las matemÁticas aplicadas

P R O Y E C T O E D U C A T I V O D E

F O M E N T O A L A I N V E S T I G A C I Ó N Y

L A S M A T E M Á T I C A S A P L I C A D A S

PRELIMINARES...........................................................................................0PRESENTACIÓN Y OBJETIVOS.................................................0.2S21......................................................................................................................0.4INTRODUCCIÓN........................................................................0.5 FUNDAMENTOS........................................................................................21. CONJUNTOS NUMÉRICOS.........................................................21.1 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES........21.2 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS...............31.3 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES......41.4 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES.51.5 POTECIACIÓN RADICACIÓN LOGARITMACIÓN..112. AXIOMAS RELATIVOS A LOS NÚMEROS.....................163. EXPRESIONES ALGEBRAICAS...............................................174. ECUACIONES.......................................................................................255. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL..........................................27

0.1

Apreciado lector, en este e-book encontrarás los elementos teóricos y didácticos necesarios para atender el curso <Matemática Básica: Antesala al Cálculo Diferencial>. Este documento da apertura a las definiciones matemáticas, acompañadas de situaciones en contextos como la ingeniería, la medicina, las artes, las ciencias naturales o las ciencias sociales, además de problemas matemáticos en transversalidad con otras áreas de conocimiento; de modo que en los diferentes encuentros formativos puedas realizar una exploración teórica por los nuevos escenarios que te ofrecerá el campo de la matemática aplicada. Conjuntamente, se pretende afianzar los conocimientos subyacentes en tí y suscitar el interés por el trabajo autónomo y el autodidactismo, competencias necesarias para el desenvolvimiento académico universitario.

De manera análoga, los encuentros de clase propondrán ejercicios o actividades de este documento, a fin de reafirmar la conceptualización y desarrollar ciertas habilidades que te permitan poner en práctica lo aprendido, por lo que se te pide sigas las indicaciones establecidas a efecto de lograr los objetivos del curso.

Que los participantes del curso adquieran los conocimientos y desarrollen sus habilidades en torno a un panorama exploratorio y general de las matemáticas aplicadas a diversos contextos, concientizandose del papel que ellas tienen en la construcción del conocimiento científico y el desarrollo tecnológico.

Enriquecer y ampliar la visión del aspirante universitario hacia otras áreas de interés y propuestas de educación superior en el país. Además de fortalezcer sus conocimientos y desarrollar sus competencias matemáticas de nivel superior.

P R E S E N T A C I Ó N

O B J E T I V O S E S P E C Í F I C O S

0.2

S21 es un proyecto de divulgación académica, que por medio de sus simposios de matemáticas SM19 y SMMXX y sus estrategias de comunicación digital, ha visualizado desde el año 2019, la meta de llegar a los bachilleres y universitarios de Colombia y, comunicar la importancia de la investigación como medio para la producción del nuevo conocimiento, además de suscitar interés vinculando su público objetivo, en torno a la discusión de ejes temáticos de vanguardia y actualidad investigativa en matemáticas, como enlace entre la educación media y la educación superior. Conjuntamente, este proyecto se concibe a través de la interdisciplinariedad y en relación al panorama académico e investigativo de la región y el mundo.

Las diferentes metodologías de este proyecto educativo han incluído encuentros investigativos y trabajo colaborativo en jornadas de investigación con universidades como la Universidad Santo Tomás (USTA); el Observatorio Socio-Económico de Santander, así como, grupos de investigación, semilleros y el respaldo de profesionales adscritos a Universidades como la Universidad Pontificia Bolivariana (UPB); la Universidad Autónoma de Bucaramanga (UNAB); la Universidad de Santander (UDES) y la Universidad Industrial de Santander (UIS). Es así como, por medio de conferencias, ponencias, conversatorios, foros y desarrollo de proyectos de investigación desde la educación media vocacional, el S21 ha logrado consolidarse como un proyecto con una visión definida, y se ha perfilado en forma diferenciadora en el contexto educativo santandereano.

Con esta entrega, el S21 continúa materializando sus propósitos de cara a la educación del siglo XXI, convencidos de que la utilización de todos los recursos tecnológicos y digitales que ofrece nuestro tiempo, deben ponerse al servicio de una educación más democrática. El crecimiento de estas intenciones continuará, siguiendo la directriz marcada en el año 2020 donde el simposio SMMXX registró un promedio de 6000 conexiones por sesión, a través de sus canales digitales y redes sociales del simposio de matemáticas, incluso, logrando reportar la conexión desde países como Bélgica, Inglaterra y Estados Unidos.

S 2 1

0.4

Actualmente, la bibliografía correlacional en educación STEM acrónimo de <Science, Technology, Engineering & Mathematics> o <Ciencia, Tecnología, Ingeniería y Matemáticas>, adquiere mayor fuerza y revelancia con el progreso de las TIC (tecnologías de la información y la comunicación), así como la amplia oferta de recursos para la investigación científica online. Conjuntamente, se abren paso nuevas tendencias a favor del desarrollo de este fecundo campo de acción, ya que la educación para la formación científica se muestra como una opción favorable en el desarrollo de proyectos que respondan a la solución de problemas tecnológicos, sociales y económicos del país. Con este espacio formativo en <Matemáticas Básicas: Precálculo> buscamos virar la tendencia del bachillerato clásico cuya formación no responde directamente a las necesidades de aspirante al ciclo universitario, especialmente en ingeniería, economía y finanzas, además de las necesidades del cambiante mercado laboral actual. Es así como, las acciones en el contexto de la presente entrega, incursionan en esta esfera académica y formativa, atendiendo de manera complementaria al objetivo específico de suscitar la reflexión sobre el papel del enfoque STEM en la educación actual, desde la vinculación a las necesidades de nuestro público objetivo, a saber: <aspirantes al ciclo de formación superior>.

A lo largo de la presente publicación encontrarás definiciones matemáticas; teoremas; algoritmos; demostraciones; representaciones gráficas, estudios de caso, así como, referencias en torno a literatura científica, cubriendo diversos ejes temáticos esenciales en el panorama general de la ciencia y en relación a la matemática pura, definidas como disciplinas posibilitadoras del entendimiento de los fenómenos, procesos y mecanismos, que posibilitan el progeso tecnológico e industrial de una sociedad.

Además, el presente e-book, como recurso educativo, facilita el proceso de aprendizaje y está escrito un poco igual a lo que se orienta en clase delante de un tablero, poniendose en el lugar del estudiante y haciendo eco de sus presumibles dudas, preguntas y confusiones.

I N T R O D U C C I Ó N

0.5

2

FUNDAMENTOS

Estructura del documento1:

1. Conjuntos numéricos* 1.1 El conjunto de los números Naturales (ℕ) 1.2 El conjunto de los números Enteros (ℤ) 1.3 El conjunto de los números Racionales (ℚ) 1.4 El conjunto de los números irracionales (𝕀) 1.5 El conjunto de los números Reales (ℝ) 1.6 Potenciación, Radicación y Logaritmación 2. Axiomas relativos a los números 3. Expresiones Algebraicas*

3.1 Lenguaje Algebraico 3.2 Teoría de Polinomios

4. Ecuaciones* 5. Descomposición Factorial – Factorización*

6.1 Factor común 6.2 Factorización de trinomios cuadrados 6.2.1 Trinomio cuadrado perfecto 6.2.2 Diferencia de cuadrados 6.3 Factorización de Trinomios de la forma 𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 6.4 Factorización de Trinomios de la forma 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 6.5 Factorización de una suma o diferencia de dos Cubos 6.6 División Sintética

El diseño de guías facilita el proceso de aprendizaje y esta n escritas un poco igual a lo que se orienta en clase delante de un tablero, poniendose en el lugar del estudiante y haciendo eco de sus presumibles dudas, preguntas y confusiones, intentando explicar esas dudas, responder a las preguntas y aclarando las confusiones. Por todo eso creo que esta metodología le permitira estudiar por sí mismo y le ayudara a comprender de forma correcta los conceptos principales del Ca lculo, además de optimizar su tiempo en clase, ya que prescinde de una total dependencia de sus apuntes personales.

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Es apropiado abordar el estudio del cálculo entendiendo los fundamentos de los diferentes conjuntos numéricos, para ello el lector puede basarse en el siguiente diagrama:

Este cuadro nos muestra como se van ampliando los conjuntos numericos desde el conjunto de los numeros naturales hasta llegar a los numeros complejos. 1.1 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (ℕ) Entendemos por número la expresión de un valor, la cuantificación de una magnitud.

1 Los elementos referenciados con un (*) son componentes imprescidibles del documento, es decir, son los incisos en los cuales el estudiante debe profundizar de acuerdo a los requerimientos del curso en torno al desarrollo de las habilidades y competencias elementales pretendedias a fortalecer.

3

Los números naturales expresan valores referentes a cosas enteras, no partidas, los números naturales van de uno en uno desde el 0, no admiten la partición de las unidades, y solamente expresan valores positivos.

ℕ = {1; 2; 3; 4; 5; 6;… }

Aunque el cero no es un numero natural, muchas veces es necesario “agregarlo” a ℕ, en ese caso, el conjunto se simboliza ℕ! y se lo denomina “naturales con el cero” o simplemente “ene sub-cero”.

ℕ! = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;… }

1.2 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (ℤ)

En las operaciones de numeros naturales se ve la imposibilidad de resolver una diferencia en la que el minuendo2 es menor que el sustraendo3, por ejemplo: 5 – 9 no tiene solucion en ℕ. Para poder resolver estas diferencias se crean los numeros negativos. En la recta numerica se ubican a la izquierda del cero:

El conjunto de los numeros enteros resulta de unir los naturales con el cero y los negativos: ℤ =ℤ" ∪ ℕ!. Entonces: ℤ$: 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠(𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠), ℤ": 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠. Por lo tanto podemos escribir:

ℤ = ℤ" ∪ {0} ∪ ℤ$.

VALOR ABSOLUTO DE NUMEROS REALES

El valor absoluto de un numero real 𝑎, denotado como |𝑎|, es la distancia sobre la recta real desde 𝑎 hasta 0 , por tanto siempre |𝑎| ≥ 0. Ejemplos:

OPERACIONES EN ℤ:

• SUMA: - Si se tienen dos numeros de signos iguales, entonces se suman sus valores absolutos y se deja el

mismo signo. Ejemplo: −7 − 3 = −10 - Si se tienen dos numeros de signos diferentes, entonces se restan sus valores absolutos y se deja el

signo del numero de mayor valor absoluto. Ejemplo: −4 + 6 = 2

Ejemplo: −15 + 30 − 25 + 5 + 2 aplicando la propiedad distributiva, se agrupan números del mismo signo. = 30 + 5 + 2 − 15 − 25 = 37 − 40 = −3

2 Minuendo: cantidad de la que debe restarse otra. 3 Sustraendo: cantidad a restar del minuendo.

4

• MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN: - Se multiplica o divide el valor absoluto de los numeros y el signo del resultado se asigna de acuerdo a la ley de los signos para el producto:

+∗ += + −∗ −= + +∗ −= − −∗ += +

Ejemplos: (−𝟓)(−𝟑)(𝟐)(−𝟒) = −𝟏𝟐𝟎(−𝟏𝟔) ÷ (−𝟒) = 𝟒

1.3 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES (ℚ)

Si bien al introducir los numeros negativos se da solución al problema de la resta, aun subsiste el problema para el cociente4, ya que, por ejemplo 7:3 no tiene solucion en el conjunto de los numeros enteros. Para dar solucion a los cocientes donde el dividendo no es multiplo del divisor se crean los numeros fraccionarios.

El conjunto de los numeros enteros unido al de los fraccionarios forma el conjunto de los numeros racionales, Este conjunto, a diferencia de los conjuntos ℕ y ℤ no es discreto5, ya que entre dos numeros cualquiera existe un numero infinito de numeros racionales.

1.3.1 OPERACIONES EN ℚ:

Las reglas basicas para la suma y el producto de fracciones son la siguientes:

𝑎𝑏 +

𝑐𝑑 =

𝑎𝑑 + 𝑏𝑐𝑏𝑑

𝑎𝑏 ∗

𝑐𝑑 =

𝑎𝑐𝑏𝑑

El cociente se resuelve multiplicando el dividendo por el recíproco o inverso del divisor:

𝑎𝑏 ÷

𝑐𝑑 =

𝑎𝑏𝑐𝑑=𝑎𝑑𝑏𝑐

La potenciacion puede hacerse en el conjunto de los numeros racionales para base racional y exponente entero:

4 Cociente: cantidad producida por la división de dos números. 5 En oposición a la matemática continua, que se encarga del estudio de conjuntos infinitos, la matemática discreta estudia estructuras cuyos elementos pueden contarse uno por uno separadamente.

5

a) Si el exponente es natural:

U𝑎𝑏V

%=𝑎%

𝑏% b) Si el exponente es negativo:

U𝑎𝑏V

"%=𝑎"%

𝑏"% =1𝑎%1𝑏%

=𝑏%

𝑎%

1.3.2. EXPRESIONES DECIMALES

Puede darse una expresion decimal para los numeros racionales, por ejemplo:

12 = 0,5

38 = 0,375

Para expresar una fraccion como numero decimal es suficiente efectuar el cociente entre el numerador y el denominador, pero hay fracciones que originan expresiones cuyas cifras decimales se repiten infinitamente, como por ejemplo:

13 = 0,333333333333333333333333333333…

2037 = 0,54054054054054054054054054054…

Estas expresiones reciben el nombre de expresiones decimales periodicas.

1.4 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES (𝕀)

Si un numero tiene una cantidad finita de cifras decimales o tiene infinitas cifras decimales periodicas es un numero racional. Pero existen números que, aunque tienen infinitas cifras decimales, estas no forman período, por ejemplo:

0,1234567891011121314151617181920... (las cifras decimales son la sucesion de numeros naturales);

0,1011001110001111000011111..... (las cifras decimales son una sucesion de un uno y un cero, luego, dos unos y dos ceros, tres unos y tres ceros, etc.)

Estos numeros no son racionales pues es imposible encontrar un período y por lo tanto no se pueden escribir como fraccion ordinaria, estos números se denominan irracionales.

Pero estos numeros pueden aparecer como solucion de ecuaciones, por ejemplo, la ecuacion 𝑥& =2 tiene solucion irracional √2 = 1,414213562373095048801688724209…y se puede generalizar

6

diciendo que todas las raíces enesimas no exactas son irracionales. Estos numeros se denominan irracionales algebraicos. Ademas existen otros como el numero 𝜋 (relacion de la circunferencia al diametro) y 𝑒 (base de los logaritmos naturales) que no son irracionales algebraicos sino que se clasifican como irracionales trascendentes.

1.4.1 El NÚMERO (𝝅)

𝜋 = 3,14159265358979323846…

Es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es una de las constantes matemáticas más importantes que se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. Se conoce como un número irracional, por lo tanto es infinito, no puede expresarse como fracción de dos números enteros, también es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de con coeficientes enteros y no sigue ningún patrón predecible. Normalmente es representado con los dos primeros decimales: 3,14.

Con el número 𝜋 podemos calcular:

• Perímetros de circunferencias (conociendo el radio o el diámetro): 𝜋 ∙ 𝑑 = 2𝜋 ∙ 𝑟 • Áreas de círculos (conociendo el radio): 𝜋 ∙ 𝑟& • Áreas de esferas (conociendo el radio o el diámetro): 4𝜋 ∙ 𝑟& = 𝜋 ∙ 𝑑& • Volumen de esferas (conociendo el radio): 4/3 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟'

1.4.2 El NÚMERO (e)

𝑒 = 2,71828182845904523536…

Juega un papel importante en el cálculo y en el análisis matemático, sobre todo en la función exponencial. Es un número irracional, no expresable mediante una razón de dos números enteros y también es un número trascendente.

Una aplicación del número e es poder determinar en un asesinato el momento de la muerte. Es necesario aplicar la ley de Newton sobre el enfriamiento que establece que la velocidad a la que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno. Esto quiere decir que cuando un objeto está mucho más caliente que el aire exterior, su velocidad de enfriamiento y salta, de manera que se enfría muy rápidamente; cuando un cuerpo está un poco más caliente que su entorno, su velocidad de enfriamiento es baja y se enfría lentamente. Una persona viva no se enfría continuamente. El metabolismo humano asegura el mantenimiento de la temperatura del cuerpo alrededor de los 36 °C (98,6 ºF). Pero una persona fallecida deja de producir calor y, por tanto, comienza a enfriarse siguiendo la ley de Newton que se aplica con la fórmula matemática6:

𝑇 = 𝑇()*+ + (𝑇,-. − 𝑡()*+)/𝑒/∙1

EJEMPLO

Aplicaremos esta fórmula en el asesinato de una persona. Su temperatura en un momento dado después de su muerte era de 85 °F y la temperatura del aire era de 68 °F. A las dos de la madrugada

6 Donde T es la temperatura, t es el tiempo en horas después de media noche y k es una constante.

7

la temperatura del cuerpo había disminuido hasta los 74 °F. A partir de esto nos interesa determinar cuándo murió esta persona. Sabemos que la temperatura normal del cuerpo es de 98, 6 °F, se puede calcular el momento de su muerte operando así:

𝑇 = 𝑇()*+ + (𝑇,-. − 𝑡()*+)/𝑒/∙1 98,6 = 68 + (85 − 68)/𝑒!,3&!4∙1

98,6 − 68 = 17/𝑒!,3&!4∙1 30,6 ∙ 𝑒!,3&!4∙1 = 17 𝑒!,3&!4∙1 = 17/30,6 e!,3&!4∙5 = 0,5556

El siguiente paso puede aclararse atendiendo el inciso 1.6 de logaritmación: Se procede a aplicar la propiedad para el cálculo de logaritmos naturales. 0,5207 ∙ t = ln e!,3&!4∙5

Por tanto: 0,5207 ∙ t = ln 0,5556 t = ln 0,5556 /0,5207 𝑡 = −0,5878/0,5207

𝑡 = −1,13[ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠] = −68[𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠]

Con esto, Sabemos gracias a la ayuda del número e, que esta persona murió 68 minutos antes de las 12 de la noche, es decir, a las 22:52 ó 10:52 horas.

• En ingeniería, cuando se cuelga una cadena o un cable por los extremos, tiende a adoptar una forma en que se relaciona con la gráfica del número. La fórmula es la siguiente:

𝑦 =𝑒6 + 𝑒"6

2 • El carbono 14: para determinar de una manera aproximada la antigüedad de un objeto que está

formado por materia orgánica se mide la cantidad del carbono 14 que contiene. Los seres vivos tienen una cantidad de carbono 14 constante. Cuando un ser vivo muere esta cantidad se va desintegrando. La función que regula la desintegración se determina con la siguiente fórmula7:

𝑄 = 𝑄! ∙ 𝑒"!,!!!7&8∙1

• Absorción de los rayos X por la materia. También llamada Ley de Bragg-Pierce, dada por8:

𝐼 = 𝐼! ∙ 𝑒"9∙6

• Crecimiento exponencial: una de las numerosas aplicaciones en biología del número e es el crecimiento exponencial. Éste tipo de crecimiento surge cuando no hay factores que limitan el crecimiento. Pueden experimentar un crecimiento exponencial las especies pioneras que llegan, por ejemplo, a zonas despobladas como una superficie boscosa en recuperación después de un incendio. Para este tipo de crecimiento se aplica la siguiente fórmula9:

𝑁 = 𝑁! ∙ 𝑒1

• En economía se utiliza el número de para el cálculo de intereses compuestos. Entender el interés compuesto es imprescindible, puesto que es uno de los pilares básicos de las matemáticas financieras, y es también esencial para saber tomar decisiones en nuestras finanzas personales. La

•

7 Donde Q es la cantidad de Carbono 14 final, Q" es la cantidad de Carnono 14 inicial y t es el tiempo. 8 Donde I es la intensidad final del rayo después de atravesar el cuerpo, I" es la intensidad inicial de los rayos X, m es el coeficiente de absorción y x es el grosor del cuerpo. 9 Donde N es la población a determinar en un tiempo t a partir de la población inicial N".

8

aplicación del número e en este concepto se puede visualizar en el cálculo de interés compuesto en forma continua, dado por10:

𝐴 = 𝑃 ∙ 𝑒*∙1

1.4.3 EL NÚMERO (𝝓)

𝜙 = 1,61803398874989484820…

𝜙 es un número algebraico irracional, que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentran tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza.

(Esquema)11 El esquema se construye relacionando las medidas de uno de los lados de cada cuadrado siguiendo la sumatoria como lo describe la sucesión de Fibonacci, es decir comenzando con los números 0, 1, y a partir de estos, cada elemento es la suma de los dos anteriores. Conjuntamente, podemos obtener el número áureo 𝜙, de la siguiente manera:

Si 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 la proporción aurea sostiene que: ,(= 𝜙 = 1,61803… = (

:= ($:

(

Por ejemplo:

𝑆𝑖𝑎 = 34, 𝑏 = 21, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, '8&7≅ 1,61

𝑆𝑖𝑎 = 21, 𝑏 = 13, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠,2113 ≅ 1,61

𝑆𝑖𝑎 = 13, 𝑏 = 8, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠,138 ≅ 1,61

𝑆𝑖𝑎 = 8, 𝑏 = 5, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠,3421 ≅ 1,61

10 Donde P es el principal (capital), r es la tasa de interés nominal compuesta en forma continua, en un tiempo t dado en años, dando por igual A (cantidad acumulada al final de t años). 11 Esquema denominado “Rectángulo Áureo”

9

1.4.4 LOS NÚMEROS IRRACIONALES √𝟐 y √𝟑

√𝟐 = 𝟏, 𝟒 ; √𝟑 = 𝟏, 𝟕

Estos números irracionales se definen como:12

• √2 ∶ Geométricamente equivalente a la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado es igual a la unidad, lo cual se comprueba aplicando el teorema de Pitágoras y también es conocido como constante pitagórica.

• √3 ∶ Representa la altura de un triángulo equilátero de lado 2. También se conoce como constante de Teodoro nombrada en honor de Teodoro de Cirene.

1.5 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (ℝ): La unión del conjunto de los numeros racionales y el de los numeros irracionales da cabida al conjunto de los numeros reales.

El conjunto ℝ, al igual que ℚ es denso (o sea que entre dos reales siempre existe otro real), pero se diferencia de ℚ, en que, mientras que en el conjunto de los racionales quedaban “huecos” en la recta numerica, en los numeros reales esos huecos han sido ocupados por los irracionales, con lo que se puede afirmar que los reales cubren toda la recta numerica, es decir que:

“A cada numero real le corresponde un punto sobre la recta y a cada punto de la recta numerica le corresponde un numero real”.

A cada punto de la recta real le corresponde un unico numero real y cada numero real esta representado por un unico punto de la recta real.

EJEMPLOS

Clasificar los siguientes números al conjunto o conjuntos numéricos que pertenecen:

a) -12 b) 7

c) 5/8

d) √36

e) √−8!

f) √−16"

g) −3/4

h) 2, 25vvvv

i) ;"'&

j) √3 + 1

12 Es util aprender sus valores decimales apróximados para las Pruebas de Estado.

10

Solución:

Número ℕ ℤ ℚ 𝕀 ℝ

−12 = −121 ✓ ✓ ✓

7 =71 ✓ ✓ ✓ ✓

5/8 ✓ ✓

√36 = 6 =61 ✓ ✓ ✓ ✓

√−8! = −2 = −21 ✓ ✓ ✓

√−16" No tiene solución en el conjunto de los números reales, no es un número ℝ13

−3/4 ✓ ✓

2, 25vvvv =225100 =

4520 =

94 ✓ ✓

𝜋 − 32 ✓ ✓

√3 + 1 ✓ ✓

EJERCICIO DE CLASE

Clasificar los siguientes números al conjunto o conjuntos numéricos que pertenecen:

Número ℕ ℤ ℚ 𝕀 ℝ

−5 4,82

5/8

3𝜋

−√81

√−81

−3/2

3, 33vvvv

−1 + √52

√49 + 1

0,1223334444…

13 Puede remitirse al inciso 1.6.2. Los números imaginarios.

11

√32

𝑒 + 3

−204

1.6 RADICACIÓN, POTENCIACIÓN Y LOGARITMACIÓN

Ejemplo: de una multiplación de factores iguales podemos apreciar que 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125 Factores → Producto

Potenciación Radicación Logaritmación 𝒂𝒏 = 𝒃 𝟓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓 √𝒃𝒏

= 𝒂 √𝟏𝟐𝟓𝟑 = 𝟓 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒏 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟏𝟐𝟓

= 𝟑 Se multiplica la base por sí misma el número de veces que indica el exponente. Donde a (base), n (exponente), b (potencia).

Se busca el valor de la base. Donde n (índice del radical), b (radicando), a (raíz).

Se busca el exponente. Donde a (base), b (potencia), n (logarítmo).

1.6.1 RADICALES

La definicion de raíz enesima de un numero real es: √𝑎% = 𝑏 ⟺ 𝑏% = 𝑎𝑛 ∈ ℕ

Se llaman radicales a las expresiones formadas por el signo radical y una expresion numerica y/o literal debajo del mismo. Esa expresion se denomina radicando.

La radicación procede de la siguiente forma:

�𝑎𝑏

%=𝑐𝑑 ⟺ U

𝑐𝑑V

%=𝑎𝑏

Además:

�𝑎𝑏

%= √𝑎%

√𝑏%

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

Propiedad Ejemplo √𝑎% ∙ √𝑏% = √𝑎 ∙ 𝑏% √32" ∙ √8" = √256" = 4 � √𝑎% �

9= √𝑎9% �√27! �

&= �27&!

= √729! = 9 √𝑎%

√𝑏% = �𝑎𝑏

% √8!

√27! = � 827

!=23

�√𝑎%&= √𝑎&∙% �√32!(

= √32) = 2

�𝑎 ± 𝑏% ≠ √𝑎% ± √𝑏%

12

EXTRACCIÓN DE FACTORES FUERA DEL RADICAL

Teniendo en cuenta las propiedades de la radicacion, podemos extraer fuera del radical aquellos factores del radicando que figuren con un exponente mayor o igual que el índice de la raíz.

Ejemplos:

a) √𝑎3 = √𝑎8 ∙ 𝑎 = √𝑎8 ∙ √𝑎 = 𝑎&√𝑎 b) √81! = √38! = √3' ∙ 3! = √3'! ∙ √3! = 3 ∙ √3!

OPERACIONES CON RADICALES

SUMA ALGEBRAICA

Pueden presentarse dos casos: que los radicales sean semejantes o que no lo sean. En el primero de ellos se obtiene un radical semejante a los dados cuyo coeficiente es la suma algebraica de los coeficientes de los radicales dados. En el segundo caso, simplemente la operacion se deja indicada.

Ejemplos:

a) 3√2𝑥 + 5√2𝑥 − 6√2𝑥 = (3 + 5 − 6)√2𝑥 = 2√2𝑥 b) 4√2! − 11√2 + 5√2𝑎! = (𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜)

PRODUCTO (MULTIPLICACIÓN)

El producto de dos o mas radicales es otro radical que tiene por coeficiente al producto de los coeficientes de los dados y cuyo radicando esta formado por el producto de los radicandos de los dados, reducido a comun índice si es necesario.

Ejemplos:

a) 2√4! ∙ �−3√4! � ∙ �−4√4! � = 24√4'! = 24 ∙ 4 = 96 b) 2√3! ∙ √2 = 2√3&) ∙ √2') = 2√9 ∙ 8) = 2√72)

COCIENTE (DIVISIÓN)

El coeficiente y el radicando del resultado son, respectivamente, los cocientes de los coeficientes y de los radicandos dados (ordenadamente y despues de reducidos a comun índice si es necesario).

Ejemplos:

15 √3" ÷

14 √9" =

15 √3"

14 √9"

= �1514� ∙ �

39

"=45�13

"

13

2√2 ÷43 √2! = �

243� ∙ �

2'

2&)

=32 √2)

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES

En una expresion puede aparecer algun radical en el denominador, por ejemplo:

3𝑥√2𝑥

;2 + √32 − √5

;1

√2 + √7

Racionalizar el denominador de una expresion es encontrar otra expresion equivalente pero con denominador racional. Atienda a los siguientes tres casos:

Caso I: El denominador es un radical unico.

Ejemplo:

3√5

=3√5

∙√5√5

=3√55

Caso II. El denominador es la suma o diferencia de un numero real y un irracional cuadratico.

Ejemplo:

2𝑥√2 + 2

=2𝑥

√2 + 2∙√2 − 2√2 − 2

=2𝑥 ∙ �√2 − 2�

�√2�&− 2&

=2𝑥 ∙ �√2 − 2�

2 − 4 =2𝑥 ∙ �√2 − 2�

−2 = −𝑥 ∙ (√2 − 2)

Caso III. El denominador es una suma o diferencia de irracionales cuadráticos.

Ejemplo:

2𝑎√7 + √3

=2𝑎

√7 + √3∙√7 − √3√7 − √3

=2𝑎 ∙ �√7 − √3�

7 − 3 =2𝑎 ∙ �√7 − √3�

4 =𝑎 ∙ �√7 − √3�

2

POTENCIA DE EXPONENTE RACIONAL

La potencia de exponente racional se define de la siguiente forma:

𝑎9% = √𝑎9%

Toda potencia de exponente racional es igual al radical cuyo índice es el denominador del exponente y cuyo radicando es la base de la potencia elevada a un exponente igual al numerador del exponente dado.

Ejemplos:

14

𝑥&' = �𝑥&!

𝑎"7& =

1

𝑎7&=

1√𝑎

∙ √𝑎√𝑎

= √𝑎𝑎

La potencia de exponente racional goza de las mismas propiedades que la de exponente entero.

1.6.2 LOS NÚMEROS IMAGINARIOS (𝒊)

Algunas ecuaciones no tienen solución en los números reales tales como 𝑥& = −1 ya que para este caso no se puede determinar un numero real que multiplicado por si mismo tenga como resultado −1.

Sin embargo, si existe una solución de dicha ecuación en un nuevo sistema de números, que se denomina el sistema de números complejos; donde la columna vertebral de este nuevo sistema de números es la unidad imaginaria, o sea el número 𝑖. Las siguientes propiedades son verdaderas para el número 𝑖:

𝑖 = √−1 , es decir qué, 𝑖& = −1 , por lo cual 𝑖 es la solución de la ecuación 𝑥& = −1.

NÚMEROS IMAGINARIOS PUROS

El número 𝑖no está solo dentro del conjunto de los complejos, ya que puede crear una infinidad de números imaginarios puros. La siguiente tabla muestra ejemplos de números imaginarios puros, en sus formas no simplificada y simplificadas.

Forma no simplificada Forma simplificada √−16 4𝑖 −√−9 −3𝑖 √−5 √5𝑖

−√−144 −12𝑖

1.6.3 POTENCIACIÓN

Propiedad Ejemplo 𝑎! = 1 (−5)! = 1 𝑎7 = 𝑎 157 = 15

𝑎% ∙ 𝑎9 = 𝑎%$9 𝑥& ∙ 𝑥' = 𝑥&$' = 𝑥3 𝑎%

𝑎9 = 𝑎%"9 7@

73 = 7@"3 = 7' (𝑎 ∙ 𝑏)% = 𝑎% ∙ 𝑏% (4 ∙ 𝑥)' = 4' ∙ 𝑥' (𝑎%)9 = 𝑎%∙9 (𝑚"7)' = 𝑚"7∙' = 𝑚"'

𝑎"% =1𝑎% 𝑎"3 =

1𝑎3

U𝑎𝑏V

"%= �

𝑏𝑎�

%

�−25�

"&

= �−52�

&

=254

√𝑎%& = 𝑎%9 �8'* = 8

'3

15

EJEMPLO: Aplicar las propiedades de la potenciación y resolver A𝟐𝟑C𝟐∙(𝟐∙𝟑)𝟑∙(𝟑),𝟏

(𝟐)𝟏𝟎∙(𝟑)𝟐

(aplicando las propiedades para tener bases iguales)

(2')& ∙ (2 ∙ 3)' ∙ (3)"7

(2)7! ∙ (3)& =2F ∙ 2' ∙ 3' ∙ 3"7

27! ∙ 3& =2G ∙ 3&

27! ∙ 3& =3!

27 =12

1.6.4 LOGARITMACIÓN

Se llama logaritmo en base 𝑏 de un numero 𝑥 a otro numero 𝑦, tal que, 𝑏 elevado al exponente 𝑦 sea igual a 𝑥. Es decir:

log: 𝑥 = 𝑦 ⟺𝑏H = 𝑥.(𝑏 ∈ ℝ$ ∧ 𝑏 ≠ 1)

Ejemplo:

log& 8 = 3, 𝑝𝑢𝑒𝑠, 2' = 8

log'19 = −2, 𝑝𝑢𝑒𝑠, 3"& =

19

Casos particulares:

El logaritmo de 1, en cualquier base es igual a cero: log: 1 = 0, pues 𝑏! = 1.

NOTA: Los numeros negativos no tienen logaritmo en el conjunto de los numeros reales. Además no existe el logaritmo de cero.

PROPIEDADES DE LA LOGARITMACIÓN

Propiedad Ejemplo log:(𝑥 ∙ 𝑦)= log: 𝑥 + log: 𝑦

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log: �𝑥𝑦�

= log: 𝑥 − log: 𝑦

El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor.

log:(𝑥%)= 𝑛 ∙ log: 𝑥

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

log: √𝑥% =

log: 𝑥𝑛 El logaritmo de una raíz enesima es igual al logaritmo del

radicando dividido por el índice de la raíz

log: 𝑥 = log:% 𝑥% Si se elevan a un mismo exponente no nulo la base y el argumento de un logaritmo, el resultado no varía

Propiedad Ejemplo ln 1 = 0 Se tiene que elevar e a la potencia 0 para obtener 1 ln 𝑒 = 1 Se tiene que elevar e a la potencia 1 para obtener e ln 𝑒6 = 𝑥 Se tiene que elevar e a la potencia x para obtener 𝑒6 𝑒IJ 6 = 𝑥 ln 𝑥 es la potencia a la cual e debe ser elevada para obtener x

LOGARITMOS DECIMALES Y NATURALES

Si bien se puede trabajar con logaritmos en cualquier base, las mas usuales en matematica son 10 y 𝑒.

16

A los logaritmos de base 10 se los denomina logaritmos decimales y se escriben log 𝑥. Los logaritmos de base 𝑒 se llaman logaritmos naturales y se simbolizan ln 𝑥.

2. AXIOMAS RELATIVOS A LOS NÚMEROS

Para entender el proceso deductivo de las matematicas de los numeros, así como de la geometría, se debe reconocer la existencia y el empleo de axiomas (verdades absolutas).

Axioma 1. Para cualesquiera dos números 𝑎𝑦𝑏:

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

Este es el axioma conmutativo de la adicion. Afirma que se puede conmutar, o intercambiar, el orden de los dos numeros al sumarlos. La sustraccion no es conmutativa, sin embargo la sustracción se asume como la suma de dos números enteros de signo opuesto: 3 − 2 = −2 + 3

Si se tuviera que calcular 3 + 4 + 5, primero se podrían sumar 4 y 3 y luego 5 al resultado, o se podrían sumar 5 y 4 y luego el resultado a 3. Desde luego, la suma sera la misma en ambos casos, y esto es exactamente lo que afirma el segundo axioma.

Axioma 2. Para cualesquiera números 𝑎, 𝑏𝑦𝑐:

(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)

Este es el axioma asociativo de la adicion. Indica que se pueden asociar los tres numeros de dos maneras diferentes al ejecutar la adicion. Los dos axiomas anteriores tienen sus correspondientes para la multiplicación.

Axioma 3. Para cualesquiera dos números 𝑎𝑦𝑏:

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎

Este se llama axioma conmutativo de la multiplicacion.

Axioma 4. Para cualesquiera tres números 𝑎, 𝑏𝑦𝑐:

(𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐)

Este se denomina axioma asociativo de la multiplicacion. Significa que (3*4) 5 = 3 (4*5)

En el trabajo con numeros es conveniente utilizar el numero 0. Para reconocer formalmente que existe tal numero y que posee las propiedades que requiere su significado físico se enuncia el siguiente axioma.

Axioma 5. Hay un único número 0 tal que:

a) 0 + 𝑎 = 𝑎 para todo número 𝑎; b) 0 ∗ 𝑎 = 0 para todo número 𝑎;

17

c) Si 𝑎𝑏 = 0, entonces 𝑎 = 0, 𝑜𝑏 = 0, o ambos son 0.

En el caso del numero 1, basta con especificar el sexto axioma.

Axioma 6. Hay un único número 1 tal que:

1 ∗ 𝑎 = 𝑎 para todo número 𝑎

Con respecto a la multiplicacion, la division su operacion inversa. Cuando se trata de calcular 8/2 se puede reducir el problema de division a un problema de multiplicacion, preguntando que numero x, multiplicado por 2, da 8. Esto quiere decir sencillamente que el significado basico de a/b es el de encontrar algun numero x tal que bx = a.

Axioma 7. Si 𝑎𝑦𝑏 son dos números cualesquiera, pero 𝑏 ≠ 0, entonces hay un único número 𝑥 tal que:

𝑏𝑥 = 𝑎

Por supuesto, 𝑥 es el número que se acostumbra designar con 𝑎/𝑏.

El axioma que aparece en seguida no es tan obvio. Afirma, por ejemplo, que 3*6 + 3 * 5 = 3 (6+5).

Axioma 8. Para cualesquiera tres números 𝑎, 𝑏𝑦𝑐:

𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = 𝑎(𝑏 + 𝑐)

Es muy util el axioma distributivo. Por ejemplo, para calcular 571 ∗ 36 + 571 ∗ 64 =571(36 + 64) = 571 ∗ 100 = 57100 Ordinariamente se dice que se saca 571 como factor comun de la suma (o bien que se ha factorizado esta expresion).

El conjunto de axiomas que se acaban de enunciar no esta completo, es decir, no forma la base logica de todas las propiedades de los numeros enteros positivos y negativos, los fraccionarios y los irracionales. Sin embargo, en dichos axiomas se tiene la base logica de lo que se hace generalmente con los numeros en el algebra ordinaria.

3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Llamamos Expresion Algebraica Real a toda combinacion de letras y/o numeros reales vinculados entre sí por las operaciones de suma, resta, multiplicacion, division y potenciacion de exponente racional. Por ejemplo:

3𝑥' − 𝑥& + 2𝑥 − 1 (A los números que intervienen se les denomina coeficiente y a las letras variables)

2 − √𝑎5 + 𝑎

2𝑥'𝑦 + 𝑥"7 − 5𝑦

3.1 LENGUAJE ALGEBRAICO

18

Es una forma de reproducir a símbolos y números, el lenguaje natural o verbal; combinando variables y números con operaciones y propiedades aritméticas. Para comprender el lenguaje algebraico debemos reconocer el significado de algunas palabras y transformar los operadores matemáticos.

Suma14 Resta Multiplicación División Igualdad Más, sumado,

agregado, agregar, la suma de, más

que, excede, aumentar,

aumentado, añade, añador,

incrementar, adicionar, adición,

exceso.

Restado de, menos que, menos, disminuye,

diferencia, entregado, entregar, quitar, pérdida,

perder,entregar, falta para completar,

prestamo, prestar, sustraer.

Número de veces, por, producto, multiplicado

por, producto de, el doble, triple,

cuádruple…de, del, de los, de las…

Entre, cociente, razon, repartir entre (partes

iguales), es como, sobre, la mitad, la tercera parte, la cuarta parte, la razon

de…

Equivale, equivalente, es, será, resulta,

representa, exactamente, obtiene,

tendría, tendrá.

Generalmente para indicar algo desconocido se utilizan las letras “x” ó “y”; pero se puede utilizar cualquier letra del alfabeto. Ejemplos:

Expresión verbal Lenguaje algebraico Expresión verbal Lenguaje

algebraico Expresión verbal Lenguaje algebraico

Un número cualquiera 𝑥 La mitad de x

𝑥2 El doble de b 2𝑏

El siguiente a x El posterior a x El sucesor de x

El conscutivo a x 𝑥 + 1

El anterior a n

el antecesor a n 𝑛 − 1 La tercera parte de b Un tercio de b

#$ ó %

$𝑏

Un número aumentado en tres

Tres más que un número

La suma de un número y tres

𝑥 + 3

La centésima parte de n

El cociente de n sobre 100

𝑛100

El inverso multiplicativo de y

El recíproco de y

1𝑦

El inverso aditivo de w

El opuesto de w

−𝑤

El 13% de x 13100 𝑥ó0,13𝑥 El cociente de un

número y su sucesor 𝑥

𝑥 + 1

El promedio de 2 números impares

consecutivos

(2𝑥 + 1) + (2𝑥 + 3)2

El producto de un

número y su recíproco

(𝑥) ∙ <1𝑥=

Un padre tiene 32 años más que su hijo

𝐸𝑑𝑎𝑑𝑑𝑒𝑙𝑝𝑎𝑑𝑟𝑒: 𝑥+ 32

𝐸𝑑𝑎𝑑𝑑𝑒𝑙ℎ𝑖𝑗𝑜: 𝑥

¿Cuál es la edad de un niño, sabiendo que si al doble de

su edad se le resta el triple de la que

tenía hace 4 años?

𝐸𝑑𝑎𝑑𝑑𝑒𝑙𝑛𝑖ñ𝑜: 𝑥

2𝑥 − 3(𝑥− 4)

El suplemento de

un ángulo 𝛼

El complemento de un ángulo x

180 − 𝛼

90 − 𝑥

Si tengo un paquete de 250 dulces para

repartirlos a un grupo de “x” niños y se

retiran cinco. ¿Cuántos dulces recibe cada niño?

250𝑥 − 5

14 El complemento aritmetico (C.A.) de un número natural, es el número que le hace falta para ser igual a un número del orden inmediato superior a su cantidad de cifras. Por ejemplo: C.A. (3) = 10 – 3 = 7; C.A. (40) = 100 – 40 = 60; C.A. (345) = 1000 – 345 = 655

19

3.2 TEORÍA DE POLINOMIOS

Monomio: Expresión algebraica que consta de un solo término o en que los términos que la forman están relacionados por la operación producto.

Monomios semejantes: Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Ejemplos: −2𝑥'𝑦& ; 4𝑥'𝑦& ; 1/2𝑥'𝑦& ; √2𝑥'𝑦&

Polinomio: Expresión algebraica que constituye la suma o la resta ordenadas de un número finito de términos o monomios.

Monomio Polinomio 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:

−13𝑥

' 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:2𝑥' + 5𝑥& + 8𝑥

− 10

Termino independiente de un polinomio: el termino independiente es un monomio de grado cero. Ejemplo: en el polinomio 𝑥8 − 2𝑥' + 5𝑥& − 3𝑥 + 4, el termino independiente es 4.

Ejemplo: por medio de la siguiente tabla podemos identificar mejor las partes representativas de los siguientes polinomios.

Polinomio Coeficientes Grado Coeficiente principal

Término independiente

𝑃(𝑥) = 3𝑥8 + 5𝑥' − 7𝑥 + 4 3, 5,0, −7, 4 4 3 4 𝑄(𝑥) = −√2𝑥 −√2, 0 1 −√2 0 𝑅(𝑥) = 8 8 0 8 8

Valor numérico de un polinomio: sea 𝑃(𝑥) = 𝕒%𝑋% + 𝕒%"7𝑋%"7 +⋯+ 𝕒7𝑋 + 𝕒! y sea 𝑥 =𝑐, entonces: 𝑃(𝑥) = 𝕒%𝑐% + 𝕒%"7𝑐%"7 +⋯+ 𝕒7𝑐 + 𝕒! valor que se obtiene al sustituir 𝑥 por 𝑐, y se denominará valor numérico de 𝑃(𝑥) para 𝑥 = 𝑐

Ejemplo: si 𝑃(𝑥) = 3𝑥8 + 5𝑥' − 7𝑥 + 4 , entonces: 𝑃(0) = 4 𝑃(1) = 3(1)8 + 5(1)' − 7(1) + 4 = 3 + 5 −7 + 4 = 5 𝑃(2) = 3(2)8 + 5(2)' − 7(2) + 4 = 12 +20 − 14 + 4 = 14

Cero de un polinomio: sea 𝑄(𝑥) se dice que 𝑏 es cero de 𝑄(𝑥) ⟺ 𝑄(𝑏) = 0

Signo −

Coeficiente 13

Parte literal 𝑥

Exponente 3

Monomio de grado 3 2𝑥$

Monomio de grado 2 5𝑥&

Monomio de grado 1 8𝑥

Término independiente −10

20

Ejemplos: √2 es cero de 𝐻(𝑥) = 2𝑥& − 4 , pues: 𝐻�√2� = 2�√2�&− 4 = 2(2) − 4 = 0

2Es cero de 𝑃(𝑥) = 𝑥' + 2𝑥& − 5𝑥 − 6 , pues: 𝑃(2) = (2)' + 2(2)& − 5(2) − 6 = 8 + 8 −10 − 6 = 0.

Polinomio Ordenado: Un polinomio en una variable esta ordenado cuando todos sus terminos estan dispuestos de modo que los exponentes aumenten o disminuyan desde el primer termino hasta el ultimo.

Por ejemplo: 𝑎' − 2𝑎& + 3𝑎 − 1 está ordenado en forma descendente.

OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS*

La suma, producto y division de polinomios gozan de las mismas propiedades que las correspondientes operaciones entre reales.

Suma de Polinomios15: Aplicando la propiedad asociativa, se agrupan los terminos semejantes y se obtiene un polinomio de grado menor o igual al grado del polinomio de mayor grado.

Ejemplo: calcular (2𝑥𝑦 − 4𝑥&𝑦) + (1 − 𝑥&𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑥) − (𝑥 + 3𝑥𝑦 − 5)

Solucion: = 2𝑥𝑦 − 4𝑥&𝑦 + 1 − 𝑥&𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑥 − 𝑥 − 3𝑥𝑦 + 5

= −5𝑥&𝑦 − 2𝑥 + 6

Producto de Polinomios16: Aplicando la propiedad distributiva y la propiedad de la potenciacion de potencias de igual base, se obtiene un polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios intervinientes.

Ejemplo: calcular (𝑥 − 𝑦&)(𝑥 + 𝑦&) + (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦)

Solucion: = 𝑥& + 𝑥𝑦& − 𝑥𝑦& − 𝑦8 + 𝑥& + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦&

= −𝑦8 + 2𝑥& + 2𝑥𝑦 + 𝑦&

Ejemplo combinado: Sea 𝑃(𝑥) = 𝑥8 + 2𝑥' − 3𝑥& + 8 y sea 𝑄(𝑥) = 2𝑥& − 1,calcular: [𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥)] ∙ 𝑄(𝑥)

Solucion: = [𝑥8 + 2𝑥' − 3𝑥& + 8 + 2𝑥& −1](2𝑥& − 1)

= [𝑥8 + 2𝑥' − 𝑥& + 7](2𝑥& − 1)

15 Para totalizar las cosas, deben ser semejantes; terminó semejantes son los que tienen igual detrás con mi cuál es exponentes. 16 Para multiplicar: las letras deben ser iguales, los exponentes pueden ser diferentes y se suman. Pueden distinguirse tres clases de multiplicación, monomio por monomio; monomio por polinomio; polinomio por polinomio.

21

= 2𝑥F + 4𝑥3 − 2𝑥8 + 14𝑥& − 𝑥8 − 2𝑥' + 𝑥& − 7

= 2𝑥F + 4𝑥3 − 3𝑥8 − 2𝑥' + 15𝑥& − 7

EJERCICIOS DE TRABAJO AUTÓNOMO

Reconocer si el procedimiento requerido es una suma o multiplicación y proceder a solucionar:

a) (4𝑎)(−2𝑎)(−𝑎6) b) 2𝑥&(5𝑥& − 8𝑥 + 1) c) 3𝑥& + 2𝑥𝑦 + 𝑥𝑦& − 𝑥& + 4𝑥𝑦& − 6𝑥𝑦 − 21 d) 10𝑥3 + 20𝑥8 − 2𝑥' + 4𝑥& − 3𝑥 − 9 + (8𝑥8 − 5𝑥 − 3) − (−10𝑥' + 5𝑥 − 8) e) (𝑥 + 2)(𝑥 − 5) f) 5𝑎𝑏 − 3𝑎& + 7𝑏& + [9𝑎& − 5𝑎𝑏 − 11𝑏&] g) (3𝑥& − 2𝑥 + 1)(𝑥 + 3)

DIVISIÓN17

División de monomios entre sí: El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente se obtiene dividiendo los coeficientes de los monomios dados y la parte literal es el resultado de aplicar la propiedad de cocientes de potencias de la misma base. El resultado no siempre es un monomio.

Ejemplos18:

− 7&6*

'6= −4𝑥8 √@6

*

"√&6"= −�@

&𝑥 = −2𝑥 &6

86!= 7

&𝑥"&

División de un polinomio por un monomio: Para dividir un polinomio en un monomio se aplica la propiedad distributiva. El resultado no siempre es un polinomio.

Ejemplo:

−3𝑥3 + 2𝑥' − 6𝑥&

−2𝑥& =32𝑥

' − 𝑥 + 3

División de un polinomio por otro polinomio: Consideremos estos dos polinomios, uno como dividendo 𝑥8 − 2𝑥' − 11𝑥& + 30𝑥 − 20, y otro como divisor 𝑥& + 3𝑥 − 2. En este procedimiento se involucra la factorización.

Ejemplo:

4𝑥&𝑦' − 12𝑥'𝑦& + 6𝑥&𝑦& + 8𝑥𝑦2𝑥&𝑦& + 8𝑥𝑦

17 Pauta para dividir: Efectuar la división de los términos de igual base y hacer la diferencia entre los exponentes de arriba (numerador) con los de abajo (denominador). Se distinguen tres clases de división: división de monomio por monomio; división de polinomio por monomio y división de polinomio por polinomio. 18 Recordar las propiedades de los exponentes #

!

#"= 𝑎$%& (cociente) y 𝑎%$ = '

#! (exponente negativo).

22

Factorizando el numerador y también el denominador (Factor común)

2𝑥𝑦(2𝑥𝑦& − 6𝑥&𝑦 + 3𝑥𝑦 + 4)2𝑥𝑦(𝑥𝑦 + 4)

2𝑥𝑦(2𝑥𝑦& − 6𝑥&𝑦 + 3𝑥𝑦 + 4)2𝑥𝑦(𝑥𝑦 + 4)

2𝑥𝑦& − 6𝑥&𝑦 + 3𝑥𝑦 + 4𝑥𝑦 + 4

EJEMPLO: Dividir el polinomio: (3𝑥& − 10𝑥' + 4𝑥3 − 𝑥 + 6) Con el polinomio: (𝑥& + 1 − 2𝑥)

23

Y ¿el residuo?: −5𝑥 + 7 (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se puede continuar dividiendo por lo que la division es inexacta).

La respuesta se expresa como:

4𝑥' + 8𝑥& + 2𝑥 − 1 +−5𝑥 + 7

𝑥& − 2𝑥 + 1

EJERCICIO DE CLASE

Reconocer si el procedimiento requerido es una división de monomios, una división de polinomio por monomio o se trata de una división de polinomios y proceder a solucionar:

a) !"$L%M

&'$M%M

b) ()*M+N

'*+M

c) ($O%M,!-$M%&."$%O

($M%M,-$%O

d) ()+M/O&.-+O/M,"+M/M

-+M/M

POTENCIACIÓN Y PRODUCTOS NOTABLES

Siguiendo las propiedades de la potenciación presentadas en el inciso 1.6.3 podemos reconocer la siguiente ley: (𝑎%)9 = 𝑎%∙9

Ejemplos:

• (2𝑚8𝑛&)8 = 28𝑚(8∙8)𝑛(&∙8) = 16𝑚7F𝑛@

• (5𝑎6$7𝑏&)' = 5'𝑎'∙(6$7)𝑏(&∙') = 125𝑎'6$'𝑏F

• (𝑥 + 2)& = (𝑥 + 2)(𝑥 + 2) = 𝑥& + 2𝑥 + 2𝑥 + 4 = 𝑥& + 4𝑥 + 4 Potencia de un polinomio19

• (𝑥 − 3)& = (𝑥 − 3)(𝑥 − 3) = 𝑥& − 3𝑥 − 3𝑥 + 9 = 𝑥& − 6𝑥 + 9 Potencia de un polinomio

19 Multiplicación de polinomios: existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables. Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a término. Por ejemplo: El cuadrado de un binomio: (𝑎 ± 𝑏)! = 𝑎! ± 2𝑎𝑏 + 𝑏! también, El cubo de un binomio: (𝑎 ± 𝑏)( = 𝑎( ± 3𝑎!𝑏 ∓ 3𝑎𝑏! + 𝑏(

24

TRIÁNGULO DE PASCAL

El triangulo de Pascal es un esquema que tiene como característica que cada uno de los componentes de sus filas representa los coeficientes del desarrollo binomial. Se construye de la siguiente manera:

Se empieza por el 1 de la cumbre. De una fila a la siguiente se escriben los numeros con un desfase de medio lugar o casilla para que cada casilla tenga dos numeros justo arriba, en la fila anterior. Cada extremo de la fila tiene un 1 y el valor que se escribe en una casilla es la suma de los numeros que estan encima.

Despues, se efectua una relacion entre los numeros del triangulo de Pascal y la suma de las potencias de 𝑎 y 𝑏, de forma que los coeficientes se asignan en el mismo orden en que aparecen.

Ejemplo:

Aplicar el triángulo de Pascal para desarrollar: (3𝑥 − 2𝑦)8

Solución:

Para encontrar los coeficientes del desarrollo de (3𝑥 − 2𝑦)8,se le aplican los factores de la quinta fila:

(3𝑥 − 2𝑦)8 = (3𝑥)8 + 4(3𝑥)'(−2𝑦) + 6(3𝑥)&(−2𝑦)& + 4(3𝑥)(−2𝑦)' + (−2𝑦)8

= 81𝑥8 − 216𝑥'𝑦 + 216𝑥&𝑦& − 96𝑥𝑦' + 16𝑦8

EJERCICIOS DE CLASE20

a) (3𝑥 − 2𝑦)& b) (−5𝑥'𝑦&𝑧8)'

c) U&'𝑥'𝑦8𝑧𝑛&V

'

20 Remitase de ser necesario al inciso 1.6.3 Propiedades de la potenciación.

25

d) (𝑥 + 7)(𝑥 − 7) e) [2(𝑎 + 𝑏) − 3][2(𝑎 + 𝑏) + 3] f) (𝑥($7 − 3𝑥("&)& g) (5𝑥&𝑦 + 2𝑥)(5𝑥&𝑦 − 7𝑥)

RADICACIÓN21

Unicamente se puede proceder con la radicación de monomios. La siguiente tabla muestra algunos ejemplos:

�𝑥& = 𝑥 �4@𝑦F = 48𝑦'

�𝑥8 = 𝑥& �16𝑥7F = 4𝑥@

�𝑥F = 𝑥' �81𝑚8𝑛7&" = 3𝑚𝑛'

�𝑥&! = 𝑥&'

� 𝑎@

81𝑏8𝑐7& =√𝑎@

√81𝑏8𝑐7&=

𝑎8

9𝑏&𝑐F

�𝑥F! = 𝑥F' = 𝑥&

��𝑥@

16𝑦7&𝑤&8 = �𝑥@

16𝑦7&𝑤&8

"=

√𝑥@"

�16𝑦7&𝑤&8"

=𝑥&

2𝑦'𝑤F

√𝑥 = 𝑥7& �𝑥& + 𝑦& ≠ √𝑥& +�𝑦& ≠ 𝑥 + 𝑦


a) � G:(

6(H"

b) �@76(H(Q/

7886(H)

4. ECUACIONES

La palabra ecuacion viene del latín, de aequatus , participio pasivo de aequare : "igualar, volver igual". Una ecuacion es una afirmacion de igualdad entre dos expresiones matematicas. Resolver la ecuacion significa encontrar la o las condiciones requeridas o necesarias para que se cumpla la igualdad propuesta. En dicha igualdad aparecen numeros y letras (incognitas) que se relacionan mediante operaciones matematicas.

21 Recordar la propiedad del inciso 1.6.3 cuando un radical puede expresarse como potenciación √a)# = a

$#

26

ECUACIONES LINEALES

Si la incognita o variable de la ecuacion esta elevada unicamente a la primera potencia, la ecuacion se llama lineal o de primer grado.

Ejemplos:

a) 3𝑥 − 4 = 1 tiene como solución 𝑥 = 5/3 , ya que:

3𝑥 − 4 = 1

3𝑥 = 1 + 4

3𝑥 = 5

𝑥 =53

b) 𝑥 + 2 = '&𝑥 − 5

5 + 2 =32𝑥 − 𝑥

7 =12𝑥

2 ∙ 7 = 𝑥

𝑥 = 14

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Si la incognita o variable de la ecuacion esta elevada unicamente a la segunda potencia, la ecuacion se llama cuadrática o de segundo grado.

Ejemplo:

𝑥& − 𝑥 − 2 = 0

∆= 𝑏& − 4𝑎𝑐 = (−1)& − 4 ∙ 1(−2) = 1 + 8 = 9

Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales.

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏& − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =1 ± √92

27

𝑥 =1 ± 32 =�

42 = 2

−22 = −1

Las soluciones son:

(−1,0)𝑦(2,0)


Resolver las siguientes ecuaciones:

a) Si a 50 se le añade cierto número y a 20 se le añade ese mismo número, la segunda suma es la mitad de la primera:

50 + 𝑥2 = 𝑥 + 20

b) ¿Cual es el número que dividido por 2, por 3 y por 10 y sumados los cocientes da dicho

número?

𝑥2 +

𝑥3 +

𝑥10 = 𝑥

c) U4 − 6$'FV = 6 ∙ U2 + G"&6

'V

d) 𝑥& − 3𝑥 − 10 = 0

e) 𝑥(𝑥 − 5) = 6

f) 6($F6$'

6"7= −𝑥

g) (𝑥 − 3)& = 6

8

h) 7"&6

6$4= 6

6"7

i) 6($&

'+ 6$4

7&= 1 + 6($7

8

6. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL - FACTORIZACIÓN22

Descomponer una expresión algebraica consiste en convertirla en el producto de sus factores, es decir es el proceso matemático para convertir una suma polinómica en multiplicación. Conjuntamente, se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la expresión algebraica original.

22 Requisitos de la factorización: tener la habilidad de multiplicar monomios y polinomios, tambien dividirlos, realizar potenciación en monomios y polinomios, además de efectuar radicación de monomios.

28

Términos: son expresiones matemáticas que están separadas por signos positivos y negativos. Factores: son expresiones matemáticas separadas por la multiplicación y la división.

En álgebra se factorizan monomios y polinomios, sin embargo no todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números primos que sólo son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así 𝑎 + 𝑏no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por 𝑎 + 𝑏y por la unidad.

RECORDAR:

Monomio: Expresión algebraica que consta de un solo término o en que los términos que la forman están relacionados por la operación producto.

Polinomio: Expresión algebraica que constituye la suma o la resta ordenadas de un número finito de términos o monomios.

Monomio Polinomio 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:

−13𝑥

' 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:2𝑥' + 5𝑥& + 8𝑥 − 10

Requisitos para poder factorizar:

• Multiplicación (Especial atención a la división de monomios) • División (Especial atención a la división de monomios) • Propiedades de la potenciación (Especial atención a su aplicación en monomios) • Radicación (monomios)

6.1. FACTOR COMÚN

Para encontrar el factor comun de los terminos de un polinomio se busca el maximo comun divisor (MCD) de los coeficientes de todos los terminos, y de las partes literales que aparezcan en todos los terminos, se escogen las que tengan el menor exponente.

Ejemplo: Extraiga un factor común.

4𝑦& − 8 = 4 ∙ 𝑦& − 4 ∙ 2(4 es un factor común)

= 4(𝑦& − 2)

Ejemplos: Extraiga en cada caso un factor común.

Signo − Coeficiente 1

3 Parte literal 𝑥 Exponente 3

Monomio de grado 3 2𝑥$

Monomio de grado 2 5𝑥&

Monomio de grado 1 8𝑥

Término independiente −10

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• 5𝑥8 − 20𝑥' = 5𝑥'(𝑥 − 4) à (5𝑥'es un factor común) • 12𝑥&𝑦 − 20𝑥'𝑦 = 4𝑥&𝑦(3 − 5𝑥) à (4𝑥&𝑦es un factor común) • 10𝑝F𝑞& − 4𝑝3𝑞' + 2𝑝8𝑞8 = 2𝑝8𝑞&(5𝑝& − 2𝑝𝑞 + 𝑞&) à (2𝑝8𝑞&es un factor común)

6.2. FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS

IDENTIFICACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS

Forma: 𝐴& ± 2𝐴𝐵 + 𝐵&

Para que un trinomio sea un trinomio cuadrado, se deben cumplir tres condiciones: 1. Dos de los términos deben ser cuadrados (𝐴&𝑦𝐵&) 2. No deben haber signos negativos antes de 𝐴&𝑜𝐵& 3. Si multiplicamos 𝐴 y 𝐵 (las raices cuadradas de 𝐴&𝑦𝐵&) y multiplicamos el resultado por 2, lo que se obtiene es el término restante 2 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵, o su inverso aditivo, −2 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵.

6.2.1.TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se extrae la raíz cuadrada de los terminos que son cuadrados perfectos, se separan por el signo que tiene el termino que no lo es y finalmente se eleva el binomio al cuadrado.

𝐴& ± 2𝐴𝐵 + 𝐵& = (𝐴 ± 𝐵)&

Ejemplo: Factorizar el trinomio 16𝑥& + 40𝑥𝑦 + 25𝑦&

Solución: Primero se comprueba que sea un trinomio cuadrado perfecto 16𝑥& + 40𝑥𝑦 +25𝑦& �16𝑥& = 4𝑥�25𝑦& = 5𝑦

El doble producto de las raíces cuadradas debe ser igual a otro término: 2(4𝑥)(5𝑦) = 40𝑥𝑦 Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto (T.C.P.).

Factorizado: (4𝑥 + 5𝑦)&

Ejemplo: Factorizar el trinomio −20𝑥𝑦 + 4𝑦& + 25𝑥&

Solución: En este caso se debe organizar el trinomio cuempliendo la forma 𝐴& ± 2𝐴𝐵 + 𝐵&. Luego se procede a comprobar que sea un trinomio cuadrado perfecto 25𝑥& − 20𝑥𝑦 + 4𝑦& �25𝑥& = 5𝑥�4𝑦& = 2𝑦

El doble producto de las raíces cuadradas debe ser igual a otro término: 2(5𝑥)(2𝑦) = 20𝑥𝑦 Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto (T.C.P.).

Factorizado: (5𝑥 − 2𝑦)& tener en cuenta que el signo que separa al binomio resultante es equivalente al signo del segundo término del trinomio.

6.2.2. DIFERENCIA DE CUADRADOS

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Una diferencia de cuadrados es el resultado del producto de dos binomios conjugados23:

𝑎& − 𝑏& = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

Esto implica que para factorizar una diferencia de cuadrados, se extraen las raíces cuadradas de los terminos y se forma un binomio. Finalmente se expresa el producto de este binomio por su conjugado.

Ejemplo: Factorizar 𝑥& − 9

Solución: 𝑥& − 9 = 𝑥& − 3& = (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)

Ejemplo: Factorizar 25𝑦F − 49𝑥&

Solución: 25𝑦F − 49𝑥& = (5𝑦')& − (7𝑥)& = (5𝑦' + 7𝑥)(5𝑦' − 7𝑥)

6.3. FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

Considere el siguiente producto. (𝑥 + 3)(𝑥 + 5) = 𝑥& + 5𝑥 + 3𝑥 + 15 = 𝑥& + 8𝑥 + 15

Observe que el coeficiente 8 es la suma de 3 y 5, y que el término constante 15 es el producto de 3 y 5.

Condiciones: Es importante advertir la forma de estos trinomios: 1. La raiz cuadrada del primer término, es la parte literal del segundo. 2. El tercer término no tiene raiz cuadrada exacta.

Ejemplo: factorice 𝑥& − 3𝑥 − 10.

Solución: buscamos una pareja de enteros cuyo producto sea −10y cuya suma sea −3.

Los enteros buscados son 2 y −5.

𝑥& − 3𝑥 − 10 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 2)

Ejemplo: factorice 𝑥&𝑦& + 5𝑥𝑦 + 4.

Solución: buscamos una pareja de enteros cuyo producto sea 4y cuya suma sea 5.

Los enteros buscados son 4 y 1. Además se debe tener presente que xy actúa como si fuese una única variable al cuadrado.

𝑥&𝑦& + 5𝑥𝑦 + 4 = (𝑥𝑦 + 4)(𝑥𝑦 + 1)

6.4. FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

23 El conjugado es cuando se cambia el signo que está entre dos términos, y aplica solo para expresiones llamadas binomios.

31

En el trinomio de la forma 𝑎𝑥& + 𝑏𝑥 + 𝑐, el término 𝑥& tiene un coeficiente distinto de 1.

Observe el trinomio resultante de este procedimiento: (2𝑥 + 3)(5𝑥 + 4) = 10𝑥& + 8𝑥 +15𝑥 + 12

= 10𝑥& + 23𝑥 + 12

El proceso de factorización de los trinomios de la forma 𝑎𝑥& + 𝑏𝑥 + 𝑐 sigue el procedimiento dado en el siguiente ejemplo:

6𝑥& + 17𝑥 + 7

PASO 1:Se observa que el primer término tiene coeficiente 6 y el tercer término no tiene raiz cuadrada exacta. se procede a buscar dos binomios (para lo cual se abren dos paréntesis:

6𝑥& + 17𝑥 + 7

()

()

PASO 2: El producto de los primeros términos de cada paréntesis debe ser igual a 6𝑥& y el producto de los segundos términos de cada paréntesis debe ser igual a 7. Se deducen los términos 2𝑥 ∙ 3𝑥 y 1 ∙ 7.

(2𝑥1) = 3𝑥

(3𝑥7) = 14𝑥

PASO 3: Luego se multiplican en X, tal como lo indican las flechas y se procede a sumar los resultados de dicho producto.

(2𝑥1) = 3𝑥

(3𝑥7) = 14𝑥= 17𝑥

Se observa que la suma de 3𝑥 + 14𝑥 es igual a 17𝑥, el cual coincide con el segundo término del trinomio.

Por lo tanto la factorización del trinomio 6𝑥& + 17𝑥 + 7 = (2𝑥 + 1)(3𝑥 + 7)

Ejemplo: Factorizar 24𝑦& − 46𝑦 + 10.

Solución:

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24𝑦& − 46𝑦 + 10

(6𝑦 − 10) = −40𝑦

(4𝑦 − 1) = −6𝑦= −46𝑦

Factorizado: 24𝑦& − 46𝑦 + 10 = (6𝑦 − 10)(4𝑦 − 1)

6.5 FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA O DIFERENCIA DE DOS CUBOS

Una cantidad es cubo perfecto cuando es el producto de tres factores iguales, es decir, es el cubo de otra cantidad. Por ejemplo: 125𝑥'es cubo perfecto, ya que es el cubo de 5𝑥.

𝐸𝑙𝑐𝑢𝑏𝑜𝑑𝑒𝑢𝑛𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑒𝑠𝑑𝑒𝑙𝑎𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎: (𝑎 ± 𝑏)' = 𝑎' ± 3𝑎&𝑏 + 3𝑎𝑏& ± 𝑏'

𝑝𝑜𝑟𝑜𝑡𝑟𝑎𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑙𝑎𝑠𝑢𝑚𝑎𝑜𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑒𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠: 𝑎' ± 𝑏' = (𝑎 ± 𝑏)(𝑎& ∓ 𝑎𝑏 + 𝑏&)

y cumple con las siguientes características:

• Posee cuatro terminos. • El primero como el ultimo termino son cubos perfectos • El segundo termino es el triple producto del cuadrado de la raíz cubica del primer termino

por la raíz cubica del ultimo. • El tercer termino es el triple producto de la raíz cubica del primer termino por el cuadrado

de la raíz cubica del ultimo.

Para verificar que la factorizacion de una expresion de cuatro terminos es el cubo de un binomio se debe proceder de la siguiente manera:

• Se ordena el polinomio en forma descendente o ascendente respecto a una literal. • Se extrae la raíz cubica del primer y ultimo terminos del polinomio. • Se observa si todos los signos son iguales o si se alternan. • Se triplica el cuadrado de la raíz cubica del primer termino por la raíz cubica del ultimo y se

compara con el segundo termino del polinomio dado. • Se triplica la raíz cubica del primer termino por el cuadrado de la raíz cubica del ultimo y se

compara con el tercer termino de la expresion. • Si las dos comparaciones hechas en los pasos previos son iguales, se trata del desarrollo

del cubo de un binomio y se factoriza así: se forma un binomio con las raíces cubicas del primer y ultimo termino del polinomio, con los signos que se obtengan (si todos los signos son iguales) o por el signo menos (si los signos se alternan). Finalmente, se eleva el binomio al cubo.

Ejemplo: Factorice 𝑥' + 3𝑥& + 3𝑥 + 1

Solución:

�𝑥'! = 𝑥

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�1'! = 1

El triple producto del cuadrado de la raíz cubica del primer termino por la raíz cubica del ultimo es: 3(𝑥)&(1) = 3𝑥& El triple producto de la raíz cubica del primer termino por el cuadrado de la raíz cubica del ultimo es: 3(𝑥)(1)& = 3𝑥&

Dado que todos los signos son positivos, el binomio al cubo formado por las raíces cubicas de los extremos es: (𝑥 + 1)'

Asi que la factorización de 𝑥' + 3𝑥& + 3𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)'

Ejemplo: Factorice 125𝑥' − 27𝑦F

125𝑥' − 27𝑦F = (5𝑥 − 3𝑦&)(25𝑥& + 15𝑥𝑦& + 9𝑦8)

EJERCICIOS DE CLASE

Factorice los siguientes polinomios:

a) 𝑥& − 9 b) 𝑡& + 3𝑡 + 2 c) 𝑚& − 6𝑚 − 7 d) 𝑥& − 3𝑥 + 2 e) 1 − 4𝑥& f) 6𝑥& − 16𝑥 − 6 g) 81𝑡& − 18𝑡 + 1 h) 8 − 27𝑥' i) 2𝑥& + 5𝑥 − 12

6.6 DIVISIÓN SINTÉTICA

Para encontrar el cociente y residuo de un polinomio de primer grado o mayor que es dividido entre 𝑥 − 𝑐, una version abreviada de la division, es la llamada division sintetica mucho mas facil de manejar.

PROCEDIMIENTO: para el polinomio 𝑥' + 2𝑥& − 5𝑥 − 6 sabiendo que 𝑥 − 2es un factor, procedemos a usar el siguiente arreglo:

En el dividendo se escribe solo los coeficientes del polinomio en orden descendente (1, 2, -5, -6 ). En el lugar del divisor se busca el factor (𝑥 − 𝑐) cuyo término constante “c” sea divisor del término independiente del polinomio, en este caso – 6, dichos divisores son: (−6,−3,−2,−1, 1, 2, 3,6), en este caso utilizaremos el 2.

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La fila de productos parciales permanece en blanco y baja el primer coeficiente del dividendo a la tercera fila, para ir formando el cociente.

Se multiplica este cociente por el divisor y se escribe el producto abajo del segundo coeficiente del dividendo.

Se efectúa la suma de la columna.

Se multiplica el resultado por el divisor y se escribe el resultado para el tercer coeficiente del polinomio.

Nuevamente se efectúa la suma de la columna.

Se multiplica el resultado por el divisor y se escribe el producto bajo la columna del cuarto coeficiente (divisor).

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Se efectúa la suma de la cuarta columna.

Los numeros 1, 4 y 3 de la tercera fila, son los coeficientes del cociente, el cual es un polinomio de un grado menor que el dividendo, es decir, el polinomio resultante es 𝑥& +4𝑥 + 3 y si el residuo es cero entonces 𝑥 − 2 es un factor (el divisor cambia su signo para obtenerse el polinomio 𝑥 − 2).

Por lo tanto el polinomio reescrito es: (𝑥 − 2)(𝑥& + 4𝑥 + 3)

Recuerde que para comprobar que el proceso de factorización es correcto se puede aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación y obtener así el polinomio previo al proceso.

Nota: Si en un polinomio faltaran algunas potencias de 𝑥, por ejemplo: 7𝑥3 − 3𝑥' + 5𝑥& − 9, Al hacer la division sintetica, deben incluirse ceros en las posiciones faltantes, es decir: 7𝑥3 −0𝑥8 − 3𝑥' + 5𝑥& + 0𝑥 − 9 Posteriormente se procede a realizar la division.

Nota: Para comprobar si un numero es un cero del polinomio, se puede sustituir en la variable 𝑥 el valor constante que represente que todo el polinomio se convierta en cero. En el ejemplo anterior si en el polinomio dado se sustituye 𝑥 = 2,entonces 𝑥' + 2𝑥& − 5𝑥 − 6 sería (2)' +2(2)& − 5(2) − 6 dando como resultado: 8 + 8 − 10 − 6 = 0.


Factorice los siguientes polinomios:

a) 𝑥8 − 𝑥' − 7𝑥& + 𝑥 + 6 b) 𝑥8 + 3𝑥' + 4𝑥& + 6𝑥 + 4 c) 𝑥F − 14𝑥8 + 49𝑥& − 36 d) 𝑥' + 4𝑥& − 𝑥 − 4 e) 3𝑥8 − 2𝑥' − 13𝑥& + 8𝑥 + 4

Soluciones: a) (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3); b) (𝑥& + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 1); c) (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(𝑥 +1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3); d) (𝑥 + 4)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1); e) (3𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)

ESTRATEGIA GENERAL DE FACTORIZACIÓN

Las siguientes directrices resumen los procedimientos de factorización estudiados hasta ahora:

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Directrices para la factorización a) Siempre busque en primer lugar un factor común.

b) Considere el número de términos: Dos términos: trate de factorizar como una diferencia de cuadrados, o como una suma o diferencia de dos cubos. Tres términos: Compruebe primero que sea un trinomio cuadrado perfecto, si no, reonozca que sea de la forma 𝑥& + 𝑏𝑥 + 𝑐o de la forma 𝑎𝑥& + 𝑏𝑥 + 𝑐 por medio de las pautas dadas. Más de tres términos: Trate de agrupar e intente nuevamente una diferencia de cuadrados.

c) Factorice completamente: Asegurese de que cada factor restante sea primo, tambien podria comprobarlo operando los paréntesis.

EJERCICIOS: Identifique el método y efectúe la factorización de cada una de las siguientes expresiones algebraicas (Ordene los términos de ser necesario).

Ejemplo 1: 12𝑥( + 2𝑥* + 18𝑥! = 2𝑥* + 12𝑥( + 18𝑥! (cambio en el orden de los factores) = 2𝑥!(𝑥! + 6𝑥 + 9) ( factor común ) = 2𝑥!(𝑥 + 3)! (T.C.P. Trinomio cuadrado perfecto del segundo factor) Ejemplo 2:

4 − (𝑎 + 1)! = [2 + (𝑎 + 1)][2 − (𝑎 + 1)] (Diferencia de cuadrados, el segundo término es un binomio al cuadrado) = [2 + 𝑎 + 1][2 − 𝑎 − 1] (Propiedad distributiva de la multiplicación, signos fuera de los paréntesis) = [3 + 𝑎][1 − 𝑎] (Se efectúa la suma de monomios)

ANEXOS: Terminología.

DEFINICIÓN MATEMÁTICA: una definición, como su nombre indica, es una exposición rigurosa de un concepto. En matemáticas todo debe estar bien definido y sin ambigüedades. Si tomamos como ejemplo la siguiente proposición:

𝑥& − 3𝑥 − 4 𝑥& + 12𝑥𝑦 + 36𝑦& 15 + 14𝑥 − 8𝑥& 𝑥& − 36 12𝑎&𝑏𝑥 − 15𝑎&𝑏𝑦 81𝑥& − (𝑎 + 𝑥)&

9𝑥& − 6𝑥𝑦 + 𝑦& 𝑥& + 2𝑥𝑦 − 15𝑦& −72 −𝑤 +𝑤& 12𝑥$ + 12𝑥& + 3𝑥 45𝑥& − 120𝑥 + 80 9𝑥$ − 36𝑥& + 44𝑥 − 16

6𝑥& − 𝑥 − 2 81𝑡& − 4𝑚'𝑛( 𝑥' + 3𝑥&𝑦 − 40𝑦& 1 + 𝑥$ 16 − (2𝑎 + 𝑏)& 𝑚$ + 8𝑎$𝑥$

𝑥& − 3𝑥 − 4 𝑡& + 𝑡 − 42 100𝑥'𝑦) − 121𝑚' 𝑎$ − 3𝑎&𝑏 + 5𝑎𝑏& 7𝑎& + 31𝑎 − 20 𝑎$ − 64

21𝑤*𝑛 − 7𝑤'𝑛& + 7𝑤$𝑛$− 7𝑚&𝑛 4𝑎' − 1 𝑥&

4 −𝑦)

81

16𝑥& +8𝑥𝑦5 +

𝑦&

25 16 − 24𝑛 + 9𝑛& 4𝑎) − 20𝑎$𝑏' + 25𝑏(

9𝑥&

4 −𝑦&

9 𝑥5 +

225𝑥

& +215𝑥

$ +235 𝑥' + 𝑥$ − 6𝑥& − 4𝑥 + 8

125𝑥$ − 27𝑦) 𝑥'𝑦) − 2𝑥&𝑦$ − 15 5𝑥' − 3𝑥$ + 2𝑥& − 7𝑥 + 3

37

El límite de una función en un punto es el valor al que se aproxima la función en ese punto. Sin embargo, ésta no puede considerarse una definición matemática porque está hecha en un lenguaje informal y hay palabras, como <<aproximar>>, cuyo significado es impreciso. Por esta razón, en este caso se recurre a un lenguaje más técnico de épsilon-delta, o sea, se sacrifica un poco la intuición a favor de la precisión. TEOREMA: un teorema es un enunciado matemático preciso cuya veracidad se puede deducir lógicamente a partir de otros teoremas más básicos o a partir de lo que se denomina axiomas. Los teoremas suelen tener la estructura: Si hipótesis entonces tesis. Por ejemplo: TEOREMA DE PITÁGORAS: en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. En este ejemplo la hipótesis es <<el triángulo rectángulo>> y la tesis <<la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.>> Previamente tendriamos que haber dado las definiciones de triángulo rectángulo, cateto e hipotenusa. PROPOSICIÓN: suelen ser resultados completos pero que no tienen entidad suficiente para ser llamados teoremas. AXIOMA: un axioma es un enunciado cuya veracidad es tan evidente que no necesita demostración. DEMOSTRACIÓN: una demostración es un asecuencia de razonamientos lógicos que, partiendo de unas premisas o hipótesis que se presumen verdaderas, llega finalmente al resultado buscado, la tesis. Ejemplo: Demostración del teorema de Pitágoras. Demuestre que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Solución: Dibujamos un triángulo rectángulo de catetos 𝑎 y 𝑏 e hipotenusa ℎ. A continuación dibujamos otros tres triángulos iguales al primero y los ubicamos de la siguiente manera:

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

ℎ

ℎ ℎ

ℎ

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El área del cuadrado grande es (𝑎 + 𝑏)W, y por otra parte es la suma del área de los cuatro triángulos (cada uno tiene área 𝑎𝑏/2) más el área del cuadrado pequeño, que es ℎW.Entonces, obtenemos la relación:

(𝑎 + 𝑏)W = 4-𝑎𝑏2 .

+ ℎW Desarrollando algebráicamente la ecuación en función de la altura, obtenemos:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) =4𝑎𝑏2

+ ℎW

𝑎W + 2𝑎𝑏 + 𝑏W = 2𝑎𝑏 + ℎW

𝑎W + 𝑏W = ℎW Que es lo que queriamos demostrar.

las matemÁticas aplicadas

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