ejercicios matemÁticas

U4 Potencias y Raíces Página 1

EJERCICIOS MATEMÁTICAS

1º F.P.B.

U4 POTENCIASY RAÍCES

1. POTENCIAS

La potencia es una operación que permite escribir una multiplicación de

factores iguales de forma abreviada. Ejemplo: 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

• Toda potencia está formada por una base y un exponente.

• La base, es el factor que se está multiplicando.

• El exponente es el número de veces que se multiplica el factor.

Para calcular el valor de potencias de números enteros, hay que tener en cuenta el signo

de la base y si el exponente es un número par o impar. Observa los siguientes ejemplos:

Paréntesis en potencias de números negativos. Es importante saber que

no es lo mismo

• −52 = −(5 ⋅ 5) = −25

• (−5)2 = (−5) ⋅ (−5) = 25

Si -n es un número negativo, se define la potencia de exponente negativo

así:

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛 . Ejemplo: 3−4 =1

34

Igualmente 1

𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛 Ejemplos: 1

10−2 = 102 ; 1

105 = 10−5

Y (𝑎

𝑏)

−𝑛= (

𝑏

𝑎)

𝑛 Ejemplos: (

3

5)

−2= (

5

3)

2

2. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS.

Potencia de exponente 1.

• 𝑎1 = 𝑎; 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 51 = 5

Potencia de exponente 0.

• 𝑎0 = 1; 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 50 = 1

Potencia de base 1.

• 1𝑛 = 1; 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 127 = 1

32 = 3 ⋅ 3 = 9 (−3)2 = (−3) ⋅ (−3) = 9 Exponente Par

53 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 (−5)3 = (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) = −125 Exponente Impar


1) Escribe en forma de potencia los siguientes productos.

a) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = b) 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ∙ 6 ∙ 6 = c) 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ∙ 4 ∙ 4 =

d) 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = e) 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 = f) 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ∙ 6 =

g) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ∙ 5 ∙ 5 = h) 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ∙ 10 ∙ 10 = i) 11 ⋅ 11 ⋅ 11 =

j) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = k) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = l) 9 ⋅ 9 ⋅ 9 =

2) Resuelve estas operaciones e indica cuáles se expresan en forma de producto y

cuáles en forma de potencia:

a) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = b) 8 + 8 = c) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 =

d) 3 + 3 + 3 = e) 9 ⋅ 9 = f) 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ∙ 6 =

g) 5 ⋅ 5 ∙ 5 ∙ 5 = h) 9 + 9 = i) 9 + 9 =

j) 2 + 2 + 2 = k) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = l) 9 ⋅ 9 ⋅ 9 =

3) Calcula el valor de estas potencias y escríbelas en forma de producto:

a) 24 = b) 43 = c) 83 =

d) (−2)4 e) (−4)3 f) (−8)3

g) 36 = h) 54 = i) 74 =

j) (−3)6 k) (−5)4 = l) (−7)4

4) Desarrolla como producto y calcula.

a) 34 = b) (3)3 = c) 25 = d) 52 =

e) 43 = f) (4)2 = g) (1)26 = h) (6)3 =

i) -23 = j) (1)37 = k) 26 = l) (6)3 =

m) 25 = n) (1)45 = o) 73 = p) (4)3 =

q) 34 = r) 3-2 = s) 103 = t) 2-3 =

u) (4)-2 = v) 32 = w) 52 = x) (2)3 =

y) 4-2 = z) (4)2 = aa) (-5)3 = bb) 62 =

cc) 52 = dd) 6-2 = ee) 2-3 = ff) 54 =


3. OPERACIONES CON POTENCIAS

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS CON LA MISMA BASE. Se escribe la

misma base y se suman los exponentes.

• 𝑎𝑛 ⋅ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

• 42 ⋅ 43 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 45

• 42 ⋅ 43 = 42+3 = 45

DIVISIÓN DE POTENCIAS CON LA MISMA BASE. Se escribe la misma base

y se restan los exponentes.

• 𝑎𝑛: 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚

• 45: 43 =4⋅4⋅4⋅4⋅4

4⋅4⋅4= 42

• 45: 43 = 45−3 = 42

POTENCIA DE POTENCIA. Se escribe la misma base y se multiplican los

exponentes..

• (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛⋅𝑚

• (42)3 = 42⋅3 = 46

• (42)3 = 42 ⋅ 42 ⋅ 42 = 42+2+2 = 46

POTENCIA DE UN PRODUCTO. Es igual al producto de los factores elevados

al exponente de la potencia.

• (𝑎 ⋅ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛

• (3 ⋅ 7)2 = 32 ⋅ 72→ 441= 441

o (3 ⋅ 7)2 = 212 = 441

o 32 ⋅ 72= 9 ⋅ 49 = 441

POTENCIA DE UNA DIVISIÓN. Es igual a la división de los factores elevados

al exponente de la potencia.

• (𝑎: 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛: 𝑏𝑛

• (12: 4)2 = 122: 42→ (3)2 = 144: 16→ 9= 9

o (12: 4)2 = (3)2 = 9

o 122: 42= 144: 16 = 9

Las potencias no cumplen la propiedad distributiva respecto a la suma y

a la resta:

• (𝑎 + 𝑏)𝑛 ≠ 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 y (𝑎 − 𝑏)𝑛 ≠ 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 Ejemplo:

(7 + 3)2 = 102 = 100

72 + 32 = 49 + 9 = 58 ; por lo tanto, no cumple


5) Aplica las propiedades dejando el resultado en forma de potencia:

a) (5 . 4)3 = b)

32

5 c) (3 . 6)3 =

d)

22

3

e) (5 ⋅ 7)4 =

f)

35

8

g) (10 . 5)4 = h)

33

5

i) (8 . 4)2 =

j)

36

7

k) 5

3

m

m l) 34 . 33 =

m) 6

4

a a

n) 55 ⋅ 52 = o) 2

5 c

c

p) 43 ⋅ 45 = q) 5

7 b

b r) 52 ⋅ 54 =

s) 4

6

a

a t) 63 ⋅ 62 = u)

32

5

7b)

7

v) 4

23 w) 435b)

x)

432a)

y) 233b)

z)

325a)

aa) 234b)

bb) 242a)

cc)

4210b)

dd) 223a)

ee) 5310b)

ff)

4

23 )( a)

a

a

gg) 22

3

3·2

3)·(2 b)

hh) 5

43·a)

a

aa

ii) 22

3

5·4

5)·(4 b)

jj) 7

32 )( a)

a

a

kk) 5·2

5)·(2 b)

22

3

ll) 44

5

·

)( a)

ba

b·a

mm) 4)·(3

4·3 b)

3

33

6) Aplica las propiedades dejando el resultado en forma de potencia:

1) (35)0 = 2) 25x55 = 3) (-15)0 =

4) 64 : 24 = 5) (42)3 = 6) (-3) x (-3)2 :(-3)3 =

7) (-1)75 = 8) (-2)6 = 9) [(-8)4 ]2 =

10) (-5)3 = 11) 39 x 34 = 12) (23 x 33 )2 :(64 x 6) =


13) 23 x 22 x 24 = 14) 27 : 24 = 15) (-7)2 =

16) (32)5 : 35 = 17) (23 x 33) : (64x 6) = 18) [(-3)2 ]3 =

19) (32)6 = 20) [(23)46 = 21) (+6)4 :(23 x 33 ) =

22) 52x54x56 = 23) (-2)4x(-2)2x(-2) = 24) [(-12)5 ]3 =

25) [(-3)24 = 26) (5x52x53)4 = 27) 50 =

28) (-3)2 :(-3)5 = 29) [(-5)-3]0 = 30) 63 x 62 x 6 =

31) (-2)3.(-2).(-2)4 = 32) (3.2)3 : 65 = 33) [(-5)4 ]2 =

34) (-3)-4 = 35) [(-6)2]0 = 36) 7-3 =

37) (-5)4.(-5)3.(-5) = 38) [(-3)0]4 = 39) (-5) x (-5)2 x (-5)3 =

40) [(-3)2 ]-3 = 41) (3)2.(-3).(-3)3 = 42) 20 =

43) (- ---) =

44) 3 43) [(-2)3]2 = 44) (32 x 33 )-1 = 45) (-5)-6 =

46) (-2)2.(-2).(-2)2 = 47) (-5)3 : (-5)5 = 48) 44 : 45 =

49) (50)2 = 50) 64 :(34 x 24 ) = 51) (39 x 34 )2 =

52) (-4)-2 = 53) (-6)5 :(-6)2 = 54) (-2)4 =

55) 52 x 5 x 54 = 56) (-5)8 :(-5)2 = 57) 52 x 54 x 53 =

58) (-2)3 x (-2)3 x (-2) = 59) [(-4)3 ]5 = 60) [(-5)4 ]0 =

61) (-6)-3 = 62) [(-7)0 ]-4 = 63) (-5)-3 =

64) (-1)13 = 65) (-6) x (-6)2 x (-6)3 = 66) (-2) x (-2) x (-2) =

67) (-2)6 = 68) [(-3)2 ]-2 = 69) (-7)4 =

70) (33 x 32 x3)3 = 71) (32 )5 : 35 = 72) (-3)2 =

73) [(-3)2 ]4 = 74) [(-2)2 ]0 = 75) (-4)6 =

76) 123 : 33 = 77) [(-6)2 ]-3 = 78) [(-5)3 ]0 =

79) 25 x 2 x 23 = 80) (-2)0 = 81) 2-3 =

82) ( --- ) =

83) -3 84) (23 x33 )4 = 85) (-5)6 : (-5)3 = 86) [(-4)5 ]0 =

87) (-2)4 x (-2)2 x (-2) = 88) (-7)5 : (-7)7 = 89) 5 -2 =

90) (25 x 35 ) = 91) (64 x 54 )3 :(23 x 53 x 33 ) =

92)

93) (53 x 43) : (22 x 102) =


7) Escribe como una sola potencia:

a) 35 ∙ (−7)5 = _______________________

b) (−15)4: 54 = _______________________

c) (−8)5 ∙ (−4)5 ∙ 32 = _______________________

8) Completa las siguientes expresiones:

a) (−2)4 ∙ (−3)4 = (_______)4

b) (−18)6: (−9)6 = _________

c) (______)3 ∶ 53 = (−25)3

d) 72 ⋅ (______)2 ∙ 22 = (−42)2

9) Simplifica las siguientes potencias:

1) 4

52

2

22

2) 4

52

5

55

3) 6

432

66

666

4) 12

73

7

77

5)

cba

cba

3

22

6) 23103

21167

5325

3253

7) 23

52

82

24

8) 423

232

32815

493525

9)

257

24

3

29

48

35

10)

31625

72

43

325

29

48

35


4. POTENCIAS BASE 10. NOTACIÓN CIENTÍFICA.

Podemos saber fácilmente si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la

división, teniendo en cuenta las siguientes reglas:

Las potencias de base 10 tienen la propiedad de ser iguales a la unidad

seguida de tantos ceros como indica el exponente.

Esto nos permite expresar cualquier número en forma polinómica usando potencias de 10.

Ejemplo:

- 9.524 →9 ⋅ 1000 + 5 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 4 = 9 ⋅ 103 + 5 ⋅ 102 + 2 ⋅ 10 + 4

Un número en notación científica se expresa como un número distinto de

cero, multiplicado por una potencia de base 10.

𝑎 ⋅ 10𝑛

1) Calcula el valor de estas potencias:

102 = _________________ 105 = _________________ 108 = _________________

1011 = ___________________________________ 1014 = ___________________________________ 1010 = ___________________________________

2) Expresa en forma polinómica utilizando potencias de 10:

- 151.346 →1 ⋅ 105 + 5 ⋅ 104 + 1 ⋅ 103 + 3 ⋅ 102 + 4 ⋅ 10 + 6

- 230.087 →_________________________________________________________.

- 1.104.897 →_______________________________________________________.

- 9.000.004.006→____________________________________________________.

- 3.000.000.000→____________________________________________________.

- 400.300.600.200→_________________________________________________.

3) Escribe en forma de notación científica los siguientes números:

1) 68.500.000.000 = 2) 15.000.000.000.000 =

3) 523.000.000.000 4) 945.000.000.000.000 =

Observa como se utiliza la notación científica en los siguientes

ejemplos:

• En la Torre Eiffel hay 2.500.000 remaches = 𝟐𝟓 ⋅ 𝟏𝟎𝟓

• La masa de la tierra es:

5.980.000.000.000.000.000.000.000.000 = 𝟓𝟗𝟖 ⋅ 𝟏𝟎𝟐𝟓

• La superficie de la tierra es de 500.000.000km2= 𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟖 𝒌𝒎𝟐


5. RAÍCES

La raíz n de número a es otro número b, tal que si se multiplica por sí mismo n

veces, se obtiene el número a. Ejemplo:

El valor de una raíz cuadrada exacta, es un número cuyo cuadrado es igual al

radicando de la raíz. Los números cuya raíz cuadrada es exacta se llaman cuadrados

perfectos.

El valor de una raíz cuadrada entera de un número, es el número natural cuyo

cuadrado es menor que ese número y más se aproxi

1) Calcula el valor de las siguientes raíces:

Ejemplos √𝟐𝟓 = 𝟓 → porque 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓; √𝟏𝟐𝟓𝟑

= √𝟓𝟑 𝟑

= 𝟓 → porque 𝟓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓

√−𝟐𝟓 = √(−𝟓) ⋅ (+𝟓) → no se puede calcular la raíz cuadrada

; √−𝟏𝟐𝟓𝟑

= √(−𝟓) ∙ (−𝟓) ∙ (−𝟓)𝟑 = √(−𝟓)𝟑𝟑 = -5 → porque (−𝟓)𝟑 = 𝟏𝟐𝟓

√100 = _________________

√16 = ___________________

√49 = ___________________

√643

= ___________________

√10003

= _________________

√643

= ___________________

√2163

= ___________________

√83

= ___________________

2) Calcula el valor de las siguientes raíces:

√4 = _________________

√81 = ___________________

√−100 = ___________________

√17

= ___________________

√−121 = ___________________

√−3433

= ___________________

√−13

= _________________

√−16 = ___________________

√164

= ___________________

√0 = ___________________

√325

= ___________________

√−16 = ___________________

Indica en los siguientes ejemplos: la raíz, el índice y el radicando.

- √9 = 3 → 3 es la raíz, 2 es el índice y 9, el radicando. (se lee

raíz cuadrada de 9)

- √1253

= √53 3

= 5 → 5 es la raíz, 3 es el índice y 125, el

radicando. (Se lee raíz cúbica de 125)


3) Calcula el valor de las siguientes raíces, de dos formas distintas:

Ejemplos √𝟏𝟒𝟒 ∙ 𝟐𝟓 = √𝟑𝟔𝟎𝟎 = 𝟔𝟎 ó 𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊é𝒏 √𝟏𝟒𝟒 ∙ √𝟐𝟓 = 𝟏𝟐 ∙ 𝟓 = 𝟔𝟎

Como puedes ver, la segunda solución te permite realizar cálculos sin

necesidad de calculadora.

√25 ∙ 9 ∙ 100 = _________________ √25 ∙ 9 ∙ 100 = ___________________

√1000 ∶ 1253

= _________________ √1000 ∶ 1253

= ___________________

√50 + 50 = ___________________

4) Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales. Recuerda: “En

muchos de los ejemplos debes factorizar previamente para expresar en forma

de potencia y así facilitar el cálculo”:

𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: √𝟏𝟖 = √𝟐 ∙ 𝟑𝟐 = 𝟑 ∙ √𝟐

√45 = _________________________ √363 = ___________________________________

√75 = _____________________________ √647 = ____________________________________

√163

= _________________________ √98 = __________________________________

√723

= _______________________________ √1083

= _______________________________

√646

= _______________________________ √6254

= _______________________________

√2245

= _______________________________ √32 5

= __________________________________

3 ∙ √48 = ____________________________

√𝟗 ∙ 𝒂𝟑 = √𝟑𝟐 ∙ 𝒂𝟐 ∙ 𝒂 = 𝟑 ∙ 𝒂 ∙ √𝒂

√50 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑏 = ____________________________________________________________

2 ∙ √75 ∙ 𝑥4 ∙ 𝑦5 = _______________________________________________________

3 ∙ √81 ∙ 𝑥3 ∙ 𝑦4 = ________________________________________________________

√98 ∙ 𝑎3 ∙ 𝑏5 ∙ 𝑐7 = ______________________________________________________

1

7∙ √49 ∙ 𝑥3 ∙ 𝑦7 = _______________________________________________________

1

3∙ √27 ∙ 𝑥5 ∙ 𝑦7 = _______________________________________________________

1

2∙ √128

3= ________________________________________________________________

3

5∙ √125 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦6 = ________________________________________________________


5) Calcula el valor de las siguientes raíces.

Ejemplo: √𝟑𝟐 ∙ √𝟐 = √𝟑𝟐 ∙ 𝟐 = √𝟔𝟒 = √𝟖𝟐 = 𝟖

a) √1003

∙ √103

=

b) √18 ∶ √2 = √27

√3 =

c) √323

√23 =

d) √18 ∙ √2 =

e) √64 3

∶ √83

=

f) √25 3

∙ √53

=

g) √163

∙ √163

=

h) √35 ∙ √625

3=

i) √32 ∙ √2 =

6) Calcula las siguientes multiplicaciones de radicales. Debes desarrollar

matemáticamente tu respuesta. Ejemplo: √𝟗 ∙ √𝟒 = 𝟑 ∙ 𝟐 = 𝟔

a) √100 ∙ √16 =

b) √16 ∙ √4 =

c) √25 ∙ √4 =

d) √49 ∙ √81 =

e) √64 ∙ √25 =

f) √100 ∙ √81 =

g) √36 ∙ √16 =

h) √144 ∙ √4 =

i) √121 ∙ √9 =

j) √196 ∙ √4 =

k) √225 ∙ √4 =

l) √9 ∙ √25 ∙ √16 =

m) √16 ∙ √100 ∙ √9 =

n) √144 ∙ √25 ∙ √4 =

o) √400 ∙ √100 ∙ √4 =

p) √900 ∙ √9 =


6. OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS Y RAÍCES.

1. Se resuelven las operaciones que se encuentran entre paréntesis y

corchetes.

2. Se resuelven las potencias y raíces.

3. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.

4. Se resuelven las sumas y restas.

Ejemplo:

7) Resuelve las siguientes operaciones:

a) (43 ∙ 3 + 20: 10): 2 + 1 =

b) 3 + 7 ∙ 4 − (−2)3 + (−6) =

c) (−10) + 27 ∶ 32 ∙ 5 − 2 =

d) 4 + (7 − 5)2 − (16 − 18 ∶ 3): 2 =

e) 6 + 2 + 3√18 − 32 − 12 =

f) √9 ∶ 3 + √81 =

g) 32 − [1 − (12 − 32)]2

∙ 6 ∶ 3 =

h) 2 ∙ (5 − 9)3 + √3 ∙ 40 + 53

=

i) 3 ∙ (2 − 6)3 − √−1253

=

j) √20 ∙ (3 + 5) − 60 + 30 =

k) (√100 + 2) ∙ √12: 6 + 34 =

l) √(−6) ∙ (−8) − 4 ∙ 3 + (−8 − 3)2 =

m) 5 ∙ √16 − √10 ∙ 6 + 4 =

n) √64 + √81: √9 =

o) (√25 − 2) ∙ (23 − 32) =


8) Resuelve las siguientes operaciones:

a) 42 − √102 − 82 ∶ [5 ∙ (−2) ]2

∙ √1 − (−24) =

b) (√100 + √25) ∙ 3 + 92 + 31 =

c) [(−2)5: (−2)3]3 − (2 − 3 ∙ 4) =

d) √18 ∙ √12 + (−3 − 4 ∙ 2) ∙ (−1) =

e) 63: 62 + 4 ∙ (10 − √83

+ 20) =

f) √144 ∙ (20 − 3) + 710: 70 =

g) √3 ∙ √3 + √−2163

+ (−16)0 =

h) √(5 ∙ 4 + 5) ∙ 4 =

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