QU SON LAS MATEMTICAS APLICADAS?El trminomatemticaaplicadase refiere a todos aquellos mtodos yherramientasmatemticasque pueden ser utilizados en elanlisiso solucin de problemas pertenecientes al rea de lasciencias aplicadasy/o sociales.

Muchos mtodos matemticos hanresultadoefectivos en el estudio de problemas enfsica,qumica,biologa,medicina,ciencias sociales,administracin,ingeniera,economa,finanzas,ecologaentre otras.

La definicin no es absolutamente estricta, ya que, en principio, cualquier parte de lamatemticapodra ser utilizada en problemas reales; sin embargo una posible diferencia es que en matemticas aplicadas se procura el desarrollo de lamatemtica"haciaafuera", es decir hacia el resto de las reas. Y en menor grado "hacia dentro" o sea, hacia el desarrollo de las matemticasmismas. Este ltimo sera el caso de las matemticas puras.

EXPRESIN ALGEBRAICAUnaexpresin algebraicaes un conjunto de cantidades numricas y literales relacionadas entre s por los signos de las operaciones aritmticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extraccin de races.Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:oSixes una variable, entonces unmonomioenxes una expresin de la formaaxn, en dondeaes un nmero real ynes un entero no negativo.Unbinomioes la suma de dos monomios que no se pueden simplificar y untrinomioes la suma de tres monomios que no se pueden simplificar.MonomioBinomiotrinomio

Recuerda siempre que un monomio tiene solo un trmino, un binomio dos trminos y un trinomio tres trminos.

POLINOMIOSDefinicin:Un polinomio enxes una suma de la forma:anxn+ an-1xn-1+ + a2x2+ a1x + a0Dondenes un entero no negativo y cada coeficiente dexes un numero real. Sianes un numero diferente de cero, se dice que el polinomio es de gradon.

El coeficienteade la mayor potencia dexes elcoeficiente principaldel polinomio.Ejemplos de polinomios:EjemploCoeficiente principalGrado

34

18

-52

880

71

Ejemplos de expresiones que no son polinomios:

a)b)c)En el primer ejemplo el exponente dees negativocontradiciendo la definicin de polinomio, de igual forma en el ejemplo c donde el exponente deno es entero.En el ejemplo b tenemos una expresin racional o fraccionaria con un polinomio en el numerador y otro en el denominador. El criterio que utilizaremos es el siguiente si el polinomio del denominador no es elconstante o de grado cero, la expresin no es un polinomio. Recuerde que los exponentes deben ser enteros positivos.Una frmula polinmica tiene la formay = anxn+ an-1xn-1+ + a2x2+ a1x + a0.

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOSSuma:Sumamos trminos semejantes es decir sumamos aquellos trminos cuyas variables y exponentes sean iguales.Los pasos para hacer las sumas son:Paso 1:Elimine los parntesisPaso 2. Agrupe trminos semejantesPaso 3. Sume y reste los trminos semejantes.Ejemplo:Halla la suma de:=

=

=

=

Resta:Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes de los parntesis cambia el signo de los trminos dentro del parntesis.Ejemplo:Resta los siguientes polinomios:Paso 1: Si un parntesis tiene antepuesto un signo negativo, los signos dentro del parntesis se afectan. Los signos se cambian a su opuesto y el signo negativo antepuesto al parntesis pasa a ser positivo.

Paso 2: Eliminelos parntesis.Para hacerlo slo escriba los trminos que estn dentro del parntesis con sus signos correspondientes e ignore el signo + entre los dos parntesis.Paso 3: Agrupe los trminos semejantes; es decir los trminos con iguales variables e iguales exponentes.Paso 4: Sume y reste los trminos semejantes.As que aplicando este concepto a la expresin original tendramos:====

ECUACIONES LINEALESEnmatemticas, unsistema de ecuacioneses un conjunto de dos o msecuacionescon variasincgnitasque conforman unproblema matemticoque consiste enencontrar los valores de las incgnitasque satisfacen dichas ecuaciones.En unsistema de ecuaciones algebraicaslas incgnitas son valores numricos menores a la constante (o ms generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuacin diferencial las incgnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solucin de dicho sistema es por tanto, un valor o una funcin que substituida en las ecuaciones del sistema hace que stas se cumplan automticamente sin que se llegue a unacontradiccin. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incgnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incgnitas se suelen representar utilizando las ltimas letras delalfabeto latino, o si son demasiadas, consubndices.

SISTEMA GENERALLa forma genrica de un sistema deecuaciones algebraicas yincgnitas es la siguiente:(1)Dondesonfuncionesde las incgnitas. La solucin, perteneciente alespacio eucldeo, ser tal que el resultado de evaluar cualquier expresincon los valores de dicha solucin, verifique la ecuacin.Representacin grfica Los sistemas de 2 o 3 incgnitasrealesadmiten representaciones grficas cuando las funcionessoncontinuas a tramos. En cada ecuacin se representa como una curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o superficies curvas. CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS

Un sistema de ecuaciones sobrepuede clasificarse de acuerdo con el nmero de soluciones o cardinal del conjunto de soluciones, de acuerdo con este criterio un sistema puede ser: Sistema compatiblecuando admite alguna solucin que a su vez pueden dividirse en: Sistemas compatibles determinadoscuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas sinpuntos de acumulacin,. Sistemas compatibles indeterminadoscuando existe un nmero infinito de soluciones que forman una variedad continua,. Sistema incompatiblecuando no admite ninguna solucin,. Sistema lineal generalArtculo principal:Sistema de ecuaciones linealesSe llamasistema linealsi las ecuaciones que conforman el sistema sonfunciones afines. A diferencia del caso general, la solucin de los sistemas de ecuaciones lineales son fciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son nmeros reales o complejos. Tambin existen medios generales de resolucin cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la bsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco ms complicada.Una caracterstica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la llamadaforma matricial. Esta forma permite representar el sistema usando tresmatrices, de la siguiente forma:

La primera es la matriz de coeficientes, donde el trminorepresenta al coeficiente que acompaa a laj-simaincgnita de la ecuacini-sima. La segunda es la matriz de incgnitas, donde cada trmino se corresponde con una de lasincgnitas. La tercera matriz es la de trminos independientes, donde el cadarepresenta al trmino independiente de la ecuacini-sima.Esta representacin matricial facilita el uso de algunos mtodos de resolucin, como elmtodo de Gauss, en el que, partiendo de lamatriz aumentada(matriz de coeficientes a la que se le ha acoplado la matriz de trminos independientes), y aplicando transformaciones lineales sobre las ecuaciones, se pretende llegar a una matriz de este tipo:

Una vez que la matriz se ha triangulado, el valor de cada trminose corresponder con el de la incgnita. Si queda alguna fila del tipo, con, el sistema no tendr solucin.Ejemplos: Un sistema lineal incompatible es, ya que usando el mtodo reduccin y sumando miembro a miembro se obtiene la contradiccin 0 = 39. Un ejemplo de sistema lineal compatible indeterminado esya que claramente la segunda ecuacin es linealmente dependiente de la primera, habiendo sido multiplicados todos los trminos por 2. Un ejemplo de sistema lineal compatible determinado escuya solucin nica esy.

EXISTENCIA DE SOLUCIONESElteorema de la funcin inversaproporcionacondiciones suficientesde existencia de solucin, de un sistema como (1) con. Si sucede que la funcin vectorial:

Es diferenciable con continuidad, es decir, es de clasey sujacobianono se anula en ningn punto entonces existe una nica solucin del sistema (1). En ese caso existir una funcin inversa, y se podr escribir la solucin buscada simplemente como:

Sin embargo, la condicin de diferenciabilidad anterior aun siendo condicin suficiente, no es una condicin necesaria, por lo que existen sistemas de ecuaciones en que las funcionesno son diferenciables y sin embargo, existen soluciones. Ms an, en casos en que existe ms de una solucin, si la funcin es diferenciable entonces el jacobiano se anula en algn punto, pero eso no impide que existan varias soluciones.En casos de un menor nmero de ecuaciones que de incgnitas, cuando, entonces el sistema es compatible indeterminado o carece de soluciones. En esos casos, elteorema de la funcin implcitaproporciona condiciones suficientes, aunque no necesarias, para la existencia de soluciones de un modo similar a como el teorema de la funcin inversa las proporciona en el caso. EXISTENCIA DE SOLUCIONESEn unsistema de ecuaciones linealescompatible y determinado la solucin es siempre nica. En el caso de ecuaciones polinmicas la respuesta es ms complicada, aunque puede probarse que doscurvas polinmicasen el plano de gradosnymfuncionalmente independientes tienen como muchonm soluciones diferentes. Ese resultado se desprende del siguiente teorema de Bzout:Dos curvas del plano proyectivo complejo, de gradosnymsin componentes comunes se cortan exactamente enmnpuntos contados con multiplicidad. Existencia de solucionesSi bien para los sistemas de ecuaciones lineales existen multitud de tcnicas del lgebra lineal, para los sistemas de ecuaciones no lineales el problema es tcnicamente ms difcil.

MTODOS ANALTICOSLos mtodos analticos se restringen casi exclusivamente a sistemas de ecuaciones lineales. Ni siquiera se conoce una solucin analtica para el sistema de ecuaciones de segundo grado general:

MTODOS NUMRICOSLas aplicaciones tcnicas generalmente recurren a algoritmos numricos que permiten calcular aproximaciones numricas a las soluciones de un sistema de ecuaciones.Uno de los mtodos numricos que puede generalizarse a sistemas no lineales es elmtodo de Newton-Raphson. En el caso multidimensional la resolucin numrica del sistema denecuacionespuede hacerse a partir del conocimiento de una solucin aproximada, siempre y cuando la aplicacin anterior sea diferenciable, mediante el esquema iterativo:

O ms explcitamente:

Lamentablemente laconvergenciadel esquema iterativo anterior no est garantizada y en casos de soluciones mltiples la convergencia puede darse hacia la solucin no deseada. MTODOS GRFICOSLos mtodos grficos son didcticos e ilustrativos, aunque en general carecen de inters prctico en las aplicaciones tcnicas de importancia. Adems estn restringidos generalmente a sistemas de dos o tres ecuaciones reales.Dos sistemas de ecuaciones con dos incgnitas de valor real, suelen aparecer como uno de los cinco tipos diferentes mencionados a continuacin. Tienen una relacin con el nmero de soluciones:1. Aquellos sistemas de ecuaciones que representan grficamente rectas y curvas que se intersecan entre s. Este tipo de sistema de ecuacin es considerado como el normal. Suele tener un nmero de soluciones finito cada uno formado por las coordenadas de los puntos de interseccin.2. Sistemas que tienen simplificaciones falsas. Por ejemplo: 1 = 0. Grficamente se representan como un conjunto de lneas que nunca se intersecan entre s, como lneas paralelas.3. Sistemas de ecuaciones en las que ambos simplificar a una identidad (por ejemplo, x = 2x - y o y - x = 0). Cualquier asignacin de valores a las variables desconocidas satisface las ecuaciones. Por lo tanto, hay un nmero infinito de soluciones, que grficamente, se representa como todos los puntos del plano que representa la solucin.4. Sistemas en los que las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos: son matemticamente equivalentes (una ecuacin general puede ser transformada en otra a travs de la manipulacin algebraica). Estos sistemas representan completamente la superposicin de lneas o curvas, etc Una de las dos ecuaciones es redundante y puede ser desechada. Cada punto de la serie de puntos corresponde a una solucin. Generalmente, esto significa que hay un nmero infinito de soluciones.5. Sistemas en los que una (y slo una) de las dos ecuaciones se simplifica a una identidad. Por lo tanto, es redundante y puede ser descartada, segn el tipo anterior. Cada punto de la serie de puntos representados por los dems es una solucin de la ecuacin de los que hay a continuacin, por lo general un nmero infinito.La ecuacin x2+ y2= 0 puede ser pensada como la ecuacin de uncrculocuyoradiose ha reducido acero, por lo que representa un nico punto: (x = 0, y = 0), a diferencia de una normal de un crculo que contieneinfinitonmero de puntos. Este y otros casos similares muestran la razn por la cual los dos ltimos tipos anteriormente descritos necesitan la calificacin de "normalmente". Un ejemplo de un sistema de ecuaciones del primer tipo descrito anteriormente, con un nmero infinito de soluciones viene dada por x = | x |, y = | y | (donde la notacin | | indica el valor absoluto de la funcin), cuyas soluciones de forma un cuadrante de la x - y plano. Otro ejemplo es x = | y |, y = | x |, cuya solucin representa un rayo.

Ecuacin de segundo gradoUnaecuacin de segundo gradooecuacin cuadrtica de una indeterminada (incgnita)es unaecuacin que tiene la forma de una suma algebraica de trminos cuyo grado mximo es dos, es decir, una ecuacin cuadrtica puede ser representada por unpolinomiodesegundo gradoo polinomio cuadrtico. La expresin general de una ecuacin cuadrtica de una indeterminada3es:

Dondexrepresenta laincgnita, y dondea,bycsonconstantes;aes elcoeficientecuadrtico (distinto de 0),bel coeficiente lineal yces el trmino independiente. Este polinomio se puede representar mediante unagrficade unafuncin cuadrticaoparbola. Esta representacin grfica es til, porque la interseccin de esta grfica con eleje horizontalcoincide con las soluciones de la ecuacin (y dado que pueden existir dos, una o ninguna interseccin, esos pueden ser el nmero de soluciones reales de la ecuacin)Los puntos comunes de una parbola con el eje X (recta y = 0), lasraces, son las soluciones reales de la ecuacin cuadrtica.

FRMULA CUADRTICAPara una ecuacin cuadrtica con coeficientesrealesocomplejosexisten siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadasraces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Frmula general para la obtencin de races:

Se usa para indicar las dos soluciones:y

DEDUCCIN DE LA SOLUCINLa deduccin de la frmula cuadrtica viene de la frmula decompletar el cuadrado:La ecuacin cannica de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente principal, de forma que

Si usamos otras letras para simplificarlo de forma queyla demostracin (que es algo ms sencilla) queda como sigue:Desde la ecuacin

Aislando n

Sumandoa ambos trminos

Simplificamos el primer trmino a un binomio cuadrado

Extrayendo la raz cuadrada a los dos miembros

Aislandoy simplificando la fraccin de la raz

Simplificando a comn denominador

Si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado

La demostracin sincambio de variablesse puede ver aqu:Partimos de nuestra ecuacin simplificada:

Pasamos al otro trmino:

Sumamospara obtener un binomio desarrollado:

El trinomio a la izquierda es un cuadrado perfecto; simplificando a comn denominador el segundo miembro:

Extrayendo las 2 posibles races cuadradas, obtenemos:

Moviendoy aplicando la raz al denominador:

Simplificando a comn denominador:

DISCRIMINANTEEn la frmula anterior, la expresin dentro de laraz cuadradarecibe el nombre dediscriminantede la ecuacin cuadrtica. Suele representarse con la letraDo bien con el smbolo(delta):

Una ecuacin cuadrtica con coeficientesrealestiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solucin real demultiplicidad2, o bien dos races complejas. El discriminante determina landoley lacantidadde races.

Ejemplo del signo deldiscriminante: : sin soluciones reales: una solucin real (multiplicidad2): dos soluciones reales distintas.

Sihay dos soluciones reales y diferentes (la parbola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):. Sihay una solucin realdoble(la parbola slo toca en un punto al eje de las abscisas: X):

Sihay dos soluciones complejasconjugadas(la parbola no corta al eje de las abscisas: X):

Dondeies launidad imaginaria.

ECUACIN BICUADRADAstas son un caso particular de laecuacin de cuarto grado. Les faltan los trminos a la tercera y a la primera potencia. Su forma polinmica es:

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer elcambio de variableCon lo que nos queda:El resultado resulta ser una ecuacin de segundo grado que podemos resolver usando la frmula:

Al deshacer el cambio de variable aparecen las cuatro soluciones:

DESIGUALDAD MATEMTICA

No debe confundirse coninecuacin.

Enmatemticas, unadesigualdades unarelacin de ordenque se da entre dos valores cuando stos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es unaigualdad).Si los valores en cuestin son elementos de unconjunto ordenado, como losenteroso losreales, entonces pueden ser comparados. La notacinabsignificaaesmayor queb;Estas relaciones se conocen comodesigualdades estrictas, puesto queano puede ser igual ab; tambin puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que". La notacinabsignificaaesmenor o igual queb; La notacinabsignificaaesmayor o igual queb;Estos tipos de desigualdades reciben el nombre dedesigualdades amplias(ono estrictas). La notacinabsignificaaesmucho menor queb; La notacinabsignificaaesmucho mayor queb;Esta relacin indica por lo general una diferencia de varios rdenes de magnitud. La notacinabsignifica queano es igualab. Tal expresin no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

PROPIEDADESLas desigualdades estn gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin, la propiedad tambin se mantiene si los smbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes smbolos de desigualdad no estricta ( y ).Transitividad Paranmeros realesarbitrariosa,byc: Sia > byb > centoncesa > c. Sia < byb < centoncesa < c. Sia > byb = centoncesa > c. Sia < byb = centoncesa < c.Adicin y sustraccin Paranmeros realesarbitrariosa,byc: Sia < bentoncesa + c < b + cya c < b c. Sia > bentoncesa + c > b + cya c > b c.Multiplicacin y divisin Para nmeros reales arbitrariosayb, ycdiferente de cero: Sices positivo ya < bentoncesac < bcya/c < b/c. Sices negativo ya < bentoncesac > bcya/c > b/c.Opuesto Para nmeros reales arbitrariosayb: Sia < bentoncesa>b. Sia > bentoncesa1/b. Sia > bentonces1/a1/b.

FUNCIN MONTONAAl aplicar unafuncin montonacreciente a ambos lados, la desigualdad se mantiene. Si se aplica una funcin montona decreciente, la desigualdad se invierte.Ejemplo

Al aplicar lafuncin exponenciala ambos miembros de la desigualdad, esta se mantiene.

VALOR ABSOLUTOSe puede definir elvalor absolutopor medio de desigualdades:

PROPIEDADESSi (F, +, ) es uncuerpoy es unorden totalsobreF, entonces (F, +, , ) es uncuerpo ordenadosi y solo si: abimplicaa+cb+c; 0 ay 0 bimplica 0 ab.Los cuerpos (Q, +, , ) y (R, +, , ) son ejemplos comunes de cuerpo ordenado, pero no puede definirse en loscomplejospara hacer de (C, +, , ) un cuerpo ordenado.Las desigualdades en sentido amplio y sobre los nmeros reales sonrelaciones de orden total, mientras que las desigualdades estrictas < y > sobre los nmeros reales son relaciones de orden estricto. NOTACIN ENCADENADALa notacina < b < cestablece que a < b (a menor que b) y que b < c (b menor que c) y aplicando la propiedad transitiva anteriormente citada, puede deducirse que a < c (a menor que c). Obviamente, aplicando las leyes anteriores, puede sumarse o restarse el mismo nmero real a los tres trminos, as como multiplicarlos o dividirlos todos por el mismo nmero (distinto de cero) invirtiendo las inecuaciones segn su signo. As,a < b + e < ces equivalente aa - e < b < c - e.Esta notacin se puede extender a cualquier nmero de trminos: por ejemplo,a1 a2 ... anestablece que ai ai+1para i = 1, 2, ..., n1. Segn la propiedad transitiva, esta condicin es equivalente aai ajpara cualesquiera1 i j n.Ocasionalmente, la notacin encadenada se usa con inecuaciones en diferentes direcciones. En ese caso el significado es laconjuncin lgicade las desigualdades entre los trminos adyacentes. Por ejemplo:a < b = c dSignifica que a < b, b = c, y c d (y por transitividad: a < d). Esta notacin es utilizada en algunoslenguajes de programacintales comoPython.

SEMEJANZA (GEOMETRA)

Es la variacin en tamao entre dos objetos o cuerpos pero sus formas son idnticas. Se dice que dos figuras geomtricas son semejantessi tienen la misma forma pero sus tamaos son diferentes. Por ejemplo, dos mapas a escalas distintas son semejantes, pues la forma del o los contenidos no cambia, pero si el tamao.

ECUACINSe renen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuacin:

COROLARIOS Todos los tringulos equilteros son semejantes. Si dos tringulos tienen dos ngulos iguales, los terceros tambin son iguales.Una semejanza es la composicin de una isometra con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamao y la orientacin de una figura pero no se altera su forma. Por lo tanto, dos tringulos son semejantes si tienen similar forma. En el caso del tringulo, la forma slo depende de sus ngulos. Se puede simplificar as la definicin: dos tringulos son semejantes si sus ngulos son iguales uno a uno.En la figura, los ngulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos tringulos ABC y ABC son semejantes se escribe ABC ~ ABC, donde el orden indica la correspondencia entre los ngulos: A, B y C se corresponden con A', B' y C', respectivamente. Una similitud tiene la propiedad de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterizacin de los tringulos semejantes: Dos tringulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes.Propiedad reflexiva, refleja o idnticaTodo tringulo es semejante a s mismo.Propiedad idntica o simtricaSi un tringulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero.Propiedad transitivaSi un tringulo es semejante a otro, y ste a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero.Estas tres propiedades implican que la relacin de semejanza entre dos tringulos es una relacin de equivalencia.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA SEMEJANZA DE TRINGULOSTodas las paralelas a un lado de un tringulo que no pase por el vrtice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un tringulo semejante al dado.H)ABC; r || ACr corta AB en Lr corta BC en MT)D)

CasosPodrn presentarse 3 casos: Primer casor corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos.Haremos una primera consideracin, referida a los ngulos, y la llamaremos(1):Por carcter reflejoPor sercorrespondientesentre r || AC, secante ABPor ser correspondientes entre r || AC, secante BCPor otra parte, en virtud del corolario delTeorema de Talesse tiene:

Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:

Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando ense obtiene:

Deyse obtiene la consideracin que llamaremos(2):

Luego de(1)y(2), resulta:Por definicin de semejanza. Segundo casor corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las semirrectas de origen B que los contienen.Consideramos BLM como si fuera el tringulo dado, y BAC el tringulo nuevo, y por el casoIde la demostracin, es:Por carcter simtrico. Tercer casor marca a las semejantes de los lados AB y BC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostn a dichos lados.Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y por el extremo N del segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la recta de BC por O.Quedan entoncespor el casoI, semejanza que llamaremos.Teniendo en cuenta los tringulos BNO y BLM, se observa: BN=BM por construccin =' por seropuestos por el vrtice.=' por seralternos internosentre r || s, secante LNY siendo BNO=BLM es BNO ~ BLMpor el primer corolario de la definicin.Dey, y por carcter transitivo:BAC ~ BLMBLM ~ BAC

SOLUCIN DE TRIANGULOSResolver untringuloconsiste en hallar sus lados, ngulos y rea.

Para resolver untringulo rectngulose necesita conocer dos lados del tringulo, o bien un lado y un ngulo distinto del recto.

Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos deresolucin de tringulos rectngulos:1.Se conocen la hipotenusa y un cateto

2.Se conocen los dos catetos

3. Se conocen la hipotenusa y un ngulo agudo

4.Se conocen un cateto y un ngulo agudo

EjerciciosDe un tringulo rectngulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el tringulo.sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 =42 25C = 90 - 42 25 =47 35c = a cos B c = 415 0.7381 =306. 31 m

De un tringulo rectngulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el tringulo.tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57 32C = 90 - 57 32 =32 28a = b/sen Ba = 33/0.5437 =39.12 m

De un tringulo rectngulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22. Resolver el tringuloC = 90 - 22 =68b = a sen 22 b = 45 0.3746 =16.85 mc = a cos 22 c = 45 0.9272 =41.72 m

De un tringulo rectngulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37. Resolver el tringuloC = 90 - 37 =53a = b/sen B a = 5.2/0.6018 =8.64 mc = b cotg B c = 5.2 1.3270 =6. 9 m

Un dirigible que est volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ngulo de depresin de 12. A qu distancia del pueblo se halla?

Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70

Calcular el rea de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ngulo de 70.

Calcula la altura de un rbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ngulo de 30 y si nos acercamos 10 m, bajo un ngulo de 60.

La longitud del lado de un octgono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.

Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octgono regular inscrito en una circunferencia de 49 centmetros de radio.

Tres pueblos A, B y C estn unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ngulo que forman estas carreteras es 120. Cunto distan A y B?

RECTAPara otros usos de este trmino, vaseRecta (desambiguacin).

Representacin de un segmento de recta.Engeometraeuclidiana, larectao la lnea recta se extiende en una misma direccin por tanto tiene una sola dimensin y contiene infinitospuntos; se puede considerar que est compuesta de infinitos segmentos. Dicha recta tambin se puede describir como una sucesin continua e indefinida de puntos extendidos en una sola dimensin, es decir, no posee principio ni fin.Es uno de losentes geomtricos fundamentales, junto al punto y elplano. Son considerados conceptos apriorsticos ya que su definicin solo es posible a partir de la descripcin de las caractersticas de otros elementos similares. Un ejemplo de las dificultades de la definicin de la recta a partir de puntos es la llamada paradoja deZenn de la dicotomaque ilustraba la desaparicin de la recta al dividirla en puntos. As, es posible elaborar definiciones basndose en lospostulados caractersticosque determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con unaletra minscula.Engeometra analticalas lneas rectas pueden ser expresadas mediante unaecuacindel tipoy = m x + b, dondex,yson variables en unplano cartesiano. En dicha expresinmes denominada la "pendiente de la recta" y est relacionada con la inclinacin que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras quebes el denominado "trmino independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

CARACTERSTICA DE LA RECTA La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos. Engeometra euclidiana, la distancia ms corta entre dos puntos es la lnea recta. La recta puede definirse como el conjunto de puntos situados a lo largo de la interseccin de dos planos.

SEMIRRECTA

Haz de rayos.Se le llamasemirrectaa cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al ser cortada en cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta, denominadoorigen, a partir del cual se extiende indefinidamente en una sola direccin. SEMIRRECTA OPUESTALasemirrecta opuestade una semirrecta es la otra semirrecta salida de la recta que define la primera. Cada semirrecta solo tiene una semirrecta opuesta. Una semirrecta y su semirrecta opuesta tienen el mismo origen. ECUACIN DE LA RECTA EN EL PLANOEn unplano cartesiano, podemos representar una recta mediante una ecuacin general definida en dicho plano ya sea mediante coordenadas usando puntos y vectores, o bien funciones que especifican dichas coordenadas.

PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGENDada una recta mediante un punto,, y unapendiente:Se puede obtener la ecuacin de la recta a partir de la frmula de la pendiente (ecuacin punto-pendiente):

Dondees la tangente del ngulo que forma la recta con el eje deabscisasX.EjemploLa ecuacin de la recta que pasa por el puntoy que tiene una pendiente de:

DemostracinAl sustituir los datos en la ecuacin, resulta lo siguiente:y - y_1 = m (x - x_1)\!y - ( - 4) = - 1/3 (x - 2)\!3 (y + 4) = - 1(x - 2)\!3y + 12 = - x + 2\!x + 3y + 12 = 2\!x + 3y + 10 = 0\!

FORMA SIMPLIFICADA DE LA ECUACIN DE LA RECTASi se conoce la pendientem, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuacin general de la recta, :

Esta es la segunda forma de la ecuacin de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos.

FORMA SEGMENTARIA DE LA ECUACIN DE LA RECTA (ECUAIN SIMTRICA)

Recta que corta el eje ordenado eny la abscisa en..DemostracinSi se plantea como problema encontrar la ecuacin de una recta, conocidosy(la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:yCon estos puntos se puede encontrar dicha ecuacin, pero primero se debe calcular la pendiente:

Despus se sustituye en la ecuacin, usando cualquiera de los dos puntos, en este caso(a, 0):

Y dividiendo toda la ecuacin entre el trmino independiente:

Se obtiene la ecuacin de la recta en su forma simtrica. Esta ecuacin se suele utilizar para obtener la ecuacin de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuacin de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes. ECUACIN GENERAL DE LA RECTAEs la expresin Ax + By + C = 0,10-A/B representa la pendiente y -C/B seala la ordenada en el origen cuando B sea diferente a cero. Datos suficientes para representar cualquier recta en el plano cartesiano XOY. ECUACIN NORMAL DE LA RECTA (PRIMERA FORMA)La forma normal de la recta (Ecuacin deHesse):

Siendodel valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ngulo omegaes el ngulo entre la perpendicular a la recta y la parte positiva del eje de ordenadas. Si en lugar del ngulo de la normalse emplea el ngulo de la recta, entre la recta y el eje de las ordenadas:

Siendodel valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ngulo alfaes el ngulo entre la recta y la parte positiva del eje de ordenadas, cuya tangente expresa el valor de la pendiente de la recta.DemostracinPara obtener dicha ecuacin a partir de una ecuacin de la forma, primero se ha de calcular:

Al dividir los parmetros de la ecuacin porse obtiene que y. Finalmentesin excepcin.

ECUACIN NORMAL DE LA RECTA (SEGUNDA FORMA)

Tomando el valor positivo o negativo de la raz segn corresponda. RECTAS QUE PASAN POR UN PUNTO

Rectas que pasan por el punto: (2,4).Para determinar las rectas del plano que pasan por el puntose usa la ecuacinDondemtoma cualquier valor real.

DemostracinLa ecuacin de la recta ha de ser:

Y ha de pasar por el punto, luego tendr que cumplirse: Despejandob, tenemos esta ecuacin:

Sustituyendoben la ecuacin general de la recta:

Ordenando trminos:

Esta ecuacin define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto, el valor demes la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz a excepcin de la recta vertical por dicho punto.

Recta que pasa por dos puntosSi pasa por dos puntosy, la ecuacin de la recta puede expresarse como:

DemostracinHan de cumplir la frmula general, resultando un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitasmyb:

Eliminamos la incgnitab, despejando en la primera ecuacin y sustituyendo en la segunda:

Agrupando trminos:

Despejandom:

Este valor,m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos:y. Despejando ahora el valor debde una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:

Y sustituyendom, por su valor ya calculado;

Tenemos las dos incgnitasmybdespejadas, en funcin de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, entonces la ecuacin general de la recta, con los parmetros ya calculados es:

RECTA NOTABLES

Rectas perpendiculares. La ecuacin de una recta vertical responde a la ecuacin general(constante). La ecuacin de una recta horizontal responde a la ecuacin general(constante). Una recta trigonoidal que pase por el origen O(0, 0), cumplir la condicinb = 0, siendo su ecuacin: . Recta secante Dos rectas cualesquiera:

Sernparalelassi y solo s. Adems, sern coincidentes cuando:Sernperpendicularessi y solo si, es decir: Rectas en el plano como espacio vectorial y afn Mediante dos puntos del plano afnDado dos puntos en el plano,PyQ, sobre una recta, se puede describir cada punto de sta es decir toda la recta mediante la ecuacin:Dondepuede tomar cualquier valor.EjemploDadosy, entonces la recta son los puntostales quey.

Mediante un punto y un vectorDado un punto y un vector en el plano,Py, queda totalmente definida una recta mediante la ecuacin:Dondepuede tomar cualquier valor.EjemploDadosy(llamado vector director), entonces la recta son los puntostales quey.Rectas notables La ecuacin de una recta vertical poseera un vector director del tipo. La ecuacin de una recta horizontal poseera un vector director del tipo. Una recta por el origen, es una recta que pasa por el origen de coordenadas con.Dadas dos rectas cualesquiera

Sernparalelassi y solo s.Sernperpendicularessi y solo siyson perpendiculares, es decir su producto escalar es cero.

RECTAS COMO PRODUCTO ESCALARToda recta ya sea de forma implcita, explicita o vectorial se puede expresar como producto escalar de vectores:es decir, renombrando las constantes:

Sipor tanto el vectores perpendicular a la rectay a sus vectores directores, y por tanto a todas sus paralelas.

CONICASe denominaseccin cnica(o simplementecnica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre unconoy un plano; si dicho plano no pasa por el vrtice, se obtienen las cnicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos:elipse,parbola,hiprbolaycircunferencia.

Los cuatro ejemplos de interseccin de un plano con un cono: parbola (1), elipse y circunferencia (2) e hiprbola (3).

TIPOSEn funcin de la relacin existente entre el ngulo de conicidad () y la inclinacin del plano respecto del eje del cono (), pueden obtenerse diferentes secciones cnicas, a saber: < :Hiprbola(naranja) = :Parbola(azulado) > :Elipse(verde) = 90:Circunferencia(un caso particular de elipse) (rojo)Si el plano pasa por el vrtice del cono, se puede comprobar que: Cuando > la interseccin es un nico punto (el vrtice). Cuando = la interseccin es una rectageneratrizdel cono (el plano sertangenteal cono). Cuando < la interseccin vendr dada por dos rectas que se cortan en el vrtice. cuando = 90 El ngulo formado por las rectas ir aumentando a medida disminuye, hasta alcanzar el mximo () cuando el plano contenga al eje del cono ( = 0).

EXPREXIN ALGEBRAICA

Encoordenadas cartesianas, las cnicas se expresan en formaalgebraicamedianteecuaciones cuadrticasde dos variables (x,y) de la forma:

en la que, en funcin de los valores de los parmetros, se tendr:h > ab: hiprbola.h = ab: parbola.h < ab: elipse.a = b yh= 0: circunferencia.Mediante un software se pueden representar las grficas de la ecuacin general de las cnicas. A continuacin se presentan los tres casos: Parbola, elipse e hiprbola.

CARACTERSTICASLaelipsees el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.Adems de los focos F y F, en una elipse destacan los siguientes elementos: Centro, O Eje mayor, AA Eje menor, BB Distancia focal, OFLa elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresin algebraica:Lahiprbolaes el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.Tiene dosasntotas(rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hiprbolas cuyas asntotas son perpendiculares se llaman hiprbolas equilteras.Adems de los focos y de las asntotas, en la hiprbola destacan los siguientes elementos: Centro, O Vrtices, A y A Distancia entre los vrtices Distancia entre los focosLa ecuacin de una hiprbola horizontal con centro (0, 0), es:A su vez, la de una hiprbola vertical es:Laparbolaes el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.Adems del foco, F, y de la directriz, d, en una parbola destacan los siguientes elementos: Eje, e Vrtice, V Distancia de F a d, p.Una parbola, cuyo vrtice est en el origen y su eje coincide con el deordenadas, tiene la siguienteecuacin:

CLCULO: MXIMO Y MNIMO

La determinacin de los valores mximos y mnimos de una funcin, es uno de los logros de la gran potencia que tiene el Clculo. Tomemos f(x) como una funcin de x. El valor de x para el cual la derivada de f(x) con respecto a x es igual a cero, corresponden a los puntos de inflexin de la funcin f(x) donde sus valores son mximo y mnimo.Por ejemplo, la altura de un proyectil que se dispara en lnea recta, est dada por las ecuaciones del movimiento:Abajo se muestra la grfica de la altura y(t), tomando y0 = 0.

La derivada de una funcin puede ser interpretada geomtricamente como la pendiente de la curva de la funcin matemtica y(t), representada la derivada en funcin de t. La derivada es positiva cuando una funcin es creciente hacia un mximo, cero (horizontal) en el mximo, y negativa justo despus del mximo. La segunda derivada es la tasa de cambio de la primera derivada y es negativa en el proceso que se acaba de describir, puesto que la primera derivada (la pendiente), siempre es cada vez ms pequea. La segunda derivada es siempre negativa en la "joroba" de una funcin, que corresponde a un mximo de la funcin.En la funcin simple que se ha mostrado en el ejemplo solo hay un mximo. Las funciones ms complejas pueden tener mltiples mximos y mnimos y la segunda derivada, nos proporciona la manera de distinguirlos.

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

1. Si f'(a) = 0.

2. Si f''(a) 0.

Mximos locales

Si f y f' son derivables en a, a es un mximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mnimos locales

Si f y f' son derivables en a, a es un mnimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Clculo de mximos y mnimos

Estudiar los mximos y mnimos de:

f(x) = x3 3x + 2

Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus races.

f'(x) = 3x2 3 = 0

x = 1 x = 1.

2. Realizamos la 2 derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mnimo.

f''(x) < 0 Tenemos un mximo.

f''(x) = 6x

f''(1) = 6 Mximo

f'' (1) = 6 Mnimo

3. Calculamos la imagen (en la funcin) de los extremos relativos.

f(1) = (1)3 3(1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 3(1) + 2 = 0

Mximo (1, 4) Mnimo (1, 0)