formulario de matemáticas aplicadas

Ing. Manuel Zamarripa Medina Formulario de Matemáticas 2011

1

FORMULARIO DE MATEMÁTICAS

Ing. Manuel Zamarripa Medina

Academia de Matemáticas

CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS

Industrial y de Servicios 33

yx

y

x

aa

a


2

Índice Contenido Pagina Operaciones aritméticas y teorema del binomio ------------------------------------- 3 Áreas y volúmenes --------------------------------------------------------------------------- 4 Símbolos matemáticos ----------------------------------------------------------------------- 5 Leyes de los exponentes -------------------------------------------------------------------- 6 Productos notables --------------------------------------------------------------------------- 6 Radicales ----------------------------------------------------------------------------------------- 6 Cambio de notación radical a potencia -------------------------------------------------- 6 Logaritmos --------------------------------------------------------------------------------------- 7 Factorización de polinomios ----------------------------------------------------------------- 8 Ecuación general de segundo grado ------------------------------------------------------- 8 Relaciones trigonométricas ------------------------------------------------------------------ 8 Identidades trigonométricas ----------------------------------------------------------------- 9 Teorema de Pitágoras -------------------------------------------------------------------------- 10 Funciones trigonométricas de dos ángulos ----------------------------------------------- 10 Fórmulas para el ángulo duplo -------------------------------------------------------------- 10 Fórmulas para el ángulo mitad -------------------------------------------------------------- 10 Valores de las funciones trigonométricas ------------------------------------------------ 10 Triángulos oblicuángulos ---------------------------------------------------------------------- 11 Fórmula de Herón de Alejandría para determinar el área de un triángulo ------- 11 Coordenadas cartesianas y polares en el plano ----------------------------------------- 11 Distancia entre dos puntos ------------------------------------------------------------------- 11 Coordenadas del punto que divide al segmento en una razón dada --------------- 11 Coordenadas del punto medio -------------------------------------------------------------- 11 Pendiente de una recta ------------------------------------------------------------------------ 12 Ángulo entre dos rectas ----------------------------------------------------------------------- 12 Cálculo del área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices 12 Formas de la ecuación de la línea recta ---------------------------------------------------- 12 Ecuación de la circunferencia ----------------------------------------------------------------- 13 Parábola -------------------------------------------------------------------------------------------- 13 Elipse ------------------------------------------------------------------------------------------------ 13 Hipérbola ------------------------------------------------------------------------------------------- 14 Rotación de ejes --------------------------------------------------------------------------------- 15 Análisis de la ecuación general de segundo grado --------------------------------------- 16 Progresión aritmética --------------------------------------------------------------------------- 16 Progresión Geométrica ------------------------------------------------------------------------- 16 Fórmulas de derivación ------------------------------------------------------------------------- 17 Máximos y mínimos relativos utilizando la primera y segunda derivadas ---------- 18 Fórmulas de integración inmediata ---------------------------------------------------------- 19 Integración por partes -------------------------------------------------------------------------- 20 Integral definida ---------------------------------------------------------------------------------- 20 Volúmenes de sólidos de revolución -------------------------------------------------------- 20 Graficas de funciones elementales ---------------------------------------------------------- 20 Alfabeto griego ------------------------------------------------------------------------------------ 22


3

Operaciones aritméticas

Teorema del binomio

Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

Áreas y volúmenes

Triángulo de Pascal Indica los coeficientes en el desarrollo de un binomio elevado a la enésima potencia. Por ejemplo observa que para (x + y)3 los coeficientes del desarrollo son: 1, 3, 3, 1; lo mismo que en el triángulo.

Dónde:

𝒏𝒌

𝒏!

𝒌! 𝒏−𝒌 !


4

Áreas y volúmenes

AB = área base a = apotema h = altura g = generatriz P = perímetro n = nº de grados


5

Símbolos matemáticos

menor o igual

que

2B 2 pertenece a B

por lo tanto

intervalo abierto

mayor o igual

que

no pertenece a

para todo [ ]

intervalo

cerrado

> mayor que

U conjunto

universal

incremento

]

intervalo semi

abierto ó semi

cerrado

< menor que

tal que

derivada

[

intervalo semi

abierto ó semi

cerrado

= igual a

A

B

A es

subconjunto de B

suma integral

diferente de

no es subconjunto

de

k

n 1

suma desde 1

hasta k

b

a

dx

integral definida

entre a y b

aproximado a

conjunto vacío

producto a b a implica b

infinito

unión

k

1

producto desde

1 hasta k

a b b implica a

Conjunto de

los números

reales

intersección

n Raíz enésima a

b

si y solo si

(a implica b y b

implica a)


6

Leyes de los exponentes:

zyxzyx aaaa

yx

y

x

aa

a

10 aaa

a mm

m

m

m

m

aa

1

nmnm aa )( nnn baab )(

n

nn

b

a

b

a

nn

a

b

b

a

Productos notables:

abxbaxbxax )())(( 2

222 2)( yxyxyx 222 2)( yxyxyx 22))(( yxyxyx

22 )())(( bdyxybcadacxdycxbyax

32233 33)( yxyyxxyx 32233 33)( yxyyxxyx

Radicales:

0b b

a

ab b

n

nn

n

n

n

b

a

a

aan n

Cambio de notación radical a potencia:

mnnmnmn m aaaa )()( /1/1/ √


7

Logaritmos Logaritmo de un número es el exponente a que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado; En:

102 = 100 Generalmente se utilizan dos sistemas de logaritmos:

a) Sistema de logaritmos vulgares o de base 10, y b) Sistema de logaritmos naturales o neperianos, cuya base es el número irracional e = 2.71828…

Notación para los logaritmos. Para distinguir los logaritmos vulgares de los naturales, cuando la base no se indica, se usa:

Loga u = Log u = log u (Logaritmos vulgares) loge u = ln u (Logaritmos naturales)

Reglas de los logaritmos de cualquier base:

1) log AB = log A + log B

2) log log A – log B

3) log An = n log A

4) log =

5) en todo sistema el logaritmo de la base es 1.

log 10 = 1 ; porque: 101 = 10

ln e = 1 ; porque: e1 = e

Siendo la base 10, el logaritmo de 100 es 2, porque 2 es el

exponente a que hay que elevar la base 10 para que de 100.


8

Factorización de polinomios:

)( zyxaazayax

))((22 yxyxyx

))(()(2 bxaxabxbax 222 )(2 yxyxyx 222 )(2 yxyxyx

))(()( 22 dycxbyaxbdyxybcadacx

)2)(( 2233 yxyxyxyx

Ecuación general de segundo grado

a

acbbx

2

42

Relaciones trigonométricas

SEN A=.

.

HIP

OC

COS A=.

..

HIP

AC

TAN. A=..

..

AC

OC

COT. A=..

..

OC

AC

SEC. A=..

.

AC

HIP

CSC. A=..

.

OC

HIP

)2)(( 2233 yxyxyxyx

A = ángulo CA = cateto adyacente CO = cateto opuesto HIP = hipotenusa

CO

CA

HIP

A


9

Identidades trigonométricas: Identidades reciprocas

1.- SEN A=ACSC.

1

2.- COS A=ASEC.

1

3.- TAN A=ACOT.

1

4.- COT A=ATAN.

1

5.- SEC A=ACOS.

1

6.- CSC A=ASEN

1

7.- TAN A=

8.- COT A=


10

Teorema de Pitágoras: 222 cba

√

√

√

Funciones trigonométricas de dos ángulos:

asenbbsenabasen coscos)(

senasenbbaba coscos)cos(

)cot( baba

ba

cotcot

1cot.cot

asenbbsenabasen coscos)(

senasenbbaba coscos)cos(

ba

baba

tantan1

tantan)tan(

ab

baba

cotcot

1cotcot)cot(

aaa cossen22sen

Fórmulas para el ángulo duplo: aaa 22 sencos2cos

a

aa

2tan1

tan22tan

cot2a=a

a

cot2

1cot2

Fórmulas para el ángulo mitad:

2

cos1

2cos

aa

2

cos1

2

aasen

a

aa

cos1

cos1

2tan

b

c a

Valores de las funciones trigonométricas


11

Triángulos oblicuángulos:

Ley de los senos:

C

c

B

b

A

a

sensensen

Ley de los cosenos:

Abccba cos2222

Baccab cos2222

Cabbac cos2222

Fórmula de Herón de Alejandría para determinar el área de un triangulo:

))()(( csbsassA Siendo s = semiperimetro

2

cbas

Coordenadas cartesianas y polares en el plano

cosrX

senrY

22 yxr

x

ytan 1

Distancia entre dos puntos:

2

12

2

12 )()( xxyyd

Coordenadas del punto que divide al segmento en una razón dada:

)( 121 xxrxx

)( 121 yyryy

Coordenadas del punto medio:

2;

2

2121 yyY

xxX mm

A

C

B A

C

B c c

b b a

a


12

Pendiente de una recta:

12

12

xx

yym

Ángulo entre dos rectas

12

12

1 mm

mmtan

Cálculo del área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices.

11

33

22

11

yx

yx

yx

yx

Para cualquier número de vértices. Recuérdese que la primera fila se repite en la última; El área así obtenida es:

A = ½ (x1y2 + x2y3 + x3y1 – x1y3 – x3y2 – x2y1)

Formas de la ecuación de la línea recta:

a) Punto – Pendiente:

)( 11 xxmyy b) Pendiente - Ordenada en el origen:

bmxy

c) Cartesiana:

12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

d) Reducida o abscisa y ordenada en el origen:

1b

y

a

x

- - - + + +

A = 1 2


13

e) Forma general de la ecuación de la recta: Ax + By + C = 0

f) Forma normal de la ecuación de la recta:

0sencos pwywx g) Dada la ecuación de la recta en su forma general, determinar la ecuación en su forma normal:

022222

BA

C

BA

BY

BA

AX

h) Distancia de un punto a una recta:

22

11

BA

CByAxd

Ecuación de la Circunferencia con centro (h,k).

222 )()( rkyhx

Forma general de la ecuación de la Circunferencia.

022 FEyDxyx

Parábola con vértice en el origen.

pxy 42 pyx 42

pLR 4 LR= p4

Directriz PX Directriz PY

Parábola con vértice (h,k).

22 )(4)( hxpky )(4)( 2 kyphx

LR= P4 P=FV

Directrices: (dependen de la distancia del vértice al foco).

Elipse con centro en el origen:

12

2

2

2

b

y

a

x


14

)0,();0,( cFOCOSaVÉRTICES

LR= 1;2 222

a

ba

a

ce

a

b

12

2

2

2

b

x

a

y

),0();,0( cFOCOSaVÉRTICES

LR= 1;2 222

a

ba

a

ce

a

b

Para ambas, se cumple con: 222 cba

Elipse con centro (h,k)

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

),();,( kchFOCOSkahVÉRTICES

1)()(

2

2

2

2

b

hx

a

ky

),();,( ckhFOCOSakhVÉRTICES

Para ambos casos, el lado recto y la excentricidad se calculan con las mismas expresiones que en elipse con centro en el origen.

Hipérbola Con Centro En El Origen:

12

2

2

2

b

y

a

x

)0,();0,( cFOCOSaVÉRTICES

xa

byASÍNTOTAS :

12

2

2

2

b

x

a

y

),0();,0( cFOCOSaVÉRTICES


15

xb

ayASÍNTOTAS :

Para ambas hipérbolas con centro en el origen, se cumple lo siguiente:

bac 22;

a

bLR

22 ,

a

ba

a

ce

22 ,

Hipérbola con centro (h,k)

1)()(

2

22

2

b

ky

a

hx

),();,( kchFOCOSkahVÉRTICES

:ASÍNTOTAS 0

b

ky

a

hx

1)()(

2

22

2

b

hx

a

ky

),();,( ckhFOCOSakhVÉRTICES

;ASÍNTOTAS

0

b

hx

a

ky

Para ambas hipérbolas se cumple con las mismas expresiones utilizadas en la construcción de hipérbolas con centro en el origen.

Rotación de ejes:

Relaciones de rotación:

senYXX 'cos'

cos'' YsenXY

Los ejes 0X y 0Y son los ejes primitivos y 0X’ y 0Y’ los nuevos ejes, siendo 0 común a ambos sistemas; θ representa el ángulo de rotación. Suponiendo que (x, y) son las coordenadas de un punto P con respecto a los ejes primitivos, y (x’, y’) las coordenadas del mismo punto, respecto de los nuevos ejes. Para determinar x,y en función de x’, y’, θ, se tiene:

Y’

ᶿ 0

P ( x , y ) (x’, y’)

X

Y Y’

M N

ᶿ


16

Análisis de la ecuación general de segundo grado por medio de su discriminante (I). Representa una cónica del genero parábola, elipse o hipérbola, según que el discriminante I = B2 – 4AC sea cero, negativo o positivo.

042 ACB (Parábola)

042 ACB (Elipse)

042 ACB (Hipérbola)

Progresiones:

Una sucesión de números es un conjunto ordenado de números formados de acuerdo con una ley dada. El requisito esencial

para que exista una sucesión es que exista una ley o formula con la cual sea posible obtener cualquier elemento de la

sucesión.

Progresión aritmética:

Una progresión aritmética es una sucesión de números tal que cada uno de los términos posteriores al primero se obtiene

añadiendo al término anterior un número fijo llamado diferencia de la progresión.

Teorema 1: Si en una progresión aritmética a1 es el primer término, Tn es el enésimo término, d es la diferencia y Sn es la

suma de los n primeros términos, entonces tenemos las dos relaciones independientes.

dnaTn )1(1

))1(2(2

1 dnan

Sn

Progresión geométrica:

Una progresión geométrica es una sucesión de números tal que cualquier término posterior al primero se obtiene

multiplicando el término anterior por un número no nulo llamado razón de la progresión.

Teorema 2: si en una progresión geométrica a1 es el primer término, Tn es el enésimo término, r es la razón y Sn es la

suma de los n primeros términos, entonces tenemos las dos relaciones independientes.

1 narTn

r

araSn

1

r

raSn

n

1

)1(; SI r<1


17

Fórmulas de derivación:

1.- 0)( cdx

d

2.- 1)( xdx

d

3.- )()()()( wdx

dv

dx

du

dx

dwvu

dx

d

4.- dx

duccu

dx

d)(

5.- dx

duv

dx

dvuuv

dx

d)(

6.- 2v

dx

dvu

dx

duv

v

u

dx

d

7.- dx

du

cc

u

dx

d 1

8.- dx

du

u

c

u

c

dx

d2

9.- 1)( nn nxx

dx

d

10.- dx

dunuu

dx

d nn 1)(

11.- dx

due

uu

dx

dlog

1)(log

12.- dx

du

uu

dx

d 1)(ln

13.- dx

duaaa

dx

d uu ln)(

14.- dx

duee

dx

d uu )(

15.- dx

duusenu

dx

dcos)(

16.- dx

dusenuu

dx

d)(cos

17.- dx

duuu

dx

d 2sec)(tan

18.- dx

duuu

dx

d 2csc)(cot

19.- dx

duuuu

dx

dtansec)(sec

20.- dx

duuuu

dx

dcotcsc)(csc

Con v ≠ 0

Con a > 0

Con n ≠ -1

Con n ≠ -1


18

21.-dx

d

dx

du

uarcsenu

21

1)(

22.- dx

du

uu

dx

d

21

1)(arccos

23.- dx

du

uu

dx

d21

1)(arctan

24.- dx

du

uuarc

dx

d21

1)cot(

25.-

1

1)sec(

2

uuuarc

dx

d

dx

du

26.- dx

du

uuuarc

dx

d

1

1)csc(

2

27.- derivada de una función de función

Máximos y mínimos relativos utilizando la primera y segunda derivadas

Un máximo y un mínimo no son necesariamente el mayor ni el menor valor de la función, por eso se les denomina relativos, porque no son los de mayor o menor ordenada de la grafica completa de la función.

Existen dos procedimientos para obtener los máximos y mínimos relativos: A. Criterio de la primera derivada

1) Se calcula la primera derivada 2) El resultado se iguala a cero y se resuelve la ecuación, las raíces x1, x2, x3,... Son los valores

críticos, para los cuales la función puede tener un máximo, un mínimo, o no existir ninguno de los dos.

3) Analizamos en f ´ (x); sea la raíz x1 ; si para un valor de x < x1 se tiene que f ’ (x) es (+) , y para un valor de x>x1 f ’ (x) es (-) , la función tiene un máximo. Si pasa de negativa a positiva, la función tiene un mínimo. En forma semejante se analizan las otras raíces.

4) Si la derivada pasa de positiva a positiva o de negativa a negativa, no existe en ese punto un máximo o mínimo.

5) Para calcular la coordenada “y” de los puntos críticos, se sustituyen los valores de x en la función original.

B. Criterio de la segunda derivada

1) Se hallan primera y segunda derivada 2) Se iguala a cero la primera derivada y se resuelve la ecuación. 3) se sustituyen las raíces de la primera derivada en la segunda, si la segunda derivada es

negativa, existe máximo, si ésta es positiva, existe un mínimo. 4) Los valores máximo y mínimo de la función se calculan sustituyendo en la función las raíces de

la primera derivada. 5) Si la segunda derivada es cero, nada se puede decir sobre si habrá máximo o mínimo, o no

habrá ni máximo ni mínimo.


19

Fórmulas de integración inmediata

1.- wdxvdxudxdxwvu )(

2.- udxaaudx siendo a = constante

3.- cudu ó también cxdx

4.- cn

uduu

nn

1

1

con n ≠ -1

5.- cuu

du ln

6.- ca

adua

uu ln

7.- cedue uu

8.- cuduusen cos

9.- csenuduucos

10.- cuduu tansec2

11.- cuduu cotcsc2

12.- cuduuu sectansec

13.- cuduuu csccotcsc

14.- cuduu seclntan

15.- cusenduu lncot

16.- cuuduu tanseclnsec

17.- cuuduu cotcsclncsc

18.- ca

uarc

aua

du

tan1

22

19.- cau

au

aau

du

ln2

122

20.- cua

ua

aua

du

ln2

122

21.- 22 ua

du= c

a

usenarc

22.-

23.- ca

usenarcauauduua

22222

2

1

2

1

cauuau

du

22

22ln


20

24.- cauuaauuduau 2222222 ln

2

1

2

1

25.- ca

uarc

aauu

du

sec

1

22

26.- cauuua

du

22

22ln

27.- cauuaauuduau 2222222 ln

2

1

2

1

Integración por partes

vduuvudv

Integral definida

)()()( aFbFdxxfb

a

F(x) es la Primitiva

Volúmenes de sólidos de revolución

dxyVb

a 2 Alrededor del eje x

dyxVb

a 2 Alrededor del eje y

Graficas de funciones elementales Lineal Constante La gráfica es una línea con pendiente 0 y es paralela al eje de las “x”

Forma: y = k Siendo k una constante Ejemplo: y = 3

Lineal Identidad Para cada número real, la función tomara el mismo valor, su pendiente siempre será

1 (ángulo de 45°) y pasa por el origen.

Forma: y = x

y = 3

y = x

x

y

x

y


21

Lineal

Pendiente – Ordenada al Origen

Forma: y = mx + b Siendo: m = pendiente b = ordenada al origen

Ejemplo: y = 2x - 3

Cuadrática

Se expresan mediante un polinomio de segundo grado y se representan gráficamente mediante parábolas.

Forma: y = ax2 + bx +c Ejemplo: y = 2x2 + 3x + 5

Polinómica de 3er Grado

Se expresan mediante un polinomio de tercer grado, estas funciones tienen como dominio y rango al conjunto de los números reales

y = ax3 + bx2 + cx + d Ejemplo: y = x3 + 2x

Logarítmica

Formas: y = log x y = ln x Ejemplo: y = ln x

y = 2x - 3

y = 2x2 + 3x + 5

y = x3 + 2x

y = ln x


22

Exponencial

Formas: y = ax y = ex Ejemplo: y = ex

Trigonométricas

Directas

y = sen x

y = cos x

y = tan x

Alfabeto griego

y = ex

Se presenta el alfabeto griego: las tres columnas representan las mayúsculas, minúsculas y nombre.

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