ejercicios de matemÁticas ii

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS.MATEMÁTICAS II.

1.- Considero la función y=f(x) definida por f(x)={√25−x2 si |x|>3¿ ¿¿¿

. Halla el dominio natural y el recorrido de esta función.

2.- Halla el dominio natural o campo de definición de cada una de las siguientes funciones:

a ) f ( x )= 1x2−1

b) f ( x )=x−32 c ) f ( x )=√cos x−1 d ) f ( x )=L( x+1

3−x ) e ) f ( x )=√ x+ 1x

3.- Halla el recorrido de cada una de las siguientes funciones:

a ) f ( x )=x2−x b ) g ( x )= 1

x2−x

4.- Sean f(x) y g(x) las funciones definidas por las expresiones siguientes:

a ) f ( x )=L ( x+√x2+1 ) b ) g ( x )=xL( 1+x1−x )

a) Obtén expresiones, lo más reducido posible, de f(x)+f(-x) y de g(x)-g(-x).b) Analiza si f(x) y g(x) son funciones pares o impares.

5.- Comprueba si son periódicas o no, las siguientes funciones hallando su período si lo son:

a ) f ( x )=cos (3 x ) b) g ( x )=sen ( x5 )6.- Comprueba si

f ( x )= x2+32 x2+1 está acotada superiormente e inferiormente.

7.- Comprueba la pariedad de la función f ( x )= 1

x2+1 y g ( x )=x6+3 x7 .

8.- ¿Es periódica la función y=|cosx|? Si lo es,¿qué período tiene?

9.- Halla los siguientes límites que se indica:

a ) limx→−∞

4 x+3

√x2+2=

b ) limx→π4

senx+cos xtgx+cot gx

=

c ) limx→0

√1+x2−1x2

=

d ) limx→+∞

4 x+3

√x2+2=

e ) limx→−∞

(√x2+x+x )=

f ) limx→0

√1+x−√1−xx

=

10.- Hallar a y b para que la función f ( x )=¿ {x3+1 si x≥0 ¿ ¿¿¿

sea continua y derivable en x=0.

1


11.- Sea f(x) la función definida como:

f ( x )=¿{ x2+ax−3

si x<2¿ {b si x=2 ¿¿¿¿. Halla a y b para que f(x) sea

continua en el punto x =2.

12.- Halla los límites:

a ) limx→0 ( 1

x+x2−

1

x−x2 )= b ) limx→+∞

√x3+3 x2−√x3+x2

√ x=

13.- La función f(x)=x2+x-2 verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [-2,1]. En caso afirmativo, calcular el punto o puntos predichos por el teorema.

14.- Estudiar la pariedad de la función y=x2+3.

15.- Calcular:

a ) limx→−1

x2+3 x+22 x2+8 x+6

=

b ) limx→−1

x+2( x+1 ) ( x+3 )

=

c ) limx→0

(senx+cos x )=

d ) limx→2+

L ( x−2 )=

e ) limx→∞

3 x4−2 x+72 x3+6 x2+7 x+√3

=

f ) limx→−∞

5 x3+2x2+3

=

g ) limx→−∞

√ x2− x−3√x3+x=

h ) limx→+∞(2x−52x+7 )

x+3=

16.- Averigua si la grafica de la función f(x)={0 si x<0 ¿¿¿¿

tiene asíntota horizontal:a) Por la derecha.b) Por la izquierda.

17.- Resolver los siguientes límites:

a ) limx→0

√x+1−1√2 x+4−2

=

b ) limx→+∞

(√3 x+43 x−7 )

x 2+ x

=

c ) limx→1+

L (1−x2 )=

d ) limx→

π2

ax cos x = (a>0 )

e ) limx→7

x−7√x−7

=

f ) limx→0

L (1−x2 )=

g ) limx→1

x3−1|x−1|

=

h ) limx→0

arctg (1+x1− x )−arctgx=

18.- Calcula los siguientes límites:

2


1) limx→5

2

( x−5 )2=

2 ) limx→−1

(x+1 )2 ( x+2 )(x+1 ) ( x+3 )

=

3 ) limx→−1

( x+1 ) ( x+3 )( x+1 )2 ( x+2 )

=

4 ) limx→+∞

5x2+6 x−36 x2+1

=

5 ) limx→0

5 x2+6 x−36 x2+1

=

6 ) limx→+∞

ex=

7 ) limx→+∞

L(3 x+25+3 x )=

8 ) limx→ 02+cos x=

9 ) limx→+∞

2+cos x2 x+7

=

10 ) limx→−1

x2+3x+22x2+8x+6

=

11) limx→+∞

6 x12−5x 4

3 x3+7 x18+5=

12) limx→−∞

5 x−2 x4 x3+23 x3+2+x5

=

13 ) limx→+∞

5x2+6 x−36 x2+1

=

14 ) limx→3

L ( x−3 )=

15 ) limx→−∞

ex+2=

16 ) limx→+∞

senx+3x+2

=

17 ) limx→∞(53 )

x

=

18 ) limx→+∞

2+cos x=

19.- Determinar a y b para que se cumpla que

limx→+∞( ax+1

6 x−b )x+3

=e2

.


1) limx→+∞

sen (1x )=

2 ) limx→+∞(1+1x )

x

=

3 ) limx→+∞(35 )

x

=

4 ) limx→+∞

cos(1x )=5 ) lim

x→−∞ex+2+3=

6 ) limx→∞

(√ x2+3 x+1−√ x2+x )=

21.- Calcular los siguientes límites:

3


1 . limx→3

x−3x2−x−6

=

2 . limx→−∞

2 x3+7x2−1

=

3 . limx→+∞

(√5 x+35 x−7 )

x2−1x =

4 . limx→5

x−5√ x−5

=

5 . limx→+∞

(√2x2+x−7−√x )=

6 . limx→−1

x2−1x2+4 x+3

=

7 . limx→+∞

2 x3+7x2−1

=

8 . limx→+∞

5 x−7x2+7

=

9 . limx→−∞

(√ x2−x−x)=

10 . limx→ 0

√ x+4−2√3 x+1−1

=

22.- Determinar a y b para que se cumpla: limx→+∞

ax2+7bx2+2

=35 .

23.- Calcular los siguientes límites:

a ) limx→−∞

3√x3−3=

b ) limx→0

(x+√ x2+1)=

c ) limx→∞

(√2x−72x+7 )x

=

d ) limx→+∞(3 x2−7

3 x2+x−7 )x+3

=

e ) limx→12

x·L(1+x1−x )=

24.- Hallar los valores de los parámetros a y b, de forma que se pueda aplicar el Teorema de

Bolzano a la función:

f ( x )=¿ {cos x si −π≤x≤0¿ {a+ x2 si 0<x<1¿ ¿¿¿. Hallar el punto intermedio al que

hace referencia el Teorema de Bolzano.

25.- Averigua si hay algún valor de k para el cual la función (f) es continua en toda la recta real:

f ( x )=¿ {2x2−1 x<−1¿ {kx+2 −1≤x≤1¿ ¿¿¿26.- Estudia la derivabilidad en el origen de la función

f ( x )=¿ {x2+1 x≥0¿ ¿¿¿27.- Calcula el dominio, recorrido, simetrías, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos

de la función

f ( x )= x

x2+1 .

28.- Calcular la recta tangente a y=√tgx en x=1.

4


29.- Deriva la siguiente función f ( x )=xsen 2 x+ xex cos x y calcula f’(0).


1 . limx→0

x−sen (2x )x+sen (3 x )

=

2 . limx→0

(1−cos x ) senxx2

=

3 . limx→ 0

esenx−1senx−x

=

4 . limx→∞

ex

x3=

5 . limx→0

tgx−xx−senx

=

6 . limx→0

x·L ( x+1 )1−cos x

=

7 . limx→0

(cos (2 x ) )3

x2 =

8 . limx→0

(1−cos x )·cot gx=

31.- Estudia crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, concavidad y convexidad, puntos

de inflexión de f(x)= x4−2 x2+x .

32.- Idem para la función: f ( x )=−3x2+5x+7 .

33.- Idem para la función: f ( x )= x2+4

x−3 .

34.- Si f ( x )=3+ x5 (1−x )3 . Probar que la ecuación f’(x)=0 tiene al menos una solución en el intervalo (0, 1) sin calcular f’(x).

35.- Aplicando el teorema de Rolle, probar que las ecuaciones ex+3 x=1 y senx=2x tienen

al menos una raíz real.

36.- Extremos relativos de la función y= e3 x

2

1+cos2 x .

37.- Estudiar la continuidad de

f ( x )=¿{ 3x−5

si x>5 ¿ ¿¿¿. Si no es continua en algún punto

¿qué tipo de discontinuidad tiene en dicho punto?

38.- Halla el campo de definición y la derivada de f ( x )=2 x+1

x2+1+2arctg (1−x

1+ x ).

39.- ¿Es aplicable el Teorema de Rolle a la función f ( x )=( x2−4 ) · ex en el intervalo [-2, 2].

40.- Halla los extremos relativos de la función f ( x )=|x2−4|.

41.- Idem con la función f ( x )=√1+x2 .

5


42.- Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ( x )= 6

x2+3 .

43.- Estudia la monotonía, máximos y mínimos, concavidad y convexidad, y puntos de inflexión

de la función f ( x )=2x3−8 x+1 .

44.- Estudiar la derivabilidad y continuidad de la función f ( x )=|x2−3 x+2|.

45.- Halla el máximo y mínimo absoluto de f ( x )=2 ( x+1 )−3 x23

en el intervalo [1,2].

46.- Halla los extremos absolutos de f ( x )=ex−x en (-1, 1).

47.- Halla los extremos absolutos de la función f ( x )= x

x2+4 .

48.- Calcula: limx→0

xtgx

=

49.- Demuestra que limx→o+

(1−cos x )2x =1.

50.- Calcula:

limx→+∞( 2 x+3

2 x−1 )x

=

51.- Estudia la derivabilidad en x = 0 de la función f ( x )=1−3√ x2 .

52.- Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

f ( x )= 4 x+52x−3

53.- Determinar a y b para que la función

f ( x )=¿ {a ( x−2 )2 x≤0¿ {bx+1 0<x<5¿ ¿¿¿ sea continua en ℜ .

54.- La función f ( x )=sen ( 1x )

no está definida en x = 0, ¿puede definirse f(0) de modo que f sea

continua en todo ℜ?

55.- ¿Es continua la función f ( x )= π

x en el intervalo [0,1]? ¿Está acotada en dicho intervalo? ¿Tiene máximo en él?

6


56.- Si f(x) es continua en x = 5 y f(5)=3, entonces podemos asegurar que:a. f está acotada en su dominio.b. Existe un entorno de 5, E(5), en el que f(x)>0.c. Existe un entorno de 5, E(5), en el que f(x)<0.d. No podemos asegurar nada pues desconocemos cual es la expresión de f(x).Razonar la respuesta correcta.

57.- Estudiar la continuidad de la función: f ( x )=e1

x−3.

58.- Estudiar la continuidad de la función: f ( x )=¿ {x2−x+1 x<0 ¿ ¿¿¿

.

59.- Estudiar la continuidad de la función: f ( x )=¿ {2x x≤3 ¿ ¿¿¿

60.- La función f ( x )=x· sen

1x no está definida en x = 0. ¿Podemos definir f(0) de forma que f sea

continua en x = 0?

61.- Hallar los puntos de discontinuidad de la función f ( x )= x−2

x2−7 x+10 . Clasificarlos.

62.- Hallar y clasificar los puntos de discontinuidad de f ( x )= x

|x| .

63.- Hallar y clasificar los puntos de discontinuidad de la función: f ( x )=

l ( (x3−4 x2+5 x−2 )2)x+5 .

64.- Siendo f ( x )=¿ {1 x≤0 ¿¿¿¿

. Averiguar si es continua la función compuesta g ∘f .

65.- Dada la función f ( x )=¿ {x2+2x−1 x<0¿ {ax+b 0≤x<1¿ ¿¿¿

. Responder:a. Hallar a y b para que f sea continua.b. Dibujar la gráfica.

7


66.- Dada la función

f ( x )=¿ {1 x<−1 ¿ {3 x=−1¿ {2x+3 −1<x<0 ¿ { 1x−3

0≤x≤5 ¿ ¿¿¿.

a. Dibujar el gráfico de la misma.b. Clasificar los puntos de discontinuidad de la función.

67.- ¿Son ciertas las siguientes cuestiones? Razona la respuesta.a. Toda función acotada en R, es continua en R.b. Toda función continua en R, es acotada en R.

68.- Probar que la función f ( x )= x2−1

x3+7 x−8 no es continua en x = 1 e indíquese que tipo de discontinuidad presenta en dicho punto.

69.- Demostrar que la función f ( x )=senx+2 x−1 tiene al meno una raíz real.

70.- Sea f ( x )=x3−x2+x . Demostrar que existe al menos un punto a∈ [1,2 ] tal que f(a)=√5 .

71.- Enunciar el Teorema de Bolzano y utilizarlo para demostrar que la ecuación

x3+x2−7 x+1=0 tiene una solución en el intervalo [0,1].

72.- Siendo f ( x )= 1

x−1 .

a. ¿Es f continua en el intervalo (1,2]?b. ¿Es acotada en dicho intervalo?c. ¿Tiene algún máximo o mínimo absolutos en dicho intervalo?d. ¿Se contradice el teorema Weierstrass?

73.- Demostrar que la ecuación πx=e posee una solución en el intervalo [0,1].

74.- Averiguar si la función f ( x )=x3−5 x+4 tiene alguna raíz negativa.

75.- Sabiendo que f(x) es tal que: f(-2)<0 y f(0)>0, ¿podemos asegurar que existe un punto c∈ (−2,0 ) tal que f(c)=0? Razonar la respuesta.

76.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

8


1 . f ( x )=sen (2 x+1 )2 . f ( x )=cos (x2+1 )3 . f (x )=(L (x2−3 x ))10

4 . f ( x )=xsen (2x+12 )5 . f (x )=(x2+senx )· L ( x )

6 . f ( x )=senx

x2−x

7 . f ( x )=x3−7x2

8 . f ( x )=tg2 (x3+2 x )

9 . f ( x )=√3x 4−5(2 x3+3 )4

10 . f (x )=√3 x2+1

11. f ( x )=√2x5+π3

x3−3√2x+1

12 . f ( x )=3√senx13 . f (x )=5cos x−7 x2−x3 .

14 . f ( x )=cos2(x2 )15 . f (x )=ecos x+ x2

16 . f ( x )=e√x

17 . f ) x=L (x2)18 . f (x )=(x2−3cos x ) · tgx19 . f (x )=3√sen (x2+1 )

20 . f ( x )=x3+cos x−x2−1139

77.- Realiza los siguientes límites:

a ) limx→0

tg (2x )tg (5 x )

=

b limx→0

ex (1−e−x )(1+x ) · L (1−x )

=

c ) limx→0

xcos x−senx

x2=

d ) limx→0

1−cos xx2

=

78.- Realiza las siguientes derivadas de las funciones:

1 . f ( x )=cos (√ x2+1 )2 . f ( x )=4 · (cos (x2+1 ))7 x+8

3 . f (x )=(L (√ x2+x ))8

4 . f ( x )=sen (L (cos x ) )5 . f (x )=3x2−√x+tgx

6 . f ( x )=arcsenx ·tgx

7 . f ( x )=arctg ( L (x2+ x+1 ))8 . f ( x )=ex 2+senx+tgx

9 . f ( x )=(x2+x )L ( x )

10 . f (x )=(x3+x+7√ x )8

79.- Determinar la función derivada de f(x)=

{1−x

exsi x≤0 ¿ {cos x si 0<x<

π2

¿ ¿¿¿

80.- Realiza las siguientes derivadas de las funciones:

9


1 . f ( x )=(cos x· tgx · senx

cos2 x )2 . f ( x )=13+√x+√ x+senx

3 . f (x )=L(√senxx2+7 )

4 . f ( x )=sen2 (x3 )+cos2 ( x2 )5 . f (x )=√x+√ x+√x

6 . f ( x )=(x2+7 x )sen (x+1 )

7 . f ( x )=sen (√ x2+x3+x4

senx )8 . f ( x )=L(√1−cos x1+cos x )9 . f ( x )=√6 sen2 x−2cos (2x )

10 . f (x )=senx−xcos xxsenx+cos x

81.- Determinar a y b para que la función f ( x )=¿ {cos x −π≤x≤0 ¿ {ax+b 0<x<1 ¿¿¿¿

sea continua siempre. ¿Es derivable para esos valores de a y b?

82.- Estudiar la continuidad y la derivabilidad de las funciones y= x2

x−2e y= x3−1

|x−1| .

83.- Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función definida en la recta real:

f ( x )=¿ {x2−1 si x≤0 ¿ {−x2−1 si 0<x≤2 ¿ ¿¿¿84.- Calcula los siguientes límites:

a ) limx→ 0

3x−2x

x= b) lim

x→0

cos2 x−cos xx2

=

85.- Realiza las siguientes derivadas:

1 . f ( x )=L (cos (√x ) )2 . f ( x )= (cos x )senx

3 . f (x )=sen (√ x2−1x+3 )

4 . f ( x )=arctg (√senx )5 . f (x )=7cos x+√x+1

6 . f ( x )=xsenx+7 x

7 . f ( x )=(1+tgx )7

8 . f ( x )=L(√1−x2

x )9 . f ( x )=(arcsenx ) ·√x2−x

x+210 . f (x )=earctg ( x2+ x )

86.- Calcula el dominio y el recorrido de la función

y=L( 1− x5

1+x5 ) . Además estudia la simetría de la función.

10


87.- Sea la función f ( x )=¿ {sen ( x+1 ) x≤−1¿ ¿¿¿

y tal que f(0)=7. Calcular a y b para que la función f sea continua. Para los valores encontrados, ¿La función f(x) es derivable?

88.- Halla el valor de la constante b para que la función f(x)=x2+b tenga por tangente en el origen la recta y = 8.


1 . f ( x )=2 x2+7 x+cos x2 . f ( x )=x3−3 x2+senx

3 . f (x )=1−x2

x3

4 . f ( x )=cos xx2+1

5 . f (x )=tgx1+ x

6 . f ( x )=L) xx

7 . f ( x )=senxx

8 . f ( x )=(1+x2+3 x4 ) · L ( x+1 )9 . f ( x )=senx · tgx10 . f (x )=arsen ( x+1 )

11. f ( x )=arccos (√ x )

12 . f ( x )=√x2+1x−1

13 . f (x )=√L ( x+1 )14 . f ( x )=√sen ( x2+x )15 . f (x )=arctg ( senx )16 . f ( x )=arctg (√x2−1 )17 . f ( x )=ex 2+ x+cos x

18 . f (x )=e√x

19 . f (x )=ax2+senx

20 . f ( x )=atgx+ x


1 . f ( x )=sen ( x+1 )3

2 . f ( x )= (x3+3 x+1 )8

3 . f (x )=(senx )7

4 . f ( x )=√L ( x )5 . f (x )=√x2+ x−senx+7 x

6 . f ( x )=3x2+7x+cos x7 . f ( x )=4 x+tgx−Lx

8 . f ( x )=x3−2x−5x

9 . f ( x )=cos ( senx )10 . f (x )=L (L ( x ) )

11. f ( x )=L (cos (x2+1 ) )12 . f ( x )=arcsen (L ( x+1 ) )13 . f (x )=arccos√x+114 . f ( x )=arctg (cos x )

15 . f (x )=(3−senxcos x )

7

16 . f ( x )=sen (L ( x+1 ) )+√ x3+x

17 . f ( x )=cos x·L (x2+1 )

18 . f (x )=x3−senxL ( x )

19 . f (x )=x−1senx

20 . f ( x )=√senxx−1

91.- Realiza las derivadas de las siguientes funciones:

11


1) f ( x )=L(√1+senx1−senx )

2 ) f ( x )=√L (sene x )3 ) f ( x )= (x−1 )3+cos x4 ) f ( x )=xsen2 x+x·e x·cos x

5 ) f ( x )=3x 4+4

+tgx

6 ) f (x )=sen ( L (x2+1 ))7 ) f (x )=arctg (√ x+senx )

8 ) f (x )=5x2+ x−senx

9 ) f (x )=4sen 2 x

10 ) f ( x )=x2+4x−3

11) f (x )=e3 x2

1+cos2 x12) f ( x )=e tgx+3x2

13 ) f ( x )=arcsen(x+1x−3 )

14 ) f ( x )=( x−3 ) ( x−5 )x2−4

92.- Realiza los siguientes límites por la regla de L’Hopital:

a ) limx→ 0

1−cos xx2

= b ) limx→0

(1−cos x )cos xsenx

= c ) limx→ 0

tg (2x )tg (5x )

=

d ) limx→0

x cos x−senx

x2e ) lim

x→−1

x+1x3+5 x2−x−5

93.- Estudiar la continuidad y la derivabilidad de:

f(x)={x2sen1x si x≠0¿ ¿¿¿

94.- Determinar la recta tangente y la recta normal a la función f(x)=cos(senx) en x=0.

95.- Derivar las siguientes funciones:

a ) y=L(√ 1+tgx1−tgx ) b) y= e2 x+e−2 x

e2 x−e−2 xc ) y=L (L (senx ))

96.- Determinar los puntos de la curva y=x3+9x2-9x+15 en los que la recta tangente es paralela a la recta y = 12x + 5.

97.- Halla el valor de la constante b para que la función f(x)=x3−2x2+bx tenga por tangente en el origen a la bisectriz del primer cuadrante.

98.- Dada la función f ( x )=ax4+3bx3−3 x2−ax , calcular los valores de a y de b sabiendo que la función presenta dos puntos de inflexión, uno en x=1 y otro en x=1/2.

99.- Calcula los siguientes límites aplicando la regla de L’Hopital:

12


a ) limx→ 0

senxx

=

b ) limx→ 0

arctgx−xx−senx

=

c ) limx→0

1−cos x+x2

2x2=

d ) limx→0

(2−x ) ex−(2+x )x2

=

100.- Dada la función a trozos f ( x )=¿ {3−ax2 si x≤1 ¿¿¿¿

a) ¿Para qué valores de a es continua la función?b) ¿Para qué valores de a es derivable la función?

101.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

1 . f ( x )= (x−1 ) ( x+1 )x2

2 . f ( x )=arccos(x−1x+1 )3 . f (x )=√3 x4−5

(2x2+3 )2

4 . f ( x )=L (√1+senx )5 . f (x )=(cos x )senx

6 . f ( x )=3x−2x

x

7 . f ( x )=√ x−2x+3

8 . f ( x )=sen3 (√x )9 . f ( x )=L ( 3√sen2 x+ex )10 . f (x )=ex tgx+cos2 x

11. f ( x )=arcsen( x+1x−1 )12 . f ( x )=cos

2 x−cos xx2

102.- Comprueba si la función f(x)=|x-1| es continua y derivable en el punto x=1.

103.- Halla a y b para que la función f ( x )=¿ {x3+1 si x≥0 ¿¿¿¿

sea continua y derivable en x=0.

104.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de la siguiente función definida a trozos:

f ( x )=¿ {x2−1 si x≤0 ¿ {−x2−1 si 0<x≤2¿ ¿¿¿105.- Dada la función

f ( x )=1x , Hallar f’(1) aplicando la definición de derivada en un punto.

106.- Estudiar en qué puntos es derivable y en qué puntos no lo es la función:

f ( x )=¿ {x3−1 x≤0¿ { 3x−2

0<x<3 , x≠2 ¿¿¿¿

13


107.- Dada la función f ( x )=¿ {x3 x<0¿ ¿¿¿

a. ¿Es continua en x = 0?b. ¿Es derivable en x = 0?

108.- Averiguar si f ( x )=|3x−2| es derivable en x=23 .

109.- ¿Existe algún punto en el cual la recta tangente a la curva de ecuación: f ( x )=x· Lx sea horizontal?

110.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva: f ( x )= x

x2+1 que forma un ángulo de 45º con la parte positiva del eje OX.

111.- Comprobar si la función f ( x )=x3−4 x2+4 x+2 cumple el teorema de Rolle en [1,3] y

hallar los puntos c∈ (1,3 ) tales que f’(c)=0.

112.- ¿Puede aplicarse el Teorema de Rolle a la función f ( x )=3√x2−1 en el intervalo [-1,1]? Razona tu respuesta.

113.- Comprobar que f ( x )=2x2−5x+1 cumple el Teorema del valor medio en el intervalo [1,6]

y hallar un punto c∈ (1,6 ) al cual se refiere el Teorema.

114.- Hallar un punto c∈ (2,5 ) tal que la tangente a la curva y=e3 x sea paralela a la cuerda

que une los puntos de la curva de abscisas x = 2 y x = 5.

115.- Hallar el punto c al que se refiere el teorema del valor medio para la función

f ( x )=x2−x+3 y el intervalo [2,5].

116.- ¿Es posible que una función f(x) sea continua en [2,4], que f(2)=f(4) y que no exista

c∈ (2,4 ) tal que f’(c)=0?.

117.- Para calcular limx→2

x2−4 x+5x2−x−2 aplicamos la regla de L’Hôpital:

limx→2

x2−4 x+5x2−x−2

=

limx→2

2x−42 x−1

=03=0

. El límite, sin embargo, no es cero. ¿Cuál es el error cometido?

118.- Calcular la derivada de la función f ( x )=x3−2 x2+3 x−1 en el punto x = 7, aplicando la definición de derivada en un punto.

119.- Sabiendo que f ( x )=¿ {4 x≤0¿ ¿¿¿

. Calcular:a. Calcular f’(0)b. Dibujar la gráfica.

120.- Averiguar si la función f ( x )=|x−1| es derivable en x = 1.

14


121.-Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función: f ( x )=¿ {2 x<0 ¿ {x−2 0≤x≤4 ¿ ¿¿¿

.

122.- Sea f una función real de variable real definida por:

f ( x )=¿{x2sen ( 1x ) x≠0 ¿ ¿¿¿

Se pide:a. Estudiar la continuidad de f.b. Estudiar la derivabilidad de f.

123.- ¿En qué puntos la tangente a la curva de ecuación: f ( x )=1

3x3−4 x2−2

3x−4

es paralela a la recta 2x+3y-4=0? Hallar la ecuación de la tangente en los mismos.

124.- Obtener las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva y= (x+1 ) 3√3−x en el punto (2,3).

125.- Sea f un polinomio tal que f(0)=f(1)=0. ¿Se puede asegurar que su derivada cumple f’(x)=0 para algún x entre 0 y 1? Justificar la respuesta.

126.- Dada la función f ( x )=¿ {x x≠5 ¿¿¿¿

demostrar que:a. Es continua en (2,5).b. Es derivable en (2,5).c. f(2)=f(5).

d. No existe ningún punto c∈ (2,5 ) tal que f’(c)=0.e. ¿Por qué no puede aplicarse el teorema de Rolle?f. Dibujar la grafica.

127.- ¿Satisface la función f ( x )=1−|x| las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo [-1,1]? Razona tu respuesta.

128.- Calcular: limx→0

xcos x−senx

x3=

129.- Resuelve:

∫ (lX )1927 1X

dx=

∫cos xsenxdx=

∫ 3 x2+2x3+2 x

dx=

∫ 6 xe3 x 2

+1

e3 x2+xdx=

∫cos xcos2 (senx )

dx=

∫ 3dx

9+x2=

∫ (1+tg 2√ x )dx2√ x

=

∫ dx

3 x2+x+2=

15


∫ x5√1−x3 dx=

∫ dx

ex √1−e−2 x=

∫ 3x2

1+x6dx=

∫ arcsenx

√1−x2dx=

∫ earctgx

1+x2dx=

∫ 1

ex−1dx=

∫ tg √x√ x

dx=

∫ x2+Lx2

xdx=

∫ arctgx dx = ∫ x2 senx dx=

∫ dx

x2−9=

∫ √9−x2dx=

∫25√cos x+1(−senx )dx=

∫ (arctgx )3

1+x2dx=

∫cos x4+sen2 x

dx=

∫( sen2 xcos2 x

+1)dx=∫ x

√ x−1dx=

∫ x+1

x2−2x+2dx=

∫ x3+4x dx=

∫ x3+4x3−x

dx=

∫ dx

x4−6 x3+11 x2−6 x=

∫ x+7

x2+4 x+5dx=

130.- Realiza las siguientes integrales indefinidas:

16


1 . ∫−17x−1

dx=

2 . ∫ 1( x−2 )7 dx=

3 . ∫ 72 x dx=

4 . ∫ x

√5 x2−3dx=

5 . ∫ 3 xsen (x2) dx=

6 . ∫25 x2+1

dx=

7 . ∫17+x2

dx=

8 . ∫15+3 x2

dx=

9 . ∫ x

√1−4 x2dx=

10 . ∫ 3 x √1−2x2 dx=

11. ∫1(a+bx )5

dx=

12 . ∫ 1x·L ( x )

dx=

13 . ∫ e−x

e−x−5dx=

14 . ∫cos (L ( x ) )x

dx=

15 . ∫ ex 2+ x+1 (2 x+1 ) dx=

16 . ∫3cos x (−senx ) dx=

17 . ∫2x ·5x dx=

18 . ∫1x−senx+sec2 x

L ( x )+cos x+tgxdx=

19 . ∫ 39+x2

dx=

20 . ∫ x3+1x4+4 x+7

dx=

21 . ∫ ex

1+e2 xdx=

22 . ∫ (L ( x ) )16

xdx=

23 . ∫ (1+tg2 √x )dx2√x

=

24 . ∫dx

x2+2 x+2=

25 . ∫ ex

√9−e2 xdx=

26 . ∫earctgxdx

1+x2=

27 . ∫ (x2+x+1 )3 (2 x+1 ) dx=

28 . ∫ esenx ·cos x dx=

29 . ∫ tg2 x dx=

30 . ∫ (x2+2 x+1 )4 (x+1 )

dx=

31 . ∫ (x+1+ tg2 x ) dx=

32 . ∫(sen2 x

cos2 x+1) dx=

33 . ∫ 8senx cos x dx=

34 . ∫ 45−xdx=

35 . ∫ x+5x2−16

dx=

36 . ∫2 xx−3

dx=

131.- Resuelve:

1 . ∫ x+1x

dx= 2 . ∫2 x3+x2−xx2

dx= 3 . ∫L(2x ex3 )dx=

17


4 . ∫ x2+2 x+14 ( x+1 )

dx= 5. ∫ (x+1+tg2 x )dx= 6 . ∫ tg2 x dx=

7 . ∫(sen2 xcos2 x

+4 )dx= 8 . ∫ √x+2 3√xx

dx= 9 . ∫ (x2+ x+1 )3 (2x+1 ) dx=

10 . ∫ sen3 x ·cos x dx= 11. ∫ (7 x+5 )9dx= 12. ∫8senx cos x dx=

13 . ∫ esenxcos x dx= 14 . ∫ex senx dx= 15 . ∫ x

1+x4dx=

16 . ∫ cos x4+sen2 x

dx= 17 . ∫ dx

x2+x+1= 18 . ∫ 3 x+27

1+(3 x+27 )4dx=

19 . ∫ dx

x2+x+2= 20. ∫ dx

x+√x= 21. ∫ x

√x−1dx=

132.- Calcula las siguientes integrales:

1) ∫0

1

xarctgx dx=

2 ) ∫−π

πcos2 x dx=

3 )∫√2 x+1 dx=

4 ) ∫ x−5x2−x−2

dx=

5 ) ∫ x3+4x3−x

dx=

6 ) ∫cos5 x dx=

7 ) ∫−π

πx2senx dx=

8 ) ∫15+3 x2

dx=

9 ) ∫1xcos (L (x3 )) dx=

10 ) ∫ x

√ x−2dx=

11) ∫ sen3 xcos4 x dx=

12) ∫ x3

x−1dx=

133.- Calcular el área limitada por la grafica de las funciones y=x2-4 e y=3x.

134.- Hallar el área comprendida entre la curva y=x3-6x2+8x y el eje OX.

135.- Calcular el área encerrada entre la curva y=ex y la cuerda de la misma que tiene por extremos los puntos de abscisas x=0 y x=1.

136.- Hallar el área comprendida entre las curvas y=5-x2 e y=x2.

137.- Calcular el área del recinto acotado del primer cuadrante del plano determinado por las graficas de las funciones y=x5+1 e y=x2.

138.- Determinar el área comprendida por las graficas de las funciones y=3x-x2 e y=x-3.

139.- Calcular el área del recinto limitado por la parábola y=x2-4x y el eje de abscisas.

140.- Sea F(x)=∫0

senxarcsent dt

. Calcular F’(x).

141.- Calcular el valor de la integral definida por: ∫0

√3x √1+x2 dx

.

18


142.- Calcula:

1) ∫ x

x3−3 x+2dx

2 )∫ sen (2x )1+3cos2 x

dx=

3 ) ∫L ( (L ( x ) )2)x

dx=

4 ) ∫ x

x3−x2+9 x−9dx=

5 ) ∫ x3 L ( x ) dx=

6 ) ∫0

π2 ex cos x dx=

143.- Dibuja el recinto limitado por las graficas de las funciones: y=

1

x2; y=3 x ; y=x

. Calcula el área de dicho recinto en el primer cuadrante.

144.- Dada f ( x )=¿ {3 x si 0≤x≤1 ¿¿¿¿

. Se define F(x)=∫0

xf ( t ) dt

. Dar la expresión de F(x) definida a trozos y dibujarla.

145.- Aplica el teorema fundamental del Calculo a F(x)=∫a

x et

t+1dt

.

146.- Calcula:

1) ∫ (1+tgx ) dx=

2 )∫ 31+2√e− x

dx

3 ) ∫e3tgx sec2 x dx=

4 ) ∫ x2−6 x+7( x−1 ) (x2−5 x+6 )

dx

147.- Resuelve las siguientes integrales inmediatas:

1 . ∫ x √x2+1 dx= 2 . ∫ x2√ x3+1 dx=

3 . ∫ x2 (x3+1 )4 dx= 4 . ∫1x2−3 x+2

dx=

5 . ∫ xx3−3 x+2

dx= 6 . ∫ x+2x3+9x

dx=

7 . ∫3 x−1x3−3 x+2

dx= 8 . ∫ x−1x2+2 x+3

dx=

9 . ∫ (5x 4+3cos x )dx= 10 .∫143 x2+27

dx=

148.- Analiza cuales de las siguientes igualdades son ciertas:

a ) ∫ dx=x+c b ) ∫ (3 senx )dx=3cos x+c c ) ∫ 1

√ xdx=√x+c

149.- Halla una primitiva F(x) de f ( x )=2 x+3 que cumpla la condición F(1)=8.

19


150.- Halla la ecuación de la curva y=f(x) sabiendo que pasa por el punto (1,1) y que la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa x es 3x+1.

151. Halla las siguientes integrales por partes:

1 . ∫e x ( x2−2 x−1 )dx= 2. ∫ x2sen (3 x ) dx=

3 . ∫ ex ( x+2 )dx= 4 . ∫ x3e−x 2dx=

152.- Halla las siguientes integrales por descomposición en fracciones simples:

1 . ∫ x2+1x3−6 x2+8 x

dx= 2 . ∫1x3+5 x2+8 x+4

dx=

3 . ∫ xx2−3 x−4

dx= 4 . ∫ xx3−x2+9 x−9

dx=

153.- Halla la función F(x) tal que F(0)=2 y que sea primitiva de la función f ( x )= ex

ex+1

154.- Halla las siguientes integrales:

1 . ∫ x3e2 xdx= 2 . ∫e x senx dx=

3 . ∫ xx2−1

dx= 4 . ∫√7+2 tgxcos2 x

dx=

5 . ∫ x−2x2 (x2+1 )

dx= 6 . ∫ 1

2 x2−6dx=

155.- REALIZA LAS SIGUIENTES INTEGRALES INMEDIATAS:

156.- Calcula la función F(x), tal que F(4)=3 y su derivada es f ( x )=3senx⋅cos x .

157.- Halla una función F(x), tal que sea primitiva de la función f ( x )=

L (5 x2+1 )5x2+1

⋅10 x y que

cumpla que F(0)=4.

158.- Realiza las siguientes integrales, inmediatas y por partes:

20


159.- Realiza las siguientes integrales definidas:

1) ∫0

1

xarctgx dx=

2 )∫−π

πcos2 x dx=

3 )∫01√2x+1 dx=

4 )∫−1

1 x−5x2−x−2

dx=

5 ) ∫13 x3+4x3−x

dx=

6 ) ∫0πcos5 x dx=

7 ) ∫−π

πx2senx dx=

8 ) ∫−1

1 15+3x2

dx=

9 ) ∫01 1xcos (L (x3)) dx=

10 ) ∫46 x

√ x−2dx=

11) ∫−π

πsen3 xcos4 x dx=

12) ∫0

1 x3

x−1dx=

160.- Determinar a y b para que la función f ( x )=¿ {2x+a x≤−1 ¿ {ax+b −1< x≤0 ¿¿¿¿

sea continua. Después

calcula ∫0

−1

f (x ) dx.

21


161.- Halla el área comprendida entre la curva y=x3−6 x2+8x y el eje OX.

162.- Calcular ∫−π

π

x2 sen( x ) dx

163.- Calcular el área de la región limitada por las curvas y=x2 e y=x13

y las rectas x=-1 y x=1.

164.- Calcula el área de la región del plano limitada por los ejes de abscisas y la gráfica de la función y = x·ex entre las rectas x = 0 y x = 1.

165.- Sea F(x)=

∫0

x2

et2dt. Calcular F’(x).

166.- Sea F(x)=

∫1

x 2

( t2−1 ) dt. Hallar los posibles extremos de dicha función.

167.- Sea f: ℜ→ℜ la función definida por f(x)=xe−x

. Esboza el recinto delimitado por la curva y =f(x), los ejes de coordenadas y la recta x = -1. Calcula su área.

168.- Dada la función F(x)=

∫0

x

( t2−1 ) · e−t2 dt, definida en todo R.

a. Calcular F’(x), estudiar el crecimiento de F(x) y hallar las abscisas de los extremos relativos.b. Calcular F’’(x), y estudiar la convexidad y concavidad de F(x) y hallar las abscisas de los puntos de inflexión.

169.- Hallar el área del recinto limitado por las parábolas y=x2 , y= x2

2e y=2 x .

170.- Calcular el valor positivo de a para que ∫0

a−1

x+1 dx=92

. Obtener razonadamente el valor de la integral que da el área de la superficie entre el eje OX, la curva y = x+1 y las rectas x= 0 y x= 2.

172.- Representar gráficamente la figura del plano limitada por las parábolas

y=4−x2 e y=x2−4 . Calcula su área.

173.- Calcula la siguiente integral definida:

∫0

1

xe− x dx.

174.- Hacer un dibujo de la región limitada por la función y = x3 (x+2) y la recta y=0. Calcular el área de esta región.

22


175.- Hallar el área del recinto limitado por la curva y=cos2 ( x ) , el eje OX y las rectas x=0 y x=

π4 .

176.- Se considera la función real de variable real definida por: f ( x )= 1

x2+3a. Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente en el punto de inflexión de abscisa positiva de la gráfica de f.b. Calcular el área del recinto del plano acotado limitado por la gráfica de f, la recta anterior y el eje x = 0.

177.- Calcula el área del recinto delimitado por la curva y=tg(x), el eje OX y la recta x=

π3 .

178.- Dibuja la superficie delimitada por la parábola y=x2−4 x+5 y la recta y = x+1. Calcula el área de dicha superficie.

179.- La curva y=2x2 divide al cuadrado de vértices V(0,0), V(0,1), V(1,0) y V(1,1) en dos recintos. Dibujar dichos recintos y calcular el área de cada uno.

180.- Realiza las siguientes sumas de matrices:

a ) (1 0 0 23 1 0 −20 0 0 −7 )+(0 0 −3 4

2 7 1 54 −3 4 −2 )=

b ) (1 −72 3 )+(0 7

−2 0 )=c ) (1 0 0

0 7 30 4 2 )+(−5 0 0

0 −2 00 −4 3 )=

181.- Realiza la trasposición de las siguientes matrices:

A=(1 0 −24 1 −3 ) B=(−1 0 1

−4 1 3 ) C=(7 1 −18 −10 0 ) D=(−3 1 5

6 2 4 )182.- Realiza la siguiente operación con las matrices del ejercicio anterior: E = 2·A - 3·B + C - 2·D

183.- Calcular x, y, z, t, para que se cumpla: (3 47 11)(x y

z t )=(26 2169 59 )

.

184.- Encuentra dos matrices, A y B, de dimensión 2x2, que cumple:

2A + B = (1 42 0 ) A − B =(−1 2

1 0 ).

185.- Dada la matriz A=(1 20 1 ) comprueba que (A-I)2=0.

23


186.- Efectúa las siguientes operaciones con las matrices dadas:

A=(1 20 3 ) B=(−4 7

3 0 ) C=(1 −13 2 )

a) A·B +A·C =b) (A – B)· C =c) A·B·C =

187.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones matriciales: {X−3Y=A ¿ ¿¿¿

siendo A=

(−20 −5−2 −15 ) y B=(23 17

−4 15 ) y las incógnitas X e Y son matrices de orden 2x2.

188.- Sean A=(3 05 −1 ) y B=(0 6

1 −3 ). Encuentra X que cumpla: 3X-2·A=5·B

189.- Calcular x, y, z, t, para que se cumpla: (2 −10 1 )(x y

z t )=(5 10 2 ) .

190.- Averigua como ha de ser una matriz X que cumpla: X·(1 10 1 )=(1 1

0 1 ) · X191.- Escribe las matrices traspuestas de:

A=(3 12 57 6 ) B=(2 5 7

4 1 0 ) C=(1 3 5 −10 2 4 16 1 0 3 ) D=(

7 4 12 1 00 1 76 3 2

) E=(5 4 6 1 )

192.- Encuentra dos matrices, X e Y, que verifiquen:

2X-3Y=(1 54 2 )

X-Y(−1 03 6 )

193.- La matriz A=( a b−b a )

es distinta de la matriz nula. ¿Tiene inversa? En caso afirmativo, háyala.194.- Sea A una matriz cualquiera. Prueba que AAt, AtA y (A+At) son matrices simétricas.

195.- Encuentra todas las matrices, A, simétricas y de orden 2 que verifican A2=I (I es la matriz unidad).

24


196.- Calcula A-1 de las matrices

A=(1 23 7 ) y A= ( 1 0 0

−1 2 30 1 2 )

.

197.- Calcula el rango, según los valores de k, de la matriz A = (1 −2 11 1 35 −1 k )

198.- Consideramos A = ( 0 3 41 −4 −5

−1 3 4 ). Se pide:

a) Demuestra que se verifica la igualdad A3+I=0 con I la matriz unidad de orden 3 y 0 la matriz nula de orden 3.

b) Calcula razonadamente A10.

199.- Dada la matriz A = (a 01 b )

. ¿Qué relación debe guardar las constantes a y b para que se verifique A2=A?

200.- Utilizando operaciones por filas, obtén matrices escalonadas equivalentes a las siguientes matrices:

A=(−1 0 11 2 22 1 1 )

B=(1 2 −13 −2 14 0 2 )

201.- Determina el valor de a para que A=(1 2 −30 1 2a 0 1 )

no tenga inversa. Calcula A-1 para los restantes valores de a.

202.- Calcula el rango de las matrices según los valores de a:

a=(2a 1 12 a 12 1 a ) b=(a−2 a+2

1 2 ) c= (2 0 0 12 1 3 1a 1 3 2 )

203.- Dada la matriz A = (1 0 −10 m 34 1 m )

, averigua para que valores del parámetro m existe A-1. Calcula A-1 para m = 2.

204.- Responde a las siguientes cuestiones:a) Si A es una matriz cuadrada de orden n, At su traspuesta y A-1 su inversa. ¿Qué

relación hay entre los determinantes |A|, |A t| y |A−1|?

25


b) Si el determinante de una matriz cuadrada de orden n vale D, ¿Cuál es el valor del determinante de la matriz que se obtiene multiplicando por 5 todos los elementos de la anterior?

c) Todos los elementos de una matriz cuadrada de orden n se multiplican por -1. ¿Cómo queda afectado el valor de su determinante?

205.- Dada la matriz A = ( 1 −2 35 0 6

−1 2 −4 ), calcula su determinante:

a) Por la regla de Sarrosb) Desarrollando por la primera fila.c) Desarrollando por la segunda columna.

206.- Resuelve la ecuación matricial AX - B + C = 0, siendo:

A=( 4 1−1 0 ) , B=( 1 2 0 −1

−2 −1 1 0 ) y C=(0 −1 2 11 0 −3 0 ).

207.- Utilizando las propiedades de los determinantes, demuestra que A1=0 y que A2 es un múltiplo de 5, siendo:

A1=|1 2 43 5 −2

−5 −10 −20| A2=|

2 0 37 5 −24 1 6

|

208.- Utilizando las propiedades de los determinantes, calcula el valor de:

|x x+1 x+2x x+3 x+4x x+5 x+6

|

209.- Utilizando las propiedades de los determinantes, calcula el valor de:

|x x x

x+1 x+3 x+9x+3 x+5 x+7

|

210.- Sabiendo que

|a b cx y zm n p

|=3 , calcula:

|2x 2 z 2 y2m 2 p 2q2a 2c 2b

|=

211.- Sea

A=( 2 −1−2 3 ) y B=(−3 4

1 3 ). Calcula:

a) |A|·|B|=b) |A·B|=c) ¿Qué relación hay entre |A·B| y |A|·|B|?

26


212.- Calcula el siguiente determinante:

|

1 8 5 03 −6 −1 20 2 0 04 −5 −2 1

|=

213.- Halla, en función de a, b y c, el valor del determinante:

|

1 1 1 11+a 1 1 11 1+b 1 11 1 1+c 1

|

214.- Halla, en función de a, b y c, el valor del determinante:

|

1 2 3 41 2+a 3 41 2 3+b 41 2 3 4+c

|

215.- Calcula los siguientes determinantes:

a ) |

1 0 0 10 1 0 10 0 1 11 1 1 1

| b ) |

1 −1 2 02 1 3 10 1 −1 20 0 4 −1

| c ) |

a a a a aa b b b ba b c c ca b c d da b c d e

|

216.- Calcula x para que el determinante de la matriz A valga 0, siendo: A=

(x 1 0 00 x 1 00 0 x 11 0 0 x

)217.- Si A es una matriz:

{a ) Nilpotente ¿ ¿¿¿ ¿Cuánto vale |A| en cada caso?

218.- Resuelve la ecuación:

|x 1 x

−1 x+1 22 1 1

|=0

219.- Resuelve la ecuación:

|x 2 22 x 33 3 x

|=0

27


220.- Calcula el determinante:

|

a+1 a a aa a+1 a aa a a+1 aa a a a+1

|

=

221.- Resuelve la ecuación det(A-xI)=0, siendo A=(1 0 02 2 41 1 2 )

, I la matriz unidad de orden 3x3 y x la incógnita.

222.- Sea A=(a 1 00 1 11 a 0 )

. Halla el valor o valores del parámetro a para los cuales la matriz A tiene inversa. Halla A-1 para a = 2.

223.- Dada la matriz

A=(1 1n

0 1 ). Calcula A

n. Halla A-1.

224.- Sea A una matriz cuadrada tal que A3=I siendo I la matriz unidad de orden el mismo que A.

¿Cuánto vale el determinante de A? Si An

=I. ¿Cuánto vale el determinante de A?

225.- Prueba sin desarrollar que los determinantes de las siguientes matrices son nulos:

A=(1 a b+c1 b c+a1 c a+b ) B=(a c+d b

a b+d ca b+c d )

226.- a) La matriz A verifica A2=A. Halla los posibles valores de |A|.b) La matriz A verifica que AAt =I. Halla los posibles valores de |A|.c) Dada A una matriz cuadrada de orden 4. ¿Qué relación existe entre |A| y |kA|?d) Se sabe que |A| = 5 y que A es una matriz de orden 2. ¿Cuánto vale |3·A|?e) Dos matrices A y B son inversas. Si |A| = 3¿Cuánto vale |B|?

227.- Si

|a b c3 0 21 1 1

|=5 , calcula, sin desarrollar los siguientes determinantes:

a ) |

2a 2b 2c32

0 1

1 1 1

|= b ) |a b c

3a+3 3b 3c+2a+1 b+1 c+1

|= c ) |a−1 b−1 c−14 1 31 1 1

|=

228.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

28


a ) |

x −1 −1 0−x x −1 11 −1 x 11 −1 0 x

|=0 b ) |

x 1 0 00 x 1 00 0 x 11 0 0 x

|=0 c ) |3 x −x2 −1 3

x+10 1 1|=0

229.- Dada la matriz A=(1 0 −10 m 34 1 m )

. Averigua para qué valores del parámetro m no existe A -1

para m=2.

230.- Prueba que A2-A-2I=0, siendo A=(0 1 11 0 11 1 0 )

e I la matriz unidad. Calcula A-1utilizando la igualdad anterior o de cualquier otra forma.

231.- Aplicando el método de Gauss, discute y resuelve los siguientes sistemas:

a)¿ {ax+ y−z=1¿ {x+2 y+z=2¿ ¿¿

232.- Resuelve la ecuación matricial AX=B, siendo A=(2 3 −14 −1 21 1 −3 ) y B=(−1011

−4 ).

233.- Prueba que si la matriz A verifica la relación A2-A-I = 0, entonces existe A-1. Hállala.

234.- Calcula el rango, según los valores de m, de la matriz A = (1 −2 11 m 35 −1 m )

.235.- Comprueba si una matriz cuadrada puede verificar la expresión A·At = I. ¿Por qué?

236.- Comprueba que son ciertas las siguientes igualdades:

a )(x+a b ca x+b ca b x+c )=x2 ( x+a+b+c ) b)(a−b−c 2a 2a

2b b−c−a 2b2c 2c c−a−b )=(a+b+c )3

237.- Determina según los valores de m el rango de las siguientes matrices:

a )( 1 2 37 1 1m 1 2 ) b )(2m 1 1

2 m 12 1 m ) c )(4 1 7

1 3 2a −2 5 ) d )(

1 1 1 11 2 2 21 2 3 31 2 3 m

)29


238.- Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales:

|3 x −x2 −1 3

x+10 1 1|=0 b )|

1 x 0 32 −2 1 33 4 6 00 1 x −4

|=0 c )|

x −1 −1 0−x x −1 11 −1 x 11 −1 0 x

|=0

239.- Contesta a las siguientes preguntas:a) Dada una matriz A, ¿existe otra matriz B tal que A·B sea una matriz de una sola fila?b) Prueba que si A verifica la relación A2 - 2·A + I = 0, entonces existe A-1. Háyala.c) ¿Es posible que para 2 matrices A y B no cuadradas pueda existir A·B y B·A?

240.- a) ¿Qué son los sistemas compatibles e incompatibles? Clases de sistemas compatibles.

b) Teorema de Rouche- Frobenius. Aplicación al sistema: {mx+ y+ z=4 ¿ {x+my+z=3¿ ¿¿¿

241.- Dado el sistema: {3 x+ y−z=0 ¿ {3 x+2 y+kz=0 ¿¿¿¿

.a) Indica para que valores de k admite solución distinta de la trivial.b) Resuelve el sistema anterior para un valor que lo haga sistema compatible

indeterminado.

242.- Encuentra todas las soluciones del sistema siguiente según los valores del parámetro real a:

{x+ y+az=1 ¿ ¿¿¿243.- Clasifica y resuelve en función del número de soluciones los siguientes sistemas de ecuaciones:

{x+ y+z=3 ¿ {x+ y−z=3 ¿¿¿¿244.- Discute, para los valores del parámetro k, y resuelve cuando sea posible, los siguientes sistemas:

{x+ y+z=0 ¿ {kx+2 z=0 ¿¿¿¿

245.- ¿Para qué valor o valores de m el sistema {mx+2 y=0 ¿ {mx+my+z=0 ¿¿¿¿

admite alguna solución distinta de x = y = z = 0? Da a m uno de estos valores y halla todas las soluciones del sistema que resulte.

30


246.- Discute, según los valores del parámetro m, el sistema{x− y=m ¿ {x+m2 z=2m+1 ¿ ¿¿¿

. Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado.

247.- Dado el sistema homogéneo {3 x+ y−z=0 ¿ {3 x+2 y+kz=0 ¿¿¿¿

.a) Indica para qué valores de k admite solución distinta de la trivial.b) Resuelve el sistema anterior para un valor de k que lo haga compatible indeterminado.

248.- Dado el sistema {3 x−2 y+z=5 ¿¿¿¿

.a) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible.b) Añade una ecuación para que el sistema sea compatible e indeterminado.

249.- ¿Para qué valores de k el sistema {x+ y=5 ¿ { y+3 z=k ¿¿¿¿

tiene solución única?

250.- Estudia según los valores del parámetro a, el sistema {ax+ y+2 z=1 ¿ {x−2 y=0¿ ¿¿¿

. Resuélvelo para a = 1.

251.- Si el rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es dos, ¿puede ser el sistema compatible? ¿Puede ser incompatible?

252.- En un sistema de ecuaciones, el determinante de la matriz de los coeficientes es cero. ¿Puede tener solución el sistema? ¿Se puede aplicar la Regla de Cramer?

253.-Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

{7 x−2 y=12 ¿ {x−2=0 ¿ ¿¿¿254.- Dado l sistema

{2 x− y+z=3 ¿ ¿¿¿.

a) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible.b) Añade una ecuación para que el sistema tenga infinitas soluciones.

31


255.- Discute el siguiente sistema, según los valores de a, y resuelve en su caso:

{ax+ y+z=0¿ {(a+1) x+ y−az=0 ¿¿¿¿.

256.- Resuelve, aplicando la Regla de Cramer, los siguientes sistemas:

a ) ¿ {x+2 y=0 ¿ ¿¿257.- Resuelve por el método de Gauss-Jordan los sistemas siguientes:

{x+ y−z=3 ¿ {3 x+4 y−z=5¿ ¿¿¿

258.- Resuelve por el método matricial el siguiente sistema: {x+ y+z=2 ¿ {x+2 y−3 z=8 ¿ ¿¿¿

259.- Estudia la existencia de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales dependientes

del parámetro de a,:

{ax+ y=a2 ¿ ¿¿¿260.- Un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, ¿ puede ser compatible determinado? Razónalo.

261.- Calcula el menor valor de n∈Ν tal que el sistema{n2 x+ny=1¿ ¿¿¿

admita solución. Resuélvelo.

262.- Prueba que los vectores u⃗=(1,2,3 ) . v⃗=(−1,0,1 ) y w⃗=(4,4,4 ) son linealmente dependientes. Expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos vectores.

263.- Indica para que valores de t los vectores u⃗=(1,1,1 ) , v⃗=(2,2 ,t ) y w⃗=( t ,0,0 ) no

forman una base de ℜ3

.

264.- Comprueba que forman una base de ℜ3

los siguientes vectores:

u⃗=(1,0,2 ) , v⃗=(−1,1,2 ) y w⃗=(0,2 ,−3 ) . Calcula las coordenadas de los vectores

x⃗=(1,1,1 ) e y⃗=(1,2,3 ) respecto a la base anterior.

265.- Dados los vectores u⃗=(2 ,−5,3 ) , v⃗= (4 ,−3,2 ) y w⃗=(0,2 ,−7 ) , se pide hallar:

32


a) Calcula los productos escalares u⃗⋅⃗v , u⃗⋅w⃗ y v⃗⋅w⃗ .b) Determina el módulo de cada uno de los vectores anteriores.c) Halla los ángulos de los vectores anteriores, tomados de dos en dos.

266.- Halla dos vectores u⃗ y v⃗ tales que (5,3,5 )=2 u⃗+3 v⃗ y (3,2,3 )= u⃗+2 v⃗ .

267.- Dados los puntos de R3 A = (2,3,5) y B = ( 1,0,8),se pide:

a) Halla las componentes de los vectores fijos A B⃗ y B A⃗ .

b) Halla dos puntos C y D tales queC D⃗ sea equipolente a A B⃗ .

c) Halla el extremo F de un vector fijo E F⃗ tal que sea equipolente a A B⃗ , siendo E = (-3,6,-9).

d) Halla el origen G de un vector fijo G H⃗ tal que sea equipolente a A B⃗ , siendo H = ( 3,2,9).

268.- Dados los vectores unitarios

u⃗ , v⃗ y w⃗ que verifican la condición u⃗+ v⃗+w⃗=0 ,calcula el valor de la expresión u⃗⋅⃗v+ v⃗⋅w⃗+ w⃗⋅u⃗ .

269.- Dados los vectores u⃗=(3 ,−1,4 ) y v⃗=(−2,3 ,−2 ) . Halla el módulo de los vectores

u⃗+ v⃗ y u⃗− v⃗ .

270.- Demuestra que el producto escalar no es asociativo y no tiene elemento unidad en R3.

271.- Sean u⃗ y v⃗ dos vectores arbitrarios. Comprueba que si

( u⃗+ v⃗ )⋅( u⃗− v⃗ )=0 , entonces |u⃗|=|⃗v|.

272.- Prueba que si dos vectores tienen el mismo módulo, entonces su suma y su diferencia son vectores ortogonales.

273.- Encuentra una base de R3 que contenga un vector proporcional al vector (1,-1,2).

274.- ¿Es posible que 2 vectores de R3 verifiquen u⃗⋅⃗v=7 , |⃗u|=1 y |⃗v|=2? ¿Por qué?

275.- Halla las ecuaciones de la recta que pase por el punto P = (1,2,3) y tiene como vector

direccional v⃗=(6,5,4 ) .Obtén seis puntos que pertenezcan a ella.

276.- Halla las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P=(1,1,0) y Q=(1,0,1).

277.- Estudia si los puntos A=(3,-4,2), B=(1,2,3) Y C=(-1,4,6) están alineados.

278.- Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (3,1,2) y es paralela al vector

v⃗=(1 ,−2,3 ) . Comprueba si los puntos (4,-1,5) y (2,3,-1) pertenecen a la recta anterior.

279.- Determina m y n para que los tres puntos (1,2,0), (2,3,1) y (m,1,n) estén alineados.

280.- Dados los puntos (1,3,-2) y (2,3,5), halla m y n para que el punto (m+1,3,n) esté alineado con los otros dos.

281.- Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P=(2,-4,0) y contiene a la recta:

33


x−21

= y−2−1

= z−43.

282.- Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas:

r:{x− y−3 z=1¿ ¿¿¿

283.- Escribe las ecuaciones paramétricas el plano: 3x-y+2z=10.

284.- Escribe la ecuación implícita o general del plano: {x=3−t ¿ { y=2+s ¿ ¿¿¿

.

285.- Averigua para qué valor de m la recta r:{x+2 y+z=m ¿ ¿¿¿

se corta con la recta S:x−12

= y+13

= z−45.

286.- Prueba que {x− y+z=4 ¿ ¿¿¿

representa la misma recta.

287.- Sean las rectas r:

x−3−5

= y−12

= z−30

y s : ¿ {3 x− y+z=0¿ ¿¿. Halla la ecuación del

plano que pasa por el punto A=(-1,-1,0) y es paralelo a las dos rectas.

288.- Dados los puntos A(1,0,2), B(0,1,3), C(-1,2,0) y D(2,-1,3), halla la ecuación del plano que contiene la recta que pasa por AB y es paralelo a la recta que pasa por CD.

289.- Determina la posición relativa del plano 3x-2y+z=3 y la recta

x−13

= y2= z+31 .

290.- Determina la posición relativa de las rectas r: x = -y = -z y s:{ z=2 ¿ ¿¿¿

.

291.- Estudia si las rectas r:{2 x+z=9 ¿¿¿¿

se cortan, son paralelas o se cruzan. Halla el plano que contiene a s y es paralela a r.

292.- Determina m para que las rectas r :¿ {x−2 z=1¿ ¿¿

estén situadas en un mismo plano. Halla la ecuación de dicho plano.

34


293.- Dadas las rectas r:{x−z=−1 ¿ ¿¿¿

.a) Di si se cortan, son paralelas o se cruzan.b) Halla la ecuación de recta que pasa por el origen y cortan a las rectas dadas.

294.- Halla la ecuación del plano que contiene la recta

x−21

= y−22

= z−43 y es paralelo a la

recta

x−13

= y−12

= z1 .

295.- Halla la ecuación del plano que contiene la recta de ecuaciones

x−11

= y−12

= z1 y es

paralela a la recta que pasa por los puntos (2,0,0) y (0,1,0).

296.- Dados el plano π :2x−3 y+z=0 y la recta r :

x−11

= y−2−1

= z+12 . Halla la

ecuación del plano que contiene a la recta r y es perpendicular a π .

297.- Estudia la posición relativa de los planos, en cada uno de los siguientes casos:

a){2 x+3 y−5 z=−7 ¿ {3 x+2 y+3 z=1¿ ¿¿¿

298.- Halla las ecuaciones de la recta que es paralela a la recta {2 x− y+z=0 ¿ ¿¿¿

y pasa por el punto (4,5,6).

299.- Halla las ecuaciones de la recta paralela a los planos x+y=1, x+z=0 y que pasa por el punto (2,0,0)

300.- Dados los vectores u⃗=(2 ,−5,3 ), v⃗=(4 ,−3,2) y w⃗=(0,2 ,−7 ), se pide:

a) Calcula los productos escalares u⃗⋅⃗v , u⃗⋅w⃗ y v⃗⋅w⃗ .b) Determina el módulo de cada uno de los vectores dados.c) Halla el ángulo entre los vectores iniciales, tomados de dos en dos.

301.- Indica para que valores de t los vectores siguientes no forman una base de ℜ3

:

u⃗=(1,1,1) , v⃗=(1,2 ,t ) y w⃗=( t ,0,1 ).

302.- Calcula el valor de x e y para que el vector (x,y,1) sea ortogonal a los vectores (3,2,0) y (2,1,-1).

303.- Dados los vectores u⃗=(3 ,−1,1) y v⃗=(2 ,−3,1 ) , halla el producto u⃗× v⃗ y comprueba

que es ortogonal a u⃗ y v⃗ . Halla el vector v⃗× u⃗ y compáralo con u⃗× v⃗ .

35


304.- Averigua para qué valor de m la recta r:{x+2 y+z=m ¿ ¿¿¿

se corta con la recta s:x−12

= y+13

= z−45.

305.- Determina m y n para que los planos {2 x− y+z=3 ¿ {x− y+ z=2¿ ¿¿¿

se corten en una recta.Halla la ecuación del plano que contiene la recta anterior y pasa por el punto P=(2,1,3).

306.- Dadas las rectas r :¿ {x−z=−1 ¿ ¿¿

a) Di si se cortan, son paralelas o se cruzan.b) Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen y corta a las rectas dadas.

307.- Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección de x+y+z=3 con los ejes coordenados OX y OY. Determina el plano que pasa por los puntos de intersección del plano anterior con los ejes coordenados.

308.- Estudia la posición relativa de los planos, para cada uno de los casos siguientes:

a ) ¿ {x− y+ z=0 ¿ {3 x+2 y−2 z=1¿ ¿¿309.- Determina la posición relativa de las rectas r: x = -y = -z y s: z = 2 , y = x+2 .

310.- Escribe las ecuaciones paramétricas del plano: 3x-y+2z=10.

311.- Estudia, según los valores del parámetro m, la posición relativa de las rectas:

r :¿ {x−2 z=1¿ ¿¿

312.- Halla la ecuación del plano que pasa por (0,0,1) y contiene a la recta {5 x−3 y+2 z=5¿ ¿¿¿

.

313.- Calcula el ángulo formado por las rectas de ecuaciones: x−12

= y−3−2

= z+1−1

yx+2−1

= y−13

= z+1−2

.

314.- Calcula el ángulo formado por el plano x-y+z=0 y la recta

x−12

= y+2−1

= z3.

315.- Calcula el ángulo entre los planos x + y - 2z = 3 y -x + y + 2z = 2.

316.- Halla la distancia del punto (4,5,6) al plano x-2y+3z=5.

36


317.- Calcula la distancia del punto (-2,4,3) a la recta

{x=2 z+12 ¿ ¿¿¿.

318.- Sean los puntos P(3,1,5) y Q(-1,7,3). Por el punto medio del segmento PQ trazamos un plano π perpendicular a dicho segmento. Halla la ecuación del plano. ¿Qué distancia hay hasta P?¿Y hasta Q?.

319.- Halla el punto simétrico del punto A(1,-3,7) respecto a la recta

x−11

= y+31

= z−42.

320.- Dados los puntos (1,2,3) y (1,2,1), ¿cuál es el conjunto de puntos que está a igual distancia de ambos?

321.- Sea la recta r:{x−2 y+2 z=3¿ ¿¿¿

. Halla los puntos de esta recta tales que su distancia al

origen de coordenadas es √14 .322.- Halla la recta perpendicular común a las rectas de ecuaciones:x−12

= y+31

= z−11

yx−21

= y−2−3

= z−11.

323.- Halla el punto simétrico del punto A(2,0,1) respecto de la recta

x2= y−3

−1= z−2

1 .

324.- A) Determina m y n para que los planos de ecuaciones{2 x− y+z=3 ¿ {x− y+ z=2¿ ¿¿¿

se corten en una recta r. B) Halla la ecuación del plano que contiene a r y pasa por el punto P(2,1,3). C) Halla la distancia del punto P a la recta r.

325.- Sean A(-3,4,0), B(3,6,3) y C(-1,2,1) los vértices de un triangulo. Se pide:a) La ecuación del plano que contiene al triángulo.b) El valor de los ángulos y el área del triángulo.

326.- Dados el punto A(1,0,-1) y el plano π : 2x− y+3 z=4 , se pide:a) La ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular aπ .b) El punto simétrico de A respecto aπ .c) De los planos que pasan por A y son perpendiculares aπ , halla el que pasa por

B(2,1,2).d) La ecuación del plano que pasa por A y es paralelo a π .

327.- Halla la recta perpendicular común a las rectas r :

x1= y1= z1

y s :x−11

= y3= z1.

328.- Halla la distancia entre la recta que pasa por los puntos A(1,0,0) y B(0,1,1) y el eje OY.

37


329.- Dada la base formada por los vectores ( 1√5 ,0 ,

2

√5 ) ,(0 ,− 2

√5,1

√5 ) ,(− 2

√5,1

√5,0)

, comprueba si es ortogonal o ortonormal.

330.- ¿Puede ser el módulo de la suma de dos vectores de módulos 10 y 5 mayor que 15? ¿Y menor que 4?

331.- Prueba que los vectores u⃗ y v⃗ son perpendiculares si y solo si se verifica que

|⃗u+ v⃗|=|u⃗− v⃗|.

332.- Calcula algún valor del parámetro t para que el producto vectorial (1,2,t)x(1,t,0) tenga la dirección del eje OZ.

333.- Sean a, b y c tres números reales cualesquiera. Prueba que los vectores (1,a,b), (0,1,c) y (0,0,1) son linealmente independientes.

334.- Calcula el ángulo que forma la diagonal de un cubo con uno cualquiera de sus lados o aristas.

335.- Si los vectores {u⃗ , v⃗ , w⃗ } forman una base de R3, analizar si los vectores

{u⃗+ v⃗ , v⃗+w⃗ , w⃗+u⃗ } también forman una base de R3.

336.- Siendo u⃗ y v⃗ dos vectores cualesquiera del espacio, prueba que

( u⃗− v⃗ )× ( u⃗+ v⃗ )=2 u⃗× v⃗ .

337.- Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(1,-1,2) y es perpendicular al plano determinado por los puntos (1,0,1),(3,2,1) y (2,-1,0). Exprésala como intersección de planos.

338.- Halla la ecuación del plano que es perpendicular a la recta dada por los planos

{2 x+ y−z=0 ¿ ¿¿¿ y que pasa por el punto (3,2,1).

339.- Halla la ecuación de la recta que pasa por (1,2,3) y es paralela a la recta {2 x+3 y−z=1¿ ¿¿¿

.

340.- Calcula el valor de a para que los cuatro puntos esten en un mismo plano:(a,0,1),(0,1,2),(1,2,3) y (7,2,1). Calcula también la ecuación del plano que los contiene.

341.- Determina la posición relativa de los planos {2 x+3 y+z=1 ¿ {x− y+z=−2 ¿ ¿¿¿

.

342.- Estudia para los diferentes valores de m la posición relativa de los planos:

a) {mx+ y+ z=1¿ {x+my+z=1¿ ¿¿¿

38


343.- Estudia la posición relativa de las rectas r :¿ {x+ z=8 ¿¿¿

.

344.- Dados los puntos A(1,0,2),B(0,-2,1),C(2,1,0) y la recta s:

x+21

= y+11

= z−20 , calcula:

a) El plano definido por los puntos A, B y C.b) El plano determinado por A y la recta s.c) El plano perpendicular a s y que pasa por el punto A.

345.- Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(5,0,1),B(4,1,0) y es paralelo a la

recta {x−2 y+3 z=0 ¿ ¿¿¿

.

346.- Determina m y n para que los planos 6x-my+4z+9=0 y 9x-3y+nz-n=0 sean paralelos.

347.- Calcula el ángulo formado por las rectas de ecuaciones:

r :x−2−1

= y−51

= z−13

y s :x+2−1

= y−1−1

= z+10 .

348.- Halla el ángulo formado por el plano π :2x− y+3 z+5=0y la recta r:{2 x−3 y+z=1¿ ¿¿¿

.

349.- Calcula el ángulo formado por los planos α: x+y-3z=1 y β: 2x-3y+2z=2.

350.- Encuentra las proyecciones de los puntos P(1,2,3) y Q(-3,-1,0) sobre el plano Л: 2x-y+3z+5=0.

351.- Calcula la distancia del punto P(1,2,3) a la recta

x+1−2

= y1= z−2

2.

352.- Calcula la distancia del punto P(1,2,3) al plano Л: 3x+4y-6=0.

353.- Calcula la distancia entre los planos α: 2x-3y+z-8=0 y β: 2x-3y+z+12=0.

354.- Calcula la distancia entre la recta r:

x−12

= y+5−5

= z+32 y el plano α: x+2y+4z-13=0.

355.- Calcula la distancia entre las rectas r:

x+22

= y−17

= z−56

y s :x

−1= y+1

5= z6 .

356.- Dados los vectores u⃗=(1,2,3 ) , v⃗=(2,0,1 ) y w⃗=(−1,3,0 ) , hallar:

a. u⃗⋅⃗v , v⃗⋅w⃗ , u⃗⋅w⃗b. u⃗ x v⃗ , v⃗ x w⃗ , w⃗ x u⃗

c. ( u⃗ x v⃗ )⋅w⃗ , ( v⃗ x w⃗ )⋅⃗u

d. |⃗u| , |⃗v| y |w⃗|e. cos ( u⃗ , v⃗ ) , cos ( v⃗ , w⃗ )

39


357.- Dados los vectores u⃗=(2 ,−3,5 ) y v⃗=(6 ,−1,0 ) . Calcular:

a. Los módulos de los vectores u⃗ y v⃗ .

b. El producto escalar de u⃗ y v⃗ .c. El coseno del ángulo que forman.

d. La proyección de u⃗ sobre v⃗ .

e. La proyección de v⃗ sobre u⃗ .

f. Hallar m para que el vector (m,2,3) sea ortogonal a u⃗ .

358.- Comprobar que los vectores i⃗=(1,0,0 ) , j⃗=(0,1,0 ) y k⃗=(0,0,1 ) son ortogonales. Hallar sus módulos.

359.- Dados los vectores u⃗=(3,1 ,−1 ) y v⃗=(2,3,4 ) . Hallar:

a. Los módulos de los vectores u⃗ y v⃗ .

b. El producto escalar de u⃗ y v⃗ .

c. Un vector unitario ortogonal a u⃗ y v⃗ .

d. El área del paralelogramo que tienen por lados los vectores u⃗ y v⃗ .

360.- Dados los vectores u⃗=3 i⃗− j⃗+ k⃗ y v⃗= i⃗ + j⃗+ k⃗ , hallar el producto vectorial de dichos

vectores. Comprobar que el vector hallado es perpendicular a u⃗ y v⃗ .

361.- Calcular los valores de x e y para que el vector (x,y,1) sea ortogonal a los vectores (3,2,0) y (2,1,-1).

362.- Dados los vectores u⃗1=(2,0,0 ) , u⃗2=(0,1 ,−3 ) y u⃗3=a u⃗1+b u⃗2 , ¿qué relación debe satisfacer a

y b para que u⃗3 sea la unidad?

363.- Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a (2,-2,3) y (3,-3,2).

364.- Dados los vectores u⃗=(2,1,3 ) , v⃗=(1,2,3 ) y w⃗=(−1 ,−1,0 ) , hallar el producto mixto [ u⃗ , v⃗ , w⃗ ] . ¿Cuánto vale el volumen del paralelogramo que tiene por aristas los vectores dados?

365.- Dada la base

β={( 1√5 ,0 ,2

√5 ), (0 ,−2√5,1

√5 ) ,(−2√5,1

√5,0)}

, comprobar si es normada,

ortogonal u ortonormal.

366.- Halla un vector perpendicular a u⃗=(2,3,4 ) y v⃗=(−1,3 ,−5 ) , y que sea unitario.

367.- Demostrar que el vector a⃗=( b⃗⋅⃗c )⋅⃗d−( b⃗⋅d⃗ )⋅⃗c es ortogonal al vector b⃗ .

368.- Dados los vectores u⃗=3 i⃗− j⃗+ k⃗ y v⃗=2 i⃗−3 j⃗+k⃗ , hallar el producto u⃗ x v⃗ y comprobar

que este vector es ortogonal a u⃗ y v⃗ . Hallar el vector v⃗ x u⃗ y compararlo con u⃗ x v⃗ .

369.- Demostrar las siguientes igualdades entre vectores:

a . ( u⃗+ v⃗−w⃗ )⋅( u⃗+ v⃗+w⃗ )=( u⃗+ v⃗ )2−w⃗2

b . ( u⃗− v⃗−w⃗ )⋅( u⃗+ v⃗+w⃗ )=u⃗2− ( v⃗+ w⃗ )2

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370.- Sean u⃗ y v⃗ dos vectores tales que ( u⃗+ v⃗ )2=25 y ( u⃗−v⃗ )2=9 . Calcular el producto escalar

de u⃗ y v⃗ .

371.- Sean u⃗ y v⃗ dos vectores tales que |⃗u|=9 y ( u⃗+ v⃗ ) ( u⃗−v⃗ )=17 . Calcular el módulo del

vector v⃗ .

372.- Los módulos de tres vectoresa⃗ , b⃗ y c⃗ son 3, 4 y 7, respectivamente. ¿Cómo han de ser

los vectores para que a⃗+b⃗+c⃗=0?

373.- ¿Cuánto vale el producto mixto de tres vectores coplanarios?

374.- ¿Cuánto vale el producto vectorial de u⃗=(1,2,3 ) y v⃗=(2,4,6 )? Razonar la respuesta sin realizar ningún cálculo.

375.- ¿Cuál es el producto escalar de dos vectores ortogonales?

376.- ¿Cuál es el producto escalar de dos vectores paralelos?

377.- ¿Es posible que el producto escalar de dos vectores libres del espacio sea cero, sin ser ninguno de los vectores el vector cero?

378.- Poner un contraejemplo para probar que de la igualdad u⃗⋅⃗v= u⃗⋅w⃗ no se deduce que v⃗=w⃗ .

379.- Encontrar una base ortonormal de R3 que contenga un vector proporcional a (1,-1,2).

380.- Hallar un vector de (R3 ,+.· R ) cuyas coordenadas con respecto a la base B= {(−1,2,0 ) , (0,0,3 ) , (0 ,−2,1 ) } sean: a) (1,2,3) b) (-1,5,0)

381.- Sea B= {e1 ,e2 , .. . , en}, ¿Cuáles son las coordenadas del vector e i en esa base?

382.- ¿Pueden ser una combinación lineal de vectores igual al vector nulo sin que sean nulos todos los coeficientes de la combinación?

383.- Demostrar que los vectores (1,a) y (1,b) del espacio vectorial real R2 constituyen una base

del mismo si y sólo si a ¿ b.

384.- Comprobar si los vectores (-1,0,4), (2,1,-3) y (0,1,5) forman una base de R3.

385.- Deducir si el vector (2,1,3,0) es combinación lineal de los vectores (-1,2,3,4) y (0,1,-1,2).

386.- Hallar las ecuaciones de una recta que pasa por el punto (3,0,-5) y tiene vector director v = 2i+2j-k.

387.- Ecuaciones del plano que pasa por el punto (-3,4,2) y que es paralelo a los vectores u=(1,2,-3) y v =(-5,4,-1).

388.- Ecuación del plano que contiene a los tres puntos siguientes: (0,1,3), (-2,1,5) y (2,-2,0).

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389.- Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta

x−12

= y+23

= z5 y por el punto M = (-

1,2,3) exterior a dicha recta.

390.- Hallar la ecuación general de los siguientes planos:

a) Que contiene al punto (-1,2,1) y a la recta {x=2 ¿ ¿¿¿

.

b) Que pasa por el punto (1,-2,3) y es paralelo a los vectores u⃗= j+2k y v⃗= j−2k .

391.- Hallar un punto del eje OZ que pertenezca al plano definido por los puntos (1,-2,3), (-2,1,4) y (1,-1,1).

392.- Determinar la posición relativa de las rectas:r :¿¿

393.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (2,-1,3) y contiene a la recta

determinada por los planos: {x− y+z−2=0 ¿¿¿¿

.

394.- Discutir la posición relativa de los tres planos siguientes según los distintos valores de a:

{3 x−ay+2 z−( a−1 )=0¿ {2 x−5 y+3 z−1=0 ¿ ¿¿¿395.- Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto de intersección de la recta r con el plano Л y es paralelo a las rectas s y t.

r :¿ {x+2 y−z+3=0 ¿ ¿¿396.- Hallar el valor de m para que los puntos (3,m,1), (1,1,-1) y (-2,10, -4) pertenezcan a la misma recta.

397.- La recta r pasa por el punto (1,-2,1) y es paralela a la recta {x=2+t ¿ { y=−3t ¿¿¿¿

. Si (-3,m,n) pertenece a r, determinar m y n.

398.- Dados los puntos A=(2,3,-1) y B=(-4,1,-2) hallar las coordenadas de un punto C perteneciente al plano XZ, de forma que los tres puntos A, B y C no formen un triángulo.

399.- Hallar el valor de a para que las rectas r y s se corten. ¿Pueden ser coincidentes en algún caso?

r :x−32

= y−3−1

= z+a2

y s : ¿ {x=1+4 λ ¿ { y=−1+3 λ¿ ¿¿

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400.- Calcular los valores de m y n para que la recta r :¿ { y=2 x−3 ¿ ¿¿

esté contenida en el plano

Л:nx+my−z−2=0 .

401.- Hallar la ecuación general del plano que contiene al punto (1,2,1) y la recta intersección del plano Л: x-2y+z-3=0 con el plano YZ.

402.- Estudiar la posición relativa de los planos:

{2 x−3 y−z+2=0 ¿ {x+ y+2 z+3=0 ¿¿¿¿

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ejercicios de matemÁticas ii

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