utilizaron.
SESIÓN 1
Problemas de conteo
119
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obraI. La siguiente lista sirve para encontrar todas las posibles formas en las que se pueden
estacionar Sofía y Miguel. La lista no indica quién de los dos llegó primero a estacionarse, sino los distintos lugares de estacionamiento que pudieron ocupar. Hacen falta varias opciones, encuéntralas todas y escríbelas en tu cuaderno.
Sofía Miguel
A B
A C
A D
A E
B A
B C
B
Responde las siguientes preguntas:
a) Un día Sofía llegó primero y escogió el lugar B; cuando llega Miguel, ¿cuántos lugares
tiene para escoger?
b) Otro día Miguel llegó primero y escogió el lugar D; cuando llega Sofía, ¿cuántos lu
gares tiene para escoger?
c) ¿Cuántos lugares tiene para escoger la primera persona en llegar?
d) ¿Cuántos lugares tiene para escoger la segunda persona en llegar?
e) ¿De cuántas maneras distintas pueden estacionarse Sofía y Miguel?
Comparen sus respuestas
II. Ha llegado un nuevo vecino, llamado Paco; también estaciona su auto cada noche en alguno de los lugares. ¿De cuántas formas pueden estacionarse Sofía, Miguel y Paco?
120
SECUENCIA 9
III. Las posibles maneras de estacionarse que tienen Sofía, Miguel y Paco se pueden representar utilizando un diagrama de árbol. El diagrama indica el lugar que escogió cada uno, sin importar quién llegó primero a estacionarse. Complétalo en tu cuaderno:
Sofía Miguel PacoLugares
ocupados
C ABC
B D ABD
A C E ABE
B D
C E
D
E
Utiliza el diagrama de árbol para responder las siguientes preguntas:
a) Si Sofía está en el lugar C y Miguel no ha llegado, cuando llega Paco, ¿en qué lu
gares se puede estacionar?
b) Si Paco está en el lugar B y Miguel está en el lugar E, cuando llega Sofía, ¿en qué
lugares se puede estacionar?
c) ¿Cuántos lugares tiene para escoger la primera persona en llegar?
d) ¿Cuántos lugares tiene para escoger la segunda persona en llegar?
e) ¿Cuántos lugares tiene para escoger la tercera persona en llegar?
f) ¿De cuántas maneras distintas pueden estacionarse Sofía, Miguel y Paco?
Otra manera con la que podemos calcular el número total de formas que tienen para estacionarse Sofía, Miguel y Paco, es realizando una operación. Subraya cuál es:
5 + 4 + 3
5 × 4 × 3
5 × 5 × 5
5 + 5 + 5
¿Por qué es la operación correcta?
•
•
•
•
121
IIMATEMÁTICAS
IV. Responde las siguientes preguntas:
a) En el diagrama de árbol, Sofía está en el primer nivel, Miguel en el segundo y Paco en el tercero. Si en otro diagrama de árbol ponemos a Paco en el primer nivel, a Sofía en el segundo y a Miguel en el tercero, ¿habría más, menos o el mismo número de posibles formas de estacionarseentre los tres? Explica por qué:
b) Un día Paco llegó primero y se estacionó en el lugar C; luego llegó Sofía y se estacionó en el lugar E; Miguel fue el último en llegar y se estacionó en el lugar A. Otro día Miguel llegó primero y se estacionó en el lugar A, luego llegó Paco y se estacionó en el lugar C, al inal llegó Sofía y se estacionó en el lugar E. ¿Se cuenta como la misma manera de estacionarse o son formas distintas? Explica por qué:
Comparen sus respuestas. Comenten si, para contar el número total de formas que tienen para estacionarse los vecinos, es importante saber el orden en el que llegaron a estacionarse.
V. Los cinco departamentos están ocupados. Cada vecino estaciona su auto en alguno de los cinco lugares. Responde las siguientes preguntas:
a) ¿De cuántas maneras distintas pueden estacionarse los vecinos?
b) ¿Cuál es la operación a realizar para encontrar de cuántas maneras distintas pue
den estacionarse los cinco vecinos?
c) ¿Cuál sería el inconveniente de realizar un diagrama de árbol para encontrar todas
las formas de estacionarse que tienen los cinco vecinos?
d) Cierto día, dos de los vecinos no utilizaron su auto y lo dejaron estacionado,
¿de cuántas maneras distintas pueden estacionarse los tres vecinos restantes?
Comparen sus respuestas. Para el caso en el que hay dos personas en el ediicio, Sofía y Miguel, comenten cuál es la operación que se hace para calcular el número total de formas que tienen para estacionarse.
122
SECUENCIA 9
A lo que llegamosPodemos contar las distintas maneras en las que se pueden estacio-nar los vecinos ijándonos en el número de opciones que tiene para cada uno en el momento en que llega:
Cuando todos los lugares están vacíos, cualquier vecino tiene cinco opciones para escoger. Cuando ya está ocupado un lugar, los otros vecinos tienen cuatro lugares para escoger. Si hay dos lugares ocupa-dos, los tres vecinos restantes tienen tres lugares para escoger. Luego, si hay tres lugares ocupados, quedan dos lugares para los dos vecinos restantes. Finalmente, queda un lugar para el último vecino.
El número total de casos posibles se obtiene multiplicando:
Si hay dos vecinos: 5 × 4.
Si hay tres vecinos: 5 × 4 × 3.
Si hay cuatro vecinos: 5 × 4 × 3 × 2.
Si hay cinco vecinos: 5 × 4 × 3 × 2 × 1.
Lo que aprendimos1. Con los dígitos 2, 4, 8, 5 queremos formar números de tres cifras; en cada número no
se puede repetir ninguno de los dígitos. ¿Cuántos números podemos formar? Haz una lista con todos los números.
2. En una telesecundaria, dos alumnos deben escoger un día, de lunes a viernes, en el que les va a tocar hacer las tareas de limpieza del salón; cada uno debe escoger un día distinto. ¿De cuántas maneras puede hacerse el rol de limpieza de esa semana? Haz un diagrama de árbol para representar todos los roles distintos.
3. Cuatro alumnos van con el médico a que les pongan una vacuna y ninguno quiere pasar primero, ¿de cuántas formas distintas pueden ordenarse para pasar con el médico?
123
IIMATEMÁTICAS
LA CASA DE CULTURAPara empezarLa Casa de Cultura es un lugar en los municipios y barrios en el que se fomentan la cultura, el arte y la educación. En la Casa de Cultura hay bibliotecas públicas, se imparten talleres y cursos, y se organizan conferencias, obras de teatro, exposiciones, conciertos y presentaciones de libros.
La Casa de Cultura tiene como objetivo contribuir a que la población tenga la oportunidad de acercarse a diversas expresiones artísticas y también preservar las tradiciones del lugar donde se ubique.
Consideremos lo siguienteFernanda asiste a la Casa de Cultura de su municipio; en esta Casa de Cultura se imparten cuatro talleres: danza, música, teatro y dibujo. Fernanda se va a inscribir sólo a dos de los talleres. ¿Cuántas formas posibles tiene para inscribirse?
Comparen sus respuestas. Expliquen cómo hicieron para encontrar las distintas formas que tiene Fernanda para inscribirse. ¿Es lo mismo o es distinto si Fernanda pone en la hoja de inscripción “música y teatro” o si pone “teatro y música”?
SESIÓN 2
Casa de CulturaInscripción a los talleres
Nombre: Deseo inscribirme a los siguientes talleres:
y
Firma
Fernanda
124
SECUENCIA 9
Manos a la obraI. En la siguiente lista hacen falta varias de las opciones que tiene Fernanda, encuén
tralas todas y escríbelas en tu cuaderno.
danza y música
danza y teatro
danza y
II. En el diagrama de árbol están representadas las formas en las que Fernanda puede inscribirse:
Música
Danza Teatro
Dibujo
Danza
Música Teatro
Dibujo
Danza
Teatro Música
Dibujo
Danza
Dibujo Música
Teatro
a) ¿Cuántas opciones hay en el diagrama?
b) Cada una de las opciones está repetida: ¿cuántas veces aparece cada una?
c) Subraya cuál de las siguientes operaciones sirve para calcular el número total de formas que tiene Fernanda para inscribirse:
4 × 3
4 × 3
2
d) ¿Por qué es la operación correcta?
Comparen sus respuestas.
•
•
125
IIMATEMÁTICAS
III. Otra Casa de Cultura imparte los mismos talleres: danza, música, teatro y dibujo. Para inscribirse hay que indicar cuál es la primera opción y cuál es la segunda.
a) En tu cuaderno haz una lista con todas las posibles maneras de inscribirse.
b) ¿Cuántas maneras son?
c) Si no se ha llenado todavía ninguna de las opciones en la hoja de inscripción,
¿cuántos talleres hay para poner en la primera opción?
d) Si ya se puso la primera opción, ¿cuántos talleres hay para poner en la segunda
opción?
e) Subraya cuál de las siguientes operaciones sirve para calcular el número total de formas de llenar la hoja de inscripción:
4 × 3
4 × 3
2
f) Argumenta tu respuesta
•
• Casa de Cultura
Inscripción a los talleres
Nombre:
Deseo inscribirme a los siguientes talleres:
Primera opción
Segunda opción
Firma
126
SECUENCIA 9
A lo que llegamosEn los problemas de conteo hay que distinguir si importa o no el orden en el que pongamos las opciones.
Además, siempre hay que tener cuidado al utilizar un diagrama de árbol o una lista de enumeración, porque es posible que se cuente, erróneamente, varias veces la misma opción.
IV. En otra Casa de Cultura se imparten seis talleres: literatura, dibujo, alfarería, guitarra clásica, grabado y danza. Es posible inscribirse a dos de los talleres. Responde las siguientes preguntas:
a) Si la inscripción se hace sin tener que indicar el orden de preferencia, ¿de cuántas
maneras distintas se puede llenar la hoja de inscripción?
b) ¿Cuál es la operación con la que podemos calcular el número total de posibles
formas de inscribirse en este caso?
c) Si se hace la inscripción indicando el orden de preferencia (primera y segunda opción), ¿de cuántas maneras distintas se puede llenar la hoja de inscripción?
d) ¿Cuál es la operación con la que podemos calcular el número total de posibles
formas de inscribirse en este caso?
e) En la Casa de Cultura hay n talleres distintos. En la hoja de inscripción se ponen dos talleres y hay que indicar el orden de preferencia. Subraya cuál de las siguientes expresiones generales sirve para calcular el número total de formas de inscribirse:
n(n+1)
2
n(n-1)
n(n1)
2
n(n+1)
Comparen sus respuestas.
•
•
•
•
127
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosEn una Casa de Cultura se imparten m talleres. Es posible inscribirse a dos talleres. Si en la hoja de inscripción hay que indicar el orden de preferencia, hay m (m-1) distintas formas de inscribirse. Si no indica-mos el orden de preferencia, hay m (m-1)
2 maneras de hacerlo.
Lo que aprendimos1. Juan tiene que elegir dos de los cuatro ejercicios que le dejaron de tarea. ¿De cuántas
formas distintas puede realizar su tarea?
2. Una maestra tiene que elegir a dos alumnos para un comité, uno va a ser presidente y el otro va a ser secretario. Para ello dispone de cinco voluntarios: Elisa, Francisco, Germán, Jorge y María. ¿De cuántas maneras distintas puede elegir a los alumnos? Haz una lista con todos los posibles comités que puede elegir la maestra.
3. Ahora la maestra tiene que elegir a tres alumnos para organizar la iesta de in de año. Para ello dispone de cinco voluntarios: Juan, Sandra, Alejandra, Hugo y Patricia. Haz una lista con todas las maneras distintas en las que la maestra puede elegir a los alumnos. ¿Cuántas son?
REPARTO DE DULCESConsideremos lo siguienteJulián tiene cuatro dulces de distintos sabores: fresa, piña, sandía y naranja. Julián sabe que a sus primos Diego y Emilio les gustan mucho esos dulces y se los va a regalar. ¿De cuántas maneras distintas puede repartir los cuatro dulces? (puede decidir regalar todos a uno de sus primos).
Comparen sus respuestas. Comenten los procedimientos que utilizaron.
SESIÓN 3
128
SECUENCIA 9
Manos a la obraI. Julián tiene las siguientes posibilidades para repartir los dulces: los cuatro dulces a
uno de sus primos, tres dulces a uno y un dulce al otro o dos dulces a cada uno.
En la siguiente lista hacen falta varias de las maneras de repartirlos, encuéntralas todas. Cada sabor se identiica por su inicial:
Diego Emilio
F P S N
F P S N
F P S N
N F P S
F P N S
Comparen sus respuestas.
II. Julián tiene dos opciones para regalar el dulce de fresa: se lo puede dar a Diego o se lo puede dar a Emilio. Responde las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántas opciones tiene Julián para regalar el dulce de piña?
b) ¿Cuántas opciones tiene Julián para regalar el dulce de sandía?
c) ¿Cuántas opciones tiene Julián para regalar el dulce de naranja?
129
IIMATEMÁTICAS
d) Otra forma de representar las posibles maneras de repartir los dulces es utilizando un diagrama de árbol. Complétalo en tu cuaderno.
Fresa Piña Sandía Naranja
Emilio
Emilio Diego
Emilio Diego
Emilio Diego
Diego
e) Ilumina, en el diagrama de árbol que hiciste, la opción en la que Julián le da a Emilio el dulce de fresa y el de sandía, y a Diego, el de piña y el de naranja.
f) Ilumina de otro color la opción en la que Julián le da a Emilio el dulce de sandía y a Diego todos los demás.
g) ¿De cuántas maneras distintas puede repartir los cuatro dulces?
Comparen sus respuestas. Una forma de calcular el número total de maneras en las que se pueden repartir los dulces es multiplicando 2 × 2 × 2 × 2. Comenten por qué se hace así. También podemos escribir esta operación como 24.
III. Julián tiene cinco dulces de sabores distintos: fresa, piña, sandía, naranja y limón. Los va a regalar a sus primos Diego, Emilio y Camila. Responde las siguientes preguntas.
a) ¿Cuántas opciones tiene Julián para regalar cada dulce?
b) ¿De cuántas maneras distintas puede repartir los dulces?
c) ¿Cuál es la operación con la que podemos calcular todas las maneras que tiene
Julián para repartir los dulces?
130
SECUENCIA 9
IV. Roberto tiene tres canicas de distintos colores: azul, rojo y blanco. Las va a colocar en cuatro cajas numeradas. Puede colocar varias canicas en la misma caja. Responde las siguientes preguntas.
a) ¿En cuántas cajas puede colocar cada canica?
b) Subraya la operación que nos sirve para calcular todas las formas posibles de colocar las canicas.
43
4 × 3
34
c) Argumenta tu respuesta.
d) Roberto tiene m canicas, todas de distinto color, y tiene n cajas numeradas. Roberto va a colocar las canicas en las cajas, es posible colocar varias canicas en la misma caja. Subraya la expresión general que nos sirve para calcular todas las formas posibles de colocar las canicas.
mn
nm
mn
Comparen sus respuestas.
A lo que llegamosSi se tiene seis dulces de distinto sabor y hay cuatro niños a los que podemos regalar los dulces, cada dulce lo podemos dar a alguno de los cuatro niños. El número total de posibles reparticiones se puede calcular multiplicando 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4. Es decir, el número total de reparticiones es 46.
Generalizando, si tenemos p objetos distintos y los queremos repartir en q cajas o bolsas, el número total de reparticiones es q p (p puede ser mayor, menor o igual a q).
•
•
•
•
•
•
131
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimos1. Con los dígitos 2, 4, 6, 7, 9 queremos formar números de dos cifras, se puede repetir
los dígitos. Haz una lista con todos los números que podemos formar. ¿Cuántos son?
2. Vamos a colocar una canica roja y una canica azul en cuatro cajas numeradas. Es posible colocar las dos canicas en la misma caja. ¿De cuántas maneras podemos hacerlo?
3. Con los dígitos 5, 6, 8 queremos formar números de cinco cifras, se puede repetir los dígitos. ¿Cuántos números distintos podemos formar?
4. Julián tiene cuatro dulces, todos son de fresa. Los va a regalar a sus primos Diego y Emilio. ¿De cuántas maneras puede regalar los dulces a sus primos?
5. Vamos a colocar tres canicas azules en tres cajas numeradas. Es posible colocar las tres canicas en la misma caja. ¿De cuántas maneras podemos hacerlo?
Para saber másSobre otros ejemplos de problemas de conteo consulta en las Bibliotecas Escolares y
de Aula:
Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “El principio de las casillas”, “Contar: principio de la
suma” y “¿Cuántos caminos llevan a Roma?”, en Una ventana al infinito. México:
SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Nozaki, Akiro. Trucos con sombreros. México: SEP/FCE, Libros del Rincón, 2005.
Sobre la Casa de Cultura consulta:
http://sic.conaculta.gob.mx
Ruta: Espacios culturales Centros culturales (Dar clic en el mapa sobre tu
estado) (Dar clic en el mapa sobre tu municipio).
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Sistema de información cultural - CONACULTA
Explora las actividades del interactivo Anticipar resultados en problemas de conteo.
132
SECUENCIA 10
En esta secuencia, aprenderás a interpretar y a comunicar informa-ción mediante polígonos de frecuencias. Como recordarás, existen diferentes tipos de gráicas estadísticas. En primer grado aprendiste a construir las gráicas de barras y las circulares, ahora aprenderás a interpretar y a construir otro tipo de gráicas, llamadas histogramas y polígonos de frecuencias, que también son muy utilizadas en libros, periódicos y revistas.
REZAGO EDUCATIVO Y GRÁFICASPara empezarDesde 1993 la educación básica obligatoria comprende hasta la secundaria completa. Cuando una persona tiene más de 15 años y está en alguna de las siguientes situaciones: no sabe leer ni escribir, no terminó de estudiar la primaria, únicamente estudió la primaria o no terminó de estudiar la secundaria, se considera que esa persona se encuentra en rezago educativo.
Consideremos lo siguienteLa siguiente gráica es un polígono de frecuencias. En ella se presentan los datos que se obtuvieron en el censo del año 2000 acerca de la población mexicana que se encuentra en rezago educativo.
SESIÓN 1
Polígonos de frecuencias
Fuente: INEGI. XII Censo General de Población y Vivienda, 2000. Base de datos.
Población mexicana de 15 años y más en condición de rezago educativo en el año 2000
Nú
mer
o d
e per
son
as
(en
mill
on
es)
Edades (en años)
10
8
6
4
2
15-29
12
30-44 45-59 60-74 75-89
0
133
IIMATEMÁTICAS
a) En el intervalo de entre 15 y 29 años de edad hay 11 millones de personas que están en condición de rezago educativo. ¿Cuántas personas de 30 a 44 años están
en esa condición?
b) Toma en cuenta la información que presenta el polígono de frecuencias y anota V o F según sean verdaderas o falsas las siguientes airmaciones.
El intervalo de edad con mayor cantidad de personas en condición de rezago educativo es el de 15 a 29 años.
En el año 2000, alrededor de 35 millones de personas se encontraban en condición de rezago educativo.
8 millones de personas en condición de rezago educativo tienen 45 años.
De la población en condición de rezago educativo, la cantidad de personas que tienen entre 15 y 29 años es el doble de la que tiene entre 45 y 59 años.
Si la población total en México era de 97.5 millones, aproximadamente el 36% de las personas estaban en condición de rezago educativo.
Manos a la obraI. Contesta las siguientes preguntas tomando en cuenta el polígono de frecuencias.
a) ¿Cuántos intervalos de edad hay? ¿Cuántas edades
comprende cada intervalo? ¿Todos los intervalos son
del mismo tamaño?
b) La frecuencia en el intervalo de entre 15 y 29 años de edad es de 11 millones de personas que están en condición de rezago educativo, ¿en qué intervalo la frecuencia es de 5 millones de personas que están en esa condición?
c) Si en el intervalo de entre 45 y 59 años de edad hay 7 millones de personas que están en condición de rezago educativo, ¿podrías decir cuántas personas de 50 años de edad hay en esa condición?
¿Y de 45 años?
¿Por qué?
Recuerda que:
Cada intervalo tiene un límite inferior
y uno superior. El tamaño de un
intervalo es igual a la diferencia entre
dos sucesivos límites inferiores o
superiores. Por ejemplo, en el polígono
de frecuencias, el primer límite inferior
es 15 y el siguiente es 30, entonces el
tamaño del intervalo es igual a 30-15.
134
SECUENCIA 10
d) Completa la siguiente gráica a partir de los datos del polígono de frecuencias.
e) Esta gráica es un histograma. ¿Las alturas de las barras son iguales o diferentes?
¿Qué indican?
f) Compara el tamaño del ancho de las barras, ¿son iguales o diferentes?
¿Por qué crees que ocurre eso?
Ahora, calca el histograma en una hoja de papel delgado y coloca la copia sobre el polígono de frecuencia del apartado Consideremos lo siguiente.
g) ¿Qué puntos del polígono de frecuencias quedan cubiertos con las barras del
histograma?
h) ¿En qué parte de las barras quedan los puntos del polígono de frecuencias?
En el histograma que calcaste dibuja el polígono de frecuencias. Consideren el primer punto del polígono de frecuencias y tracen a partir de ese punto un segmento perpendicular al eje horizontal. Este segmento intersecta al eje horizontal en el punto medio del intervalo 15-29 años de edad.
Tracen los segmentos que faltan para los otros puntos del polígono de frecuencias. Observen que las barras del histograma quedan divididas en dos partes iguales y que los puntos del polígono de frecuencias están sobre la mitad de la parte superior de cada barra, es decir, a la mitad de cada “techo de las barras”.
Población mexicana de 15 años y más en condición de rezago educativo en el año 2000
Nú
mer
o d
e per
son
as
(en
mill
on
es)
Edades (en años)
Fuente: INEGI. XII Censo General de Población y Vivienda, 2000. Base de datos.
10
8
6
4
2
15-29
12
30-44 45-59 60-74 75-890
135
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosLos histogramas se utilizan para presentar información acerca de una situación sobre la cual se tienen datos organizados en intervalos. Si los intervalos son del mismo tamaño, como los que estudiaste en esta sesión, un histograma tiene las siguientes característi-cas importantes:
• La altura de una barra está determinada por la frecuencia del intervalo correspondiente.
• La anchura de las barras es igual para cada una debido a que esta medida representa el tamaño de cada intervalo.
• En un histograma las barras se dibujan sin dejar espacios vacíos entre ellas porque abarcan todo el intervalo correspondiente a los datos agrupados.
Un polígono de frecuencias de datos organizados en intervalos del mismo tamaño es la gráica que se obtiene al unir, mediante una línea poligonal, los puntos medios consecu-tivos de los techos de las barras.
Estas gráicas nos permiten observar de manera general la tendencia de los datos. Sin embargo, no es correcto darle signiicado a la línea que une a los puntos medios, ya que solamente estamos representando la frecuencia por intervalo y no para cada valor del intervalo.
Por ejemplo, la siguiente gráica muestra a la población varonil de 15 años y más en condición de rezago educativo en el año 2000 en México; como podemos ver, en el intervalo de 15 a 29 años de edad hay 5 millones de varones en total, pero no sabemos cuántas personas hay de 15, 16, 17… o 29 años de edad.
Tanto en los histogramas como en los polígonos de frecuencias se pueden representar frecuencias absolutas, relativas o porcentajes.
Población varonil de 15 años y más en condición de rezago educativo en el año 2000
Nú
mer
o d
e va
ron
es
(en
mill
on
es)
Edades (en años)
5
4
3
2
1
15-29
6
30-44 45-59 60-74 75-890
136
SECUENCIA 10
a) En el año 2000 había 11 millones de personas entre 15 y 29 años de edad con rezago educativo. ¿Qué fracción representa de la población total de ese intervalo
de edad? ¿Qué porcentaje representan?
b) ¿Cuántas personas de 15 años y más había en México en el año 2000?
c) ¿Y cuántas personas de 15 años y más estaban en condición de rezago educativo?
d) ¿Qué porcentaje de la población de 15 años y más se encontraba en condición de
rezago educativo?
III. Lean el texto informativo: ¿Quién es el INEA? del anexo 1 y contesten las siguientes preguntas.
De acuerdo con cifras del INEGI, la población total en México durante el año 2000 era de 97.5 millones de personas.
a) ¿Qué porcentaje de la población total representan las personas que tienen un re
zago educativo?
b) ¿Por qué razón creen que no están consideradas las personas menores de 15 años?
c) En su localidad, ¿conocen a alguien de entre 15 y 29 años que se encuentre en
condición de rezago educativo?
¿Cuáles consideran que son las causas de esa situación?
II. En la siguiente tabla se presenta el número de personas de 15 años y más que habitan en México. Complétala con los datos que se dan en el polígono de frecuencias.
Población total y de personas en condición de rezago educativo en México en el año 2000.
EdadesNúmero total de
personas (en millones)Número de personas en condición de rezago educativo (en millones)
Porcentaje de personas en condición de rezago educativo por grupo de edad
15-29 28 11 (11÷ 28) × 100 = 39.2
30-44 20
45-59 10
60-74 6
75-89 2
Total 66
137
IIMATEMÁTICAS
d) ¿Y conocen a personas de 60 a 89 años que se encuentren en condición de rezago
educativo? ¿Cuál creen que es la razón principal de esa situación?
e) ¿Creen que estas personas puedan cambiar la condición de rezago en que se en
cuentran? ¿Cómo?
f) Investiguen qué programas o alternativas existen para mejorar la condición educativa de estas personas en su localidad.
Lo que aprendimos1. Construye el polígono de frecuencias que corresponde al siguiente histograma.
a) ¿Cuántas mujeres de entre 30 y 44 años se encuentran en rezago educativo?
b) En tu cuaderno, elabora la tabla de frecuencias que corresponde a esta situación.
c) Si la población total de mujeres entre 30 y 44 años era de 10 millones de personas,
¿qué porcentaje representa la población de mujeres que se encuentra en rezago
educativo en ese intervalo?
Población de mujeres de 15 años y más en condición de rezago educativo en el año 2000
Nú
mer
o d
e m
uje
res
(en
mill
on
es)
Edades (en años)
5
4
3
2
1
15-29
6
30-44 45-59 60-74 75-890
7
Fuente: INEGI. XII Censo General de Población y Vivienda, 2000. Base de datos.
138
SECUENCIA 10
d) ¿Qué opinas sobre la situación en que viven estas mujeres?
2. Analiza la siguiente gráica para contestar las preguntas que se plantean.
a) Anota en el recuadro V o F según sean verdaderas o falsas las siguientes airmaciones, de acuerdo con la información que presenta la gráica anterior.
La mayoría de los alumnos obtuvieron 10 de caliicación.
Más de la mitad del grupo reprobó el examen.
El grupo está formado por 40 alumnos.
b) En tu cuaderno, elabora la tabla de frecuencias que corresponde a esta gráica y contesta las siguientes preguntas.
¿Cuántos alumnos aprobaron el examen?
¿Cuál es la caliicación que más alumnos obtuvieron?
Calificaciones del grupo de 2° en el examen de matemáticas
Nú
mer
o d
e alu
mn
os
Caliicaciones
10
2 3 4 5 6 7 8 9 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
139
IIMATEMÁTICAS
Consideremos lo siguienteLa siguiente gráica muestra el porcentaje de personas de 5 a 11 años que tenían anemia en el año 1999, según datos obtenidos en la Encuesta Nacional de Nutrición de ese año.
Contesten en sus cuadernos las siguientes preguntas:
a) ¿Cómo describirían el comportamiento de esta enfermedad en las niñas de 5 a 11 años de edad?
b) ¿La mayoría de la población infantil que padece anemia son hombres o mujeres? ¿Cómo se presenta esta situación en la gráica?
Comenten sus respuestas.
SESIÓN 2
Conexión con Ciencias I
Secuencia 12: ¿Cómo evitar
problemas relacionados con la
alimentación?
ANEMIA EN LA POBLACIÓN INFANTIL MEXICANAPara empezar La nutrición es el proceso por medio del cual el organismo obtiene, a partir de los alimentos, los nutrientes y la energía necesarios para el sostenimiento de las funciones vitales y de la salud. Un problema nutricional es la anemia la cual ocurre cuando no hay una cantidad suiciente de hierro para producir los glóbulos rojos necesarios que transportan el oxígeno a cada célula del organismo. Este tema lo estudiaste ya en la secuencia 12 ¿Cómo evitar problemas relacionados con la alimentación? en tu libro de Ciencias I Volumen I.
Porcentaje de la población infantil con problemas de anemia en el año 1999.
Porc
enta
je
Edades (en años)
40
30
20
10
05 6 7 8 9 10 11
Fuente: Encuesta de Nacional de Nutrición 1999.
Niñas
Niños
140
SECUENCIA 10
Manos a la obraI. Contesten las siguientes preguntas a partir de la información que presentan los polí
gonos de frecuencias anteriores.
a) ¿Qué porcentaje de niñas de 6 años tenía anemia en 1999?
En el primer intervalo se consideran a las niñas y niños que tienen entre 5 años y 5 años 11 meses.
b) ¿En qué intervalo crees que están considerados los niños que tienen 10 años y 8
meses de edad?
¿Por qué?
c) ¿Puedes saber cuál es el porcentaje exacto de niñas de 7 años y medio que tenían
anemia en 1999? ¿Por qué?
d) ¿A qué edad es mayor el porcentaje de niños anémicos?
¿Y el de niñas anémicas?
e) ¿Para qué edades el porcentaje de niños con anemia fue mayor que el de niñas?
f) Utilicen los datos que presenta el polígono de frecuencias para completar la siguiente tabla.
Porcentaje de niños de 5 a 11 años que padecen anemia, de acuerdo con su edad
Edad Porcentaje de niñas Porcentaje de niños
5
6
7
8
9
10
11
II. La siguiente tabla presenta el número de niños y niñas de 5 a 11 años de edad que había en México en el año 2000.
Población infantil de 5 a 11 años de edad (en millones de personas)
Total Niños Niñas
11.7 6 5.7
Fuente: INEGI. Censo General de Población, 2000.
141
IIMATEMÁTICAS
a) Si la población infantil era de 11.7 millones, y 19.5% padecían anemia, ¿cuántos
niños y niñas tenían anemia en el año de 2000?
b) Para orientar las acciones médicas y sociales que ayuden a corregir esta situación es útil conocer el porcentaje de personas que padecen anemia, principalmente si se trata de niños de 5 a 11 años. Investiguen en la secuencia 12 ¿Cómo evitar problemas relacionados con la alimenta-ción? de su libro Ciencias I Volumen I, cuáles son algunas de las causas de esa enfermedad y cuáles son algunas de sus consecuencias si no se atiende correctamente. Coméntenlas en su grupo.
A lo que llegamosPolígonos de frecuencias en los reportes de investigación
Los polígonos de frecuencias presentados en una misma gráica permiten comparar el comportamiento de dos o más conjuntos de datos que se reieren a una misma situación o fenómeno.
Lo que aprendimos1. Para determinar si una población tiene problemas de nutrición se analizan factores
como la estatura, el peso y la anemia. La siguiente gráica presenta los porcentajes de la población de 5 a 11 años con estatura por debajo de sus valores normales (o estatura baja) según su edad y sexo.
a) ¿A qué edad es mayor el porcentaje de niñas con estatura baja?
¿Y en los niños?
Conexión con Ciencias I
Secuencia 12: ¿Cómo evitar
problemas relacionados con la
alimentación?
Porcentaje de la población de 5 a 11 años de edad que presentan estatura baja
Porc
enta
je
Edades
20
15
10
5
05 6 7 8 9 10 11
25Niñas
Niños
142
SECUENCIA 10
b) Utiliza los datos que presenta el polígono de frecuencias para completar la siguiente tabla.
Porcentaje de niños de 5 a 11 años que tienen talla baja de acuerdo con su edad
EdadPorcentaje de
niñasPorcentaje de
niñosDiferencia de porcentajes
niñas-niños
5
6
7
8
9
10
11
c) ¿En qué edades el porcentaje de niñas con estatura baja fue mayor que el de los
niños?
d) En tu cuaderno, elabora un polígono de frecuencias en el que se puedan comparar los porcentajes de niñas de 5 a 11 años que padecen anemia con los porcentajes de niñas que tienen estatura baja. Para hacerlo, utiliza la información que se presenta en las siguientes dos gráicas.
e) ¿Coincide la edad en que hay mayor porcentaje de niñas con problemas de anemia
y estatura baja? ¿Por qué crees que suceda esto?
Edades
Porcentaje de niñas entre 5 y 11 años con problemas de anemia en el año 1999.
Porc
enta
je
40
30
20
10
05 6 7 8 9 10 11
Porcentaje de niñas de 5 a 11 años de edadque tenían estatura baja en 1999.
Porc
enta
je
Edades
20
15
10
5
05 6 7 8 9 10 11
25
143
IIMATEMÁTICAS
¿QUÉ GRÁFICA UTILIZAR?Consideremos lo siguienteLa siguiente gráica presenta el porcentaje de niños menores de 5 años que tienen estatura baja de acuerdo con su edad. Estos datos están tomados de la Encuesta Nacional de Nutrición de 1999.
a) ¿En qué intervalo se encuentran los niños y las niñas de un año y medio de edad que
tienen estatura baja?
b) ¿En qué intervalo de edad se encuentra el mayor porcentaje de niñas menores de
5 años que tienen estatura baja? ,
¿creen que se podría utilizar una edad que represente a ese intervalo?, ¿cuál sería?
Comenten sus respuestas.
Manos a la obraI. Contesten las siguientes preguntas tomando en cuenta los polígonos de frecuencias
anteriores.
a) ¿Qué información se presenta en el eje horizontal?
¿Qué unidad o escala se utiliza?
¿Cuántos intervalos se utilizan para representar los datos?
¿De qué tamaño es cada intervalo? ¿Son iguales?
SESIÓN 3
Porcentaje de la población menor de 5 años que tiene estatura baja de acuerdo con su edad
Porc
enta
je
Edades (en meses)
20
10
0-11
30
12-23 24-35 36-47 48-59
0
Niños
Niñas
144
SECUENCIA 10
b) Ahora, en el eje vertical, ¿qué información se presenta?
¿Cuáles son los valores mínimo y máximo que están rotulados en este eje?
c) Si quieren conocer qué porcentaje de niñas de 3 años de edad tienen estatura
baja, ¿cuál de los intervalos de edad deben consultar?
d) ¿En qué intervalo de edad el porcentaje de niños con problemas de estatura es
mayor que el de las niñas? ¿Hay algún momento en la gráica
en que se invierta esa situación? ¿En qué intervalo de edad
ocurre y cuál es la diferencia de porcentajes?
Consideren el punto del polígono de frecuencias en el cual el porcentaje de niños con estatura baja es el mayor. Tracen a partir de ese punto un segmento perpendicular al eje horizontal. Este segmento intersecta al eje horizontal en el punto medio del intervalo 12-23 meses de edad.
e) Señalen los puntos medios de los intervalos que faltan, ¿cuáles son esos puntos?
f) Completen la siguiente gráica:
g) Investiguen en la secuencia 12 ¿Cómo evitar problemas relacionados con la alimentación? de su libro Ciencias I Volumen I, cuáles pueden ser algunas causas de este problema y preséntenlas en una gráica o tabla que consideren que muestra mejor la información. Expliquen a sus compañeros y a su profesor por qué la eligieron.
Recuerden que:
Cada intervalo puede ser
identiicado por su límite
inferior y superior, pero
también podemos utilizar
el punto medio del
intervalo que se obtiene
con sólo sumar los límites
inferior y superior del
intervalo y dividir esta
suma entre 2.
Conexión con Ciencias I
Secuencia 12: ¿Cómo evitar
problemas relacionados con la
alimentación?
Porcentaje de la población menor de 5 años que tiene estatura baja de acuerdo con su edad
Porc
enta
je
20
10
30
0
25
15
5
Edades (en meses)
5.5 29.5
Hombres
Mujeres
145
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosUn polígono de frecuencias se construye a partir de los puntos medios de los techos de las barras de un histograma.
Otra manera de construirlo consiste en calcular el valor que se ubica en el punto medio de cada intervalo. El punto medio de un intervalo es el promedio de los valores extremos del intervalo.
Lo que aprendimos1. En la siguiente lista aparecen los pesos de los alumnos de segundo grado de una es
cuela secundaria. Los pesos se registraron redondeando al kilogramo más cercano.
Grupo A Grupo B
38, 64, 50, 42, 44, 35, 49, 57, 46, 58,
40, 47, 38, 48, 52, 45, 68, 46, 38, 76
65, 46, 73, 42, 47, 45, 61, 45, 48, 42,
50, 56, 69, 38, 36, 55, 52, 67, 54, 71
a) ¿Cuál es el peso máximo de los alumnos del grupo A?
¿Y del grupo B?
b) ¿Cuál es el peso mínimo de los alumnos del grupo A?
¿Y del grupo B?
c) ¿Cuál es el rango de los pesos de los alumnos del grupo A?
¿Y del grupo B?
d) En tu cuaderno, organiza los pesos de los alumnos de ambos grupos en una tabla de datos reunidos en nueve intervalos iguales.
e) ¿Cuáles son los pesos que se consideran en el primer intervalo?
¿De qué tamaño son los intervalos?
f) ¿Cuál es el punto medio de cada intervalo?
g) Elabora, en tu cuaderno, una gráica que presente los polígonos de frecuencias de los dos grupos. Utiliza los puntos medios para rotular el eje horizontal.
h) En tu cuaderno, describe, a partir de los polígonos de frecuencias, cómo es la distribución del peso de los alumnos de ambos grupos.
Recuerda que:El rango es la diferencia entre el mayor valor de los datos y el menor.
146
SECUENCIA 10
¿Qué deporte te gusta practicar? Tipo de gráica
¿En qué mes es tu cumpleaños? Tipo de gráica
¿Cuántos hermanos tienes? Tipo de gráica
¿Qué estatura tienes? Tipo de gráica
¿Qué número de zapato calzas? Tipo de gráica
a) Menciona una razón por la que elegiste cada tipo de gráica:
b) ¿Cuál es el deporte que más les gusta practicar a los hombres de tu grupo?
c) ¿En qué mes hay más cumpleaños en tu grupo?
d) ¿Cuál es el número promedio de hermanos que tienen en tu grupo?
e) ¿Cuál es la estatura del compañero más alto de tu grupo?
f) ¿Cuántos compañeros tienen la misma estatura que tú?
g) ¿Quiénes son más altos, las mujeres o los hombres de tu grupo?
h) ¿Qué número de zapato calzan la mayoría de tus compañeros hombres del grupo?
¿Y las mujeres?
•
•
•
•
•
Recuerden que:
- Una gráica de barras permite
presentar y comparar la frecuen-
cia con que ocurre una cualidad o
un atributo. Por ejemplo, el color
que preiere un grupo de perso-
nas o el tipo de música que te
gusta escuchar.
- Una gráica circular puede ser
más adecuada para comparar las
distintas partes de un todo,
especialmente cuando la presen-
tación de los datos está en forma
de porcentaje. Por ejemplo, el
porcentaje de personas que
preieren escuchar la radio, ver
televisión o ir al cine en un grupo.
2. Busquen y copien distintas gráicas que se encuentren en periódicos, revistas, etcétera. Reúnan junto con sus compañeros de equipo las gráicas que encontraron y clasifíquenlas distinguiendo los diferentes tipos de gráica que han estudiado.
a) ¿Cuál es el tipo de gráica que más se utiliza cuando se quiere comparar la relación entre dos conjuntos de datos en una misma situación?
3. Reúne la información que se pide en el siguiente cues
tionario. Aplícalo a todos tus compañeros de grupo. Organiza la información y decide qué gráica utilizar para presentar los resultados de cada una de las preguntas.
147
IIMATEMÁTICAS
Para saber más
Sobre la variedad de información que puede ser presentada en polígonos de frecuen-
cias, gráficas de barras, circulares y tablas estadísticas consulta:
http://www.inegi.gob.mx
Ruta 1: Información estadística Estadísticas por tema Estadísticas sociode-
mográficas Educación Población escolar Distribución porcentual de la
población escolar de 3 a 24 años por entidad federativa y sexo para cada grupo de
edad, 2000 y 2005
Ruta 2: Información estadística Estadísticas por tema Estadísticas sociode-
mográficas Población hablante de lengua indígena de 5 y más años por entidad
federativa, 2000 y 2005
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática.
Sobre los programas de apoyo que ofrece el Instituto Nacional para la Educación de
los Adultos consulta:
http://www.inea.sep.gob.mx
Ruta 1: Proyectos Alfabetización
Ruta 2: Proyectos Cero rezago Estrategias
Ruta 3: Proyectos Oportunidades Estrategias
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Instituto Nacional para la Educación de los Adultos.
Explora las actividades del interactivo Polígono de frecuencias.
148
149
BLOQUE 2
150
SECUENCIA 11
En esta secuencia aprenderás a utilizar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis en problemas y cálculos.
EL CONCURSO DE LA TELEPara empezarEl concurso de la tele
En 1965, en Europa aparecieron concursos televisados en los que se pedía a cada parti-cipante hacer operaciones con números. Estos concursos continúan viéndose en televi-sión y siguen llamando la atención de mucha gente.
Uno de estos concursos tiene las siguientes reglas:
1. Se da una lista de números. Por ejemplo: 1, 3, 4, 9, 10.
2. Se da otro número, que será el número a alcanzar. Por ejemplo: 100.
3. Cada jugador debe sumar, restar, multiplicar o dividir los números de la lista hasta obtener un resultado lo más cercano posible al número dado. Por ejemplo: 9 × 10 + 4 + 3 + 1 = 98, o también 3 × 4 × 9 + 1 – 10 = 99.
4. El concursante deberá emplear cada uno de los números de la lista exactamente una sola vez.
5. Gana el concursante que obtenga el resultado más cercano al número a alcanzar. Por ejemplo, entre 9 × 10 + 4 + 3 + 1 = 98 y 3 × 4 × 9 + 1 – 10 = 99 gana la se-gunda opción, porque 99 está más cerca de 100 que 98.
Consideremos lo siguienteI. Imaginen que están en uno de estos concursos y les dan la siguiente lista de números:
El número a alcanzar es el 117. Encuentren una forma de operar los números de la lista para quedar lo más cercano posible al 117. ¡El que quede más cerca del 117 gana!
Anota tu respuesta aquí:
SESIÓN 1
La jerarquía de las operaciones
3 7 9 15
151
IIMATEMÁTICAS
Comparen sus respuestas y comenten:
a) ¿Quiénes quedaron más cerca del 117?
b) ¿Qué operaciones hicieron?
II. Las siguientes expresiones fueron las respuestas de dos concursantes. Ambos dicen haber obtenido exactamente el 117.
Ana: 3 + 15 × 7 + 9 = 117
Beto: 3 + 15 × 7 − 9 = 117
a) ¿Cuál de estas respuestas creen que es correcta?
b) ¿Por qué consideran que la otra es incorrecta?
Comparen sus respuestas.
Manos a la obraI. Los miembros del jurado señalaron que la ganadora era Ana. Pero Beto no está de
acuerdo. Beto le dijo al jurado:
Cuando el jurado le concedió la palabra, Beto tomó un gis y empezó a escribir sobre el pizarrón, al mismo tiempo que explicaba:
La expresión de mioponente pide calcular 3 + 15;luego, al resultado multiplicarlo
por 7; y por último, a lo obtenidosumarle 9. Entonces, el resultado
es 135 y no 117, como ella lo indica.
Me ha tomado por sorpresa su veredicto. En mi humilde opinión,
la expresión propuesta por mi contrincante no es correcta.
Permítanme explicarles mis razones.
152
SECUENCIA 11Completen el siguiente diagrama de acuerdo con lo que Beto explicó.
3 + 15 × 7 + 9 =
× 7 + 9 =
+ 9 = 135
Comparen sus respuestas. Comenten: ¿están de acuerdo con lo que dijo Beto?
II. Terminada la explicación de Beto, el jurado designó a unos de sus miembros para que expusiera los motivos de su veredicto. Dicho miembro se acercó al pizarrón y explicó:
Completen lo que escribió el miembro del jurado en el pizarrón:
3 + 15 × 7 + 9 =
3 + + 9 =
+ 9 = 117
Comparen sus respuestas y comenten:
¿Cuál es la diferencia entre ambos procedimientos?
A lo que llegamosLa jerarquía de las operaciones es un conjunto de reglas matemáticas que dicen qué operaciones deben hacerse primero. Una de estas reglas es la siguiente:
Las multiplicaciones y divisiones se hacen antes que las sumas y las restas.
Vemos con claridad el error que has cometido. No tomaste en cuenta la jerarquía de operaciones.
La forma correcta de calcular la expresión de Ana es la siguiente: primero debemos calcular el producto 15 × 7; después sumar 3 al resultado y, luego, a eso sumarle 9; así, el resultado es 117,
y no 135 como lo has señalado.
153
IIMATEMÁTICAS
III. Aplica esta regla para calcular el resultado de las expresiones de Ana y Beto respectivamente.
a) Ana: 3 + 15 × 7 + 9 = .
b) Beto: 3 + 15 × 7 − 9 = .
A lo que llegamosSi a las siguientes expresiones aplicamos la regla “Las multiplicaciones y divisiones se hacen antes que las sumas y restas”, nos dan los siguientes resultados:
2 + 14×6 + 8 = 2 + 84 + 8 = 94
y
2 + 14×6 – 8 = 2 + 84 – 8 = 78
La regla se aplica de la misma manera cuando aparecen divisiones, por ejemplo,
2 + 14÷7 + 8 = 2 + 2 + 8 = 12
Y
2 + 14÷7 – 8 = 2 + 2 – 8 = -4
IV. Después de haber escuchado la explicación del miembro del jurado, Beto se dio cuen-ta de su error. Agradeció la explicación y preguntó:
Pon paréntesis a la expresión de Beto para que sea correcta:
3 + 15 × 7 − 9 = 117
¿Cómo tengo que escribir la operación para indicar que primero sumo 3 y 15; y luego
al resultado lo multiplico por 7?
Con el uso correcto de los paréntesis puedes expresar esa operación.
154
SECUENCIA 11
A lo que llegamosUna regla de jerarquía de operaciones que permite sumar o restar antes de multiplicar o dividir es la siguiente:
Las operaciones que estén encerradas entre paréntesis se realizan antes que las demás.
Por ejemplo, (2 + 14) × 8 – 10 =
16 × 8 – 10 =
128 – 10 = 118
Los paréntesis pueden usarse varias veces,
(2 + 14) × (8 – 10) =
16 × (8 – 10) =
16 × (–2) = -32
V. Después de la explicación del jurado, Beto le puso unos paréntesis a su expresión para que ésta quedara correcta. Al ver el cambio que Beto hizo a su expresión, el jurado decidió declarar un empate entre Ana y Beto, pues Beto, al igual que Ana, hizo bien sus cálculos, sólo que no supo escribir la expresión correctamente.
Revisen las expresiones que encontraron al principio de la sesión y escríbanlas respetan-do las reglas de jerarquía de operaciones.
Lo que aprendimos1. Une con una línea cada expresión de la columna izquierda con su respectivo valor de
la columna derecha.
I) 24 + 12 ÷ 4 + 2 = a) 6
II) (24 + 12) ÷ 4 + 2 = b) 11
III) 24 + 12 ÷ (4 + 2) = c) 19
IV) (24 + 12) ÷ (4 + 2) = d) 26
e) 29
155
IIMATEMÁTICAS
2. Las siguientes respuestas fueron dadas por algunos concursantes durante el transcur-so de un programa televisivo. Todas las respuestas son erróneas, pues los concursantes olvidaron usar los paréntesis. Escriban los paréntesis faltantes para que las expresio-nes sean correctas.
a) 11 + 2 × 10 + 8 = 138
b) 10 + 12 × 2 + 13 = 190
c) 10 + 2 × 7 + 3 = 120
d) 10 ÷ 2 + 5 × 3 = 30
3. Imaginen que están concursando en uno de estos programas televisados. Combinen los números de la primera columna junto con las operaciones de suma, resta, multi-plicación y división para obtener un número lo más cercano posible al de la segunda columna. El que quede más cerca gana. ¡No olviden usar correctamente las reglas de jerarquía de las operaciones!
Números Meta
1, 2, 3, 4, 5 0
6, 7, 8, 9, 10 2
1, 2, 3, 4, 5 49
8, 10, 12, 15, 23 319
MÁS REGLASPara empezarEn la sesión anterior vimos que a veces pueden ocurrir confusiones al calcular el valor de una expresión y que, para evitarlas, se ha acordado un conjunto de reglas que se conoce como jerarquía de operaciones. Estas reglas nos dicen qué operaciones se deben hacer primero. Hasta el momento hemos visto que:
1. Las operaciones que estén encerradas entre paréntesis se realizan antes que todo lo demás.
2. Las multiplicaciones y divisiones deben hacerse antes que las sumas y restas.
Hay más reglas sobre jerarquía de operaciones que ayudan a evitar nuevas confusiones. Por ejemplo:
3. Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.
4. Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha.
SESIÓN 2
156
SECUENCIA 11
Consideremos lo siguienteCalcula el valor de cada una de las siguientes expresiones. Respeta las reglas de jerarquía de operaciones.
a) 10 – 3 + 2 = . b) 10 – 3 – 2 = .
c) 24 ÷ 4 × 2 = . d) 24 ÷ 4 ÷ 2 = .
e) 20 – 10 ÷ 5 + 1 = . f) (20 – 10) ÷ 5 + 1= .
Comenten:
a) ¿En qué orden hicieron las operaciones para calcular el valor de las expresiones?
b) ¿Qué regla emplearon para decidir qué operación hacer primero?
Manos a la obraI. Contesta las siguientes preguntas tomando en cuenta las reglas de jerarquía:
1. Lo que esté encerrado entre paréntesis se hace primero que todo lo demás.
2. Las multiplicaciones y divisiones deben hacerse primero que las sumas y restas.
3. Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.
4. Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha.
a) ¿Qué operación hiciste primero para calcular el valor de la expresión 10 – 3 + 2,
la resta o la suma? .
b) ¿Cuál de las reglas aplicaste (1, 2, 3 o 4)? .
c) ¿Qué operación hiciste primero para calcular el valor de la expresión 24 ÷ 4 ÷ 2,
la división 24 ÷ 4 o la división 4 ÷ 2? .
d) ¿Cuál de las reglas aplicaste (1, 2, 3 o 4)? .
e) ¿Cuál de las siguientes operaciones hiciste primero para calcular el valor de la expresión 20 – 10 ÷ 5 + 1? Subráyala.
20 – 10 10 ÷ 5 5 + 1
f) ¿Cuál regla usaste para decidir qué operación hacer primero? .
g) ¿Cuáles reglas usaste para encontrar el valor de la expresión (20 – 10) ÷ 5 + 1?
Comparen sus respuestas. Si hay diferencias, comenten cuál regla usaron y cómo la usaron.
157
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosPara calcular correctamente el valor de una expresión como 25 – 15 ÷ 5 + 5 debemos decidir cuál operación hacer primero. La regla de jerarquía de operaciones que usamos para decidir esto es:
Las multiplicaciones y divisiones deben hacerse primero que las sumas y restas.
25 – 15 ÷ 5 + 5
Una vez decidido cuál operación hacer primero, calculamos dicha operación y reducimos la expresión.
25 – 15 ÷ 5 + 5 = 25 – 3 + 5
Para decidir cuál operación sigue por hacer, usamos otra regla de jerarquía de las operaciones:
Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha
25 – 3 + 5
Ya sabemos el orden en que hay que hacer las operaciones, sólo falta hacerlas:
25 – 3 + 5 = 22 + 5 = 27
II. Para cada una de las siguientes frases, escribe una expresión que represente los cál-culos descritos en ella.
a) A 12 le sumo el resultado de multiplicar 4 por 3: 12 + 4 × 3
b) A 12 le sumo 4 y el resultado lo multiplico por 3:
c) Divido 12 entre 4 y el resultado lo multiplico por 3:
d) Divido 12 entre el resultado de multiplicar 4 por 3:
Comparen sus respuestas. Comenten si sus expresiones están bien escritas de acuerdo con las reglas de jerarquía de operaciones.
Se hace primero
Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)
158
SECUENCIA 11
A lo que llegamosUna expresión que describe los cálculos de la frase “Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10” es:
6 × 5 ÷ 10
Los cálculos que indica esta expresión se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarquía de operaciones:
Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.
6 × 5 ÷ 10
Otra expresión que describe los cálculos de la frase anterior es:
(6 × 5) ÷ 10
En esta expresión los paréntesis se usan para evitar errores de jerar-quía de operaciones, aunque ya no hagan falta.
También se acostumbra escribir esta expresión así:
En esta última forma, la raya de división indica que toda la expresión del numerador 6 × 5, se divide entre el denominador 10.
Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarquía de las operaciones.
a) 30 ÷ 10 × 3 = b) 30 ÷ (10 × 3) =
c) 20 – 10 + 5 = d) 20 – (10 + 5) =
e) 20 – 30 ÷ 10 × 3 + 5 = f) (20 – 30) ÷ 10 × (3 + 5) =
2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.
a) 6 × 510
= b) 4 – 6 × 510
=
c) 5 × 810
= d) 5 × 8 – 6 × 510
=
e) 2 × 6 – 2 = f) 5 × 8 – 6 × 52 × 6 – 2
=
Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)
6 × 510
159
IIMATEMÁTICAS
3. ¿Sabías que no todas las calculadoras funcionan igual? Hay unas que están progra-madas para aplicar las reglas de jerarquía de operaciones y otras que no. Averigüemos si la calculadora que tienes (o la que haya en el salón) jerarquiza o no.
Presiona la siguiente sucesión de teclas en la calculadora y escribe en el espacio mar-cado cuál fue el resultado.
Ahora, calcula los valores de las siguientes dos expresiones sin usar la calculadora, pero tomando en cuenta la jerarquía de operaciones.
a) 1 + 2 × 3 = b) (1 + 2) × 3 =
Compara el resultado que te dio la calculadora con las expresiones anteriores.
¿Con cuál resultado coincide tu calculadora (con el de a o con el de b)?
Si tu calculadora coincide con a entonces jerarquiza, y si coincide con b, no jerarquiza.
Tu calculadora, ¿jerarquiza o no jerarquiza? .
Para saber másSobre los concursos de números consulta:
http://www.rodoval.com/heureka/cifras.html [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Sobre la jerarquía de operaciones consulta:
http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/prioridad_operaciones_rat/Unidad_didactica.htm [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España.
1 + × 3 =2
160
SECUENCIA 12
En esta secuencia resolverás problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.
LOS BLOQUES ALGEBRAICOSPara empezarLos bloques algebraicos
Los bloques algebraicos son piezas de forma rectangular o cuadrada que permiten mo-delar operaciones con expresiones algebraicas. En esta secuencia ocuparás los siguientes bloques, cada uno de ellos tiene un área que se representa con una expresión algebraica: 1, x, x 2, y, xy, y 2.
SESIÓN 1
Multiplicación y división de polinomios
Área= y 2y
y
Área= 11
1
Área= x1
x
Área= y1
y
Área= x 2x
x
Área= xyx
y
Recorta los Bloques algebraicos del anexo 2 Recortables y pégalos en cartón.
161
IIMATEMÁTICAS
Cubre los rectángulos siguientes con los bloques algebraicos. Une con una línea cada rectángulo con el binomio que corresponda a su área.
Rectángulo Área
y + 1
x + 1
x 2 + 2x
xy + x
Comparen sus soluciones.
Consideremos lo siguiente Los siguientes rectángulos se han formado usando los bloques algebraicos.
Rectángulo A Rectángulo B
3x
2x
x +y
2x
Sabías que:
Las expresiones algebraicas se nombran de acuerdo con su número de términos:
El monomio tiene un términoEl polinomio tiene dos o más términos.
El binomio es un polinomio que tiene dos términos.
El trinomio tiene tres términos.
162
SECUENCIA 12
Rectángulo C
3y
2x
¿Qué expresión algebraica corresponde al área de cada rectángulo?
a) Rectángulo A: Área =
b) Rectángulo B: Área =
c) Rectángulo C: Área =
Comparen sus soluciones.
Manos a la obraI. ¿Qué bloques algebraicos se usan para construir cada rectángulo? Para responder esta
pregunta, completa la tabla.
Rectángulo Base Altura Base × Altura Expresión algebraica para el área
A 3x 2x (3x ) × (2x )
B x + y 2x
C 3y 2x
a) ¿Cuántos bloques algebraicos de área x 2 se requieren para formar el rectángulo A?
b) ¿Cuántos bloques algebraicos de área x 2 se usan para formar el rectángulo B?
163
IIMATEMÁTICAS
c) ¿Cuántos bloques algebraicos de área xy se usan para formar el rectángulo B?
d) ¿Cuántos bloques algebraicos de área xy se necesitan para formar el rectángulo C?
Comparen sus soluciones. Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y veriiquen las expresiones algebraicas que obtuvieron para las áreas de los rectángulos.
II. Los siguientes rectángulos también se construyeron usando los bloques algebraicos.
Rectángulo D Rectángulo E Rectángulo F
x +2
a) Completa la tabla para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden a las áreas de los rectángulos anteriores.
Rectángulo Base Altura Base × AlturaExpresión algebraica
para el área
D 3x (y ) × ( )
E y + 1 (y + 1) × ( )
F x x × ( )
Comparen sus soluciones. Veriiquen que hayan sumado todos los términos semejantes de las expresiones algebraicas.
Recuerden que:
Términos semejantes son los términos
que tienen la misma parte literal, como:
w, 3w, 2w, 1.5w.
164
SECUENCIA 12
A lo que llegamosPara multiplicar expresiones algebraicas existen algunas reglas que pueden servir:
1. Para multiplicar un término numérico por un monomio se multiplica el término numérico por el coeficiente del monomio, por ejemplo:
(3) × (2y) = 3 (2y) = (2 × 3) (y) = 6y
6
2. Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes y se multiplican las partes literales, por ejemplo:
x 2
(2x) × (3x) = (2 × 3) (xx) = 6x 2
6
3. Para multiplicar un monomio por un binomio se multiplica el mono-mio por cada uno de los términos del binomio, por ejemplo:
2x 2
x (2x + y) = 2x 2 + xy
xy
III. Las reglas anteriores también se aplican para multiplicar expresiones algebraicas con cualquier tipo de coeicientes: fraccionarios, negativos o decimales, por ejemplo:
x 2 – 38
x
12
x (2x – 5y – 34
) = x 2 – 52
xy – 38
x
– 52
xy
Recuerden que:
4 por x = 4x
x por x = x 2
165
IIMATEMÁTICAS
Realiza las siguientes multiplicaciones.
a) ( 12 x ) ( 3
4 xy ) =
b) (– 3x) (5y) =
c) (– 35 y ) (10x –15y ) =
d) (– 2.5xy ) (5.2x + 2.5y – 1.2) =
Lo que aprendimos1. Calcula el área del siguiente rectángulo multiplicando las expresiones que represen-
tan las medidas de la base y la altura.
3y + 2
x
a) Área = (3y + 2) × (x ) =
b) Cubre con bloques algebraicos la igura anterior para veriicar si el área obtenida mediante la multiplicación corresponde a los bloques utilizados para cubrirla. Di-buja cómo quedó cubierto el rectángulo.
2. Completa las siguientes multiplicaciones.
a) ( ) (5x ) = 15xy
b) ( 12 xy ) ( ) = ( 3
10) x 2y
c) (1.25z ) ( ) = – 3.75yz
d) (– 35 ) ( ) = z
166
SECUENCIA 12
A CUBRIR RECTÁNGULOSPara empezarEn esta sesión resolverás problemas de cálculo de áreas que impliquen la multiplicación de polinomios.
Consideremos lo siguienteCubre con bloques algebraicos el siguiente rectángulo para calcular su área.
SESIÓN 2
3x+y +3
y+2
a) ¿Qué expresiones algebraicas tienen que multiplicarse para obtener el área del rec-
tángulo?
b) ¿Qué expresión algebraica representa el área?
Comparen sus respuestas.
167
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obraI. A continuación se presenta una forma de dividir la supericie del rectángulo. Aplica
lo aprendido en la sesión 1 para encontrar las áreas de los rectángulos R1, R2 y R3.
R2R1 R3y+2
3x 3y
a) Área de R1: (3x ) (y + 2) =
b) Área de R2: (y ) (y + 2) =
c) Área de R3: (3) (y + 2) =
d) De los seis términos que se obtienen en las tres multiplicaciones anteriores, dos
son semejantes.
Escríbelos: y
e) ¿Cuál es la suma del área de los rectángulos R1, R2, y R3? No olvides sumar los
términos semejantes.
Comparen sus soluciones. Regresen al apartado Consideremos los siguiente y comparen la expresión algebraica con el resultado que obtuvieron cubriendo el rectángulo con los bloques algebraicos.
168
SECUENCIA 12II. A continuación se presenta otra forma de dividir la supericie del rectángulo.
a) Cubran los rectángulos R4 y R5 con bloques algebraicos y luego calculen el área de cada uno.
b) Área de R4: (2) (3x + y + 3) =
c) Área de R5: (y ) (3x + y + 3) =
d) ¿Cuál es la suma del área de los rectángulos R4 y R5?
Comparen sus respuestas y comenten con todo el grupo los procedimientos que usaron para multiplicar polinomios.
A lo que llegamos
3x + y + 3
2
y R5
R4
Una forma de multiplicar y + 2 por 3x + y + 3 es la siguiente:
(y + 2) (3x + y + 3) = y (3x + y + 3) + 2 (3x + y + 3)
= 3xy + y 2 + 3y + 6x + 2y + 6
= 3xy + y 2 + 5y + 6x + 6
1º Se multiplica cada término de y +2 por todos los términos de 3x + y + 3
2º Se suman los términos semejantes
169
IIMATEMÁTICAS
También puede multiplicarse de forma vertical
3x + y + 3
y + 2
6x + 2y + 6
3xy + y 2 + 3y
3xy + y 2 + 6x + 5y + 6
1º Se multiplica el término +2 por todos los términos de 3x + y + 3
2º Se multiplica el término y por todos los términos de 3x + y + 3
3º Se suman los términos semejantes
III. Los procedimientos anteriores se aplican para multiplicar polinomios con coeicientes decimales, fraccionarios y negativos.
( 12 x – 2y ) ( 3
5 x – 3y ) = 310 x 2 – 3
2 xy – 65 xy + 6y 2 = 3
10 x 2 – 2710 xy + 6y 2
310 x 2 – 3
2 xy
– 65 xy + 6y 2
Realiza o completa las siguientes multiplicaciones.
a) (3.5x + 2y ) (3.5x) =
b) (2xy ) (3x – 2y + 2) =
c) ( 12 x ) (– 2x + 3
5 ) =
d) (3x + 6) (– 2x -5) =
e) (– 3x) ( ) = 6x 2 – 15xy
Lo que aprendimos 1. Completa las siguientes multiplicaciones. No olvides sumar todos los términos seme-
jantes.
a) (x – 2) (3x + 2) = ( ) 3x + ( ) 2
= 3x 2 – 6x + –
= 3x 2 – 4x – 4
170
SECUENCIA 12
b) x + 2
– 3x + 5
+
– – 6x
– – x +
2. Cubre el rectángulo con bloques algebraicos y encuentra su área.
3x + 2
x + 2
Área =
3. Coloca cada expresión en el círculo que le corresponda para que los productos de los tres términos de cada lado del triángulo mágico de la derecha sean iguales.
Faltan por colocar: –1, 32 x, 9
4 x, 278 x
– 49
– 23
171
IIMATEMÁTICAS
¿CUÁNTO MIDE LA BASE?Para empezarEn esta sesión resolverás problemas que impliquen la división de un polinomio entre un monomio.
Consideremos lo siguienteEl área de un rectángulo es 6x 2 + 2xy. Su altura mide 2x.
2xA = 6x 2 + 2xy
a) ¿Qué expresión algebraica representa la medida de la base?
b) ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? Perímetro =
Comparen sus respuestas y veriiquen la medida de la base a partir de la expresión:
Base × Altura = Área.
Manos a la obraI. Con los bloques algebraicos cubre el rectángulo de área 6x 2 + 2xy. Después contesta
las siguientes preguntas.
a) ¿Cuántos bloques de área x 2 hay en el rectángulo?
b) ¿Cuántos bloques de área xy hay en el rectángulo?
Comparen sus respuestas y comenten:
Si conocen el área y la altura de un rectángulo, ¿qué operación hay que hacer para cal-cular su base?
SESIÓN 3
172
SECUENCIA 12II. Responde las siguientes preguntas.
a) Subraya la expresión que al multiplicarse por 2x dé como producto 4x 2 + 10x.
7x 2x2 + 5 2x + 5x 2x + 5
b) Multiplica la expresión que subrayaste por 2x y veriica si obtienes 4x 2 + 10x.
2x ( ) = 4x 2 + 10x
c) ¿Cuál es el resultado de la división 4x 2+10x
2x ?
Comparen sus respuestas.
A lo que llegamosUna manera de dividir el binomio 6x 2 + 2xy entre el monomio 2x consiste en buscar un binomio que multiplicado por 2x dé como producto 6x 2 + 2xy.
6x 2 + 2xy2x
= 3x + y
Porque 2x (3x + y ) = (2x ) (3x ) + (2x ) (y ) = 6x 2 + 2xy
III. La regla anterior para dividir un binomio entre un monomio se aplica para dividir cualquier polinomio entre un monomio con coeicientes decimales, fraccionarios o negativos.
6.4z 2 – 1.6xz + 7.2z0.8z = 8z – 2x + 9z
Porque 0.8z (8z – 2x + 9z) = 6.4z 2 – 1.6xz + 7.2z
Realiza las siguientes divisiones:
a) 6y 2 – 12xz + 9z
3z =
Porque 3y ( ) = 6y 2 – 12xy + 9y
173
IIMATEMÁTICAS
b) – 3
5y 2z – 3xz + 2y
23
y =
Porque 23
y ( ) = – 35
y 2z – 3xy + 2y
IV. No siempre es posible simpliicar las expresiones al realizar una división, algunas ve-ces sólo se deja indicada. Por ejemplo:
6y 2 – 9xy + 5x3y = 2y – 3x +
5x3y
Porque 3y ( 2y – 3x + 5x3y
) = 6y 2 – 9xy + 5x
Realiza las siguientes divisiones.
a) 2x ( ) = 5x 2 – 3xy + 4y
b) 4y 2 – 12x + 5y
3y =
Comparen sus respuestas y comenten cómo dividir un polinomio entre un monomio.
Lo que aprendimos 1. Encuentra la expresión algebraica que corresponde a la base del rectángulo. Poste-
riormente calcula su perímetro.
2x Área = 4x 2 + 10x
Perímetro =
Sabías que:
(3y) ( 5x3y ) =
15xy3y
= 5x
Porque (3y )(5x ) = 15xy
174
SECUENCIA 122. Calcula el área de la igura que se forma al unir el rectángulo rojo con el azul. El área
del rectángulo azul es 2y.
2y + 3
y Área = 2y
a) ¿Qué operación realizas para obtener el área del rectángulo formado al unir los
rectángulos rojo y azul?
b) ¿Qué área obtuviste? Área =
c) Realiza las operaciones que consideres necesarias para completar la tabla siguiente.
Rectángulo Base Altura Área Perímetro
Rojo y
Azul 2y 2y + 4
Formado por los
dos rectángulos.2y + 3 2y 2 + 3y
3. Calcula el área y el perímetro del hexágono siguiente:
y +1
x +y +1
x +2
x +1
a) Área =
b) Perímetro =
175
IIMATEMÁTICAS
4. El largo de un invernadero mide el doble que el ancho, y alrededor de éste se encuen-tra un pasillo de 2 metros de ancho y 136 metros cuadrados de área.
Invernadero
2x
x
2 metros
a) ¿Cuántos metros cuadrados de supericie tiene el invernadero?
b) ¿Qué expresión algebraica le corresponde al área del invernadero?
c) ¿Qué expresión algebraica le corresponde al área del pasillo?
Para saber más Sobre resolución de triángulos mágicos consulta:
http://interactiva.matem.unam.mxRuta: Secundaria Juegos aritméticos (Dar clic en “17 por todos lados”).
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora
(PUEMAC), UNAM.
176
SECUENCIA 13
Un dado, una caja o las pirámides de Teotihuacan tienen algo en común: son cuerpos geométricos de los cuales se pueden estudiar sus características y, en algunos casos, hacer los moldes para construirlos. Estos temas son los que estudiarás en esta secuencia.
DESARROLLA TU IMAGINACIÓNPara empezarLa geometría a tu alrededor
Mira a tu alrededor y observa las formas de ediicios, casas, muebles, cajas, latas; muchas de ellas son cuerpos geométricos o combina-ciones de ellos.
Por ejemplo, la caja de al lado tiene forma de un cuerpo geométrico. Imagina que extende-mos el molde con el que la hicieron:
A este molde también se le llama desarrollo plano.
Consideremos lo siguienteElaboren con cartulina una casa y un pino como los siguientes. Pueden ser del tamaño que preieran, la única condición es que no se permite hacer por separado las caras y luego unirlas, tienen que hacer el desarrollo plano de una sola pieza para cada uno.
SESIÓN 1
Cubos, prismas y pirámides
177
IIMATEMÁTICAS
Comparen su casa y su pino con los de otros compañeros y comenten con ellos cómo son los desarrollos planos que elaboraron.
Manos a la obra I. En el siguiente desarrollo plano de la casa:
a) Tracen las tres caras que le faltan.
b) Terminen de poner las pestañas donde consideren necesario para que pueda ar-marse y que quede bien pegada.
c) Unan con líneas los lados que se pegarán para formar las aristas.
pestaña
II. Los siguientes desarrollos planos no se pueden armar para formar una casa. En cada caso busquen la razón y argumenten por qué no se podrá armar la casa.
178
SECUENCIA 13III. En el siguiente desarrollo plano del pino:
a) Tracen las caras que faltan.
b) Pongan pestañas donde consideren necesario.
c) Unan con líneas los lados que se pegarán para formar las aristas.
IV. Los siguientes desarrollos planos no se pueden armar para formar un pino. En cada caso busquen la razón y argumenten por qué no se podrá armar el pino.
179
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimos1. Elijan un prisma o una pirámide, tracen el desarrollo plano en cartulina y ármenlo.
Puede ser del tamaño que quieran.
A lo que llegamosEl desarrollo plano de un cuerpo geométrico es el patrón o molde plano para construirlo. Por lo general hay varios desarrollos planos para un mismo cuerpo geométrico. Los siguientes desarrollos son para armar un cubo, un prisma y una pirámide.
Un mismo cuerpo geométrico tiene diferentes desarrollos planos. Por ejemplo, con cualquiera de los dos siguientes desarrollos planos se puede armar un tetraedro.
180
SECUENCIA 13
MÁS DESARROLLOS PLANOSManos a la obraI. Los siguientes son desarrollos incompletos para hacer un cubo. En cada uno dibujen
la cara que falta.
SESIÓN 2
Elijan uno de los desarrollos, dibújenlo del tamaño que quieran en una cartulina y ármenlo.
II. Dibujen los puntos necesarios en cada cara para que con el siguiente desarrollo se arme un dado cuyas caras opuestas sumen 7.
III. Con el siguiente desarrollo plano se arma un cuerpo geométrico. Dibujen el cuerpo armado a la derecha.
Reproduzcan el desarrollo en cartulina, al tamaño que gusten, pongan pestañas y armen el cuerpo. ¿Se parece al que dibujaron?
•
•
181
IIMATEMÁTICAS
IV. Terminen este desarrollo para armar una pirámide con base cuadrada.
V. El siguiente desarrollo es para armar un prisma triangular. Pongan pestañas donde crean necesario y anoten las parejas de lados que se van a pegar, observen el ejemplo.
a se pega con d
b
a
j i
h
c
d
g
e
f
Comparen sus procedimientos y sus resultados.
182
SECUENCIA 13
EL CUERPO ESCONDIDOPara empezarEn la primaria aprendiste algunos nombres relacionados con los cuerpos geométricos.
SESIÓN 3
cara arista vértice
Consideremos lo siguienteRealicen esta actividad en equipos. Junten todos los cuerpos geométricos que hicieron en las sesiones anteriores.
1. Un equipo elije un cuerpo geométrico y lo mantiene oculto.
2. Los demás equipos tratan de adivinar cuál es ese cuer-po. Para ello formulan preguntas que puedan respon-derse sólo con un sí o un no y las anotan en el pizarrón junto con sus respuestas. Por ejemplo:
¿Tiene 8 caras?
¿Tiene caras triangulares?
También pueden formular preguntas que se res-pondan con un número (puede ser una medida). Por ejemplo:
¿Cuántos vértices tiene?
¿Cuánto mide de altura?
•
•
•
•
3. Una vez que crean que tienen la información suiciente, trazan el desarrollo plano para construir el cuerpo. Cuando todos los equipos hayan terminado comparen el cuerpo que construyeron con el que estaba escondido.
4. Gana el equipo que haya construido el cuerpo más parecido al original.
Cuando inalicen comenten la actividad, en particular analicen las preguntas que hi-cieron, cuáles de ellas fueron de mayor importancia y qué vocabulario geométrico emplearon.
183
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obraI. Considera las siguientes preguntas y respuestas y dibuja el cuerpo en el recuadro de
la derecha.
a) ¿Es una pirámide? No
b) ¿Tiene alguna cara cuadrada? Sí
c) ¿Cuántas caras cuadradas tiene? 6
d) ¿Es un cubo? No
e) ¿Cuántas aristas tiene? 18
f) ¿Todas sus caras tienen la misma forma? No
g) ¿Las caras cuadradas son iguales? Sí
Comparen el dibujo que hizo cada uno y mencionen el nombre del cuerpo geométrico.
PATRONES Y REGULARIDADESManos a la obraI. Observen cuáles son las bases y cuáles las caras laterales del siguiente prisma.
bases caralateral
a) ¿Cuántas bases tiene?
b) ¿Qué forma tienen sus bases?
c) ¿Cuántas caras laterales tiene?
d) ¿Qué forma tienen las caras laterales?
II. Consideren el siguiente prisma que está apoyado sobre una de sus caras laterales.
a) ¿Cuántas bases tiene?
b) ¿Qué forma tienen sus bases?
c) ¿Cuántas caras laterales tiene?
d) ¿Qué forma tienen las caras laterales?
e) ¿Cómo deines lo que es un prisma?
SESIÓN 4
caralateral
base
184
SECUENCIA 13III. Observen los siguientes prismas cuadrangulares.
Un cubo es un prisma, ¿por qué?
IV. Consideren los siguientes dibujos de prismas, observen que el prisma recibe un nom-bre de acuerdo con la forma de sus bases.
3 cm 3 cm
6 cm
3 cm 3 cm
5 cm
3 cm 3 cm
3 cm
PrismaNúmero de lados
en cada base
Número de caras laterales
Número de caras en total
Número de aristas
Número de vértices
Triangular 9
Cuadrangular 4
Pentagonal 10
Hexagonal 8
Octagonal 8
Con una base de n lados n + 2
prisma triangular
prisma cuadrangular prisma
octagonal
prisma pentagonal prisma
hexagonal
185
IIMATEMÁTICAS
V. Observen cuál es la base de una pirámide y cuáles las caras laterales.
base caralateral
a) ¿Cuántas bases tiene?
b) ¿Cuántas caras laterales tiene?
c) ¿Qué forma tienen las caras laterales de una pirámide?
VI. Consideren los siguientes dibujos de pirámides, observen que la pirámide recibe su nombre de acuerdo con la forma de su base.
pirámide triangular
pirámide cuadrangular
pirámide pentagonal
pirámide hexagonal
pirámide octagonal
PirámideNúmero de lados
de la base
Número de caras laterales
Número de caras en total
Número de aristas
Número de vértices
Triangular 3
Cuadrangular 4
Pentagonal 6
Hexagonal 12
Octagonal 9
Con una base de n lados 2n
Comparen sus respuestas y la manera en que llegaron a ellas.
186
SECUENCIA 13
A lo que llegamos
SESIÓN 5
Es importante identificar las características de los cuerpos geométricos. Por ejemplo, este cuerpo geométrico es un pris-ma, está formado por dos caras iguales paralelas en forma de octágonos, por lo que se trata de un prisma octagonal. Sus caras laterales son rectángulos. Tiene en total 10 caras, 16 vértices y 24 aristas.
Lo que aprendimos1. Describe en tu cuaderno cada uno de los siguientes cuerpos geométricos.
DIFERENTES PUNTOS DE VISTAPara empezarDibuja las dos caras que hacen falta para que se pueda armar un cubo.
Reproduce cinco veces en cartulina el desarrollo, de tal manera que cada arista del cubo mida 3 cm. No olvides poner pestañas donde haga falta y arma los cinco cubos.
187
IIMATEMÁTICAS
Consideremos lo siguienteReúnete con otros dos compañeros. Junten sus cubos y armen un cuerpo que tenga las siguientes vistas:
frente arriba de un lado del otro lado
Comparen su cuerpo geométrico con los de otros equipos. ¿Hay una manera o hay varias maneras de armar este cuerpo con los cubos?
Manos a la obraI. Las vistas corresponden a la parte de arriba de los cuerpos. Colorea según corresponda.
II. Dibuja en tu cuaderno las vistas de este cuerpo de frente, de arriba y de ambos lados.
III. Inventen un cuerpo formado por cubos. Dibujen sus vistas e intercámbienlas con un compañero. Dejen que, a partir de las vistas que dibujaron, cada uno arme el cuerpo. Después comparen ambos, deben ser iguales, si no lo son, analicen en dónde estuvo la falla.
Para saber másConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
De la Peña, José Antonio. “Poliedros regulares” y “Más sobre poliedros regulares”, en Geometría y el mundo.
México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Hernández Garciadiego, Carlos. “Poliedros”, en La geometría en el deporte. México: SEP/Santillana, Libros
del Rincón, 2003.
188
SECUENCIA 14
Es importante saber calcular el volumen de un prisma y de una pirá-mide, pero es más interesante que sepas de dónde se obtienen las fórmulas para calcularlo. Estudiando esta secuencia lo sabrás.
LAS CAJASPara empezarEn la primaria aprendiste que el volumen de un cubo que mide un centímetro de arista es un centímetro cúbico:
El centímetro cúbico es una unidad que se usa para medir el volumen de los cuerpos geométricos, se simboliza cm3.
Consideremos lo siguiente¿Cuál es el volumen, en centímetros cúbicos, de una caja como la siguiente?
Describan la manera en que calcularon el volumen de la caja.
Comparen los procedimientos y los resultados con otros equipos.
SESIÓN 1
Volumen de prismas y pirámides
4 cm
6.5 cm
2.5 cm
IIMATEMÁTICAS
189
Manos a la obraI. Consideren ahora una caja en forma de prisma rectangular con las siguientes medidas:
Estos son algunos procedimientos para calcular el volumen de la caja, complétenlos.
3 cm
4 cm
2 cm
Procedimiento A. Se forma con centímetros cú-bicos un prisma de esas medidas y luego se cuenta el número de cubos que se utilizaron.
Número de centímetros cúbicos:
Procedimiento B. Se investiga cuántos centímetros cú-bicos forman la base del prisma
En la base caben: cubos
Luego se multiplica este número por la altura del prisma:
× =
Procedimiento C. Se investiga cuántos cubos se necesitan a lo largo, a lo ancho y a lo alto de la caja y se multiplican estos tres números.
× × =
Procedimiento D. Se multiplican las medidas del prisma.
× × =
3 cm
4 cm
2 cm
3 cubos
4 cubos
2 cubos
190
SECUENCIA 14II. El siguiente procedimiento también permite calcular el volumen del prisma:
Procedimiento E. Se calcula el área de la base y se multiplica por la altura.
a) ¿Qué forma tiene la base de la caja?
b) ¿Cuál es el área de esta base?
c) ¿Cuál es la medida de la altura de la caja?
d) ¿Cuál es el producto del área de la base por la altura?
III. Analicen todos los procedimientos y compárenlos con el procedimiento E. Escriban un argumento que muestre que el procedimiento E es el mismo que el B, C y D.
Regresen al problema inicial y calculen el volumen de la caja utilizando el procedimiento E.
¿Llegan al mismo resultado?
A lo que llegamosCon ayuda de su profesora o profesor, lean y comenten la siguiente información:
Al calcular el número de centímetros cúbicos (cm3) que forman el prisma se está calcu-lando su volumen. Otras unidades de volumen son el decímetro cúbico (dm3) y el metro cúbico (m3).
Hay varias maneras de calcular el volumen de un prisma rectangular, por ejemplo:
Volumen del prisma rectangular = Largo x ancho x altura
Si el largo se simboliza con l, el ancho con a y la altura con h, tenemos:
V = l × a × h
Observa que al multiplicar largo por ancho estás calculando el área de la base, así que otra manera de escribir la fórmula es:
Volumen = Área de la base por la altura
Si simbolizamos con B al área de la base, la fórmula puede escribirse:
V = B × h
IIMATEMÁTICAS
191
Lo que aprendimos1. Calcula el volumen de los siguientes prismas.
MÁS VOLÚMENES DE PRISMAS Para empezarUno de ustedes construirá un prisma cuadrangular y el otro uno triangular, consideren las medidas indicadas en los siguientes desarrollos y no olviden poner las pestañas donde haga falta.
4.5 cm
5 cm
3 cm
3.4 dm6.2 dm
5.1 dm
412 m
412 m
412 m
SESIÓN 2
10 cm
5 cm
5 cm
10 cm
5 cm
5 cm
192
SECUENCIA 14
Consideremos lo siguienteReúnanse con otra pareja y calculen el volumen de cada uno de los prismas que construyeron.
a) Volumen del prisma cuadrangular
b) Volumen del prisma triangular
Expliquen cómo calcularon el volumen del prisma triangular.
Comparen los procedimientos que emplearon para calcular el volumen del prisma triangular.
Manos a la obraI. A un equipo se le ocurrió juntar dos prismas triangulares y vieron que formaban un
prisma cuadrangular.
a) ¿Cuál es el volumen del prisma cuadrangular que se formó?
b) ¿Qué parte del prisma cuadrangular es el prisma triangular?
c) ¿Cuál es el volumen del prisma triangular?
d) En la sesión anterior usaron la siguiente fórmula para calcular el volumen de un prisma rectangular:
V = Área de la base por la altura
e) ¿Esta fórmula se puede usar para un prisma cuadrangular?
IIMATEMÁTICAS
193
f) Expliquen por qué
g) ¿Podrán usar esta fórmula para calcular el volumen de un prisma triangular?
Completen usando los datos del prisma triangular:
V = Área de la base por la altura
Área de la base =
Altura=
V = × =
h) ¿Su resultado es el mismo que el que encontraste en el inciso c)?
II. Ahora unan el prisma cuadrangular y el triangular para formar un prisma que tiene por base un trapecio (prisma trapezoidal).
a) Como ya calcularon el volumen del prisma cuadrangular y el volumen del trian-gular pueden calcular el volumen del prisma trapezoidal.
¿Cuál es?
b) ¿Se podrá calcular el volumen de un prisma trapezoidal con la fórmula:
Área de la base por la altura?
194
SECUENCIA 14c) Calculen el volumen del prisma trapezoidal usando la fórmula:
V = Área de la base por la altura
Área de la base =
Altura=
Volumen = × =
Observen que, si hicieron bien las operaciones, obtienen el mismo resultado en los incisos a) y c).
III. Con sus prismas cuadrangulares y triangulares traten de formar:
• Un prisma con base en forma de romboide.
• Un prisma con base en forma de trapecio isósceles (los trapecios isósceles son los que tienen sus lados no paralelos de la misma medida).
• Para cada uno calculen su volumen de dos formas:
a) Sumando los volúmenes de los cuerpos que utilizaron.
b) Aplicando la fórmula A = B × h
A lo que llegamosEl volumen de un prisma se calcula con la siguiente fórmula:
Volumen = área de la base por la altura
Si simbolizamos el área de la base con B y a la altura con h, podemos escribir:
V = B × h
La base puede ser cualquier polígono así, que para calcular su área tienes que repasar la manera en que se calcula el área de los diferen-tes polígonos que conoces, recuerda que esto lo estudiaste en la secuencia 14 de primer grado.
IIMATEMÁTICAS
195
Lo que aprendimos 1. Calcula el volumen de los siguientes prismas.
ARROZ Y VOLUMENPara empezarUno de ustedes construirá una pirámide cuadrangular y el otro una triangular, conside-ren las medidas indicadas en los siguientes desarrollos. Dejen la base sin pegar porque van a llenar las pirámides de arroz o de alpiste.
8 cm
3 cm
3.6 cm
5 cm
3.4 cm
10 cm
3 cm5.6 cm
6 cm
5 cm
5 cm
5 cm 5 cm
10.3 cm10 cm
SESIÓN 3
196
SECUENCIA 14
Consideremos lo siguienteComparen el prisma cuadrangular, que construyeron en la sesión anterior, con la pirámi-de cuadrangular que acaban de armar.
a) ¿Cuál de los dos tiene mayor volumen?
b) ¿Cómo podrían calcular el volumen de la pirámide?
c) Calculen el volumen de la pirámide y anoten su resultado.
Volumen=
Comparen sus procedimientos y sus resultados.
Manos a la obraI. Realicen lo que se indica.
a) Quiten una de las bases al prisma cuadrangular que construyeron en la sesión anterior para que puedan llenarlo de arroz o de alpiste.
b) Veriiquen que la pirámide cuadrangular y el prisma cuadrangular tienen exacta-mente las mismas medidas de la base y la misma altura.
IIMATEMÁTICAS
197
c) Llenen la pirámide cuadrangular de arroz y vacíen esta cantidad de arroz en el prisma cuadrangular.
• ¿Qué parte del prisma quedó ocupada por el arroz?
d) Repitan el paso del inciso c) las veces que sea necesario has-ta que el prisma se llene de arroz y comprueben su res-puesta a la pregunta anterior.
e) ¿Cuál es el volumen del prisma cuadrangular?
¿Cuál es el volumen de la pirámide?
¿Cómo lo averiguaron?
f) Hagan lo mismo con el prisma triangular que construyeron en la sesión anterior y la pirámide triangular.
• ¿Qué parte del volumen del prisma triangular es el volumen de la pirámide triangular?
• ¿Cuál es el volumen de la pirámide triangular?
• ¿Cómo lo averiguaron?
198
SECUENCIA 14II. Expliquen la manera en que se puede calcular el volumen de una pirámide.
Comparen sus resultados, en particular comenten lo que escribieron en la actividad II.
A lo que llegamosEl volumen de una pirámide recta de base poligonal puede calcularse con la fórmula:
Volumen =
área de la base × altura
3
V = B × h
3
Unas fórmulas se obtienen de otras
Ahora ya conoces la relación que hay entre el volumen de un prisma y una pirámide que tienen igual base y altura, y esto te ha permitido construir la fórmula para calcular el volumen de una pirámide.
Lo que aprendimos1. Calcula el volumen de las siguientes pirámides cuya altura es de 8 cm.
3 cm
4.5 cm
6.5 cm
3.6 cm
IIMATEMÁTICAS
199
Para saber másConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Hernández Garciadiego, Carlos. “Volumen de prismas irregulares” y “Volumen de co-
nos y pirámides”, en La geometría en el deporte. México: SEP/Santillana, Libros del
Rincón, 2003.
200
Aplicación de volúmenes
SECUENCIA 15
Y ahora que ya aprendiste las fórmulas para calcular el volumen de prismas y pirámides estás listo para explorar la relación entre volu-men y capacidad, y también para resolver problemas relacionados con estos temas.
EL DECÍMETRO CÚBICOPara empezarEn la sesión 1 de la secuencia anterior aprendiste que el volumen de un recipiente se puede calcular en centímetros cúbicos.
¿Qué volumen le cabe, en centímetros cúbicos, a una caja en forma de cubo que mide
5 cm de arista?
SESIÓN 1
En la primaria aprendiste que una unidad para expresar la capacidad es el litro.
¿Sabrías decir cuál es la capacidad de esta caja en litros? . En esta lección aprenderás a responder preguntas como ésta.
5 cm
201
IIMATEMÁTICAS
Consideremos lo siguienteConstruyan una caja en forma de cubo, sin tapa, que mida 1 dm de arista y consigan un recipiente cuya capacidad sea de 1 litro.
Investiguen:
a) ¿Cuál es el volumen que le cabe a la caja medido en centímetros cúbicos?
b) ¿Cuál es la capacidad de la caja medida en litros?
c) ¿La capacidad de la caja será mayor, menor o igual a la del recipiente de 1 litro?
d) ¿A qué parte de 1 litro equivale 1 centímetro cúbico?
Comenten sus respuestas a las preguntas anteriores y la manera en que las averiguaron.
Manos a la obraI. Para saber si a la caja de un decímetro cúbico le cabe más o menos de un litro llenen
el recipiente de un litro con alguna semilla pequeña y vacíen el contenido en la caja.
Recuerden que:
1 dm = 10 cm
La caja que construyeron es un decímetro cúbico (dm3).
202
SECUENCIA 15
a) ¿Cuál es la capacidad de la caja expresada en litros?
b) Completen la siguiente igualdad:
decímetro cúbico = litro
dm3 = l
c) ¿A cuántos centímetros cúbicos equivale un decímetro cúbico?
Entonces: cm3 = 1 l
1 cm3 = de litro
II. Consideren ahora una cisterna en forma de cubo que mida 1 metro de arista.
a) ¿Cuál es la capacidad de la cisterna en metros cúbicos?
b) ¿Cuál es su capacidad en decímetros cúbicos?
c) ¿Y en centímetros cúbicos?
d) ¿Cuántos litros de agua le caben a esta cisterna?
A lo que llegamosLas medidas de volumen y de capacidad tienen una estrecha relación. Es común usar las unidades de volumen para expresar la capacidad de un recipiente.
En particular, la relación:
1 decímetro cúbico equivale a 1 litro
1 dm3 = 1 l
es muy útil para resolver problemas acerca de la capacidad de reci-pientes como peceras, albercas, cisternas, etcétera.
203
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimos1. Calcula la cantidad máxima de agua que puede contener una pecera de las siguientes
dimensiones:
2. ¿Cuál es la capacidad, expresada en litros, de un envase que mide 20 cm de largo,
10 cm de ancho y 5 cm de altura?
CAPACIDADES Y VOLÚMENESLo que aprendimosProblemas prácticos
El tema del volumen y su relación con la capacidad tiene un amplio uso en la resolución de problemas reales. Los ejercicios siguientes son un ejemplo de ello.
1. Resuelvan los siguientes problemas. Por el momento no hagan operaciones, sólo den un resultado aproximado y anótenlo donde se indica.
a) Se quiere construir un prisma cuadrangular (base cuadrada) cuyo volumen sea de 360 cm3. Si la altura será de 10 cm, ¿cuál será la medida de los lados del cuadrado de las bases?
Estimación del resultado:
b) La gran pirámide de Keops en Egipto tiene una base cuadrada de 270 m de lado y una altura de 167 m. ¿Cuál es su volumen?
Estimación del resultado:
SESIÓN 2
4 dm
2 dm
2 dm
204
SECUENCIA 15
c) Un señor desea constuir una cisterna de agua, en forma de prisma rectangular, para almacenar 2 500 litros de agua. Es-criban un posible tamaño de la cisterna anotando las medi-das del largo, ancho y profundidad.
Estimación del resultado:
d) Una alberca tiene un fondo rectangular de 50 m por 40 m, si se sabe que puede contener como máximo 4 000 000 de litros de agua, ¿cuál es la profundidad mínima de la alberca?
Estimación del resultado:
e) Un lingote de oro tiene forma de prisma trapezoidal. Se sabe que un centímetro cúbico de oro pesa, aproximadamente, 19 gramos, ¿cuánto pesa el lingote ilustrado a la izquierda?
Estimación del resultado:
f) En una pecera como la de la izquierda se introdujo una pie-dra y la altura del agua aumentó 0.9 cm. ¿Cuál es el volu-men de la piedra?
Estimación del resultado:
2. Calculen las respuestas a los problemas anteriores, pueden usar calculadora. Después comparen con sus estimaciones.
a) d)
b) e)
c) f)
Comenten sus respuestas y procedimientos con otros compañeros del grupo.
4 cm
3 cm
9.5 cm
2 cm
25 cm
20 cm
20 cm
205
IIMATEMÁTICAS
VARIACIONESLo que aprendimos1. Consideren varias pirámides que tienen la base de igual tamaño y cuya altura varía.
La base es un cuadrado de 10 cm de lado.
Completen la siguiente tabla:
Altura de la pirámide (cm) 1 2 3 4 5 6 7
Volumen de la pirámide (cm3)
¿Es proporcional la variación del volumen de la pirámide con respecto a la altura
cuando la base se mantiene constante?
Argumenten su respuesta
2. Consideren un cubo en el que la medida de su arista va aumentando.
•
•
SESIÓN 3.
206
SECUENCIA 15
Completen la siguiente tabla:
Medida de la arista (cm) 1 2 3 8 20
Volumen del cubo (cm3) 125 3375
¿Es proporcional la variación del volumen del cubo con respecto a su arista?
Argumenten su respuesta
3. Completen la siguiente tabla considerando que se trata de varios prismas cuadrangu-lares, todo ellos con un volumen igual a 400 cm3 y una base con área según la me-dida que se indica en la tabla.
•
•
Área de la base (cm2) 1 4 16 25 100
Altura del prisma (cm)
¿Es proporcional la variación de la altura al área de la base?
Argumenten su respuesta
4. Se tiene un prisma rectangular como el siguiente:
•
•
207
IIMATEMÁTICAS
Anoten en la tabla el número de cubos que se necesitarán para realizar lo que se indica en cada caso. Siempre se toma como referencia el prisma original.
Si se:El número de cubos que se requieren es:
¿Cuántas veces aumentó el volumen?
Aumenta sólo su altura al doble
Aumenta sólo el largo al triple
Disminuye sólo el ancho a la mitad
Aumentan al doble el largo y el ancho
Aumentan al triple el ancho y la altura
Aumentan al doble el largo, el ancho y la altura
Aumentan al doble el largo y el ancho se disminuye a la mitad dejando la altura igual
a) Si un prisma aumenta la medida de su largo, ancho y altura al triple, ¿cuántas
veces aumenta su volumen?
b) ¿El aumento del volumen es proporcional al aumento del largo, ancho y altura?
c) Argumenten su respuesta
Comenten sus respuestas y sus procedimientos con otros compañeros del grupo.
Para saber másConsulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
De la Peña, José Antonio. “¿Cuál es la pirámide más grande?” en Geometría y el mun-
do. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
208
SECUENCIA 16
SESIÓN 1
Comparación de situaciones de proporcionalidad
En esta secuencia resolverás problemas de comparación de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.
EL RENDIMIENTO CONSTANTEPara empezarEn la actualidad uno de los aspectos más importantes del diseño de un automóvil es el rendimiento. El rendimiento es el número de kilómetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.
Al diseñar un automóvil es importante veriicar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilómetros con la misma cantidad de gasolina.
Consideremos lo siguienteUna compañía de automóviles hizo pruebas a tres de sus modelos para veriicar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.
Cantidad de gasolina (en litros)
Distancia recorrida (en kilómetros)
Cantidad de gasolina (en litros)
Distancia recorrida (en kilómetros)
2 32 3 51
4 64 7 119
16 256 11 187
Modelo A Modelo B
Cantidad de gasolina (en litros)
Distancia recorrida (en kilómetros)
3 48
15 240
21 378
Modelo C
IIMATEMÁTICAS
209
a) De los modelos A, B y C, ¿cuál no tuvo un rendimiento constante?
b) ¿Cuál modelo tuvo el mejor rendimiento?
Comparen sus respuestas y cómo las obtuvieron.
Manos a la obraI. Comenten: En una escuela dijeron que el modelo C tuvo rendimiento constante: 16
kilómetros por cada litro de gasolina.
a) ¿Están de acuerdo con la respuesta de la otra escuela? ¿Por qué?
b) Para comprobar si el modelo C tuvo rendimiento constante, hagan las multiplica-ciones de las cantidades de gasolina por 16 y veriiquen si obtienen las distan-cias recorridas.
c) Si se recorrieron 378 kilómetros con 21 litros de gasolina, ¿cuántos kilómetros se
recorrieron por cada litro?
d) ¿Cuál es el rendimiento del modelo A?
e) ¿Cuál es el rendimiento del modelo B?
II. Recuerden que cuando las cantidades de un conjunto son directamente proporcio-nales a las de otro conjunto se cumple la siguiente propiedad:
Todos los cocientes que se obtienen al dividir una cantidad de un conjunto entre la cantidad correspon-diente en el otro conjunto son iguales.
Y recíprocamente, si son iguales todos los cocientes que se obtienen al dividir una cantidad de un con-junto entre la cantidad correspondiente en el otro conjunto, entonces son directamente porporcionales.
En sus cuadernos hagan las divisiones de los kilómetros recorridos entre los litros de ga-solina que se consumieron en las pruebas de los tres modelos de automóviles y contesten:
a) De las siguientes relaciones subrayen las que son de proporcionalidad directa.
La relación entre el consumo de gasolina y la distancia recorrida por el modelo A.
La relación entre el consumo de gasolina y la distancia recorrida por el modelo B.
La relación entre el consumo de gasolina y la distancia recorrida por el modelo C.
b) De las relaciones que son de proporcionalidad directa, ¿cuáles son las constantes de proporcionalidad correspondientes?
Modelo constante
Modelo constante
•
•
•
210
SECUENCIA 16
A lo que llegamosEn una relación de proporcionalidad directa entre dos conjuntos de cantidades, los cocientes de las cantidades que se corresponden son iguales. Ese cociente se llama “constante de proporcionalidad”. Por ejemplo:
El modelo A tuvo siempre un rendimiento constante porque los cocien-tes de las cantidades que se corresponden fueron siempre 16. El rendimiento del modelo A es de 16 kilómetros por litro de gasolina.
III. Además de los modelos anteriores, la compañía encontró que los siguientes modelos tuvieron rendimientos constantes:
El modelo D recorrió una distancia de 680 kilómetros y tuvo un consumo de 40
litros de gasolina.
El modelo E recorrió una distancia de 630 kilómetros y tuvo un consumo de 35
litros de gasolina.
El modelo F recorrió una distancia de 192 kilómetros y tuvo un consumo de 12
litros de gasolina.
a) ¿Cuál es el rendimiento que tuvo el modelo D?
b) ¿Cuál es el rendimiento que tuvo el modelo E?
c) ¿Cuál es el rendimiento que tuvo el modelo F?
d) Entre los modelos A, D, E y F, ¿cuáles tuvieron el mismo rendimiento?
e) ¿Cuál de ellos tuvo el mejor rendimiento?
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
A lo que llegamosDos relaciones de proporcionalidad directa se pueden comparar usando sus constantes de proporcionalidad o sus cocientes. Por ejemplo:
• Si un modelo tiene rendimiento de 16 kilómetros por litro de gasolina, entonces tiene el mismo rendimiento que el modelo A.
• Si un modelo G tiene rendimiento constante de 17 kilómetros por litro de gasolina, entonces el modelo G tiene un mejor rendimiento que el modelo A.
•
•
•
211
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimos1. Completa la siguiente tabla, en donde se muestra el tiempo y la distancia recorrida
por cuatro automóviles. En la última columna se indican los cocientes de las distan-cias recorridas entre el tiempo que tardaron en recorrerlas. A este cociente se le llama velocidad (en este problema se considera que los automóviles siempre viajaron a ve-locidad constante).
Tiempo del recorrido (en horas)
Distancia recorrida (en kilómetros)
Velocidad (en kilómetros por hora)
Automóvil A 3 249
Automóvil B 11 924
Automóvil C 1 84
Automóvil D 7 595
a) ¿Cuál automóvil fue a mayor velocidad?
b) ¿Cuál automóvil fue a menor velocidad?
c) ¿Cuáles automóviles fueron a la misma velocidad? y
2. Completa la siguiente tabla en donde se muestra la cantidad de libras esterlinas ob-tenida al cambiar dólares americanos en cinco casas de cambio distintas.
Cantidad recibida (en libras)
Cantidad cambiada (en dólares)
Tipo de cambio
Casa de cambio A 145 290
Casa de cambio B 240 600
Casa de cambio C 180 414
Casa de cambio D 195 468
Casa de cambio E 120 276
a) ¿Cuál casa de cambio ofrece mejor tipo de cambio de dólares a libras?
b) ¿Cuál casa de cambio ofrece el peor tipo de cambio de dólares a libras?
c) ¿Cuáles casas de cambio ofrecen el mismo tipo de cambio de dólares a libras?
212
SECUENCIA 16
LA CONCENTRACIÓN DE PINTURAPara empezarEn la sesión 6 de su libro de Matemáticas I Volumen I aprendiste que hay una gran diversidad de colores llamados colores compuestos. Los colores compuestos se pueden obtener mezclando los tres colores primarios: amarillo, azul y rojo.
El color naranja, por ejemplo, se obtiene mezclando amarillo y rojo. Las distintas tonali-dades naranja, más claro o más oscuro, dependen de las cantidades de colores amarillo y rojo que se mezclen.
Consideremos lo siguienteEn una escuela se hizo una colecta para comprar pintura y pintar con ella el ediicio de la escuela. El color elegido fue el naranja.
Para preparar 10 litros de pintura naranja del tono elegido se necesitan 6 litros de pintura amarilla y 4 litros de pintura roja.
a) ¿Qué cantidades de pintura amarilla y roja se necesitan para obtener 12 litros de
pintura naranja del tono elegido?
b) ¿Qué cantidades de pintura amarilla y roja se necesitan para obtener 23 litros de
pintura naranja del tono elegido?
Comparen sus respuestas y comenten sus procedimientos.
Manos a la obraI. Completen la siguiente tabla y encuentren qué cantidad de pintura amarilla se nece-
sita para obtener 12 litros de pintura naranja.
Cantidad de mezcla (pintura naranja)
(en litros)
Cantidad de pintura amarilla en la mezcla
(en litros)
10 6
1
12
Comparen sus tablas y comenten el procedimiento anterior.
Veriiquen su resultado dado en el apartado Consideremos lo siguiente con el obtenido al completar la tabla.
II. La concentración de color amarillo en la pintura naranja es el cociente de la can-tidad de pintura amarilla entre la cantidad de pintura naranja. Por ejemplo, la pintu-ra naranja tiene la siguiente concentración de color amarillo:
6 ÷ 10 = 610 = 0.6
SESIÓN 2
213
IIMATEMÁTICAS
a) Completen las siguientes tablas para encontrar las distintas cantidades de pintura naranja (mezcla) y amarilla y las concentraciones correspondientes.
Cantidad
de mezcla
(en litros)
Cantidad de pintura
amarilla en la mezcla
(en litros)
Concentración
de pintura amarilla
en la pintura naranja
10 6 6 ÷ 10
18
5
25
11
Comparen sus tablas y comenten:
b) ¿Serán del mismo tono las mezclas de pintura naranja obtenidas en la tabla anterior?,
¿cómo pueden veriicarlo?
c) ¿Cuántos litros de pintura roja necesitan para preparar 25 litros de pintura naranja
del mismo tono?
d) Si se usan 15 litros de pintura amarilla, ¿cuántos litros de pintura roja se deben mez-
clar para obtener pintura naranja del mismo tono?
III. Completen la siguiente tabla para encontrar qué cantidad de pintura roja deben lle-var los 23 litros de pintura naranja.
Cantidad de mezcla
(pintura naranja)
(en litros)
Cantidad de pintura
roja en la mezcla
(en litros)
Concentración
de pintura roja
en la pintura naranja
10 4 4 ÷ 10
1
23
a) ¿Cuál es la concentración de pintura roja en la pintura naranja?
b) Veriiquen sus resultados dados en el apartado Consideremos lo siguiente.
Comparen sus tablas y comenten:
a) Si en un recipiente se ponen 2 litros de pintura roja, ¿qué cantidad de pintura amarilla se debe usar para que la pintura naranja tenga el tono elegido?
214
SECUENCIA 16
A lo que llegamosEn esta situación, la cantidad de pintura naranja está en proporción directa tanto con la cantidad de pintura roja como con la cantidad de pintura amarilla.
Entonces, los cocientes de las cantidades de pintura amarilla entre las de pintura naranja son iguales. Cada uno de estos cocientes es la concentración de la pintura amarilla en la pintura naranja: 6
10 , o sea que, en 10 litros de pintura naranja, 6 son de pintura amarilla.
Análogamente, los cocientes de la cantidad de pintura roja entre la de pintura naranja son iguales. Cada uno de estos cocientes es la concen-tración de pintura roja en la pintura naranja: 4
10 , o sea que, en 10
litros de pintura naranja, 4 son de pintura roja.
IV. Las siguientes tablas muestran las cantidades de pintura que hay que mezclar para hacer dos tonos distintos de pintura naranja: naranja ocre y naranja sol.
Pintura amarilla
(en litros)
Pintura roja
(en litros)
Pintura naranja ocre
(en litros)
Pintura amarilla
(en litros)
Pintura roja
(en litros)
Pintura naranja sol (en litros)
7 13 20 18 27 45
a) ¿Cuál es la concentración de pintura roja en la pintura naranja ocre? (exprésalo como fracción y como decimal)
Fracción Decimal
b) ¿Cuál es la concentración de pintura roja en la pintura naranja sol? (exprésalo como fracción y como decimal)
Fracción Decimal
c) ¿Cuál de los dos tonos de naranja tiene una mayor concentración de rojo?
d) ¿Cuál de los dos tonos de naranja tiene una mayor concentración de amarillo?
215
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosPara comparar las concentraciones de un color se pueden comparar los cocientes entre las cantidades correspondientes. Por ejemplo: la concentración de pintura amarilla en la pintura naranja ocre es menor que la concentración de pintura amarilla en la pintura naranja sol:
Concentración de pintura amarilla en la pintura naranja ocre: 720
= 0.35
Concentración de pintura amarilla en la pintura naranja sol: 1845
= 0.4
Comparación de cocientes
La comparación de cocientes te puede ayudar para resolver diferentes tipos de proble-mas. Las siguientes situaciones son un ejemplo de esto.
Lo que aprendimosResuelve los siguientes problemas:
1. Al mezclar distintas cantidades de pintura amarilla y azul se forman diferentes tonos de color verde. Las siguientes tablas muestran las cantidades de pintura que hay que mezclar para hacer dos tonos distintos de pintura verde.
Pintura amarilla
(en litros)
Pintura azul
(en litros)
Pintura verde botella
(en litros)
Pintura amarilla
(en litros)
Pintura azul
(en litros)
Verde agua
(en litros)
7 3 10 18 12 30
a) ¿Cuál de los dos tonos de verde tiene mayor concentración de color azul?
b) ¿Cuál es la concentración de pintura azul en la pintura verde botella?
c) ¿Cuál es la concentración de pintura azul en la pintura verde agua?
2. En una escuela secundaria, 3 de cada 4 alumnos de primer grado hablan un idioma distinto al español; 4 de cada 5 en segundo y 5 de cada 6 en tercero.
¿En cuál de los tres grados la proporción de hablantes de un idioma distinto al espa-
ñol es mayor?
Para saber más: Sobre el tipo de cambio entre monedas de distintos países consulta:
http://www.euroinvestor.es/currency/
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
216
Medidas de tendencia central
SECUENCIA 17
En esta secuencia aprenderás a calcular algunas de las medidas de tendencia central cuando un conjunto de datos está agrupado en intervalos.
EL PROMEDIO DEL GRUPO EN EL EXAMEN 1Para empezar Cuando se realiza un estudio de una situación o fenómeno se obtiene una cantidad de datos (grande o pequeña) que puede organizarse y presentarse de distintas maneras, en una tabla de frecuencias o en una gráica (de barras, circular o en un polígono de fre-cuencias); esto dependerá del tipo de datos que se ha obtenido y de los resultados que se quieren destacar.
Otra manera de presentar los datos es a partir de sus medidas de tendencia central, las cuales proporcionan valores de la media, la mediana y la moda, que permiten resumir y comparar la tendencia de un conjunto o de varios conjuntos de datos para establecer conclusiones.
Consideremos lo siguienteUn grupo de veinte alumnos contestaron un examen de matemáti-cas con 100 preguntas. Del total de alumnos, el 10% contestó co-rrectamente entre 1 y 25 preguntas de la prueba; el 30%, entre 26 y 50 preguntas; el 50%, entre 51 y 75, y el resto entre 76 y 100.
Se considera que el grupo tuvo un buen desempeño en el examen si su promedio es mayor o igual a 63 aciertos.
¿Fue bueno el desempeño del grupo? ¿Por qué?
Con ayuda de su maestro, comparen el procedimiento que utilizaron para responder la pregunta anterior con los que utilizaron otros compañeros. Comenten:
¿Cuál de los siguientes valores es más conveniente utilizar para determinar si el desem-peño que tuvo el grupo fue bueno de acuerdo con lo señalado al principio?
El intervalo de aciertos en el que hay un mayor porcentaje de alumnos.
La media aritmética de las cantidades obtenidas por los veinte alumnos.
•
•
SESIÓN 1
Recuerden que:
Las medidas de tendencia central son
valores numéricos que tienden a
localizar, en algún sentido, la parte
central de un conjunto de datos. A
menudo el término promedio se
asocia a estas mediciones. Cada una
de las diferentes medidas de tenden-
cia central puede recibir el nombre de
valor promedio.
IIMATEMÁTICAS
217
Manos a la obra I. Completen la siguiente tabla.
Resultados obtenidos por el grupo A en el examen de matemáticas
Aciertos (intervalo)
Porcentaje de alumnos
Número de alumnos (frecuencia)
1-25 10%
30%
50%
Totales 20
a) ¿Cuál es el intervalo de aciertos en el que hay más alumnos?
b) ¿Cuántos alumnos tuvieron entre 1 y 50 aciertos en el examen?
c) Con la información que tienen, ¿pueden decir cuántos alumnos respondieron co-
rrectamente a 63 preguntas? ¿Y cuántos respondieron
correctamente a más de 63 preguntas? ¿Por qué?
Recuerden que:
Cuando un conjunto de datos está organizado en intervalos iguales, cada intervalo tiene un límite inferior y uno superior. El tamaño de un intervalo es igual a la diferencia entre dos sucesi-vos límites inferiores o superiores.Cada intervalo puede ser identificado y representado por su límite inferior y superior, pero también podemos utilizar el punto medio del intervalo, que se obtiene con sólo sumar los límites inferior y superior del intervalo y dividir esta suma entre 2. Por ejemplo, el punto medio del primer intervalo es:
(1 + 25)
2 = 26
2 = 13.
Ese valor permite efectuar operaciones aritméticas con intervalos.
218
SECUENCIA 17
II. Completen la siguiente tabla y, luego contesten las preguntas de los incisos.
Aciertos Número de alumnos
(frecuencia)
Aciertos × número de alumnos (punto medio × frecuencia)
IntervaloPunto medio del intervalo
1-25 13 2 13 × 2 = 26
26-50
51-75
76-100
Total 20
En el intervalo 1-25 su punto medio es 13 y su frecuecia 2, lo que podemos interpretar de las dos siguientes maneras:
En el examen de matemáticas hubo dos alumnos que obtuvieron entre 1 y 25 aciertos.
En el examen de matemáticas hubo dos alumnos que obtuvieron 13 aciertos.
a) ¿Cuál es el intervalo que tiene el mayor número de alumnos (mayor frecuencia)?
¿Cuántos alumnos obtuvieron ese intervalo de aciertos?
¿Cuál es el punto medio de intervalo en el que se tiene el mayor número de alumnos
(frecuencia)?
b) Escriban, en su cuaderno, cómo interpretarían estos datos.
c) ¿Cuántos alumnos son en total (frecuencia total)?
d) ¿Cuál es la suma de los aciertos de todos los alumnos?
e) ¿Cuál es la media aritmética del número de aciertos que obtuvo el grupo?
¿Consideran que el grupo tuvo un buen desempeño en el examen de matemáticas?
¿Por qué?
A lo que llegamosCuando un conjunto de datos está organizado en intervalos de igual tamaño, al que tiene mayor frecuencia se le llama intervalo modal y su punto medio se puede considerar que es el valor de la moda.
219
IIMATEMÁTICAS
III. Completen los siguientes párrafos, que corresponden a dos formas diferentes de re-portar los resultados obtenidos por el grupo. Utilicen los valores de la moda, interva-lo modal y media aritmética que calcularon en la actividad anterior, según se señala en cada inciso.
a) Utilicen el valor de la media aritmética.
b) Otra forma de dar a conocer el desempeño de los alumnos es a partir del número de aciertos en que hubo mayor frecuencia, es decir, el intervalo modal o la moda.
Una vez que se tiene el punto medio de cada intervalo se puede obtener la media aritmética de todo el conjunto de datos agrupados. Para ello, primero se multiplica el punto medio de cada intervalo por su frecuencia, luego se suman los productos y el total se divide entre el número de datos. Por ejemplo:
Intervalo Punto medio Frecuencia Producto (punto medio × frecuencia)
0-6 3 50 150
7-13 10 100 1000
14-20 17 50 850
Total 200 2000
Media aritmética= 2000200
=10
El desempeño del grupo en el examen de matemáticas fue excelente/bueno/regular/insuiciente
debido a que el promedio de aciertos que obtuvieron los alumnos fue de , (media aritmética)
que es al promedio de 63 aciertos que se señala como referencia. mayor/igual/menor
El desempeño del grupo en el examen de matemáticas fue excelente/bueno/regular/insuiciente
debido a que el número de aciertos con mayor frecuencia fue de , (moda)
que es al promedio de 63 aciertos que se señala como referencia, mayor/igual/menor
ya que alumnos obtuvieron de a aciertos. (intervalo modal)
220
SECUENCIA 17
Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compañeros.
c) ¿Cuál de los dos valores, media aritmética o moda, consideras que es correcto
utilizar para presentar los resultados de este grupo?
Marquen con una la airmación que consideren que justiica su respuesta anterior.
El primer resultado, porque el valor de la media aritmética de datos agrupados toma en cuenta el número de aciertos que obtuvieron los veinte alumnos.
El segundo resultado, porque para obtener el valor de la moda de datos agru-pados se toma en cuenta entre qué número de aciertos se concentra el mayor número de alumnos.
Los dos resultados, porque tanto la media aritmética como la moda o el inter-valo modal son medidas de tendencia central y, en este caso, se pueden calcu-lar para determinar el desempeño del grupo.
EL PROMEDIO DEL GRUPO EN EL EXAMEN 2Para empezar En la sesión anterior calculaste la media aritmética del número de aciertos que obtuvie-ron los veinte alumnos del grupo A, al presentar un examen de matemáticas. También determinaron el intervalo de aciertos que con mayor frecuencia obtienen los alumnos. En esta sesión utilizarás esos valores para compararlos con los valores de la media y moda de datos sin agrupar.
Consideremos lo siguienteCompleten el siguiente cuadro con los valores de las medidas de tendencia central obte-nidos en la sesión anterior.
Intervalo modal del número de aciertos
Punto medio del intervalo modal
Media aritmética del número de aciertos
El grupo está inconforme con estos valores que se obtuvieron al agrupar los datos. Su-gieren que es mejor tomar los datos sin agrupar para determinar su desempeño en el examen de matemáticas.
SESIÓN 2
221
IIMATEMÁTICAS
En la siguiente tabla se ha incluido el número de aciertos que cada uno de los veinte alumnos obtuvo en ese examen.
Número de aciertos en el examen de matemáticas por alumno del grupo A
Intervalo Datos sin agrupar
1-25 11, 24
26-50 26, 30, 32, 32, 44, 48
51-75 53, 55, 55, 55, 60, 66, 68, 68, 70, 73
76-100 80, 97
¿Qué tan diferentes son los valores de la media de los datos sin agrupar con respecto de
los agrupados? ¿Será signiicativa esa diferencia como para
rechazar los valores obtenidos al agrupar los datos?
¿Qué sucede con los valores de la moda obtenidos de estas dos maneras? ¿Son iguales o
son diferentes?
Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compañeros.
Si se dijo que un grupo tiene un buen desempeño cuando el promedio es mayor o igual
a 63 aciertos, ¿cómo fue el desempeño del grupo de acuerdo con el valor de la media
aritmética de datos sin agrupar?
Manos a la obraI. Consideren la tabla con el número de aciertos de cada uno de los veinte alumnos para
responder las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es el número de aciertos que más alumnos obtuvieron?
b) Compara este número con el punto medio del intervalo modal, ¿son iguales o di-
ferentes? ¿Ese número está dentro
del intervalo modal?
Recuerden que:
La moda de un
conjunto de datos
sin agrupar es el
dato que tiene
mayor frecuencia.
222
SECUENCIA 17
c) ¿Cuántos alumnos respondieron correctamente al menos 63 preguntas?
d) En este conjunto de datos sin agrupar, ¿cuál es el valor de la media aritmética?
¿Este valor es diferente al valor de la media aritmética
de datos agrupados?
e) Completen el siguiente párrafo. Utilicen el valor de la media aritmética de datos sin agrupar.
Ahora, consideren que otro grupo, también de veinte alumnos, obtuvieron el siguiente número de aciertos:
Número de aciertos en el examen por alumno del grupo B (datos sin agrupar)
15, 20 , 28, 32, 32, 32, 47, 52, 60, 60, 65, 65, 70, 70, 72,72,75,75, 60, 60, 65,
65, 70, 70, 72, 72, 75, 75, 90, 100
Al agrupar los datos en el mismo número de intervalos del grupo A, los porcentajes de alumnos coinciden.
Aciertos (intervalos)
Porcentaje de alumnos
Número de aciertos en el examen por alumno del grupo B
(datos sin agrupar)
1-25 10 % 15, 20
26-50 30 % 28, 32, 32, 32, 47, 52
51-75 50 % 60, 60, 65, 65, 70, 70, 72, 72, 75, 75
76-100 10 % 90,100
f) ¿Cuál de los dos grupos, el A o el B, tuvo un mejor desempeño en el examen de ma-
temáticas?
El desempeño del grupo A en el examen de matemáticas fue excelente/bueno/regular/insuiciente
debido a que el promedio de aciertos que obtuvieron los alumnos fue de , (media aritmética)
que es al promedio de 63 aciertos que se señala como referencia. mayor/igual/menor
223
IIMATEMÁTICAS
II. Utilicen la información que aparece en la tabla anterior para contestar las siguientes preguntas.
a) En el conjunto de datos sin agrupar, ¿cuál es el valor de la moda?
b) Si se consideran los datos agrupados, ¿cuál es el intervalo modal?
¿y cuál es el punto medio de ese intervalo?
c) Compara el valor de la moda de los datos sin agrupar con el punto medio del in-
tervalo modal, ¿son iguales o diferentes?
d) ¿El valor de la moda de los datos sin agrupar está dentro del intervalo modal?
e) ¿Cuál es el valor de la media aritmética sin agrupar los datos?
f) Completen el siguiente párrafo. Utilicen el valor de la media aritmética de los datos del grupo B.
g) Si consideran los datos agrupados, ¿cuál es el valor de la media aritmética?
h) Comparen los valores de la media aritmética de los datos agrupados y sin agrupar.
¿Son iguales o diferentes? Si son diferentes, ¿es signiicativa
esta diferencia?
i) Si comparan los valores de las medias aritméticas de los datos sin agrupar de los
dos grupos, A y B, ¿cuál de los dos grupos tiene mejor promedio?
¿Alguno de los dos grupos logró tener un buen desempeño? (recuerden que un
grupo tiene un buen desempeño si su promedio de aciertos es igual o mayor a 63).
j) Comparen los valores de la media aritmética de datos agrupados de los dos grupos.
¿Son iguales o diferentes? Si son diferentes, ¿qué
grupo tuvo mejor desempeño?
El desempeño del grupo B en el examen de matemáticas fue excelente/bueno/regular/insuiciente
debido a que el promedio de aciertos que obtuvieron los alumnos fue de , (media aritmética)
que es al promedio de 63 aciertos que se señala como referencia. mayor/igual/menor
224
SECUENCIA 17
Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compañeros.
a) Completen el siguiente párrafo a manera de conclusión, utilizando el valor de la me-dia aritmética de datos agrupados de ambos grupos.
A lo que llegamosCuando un conjunto de datos está organizado en intervalos, estos intervalos están formados por varios datos individuales, y la frecuen-cia del intervalo se obtiene contando el número de datos individuales que hay en el intervalo. Por esta razón el valor de la moda de datos sin agrupar no necesariamente está incluido en el intervalo modal.
Por ejemplo:
Intervalo Punto medio Frecuencia Grupo A
(datos sin agrupar)Grupo B
(datos sin agrupar)
60-62 61 3 60, 60, 62 60, 60, 60
63-65 64 4 63, 64, 65, 65 63, 64, 64, 65
66-68 67 5 66, 66, 67, 67, 68 67, 67, 67, 68, 68,
69-71 70 3 71, 71, 71 69, 69, 70
El valor de la moda de datos sin agrupar del grupo A es 71 y el del grupo B es 67.
El intervalo modal para ambos grupos es 66-68 y el punto medio del intervalo modal es 67.
Observen que el valor de la moda (71) del grupo A no está incluido en el intervalo modal (66-68), mientras que el valor de la moda del grupo B, además de estar incluido, es el mismo valor del punto medio del intervalo modal.
El desempeño de los grupos A y B en el examen de matemáticas fue excelente/bueno/regular/insuiciente
debido a que el promedio de aciertos que obtuvieron los alumnos fue de , (media aritmética)
que es al promedio de 63 aciertos que se señala como referencia. mayor/igual/menor
225
IIMATEMÁTICAS
La media aritmética de un conjunto de datos agrupados es un valor que puede ser igual, menor o mayor al valor de la media aritmética de los datos sin agrupar, debido a que en su cálculo se utiliza el punto medio de cada intervalo.
Por otra parte, el valor de la media aritmética de datos agrupados es representante de cualquier conjunto de datos que tenga los mismos intervalos y las mismas frecuencias en cada intervalo.
Por ejemplo: considerando los datos de la tabla anterior, tenemos los siguientes valores.
Media de datos agrupados = 984
15 = 65.6
Media de datos del grupo A sin agrupar = 986
15 = 65.7
Media de datos del grupo B sin agrupar = 980
15 = 65.33
Lo que aprendimos1. Ahora utiliza los siguientes datos sin agrupar y completa la tabla en la que se ha cam-
biado el tamaño de los intervalos de 25 a 20.
Número de aciertos en el examen por alumno del grupo A (datos sin agrupar)
11, 24, 26, 30, 32, 32, 44, 48, 53, 55, 55, 55, 60, 66, 68, 68, 70, 73, 80, 97
Aciertos Número de alumnosAciertos x número de alumnos
(punto medio × frecuencia)Intervalo
Punto medio del intervalo
Frecuencia Porcentaje
1-20
21-40
41-60
61-80
81-100
Total 20 100%
226
a) Al cambiar el tamaño de los intervalos, ¿cuál es el valor de la media aritmética del
número de aciertos obtenidos por los alumnos?
b) ¿Cuál es la diferencia entre la media aritmética de los datos sin agrupar y la media
aritmética de los datos agrupados en intervalos de tamaño 20?
c) Completa el siguiente cuadro:
Media aritmética del número de aciertos sin
agrupar
Media aritmética del número de aciertos
agrupados en intervalos de tamaño 25
Media aritmética del número de aciertos
agrupados en intervalos de tamaño 20
d) ¿Cuál de los valores de las medias aritméticas de datos agrupados consideras que
representa mejor la situación? ¿Por qué?
2. Comenten con sus compañeros y con el profesor cuál podría ser el valor de la media aritmética de sus caliicaciones obtenidas en el examen de matemáticas en el primer bimestre, para considerar que tuvieron un buen desempeño. Anoten en el siguiente recuadro el valor que acordaron sería el referente para determinar el desempeño del grupo.
a) Reúnan las caliicaciones que obtuvieron todos los alumnos de su grupo en el exa-men del primer bimestre de matemáticas y anótenlas en el siguiente recuadro.
Recuerda que:
La media aritmética
es una medida que se
afecta fácilmente
por la presencia de
valores extremos
debido a que, para
realizar su cálculo,
se consideran todos
los valores.
227
IIMATEMÁTICAS
b) Calculen y anoten el valor de la media que obtuvieron. Usen una calculadora para realizar las operaciones.
Resumen de las calificaciones de matemáticas obtenidas por el
grupo correspondientes al examen del primer bimestre.
Media aritmética
Moda
c) Completen la siguiente tabla con las frecuencias y puntos medios que correspon-den a sus caliicaciones agrupadas en intervalos. Usen una calculadora para reali-zar las operaciones.
CalificacionesNúmero de alumnos
(frecuencia)
Calificación representativa (punto medio)
Calif. representativa × número de alumnos
Punto medio × frecuencia
0-2.0
2.1-4.0
4.1-6.0
6.1-8.0
8.1-10.0
d) Si un compañero dice que obtuvo 6.0 de caliicación, ¿en qué intervalo lo anota-
rían?
e) Si en el intervalo 0-2.0 hubo tres alumnos con 1.5, dos alumnos con 1.0 y dos
alumnos con 0, ¿la frecuencia que se deberá anotar es, 5 o 7?
¿Por qué?
f) Si en el intervalo de 4.1 a 6.0 se consideran las caliicaciones de 4.1 a 6,
¿cuál es el punto medio de ese intervalo?
¿Qué signiicado tiene ese valor?
g) Completen el siguiente cuadro.
Media aritmética de las calificaciones sin agrupar
Media aritmética de las calificaciones agrupadas
Diferencia
228
SECUENCIA 17
h) ¿Qué caliicación obtuviste en el examen de matemáticas del primer bimestre?
¿Cuál es la diferencia que hay entre tu caliicación y la media aritmética
de las caliicaciones del examen sin agrupar? ¿Y cuál es la diferencia
con respecto a la media aritmética de las caliicaciones agrupadas?
i) Otro aspecto que se puede analizar en esta situación es la moda. Completen el siguiente cuadro.
Moda de las calificaciones sin agrupar
Intervalo modal de las calificaciones
Punto medio del intervalo modal
Comenten con sus compañeros y con el profesor los resultados que obtuvieron al reco-pilar, organizar y analizar sus caliicaciones.
a) Completen el siguiente párrafo. Deberán utilizar el valor referente de la media arit-mética de sus caliicaciones que acordaron al principio de esta actividad y los valores que obtuvieron en esta actividad.
LAS CALORÍAS QUE CONSUMEN LOS JÓVENESPara empezarEstadísticas, alimentos y otras situaciones
En la secuencia 11 ¿Cómo usa mi cuerpo lo que como? de su libro Cien-cias I Volumen I estudiaste las características de una alimentación sui-ciente, variada, equilibrada e higiénica.
SESIÓN 3
El desempeño de nuestro grupo en el examen de matemáticas fue excelente/bueno/regular/insuiciente
debido a que la calificación promedio que obtuvimos fue de , (media aritmética)
que es a la calificación promedio de que señalamos como mayor/igual/menor
referente. Podemos decir que el % de los alumnos obtuvieron (frecuencia mayor en forma de %) (punto medio del intervalo modal)
de calificación, por lo que es la calificación que más alumnos obtuvieron.
Conexión con Ciencias I
Secuencia 11: ¿Cómo usa mi
cuerpo lo que como?
229
IIMATEMÁTICAS
Consideremos lo siguienteEn una escuela se organizó una campaña de nutrición. La nutrióloga responsable de la campaña realizó un estudio de los patrones alimenticios de 100 adolescentes de 13 años de edad (50 varones y 50 mujeres). Los resultados que encontró sobre uno de los aspec-tos del estudio se muestran en la siguiente gráica.
a) ¿Quiénes consumen mayor número de calorías diariamente, las mujeres o los varo-
nes?
b) ¿Cuál es la media aritmética de calorías que consumen diariamente las mujeres?
¿Y de los varones? ¿Y de todos?
c) ¿Cuál fue el número de calorías consumidas con mayor frecuencia por las mujeres?
¿Y cuál fue el de los varones?
Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compañeros.
a) Si comparamos el número de calorías promedio y el número de calorías que más mu-
jeres consumen, ¿estas cantidades se encuentran en el mismo intervalo?
¿Sucede lo mismo en el caso de los varones?
Varones
Mujeres
Número de calorías consumidas diariamente por adolescentes de 13 años.
Núm
ero d
e ad
ole
scen
tes
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 5 000 a a a a a a a a a 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 5 000 5 500
Número de calorías
230
SECUENCIA 17
Manos a la obraI. Observen el polígono de frecuencias y contesten las siguientes preguntas.
a) ¿Cuántos varones consumen entre 3 500 y 4 000 calorías al día?
¿Y cuántas mujeres consumen entre 2 500 y 3 000 calorías diarias?
b) En el caso del polígono de frecuencias que muestra los resultados de los varones,
¿cuál es el valor del punto medio del intervalo con mayor frecuencia?
Y en el caso del de las mujeres, ¿cuál es el valor del punto medio del intervalo con
mayor frecuencia?
c) ¿Cuáles son los puntos medios de los demás intervalos? Anótenlos al lado de la
frecuencia que señala cada punto en la gráica.
Como ven, otra forma de construir la gráica es a partir de los puntos medios de cada intervalo y sus frecuencias. Con esa misma informa-ción es posible construir la tabla de frecuencias y calcular la media aritmética de estos datos.
Varones
Mujeres
Número de calorías consumidas diariamente por adolescentes de 13 años.
Núm
ero d
e ad
ole
scen
tes
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Número de calorías
231
IIMATEMÁTICAS
II. Completen la siguiente tabla tomando como base los datos de la gráica anterior. Utilicen una calculadora.
Número de calorías Varones Mujeres
IntervaloPunto medio del intervalo
Frecuencia (punto medio × frecuencia) Frecuencia (punto medio × frecuencia)
1000-1500 1250 1 (1250 × 1) = 1250 1 (1250 × 2) = 2500
Total 50 50
a) ¿Cuál es el número de calorías diarias que consumen con mayor frecuencia las
mujeres? ¿Y cuál es el de los varones?
b) ¿Cuál es la media aritmética de las calorías que consumen los varones?
¿Y la de las mujeres?
c) ¿Cómo obtendrían la media aritmética de los 100 adolescentes?
III. Completen la siguiente tabla.
Número de calorías Adolescentes
IntervaloPunto medio del intervalo
Frecuencia(punto medio × frecuencia)
Varones Mujeres Total
1000-1500 1250 1 2 1 + 2 = 3 1250 × 3 =
1500-2000 1750 2 2
2000-2500 2250 5 8
Total 100
232
SECUENCIA 17
a) ¿Cuál es el intervalo modal de las calorías consumidas diariamente por los adoles-
centes de 13 años, según los resultados del estudio? ¿Cuál es el pun-
to medio de ese intervalo?
b) Comparen este intervalo y el valor de su punto medio con los obtenidos en el caso
de las mujeres, ¿son iguales?
c) ¿Cuál es la media aritmética de las calorías que consumen los adolescentes de
13 años, según los resultados del estudio?
d) Completen la siguiente expresión:
x =
media aritmética del número de calorías que
consumen las mujeres
media aritmética del número de calorías que consumen los varones
+( )2
=
x = ( + )
2 =
e) Comparen este valor con el de la media aritmética del número de calorías que
consumen los varones, ¿son iguales?
f) ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el procedimiento que utilizaste en
el inciso b) para obtener el valor de la media aritmética del número de calorías que
consumen los 100 adolescentes?
1. x = x 1 + x 2
2. x = (x 1) (x 2)
3. x = (x 1 + x 22
)
A lo que llegamosPara obtener el valor de la media aritmética del número de calorías que consumen los 100 adolescentes de trece años que participaron en el estudio, y dado que se tienen las frecuencias y medias aritméticas del número de calorías que consumen varones y muje-res, se pueden realizar los siguientes procedimientos:
233
IIMATEMÁTICAS
Procedimiento 1
1. Sumar las frecuencias de varones y mujeres en cada intervalo para obtener la frecuencia total.
2. Calcular, para cada intervalo, el produc-to del punto medio y la frecuencia.
3. Obtener el cociente de la suma de los productos entre la frecuencia total.
a) ¿En qué intervalo se encuentra el segmento que trazaste?
b) Si consideras el número de varones que hay en cada intervalo y el segmento que
trazaste, ¿en qué parte de la gráica hay más varones, antes del segmento o des-
pués de él?
c) ¿Cuál es el intervalo modal?
IV. El siguiente polígono de frecuencias presenta el número de calorías que consumen los varones. Ubica en el eje horizontal el punto que corresponde al valor de la media aritmética y a partir de él traza una línea, de color rojo, perpendicular al eje.
Procedimiento 2
1. Sumar los valores de las medias aritméti-cas (la del número de calorías que consu-men los varones y la de las mujeres).
2. Obtener el cociente de la suma de las medias entre 2.
Número de calorías consumidas diariamente por varones de 13 años.
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22
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16
14
12
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6
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Número de calorías
234
SECUENCIA 17
Ubica el punto medio del intervalo modal y traza un segmento, de color azul, perpen-dicular al eje horizontal que pase por él.
d) ¿En ese mismo intervalo se encuentra la media aritmética?
e) De izquierda a derecha, ¿qué punto se encuentra primero, la media aritmética o el
punto medio del intervalo modal?
V. Utilicen los resultados obtenidos en la sesión y seleccionen las respuestas correctas para completar el siguiente párrafo.
Lo que aprendimos1. Investiguen en la secuencia 11 ¿Cómo usa mi cuerpo lo que como? de
su libro Ciencias I Volumen I, qué, cómo y cuántas calorías deben con-sumir diariamente para mantenerse sanos, así como los riesgos que se tienen por no consumir las calorías adecuadas.
a) De acuerdo con esa información, ¿cómo describirían a estos dos grupos de adolescentes, los varones y las mujeres? ¿Qué grupo de adolescentes presenta mayores problemas de salud, los varones o las mujeres?
b) Si estuvieran a cargo de una campaña de nutrición en su escuela, ¿qué acciones realizarían para recopilar información sobre su situación nutricional?, ¿qué tipo de gráicas, tablas y medidas de tendencia central utilizarían para comunicar sus re-sultados a su comunidad escolar? Comenten y comparen sus respuestas con sus compañeros y su profesor.
De acuerdo con los resultados del estudio que se realizó para conocer los patrones
alimenticios de 100 adolescentes de 13 años de edad, se encontró que la media
aritmética del número de calorías que consumen es de , 3 100 / 3 320 / 2 880
mientras que, si los separamos por sexo, la media aritmética del consumo de calorías
en los varones es que la de las mujeres, la diferencia entre mayor / igual / menor
ellas es de calorías. 440 / 220
En los varones, la mayor frecuencia en el consumo de calorías diarias se encuentra
entre , y en el caso de las mujeres la mayor frecuencia 3 500 a 4 000 / 2 500 a 3 000
está en el intervalo . 3 500 a 4 000 / 2 500 a 3 000
Conexión con Ciencias I
Secuencia 11: ¿Cómo usa mi
cuerpo lo que como?
235
IIMATEMÁTICAS
2. En la tabla de datos agrupados de la derecha se presentan los salarios mensuales de 70 empleados de una compañía.
a) Si el punto medio del primer intervalo de salarios es 2 500,
¿cuál es el límite inferior de ese intervalo?
¿Y cuál es el límite superior?
¿Cuál es el tamaño de cada intervalo?
b) ¿Cuál es el salario promedio mensual (media aritmética de
datos agrupados) de los 70 empleados?
c) ¿Cuál es el salario que perciben el mayor número de em-
pleados de esa compañía?
d) Si se quiere utilizar una cantidad que represente mejor los
salarios que se tiene en esta compañía, ¿cuál es el más
conveniente utilizar, la media aritmética o el intervalo
modal? . Justiiquen su res-
puesta y elaboren un párrafo a modo de reporte.
Punto medio del intervalo
Frecuencia
2 500 14
7 500 12
12 500 12
17 500 10
22 500 8
27 500 6
32 500 5
37 500 3
Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compañeros.
Para saber másSobre cómo utilizar e interpretar resultados estadísticos en una determinada situa-
ción consulten:
http://www.inegi.gob.mx/inegi/default.asp
Ruta 1: Recursos educativos Casos de negocios Fábrica de artículos de plástico
Ruta 2: Recursos educativos Casos de negocios Restaurante típico
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Sobre otros aspectos en los que se calculan y utilizan promedios consulten:
http://cuentame.inegi.gob.mx
Ruta 1: Población Educación
Ruta 2: Población Esperanza de vida
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática.
236
Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática. 23 agosto 2003. <http://www.inegi.gob.mx >
SEP (2000), Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Educa-ción Secundaria, México.
- (2000), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secun-daria, México.
SEP-ILCE (2000), Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo, Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). Educa-ción Secundaria, México.
- (2000), Geometría dinámica, Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). Educación Secundaria, México.
- (2002), Biología, Enseñanza de las Ciencias a través de Modelos Matemáticos (Ecamm). Educación Secundaria, México.
Revisores académicos externos
David Block Sevilla, Carlos Bosch Giral, Luis Alberto Briseño Aguirre,
Carolyn Kieran
Diseño de actividades tecnológicas
Mauricio Héctor Cano Pineda
Emilio Domínguez Bravo
Deyanira Monroy Zariñán
Fotografía en telesecundarias
Telesecundaria “Centro Histórico”. Distrito Federal.
Telesecundaria “Sor Juana Inés de la Cruz”. Estado de México.
Bibliografía
IIMATEMÁTICAS
237
¿Quién es el INEA?
¿QUIÉNES SOMOS?1
PresentaciónEl Instituto Nacional para la Educación de los Adultos (INEA), es un organismo descen-tralizado de la Administración Pública Federal, con personalidad jurídica y patrimonio propio, creado por Decreto Presidencial publicado en el Diario Oicial de la Federación el 31 de agosto de 1981.
En cumplimiento de sus atribuciones, el INEA propone y desarrolla modelos educativos, realiza investigaciones sobre la materia, elabora y distribuye materiales didácticos, aplica sistemas para la evaluación del aprendizaje de los adultos, así como acredita y certiica la educación básica para adultos y jóvenes de quince años y más que no hayan cursado o concluido dichos estudios en los términos del artículo 43 de la Ley General de Educación.
Por acuerdo de la H. Junta Directiva del INEA y de conformidad con lo señalado en el Plan Nacional de Desarrollo 2001-2006, concerniente a las relaciones entre los Poderes de la Unión y un auténtico federalismo se suscribieron convenios de coordinación con la mayoría de los gobiernos estatales para la descentralización de los servicios de educación para adultos, por lo que el INEA se asume como un organismo técnico, normativo y rec-tor de la educación para adultos que acredita la educación básica proporcionada por los Institutos Estatales de Educación para Adultos (IEEA), y es promotor de este beneicio entre los diferentes sectores sociales.
A su vez, el INEA continúa proporcionando a través de algunas delegaciones los servicios de educación básica: alfabetización, primaria, secundaria y educación para la vida y el trabajo, en los estados en los que aún no se concluye el proceso de descentralización.
PROYECTOS2
Principales programasAlgunos de los programas con los que cuenta el INEA se describen a continuación:
1. El Programa “Cero Rezago Educativo” es un conjunto de estrategias de reciente crea-ción, independiente respecto de los programas regulares del INEA, orientadas a au-mentar la incorporación, permanencia y egreso de jóvenes y adultos en rezago. El campo de acción del Programa es el grupo de jóvenes y adultos de 15-34 años, que han concluido la educación primaria y o que cuentan con algún grado de la educa-ción secundaria.
1 ¿Quiénes somos? (Tomado el 26 de marzo de 2007 de http://www.inea.sep.gob.mx/¿Quiénes somos?/).
2 Proyectos (Tomado el 26 de marzo de 2007 de http://www.inea.sep.gob.mx/Proyectos/Cero Rezago/ y de http://www.inea.sep.gob.mx/Proyectos/Oportunidades/).
ANEXO 1
238238
El carácter innovador del Programa Cero Rezago, que se inscribe en el Modelo de Educación para la Vida y el Trabajo (MEVyT), consiste especíicamente en la decisión de concentrar los esfuerzos en los jóvenes y adultos entre 15 y 34 años de edad que carecen de educación secundaria, principalmente en los que ya la han iniciado, y en los que están muy cerca de completar el nivel, ya que estos grupos requieren de un mínimo esfuerzo para concluirla.
Asimismo, el programa promueve la participación de la sociedad como tutores para encauzar a los jóvenes y adultos a su incorporación, permanencia y conclusión del nivel de secundaria, con un modelo de apoyo de uno a uno.
2. Desde la creación del PROGRESA (Programa de Educación, Salud y Alimentación), el INEA ha señalado como inconveniente que se haya dejado de lado la participación de las personas en rezago educativo en el componente Educación, argumentando que esto es contrario a las propias orientaciones del Programa Oportunidades, una de las cuales establece que éste se centra en la familia, y de ella forman parte también las personas mencionadas. Además, se ha comprobado que el desarrollo social sin educa-ción para todos los miembros de la comunidad es una utopía.
En tanto se hacía la gestión a nivel central para ampliar oicialmente el componente educativo, en algunos estados se iniciaron acciones locales de coordinación entre el organismo estatal de educación para adultos y la oicina estatal de PROGRESA, para que ésta promoviera entre las titulares del programa su incorporación a los círculos de estudio del INEA. Esta gestión tuvo éxito en términos de incorporación de las señoras, pero debido a que el INEA cuenta con una infraestructura insuiciente para atender el medio rural y padece de escasos recursos inancieros, no fue posible sostener una atención regular de los incorporados. Fue hasta 2002, cuando se crea Oportunidades, que se decide tomar en cuenta la incorporación de las personas en rezago como be-neiciarias del componente Educación, creándose así el "Proyecto para la superación del rezago educativo de los beneiciarios del Programa de Desarrollo Humano Opor-tunidades" (Proyecto Oportunidades), con la participación de la Secretaría de Salud (SSA), el Instituto Mexicano del Seguro Social (IMSS), la Coordinación Nacional del Programa de Desarrollo Humano Oportunidades (Oportunidades) y el Instituto Nacio-nal para Educación de los Adultos (INEA). A partir de 2004 el proyecto cambia su nombre por de "Corresponsabilidades en Salud con Apoyo del INEA" y desde 2005 a la fecha se le conoce como "Proyecto Oportunidades - INEA (Esquema voluntario)".
IIMATEMÁTICAS
Recortables
BLOQUES ALGEBRAICOS
x x x x x x
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
1 1 1 1 1 1 1 1
xy
xy
xy
xy
xy
y
y
y
y
y
y
y 2
y 2
y 2
y 2
y 2
y 2
ANEXO 2
IIMATEMÁTICAS
2do Grado Volumen II
MATEMÁTICAS II
2do Grado Volumen II
Matemáticas II. Volumen II, fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de Educación Básica y el ILCE.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICAJosefina Vázquez Mota
SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICAJosé Fernando González Sánchez
Dirección General de Materiales EducativosMaría Edith Bernáldez Reyes
Dirección de Desarrollo e Innovaciónde Materiales Educativos
Subdirección de Desarrollo e Innovaciónde Materiales Educativos para la Educación Secundaria
Dirección Editorial
INSTITUTO LATINOAMERICANO DE LA COMUNICACIÓN EDUCATIVA
Dirección GeneralManuel Quintero Quintero
Coordinación de Informática EducativaFelipe Bracho Carpizo
Dirección Académica GeneralEnna Carvajal Cantillo
Coordinación AcadémicaArmando Solares Rojas
Asesoría académicaMaría Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005)
AutoresAraceli Castillo Macías, Rafael Durán Ponce, Ernesto Manuel Espinosa Asuar, Silvia García Peña, José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero, Jesús Rodríguez Viorato
Apoyo técnico y pedagógicoMaría Catalina Ortega Núñez
Coordinación editorialSandra Hussein Domínguez
Primera edición, 2007 (ciclo escolar 2007-2008)
D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2007 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F.
ISBN 978-970-790-951-9 (obra completa)ISBN 978-968-01-1456-6 (volumen II)
Impreso en MéxicoDISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA
Servicios editorialesDirección de arte:
Rocío Mireles Gavito
Diseño:
Zona gráfica
Diagramación:
Bruno Contreras, Erandi Alvarado, Víctor M. Vilchis Enríquez
Iconografía:
Cynthia Valdespino, Fernando Villafán
Ilustración:
Gustavo Cárdenas, Curro Gómez,Gabriela Podestá, Víctor Sandoval
Fotografía:
Cynthia Valdespino, Fernando Villafán
Índice
Mapa-índice
Clave de logos
BLOQUE 3
SECUENCIA 18 Sucesiones de números con signo
SECUENCIA 19 Ecuaciones de primer grado
SECUENCIA 20 Relación funcional
SECUENCIA 21 Los polígonos y sus ángulos internos
SECUENCIA 22 Mosaicos y recubrimientos
SECUENCIA 23 Las características de la línea recta
BLOQUE 4
SECUENCIA 24 Potencias y notación científica
SECUENCIA 25 Triángulos congruentes
SECUENCIA 26 Puntos y rectas notables del triángulo
SECUENCIA 27 Eventos independientes
SECUENCIA 28 Gráficas de línea
SECUENCIA 29 Gráficas formadas por rectas
BLOQUE 5
SECUENCIA 30 Sistemas de ecuaciones
SECUENCIA 31 Traslación, rotación y simetría central
SECUENCIA 32 Eventos mutuamente excluyentes
SECUENCIA 33 Representación gráfica de sistemas de ecuaciones
Bibliografía
Recortables
4
9
10
12
24
40
60
70
82
100
102
122
132
150
168
184
194
196
214
230
244
258
259
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TRABAJO INDIVIDUAL
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OTROS TEXTOS
9
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x= -8.000
y= -7.000
4x - 5y = 3
2x + 10y = 29
y= 4.500
y= -7.000
4x - 5y = 3
2x + 10y = 29
45
90
135
y= 4.500
y= -7.000
4x - 5y = 3
2x + 10y = 29
BLOQUE 3
12
SECUENCIA 18
En esta secuencia construirás sucesiones de números con signo a partir de una regla dada y obtendrás la regla que genera una sucesión de números con signo.
¿CUÁL ES LA REGLA?Para empezarSucesiones de números
Enlasecuencia3detulibroMatemáticas I, volumen I trabajasteconsucesionesdeigurasyconsucesionesdenúmeros.Enestasecuencia,continuarásestudiandolassu-cesionesdenúmerosylasreglasquepermitenobtenercadaunodesustérminos.
Consideremos lo siguienteCompletalostérminosquefaltanenlasiguientesucesióndenúmeros:
–5, –2, , 4, 7, 10, , 16, , , 25, 28, 31, , 37, , …
a) Escribeunareglaparaobtenercadaunodelostérminosdelasucesión.
b) ¿Cuáleseltérminoqueestáenellugar30?
c) ¿Quélugarocupaelnúmero121 enestasucesión?
Comparensusrespuestas.Comentencómohicieronparaencontrarlaregla.
Manos a la obraI. Señalacuálesdelassiguientessucesionessepuedenobtenerutilizandolareglasu-
mar tres al término anterior.
• –15, –11, –7, –3, 1, 5, …
• 3, 6, 9, 12, 15, 18, …
• –4, –1, 2, 5, 8, 11, …
• –8, –3, 2, 7, 12, 17, …
• –7, –4, –1, 2, 5, 8, 11, …
• –14, –6, 2, 10, 18, 26, …
• –12, –9, –6, –3, 0, 3, …
SESIÓN 1
Sucesiones de números con signo
13
IIMATEMÁTICAS
II. Respondelaspreguntas:
a) ¿Conlareglasumar cinco al término anterior,podemosobtenermuchassucesio-
nesounasolasucesión?
b) Encuentraunasucesiónqueseobtengaconestaregla.
c) Unareglamásprecisaparaobtenerlasucesiónqueescribisteessumar cinco al
término anterior y el primer término es
d) ¿Porquécreesqueestareglaseamásprecisa?
Comparensusrespuestasycomenten:ladiferencia entre dos términos consecuti-vos deunasucesiónseobtienealrestarauntérminoeltérminoanterior.¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosdelassucesionesqueencontraronenelincisob)? .Obtengantressucesionesenlasqueladiferenciaentredostérminosconsecutivossea7.
III.Completaloquefaltaenlassiguientesexpresionesyrespondelaspreguntas:
a) Unareglaparaobtenerlasucesión5, 11, 17, 23, 29, 35, …es sumar seis al tér-
mino anterior y el primer término es
b) ¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosdelasucesión?
c) Una regla para obtener la sucesión –12, –10, –8, –6, –4, –2, … es sumar
al término anterior y el primer término es
d) ¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosdelasucesión?
e) Escribelasucesiónqueseobtieneconlareglasumar cinco al término anterior y
el primer término es–14:
f) ¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosdeesasucesión?
A lo que llegamos
En las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante, cada término se obtiene sumando una misma cantidad al término anterior.
La regla verbal para obtener este tipo de sucesiones se puede expresar diciendo cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término. Por ejemplo:
En la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, …
14
SECUENCIA 18
La diferencia entre dos términos consecutivos se calcula al restar a un término el térmi-no anterior, por ejemplo: 7 – 2 = 5.
La regla verbal es: sumar 5 al término anterior y el primer término es –8.
Si no se indica cuál es el primer término, se pueden obtener muchas sucesiones utilizan-do la misma regla.
IV.Unareglaparaobtenerlasucesión–5, –2, 1, 4, 7, 10, …(eslamismaqueestáenel
apartadoConsideremos lo siguiente)es sumar al término anterior y el
primer término es
a) ¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosdelasucesión?
b) Completalasiguientetablaconalgunosdelostérminosdelasucesión.
Lugar del término Término de la sucesión
1 –5
2 –2
3 1
4 4
5 7
10
15
20
30
40
c) Parapasardeltérminoenellugar30altérminoenellugar40,seavanza10lu-
gares.¿Cuántocambiaelvalordeltérmino?
d) ¿Cuáleseltérminoqueestáenellugar50?
e) ¿Cuáleseltérminoqueestáenellugar100?
Comparensusrespuestasycomentencómohicieronparaencontrartodoslostérminos.
15
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimosRespondelaspreguntasparalasiguientesucesión:
–23, –16, –9, –2, 5, 12,19, ...
a) ¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosdelasucesión?
b) ¿Cuáleslareglaverbalquenospermiteobtenercadaunodelostérminosdelasuce-sión?
NÚMEROS QUE CRECENPara empezarEnlasesiónanteriorencontrastelareglaverbalparaunasucesióndenúmerosconsignodiciendocuántohayquesumaracadatérminoparaobtenerelsiguienteycuáleselprimertérmino.Enestasesiónobtendráslareglaalgebraicautilizandoellugarqueocu-pacadatérmino.
Paralasiguientesucesióndenúmeros:
2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, …
a) ¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosdelasucesión?
b) Señalenconcuálesdelassiguientesreglaspodemosobtenerlostérminosdelasucesión.Lanindicaellugardeltérmino.
• 2n + 4.
• Sumar cuatro al término anterior y el primer término es2.
• 4n + 2.
• 4n – 2.
c) Comentensialgunasdelasreglasanterioressonequivalentes.
Consideremos lo siguienteCompletalasiguientetablaparaencontrarlostérminosqueseindicanencadasucesión:
Lugar del término
Reglas algebraicas
3n 3n + 1 3n – 7 3n – 10 3n – 16
1
2
3
4
10
100
115
Recuerden que:
• La diferencia entre dos términos
consecutivos se calcula al restar
a un término el término anterior.
• Cuando hay varias reglas para
obtener la misma sucesión de
números, se dice que son reglas
equivalentes.
SESIÓN 2
16
SECUENCIA 18
a) ¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosencadaunadeestassucesiones?
b) Paralasucesión–5, –2, 1, 4, 7, …¿Cuáleslareglaalgebraicaquenospermiteen-
contrareltérminoqueestáenellugarn ?
c) ¿Apareceenestasucesiónelnúmero278?
Comparensusrespuestasycomentencómohicieronparaencontrarlaregla.
Manos a la obraI. Respondelaspreguntassobrelasucesiónqueseobtieneconlaregla3n – 7.
a) Unareglaequivalenteparaobtenerestasucesiónes sumar al término
anterior y el primer término es
b) ¿Cuáleseltérminoqueestáenellugar40?
c) ¿Cuáldelasdosreglasutilizasteparaencontraresetérmino?
d) ¿Cuáleseltérminoqueestáenellugar48?
II. Respondelaspreguntassobrelasucesión1, 4, 7, 10, 13, 16, …
a) ¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosdeestasucesión?
b) Observalasdossucesiones
3, 6, 9, 12, 15, 18, …
1, 4, 7, 10, 13, 16, …
¿Cuál es la regla algebraica para obtener la primera sucesión (3, 6, 9, 12,
15, 18, …)?
c) Subrayalaoperaciónquedebemoshacerparapasardecadatérminoenlaprime-rasucesiónasucorrespondientetérminoenlasegundasucesión:
• Restar2
• Sumar2
d) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión1, 4, 7, 10, 13, 16, …?
17
IIMATEMÁTICAS
III.Observaeldiagramayrespondelaspreguntas.
5, 10, 15, 20, 25, 30, …
6, 11, 16, 21, 26, 31, …
a) ¿Cuáleslareglaalgebraicaparaobtenerlaprimerasucesión?
b) ¿Cuáleslaoperaciónquedebemoshacerparapasardecadatérminoenlaprime-
rasucesiónasucorrespondientetérminoenlasegundasucesión?
c) ¿Cuáles la reglaalgebraicaparaobtener la sucesión6,11,16,21,26,31,…?
d) ¿Cuáleslareglaalgebraicaparaobtenerlasucesión –15, –10, –5, 0, 5, 10,…?
Comparensusrespuestas.Comentencómohicieronparaencontrarlasreglasalgebraicasyencuentrenlareglaverbalylareglaalgebraicaparaobtenerlasucesión–11, –6, –1,
4, 9, 14, …
A lo que llegamosEn las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecu-tivos es una constante, podemos dar la regla algebraica multiplican-do el lugar del término por la diferencia de los términos consecutivos y sumando o restando una constante adecuada.
Por ejemplo:
En la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, …, la diferencia es de 5.
Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada término en la sucesión que se obtiene con la regla 5n, a su correspondiente término en la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, …, debemos restar 13.
Entonces la regla para obtener la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, … es 5n – 13.
18
SECUENCIA 18
IV.Paralasucesiónqueseobtieneconlaregla5n – 8:
a) ¿Cuáleseltérminoqueestáenellugar100?
b) ¿Elnúmero500estáenlasucesión?
c) ¿Elnúmero497estáenlasucesión?
d) ¿Cuáleseltérminoqueestáenellugar30?
e) ¿Enquelugardetérminoestáelnúmero132?
Comparensusrespuestas.
Lo que aprendimos1. Encuentra losprimeros10 términosde las sucesionesque seobtienencon las si-
guientesreglas:
a) Sumar8al término anterior y el primer término es–19
b) 7n – 25
c) 2n – 4.5
2. Respondelaspreguntasparalasucesión–23, –16, –9, –2, 5, 12,19, …
a) ¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosdelasucesión?
b) ¿Cuáleslareglaalgebraicaparaobtenerlasucesión?
c) Lareglaverbalparaobtenerestasucesiónessumar al término an-
terior y el primer término es
d) ¿Cuáleseltérminoqueocupaellugar78?
e) ¿Enquélugardetérminoestáelnúmero201?
3. Respondealaspreguntassobrelasiguientesucesión:
–2.5, –1.5, –0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, …
a) ¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosdelasucesión?
b) Expresalareglaalgebraicaparaobtenerlasucesión.
c) ¿Cuáleseltérminoqueocupaellugar25enlasucesión?
d) ¿Cuáleseltérminoqueocupaellugar278?
e) ¿Quélugarocupaelnúmero101.5enestasucesión?
19
IIMATEMÁTICAS
4. Enlacolumnadelaizquierdasepresentanlosprimerostérminosdealgunassucesio-nesyenlacolumnadeladerecha,algunasreglas.Relacionaambascolumnas.
Términos de la sucesión Reglas
( )–10, –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, …
( )–7, –3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, …
( )–13, –8, –3, 2, 7, 12, 17, 22, …
( )–11, –7 –3, 1, 5, 9, 13, 17, …
( )–11, –6, –1, 4, 9, 14, 19, 24, …
( )–8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, …
(a) 5n – 13
(b) 2n – 12
(c) 4n – 15
(d) 2n – 8
(e) 4n – 7
(f) 5n – 16
(g) 4n – 11
(h) 5n – 18
(i) 2n – 10
DE MAYOR A MENORPara empezarEnlasesiónanterior,encontrastereglasparasucesionesenlasquelostérminosibanau-mentando.Ahoratrabajarásconsucesionesenlasquelostérminosvandisminuyendo.
Encuentren losprimeros10 términosde lasucesiónqueseobtienecon laregla–4n.
¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosdelasucesión?
Consideremos lo siguienteCompletalasiguientesucesióndenúmeros:
6, 2, , , –10, , –18, –22, , , , …
a) ¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosdelasucesión?
b) Escribeunareglaparaencontrareltérminoenellugarn.
Comparensusrespuestas.Comentencómohicieronparaencontrarlareglayladiferen-ciaentredostérminosconsecutivos.
SESIÓN 3
20
SECUENCIA 18
Manos a la obraI. Señalaconcuálesdelassiguientesreglaspodemosobtenercadaunodelostérminos
delasucesión.
• Sumar 4 al término anterior y el primer término es 6.
• Restar 4 al término anterior y el primer término es 6.
• –4n – 2
• –4n + 10
• 4n + 2
• Sumar ( –4) al término anterior y el primer término es 6.
II. Respondelaspreguntas:
a) Enlasucesión–7, –3, 1, 5, 9, …¿lostérminosvanaumentandoodisminuyendo?
b) ¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosdeestasucesión?
c) Enlasucesión14, 10, 6, 2, –2, …¿lostérminosvanaumentandoodisminuyendo?
d) Una regla verbal para obtener esta última sucesión es restar al
término anterior y el primer término es
e) La sucesión también la podemos obtener con la regla sumar al
término anterior y el primer término es
f) Paracalcularladiferenciaentredostérminosconsecutivos,hazlarestadelsegun-
dotérminomenoselprimertérmino: – =
III.Encuentralosprimerosdieztérminosdelassucesionesqueseobtienenconlasreglasindicadas.
Lugar del término
Regla algebraica
–4n + 6 –4n – 2 –4n – 5
1 (–4) × 1 + 6 = (–4) × 1 − 2 = (–4) × 1 − 5 =
2 (–4) × 2 + 6 = (–4) × 2 − 2 = (–4) × 2 − 5 =
3
4
5
6
7
8
9
10
Recuerda que:
Las multiplicaciones
y divisiones se
hacen antes que las
sumas y restas.
21
IIMATEMÁTICAS
a) ¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosdeestassucesiones?
b) Enestassucesiones,¿lostérminosvanaumentandoodisminuyendo?
Comparensusrespuestas.
IV.Respondelaspreguntassobrelasucesión7, 3, –1, –5, –9, –13, …
a) ¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosdeestasucesión?
b) Enlareglaalgebraicaparaobtenercadaunodelostérminosdelasucesión,debe-
mosmultiplicarlanpor
c) Observalasdossucesiones:
–4, –8, –12, –16, –20, –24, …
7, 3, –1, –5, –9, –13, …
¿Cuáleslaoperaciónquedebemoshacerparapasardecadatérminoenlaprime-
rasucesiónasucorrespondientetérminoenlasegundasucesión?
d) ¿Cuáleslareglaalgebraicaparaobtenerlasucesión7, 3, –1, –5, –9, –13, …?
Comparen sus respuestas. Encuentren la reglaalgebraicaparaobtener la sucesión–11, –15, –19, –23, –27, –31, …
A lo que llegamosPara las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante:
• Si la constante es positiva, los términos van aumentando.
• Si la constante es negativa, los términos van disminuyendo.
En estas sucesiones podemos dar la regla algebraica multiplicando el lugar del término por la diferencia de los términos consecutivos y sumando o restando una constante adecuada.
Por ejemplo:En la sucesión –2, –5, –8, –11, –14, –17, –20, …., la diferencia es de –3.
Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada término en la sucesión que se obtiene con la regla –3n, a su correspondiente término en la sucesión –2, –5, –8, –11, –14, –17, –20, …, debemos sumar 1.
Entonces la regla para obtener la sucesión –2, –5, –8, –11, –14, –17, –20, … es –3n + 1.
22
SECUENCIA 18
V. Respondelaspreguntas.
a) Encuentra losprimeros10 términosde la sucesiónque seobtienecon la reglasumar (–6) al término anterior y el primer término es 23.
b) ¿Cuáleslareglaalgebraicaparaobtenerlasucesión?
c) ¿Cuálessonlosprimeros10términosdelasucesiónqueseobtieneconlaregla
–5n + 12?
d) ¿Sonequivalenteslasreglas–6n + 23y 23 – 6n?Explicaturespuesta:
Comparensusrespuestas.Comentensisonequivalenteslasreglas7 – ny–n + 7.
Lo que aprendimos1. Respondelaspreguntas.
a) ¿Enlasucesión–12, –7, –2, 3, 8, 13, …lostérminosvanaumentandoodisminu-
yendo?
b) ¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosenlasucesión?
c) ¿Cuáleslareglaalgebraicaparaobtenerlasucesión?
d) Otrareglaparaobtenerlasucesiónessumar al término anterior y
el primer término es
e) ¿Enlasucesión–5, –10, –15, –20, –25, –30, …lostérminosvanaumentandoo
disminuyendo?
f) ¿Cuálesladiferenciaentredostérminosconsecutivosenlasucesión?
g) ¿Cuáleslareglaalgebraicaparaobtenerlasucesión?
h) Otrareglaparaobtenerlasucesiónessumar al término anterior y
el primer término es
2. Encuentralosprimeros10términosdelasucesiónqueseobtieneconlaregla–n – 18.Indicaladiferenciaentredostérminosconsecutivosdelasucesión.
23
IIMATEMÁTICAS
3. Encuentraunareglaparalassiguientessucesiones:
a) Queelsegundotérminosea7yelcuartotérminosea19.
b) Queeltercertérminosea1yelsextotérminosea–14.
4. Enlacolumnadelaizquierdasepresentanalgunasreglasalgebraicasyenlacolum-nadeladerecha,algunasreglasverbales.Relacionalascolumnasconlasreglasequi-valentes.
Regla algebraicas Reglas verbales
( )4n – 12
( )–4n – 8
( )–7n + 10
( )7n – 10
( )–4n – 12
( )7n – 4
(a)Sumar (–7) al término anterior
y el primer término es 10
(b)Sumar 4 al término anterior
y el primer término es –12
(c)Sumar 7 al término anterior
y el primer término es –3
(d)Sumar (–4) al término anterior
y el primer término es –16
(e)Sumar (–7) al término anterior
y el primer término es 3
(f)Sumar 7 al término anterior
y el primer término es3
(g) Sumar 4 al término anterior y el
primer término es −8
(h) Sumar (−4) al término anterior
y el primer término es −12
5. ParaconocermássucesionesdenúmerosconsignopuedenverelprogramaSucesio-nes de números con signo.
Para saber más
Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. El piropo matemático, de los números a las estrellas. México: SEP/Edi-torial Lectorum, Libros del Rincón, 2003.
Sobre las sucesiones de números con signo consulta:http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_HCS_2/Sucesiones_numeros_reales_limites/Progresiones_
aritmeticas.htm
[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España.
Explora las actividades del interactivo Sucesiones geométricas con Logo.
24
secuencia 19
Ecuaciones de primer grado
En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el plantea-miento y resolución de ecuaciones con una incógnita.
PIENSA UN NÚMEROPara empezar• EljugadorApiensaunnúmeroysinmostrarloaljugadorB,loescribeenelcuadro
entrada.DespuésrealizalasoperacionesindicadasylediceaBelnúmeroqueobtu-voenelcuadrosalida.
Entrada
Súmale 12
Salida
Multiplícalo por 10
Diagrama 1
• EljugadorBtienequeencontrarelnúmeroqueeljugadorAescribióenlaentradaydecírselo.
• CuandoeljugadorBacierte,cambianlospapelesyjueganotroturno.
Consideremos lo siguienteLosnúmerosde la siguiente tabla resultarondeaplicar lasoperacionesdeldiagramaanterior.Escribanlosnúmerosdeentradacorrespondientes.
Nombre Entrada Salida
Brenda 53 542
Saúl 69 702
Jesús 824.5
Raúl 4
Comparensusrespuestasyexpliquencómolasobtuvieron.
SESIÓN 1
25
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obrai. Considerenqueelnúmerodesalidaes72.Escribanlosnúmerosquedebenirenel
círculo azulyenelcuadro rojo.
72
Entrada
Súmale 12
Salida
Multiplícalo por 10
Diagrama 2
a) ¿Quéoperaciónhicieronconelnúmero72paraencontrarelnúmeroquevaenel
círculo azul?
b) ¿Quéoperaciónhicieronconelnúmerodelcírculo azulparaencontrarelnúmero
delcuadrodeentrada?
c) Completenelsiguientediagramaescribiendo lasoperacionesquehicieronparaencontrarlosnúmerosfaltantes.
824.5
Entrada Salida
Diagrama 3
ii. Completenelsiguientediagrama.
8
Entrada Salida
Súmale 12Multiplícalo por 10
26
secuencia 19iii. Considerenlasiguienteadivinanza:
Pensé un número. Lo llamé p, le resté 5, el resultado lo dividí entre4 yobtuve 2.75.
a) ¿Cuáldelossiguientesdiagramassirveparaencontrarelvalordep?
Diagrama 1 p 2.75
Réstale 5Divídelo entre 4
Súmale 5Multiplícalo por 4
Diagrama 2 p 2.75
Divídelo entre 4Réstale 5
Multiplícalo por 4Súmale 5
Diagrama 3 p 2.75
Súmale 5Multiplícalo por 4
Réstale 5Divídelo entre 4
b) ¿Cuáldelassiguientesecuacionescorrespondealaadivinanza?Subráyenla.
• p4
+ 5 = 2.75
• p – 5
4 = 2.75
• (p − 5) 4 = 2.75
c) ¿Cuáleselvalordep ?
Comparensusrespuestasyveriiquensussolucionesusandoeldiagramaqueescogieron.
Recuerden que:
Una ecuación es una igualdad donde hay
un valor desconocido llamado incógnita.
Resolver la ecuación signiica encontrar el
valor de la incógnita.
27
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosLa ecuación 10y + 12 = 4 se puede resolver haciendo un diagrama e invirtiendo las operaciones de la siguiente manera.
Con lenguaje algebraico, se escribe: Haciendo un diagrama, se escribe:
10y + 12 = 4 y 10y + 12 = 4
+ 12× 10
10y
10y = 4 – 12
10y = –8
y 10y + 12 = 4
+ 12× 10
10y
– 12
y = (–8) ÷ 10
y = –0.8
y 10y + 12 = 4
+ 12× 10
10y
– 12÷ 10
iV.Completenelsiguientediagramapararesolverlaecuación6x+22=4.
¿Cuáleselvalordex?x = x 4
Sumar 22Multiplícalo por 6
6x
Comparensusrespuestasyveriiquensussolucionesusandoeldiagramaqueescogieron.RegresenalproblemadelapartadoConsideremos lo siguiente.Paracadarenglóndelatablaescribanlaecuacióncorrespondienteconsiderandoquexeselnúmerodeentrada.Resuelvanlaecuaciónyveriiquensieselresultadoquehabíanobtenido.
28
secuencia 19
Lo que aprendimos1. Planteenyresuelvanlaecuaciónquecorrespondealsiguientediagrama:
a) Ecuación:
b) ¿Cuáleselvalordep ?p=
2. Resuelvanlaecuación7x + 18 = 31.Veriiquenlassoluciones.
EL MODELO DE LA BALANZAPara empezarLa balanza
Elmodelodelabalanzanospermiterepresentaryresolverecuaciones.Paraelloesnece-sarioquelasaccionesqueserealicenenambosladosdelabalanzamantengansiempreelequilibrio.
Consideremos lo siguienteLasiguientebalanzaestáenequilibrio.Enellasecolocaronanillos ypesasdeungramo 1 .Elpesodelosanillosnoseconoce,perotodoslosanillospesanlomismo.
=
Figura 1
¿Cuántopesacadaanillo?
Comparensusrespuestasycomentencómoencontraronelvalordecadaanillo.
SESIÓN 2
p 34.5
Réstale 5Divídelo entre 4
29
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obrai. ¿Cuálesdelassiguientesaccionesmantendríanlabalanzaenequilibrio?Subráyenlas.
Pasarunanillodelladoizquierdoalladoderecho.
Quitar1anillodeamboslados.
Cambiarunanilloporunapesade1gramoenelladoderecho.
Quitarelmismonúmerodepesasde1gramoenamboslados.
Quitar1pesade1gramoenamboslados.
Comparensusrespuestasycomentenporquécreenquemantienenelequilibriode labalanza.
ii. Acontinuaciónsepresentaunanuevasituaciónconlabalanza,completaloquesetepideparahallarelpesodeestosotrosanillos.
a) ¿Cuántaspesas de 1 gramo se pueden qui-
tardecadaladosinquelabalanzapierdael
equilibrio?
b) Ahora,¿cuántosanillos del mismo peso pue-
den quitarsedecadaladosinquesealtereel
equilibriodelabalanza?
Despuésdequitarlaspesasde1gramoylosani-llosdelmismopeso,
c) ¿cuántosanillosquedandelladoizquierdode
labalanza?
d) ¿Cuántaspesasde1gramoquedandel ladoderecho?
e) Sidosanillospesan28gramos,¿cuántosgra-
mospesacadaanillo?
•
•
•
•
•
30
secuencia 19Comparensusrespuestas.Verifíquenlassustituyendoelpesodelosanillosenlaba-lanza.Despuésleanconayudadesuprofesorlasiguienteinformación.
A lo que llegamosPara encontrar un peso desconocido en el modelo de la balanza se realizan las mismas acciones en ambos lados de la balanza de manera que siempre se mantenga el equilibrio.
En la siguiente balanza se tiene representada la ecuación:
6x + 3 = 2x + 15
Donde x representa el peso de un cubo.
Para encontrar x se pueden quitar de ambos lados 3 pesas de 1 gramo.
6x + 3 – 3 = 2x + 15 – 3
6x = 2x + 12
Después, se pueden quitar de ambos lados 2 cubos.
6x – 2x = 2x + 12 – 2x4x = 12
Al inal, el peso de se puede encontrar dividiendo las 12 pesas de 1 gramo entre 4.
x = 12
4 = 3
Cada cubo pesa 3 gramos.
31
IIMATEMÁTICAS
Resolvamos otro ejemplo, la ecuación 4x + 75 = 13x + 3.
Primero se puede restar 3 de ambos lados:
4x + 75 – 3 = 13x + 3 – 3
4x + 72 = 13x
Después, se puede restar 4x de ambos lados:
4x + 72 – 4x = 13x – 4x 72 = 9x
Finalmente el valor de la incógnita se encuentra dividiendo 72 entre 9.
x = 72
9 = 8
iii. Elmétododelabalanzatambiénsepuedeusarconnúmerosdecimalesyfracciona-rios,porejemplo,laecuación:
3.2x + 9 = 5.7x + 1.5
a) ¿Quénúmeropuedenrestarenambosladosdelaecuaciónparaeliminarunode
lostérminosnuméricos? Escribancómoquedalaecuación:
b) ¿Cuálexpresiónconlaletraxpuedenrestarenambosladosdelaecuaciónante-
riorparaquesóloquedeuntérminonuméricoyuntérminoconlaincógnitax ?
Escribancómoquedalaecuación:
c) ¿Cuáleselvalordex?
Comparensusrespuestasconlasdeotroscompañeros,observencómopuedenrestartérminosendiferenteordenpero,silohacencorrectamente,todoslleganalmismoresultado.
Lo que aprendimosResuelvelassiguientesecuacionesutilizandoelmétododelabalanza:
a) 4x + 3 = 2x + 5
b) 3x + 1 = x + 5
c) x + 10 = 5x + 2
d) 32
x + 1 = x + 2
32
secuencia 19
MÁS ALLÁ DEL MODELO DE LA BALANZA Para empezarEnlasesiónanteriorresolvistealgunasecuacionesmedianteelmodelodelabalanza.Enestasesiónresolverásecuacionesconcoeicientesnegativos,conparéntesisycondeno-minadores.
Consideremos lo siguienteDuranteunjuegodeadivinazadenúmeros,LuisyAnapensaronunmismonúmero,hi-cierondiferentesoperacionesyalinalobtuvieronelmismoresultado.
Luispensóunnúmero,lomultiplicópor3yalresultadoobtenidolesumó5.
AnapensóelmismonúmeroqueLuis,lomultiplicópor 2,alproductoobtenidolerestó3yobtuvoelmismoresultadoinalqueLuis.
Hicieronundiagramaylesquedódelasiguientemanera.
Entrada
+ 5
Salida
× 3
– 3× 2
a) ¿Quéecuaciónpuedeplantearseparaencontrarelvalordex?
b) ¿CuálfueelnúmeroquepensaronLuisyAna?
Comparensusrespuestasycomentensusprocedimientos.
Manos a la obrai. Relaciona losdiagramassiguientesde lacolumnaderechaconsucorrespondiente
ecuaciónenlacolumnaizquierda.
•
•
SESIÓN 3
33
IIMATEMÁTICAS
( ) (3x ) (2) = 5x – 3
( ) 3x + 2x = 5 – 3
( ) 3x + 2 = 5x – 3
( ) 3x + 5 = 2x – 3
Entrada
+ 5
Salida
× 3
– 3× 2
Diagrama A
Entrada
× 2
Salida
× 3
– 3× 5
Diagrama B
Entrada
+ 2
Salida
× 3
– 3× 5
Diagrama C
ii. Elmétododelabalanzasepuedeutilizarpararesolverlaecuación:
3x + 5 = 2x – 3
Paraesohayquerealizarsiemprelasmismasoperacionesenambosladosdelaecua-cióndemaneraqueseconservelaigualdad.Contestaloquesetepide.
a) Resta5enambosladosdelaecuación3x + 5 – = 2x – 3 –
b) Reducelostérminossemejantes: =
34
secuencia 19c) ¿Qué te conviene hacer para que del lado izquierdo del igual quede sólo x?
Silohaces,¿cómoquedalaecuación?
d) ¿CuáleselnúmeroquepensaronLuisyAna?
Comparensussoluciones.VerifíquenlassustituyendoelvalordexeneldiagramadeAnayLuis.
A lo que llegamosPara solucionar cualquier ecuación usando el modelo de la balanza hay que conservar la igualdad realizando las mismas operaciones en ambos lados de la ecuación.
Por ejemplo, al resolver la ecuación: 3x + 5 = 6 + (–2x )
• Para eliminar el término +5 se resta 5
en ambos lados de la igualdad.3x + 5 – 5 = 6 + (–2x ) – 5
• Se reducen los términos semejantes 3x = 1 + (–2x )
• Para eliminar el término –2x se suma 2x en ambos lados de la igualdad.
3x + 2x = 1 + (–2x)+ 2x
• Se reducen los términos semejantes 5x = 1
• Finalmente, se divide 1 entre 5 para encontrar el valor de x.
x = 1 5
iii. Nosiempresepuedeusardemanerainmediataelmodelo de la balanzapararesol-verecuaciones.Enocasioneshayquehaceroperacionesantesdecomenzaraelimi-nartérminos.
Porejemplo,pararesolverlaecuación
5 (2x – 3) = 6x +14
a) Primerosepuedehacerlamultiplicaciónqueindicaelparéntesis.Completa:
5 (2x – 3) = 6x +14
– = 6x + 14
35
IIMATEMÁTICAS
b) Encuentraelvalordex yverifícalo.
x =
iV. Pararesolverlaecuación:
y – 4
5 =
y + 1
3
a) Sepuedenaplicarlosproductoscruzadospara“eliminar”losdenominadores.
y – 4
5 =
y + 1
3 = 3 (y – 4) = 5 (y + 1)
b) Realizalasmultiplicacionesindicadasyencuentraelvalordey .Verifícalo.
y =
Comparensussoluciones.
Lo que aprendimos1. Juanpensóunnúmeroylointrodujoenlaentradadelsiguientediagramacompues-
to.Porambasrutasobtuvoelmismoresultado.
Entrada
× 7
Salida
– 1
× 3+ 6
Recuerda que:
Si 2 fracciones son equivalentes, entonces
sus productos cruzados son iguales.
AB
= CD
entonces
AD = BC
36
secuencia 19a) ¿Cuáleslaecuaciónquehayqueresolver?
b) ¿QuénúmerofueelquepensóJuan?
2. Resuelvelassiguientesecuaciones:
a) 3(x + 4) = – 5x – 36
b) r + 6
– 5 =
r – 4
5
c) z – 6
4 =
z + 4
9
MISCELÁNEA DE PROBLEMASLo que aprendimosResuelve los problemas siguientes mediante el planteamiento y resolución de unaecuación.
1. Elhexágonorojoyelrectánguloazultienenigualperímetro.Contestaloquesetepideparaencontrarelperímetrodecadaigura.
a 2x – 1 B
c
De
x
FaB = De
Bc = cD = eF = Fa
2x + 4.5
x
SESIÓN 4
37
IIMATEMÁTICAS
a) ¿Cuáleslaexpresiónalgebraicaquerepresentaelperímetrodelhexágono?
b) ¿Cuáleslaexpresiónalgebraicaquerepresentaelperímetrodelrectángulo?
c) ¿Cuál es la ecuación que hay que resolver para encontrar el valor de x?
d) Resuelvelaecuaciónanteriorentucuaderno.¿Cuáleselvalordex?
e) ¿Cuáleselperímetrodelrectángulo?
f) ¿Cuáleselperímetrodelhexágono?
2. Paracultivarymantenerunahectáreadejitomateseinvierteenplanta,fertilizante,fumiganteyaguaderiegocincovecesloqueseinvierteenmanodeobra.Elcostototalporhectáreaes$80 000.00.
Ecuación:
¿Cuántodinerocuestalamanodeobraparacultivaryatender3.5hectáreasdejito-mate?
3. Unaviónquevuelaaunavelocidadde1 040kilómetrosporhora,vaaalcanzaraotroquellevaunadelanterade5horasyestávolandoa640kilómetrosporhora.¿Cuántotardaráelprimeraviónenalcanzaralsegundo?
Ecuación:
4. LaedadactualdeJosées 38
deladesuhermano,ydentrode4añostendrá 12
delaqueentoncestengasuhermano.¿Cuáleslaedadactualdelhermano?
Ecuación:
5. Unacanchadevolibolseencuentradentrodeunacanchadebasquetbol.Ellargodelacanchadevoliboleseldobledesuancho.
2x
x
38
secuencia 19Lasmedidasdeambascanchasserelacionancomosigue:
Ellargodelacanchadebasquetboles10metrosmayorqueellargodelacanchadevolibol.
Elanchodelacanchadebasquetboles6metros,mayorqueelanchodelacanchadevolibol.
Eláreadelacanchadebasquetboles258 m2mayorqueeláreadelacanchadevolibol.
Contestaloquesetepideparaencontrarcuálessonlasmedidasdecadacancha.
Laletraxrepresentalamedidadelanchodelacanchadevolibol.
a) ¿Cómoserepresentalamedidadellargodelacanchadevolibol?
b) ¿Cómoserepresentaeláreadelacanchadevolibol?
c) ¿Cómoserepresentalamedidadelanchodelacanchadebasquetbol?
d)¿Cómoserepresentalamedidadellargodelacanchadebasquetbol?
e) ¿Cómoserepresentaeláreadelacanchadebasquetbol?
f) ¿Quéecuaciónrepresentalarelación“Eláreadelacanchadebasquetboles258 m2
mayorqueeláreadelacanchadevolibol”?.Complétalayresuélvela.
Pista:eltérmino 2×2seeliminaenambosladosdelaigualdad.
(2x + 10) (x + 6) = 258 +
g) Completalatablasiguienteparaveriicartusolución.
Cancha Largo Ancho Área
Volibol
Basquetbol
6. Paraconocermássobrelasolucióndeecuacionespuedenverelprogramaecuacio-nes de primer grado en la vida cotidiana.
•
•
•
39
IIMATEMÁTICAS
Para saber más
Sobre la resolución de problemas mediante el planteamiento y solución de ecuacio-nes consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. “Algebra egipcia y babilónica”, “El epitafio de Diofanto”, “La dama misteriosa”, en Crónicas algebraicas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Bosch Carlos y Claudia Gómez. “La balanza y las ecuaciones”, ”Resolución de ecuacio-nes lineales” en Una ventana a las incógnitas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Hernández, Carlos. “Ecuaciones de primer grado” en Matemáticas y deportes. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Tahan, Malba. El hombre que calculaba. México: SEP/Editorial Limusa, Libros del Rin-cón, 2005, pp. 97,125-128, 180,183.
Sobre resolución de ecuaciones de primer grado consulta:http://descartes.cnice.mecd.esRuta: Aplicaciones Álgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Resolver ecuaciones de 1r y 2º grado Resolución de ecuaciones sencillas; o Resolución de ecuaciones de primer grado.[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.
40
secuencia 20
En el mundo y en el Universo nos podemos encontrar con un sinfín de fenómenos donde una cantidad depende de otra: el costo de unos tomates y su peso; lo que tarda una piedra en caer y su altura; la fuerza de atracción entre planetas y su distancia; etcétera.
A estas relaciones, se les conoce como relaciones funcionales. Y para entenderlas, el ser humano ha inventado las expresiones algebraicas y las gráicas.
LA COLA DE LAS TORTILLASPara empezarEntulibrodeMatemáticas i, volumen iihicistelasgráicasdesituacionesdeproporcio-nalidaddirectaeinversa.Aprendistequeelplanocartesianotienedosejes:elejedelasabscisasydelasordenadas,yquecadapuntodelplanotienedoscoordenadas.
Enestasesiónestudiarásalgunasgráicasdondelosejesnoestángraduados;notepre-ocupes,noesnecesariograduarnimedirlaslongitudes.Sóloobservaconcuidadocómoestánacomodadoslosdatos.
Consideremos lo siguienteUnlunesporlatarde,enlatortilleríaElRosario,sehizounalargacolaparacomprarlastortillas.Habíapersonasdediferentesestaturasyedadescomosepuedeverenlaima-gendeabajo.
SESIÓN 1
Relación funcional
Jorge Lola Jesús Alma Luis Valentina
41
IIMATEMÁTICAS
Enelsiguienteplanocartesianosehanrepresentadoconunpuntolaestaturayedaddecadapersona.
Ed
ad
Estatura
F
D
a
c
B
e
Anotenencadapuntodelagráicaelnombredelapersona,segúncorresponda.
Comparensusrespuestas.
Manos a la obrai. AnayBetollegaronaformarseenlacoladespués.Enelsiguienteplanocartesianose
handibujadolospuntosquelescorresponden.
Ed
ad
Estatura
ana
Beto
a) ¿Quiéntienemayorestatura,AnaoBeto?
b) ¿Quiéntienemayoredad?
42
secuencia 20Comparensusrespuestasycomenten:
¿Cuálesdelassiguientesairmacionessonverdaderas(V)ycuálesfalsas(F)?
Entremás altaseaunapersona,más arribaestáelpuntoquelarepresenta.
Entremás edadtengaunapersona,más arribaestáelpuntoquelarepresenta.
Sidospuntosestánenlamisma línea horizontal,laspersonasrepresentadasporestospuntostienenlamisma edad.
Sidospuntosestánenlamisma línea vertical,laspersonasrepresentadasporestospuntostienenlamisma edad.
ii. Delaspersonasqueestabanformadasenlacola,antesdequellegaranAnayBeto:
a) ¿Quienessonlasmásaltas?
b) ¿Encuálespuntosdebendeestarsusnombres?
c) ¿QuénombredebeestarenelpuntoB?
d) ¿QuénombredebeirenelpuntoE?
A lo que llegamosLas coordenadas de puntos en el plano cartesiano permiten comparar los datos que se presentan en él.
Por ejemplo, en la gráica de la derecha se puede ver que:
• Patricia y Mauro tienen la misma edad, pues están sobre la misma línea hori-zontal y son los de mayor edad, pues están hasta arriba.
• José y Guillermo tienen la misma estatu-ra, pues están en la misma línea vertical.
• El más alto es Mauro, pues es el que está más a la derecha.
Las siguientes reglas permiten comparar las coordenadas de puntos en el plano:
• Entre más a la derecha esté un punto, más grande será el valor de su abscisa.
• Entre más arriba esté un punto, más grande será el valor de su ordenada.
Ed
ad
Estatura
Patricia Mauro
José
Brenda Guillermo
43
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimos1. Observenlasigurasgeométricasdelaizquierdayescribanelnombredelaiguraque
correspondeencadapuntodelplanodeladerecha.
Trapecio Cuadrado Rectángulo Triángulo
Base
Alt
ura
2. Dibujenensuscuadernoscuatrorectángulosdistintosconperímetro20cm.Anotenlabaseylaalturadecadaunoenlatabla.Paracadarectángulolocalicenenelplanoelpuntocorrespondiente.
Alt
ura
Base
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
RectánguloMedida
de la base (cm)
Medida de altura
(cm)
a
B
c
D
44
secuencia 20
¡CÓMO HABLAN POR TELÉFONO!Para empezar EnMéxicoyenelmundo,lascompañíastelefónicastienendiferentestarifas.Porejemplo,unacompañíamexicanadecidiónocobrarrentamensualysólocobrarporlasllamadasrealizadas.Laformadecobrarcambiadeacuerdoconlossiguientestiposdellamadas:
1. Llamadas locales.Sonlas llamadashechasentrenúmerostelefónicosdentrode lamismaciudad.Secobranporllamada,noimportacuántosminutosdure.
2. Llamadas de larga distancia.Sonlasllamadashechasentrenúmerosubicadosendiferentes lugaresdeMéxicooenelMundo.Secobranporminutoyelcostoporminutodependedelaciudadoelpaísalquesehable.Unsólominutoesmáscaroqueelcostodetodaunallamadalocal.
Consideremos lo siguienteEnlacasadeJesúscontrataronelserviciotelefónicoconlacompañíaarribamenciona-da.Jesúsviveconsuspadresysustreshermanos:José,IványLuis.Duranteelmesdediciembre,cadamiembrodelafamiliahizounasolallamadatelefónicayapuntóel cos-toyla duración.Porórdenesdelpapácadaunoredondeóla duracióndelallamadaalminutoenterosiguiente,porejemplo:
Silallamadaduró3minutosy18segundos,apuntaronqueladuraciónfuede4mi-nutos,paralosdostiposdellamadas:localesodelargadistancia.
Conlosdatosanotadosseobtuvolasiguientegráicacontestenlassiguientespreguntas:
SESIÓN 2
a) Un miembro de la familia hizo una llamada
local,¿quiénfue?
b) Uno de los miembros de la familia hizo una
llamadaquetuvoelmismocostoquelallama-
dadeJosé,¿quiénlahizo?
c) ¿Quién pagó el mayor costo por minuto?
d) Tresmiembrosdelafamiliahicieronllamadas
queteníanelmismoprecioporminuto,¿quie-
nescreesquefueron? ,
y
Comparensusrespuestas.
Duración (minutos)
Co
sto
(p
eso
s)
Luis
Jesús
Madre
Iván
Padre José
Gráfica 1
45
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obrai. Contestenlassiguientespreguntas:
a) Enunaocasión,encasadeJesús,alguienanotóqueunallamadacostó$15yduró
5minutos,¿cuántocostócadaminutodeestallamada?
b) Siotrallamadacostólomismoporcadaminutoquelaanterioryduró10minu-
tos,¿cuántosedebiópagarporestallamada?
c) Ysilallamadahubieradurado8minutos,¿cuántosedeberíapagar?
d) Completenlasiguientetablausandoestecostoporminutoydibujenlagráicacorrespondiente.
Duración de la llamada (en minutos)
Costo de la llamada
(en pesos)
1
2
3
4
5 15
6
7
8
9
10
ii. Enotraocasión,encasadeJesús,sehicierontresllamadasdelargadistanciadondeelcostoporminutofueelmismo.
¿Cuáldelassiguientesgráicasseobtuvoconesosdatos?
Duración (minutos)
Co
sto
(p
eso
s) 30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Duración (minutos)
Co
sto
(p
eso
s)
Duración (minutos)
Co
sto
(p
eso
s)
Duración (minutos)
Co
sto
(p
eso
s)
Duración (minutos)
Co
sto
(p
eso
s)
a) b) c) d)
46
secuencia 20Comparensusrespuestasycomenten:
a) ¿Cómodecidieroncuáldelasgráicaseralacorrecta?
b) RegresenalagráicadelapartadoConsideremos lo siguienteycontesten:
¿Cuálespuntosestánsobreunarectaquepasaporelorigen?
A lo que llegamosEl costo de una llamada de larga distancia y su duración son cantidades directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad es el costo por minuto.
La gráica de costo y duración de varias llamadas que costa-ron lo mismo por minuto son puntos que están en una línea recta que pasa por el origen.
iii.Enelmesdediciembre,faltóapuntarunallamadahechaporelvecinoGuillermo,quiénhablóalamismaciudadquelamadreperoduróhablandolomismoqueIván.Dibujenelpuntofaltanteenlagráica.
Duración (minutos)
Co
sto
(p
eso
s)
Luis
Jesús
Madre
Iván
Padre José
Lo que aprendimos Acontinuaciónsepresentaunagráicaquerelacionaelcostoypesodelacompradeunasverduras:jitomate,limón,cebolla,pepinoyaguacate.Porcadaverdura,segraicóel pesocomprado(enkilogramos)yel costocorrespondientealacantidadcomprada(enpesos).
Duración (minutos)
Co
sto
(p
eso
s)
47
IIMATEMÁTICAS
Peso (kg)
Co
sto
($
)
Pepino
Limón
Jitomate
Aguacate
Cebolla
a) Delasverduras,¿cuálcostómásporkilogramo?
b) Haydosverdurasparalascualeselcostoporkilogramofueelmismo,¿cuálesfueron?
y
EL TAXIConsideremos lo siguienteUntaxicobraporsuservicio$10más$2porcadakilómetrorecorrido.Observalassi-guientesgráicasydecidecuáldeellasrepresentaestasituación.
Distancia (kilómetros)
Co
bro
(p
eso
s) 30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Distancia (kilómetros)
Co
bro
(p
eso
s) 30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
SESIÓN 3
a) b)
48
secuencia 20
Comparensusrespuestasycomentencómohicieronparadecidircuálgráicaeslacorrecta.
Manos a la obrai. Contestenlosiguiente:
a) Sieltaxirecorre2km,¿cuántocobrará?
b) Sieltaxirecorre10km,¿cuántocobrará?
c) Escribanunaexpresiónquesirvaparaformularlacantidadquecobraeltaxista(y)apartirdelnúmerodekilómetrosrecorridos(x).
y =
ii. Usenlaexpresiónqueacabandeformularparacompletarlasiguientetabla.
x Número de kilómetros
y Cantidad a cobrar en pesos
2
4
6
8
10
Distancia (kilómetros)
Co
bro
(p
eso
s) 30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Distancia (kilómetros)
Co
bro
(p
eso
s) 30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
c) d)
49
IIMATEMÁTICAS
iii.Localicenlosvaloresdelatablaenelsiguienteplanocartesiano
x (kilómetros)
y (
pe
sos) 30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Comparensusrespuestasycomenten,
a) Lospuntosquelocalizaron,¿estánsobrelagráicaquehabíanelegido?
b) ¿Estánenalgunadelasotrasgráicas?
A lo que llegamosAl igual que en el caso del taxi, a menudo encontramos cantidades relacionadas en las que su gráica asociada son puntos sobre un línea recta. A este tipo de relaciones se les conoce como relaciones lineales.
Las relaciones de proporcionalidad también son relaciones lineales, pues su gráica es una línea recta.
Las relaciones de proporcionalidad tienen nombre propio pues satis-facen más propiedades que las relaciones lineales. Por ejemplo, no toda gráica de una relación lineal pasa por el origen, pero como ya se vio, las asociadas a relaciones de proporcionalidad siempre pasan por el origen.
iV.Siunpasajerose subeal taxiy sólo tiene$32, ¿cuántoskilómetrospuedeviajar?
50
secuencia 20V. Sehadecidido llenarun tinaco concapacidadde1 000litrosdeagua. El tinaco,
actualmentecontiene100litrosdeagua.Sehaabiertouna llavequearrojaeneltinaco10litrosdeaguacadaminuto.
a) Sihapasado1minutodesdequeseabriólallave,¿cuántaaguahabráeneltina-
co? ¿Ysihanpasado2minutos?
¿Ysihanpasado10minutos?
b) Escribanunaexpresiónquerelacioney (lacantidaddeaguaeneltinaco)conx(losminutosquellevaabiertalallave).
y =
c) Dibujenlagráicadelarelaciónqueobtuvieron.
Comparensusrespuestasycomenten:
¿Enquévalorintersecalagráicaalejey?
A lo que llegamos
600
400
300
200
100
5 10 15 20 25 30 35 400x
y
y
x
(0, b )
Al valor dónde la gráica de una relación lineal interseca al eje y se le conoce como ordenada al origen.
En la siguiente igura, la letra b representa la ordenada al origen.
51
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimosEnunaocasiónsedecidióllenarunacisternaconunallavequearrojabaciertacantidaddelitrosdeaguacadaminuto.Cuandoseempezóallenareltinaco,éstetenía100litrosdeagua.Despuésde10minutosdehaberabiertolallave,eltinacotenía180litrosdeagua.
a) ¿Cuántoslitrosarrojólallaveen10minutos?
b) ¿Cuántoslitroshabráarrojadoen5minutos?
c) ¿Cuántoslitrosarrojalallavecadaminuto?
d) Despuésde11minutosdehaberabiertolallave,¿cuántoslitrosdeaguahabráenel
tinaco?
e) Escribeunaexpresiónquerelacioney(lacantidaddelitrosdeaguaquehayeneltinaco)conx(elnúmerodeminutosquehanpasadodesdequeseabriólallave).
y =
EL RESORTEConsideremos lo siguienteAlcolgardiferentespesossobreunresorteéstecambiasutamaño,entremayorseaelpesoqueselecuelguemássealarga.
Enunlaboratorioescolarsecolgaronvariospesosaunresortequemide8cmenreposo.Seregistraronloscambiosdelongitudencadacasoyconelloseobtuvolasiguientetabla.
Peso Longitud
1kg 10cm
2kg 12cm
3kg 14cm
4kg 16cm
¿Cuálcreesqueserálalongituddelresortesiselecuelgan5kg?
¿Cuálcreesqueserálalongituddelresortesiselecuelgan8kg?
¿Ysiselecuelgan3.5kg?
Comparensusrespuestasycomenten:
¿Cómocalcularonlaslongitudes?
Siselecolgaraunapesade6.2kg,¿cuálserálalongituddelresorte?
¿Cómopodríandecidircuálserálamedidadelresortealcolgarlecualquierotropeso?
SESIÓN 4
Longitud
Peso
52
secuencia 20
Manos a la obrai. Llamemoslongitud de aumentoalacantidaddecentímetrosqueaumentólalongi-
tuddelresortealcolgarleunpeso.Calculenlalongituddeaumentoparacadapesoindicadoenlatablaydespuéscontestenloquesepide.
Peso (kg)
Longitud de aumento
(cm)
1
2
3
4
a) Observenqueestatablaesdeproporcionalidad,¿cuáleslaconstante
deproporcionalidad?
b) Llamemosx al númerode kilogramos colgados y llamemosy a lalongituddeaumento.Escribanunaexpresiónquesirvaparacalcularyapartirdex.
y =
c) Alcolgar5kg,¿cuáleslalongituddeaumento?
d) Yalcolgar6.2kg,¿cuálserálalongituddeaumento?
e) Paraelcasoanterior,¿cuálserálalongituddelresorte?
Comparensusrespuestasycomenten:¿Esposiblecalcularlalongituddeaumentoparacualquierpesoquesequiera?¿Cómo?
Unavezquesetienelalongituddeaumento,¿sepodrácalcularlalongituddelresorte?¿Cómo?
ii. Encuentrenunaexpresiónquesirvaparacalcularlalongitudyquetendráelresortealcolgarlexkilogramos.
y =
iii.Usen laexpresiónanteriorparacalcular la longituddelresortepara losdiferentespesosindicadosenlatabla.
Peso x 0 1 2 5 6 6.2 7.6
Longitud y
Comparensusrespuestasygraiquenlarelaciónparaversieslineal.
Encuentralaordenadaalorigen.
Recuerden que:
Una relación es lineal si su gráica
es una línea recta.
Longitud de
aumento
53
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosComo en el caso del resorte, con frecuencia es útil calcular la expresión que relaciona dos cantidades x y y . Si esta relación es lineal, es posible encontrar la expresión al calcular la ordenada al origen (en el ejemplo, cuando no hay peso colgado al resorte) y el incremento de y cuando x cambia de cero a uno (por ejemplo, lo que aumenta el resorte al colgar un kilogramo). Una vez encontrados estos números, la expresión se puede escribir así:
y = (incremento al aumentar uno) x + (ordenada al origen)
Comúnmente esto se escribe como y = mx + b.
Lo que aprendimos1. Paramedir la temperatura seusandosunidadesdistintas: losgradosCelsiusy los
gradosFahrenheit.Larelaciónquepermitepasardeunaunidadalaotraeslineal.Lasiguienteiguramuestralagráicadedicharelación.
0
60
50
40
30
20
10
5 10 15
Fah
ren
heit
Celsius
x
y
54
secuencia 20a) Cuandolatemperaturaesde0°C,¿cuáleslatemperaturaengradosFahrenheit?
(Esdecir,¿cuáleslaordenadaalorigen?)
b) Cuandolatemperaturaesde5°C,¿cuáleslatemperaturaengradosFahrenheit?
c) Cuandolatemperaturaesde10°C,¿cuáleslatemperaturaengradosFahrenheit?
d) Cuandolatemperaturacambiade0°Ca5°C,¿cuántosgradosFahrenheitau-
mentó?
e) Decidancuálde lassiguientescantidadesfueelaumentodetemperatura,si la
temperaturacambióde0°Ca1 °C.
A) 1 .7°F B) 2°F C) 1.8°F D) 1.9°F
f) Escribanunaexpresiónquerelacioney(latemperaturamedidaengradosFahren-
heit)conx(latemperaturamedidaengradosCelsius).y =
2. Lalongituddelosmetalessemodiicaalsersometidosacambiosdetemperatura.Lasiguientetablamuestracómovaríalalongituddeunabarradehierroalsometerlaadistintastemperaturas.
Temperatura (°c) 0 10 20 30 40
Longitud de la barra de hierro (m) 10 10.012 10.024 10.036 10.048
Sixeslatemperaturayylalongituddelabarradehierro,¿cuáleslaexpresiónque
permiteencontraryapartirdex?y =
55
IIMATEMÁTICAS
EL PLAN PERFECTOConsideremos lo siguienteLos celulares
LascompañíasdeteléfonoscelularesMexcel,Tele-celeiLceltienenlassiguientestari-fas:
Mexcel:$100derentamensualmás$1.00elminuto.
Tele-cel:$60derentamensualmás$2.00elminuto.
iLcel:nocobrarentaperolasllamadascuestan$5elminuto.
Completenlasiguientetablaparasabercuántocobracadacompañíaporhablarxmi-nutosduranteunmes.
x (minutos)
Mexcel cobra (en pesos)
Tele-cel cobra (en pesos)
ILcel cobra (en pesos)
10
30
60
a) Siunapersonahabla15minutosenunmes,¿quécompañíalecobrarámenos?
b) Siunapersonahabla30minutosenunmes,¿quécompañíalecobrarámenos?
c) Siunapersonahabla60minutosenunmes,¿quécompañíalecobrarámenos?
Comparensusrespuestasycomenten:
Siunapersonahablaentre25y35minutosalmes,¿concuálcompañíalesaldrámásbarato?
¿ParaquécantidadesdeminutosalmesesmásbaratohablarporTele-cel?
SESIÓN 5
56
secuencia 20
Manos a la obrai. Usenlaletraxpararepresentarladuración de la llamada(enminutos)ylaletray
pararepresentarelcosto de la llamada(enpesos)correspondiente.Siunapersonahablóxminutosenunmes:
a) ¿CuáleslaexpresiónquerepresentaloquelecobraráMexcel?
y =
b) ¿CuáleslaexpresiónquerepresentaloquelecobraráTele-cel?
y =
c) ¿CuáleslaexpresiónquerepresentaloquelecobraráiLcel?
y =
ii. Completenlasiguientetablaconlasexpresionesqueencontraron:
x (minutos)
Mexcel cobra (en pesos)
Tele-cel cobra (en pesos)
ILcel cobra (en pesos)
10
20
30
40
50
60
iii.Ayudándosedelosvaloresenlatabla,dibujenlasgráicasdelastresrelacionesenelsiguienteplanocartesiano.Pintendediferentescoloreslasgráicas,porejemplo:rosaparaMexcel,azulparaTele-celyverdeparaiLcel.
57
IIMATEMÁTICAS
Observensusgráicasycontesten:
a) Cuandoladuraciónestáentre0miny20min,¿cuáldelastresgráicasestámásabajo?
b) Cuandoladuraciónestáentre20miny40min,¿cuáldelastresgráicasestámásabajo?
c) ¿CuándoestálagráicadeMexcelmásabajoquelasotras?
iV.Ayudándosedelasgráicasqueconstruyeron,completenlassiguientesfrasesdema-neraqueseancorrectas.
a) Siunapersonaacumula minutosenllamadasduranteunmes,no
importasicontrataelservicioconTele-celoiLcel,ambaslecobraránlomismo.
b) Siunapersonaacumulaentreceroy minutosenllamadasduranteun
mes,leconvienemáscontratarelserviciodeiLcel,perosiexcedeesoslimítes,le
convienemásTele-cel.
300
250
200
150
100
50
10 20 30 40 50 60
Co
sto
Duración
x
y
58
secuencia 20c) Siunapersonaacumulaentre y minutosenlla-
madasalmesleconvienemáscontratarelserviciodeTele-cel.
d) Siunapersonaacumulamásde minutosenllamadasalmesle
convienemáscontratarelserviciodeMexcel.
Comparensusrespuestas.
A lo que llegamosPara comparar dos o más relaciones lineales, puede ser útil construir sus gráicas en el mismo plano cartesiano.
Por ejemplo, las gráicas de las relaciones lineales y = 4x + 1 y y = 2x + 5 se han dibujado en el siguiente plano cartesiano.
15
10
5
5 10 15
Eje
y
Eje x
De esta gráica se puede ver que: el valor de la expresión y = 4x + 1 es menor que el de la expresión y = 2x + 5 cuando x toma valores menores a 2 (pues la gráica roja está por debajo), y los papeles se invierten cuando x toma valores mayores que 2.
59
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimos1. Enunaescuelatelesecundariaquierenrentarunautobúspararealizarunaexcursión.
Secontactaron3compañíasdeautobuseslascualesproporcionaronlasiguientein-formación:
compañía a:cobra$1 500más$20porcadakilómetrorecorrido.
compañía B:cobra$2 000más$15porcadakilómetrorecorrido.
compañía c:cobra$3 000más$10porcadakilómetrorecorrido.
Calculalasexpresionesquerelacionanelcobroconelnúmerodekilómetrosrecorridos-paracadacompañía.
¿EncuálintervaloesmásbaratocontrataralacompañíaB?Entre kmy
km.
2. Paraconocermássobrelaconstruccióndegráicasdefenómenosdeecuacionespue-denverelprogramaRelaciones funcionales, expresiones algebraicas y gráicas.
Para saber más
Sobre relaciones lineales en problemas consulta:http://descartes.cnice.mecd.es/analisis/familias_funciones/Funciones_lineales.htm [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.
60
secuencia 21
SESIÓN 1
Los polígonos y sus ángulos internos
En esta secuencia determinarás una fórmula para calcular la suma de los ángulos internos de un polígono.
TRIÁNGULOS EN POLÍGONOSPara empezarUnpolígonoesunaigurageométricacerradayplanaformadaporladosrectos.Comolossiguientes:
Lapalabrapolígonovienedelaspalabrasgriegaspoliquesigniicamuchosygonosquesigniicaángulos.
Unpolígonoesconvexosicadaunodesusángulosinternosmidemenosde180ºysusladosnosecruzan.
Observenlossiguientespentágonosycomenten:¿Cuálessonconvexosycuálesno?
Consideremos lo siguientea) Para cadaunode los siguientespolígonos convexos, tomenunode los vértices y,
desdeesevértice,tracentodaslasdiagonalesdelpolígono.
R s T V
61
IIMATEMÁTICAS
Cuadrilátero Hexágono
Octágono Dodecágono
Elprocedimientoanterioresunamaneradedividirunpolígonoconvexoentriángulos.Comparensustrazosycomentenencuántostriángulosquedódivididocadapolígono.
b) Completenlatablaconelnúmerodeladosdecadapolígonoyelnúmerodetriángu-losenlosquequedódividido.
Polígono Número de lados Número de triángulos
Cuadrilátero
Hexágono
Octágono
Dodecágono
c) ¿Quérelaciónhayentreelnúmerodeladosdecadapolígonoyelnúmerodetrián-
gulosenlosquequedódividido?
d) ¿Encuántostriángulosquedarádivididouneneágono?
e) ¿Encuántostriángulosquedarádivididounpolígonodenlados?
Comparenycomentensusrespuestas.
62
secuencia 21
Manos a la obrai. Enlossiguienteseneágonossetrazarondiagonalesparadividirlosentriángulos.
a) ¿Encuálde los eneágonos seutilizóelprocedimientodescritoenelapartado
Consideremos lo siguienteparadividirloentriángulos?
Comparensusrespuestas.
ii. Lasigurasmuestranladivisióndeunheptágonoentriángulostrazandosusdiago-nalesdesdeunvértice.
a) Completenelsiguientetexto.
Enlaigura1ladiagonalPBdividióalheptágonoenuntriánguloyenunhexágono.
Enlaigura2ladiagonalPCdividióalhexágonoenun yenunpentágono.
En la igura 3 la diagonal PD dividió al pentágono en un triángulo y un
Enlaigura4ladiagonalPEdividióal endostriángulos.
b) ¿CuántasdiagonalessepuedentrazardesdeelpuntoP?
c) Observenqueporcadadiagonalquesetrazaseformauntriánguloylaúltimadiagonalformadostriángulos¿Encuántostriángulosquedódivididoelheptá-gono?
Eneágono 1 Eneágono 2 Eneágono 3
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
P
aB
c
D
e F
P
aB
c
D
e F
P
aB
c
D
e F
P
aB
c
D
e F
63
IIMATEMÁTICAS
Comparensusrespuestasycomenten:
a) Sisetrazandesdeunvérticelasdiagonalesdeunpolígonode10lados,¿cuántasdiagonalesseobtienen?
b) ¿Encuántostriángulosquedarádividido?
iii.Completenlasiguientetabla.
Polígono Número de lados del polígono
Número de diagonales desde
uno de sus vértices
Número de triángulos en los
que quedó dividido
Triángulo 3 0 1
Cuadrilátero 4
Pentágono 5
Hexágono 6
Heptágono 7
Octágono 8
Eneágono 9
Decágono 10
Endecágono 11
Dodecágono 12
Icoságono 20
Polígono de n lados n
Comparensusresultados.
A lo que llegamosEl número de triángulos en los que se puede dividir un polígono convexo es igual al número de lados del polígono menos dos. Por ejemplo, un polígono convexo de 15 lados se puede dividir en 13 triángulos.
iV. Lassiguientesigurasmuestranlospasosdeladivisióndeunpentágonoentriángu-lostrazandolasdiagonalesdesdeelvérticeC.
B
a
e
D
c
B
a
e
D
c
B
a
e
D
c
64
secuencia 21Observenqueestadivisióndelpentágonotienelassiguientescaracterísticas:
(1)Losvérticesdelostriángulossonvérticesdelpentágono.
(2)Juntandotodoslosángulosdetodoslostriángulosseobtienentodoslosángulosdelpentágono.
a) ¿Cuálesdelassiguientesdivisionesentriángulosdelendecágonocumplenconlascaracterísticas(1)y(2)?
b) VeriiquenqueestascaracterísticassecumplenparalasdivisionesquerealizaronenlospolígonosdelapartadoConsideremos lo siguiente.
¿Cuálessontriangulacionessimples? y
Comparensusrespuestas.
Triangulaciones simples de los polígonos convexos
División 1 División 2 División 3
Dodecágono Octágono Endecágono
Un polígono convexo se puede dividir en triángulos cuyos vértices sean vértices del polígono y tales que la suma de las medidas de sus ángulos internos sea igual a la suma de las medidas de los ángulos internos del polígono. A esta forma de dividir un polígono en triángulos le llamaremos triangulación simple del polígono.
Lo que aprendimos1. Observalassiguientestriangulacionesdepolígonos.
65
IIMATEMÁTICAS
a)Tachalaquenoseaunatriangulaciónsimple.
b)¿Cuáldelastriangulacionessimplesseobtuvotrazandolasdiagonalesdesdeun
mismovértice?
2. ¿Encuántostriángulossepuedendividircadaunodelossiguientespolígonoscon
unatriangulaciónsimple? .Hazlastriangulacionescorrespondientes.
3. Hazunatriangulaciónsimpledelsiguientehexágono,peroquenoseobtengatrazan-dolasdiagonalesdesdeunmismovértice.
UNA FÓRMULA PARA LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOSEnlasecuencia4 detulibrodeMatemáticas ii,volumen i,aprendistequelasumadelosángulosinternosdeuntriánguloesiguala180°.
SESIÓN 2
66
secuencia 21
Consideremos lo siguienteContesten las siguientes preguntas sobre los ángulos internos de distintos polígonosconvexos
Polígono Número de lados del polígono
Número de triángulos en los
que quedó dividido
Suma de los ángulos internos del
polígono
Triángulo 3
Cuadrilátero 4
Pentágono 5
Hexágono 6
Heptágono 7
Octágono 8
Eneágono 9
Decágono 10
Endecágono 11
Dodecágono 12
Icoságono 20
Escribanunaexpresiónquesirvaparacalcular lasumadelasmedidasdelosángulos
internosdeunpolígonoconvexodenlados.
Comparensusrespuestas.Siesnecesarioverifíquenlashaciendotriangulacionessimples
delospolígonosconvexos.
Manos a la obrai. Triangulendeforma simplelossiguientespentágonos.
a) ¿Encuántostriángulosquedarondivididoscadaunodelospentágonos?
Y
Z
V
W X
u
QT
s R
P
O
Ñn
M
67
IIMATEMÁTICAS
b) ¿Porquélasiguienteexpresiónnosirveparacalcularlasumadelasmedidasde
losángulosinternosdelospentágonos?
5 (180º)
ii. Dibujenundodecágonoconvexoytriangúlenlodeformasimple.
iii. Completenlasiguienteexpresiónparacalcularlasumadelasmedidasdelosángulosinternosdeldodecágonoconvexoquedibujaron.
(180º) =
Comparensusrespuestasycomenten:
Lasumadelasmedidasdelosángulosinternosdeuncuadriláteroconvexonopuede
ser igual a420°. ¿Estánde acuerdo con esta airmación? ¿Por qué?
68
secuencia 21
A lo que llegamosLa suma de los ángulos internos de un polígono convexo de n lados se puede calcular con la expresión:
(n – 2) 180º
RegresenalapartadoConsideremos lo siguienteyveriiquensusrespuestasutilizandolafórmula(n—2)180°.
iV.Contestenlassiguientespreguntas
a) Silasumadelosángulosinternosdeunpolígonoes1 260°,¿cuántosladostiene
elpolígono?
b) ¿Es posible que la suma de los ángulos internos de un polígono sea 1 130°?
Justiiquensusrespuestas.
Comparenycomentensusrespuestas.
Lo que aprendimos1. Sesabequelasumadelosángulosinternosdeunpolígonoesiguala900º.Elijanlos
polígonosaloscualessehacereferencia.
69
IIMATEMÁTICAS
2. Determinen la suma de los ángulos internos de un polígono de 235 lados.
3. Lasumadelosángulosinternosdeunpolígonoesde2 700°,¿cuántosladostieneel
polígono?
4. Paraconocermássobrelosángulosinternosdepolígonosylastriangulaciones sim-
plespuedenverelprogramaLos polígonos y sus ángulos internos.
Para saber más
Sobre los polígonos y sus ángulos, consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Nombres de los polígonos” en Una ventana a las formas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
De la Peña, José Antonio. Geometría y el mundo. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
70
secuencia 22
SESIÓN 1
Mosaicos y recubrimientos
En esta secuencia conocerás las características de algunos polígonos que permiten cubrir el plano.
RECUBRIMIENTOS DEL PLANOPara empezarQue no quede nada sin cubrir
La reproduccióndeigurasgeométricas sehautilizadopara cubrir supericiesplanascreandohermososdiseñosqueadornancasas,pirámides,templosytumbas.Tambiénescomúnverestosrecubrimientosentelas,pinturas,tapetesyotrosaccesorios.
Esposiblequeestosrecubrimientoshayansidocopiadosdelareproduccióndeigurasenlasbellezasnaturalesyaqueenlanaturalezasepuedenencontrarmuchospatronesdeestetipo.
Lasigurasquesepuedenreproducir una y otra vezparacubrircualquiersupericieplanasinque se encimen ni dejen huecos,paraformardiseñoscomolosanterioressonigurasquesirvenparacubrirelplano.
Comentenlapregunta
¿Enalgunodelosdiseños,lasigurasseencimanodejanhuecos?;¿encuáles?
71
IIMATEMÁTICAS
Consideremos lo siguienteRecortenlospolígonosregularesdelanexoRecortables 1. Polígonos regulares.Reproduz-cancadapolígonoensucuaderno,comosemuestraenlasiguienteilustración,ytratendeconstruiralgunosdiseñoscuidandoquelospolígonosnoseencimenynodejenhuecos.
a) ¿Cuálesdelospolígonosregularesquerecortaronsirvenparacubrirelplano?
b) ¿Creenquehayaotrospolígonosregularesquesirvanparacubrirelplano?
¿Cuáles?
Comparenycomentensusrespuestas.
Manos a la obrai. Utilicenelpentágonoregularquerecortaronyreprodúzcanlodetalmaneraquelos
pentágonoscompartanelvérticeF,quenoseencimenyquecompartanunladoconelpentágonovecino.
F
72
secuencia 22a) ¿Cuántospentágonosquecumplanconlascondicionespedidassepuedencolocar?
b) ¿Cuántomidecadaunodelosángulosinternosdelpentágonoregular?
c) ¿Cuántosumanlasmedidasdelosángulosinternosdelospentágonosqueestán
alrededordelvérticeF?
d) ¿CuántomideelánguloquefaltaporcubrirpararodearelvérticeF?
Comparen sus respuestasy comenten, ¿sucede lomismoconcualquier vérticede lospentágonosregulares?¿Porqué?
ii. Utilicenelhexágonoregularquerecortaronyreprodúzcanlodetalmaneraqueloshexágonoscompartanelpuntoecomovértice,quenoseencimenyquenodejenhuecos.
a) ¿Cuántoshexágonosregularesquecumplanconlascondicionespedidaslograron
colocar?
b) ¿Cuántomidecadaunodelosángulosinternosdelhexágonoregular?
c) ¿Cuántosumanlasmedidasdelosángulosquecompartenelpuntoecomovér-
tice?
Comparensusrespuestasycomenten,¿sielijencualquierotrovérticedeloshexágonosregularesquereprodujeron,yrealizanlamismaactividad,sucederálomismoqueconelvérticee?¿Porqué?
e
73
IIMATEMÁTICAS
iii. Realicenelmismoejercicioconcadaunodelospolígonosregularesquerecortaron.Tratendecolocarlosdemaneraquenoseencimenyquenodejenhuecos.
a) Completenlasiguientetabla:
Número de lados del polígono regular
Medida de cada uno de los ángulos internos del
polígono regular
Resultado de dividir 360º entre la medida de un ángulo interno del
polígono regular
¿El polígono regular sirve para cubrir
el plano?
3
4
5
6
7
8
9
10
b) ¿Paracuálespolígonosregulareselresultadodedividir360ºentrelamedidadeun
ángulointernoesunnúmeroentero?
c) ¿Coincidenlospolígonosquesirvenparacubrirelplanoconlospolígonosquedan
unnúmeroenteroenestádivisión?
Justiiquensurespuesta.
Comparensusrespuestas.
A lo que llegamosDe los polígonos regulares, sólo el triángulo, el cuadrado y el hexágono sirven para cubrir el plano, pues es posible acomodar los ángulos de estas iguras alrededor de cada vértice para que formen un ángulo de 360º. Para estos polígonos, el resultado de la división de 360° entre la medida de uno de sus ángulos internos es un número entero.
Los ángulos internos de los demás polígonos regulares no se pueden colocar de tal manera que formen un ángulo de 360º. Pues el resultado de la división de 360° entre la medida de uno de sus ángulos internos no es un número entero.
74
secuencia 22
Lo que aprendimos1. Elijeunpolígonoregulary recubreunahojadepapelblanca;coloreadedistintas
formascadapolígonoparaqueconstruyasdiferentesdiseñosymontajuntocontuscompañerosunaexposiciónconloqueobtengas.Porejemplo,lossiguientesdiseñosseconstruyeronapartirderecubrirelplanocontriángulosequiláterosyloqueloshacediferenteseslacoloración.
LOS RECUBRIMIENTOS CON POLÍGONOS IRREGULARESPara empezarCadaunodelossiguientesdiseñosseconstruyóreproduciendounmismopolígono.
SESIÓN 2
Encadadiseñolasigurasnoseenciman,nodejanhuecosentreellasysepuedenrepro-ducirencualquierdireccióntantocomosequierahacercrecereldiseño.se dice que estas iguras sirven para recubrir el plano.
Comentenquépolígonoseutilizaparaconstruircadaunodelosdiseños.
Diseño 1 Diseño 2
Diseño 1 Diseño 2 Diseño 3 Diseño 4
75
IIMATEMÁTICAS
Consideremos lo siguienteUnodelossiguientespolígonosirregularesnosirveparacubrirelplano.
Triángulo A Cuadrilátero B Hexágono C
Triángulo D Cuadrilátero E
a) ¿Cuálpolígonoeselquenosirveparacubrirelplano? ¿Porqué?
ComparensusrespuestasyrecortenlospolígonosirregularesdelanexoRecortables 2. Polígonos irregulares.Veriiquencuáldeellosnosirvepararecubrirelplano.
Manos a la obrai. Las siguientes ilustraciones muestran
dosformasdeacomodarlasreproduc-ciones del cuadrilátero e. Reproduz-can cada uno de los diseños en unahojaycontinúenlossindejarhuecosysinencimar.
Diseño 1
E
76
secuencia 22a) ¿Concuáldelosdosdiseñoslograron
colocarelmayornúmerodecuadri-láterossindejarhuecosniencimar?
b) ¿Concuáldelosdiseñospodríanse-guircolocandocuadriláterossinqueseencimenysinquedejenhuecos?
c) En cada uno de los diseños sobre-ponganuncuadriláteroenlosmar-cadoscon la letraE.Sidesplazanygiran el cuadrilátero sin levantarlo,¿encuáldelosdiseñospuedenllevarelcudriláteroEaunodesusvecinos?Diseño 2
Comparensusrespuestas.
ii. Elsiguientediseñosehizoreproduciendoeltriánguloa.
1
234
5
6
R
E
77
IIMATEMÁTICAS
a) Enlostriángulos2,3,4,5y6,marquenderosatodoslosángulosigualesalán-gulorosadeltriángulo1;delamismaformamarquenlosquesonazulesylosquesonverdes.
b) ¿CuántosángulosrosascompartenelvérticeR?
c) ¿CuántosángulosazulescompartenelvérticeR?
d) ¿CuántosángulosverdescompartenelpuntoR?
e) ¿CuántosumanlasmedidasdelosángulosquecompartenelpuntoRcomovér-
tice?
f) Elijanotrovértice,llámenlosymarquenlosángulosquelocomparten,¿cuánto
sumanlasmedidasdelosángulosquecompartenelvértices?
Comparensusrespuestas.
iii. ConelmismotriánguloAseconstruyóelsiguienterecubrimiento;comentenporquénoesposiblecompletarlosindejarhuecosysinquelostriángulosseencimen.
a) ¿CuántosumanlasmedidasdelosángulosquecompartenelpuntoPcomovérti-
ceyquesonángulosinternosdelostriángulos?
b) ¿Cuántomideelánguloquefaltaporcubrir?
P
78
secuencia 22
a
B
c
a
B
c
Todos los triángulos sirven para recubrir el plano sin dejar huecos ni encimarse.
Por ejemplo, para recubrir con el triángulo ABC se puede girar el triángulo de manera que el vértice A coincida con el vértice C; después, girarlo de manera que el vértice B coincida con el vértice C. Los tres ángu-los forman un ángulo de 180º. Esto se debe a que en todo triángulo las medidas de sus ángulos internos suman 180º.
Repitiendo este proceso se completa un ángulo de 360º alrededor del vértice C.
El triángulo ABC se puede continuar reproduciendo hasta cubrir cualquier supericie plana.
c) ¿EsposiblecolocarotrotriángulomoradoparaterminarderodearelpuntoPsin
queseencimeconlosotrostriángulos? ¿Porqué?
A lo que llegamos
iV. ElsiguienterecubrimientoseconstruyóconelcuadriláteroB.Marquenderojo,rosa,caféyazullosángulosquecompartenelvérticeT.
12
3
4
5T
79
IIMATEMÁTICAS
a) ¿CuántoscuadriláteroscompartenelpuntoTcomovértice?
b) ¿CuántosángulosdecadacolorcompartenelpuntoTcomovértice?
c) Elijanotrovérticedecualquieradeloscuadriláteros,¿cuántosángulosdecada
colorcompartenesevértice?
A lo que llegamosTodos los cuadriláteros convexos sirven para recubrir el plano sin dejar huecos ni encimar-se. En la igura el cuadrilátero ABCD se gira de manera que el vértice D coincida con el vértice C. Después se gira de manera que el vértice B coincida con el vértice C. Y Después se gira de manera que el vértice A coincida con el vértice C. Los cuatro ángulos del cuadri-látero forman un ángulo de 360º.
a
B
D
c
a
B
D
c
a
B
D
Esto se debe a que las medidas de sus ángulos internos suman 360º.
El cuadrilátero ABCD se puede continuar reproduciendo hasta cubrir cualquier supericie plana.
V. Dibujenyrecortenuncuadriláteroirregularencartulina,marquenlospuntosmediosdesusladosyreprodúzcanloenunahojablancacomosemuestraenlasfotos.
Comparensusreproduccionesycomenten:¿Creenqueestemétodofuncioneparaformarrecubrimientosdecualquiersupericieplanaconcualquiercuadrilátero?,¿Elmétodofuncionarácontriángulos?
80
secuencia 22Vi.PintenunpuntoensucuadernoyllámenloQ.Reproduzcanelhexágonocalrededor
delpuntoQ,sinqueseencimenysinquedejenhuecos.
a) ¿CuántoshexágonoscompartenelpuntoQcomovértice?
b) ¿CuántosumanlasmedidasdelosángulosquecompartenelpuntoQcomovér-
tice?
RegresenalapartadoConsideremos lo siguiente yrevisensusrespuestas.
Lo que aprendimos1. Trazaunparalelogramo.¿Esteparalelogramoservirápararecubrirelplano?
Justiicaturespuesta.
2. ¿Uncírculosirvepararecubrirelplano? Justiicaturespuesta.
3. Creatuspropiosdiseñosderecubrimientosdelplanoyarmacontuscompañerosunaexposiciónentusalón.Puedenhacerunconcursoyvotarporelquemáslesguste.
ALGUNAS COMBINACIONESPara empezarAlgunospolígonosregularesquenosirvenpararecubrirelplanosepuedencombinarconotrospolígonosparacubrirelplanosinqueseencimennidejenhuecos.
Encadadiseñolasigurasnoseenciman,nodejanhuecosentreellasylosdiseñospue-denseguircreciendotantocomosequiera.Estascombinacionesdeigurassirvenpararecubrirelplano.
SESIÓN 3
Diseño 1 Diseño 2
81
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimos1. Anota en el siguiente pentágono las medidas de sus ángulos
internos.
¿El pentágono anterior sirve para recubrir el plano?
Justiicaturespuesta.
2. Enelsiguientediseñoseestáncombinandodosiguras,unheptágonoregularyunoctágonoirregular,¿cuántomidenlosángulosinternosdeloctágonoirregular?
3. ¿Conquépolígonopuedescombinareloctágonoregularparaconstruirundiseñoquerecubraelplano?Construyeundiseñoenunahojablancaycompáraloconlosdetuscompañeros.
4. ParaconocermásejemplosdepolígonosquepermitencubrirelplanopuedenverelprogramaMosaicos y recubrimientos.
Para saber másSobre recubrimientos de superficies planas, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “La miel de los hexágonos” y “Recubrimiento” en Una ventana a las formas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Para crear recubrimientos consulta:http://www.interactiva.matem.unam.mx/teselados/html/tesela.html[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Universitario de Enseñanza de la Matemáticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.
Explora las actividades Mosaicos y creación del interactivo Cubrimientos del plano.
82
secuencia 23
SESIÓN 1
Las características de la línea recta
En esta secuencia estudiarás el comportamiento de gráicas lineales de la forma y = mx + b, al modiicar los valores de m y de b.
PENDIENTE Y PROPORCIONALIDADPara empezarComovisteenlasecuencia32detulibrodeMatemáticas i, volumen ii,lagráicaaso-ciadaaunaexpresióndelaformay= kxestáformadaporpuntoslocalizadossobreunalínea recta que pasa por el origen.
Consideremos lo siguienteEnunestadodelaRepúblicaMexicanaserealizóunacompetenciadecaminata.Seto-maronlosregistrosdetresdeloscompetidoresysegraicóladistanciarecorridayeltiempoquecadacompetidortardóenrecorrerla.
La competencia tuvo un recorrido total de 60 kilómetros y los competidores fueronsiempreavelocidadconstante.
Tiempo en horas
Dis
tan
cia e
n k
iló
metr
os
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
Competidor A
Competidor B
Competidor C
x
y(6
, 60)
(15,
60)
(10,
60)
83
IIMATEMÁTICAS
a) ¿Enquélugarllegaronloscompetidoresyencuantotiempoterminócadaunolacaminata?
CompetidorA lugar CompetidorA horas
CompetidorB lugar CompetidorB horas
CompetidorC lugar CompetidorC horas
b) ¿Quévelocidadalcanzóelcompetidorqueganólacompetencia?
Comparensusrespuestasycomenten:
EnunatelesecundariadijeronqueelcompetidorBllegóenprimerlugarporqueelseg-
mentoderectarojoeselmáslargo,¿estándeacuerdo?Justiiquensurespuesta.
Manos a la obrai. Conayudadelagráicaanteriorcompletenlassiguientestablaspara
encontrarlasvelocidadesalasquefueronloscompetidoresA,ByC.
Tiempo
(horas)
Distancia recorrida
(en kilómetros)
Tiempo
(horas)
Distancia recorrida
(en kilómetros)
60 60
1 1
TabladelcompetidorA TabladelcompetidorB
a) ¿QuévelocidadalcanzóelcompetidorA?
b) ¿QuévelocidadalcanzóelcompetidorB?
c) ¿QuévelocidadalcanzóelcompetidorC?
d) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas permite en-
contrarladistanciarecorridayporelcompetidorAeneltiem-
pox?Subráyenla.
y=6x
y=60x
y=x
e) ¿Cuáleslaexpresiónalgebraicaquepermiteencontrarladis-
tanciarecorridayporelcompetidorBeneltiempo x?
f) ¿Cuáleslaexpresiónalgebraicaquepermiteencontrarladistanciarecorridaypor
elcompetidorCeneltiempo x?
Comparensusrespuestas.
•
•
•
Recuerden que:
Si la velocidad es constante,
entonces la distancia y el
tiempo son cantidades directa-
mente proporcionales y la
constante de proporcionalidad
es la velocidad.
Recuerden que:
La expresión algebraica asociada a
una relación de proporcionalidad
directa es de la forma
y=kx
donde k es la constante de propor-
cionalidad.
Tiempo
(horas)
Distancia recorrida
(en kilómetros)
60
1
TabladelcompetidorC
84
secuencia 23
ii. Consutransportadormidancadaunodelosángulosqueformacadaunadelasrectas
respectoalejex.
a) Ángulodeinclinaciónrespectoalejexdelarectacorrespendientealcompetidor
A=
b) Ángulodeinclinaciónrespectoalejexdelarectacorrespendientealcompetidor
B=
c) Ángulodeinclinaciónrespectoalejexdelarectacorrespendientealcompetidor
C=
Comparensusrespuestasycomenten:
ElcompetidorDnopudoparticiparenlacaminataporqueestabalesionado.Enelsi-guienteplanocartesianosepresentalarectacorrespondientearegistrosobtenidosporelcompetidorDenunacaminataanterior.
Para medir el ángulo de inclinación de una línea recta que pasa por el origen respecto al eje x, se hace lo siguiente:
1. Se coloca el centro del transportador en el origen (punto (0,0)).
2. Contamos los grados en el transportador desde la parte derecha del eje x hasta el grado en que el transportador es cruzado por la recta.
3. El número en que la recta cruza el transportador es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje x.
Por ejemplo, en la igura 1, la recta la recta y = x tiene un ángulo de inclinación de 45° respecto al eje x.
Tiempo en horas
Dis
tan
cia e
n k
iló
metr
os
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
Competidor D
x
y(1
2, 6
0)
45°
Recta y = x
Figura 1
85
IIMATEMÁTICAS
a) ¿Cuáleselángulodeinclinaciónrespectoalejex delarectacorrespondientealcom-
petidorD?
b) ¿EnquélugarhabríaquedadoelcompetidorD?
c) SilarectacorrespondienteauncompetidorEtieneunángulodeinclinaciónrespec-
toalejexde45°ylarectacorrespondienteauncompetidorFtieneunaángulode
inclinaciónrespectoalejexde50°.¿Cuálde losdoscompetidores llegóprimero?
¿Cuáldeloscompetidoresfueamayorvelocidad?
Usenelplanoanteriorparagraicaryveriicarsusrespuestas.
A lo que llegamosLas gráicas que representan expresiones de la forma y = kx son líneas rectas que pasan por el origen. En estas expresiones, el número k es llamado pendiente de la recta.
Entre mayor sea la pendiente, mayor es el ángulo de inclinación que tiene la recta res-pecto al eje x y viceversa entre mayor sea el ángulo de inclinación de una recta respecto al eje x, mayor es la pendiente de la recta.
Por ejemplo, si la gráica de un competidor G tiene pendiente 8 y la gráica de otro com-petidor H tiene pendiente 4, entonces es mayor el ángulo de inclinación de la recta aso-ciada al competidor G que el ángulo de inclinación de la recta asociada al competidor H.
Las gráicas correspondientes serían las siguientes:
Esto signiica que el competidor G fue a mayor velocidad que el competidor H, es decir, si la pendiente de la recta que representa la velocidad constante de un competidor es mayor que la de otro competidor entonces el de pendiente mayor va a mayor velocidad.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Gráfica de la recta G: y = 8x
Gráfica de la recta H: y = 4x
83°
76°
x
y
86
secuencia 23iii. Contestenlosiguiente.
a) ¿Cuálde las rectascorrespondientesa lasexpresionesy=1 2
x yy=1 4
x tiene
mayorángulodeinclinaciónrespectoalejex ?
b) Encuentrenlasexpresionesalgebraicasdedosrectasquepasenporelorigeny
quetenganángulosdeinclinaciónrespectoalejexmenoresqueelángulode
inclinacióndelarectay=10x,peromayoresqueelángulodeinclinaciónres-
pectoalejexdelarectay=3x: y
c) Encuentrenlasexpresionesalgebraicasdedosrectasquepasenporelorigenyque
tenganmenorángulodeinclinaciónrespectoalejex queelángulodeinclinación
delarectacorrespondienteay=2x: y
Comparensusrespuestas.Verifíquenlasgraicandolasrectasenelsiguienteplanocarte-
sianoymidiendosusángulosdeinclinación.
Lo que aprendimosDelasgráicasasociadasalassiguientesexpresionesalgebraicas:
y=5x
y =2.5x
y = 1 3x
a) ¿Cuáldelasexpresionesalgebraicastieneunagráicaasociadaconmayorángulo
deinclinaciónrespectoalejex?
b) ¿Cuáldelasexpresionesalgebraicastieneunagráicaasociadaconmenorángulo
deinclinaciónrespectoalejex?
c) Entucuadernoelaboralastablasydibujalasgráicascorrespondientesparaveri-
icartusrespuestas.
•
•
•
20
15
10
5
5 10 15 20 x
y
87
IIMATEMÁTICAS
LAS PENDIENTES NEGATIVASConsideremos lo siguienteEnelsiguienteplanocartesianoestángraicadaslasrectasLys.
Lospuntosa' = (2, 4), B' = (–4, –8)pertenecenalarectasylospuntosa = (2, –4),
B = (–4, 8)pertenecenalarectaL.
Encuentrenlasexpresionesalgebraicasquecorrespondenaestasrectas.
RectaL: y=
Rectas: y =
Comparensusrespuestas.
Manos a la obrai. Apartirdelagráicaanteriorcompletenlassiguientestablasparaencontrarlasco-
ordenadasdealgunospuntosdelasrectasLys.
Recta S Recta L
Abscisa Ordenada Abscisa Ordenada
−4 −8 −4 8
−2 −2
0 0 0 0
1 1
2 2
4 8 4 −8
SESIÓN 2
Recta L
Recta S
–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
a
B
a'
B'
x
y
88
secuencia 23a) Paralospuntosdelarectas,¿porquénúmerohayquemultiplicarlasabscisas
paraobtenerlasordenadas?
b) ParalospuntosdelarectaL,¿porquénúmerohayquemultiplicarlasabscisas
paraobtenerlasordenadas?
c) Relacionalascolumnas.
( ) ExpresiónalgebraicadelarectaL A)y=2x + 1
( ) Expresiónalgebraicadelarectas B)y= −2x
C)y = 2x
Comparensusrespuestas.
ii. Enelsiguienteplanocartesianoseencuentranlasgráicasdecuatrolíneasrectasquepasanporelorigen.
a) Delassiguientesecuaciones,¿cuállecorrespondeacadaunadelasrectas?Rela-cionenlascolumnas.
( ) Rectaroja. A.y=x
( ) Rectaazul. B.y= −x
( ) Rectaverde. C.y = 2x
( ) Rectanaranja. D.y= 3x
E.y= −3x
Comparensusrespuestasycomentencómolasencontraron.
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
x
y
89
IIMATEMÁTICAS
Para medir el ángulo de inclinación (mayor a 90°) de una línea recta que pasa por el origen respecto al eje x, se hace lo siguiente:
1. Se coloca el centro del transportador en el origen (punto (0,0)).
2. Contamos los grados en el transportador desde la parte derecha del eje x hasta el grado en que el transportador es cruzado por la recta.
3. El número en que la recta cruza el transportador es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje x.
Por ejemplo, en la igura 2, la recta la recta y = –4x tiene un ángulo de inclinación de 104° respecto al eje x.
Figura 2
Recta y = –4x
104º
iii. Midanelánguloqueformacadaunadelasrectasconelejex.
Ángulodeinclinaciónrespectoalejex delarectaroja:
Ángulodeinclinaciónrespectoalejex delarectaazul:
Ángulodeinclinaciónrespectoalejex delarectaverde:
Ángulodeinclinaciónrespectoalejex delarectamorada:
Comparensusresultadosycomenten:
a) ¿Losángulosdelainclinaciónrespectoalejex delasrectasquetienenpendien-
te positivasonmayoresomenoresque90°?
b) ¿Losángulosdelainclinaciónrespectoalejex delasrectasquetienenpendien-
te negativasonmayoresomenoresque90°?
•
•
•
•
90
secuencia 23
iV.Encuentrenlasexpresionesalgebraicasdeotrasrectasquepasenporelorigenyquetenganlascaracterísticasquesepiden:
a) Unarectaquetengaunángulodeinclinaciónrespectoalejexmayorque90°.
y =
b) Unarectaquetengaunángulodeinclinaciónrespectoalejex menorque90°.
y=
Lo que aprendimosDelassiguientesgráicascontesta:
Recta y = –xRecta y = 4x
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
x
y
76°
135°
A lo que llegamosEn las expresiones de la forma y = kx el número k es llamado pendiente de la recta.
• Las rectas con pendiente positiva tienen ángulos de inclinación respecto al eje x menores que 90°.
• Las rectas con pendiente negativa tienen ángulos de inclinación respecto al eje x mayores que 90°.
Por ejemplo, la recta y = –x tiene ángulo de inclinación respecto al eje x de135°, mien-tras que la recta y = 4x tiene ángulo de inclinación respecto al eje x de 76°.
91
IIMATEMÁTICAS
a) ¿Cuálesrectastienenpendientespositivas?
b) ¿Cuálesrectastienenpendientesnegativas?
c) ¿Cuáles rectas tienen un ángulo de inclinación con el eje x mayor que 90°?
c) ¿Cuáles rectas tienen un ángulo de inclinación con el eje x menor que 90°?
Usatutransportadorparaveriicarsusresultados.
LA ORDENADA AL ORIGENPara empezarEnlasecuencia20deestelibrodeMatemáticas ii, volumen iiaprendistequelagráicaquecorrespondeaunaexpresiónalgebraicadelaformay = mx + besunalínearecta.Alnúmerorepresentadoporlaletrabselellamaordenada al origenycorrespondealpuntoenelcuallarectacortaalejey.
Consideremos lo siguienteEnelsiguienteplanocartesianograiquenlassiguientesexpresiones.Usencoloresdis-tintosparacadarecta.
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
x
y
SESIÓN 3
92
secuencia 23
a) ¿LarectaRintersecaalarectas? Sisurepuesta
fuesí¿enquépuntoseintersecan?
Si su respuesta fue no ¿por qué creen que no se intersecan?
b) ¿LarectaRintersecaalarectaT? Sisurepuesta
fuesí¿enquépuntoseintersecan?
Si su respuesta fue no ¿por qué creen que no se intersecan?
c) ¿Quérectaintersecaalarectau?
Comparensusrespuestasycomenten:
¿Concuáldelassiguientesairmacionesestándeacuerdo?
LasrectasRys noseintersecanporquelarectaRpasaporelorigen
ylarectasnopasaporelorigen.
ComolasrectasRysnosonparalelasentoncessíseintersecan.
•
•
Recta R y = 2x
Recta s y = 3x – 6
Recta T y = 2x + 4
Recta u y = 2x – 6
Recuerden que:
Dos rectas se intersecan
cuando hay un punto que
pertenece a ambas. A ese
punto se le llama el punto
de intersección de las
rectas.
Recuerden que:
Las rectas que son parale-
las nunca se intersecan.
y
x –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
93
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obrai. CompletenlasiguientetablaparaencontraralgunospuntosdelasrectasR,syT.
Recta R: y = 2x Recta s: y = 3x – 6 Recta T: y = 2x + 4 Recta u: y = 2x – 6
abscisa Ordenada abscisa Ordenada abscisa Ordenada abscisa Ordenada
0 0 0 0
1 1 –3 1 6 1
4 4 4 4
6 6 6 6
ii. ConsutransportadormidanlosángulosdeinclinaciónconrespectoalejeXdelas
rectasR,s,T yu.
a) ÁngulodeinclinacióndelarectaR:
b) Ángulodeinclinacióndelarectas:
c) ÁngulodeinclinacióndelarectaT:
d) Ángulodeinclinacióndelarectau:
e) ¿Cuálesdeestasrectassonparalelas?
f) ¿Cuálesnosonparalelas?
Comparensustablasydecidansilassiguientesairmacionessonverdaderasofalsas:
Lasrectasparalelastienenlamismapendiente
Las rectas paralelas tienen distinto ángulo de inclinación respecto al eje x
•
•
Para medir el ángulo de inclinación respecto al eje x de una línea recta que no pasa por el origen se hace lo siguiente:
1. Se coloca el centro del transportador en el punto en el que la recta corta el eje x y el extremo derecho del transportador (el que marca los 0º) sobre el eje x. Si la recta no corta al eje x se prolonga la recta hasta que corte dicho eje.
2. Contamos los grados en el transportador desde la parte derecha del eje x hasta el grado en que el transportador es cruzado por la recta.
3. El número en que la recta cruza el transportador es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje x.
Por ejemplo, en la igura 3, la recta y = 4x + 2 tiene un ángulo de inclinación de 76° respecto al eje x.
76°
Recta y = 4x + 2
2
Figura 3
94
secuencia 23iii.Enelsiguienteplanocartesianoseencuentranlasgráicasdecuatrorectas.
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
x
y
Recta y = -2x + 4
Recta y = -2xRecta y = 3xRecta y = 3x + 8
a) Midanlosángulosdeinclinacióndecadaunadelasrectasconrespectoalejexycompletenlasiguientetabla.
Recta Pendiente Ordenada al origen Ángulo de inclinación
y = −2x + 4 184°
y = −2x − 2
y = 3x
y = 3x + 8 8
b) Contestenlassiguientespreguntasapartirdelainformacióndelatablaanterior.
¿Cuálrectaesparalelaalarectay= −2x?
¿Cuálrectatienelamismapendientequelarectay = −2x?
¿Qué rectas tienen distinto ángulo de inclinación que la recta y = −2x?
y
¿Quérectastienendistintapendientequelarectay= −2x?
y
•
•
•
•
95
IIMATEMÁTICAS
Comparensusresultadosycomenten:
a) ¿Seintersecalarectay=−2xconlarectay=−2x + 1?,¿porqué?
b) ¿Concuálesrectasseintersecalarectay=−2x?
A lo que llegamosRectas paralelas
Dos rectas que tienen la misma pendiente son rectas paralelas, es decir, no se intersecan.
Por ejemplo, las rectas y = 4x , y = 4x + 7 así como y = 4x – 8 son paralelas. Todas ellas tienen la misma pendiente: 4, es decir, el mismo ángulo de inclinación respecto al eje x : 76°.
-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
x
y
Recta y = 4xRecta y = 4x + 7
Recta y = 4x – 8
76º 76º 76º
96
secuencia 23iV. Realicenlassiguientesactividades.
a) Completen lasexpresionesde lassiguientes rectasparaqueseanparalelasa larectay = 2
3x:
y = x+ 4
y =2 3 x –
y = x –
b) Completenlasexpresionesdelassiguientesrectasparaqueintersequenalarecta
y = 2 3 x:
y = x + 4
y = x –
Lo que aprendimos1. Lasgráicasdelassiguientesexpresionesalgebraicassonlíneasrectas.
Recta R Recta S Recta T Recta U Recta V
y = 1 2 x + 4 y = 2x y = 1
2 x y = 2x + 1 y = –x + 4
a) ¿Quérectaesparalelaalarectay = x + 4?
b) ¿Quérectaesparalelaalarectay = 2x + 1?
Dibujaentucuadernolasgráicasdelasexpresionesanterioresparaveriicartusresul-tados.
2. Encuentradosexpresionescuyasgráicasseanrectasparalelasalagráicadelarectay = 1
2x.
Recta1 y=
Recta2 y=
•
•
•
•
•
97
IIMATEMÁTICAS
MISCELÁNEA DE PROBLEMAS Y ALGO MÁSLo que aprendimos1. Completalasiguientetablaparaencontrarlasexpresionesalgebraicas,laspendientes
ylasordenadasalorigendealgunaslíneasrectas.
Recta expresión Pendiente Ordenada al origen
a y = x + 2
B y = x + 2 -1
c y = x + 2 2
D y = –3x + 2
e y = – 1 2 x + 2
Graicaestasrectasusandocoloresdistintosparacadauna.
y
x
SESIÓN 4
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
98
secuencia 23a) Estasrectasseintersecanenunmismopunto,¿cuálessonlascoordenadasdeeste
punto?( , ).
b) Encuentraotrasdosrectasdistintasqueseintersequenenelmismopunto.Escribe
susexpresionescorrespondientes:
RectaF y=
RectaG y=
c) ¿Cuálde las rectasanteriores tieneelmenorángulode inclinación respectoal
ejex ?
d) ¿Cuálde las rectasanteriores tieneelmayorángulode inclinación respectoal
ejex?
Veriicamidiendoestosdosángulosdeinclinación.
2. Enelsiguienteplanocartesianosegraicaroncincorectasincompletas.
y
x
Recta R
Recta S
Recta T
Recta U
Recta V
99
IIMATEMÁTICAS
a) Completa la siguientetablaparaencontrar lasexpresionesalgebraicasdecadaunadelaslíneasrectasanteriores.
Recta R Recta s Recta T Recta u Recta V
expresión y= y= y= y= y=
Ordenada al origen
Pendiente
b) Encuentralosángulosdeinclinaciónrespectoalejexdecadaunadelasrectasycompletalasiguientetabla.
Recta R Recta s Recta T Recta u Recta V
Ángulo de inclinación
c) ¿QuérectassonparalelasalarectaT?
3. Paraconocermássobrelapendienteylaordenadaalorigendelaslíneasrectaspue-denverelprogramaLas características de la línea recta.
Para saber más
Sobre las rectas y puntos, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: De la Peña, José Antonio. “Rectas y puntos” en Geometría y el mundo. México: SEP/ Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Sobre las rectas paralelas y algunas ilusiones ópticas consulta: http://www.opticas.info/articulos/ilusiones-opticas.php[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].
100
6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x666
9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x999
9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x999
6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x666
9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x999
6x6x6x6x6x6x6x6x69=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x99=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9
6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6
9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9101
6x6x6x6x6x6x6x6x69=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x99=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9
6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6
9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9
BLOQUE 4
102
SECUENCIA 24
En esta secuencia vas a conocer las leyes de los exponentes y vas a utilizar la notación cientíica para resolver problemas.
PRODUCTO DE POTENCIASPara empezarEn la secuencia 26 de tu libro Matemáticas I, volumen II estudiaste que una potencia es la multiplicación de un número por sí mismo varias veces. Por ejemplo: 7 × 7 × 7 × 7 × 7 es la quinta potencia de 7, se escribe 75 y se lee como 7 elevado a la 5 o simplemen-te 7 a la 5. El 7 es la base y el 5 es el exponente.
La segunda potencia de un número también se llama el cuadrado del número o el nú-mero elevado al cuadrado, y la tercera potencia de un número también se dice el cubo del número o el número elevado al cubo.
En esta sesión harás productos de potencias con la misma base.
Consideremos lo siguienteCalculen los resultados de los siguientes productos y respondan las preguntas.
a) 2 × 2 × 2 × 2 =
b) El resultado se puede expresar como una potencia de 2, ¿cuál es el exponente?
2 × 2 × 2 × 2 = 2
c) 23 × 24 = × =
d) El resultado se puede expresar como una potencia de 2, ¿cuál es el exponente?
23 × 24 = 2
e) 25 × 21 = × = = 2
f) 2 = 256
Comparen sus respuestas. Comenten como hicieron para encontrar los exponentes.
SESIÓN 1
Potencias y notación científica
103
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obraI. Escriban cada una de las potencias como multiplicaciones y respondan las preguntas.
a) 23 × 22 = × × × ×
23 × 22
b) ¿Cuántos 2 se están multiplicando en total?
c) 21 × 26 = ×
21 × 26
d) ¿Cuántos 2 se están multiplicando en total?
e) 27 × 23 =
f) ¿Cuántos 2 se están multiplicando en total?
II. Completen la siguiente tabla de multiplicación de potencias de base 2. Escriban todos los resultados utilizando una potencia de esa misma base.
× 21 22 23 24 25
21 26
22 23
23 26
24
25
El resultado del producto de dos potencias de la misma base se puede expresar como otra potencia de esa misma base, ¿cómo podemos encontrar el exponente del resultado?
Comparen sus respuestas. Comenten:
a) La multiplicación 32 × 34 se puede expresar como una potencia de 3, ¿cuál es el ex-
ponente de esta potencia?
b) La multiplicación 47 × 45 se puede expresar como una potencia de 4, ¿cuál es el ex-
ponente de esta potencia?
c) La multiplicación (2a )(2b ) se puede expresar como una potencia de 2, ¿cuál es el ex-
ponente de esta potencia?
104
SECUENCIA 24
A lo que llegamosEn un producto de potencias de la misma base el resultado es igual a la misma base elevada a la suma de los exponentes
(a n )(a m ) = a n+m
Por ejemplo:
27 × 210 = 27+10 = 217
III. Expresen como potencia de la misma base el resultado de los siguientes productos de potencias:
a) 28 × 24 = b) 52 × 59 =
c) 75 × 712 = d) (3a )(3b ) =
e) (n 3 )(n 2 ) = f) (m a )(m b ) =
Lo que aprendimos1. Relaciona las columnas
( ) 3 × 3 × 3 × 3 × 3
( ) 23 × 24
( ) 26
( ) 23 + 24
(a) 14
(b) 64
(c) 53
(d) 24
(e) 47
(f) 35
(g) 48
(h) 27
(i) 12
2. Expresa el resultado de las siguientes operaciones como una potencia:
a) 36 × 33 = b) 52 × 56 = c) 210 × 25 =
d) 81 × 87 = e) (7 × 7 × 7) × (7 × 7) = f) (63) × (6 × 6 × 6) =
g) 213 × 21 = h) 45 × 42 × 46 = i) 31 × 312 × 37 =
105
IIMATEMÁTICAS
POTENCIAS DE POTENCIASPara empezarEn la sesión anterior realizaste productos de potencias de la misma base. En esta sesión harás potencias de potencias.
Consideremos lo siguienteCalcula el resultado de las siguientes potencias de potencia. Todos los resultados se pue-den expresar como una potencia, encuentra cuál es.
OperaciónExpresa el resultado como una potencia de la misma base
(22)3 = = 2
(24)2 = = 2
(52)2 = = 5
(33)2 = = 3
(23)3 = = 2
Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar el exponente con el que expresaron el resultado.
Manos a la obraI. Responde las preguntas.
a) Señala cuál de los tres procedimientos siguientes es correcto para encontrar el resultado de (23)3.
(23)3 = (6)3 = 216.
(23)3 = (2)6 = 64.
(23)3 = (8)3 = 512.
b) El resultado se puede expresar como una potencia de 2, ¿cuál es el exponente?
•
•
•
SESIÓN 2
106
SECUENCIA 24c) Explica dónde está el error en los dos procedimientos que no señalaste.
II. Responde las preguntas.
a) Expresa las siguientes multiplicaciones como una potencia de potencia:
23 × 23 × 23 × 23 = (23)
64 × 64 × 64 × 64 × 64 × 64 × 64 = (64)
b) Desarrolla la siguiente potencia de potencia:
(32)5 = × × × × × × × × ×
32 × 32 × 32 × 32 × 32
c) ¿Cuántos 3 se están multiplicando en total?
d) Desarrolla (53)2
(53)2 = ×
53 × 53
e) ¿Cuántos 5 se están multiplicando en total?
Comparen sus respuestas. Comenten: la potencia de potencia (53)4 se puede expresar como una potencia de base 5, ¿cuál es el exponente?
III. Expresa como potencia el resultado de las siguientes potencias de potencias:
a) (32)7 = b) (56)3 =
c) (27)1 = d) (n 4)8 =
e) (2a )b = f) (m a )b =
El resultado de una potencia de potencia, se puede expresar como otra potencia de esa misma base, ¿cómo podemos encontrar el exponente del resultado?
107
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosEn una potencia de potencia, el resultado es igual a la base elevada al producto de los exponentes.
(a n )m = a nm
Por ejemplo:
(85)3 = 85 × 3 = 815
Lo que aprendimos1. Relaciona las columnas
( ) 52 × 53
( ) 52 + 53
( ) (52)3
(a) 30
(b) 56
(c) 255
(d) 150
(e) 55
(f) 25
(g) 256
2. Expresa el resultado de las siguientes operaciones como una potencia:
a) (36)1 = b) (51)4 =
c) (210)5 = d) (42)6 =
e) (34)2 = f) (27)5 =
g) ((23)2)4 = h) ((32)5)7 =
108
SECUENCIA 24
COCIENTES DE POTENCIASPara empezarEn las sesiones anteriores realizaste productos de potencias de la misma base y potencias de potencias. En esta sesión harás cocientes de potencias de la misma base.
Consideremos lo siguienteEncuentra el resultado de los siguientes cocientes de potencias de la misma base y ex-présalo utilizando una potencia:
OperaciónExpresa el resultado como una
potencia de la misma base
25
22 = 324
= = 2
34
32 = = 3
2
2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
2 × 2 × 2 × 2 = = 2
24
27 = 16128
= = 1
2
3
3 =
3 × 33 × 3 × 3 × 3
= = 1
3
22
28 = = 1
2
Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar el resultado de cada cociente y cómo encontraron los exponentes que faltaban.
Manos a la obraI. Encuentra el resultado de los siguientes cocientes y exprésalo
como una potencia de la misma base.
a) 26
22 = 644
= = 2
b) 34
33 = =
c) 27
23 = =
Recuerda que:
Para simplificar una fracción, se
divide por el mismo número al
numerador y al denominador.
Por ejemplo: 6
24 = =
14
÷ 6
÷ 6
Entonces 624
y 14
son equivalentes.
SESIÓN 3
109
IIMATEMÁTICAS
d) 32
33 = 927
= = 1
3
e) 23
26 = =
f) 32
37 = =
II. En un cociente de potencias, se puede expresar cada potencia como una multiplica-ción y, para simpliicar, se separan los factores:
26
22 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 22 × 2
= 22
× 22
× 2 × 2 × 2 × 2
a) ¿Cuál es el resultado de 22
?
b) Completa las operaciones con el resultado de 22
:
26
22 = 22
× 22
× 2 × 2 × 2 × 2 = × × 2 × 2 × 2 × 2 =
c) El resultado lo podemos expresar como una potencia de 2:
26
22 = 2
d) En el siguiente cociente de potencias, completa los resultados para simpliicar los factores:
23
25 = 2 × 2 × 22 × 2 × 2 × 2 × 2
= 22
× 22
× 22
× 12
× 12
= × × × 12
× 12
=
e) Expresa el resultado utilizando una potencia de 2:
23
25 = 1
2
f) Completa las operaciones y encuentra el resultado:
2
2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
2 × 2 × 2 × 2 × 2 =
g) 27
27 =
III. Expresa el resultado de los siguientes cocientes utilizando una potencia de la misma base.
a) 29
24 =
110
SECUENCIA 24
b) 38
31 =
c) 54
58 =
d) 48
414 =
Comparen sus respuestas. Comenten:
a) ¿Cuál es la relación entre los exponentes del cociente y el exponente del resultado?
b) ¿Cuál es el resultado de 59
59 ?
A lo que llegamos
• En un cociente de potencias de la misma base, cuando el exponente en el numerador es mayor que el exponente en el denominador, el resultado es igual a la misma base elevada a la diferencia de los exponentes.
En general, si n > m.
a n a m=an−m
Por ejemplo:
613
65 = 613−5 = 68
• Cuando el exponente en el numerador es menor que el exponente en el denominador, el resultado es igual a una fracción con numerador igual a uno y con denominador igual a una potencia de la misma base elevada a la diferencia de los exponentes.
En general, si n < m.a n a m =
1
a m−n
Por ejemplo:
7 4 7 12 = 1
712−4 = 178
• Si los dos exponentes son iguales, el resultado es igual a uno.
En general,
a n a n = 1
Por ejemplo:96 96 = 1
111
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimosExpresa el resultado de los siguientes cocientes de potencias. Utiliza una potencia de la misma base.
a) 39
34 = b) 512
53 =
c) 28
21 = d) 43
43 =
e) 62
69 = f) 36
311 =
g) 211
211 = h) 810
821 =
i) m 18
m 9 = j) a 7
a 15
EXPONENTES NEGATIVOSPara empezarEn la sesión anterior encontraste el resultado de cocientes de potencias. En esta sesión trabajarás con exponentes negativos.
Consideremos lo siguienteCompleten los resultados y respondan las preguntas:
26 25 24 23 22 21 20 2−1 2−2 2−3 2−4 2−5 2−6 2−7
4 2 12
14
a) ¿Entre cuánto se divide para pasar del resultado de 24 al resultado de 23?
b) ¿Entre cuánto se divide para pasar del resultado de 22 al resultado de 21?
c) ¿Entre cuánto se divide para pasar del resultado de 2−1 al resultado de 2−2?
d) ¿Entre cuánto se divide para pasar del resultado de 2−2 al resultado de 2−3?
Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar el resultado de 20 y de las potencias con exponente negativo.
SESIÓN 4
112
SECUENCIA 24
Manos a la obraI. Entre dos potencias consecutivas, como las de la tabla, siempre se hace la misma
operación para pasar de una potencia a la siguiente. Completen los resultados.
a) 1
8 =
1
2 = 2−3
b) 1
16 =
1
2 = 2
c) 1
32 =
1
2 = 2
d) 1
64 =
1
2 = 2
II. Completen lo que falta en la tabla y respondan las preguntas:
33 32 31 3−2 3−3 3−4
1 13
a) Los resultados de 132 y de 3−2, ¿son iguales o son diferentes?
b) ¿Cuánto es el resultado de 30?
III. Encuentren los resultados de las siguientes potencias. Exprésalos sin utilizar otra potencia.
a) 50 =
b) 5−2 =
c) 5−4 =
Comparen sus respuestas. Hagan una tabla como las anteriores para veriicar sus resultados.
A lo que llegamos
Una potencia con exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es uno y cuyo denominador es una potencia de la misma base con exponente igual al valor abso-luto del exponente negativo. Si n > 0
a -n = 1a n
Una potencia con exponente cero es igual a uno.
a 0 = 1
113
IIMATEMÁTICAS
IV. Encuentren los exponentes que faltan.
a) 72
76 =
1
7 = 7 b) 8
815 =
1
810 = 8
c) 26
2 =
1
2 = 2–18 d) a 1
a 5 =
1
a = a
e) 38
38 = 1 = 3 f) 4
46 = 1 = 4
g) 610
610 = 6 h)
53
50 = 5
A lo que llegamosEn cualquier cociente de potencias de la misma base, el resultado es igual a una poten-cia de la misma base elevada a la diferencia de los exponentes. En general
a n a m = a n-m
Por ejemplo:
815 89 = 815-9 = 86
67 612 = 67-12 = 6-5
54 54 = 54-4 = 50 = 1
V. Expresen el resultado de cada cociente utilizando una potencia de la misma base.
a) 511
516 = 5 b) 78
719 = 7
c) a 4a 6
= a d) b 15
b 27 = b
e) 211
224 = 2 f) 24
211 = 2
114
SECUENCIA 24
Lo que aprendimos1. Encuentra el resultado de las siguientes potencias. Exprésalos sin utilizar otra potencia.
a) 3−4 = b) 2−8 =
c) 2−1 = d) 9−2 =
e) 5−2 = f) 30 =
g) 150 = h) 4−1 =
2. Relaciona las columnas de manera que los resultados sean los mismos
( ) 22
23 (a) 3−2
( ) 35
37 (b) 3−8
( ) 33
39 (c) 2−4
( ) 27
27 (d) 2−1
( ) 24
28 (e) 3−6
( ) 32
310 (f) 20
( ) 27
29 (g) 2−2
3. Calcula las siguientes potencias de diez, utiliza números decimales cuando sea necesario.
104 103 102 101 100
10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6
115
IIMATEMÁTICAS
NOTACIÓN CIENTÍFICAPara empezarNúmeros muy grandes y muy pequeños
¿Cuál es la masa del Sol? ¿Cuál es el tamaño de un átomo? Para manipular y hacer ope-raciones con cantidades muy grandes o muy pequeñas se utiliza la notación cientíica.
Respondan las preguntas.
a) ¿Cuántos ceros hay después del 1 en 104?
b) ¿Cuántos ceros hay después del 1 en 1029?
c) ¿Cuántas cifras hay después del punto decimal en 10−6?
d) ¿Cuántas cifras hay después del punto decimal en 10−42?
Consideremos lo siguienteLas cantidades muy grandes o muy pequeñas las podemos expresar utilizando po-tencias de 10. Completa la siguiente tabla.
MedidaMedida expresada
utilizando una potencia de diez
Distancia media de la Tierra a la Luna
km 3.8 × 105 km
Distancia media de la Tierra al Sol
150 000 000 km 1.5 × km
Año luz (distancia que recorre la luz en un año)
9 500 000 000 000 km × 1012 km
Tamaño de un bacteria 0.005 mm × 10−3 mm
Tamaño de un virus mm 1.8 × 10–5 mm
Tamaño de un átomo 0.0000000001 mm mm
Comparen sus respuestas. Comenten cómo son los números que multiplican a las potencias de 10 en la tabla.
Recuerda que:
Al multiplicar números decimales, una manera de saber dónde colocar el punto decimal es sumando el número de cifras que hay a la derecha del punto decimal en el primer factor y en el segundo factor, y en el resultado poner esa cantidad de cifras decimales. Por ejemplo: 1.2 × 0.7 = 0.84, ya que 12 × 7 = 84 y hay dos cifras en total a la derecha del punto decimal, en los dos factores.
Cuando hagan falta lugares para poner el punto en el lugar adecuado se completa la cantidad con ceros. Por ejemplo: 2.841 × 0.00005 = 0.00014205, ya que 2 841 × 5 = 14 205 y hay ocho cifras en total a la derecha del punto decimal, en los dos factores.
SESIÓN 5
116
SECUENCIA 24
Manos a la obraI. Realiza las multiplicaciones.
5.153 × 100 =
5.153 × 101 =
5.153 × 102 =
5.153 × 103 =
5.153 × 104 =
5.153 × 1010 =
5.153 × 1015 =
5.153 × 1020 =
Escribe una regla para realizar multiplicaciones cuando uno de los factores es una
potencia de 10 con exponente positivo:
II. Realiza las multiplicaciones.
7.25 × 10–1 = 7.25 × 0.1 = 0.725
7.25 × 10–2 = 7.25 × 0.01 =
117
IIMATEMÁTICAS
7.25 × 10–3 =
7.25 × 10–4 =
7.25 × 10–5 =
7.25 × 10–6 =
7.25 × 10–10 =
7.25 × 10–15 =
7.25 × 10–22 =
7.25 × 10–30 =
Escribe una regla para realizar multiplicaciones cuando uno de los factores es una
potencia de 10 con exponente negativo:
III. Realiza las siguientes multiplicaciones. Utiliza las reglas que escribiste.
a) 1.9164 × 107 =
b) 4.4 × 1018 =
c) 2.57 × 10−8 =
d) 9.23 × 10−21 =
Comparen sus respuestas. Entre todos escriban en el pizarrón una regla para multiplicar números cuando uno de los factores es una potencia de 10.
118
SECUENCIA 24
A lo que llegamos
La notación cientíica es una convención para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Un número está en notación cientíica cuando se expresa de la forma
a × 10n
Donde a es un número mayor que 1 y menor que 10 y n es un número entero.
Por ejemplo, los siguientes números están en notación cientíica:
1.76 × 1015
4.034 × 10–8
Cuando multiplicamos un número por una potencia de 10 con exponente positivo, el punto se recorre hacia la derecha tantos lugares como el valor del exponente. Si es nece-sario, se completa la cantidad con ceros. Por ejemplo:
1.76 × 1015 = 1 760 000 000 000 000
El punto se recorre hacia la derecha 15 lugares
Cuando multiplicamos un número por una potencia de 10 con exponente negativo, el punto se recorre hacia la izquierda tantos lugares como el valor absoluto del exponente: Si es necesario, se completa la cantidad con ceros. Por ejemplo:
4.034 × 10–8 = 0.00000004034
El punto se recorre hacia la izquierda 8 lugares
IV. Responde las preguntas
a) La distancia media de Urano al Sol es aproximadamente de 525 000 000 km. Seña-la cuál de las siguientes expresiones es igual a esta cantidad en notación cientíica.
• 525 × 106 km. • 5.25 × 109 km.
• 5.25 × 108 km. • 525 × 108 km.
119
IIMATEMÁTICAS
b) Una célula mide aproximadamente 0.0003 mm. Señala cuál de las siguientes ex-presiones es igual a esta cantidad en notación cientíica.
• 3 × 10–3 mm.
• 0.3 × 10–3 mm.
• 0.3 × 10–4 mm.
• 3 × 10–4 mm.
V. Relaciona las columnas para que cada número quede expresado en notación cientíica:
( ) 56 712 000 000 000 000 (a) 6.1 × 10–11
( ) 0. 0000000000061 (b) 3.88 × 1022
( ) 388 000 000 000 000 000 000 000 (c) 8.54 × 10–20
( ) 0. 0000000000000000000854 (d) 5.6712 × 1015
(e) 3.88 × 1023
(f) 8.54 × 10–19
(g) 5.6712 × 1017
(h) 6.1 × 10–13
(i) 8.54 × 10–21
(j) 6.1 × 10–12
(k) 5.6712 × 1016
(l) 3.88 × 1024
Comparen sus respuestas.
120
SECUENCIA 24
Lo que aprendimos1. Expresa en notación cientíica los siguientes números.
a) 1 200 000 = b) 73 000 000 000 000 =
c) 37 850 000 = d) 0.0000009 =
e) 0.000000000828 = f) 0.003371 =
2. Señala con una cuáles de los siguientes números están en notación cientíica.
( ) 5.65 × 1023 ( ) 5 650 000 ( ) 56.5 × 10234
( ) 17 × 10–11 ( ) 1.7 × 10–16 ( ) 0.0000000000017
( ) 325.435 × 105 ( ) 0.65 × 1034 ( ) 0.003 × 10–8
3. Completa la siguiente tabla.
MedidaMedida expresada
en notación científica
Masa de la Tierra 5.974 × 1024 kg
Masa del Sol 1 989 100 000 000 000 000 000 000 000 000 kg 1.9891 × kg
Vida media de un muón (partícula similar a un electrón)
0.0000022 s × 10–6 s
Masa de un protón 1.6 × 10–27 kg
4. Expresa en notación cientíica el resultado de las siguientes multiplicaciones:
a) (4 × 105) × (3 × 108) =
b) (1.3 × 104) × (7 × 106) =
c) (8 × 10–4) × (6 × 10–3) =
d) (5 × 108) × (2.1 × 10–2) =
5. Para conocer más sobre el cálculo con exponentes y potencias pueden ver el programa Leyes de los exponentes y notación científica.
121
IIMATEMÁTICAS
Para saber más
Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Potencias, chismes y cadenas”, “Unidades astronó-
micas y microscópicas”, “Numerotes” y ”Un número muy grande” en Una ventana al
infinito. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Tonda Mazón, Juan. “Potencias de diez” y “Notación científica” en La medición y sus
unidades. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
122
SECUENCIA 25
En esta secuencia estudiarás los criterios de congruencia de triángulos.
TRES LADOS IGUALESPara empezarFiguras congruentes
En geometría, a las iguras que son iguales se les llama iguras congruentes. Una forma de veriicar la congruencia entre dos o más iguras geométricas es sobreponiéndolas y ver que coincidan.
Lo anterior signiica que dos polígonos son congruentes si se puede hacer corresponder los lados y los ángulos de uno con los lados y los ángulos del otro, de manera que:
a) Cada lado de uno de los polígonos mida lo mismo que su correspondiente en el otro polígono, y
b) Cada ángulo interno de uno de los polígonos mida lo mismo que su correspondiente en el otro polígono.
Consideremos lo siguienteConstruyan y recorten dos triángulos cuyos lados midan lo mismo que los siguientes segmentos:
SESIÓN 1
Triángulos congruentes
123
IIMATEMÁTICAS
a) ¿Pudieron construir un triángulo cuyos lados midan lo mismo que los tres segmentos
dados? ¿Por qué?
b) ¿Los triángulos que construyeron son congruentes o son diferentes?
c) ¿Cómo son las medidas de los lados de uno de los triángulos respecto a las medidas
de los lados del otro triángulo?
d) ¿Cómo son las medidas de los ángulos de uno de los triángulos respecto a las medidas
de los ángulos del otro triángulo?
e) ¿Creen que se pueda construir un triángulo con la misma medida de lados y que sea
diferente a los que construyeron?
Comparen sus respuestas.
Manos a la obraI. En la siguiente igura, el segmento AB mide 7 cm y el radio de la circunferencia con
centro en A mide 5 cm. Elijan tres puntos de la circunferencia que no sean colineales con A y B, y denótenlos como C1, C2 y C3, respectivamente.
Recuerden que:
Tres puntos son colineales si
pertenecen a una misma recta.
A B
Recuerden que:
Un triángulo se puede denotar por las letras asignadas a sus tres vértices. Así el triángulo
O
PQ
se denota como el triángulo OPQ.
124
SECUENCIA 25
a) Tracen el triángulo ABC1, ¿cuánto mide el lado BC1?
b) Tracen el triángulo ABC2, ¿cuánto mide el lado BC2?
c) Tracen el triángulo ABC3, ¿cuánto mide el lado BC3?
Comparen sus respuestas. Comenten:
a) ¿Cómo son los triángulos entre sí: congruentes o distintos?
b) ¿Pueden construir más triángulos que tengan un lado de 7 cm de largo y otro de 5 cm y que sean diferentes entre sí? Constrúyanlos.
II. En la siguiente igura el segmento O1O2 mide lo mismo que el segmento MN. El radio del círculo con centro O1 mide lo mismo que el segmento SP. Y el radio del círculo con centro en O2 mide lo mismo que el segmento QR.
M
N
SP
Q R
O1 O2
Figura 1
Construyan dos triángulos cuyos lados midan lo mismo que de los segmentos MN, OP y QR. Usen al segmento O1,O2 como uno de los lados.
a) ¿Lograron elegir dos puntos que cumplieran con las condiciones pedidas? Justiiquen su respuesta
b) Midan los ángulos internos de los triángulos que construyeron y contesten, ¿cómo
son entre sí las medidas de los dos triángulos?
Comparen sus respuestas. Midan los ángulos de los triángulos y veriiquen sus respuestas. Comenten: ¿podrán construir algún triángulo cuyos lados midan lo mismo que los segmentos MN, OP y QR pero las medidas de sus ángulos distintos sean distintas a las de los triángulos que construyeron?
A lo que llegamosDadas las medidas de los tres lados, todos los triángulos que se pueden construir con esas medidas son congruentes entre sí.
Si se toman solamente las medidas de dos lados, se puede construir muchos triángulos diferentes entre sí que tengan dos lados con esas longitudes.
125
IIMATEMÁTICAS
III. Las medidas de los lados del triángulo ABC son iguales a las medidas de los lados del triángulo DEF.
Marquen del mismo color las parejas de lados que tienen la misma medida.
Marquen del mismo color las parejas de ángulos iguales.
A
BC
D
E
F
a) ¿Son congruentes los triángulos ABC y DEF?
Completen las siguientes airmaciones para que sean verdaderas:
b) El lado AB es el correspondiente del lado
c) El lado BC es el correspondiente del lado
d) El lado CA es el correspondiente del lado
e) El ángulo ABC es el correspondiente del ángulo
f) El ángulo BCA es el correspondiente del ángulo
g) El ángulo CAB es el correspondiente del ángulo
A lo que llegamosPara que dos triángulos sean congruentes es suiciente que las medi-das de los tres lados de un triángulo sean iguales a las medidas de los tres lados correspondientes de otro triángulo.
Éste es un criterio de congruencia de triángulos que se denota por LLL.
126
SECUENCIA 25
Lo que aprendimosJustiica si en cada igura los triángulos resaltados son congruentes entre sí.
Paralelogramo Pentágono regular Papalote Heptágono irregular
UN ÁNGULO Y DOS LADOS CORRESPONDIENTES IGUALESPara empezarEn la sesión anterior aprendiste el criterio de congruencia LLL: dos triángulos son con-gruentes si las medidas de los tres lados de uno son iguales a las medidas de los tres lados correspondientes del otro. Para denotar que dos triángulos son congruentes se utiliza el símbolo . Y se escribe: OAB OCD. Y se lee: el triángulo OAB es congruente con el triángulo OCD.
Consideremos lo siguienteConstruyan dos triángulos de tal manera que dos lados de cada triángulo midan lo mis-mo que los segmentos dados y que el ángulo formado por esos dos lados mida 45°.
R S
U V
a) ¿Los triángulos que construyeron son congruentes o son diferentes?
b) ¿Creen que se pueda construir un triángulo distinto a los que constuyeron de tal manera que dos de sus lados midan lo mismo que los segmentos dados y que el án-gulo formado por esos lados mida lo mismo que el ángulo dado? Justiiquen su respuesta
Comparen y comenten sus respuestas.
SESIÓN 2
127
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obraI. Anoten las medidas de los lados y ángulos de los siguientes triángulos.
Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3 Triángulo 4
a) ¿Cuáles triángulos son congruentes entre sí?
b) ¿Qué tienen en común los cuatro triángulos?
A lo que llegamosSi dos lados de un triángulo miden lo mismo que sus correspondien-tes dos lados de otro triángulo, no podemos garantizar que los trián-gulos sean congruentes.
II. Los siguientes triángulos tienen un lado que mide 7 cm, otro lado de 4 cm y un án-gulo de 45º. En cada triángulo marquen de rojo el lado que mide 7 cm, de negro el que mide 4 cm y de azul el ángulo de 45°.
a) ¿Cuánto mide el tercer lado en cada triángulo?
b) ¿Hay alguna pareja de triángulos congruentes? ¿Cuál?
c) ¿El triángulo A es congruente con el triángulo C? Justiica
tu respuesta
Triángulo A
Triángulo BTriángulo C
128
SECUENCIA 25
A lo que llegamosSi dos triángulos tienen dos lados correspondientes con la misma medida y un ángulo igual, no necesariamente son congruentes.
III. El siguiente triángulo tiene un lado de 5 cm, otro lado de 3 cm y el ángulo formado por esos dos lados mide 45º.
a) Marquen los lados que miden 5 cm y 3 cm y el ángulo entre ellos.
b) ¿Cuánto mide su tercer lado?
c) ¿Cuánto miden sus otros dos ángulos? y
d) ¿Los triángulos que construyeron en el apartado Consideremos lo
siguiente son congruentes con éste?
A lo que llegamosSi dos triángulos tienen dos lados correspondientes iguales y el ángu-lo entre ellos es igual al ángulo entre los correspondientes, entonces los triángulos son congruentes.
Éste es un segundo criterio de congruencia de triángulos que se deno-ta por LAL.
Lo que aprendimosConstruyan un triángulo isósceles y tracen la bisectriz de uno de sus ángulos.
a) ¿En cuántos triángulos quedó dividido el triángulo isósceles?
b) ¿Cómo son esos triángulos entre sí?
Justiiquen su respuesta
c) ¿Pasará lo mismo si trazan cualquiera de las otras dos bisectrices? ¿Por
qué?
129
IIMATEMÁTICAS
UN LADO Y DOS ÁNGULOS CORRESPONDIENTES IGUALESPara empezarEn las primeras dos sesiones aprendiste dos criterios para garantizar la congruencia de trián-gulos. En el primero, LLL, basta con garantizar la igualdad de las medidas de los tres lados de un triángulo con las medidas de sus correspondientes lados en el otro triángulo. En el segundo, LAL, es suiciente garantizar la igualdad entre dos lados de un triángulo y el án-gulo que forman entre ellos y sus correspondientes lados y ángulo que forman entre ellos.
Comenten: ¿creen que existan más criterios de congruencia de triángulos?
Consideremos lo siguienteLean las siguientes airmaciones y escriban si son falsas o verdaderas.
a) Si dos ángulos de un triángulo son iguales a sus correspondientes de otro triángulo,
entonces los triángulos son congruentes.
b) Si los tres ángulos de un triángulo miden lo mismo que los tres ángulos de otro trián-
gulo, entonces los triángulos son congruentes.
c) Si dos ángulos de un triángulo y el lado comprendido entre ellos miden lo mismo que sus correspondientes en otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Comparen y justiiquen sus respuestas.
Manos a la obraI. Cada uno de los integrantes del equipo construya un triángulo de tal manera que dos
de sus ángulos midan 60° y 90°, respectivamente. Comparen los triángulos que cons-truyeron y contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto mide el tercer ángulo en cada uno de los triángulos que trazaron?
b) ¿Cuánto miden los lados en cada uno de los triángulos que trazaron?
Comparen sus respuestas. Comenten: ¿pueden construir más triángulos que cumplan con las condiciones pedidas y que sean diferentes a los que ya tienen? ¿Por qué?
SESIÓN 3
130
SECUENCIA 25
En un triángulo, el lado
común a dos ángulos
es el lado que forma
parte de los dos ángulos.
II. En cada triángulo, anoten las medidas de los ángulos internos y de los lados.
a) ¿Las medidas de los ángulos internos
del triángulo A1B1C1 son iguales a las
medidas de los ángulos internos del
triángulo A2B2C2 ? y ¿son
iguales a las medidas de los ángulos in-
ternos del triángulo A3B3C3 ?
b) ¿Cuánto miden los lados A1C1 , A2B2 ,
B3C3?
c) ¿Son congruentes los triángulos entre
sí? Justiiquen su respuesta
A lo que llegamos
A1 B1
C1
A2 B2
C2
A3 B3
C3
Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales y el lado común a los ángulos mide lo mismo en ambos triángulos, entonces podemos asegurar que los triángu-los son congruentes. Éste es el tercer criterio de congruencia de triángulos que se denota por ALA. Y no es necesario probar la igualdad del tercer ángulo y de los otros dos lados.
• Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales, no se puede garantizar que sean congruentes.
• Si dos triángulos tienen sus tres ángulos correspondientes iguales, no se puede garan-tizar que sean congruentes.
III. Cada integrante del equipo construya un triángulo de manera que dos de sus ángulos midan 70° y 40°, respectivamente, y que el lado común a los dos ángulos mida 5 cm.
a) ¿Cómo son entre si los triángulos que construyeron, congruentes o
diferentes?
b) ¿Pueden construir dos triángulos diferentes y que cumplan con las
condiciones pedidas?
c) ¿Cuánto mide el tercer ángulo en cada uno de los triángulos que
trazaron?
Comparen sus soluciones. Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y veriiquen sus respuestas.
A lo que llegamos
131
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimos1. De los siguientes triángulos, encierra el que sea congruente con el triángulo verde.
100º
50º
2 cm
100º
50º
2 cm2 cm50º
100º 100º
50º
2 cm
A
B C
SR
Recuerda que:
La bisectriz de un ángulo es una
recta que divide al ángulo en dos
ángulos iguales.
2. En el siguiente triángulo isósceles se trazaron las bisectrices de los ángulos iguales ABC y ACB respectivamente.
¿Son congruentes los triángulos ABS y ACR?
Justiica tu respuesta.
3. Para conocer algunas aplicaciones de la congruencia de triángulos en la solución de problemas pueden ver el programa La congruencia en los polígonos.
Para saber más
Sobre congruencia de triángulos, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. “Aire de familia” en Crónicas geométricas.
México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
2 cm50º
90º
132
SECUENCIA 26
En esta secuencia explorarás las propiedades de las mediatrices, alturas, medianas y bisectrices en un triángulo.
MEDIATRICESPara empezarEn la secuencia 12 de tu libro Matemáticas I, volumen I, aprendiste que la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Los puntos que están sobre la mediatriz equidistan de los extremos del segmento.
Utiliza regla y compás para trazar la mediatriz del siguiente segmento sin medirlo.
Consideremos lo siguienteTraza una circunferencia que pase por los tres vértices del triángulo.
SESIÓN 1
Puntos y rectas notables del triángulo
133
IIMATEMÁTICAS
Comparen sus trazos y comenten las estrategias que utilizaron para trazar la circunfe-rencia.
Manos a la obraI. En el siguiente triángulo se trazaron las mediatrices de los lados FD y DE . El punto Q
es la intersección de estas mediatrices.
D
F E
Q
a) ¿Cómo son entre sí las distancias del punto D al Q y el punto F al Q?
b) ¿Cómo son entre sí las distancias del punto D al Q y el punto E al Q?
Justiiquen sus respuestas.
c) ¿Consideran que la mediatriz del lado FE pasará por el punto Q?
¿Por qué?
Las tres mediatrices de un triángulo pasan por un mismo punto. Ese punto se llama circuncentro del triángulo.
134
SECUENCIA 26II. Tracen en cada uno de los siguientes triángulos sus mediatrices:
a) Completen con SÍ o NO la siguiente tabla:
Tipo de triánguloEl circuncentro
queda dentro del triángulo
El circuncentro queda fuera del triángulo
El circuncentro queda en un lado
del triángulo
Las mediatrices pasan por los vértices del triángulo
Obtusángulo
Acutángulo
Equiángulo
Rectángulo
Comparen y comenten sus respuestas.
A
B
C
Obtusángulo
L
M
N
Acutángulo
Q
O
P
Equiángulo
R
ST
Rectángulo
135
IIMATEMÁTICAS
III. En el triángulo ABC tracen un círculo que tenga como centro el punto P y como radio la distancia que hay del punto P al vértice A.
A
B
C
P
Éste círculo pasa también por B y por C, ¿a qué creen que se deba?
Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y veriiquen sus resultados.
A lo que llegamosEl circuncentro de un triángulo equidista de sus vértices y es el centro del círculo que pasa por sus tres vértices. A este círculo se llama circuncírculo del triángulo.
El circuncentro de un triángulo puede quedar dentro del triángulo, en él o fuera de él, según que éste sea acután-gulo, rectángulo u obtusángulo.
F
G
ECircuncírculo
Circuncentro
Mediatriz
O
Mediatriz
Mediatriz
136
SECUENCIA 26
Lo que aprendimos1. Traza dos triángulos que tengan el mismo circuncentro.
2. Traza las mediatrices de un triángulo acutángulo y las mediatrices de un triángulo
obtusángulo. ¿Los circuncentros quedan dentro o fuera de los triángulos?
3. Traza el circuncírculo de un triángulo rectángulo. ¿En qué parte del triángulo quedó
ubicado el circuncentro?
ALTURASPara empezarUna altura en un triángulo es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a la prolongación de éste.
90
Consideremos lo siguienteEn el patio de la escuela se quiere pintar una mariposa como la que se muestra en el dibujo.
7 cm
5 cm
3 cm
SESIÓN 2
137
IIMATEMÁTICAS
Para saber cuántos litros de pintura se tienen que comprar hay que calcular el área de las alas de la mariposa. Ayúdales a calcular el área de las alas.
a) El área de una de las alas de la mariposa es
b) El área de las alas de la mariposa es
Comenten los procedimientos que utilizaron para calcular el área de las alas de la mariposa.
Manos a la obraI. La siguiente ilustración muestra una de las alas de la mariposa. Tracen su altura to-
mando el lado V1V3 como base.
V1
V3 V2
a) ¿Pudieron trazar la altura? ¿Cómo lo hicieron?
b) Si toman el lado V2V3 como base, ¿se puede trazar su altura?
¿Cómo lo harían?
Comparen sus respuestas y comenten por qué el segmento AD no es altura del trián-gulo ABC.
B
D
C
A
138
SECUENCIA 26II. En los siguientes triángulos se trazaron las rectas determinadas por dos de sus alturas.
Tracen la recta determinada por la tercera altura en cada triángulo.
Triánguloobtusángulo
O
P Q
H'
E
D
F
H
Triánguloacutángulo
Comparen sus respuestas y comenten:
a) ¿La recta determinada por la altura desde el vértice Q pasa por el punto H’?
b) ¿La recta determinada por la altura desde el vértice F pasa por el punto H?
III. Tracen las tres alturas del triángulo UVW.
V
U W
¿Cuál es el punto por el que pasan las tres rectas determinadas por las alturas del
triángulo?
Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y calculen el área de un ala de la mariposa tomando como base uno de los lados del triángulo.
139
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosUn triángulo tienen tres alturas, una por cada lado.
Las tres rectas determinadas por las alturas de un triángulo pasan por un mismo punto. A ese punto se le llama ortocentro del triángulo. En un triángulo obtusángulo, el orto-centro queda fuera del triángulo; en un triángulo acutángulo, el ortocentro queda dentro del triángulo y en un triángulo rectángulo, el ortocentro es uno de sus vértices.
Lo que aprendimos1. En el diagrama se muestran los triángulos: AC1B, AC3B, AC4B y AC6B. ¿Cuál de ellos
tiene mayor área? ¿Por qué?
C1
A B
C3 C4 C6
2. Encierra el triángulo en el que la recta trazada sea una de las tres alturas del triángulo.
140
SECUENCIA 263. Localiza el ortocentro de los siguientes triángulos.
MEDIANASPara empezarUn malabarista realiza un acto de equilibrio con platos circulares. Usa tres varillas para equilibrar los tres pla-tos por el centro. Y camina por una cuerda tensa.
Consideremos lo siguienteUn malabarista realiza con mucho éxito un espectáculo de equilibrio con platos circulares. Ahora ha decidido mostrar a su público algo diferente. Pidió a un alfarero fabricar platos triangulares. El alfarero trabajó en el pedido y le presentó al malabarista los siguientes modelos:
SESIÓN 3
Modelo EModelo I
Modelo A
Modelo R
Modelo O
141
IIMATEMÁTICAS
Cuando el malabarista vio los platos le dijo al alfarero que sólo uno de ellos serviría para su espectáculo de equilibrio. El alfarero le contestó que todos los platos le servirían.
Recorten los triángulos del anexo Recortables 3. Platos triangulares, elijan uno y tra-ten de equilibrarlo sobre la punta de un lápiz. Contesten:
¿Con quién están de acuerdo, con el malabarista o con el alfarero?
¿Por qué?
Comparen y justiiquen sus respuestas.
Manos a la obraI. En los siguientes triángulos tomen como base los lados TS y BC, respectivamente.
Midan y tracen lo que consideren necesario en cada triángulo y completen la siguien-te tabla.
R
T D S
A
B M C
¿Cuánto mide?Triángulo verde Triángulo morado
Triángulo RTD Triángulo RDS Triángulo ABM Triángulo AMC
Base
Altura
Área
A partir de la tabla contesten las siguientes preguntas.
a) ¿Cómo son entre sí las áreas de los triángulos RTD y RDS?
c) ¿Cómo son entre sí las áreas de los triángulos ABM y AMC?
c) ¿Cuál de las dos rectas dividió al triángulo correspondiente en dos triángulos de
igual área, la determinada por R y D o la determinada por A y M?
142
SECUENCIA 26Comparen sus respuestas y comenten: ¿pueden trazar otras rectas que dividan a cada triángulo en dos triángulos de igual área?
En un triángulo, a los segmentos que van de un vértice al punto me-dio del lado opuesto se les llama medianas del triángulo. Una media-na divide al triángulo en dos triángulos de igual área.
II. Tracen la mediana que falta en los siguientes triángulos:
a) ¿La mediana que trazaron en el triángulo rosa pasa por el punto X?
b) ¿La mediana que trazaron en el triángulo azul pasa por el punto Y?
c) ¿La mediana que trazaron en el triángulo verde pasa por el punto Z?
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto; a ese punto se le llama baricentro o centro de gravedad.
Ñ
M
N
X
O
Y
Q
P
D
F
E
Z
143
IIMATEMÁTICAS
III. Tracen las medianas del siguiente triángulo y llamen G al punto en el que se cortan.
D
F
E
a) ¿Cuánto mide el área de cada uno de los 6 triángulos en los que quedó dividido el
triángulo DEF?
A lo que llegamosLas medianas de un triángulo lo dividen en 6 triángulos que tienen la misma área. Por esto el triángulo se equilibra cuando coincide el baricentro con la punta del lápiz. Esta característica le da al baricen-tro el nombre de gravicentro o centro de masa.
Retomen el ejercicio del apartado Consideremos lo siguiente. Determinen los baricentros de los triángulos que recortaron (anexo Recortables 3. Platos triangulares) y equili-bren los triángulos por el baricentro.
Lo que aprendimos1. Traza las medianas de los siguientes triángulos:
2. Dibuja dos triángulos que tengan el mismo baricentro.
144
SECUENCIA 26
BISECTRICESPara empezarRespondan y comenten las siguientes preguntas:
a) ¿Qué es un ángulo?
b) ¿Qué es la bisectriz de un ángulo?
Los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de los lados del ángulo.
M
N
L
P
P es un punto de la bisectriz del ángulo LMN. Comprueben que P esté a la misma dis-tancia del lado LM que del lado MN.
Consideremos lo siguienteEncuentren un punto que esté a la misma distancia de los tres lados del triángulo.
A
C
B
Marquen con rojo el punto que encontraron.
Comenten los procedimientos que siguieron para encontrar al punto.
SESIÓN 4
Recuerden que:
La distancia de un punto a una
recta se mide por el segmento
perpendicular que va del punto
a la recta.
145
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obraI. Tracen las mediatrices y las medianas del siguiente triángulo.
A
C
B
a) ¿El punto determinado por las mediatrices del triángulo equidista de sus lados?
b) ¿El punto determinado por las medianas del triángulo equidista de sus lados?
II. En los siguientes triángulos se trazaron las bisectrices de dos de sus ángulos y los puntos en los que esas bisectrices se cortan. Tracen en cada triángulo la bisectriz del tercer ángulo.
a) b)
G E
F
O
M
L N
P
146
SECUENCIA 26
c) d)
W X
Y
R
A
B C
Q
a) ¿La bisectriz del ángulo GFE pasa por el punto O?
b) ¿La bisectriz del ángulo LNM pasa por el punto P?
c) ¿La bisectriz del ángulo XWY pasa por el punto R?
d) ¿La bisectriz del ángulo BAC pasa por el punto Q?
III. En el siguiente triángulo se trazaron dos de sus bisectrices, el punto I y las perpendi-culares del punto I a los lados del triángulo.
A E C
D
F
B
I
Respondan con falso o verdadero a los siguientes enunciados:
a) El punto I equidista de los lados AC y AB.
b) El punto I equidista de los lados CA y CB.
c) La distancia IF es mayor que la distancia ID.
d) Tracen la semirrecta BI, esta semirrecta es la bisectriz del ángulo CBA.
Comenten y justiiquen sus respuestas.
147
IIMATEMÁTICAS
IV. En el siguiente triángulo se trazaron sus tres bisectrices y las perpendiculares del punto I a los lados del triángulo.
A
E
CD
B
F
I
Tracen un círculo con centro en I y radio IE.
Comparen sus trazos y comenten:
a) ¿El círculo pasa también por los puntos D y F?
b) ¿El círculo toca al lado BC en un punto distinto a D?
c) ¿El círculo toca al lado CA en un punto distinto a E?
d) ¿El círculo toca al lado AB en un punto distinto a F?
Realicen el mismo ejercicio con cada uno de los triángulos de la actividad II.
Al círculo que está dentro del triángulo y que sólo toca a sus tres lados en tres puntos, uno por cada lado, se le llama incírculo o círculo inscrito en el triángulo.
Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y veriiquen sus trazos.
A lo que llegamosLos triángulos tienen tres bisectrices, una por cada uno de sus ángulos internos.
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de los tres lados del triángulo. A ese punto se le llama incentro ya que es el centro de un círculo inscrito en el triángulo. B D C
E
A
FIncírculo
Incentro
I
Bisectriz
Bisectriz
Bisectriz
148
SECUENCIA 26
Lo que aprendimos
Puntos y rectas notables del triángulo
Ahora conoces las propiedades de mediatrices, alturas, medianas y bisectrices en el triángulo. Explica cómo cambian las posiciones de sus puntos de intersección depen-diendo en qué triángulos sean trazados.
1. Dibuja las bisectrices de un triángulo isósceles.
2. Dibuja el incírculo de un triángulo equilátero.
3. Dibuja las bisectrices de un triángulo rectángulo.
4. Dibuja el incírculo de un triángulo obtusángulo.
5. En los siguientes triángulos determina cuáles son las rectas notables que se trazaron.
149
IIMATEMÁTICAS
6. En los siguientes triángulos traza todas sus rectas notables y remarca sus puntos notables.
7. Para conocer algunas aplicaciones de las propiedades de los puntos y las rectas notables de los triángulos en la solución de problemas pueden ver el programa Puntos y rectas en el triángulo.
Para saber más
Sobre los puntos y rectas notables del triángulo, consulta en las Bibliotecas Escolares
y de Aula:
Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. “La recta de Euler” en Crónicas geométricas.
México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
150
SECUENCIA 27
En está secuencia aprenderás a distinguir cuando dos o más eventos son independientes en una situación de azar.
¿CUÁLES SON LOS EVENTOS INDEPENDIENTES?Para empezar¿Cuándo dos eventos son independientes?
Tal vez cuando juegas a lanzar un dado y cae varias veces seguidas un mismo valor, por ejemplo el número 6, has escuchado decir a alguna persona que si lanzas de nuevo el dado, lo más probable es que caiga cualquier otro número entre 1 y 5. Otros dirán que volverá a caer 6. ¿Será cierto esto? ¿Acaso el dado tiene memoria y recuerda el último resultado?
Consideremos lo siguienteSi se realiza el experimento:
Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, y observar la figura y el número de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado.
a) ¿Cuáles de los siguientes resultados corresponden al experimento anterior? Már-quenlos con una .
SESIÓN 1
Eventos independientes
b) ¿Cuántos resultados posibles hay en este experimento?
151
IIMATEMÁTICAS
c) ¿Qué tienen en común los siguientes pares de resultados que se obtienen al lanzar la moneda y el dado? Anótenlo sobre la línea de la derecha.
y
y
Al lanzar al mismo tiempo la moneda y el dado, tres eventos que se pueden observar son:
A: “en la moneda cae águila”.
B: “en el dado cae 1”.
C: “en la moneda cae águila y en el dado cae 1”.
a) Si al realizar una vez el experimento en la moneda cae águila y en el dado cae 2,
¿a cuál de los tres eventos es favorable este resultado?
b) ¿Cuál es un resultado favorable al even-
to B?
c) ¿Cuántos resultados son favorables al
evento C: “en la moneda cae águila y en
el dado cae 1”?
d) ¿Cuál es la probabilidad del evento C?
e) En el experimento de lanzar al mismo tiempo la moneda y el dado, consideran que
si en la moneda cae águila afecta el resultado que cae en el dado. ¿Por qué?
Manos a la obraI. Completen el siguiente diagrama de árbol que corresponde a todos los resultados
posibles del experimento: lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo.
Recuerden que:
Para obtener la probabilidad clásica de un evento
se requiere conocer el número total de resultados
posibles que se pueden obtener en el experimento
y el número de resultados favorables del evento.
P(E) = número de resultados favorables del evento
número total de resultados posibles
152
SECUENCIA 27
a) En total para este experimento, ¿cuántos resultados posi-
bles hay?
b) ¿En cuántos de esos resultados posibles en la moneda cae
águila? Marquénlos con color rojo en el diagrama
c) En este experimento, ¿cuál es la probabilidad del evento
A: “en la moneda cae águila”?
P(A) = número de resultados favorables del evento número total de resultados posibles
=
Recuerden que:
Todos los resultados sencillos posibles de un experimento forman el espacio muestral o espacio de resultados y se puede presentar en forma de diagrama de árbol o arreglo rectangular.
Cuando se considera alguno o algunos de los resultados posibles se define un evento.Por ejemplo, si se lanza un dado en el que todas sus caras tienen la misma probabilidad de caer y se observa el número que cae en la cara superior, dos eventos que se pueden definir son: “cae 4” y “cae un número par”.
Los resultados favorables de cada evento, respectivamente, son: {4} y {2,4,6}.Cuando se combinan dos eventos como los anteriores, al nuevo evento se le llama evento compuesto. Por ejemplo, el evento: “cae 4 y es un número par”.
Moneda Dado
Águila
Sol
Águila, 1
Sol, 1
1
2
3
1
2
3
d) ¿En cuántos de los resultados posibles en el dado cae 1? Márquenlos con color
azul en el diagrama
e) ¿Cuál es la probabilidad del evento B: “en el dado cae 1”?
P(B) = número de resultados favorables del evento número total de resultados posibles
=
f) ¿En cuántos de los resultados posibles la moneda cae en águila y el dado en 1, es
decir, caen águila y 1, al mismo tiempo?
Resultados posibles
Lanzar una moneda y
un dado al mismo tiempo
153
IIMATEMÁTICAS
g) ¿Cuál es la probabilidad del evento C: “en la moneda cae águila y en el dado cae 1”?
P(C) =
h) Multipliquen las probabilidades de los eventos: “en la moneda cae águila” y “en el dado cae 1”.
P(A) × P(B)= × =
i) Comparen el valor de la probabilidad del evento C: “en la moneda cae águila y en el dado cae 1” con el producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso anterior. ¿Son iguales o diferentes?
P(en la moneda cae águila y en el dado cae 1) P(en la moneda cae águila) ×
P(en el dado cae 1) = P(C) P(A) × P(B)
A lo que llegamosSe dice que dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno de los eventos no afecta al valor de la probabilidad de ocurrencia del otro. Por lo que, la probabilidad de que los dos eventos ocurran simultáneamente es igual al producto de la probabilidad de un evento por la del otro.
Comparen sus resultados.
De acuerdo con lo que leyeron en el apartado A lo que llegamos, ¿son independientes los
eventos: “en la moneda cae águila” y “en el dado cae 1”?
II. Nuevamente, consideren el experimento:
Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, y. observar la figura y el número de
las caras superiores que caen en la moneda y en el dado.
También, utilicen el diagrama de árbol que completaron en la actividad anterior y contesten las siguientes preguntas:
Uno de los eventos que se puede considerar al realizar el experimento, es: “en la mo-neda no cae águila”.
a) ¿Cuáles son todos los resultados favorables a este evento?
b) ¿Qué tienen en común todos esos resultados que anotaron?
c) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “en la moneda no cae águila”?
P(en la moneda no cae águila) = número de resultados favorables del evento número total de resultados posibles
=
154
SECUENCIA 27d) Si reúnen los resultados favorables de los eventos: “en la moneda cae águila” y “en
la moneda no cae águila”, en total, ¿cuántos resultados tienen?
e) Sumen las probabilidades de los eventos: “en la moneda cae águila” y “en la mo-
neda no cae águila”.
P(en la moneda cae águila) + P(en la moneda no cae águila)= + =
Otro evento que también pueden observar al realizar el experimento, es
“en el dado cae un número diferente de 1”
f) ¿Cuáles y cuántos son todos los resultados favorables a este evento?
g) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “en el dado cae un número diferente de 1”?
P(en el dado cae un número diferente de 1) = número de resultados favorables del evento número total de resultados posibles
=
h) Si reúnen los resultados favorables de los eventos: “en el dado cae 1” y “en el dado
cae un número diferente de 1”, en total, ¿cuántos resultados tienen?
i) Sumen las probabilidades de los eventos: “en el dado cae 1” y “en el dado cae un
número diferente de 1”.
P(en el dado cae 1) + P(en el dado cae un número diferente de 1)= + =
A lo que llegamosEn el caso del experimento:
Lanzar al mismo tiempo una moneda y un dado y observar la igura y el número de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado.
Se dice que el evento “en el dado cae un número diferente de 1” es complemento del evento “en el dado cae 1”, porque todos los resul-tados favorables del primer evento son diferentes a los resultados favorables del segundo evento y al reunirlos forman el espacio mues-tral del experimento.
Por ejemplo: Al realizar una prueba, “fracaso” es el complemento del evento “éxito”; en el lanzamiento de una moneda, “caer águila” es el complemento de “caer sol”; en 10 lanzamientos de una moneda, “al menos una águila” es el complemento de “ninguna águila”.
Todo evento tiene un evento complementario y la suma de sus proba-bilidades es igual a 1.
155
IIMATEMÁTICAS
III. En la actividad I del apartado Manos a la obra de esta sesión, dos eventos que se observaron fueron:
“En la moneda cae águila” y “en el dado cae 1”.
Y encontraron que son eventos independientes.
En la actividad II del apartado Manos a la obra de esta sesión, trabajaron con los complementos de estos dos eventos:
“En la moneda no cae águila” y “en el dado no cae 1”.
a) ¿Creen que estos nuevos eventos son independientes?
¿Por qué?
El evento “en la moneda no cae águila es equivalente a “en la moneda cae sol” y el even-
to “en el dado no cae 1” es equivalente a “en el dado cae un número diferente que 1”.
b) ¿Cuál es el producto de la probabilidad del evento: “en la moneda cae sol” y del
evento: “en el dado cae un número diferente de 1”?
P(en la moneda cae sol) × P(en el dado cae número diferente de 1) = × =
c) Comparen la probabilidad del evento “en la moneda cae sol y en el dado cae un número diferente de 1” con el producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso b).
P(en la moneda cae sol y en el dado cae un número diferente de 1) P(en la moneda cae sol)
× P(en el dado cae un número diferente de 1)
¿Son iguales o diferentes?
d) ¿Son independientes los eventos: “en la moneda cae sol” y “en el dado cae un
número diferente de 1”?
Lo que aprendimos1. Considera el experimento y el diagrama de árbol que completaste en la sesión 1 de
esta secuencia para contestar las siguientes preguntas.
Experimento: Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, observar la figura y
el número de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado.
Si ahora consideras los eventos:
“En la moneda cae sol”.
“En el dado cae 1”.
“En la moneda cae sol y en el dado cae 1”.
156
SECUENCIA 27
SESIÓN 2
a) ¿Son independientes los eventos: “en la moneda cae sol” y “en el dado cae 1”?
¿Por qué?
Si los eventos a considerar son:
“En la moneda cae águila”.
“En el dado cae un número diferente de 1”.
b) ¿Son independientes los eventos: “en la moneda cae águila” y “en el dado cae un
número diferente de 1”? ¿Por qué?
DOS O MÁS EVENTOS INDEPENDIENTESConsideremos lo siguienteRealicen el siguiente experimento y contesten las preguntas que se plantean.
Lancen al mismo tiempo dos monedas al aire y observen el resultado.
Anoten el resultado que obtuvieron en el siguiente recuadro:
Moneda 1 Moneda 2
Comparen sus resultados con sus compañeros.
a) Escriban en la siguiente tabla los resultados diferentes que obtuvieron:
Moneda 1 Moneda 2
Si deinimos los eventos:
A: “Cae sol en la primera moneda”.
B: “Cae sol en la segunda moneda”.
C: “Cae sol en ambas monedas”.
Recuerden que:
En el experimento de lanzar dos
monedas al aire y observar el
resultado, se están considerando
dos monedas en las que sus caras
tienen la misma probabilidad de
ocurrir, es decir, son equiprobables.
En general, cuando en un
experimento de azar ocurre lo
anterior, se dice que las monedas
son no trucadas o legales.
157
IIMATEMÁTICAS
b) ¿Consideran que si cae sol en la primera moneda, este resultado afecta la ocurren-
cia o no ocurrencia del resultado de la segunda moneda?
¿Por qué?
Manos a la obraI. Completen el siguiente diagrama de árbol con los resultados diferentes que pueden
obtenerse al lanzar dos monedas al aire.
a) En total, ¿cuántos resultados posibles hay?
b) Si en la primera moneda cae sol, ¿qué resultados pue-
den caer en la segunda moneda?
c) ¿Cuántos resultados favorables hay para el evento: “cae
sol en la primera moneda”?
d) Si en la segunda moneda cae águila, ¿qué resultados
pueden caer en la primera moneda?
e) ¿Cuántos resultados favorables hay para el evento: “cae
sol en la segunda moneda”?
f) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “caer sol en la primera moneda”?
P(caer sol en la primera moneda) =
g) ¿Cuál es la probabilidad de “caer sol en la segunda moneda”?
P(caer sol en la segunda moneda) =
Águila
A
12
Sol
S
Lanzar dos monedas
ÁguilaA
12
Águila
A
(A,A)
Moneda 1 Moneda 2 Resultados posibles
Recuerden que:
Dos eventos son independientes si la
ocurrencia de uno de los eventos no
afecta al valor de la probabilidad de
ocurrencia del otro. Por lo que la
probabilidad de que los dos eventos
ocurran simultáneamente es igual al
producto de la probabilidad de un
evento por la del otro.
158
SECUENCIA 27h) ¿Cuántos resultados favorables hay para el evento: “cae sol en la primera moneda
y sol en la segunda moneda”, es decir, “cae sol en ambas monedas”?
i) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “cae sol en ambas monedas”?
P(cae sol en ambas monedas) =
j) Multipliquen las probabilidades de los eventos: “cae sol en la primera moneda” y
“cae sol en la segunda moneda”.
P(cae sol en la primera moneda) × P(cae sol en la segunda moneda) =
× =
k) Comparen la probabilidad del evento: “cae sol en ambas monedas” con el produc-
to de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso anterior.
¿Son iguales o diferentes?
¿Son independientes los eventos: “cae sol en la primera moneda” y “cae sol en la
segunda moneda”?
II. Ahora, realicen el siguiente experimento:
Lancen una moneda dos veces al aire y observen la sucesión de águila y sol que ob-
tienen.
a) Anoten el resultado que obtuvieron al realizar el experimento en el siguiente recuadro:
Primer lanzamiento Segundo lanzamiento
b) Comparen sus resultados con sus compañeros.
Escriban en la siguiente tabla los resultados diferentes que obtuvieron en su grupo.
Primer lanzamiento Segundo lanzamiento
159
IIMATEMÁTICAS
c) Completen el siguiente diagrama de árbol con los resultados diferentes que pue-
den obtenerse al lanzar una moneda dos veces al aire.
Recuerden que:
Una potencia es una
multiplicación de un
número por sí mismo
varias veces.
Primer Lanzamiento Segundo Lanzamiento Resultados posibles
Águila
A
12
Sol
S
Lanzar una moneda dos
veces
Águila
A
12
Águila
A
(A,A)
d) Comparen los resultados posibles que obtuvieron en el diagrama de árbol de este
experimento con los resultados posibles del experimento de las dos monedas que
realizaron en el apartado Manos a la obra. ¿Son iguales o diferentes?
e) Al lanzar una moneda dos veces al aire. ¿Cuál es la probabilidad del evento: "caer
sol en el primer lanzamiento"?
P(cae sol en el primer lanzamiento) =
f) ¿Cuál es la probabilidad del evento: "caer sol en el segundo lanzamiento"?
P(cae sol en el segundo lanzamiento) =
g) ¿Cuál es la probabilidad del evento: "caer sol en ambos lanzamientos"?
P(caer sol en ambos lanzamientos) =
h) Multipliquen las probabilidades de los eventos: “cae sol en el primer lanzamiento”
y “cae sol en el segunda lanzamiento”.
P(cae sol en el primer lanzamiento) × P(cae sol en el segundo lanzamiento) = × =
i) Comparen la probabilidad del evento: “cae sol en ambos lanzamientos” con el
producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso
anterior. ¿Son iguales o diferentes?
160
SECUENCIA 27¿Son independientes los eventos: “cae sol en el primer lanzamiento” y “cae sol en
el segundo lanzamiento”?
III. Se lanzan tres monedas (no trucadas) al mismo tiempo y se observa la sucesión de
águilas y soles que caen.
a) ¿Cuántas veces tienes que lanzar una moneda para realizar un experimento equi-
valente a lanzar tres monedas al mismo tiempo?
b) En tu cuaderno, elabora el diagrama de árbol con los resultados diferentes que se
obtienen al lanzar tres monedas al aire. ¿En total, cuántos resultados posibles di-
ferentes hay?
c) Si en la segunda moneda cae águila, ¿qué resultados pueden caer en la tercera
moneda?
¿Y cuáles en la primera?
d) Si en la tercera moneda cae sol, ¿qué resultados pueden caer en la segunda mo-
neda?
¿Y cuáles en la primera?
e) ¿Cuántos resultados favorables hay para el evento: “cae sol en las tres monedas”?
f) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “cae sol en las tres monedas”?
g) Calcula la probabilidad de los siguientes eventos:
P(cae sol en la primera moneda) =
P(cae águila en la segunda moneda) =
P(cae sol en la tercera moneda) =
h) Multiplica las probabilidades de los 3 eventos que calculaste en el inciso anterior.
P(cae sol en la primera moneda) × P(cae sol en la segunda moneda) × P(cae sol en la tercera moneda) =
× × =
i) Compara la probabilidad del evento: “cae sol en las tres monedas” con el producto
de las probabilidades de los tres eventos que obtuviste en el inciso anterior. ¿Son
iguales o diferentes?
161
IIMATEMÁTICAS
j) ¿Son independientes los eventos: “cae sol en la primera moneda”, “cae sol en la
segunda moneda” y “cae sol en la tercera moneda”?
Comparen sus respuestas y comenten:
a) Si se lanzan las tres monedas al mismo tiempo, ¿cuál es la probabilidad de “caer
sol en la primera moneda, águila en la segunda y sol en la tercera”?
b) Si se lanzan tres monedas, los eventos: “cae sol en la primera moneda”, “cae águi-
la en la segunda moneda” y “cae sol en la tercera moneda”, ¿son independientes?
¿Por qué?
A lo que llegamosCuando un mismo experimento se repite dos o más veces, y los even-
tos que se observan tienen probabilidades iguales y son independien-
tes, entonces el producto de las probabilidades es una potencia.
Lo que aprendimos1. Se lanza una moneda (no trucada) cinco veces consecutivamente, ¿cuál de las si-
guientes sucesiones es más posible que resulte? (A = águila y S = sol)
a) SSSAA
b) ASSAS
c) ASAAA
d) SASAS
e) Las cuatro sucesiones son igual de posibles.
¿Por qué crees que sucede eso?
2. Se lanzan dos dados (no trucados) de seis caras cada uno, al mismo tiempo. Comple-ta el siguiente arreglo rectangular con los resultados diferentes que pueden obtener-se al lanzar dos dados.
162
SECUENCIA 27
Segundo dado
1 2 3 4 5 6
Pri
mer
dad
o
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2 2,1 2,3 2,4 2,5 2,6
3 3,1 3,4 3,5 3,6
4 4,1 4,4 4,5 4,6
5 5,1 5,5 5,6
6 6,1 6,2
a) ¿En total, cuántos resultados posibles hay?
b) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “obtener un seis en el primer dado”?
P(obtener un seis en el primer dado) =
c) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “obtener un seis en el segundo dado”?
P(obtener un seis en el segundo dado) =
d) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “obtener seis en ambos dados al lanzarlos al
mismo tiempo?
e) Al lanzar dos dados, los eventos, “obtener un seis en el primer dado” y “obtener un
seis en el segundo dado”, ¿son independientes? ¿Por qué?
EVENTOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTESConsideremos lo siguienteUn profesor tiene una bolsa con cinco plumas iguales, dos de las cuales ya no pintan. Saca una pluma al azar y se la presta a un alumno; luego éste la regresa a la bolsa. Mo-mentos después, otro alumno también le pide una pluma, luego la regresa a la bolsa.
¿Cuáles son los resultados posibles en esta situación?
SESIÓN 3
163
IIMATEMÁTICAS
Situación A
Si se consideran los eventos:
“En la primera extracción al azar la pluma no pinta”.
“En la segunda extracción al azar la pluma no pinta”.
“En la primera y en la segunda extracción al azar las plumas no pintan”.
Encuentra la probabilidad de los siguientes eventos.
a) “En la primera extracción al azar la pluma no pinta”.
b) “En la segunda extracción al azar la pluma no pinta”.
c) “En la primera y en la segunda extracción al azar las plumas no pintan”.
d) Los eventos: “en la primera extracción al azar la pluma no pinta” y “en la segunda
extracción al azar la pluma no pinta”, ¿son independientes?
Situación B
Si ahora al realizar la primera extracción, el profesor no regresa la pluma a la bolsa.
e) ¿Cuáles son los resultados posibles que hay?
f) ¿Cuál es la probabilidad del evento “en la primera extracción la pluma no pinta”?
g) ¿Cuál es la probabilidad del evento “en la segunda extracción la pluma no pinta”?
h) ¿Y cuál es la probabilidad del evento “en la primera y en la segunda extracción las
plumas no pintan”?
i) Si en la primera extracción al azar, la pluma no pinta y no se regresa a la bolsa,
¿afecta la probabilidad de que en la segunda extracción la pluma que se saque ya
no sirva? ¿Por qué?
Manos a la obraI. En su cuaderno, elaboren el diagrama de árbol para la situación A, como muestra en
la siguiente igura, y utilicenlo para contestar las siguientes preguntas.
164
SECUENCIA 27
a) En la situación A, ¿cuántos resultados posibles diferentes hay?
b) ¿En cuántos de esos resultados posibles en la primera extracción la pluma no pin-
ta?
c) En la situación A, ¿cuál es la probabilidad del evento: “en la primera extracción la
pluma no pinta”?
d) ¿En cuántos resultados en la segunda extracción la pluma no pinta?
Primera extracción Segunda extracción Resultados posibles
Extraer de una bolsa dos plumas regresando la primera pluma que
se extrae
No pinta la pluma
No pinta la pluma
Sí pinta la pluma
Sí pinta la pluma
Sí pinta la pluma
No pinta la pluma
No pinta la pluma
Sí pinta la pluma
Sí pinta la pluma
Sí pinta la pluma
No pinta la pluma
No pinta la pluma
No pinta la pluma
Sí pinta la pluma
Sí pinta la pluma
Sí pinta la pluma
(No pinta, no pinta)
(Sí pinta, no pinta)
165
IIMATEMÁTICAS
¿Cuál es la probabilidad de ese evento?
e) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “en la primera y en la segunda extracción las plumas no pintan”?
f) Comparen la probabilidad del evento: “en la primera y en la segunda extracción las
plumas no pintan” con el producto de la probabilidad del evento: "en la primera
extracción al azar, la pluma no pinta" y la probabilidad del evento: "en la segunda
extracción al azar, la pluma no pinta". ¿Son iguales o diferentes?
g) En la situación A, los eventos "en la primera extracción al azar la pluma no pinta"
y "en la segunda extracción al azar la pluma no pinta", ¿son independientes esos
eventos?
II. Ahora, completen el siguiente diagrama de árbol que corresponde a la situación B cuando no se regresa la pluma en la primera extracción.
Primera extracción Segunda extracción Resultados posibles
No pinta la pluma
Sí pinta la pluma
Sí pinta la pluma
Sí pinta la pluma
(Sí pinta, no pinta)No pinta la pluma
Sí pinta la plumaExtraer de una bolsa
dos plumas sin regresar la primera pluma que
se extrae
No pinta la pluma
No pinta la pluma
Sí pinta la pluma
Sí pinta la pluma
Sí pinta la pluma
(No pinta, no pinta)
166
SECUENCIA 27a) ¿En cuántos de estos resultados posibles en la primera extracción al azar la pluma
no pinta?
b) En la situación B, ¿cuál es la probabilidad del evento: “en la primera extracción al
azar la pluma no pinta”?
c) ¿En cuántos de los resultados posibles en la segunda extracción la pluma no pinta?
d) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “en la segunda extracción la pluma no pinta?
e) ¿En cuántos resultados posibles en ambas extracciones las plumas no pintan?
f) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “en la primera y en la segunda extracción las
plumas no pintan”?
g) En esta nueva situación, en la que no se regresa la primera pluma que se extrae,
los eventos: “en la primera extracción la pluma no pinta” y “en la segunda extrac-
ción la pluma no pinta”, ¿son independientes?
¿Por qué?
III. En una caja hay 2 chicles de sabor menta y 2 de sabor canela, se saca sin ver un
chicle, se anota su sabor y luego, se regresa. Otra vez se saca un chicle y se anota su
sabor.
Los eventos que se observan son:
“El primer chicle que se saca es de sabor canela”.
”El segundo chicle que se saca es de sabor menta”.
”El primer chicle que se saca es sabor canela y el segundo chicles es de sabor menta”.
a) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “el primer chicle que se saca es sabor canela y
el segundo es de sabor menta”?
b) ¿Son independientes los dos primeros eventos? ¿Por qué?
Si al sacar el primer chicle, no lo regresan a la caja y sacan otro chicle.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer chicle que se saca es de sabor canela?
167
IIMATEMÁTICAS
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo chicle que se saca es de sabor menta?
e) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “el primer chicle que se saca es de sabor ca-
nela y el segundo es de sabor menta”?
f) En este experimento, ¿son independientes los dos primeros eventos?
¿Por qué?
A lo que llegamosSe dice que dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno de los eventos afecta el valor de la probabilidad de ocurrencia del otro. Por lo que, la probabilidad de que los dos eventos ocurran simultáneamente es diferente que el producto de la probabilidad de un evento por la del otro.
Lo que aprendimos1. Escribe en la línea de la derecha si los eventos son independientes o dependientes en
cada inciso, y justiica tu respuesta.
a) Se lanzan un par de dados de seis caras. Los eventos son: “número par en el primer
dado” y “número impar en el segundo dado”.
b) Se escogen dos canicas de una urna que contiene 5 canicas rojas y 5 canicas azu-
les, con reemplazo. Los eventos son: “la primera canica es roja” y “la segunda ca-
nica es azul”.
2. Para conocer más ejemplos de situaciones de azar y eventos dependientes e indepen-dientes pueden ver el programa Probabilidad y eventos independientes.
Para saber más
Sobre otros ejemplos de problemas de eventos independientes, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “El azar y el triángulo de Pascal” en Una ventana a la incertidumbre. México:
SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Post Kij, Kjardan. Esa condenada mala suerte. México: SEP/Editorial Motino, Libros del Rincón, 2001.
Explora las actividades de los interactivos Probabilidad. Eventos independientes y Frecuencia y probabilidad
con Logo.
168
SECUENCIA 28
En esta secuencia aprenderás a interpretar y utilizar gráicas de línea que representan características de un fenómeno para obtener infor-mación y tomar decisiones.
TURISMO, EMPLEOS Y GRÁFICAS DE LÍNEAPara empezarEl turismo: una ocupación interesante
México ofrece al mundo una diversidad de atractivos turísticos: playas, zonas arqueoló-gicas, eventos recreativos y culturales, etc. La Secretaría de Turismo pone a disposición de todos información sobre las cifras de dinero que se recauda mensualmente por la actividad turística y el número de empleos que se generan.
Por ejemplo, en el año 2005, cerca de dos millones de personas tuvieron un empleo re-lacionado directamente con la atención al turismo nacional e internacional.
Consideremos lo siguienteLa siguiente gráica presenta la variación que se dio en el número de empleos relaciona-dos con la actividad turística en nuestro país en el año 2005.
SESIÓN 1
Gráficas de línea
Número de empleos relacionados con el turismo en el año 2005
Meses
Nú
mero
de e
mp
leo
s (e
n m
iles)
1 840
1 830
1 820
1 810
1 800
1 790
1 780
1 770
1 760
ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic
169
IIMATEMÁTICAS
a) ¿Cuántos empleos generó el turismo en enero de 2005?
¿Y en febrero?
b) ¿Cuánto disminuyó el número de empleos de abril a mayo de 2005?
c) ¿En qué par de meses consecutivos se dio el mayor aumento en el número de
empleos?
Comparen sus respuestas.
Manos a la obraI. Observen la gráica y contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Qué datos están representados en el eje horizontal?
¿Y en el eje vertical?
b) ¿Cuál es el valor mínimo que se representa en el eje vertical?
¿Y cuál es el valor máximo?
c) ¿Cuál es la escala utilizada en ese eje?
d) ¿En qué mes se generaron 1 820 000 empleos relacionados con el turismo?
e) ¿Cuál es el mes en que se dio el mayor número de empleos?
La gráica anterior se llama gráfica de línea y muestra que, durante el año 2005, hubo tres periodos de incrementos en el número de empleos relacionados con el turismo; el primero fue del mes de enero al mes de abril.
f) ¿Cuáles fueron los otros periodos que tuvieron incrementos en el número de em-
pleos?
g) ¿Cuál fue el mayor incremento que se dio en el número de empleos relacionados
con el turismo?
h) Durante el año 2005, ¿cuántos decrementos en el número de empleos relaciona-
dos con el turismo se dieron?
i) ¿Hubo algún periodo en el que no cambiara el número de empleos relacionados
con el turismo?
170
SECUENCIA 28¿Cuántos meses abarcó ese periodo?
j) ¿Cuál fue el número de empleos que se mantuvo constante?
II. Completa el siguiente texto eligiendo la respuesta correcta en cada caso:
Comparen sus respuestas con sus compañeros.
A lo que llegamosUna gráica de línea presenta los cambios o variaciones que se dan en una situación o fenómeno a través del tiempo. Por esta razón, en el eje horizontal se representan las unidades de tiempo (que pueden ser años, meses, días, horas, etcétera). En el eje vertical se representa el intervalo en el que varía el fenómeno durante el tiempo en que se analiza.
En general, el cero debe representarse siempre que sea posible sobre el eje vertical, pero si no lo fuera, conviene hacer un corte en el eje vertical.
III. La siguiente tabla presenta la variación que se dio en el número de empleos genera-dos por la actividad turística en nuestro país en el año 2004.
La gráfica de línea muestra la variación en el número de empleos generados por el
turismo en el año que inició con un aumento en los primeros 2005 / 2000
cuatro meses de a empleos, en el mes de 1765 / 1 765 000 1785 / 1 785 000
mayo a 1 780 000, en aumentó disminuyó / aumentó junio / julio
empleos y permaneció constante durante los meses de 200 / 20 000 junio / julio
a (1 805 000 empleos); posteriormente, aumentó hasta agosto / septiembre
registrar el número de empleos en el mes de noviembre, menor / mayor
y finalizó en el mes de diciembre con empleos. 1 825 / 1 825 000
171
IIMATEMÁTICAS
Empleos generados por el turismo en el año 2004
Mes Número de empleos
Enero 1 700 000
Febrero 1 705 000
Marzo 1 720 000
Abril 1 725 000
Mayo 1 730 000
Junio 1 740 000
Julio 1 745 000
Agosto 1 750 000
Septiembre 1 755 000
Octubre 1 765 000
Noviembre 1 780 000
Diciembre 1 770 000
a) Ahora graica el número de empleos que generó la actividad turística cada mes.
172
SECUENCIA 28Comparen sus respuestas.
a) ¿Utilizaron la misma escala en el eje vertical?
b) ¿Cuáles fueron los valores mínimos que utilizaron en el eje vertical?
c) ¿Y cuáles fueron los valores máximos?
Lo que aprendimosDurante una semana se registró la cantidad de dinero que diariamente se obtuvo en las ventas de una panadería; así quedó:
Lunes, $2 600; martes, $ 1 200, miércoles, $3 400; jueves, $2 100; viernes, $5 300; sábado, $5 100; domingo, $4 950.
a) En tu cuaderno traza una gráica de línea que represente las ventas que se tuvie-ron en la panadería.
b) Describe en tu cuaderno en qué días se obtuvieron las mejores ventas, cuándo hubo decrementos y cómo disminuyeron las ventas.
c) Comparen sus respuestas. ¿A partir de qué valor rotularon el eje vertical?
¿SABES CUÁNTAS PERSONAS VISITAN EL ESTADO EN QUE VIVES?Para empezarEn la sesión anterior aprendiste a elaborar gráicas de línea y, particularmente, te ente-raste de cuántos empleos relacionados con el turismo se generaron en el año 2005 en México. Otros aspectos relacionados con el turismo que también se pueden presentar a través de una gráica de línea son: el número de turistas que visitaron un determinado estado durante el año, ciudades con playa, sitios arqueológicos, etcétera.
Posiblemente el lugar donde tú vives es un sitio turístico, quizá es una ciudad que tiene playa, o tal vez, es una ciudad colonial. También puede suceder que vivas cerca de un lugar muy visitado. ¿Cómo podrías investigar cuántas personas visitan tu estado? ¿Cuáles son los sitios turísticos que hay en tu población? ¿Cuáles conoces? ¿Conoces algunas personas que tengan un trabajo relacionado con la actividad turística? Si pudieras pro-mover el lugar donde vives, ¿qué información recopilarías para hacerlo?
Consideremos lo siguienteLas siguientes gráicas de línea presentan información sobre el número de habitaciones que se han ocupado por turistas nacionales que visitaron los estados de Guerrero y Quin-tana Roo, en el periodo comprendido entre los años 2000 y 2005.
SESIÓN 2
173
IIMATEMÁTICAS
a) Si se quiere construir un hotel en alguno de estos dos estados y se consideran
como referencia la información que presentan las gráicas de línea, ¿en cuál de los
dos estados recomendarían que lo construyeran?
¿Por qué?
b) Comparen sus respuestas.
Manos a la obraI. Utilicen la información que presentan las gráicas de línea para contestar las siguien-
tes preguntas.
a) En Guerrero, ¿cuántas habitaciones estuvieron ocupadas por turistas en el año
2001?
b) ¿Cuál fue el número máximo de habitaciones ocupadas?
c) ¿En qué año sucedió?
d) En Quintana Roo, ¿en qué año se ocuparon 2 500 000 habitaciones?
Años
Nú
mero
de
ha
bit
aci
on
es
ocu
pa
da
s (e
n m
ile
s)
2000 2001 2002 2003 2004 2005
3 400
3 300
3 200
3 100
3 000
2 900
2 800
2 700
2 600
2 500
2 400
2 300
2 200
2 100
2 000
Número de habitaciones ocupadas por visitantes nacionales
Quintana Roo
Guerrero
174
SECUENCIA 28e) ¿Cuál fue el número máximo de habitaciones ocupadas?
f) ¿En que año sucedió?
g) ¿Fue el mismo que en el caso de Guerrero?
h) En general, ¿cuál de los dos estados, Guerrero o Quintana Roo, tuvo más habita-
ciones ocupadas por turistas nacionales en el periodo de 2004-2005?
i) ¿En qué año estos dos estados tuvieron el mismo número de habitaciones ocupa-
das?
j) ¿Cuántas habitaciones estuvieron ocupadas?
k) Describan cuál ha sido el comportamiento en el número de habitaciones ocupadas
por el turismo nacional en el estado de Guerrero.
l) ¿Y cuál ha sido el del estado de Quintana Roo?
m) De la siguiente lista, marquen con una “X” los aspectos que consideran también sería necesario analizar para tomar una mejor decisión sobre en cuál de los dos estados, Guerrero o Quintana Roo, es más conveniente construir un hotel.
( ) número de hoteles en servicio;
( ) número de habitaciones por hotel en servicio;
( ) número de turistas extranjeros;
( ) número de turistas nacionales;
( ) tipos de transporte;
( ) zonas turísticas que existen (playas, zonas arqueológicas, ciudades, etc.);
( ) número de habitantes;
( ) actividades culturales y recreativas (festivales, ferias, etc);
( ) seguridad y vigilancia.
Comparen sus respuestas.
175
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosEn un mismo plano se pueden mostrar dos o más gráicas de línea que corresponden a conjuntos de datos sobre el mismo aspecto de un fenómeno o situación para comparar la variación que existe entre ellos durante un determinado tiempo.
II. La siguiente gráica muestra información sobre el turismo extranjero que visita los estados de Guerrero y Quintana Roo de 2000 al 2005.
a) ¿Cuántas habitaciones fueron ocupadas por turistas extranjeros en el estado de
Guerrero durante el año 2001?
b) ¿Y cuántas habitaciones fueron ocupadas en el estado de Quintana Roo?
c) ¿En cual de los dos estados, Guerrero o Quintana Roo, el número de habitaciones
ocupadas por extranjeros ha disminuido a través de los seis años?
d) En general, ¿cuál de los dos estados es más visitado por el turismo internacional?
Número de habitaciones ocupadas por extranjeros
Años
Nú
mero
de h
ab
itaci
on
es
ocu
pad
as
(en
mil
es)
2000 2001 2002 2003 2004 2005
14 000
13 000
12 000
11 000
10 000
9 000
8 000
7 000
6 000
5 000
4 000
3 000
2 000
1 000
0
Quintana Roo
Guerrero
176
SECUENCIA 28e) En el caso de ese estado, ¿cuál ha sido el aumento que ha tenido el número de
habitaciones ocupadas en el año 2005 con respecto a las que se ocuparon en el
año 2000?
f) Utilicen las gráicas de esta sesión para describir la forma en que varía el número
de habitaciones ocupadas por turistas nacionales o por turistas extranjeros en
Quintana Roo.
III. A continuación construye dos gráicas de línea para representar el número total de habitaciones ocupadas por turistas nacionales que visitaron el estado de Guerrero y el número total de habitaciones ocupadas por turistas extranjeros en ese estado du-rante el periodo de 2000 a 2005.
a) ¿Qué escala es más conveniente que utilices?
¿Por qué?
b) ¿Cuál de los dos tipos de turistas, extranjero o nacional, tiene mayor número de
habitaciones ocupadas por turistas durante estos años?
c) ¿En qué par de años consecutivos se tiene el mayor descenso en el número de
habitaciones ocupadas?
Extranjeros
Nacional
177
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimosLa siguiente tabla muestra la información sobre el turismo nacional e internacional que visitó las zonas arqueológicas de nuestro país.
Número de visitantes en zonas arqueológicas de México (en miles)
Año Nacionales Extranjeros Total
2000 6 270 3 200 9 470
2001 6 510 2 640 9 150
2002 7 140 2 650 9 790
2003 7 380 2 850 10 230
2004 7 240 3 130 10 370
2005 6 650 2 930 9 580
a) En el mismo eje de coordenadas, representa las tres gráicas de línea que corres-ponden a la información que presenta la tabla (turismo nacional, extranjero y
total).
178
SECUENCIA 28b) ¿En qué año se presentó el mayor número de visitantes nacionales en estas zonas?
¿Y de visitantes extranjeros?
c) En total, ¿en qué año se presentó el mayor número de visitantes a estas zonas?
d) Según la gráica, ¿cuál de las siguientes frases representa el comportamiento que
ha tenido el turismo (nacional, extranjero y total) que visita las zonas arqueológi-
cas de México? Márcalas con una .
Del año 2000 al año 2003, el número total de turistas que visitaban las zonas arqueológicas aumentaba; sin embargo, a partir del año 2004 ha descendi-do.
En el año 2003, se presentó el mayor número de turistas nacionales que visi-taron las zonas arqueológicas.
En el año 2000, 3 200 turistas extranjeros visitaron las zonas arqueológicas, lo que representa el mayor número de visitantes extranjeros en el periodo de 2000 a 2005.
En el año 2005, aumentó el turismo extranjero en las zonas arqueológicas en México.
¿CUÁNTOS EXTRANJEROS NOS VISITARON?Consideremos lo siguienteLas gráicas de línea de la siguiente página presentan información sobre el número de visitantes extranjeros que estuvieron en nuestro país en el año 2005 y las cantidades de dinero que gastaron.
a) ¿Qué relación encuentran entre estas cantidades: número de visitantes y dinero
que gastaron?
b) ¿Corresponde el número máximo de visitantes con la cantidad mayor de dinero
que gastaron?
c) Una persona está interesada en abrir una tienda de artesanías; de acuerdo con la
información que presentan las gráicas, ¿cuándo le convendría abrirla, en enero,
marzo o diciembre?
¿Por qué?
d) ¿Consideran qué sería suiciente esta información para que decida cuándo le con-
viene abrir su tienda?
SESIÓN 3
179
IIMATEMÁTICAS
Nú
me
ro d
e t
uri
sta
s (e
n m
ile
s)Visitantes extranjeros en México en el año 2005
2 400
2 350
2 300
2 250
2 200
2 150
2 100
2 050
2 000
1 950
1 900
1 850
1 800
1 750
1 700
1 650
1 600
1 550
1 500
1 450
1 400
ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic
Meses
Gastos de visitantes extranjeros en México en el año 2005
Can
tid
ad
de d
óla
res
(en
millo
nes)
1 400
1 350
1 300
1 250
1 200
1 150
1 100
1 050
1 000
950
900
850
800
750
700
650
600
ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic
Meses
180
SECUENCIA 28
Manos a la obraI. Utilicen los datos que presentan las gráicas y contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántos extranjeros visitaron nuestro país en enero de 2005?
b) ¿Cuánto dinero se recaudó en ese mes?
c) ¿En qué mes de ese año dejaron más dinero al país los turistas?
d) ¿Con la información que proporciona la primera gráica de lí-
nea podemos saber cuántos visitantes tuvimos el 12 de agosto
de 2005?
¿Por qué?
e) ¿Es correcto decir que en julio de 2005 hubo 2 150 visitantes extranjeros y que
gastaron 1 050 dólares?
¿Por qué?
f) De enero a febrero se tuvo un aumento de 18 000 visitantes. ¿En qué par de me-
ses consecutivos se dio el mayor aumento de visitantes?
g) ¿En qué par de meses se dio la mayor disminución de visitantes?
A lo que llegamosDos o más aspectos de una misma situación o un mismo fenómeno se pueden analizar mediante dos o más gráicas de línea en dos planos diferentes debido a que en el eje vertical se utiliza la escala y rótulos adecuados a cada aspecto.
Recuerden que:
Una gráfica de línea presenta los
cambios o variaciones que se dan
en una situación o fenómeno a
través del tiempo. Por esta razón,
en el eje horizontal se representan
las unidades de tiempo (que
pueden ser años, meses, días,
horas, etc.). En el eje vertical se
anota el rango con que varía el
fenómeno en el período de tiempo
en que se analiza.
181
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimos1. Para conocer las variaciones en el número de extranjeros, se consideran los resultados
obtenidos en los años 2004 y 2005. Las siguientes gráicas de línea presentan esa información.
II. De acuerdo con la información que presentan las gráicas, completen el siguiente párrafo:
Durante el año de 2005, el número de visitantes extranjeros en nuestro país fue de
turistas y gastaron
de dólares; sin embargo, la cantidad de
dinero que gastaron los visitantes extranjeros en México fue
de dólares y se registró en el mes de .
Nú
mero
de t
uri
stas
(en
miles)
2 450
2 400
2 350
2 300
2 250
2 200
2 150
2 100
2 050
2 000
1 950
1 900
1 850
1 800
1 750
1 700
1 650
1 600
1 550
1 500
1 450
1 400
1 350
1 300
ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic
Meses
Visitantes extranjeros en México en los años 2004 y 2005
Año 2004
Año 2005
182
SECUENCIA 28a) ¿Cuántos extranjeros visitaron nuestro país en enero de 2004? ¿Y en enero de
2005?
b) ¿En qué mes de 2005 tuvimos más visitantes extranjeros? ¿Y de 2004?
c) La tendencia de las variaciones en el número de turistas que visitaron nuestro país
en el año 2004, ¿se mantiene en el 2005?
d) Considerando esta información y la que muestra la gráica de línea del gasto que
hicieron los turistas, ¿en qué mes será más conveniente abrir la tienda de arte-
sanías, en marzo o diciembre?
2. La esperanza de vida al nacer se reiere al número de años que en promedio se espera viva un recién nacido, considerando que a lo largo de su vida estará expuesto a dife-rentes riesgos. En el año de 1930 en México, la esperanza de vida para una mujer era de 35 años, mientras que para los hombres era de 33 años, lo que signiica una dife-rencia de 2 años. Para el año 2000, la esperanza de vida para una mujer era de 77 años y para el hombre, de 72 años.
a) Las siguientes gráicas de línea resentan está información; en su cuaderno, elabo-ren una tabla que corresponda con está información.
Fuente: INEGI. Censo General de Población, 2000.
Esperanza de vida al nacer por sexo en México
Décadas
Añ
os
de v
ida
1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Mujeres
Hombres
183
IIMATEMÁTICAS
b) ¿Cuál era la esperanza de vida para las mujeres en los años de 1950 y 1980?
c) En general, ¿cuál ha sido el comportamiento en cuanto a la esperanza de vida de
mujeres y hombres en México a través de los años?
d) ¿Se ha incrementado o se ha reducido?
e) ¿Entre qué años presentó el mayor incremento?
3. Para ampliar lo que saben sobre el uso de las gráicas de línea en la representación de distintos fenómenos pueden ver el programa Análisis de datos en gráficas de línea.
Para saber más
Sobre la variación en el número de turistas extranjeros y nacionales, los empleos
relacionados con el turismo, la cantidad de vuelos y pasajeros consulten:
http://www.sectur.gob.mx
Ruta: Estadísticas del Sector-DataTur Publicaciones y documentos Resultados
de la actividad Turística Seleccionar el reporte más actual del año 2007.
[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].
Secretaría de turismo.
184
SECUENCIA 29
En esta secuencia aprenderás a interpretar y elaborar gráicas forma-das por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento y llenado de recipientes.
ALBERCAS PARA CHICOS Y GRANDESPara empezarEn la comunidad del Rosario se ha instalado una nueva alberca que tiene dos niveles de profundidad; uno para los niños y otro para los adultos. La profundidad de la alberca en la sección para niños es de 1 m y corresponde a una tercera parte de la supericie de la alberca. La sección para adultos corresponde a las otras dos terceras partes y tiene 2 m de profundidad.
SESIÓN 1
Gráficas formadas por rectas
Consideremos lo siguienteSe ha abierto la llave para llenar de agua la alberca de la Comunidad del Rosario. Esta llave arroja siempre la misma cantidad de agua por minuto. Conforme avanza el tiempo la altura que alcanza el nivel del agua va aumentando.
2 m
23
13
1 m
Nivel
1 m
185
IIMATEMÁTICAS
De las siguientes gráicas, ¿cuál representa la variación del nivel del agua con respecto al tiempo transcurrido?
Tiempo
Niv
el
TiempoN
ive
lTiempo
Niv
el
Tiempo
Niv
el
a) b) c) d)
Comparen sus respuestas y comenten cómo le hicieron para decidir cuál gráica era la correcta.
Manos a la obraI. Observen las siguientes dos albercas. Tienen la misma profundidad, pero una es más
pequeña que la otra. Las dos son llenadas con una llave que arroja la misma cantidad de agua por minuto.
Alberca 1 Alberca 2
a) ¿Cuál de las dos albercas tarda más tiempo en llenarse?
b) ¿En cuál de ellas el nivel de agua sube más rápido?
c) ¿Cuál de las siguientes gráicas corresponde a esta situación?
Tiempo
Niv
el
Alberca 1 Alberca 2
Tiempo
Niv
el
Alberca 2 Alberca 1
Tiempo
Niv
el
Alberca 2 Alberca 1
Tiempo
Niv
el
Alberca 2 Alberca 1
a) b) c) d)
186
SECUENCIA 29d) Comparen sus respuestas y comenten cómo le hicieron para decidir cuál gráica
era la correcta.
II. Observen la alberca que construyeron en la Comunidad del Rosario. Podemos dividir-la en dos partes: antes de un metro de profundidad (parte 1) y después de un metro de profundidad (parte 2).
a) ¿Qué parte tiene más espacio?
b) Cuando el nivel del agua cambia de la parte 1 a la parte
2, la rapidez con la que sube el agua, ¿aumenta, disminu-
ye o se queda igual?
III. Observen la siguiente cisterna. Se está llenando con una llave que arroja la misma cantidad de agua cada minuto. De las dos gráicas de la derecha, ¿cuál representa la variación del nivel del agua con respecto al tiempo?
¿Por qué?
Tiempo
Niv
el
Tiempo
Niv
el
a) b)
A lo que llegamos Llenado de recipientes
Con frecuencia encontramos fenómenos donde la gráica asociada a dos cantidades que varían resulta ser la unión de dos o más segmentos de recta. Por ejemplo, el llenado de una alberca o una cisterna que tiene diferentes formas y distintos niveles de profundidad. A las gráicas que se forman por segmentos de recta se les conoce como lineales por pedazos.
Cuando se estudia una gráica lineal por pedazos hay que tomar en cuenta las pendientes de los segmentos. Por ejemplo, en la siguiente gráica, la pendiente del primer segmento es mayor que la del segundo. Es decir, la ordenada aumenta más rápido en el primer segmento que en el segundo.
Abscisa
Ord
en
ad
a
Parte 1
Parte 2
187
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimos1. Observen la peculiar cisterna que aparece en la igura de abajo, su tamaño cambia en
tres niveles de profundidad. La cisterna está siendo llenada por una llave que arroja la misma cantidad de agua cada minuto. De las gráicas que aparecen más abajo, ¿cuál representa la variación del nivel del agua con respecto al tiempo? ¿Por qué?
Tiempo
Niv
el
Tiempo
Niv
el
Tiempo
Niv
el
TiempoN
ivel
a) b) c) d)
2. Comparen sus respuestas y decidan cuál de las gráicas anteriores corresponde al llenado de la siguiente cisterna.
188
SECUENCIA 29
DE AQUÍ PARA ALLÁ Y DE ALLÁ PARA ACÁConsideremos lo siguienteUn autobús realiza un viaje redondo de la ciudad de México a Guanajuato. La siguiente gráica muestra la distancia a la que se encontraba el autobús de la Ciudad de México durante todo el trayecto de ida y vuelta.
Tiempo (horas)
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
Dis
tan
cia
(k
iló
me
tro
s)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Gráfica 1
El siguiente texto es narrado por el conductor del autobús; en él, el conductor nos pla-tica sus experiencias en el viaje México-Guanajuato. Léanlo y completen los espacios marcados haciendo uso de la gráica.
SESIÓN 2
Esa mañana llegué a la central de autobuses una hora antes de mi salida, lo cuál me permitió comer un rico desayuno en la cafetería de la central. Se acercó la hora de la salida y gustosamente me subí a la unidad que me tocaría conducir para ese viaje. Los pasajeros llegaron a tiempo para cargar su equipaje, por lo que me fue posible salir sin demoras.
Como el tráfico en la carretera estaba tranquilo, aceleré un poco más de lo programado. Tal vez por ello, a las horas de viaje, la unidad empezó hacer un ruido y me vi forzado a detenerme. Algunos pasajeros se molestaron, les pedí que tuvieran paciencia. Bajé de la unidad y me puse a revi-sar el motor: lo bueno que en el curso de ingreso me enseñaron algunas cosas de mecánica y pude reparar el motor en más o menos . Tomé de nuevo la carretera y decidí irme más despacio para asegurar que no volviera a suceder lo mismo. Con todo y la demora, el viaje de ida duró en total
horas.
Una vez en Guanajuato, metí la unidad al taller de la empresa. ¡La dejaron muy bien! La tuvieron jus-to a tiempo para mi próxima salida de regreso a la ciudad de México. En las horas que estuve en Guanajuato, aproveché para comer y hablarle a mi familia. El regreso no tuvo problemas, el viaje duró lo normal, horas.
Con esta experiencia aprendí que no es bueno llevar la unidad a km/h, pues puede llegar a descomponerse.
189
IIMATEMÁTICAS
Comparen sus respuestas y comenten.
¿Cómo hicieron para completar el texto?
Después de reparar el motor, el chofer redujo la velocidad, ¿a qué velocidad creen que iba?
Manos a la obraI. Sobre la siguiente gráica, se han marcado con letras algunos de sus puntos.
Tiempo (horas)
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
Dis
tan
cia (
kil
óm
etr
os)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A
BC
D E
F
Cada uno de los siguientes enunciados se reiere a diferentes puntos sobre la gráica. Escriban en el espacio marcado, el nombre del punto al que se reiere cada enunciado.
a) Sale el autobús de la ciudad de Guanajuato.
b) Regresa el autobús a la ciudad de México.
c) Se escucha un ruido y se detiene el autobús.
d) Se repara el motor y el autobús continúa su trayecto.
e) Sale el autobús de la ciudad de México.
f) Llega el autobús a la central de Guanajuato.
II. Observen la gráica y contesten las siguientes preguntas:
a) Desde que salió de México hasta el momento de descomponerse, ¿cuál fue la dis-
tancia que recorrió el autobús? ¿en cuánto tiempo recorrió esa
distancia? ¿qué velocidad llevaba?
b) Desde que se reparó el motor hasta que llegó a Guanajuato, ¿cuál fue la distancia
que recorrió el autobús? ¿en cuánto tiempo recorrió esa dis-
tancia? ¿qué velocidad llevaba en ese tramo?
Comparen sus respuestas y comenten la siguiente información.
190
SECUENCIA 29
A lo que llegamosCuando una gráica de distancia con respecto al tiempo resulta ser una gráica lineal por pedazos, los distintos segmentos representan periodos de velocidad constante y los picos representan cambios de velocidad.
III. Calculen las distintas velocidades representadas por cada uno de los segmentos en la gráica 1.
Lo que aprendimosLa siguiente gráica es lineal por pedazos y corresponde a la relación entre tiempo y distancia de alguna de las siguientes dos situaciones.
Lee con cuidado las dos situaciones y decide a cuál de ellas corresponde la gráica. Señala con una .
Un automóvil sube a una meseta, llega a la parte plana, continúa avanzando y después desciende. Se graica la distancia recorrida por el automóvil res-pecto al tiempo.
Un niño va de su casa a la escuela, se queda ahí un tiempo y regresa a su casa. Se graica la distancia a la que el niño está de su casa respecto al tiempo.
Comparen sus respuestas y comenten:
a) ¿En algún momento ocurre que, conforme el tiempo pasa, la distancia recorrida por el automóvil aumenta?
b) ¿En algún momento ocurre que la distancia recorrida disminuye?
c) ¿Ocurre que, conforme pasa el tiempo, la distancia recorrida se queda igual?
d) ¿En algún momento la distancia a la que se encuentra el niño de su casa aumenta o disminuye?
e) ¿Cómo se debe ver esto en la gráica?
CAMINO A LA ESCUELAPara empezarCruz es un niño muy estudioso, cada día camina dos kilómetros para ir a la escuela. En su camino, Cruz tiene que subir y bajar un pequeño cerro, el cerro de Santa Fe, como se muestra en la igura.
SESIÓN 3
Tiempo
Dis
tan
cia
191
IIMATEMÁTICAS
Consideremos lo siguienteCruz camina a una velocidad de 1.5 m/s cuando el terreno es plano, 0.5 m/s cuando es de subida y 3 m/s cuando es de bajada.
Graiquen la distancia recorrida por Cruz con respecto al tiempo.
Tiempo en segundos
2 000
1 800
1 600
1 400
1 200
1 000
800
600
400
200
Dis
tan
cia e
n m
etr
os
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000 1 100 1 200 1 300 1 400
Manos a la obraI. Contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántos segundos tarda Cruz en caminar los primeros 600 m?
b) ¿Cuántos segundos tarda en caminar los 200 m de subida al cerro de Santa Fe?
600 m600 m
200 m 600 m EscuelaCasa
192
SECUENCIA 29c) ¿Cuántos segundos tarda en los 600 m de bajada?
d) ¿Cuántos segundos tarda en recorrer los primeros 800 m de su casa a la escuela?
e) ¿Cuántos segundos tarda en recorrer los primeros 1 400 m?
f) ¿Cuántos segundos tarda Cruz en llegar a la escuela desde su casa?
g) ¿A cuántos minutos equivale?
II. Completen la siguiente tabla para determinar algunos puntos de la gráica que repre-senta el recorrido de Cruz.
Tiempo x (en segundos)
Distancia y (en metros)
Punto (x, y )
200 A = (200, )
600 B = ( , 600)
600 C = (600 , )
800 D = ( , 800)
1 000 E = (1 000, )
1 200 F = (1 200, )
1 400 G = (1 400, )
III. Tracen (o ubiquen) los puntos cuyas coordenadas acaban de calcular, en el plano cartesiano del principio.
Comparen sus respuestas y comenten:
a) ¿Cómo hicieron para llenar la tabla?
b) ¿Todos los puntos quedaron sobre la gráica que hicieron al principio?
IV. Contesten las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es la velocidad de Cruz en los primeros 600 m?
Denotemos con la letra y la distancia (en metros) que Cruz lleva recorrida y con x el tiempo (en segundos). Escribe una expresión que relacione x con y cuando Cruz aun no llega al cerro Santa Fe.
y =
¿Es esta relación lineal? ¿Cómo se ve su gráica?
193
IIMATEMÁTICAS
b) ¿Cuál es la velocidad a la que camina Cruz cuando recorre los 200 m de subida al cerro?
En el intervalo de tiempo que tarda en subir, ¿cómo es la gráica?
c) La gráica que construyeron para describir el camino de Cruz a la escuela, ¿debe ser lineal por pedazos? ¿Por qué?
A lo que llegamosSi un fenómeno relaciona dos cantidades de tal manera que su comportamiento es lineal por pedazos, se puede hacer su gráica encontrando sólo algunos puntos “clave”:
1. Los puntos que representan el inicio y el in del fenómeno. Por ejemplo, el punto O = (0,0) es el punto que representa el momento cuando Cruz no ha salido de su casa (inicio), y el punto G = (1 400, 2 000) representa el momento en que Cruz llega a la escuela (in).
2. Los puntos donde cambia la pendiente. Por ejemplo, los momentos en que Cruz cambió su velocidad (antes de subir al cerro, en la cima del cerro y cuan-do bajó del cerro).
Una vez que se calculan las coordenadas de esos puntos, se puede dibujar la gráica localizándolos en el plano y luego uniéndolos con segmentos de recta. Por ejemplo, si O = (0,0), P = (2,3), Q = (4,5) y R = (8,4) son los puntos de inicio, in y cambio de pendiente de un fenómeno, entonces la gráica de éste es:
Lo que aprendimos1. En tu cuaderno, haz la gráica de la distancia recorrida por Cruz con respecto al tiem-
po, cuando éste camina de regreso a su casa.
2. Para conocer más ejemplos de fenómenos que se representan con gráicas formadas por segmentos de recta pueden ver el programa Interpretación de gráficas forma-das por segmentos.
Para saber más
Sobre gráficas, consulta:
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Interpretacion_de_graficas/Graficas.htm
[Fecha de consulta: 15 de junio de 2007].
Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.
y
xO
P
Q
R
195
BLOQUE 5
196
SECUENCIA 30
En esta secuencia representarás con letras los valores desconocidos de un problema y las usarás para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeicientes enteros.
LAS VACAS Y LOS CHIVOSPara empezarDe Diofanto al siglo XXI
El matemático de Alejandría vivió en el siglo III. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental que permitio el desarrollo del álgebra y por primera vez en la historia de las matemáticas griegas presentó de una forma rigurosa el estudio de las ecuaciones de primer y segundo grado, así como de los sistemas de ecuaciones. Por estos hechos se le conoce como el padre del Álgebra.
Consideremos lo siguiente Don Matías se dedica a la crianza de vacas y chivos. Raúl le pregunta a su padre: — ¿Papá cuántas vacas y chivos tenemos?—.
El padre le dice:
— Te voy a dar dos pistas para que en-cuentres cuántos chivos y cuántas vacas tenemos.
Primera pista: en total tenemos 68 anima-les entre chivos y vacas.
Segunda pista: el número de chivos es el triple que el número de vacas.
¿Cuántos animales de cada tipo tiene don Matías?
Chivos:
Vacas:
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
SESIÓN 1
Sistemas de ecuaciones
197
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obraI. Para saber cuántos animales de cada tipo tiene don Matías, se requiere que las pare-
jas de números (número de chivos y número de vacas) cumplan con la primera pista: En total tenemos 68 animales entre chivos y vacas.
a) Completen la Tabla 1 para mostrar algunas parejas de números que cumplan con la primera pista: Consideren que:
• x representa el número de chivos.
• y representa el número de vacas.
Número de chivos: x Número de vacas: y Pareja (x, y)
34 (34, )
35
40
18
17
60
Tabla 1
b) ¿Cuál es la ecuación que representa a la primera pista?
II. Ahora encuentren otras parejas de números que cumplan con la segunda pista dada por don Matías: el número de chivos es el triple que el número de vacas. Completen la siguiente tabla.
Número de chivos: x Número de vacas: y Pareja (x, y)
30
33
12
39
20
15
51
Tabla 2
a) ¿Cuál es la ecuación que representa la segunda pista?
b) ¿Cuál pareja cumple con las dos pistas?
198
SECUENCIA 30
Comparen sus respuestas y comenten:
Además de la pareja que encontraron, ¿existirá otra pareja que cumpla con las dos pistas que dio don Matías a su hijo Raúl?, ¿cuál?
III. Representen en el plano siguiente las parejas que obtuvieron en la Tabla 1 y las pare-jas que obtuvieron en la Tabla 2.
Con un color unan los puntos que graicaron para la Tabla 1.
Con un color distinto unan los puntos que graicaron para la Tabla 2.
Número de chivos
Gráfica 1
Nú
mero
de v
aca
s
60
50
40
30
20
10
10 20 30 40 50 600x
y
¿Qué punto pertenece a las dos rectas que trazaron? ( , )
Comparen sus respuestas y comenten porqué el punto de intersección de las rectas que trazaron proporciona el número de chivos y vacas que tiene don Matías.
199
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosPara resolver un problema que involucre dos incógnitas y dos ecuacio-nes, hay que buscar dos valores que satisfagan las dos ecuaciones al mismo tiempo.
Si se graican las ecuaciones, el punto de intersección de las gráicas corresponde a la solución del problema.
Por ejemplo, si las ecuaciones de un problema son:
Ecuación 1: x + y = 40
Ecuación 2: y = 3x
Al graicar las ecuaciones se obtienen las siguientes rectas:
El punto de intersección de las rectas corresponde a la solución del problema x = 10 y y = 30. Estos valores satisfacen al mismo tiempo las dos ecuaciones.
40
35
30
25
20
15
10
5
5 10 15 20 25 30 35 400
y = 3x
(10, 30)
x + y = 40
x
y
200
SECUENCIA 30
Lo que aprendimosa) Una bolsa contiene en total 21 frutas, de las cuales algunas son peras y otras son
duraznos. ¿Cuántas peras y cuántos duraznos puede haber en la bolsa?
b) Si además sabemos que hay once peras más que duraznos, ¿cuántas peras y cuántos duraznos hay en la bolsa?
LA EDAD DE DON MATÍASPara empezarEn la sesión anterior aprendiste a plantear y resolver problemas con dos valores desco-nocidos por medio de dos ecuaciones. Para ello usaste procedimientos aritméticos y gráicos. En esta sesión plantearás y resolverás sistemas de ecuaciones por el método algebraico de sustitución.
Consideremos lo siguienteLa edad de don Matías es igual a cuatro veces la edad de Raúl. La suma de sus edades es 70 años.
¿Cuántos años tiene don Matías?
¿Cuál es la edad de Raúl?
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
Manos a la obraI. Para saber la edad de don Matías y su hijo consideren lo siguiente:
x representa la edad de don Matías;
y representa la edad de Raúl.
a) Completen la ecuación que representa el enunciado: La edad de don Matías es igual a cuatro veces la edad de Raúl.
Ecuación 1: x =
b) Completen la ecuación que representa el enunciado: La suma de sus edades es 70 años.
Ecuación 2: = 70
c) ¿Cuál sistema de ecuaciones corresponde a esta situación?
x = y + 4 y = 4x x = 4y
x + y = 70 x = 70 − y x + y = 70
Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3
SESIÓN 2
201
IIMATEMÁTICAS
d) ¿Por qué x = 40 , y = 30 no es una solución del sistema que seleccionaron aunque
40 + 30 = 70?
e) ¿Por qué x = 40, y = 10 no es solución del sistema, aunque 40 = 4(10)?
II. a) Con dos colores distintos, graiquen las rectas que corresponden a las dos ecuaciones del problema. Pueden hacer tablas para encontrar las parejas de puntos que necesi-ten.
b) ¿En qué punto se intersecan las rectas que trazaron? ( , )
Comparen sus respuestas y comenten porqué el punto de intersección de las rectas que trazaron proporciona la solución al problema de las edades de don Matías y Raúl.
Ed
ad
de R
aú
l en
añ
os
Edad de don Matías en años
70
60
50
40
30
20
10
10 20 30 40 50 60 700 x
y
202
SECUENCIA 30
III. A continuación se presenta otra manera de resolver el problema de las edades: el mé-todo de sustitución algebraica. Realicen las actividades y contesten lo que se pide.
a) La ecuación 1 se puede escribir como: x = 4y. Esta ecuación indica que el valor de x es igual a 4 veces el valor de y .
En la Ecuación 2, sustituyan x por 4y y resuelvan la ecuación que se obtiene des-pués de esta sustitución.
Ecuación 2: x + y = 70
Sustitución ( ) + y = 70
b) Como resultado de la sustitución obtuvieron una ecuación de una incógnita.
Resuélvanla y encuentren el valor de y. y =
Encuentren el valor de x. x =
c) Para comprobar los valores que encontraron, sustituyan en las ecuaciones 1 y 2 los valores de x y de y que encontraron.
E1: x + y = 70 E2: x = 4y
( ) + ( ) = 70 ( ) = 4( )
= 70 56 =
d) ¿Son verdaderas ambas igualdades que obtuvieron? ¿Por qué razón?
Comparen sus respuestas y comenten:
Una vez que encontraron el valor de y , ¿cómo encontraron el valor de x?
IV. En un sistema, no siempre se encuentra despejada una de las incógnitas, por ejemplo:
E1: x + y = 55
E2: y + 2 = 2x
En este caso, para aplicar el método de sustitución es necesario despejar primero una incógnita en una de las ecuaciones.
a) ¿Cuál incógnita despejarían? ¿de cuál ecuación la despejarían?
b) Despejen la incógnita que escogieron y solucionen el sistema por sustitución.
x =
y =
203
IIMATEMÁTICAS
c) Comprueben sustituyendo los valores de x y y en las ecuaciones 1 y 2.
Comparen sus respuestas y comenten: ¿en qué se ijaron para elegir la incógnita que con-viene despejar?
A lo que llegamosUna manera de resolver un sistema de ecuaciones es por el método de sustitución que, como su nombre lo indica, consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituir el resultado en la otra ecuación.
Por ejemplo, para resolver por sustitución el sistema:
E1: x + y = 95
E2: y = 3x − 5
Se hace lo siguiente:
1. Se sustituye la incógnita y por 3x – 5 en la Ecuación 1.
E1: x + y = 95
x + (3x – 5) = 95
2. Se resuelve la ecuación obtenida. 4x – 5 = 95
4x = 95 + 5
4x = 100
x = 25
3. Para encontrar el valor de y, se sustituye el valor de x en cualquiera de las ecuaciones. Si se sustituye en la ecuación 2, queda:
E2: y = 3x − 5
y = 3(25) – 5
y = 75 – 5
y = 70
4. Se comprueba las solución sustituyendo los valores encontrados de x y de y en las dos ecuaciones.
E1: x + y = 95
(25) + (70) = 95
95 = 95
E2: y = 3x − 5
(70) = 3(25) – 5
70 = 75 – 5
70 = 70
204
SECUENCIA 30
Lo que aprendimos1. Resuelve el siguiente problema usando un sistema de ecuaciones.
Hoy fue el cumpleaños de Mónica, la hija mayor de don Matías. Un invitado a la ies-ta le pregunta al papá.
— ¿Cuántos años cumple la muchacha compadre?
Para ocultar la edad de su hija don Matías le contestó.
— Las edades de mi hija y su servidor suman 72 años. Pero su edad es dos séptimos de la mía.
a) ¿Cuantos años tiene la hija de don Matías?
b) ¿Cuántos años tiene don Matías?
2. Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) E1: 2x – 8y = 2 b) E1: 2m + n = 4
E2: x = – 4y E2: m –2n = 7
COMPRAS EN EL MERCADOPara empezarEn esta sesión aplicarás el método de suma o resta para resolver un sistema de ecuaciones.
Consideremos lo siguiente Don Matías fue al mercado a vender gallinas y conejos. Doña Lupe le compró 5 gallinas y 3 conejos y pagó por ellos $425.00. Don Agustín le compró 3 gallinas y 3 conejos y pagó $309.00.
SESIÓN 3
205
IIMATEMÁTICAS
Contesten lo que se les pide a continuación para plantear y resolver este problema me-diante un sistema de ecuaciones. Usen la letra x para representar el precio de una gallina y la letra y para el precio de un conejo.
a) Completen la ecuación que representa lo que compró Doña Lupe:
E1: = 425
b) Completen la ecuación que representa lo que compró Agustín:
E2: = 309
Resuelvan el sistema de ecuaciones y contesten:
c) ¿Cuál es el precio de cada gallina? $
d) ¿Cuál es el precio de cada conejo? $
Veriiquen sus soluciones.
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
Manos a la obraI. ¿Cuál de los siguientes sistemas corresponde al problema anterior?
E1: x + y = 425 E1: 8xy = 425 E1: 5x + 3y = 425
E2: x + y = 309 E2: 6xy = 309 E2: 3x + 3y = 309
Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3
Comparen el sistema que seleccionaron y comenten porqué lo escogieron.
II. Cuando en ambas ecuaciones de un sistema una incógnita tiene el mismo coeiciente, conviene aplicar el método de suma o resta para eliminarla y simpliicar el sistema. Contesten lo que se les pide para aplicar este método.
a) En el sistema correspondiente al problema de las gallinas y los conejos, ¿cuál in-
cógnita tiene el mismo coeiciente en ambas ecuaciones? ;
¿qué coeiciente tiene?
b) Resten las ecuaciones 1 y 2 para eliminar a la incógnita que tiene el mismo coeiciente en las dos ecua-ciones. Completen.
– E1: + = 425
E2: + = 309
+ = 116
206
SECUENCIA 30
c) Encuentren el valor de x en la ecuación que obtuvieron. x =
d) Encuentren el valor de y. y =
e) Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y comprueben si los valores que encontraron para x y para y satisfacen las condiciones del problema planteado.
Gastos de doña Lupe Gastos de don Agustín
5 gallinas de $ cada una = $ 3 gallinas de $ cada una = $
3 conejos de $ cada una = $ 3 conejos de $ cada uno = $
Total $ Total $
Comparen sus respuestas.
III. Cuando en ambas ecuaciones los coeicientes de una misma incógnita sólo diieren en el signo, también conviene aplicar el método de suma o resta. Por ejemplo, para resolver el sistema:
E1: 5x + 3y = 425
E2: 3x − 3y = 39
conviene sumar las dos ecuaciones para eliminar los términos + 3y y − 3y y simpli-icar el sistema.
a) Sumen las ecuaciones 1 y 2. Completen.
E1: 5x + 3y = 425
E2: 3x – 3y = 39
+ =
+
b) Encuentren el valor de x en la ecuación que obtuvieron. x =
c) Encuentren el valor de y. y =
d) Veriiquen su solución sustituyendo en ambas ecuaciones los valores de x y de y
que encontraron.
Comparen sus respuestas.
207
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosCuando en las dos ecuaciones de un sistema los coeicientes de una misma incógnita son iguales o sólo diieren en el signo, conviene aplicar el método de suma o resta.
Por ejemplo, para resolver el siguiente sistema.
E1: 5x + 2y = 70 Se suman uno a uno los términos de las dos ecuaciones
E2: 3x − 2y = −14 y se cancelan los términos que tienen y.
8x + 0y = 56
8x = 56 Se resuelve la ecuación obtenida
x = 7 y se encuentra el valor de x.
E1: 5x + 2y = 70 En cualquiera de las ecuaciones, se sustituye el valor
5(7) + 2y = 70 obtenido para x, se resuelve la ecuación resultante
2y = 70 − 5(7) y se encuentra el valor de y.
2y = 35
y = 17.5
La solución se veriica sustituyendo los valores de x y de y en ambas ecuaciones.
Lo que aprendimos1. Plantea y resuelve en tu cuaderno un sistema de ecuaciones para solucionar el pro-
blema siguiente:
Toño y Paty compraron en una tienda cuadernos y lápices. Todos los cuadernos y lá-pices que se compraron son iguales entre sí.
Por 3 cuadernos y 2 lápices, Paty pagó $54.
Por 5 cuadernos y 4 lápices, Toño pagó $92.
a) ¿Cuál es el precio de cada cuaderno? $
b) ¿Cuál es el precio de cada lápiz? $
2. Resuelve por el método de suma o resta los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) E1: 2x − 8y = −8 b) E1: 4m + 3n = −1
E2: 3x − 8y = −10 E2: 6m − 6n = –5
208
SECUENCIA 30
LA IGUALACIÓNPara empezarEn esta sesión utilizarás el método de igualación para resolver un sistema de ecuaciones.
Consideremos lo siguienteEncuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones:
E1: y = 4x + 13
E2: 2x – 3 = y
x = , y =
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
Manos a la obraI. Una manera de resolver un sistema de ecuaciones cuando la misma incógnita está
despejada en las dos ecuaciones consiste en aplicar el método de igualación. Para eso hay que igualar las dos expresiones algebraicas que son equivalentes a la incógnita despejada.
a) ¿Qué ecuación se obtiene al igualar las dos expresiones algebraicas equivalentes a la incógnita y?
E1: y = 4x + 13
E2: 2x – 3 = y
=
Resuelvan la ecuación que obtuvieron.
b) ¿Cuál es el valor de x? , ¿cuál es el valor de y?
c) Veriiquen sus soluciones sustituyendo los valores que encontraron en las dos ecuaciones originales.
Comparen sus soluciones.
II. Encuentren el sistema de ecuaciones que corresponda al problema siguiente:
Doña Lupe fue a comprar queso. Por 2 quesos de vaca y 3 quesos de cabra pagó $300.00. Si un queso de vaca vale $30.00 menos que un queso de cabra, ¿cuánto vale una pieza de cada tipo de queso?
Usen las letras x y y para representar las incógnitas del problema.
x: precio de un queso de vaca.
y: precio de un queso de cabra.
SESIÓN 4
209
IIMATEMÁTICAS
a) ¿Qué ecuación representa el enunciado: por 2 quesos de vaca y 3 quesos de cabra pagó $300.00?
E1:
b) ¿Qué ecuación representa el enunciado: un queso de vaca vale $30.00 menos que un queso de cabra?
E2:
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
A lo que llegamosCuando en un sistema la misma incógnita está despejada en las dos ecuaciones, conviene aplicar el método de igualación. Para eso hay que igualar las expresiones algebraicas dadas en el despeje.
Por ejemplo, para resolver por igualación el sistema:
E1: x = 75 – 3y
2
E2: x = 25 + y
1. Se igualan las expresiones obteni-das mediante el despeje para la incógnita x.
75 – 3y
2 = 25 + y
2. Se resuelve la ecuación para obtener el valor de y.
75 – 3y = 2 (25 + y )
75 – 3y = 50 + 2y
75 – 50 = 2y + 3y
25 = 5y
5 = y
3. Para encontrar el valor de x, se sustituye el valor de y en cual-quiera de las ecuaciones. Por ejemplo, sustituyendo en la ecua-ción 2 queda:
x – y = 25
x – (5) = 25
x = 25 + 5
x = 30
4. Se comprueba las solución sustituyendo los valores encontrados de x y de y en las dos ecuaciones.
210
SECUENCIA 30
III. Algunas veces, antes de aplicar el método igualación hay que despejar alguna de las incógnitas. Realicen las siguientes actividades para resolver por igualación el sistema:
E1: 2x + 3y = 300
E2: x = y – 30
a) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones se obtiene al despejar la incógnita x de la ecua-ción 1? Subráyenla.
• x = (300 – 3y ) – 2
• x = 150 – 3y
• x = 300 – 3y
2
b) Igualen las expresiones que obtuvieron para la incógnita x. Completen la ecuación.
= y – 30
Resuelvan la ecuación que se obtiene.
c) ¿Cuánto vale x?
d) ¿Cuánto vale y?
e) Comprueben sus soluciones sustituyendo en las dos ecuaciones originales los valo-res que encontraron.
Comparen sus respuestas y comenten cómo resolverían un sistema de ecuaciones por el método de igualación, cuando no está despejada ninguna incógnita en las ecua-ciones.
Lo que aprendimosResuelve por el método de igualación los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)E1: c =
10 – b2
E2: c = 6 + b
2
b)E1: m =
7n – 4
8
E2: m = 3n + 6
6
c)E1: r =
–3s – 1
4
E2: 6r – 6s = –5
211
IIMATEMÁTICAS
LO QUE APRENDIMOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES1. Selecciona el método por el que resolverías cada uno de los siguientes sistemas de
ecuaciones y escribe la razón por la que lo harías.
Sistema de ecuaciones
Método (sustitución, suma o resta, igualación)
Razón por la que seleccionas el método
a + b = 20
a – b = 5
c = 3d + 5
3c + 2d = 59
m = 2 + n
m = – 4 + 3n
3x + 2y = 22
5x + 2y = 30
r = –3s – 1
4
r + 3s = 20
Comparen sus respuestas y comenten en qué circunstancias conviene usar cada método para resolver un sistema de ecuaciones.
2. Plantea un sistema de ecuaciones para cada uno de los siguientes problemas y resuél-velo por el método que consideres apropiado.
a) La suma de dos números es 72. Si el triple de uno de los números menos el otro
número es 16, ¿cuáles son esos números?
E1:
E2:
SESIÓN 5
212
SECUENCIA 30
b) El perímetro del triángulo es 14.4 cm y el del rectángulo es 23.6 cm, ¿cuánto valen x y z?
4x
z
3x
z +1
z – x
E1:
E2:
x = , z =
c) Un padre y su hijo ganan $15 000.00 al mes. ¿Cuánto gana cada uno si el padre percibe $3 600.00 más que el hijo?
E1:
E2:
El padre gana: al mes.
El hijo gana: al mes.
d) En un rectángulo el largo excede por 1.2 cm al doble del ancho; además, el largo mide 4.3 cm más que el ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
E1:
E2:
Ancho: cm.
Largo: cm.
x
2x + 1.2
x + 4.3
213
IIMATEMÁTICAS
e) El maestro Juan compró 12 balones, unos de fútbol y otros de básquetbol; los de fútbol valen $95.00 y los de básquet $120.00, ¿cuántos balones compró para cada deporte si en total pagó $1 265.00?
E1:
E2:
Balones de básquetbol que se compraron:
Balones de fútbol que se compraron:
Comparen sus respuestas y los procedimientos que utilizaron en cada problema. Comen-ten por qué seleccionaron cierto método de resolución en cada sistema de ecuaciones.
3. Para conocer más ejemplos de la solución de problemas mediante sistemas de ecua-ciones pueden ver el programa Resolución de sistemas de ecuaciones.
Para saber más
Sobre resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado consulta:http://descartes.cnice.mecd.es/
RUTA 1: Aplicaciones Álgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Resolución de sistemas de ecuaciones Método de Sustitución.RUTA 2: Aplicaciones Álgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Resolución de sistemas de ecuaciones Método de Reducción. [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.
214
SECUENCIA 31
En esta secuencia determinarás las propiedades de la rotación y de la traslación de iguras. Construirás y reconocerás diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de iguras.
¿HACIA DÓNDE ME MUEVO?Para empezarEn la secuencia 5 de tu libro Matemáticas I, volumen I construiste iguras simétricas con respecto a un eje. Estudiaste que un punto es simétrico a otro con respecto a una recta si se cumple que ambos puntos equidistan de la recta y el segmento que los une es perpendicular a ella. Cuando se traza el simétrico de una igura con respecto a un eje, se conservan las longitudes y los ángulos de la igura original.
Traza el simétrico del triángulo con respecto a la recta m. Utiliza tus instrumentos geométricos
SESIÓN 1
Traslación, rotación y simetría central
m
215
IIMATEMÁTICAS
Consideremos lo siguienteEl siguiente dibujo está incompleto. Debe haber 6 iguras iguales. Planeen y lleven a cabo una manera de terminarlo. Utilicen sus instrumentos geométricos.
Comparen sus respuestas. Comenten con los otros equipos el procedimiento que emplea-ron para terminar el dibujo.
Manos a la obraI. Este dibujo está mal terminado. Explica por qué.
216
SECUENCIA 31
II. Responde las preguntas.
B
A
C
D
F
E
a) Encuentra el vértice que corresponde al vértice A y el que corresponde al vértice B en la otra igura, nómbralos A’ y B’, respectivamente. Usa tu regla para unir A con A’ y B con B’, al hacerlo obtienes los segmentos AA’ y BB’ . Anota en la igu-ra la distancia entre A y A’ y entre B y B’.
b) Si prolongamos los segmentos AA’ y BB’ , ¿las rectas que se obtienen son parale-
las o perpendiculares?
c) Encuentra los vértices correspondientes a los vértices C, D, E, y F. Nómbralos C', D', E', y F', respectivamente. Anota en la igura la distancia entre C y C’, entre D y D’, E y E’, y entre F y F’.
d) ¿Cuál es el lado correspondiente al lado AB?
e) ¿Cuál es el lado correspondiente al lado CD?
f) Si prolongamos el lado AB y su correspondiente lado en la otra igura, ¿cómo son,
entre sí, las rectas que se obtienen?
g) Si prolongamos el lado CD y su correspondiente lado en la otra igura, ¿cómo son,
entre sí, las rectas que se obtienen?
217
IIMATEMÁTICAS
III. El siguiente dibujo cambió un poco. Encuentra los vértices correspondientes a los vértices G y H. Nómbralos G’ y H’, respectivamente.
G
H
a) Anota en la igura la distancia entre G y G’ y entre H y H’.
b) Traza los segmentos GG’ y HH’ . Si las prolongamos, ¿las rectas que se obtienen
son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos?
c) ¿Cuál es el lado correspondiente al lado GH?
d) Si prolongamos el lado GH y su correspondiente lado en la otra igura, ¿las rectas
que se obtienen son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos?
Comparen sus respuestas.
A lo que llegamosUna igura es una traslación de otra si los segmentos que unen dos puntos de la igura con sus correspon-dientes puntos en la otra, tienen la misma medida y son paralelos entres sí o son la misma recta.
Al prolongar dos lados correspondientes en las iguras se obtiene la misma recta o se obtienen rectas paralelas entre sí
5 cm
5 cm
4 cm
218
SECUENCIA 31
IV. Dibuja una traslación de la siguiente igura utilizando tus instrumentos geométricos; el vértice A’ debe ser el correspondiente al vértice A. Escribe el procedimiento que seguiste para trazarla.
A
A'
Procedimiento:
Comparen sus respuestas. Entre todos escriban en el pizarrón un procedimiento para trasladar iguras utilizando los instrumentos geométricos. Comenten cómo son los lados y los ángulos de la igura trasladada con respecto a la igura original.
A lo que llegamosAl trasladar una igura se conserva la medida de los lados y de los ángulos de la igura original.
219
IIMATEMÁTICAS
ROTACIONESPara empezarLa rueda es uno de los inventos más impor-tantes para la humanidad. Piensen en todo lo que se ha transportado con la ayuda de las ruedas. Actualmente muchos transportes (bi-cis, triciclos, motos, automóviles, camiones, autobuses, metro, aviones) utilizan llantas para trasladarse. En esta sesión vamos a estu-diar las rotaciones.
Consideremos lo siguienteEn la siguiente llanta hay una igura dibujada.
Al girar la llanta en sentido contrario al de las manecillas del reloj, la igura se va a mover. Traza sobre la llanta la nueva posición de la igura al hacer un giro de 80º.
La igura que dibujaste no es una traslación de la igura original. Explica por qué
¿De cuánto debe de ser el giro para que la igura vuelva a estar en la misma posición?
Comparen sus respuestas. Comenten en qué posición queda la igura si se hace un giro de 90°, de 180° y de 270°, en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
•
•
•
SESIÓN 2
220
SECUENCIA 31
Manos a la obraI. Al girar la llanta la igura quedó en la siguiente posición.
Escoge dos vértices, A y B, en una de las iguras. Encuentra los vértices correspon-dientes, A’ y B’, en la otra igura. El centro de la llanta nómbralo como punto C.
Usa tu regla para unir A con A’ y B con B’, al hacerlo obtienes los segmentos AA’ y BB’ . Responde las preguntas.
a) Encuentra las mediatrices de los segmentos AA’ y BB’ . Prolóngalas hasta que se
crucen. ¿En dónde se cruzan?
b) Mide el ángulo ACA’ y el ángulo BCB’. ¿Son iguales o son distintos?
c) ¿Cuánto mide el ángulo del giro que se realizó?
d) Los segmentos AC y A’C . ¿Miden lo mismo o distinto?
e) Los segmentos BC y B’C . ¿Miden lo mismo o distinto?
f) Los lados correspondientes y los ángulos correspondientes en las iguras, ¿son
iguales o son distintos?
221
IIMATEMÁTICAS
II. Los siguientes triángulos se obtuvieron al realizar un giro. Encuentra los vértices co-rrespondientes a los vértices A y B, nómbralos A’ y B’ en el otro triángulo. Encuentra el punto C sobre el que se hizo el giro. Calcula de cuánto es el ángulo de giro.
A
B
Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar de cuánto fue el giro que se realizó y respondan: ¿cómo son entre sí los lados correspondientes y los ángulos correspondientes en los dos triángulos?
A lo que llegamosCuando giramos una igura sobre un punto estamos haciendo una rota-ción. El punto se llama centro de rotación. La medida de cuánto giramos es el ángulo de rotación. Si la rotación se hace en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el ángulo de rotación es positivo. Si se hace en el sentido de las manecillas del reloj, el ángulo de rotación es negativo.
Al hacer una rotación con un ángulo de rotación de 360°, volvemos a la posición de la igura original.
Cuando una igura se obtiene rotando otra, los vértices correspondientes equidistan del centro de rotación y se conserva la medida de los lados y de los ángulos de la igura original.
222
SECUENCIA 31
III. En ocasiones, el centro de rotación está dentro de la igura que se va a rotar. Dibuja la posición de cada igura después de hacer la rotación indicada. En cada caso el centro de rotación está indicado con un punto rojo.
Angulo de rotación –90º Angulo de rotación 210º
a) Podemos obtener lo mismo al rotar con un ángulo de rotación positivo, que al rotar con un ángulo de –90°. ¿Cuál es ese ángulo?
b) Podemos obtener lo mismo al rotar con un ángulo de rotación negativo, que al rotar con un ángulo de 210°. ¿Cuál es ese ángulo?
IV. Copia las siguientes iguras en una hoja (es un triángulo equilátero, un cuadrado y un rectángulo), recórtalas y utiliza un lápiz o una pluma para ijar el centro de rotación dentro de la igura. Encuentra el centro de rotación de manera que se vuelva a la posición inicial al rotar la igura con un ángulo de rotación que mida entre –360° y 360°. Para cada i-gura indica la medida de todos los ángulos de rotación con los que se vuelve a la posición inicial (considera los ángulos de rotación positivos y los negativos).
Comparen sus respuestas. Comenten si un triángulo isósceles o un rombo pueden ser rotados con un ángulo de rotación que mida entre -360° y 360°, de manera que vuelvan a su posición inicial.
223
IIMATEMÁTICAS
SIMETRÍA CENTRALPara empezarMovimientos en el plano
Ya conoces tres movimientos en el plano: la simetría con respecto a un eje, la traslación y la rotación. En esta sesión conocerás un caso especial de la rotación: la simetría central.
Consideremos lo siguienteUtiliza tus instrumentos geométricos para trazar la igura que se obtiene al rotar la si-guiente igura, con centro en C y ángulo de rotación de 180º.
C
Comparen sus iguras. Comenten qué procedimiento utilizaron para realizar la rotación.
SESIÓN 3
A lo que llegamosPara rotar un polígono con respecto a un punto C y con un ángulo de rotación r :
1. Por cada vértice se traza la recta que une el vértice con el punto C.
2. Utilizando la recta que trazaste, se traza un ángulo igual al ángulo r . La recta debe ser uno de los lados del ángulo y el punto C debe ser el vértice del ángulo. Si el ángulo es positivo se traza el lado que falta en sentido contrario a las manecillas del reloj, si el ángulo es negativo se traza en el sentido de las manecillas del reloj.
3. Sobre el nuevo lado del ángulo se traslada la distancia entre el vértice del polígono y el punto C.
4. Se unen los vértices encontrados para formar el polígono rotado.
224
SECUENCIA 31
Manos a la obraI. Las siguientes iguras se obtuvieron al rotar la igura de la izquierda con un ángulo
de rotación de 180° y centro en C. Encuentra los vértices correspondientes a los vér-tices A y B, nómbralos A’ y B’. Une A con A’ y B con B’.
C
B
A
II. Responde las preguntas.
a) ¿Por dónde pasa el segmento AA’?
b) ¿Cuál es la distancia entre A y C?
c) ¿Cuál es la distancia entre A’ y C?
d) ¿Por dónde pasa el segmento BB’?
e) ¿Cuál es la distancia entre B y C?
f) ¿Cuál es la distancia entre B’ y C?
g) Escoge otro vértice y su correspondiente vértice en la otra igura. Únelos y escribe en el dibujo la distancia de cada uno de los dos vértices al centro.
h) Los lados correspondientes y los ángulos correspondientes en las iguras, ¿son
iguales o son distintos?
225
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosA una rotación sobre un centro C con un ángulo de 180º, se le llama una simetría central o simetría con respecto al punto C. Cuando dos puntos A y A’ son simétricos con respecto al punto C, A y A’ equidistan de C y los tres puntos son colineales.
A C A’
III. Traza el simétrico del triángulo PQR con respecto al punto C.
C
P
Q
R
a) ¿Cuáles puntos localizaste para trazar el triángulo simétrico?
b) Escoge un punto en el triángulo PQR, que no sea uno de sus vértices, y localiza su simétrico con respecto al punto C.
Comparen sus respuestas. Comenten cómo son los lados y los ángulos de la igura simé-trica con respecto a la igura original.
226
SECUENCIA 31
Para construir un polígono simétrico a otro con respecto a un punto:
1. Por cada vértice se traza la recta que pasa por el centro de simetría.
2. Sobre cada recta que se trazó se toma la distancia de cada vértice al centro de sime-tría y se traslada esa misma distancia del otro lado de la recta correspondiente.
3. Se unen los vértices encontrados para formar el polígono.
Es decir, se traza el simétrico de cada vértice con respecto al centro de simetría y se unen todos los vértices simétricos
Una igura simétrica a otra con respecto a un punto conserva la medida de los lados y de los ángulos de la igura original.
A lo que llegamos
IV. Traza el simétrico del triángulo ABC con respecto a la recta y , obtendrás el triángulo A’B’C’. Luego traza el simétrico del triángulo A’B’C’ con respecto a la recta x, obten-drás el tríangulo A’’B’’C’’. ¿Qué movimiento habría que hacer para pasar directamen-te ABC a A’’B’’C’’?
A
C
B
y
x
Comparen sus respuestas.
227
IIMATEMÁTICAS
ALGO MÁS SOBRE SIMETRÍAS, ROTACIONES Y TRASLACIONESLo que aprendimos1. Copia la siguiente igura. Haz una traslación y una rotación. Indica la distancia que
trasladaste la igura y el ángulo de rotación que utilizaste.
2. Con respecto al triángulo rojo, ilumina de azul los triángulos que sean una traslación, de amarillo los que sean una rotación y de verde los que sean simétricos con respecto a un eje.
SESIÓN 4
228
SECUENCIA 31
3. Traza el simétrico del triángulo ABC con respecto a la recta m, obtendrás el triángu-lo A’B’C’. Luego traza el simétrico del triángulo A’B’C’ con respecto a la recta n y obtendrás el tríangulo A’’B’’C’’. ¿Qué movimiento habría que hacer para pasar direc-tamente ABC a A’’B’’C’’?
A
m
C
B
n
4. Encuentra el simétrico del triángulo ABC con respecto a la recta s. Se obtiene el triángulo A’B’C’. Luego encuentra el simétrico de A’B’C’ con respecto a la recta t. ¿Qué movimiento habría que hacer para pasar directamente del triángulo ABC al tercer triángulo que obtuviste?
5. Para conocer más propiedades de las rotaciones, traslaciones y simetrías del plano pueden ver el programa Rotación y traslación de figuras.
A
B
C
s
t
229
IIMATEMÁTICAS
Para saber más
Sobre movimientos en el plano consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a las formas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
También puedes consultar:http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Movimientos_en_el_plano/index_movi.htm
Ruta 1: Índice TraslacionesRuta 2: Índice GirosRuta 3: Índice Simetrías[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.
Explora las actividades del interactivo Movimientos en el plano.
230
SECUENCIA 32
En esta secuencia aprenderás a distinguir en diversas situaciones de azar cuando dos eventos son mutuamente excluyentes o cuando no son mutuamente excluyentes y determinarás la forma en que se calcula su probabilidad de ocurrencia.
¿CUÁNDO DOS EVENTOS SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES?Para empezar¿Cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes?
En la secuencia 27 de tu libro de Matemáticas II, volumen II, realizaste experimentos aleatorios con monedas y dados para estudiar cuándo dos o más eventos son indepen-dientes; en esta sesión realizaremos algunos experimentos y veremos algunas situaciones para distinguir cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes.
SESIÓN 1
Eventos mutuamente excluyentes
Material
Dos bolsas de plástico oscuras.
Una hoja blanca.
Corten la hoja en 12 partes iguales; nume-ren los papelitos del 1 al 6, de modo que haya dos papelitos con el número 1, dos con el 2, etc. Coloquen en una bolsa un juego de papelitos numerados del 1 al 6 y en la otra los otros 6 papelitos. Marquen una de las bolsas con el número I y la otra con el II.
Ahora, el experimento que van a realizar con-siste en sacar dos papelitos al azar, uno de cada bolsa, y luego los regresan a las bolsas que les corresponden.
•
•
•
231
IIMATEMÁTICAS
Número de extracción
Bolsa I Bolsa IINúmero de extracción
Bolsa I Bolsa II
1 6
2 7
3 8
4 9
5 10
Recuerden que:
Un experimento aleatorio es todo proceso que produce un resultado u observación
que está fuera de control y que depende del azar.
Al conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio lo llamamos
espacio muestral, espacio de eventos o conjunto de resultados. Por ejemplo, al
realizar el experimento de lanzar un dado (no trucado), obtenemos el siguiente
espacio muestral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Como el espacio muestral es un conjunto, podemos formar subconjuntos de él que
llamamos eventos. Por ejemplo, el evento A es obtener un número par al lanzar un
dado; los resultados favorables son: {2,4,6}.
En este experimento aleatorio, ¿cuántos y cuáles son todos los resultados posibles que
creen que hay?
Consideremos lo siguienteTres eventos que pueden ocurrir al realizar el experimento de sacar dos papelitos al azar, uno de cada, bolsa anotar los números que salen y regresarlos a las bolsas son:
A: "Los dos papelitos muestran el mismo número".
B: "La suma de los números de los dos papelitos es 7".
C: "La suma de los números de los dos papelitos es 10".
a) Si sacan de la bolsa I el papelito que tiene el número 4, y de la bolsa II el papelito
con el número 3, es decir, sacan 4 y 3, ¿a cuál de los tres eventos es favorable este
resultado?
b) ¿Cuál es un resultado favorable al evento C?
232
SECUENCIA 32
c) Si ocurre que la suma de los números en los dos papelitos es 7, ¿es posible que la
suma de esos números también sea 10? Si es así, escriban un ejemplo.
d) Si ocurre que los dos papelitos muestran el mismo número, ¿puede ocurrir, al mis-
mo tiempo, que la suma de los números de los dos papelitos sea 10?
Si es así, escriban un ejemplo.
e) Si ocurre que los dos papelitos muestran el mismo número, ¿puede ocurrir que la
suma de esos números sea 7? Si es así, escriban un ejemplo.
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.
Manos a la obraI. Utilicen los resultados que obtuvieron al realizar 10 veces el experimento de sacar
dos papelitos al azar, uno de cada bolsa, para completar la siguiente tabla y contestar las preguntas de los incisos.
A: "los dos papelitos muestra el mismo
número".
B: "la suma de los números de los dos
papelitos es 7".
C: "la suma de los números de los dos
papelitos es 10".
a) De los resultados que obtuvieron, ¿alguno es favorable al evento A?
¿Al evento B? ¿Y al evento C?
b) ¿Qué otros resultados creen que podrían obtener que fueran favorables al evento
A?
c) ¿Qué otros resultados creen que podrían obtener que fueran favorables al evento
B?
¿Y al evento C?
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.
233
IIMATEMÁTICAS
II. En el siguiente arreglo rectangular se muestran todos los resultados posibles que pueden ocurrir al sacar dos papelitos al azar, uno de cada bolsa, anotar los números y regresarlos. Marquen con color azul los resultados favorables al evento A: "los dos papelitos muestran el mismo número"; con color rojo, los resultados favorables al evento B: "la suma de los números de los dos papelitos es 7" y con color verde, los del evento C: "la suma de los números de los dos papelitos es 10".
Bolsa II
Bols
a I
1 2 3 4 5 6
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
Consideren el arreglo rectangular anterior para responder las siguientes preguntas.
a) En total, ¿cuántos resultados posibles hay para este experimento?
b) ¿Cuántos resultados favorables tiene el evento A?
c) ¿Cuántos resultados favorables tiene el evento B?
¿Y el evento C?
Si se consideran todos los resultados favorables del evento A y del evento B, es decir, todos los resultados que están marcados de color azul o de color rojo, se podría deinir un nuevo evento “los dos papelitos muestran el mismo número o la suma de los números de los papelitos es 7”.
d) ¿Cuáles resultados son favorables a “los dos papelitos muestran el mismo número o la suma de los números de los dos papelitos es 7”? Escríbanlos en el siguiente recuadro:
Resultados favorables al evento A o al evento B
234
SECUENCIA 32
e) ¿Hay algún resultado que esté marcado de color azul y de color rojo a la vez, es
decir, “los dos papelitos muestran el mismo número y la suma de los números de
los dos papelitos es 7 al mismo tiempo”?
¿Cuál o cuáles?
f) ¿Cuántos resultados favorables diferentes hay para el evento “los dos papelitos
muestran el mismo número o la suma de los números es 7”? (Cuenten una sola vez
los resultados que se “comparten”).
g) Sumen el número de resultados favorables del evento A y los del evento B, ¿cuál
es la suma?
h) Si comparan el número de resultados favorables al evento: “los dos papelitos
muestran el mismo número o la suma de los números de los dos papelitos es 7”,
con la suma de los resultados favorables del evento A y los del evento B, ¿es igual
o diferente el número de resultados favorables?
III. Si se realiza el experimento de sacar dos papelitos al azar, uno de cada bolsa, anotar los números que salen y regresarlos a las bolsas otro evento que puede considerarse es “los dos papelitos muestran el mismo número o la suma de los números de los dos papelitos es 10”.
a) Ahora, ¿cuáles son los resultados favorables a este nuevo evento?
Resultados favorables al evento A o al evento C
b) ¿Hay algún resultado favorable que se repita, es decir, el resultado es favorable al
evento A y al evento C? ¿Cuál o cuáles?
c) ¿Cuántos resultados favorables diferentes hay (cuenten una sola vez los resulta-
dos que se repiten)?
d) Sumen el número de resultados favorables del evento A y el del evento C. ¿Cuán-
to vale la suma?
e) ¿Es igual o diferente el número de resultados favorables del evento: “los dos pa-
pelitos muestran el mismo número o la suma de los números de los dos papelitos
es 10” con el valor de la suma de los resultados favorables del evento A y los del
evento C?
235
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosSe dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si los resulta-dos favorables que se obtienen para cada evento son distintos, es decir, si ocurre uno de los eventos imposibilita la ocurrencia del otro.
Por ejemplo, se lanza un dado (no trucado) y se observa el número de la cara superior que cae. Dos eventos que pueden ocurrir son:
A: “cae número par”.
B: “cae número impar”.
Los resultados favorables de cada evento son:
A = {2,4,6}
B = {1,3,5}
Como todos los resultados son distintos, los eventos son mutuamente excluyentes.
Esto signiica que, si se lanza un dado y ocurre que cae número par, es imposible que ese número sea impar al mismo tiempo.
En cambio, si se deine un tercer evento, C “cae un múltiplo de 3”, sus resultados favorables son: {3,6}.
El evento A “cae número par” y el evento C “cae múltiplo de 3” no son mutuamente excluyentes porque el número 6 es un resultado favorable común a ambos eventos.
IV. Determinen si cada una de las parejas de eventos siguientes son o no eventos mutua-mente excluyentes:
a) Se sacan dos papelitos, uno de cada bolsa: “cada papelito muestra el mismo nú-
mero” y “la suma de los números en los dos papelitos es 7”.
b) Se sacan dos papelitos, uno de cada bolsa: “cada papelito muestra el mismo nú-
mero” y “la suma de los números en los dos papelitos es 10”.
c) Se sacan dos papelitos, uno de cada bolsa: “la suma de los números en los dos
papelitos es 7” y “la suma de los números en los dos papelitos es 10”.
236
SECUENCIA 32
SESIÓN 2
Lo que aprendimos1. Deine dos eventos diferentes a los que analizaste anteriormente; identifícalos
como:
Evento D:
Evento E:
a) En tu cuaderno, determina los resultados favorables a cada evento.
b) Reúne los resultados favorables del evento D y los del evento E, ¿cuántos resulta-
dos favorables tienen en común?
¿Son los eventos D y E mutuamente excluyentes?
c) Si unes los resultados favorables del evento A y los del evento D, ¿cuántos resul-
tados tienen en común?
¿Son los eventos A y D mutuamente excluyentes?
d) Si unes los eventos B y E, ¿cuántos resultados tienen en común?
¿Son los eventos B y E mutuamente excluyentes?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Escribe en tu cuaderno los eventos mutuamente excluyentes que sean diferentes a los que tú anotaste.
CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTESPara empezarEn la sesión anterior aprendiste a distinguir cuándo dos eventos son mutuamente exclu-yentes o no son mutuamente excluyentes; en esta sesión aprenderás a calcular la proba-bilidad de que ocurra cualquiera de los dos eventos.
Consideremos lo siguienteLa siguiente tabla muestra el número de personas que laboran en una fábrica. Complétenla.
Tiempo completo
Medio tiempo
Total por sexo
Mujeres 60 20
Hombres 80 40
Total por turno
237
IIMATEMÁTICAS
Si se selecciona al azar a un trabajador de la fábrica, sean los siguientes eventos:
A: "trabaja tiempo completo".
B: "es hombre".
C: "trabaja medio tiempo y es mujer".
a) Si se selecciona al azar a un trabajador de tiempo completo, ¿puede ocurrir que
sea hombre al mismo tiempo?
¿Son mutuamente excluyentes los eventos A y B?
b) Si se selecciona al azar a un trabajador de tiempo completo, ¿puede ocurrir que
también trabaje medio tiempo?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar sea hombre?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar trabaje tiempo
completo?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar tra-
baje medio tiempo y sea mujer?
f) ¿Cuál creen que es la probabilidad de que el trabajador seleccionado
trabaje tiempo completo o que trabaje medio tiempo y sea mujer?
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten cómo obtuvieron las
probabilidades en los incisos c) al f).
Manos a la obraI. Utilicen la tabla anterior para contestar las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántas personas trabajan tiempo completo?
¿Y cuántas personas trabajan medio tiempo?
Recuerden que:
La probabilidad es un
número mayor o igual
que cero y menor o
igual que 1.
238
SECUENCIA 32
b) ¿Cuántos trabajadores son mujeres?
c) ¿Cuántas personas trabajan medio tiempo y son mujeres?
d) En la tabla, ¿qué representa el número 40?
e) En total, ¿cuántos trabajadores hay en la fábrica?
f) ¿Cuál o cuáles de las siguientes parejas de eventos son mutuamente excluyentes?
Márquenlas con una .
Se selecciona a un trabajador al azar de la fábrica: “la persona seleccionada
trabaja tiempo completo” o “el trabajador seleccionado es mujer”.
Se selecciona a un trabajador al azar de la fábrica: “la persona seleccionada
trabaja tiempo completo” o “el trabajador seleccionado trabaja medio tiem-
po y es mujer”.
Se selecciona a un trabajador al azar de la fábrica: “la persona seleccionada
es hombre” o “el trabajador seleccionado trabaja medio tiempo y es mujer”.
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten cómo determinaron que
eventos son mutuamente excluyentes.
II. Completen el siguiente arreglo rectangular con las probabilidades que corresponden a cada evento, observen los ejemplos:
Tiempo completo Medio tiempo Total por sexo
Mujeres 20
200 = 10
100 = 1
10
Hombres80
200 =
Total por turno
200 200=1
a) Si se selecciona al azar a un trabajador, ¿cuál es la probabilidad de que trabaje tiempo completo?
P(trabaja tiempo completo) = P(A) =
Recuerden que:
Si dos eventos son
mutuamente exclu-
yentes significa que si
ocurre uno no puede
ocurrir el otro y no
tienen resultados
favorables en común.
239
IIMATEMÁTICAS
b) ¿Cuál es la probabilidad del evento C?
P(trabaja medio tiempo y es mujer) = P(C) =
c) Si se selecciona al azar a un trabajador, ¿cuál es la probabilidad de que trabaje
tiempo completo y trabaje medio tiempo y sea mujer, es decir, ocurre el evento
(A y C)?
P(trabaja tiempo completo y trabaja medio tiempo y es mujer) = P(A y C) =
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar trabaje tiempo
completo o trabaje medio tiempo y sea mujer? (No consideren el número de tra-
bajadores que cumple con ambos eventos a la vez).
P(trabaja tiempo completo o trabaja medio tiempo y es mujer) =
e) Comparen el valor de la probabilidad que obtuvieron en el inciso d) con la suma
de las probabilidades de los incisos a) y b), ¿son iguales o diferentes?
Si son diferentes, ¿cuál es la diferencia?
III. Nuevamente, utilicen los valores de la probabilidad que obtuvieron en la tabla de la actividad II del apartado Manos a la obra para contestar las siguientes preguntas.
a) ¿Cuántas son las personas que trabajan tiempo completo y son hombres a la vez?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar trabaje tiempo
completo y sea hombre?
P(trabaja tiempo completo y sea hombre) = P(A y B) =
c) ¿Cuántas son las personas que trabajan tiempo completo o son hombres? (No
consideren el número de trabajadores que cumple con ambos eventos a la vez)
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar trabaje tiempo
completo o sea hombre?
P(trabaja tiempo completo o sea hombre) = P(A o B) =
e) Comparen el valor de la probabilidad que obtuvieron en el inciso d) con la suma
de la probabilidad del evento "trabaja tiempo completo" y la probabilidad del
evento "es hombre", ¿son iguales o diferentes?
Si son diferentes, ¿cuál es la diferencia?
f) Comparen esa diferencia con la probabilidad del evento (A y B) obtenida en el
inciso b), ¿son iguales o diferentes? ¿Por qué consideran que se
obtiene esa diferencia?
240
SECUENCIA 32
A lo que llegamosCuando dos eventos son deinidos en un espacio muestral y son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos se obtiene sumando las probabilidades de cada evento. Esto se expresa de la siguiente manera:
P(A o B)= P(A) + P(B)
Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno u otro se obtiene sumando las probabilidades de cada evento menos la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo. Lo cual se expresa de la siguiente manera:
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
Esta regla recibe el nombre de regla de la suma o de la adición.
El caso especial de esta regla es cuando los eventos son mutuamente excluyentes porque entre los eventos no hay resultados favorables que se “compartan” por lo que no hay doble cuenta de resultados.
MÁS PROBLEMAS DE PROBABILIDADLo que aprendimos1. Realiza una encuesta con tus compañeros de grupo. Pregúntales:
¿Viven en la misma localidad (o colonia) en que se encuentra su escuela?
Anota también el sexo de cada uno y completa la siguiente tabla.
Alumnos del grupo:
Vive en la misma localidad Total
Sí No
Mujeres
Hombres
Total
SESIÓN 3
241
IIMATEMÁTICAS
Si se selecciona al azar a un alumno de tu grupo, y se deinen los siguientes eventos:
A: "vive en la misma localidad (o colonia) en que se encuentra la escuela".
B: "es mujer".
C: "no vive en la misma localidad (o colonia) en que se encuentra la escuela".
a) Si se selecciona al azar a un alumno que vive en la misma localidad en que se
encuentra la escuela, ¿puede ocurrir que sea mujer al mismo tiempo?
b) Si se selecciona al azar a un alumno que vive en la misma localidad en que se
encuentra la escuela, ¿puede ocurrir que también no viva en la misma localidad
en que se encuentra la escuela?
c) De acuerdo con los datos que anotaron en la tabla, ¿cuál o cuáles de las siguientes
parejas de eventos son mutuamente excluyentes? Márquenlas con una .
Se selecciona al azar a un alumno de tu grupo: “vive en la misma localidad en que se encuentra la escuela” o “el alumno seleccionado es mujer”.
Se selecciona al azar a un alumno de tu grupo: “vive en la misma localidad en que se encuentra la escuela” o “no vive en la misma localidad en que se en-cuentra la escuela”.
Se selecciona al azar a un alumno de tu grupo: “es hombre” o “vive en la misma localidad en que se encuentra la escuela”.
Se selecciona al azar a un alumno de tu grupo: “es hombre” o “es mujer”.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar sea hombre?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar no viva en la misma
localidad en que se encuentra la escuela?
f) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar viva en la misma
localidad en que se encuentra la escuela o no viva en la misma localidad en que
se encuentra la escuela y sea mujer?
g) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar viva en la misma
localidad en que se encuentra la escuela o sea mujer?
En la secuencia 9 de tu libro Matemáticas II, volumen I resolviste problemas de conteo utilizando tablas, diagramas de árbol y enumeraciones y otras técnicas de conteo. Uno de los problemas que trabajaste en esa secuencia se presentan a continuación.
242
SECUENCIA 32
2. Con los dígitos 2, 4, 8, 5 queremos formar números de tres cifras, en cada número no se puede repetir ninguno de los dígitos. En total, ¿cuántos números podemos formar? Hagan una lista con todos los números, observen los ejemplos.
2 4 5 4 2 5 5 2 4 8 2 4
2 4 8
2 5 4
2 5 8
2 8 4
2 8 5
Si un número de 3 dígitos se escoge de forma aleatoria de todos los números que pueden formarse del conjunto de dígitos anterior (2, 4, 5, y 8), y si se deinen los si-guientes eventos:
A: "el primero de los 3 dígitos es 5".
B: "el número es múltiplo de 5".
C: "el número es mayor que 800".
D: "el número es múltiplo de 4".
a) ¿Cuántos son los resultados favorables al evento A?
b) ¿Cuáles son los resultados favorables al evento B?
¿Cuántos son los resultados favorables de ese evento?
c) ¿Cuántos son los resultados favorables al evento C?
d) ¿Cuáles son los resultados favorables al evento D?
¿Cuántos son los resultados favorables de ese evento?
e) ¿Cuáles de los siguientes eventos son mutuamente excluyentes? Marquen con una .
Se escoge un número de 3 dígitos de forma aleatoria de todos los números que pueden formarse del conjunto de dígitos de 2, 4, 5, y 8 sin repetir: “el número es múltiplo de 5” o “el número es mayor que 800”.
Se escoge un número de 3 dígitos de forma aleatoria de todos los números que pueden formarse del conjunto de dígitos de 2, 4, 5, y 8 sin repetir: “el primero de los 3 dígitos es 5” o “el número es múltiplo de 5”.
243
IIMATEMÁTICAS
Se escoge un número de 3 dígitos de forma aleatoria de todos los números que pueden formarse del conjunto de dígitos de 2, 4, 5, y 8 sin repetir: “el número es múltiplo de 5” o “el número es múltiplo de 4”.
Se escoge un número de 3 dígitos de forma aleatoria de todos los números que pueden formarse del conjunto de dígitos de 2, 4, 5, y 8 sin repetir: “el número es mayor que 800” o “el número es múltiplo de 4”.
f) ¿Cuál es la probabilidad del evento (A o B)?
g) ¿Cuál es la probabilidad del evento (B o C)?
h) ¿Cuál es la probabilidad del evento (B o D)?
i) ¿Cuál es la probabilidad del evento (C o D)?
3. Para conocer más situaciones de azar en los que se calcula la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes pueden ver el programa Probabilidad y eventos mutua-mente excluyentes.
Para saber más
Sobre otros ejemplos de problemas de eventos mutuamente excluyentes, consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Juego sucio”, en Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Post Kij, Kjardan. Esa condenada mala suerte. México: SEP/Editorial Motino, Libros del Rincón, 2001.
Exploren las actividades de los interactivos Probabilidad. Eventos mutuamente exclu-yentes y Azar y probabilidad con Logo.
244
SECUENCIA 33
En esta secuencia representarás gráicamente un sistema de ecuacio-nes lineales y estudiarás la relación entre la intersección de las grái-cas y la solución del sistema.
LA FERIA GANADERAPara empezarEn la secuencia 30 aprendiste a resolver sistemas de ecuaciones por diferentes métodos algebraicos. En esta sesión estudiarás la relación entre la solución de un sistema y la in-tersección de las rectas que corresponden a las ecuaciones del sistema.
Consideremos lo siguienteDon Matías va de Toluca a Morelia para asistir a la feria ganadera que se celebrará en la capital del estado de Michoacán. Va en un camión de pasajeros que viaja a velocidad constante de 60 km/h.
A don Matías se le olvidaron unos papeles para la compra de vacas. Uno de sus trabaja-dores va a intentar alcanzarlo en motocicleta, sale cuando don Matías ya va en el kiló-metro 30 de la carretera. La motocicleta viaja a 80 km/h.
SESIÓN 1
Representación gráfica de sistemas de ecuaciones
¿En qué kilómetro de la carretera Toluca – Morelia, el motociclista alcanzará al camión?
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
Toluca
Atlacomulco
Maravatío
Morelia
km 30
245
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obraI. Para resolver este problema, es útil usar álgebra. Usen las letras d y t para represen-
tar:
d, la distancia recorrida en kilómetros,
t, el tiempo en horas, tomado a partir de que el motociclista sale de Toluca.
Contesten las siguientes preguntas para encontrar las expresiones algebraicas que permiten encontrar la distancia recorrida d a partir del tiempo t, tanto para el camión como para la motocicleta.
a) La motocicleta va a 80 km/h, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido en una hora?
b) ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?
c) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en t horas?
d) Cuando la motocicleta salió de Toluca el camión ya había recorrido 30 km. ¿En
qué kilómetro estaba el camión una hora después de que salió el motociclista?
e) ¿En qué kilómetro estaba el camión 2 horas después de que salió el motociclista?
f) ¿En qué kilómetro estaba t horas después de que salió el motociclista?
Comparen sus respuestas y comenten: ¿porqué la expresión d = 60t no permite en-contrar la distancia d recorrida por el camión después de t horas de que la motoci-cleta salió de Toluca?
II. Graiquen las expresiones algebraicas que encontraron, para eso, realicen lo que se les pide a continuación.
a) Completen las siguientes tablas usando las expresiones de la distancia d y el tiem-po t que para el camión y la motocicleta.
Camión Motocicleta
Expresión: d = Expresión: d =
t d Punto (t , d ) t d Punto (t , d )
0 30 (0,30) 0 0 (0,0)
1 80
2 2
2 12 2 34
246
SECUENCIA 33
b) En el siguiente plano cartesiano graiquen las expresiones para el camión y la motocicleta.
Tiempo en horas
Dis
tan
cia
re
corr
ida
de
sde
To
luca
d
t
240
220
200
160
120
80
40
0 1 2 3
Contesten las siguientes preguntas.
c) ¿Aproximadamente en qué kilómetro de la carretera Toluca - Morelia el motoci-
clista alcanzará a don Matías?
d) ¿Aproximadamente en cuánto tiempo lo alcanzará?
Comparen sus respuestas y comenten:
Para ubicar con precisión la distancia donde don Matías es alcanzado por el motociclista, es recomendable resolver el sistema de ecuaciones mediante algún método algebraico.
a) ¿Qué método escogerían para resolver este sistema?
b) ¿Por qué razón lo escogerían?
III. Apliquen el método que escogieron y resuelvan el sistema.
a) ¿Cuál es el valor de la incógnita t ? t =
b) ¿Cuál es el valor de la incógnita d? d =
Comparen sus respuestas y comenten:
a) ¿En qué tiempo alcanzará el motociclista a don Matías?
b) ¿En qué kilómetro de la carretera Toluca – Morelia el motociclista alcanza a don Matías?
c) ¿Los valores de d y t obtenidos mediante el método que eligieron son iguales o son próximos a los estimados mediante la representación gráica de las ecuaciones?
247
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamosLa representación gráica de un sistema de ecuaciones permite encon-trar la solución del sistema al encontrar las coordenadas del punto de intersección de las rectas correspondientes a las ecuaciones.
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones:
d = 60t
d = 40t + 30
tiene la siguiente representación gráica:
d
t
240
200
160
120
80
40
1 1.5 2 3
Punto de intersección
d = 60t
d = 40t + 30
90
0
Para encontrar con precisión la solución se puede usar un método algebraico.
Lo que aprendimos1. Si en el problema toman como momento inicial cuando salió el camión, contesta lo
siguiente:
a) El camión va 60 km/h, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido en 1 hora?
b) ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?
c) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en t horas?
d) Después de que el camión salió de Toluca, ¿cuánto tiempo pasó para que saliera la
motocicleta? (Recuerda que: el camión ya había recorrido 30 km).
248
SECUENCIA 33
e) ¿En qué kilómetro estaba la motocicleta media hora después de que salió el ca-
mión?
f) ¿En qué kilómetro estaba el motociclista 1 hora después de que salió el camión?
g) ¿En qué kilómetro estaba el motociclista 11 2 hora después de que salió el camión?
h) ¿En qué kilómetro estaba el motociclista t horas después de que salió el camión?
i) Encuentra el sistema de ecuaciones y grafícalo.
j) Compara esta solución con la que obtuviste antes, ¿son iguales o distintas? ¿Por qué?
2. Ricardo, un hijo de don Matías, también trata de alcanzarlo, sólo que cuando él sale de Toluca, su papá le lleva una ventaja de 50 km. Ricardo viaja en su automóvil a 80 km/h.
a) Encuentra el sistema de ecuaciones que corresponde a este problema.
Sistema de ecuaciones (recuerda que el camión donde viaja don Matías va a 60 km/h)
E1: (ecuación que corresponde a don Matías).
E2: (ecuación que corresponde a Ricardo).
b) Para representar gráicamente el sistema anterior, completa las tablas para deter-minar las coordenadas de algunos puntos de las rectas que corresponden a cada ecuación.
Camión Automóvil
Ecuación 1: d = 60t + 50 Expresión: d =
t d Punto (t , d) t d Punto (t , d)
0 50 (0,50) 0 0 (0,0)
110 120
2 2
2 34 2 34
249
IIMATEMÁTICAS
c) Representa gráicamente el sistema de ecuaciones.
Tiempo en horas
Dis
tan
cia
re
corr
ida
de
sde
To
luca
d
t
240
220
200
160
120
80
40
0 1 2 3
De acuerdo a la gráica que elaboraste estima:
d) ¿En qué kilómetro Ricardo alcanza a su papá?
e) ¿Cuánto tiempo tardará en lograrlo?
f) Resuelve el sistema de ecuaciones que se forma al igualar el lado derecho de las ecuaciones E1 y E2.
80t = 60t + 50
t =
g) Si sustituyes el valor de t en cualquiera de las ecuaciones E1 o E2 y haces las ope-raciones indicadas, ¿qué valor obtienes para d?
d=
¿DÓNDE ESTÁ LA SOLUCIÓN?Para empezarEn la sesión 1 de esta secuencia aprendiste a resolver sistemas mediante la represen-tación gráica de las ecuaciones, ¿qué signiica si al graicar las dos ecuaciones de un sistema obtienes dos rectas paralelas?, ¿cuál es el resultado de este sistema? Estas preguntas podrás contestarlas al terminar de estudiar esta lección.
SESIÓN 2
250
SECUENCIA 33
Consideremos lo siguienteResuelvan el siguiente sistema de ecuaciones:
y = 3x + 2
y = 3x
x = , y =
Comparen sus respuestas y comenten:
a) ¿Qué método de solución usaron para resolver el sistema?
b) ¿Tiene solución el sistema?
c) Si tiene solución, ¿cuál es?
d) Si no tiene solución, ¿por qué creen que no tenga?
Manos a la obraI. Completen la siguiente tabla para encontrar algunas parejas de números que cum-
plan con las ecuaciones. Después, graiquen los puntos que obtengan.
Recta 1: y = 3x + 2 Recta 2: y = 3x
x y Punto (x , y) x y Punto (x , y)
–1 –1
0 0
1 1
2 2
y
x
12
10
8
6
4
2
–2
–4
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 100
251
IIMATEMÁTICAS
Contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto es la ordenada al origen de la recta 1?
b) ¿Cuánto es la ordenada al origen de la recta 2?
c) ¿Cuánto es la pendiente de la recta 1?
d) ¿Cuánto es la pendiente de la recta 2?
Comparen sus respuestas y comenten: ¿existirá algún punto común a las dos rectas? ¿Cuál?
II. Resuelvan el siguiente problema:
Hallar dos números tales que tres veces el segundo menos seis veces el primero, den nueve como resultado; y que, al mismo tiempo, doce veces el primero menos seis veces el segundo, den dieciocho como resultado.
Los números son: y
Comparen sus respuestas. Comenten:
a) ¿Qué método usaron para encontrar los números?
b) ¿Creen que se puedan encontrar los dos números que se piden en el problema?
III. Contesten lo que se les pide:
a) Si se usa la letra x para representar al primer número y la letra y para representar al segundo número, ¿cuál de las siguientes parejas de ecuaciones corresponde al problema? Subráyenla.
Ecuación 1: Ecuación 2:
3x – 6y = 9
12x – 6y = 18
Ecuación 1: Ecuación 2:
3xy = 9 6xy = 18
Ecuación 1: Ecuación 2:
3y – 6x = 9 12x – 6y = 18
b) Completen la siguiente tabla para encontrar algunas parejas de números que cumplan con las ecuaciones que escogieron. Después, graiquen los puntos que obtengan.
Recta 1: Recta 2:
x y Punto (x , y) x y Punto (x , y)
–1 –1
0 0
1 1
4 4
Recuerda que:
Si la ecuación de la recta es de la
forma y = mx + b, la pendiente
de la recta corresponde al
número m y la ordenada al
origen corresponde al número b.
Además, la ordenada al origen
de una recta es la ordenada del
punto de intersección de la recta
con el eje Y.
252
SECUENCIA 33
Contesten las siguientes preguntas.
a) ¿Cuánto es la ordenada al origen de la recta 1?
b) ¿Cuánto es la ordenada al origen de la recta 2?
c) ¿Cuánto mide el ángulo de inclinación de la recta 1?
d) ¿Cuánto mide el ángulo de inclinación de la recta 2?
Comparen sus respuestas y comenten:
a) ¿Existirá algún punto común a las dos rectas? ¿Cuál?
b) ¿Tiene solución el sistema?, ¿porqué?
A lo que llegamosMovimiento rectilíneo uniforme
Dado un sistema de ecuaciones puede tener o no solución.
• Tiene solución cuando las rectas asociadas a las ecuaciones del sistema se intersecan. El punto de intersección es la solución del sistema.
• No tiene solución cuándo las rectas asociadas a las ecuaciones del sistema no se intersecan, es decir, cuando son rectas paralelas.
y
x
12
10
8
6
4
2
–2
–4
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 100
253
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimosResuelve en tu cuaderno el siguiente sistema de ecuaciones y represéntalo en el plano cartesiano.
E1: y = 3x + 5
E2: y = 6x + 22
SESIÓN 3SOLUCIONES MÚLTIPLESPara empezarEn las sesiones anteriores solucionaste sistemas de ecuaciones lineales con dos incógni-tas mediante su representación gráfica. Aprendiste que hay sistemas de ecuaciones que tienen una solución (el punto de intersección de las rectas) y sistemas que no tienen solución. ¿Habrá sistemas que tengan más de una solución? Con lo que aprendas en esta sesión podrás contestar esta pregunta.
Consideremos lo siguienteResuelvan el siguiente sistema de ecuaciones:
E1: 2x + y = 16
E2: y = 48 – 6x
3
La solución del sistema es: x = , y =
Comparen sus respuestas y comenten:
a) ¿Tiene solución el sistema?
b) ¿Cuántas soluciones distintas encontraron?
y
x
12
10
8
6
4
2
–2
–4
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 100
254
SECUENCIA 33
Manos a la obraI. Completen las siguientes tablas para encontrar algunas parejas de números que cum-
plan con las ecuaciones que escogieron. Después, graiquen los puntos que obtengan.
Recta 1: 2x + y = 16 Recta 2: y = 48 – 6x3
x y Punto (x , y) x y Punto (x , y)
–4 –1
0 –2
4 0
8 1
16 8
y
x
24
20
16
12
8
4
–4
–8
–12
–16
–20 –16 –12 –8 –4 4 8 12 16 200
255
IIMATEMÁTICAS
¿Habrá algún punto de la recta 1 que no pertenezca a la recta 2?
¿Cuál? Argumenten su respuesta
Comparen sus respuestas.
II. Simpliiquen las expresiones de las rectas hasta obtener ecuaciones de la forma y = mx + b.
a) Recta 1: y =
b) Recta 2: y =
b) ¿Cuánto es la ordenada al origen de la recta 1?
c) ¿Cuánto es la ordenada al origen de la recta 2?
d) ¿Cuánto es la pendiente de la recta 1?
e) ¿Cuánto es la pendiente de la recta 2?
Comparen sus respuestas y comenten:
a) ¿Cuántos puntos comparten las rectas 1 y 2?
b) ¿Cuántas soluciones tiene un sistema cuando la recta que corresponde a una ecuación es la misma que la recta que corresponde a la otra ecuación?
A lo que llegamosEn un sistema de ecuaciones, cuando la recta que corresponde a una ecuación es la misma que la recta que corresponde a la otra ecuación, entonces cualquier punto que pertenezca a las rectas es solución del sistema.
256
SECUENCIA 33
Lo que aprendimos1. Observa la siguiente gráica y de acuerdo con ello contesta las preguntas.
a) ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones no tiene solución? Enciérralo en una curva.
E1: y = –2x – 4 E1: y = –2x – 4 E1: y = 4x – 12
E2: y = 4x + 16 E2: y = 4x – 12 E2: y = 4x + 16
b) De los tres sistemas de ecuaciones anteriores escribe el que tiene la solución
x = 43 , y = – 20
3
E1:
E2:
c) Encuentra la solución del sistema:
E1: y = - 2x – 4
E2: y = 4x + 16
x = , y =
y
x
24
20
16
12
8
4
–4
–8
–12
–16
–20 –16 –12 –8 –4 4 8 12 16 20
y = 4x – 12
y = 4x + 16
y = -2x – 4
257
IIMATEMÁTICAS
2. Para conocer más sobre cuántas soluciones que puede tener un sistema de ecuacio-nes pueden ver el programa Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones.
Para saber más
Sobre la representación grafica de sistemas de ecuaciones en la resolución de proble-mas consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch Carlos y Claudia Gómez. “Derechito”, “Sistemas de ecuaciones lineales” en Una ventana a las incógnitas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Hernández, Carlos. “Ecuaciones simultáneas”, “Velocidad”, “Casos posibles” en Mate-máticas y deportes. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Sobre resolución gráfica de sistemas de ecuaciones de primer grado consulta:http://descartes.cnice.mecd.es
RUTA: Aplicaciones Álgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones.[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.
258
Bibliografía
Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática. 23 agosto 2003. <http://www.inegi.gob.mx >
SEP. Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Educación Se-cundaria, México, 2000. Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria,
México, 2000. 20 agosto 2007. <http://www.reforma secundaria.sep.gob.mx/
index.htm >
SEP-ILCE. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo, Ense-ñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). Educación Secundaria, México, 2000. Geometría dinámica, Enseñanza de las Matemáticas con Tec-
nología (Emat). Educación Secundaria, México, 2000. Biología, Enseñanza de las Ciencias a través de Modelos Ma-
temáticos (Ecamm). Educación Secundaria, México, 2000.
Revisores académicos externos
David Block Sevilla, Carlos Bosch Giral, Luis Alberto Briseño Aguirre,
Carolyn Kieran
Diseño de actividades tecnológicas
Mauricio Héctor Cano Pineda
Emilio Domínguez Bravo
Deyanira Monroy Zariñán
Fotografía en telesecundarias
Telesecundaria “Centro Histórico”. Distrito Federal.
Telesecundaria “Sor Juana Inés de la Cruz”. Estado de México.
Bibliografía
IIMATEMÁTICAS
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Recortables
1. POLÍGONOS REGULARES
ANEXO
IIMATEMÁTICAS
261
2. POLÍGONOS IRREGULARES
IIMATEMÁTICAS
263
Modelo O
Modelo R
Modelo E Modelo I Modelo A
3. PLATOS TRIANGULARES
Modelo O
Modelo R
Modelo E Modelo I Modelo A
