matemáticas aplicadas a las ciencias sociales ii ... · i sek - catalunya curso 2017/2018...

I

SEK - Catalunya

Curso 2017/2018

Matemáticas Aplicadas a las CienciasSociales II:

Ejercicios PAU Catalunya

Índice general

1. Bloque I: Álgebra de matrices 11.1. Septiembre 2017, Serie 2, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Junio 2017, Serie 1, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Septiembre 2016, Serie 1, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Junio 2016, Serie 5, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5. Septiembre 2015, Serie 5, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6. Junio 2015, Serie 2, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.7. Junio 2015, Serie 4, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.8. Junio 2014, Serie 3, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.9. Junio 2014, Serie 4, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.10. Septiembre 2013, Serie 1, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.11. Junio 2013, Serie 3, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.12. Junio 2013, Serie 4, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.13. Septiembre 2012, Serie 4, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.14. Junio 2012, Serie 1, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.15. Junio 2012, Serie 3, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.16. Septiembre 2011, Serie 2, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.17. Junio 2011, Serie 1, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.18. Junio 2011, Serie 1, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.19. Septiembre 2010, Serie 2, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.20. Junio 2010, Serie 4, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.21. Junio 2010, Serie 5, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Bloque I: Sistemas de ecuaciones. Posición relativa de rectas. 72.1. Septiembre 2017, Serie 2, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Junio 2017, Serie 1, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Septiembre 2016, Serie 1, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4. Junio 2016, Serie 1, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5. Junio 2016, Serie 5, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

III

IV ÍNDICE GENERAL

2.6. Junio 2016, Serie 1, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7. Septiembre 2015, Serie 5, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.8. Junio 2015, Serie 2, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.9. Junio 2015, Serie 4, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.10. Septiembre 2014, Serie 5, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.11. Junio 2014, Serie 3, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.12. Junio 2014, Serie 3, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.13. Junio 2014, Serie 3, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.14. Junio 2014, Serie 4, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.15. Septiembre 2013, Serie 1, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.16. Junio 2013, Serie 3, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.17. Septiembre 2012, Serie 4, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.18. Junio 2012, Serie 1, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.19. Junio 2012, Serie 3, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.20. Septiembre 2011, Serie 2, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.21. Junio 2011, Serie 1, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.22. Junio 2011, Serie 1, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.23. Septiembre 2010, Serie 2, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.24. Junio 2010, Serie 1, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.25. Junio 2010, Serie 1, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.26. Junio 2010, Serie 4, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.27. Junio 2010, Serie 5, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Bloque II: Programación lineal 153.1. Septiembre 2017, Serie 2, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Junio 2017, Serie 1, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3. Septiembre 2016, Serie 1, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4. Junio 2016, Serie 5, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5. Junio 2016, Serie 1, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6. Septiembre 2015, Serie 5, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.7. Junio 2015, Serie 2, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.8. Junio 2015, Serie 4, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.9. Septiembre 2014, Serie 5, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.10. Junio 2014, Serie 3, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.11. Junio 2014, Serie 4, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.12. Septiembre 2013, Serie 1, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.13. Junio 2013, Serie 3, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.14. Junio 2013, Serie 4, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.15. Septiembre 2012, Serie 4, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

ÍNDICE GENERAL V

3.16. Junio 2012, Serie 1, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.17. Junio 2012, Serie 3, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.18. Septiembre 2011, Serie 2, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.19. Junio 2011, Serie 1, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.20. Junio 2011, Serie 1, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.21. Septiembre 2010, Serie 2, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.22. Junio 2010, Serie 4, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.23. Junio 2010, Serie 5, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Bloque III: Límites de funciones. Continuidad. Representación gráfica. 254.1. Junio 2012, Serie 3, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2. Junio 2010, Serie 1, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3. Junio 2010, Serie 1, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5. Bloque III: Funciones. Derivada. Aplicaciones. 275.1. Septiembre 2017, Serie 2, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2. Septiembre 2017, Serie 2, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3. Septiembre 2017, Serie 2, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.4. Junio 2017, Serie 1, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.5. Junio 2017, Serie 1, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.6. Junio 2017, Serie 1, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.7. Septiembre 2016, Serie 1, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.8. Septiembre 2016, Serie 1, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.9. Septiembre 2016, Serie 1, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.10. Junio 2016, Serie 5, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.11. Junio 2016, Serie 5, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.12. Junio 2016, Serie 5, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.13. Junio 2016, Serie 3, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.14. Junio 2016, Serie 3, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.15. Junio 2016, Serie 3, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.16. Septiembre 2015, Serie 5, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.17. Septiembre 2015, Serie 5, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.18. Septiembre 2015, Serie 5, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.19. Junio 2015, Serie 2, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.20. Junio 2015, Serie 2, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.21. Junio 2015, Serie 2, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.22. Junio 2015, Serie 4, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.23. Junio 2015, Serie 4, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.24. Junio 2015, Serie 4, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

VI ÍNDICE GENERAL

5.25. Septiembre 2014, Serie 5, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.26. Septiembre 2014, Serie 5, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.27. Septiembre 2014, Serie 5, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.28. Septiembre 2014, Serie 5, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.29. Junio 2014, Serie 3, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.30. Junio 2014, Serie 4, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.31. Junio 2014, Serie 4, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.32. Junio 2014, Serie 4, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.33. Septiembre 2013, Serie 1, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.34. Septiembre 2013, Serie 1, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.35. Septiembre 2013, Serie 1, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.36. Junio 2013, Serie 4, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.37. Junio 2013, Serie 4, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.38. Junio 2013, Serie 4, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.39. Junio 2013, Serie 4, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.40. Junio 2013, Serie 3, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.41. Junio 2013, Serie 3, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.42. Junio 2013, Serie 3, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.43. Septiembre 2012, Serie 4, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.44. Septiembre 2012, Serie 4, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.45. Septiembre 2012, Serie 4, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.46. Junio 2012, Serie 1, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.47. Junio 2012, Serie 1, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.48. Junio 2012, Serie 1, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.49. Junio 2012, Serie 3, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.50. Junio 2012, Serie 3, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.51. Septiembre 2011, Serie 2, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.52. Septiembre 2011, Serie 2, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.53. Septiembre 2011, Serie 2, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.54. Junio 2011, Serie 1, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.55. Junio 2011, Serie 1, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.56. Junio 2011, Serie 1, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.57. Junio 2011, Serie 1, Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.58. Junio 2011, Serie 1, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.59. Junio 2011, Serie 1, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.60. Septiembre 2010, Serie 2, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.61. Septiembre 2010, Serie 2, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.62. Septiembre 2010, Serie 2, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.63. Junio 2010, Serie 1, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

ÍNDICE GENERAL VII

5.64. Junio 2010, Serie 1, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.65. Junio 2010, Serie 4, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.66. Junio 2010, Serie 4, Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.67. Junio 2010, Serie 4, Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.68. Junio 2010, Serie 5, Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.69. Junio 2010, Serie 5, Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.70. Junio 2010, Serie 5, Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Bibliografía y comentario final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

VIII ÍNDICE GENERAL

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II: Ejercicios PAUCatalunya

Hoja de ejercicios 1

Bloque I: Álgebra de matrices

1.1. Septiembre 2017, Serie 2, Ejercicio 5

Considerad la matriz:

A=(

2 −17 −3

)

a) Comprobad que A3 − I = 0, donde I es la matriz identidad de orden 2.

b) Calculad A11 utilizando la información del apartado a.

1.2. Junio 2017, Serie 1, Ejercicio 3

Considerad las siguientes matrices:

A=(

1 55 1

)B=(

0 11 0

)C=

(1 −1m n

)donde n y m son números reales.

a) Comprobad que se cumple la igualdad (A− B) · (A + B) = A2 − B2.

b) Determinad m y n de manera que las matrices B y C conmuten, es decir, B · C =C · B.

1

2 HOJA DE EJERCICIOS 1. BLOQUE I: ÁLGEBRA DE MATRICES


a) La matriz ampliada de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas es la si-guiente: 0 0 1 1

0 −1 1 05 2 −2 0

Justificad, sin resolverlo, si el sistema es incompatible, compatible indetermina-do o determinado.

b) Considerad ahora la matriz de otro sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:2 1 0 31 0 1 21 1 −1 1

Justificad si es incompatible o compatible y, en este último caso, resolvedlo.


Considerad las matrices A=

1 −1−1 32 1

. y B=(

2 −1 31 −1 2

).

a) Calculad las matrices A · B y B · A.

b) Justificad si en algún caso es posible calcular P2 cuando P es una matriz nocuadrada.


Encontrad las matrices A y B sabiendo que

A− 2B =(

0 −3−3 4

)y que

2A + 3B =

(7 158 −6

)

HOJA DE EJERCICIOS 1. BLOQUE I: ÁLGEBRA DE MATRICES 3


Sean las matrices A=(

1 a2 −a

)y B=

(b c1 1

)a) Calculad las matrices A + B y A · B.

b) Determinad los valores de a, b y c que cumplen que A + B = A · B.


Dadas las matrices A=(

1 −10 2

)y B=

(−3 02 1

)calculad la matriz X que cumple

X · A + B2 = 2 · I2, donde I2 es la matriz identidad de orden 2.


Sean las matrices Dadas las matrices A=(

x 00 x

)e I=

(1 00 1

), determinad x para

que se verifique la ecuación A2 − 6A + 5I = 0, donde O es la matriz donde todoslos elementos son 0.



2 31 2

), B=

(0 −1−1 0

)e I=

(1 00 1

)a) Determinad una matrix X que verifique A · X = I.

b) Determinad una matriz Y que verifique A ·Y · A = B.



2 1−1 1

)y B=

(−2 5

)a) Resuelva la ecuación matricial X + 2A = X · A, donde X es la matriz incógnita.


b) ¡Hay alguna matriz Y que verifique Y · A = B? ¿Y que verifique A · Y = B?Justifique sus respuestas.


Sea la matriz A=(

0 −11 0

)a) Calcule A2, A3 y A4.

b) Calcule A201 y A344.



2 a−2 0

)y B=

(3 0b −1

)a) Determine el valor de los parámetros a y b para que A · B = B · A.

b) Determine el valor de a para el cual se verifica A2 = 2A.



1 1 1−1 −1 2

), B=

2 −1−1 20 1

y C=(

1 2−1 1

)a) Encontrad una matriz X que cumpla que A · B + X = C.

b) Calculad C3.


Consideramos las matrices A=(

1 −3−2 −8

)y B=

(8 34 −1

)a) Determinad las matrices X e Y que verifiquen que X− 2Y = A y 2X−Y = B.

b) Calculad (A + 2Id)2, donde Id es la matriz identidad.

HOJA DE EJERCICIOS 1. BLOQUE I: ÁLGEBRA DE MATRICES 5


Consideramos las matrices A=(

2 1 3−1 0 4

)y B=

(1 −10 5

)a) Justificad si es posible efectuar A · B o B · A. En caso afirmativo, calculadlo.

b) Calculad B2 y B3.


Considerad la matriz A=(

1 −1 3−3 1 −2

)a) Una matriz B, cuya primera fila es (2, 1), tiene dos columnas y cumple que

A · B =

(1 31 2

). Completadla.

b) Calculad (A · B)−1.


Considerad la matriz A=(−1 2 22 1 −1

)a) Una matriz B, cuya primera fila es (1, 0), tiene dos columnas y cumple que

A · B =

(5 −23 −5

). Completadla.

b) Haced los cálculos pertinentes para comprobar que (A · B)t = Bt · At


Considerad las matrices:

A=(

2 11 1

), B=

(3 51 2

)y C=

(1 02 1

)a) Calculad las matrices inversas de A y de B.

b) Determinad una matriz X de manera que A · X · B = C.




A=(

2 1−4 −2

)B=(

1 65 −4

)C=

(0 11 0

)a) Determinad la matriz X para que X + BC = A2.

b) Calculad las matrices C6 y C7.



A=

2 −3 −5−1 4 51 −3 −4

B=

−1 1 11 −1 −1−1 1 1

a) Comprobad si estas dos matrices cumplen (A + B)2 = A2 + 2A · B + B2.

b) Si P i Q son matrices cuadradas cualesquiera de orden 3, ¿qué condición debencumplir para que se verifique (P + Q)2 = P2 + 2P ·Q + Q2?


Dadas las siguientes matrices:

A=(−1 01 1

)B=(

1 22 3

)C=

(2 0−1 2

)a) Calculad A−1 y B−1.

b) Determinad X para que se cumpla la ecuación A · X · B = 2C.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II: Ejercicios PAUCatalunya


Bloque I: Sistemas de ecuaciones.Posición relativa de rectas.


Un grupo inversor quiere invertir 6.000 euros en letras, bonos y acciones que tienenuna rentabilidad del 10 %, del 8 % y del 4 % respectivamente. Teniendo en cuentaque quiere obtener una rentabilidad global del 7 %:

a) Encontrad la cantidad que hay que invertir en letras y en bonos en función de lacantidad invertida en acciones. ¿Qué valores puede tomar la cantidad invertidaen acciones sabiendo que las cantidades invertidas en cada uno de los productoshan de ser siempre más grandes o iguales que cero?

b) ¿Cuánto ha de invertir en cada una de las tres opciones si quiere invertir enletras tanto como en los otros dos productos juntos?


Tenemos unas cuantas monedas de un euro distribuidas en tres pilas. Pasamosdoce monedas de la tercera pila a la segunda, y a continuación, pasamos diez de lasegunda a la primera. Una vez hecho esto, las tres pilas tienen la misma cantidadde monedas.

a) Con estos datos, ¿podemos determinar la cantidad de monedas que había ini-cialmente en cada pila? Razonad la respuesta.

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8HOJA DE EJERCICIOS 2. BLOQUE I: SISTEMAS DE ECUACIONES. POSICIÓN

RELATIVA DE RECTAS.

b) Calculad la cantidad de monedas que había inicialmente a cada pila si sabemosque en total hay 51 monedas.


Maria tiene el doble de dinero que Pol y Júlia juntos. Pol tiene la sexta parte dedinero que Maria. Júlia tiene el doble de dinero que Pol. Maria tiene el triple dedinero que Julia.

a) Con estos datos, ¿podemos saber cuánto dinero tiene cada uno de ellos? Encon-trad el conjunto de soluciones posibles.

b) Si Pol tiene 35e , ¿cuánto dinero tienen Maria y Júlia?


El billete ganador de una lotería está formado por tres números. Sabemos que lasuma del primero y el segundo excede en dos unidades el tercero; que el primernúmero menos el doble del segundo es 10 unidades menor que el tercero, y que lasujma de los tres números es 24. ¿Cuál es el billete ganador?


Dos familias van a una cafetería. La primera familia toma un refresco, 3 cafés y7 magdalenas, y paga un total de 11,75e. La segunda familia pide un refresco, 4cafés y 10 magdalenas y paga un total de 15,5e.

a) Decid, razonadamente, si es posible saber el precio de un café, el de un refrescoy el de una magdalena.

b) Calculad cuánto ha de pagar una familia que tome un refresco, un café y unamagdalena.


Sea el sistema de ecuaciones:

HOJA DE EJERCICIOS 2. BLOQUE I: SISTEMAS DE ECUACIONES. POSICIÓNRELATIVA DE RECTAS. 9

x− y + z = 03x + 4y− 5z = 6

x− y = 2

a) Justificad si es compatible determinado.

b) Resolved el sistema formado por las dos primeras ecuaciones.


Una persona decide invertir un total de 60000e, repartidos entre tres entidades deahorro diferentes: A, B y C. Esta persona decide que la cantidad invertida en la en-tidad A sea la mitad de la cantidad total invertida en las entidades B y C. Además,sabemos que la entidad A le ha asegurado una rentabilidad del 5 %; la entidad B,un rendimiento del 10 %, y la entidad C, una rentabilidad del 2 %. Calculad las can-tidades invertidas en cada entidad de ahorro si sabemos que este inversor obtendráunos beneficios totales de 4200e.


En resolver un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas x, y, z, nosencontramos que las soluciones cumplen las condiciones siguientes:

La suma de las soluciones es 6.

La segunda es la media aritmética de las otras dos.

El valor de la tercera es la suma de los valores de las otras dos.

Escribid el sistema de ecuaciones que satisface las condiciones anteriores, resolved-lo e indicad si es compatible determinado o indeterminado.


El pasado mes de enero, Joan, Carla y Laura invirtieron en bolsa. Carla invirtió eldoble que Laura. Aquel mes, Joan y Carla tuvieron unas ganancias del 30 %, mien-tras que Laura tuvo unas pérdidas del 10 %. Como resultado, obtuvieron conjunta-mente un beneficio del 20 %. Acordaron volver a invertir en febrero, incrementandocada uno un 10 % sus inversiones iniciales. Si en febrero invirtieron entre los tres770e, ¿qué cantidad había invertido cada uno en enero?


RELATIVA DE RECTAS.


El propietario de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un total de5.000 e, sin impuestos. El vino vale 600 e menos que los refrescos y la cervezajuntos. Si tenemos en cuenta que por los refrescos ha de pagar un IVA del 6 %, porla cerveza uno del 12 % y por el vino uno del 30 %, entonces la factura total, conimpuestos incluidos, sube a 5.924 e. Calcule cuánto ha pagado, sin IVA, por cadaclase de bebida.


Pol, Júlia y Maria han comprado un regalo. Júlia ha gastado la mitad de dinero queMaria, y Pol ha gastado el triple que Júlia.

a) Explicad razonadamente si con estos datos tenemos suficiente para determinarcuánto ha gastado cada uno de ellos.

b) Si además nos dicen que entre los tres han gastado 63e, ¿cuánto ha gastadocada uno?


La gráfica de la derivada f ′ de la función f es una parábola que corta el eje deabscisas en los puntos (5, 0) y (1, 0), y tiene el vértice en el punto (3,−4).

1. Explicad razonadamente en qué intervalos la función f es creciente y en quéintervalos es decreciente. Indicad los extremos relativos y clasificadlos.

2. Sabemos que f (3) = 2- Determinad la ecuación de la recta tangente a lafunción f en el punto (3, 2).


Una cadena de televisión decide emitir un nuevo programa en la franja horariade las 17.00h a las 21.00h. El porcentaje de audiencia P de la primera emisión enfunción del tiempo t, emdido en horas, está definido por la función:

P(t) =15· (−t3 + 49t2 − 760t + 3690) con 17 ≤ t ≤ 21


Los directivos de la cadena acuerdan que el programa se seguirá emitiendo si enalgún momento se consigue un porcentaje de audiencia superior al 20 %.

a) Explicad razonadamente en qué intervalos de tiempo la audiencia del programaaumentó y en qué intervalos disminuyó.

b) En vista de los resultados, ¿se seguirá emitiendo el programa? Justificad la re-spuesta.


Un tendero quiere determinar la cantidad de billetes de 5 e, 10e y 20 e que ha detener en su tienda para atender mejor a sus clientes. En total, quiere tener 1.375e en 90 billetes en la caja. Además, ha observado que le conviene tener el doblede billetes de 20 e que de 5e y 10e juntos. ¿Cuántos billetes deberá tener de cadaclase?


Jília, Pol y Maria han ido a comprar fruta. Júlia ha comprado un kilogramo demanzanas, dos de melocotones y tres de naranjas, y ha pagado 9e. Pol ha compradodos kilogramos de manzanas y cuatro de melocotones, y ha pagado 12e. Maria, encambio, ha comprado cuatro kilogramos de manzanas y dos de naranjas, y hapagado 8e. Calcule el precio del kilogramo de cada fruta.


He ido a una tienda y he decidido comprar un pantalón, una camisa y unos za-patos. Si hago la compra hoy, me costará entre todo 120e. Además, actualmente,la camisa y los zapatos cuestan, juntos, el doble del pantalón. Si me espero unasemana, el pantalón y los zapatos tendrán un descuento del 20 %, mientras quela camisa solo tendrá un descuento del 10 %. Así, pagaré 99e. ¿Cuál es el precioinicial de cada artículo?


Una tienda vende latas de bebida a 0,6e la lata, pero si compramos un paquete deseis latas nos cobran 3e.


RELATIVA DE RECTAS.

a) ¿Cuál es el porcentaje de ahorro de comprar un paquete respecto a la comprade seis latas sueltas?

b) En una semana, la tienda ha vendido 240 latas, y ha ingresado 132,6e. ¿Cuántospaquetes de seis latas ha vendido?


Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios de en-trada en estas salas son de 7e, 8ey 9e, respectivamente. Un día determinado, larecaudación conjunta de las tres salas fue de 1520e , y el número total de especta-dores fue 200. Si se hubieran intercambiado los espectadores de las salas A y B, larecaudación total se habría incrementado en 20e. Calculad el número de especta-dores que acudieron a cada una de las salas.


Joan, Pere y Marc tienen, entre los tres, sesenta y tres años. Si Joan tuviera tres añosmenos, su edad sería el doble de las edades de Pere y Marc juntos. Si Pere tuvieraun año más, su edad sería la mitad de la de Marc. ¿Cuál es la edad actual de cadauno de ellos?


Considerad el triángulo de vértices A = (2,−1), B = (5, 0) y C = (2, 4).

a) Determinad las ecuaciones de las rectas del plano que contienen los lados deltriángulo ABC.

b) Considerad el sistema de ecuaciones formado por las tres ecuaciones del aparta-do anterior. Determinar el rengo de la matriz asociada y el rango de la matrizampliada de este sistema. Justificad la respuesta.


Una empresa compra tres inmuebles por un valor total de 2 millones de euros.Cuando los venda, espera obtener unas ganancias del 20 %, del 50 % y del 25 %,


respectivamente, que le reportarán unos beneficios totales de 600.000 euros. En elmomento de ponerlos a la venta, sin embargo, consigue unas ganancias del 80 %,del 90 % y del 85 % respectivamente, lo que le reporta un beneficio total de 1,7millones de euros. ¿Cuánto había pagado por cada inmueble?


Considerad el sistema

x− y + z = 32x + y− 2z = 1−x + 4y− 5z = −8

a) Comprobad que tiene infinitas soluciones. Determinadlas.

b) Determinad, si es posible, una solución en la que la suma de las tres incógnitassea 5.


Si sumamos 2 unidades al denominador de una fracción, la nueva fracción vale 1unidad. En cambio, si sumamos 3 unidades al mumerador de la fracción original,la nueva fracción vale 2 unidades. Determinad la fracción original.


Una tienda ha vendido 225 lápices de memoria de tres modelos diferentes, quellamaremos A, B y C, y ha ingresado un total de 500e. El lápiz A cuesta 50e, y losmodelos B y C son, respectivamente, un 10 % y un 40 % más baratos que el modeloA. La suma total de lápices vendidos de los modelos B y C es la mitad que la delápices vendidos del modelo A. Calculad cuántos ejemplares se han vendido decada modelo.


Considerad la recta r, de ecuación x + 2y = 4.


RELATIVA DE RECTAS.

a) Escribid la ecuación de una recta r′ que pase por el origen de coordenadas yque forme con r un sistema de ecuaciones incompatible. Justificad cuál será laposición relativa de las dos rectas.

b) Considerad otra recta, que llamaremos s, que forma con r un sistema de dosecuaciones con dos incógnitas que es compatible indeterminado. Justificad cuáles la posición relativa de las rectas r y s.


En una tienda hemos comprado botellas de agua a 0,5e cada una, de leche a 1ey de zumo de fruta a 1,5e. Cuando llegamos a caja nos damos cuenta de quellevamos 40 botellas, el coste de las cuáles es de 38e. También observamos que silas botellas de agua que llevamos fueran de leche, y las de leche fueran de agua,la compra nos saldría 4e más barata. Determinad el número de botellas de cadabebida que hemos comprado.


Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

x + 5y + 2z = 22x + 4y + z = 4

x− y− z = 2

a) Determinad la solución general en función de z.

b) Calculad la solución particular según la cuál z = 2.



Bloque II: Programación lineal


Una empresa fabrica dos tipos de helados: G1 y G2. En el proceso de elaboraciónutiliza dos tipos de ingredientes, A y B. Dispone de 90 kg del ingrediente A y de150 kg del ingrediente B. Para fabricar una caja de helados del tipo G1, utiliza 1 kgdel ingrediente A y 2 kg del ingrediente B. Para fabricar una caja de helados deltipo G2, utiliza 2 kg del ingrediente A y 1 kg del ingrediente B. Si la caja de heladosdel tipo G1 se vende a 10 euros y la del tipo G2 se vende a 15 euros, ¿cuántas cajasde helados de cada tipo hay que fabricar para maximizar los ingresos?


Una compañía aérea quiere organizar para este verano un puente aéreo entre elaeropuerto de Barcelona - El Prat y el de palma de Mallorca, con plazas suficientesde pasaje y carga para transportar como mínimo 1600 personas y 96 toneladas deequipaje y mercancías. Para hacerlo, tiene a su disposición 11 aviones del tipo A,que pueden transportar 200 personas y 6 toneladas de equipaje y mercancías cadauno, y 8 aviones del tipo B, que pueden transportar 100 personas y 15 toneladascada uno. Si la contratación de un avión del tipo A cuesta 4000 euros y la de unavión del tipo B cuesta 1000:

1. Determinad la función objetivo y las restricciones y dibujad la región de lasposibles opciones que tiene la compañía.

2. Calculad el número de aviones de cada tipo que hay que contratar para queel coste sea el mínimo y determinad cuál es este coste mínimo.

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16 HOJA DE EJERCICIOS 3. BLOQUE II: PROGRAMACIÓN LINEAL


Considerad el cuadrilátero de la figura:

a) Definid las condiciones que han de cumplir los puntos del cuadrilátero som-breado, incluyendo la frontera.

b) Justificad analíticamente si el punto P = (4, 3) pertenece al cuadrilátero.


Considerad la región del plano limitada por las siguientes rectas:

y = x + 1, y = −x + 1, y = x− 1, y = −x− 1

a) Dibujadla y calculad los vértices.

b) Considerad ahora la familia de rectas y = 2x + k. Calculad en qué punto de laregión se obtiene el valor más grande de k y determinad este valor.


Tenemos cuatro rectas: la recta r1 pasa por los puntos (−1, 0) y (0, 1); la recta r2pasa por los puntos (−1, 0) y (0,−1); la recta r3 pasa por los puntos (1, 0) y (0, 1)y la recta r4 pasa por los puntos (1, 0) y (0,−1).

HOJA DE EJERCICIOS 3. BLOQUE II: PROGRAMACIÓN LINEAL 17

a) Escribid las inecuaciones que cumplen los puntos de la frontera y del interiordel cuadrado que determinan estas cuatro rectas y dibujadlo.

b) Determinad el valor máximo de k que hace que la recta y = 2x + k tenga algúnpunto en común con el cuadrilátero anterior.


Considerad la región del plano limitada por las rectas y = 2x + 2, y = −2x + 2,y = 2x− 2, y = −2x− 2.

a) Dibujadla y calculad los vértices.

b) Considerad ahora la familia de rectas y = x + k. Calculad en qué punto de laregión se obtiene el valor más grande de k y determinad este valor.


Una refinería de petróleo produce gasolina y gasoil. En el proceso de refinamientoque se lleva a cabo se obtiene más gasolina que gasoil. Además, para cubrir lademanda hay que producir como mínimo 3 millones de litros de gasoil al día,mientras que la demanda de gasolina es de 6,4 millones de litros al día, comomáximo. La gasolina tiene un precio de 1, 9e/L, y el gasoil vale 1, 5e/L. Teniendoen cuenta que se vende la totalidad de la producción, determinad cuántos litros degasolina y de gasoil hay que producir al día para obtener el máximo de ingresos.


Considerad el triángulo de vértices A(?2, 0), B(0, 3) y C(2, ?1).

a) Determinad las condiciones que debe cumplir un piunto para no estar fuera deltriángulo.

b) Justificad analíticamente si los puntos P(1, 1), Q(?1, 1), R(?1, 2) son interiores,exteriores o se encuentran sobre los lados del triángulo.



Una compañía aérea programa una oferta de un máximo de 5.000 plazas, entreclase turista y preferente. Por cada plaza de clase turista obtiene unas ganancias de30e, mientras que por cada plaza de clase preferente el beneficio es de 40e. Porrazones técnicas, no es posible ofrecer más de 4.500 plazas de clase turista, y elnúmero de plazas de preferente no puede superar la tercera parte de las de claseturista. Calcule cuántas plazas de cada clase deben ofrecerse para maximizar lasganancias.


Tenemos que fertilizar los terrenos de una finca utilizando dos fertilizantes, A yB. El coste del primero es de 0,9e/kg, y el segundo cuesta 1,5?/kg. El fertilizanteA contiene un 20 % de nitrógeno y un 10 % de fósforo, mientras que el B contieneun 18 % y un 15 %, respectivamente. Para fertilizar los terrenos correctamente esnecesario un mínimo de 180kg de nitrógeno y 120 kg de fósforo.

a) Si llamamos x a los kilogramos de fertilizante A e y a los de fertilizante B,escribid el sistema de inecuaciones que satisface las condiciones anteriores.

b) ¿Cuál es el gasto mínimo que debemos hacer si queremos fertilizar los terrenosde la finca correctamente?


Una empresa de informática fabrica ordenadores portátiles y de mesa y vende to-dos los que fabrica. La empresa tiene capacidad para fabricar 3000 ordenadores.Por cuestiones de mercado, el número de ordenadores de mesa no puede ser infe-rior a la mitad del número de portátiles, pero tampoco puede superar el númerode portátiles. La empresa gana 100epor cada ordenador de mesa y un 20 % más enla venta de cada portátil. ¿Cuántos ordenadores de cada clase debe fabricar paramaximizar los beneficios?


Un florista dispone de 50 margaritas, 80 rosas y 80 claveles, y hace ramos de dosclases: para una clase utiliza 10 margaritas, 20 rosas y 10 claveles, y para la otra


utiliza 10 margaritas, 10 rosas y 20 claveles. La primera clase de ramos se vende a40e, mientras que la segunda se vende a 50e. ¿Cuántos ramos de cada clase debehacer si quiere ingresar el máximo posible?


Una empresa agrícola ha recogido un total de 40 toneladas de fruta que producenun beneficio de 0,80e/kg. Cada semana que transcurre se produce una pérdida de400 kg de fruta, pero el beneficio aumenta en un céntimo por cada kilogramo.

a) ¿Qué beneficio se obtiene si se vende la fruta al cabo de nueve semanas? ¿Quéporcentaje de fruta se ha tenido que tirar?

b) ¿Qué semana de venta será la que obtiene un beneficio máximo?


Un t endero va al mercado central con su furgoneta, que puede cargar 700 kg, y con500e en el bolsillo, a comprar fruta para su tienda. Encuentra manzanas a 0,80e/kgy naranjas a 0,50e/kg. Calcula que podrá vender las manzanas a 0,90e/kg y lasnaranjas a 0,58e/kg. ¿Qué cantidad de manzanas y de naranjas le conviene com-prar si quiere obtener el mayor beneficio posible?


Una pequeña fábrica produce queso y mantequilla. Para fabricar un queso se nece-sitan 10 litros de leche, mientras que para fabricar una pastilla de mantequilla senecesitan 5. La cantidad de quesos producidos no puede superar el doble de lacantidad de pastillas de mantequilla. De la misma manera, la cantidad de pastillasde mantequilla no puede superar el doble de la cantidad de quesos producidos.En total, la fábrica dispone de 800 litros de leche. Después de la venta, por cadaqueso se obtiene un beneficio de 5e y por cada pastilla de mantequilla se obtieneun beneficio de 2e. Determine qué cantidad de quesos y qué cantidad de pastillasde mantequilla hay que producir para que el beneficio total después de la ventasea máximo. ¿Qué beneficio se obtendrá?



Construimos en el plano el triángulo de vértices A(−3, 1), B(1, 2) y C(−2, 3).

a) Encontrad las inecuaciones que determinan la región del plano contenida ysobre los lados del triángulo ABC.

b) Justificad si los puntos P(0, 2), Q(2, 2) y R(−1, 2) son interiores, exteriores oestán sobre los lados del triángulo.


Construimos en el plano el cuadrilátero de vértices A(1, 1), B(2, 4), C(4, 5) y D(3, 0),cuyos lados son los segmentos AB, BC, CD y DA.

a) Escribid las desigualdades que determinan la región del plano contenida y sobrelos costados del cuadrilátero ABCD.

b) Utilizad las desigualdades anteriores para justificar si los puntos P(3, 0), Q(3, 4)y R(5, 2) son interiores, exteriores o están sobre los lados del cuadrilátero.


Una empresa fabrica dos tipos de bebidas, que llamaremos B1 y B2, y en el procesode fabricación utiliza dos tipos de ingredientes, que llamaremos C y D. Dispone de90L de C y de 150L de D. Por cada bidón de bebida B1 hacen falta 1L de ingredienteC y 2L de ingrediente D, y por cada bidón de bebida B2 son necesarios 2L de C y1L de D. Sabemos que cada bidón de B1 da 10ede beneficio, y que cada bidón deB2 proporciona 15e.

a) Plantead las inecuaciones correspondientes a las restricciones indicadas, calcu-lad los vértices de la región factible y dibujadla.

b) Escribid la función objetivo. ¿Cuántos bidones de cada tipo hay que fabricarpara obtener el beneficio máximo? ¿Cuál es este beneficio?



Considerad la región sombreada de la siguiente figura:

a) Determinad el sistema de inecuaciones que la delimita.

b) Calculad el valor máximo de la función z = x + 2y en esta región e indicad paraqué valores de alcanza este máximo.


Considerad la región del plano limitada por las rectas x = 0, y = 0, 2x− 3y = −6,x + 3y = 15 y x = 6.

a) Dibujadla, calculad los vértices y justificad si los puntos P(1, 3) y Q(3, 3) perteneceno no a esta región.

b) Calculad en qué puntos de esta región la función f (x, y) = x + 4y alcanza elvalor máximo y el valor mínimo e indicad cuáles son estos valores.


Considerad la región del plano representada en la siguiente figura:


a) Determinad las inecuaciones que definen los puntos interiores y los puntos dela frontera del cuadrilátero ABCD.

b) Determinad los puntos en los que se alcanza el máximo y el mínimo de lafunción f (x, y) = 2x− 2y + 7, y decid cuáles son estos valores.


Una tienda de bisutería vende anillos y collares en lotes de dos tipos: el lote de tipoA está formado por un anillo y un collar, mientras que el lote de tipo B consta de3 anillos y un collar. Sabemos que disponen de 1500 anillos y de 1000 collares. Encada lote de tipo A ganan 0,70e, mientras que en cada lote de tipo B ganan 1e.Indicad cuántos lotes de cada tipo deben vender para obtener el máximo beneficio.


Un concesionario de motos comercializa dos modelos, uno de 125cc y otro de 50cc. Por cada moto de 125 cc que vende, gana 1000e, y por cada moto de 50 cc, gana600e. Por otro lado, para satisfacer los objetivos marcados por el fabricante, hacefalta que el concesionario cumpla las condiciones siguientes:

Vender entre 50 y 150 motos de 125 cc.

Vender al menos tantas motos de 50 cc como de 125 cc.


No vender más de 500 motos de 50 cc.

Determinad cuántas motos de cada tipo ha de vender el concesionario para obtenerel máximo beneficio y calculad este beneficio máximo.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II: Ejercicios PAUComunidad Valenciana


Bloque III: Límites de funciones.Continuidad. Representación gráfica.


Sea f una función polinómica de grado 3, con un máximo en (0, 0) y un mínimoen (2,−4).

1. Haced una gráfica aproximada de f .

2. Determinad la gráfica de la función.


Considerad la función siguiente: f (x) =3x− 1x + 2

a) Determinad las asíntotas horizontales y verticales.

b) Si f ′(x) > 0 en todo el dominio de la función f , calculad los límites lateralescuando x tiende a −2 y haced un esbozo de la gráfica de la función f .


Considerad la siguiente función:

f (x) =

{x2 + 2x + b, si x < 0;e−x + 1, si x ≥ 0;

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26HOJA DE EJERCICIOS 4. BLOQUE III: LÍMITES DE FUNCIONES.

CONTINUIDAD. REPRESENTACIÓN GRÁFICA.

a) Determinad el valor de b para que la función f sea continua en el punto x = 0.Justificad si f puede ser discontinua en algún otro punto.

b) Justificad si, para valores positivos de x, la función f es creciente o decreciente.



Bloque III: Funciones. Derivada.Aplicaciones.


Un gimnasio cobra una cuota de 42 euros mensuales y tiene 2000 usuarios. Unestudio de mercado afirma que por cada euro que se sube (o se baja) la cuota sepierden (o se ganan) 20 usuarios.

a) Expresad el número de usuarios del gimnasio en función de la cuota, teniendoen cuenta que la relación entre las dos variables es lineal. ¿Para qué valor de lacuota el gimnasio se quedaría sin usuarios?

b) Determinad en qué precio hay que fijar la cuota para obtener un beneficio men-sual máximo. ¿Cuál sería este beneficio y cuántos usuarios tendría el gimnasioen este caso?


Consideremos una función f (x) tal que su primera derivada es f ′(x) = x2 + bx− 3,donde b es un parámetro real.

a) Determinad el valor de b para que f (x) tenga un extremo relativo en x = −3 yrazonad si se trata de un máximo o de un mínimo.

b) Para b = −8, encontrad la ecuación de la recta tangente a f (x) en el punto (0, 2).

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28HOJA DE EJERCICIOS 5. BLOQUE III: FUNCIONES. DERIVADA.

APLICACIONES.


El vértice de una parábola es el punto (1, 2).

a) Si la parábola corta el eje de las abscisas por el punto (−12

, 0, ¿cuál será el otropunto de corte de la parábola con el eje de abscisas?

b) Encontrad la ecuación de la parábola.


De una función y = f (x) sabemos que su derivada es f ′(x) = x3 − 4x.

a) Determinad los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función y =f (x).

b) Determinad las abscisas de sus extremos relativos y clasificadlos.


Desde una barca se dispara una bengala de salvamento marítimo que se apaga alcabo de 4 minutos. En este intervalo de tiempo, se comprueba que la intensidadlumínica de la bengala en función del tiempo, medida en porcentajes del 0 % al100 %, queda perfectamente descrita por la expresión L(t) = 25 · t · (4− t), en queel tiempo t varía entre 0 y 4 minutos.

a) Calculad para qué valor de t el porcentaje de intensidad lumínica será máximo.

b) Si desde la costa la bengala solo es visible cuando su intensidad lumínica essuperior al 75 %, ¿cuál es el intervalo de tiempo en el que será visible desde lacosta y, por tanto, será más factible el salvamiento?


Considerad la función f (x) = −x2 + bx + c, con b y c números reales.

a) Encontrad b y c de manera que la gráfica de la función pase por el punto (−1, 0)y tenga un extremo local en el punto de abscisa x = 3. Razonad de qué tipo deextremo relativo se trata.

HOJA DE EJERCICIOS 5. BLOQUE III: FUNCIONES. DERIVADA.APLICACIONES. 29

b) Para el caso b = 3 y c = 2, encontrad la ecuación de la recta tangente a la gráficaque es paralela a la recta y = 5x− 2.


Una empresa vende un producto a un precio de p euros. El número de unidadesvendidas depende del precio que fijemos según la función:

V(p) =30p + 10

p

a) Demostrad que, al aumentar los precios, las ventas disminuyen.

b) ¿Es posible que la empresa venda 20 unidades del producto? Si el precio au-menta indefinidamente, ¿qué pasará con las ventas?


La siguiente fotografía matemática parece indicar que las ramas de las gafas formanuna parábola. Sin embargo, no todas las curvas en forma de Ü"son parábolas.

Hemos marcado sobre unos ejes de coordenadas algunos de los puntos: (0, 2.5),(1, 0), (3,−1) y (5, 0). Justificad si la gráfica corresponde a una parábola o no.


Considerad la función f (x) =x + 1x2 + 3


APLICACIONES.

1. Determinad los puntos en los que la función f corta cada uno de los ejes.Determinad también los intervalos donde la función f es positiva.

2. Determinad los puntos en los que la recta tangente a la gráfica de f es hori-zontal.


Dos de las escalas que se suelen usar para medir temperaturas, la escala Fahrenheity la escala Celsius, están relacionadas linealmente, es decir, la función que da latemperatura F en grados Fahrenheit a partir de la temperatura C en grados Celsiuses una recta. La escala Celsius establece los 0oC como temperatura de congelacióndel agua y los 100oC como temperatura de ebullición. En la escala Fahrenheit, estoscambios de estado del agua tienen lugar a los 32oF y a los 212oF, respectivamente.

a) Escribid la función que, para cada temperatura expresada en grados Celsius, dala temperatura expresada en grados Fahrenheit.

b) ¿A qué temperatura coinciden los grados Celsius con los grados Fahrenheit?


Sea la función f (x) =x

x2 + 1.

a) Estudiad en qué intervalos f crece y en qué intervalos decrece. Determinad yclasificad, si hay, los máximos y mínimos de f .

b) Escribid la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisax = 2.


Sabemos que la función derivada f ′ de una función f , polinómica de tercer grado,corta el eje de abscisas en los puntos x = −1 y x = 2.

a) Justificad si es posible que f ′ corte también el eje de abscisas en un punto difer-ente de los dos mencionados.

b) Si nos dicen que f ′(1) = 2, indicad y clasificad los máximos y los mínimos dela función f .



Una fábrica de muebles de cocina vende 1000 unidades mensuales de un mod-elo de armario a 200e por unidad. Para reducir el stock, hace una oferta a loscompradores y estima que, por cada euro de reducción en el precio, las ventasmensuales del producto se incrementarán en 100 unidades.

a) ¿Cuántas unidades hay que vender para obtener el máximo de ingresos mensu-ales?

b) ¿A cuánto ascenderán dichos ingresos?


Se considera la función f (x) =1

1 + x2

a) Estudiad el crecimiento y, si tiene, determinad y clasificad los extremos relativos.

b) Calculad la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisax = 1.


Durante la última epidemia de Ébola se consideró que, sin intervención, el virus sepropagaba aumentando en un 3 % diario el número de afectados. Suponed que enuna población, hoy, hay 25 personas infectadas.

a) Escribid la fórmula de la función que da el número de personas infectadasconforme pasan los días. ¿Cuántas personas estarán infectadas al cabo de 20días?

b) A partir de una fecha determinada, en esta población se aplican unas medidassanitarias que permiten que el número de personas infectadas disminuya segúnla función g(x) = 1000 · (0, 95)x. Si consideramos controlada la epidemia cuandoel número de afectados es igual o inferior a 10 personas, ¿cuántos días deberánpasar después de aplicar las medidas sanitarias para poder declarar controladala epidemia?


APLICACIONES.


Un hotel cobra 45e por habitación y noche. Por este precio, tiene ocupadas 165habitaciones cada noche. Se ha hecho un estudio a partir del cual se ha deducidoque, por cada euro que se suba el precio de la habitación, se ocupará una menoscada noche.

a) Si x es la cantidad que se aumenta el precio de la habitación por encima de los45e iniciales, determinad la función que da los ingresos diarios del hotel segúnel valor de x. Indicad también los ingresos máximos que puede obtener el hotel.

b) Indicad entre qué precios obtendrá ingresos el hotel.


Determinad los valores de a, b y c que hacen que la función f (x) = x3 + ax2 + bx+ cpase por el punto (0, 4) y tenga extremos relativos en los puntos de abscisa x = 1 tx = 3. Clasificad estos extremos.


Se ha observado que el número de entradas que se venden en el cine de un puebloestá relacionado con el sueldo medio x de la población, expresado en miles deeuros, según la función:

N(x) =50x

x2 + 1

a) Determinad el sueldo medio de la población que corresponde a la máxima ventade entradas y justificad la respuesta.

b) Si suponemos que los sueldos de la población crecen indefinidamente, ¿cómoincidiría este hecho en la venta de entradas del cine?


Un árbol tiene un volumen de 30 m3 y, por la calidad de su madera, se vende a50e por metro cúbico. Cada año el árbol aumenta el volumen en 5 m3. Al mismo


tiempo, la calidad de la fusta del árbol disminuye, y también el precio, que cada añoes un euro por metro cúbico más barato. ¿De aquí a cuántos años conseguiremosel máximo de ingresos por la venta de la madera del árbol? ¿Cuáles serán estosingresos?


Considerad la función f (x) =2x + 2

x2 − x + 2.

a) Escribid la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de cortecon el eje de ordenadas.

b) Determinad los puntos de la curva en los que la recta tangente es horizontal.


La función derivada de una función f f ′(x) = e−2x · (x− x2).

a) Estudiad el crecimiento y el decrecimiento de la función f .

b) Si la función f tiene extremos relativos, indicad las abscisas y clasificadlos.


La función derivada de una función f f ′(x) = (x− 5) · e−2x.

a) Si tiene, determinad y clasificad los extremos de la función f .

b) Sabemos que la gráfica de f pasa por P(0, 2). Calculad la ecuación de la rectatangente a f en el punto P.


El precio, expresado en miles de euros, del rubí africano es el doble del cuadradode su peso en gramos, mientras que el precio del rubí tailandés es cuatro veces elcubo de su peso en gramos. Nos han enviado un paquete con dos rubíes, uno decada clase, que pesan en total 2 gramos.


APLICACIONES.

a) Si los dos rubíes pesasen lo mismo, ¿qué precio tendríamos que pagar?

b) ¿Cuánto debe pesar cada rubí para que el precio del paquete sea mínimo? ¿Cuáles este precio mínimo?


La gráfica adjunta muestra la función f ′, derivada de una función f .

a) Determinad en qué intervalos la función f es creciente y en qué intervalos esdecreciente. Si hay, clasificad los extremos de la función f .

b) Indicad para qué valores de x la recta tangente a f es horizontal.


Si un vendedor de artículos de lujo hace un descuento del 20 % sobre el precio deventa de un artículo, gana 1.848e sobre el precio de coste; si hace un descuento del50 %, pierde 420e.

a) Calcule el precio de coste y el precio de venta del artículo.

b) ¿Qué porcentaje aplica sobre el precio de coste para calcular el precio de venta?



Se han corregido unas pruebas de selectividad y se han puntuado con notas entre 0y 10. El número de personas que han recibido una determinada calificación x vienedado por la función N(x) = 250− (2x− 9)2.

a) ¿Cuántas personas han sacado un 10 en esta prueba? ¿Cuántas personas hansacado un 6?

b) ¿Cuál es la nota que han sacado más personas? ¿Cuántas personas han sacadoesta nota?


La función derivada de una función f es f ?(x) = e−x · (x− x2).

a) Estudie el crecimiento y el decrecimiento de la función f.

b) Si la función f tiene extremos relativos, indique sus abscisas y clasifíquelos.


Considere la función f (x) =x

x2 − 1.

a) Determine, si tiene, sus asíntotas horizontales y verticales.

b) Justifique que es decreciente en todo su dominio.


Sea la función f (x) = x · ex.

a) Si la función f tiene extremos relativos, determinadlos y clasificadlos.

b) Calculad la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.


APLICACIONES.


El precio en bolsa de uans acciones está definido por la función p(t) = 500 · e0,3t,donde t indica los años transcurridos a partir del momento presente.

a) Si vendemos las acciones de aquí a un año, ¿qué porcentaje de beneficio obten-dremos?

b) ¿De aquí a cuántos años habremos conseguido doblar el precio de las acciones?


Los beneficios diarios, en centenares de euros, de un taller de bicicletas vienendados por la función f (x) = −20x2 + 50x − 20, donde x son los centenares debicicletas vendidas. El taller solo tiene capacidad para fabricar 200 bicicletas al día.

a) Calcule el beneficio máximo diario que puede obtener el taller.

b) Determine el mínimo número de bicicletas que debe fabricar para no tener pér-didas.


Considere la función f (x) =3x− 42x− 5

.

a) Indique su dominio y los puntos donde la gráfica de la función f corta el eje deabscisas.

b) Determine, si tiene, sus asíntotas horizontales y verticales.


Dada una función f, sabemos que f ?(x) = e−x · (2x2 − 3x).

a) Estudie el crecimiento y el decrecimiento de la función f.

b) Si la función f tiene extremos relativos, indique sus abscisas y clasifíquelos.



En los dos últimos años, el valor de las acciones en bolsa de una empresa ha bajadoun 20 % anual.

a) Este año, en cambio, las acciones han subido un 30 %. ¿Cuál es el porcentajeglobal de pérdida en estos tres años?

b) ¿Cuál debería de ser el porcentaje de ganancias de este tercer año si el balanceglobal de los tres años acaba siendo equilibrado, es decir, sin pérdidas ni ganan-cias?


La demanda de energía eléctrica de una ciudad, contada a partir de la medianoche

y hasta las ocho de la mañana, viene dada por la función f (t) =t2 − 6t + 12

6, donde

t se expresa en horas (h) y f (t), en millones de kilovatios hora (kW h).

a) ¿A qué hora el consumo coincide con el de la medianoche, y cuál es este con-sumo?

b) ¿A qué hora se dará el mínimo consumo? Justifique que, efectivamente, se tratade un mínimo.


Un equipo científico ha estudiado la evolución de la población de una pequeña islade la Polinesia. Como conclusión, ha determinado que, para obtener una buenaestimación de la población, debe de utilizarse la expresión P(t) = 400 + 18t− 6t

32 ,

donde t indica los años transcurridos desde el principio del estudio.

a) Determine la población de la isla cuando empezó el estudio, y al cabo de unaño. ¿Cuál ha sido la tasa de crecimiento en este período?

b) ¿Al cabo de cuántos años desde el principio del experimento dejó de crecer lapoblación de la isla? ¿Cuál fue el número máximo de habitantes?


APLICACIONES.


En un huerto hay plantados 50 manzanos. Cada árbol produce 800 manzanas. Porcada árbol adicional que plantamos, la producción de cada árbol se reduce en 10manzanas. ¿Cuántos árboles más debemos plantar para obtener la producción másalta posible? ¿Cuál es dicha producción?


Los beneficios de una compañía de transporte de viajeros se describen por la fun-ción B(x) = ax2 + bx+ c, donde x es el precio que la compañía cobra por cada viaje.Sabemos que si cobran 40e por viaje, los beneficios son de 19.000e. Además, si au-mentamos el precio un 25 %, el beneficio que se obtiene es el máximo, de 20.000e.Teniendo en cuenta estos datos, determine los valores de a, b y c.


Determine los valores de los parámetros a, b y c que hacen que las curvas deecuación f (x) = x3 + ax + b y g(x) = x3 + cx2 − 2 tengan la misma recta tangenteen el punto (1, 1).


Dadas las funciones f (x) = x3 + 5x2 + (3 + k)x y g(x) = x2 + kx.

a) Determine las abscisas de los puntos de corte de las dos curvas.

b) Determine k para que la parábola dada por la función g tenga el vértice en elpunto de abscisa x = 2, y determine su ordenada.


Según unos estudios de laboratorio, la evolución de la población en un cultivo debacterias a lo largo del tiempo sigue la función f (t) = 30 · (1− e−t) + 10, dondet son los días que han transcurrido desde el inicio del experimento, y f (t) es lapoblación, en millones de bacterias.


1. ¿Qué población hay en el momento de empezar el experimento? Justifique sien algún momento se llegará a tener 40 millones de bacterias.

2. ¿Habrá algún momento en que la población sea máxima? Justifique la re-spuesta.


Tengo un problema: fabrico televisores de LED, que me dan un beneficio de 100ecadauno, y televisores de plasma, que me dan la mitad de beneficio unitario. No puedoproducir más de 30 televisores al día, y la diferencia entre la producción de los deLED y los de plasma es, como máximo, de cuatro unidades. ¿Cuántos televisoreshe de producir de cada clase para ganar lo máximo?


Consideremos las funciones f (x) = (x− a)3 y g(x) = −x2 + bx + c.

a) Determinad los valores de los parámetros que hacen que las dos curvas tenganla misma tangente en el punto (2, 1).

b) En el caso a = 1, haced una gráfica aproximada de la función f .


Consideremos la función f (x) =12x

.

a) Indicad el dominio y estudiad el crecimiento.

b) Calculad las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelasa la recta y + 3x = 2.


Disponemos de 48 cm2 de material para fabricar una caja de base cuadrada, sintapa. Calculad las dimensiones de la caja de volumen más grande que podemosconstruir en estas condiciones. ¿Cuál será el volumen de la caja?


APLICACIONES.


La población de bacterias en una muetras evoluciona según la función f (t) = −t2 +4t+ 12, donde t corresponde al número de semanas desde el inicio del experimento,y f (t) es el número de individuos que forman la muestra, en millones de unidades.

a) ¿Cuántas semanas han de pasar hasta la desaparición de la población?

b) ¿Cuál será el número máximo de individuos de la muestra, y al cabo de cuántassemanas se conseguirá?


Dada la función f (x) = x3 + ax2 + bx + c, determinad los valores de los tresparámetros sabiendo que la gráfica de la función pasa por el punto (1, 18) y quetiene extremos relativos para x = −2 y x = 4.


Consideramos la función f (x) =1

x2 + 3.

1. Escribid la fórmula de la función que a cada número real x le hace correspon-der la pendiente de la recta tangente a f en el punto de abscisa x.

2. Determinad la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto deabscisa x = −1.

Escriviu la fórmula de la funció que a cada nombre real, x, li fa correspondre elpen-dent de la recta tangent a fen el punt d?abscissa x.[1 punt]b)Determineu l?equacióde la recta tangent a la gràfica de fen el punt d?abscissa


Sobre la función f (x) =a

x2 + bx + cdisponemos de los datos siguientes:

Sus asíntotas verticales son x = −3 y x = 1.

Su gráfica pasa por el punto (0,−4).


a) Determinad la fórmula de la función y haced un dibujo aproximado de la gráficacorrespondiente.

b) En el caso a = 1, b = −2 y c = −1, determinad y clasificad, si existen, losextremos relativos de la función.


Un triángulo tiene los vértices O(0, 0), A(6, 0) y B(0.3).

a) Dibujadlo y escribid la ecuación de la recta que contiene el segmento AB.

b) Consideramos un punto P situado sobre el segmento AB, y dibujamos el rec-tángulo que tiene por diagonal OP y dos lados sobre los ejes de coordenadas.Determinad las coordenadas de P que hacen máxima el área del rectángulo.


Un estudio de laboratior sobre la propagación de una especie de moscas muestraque, pasadas t semanas, el número de individuos es N(t) centenares de moscas,donde N(t) = −(t− 2)2 + 9.

a) ¿Cuántas moscas forman la población al cabo de una semana? ¿Cuántas sem-anas han de transcurrir hasta la desaparición total de las moscas?

b) ¿Cuál es la población máxima de individuos? ¿Cuántas semanas han tenido quepasar para obtener esta población máxima?


Determinad dos números enteros positivos que sumen 25, de manera que el dobledel cuadrado del primero sumado con el triple del cuadrado del segundo dé elmínimo valor posible.


Sabemos que la función f (x) = ax3 + +3x2 − bx − 13

pasa por el punto (1, 0), yque la recta tangente a la gráfica de la función en este punto es paralela a la recta


APLICACIONES.

12x− 2y = 3

a) Determinad los valores de los parámetros a y b

b) Para a = 1 y b = 9, determinad, si hay, las abscisas de los extremos posibles(máximos o mínimos) de la función y clasificadlos.


Considerad la siguiente función: f (x) =2x2

ax + 1

a) Determinad el valor de a que hace que la función f tenga un extremo en el puntox = 1, e indicad si se trata de un máximo o de un mínimo.

b) Para a = 3, indicad las asíntotas horizontales y verticales de la función f.


Una empresa que fabrica bicicletas vende la totalidad de la producción. Denom-inaremos x el número de bicicletas que fabrica mensualmente. Los costes mensu-ales de producción, en euros, siguen la función C(x) = 180x + 12000. La venta de

las bicicletas le reporta unos ingresos que siguen la función I(x) = 500x− 12

x2. Losbeneficios de la empresa son, lógicamente, la diferencia entre ingresos y costes.

a) ¿En qué intervalo hay que situar la producción para no perder dinero?

b) ¿Cuántas bicicletas ha de producir mensualmente la empresa para obtener elbeneficio máximo? En este caso, ¿cuánto gana por cada bicicleta?


Considerad la función f (x) = x− e−3x.

a) Indicad el dominio y demostrad que f es estrictamente creciente en todo eldominio.




Considerad la función f (x) = x− ln(x).

a) Indicad el dominio. Determinad la asíntota vertical de la función f .

b) Determinad los intervalos en los que la función f es creciente y los intervalosen los que es decreciente, y clasificad los extremos posibles.


Considerad la función

f (x) =

−x2 + 4, x < 0;1

x− 3, x ≥ 0;

a) Haced una representación gráfica aproximada. Justificad para qué valores de xla función es discontinua.



Un bosque tiene uan masa forestal de 40.000 m3 de madera. Se calcula que la lluviaácida y los incendios provocan una disminución del 6 % anual de la mencionadamasa forestal, que se puede expresar en términos de la función F(t) = 40.000 · 0, 94t,donde F(t) es la masa forestal que queda pasados t años.

a) Justificad que la función F es estrictamente decreciente.

b) ¿De aquí a cuántos años la masa forestal se habrá reducido a la mitad?


Considerad la función f (x) = x3 − ax2 + 9x + b:

a) Determinad a y b sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2, 2) y tiene unextremo en x = 1.


APLICACIONES.

b) Para a = 6 y b = 0, determinad los posibles máximos y mínimos de f y clasifi-cadlos.


Un fondo de inversiones pone en marcha un producto financiero que aporta unbeneficio de R(x) euros en hacer una inversión de x centenares de euros, según lafunción R(x) = −0, 01x2 + 4x + 20.

a) Calculad qué inversión produce más beneficios.

b) Calculad el porcentaje de beneficio que se obtendrá con una inversión de 1000e,y el que se obtendrá con una de 10000e.


Dada la siguiente función f (x) =x2

x2 − 1:

a) Determinad el dominio y los valores de x para los que el signo de la función fes negativo.

b) Determinad las asíntotas horizontales y verticales de la función f .


En una empresa artesana que puede producir hasta 25 sillas semanales, la función

de costes en relación con el número q de sillas producidas es C(q) =q3

100+ 4q + 20.

Si q es el número de sillas producidas, el coste medio de cada silla se expresa

mediante la función Q(q) =C(q)

q

a) Calculad el coste medio de cada silla, si la empresa produce 5 sillas. ¿Y si pro-duce 20?

b) Determinad cuántas sillas hay que producir para que el coste medio sea mínimo.Justificad que se trata efectivamente de un mínimo y calculad este coste medio.



Considerad el triángulo ABC que se muestra en la siguiente figura:

a) Escribid el sistema de inecuaciones que determinan el triángulo ABC y el inte-rior de este.

b) Indicad los puntos de la región indicada en los que la función z = 2x+ y alcanzael valor máximo.


Dada la siguiente función: f (x) =−4x2

x + 1

a) Determinad las asíntotas horizontales y verticales, si las tiene.

b) Encontrad los puntos de la curva en los que la recta tangente es paralela a larecta y = −3x + 4.


APLICACIONES.


Considerad la función f (x) = x · e−x.

a) Indicad los extremos relativos, si hay, y clasificadlos.

b) Escribid la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa 0.


En una explotación ganadera se declara una epidemia, y los veterinarios prevenque la propagación de esta seguirá la función f (x) = −2x2 + 48x + 162, en la quex representa el número de semanas que han transcurrido desde el momento de ladeclaración de la epidemia, y f (x) indica el número de animales afectados.

a) ¿Cuántos animales hay afectados en el momento de declararse la epidemia?¿Cuántas semanas durará la epidemia hasta el momento en el que ya no quedeningún animal afectado?

b) Indicad cuál será el número máximo de animales afectados, y en qué semana seproducirá.


Queremos construir el marco de una ventana rectangular de 100 dm2 de superficie.El coste de cada decímetro de marco horizontal es de 6e, mientras que el de cadadecímetro de marco vertical es de 24e. Calculad las dimensiones de la ventana paraque el marco nos salga tan barato como sea posible.


Considerad la siguiente función f (x) =x2 − 3x + 2

x2 :

a) ¿En qué punto de la curva la recta tangente a la gráfica de f es paralela a larecta x + y = 5?

b) Calculad las asíntotas horizontales y verticales de la función, si hay, y haced unesbozo de la gráfica de la función f .



Dada la función f (x) = x2 · ex:

a) Justificad si hay algún valor de x que verifique f (x) < 0. ¿Hay algún valor de xque cumpla f (x) = 0?

b) Indicad si la función f es creciente o decreciente en el punto x = −1. Estudiadel crecimiento de la función f para los valores que cumplen x > 0.


APLICACIONES.


Bibliografía y comentario final

Para la recopilación de los ejercicios de Selectividad de Catalunya he utilizadocomo fuente la web www.selecat.cat, que además de contener los enunciados, alojatambién las soluciones.

Por tanto, es una página útil para comparar las soluciones obtenidas una vezintentados los ejercicios por uno mismo. Os animo a ello.

¡Suerte!

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matemáticas aplicadas a las ciencias sociales ii ... · i sek - catalunya curso 2017/2018...

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