ejercicios de matemáticas ii
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Instituto Tecnológico Superior de la Montaña
Ejercicios de Matemáticas II
Elaboró: Lic. Eduardo Tomás Torres
Tlapa de Comonfort, Gro. México. 2008
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Contenido
UNIDAD: I TEMA: DIFERENCIALES 1.1 Definición de diferencial. 1.2 Incrementos y diferenciales, su interpretación geométrica. 1.3 Teoremas típicos de diferenciales. 1.4 Cálculo de diferenciales. 1.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.
UNIDAD: II TEMAS: INTEGRALES INDEFINIDAS Y METODOS DE INTEGRACION 2.1 Definición de función Primitiva. 2.2 Definición de Integral Indefinida. 2.3 Propiedades de la Integral Indefinida. 2.4 Cálculo de Integrales Indefinidas. 2.4.1 Directas. 2.4.2 Por cambio de variable. 2.4.3 Por partes 2.4.4 Trigonométricas 2.4.5 Por sustitución Trigonométrica. 2.4.6 Por fracciones parciales.
UNIDAD: III TEMAS: INTEGRAL DEFINIDA 3.1 Definición de integral definida. 3.2 Propiedades de la integral definida. 3.3 Teorema de existencia para integrales definidas. 3.4 Teorema fundamental del Cálculo. 3.5 Cálculo de integrales definidas 3.6 Teorema del valor medio para integrales.
UNIDAD: IV TEMAS: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 4.1 Longitud de curvas. 4.2 Cálculo de áreas. 4.3 Áreas entre curvas. 4.4 Cálculo de volúmenes. 4.5 Volúmenes de salidos de revolución. 4.6 Cálculo de volúmenes por el método de los discos. 4.7 Cálculo de momentos, centro de masa y trabajo.
UNIDAD: V TEMAS: INTEGRALES IMPROPIAS
5.1 Definición de la integral impropia. 5.2 Integral impropia de 1ra. Clase 5.3 Integral impropia de 2da. Clase
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UNIDAD I TEMA: DIFERENCIALES
1. Define el concepto de diferencial.
2. La diferencial de y se denota por:
a) 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑦)𝑑𝑥
b) 𝑑𝑥 = 𝑓’(𝑥)𝑑𝑥
c) 𝑑𝑦 = 𝑓’(𝑥)𝑑𝑥
d) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑦)𝑑𝑥
3. Observa en la siguiente gráfica donde 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 y 𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥. Considere en los
puntos 𝑃 = (1, 2), y 𝑄 = (2, 5).
a) Determine 𝑑𝑦 algebraicamente.
b) Determine 𝑑𝑦 gráficamente. c) Compare los resultados de los incisos anteriores.
4. En el siguiente ejercicio use los siguientes datos indicados con el objetivo de evaluar y comparar ∆𝑦 y 𝑑𝑦.
𝑦 = 1 − 2𝑥2, 𝑥 = 2, ∆𝑥 = 𝑑𝑥 = 0.1
5. Completa la siguiente tabla para la función 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥
𝑥 ∆𝑥 ∆𝑦 𝑑𝑦 ∆𝑦 − 𝑑𝑦
2 1
2 0.5
P
Q
f(x) f’(x)
~ 4 ~
2 0.1
2 0.01
6. Complete la siguiente tabla para la función 𝑦 = 𝑥4 + 1
𝑥 ∆𝑥 ∆𝑦 𝑑𝑦 ∆𝑦 − 𝑑𝑦 3 1
3 0.5
3 0.1
3 0.01
7. Determine la diferencial de 𝑦 = 𝑥2 + 2
a) 𝑑𝑦 =2𝑥
𝑥2+2𝑑𝑥
b) 𝑑𝑦 =𝑥
𝑥2+2𝑑𝑥
c) 𝑑𝑦 = −𝑥
𝑥2+2𝑑𝑥
d) 𝑑𝑦 =2𝑥
𝑥2+2𝑑𝑦
8. Encuentre la diferencial 𝑑𝑦 de las siguientes funciones
a) 𝑦 = 7 − 3𝑥3
b) 𝑦 = 1
5 𝑠𝑒𝑛
6𝜋𝑥−1
2
c) 𝑦 =𝑥2−1
𝑥2+𝑥
d) 𝑦 = 𝑒𝑥 𝑙𝑛(𝑥 − 3)
e) 𝑦 = 𝑥 + 1
𝑥
f) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
𝑥2+1
g) 𝑦 = (3𝑥2 + 7)3
9. La diferencial 𝑑𝑦 de 𝑦 = (3𝑥2 + 7)3 es: a) 𝑑𝑦 = (3𝑥2 + 7)2𝑥𝑑𝑥
b) 𝑑𝑦 = 18(3𝑥2 + 7)2𝑥𝑑𝑥
c) 𝑑𝑦 = 18(3𝑥2 + 7)3𝑥𝑑𝑥
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d) 𝑑𝑦 = (3𝑥2 + 7)3𝑥𝑑𝑥
10. La diferencial 𝑑𝑦 de 𝑦 = 𝑥
𝑥+1 es:
a) 𝑑𝑦 = 𝑥
(𝑥+1)−2 𝑑𝑥
b) 𝑑𝑦 = (𝑥 + 1)−2𝑑𝑥
c) 𝑑𝑦 = 𝑥 + 1 2 𝑑𝑥
d) 𝑑𝑦 =𝑥
(𝑥+1)2 𝑑𝑥
11. La diferencial 𝑑𝑦 de 𝑦 = 𝑒𝑥
𝑥+1 es:
a) 𝑑𝑦 =𝑒𝑥𝑥+1
(𝑥+1)2 𝑑𝑥
b) 𝑑𝑦 = (𝑥 + 1)2𝑒𝑥
𝑥+1𝑑𝑥
c) 𝑑𝑦 = (𝑥 + 1)2𝑒𝑥
𝑥−1𝑑𝑥
d) 𝑑𝑦 =𝑒𝑥𝑥+1
(𝑥+1)−2 𝑑𝑥
12. Se encuentra que la medida del lado de un cuadrado es de 12 pulgadas, con un error
posible de 1
64 pulgada. Use diferenciales para obtener una aproximación del error
propagado posible en el cálculo del área del cuadrado.
13. El radio de una esfera mide 6 pulgadas, con un error posible de 0.02 pulgadas. Use diferenciales para obtener una aproximación del error máximo posible en el cálculo. a) Volumen de la esfera b) El área superficial c) Los errores relativos en los incisos a y b.
14. El alcance 𝑅 de un proyectil es 𝑅 =𝑣𝑜
2
32 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
Donde: 𝑣𝑜 Es la velocidad inicial, en pies por segundo.
𝜃 es el ángulo de elevación.
Si 𝑣𝑜 = 2200 pies por segundo y se cambia el angulo de 10° a 11°, use Diferenciables para obtener una aproximación del cambio en el alcance.
15. Un tanque de almacenamiento de aceite en forma de cilindro circular vertical tiene una altura de 5 m. El radio mide 8 m. Con un error posible de ±0.25 m. Utilice diferenciables para calcular el error máximo en el volumen. Encuentre el error relativo aproximado y el porcentaje aproximado de error.
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16. El tallo de un hongo es de forma cilíndrica, y un tallo de 2cm de altura y r centímetros de
radio tiene un volumen de V centímetros cúbicos, donde 𝑉 = 2𝜋𝑟2. Use diferenciales para
calcular el incremento aproximado del volumen del tallo cuando el radio aumenta de 0.4 cm
a 0.5 cm.
17. Se desea construir una cúpula semiesférica, de radio 15 metros. El contratista de la obra
quiere saber cuánto volumen de colado necesitará. Use diferenciales para calcular el
incremento aproximado del volumen de la cúpula cuando el espesor aumenta de 10 cm a
12 cm.
18. Las medidas de la base y de la altura de un rectángulo han dado 36 cm y 50 cm, con una
cota de error en las medidas de 0.25 cm. Aproximar, usando diferenciales, la cota de error
propagado al calcular su área.
19. La medida del radio de la base de un tronco da 14 pulgadas, con una cota de error de ¼ de
pulgada. Aproximar, mediante diferenciales, la cota de error propagado al calcular el área
de la base del tronco.
20. El coste en dólares de la supresión del p% de la polución del humo que expulsa una
central térmica es
𝐶 =80000 𝑝
32100−𝑝, 0 ≤ 𝑝 < 100
Usar diferenciales para aproximar el crecimiento en costes si el gobierno exige a la
empresa que elimine un 2 por 100 más de polución, si p era antes
a) 40 por 100
b) 75 por 100
Practica 1:
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UNIDAD: II TEMAS: INTEGRALES INDEFINIDAS Y METODOS DE INTEGRACION 2.1 Definición de función Primitiva. Sea 𝐹(𝑥) una función primitiva o también conocida como antiderivada de 𝑓(𝑥) en in intervalo 𝐼, si 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥) o de otra forma;
Sea 𝐹 𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 se dice que es una función primitiva de 𝑓(𝑥) si se cumple 𝑑𝐹(𝑥)
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥)
Entonces si 𝐹 es una primitiva de 𝑓 en un intervalo 𝐼, entonces 𝐺 es una primitiva de 𝑓 en 𝐼 si y solo si 𝐺 es de la forma 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶, para todo 𝑥 que esta en el intervalo 𝐼, donde 𝐶 es una constante. 2.2 Definición de Integral Indefinida.
Al resolver una ecuación diferencial de la forma 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥), conviene expresar de forma equivalente
𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. La operación de hallar todas las soluciones de esta ecuación se llama integración
indefinida o antiderivada, y se denota por un signo integral . La solución general se denota por
𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝐹 𝑥 + 𝐶
Donde: 𝑓(𝑥) se llama integrando 𝑑𝑥 se llama variable de integración
𝐶 se llama constante de integración
La expresión 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 se lee “la integral indefinida de f con respecto a x”
Esquema de la antiderivada o primitiva
𝒅(𝑭 𝒙 + 𝑪)
𝒅𝒙
𝑭(𝒙) + 𝑪 𝒇(𝒙)
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
Antiderivada
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2.3 Propiedades de la Integral Indefinida.
1) Funciones constantes
𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶
2) Regla de la potencia
𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1
𝑛 + 1+ 𝐶
Con 𝑛 ≠ −1 3) Una constante por una función
𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓(𝑥)𝑑 𝑥
4) Si existen 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 entonces
𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
5) Expresión de la regla de la potencia
𝑥−1 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 + 𝐶
6) Regla para 𝑒𝑥
𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶
7) Regla 7
𝑓 𝑥 𝑛𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑛+1
𝑛 + 1+ 𝐶
8) Regla 8
𝑓′(𝑥)𝑒𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑒𝑓(𝑥) + 𝐶
9) Regla 9
𝑓 ′(𝑥)
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶
~ 9 ~
2.4 Cálculo de Integrales Indefinidas.
21. Define el concepto de una antiderivada de 𝑓.
22. De que otro nombre de se conoce también la antiderivada de 𝑓.
a) Derivada b) Primitiva c) intervalo d) función
23. Relacione con una línea según su definición de la integración indefinida
𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 + 𝑪
𝑓(𝑥) Es la contante de integración
𝑑𝑥 Indica la variable de integración
𝐶 Es el integrando
24. Hallar tres antiderivada de cada función y represente gráficamente: a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 d) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 e) 𝑓(𝑥) = 𝑥2
f) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 g) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1
h) 𝑓 𝑥 =1
𝑥
i) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 j) 𝑓 𝑥 = 2
2.4.1 Calcule las siguientes integrales por el método directo
1. 𝑥 𝑥 +1
𝑥 𝑑𝑥
2. 𝑥 + 7𝑥
𝑥𝑑𝑥
3. (3𝑥3 + 2𝑥 + 1)𝑑𝑥
4. 𝑥3 + 2𝑥 + 1
𝑥 𝑑𝑥
5. 5𝑡32 +
3
2𝑡43
𝑑𝑥
6. sec 𝑥 tan 𝑥𝑑𝑥
7. csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥
8. csc2 𝑥𝑑𝑥
9. sec2 𝑥𝑑𝑥
10. ln 𝑥 𝑑 𝑥
11. 𝑒𝑥𝑑𝑥
12. 2𝑤3 − 𝑤5 + 𝑤
𝑤7𝑑𝑤
13. 𝑥𝑒 + 𝑒𝑥 𝑑𝑥
14. 2 − 𝑦3
3𝑑𝑦
15. 𝑒 ln 𝑥2+3 𝑑𝑥
16. 3𝑟 + ln(5) 𝑑𝑟
17. 2
3𝑒𝑝 + 743
𝑑𝑝
18. 𝑒3𝑡3 +1
𝑡7 𝑑𝑡
19. 8𝑞3 𝑑𝑞
20. 𝑚2𝑒 ln (4𝑚+3)𝑑𝑚
21. ln 𝑠
4
ln 𝑠𝑑𝑠
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22. 𝑢3 𝑢 + 1 𝑢 + 3 𝑑𝑢
23. 𝑤3 − 3𝑤 − 2
𝑤2 + 2𝑤 + 1𝑑𝑤
24. 𝑧 − 2 2 + 𝑧4
𝑧23 𝑑𝑧
25. 𝑑𝜃
cos𝜃 + 1
26. 𝑧2 1 + 𝑧 𝑑𝑧
27. 𝑑𝜃
1 + sin 𝜃
28. 3𝑥23𝑥52𝑥𝑑𝑥
29. tan 𝜃 + cot𝜃 2𝑑𝜃
30. 𝑤 +2
𝑤2
2
𝑑𝑤
31. 𝑥 + 25 3𝑑𝑥
32. 5 5𝑥 − 10 4𝑑𝑥
33. 1
3 𝑥
3− 5
3
𝑑𝑥
34. 𝑤 +2
𝑤2
2
𝑑𝑤
35. 𝑥2 − 10 4𝑥𝑑𝑥
36. 𝑤2 + 8 3(2𝑤)𝑑𝑤
37. 4𝑥3 + 15 3𝑥2𝑑𝑥
38. 2𝑥2 + 4𝑥 4 𝑥 + 1 𝑑𝑥
39. 4𝑥
𝑥2 + 3 𝑑𝑥
40. 4𝑥3 + 8𝑥2 5𝑥2𝑑𝑥
41. 12 4𝑥3 − 10 3𝑥2𝑑𝑥
42. 2𝑥3 − 5 𝑥2𝑑𝑥
43. 2𝑥2 − 8𝑥 5 𝑥 − 2 𝑑𝑥
44. 𝑥3 + 3𝑥4 3 3𝑥 + 12𝑥2 𝑑𝑥
45. 𝑒𝑥3𝑑𝑥
46. 𝑒2𝑥𝑑𝑥
47. 𝑒𝑎𝑥𝑑𝑥
48. 𝑥
𝑥2 + 5𝑑𝑥
49. 𝑥 + 15𝑑𝑥
50. 1
2 2 −
𝑥
2
3
𝑑𝑥
51. 12 − 4𝑥𝑑𝑥
52. 𝑥 𝑥 + 5𝑑𝑥
53. 3 𝑥3 + 18 5𝑥2𝑑𝑥
54. 𝑥2 + 5 52 𝑥𝑑𝑥
55. 𝑥2
4+𝑥
2
5
𝑥 + 1 𝑑𝑥
56. 6𝑥2
𝑥3 + 18 3𝑑𝑥
57. 4𝑥3 𝑥2 + 1𝑑𝑥
58. 12 3𝑥4 + 15 4𝑥3𝑑𝑥
59. 12
6𝑥 + 5 𝑑𝑥
60. 1
𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥
61. 2𝑎𝑥 + 𝑏
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 𝑑𝑥
62. 𝑥2 25 − 3𝑥33𝑑𝑥
63. 2𝑥𝑒𝑥2𝑑𝑥
64. 𝑥 − 2 𝑒𝑥2−4𝑥𝑑𝑥
65. 𝑥3 + 1
𝑥4 + 4𝑥𝑑𝑥
2.4.2 Calcule las siguientes integrales por el método cambio de variable
1. 1 + tan𝑦3 sec2 𝑦 𝑑𝑦
2. 6𝑥−5
1 + 𝑟−4𝑑𝑟
3. 𝑑𝑝
𝑝 ln𝑝
4. 𝑡 + 1
𝑡 − 53 𝑑𝑡
5. arctan 2𝑞 + 3
1 + 2𝑞 + 3 2𝑑𝑞
6. 𝑧
8 + 𝑧4𝑑𝑧
7. csc
7𝑤2 cot
7𝑤2
𝑤3𝑑𝑤
8. 𝑑𝑡
3𝑡 ln 9𝑡
9. cos ln 𝑥
𝑥 sin2 ln 𝑥 𝑑𝑥
10. 𝑒 ln 4𝑥2 𝑑𝑥
11. sec2 𝑡
3 tan2 𝑡 + 5𝑑𝑡
12. 𝑦3
𝑦2 + 1𝑑𝑦
13. 𝑑𝑟
𝑒2𝑟 − 9
14. sec 𝑒𝑤 + 3
𝑒−𝑤𝑑𝑤
15. csc 𝑝−1 + 1
𝑝2𝑑𝑝
16. 𝑢2
3csc2 𝑢3 + 8 𝑑𝑢
~ 11 ~
17. 2
5𝑧2 3 +
4
𝑧 𝑑𝑧
18. 2 sin 𝑡
5 𝑡𝑑𝑡
19. 𝑥 arcsin2 𝑥2
1− 𝑥4𝑑𝑥
20. 5𝑟𝑑𝑟
21. 1 + 𝑧
𝑧𝑑𝑧
22. 1 + 𝑡 𝑑𝑡
23. 𝑒−2𝑦 + 2𝑒−𝑦 + 1
𝑒−𝑦𝑑𝑦
24. arcsin 2𝑟
1− 4𝑟2𝑑𝑟
25. 𝑥2 + 2
𝑥3 + 6𝑥 + 13 𝑑𝑥
26. 8𝑧2 + 16𝑧
𝑧3 + 6𝑧 + 14 𝑑𝑧
27. 𝑑𝑤
𝑤 1 + 𝑤
28. 𝑒𝑡
𝑒2𝑡 + 5𝑑𝑡
29. 𝑑𝑤
𝑒−𝑤 + 𝑒𝑤
30. 4𝑑𝑤
𝑤 1 +𝑤
2.4.3 Calcule las siguientes integrales por partes
1. ln 𝑥 𝑑𝑥
2. 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
3. 𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥
4. 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
5. sin 𝑥 ln cos 𝑥 𝑑𝑥
6. 1
𝑥2ln 𝑥 𝑑𝑥
7. 𝑥𝑛 ln 𝑥 𝑑𝑥
8. ln2 𝑥 𝑑𝑥
9. 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥
10. 𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥
11. 𝑥3𝑒𝑥2𝑑𝑥
12. 𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥
13. 𝑒 𝑥𝑑𝑥
14. 𝑥𝑒𝑥
1 + 𝑥 2𝑑𝑥
15. 𝑥 1− 𝑥 𝑑𝑥
16. 𝑥3
1− 𝑥2𝑑𝑥
17. 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
18. 𝑥2 sin 𝑥 𝑑𝑥
19. 𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥
20. 𝑥 sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥
21. 𝑥 csc2 𝑥 𝑑𝑥
22. sin2 𝑥 𝑑𝑥
23. 𝑥2 cos𝑎𝑥 𝑑𝑥
24. 𝑥𝑎𝑥𝑑𝑥
25. 𝑥2−𝑥 𝑑𝑥
26. arcsin𝑥 𝑑𝑥
27. arctan𝑥 𝑑𝑥
28. 𝑒𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡
29. sin ln 𝑥 𝑑𝑥
30. 𝑒−𝑡 sin 2𝑡 𝑑𝑡
2.4.4 Calcule las siguientes integrales trigonométrica
1. cos2 𝑥 𝑑𝑥
2. cos2 3𝑥 𝑑𝑥
11. sin2 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥
12. sin4 3𝑥 sin2 3𝑥 𝑑𝑥
21. sec4 2𝑥 𝑑𝑥
22. tan25 𝑥 𝑑𝑥
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3. sin32 𝑥 𝑑𝑥
4. cos5 𝑥 𝑑𝑥
5. cos𝑎𝑥 𝑑𝑥
6. sin3 𝑥 cos3 𝑥 𝑑𝑥
7. cos4 2𝑥 sin3 2𝑥 𝑑𝑥
8. cos4 3𝑥 sin3 3𝑥 𝑑𝑥
9. sin3𝑥
3𝑑𝑥
10. sin4 𝑥 𝑑𝑡
13. sin 3𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥
14. sin 3𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥
15. cos 4𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
16. 1 − cos 𝑥 𝑑𝑥
17. 1 + cos 3𝑥 32 𝑑𝑥
18. 1
1 − sin 2𝑥𝑑𝑥
19. 𝑥 tan 𝑥2 𝑑𝑥
20. tan5 𝑥 𝑑𝑥
23. 𝑒𝑥 tan4 𝑒𝑥 𝑑𝑥
24. tan 2𝑥 + cot 2𝑥 2 𝑑𝑥
25. sec4 ln x
x𝑑𝑥
26. cot2 3𝑥 csc4 3𝑥 𝑑𝑥
27. tan 2𝑥 + cot 2𝑥 2 𝑑𝑥
28. tan4 𝑥
sec5 𝑥𝑑𝑥
29. sec3 𝑥
tan4 𝑥𝑑𝑥
30. sin2 𝜋𝑥
cos6 𝜋𝑥𝑑𝑥
2.4.5 Calcule las siguientes integrales por sustitución trigonométrica
1. 25− 𝑥2
𝑥𝑑𝑥
2. 𝑑𝑥
4 − 𝑥2 32
3. 𝑑𝑥
𝑥2 𝑎2 − 𝑥2
4. 𝑑𝑥
𝑥2 5− 𝑥2
5. 9− 𝑥2
𝑥2𝑑𝑥
6. 𝑑𝑥
5 − 4𝑥 − 𝑥2 32
7. 𝑑𝑥
2𝑥 − 𝑥2
8. 5 + 𝑥2 𝑑𝑥
9. 𝑑𝑥
𝑥 9 + 4𝑥2
10. 𝑥2𝑑𝑥
4 + 𝑥2 2
11. 2𝑥𝑑𝑥
𝑥2 25 + 𝑥4
12. 𝑥2
𝑥2 − 4𝑑𝑥
13. 𝑑𝑥
𝑥2 𝑥2 − 7
14. 𝑑𝑥
4𝑥 + 𝑥2
15. 𝑑𝑥
81 − 𝑥2 32
16. 𝑑𝑥
8 + 𝑥2 32
17. 𝑑𝑥
𝑥2 − 7
18. 𝑥2𝑑𝑥
1− 𝑥2
19. 121 + 𝑥2𝑑𝑥
20. 𝑑𝑥
25 − 𝑥2 2
21. 𝑑𝑥
𝑥 𝑥2 − 36 2
22. 𝑥2 − 6 32 𝑑𝑥
23. 17 − 𝑥2 32 𝑑𝑥
24. 35 − 𝑥2 52𝑑𝑥
25. 𝑑𝑥
𝑥2 + 8𝑥 + 21 32
26. 𝑑𝑥
−𝑥2 + 6𝑥 + 5 32
27. 𝑑𝑥
𝑥2 + 10𝑥 + 10
28. 𝑥 − 1 2𝑑𝑥
8 + 2𝑥 − 𝑥2
29. 𝑥𝑑𝑥
𝑥2 − 2𝑥 − 8
30. 𝑑𝑥
16− 𝑥2
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2.4.6 Calcule las siguientes integrales por fracciones parciales
1. 𝑑𝑥
𝑥2 − 4
2. 𝑑𝑥
𝑥2 + 7𝑥 + 6
3. 𝑥𝑑𝑥
𝑥2 − 3𝑥 − 4
4. 𝑥4 + 2𝑥 + 6
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥𝑑𝑥
5. 𝑥𝑑𝑥
𝑥 − 1 2
6. 𝑥3 + 1
𝑥 𝑥 − 1 3𝑑𝑥
7. 8𝑥3 + 7
𝑥 + 1 2𝑥 + 1 3𝑑𝑥
8. 4𝑥2 + 6
𝑥3 + 3𝑥𝑑𝑥
9. 4𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥3 − 1𝑑𝑥
10. 𝑥2 + 1
𝑥 1 + 𝑥2 2𝑑𝑥
11. 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 3
𝑥2 + 1 𝑥2 + 3 𝑑𝑥
12. 17𝑥2 + 58𝑥 + 33
𝑥 + 2 3𝑥 + 1 𝑥 + 5 𝑑𝑥
13. 5𝑥2 + 10𝑥 + 1
𝑥 + 1 2 𝑥 − 1 𝑑𝑥
14. 2𝑥3 + 22𝑥2 + 58𝑥 + 55
2𝑥 + 1 2 𝑥 + 3 2𝑑𝑥
15. 𝑥3 + 8𝑥2 + 29𝑥 + 48
𝑥2 + 4𝑥 + 11 𝑥2 + 6𝑥 + 15 𝑑𝑥
16. 43𝑥2 + 66𝑥 + 39
3𝑥 + 1 2 2𝑥 + 3 2𝑑𝑥
17. 𝑥3 + 4𝑥2 − 10𝑥 + 22
𝑥2 + 2𝑥 + 2 𝑥2 − 6𝑥 + 11 𝑑𝑥
18. 2𝑥2 + 4𝑥 + 3
𝑥2 + 2𝑥 + 2 𝑥 + 1 𝑑𝑥
19. 𝑥3 + 5𝑥2 + 8𝑥 + 7
𝑥2 + 4𝑥 + 7 𝑥 + 2 2𝑑𝑥
20. 2𝑥2 + 4𝑥 + 3
𝑥2 + 2𝑥 + 2 𝑥 + 1 𝑑𝑥
3 Sea 2 sec 𝑥 tan 𝑥 − 7 csc2 𝑥 𝑑𝑥 la solución es:
a) 2 sec 𝑥 + 7𝑥 cot 𝑥 + 𝐶 b) 2𝑥 sec 𝑥 + 7 cot 𝑥 + 𝐶 c) 2 sec 𝑥 + 7 cot 𝑥 + 𝐶 d) 2 sec 𝑥 + 7𝑥2 cot 𝑥 + 𝐶
4 Sea 2 cot 𝑥−3 sin 2 𝑥
sin 𝑥𝑑𝑥 la solución es:
a) −2 csc 𝑥 + 3 cos 𝑥 + 𝐶
b) 2 csc 𝑥 + 3 cos 𝑥 + 𝐶 c) 2 csc 𝑥 − 3 cos 𝑥 + 𝐶
d) −2 csc 𝑥 − 3 cos 𝑥 + 𝐶
5 Sea tan2 𝑥 + cot2 𝑥 + 5 𝑑𝑥 la solución es:
a) tan 𝑥 + cot 𝑥 + 3𝑥 + 𝐶
b) tan 𝑥 − cot 𝑥 − 3𝑥 + 𝐶 c) tan 𝑥 − cot 𝑥 + 3𝑥 + 𝐶
d) tan 𝑥 + cot 𝑥 + 5𝑥 + 𝐶
6 Sea 𝑥2+4𝑥−4
𝑥 𝑑𝑥 la solución es:
a) 2
5 𝑥5 +
8
3 𝑥3 + 8 𝑥 + 𝐶
b) 2
5 𝑥5 +
8
3 𝑥3 − 8 𝑥 + 𝐶
c) 2
5 𝑥5 −
8
3 𝑥3 − 8 𝑥 + 𝐶
d) 2
5 𝑥5 −
8
3 𝑥3 + 8 𝑥 + 𝐶
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7 Sea cos 𝑥
sin 2 𝑥 𝑑𝑥 la solución es:
a) −1
cos 𝑥+ 𝐶
b) 1
sin 𝑥+ 𝐶
c) −𝑥
sin 𝑥+ 𝐶
d) −1
sin 𝑥+ 𝐶
8 Sea 3 tan 𝑥−4 cos 2 𝑥
cos 𝑥 𝑑𝑥 la solución es:
a) 3
cos 𝑥− 4 sin 𝑥 + 𝐶
b) −3
cos 𝑥− 4 sin 𝑥 + 𝐶
c) −3
cos 𝑥+ 4 sin 𝑥 + 𝐶
d) 3
cos 𝑥+ 4 sin 𝑥 + 𝐶
9 Calcule la integral
a) 2 + 𝑥3 7 3𝑥2 𝑑𝑥
b) 7𝑥 + 3𝑑𝑥
c) 𝑥2 cos 𝑥 𝑑𝑥
d) 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥
e) 𝑥 𝑥 + 1𝑑𝑥
f) 𝑥+1
𝑥𝑑𝑥
g) 9−𝑥2
𝑥2 𝑑𝑥
h) 𝑥2 + 9𝑑𝑥
i) 𝑑𝑥
𝑥2−25
j) 𝑥2−2𝑥+2
𝑥 𝑥2+2𝑥+2 𝑑𝑥
~ 15 ~
UNIDAD: III TEMAS: INTEGRAL DEFINIDA .
10 Describe el concepto de integral definida
11 Describe el teorema fundamental del cálculo
12 Sea 𝑥2 − 2𝑥 + 3 𝑑𝑥3
0 la solución es:
a) 0
b) 9
c) 3
d) -3
13 Sea sin 𝑥 𝑑𝑥𝜋
0 la solución es:
a) 0
b) −2
c) 1
d) 2
14 Sea 𝑥2 − 4𝑑𝑥2
0 la solución es:
a) 𝑖𝜋
b) 𝑖
c) 1
d) 𝜋
15 Sea 𝑥
𝑥−4𝑑𝑥
2
0 la solución es:
a) 2 − 4 ln 2
b) 2 + 4 ln 2
c) 2 − 4 ln 21
d) 2 − 4 ln 12
16 Sea 4−𝑥2𝑑𝑥2
0 la solución es:
a) 2𝜋
b) 𝜋
c) 2
d) 0
17 Sea 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥1
0 la solución es:
a) −1
4
b) 1
4
c) 1
d) 0
18 Sea ln2 𝑥 𝑑𝑥1
0 la solución es:
~ 16 ~
a) 1
b) -1
c) 2
d) 0
19 Sea 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥1
0 la solución es:
a) 1
b) -1
c) 2
d) 0
20 Sea 𝑥𝑒𝑥
1+𝑥 2 𝑑𝑥1
0 la solución es:
a) 𝑒
2+ 1
b) 𝑒 − 1
c) 𝑒
2+ 1
d) 𝑒
2− 1
21 Sea 𝑥 1− 𝑥𝑑𝑥1
0 la solución es:
a) 4
15
b) 15
4
c) −4
15
d) 0
22 Sea 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥𝜋
0 la solución es:
a) – 𝜋
b) 2𝜋
c) 𝜋
d) 0
23 Sea cos2 𝑥 𝑑𝑥2𝜋
0 la solución es:
a) – 𝜋
b) 2𝜋
c) 𝜋
d) 0
24 Sea sin2 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥4𝜋
0 la solución es:
a) 𝜋
2
b) 0
c) 𝜋
d) −𝜋
2
25 Sea sin2 3𝑥 cos2 3𝑥 𝑑𝑥4𝜋
0 la solución es:
a) 𝜋
2
~ 17 ~
b) 0
c) 𝜋
d) −𝜋
2
26 Sea sin 4𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥2𝜋
0 la solución es:
a) 𝜋
2
b) 0
c) 𝜋
d) −𝜋
2
27 Sea cot2 𝑥 𝑑𝑥𝜋
0 la solución es:
a) ∞
b) 0
c) 𝜋
d) 1
28 Sea 25−𝑥2
𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0 la solución es:
a) ∞
b) 0
c) 𝜋
d) 1
29 Sea 𝑥
𝑥2+4 𝑑𝑥
1
0 la solución es:
a) 1
2+ 5
b) 0
c) 1
2− 5
d) 1
30 Sea 𝑑𝑥
𝑥2 𝑥2−7
5
3 la solución es:
a) 2
105
b) 4
105
c) 4 2
105
d) 0
31 Sea 𝑑𝑥
𝑥2+4𝑥
1
0 la solución es:
a) ln 3− 5
2
b) ln 3 5
2
c) ln 5
2
d) ln 3+ 5
2
~ 18 ~
32 Sea 𝑑𝑥
4−𝑥2 32
1
0 la solución es:
a) 3
12
b) 0
c) 3
2
d) 1
33 Sea 𝑑𝑥
4−𝑥2 1
0 la solución es:
a) −1
4ln 3
b) 0
c) 1
4ln 3
d) 1
34 Sea 𝑥𝑑𝑥
𝑥−1 2 3
2 la solución es:
a) ln 2
2
b) 1
2− ln 2
c) 1
2+ ln 2
d) 0
35 Sea 4𝑥2𝑑𝑥
𝑥3+3𝑥
2
1 la solución es:
a) 2 ln7
4
b) 2 ln4
7
c) 4 ln7
4
d) 7 ln7
4
36 Sea 𝑥𝑑𝑥
𝑥+1
1
0 la solución es:
a) 1 + ln 2
b) 2 + ln 2
c) 2 − ln 2
d) 1 − ln 2
37 Sea 4𝑥2+6
𝑥3+3𝑥𝑑𝑥
2
1 la solución es:
a) 2 ln 7
b) ln1
7
c) ln 7
d) 7 ln 7
38 Sea 𝑑𝑥
𝑥2−4
1
0 la solución es:
a) −1
4ln 3
b) 0
~ 19 ~
c) −1
4ln 3
d) 1
39 Sea 𝑥𝑑𝑥
𝑥−1 2 3
2 la solución es:
a) ln 2
2
b) 1
2− ln 2
c) 1
2+ ln 2
d) 0
40 Sea 4𝑥2𝑑𝑥
𝑥3+3𝑥
3
1 la solución es:
a) ln 3
b) 2 ln 2
c) ln 3
d) 2 ln 3
41 Sea 𝑥𝑑𝑥
𝑥+1
2
0 la solución es:
a) 1 + ln 2
b) 2 + ln 3
c) 2 − ln 2
d) 2 − ln 3
UNIDAD: IV TEMAS: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 42 Sea 𝑦 = 3𝑥 + 2, si 𝑥 ∈ 0,1 la longitud de la curva es:
a) 5
b) 2
c) 5
d) 1
43 Sea 𝑦 = 𝑥2
4−
ln 𝑥
2 si 𝑥 ∈ 1,5 la longitud de la curva es:
a) 3 ln 5
b) 2 ln 5
c) −3 ln 5
d) 3 ln 3
44 Sea 𝑦 = 2𝑥 + 3, si 𝑥 ∈ 1,3 la longitud de la curva es:
a) 5
~ 20 ~
b) −2 5
c) 2
d) 2 5
45 Sea 𝑦 = ln sin 𝑥 , si 𝑥 ∈ 𝜋
6,𝜋
2 la longitud de la curva es:
a) ln 2 − 3
b) ln 2 + 3
c) ln 3 + 3
d) ln 3 + 2
46 Sea 𝑦 = ln sec 𝑥 , si 𝑥 ∈ 0,𝜋
4 la longitud de la curva es:
a) ln 2
b) ln 2 + 2
c) ln 1 − 2
d) ln 1 + 2
47 Calcule el área determinada por la función 𝑦 = 𝑥3 y el eje 𝑥 en el intervalo [ −1,2] .
48 Calcule el área determinada por la función 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥 y el eje 𝑥 en el intervalo [ −2,3] .
49 Calcule el área determinada por la función 𝑦 = 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 y el eje 𝑥 en el intervalo −𝜋
2,
3𝜋
2 .
50 Calcule el área determinada por la función 𝑦 =𝑥
𝑥2−9 y el eje 𝑥 en el intervalo [ −2,1] .
51 Calcule el área determinada por la función 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 − 𝑥 + 3 y el eje 𝑥 en el intervalo [ 0,4]
.
52 Calcule el área determinada por las curvas 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 y 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 en el intervalo [ 0,2𝜋] .
53 Calcule el área determinada por las curvas 𝑦 = 𝑥 sin 𝑥 y 𝑦 = 𝑥 en el intervalo [ 0,𝜋].
54 Calcule el área determinada por las curvas 𝑦 = 𝑥3 y 𝑦 = 𝑥.
55 Calcule el área determinada por las curvas 𝑥 = 𝑦2 y 𝑦 = 𝑥 − 2.
56 Calcule el área determinada por las curvas 𝑥 = 𝑦3, 𝑦 = −𝑥, 𝑦 = −2.
57 La región limitada por las curvas 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 2𝑥. Se rota para formar un sólido. Determine el
volumen de tal sólido si el eje de revolución es:
a) El eje 𝑥.
b) La recta 𝑦 = −1.
c) La recta 𝑦 = 4.
d) El eje 𝑦.
e) La recta 𝑥 = 3.
f) La recta 𝑥 = −2.
58 Determine el centroide de la región del primer cuadrante limitada por la curva 𝑦 = 4𝑥, el eje
𝑥 y las rectas 𝑥 = 1 y 𝑥 = 4.
59 Determine el centroide de la región del primer cuadrante limitada por las rectas 𝑦 = 2𝑥 +
1, 𝑥 + 𝑦 = 7 y 𝑥 = 8.
60 Determine el centroide de la región del primer cuadrante limitada por la curva 𝑦 = 𝑥2, y la
recta 𝑥 = 4.
61 Determine el centroide de la región del primer cuadrante limitada por la curva 𝑦 = 4𝑥,
el eje 𝑥 y la recta 𝑥 = 4.
~ 21 ~
UNIDAD: V TEMAS: INTEGRALES IMPROPIAS
62 Define el concepto de la integral impropia.
63 Describe los tipos de integrales impropias.
64 Determine si las integrales impropias son convergentes o divergentes, y si es
convergente, evalué
a) 𝑒−𝑥3
∞
0𝑑𝑥.
b) 𝑒𝑥𝑑𝑥1
∞
c) 𝑥5−𝑥20
−∞
d) 2−𝑥𝑑𝑥∞
1.
e) 𝑥2−𝑥𝑑𝑥∞
0
f) 𝑑𝑥
𝑥−1
∞
5
g) 𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥0
−∞
h) 𝑥𝑑𝑥
9−𝑥23
∞
5
i) 𝑑𝑥
𝑥 ln 𝑥
∞
𝑒
j) 3𝑥𝑑𝑥
3𝑥2+2 3
∞
−∞
k) 𝑥 cosh 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞
l) ln 𝑥 𝑑𝑥∞
1
m) 𝑑𝑥
16+𝑥2
∞
−∞