MATEMÁTICAS II - EJERCICIOS Profra. Citlalli Artemisa García García.

Todos los ejercicios se escriben y se contestan en el cuaderno con los procedimientos completos.

I. Convertir los ángulos al sistema centesimal y trazarlos con el transportador. A) 38°45′32′′ = B) 127°26′10′′ = C) 65°32′15′′ =

D) 147°25′32′′ = E) 83°34′52′′ = F) 71°26′58′′ =

G) 153°05′12′′ = H) 227°39′47′′ = I) 310°11′26′′ =

II. ÁNGULOS

1. ¿Cuánto suman los ángulos complementarios? , traza un par de ellos 2. ¿Cuánto suman los ángulos suplementarios?, traza un par de ellos. 3. Si el complemento de un ángulo “x” es 4x, obtener la medida de los dos ángulos. 𝟒𝒙 𝒙 4. Hallar dos ángulos suplementarios de manera que uno de ellos sea 10o menor que el cuadruple

del otro. (Tu realizas un dibujo que te auxilie a resolver) 5. Dos ángulos x, y son suplementarios, y la diferencia entre ellos es de 10o. Determinar el valor

de ambos ángulos. 6. ¿Cuál es el complemento de 20.5o? 7. En la siguiente figura, calcular el valor de x y la medida de cada ángulo

8. Obtener el valor de dos ángulos suplementarios, de manera que uno sea 9o mayor que el doble del otro

9. Si se tienen dos ángulos que son complementarios y uno de ellos es 26º mayor que el triple del otro. Hallar el valor de los ángulos.

10. Calcular el valor que corresponde a los ángulos M y R en la siguiente figura

5x M= x M R R=

11. Dos ángulos son suplementarios y la diferencia entre ellos es de 40º. Calcular el valor de los

ángulos.

Ángulo Medida

x =

2x =

3x =

12. Obtener la medida de los ángulos: x, y, z en la siguiente figura: x = x y z y = 153o z =

13. Determina el valor de “x” en la siguiente figura, así como la medida de los ángulos 3(3x-5) 15x-5(2x-1)

III. CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES Convertir en radianes: a) 30° = b) 15° = c) 1350 = d) 15°30′45′′ = e) 120 =

f) 2700 = g) 1200 = h) 3600 = i) 73040′30′′ = j) 4600 =

k) 450 = l) 22030′ = m) 750 = n) 2250 = o) 1500 =

p) 3000 = q) 2000 =

IV. CONVERSIÓN DE RADIANES A GRADOS

A) 𝜋

2=

B) π

3=

C) 𝜋

4=

D) 𝜋

6=

E) 𝜋

36=

F) 𝜋

72=

G) 4𝜋

9=

H) 3𝜋 =

I) 5𝜋

3=

J) 3𝜋

5=

K) 2𝛱

7=

L) 6𝜋

5=

M) 𝜋

60=

N) 𝜋

50=

V. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE

1) En la siguiente figura determinar el valor de todos los ángulos y justificar las igualdades establecidas con el teorema correspondiente. 𝐿1 ∥ 𝐿2 L1 L2

Ángulo Ángulo

x = 4=

1 = 5=

2 = 6=

3 = 3x=

2) En la siguiente figura el ángulo A mide: (5𝑥 − 20) y el ángulo G mide: (3𝑥 + 10). Definir el valor de todos los ángulos y justificar la respuesta.

3) En la siguiente figura 𝑝 ∥ 𝑞, el ángulo A mide 100o , el ángulo B mide 55o, ¿cuánto mide el ángulo C ?

4) En la siguiente figura calcular el valor de

todos los ángulos y fundamentar los resultados con los teoremas correspondientes.

5) En la siguiente figura que esta formada por dos rectas paralelas y una secante, calcular el valor de todos los ángulos si el ángulo E mide 100o. Justificar cada respuesta.

6) En la siguiente figura calcular los valores

de “x” e “y”. Determinar los valores de todos los demás ángulos.

7) En la siguiente figura calcular los valores de “x” e “y”. Obtener los valores de todos los demás ángulos.

8) En la siguiente figura 𝐿1 ∥ 𝐿2, además de que la medida del ángulo BFD es de 115o. Encuentra la medida del ángulo BEC y la del ángulo GEF

Ángulo Medida Ángulo Medida

A = E =

B = F =

C = G =

D = H =

120o

A

B

C D

E

C D A B E F G H L1 L2

VI. ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

Realiza con regla y compás los siguientes trazos 1. Trazar una circunferencia que pase por tres puntos coplanares no alineados

A

.

B .

. C

2. Trazar una circunferencia inscrita que toque los tres lados del siguiente triángulo Z L H

3. En el siguiente triángulo trazar las tres medianas y el baricentro N M P

ÁNGULO ÁNGULO

BEC = AEG =

GEF = DFE =

4. Obtener el ortocentro en el triángulo que sigue P Q R

VII. ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO Usando los teoremas apropiados resuelve los siguientes problemas

1) Si los ángulos interiores de un triángulo son A, B, C y el ángulo B es tres veces mayor que el ángulo A; en tanto, el ángulo C es 5 veces mayor que el ángulo A. Calcular la medida de los tres ángulos interiores. B A C

2) En la siguiente figura calcular los valores de los ángulos x, y, z, E, F

3) En la siguiente figura calcular el valor del ángulo x, si el ángulo y=30o15’ , ángulo z=75o55’

Y

X Z

4) En un triángulo isósceles un ángulo de la base es el cuadruple que el ángulo en el vértice opuesto. Calcular el valor de cada uno de los ángulos interiores del triángulo. (Traza una figura que represente el problema)

Ángulo Medida

A =

B=

C =

Ángulo Medida Ángulo Medida

x = E =

y = F =

z =

Ángulo Medida

X =

5) Calcular el valor de cada uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si uno de éstos

es igual al triple del otro. (Traza una figura que represente el problema)

6) Calcular cuánto mide cada uno de los ángulos interiores del triángulo XYZ ; donde el ángulo Y es 10o menor que el doble del ángulo X, y el ángulo Z es 20o mayor que el ángulo X (Traza una figura que represente el problema)

7) En la siguiente figura calcular los valores de los ángulos X, Y, Z X 71o Z 38o Y

8) Calcular los valores de los ángulos X, Y, Z en la siguiente figura X Z Y 73o 40o

9) En la figura siguiente, cuál es la suma del ángulo M y el ángulo N, si el ángulo M = x + 20 y el ángulo N = 5x + 10 N 120o M

10) Obtener las medidas de los ángulos A, B y C en el siguiente triángulo

A ángulo A = x

Ángulo B = 𝟒

𝟑 𝐱

Ángulo C = 𝟐

𝟑 𝐱

C B

11) Definir el valor de los ángulos P, Q, y R en el siguiente triángulo Q P = 3x + 2 Q = 5x + 7 R = 2x + 21 P R

12) Calcula la medida de “x” y de “m” en el siguiente triángulo usando las propiedades adecuadas.

VIII. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 1. Traza dos triángulos congruentes con el criterio ALA

Ángulo Medida

M =

N =

2. Los siguientes triángulos son congruentes, definir el valor de las incógnitas y determinar las magnitudes de cada lado.

3. Los siguientes triángulos son congruentes, determinar el valor de las incógnitas y de cada ángulo.

IX. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

A) Encuentra la medida de los datos restantes y los valores de las incógnitas en cada ejercicio donde se dan triángulos semejantes.

X. TEOREMA DE THALES

Plantea una proporción que involucre la incógnita y que permita resolver cada ejercicio A)

B)

XI. SOLUCIÓN DE SITUACIONES CONTEXTUALES

Para cada uno de los siguientes problemas, identifica la incógnita, realiza un dibujo , usando triángulos, que lo represente y plantea una proporción que involucre la incógnita para resolverlos. 1) Un arbusto de 1.2 metros de altura del jardín de la escuela proyecta una sombra de 95 cm.

Calcular la altura del edificio principal si en ese momento proyecta una sombra de 5 metros.

2) Un reflector colocado en el piso, alumbra un muro que esta situado a 8 metros de distancia. Un hombre de 1.70 metros de altura se encuentra ubicado entre el faro y el muro a una distancia de 3 metros del reflector. Calcular la magnitud de la sombra del hombre que se proyecta sobre el muro.

3) En la siguiente figura calcular la altura (h) trazada sobre la hipotenusa

4) En la siguiente figura obtener la medida de

“x”

5) Obtener el valor de “h” en la siguiente figura

6) Para medir la altura de una torre un estudiante coloca un poste de 80 cm, en forma vertical, la

cual proyecta una sombra de 0.5 metros. En ese momento, la sombra de la torre es de 10.2 metros. ¿Cuál es la altura de la torre?

7) En la siguiente figura obtener la medida del segmento MN

XII. TEOREMA DE PITAGORAS

Aplicando el teorema de Pitágoras, obtener la medida del lado desconocido en los siguientes triángulos 1) 10 cm

x

2)

y 6 cm

3) 9 cm h 12 cm

15 cm 5 cm

4)

8 cm 3cm z

5)

7 cm m 13 cm

6)

10 cm f 6 cm

7) t

16 cm 34 cm

8) 20cm x x + 4

9)

6 cm g

√11

10) h 41 cm 18 cm

11) 2 cm C h 2 cm D

12)

2x √125

5 cm

13) x x + 1 x

XIII. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON TEOREMA DE PITÁGORAS EN CADA PROBLEMA TRAZAR UNA FIGURA que implique triángulos rectángulos y usar el teorema de Pitágoras para resolverlos. 1) Calcular el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 10 cm

(Traza una figura que represente el problema)

2) Obtener la medida de “x” en el triángulo MNP P x h 15 cm 20 cm M Q N

3) Calcular la diagonal de un rectángulo de 16 cm de largo y 12 cm de ancho

(Traza una figura que represente el problema)

4) Calcular el área de un triángulo equilátero que tiene un perímetro de 9 cm (Traza una figura que represente el problema)

5) Si el área de un triángulo equilátero es de 9 cm2. ¿Cuánto mide cada lado?

(Traza una figura que represente el problema)

6) Calcular el valor de “x” en la siguiente figura 15 cm 3x - 4 2x + 1

7) ¿A qué altura llega una escalera de 20 metros de largo que se coloca sobre una pared vertical, si el pie de la escalera está a una distancia de 3.5 metros de la pared?

(Traza una figura que represente el problema)

8) Calcular el área de un rectángulo si sabemos que de ancho mide 2 metros menos que la diagonal, y de largo tiene 1 metro menos que la diagonal (Traza una figura que represente el problema)

XIV. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DIRECTAS Y RECÍPROCAS Determinar el valor exacto de todas las funciones trigonométricas directas y recíprocas en cada uno de los siguientes triángulos, en relación al ángulo señalado.

A) Usando calculadora, obtener el valor de: 1. sen 38o = 2. Cos 71o =

3. Tan 53o = 4. Csc 48o =

5. Sec 32o = 6. Cot 68o =

B) F

3 cm

5 cm

C) 7 cm G 5 cm

D) 14 cm 18 cm

R 19 cm

E)

43 cm M

XV. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 1. Determinar el valor del ángulo de cada una de las siguientes funciones, aplicando la función

trigonométrica inversa A) sen A = 0.8091 B) cos B = 0.1008 C) tan C = 2.1589 D) csc D = 1.3249 E) tan E = 2.89

F) cos F = 0.2345 G) tan G = 3.8565 H) cos H = 0 I) sen I = 0 J) tan J = 0.8876

K) cot K = 1.67 L) cos L = 0.7865 M) sec M = 2.1837 N) tan N = 1.6754 O) csc P = 1.0098

2. Para cada uno de los siguientes ejercicios traza un triángulo rectángulo que lo represente y determina los valores de todas las funciones trigonométricas, así como obtener la medida del ángulo correspondiente.

1) Si tan A = 1

4

2) sen R = 4

9

3) cos F = 17

23

4) csc A = 45

34

5) sec B = 81

69

6) sen D = 16

25

3. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTANGULOS Usando la función trigonométrica adecuada determina la medida de los lados y ángulos señalados como incógnita en los siguientes triángulos A)

5 m

B) y 17 cm

9 cm

x 6 m

C) 18 cm R 63o

D)

36o

23 cm q

E) h 51o 26 cm

F)

d 18 cm 7 cm

x

G) 𝛼 89 cm 74 cm

H) 12 cm h

I) f 41o 28 cm

J)

17 cm

21 cm

4. PROBLEMAS Lee detenidamente cada problema, realiza un esquema que lo represente, escribe los datos en el mismo, usando “x” como incógnita y plantea una función trigonométrica que te permita resolver. 1) Una torre de 40 metros de altura proyecta sobre el piso una sombra de 70 metros. Determinar

el ángulo de elevación del sol en ese instante. 2) Una escalera se apoya contra un muro de tal modo que su extremo esta a 10 metros del suelo y

su base a 2.5 metros del muro. ¿Qué ángulo forma la escalera con el muro? 3) Una rampa para deslizamientos de patinaje tiene una pendiente de 32o.Sobre la misma un

patinador recorre su longitud que equivale a 300 metros. Calcular la altura de la rampa. 4) El altímetro (instrumento para medir alturas) de un aeroplano de reconocimiento indica 2000

metros sobre el nivel del mar cuando pasa sobre su porta-aviones. En el mismo instante de detecta la presencia de un submarino flotando en el mar, cuyo ángulo de depresión, desde el aeroplano, es de 25º, ¿cuál será la distancia entre el submarino y el barco?

5) Un niño sube a una colina de 15metros de altura a volar un papalote. Después de un rato que el papalote ha comenzado a elevarse, se han soltado 60 metros de hilo cáñamo. Con un transportador mide el ángulo formado entre el suelo y el hilo cáñamo, cuyo valor es de 62o. ¿A qué altura vuela, en ese momento el papalote?

6) Un trabajador de la construcción tiene como misión construir una escalera que sirva para ascender a una altura de 4.80 metros con una pendiente de 30o, ¿cuál es la longitud de la escalera?

7) El vigía de un barco determina que la cima de un risco, señalado en su carta con una altura de 130 metros por encima del nivel del mar, forma un ángulo de 6o con la horizontal al nivel del ojo; si el vigía esta a 7 metros sobre el nivel del mar, ¿a qué distancia esta el barco de la costa?

8) Qué sombra proyectará un poste de 8 metros de altura cuando el ángulo de elevación del sol es de 35o a) Calcular la sombra b) Qué longitud de alambre se requiere para asegurar el poste si se amarra a 3 metros del pie

del poste formando un ángulo de 60o con el suelo. c) ¿A qué distancia del extremo superior del poste se debe atar el alambre?

81o

x

9) En una circunferencia de 30 cm de radio se inscribe un dodecágono regular. Determinar la longitud del lado de dicho polígono.

10) En un sismo, un poste se cayó sobre una pared formando con el suelo un ángulo de 68o. ¿Cuál es la longitud del poste que se encontraba a 5 metros de la pared?

11) La altura de un rectángulo es de 17 cm y su diagonal de 30 cm, determinar el ángulo que forma la diagonal con la base.

12) Mientras vuela a una altura de 1000 metros, un piloto observa que el ángulo de depresión de un aeropuerto es de 10o40’, ¿a qué distancia horizontal esta el aeropuerto en ese instante de un punto que se halla justamente por encima del avión?

5. ÁNGULO RELACIONADO 1) Obtener el valor de todas las funciones trigonométricas para un ángulo de

a) 74o b) 49o

2) Expresar para cada ángulo el valor de todas las razones trigonométricas usando el ángulo relacionado A) 160o B) 174o

C) 230o D) 320o

E) 425o F) 875o

G)

XIX. Obtener el valor de todas las razones trigonométricas conociendo una de ellas. Y determinar

la medida del correspondiente ángulo.

a) cos 𝐵 = −24

25 y el sen 𝐵 es positivo

b) tan Ω = −3

4 y el cos Ω es positivo

c) tan 𝑌 = 5

12 y el sen 𝑌 es negativo

d) cot 𝜃 = −2

3 y el sen 𝜃 es positivo

e) sin 𝐴 = 5

13 y la tan 𝐴 es negativa

f) cos 𝑀 = 3

5 y el sin 𝐴 es negativo

g) csc 𝐹 −15

8 y la tan 𝐹 es positiva

XX. COFUNCIONES Y TRIÁNGULOS NOTABLES: VALORES EXACTOS PARA FUNCIONES DE 30o, 60o, 45o

Simplificar cada una de las siguientes expresiones, sustituyendo valores numéricos exactos. Expresar la respuesta con valores enteros usando radicales en caso necesario. 1) 𝐬𝐞𝐧 𝟔𝟎° 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓° =

2) 𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐𝟒𝟓° =

3) 𝟐 𝐜𝐨𝐭 𝟔𝟎° 𝐭𝐚𝐧 𝟑𝟎° =

4) 𝐭𝐚𝐧 𝟒𝟓° 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟔𝟎° =

5) 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓° 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟎° =

6) √𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎° 𝒄𝒐𝒕𝟐𝟒𝟓° =

7) 𝐜𝐨𝐭 𝟔𝟎°

𝐬𝐞𝐧 𝟑𝟎°=

8) 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝟎°

𝐬𝐞𝐧 𝟒𝟓°=

9) 𝐜𝐬𝐜 𝟒𝟓°

𝐭𝐚𝐧 𝟔𝟎°=

10) 𝐬𝐢𝐧 𝟔𝟎°

𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓°=

11) 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝟎°

𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° =

12) 𝟑 𝐭𝐚𝐧 𝟑𝟎°

𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎°=

13) √𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟒𝟓°

𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓°=

14) 𝐜𝐨𝐭 𝟑𝟎°

𝟔 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓°=

15) 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟑𝟎°

𝟑 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟒𝟓°=

16) 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟒𝟓°

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟑𝟎°=

17) 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎° − 𝟒 𝐭𝐚𝐧 𝟒𝟓° + 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° =

18) 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟑𝟎° − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟒𝟓° + 𝐭𝐚𝐧 𝟔𝟎° =

19) 𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎° − 𝟑√𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓° +𝟏

𝟐𝐜𝐨𝐭 𝟒𝟓° =

20) (𝐭𝐚𝐧 𝟔𝟎° + 𝐜𝐨𝐭 𝟒𝟓°)(𝐭𝐚𝐧 𝟔𝟎° − 𝐜𝐨𝐭 𝟒𝟓°) =

21) (𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° + 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎°)(𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° − 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎°) =

22) (𝐭𝐚𝐧 𝟒𝟓° − 𝐭𝐚𝐧 𝟔𝟎°)𝟐 =

23) (𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° − 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓°)(𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° + 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓°) =

24) (𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° − 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓°)(𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° + 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓°) =

XXI. DEMOSTRACIONES Efectuar las siguientes demostraciones 1) Si 𝑥 = 30° demostrar que

𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 2) Si 𝑥 = 30° demostrar que

𝒕𝒂𝒏 𝟐𝒙 = 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙

𝟏 − 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙

3) Si 𝑥 = 60° demostrar que

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟏

𝟐𝒙 =

𝟏 +𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝟐

4) 𝑆𝑖 𝑥 = 30° demostrar que

𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 – 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙

5) Si x = 60° demostrar que

𝒔𝒆𝒏𝟏

𝟐 𝒙 = √

𝟏 −𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝟐

6) Si 𝑥 = 30° demostrar que

𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 = 𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 7) Si 𝑥 = 60° demostrar que

𝒕𝒂𝒏𝟐 𝟏

𝟐𝒙 =

𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝟏 +𝒄𝒐𝒔 𝒙

8) Si 𝑥 = 30° demostrar que

𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝟏 9) Si 𝑥 = 45° demostrar que

𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝟏 10) Si 𝑥 = 30°demostrar que

𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 = 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 + 𝟏

XXII. FUNCIONES DE ÁNGULOS DE CUADRANTE Por sustitución de valores numéricos verificar las siguientes fórmulas para cada ángulo

1) 𝒔𝒆𝒏𝟐𝑨 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝑨 = 𝟏

Cuando 𝐴 = 0°, 90°, 180°𝑦 270°

2) 𝐭𝐚𝐧 𝐀 = 𝐬𝐞𝐧 𝐀

𝐜𝐨𝐬 𝐀 para 𝐴 = 0° 𝑦 180°

3) 𝐬𝐞𝐜 𝐀 =𝟏

𝐜𝐨𝐬𝐀 para 𝐴 = 180° 𝑦 360°

4) 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐀 = 𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐𝐀 − 𝟏 Cuando 𝐴 = 45°, 90° 𝑦 135°

5) 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝐀 = 𝟐𝐬𝐞𝐧 𝐀 𝐜𝐨𝐬 𝐀 Cuando 𝐴 = 45°, 90°𝑦 315°

6) 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐀 = 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐀 − 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝐀

Para 𝐴 = 60° 𝑦 180°

Hallar el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones

7) 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟖𝟎°𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓° − 𝒕𝒂𝒏𝟏𝟑𝟓°𝒔𝒆𝒏𝟐𝟕𝟎° + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟗𝟎° =

8) 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟔𝟎°𝒔𝒆𝒏𝟐𝟑𝟎° − 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟖𝟎°𝒔𝒆𝒏𝟐𝟔𝟎° =

9) 𝒔𝒆𝒄𝟔𝟎°𝒄𝒐𝒔𝟗𝟎° − 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝟓°

𝒄𝒐𝒕𝟐𝟐𝟓° + 𝒄𝒔𝒄 𝟐𝟕𝟎° 𝒔𝒆𝒄 𝟏𝟖𝟎° =

10) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟏𝟎°𝒄𝒐𝒔𝟏𝟖𝟎° − 𝒕𝒂𝒏𝟐𝟏𝟑𝟓°𝒔𝒆𝒏𝟐𝟕𝟎° − 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎𝟎° 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝟎𝟎° =

Demuéstrense las igualdades utilizando los valores exactos de las funciones trigonométricas de los

ángulos de 30°, 45°, 60°

11) 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟐𝟐𝟓° + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝟏𝟓° = 𝟏

12) 𝟏 + 𝒄𝒐𝒕𝟐𝟏𝟓𝟎° = 𝒄𝒔𝒄𝟐𝟑𝟑𝟎°

13) 𝒄𝒔𝒄𝟏𝟐𝟎° − 𝒄𝒐𝒕𝟐𝟒𝟎° = 𝒕𝒂𝒏𝟑𝟗𝟎°

14) 𝒄𝒐𝒕𝟐𝟏𝟎°𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎° = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎𝟎°

15) 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟐𝟎° = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎°𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎°

16) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟒𝟎° = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟔𝟎° − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟔𝟎°

XXIII. CARACTERIZACIÓN NUMERICA Y GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Traza una gráfica para cada una de las siguientes funciones

1. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑑𝑒 0° 𝑎 180° (intervalos de 15o) 2. 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑒 0° 𝑎 360° (intervalos de 30o)

3. 𝑦 =1

2cos 2𝑥 𝑑𝑒 0° 𝑎 180° (intervalos de 15o)

4. 𝑦 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑒 0° 𝑎 180° (intervalos de 30o)

5. 𝑦 = −1

2 cos

1

2𝑥 (intervalos de 30o)

XXIV. LEYES DE SENOS Utilizando la ley de los senos calcula el elemento indicado en los siguientes triángulos oblicuángulos (Traza un triángulo, para cada inciso, que lo represente)

1) c= 15 cm, C= 57o, B = 45o obtener a 2) a= 10 cm, c= 8 cm, A= 50o, obtener C 3) a= 4 cm, b= 10 cm, B = 150o, obtener A

4) A = 60o, B = 75o, 𝑎 = 10√3 , obtener c 5) A = 135o, B = 30o, a = 12 cm obtener b 6) b = 4 cm, c = 6 cm, B = 30o hallar C

XXV. LEY DE COSENOS Utilizando la ley de los cosenos calcula el elemento indicado en los siguientes triángulos oblicuángulos (Traza un triángulo, para cada inciso, que lo represente)

a) Si b=6 cm, c=4 cm, 𝑐𝑜𝑠𝐴 =1

12 determinar la medida de “a”

b) Si a=5 cm, b=6 cm y c=4 cm obtener la medida del ángulo A c) Si B=60o, a=5 cm y c=8 cm determinar la medida de “b” d) Si a=3 cm b=7cm y c=5 cm determinar el valor del ángulo B

e) Si 𝑏 = √3 , c=2 cm y 𝐴 = 30° determinar el valor de “a” f) Obtener el perímetro del siguiente triángulo oblicuángulo

C

3.61 cm

26.6o 33.7o

A B

XXVI. PROBLEMAS Utilizando la ley de senos o de los cosenos, calcula lo que se te pide (bosqueja cada uno de los triángulos)

1. Un observador se encuentra en un punto X que dista de dos edificios a una distancia del edificio uno de 25 cm y del segundo edificio de 35 m. Si el ángulo formado por los dos edificios y el observador es de 36o. Encontrar la distancia que existe entre los dos edificios (Grandes ideas pag. 140)

2. Dos personas parten de un mismo punto tomando direcciones que forman un ángulo de 55o.Después de un tiempo, han avanzado 18 y 22 metros respectivamente. ¿A qué distancia se encuentran una de la otra? (Excelencia educativa pag. 178)

3. Desde cierta posición un ave observa dos gusanos en el piso, los cuales están separados 7 m. Si las distancias del ave a cada gusano son iguales a 9 m. Calcula el ángulo que forman las visuales del ave hacia ambos insectos. ¿A qué altura se encuentra el ave?

4. Determina el área de un círculo circunscrito a un pentágono regular, si la medida de la menor de sus diagonales mide 22 cm.

5. Un campo triangular tiene dos lados que miden 212 m y 168 m. Determina el área del campo.

XXVII. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Comprobar cada una de las siguientes identidades

A. (𝒔𝒆𝒏 𝑨 + 𝐜𝐨𝐬 𝑨)𝟐 ≡ 𝟏 + 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑨

B. 𝒔𝒆𝒏 𝑨

𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝑨≡

𝟏 −𝐜𝐨𝐬 𝑨

𝒔𝒆𝒏 𝑨

C. 𝐭𝐚𝐧 𝑨 + 𝐜𝐨𝐭 𝑨 ≡ 𝐬𝐞𝐜 𝑨 𝐜𝐬𝐜 𝑨

D. 𝒔𝒆𝒏 𝑨 𝐬𝐞𝐜 𝑨

𝐭𝐚𝐧 𝑨 +𝐜𝐨𝐭 𝑨≡ 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝑨

E. 𝐬𝐞𝐜 𝑨 − 𝐜𝐨𝐬 𝑨 ≡ 𝒔𝒆𝒏 𝑨 𝐭𝐚𝐧 𝑨

F. 𝒕𝒂𝒏𝟐𝑨

𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐𝑨≡ 𝟏 −

𝟏

𝒔𝒆𝒄𝟐𝑨

G. 𝐜𝐨𝐭 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝑨 ≡ 𝐜𝐨𝐬 𝑨

H. 𝒔𝒆𝒏 𝑩 𝐬𝐞𝐜 𝑩 ≡ 𝐭𝐚𝐧 𝑩

I. 𝟏 ≡ 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙 − 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐭 𝒙

J. 𝐭𝐚𝐧 𝒙

𝒔𝒆𝒏 𝒙 ≡ 𝐬𝐞𝐜 𝒙

K. 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 ≡ 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟏

𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙

L. 𝐬𝐞𝐜 𝑨 − 𝐭𝐚𝐧 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝑨 ≡ 𝐜𝐨𝐬 𝑨

M. 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙

𝐭𝐚𝐧 𝒙≡ 𝐜𝐨𝐭 𝒙

N. 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 ≡ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙

O. 𝒄𝒔𝒄𝟐𝑨 ≡𝟏

𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

P. 𝒔𝒆𝒄𝟐∅𝒄𝒐𝒕𝟐∅ ≡ 𝒄𝒔𝒄𝟐∅

Q. 𝐭𝐚𝐧 𝑨 + 𝟏

𝐭𝐚𝐧 𝑨 ≡

𝐬𝐞𝐜 𝑨

𝒔𝒆𝒏 𝑨

R. 𝒔𝒆𝒏 𝜽 (𝐜𝐬𝐜 𝜽 − 𝐬𝐞𝐜 𝜽) ≡ 𝟏 − 𝐭𝐚𝐧 𝜽

26.6º 33.7o