ejercicios de matemáticas para químicos

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Ejercicios de Matemáticas para Químicos

J. Fuhrmann · H. G. Zachmann

-EDITORIAL REVERTÉ

Título de la obra original: ÜBUNGSAUFGABEN ZUR MATHEMATIK FÜR CHEMIKER

Edición original en lengua alemana publicada por Verlag Chemie- Physik Verlag

Copyright © Verlag Chemie D-6940, Weinheim

Edición en español: © Editorial Reverté, S. A., 1978

ISBN: 978-84-291-5076-6

Versión española por: D. Arturo Fernández Arias Licenciado en Ciencias Matemáticas

Versión española revisada por: Dr. Enrique Linés Escardó Catedrático de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid

Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15. Local B 08029 Barcelona. ESPAÑA Tel: (34) 93 419 33 36 [email protected] www.reverte.com

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# 713

Edición en papel:

Edición e-book (PDF):

ISBN 978-84-291-9349-7

Prólogo

La Matemática adquiere cada vez una mayor importancia en la formación del químico. Para ejercitarse en el tratamiento matemático de los problemas químicos el estudiante necesita una gran cantidad de ejercicios. Esta colección quiere hacer frente a esta necesidad.

Muchas veces se ha dicho que las Matemáticas para los químicos deben de ser explicadas directamente mediante ejemplos químicos. Esto no nos parece adecuado. Para poder aplicar las Matemáticas a la Química, han de ser entendidas en su generalidad, lo que no se puede conseguir sólo por el análisis de situaciones que se plantean en la Química. Además, el amplio campo de las Matemáticas donde el químico se debe mover no está cubierto suficientemente por los ejemplos. Finalmente en los planes de estudios para la formación del químico, las Matemáticas están en los primeros cursos, es decir, cuando. el estudiante no dispone de suficientes conocimientos de Química. Sin embargo, dacio el carácter instrumental de las Matemáticas es muy com•eniente presentar abundantes aplicaciones químicas. Siguiendo estas ideas, se han presentado primero en cada capítulo problemas de la Matemática pura, y a continuación ejemplos proporcionados por la Química.

El presente libro no contiene solamente ejercicios y sus soluciones. Éstas van precedidas de las correspondientes explicaciones, con lo que se remite al lector a las partes más importantes de lo dado previamente en el curso o aprendido en otra parte, y que pueden servirle al mismo tiempo como repaso. El libro constituye por tanto un curso de repaso.

VI Prólogo

A quien quiera llenar lagunas de conocimiento, o también aprender la materia completa, se le recomienda el libro «Mathematik für Chemiker» de H. G. Zachmann. La numeración de los capítulos, el orden de los temas y la terminología o nomenciatura de esta colección de ejercicios, coinciden plenamente con las del mencionado libro. El lector, si lo desea, podrá localizar fácilmente las materias y familiarizarse rápidamente con el texto.

Agradecemos al químico diplomado Jürgen Pahst su valiosa ayuda en la preparación de los ejercicios.

Kaiserslautern y Mainz J. Fuhrmann H. G. Zachmann

lndice analítico

Índice analítico VII l. Nociones fundamentales 1

II. Introducción de los números 5 III. Combinatoria 21 IV. Matrices, determinantes, ecuaciones lineales 31 V. Ecuaciones de grado superior 47

VI. Sucesiones y series numéricas infinitas 55 VII. Funciones 63

VIII. Álgebra vectorial 73 IX. Geometría analítica 83 X. Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable 113

XI. Cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables 149 XII. Análisis vectorial 181

XIII. Teoría de funciones 195 XIV. Desarrollos en series de funciones ortonormales. Transformaciones

integrales 201 XV. Ecuaciones diferenciales 209

XVI. Teorías de grupos 233 XVII. Cálculo de probabilidades 259

XVIII. Cálculo y compensación de errores 273· Índice alfabético 289

Capítulo 1

Nociones fundamentales

Ejercicio 1

Decir si cada una de las siguientes condiciones son necesarias, suficientes, o necesarias y suficientes.

a) Condición: x es un número entero, cuya última cifra es cero. Afirmación: x es divisible por 10.

b) Condición: x es un número entero. Afirmación: x es divisible por cuatro. e) Condición: x e y son números impares. Afirmación: x + y es un número par. d) Condición: x e y son números positivos. Afirmación: xy es un número positivo. e) Condición: x es un número positivo e y un número negativo. Afirmación: xy es

un número negativo. f) Condición: x = 3 y, donde y es un número entero. Afirmación: x es divisible por 3. g) Condición: un compuesto químico tiene un grupo- COOH. Afirmación: el com

puesto químico es un ácido orgánico. h) Condición: un compuesto químico tiene un grupo- COOH. Afirmación: el com

puesto es un ácido. i) Condición: una molécula tiene un átomo de carbono. Afirmación: la molécula

es una molécula de metanol. j) Condición: un compuesto químico huele mal. Afirmación: se trata de ácido sulf

hídrico.

2 Nociones fundamentales

Explicación

Si de la validez de X podemos deducir siempre la de Y, entonces se dice que X es una condición suficiente para Y. Si Y se verifica solamente cuando se verifica X, pero de la validez de X no podemos deducir la de Y, entonces se dice que X es una condición necesaria para Y, pero no suficiente. Cuando se verifican ambas cosas, diremos que X es una condición necesaria y suficiente para Y.

Solución

a) Necesaria y suficiente, b) necesaria, e) suficiente, d) suficiente, e) suficiente, f) necesaria y suficiente, g) necesaria y suficiente, h) suficiente, i) necesaria, j) necesaria,

Ejercicio 2

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas, teniendo en cuenta los resultados del ejercicio 1 ?

a) El número entero x es divisible por 10 si y sólo si, tiene la última cifra igual a cero. b) El número x es divisible por 4 si y sólo si, es un número entero. e) Si x e y son números impares, entonces x +y es un número par. d) xy es 'un número positivo si y sólo si, x e y son números positivos. e) xy es· un número negativo si x es un número positivo e y un número negativo. f) x es divisible por 3 si y sólo si, puede escribirse x = 3 y, donde y es un número

entero. g) Un compuesto químico es un ácido orgánico si, y sólo si, posee el grupo atómico

- COOH. h) Un compuesto es ácido solamente si tiene el grupo atómico - COOH. i) Una molécula es una molécula de metano) solamente si tiene un átomo de carbono. j) Si un compuesto químico huele mal, entonces se trata de ácido sulfhídrico.

Explicación

Si X es una condición suficiente para Y, entonces se puede decir: si X es cierta, entonces Y es también cierta. Cuando X es una condición necesaria para Y, entonces podemos afirmar: Y es cierta sólo si X es cierta. Cuando X es necesaria y suficiente para Y, entonces las dos afirmaciones anteriores son ciertas. En pocas palabras: Y es cierta si, y solamente si, X es cierta, o bien Y sólo es cierta cuando lo es X,

Nociones fundamentales 3

Solución

a) verdadera, b) falsa, e) verdadera, d) falsa, e) falsa, f) verdadera, g) verdadera, h) falsa, i) verdadera, j) falsa. En relación con ésto, ver también el ejercicio 3.

Ejercicio 3

Sustituir las afirmaciones falsas del ejercicio 2 por las correspondientes afirmaciones verdaderas.

Explicación

Ver ejercicio 2.

Solución

b) x es divisible por cuatro solamente si x es un número entero. d) Si x e y son números positivos, entonces /f.J es un número positivo. e) Si x es un número positivo e y un número negativo, entonces xy es un número negativo. h) Si un com-. puesto químico posee un grupo - COOH, se trata de un ácido. j) Un compuesto químico es ácido sulfhídrico sólo si huele mal.

Ejercicio 4

¿En qué casos se pueden intercambiar la condición y la afirmación en el ejercicio 1, de modo que la validez de la condición se deduzca de la validez de la afirmación?

Explicación

Si X es una condición necesaria o necesaria y suficiente para Y, entonces se puede decir : si Y es cierta, también lo es X.

Solución

Se pueden intercambiar en a), b), f), g), i) y j).

4 Nociones fundamentales

Ejercicio 5

Hacer, donde sea lógicamente correcto, las afirmaciones recíprocas a las afirmaciones del ejercicio l.

Explicación

Ver ejercicio 4.

Solución

a) Si x es un número divisible por 10, entonces su última cifra es cero. b) Si x es divisible por 4, entonces x es un número entero. f) Si x es divisible por 3, entonces se verifica que x = 3 y, donde y es un número

entero. g) Si un compuesto químico es un ácido orgánico, entonces contiene al grupo

- COOH. i) Si una molécula es una molécula de metanol, entonces tiene un átomo de car

bono. j) Si un compuesto químico es ácido sulfhídrico, entonces huele mal.

Ejercicio 6

Hacer las afirmaciones recíprocas a las de d) y h) del ejercicio 1 y comprobar que dichas afirmaciones recíprocas son falsas.

Explicación

Ver ejercicio 3.

Solución

d) Si xy es un número posJtlvo, entonces x e y son números pos1tJvos. Esta afirmación no es verdadera, pues xy también es un número positivo cuando x e y son números negativos. h) Si un compuesto químico es un ácido, tiene un grupo - COOH.Esta afirmación no es verdadera, pues, por ejemplo, H 2S04 también es un ácido.

Capítulo 2

Introducción de los números

Ejercicio 1

¿Qué clase de números (racionales, irracionales o complejos) son cada uno de los siguientes números?

a) 3,7981

b) 06+2

e) 07+2

Explicación

d) y'=37 +2 g) 1C

e) {=36+2 h) rc+t/2 f) (3+i) (6-2i)

Todo número racional se puede representar como una fracción decimal finita, o como una expresión decimal infinita periódica. Todo número irracional se puede representar mediante una expresión decimal no periódica infinita. Los números racionales e irracionales juntos constituyen los números reales. Los números complejos representan una generalización del concepto de número. Se define la unidad

6 Introducción de los números

imaginaria i formalmente como un número cuyo cuadrado da «- 1 ». De esta definición deducimos la expresión algebraica de los números complejos

z=a+bi.

Haciendo recorrer a a y b todos los posibles valores reales, se obtienen todos los números complejos. El número a se llama la parte real y el número b la parte imaginaria del número complejo z.

Solución

a) Número racional, puesto que es la suma del número natural 3 y la fracción 7981

propia O, 7981 = 10 000

, la cual es finita.

b) Número racional. La expresión está formada a su vez por dos expresiones, 6 + 2 = 8 y - 6 + 2 = - 4, y ambas dan como resultado un número entero.

e) Número irracional, puesto que V 37 es irracional. d) Número complejo, puesto que ¡/ - 37 es imaginario. La parte real del número

complejo es racional; la parte imaginaria es irracional. e) Número complejo. Tanto la parte real como la parte imaginaria son racionales

(a= 2, b = ± 6). f) Número racional. La expresión da como resultado el número natural 20. g) El número «n» es irracional (trascendente, pues no es solución de una ecua

ción algebraica). h) Número irracional.

Ejercicio 2

Simplificar las siguientes expresiones, eliminando en particular los radicales del denominador.

d) 1 x+VY

Introducción de los números 7

e)

f)

Explicación

Toda expresión irracional se pueoe transformar mediante:

1) Simplificación del exponente. 2) Sacar del radical factores que están en el radicando con exponentes múltiplos

del índice de la raíz. 3) Supresión de la irracionalidad en el denominador.

La simplificación del exponente se consigue mediante la división del exponente fraccionario de la raíz y de todos los exponentes de los factores que están en el radicando por su máximo común divisor; el radicando se deberá haber descompuesto en factores previamente. Se consideran las siguientes reglas de transformación para potencias y raíces:

Solución 6 6 3 ~.,----

a) Vt6 (x12 -2x11 +x10)= V 42 · x5·2 (x-1)2 =V 4x5 (x-1)

b) (¡/x +~2+iR+1

t-0HJ/x -Vx +Vx - 11R")= = (x1¡2 + x2f3 + x3f4 + x7f12) (x1 12 _ x1 13 + x1/4 _ xs112) =

=x+x7f6 +xS/4 +x13f12 -xS/6 -x-x13/12 -x11112 +

+x3i4 +x11 ¡12 +x+xs¡6 -x11/!2 -x13¡12 -x7i6 -x=

e) De las reglas de transformación para potencias, se deduce:

~ 2yz


d) Puesto que (a + b) (a - b) = a2 - b2, se puede evitar la irracionalidad en el denominador:

__ 1_

x+YY

X- v:; (x+ ¡/Y) (x- ¡/Y)

e) Puesto que (y+ 1): (fy+ 1) = fr- fy + 1, resulta:

--· 1-vY+W 1-Y.Y+W t+Y.Y 1-VY+W 1+y

4 81x6 ~ 9x3 3x Vx 0 c0-0)4 =vc0-0)2 0-0 3xVx(Vl+Vx) 3xt/h+3x2

2-x 2-x

Ejercicio 3

Calcular el módulo de los siguientes números complejos. Comprobar este resultado gráficamente con ayuda del plano numérico de Gauss.

a) -3+4i e) - ¡ e) -s+Vlii

b) 4-Si d) -5-¡/11i

Explicación

El módulo de un número complejo z = a + bi se define como:

lzl =V az +bz.

En el plano de Gauss se representan los números complejos como vectores cuyo origen es el de coordenadas y cuyo extremo se determina tomando como abscisa la parte real y como ordenada la parte imaginaria. La longitud de este vector es el módulo del número complejo.

Solución


b) lzl = y'42 + r -5)2 =6,40

e) lzl=¡!(=1)2 =1 d) lzl =6 e) lzl=6

-4

di

FIG. 2 .1

Ejercicio 4

Calcular.

a) 2+i b) (1 +i) (2-i) 1-2i (1-i)

Explicación

Im

2

-2 bl

-4

La multiplicación de dos números complejos se define por la fórmula:

9

La división de dos números complejos se define como la operación inversa a la multiplicación, en la cual el denominador se debe hacer real. La fracción se multiplica y divide por el número conjugado del denominador, que se diferencia de dicho denominador en que su parte imaginaria tiene el signo cambiado.


Solución

a) __l±i.___ (2+i) (1 +2i) 1-2i (1-2i) (1 +2i)

a1 a2 +b1 b2 +i a2 b1 -a1 b2

a~+b~ a~+b~

2-2 .4+1. +!--=!

5 5

b) (1 +i) (2-i) 1-i

(1+i)(2-i)(1+i) 2+4i =1+2i (1+i)(1-i) 2

Ejercicio 5

Calcular:

a) a+b e) a·b e) b:a

b) a-b d) a: b f) a: a*,

siendo a = 2 - i y b = - 3 + 2 i.

Explicación

a* designa el número complejo conjugado de a (ver ejercicio 4).

Solución

a) -1+i e) -4+7i e) 8 1 .

--+-! 5 5

b) 5-3i d) 8 1 f)

2-i 3 4. -13-13 1 --=---¡

2+i 5 5

Ejercicio 6

Sean z1 =- 1 + 2i y z2 = 4- 2i. Calcular:

a) z1 • z2

b) z:f : zi e) (zf+z2)i-lz1 12

d) z~


Explicación

Ver ejercicios 4 y 5

Solución

a) ( -1 +2i) (4-2i)= -4+2i+8i-4i2 = 10i

b) -1-2i ( -1-2i) (4-2i) -8-6i -0,4-0,3i 4+2i (4+2i) (4-2i) 20

e) ( -l-2i+4-2i) i-(V'1+4f=(3-4i) i-5= -1 +3i

d) (4-2i)2 =12-16i

Ejercicio 7

11

La resistencia de un circuito eléctrico de conmutación se puede calcular con ayuda de los números complejos. Si se representa la resistencia óhmica Rn por un número real, la resistencia capacitiva Re por un número imaginario negativo y la resistencia inductiva RL por un número imaginario positivo, entonces la resistencia resultante de este circuito (conectado en serie) es la suma de las resistencias individuales.

Calcular el módulo de la resistencia total R correspondiente a las siguientes resistencias individuales conectadas en serie:

a) Rn=100 Q; Re=- 800 iQ;

b) Rn=400 Q; Re= -1400 iQ;

e) Rn=650 Q; Re=- 750 iQ;

Explicación

Ver ejercicio 3.

Solución

a) R=100+(-800+1000)i

R=V1001 +2001 =100. 0 Q

RL=1 000 iQ

RL=1100 iQ

RL= 750 iQ

12

b) R =V 4002 + 3002 = 500 Q

e) R=650 Q

Ejercicio 8

Calcular: S

a) ¿ (k2-2k) d) k=l

+1

b) I (a+bn) e) n= -1

S

e) L (n2+n-1) n=O

Explicación


3

I a" a=1

1 3

I ¿ ik k=O i=l

El signo sumatorio :¿ se introduce para representar la suma de una sucesión de números de n términos. Es decir, por definición:

n

L ak =a¡ + a2 + ... + an . k=l

El término general de la sucesión se denota por ak.

Solución

a) 1-2+4-2 · 2+9-2 · 3+16-2 · 4+25-2 · 5=25

~ a-b+a+0+a+b=3a

e) - 1 + 1 + 1 -1 + 22 + 2- 1 + 32 + 3 -1 + 42 + 4- 1 + 52 + 5- 1 = 64

d) 11 + 22 + 33 = 32 1 3 1 1

e) ¿ ¿ ik= ¿ Ck+2k+3k)= I 6k=6 k=O i=l k=O k=O


Ejercicio 9

Simplificar y calcular las siguientes sumas:

11

a) I (a. - 2) n=2

4 5

b) L ak+ L (a.+ 2 +2) k=l e= l

Explicación

Ver ejercicio 8.

Solución

9

a) L a. =a0 +a1 +a2 +a3 +a4 +a5 +a6 +a1 +a8 +a9 n=O

4 7

b) L ak+ L (a.+2)= k=l e =3

= a1 +a2 +a3 +a4 +a3 +2 +a4 +2+a5 +2 +a6 +2+a1 +2=

= a1 + a2 + 2 a3 + 2 a4 + a5 + a6 + a1 + 1 O

Ejercicio 10

Las fracciones molares 111> n2, n3 verifican:

Calcular la fracción molar n2 si n1 = 0,3 y 113 = 0,5.

Explicación

Ver ejercicio 8.

13

14

Solución

Ejercicio 11

0,3+n2 +0,5=1 n2 =0,2


La condición termodinámica para el equilibrio químico isobárico, e isotérmico 3

es, para un sistema de tres componentes: .L fl; v; =O, donde p ; y '~-'; son el potencial i = l

químico y el coeficiente estequiométrico, respectivamente, de la partícula i en la reac-ción considerada.)

Resolver esta ecuación respecto de p3• '

Explicación

Ver ejercicio 8.

Solución

Ejercicio 12

/1¡ V¡+ /12 V2 + /13 V3 =Ü

Jlt V¡+ Jl2 v2 fl-3 = - '-"--"---'--"----"-v3

Calcular las dos sumas siguientes y comprobar que dan el mismo resultado:

4 3 4

I I <n+k) y I I (n+k). k = 2 n=l n=l k=2

Demostrar que el orden de los sumatorios es indiferente cuando éstos van delante de una función. Considerar la expresión:

b d

I I J<n, k) n=a k=c

Explicación

Ver ejercicio 8.


Solución

Ambas sumas dan como resultado 45. En general, se verifica: b d

L L f(n , k)= n=a k=c

=f(a, e) +f(a, c+1) + .. . +f(a, d) +

+ f(a+ 1, e) +f(a+ 1, e+ 1)+ .. . +f(a + 1, d) +

d b

+f(b,c) +f(b,c+1) + . .. +f(b,d)='L 'Lf(n,k) k=cn=a

Ejercicio 13

Calcular los siguientes productos:

3 so S

a) n a• b) n (2k 2+27k) e) n (n+ 1) (n-1) a:;:: 1 k=O n=3

Explicación

El símbolo del producto II se introduce para representar el producto de una sucesión de números de n términos, a1, ll:!· ... , an :

Solución

n ak=a¡·a2· ... · a. k=l

b) El primer factor (2 ·O + 27 ·O) se anula; por tanto se anula el producto total.

S S

e) n (n+ 1) (n-1)= n (n2 -1)=2880 n=3 n = 3


Ejercicio 14

¿Para qué valores de x se verifica?:

a) ~-3x<4x+3

1 3 b) x-1 < 4x-7

Explicación

Cuando dos expresiones están separadas por uno de los siguientes signos, se dice que se trata de una desigualdad: > mayor que, < menor que, ¿ mayor o igual, ::;; menor o igual.

Si se trata de haliar valores de x para los que se verifica una desigualdad se trata de una inecuación.

En el cálculo con desigualdades se verifica: l. a ::;; b y b ::;; e implica a ~ c. 2. a ::::; b implica a + e ::;; b + c. 3. a ::::; b y e > O implica ae s be. 4. a ::::; b y e < O implica ae ¿ be.

1 1 5. O < a :::::: b implica --¡; ¿ ¡;·

1 6. a ::::; b <O implica --¡; ¿ b .

7. O < a s b y O < e ::;; d implica ac s bd. 8. a ::::; b y e :::::: d implica a + e :::::: b + d.

Estas reglas son válidas también si cambiamos el sentido de todas las desigualdades, o si cambiamos el signo s por el < .

Solución

a) ~-3x<4x+3

Multiplicando por 7, obtenemos: 4- 21 x < 28 x + 21. Sumando -21 + 21 x, obtenemos; - 17 < 49 x.

Dividiendo por 49, se tiene finalmente: x > 17

49


b) Para x = 1 y x = 7/ 4 se anula uno de los denominadores. Puesto que la división por cero no es posible entre los números reales, éstos dos valores de x deben quedar excluidos. No son soluciones. Se distinguen los siguientes casos:

l. x>l 11. 1 <x<l III . X< 1

1) En el conjunto de números que verifican x > 7/ 4, se tiene que (x- 1) >O y que (4 x - 7) > O. Por tanto, se verifica: (x - 1) (4 x - 7) >O. Multiplicando la desigualdad por este factor, se tiene: 4 X - 7 < 3 X - 3 ~ X < 4.

II) En el conjunto de números que verifican 1 < x < 7/ 4, se tiene que (x- 1) > O, (4 x- 7) < O. Así pues, se verifica: (x - 1) (4 x - 7) <O. Multiplicando por este factor, se tiene: 4 X - 7 > 3 X - 3 => X > 4. Pero esto está en contradicción con x < 7h Es decir, el caso JI no conduce a ninguna solución de la inecuación.

111) En el conjunto de números que verifican x < 1, se tiene que (x- 1) < O y que (4 x - 7) < O. Por tanto (x - 1) ( 4 x - 7) > O. Multiplicando por este factor, se tiene: 4 X - 7 < 3 X - 3 ~ X < 4.

En resumen, la inecuación se verifica para x < 1 y para 7/ 4 < x < 4.

Ejercicio 15

Resolver las siguientes inecuaciones:

Explicación

Ver ejercicio 14.

Solución

a) x 2 + 2 x + 1 2 x 2

2x+120: x2 -~


b) Sumando ! a los dos miembros de la inecuación, se tiene :

r -x+i=(x-!Y >! lx-ti >1

(Ver explicación del ejercicio 16). Se distinguen dos casos:

l. (x-!)>0 Il. (x-!) <0

1) Si (x - -!) > O, es decir, x > !. entonces se verifica lx - !l = x -t. 11) Si (x - -}) <O, es decir, x < 1-. entonces se verifica lx - -!l = - x + l

Por tanto, se tiene: 1) para x > ! se verifica: x - -!- > ! => x > 1,

11) para x < -~ se verifica : - x + ! > 1- => x < O. La solución es que la inecuación se satisface para x < O y para x > l.

Ejercicio 16

¿Qué valores enteros de n verifican las inecuaciones siguientes?:

a) 1:21<10- 6

b) 1:2 + 11 < 1 + 1 o- 8

Explicación

e) 1-1-1 <10- lo n+1

Se define el valor absoluto 1 al de un número real a como:

l +a si a;:=:O

!al= -a si a<O

El valor absoluto de un número siempre es por tanto positivo o cero.

Solución 1

a) Puesto que 2 > O, entonces : n


La inecuación se cumple para n > 103 y n < - 103. b) Puesto que n2 > O, no es necesario considerar diferentes casos.

--4-+ l < l + 10- 8 => --4-< 10- 8

=> lnl > Hf n n

La inecuación se verifica para n > 104 y n < - 104•

1

19

e) Para (n + 1) >O, se tiene --1

< 10-10 => n + 1 > 1010 ; n > 1010 - l. Es den+ cir, n :2: 1010, pues solamente se consideran valores enteros para n.

-1 Para (n + 1) <O, se tienen +

1 < 10-10

; n < - 1010- l.

La inecuación se cumple para n :2: 1010 y n < - 1010- 1.

Capítulo 3

Combinatoria

Ejercicio 1

Calcular:

a)

b) 7! 3!

Explicación

e)

d)

(n+ 1)! (n-1)!

1 +-1 (n+1)! n!

Se define el factorial de un número entero positivo n (y se representa por n !) como el producto:

n!=1 · 2 · 3· ... ·n

La propiedad fundamental del factorial es:

n!=n · (n-1)!

Los números combinatorios se definen por:

22

(n)= n (n-1) . .. (n-m+1) m 1 · 2·3 · ... ·m

para m + O. Si m = O, se define ( ~ ) = l.

Se define también O! = l.

Solución

a) 12 · 11 · 10

1 . 2 . 3 220

b) ]J_=7. 6. 5. 4=840 3!

e) (n+l)n(n-1)! n2 +n (n -1)!

1 + n+1 n+2 d) (n+1)! (n+l)! (n+l)!

Ejercicio 2

n! m! (n-m)!

a) ¿Cuál es el número de permutaciones de 6 elementos?

Combinatoria

b) ¿Cómo varía el resultado del ejercicio a) si tres de estos elementos son iguales? e) ¿Cuál es el número de variaciones sin repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3? d) ¿Cuál es el número de variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3? e) ¿Cuál es el número de combinaciones sin repetición de 6 elementos tomados de

3 en 3? f) ¿Cuál es el número de combinaciones con repetición de 6 elementos tomados de

3 en 3?

Explicación

Por permutaciones de n elementos se entiende las disposiciones de dichos elementos que se distinguen unas de otras por el orden en que están colocados. El número de permutaciones de n elementos distintos es :

P.=1·2·3· ... ·n=n!

Si entre los n elementos a, b, e, .. . hay elementos que son iguales (o: de un tipo, fJ de otro, etc.), entonces se dice que se trata de permutaciones con repetición, y

ejercicios de matemáticas para químicos

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