matemáticas ii - fractales

5/15/2018 Matemáticas II - Fractales - slidepdf.com

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Nombre: Cristian Vázquez CasanovaDNI: 53246806-NJunio de 2011

Matemáticas II

Trabajo de investigación:

Fractales yGeometría Fractal



Fractales y Geometría Fractal

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Índice:

1.-Enunciado de la investigación: ……………………………………….. 2

2.-Introducción histórica sobre fractales: …………………………… 3

3.-Ejemplos de fractales: …………………………………………………… 5

4.-Los fractales y la auto-semejanza: …………………………………. 7

5.-Los fractales en computación: ………………………………………. 9

5.1.-Fractal Lab: ………………………………………………………. 9

5.2.-Fractales en dispositivos móviles: ……………………. 12

6.-Los fractales en Geogebra: …………………………………………… 17




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1.-Enunciado de la investigación:

Antes de comenzar, comentar que este trabajo corresponde a una parte de la

asignatura de matemáticas II del primer curso del Grado de Ingeniería Multimedia

2011.

Para realizar la actividad, se nos propusieron una serie de temas relacionados con los

diferentes campos de la matemática. Cada alumno debía elegir, documentándose por

encima, sobre qué iba a hacer la investigación.

Este dossier con el trabajo debía ser entregado a Don Leandro Tortosa Grau al finalizar

el segundo cuatrimestre.

En mi caso, después de darle varias vueltas a algunos de los temas, me he decidido por

el tema de fractales, conque voy a tratar de explicar, de manera teórica y práctica, en

qué se basan los fractales, la geometría fractal, y sus aplicaciones en diferentes

campos de la ciencia.

Para ello, en esta investigación, voy a basarme sobre todo en información recopilada

de internet y la materia impartida en clase por el profesor.

¡Comencemos a trabajar!

Cristian Vázquez.




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2.-Introducción histórica sobre fractales:

Podemos afirmar que la teoría sobre fractales pertenece a la ciencia moderna ya que

nace a principios del siglo XX. Surgió de manera natural la necesidad de estudiar la

estructura geométrica de conjuntos de puntos de la recta que poseían propiedades

geométricas, aritméticas y analíticas muy interesantes.

Así pues, se encontraron estructuras más complejas en la naturaleza que llamaron la

atención de los matemáticos, que iban encontrando nuevos métodos de estudio y

medición.

En 1919, Hausdorff publicó lo que hoy se denomina medidas y dimensión de

Hausdorff. Esta herramienta permitía la medición de esos extraños conjuntos.

Unos años más tarde, Besicovitch se basó en lo anterior para estudiar las propiedades

geométricas de los conjuntos planos (prototipo de los fractales). A partir de ese

momento se creó la teoría geométrica de la medida y un gran interés de los

matemáticos sobre este tema.

Tras varios importantes trabajos, cabe destacar a Mandelbrot, que publicó en 1977 un

libro titulado “The Fractal Geometry of nature”, que tuvo un gran éxito y difusión e

hizo que dicha rama se definiera como Geometría Fractal.

Diremos que la geometría fractal ofrece un modelo alternativo que busca una

regularidad en las relaciones entre un objeto y sus partes a diferentes escalas. Esta

forma de regularidad busca la lógica interna del propio objeto mediante relaciones

intrínsecas entre sus elementos constitutivos cuando éstos se examinan a diferentes

escalas. De esta forma no se pierden ni la perspectiva del objeto global, ni del aspecto

del mismo en cada escala de observación.

La geometría fractal busca y estudia los aspectos geométricos que son invariantes conel cambio de escala, es decir, trata de describir cómo se comporta un conjunto y al




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buscar en una parte de él, se vuelve a observar el mismo comportamiento (entiéndase

distribución de puntos).

Pero ¿Qué es un fractal?, los fractales son objetos matemáticos encuadrados en elcampo de la teoría geométrica de la medida cuya delimitación exacta y definitiva estáaún por establecer, esto quiere decir que, al ser una sucesión infinita de puntos querepiten estructura infinitamente, no se ha llegado a encontrar su forma exacta.

Bajo el nombre de fractales, acuñado por B. Mandelbrot en los años setenta, losdiversos autores suelen entender ciertas realidades matemáticas con unos cuantosrasgos de familia comunes, si bien las definiciones concretas de unos u otros no sonaplicables a todas ellas.

Teóricamente, un fractal viene a ser el producto final que se origina a través de laiteración infinita de un proceso geométrico bien especificado.

Este proceso geométrico elemental, que es generalmente de naturaleza muysimple, determina perfectamente la estructura final, que muy frecuentemente, debidoa la repetición infinita que se ha efectuado, tiene una complicación aparenteextraordinaria.

Los fractales, por lo tanto, son conjuntos geométricos muy frecuentementecomplicados en apariencia, pero en realidad resultan ser tales que para su descripción,construcción y exploración se requiere muy poca información.

La geometría fractal trata de constituir un enlace entre la geometría clásica y el análisismoderno, utilizando los procesos infinitos de construcción, pero ampliando los objetosa los que se aplica, que son procesos de naturaleza más global y geométrica.

Además, nos provee tanto de una descripción como de un modelo matemático paramuchas de las complejas formas encontradas en la naturaleza. Por ejemplo: montañas,nubes o líneas costeras no son fáciles de describir con la tradicional geometríaeuclídea.

Los fractales se han desarrollado tremendamente y nos han ayudado a unir el

desarrollo matemático puro con las ciencias naturales y la informática.

En los últimos años, la geometría fractal ha llegado a ser una herramienta fundamentalen la mayoría de las ciencias de la naturaleza: Química, Física, Biología... Al mismotiempo han sido muy apreciados por los diseñadores gráficos, para la creación deinteresantes formas que recrean mundos artificiales con gran realismo.




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3.-Ejemplos de fractales:

A continuación se van a mostrar unos ejemplos sobre fractales:

Los fractales clásicos son aquellos estudiados y, por así decirlo, encontrados por

distintos matemáticos, vamos a destacar:

La curva de Koch El triángulo de Sierpinski

Conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot




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En la naturaleza podemos encontrar miles de ejemplos de fractales, algunos

interesantes son:

Esta estrella de hielo que en rarasocasiones podemos encontrar sigue una

estructura reiterativa.

Las nubes como este cumulonimbo deevolución se rigen por diseños fractales.

Las ramas repetidamente bifurcadas deun árbol también siguen un diseño

fractal.

Helecho del género Dryopteris. Ladisposición de sus hojas obedece a un

patrón fractal.




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4.-Los fractales y la auto-semejanza:

En este apartado, se pretende mostrar la diferencia entre los fractales y la formas

euclídeas, para ellos cabe definir básicamente la geometría euclídea.

Las formas euclídeas tienen como característica el tamaño y la escala, describen losobjetos creados por el ser humano, se pueden medir exactamente, son finitos.

Sin embargo, los fractales, como ya se ha comentado, no poseen como característica eltamaño. Las formas fractales son auto-semejantes e independientes de la escala. Estose puede encontrar en la naturaleza, como puede ser el ejemplo de una costa.

Observamos un mapa y vemos un contorno formado por el límite de la tierra con elagua, esto es posible al ver una imagen fija (tomada por un satélite o un helicópteropor ejemplo), pero realmente medir el perímetro de una isla cualquiera de maneraprecisa sería imposible. Esto ocurre debido a que nos encontramos con varios sucesosen contra, como por ejemplo las mareas, que nos harán variar ese límite entre la tierray el agua dependiendo de la hora.

Por otro lado, vamos a suponer que dicha medición se basa en la instantánea tomada,podremos hacer una estimación del perímetro, pero no será correcta ya que en unasección de la costa se puede apreciar una forma, pero al hacer zoom, estarácompuesta además por otras secciones de tierra más pequeñas. Esto va a seguirocurriendo infinitamente, y de manera análoga nos va a ocurrir por ejemplo con unanube o una caracola.




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Volviendo al tema, en el siguiente cuadro, se pueden observar mejor las diferenciasentre ambos.

Formas Euclídeas Formas Fractales

Tradicionales (+2000 años). Modernos (± 30 años).

Se basan en características como eltamaño y la escala.

No especifican ni tamaño, ni se basan enla escala, son iguales a diferentes escalas.

Adecuados para describir los objetoshechos por el hombre.

Adecuados para describir las formas de lanaturaleza.

Se describen mediante fórmulas.Se describen mediante algoritmos

generalmente geométricos.

El concepto central de la geometría fractal se denomina propiedad de auto-semejanza.

Esta propiedad indica que un objeto, ya sea en una, dos o tres dimensiones, puede ser

dividido en N partes escaladas del objeto, y que dichas partes van a tener la misma

estructura que el objeto en cuestión. A su vez, cada parte del objeto va a ser escalable

de nuevo y se va a seguir cumpliendo la propiedad infinitamente.

De manera general, un objeto auto-semejante dividido en N partes reescaladas por unfactor r, su dimensión de semejanza es dada por D = log (N) / log (1/r).

La dimensión fractal se diferencia de la dimensión euclídea en que no necesariamentedebe ser un número entero, por ejemplo, una recta dividida en 3 partes por un factorde escala r = 1/3 del tamaño original. Su dimensión fractal será D= log (3) / log (3) = 1.

Pero por otro lado, la curva de Koch podemos dividirla en cuatro partes semejantes aescala 1/3 y su dimensión será D=log (4)/log (3), esta dimensión no entera mayor que 1pero menor que 2 refleja las inusuales características de la curva.




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5.-Los fractales en computación:

Las imágenes fractales parecen complejas, aun partiendo del hecho que se generan de

fórmulas sencillas. Gracias a los ordenadores y su capacidad gráfica se ha producido un

gran desarrollo.

Los motivos por los que se ha propagado el uso de fractales son:

• Estudiar el comportamiento de muchos fenómenos naturales.

• Mediante fractales se han producido dibujos muy llamativos y espectaculares.

• Los fractales son muy fáciles de generar con los ordenadores.

• Para generar un fractal no va a ser necesario ser un experto en complicadas

teorías de cálculo.

Además, existen dos tipos fundamentales de fractales:

• Fractales deterministas: Su computación se basa en redactar una serie de

reglas las cuales se va a repetir una y otra vez de forma recursiva.

• Fractales aleatorios: Se constituyen de un conjunto de elementos de carácter

aleatorio, éstos van a permitir la simulación de fenómenos naturales.

Debido a que los fractales tienen infinitos detalles en todas las escalas en las que se

aplican (incluso en pequeñas escalas) va a ser imposible realizar una computación

completa de un fractal. El nivel deseado de resolución viene dado por el número de

píxeles disponibles en la pantalla o la cantidad de tiempo de computación que puedegastarse en la obtención del fractal.

Así pues, existe cantidad de software dirigido a este campo. A continuación, se

expondrán dos interesantes aplicaciones como ejemplo.

5.1.-Fractal Lab: http://fractal.io/

Primero, debemos definir WebGL como un estándar que permite representar en unnavegador web, objetos en dos o tres dimensiones, mediante aceleración por

hardware y sin necesidad de plug-ins. Además, se apoya en Javascript y utiliza la

etiqueta canvas de HTML-5.

Luego,

Fractal Lab es un explorador de fractales basado en WebGL, es decir, basado

en la nube. Requiere que un navegador web, unos requisitos mínimos bastante altos y

una red de banda ancha de varios megas debido a la gran cantidad de información que

se va a procesar, destacando la renderización.

En cuanto a la interfaz de la web, vemos que nada más cargar, aparecen una serie deinstrucciones de funcionamiento donde resalta un botón verde.

http://fractal.io/

http://fractal.io/

http://fractal.io/




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Nos da a elegir si nuestra primera muestra va a ser en dos o tres dimensiones.

Tras unos segundos, dependiendo de la máquina, aparece un cubo tridimensionalperforado el cual permite hacer zoom o cambiar la orientación. Se trata de La esponja

de Menger.

Una vez hecho el primer render , aparecen los menús del programa. Los horizontales

son los que permiten construir el fractal en 2D y 3D, además de guardar la imagen

deseada.

Las pestañas verticales son las que despliegan toda la potencia de la aplicación, aquí se

encuentran varias bases de fractales (Mandelbrot, por ejemplo), de las que luego,

mediante deslizadores y desplegables vamos a ir pudiendo personalizar (colores,

número de iteraciones, etc.).

Con unos pequeños ajustes, podemos construir un fractal a partir de una imagen

cualquiera:




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En cuanto a los renderizados de 3D, encontramos que realmente, con valores bajos en

cuanto a calidad, tarda unos segundos en mostrar imágenes como esta:

Además de lo expuesto, dicha web permite de manera muy clara y accesible, buscar en

cuanto a nivel de programación del computador, cómo se forma la imagen que nos

muestra.

Por lo tanto, nos permite ver cómo funciona el computador, y qué órdenes ejecuta

para el cálculo de la figura.

Un fragmento de la figura anterior:

// Details about the Mandelbox DE algorithm:for (int i = 0; i < int(maxIterations); i++) {

// if (p > 1.0) {// p = 2.0 - p;}p.xyz = clamp(p.xyz, -boxFold, boxFold) * 2.0 * boxFold - p.xyz; // box foldp.xyz *= fractalRotation1;float d = dot(p.xyz, p.xyz);

p.xyzw *= clamp(max(fR2 / d, mR2), 0.0, 1.0); // sphere fold

p.xyzw = p * scaleFactor.xxxy + p0 + vec4(offset, 0.0);p.xyz *= fractalRotation2;

if (i < colorIterations) {md = min(md, d);c = p.xyz;

}

}// Return distance estimate, min distance, fractional iteration countreturn vec3((length(p.xyz) - fudgeFactor) / p.w, md, 0.33 * log(dot(c, c)) + 1.0);

}#endif




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5.2.-Fractales en dispositivos móviles:

Hoy en día, tiene mucha importancia y un potencial desarrollo, el mundo del software

para dispositivos móviles de última generación o Smartphone. Aprovechando el

avance en tecnología táctil, y la miniaturización de componentes informáticos,

encontramos en el mercado teléfonos dual-core, llegando hasta el gigabyte de

memoria. Hace unos años, dichas características era lógico tenerlas en un PC de

sobremesa de 10 kilos de peso y con numerosos periféricos.

No sólo las empresas de Hardware tienen una gran competencia en ese terreno, sino

que esto se ha visto apoyado por los millones de desarrolladores que trabajan para

crear aplicaciones de diferentes tipos.

Dichas competencias nos benefician a los consumidores, que por unos céntimos de €

(o gratis), podemos disponer no solo de software para la productividad, sino también

para el entretenimiento y el ocio. Algunas de ellas, muy curiosas y variadas.

Por poner un ejemplo, se va a mostrar una serie de aplicaciones sobre fractales para

dispositivos con iOS disponibles gratuitamente para iPad en la App Store:




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De los anteriores, se van a mostrar los dos más potentes y trabajados:

Esta aplicación, renderiza con fluidez el conjunto de Mandelbrot, permitiendo

personalizar los diferentes colores, el número de iteraciones (calidad) y mostrar un

fragmento como fractal de Julia.

Permite además acercar la imagen sólo con un pellizco en la pantalla.

Vemos algunas capturas:




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Esta aplicación, renderiza con fluidez el Fractal de Julia, aunque no dispone de ningún

tipo de personalización, podemos tocar con el dedo el lugar que queremos acercar.

Mostramos las capturas:




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Como los ejemplos anteriores, existen cientos de aplicaciones similares para todo tipo

de plataformas.




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6.-Los fractales en Geogebra:

Entrando en la parte práctica de la investigación, vamos a intentar construir con

Geogebra, un programa interactivo especialmente diseñado para la enseñanza y

aprendizaje de Álgebra y Geometría. Permite realizar construcciones tanto con puntos,

vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas, así como funciones.

Gracias a esta herramienta, podemos generar un motivo que nos va a facilitar la

construcción de un fractal por lo menos a nivel básico y gráfico, ya que dicha

estructura es realmente de longitud infinita.

Gráficamente, el proceso y modelo elegido es el siguiente:

A continuación se detallan los pasos para la creación de dicha herramienta, cuyo

proceso se ve gráficamente así.




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Para guardarlo como motivo, debemos clicar en:

Herramientas Creación de Herramienta Nueva.

Nos aparece un menú de pestañas como el de la imagen anterior, aquí debemos elegir

qué elementos debe generar nuestra salida, de manera que colocamos en este caso,

todos los elementos (visibles y ocultos, los últimos los generará también ocultos)

menos los puntos A y B, y el segmento a que une los puntos A y B.

Después pasamos a la pestaña siguiente.




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Aquí debemos colocar los objetos de entrada, que vamos a necesitar para aplicar dicha

herramienta, en este caso, con el segmento a es suficiente y más cómodo.

Pulsamos en siguiente, y aparece:

En este último menú debemos elegir un nombre para nuestra herramienta,

opcionalmente una ayuda o aclaración y un icono para mostrarlo en la Barra de

Herramientas.




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Si todo es correcto, es decir, si ningún elemento de entrada depende de los de salida,

la herramienta se forma, quedando a la vista en la interfaz de Geogebra.

Una vez tenemos dicha herramienta, conviene guardarla en la pestaña Gestión deHerramientas para no perderla.

Ya tenemos listo nuestro motivo. Ahora queda aplicarlo en una figura, o mejor dicho, a

cada unos de los segmentos que lo forman.

En este caso, la figura elegida será un cuadrado regular.

Es importante destacar que a cada segmento que le aplicamos el motivo, va quedardividido en 3, el 1º y el último serán segmentos de tamaño a/3, mientras que el que

queda en medio, toma la forma que se ha decidido.

A los dos segmentos exteriores que resultan, les volveremos a aplicar la herramienta

en la siguiente iteración.

De manera que comenzaremos a aplicar la herramienta en cada unos de los

segmentos.




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Lo llamaremos iteración 1:

Vemos claramente que divide el segmento en 3 partes, quedando las dos de los

extremos como segmentos a lo que podemos volver a aplicarle el motivo.

Iteración 2:




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Igualmente, cada segmento sigue la misma estructura, de modo que lo podemos

seguir aplicando de manera infinita, la figura tendrá una longitud infinita.

Por dicho motivo, en cuanto la muestra de la práctica, es imposible realizar un gran

número de iteraciones a la figura.

La tercera iteración, toma más complejidad, aunque queda muy definida.

Vemos como la estructura va perdiendo su forma inicial de manera progresiva.

Como se comentaba anteriormente, aplicarle más iteraciones daría lugar a que la

imagen no quedase bien definida. Por tanto, se pretende mostrar una 4º iteración con

una cierta ampliación (acercándose a la figura) para mostrar cómo queda.




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Así mismo, con ese mismo procedimiento, podemos inventar cualquier otro motivo el

cual aplicar para construir fractales propios.

Vamos a ver algunos ejemplos más:

Aplicando por ejemplo unaespecie de podio sobre lossegmentos de un hexágono

regular, vemos que interiormentese forma una estrella.




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Vemos que se ha construido apartir de un segmento, un círculoy dos segmentos de tamaño a/2.

Aplicando el mismo motivo a cadasegmento nuevo, se obtiene

dicha figura.

Para terminar, me gustaría comentar lo aprendido durante la investigación sobre

fractales:

En primer lugar, al reflexionar sobre la estructura de un fractal cualquiera, podemos

apreciar una figura, que al ser infinita, se muestra muy compleja. Pero en cambio, el

modo de formarse es muy sencillo, un patrón que se repite de forma recursiva, de

modo que a la vista resulta muy curioso y atractivo, sobre todo al colorear las

diferentes zonas con colores llamativos.

Por último, añadir que me ha resultado muy interesante realizar esta investigación, así

como conocer los principales fractales, los ejemplos en la naturaleza y sobre todo la

experiencia de crear una estructura fractal con Geogebra, de una manera realmentesencilla.

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