teoría matemáticas aplicadas

Matematicas de la especialidad

y

Metodos Matematicos

Eusebio Corbacho Rosas

September 7, 2015

Contenido

Presentacion 7

1 Preliminares 9

1.1 Teoremas de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Medida e integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.3 Funciones medibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.10 La integral respecto a una medida . . . . . . . . . . . 28

1.2.13 Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.2.18 Los espacios Lp(X, µ) (1 ≤ p <∞) . . . . . . . . . . 37

1.2.23 Modos de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.2.25 Teoremas de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.2.31 Teoremas de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . 48

1.2.38 Teorema de representacion de Riesz . . . . . . . . . . 54

1.2.42 La medida de Lebesgue en Rn y sus variedades . . . . 57

1.3 Campos en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.3.1 Circulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.3.3 Flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1.3.5 Generalizaciones de la regla de Barrow . . . . . . . . . 70

1.3.6 El Teorema de la Divergencia . . . . . . . . . . . . . . 70

1.3.13 El Teorema del Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . 78

1.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2 Problemas inversos 83

2.1 El caso lineal finito dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.2 Casos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.2.1 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.2.2 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.2.3 Funciones contractivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.2.7 Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.2.8 Ajuste de una nube de puntos . . . . . . . . . . . . . . 91

2.3 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3

4 CONTENIDO

3 Metodos numericos para Ecuaciones Diferenciales 99

3.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.2 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.2.1 Circuitos RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.2.2 Oscilador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.3 Ecuaciones autonomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.3.1 Lobos y corderos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.4 Metodos de un paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.4.6 Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.4.7 Metodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.5 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.5.1 Calentamiento-Enfriamiento . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.5.3 Reacciones quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.5.4 Lanzamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.5.7 Curvas de persecucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.5.8 Curvas de arrastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.5.9 Mecanica Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4 Variable compleja 117

4.1 El cuerpo A-cerrado de los numeros complejos . . . . . . . . . 117

4.2 Derivacion compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3 Funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.4 Integracion compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.5 Funciones analıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.5.1 Sucesiones y series de funciones . . . . . . . . . . . . . 135

4.5.3 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.5.9 Ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.6 Funciones meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.6.1 Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.6.4 La transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.6.7 Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.6.12 Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.6.16 Usos del Teorema de los Residuos . . . . . . . . . . . . 152

4.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5 Transformadas integrales 165

5.1 Transformadas de Fourier y de Laplace . . . . . . . . . . . . . 165

5.2 La F -transformada de medidas finitas en R . . . . . . . . . . 168

5.3 La L-transformada de medidas finitas en R+ . . . . . . . . . 173

5.4 La F -transformada en el espacio L1(R) . . . . . . . . . . . . . 175

5.5 La F -transformada en el algebra (L1(R), ?). . . . . . . . . . . 184

5.6 La L-transformada en el espacio L1(R+). . . . . . . . . . . . 189

5.7 Aplicaciones de las F -transformadas . . . . . . . . . . . . . . 198

CONTENIDO 5

5.8 Aplicaciones de las L-transformadas . . . . . . . . . . . . . . 203

6 Problemas de Sturm Liouville 209

6.1 Espacios con producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.2 Aproximacion hilbertiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

6.3 Bases hilbertianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.4 Teorıa espectral en espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . 2206.5 El problema regular de Sturm-Liouville. . . . . . . . . . . . . 231

6.6 Ecuaciones de la fısica-matematica . . . . . . . . . . . . . . . 247

7 TRABAJOS 253

Bibliografıa 257

Presentacion

Estas notas recogen la informacion teorica y practica que la Universidad deVigo ofrece durante el curso 2015-2016 a los alumnos de las asignaturas:

- Matematicas de la Especialidad del curso 3o del Grado en Tecnologıas

Industriales

- Metodos Matematicos del Master de Ingenierıa Industrial

El texto se completa con una coleccion de worksheets de Sage correspon-

dientes a las distintas sesiones practicas que se realizan en el aula informaticay que estaran disponibles en el espacio faitic de las asignaturas. Nos parece

que una atenta lectura de estos programas, hasta su entendimiento, no solopuede servir de repaso de las cuestiones teoricas esenciales sino que puede

proporcionar un buen metodo de consolidacion de ideas y ser un acicatepara adquirir y programar nuevos conocimientos. Dichas worksheets, debenser personalizadas, complementadas y almacenadas por el alumno en una

carpeta que podra usar libremente en el examen final. La elaboracion deesa carpeta nos parece un modo de acercarse a la posibilidad de valoracion

de la labor continua que realice el alumno y, sobre todo, le proporcionarauna herramienta util en otras asignaturas e incluso durante el ejercicio pro-

fesional cuando haya completado su formacion. Desde luego, la tendra siem-pre disponible y a coste cero por la condicion de libre de su software soporte.

Pretendemos, ante todo, convencer al lector de que es mas practico enten-

der bien las grandes ideas, las definiciones y los enunciados de los teoremas,y programar su uso para obtener las soluciones de problemas concretos,que repetir ejercicios de examen hasta adquirir la habilidad de resolverlos,

descuidando la perspectiva general que da el conocimiento abstracto de lascosas. Programar, nos parece un buen entrenamiento para ese ir y venir de

lo concreto a lo abstracto que constituira la esencia del ejercicio profesionaldel tecnico superior. Cuando tengamos situado un problema en el marco

teorico que determina la existencia y tipologıa de sus soluciones, podremosdar las ordenes oportunas para organizar los calculos y obtener la solucion

particular adecuada en los terminos que mas interesen: numericos o graficos,con mayor o menor precision, con menor o mayor economıa.

7

Capıtulo 1

Preliminares

1.1 Teoremas de Stone-Weierstrass

Sea X un conjunto. Para el cuerpo de numeros K = R o C, el conjunto de

funcionesB(X,K) = f : X → K | f acotada

dotado de la suma y el producto puntuales, y de la operacion externa habi-tual, es un algebra vectorial unitaria. La aplicacion

d∞ : B(X,K)× B(X,K) → R+

(f, g) 7→ supx∈X

|f(x)− g(x)|

cumple las propiedades esenciales de distancia

1. d∞(f, g) = 0 ⇔ f = g

2. d∞(f, g) = d∞(g, f) ∀f, g ∈ B(X,K)

3. d∞(f, g) ≤ d∞(f, h) + d∞(h, g) ∀f, g, h ∈ B(X,K)

y las otras propiedades importantes

4. d∞(f + h, g + h) = d∞(f, g) ∀f, g, h ∈ B(X,K)

5. d∞(λf, λg) = |λ|d∞(f, g) ∀λ ∈ K, ∀f, g ∈ B(X,K)

6. d∞(f · g, 0) ≤ d∞(f, 0) · d∞(g, 0), ∀f, g ∈ B(X,K)

Teorema 1.1.1

El espacio metrico (B(X,K), d∞) es completo.

Demostracion:

Sea (fn) una sucesion de Cauchy en (B(X,K), d∞). Para cada x ∈ X lasucesion (fn(x)) es de Cauchy en en el espacio euclıdeo (K, ρ) y, por tanto,

es convergente en el. Ası definimos la funcion

9

10 CAPITULO 1. PRELIMINARES

f : X → K

x 7→ lim fn(x)

que es el d∞-lımite de la sucesion (fn). Solo resta probar que f es acotada:

∃n0 ∈ N tal que |fn0(x) − f(x)| < 1 ∀x ∈ X . Como fn0 es acotada ex-iste un M tal que |fn0(x)| < M ∀x ∈ X . Ası, |f(x)| < 1+M ∀x ∈ X . ♦

Supongamos, ahora, que (X, τ) es un espacio topologico de Hausdorff. Elconjunto

C(X,K) = f : X → K | f continuadotado de la suma y el producto puntuales, y de la operacion externa ha-

bitual, tambien es un algebra vectorial unitaria.

Para cada ε > 0 y cada K ⊂ X compacto, definimos la relacion en C(X,K)

BKε = (f, g) | |f(x)− g(x)| < ε ∀x ∈ K.

Si BKε [f ] = g ∈ C(X,K) | (f, g) ∈ BKε es facil ver que la familia

B[f ] = BKε [f ] | ε > 0, K compacto en (X, τ) es base de entornos de f para una topologıa en C(X,K) que se designa τUk

y se llama topologıa de la convergencia uniforme sobre compactos.

Si (X, τ) es compacto, como BXε ⊂ BKε ∀K compacto en (X, τ), la topolgıaτUk

esta generada por la metrica

d∞ : C(X,K)× C(X,K) → R+

(f, g) 7→ supx∈X

|f(x)− g(x)|

Los teoremas de Stone y Weierstrass establecen propiedades muy sencillas de

un conjunto W ⊂ C(X,K) que aseguran que la subalgebra [Π(W )] generadapor el es densa en (C(X,K), τUk

). En [Π(W )] estan, no solo las combinaciones

lineales de los elementos de W , sino tambien, las combinaciones lineales delos productos de elementos de W y, por tanto, podemos partir de subcon-

juntos W de cardinal pequeno y conseguir la densidad [Π(W )] = C(X,K).Esta informacion siempre interesa en la teorıa de aproximacion y es impres-cindible en la teorıa de bases de Schauder.

Las sencillas propiedades exigidas a W son que contenga una funcion con-stante no nula y que separe los puntos de X , es decir, que para todo par

de puntos distintos (x, y) ∈ X ×X exista una f ∈W tal que f(x) 6= f(y).

1.1. TEOREMAS DE STONE-WEIERSTRASS 11

Teorema 1.1.2 (Stone-Weierstrass I)

Sea (X, τ) un espacio topologico de Hausdorff y sea W ⊂ C(X,R) un sub-

conjunto que separa los puntos de X y contiene una funcion constante nonula. Entonces, la subalgebra [Π(W )] es densa en (C(X,R), τUk

).

La demostracion de este teorema necesita varios lemas previos:

Lema 1.1.3

Existe una sucesion de polinomios (pn) que satisfacen ∀n ∈ N y ∀x ∈ [0, 1]:

1. pn(0) = 0

2. 0 ≤ pn(x) ≤√x

3.√x− pn(x) ≤

2√x

2 + n√x.

En particular,

(A)√x− pn(x) ≤

2

n

(B) limn

supx∈[0,1]

|√x− pn(x)| = 0

Demostracion:

Veamos que la sucesion de polinomios, definida por iteracion en la forma:

p1(x) =x

2, pn+1(x) = pn(x) +

1

2(x− p2

n(x))

cumple las propiedades exigidas. Es claro que p1 las cumple. Procediendo

por induccion, asumimos que pn las cumple y las probamos para pn+1:

1. Evidente

2. Restando las igualdades √

x =√x

pn+1(x) = pn(x) + 12(√x− pn(x))(

√x+ pn(x))

obtenemos

(?)√x− pn+1(x) =

(√x− pn(x)

)(

1 −√x+ pn(x)

2

)

y como 1 ≥ √x y

√x ≥ pn(x) resulta que 2 ≥ 2

√x ≥ √

x+pn(x).Luego el segundo miembro de (?) es positivo y, por tanto,

√x − pn(x) ≥ 0 ⇒ √

x − pn+1(x) ≥ 0

Como pn+1(x) = pn(x)+1

2(x−p2

n(x)) y, x−p2n(x) ≥ 0, tenemos

que pn(x) ≥ 0 ⇒ pn+1(x) ≥ 0.

3. Segun 2. es inmediato que

√x+ pn(x)

2≥

√x

2≥

√x

2 + (n+ 1)√x

luego

(??) 1 −√x+ pn(x)

2≤ 1 −

√x

2≤ 1 −

√x

2 + (n+ 1)√x.

Por la hipotesis de induccion, de (?) obtenemos

√x−pn+1(x) =

(√x− pn(x)

)(

1−√x+ pn(x)

2

)

≤ 2√x

2 + n√x

(

1−√x+ pn(x)

2

)

y de (??) obtenemos que

2√x

2 + n√x

(

1 −√x+ pn(x)

2

)

≤ 2√x

2 + n√x

(

1−√x

2 + (n+ 1)√x

)

=2√x

2 + (n+ 1)√x.

En consecuencia,√x− pn+1(x) ≤

2√x

2 + (n+ 1)√x. ♦

Corolario 1.1.4

Dado 0 < a < ∞ existe una sucesion de polinomios (qn) que satisfacen∀n ∈ N y ∀x ∈ [−a, a]:

1. qn(0) = 0

2. ||x| − qn(x)| ≤2a

n

En particular,

(C) limn

supx∈[−a,a]

| |x| − qn(x)| = 0

Demostracion:

Si qn(x) = a pn

(x2

a2

)

es claro que qn(0) = 0. Por el lema 1.1.3 tenemos

∣∣∣∣

∣∣∣x

a

∣∣∣− pn

(x2

a2

)∣∣∣∣≤ 2

nluego

∣∣∣∣|x| − apn

(x2

a2

)∣∣∣∣= ||x| − qn(x)| ≤

2a

n. ♦

Lema 1.1.5

Sea (B(X,R), d∞) el algebra de las funciones reales acotadas definidas enX . Si W ⊂ B(X,R) es no vacıo y cerrado para el producto puntual, [W ]

tiene las siguientes propiedades reticulares:


1. f ∈ [W ] ⇒ |f | ∈ [W ]

2. f1, f2 ∈ [W ] ⇒ max(f1, f2) ∈ [W ], min(f1, f2) ∈ [W ].

Demostracion:

1. Por ser W cerrado para el producto, tambien lo es su envoltura lineal:

f1, f2 ∈ [W ] ⇒ f1 · f2 ∈ [W ]

Para una f ∈ [W ], denotamos a = d∞(f, 0) y probamos que |f | ∈ [W ] :Cuando f = 0 el resultado es trivial, por lo que suponemos a > 0.Si (qn) es la sucesion de polinomios que el corolario 1.1.4 asegura para

el intervalo [−a, a], como f(x) ∈ [−a, a] ∀x ∈ X , tenemos

d∞(|f |−qnf, 0) ≤ 2a

n∀n ∈ N y, por tanto, lim

nd∞(|f |−qnf, 0) = 0.

Por ser qn un polinomio sin termino independiente y ser [W ] cerrado

para el producto y ser f ∈ [W ], es claro que qn f ∈ [W ] ∀n ∈ N.Entonces, lim

nqn f = |f | ∈ [W ].

Para cualquier f ∈ [W ], existira una sucesion (fn) ⊂ [W ] tal que

limnd∞(fn, f) = 0.

Entonces, evidentemente,

limnd∞(|fn|, |f|) = 0

y, como |fn| ∈ [W ] ∀n ∈ N , limn

|fn| = |f | ∈ [W ].

2. Para funciones acotadas arbitrarias f1, f2 es claro que

max(f1, f2) =f1 + f2 + |f1 − f2|

2, min(f1, f2) =

f1 + f2 − |f1 − f2|2

.

Como [W ] es un espacio vectorial, el resultado se deduce directamente

del punto anterior. ♦

Lema 1.1.6

Sean (X, τ) compacto Hausdorff, f ∈ C(X,R) y ux | x ∈ X ⊂ C(X,R).Entonces:

1. Si ux(x) > f(x) ∀x ∈ X ⇒ ∃ n ∈ N y ∃x1, . . . , xn ⊂ X talque la funcion M = maxux1, . . . , uxn tambien cumple que

M(x) > f(x) ∀x ∈ X.

2. Si ux(x) < f(x) ∀x ∈ X ⇒ ∃ n ∈ N y ∃x1, . . . , xn ⊂ X tal

que la funcion m = minux1, . . . , uxn tambien cumple que

m(x) < f(x) ∀x ∈ X.

Demostracion:

1. Sea Gx = y ∈ X | ux(y) > f(y). Por ser f y ux continuas, Gxes abierto y, claramente, x ∈ Gx. Por tanto, Gx | x ∈ X es uncubrimiento abierto de X . Como (X, d) es compacto, existe un n ∈ N

y existe x1, · · · , xn ⊂ X tales que Gx1 ∪ · · · ∪ Gxn = X . Es facilcomprobar que la funcion M = maxux1, . . . , uxn tiene la propiedad

deseada.

2. Se prueba de modo similar. ♦

Lema 1.1.7

Sean (X, τ) compacto Hausdorff y W ⊂ C(X,R) con la propiedad reticular:

f1, f2 ∈W ⇒ max(f1, f2) ∈W y min(f1, f2) ∈W

Entonces, dada f ∈ C(X,R) y dado ε > 0, son equivalentes:

1. ∃ g ∈W tal que |f(x) − g(x)| < ε ∀x ∈ X

2. ∃ ux,y | x, y ∈ X ⊂W tal que

|f(x)− ux,y(x)| < ε

|f(y)− ux,y(y)| < ε∀x, y ∈ X

Demostracion:

1 ⇒ 2 Si g ∈W satisface 1, la familia ux,y = g, ∀x, y ∈ X satisface 2.

2 ⇒ 1 Fijado un x ∈ X observamos que

ux,y(x) < f(x) + ε

ux,y(y) > f(y)− ε∀y ∈ X

El lema 1.1.6 aplicado a la funcion f − ε y a la familia ux,y | y ∈ Xasegura un y1, · · · , yn ⊂ X tal que Mx = maxux,y1, · · · , ux,yntambien cumple que Mx(y) > f(y) − ε ∀y ∈ X . Ademas, por lo

exigido a W , Mx ∈ W , y como ux,yi(x) < f(x) + ε ∀i = 1, . . . , n,

resulta que Mx(x) < f(x) + ε.

El lema 1.1.6 aplicado a la funcion f+ε y la familia Mx | x ∈ X ⊂W ,asegura un x1, . . . , xm ⊂ X tal que g = minMx1, . . . ,Mxm cumple

que g(x) < f(x) + ε ∀x ∈ X . Ademas g ∈ W y como Mxj(y) >

f(y) − ε ∀j = 1, . . . , m, tambien g(y) > f(y) − ε ∀y ∈ X .

Luego esta g ∈W cumple que |f(x)− g(x)|< ε ∀x ∈ X ♦

Estudiamos, a continuacion, como influye la capacidad de separar puntos.

En primer lugar suponemos una capacidad para separar fuertemente:

Lema 1.1.8

Sean (X, τ) compacto Hausdorff y W ⊂ C(X,R) con la propiedad reticular

y cumpliendo que

∀

(x, y) ∈ X ×X \∆X

(λ, µ) ∈ R × R⇒ ∃ g ∈W tal que

g(x) = λ

g(y) = µ

(propiedad reticular fuerte). Entonces W es denso en (C(X,R), d∞).

Demostracion:

Fijados f ∈ C(X,R) y ε > 0 hallaremos una g ∈W tal que d∞(f, g) < ε:

Para cualesquiera x 6= y en X , la condicion 1.1 aplicada a las parejas (x, y)

y (f(x), f(y)) asegura la existencia de una ux,y ∈W tal que ux,y(x) = f(x)y ux,y(y) = f(y). Ası, obtenemos una familia ux,y | x, y ∈ X ⊂ W quecumple la condicion 2 del lema 1.1.7 para f y ε. Ello equivale a asegurar la

existencia de una g ∈W tal que |f(x)− g(x)|< ε ∀x ∈ X. ♦

Lema 1.1.9

Sean (X, τ) compacto Hausdorff y W ⊂ C(X,R) un subespacio vectorial tal

que

1. f1, f2 ∈W ⇒ max(f1, f2) ∈W y min(f1, f2) ∈W

2. W separa puntos de X

3. 1 ∈W

Entonces W es denso en (C(X,R), d∞).

Demostracion:

Solo necesitamos probar que W cumple la condicion 1.1 del lema 1.1.8:

Fijemos x 6= y en X y cualesquiera λ, µ en R. Por tener W la capacidad deseparar los puntos de X sabemos que existe f ∈W tal que f(x) 6= f(y). La

funcion

g : X → R

z 7→ λ+ (µ− λ)f(z)− f(x)

f(y)− f(x)

cumple que g(x) = λ y g(y) = µ. Ademas, g es una combinacion lineal de f

y 1, ambas en el espacio vectorial W , luego g ∈W . ♦

Lema 1.1.10

Sean (X, τ) compacto Hausdorff yW ⊂ C(X,R) un subconjunto que cumple:

1. W separa los puntos de T

2. 1 ∈W

Entonces, [Π(W )] es denso en (C(T,R), d∞).

Demostracion:

El conjunto Π(W ) es, trivialmente, cerrado para la formacion de productos

y el lema 1.1.5 asegura que la clausura [Π(W )] formada en (B(X,R), d∞)tiene la propiedad reticular

f1, f2 ∈ [Π(W )] ⇒ max(f1, f2) ∈ [Π(W )], min(f1, f2) ∈ [Π(W )]

Como [Π(W )] ⊂ C(X,R) y C(X,R) es cerrado en (B(X,R), d∞), [Π(W )]

coincide con la clausura de [Π(W )] formada en (C(X,R), d∞).Finalmente, como [Π(W )] es un subespacio vectorial de C(X,R) que cumple

la propiedad reticular, separa los puntos de X y contiene a la funcion 1, ellema 1.1.9 asegura que [Π(W )] es denso en (C(X,R), d∞) y, en consecuencia,

tambien [Π(W )] es denso en (C(X,R), d∞) ♦

Demostracion (Stone-Weierstrass I):

Fijamos f ∈ C(X,R), ε > 0 y un compacto K no vacıo de (X, d). Necesi-

tamos encontrar una funcion g ∈ [Π(W )] tal que supx∈K

|f(x)− g(x)| < ε:

En primer lugar, constatamos que

[Π(w|K |w ∈W)] = u|K | u ∈ [Π(W )].

El sunconjunto w|K |w ∈ W ⊂ C(K,R) separa puntos de K y contiene

una funcion constante no nula. El lema 1.1.10 asegura que

[Π(w|K |w ∈W)] es denso en (C(K,R), d∞)

y , como f |K ∈ C(K,R), existe una g0 ∈ [Π(w|K |w ∈W)] tal que

supx∈K

|f(x) − g0(x)| < ε

y, por tanto, existe una g ∈ [Π(W )] tal que g|K = g0. Evidentemente, estag satisface nuestras espectativas. ♦


Observacion 1.1.11

El teorema 1.1.2 no funciona en el caso de funciones con valores complejos.Las condiciones de separar los puntos de X y contener funciones constantes

no nulas, no son suficientes para que se cumpla el lema 1.1.10 en el caso deun W ⊂ C(X,C).

Por ejemplo, X = z ∈ C | |z| ≤ 1 con la metrica canonica, es un espaciometrico compacto y el conjunto W = 1, z separa puntos de X y contiene

una funcion constante no nula. Sin embargo, [Π(W )] no es denso en C(X,C)porque la funcion z → z que es contiua, no es derivable en sentido complejo

y, por tanto, no es desarrollable en serie de potencias (ver capıtulo 7, pagina123 y teorema 4.5.7).

Teorema 1.1.12 (Stone-Weierstrass II)

Sea (X, τ) un espacio topologico de Hausdorff y sea W ⊂ C(X,C) unsubconjunto que separa los puntos de X , contiene una funcion constante

no nula y admite conjugados. Entonces, la subalgebra [Π(W )] es densa en(C(X,C), τUk

).

Demostracion:

Bastara probar que si (X, τ) es compacto Hausdorff y W ⊂ C(X,C) separalos puntos de X , contiene a la funcion 1 y admite conjugados, se verifica que

[Π(W )] es denso en (C(T,C), d∞):Sea AR = Re(f) | f ∈ [Π(W )]. Es claro que AR ⊂ [Π(W )] pues

f ∈ [Π(W )] ⇒

12f ∈ [Π(W )]12 f ∈ [Π(W )]

⇒ Re(f) =1

2f +

1

2f ∈ [Π(W )]

Ademas, AR es una subalgebra de C(X,R) que, obviamente, contiene a la

funcion 1, y separa puntos de X puesto que, si x, y son dos puntos distintosde X , existe una f ∈ W tal que f(x) 6= f(y) y, por tanto, o son separados

por Re(f) ∈ AR o por Im(f) = Re(−if) ∈ AR.El lema 1.1.10 asegura que AR es densa en (C(X,R), d∞) y, en consecuencia,

[Π(W )] = AR + iAR es denso en C(X,C) = C(X,R) + iC(X,R). ♦

Corolario 1.1.13 (Stone-Weierstrass III)

Sea (X, τ) compacto Hausdorff, sea x0 un punto dado en X y sea

C0(X,C) = f ∈ C(X,C) | f(x0) = 0.Entonces, cualquier algebra A0 ⊂ C0(X,C) que separa los puntos de X ytiene conjugados, es densa en (C0(X,C), d∞).

Demostracion:

Sea c ∈ C una constante no nula. Del teorema 1.1.12 se deduce que elconjunto W = A0 ∪ c genera un algebra densa en (C(X,C), d∞), luego

∀f ∈ C0(T,C) y ∀ε > 0 ∃g ∈ A0 y ∃a ∈ C tal que

d∞(f, g + a) <ε

2

Pero |a| = |f(t0) − g(t0) − a| ≤ d∞(f, g + a) <ε

2luego

d∞(f, g) = d∞(f + a, g + a) ≤ d∞(f, g + a) + |a| < ε. ♦La sencillez de comprobacion de las hipotesis de los teoremas 1.1.2 y 1.1.12hacen de ellos herramientas de gran aplicabilidad, como podemos ver en los

siguientes:

Comentarios 1.1.14

1. Si X = [a, b] y τ es la topologıa habitual, basta tomar

W = 1, P donde

1(x) = 1

P (x) = x∀x ∈ [a, b]

para estar en las condiciones exigidas en el lema 1.1.10. Entonces, la

familia de todos los productos de elementos de W es

Π(W ) = 1, P, P2, ..., Pn, ... donde Pn: [a, b] → R,

x 7→ xn

y [Π(W )] es el algebra de los polinomios en una variable. El lema1.1.10 nos asegura que es densa en C([a, b],R), d∞). Ası:Dada f : [a, b] → R continua y dado ε > 0

∃ Φ(x) =

k∑

n=0

anxn tal que ‖f − Φ‖∞ < ε .

2. Si X = [a, b]× [c, d] y τ es la la topologıa habitual, basta tomar

W = 1, P1, P2 donde

1(x) = 1

P1(x) = x

P2(x) = y

∀x = (x, y) ∈ [a, b]× [c, d]

para estar en las condiciones exigidas en el lema 1.1.10. Entonces, lafamilia de todos los productos de elementos de W es

Π(W ) = 1, ..., Pnm, ... donde Pnm: [a, b]× [c, d] → R,

x 7→ xnym

y [Π(W )] es el algebra de los polinomios en dos variables. El lema1.1.10 nos asegura que dada f : [a, b] × [c, d] → R continua y dado

ε > 0

∃ Φ(x) =k∑

n+m=0

an+mxnym tal que ‖f − Φ‖∞ < ε .

3. Si X = R+ y τ es la la topologıa habitual, basta tomar

W = 1, L donde

1(x) = 1

L(x) = e−x∀x ∈ R

+

para estar en las condiciones exigidas en el lema 1.1.10. La familia detodos los productos de elementos de W es

Π(W ) = 1, L, L2, ..., Ln, ... donde Ln: R+ → R,x 7→ e−nx

y dada f : R+ → R continua, ε > 0 y un compacto no vacıo K ⊂ R+,

∃ Φ(x) =

n∑

k=0

ake−kx tal que |f(x)− Φ(x)| < ε ∀x ∈ K.

En particular, C(R+,R) = [Lx | x ∈ R+], y esta igualdad es de

interes en la transformada de Laplace.

4. Si Y = C y (X, τ) = (R, e) basta tomar

W = 1, F, F−1 donde

1(x) = 1

F (x) = e−ix

F−1(x) = eix∀x ∈ R

para estar en las condiciones del teorema 1.1.2,1.1.12. La familia detodos los productos de elementos de W es

Π(W ) = . . . , F−n, . . . , F−2, F−1, 1, F, F2, . . . , Fn, . . . donde

Fk: R → C, ∀k ∈ Z

x 7→ e−ikx

y, ası, dada f : R → C continua, ε > 0 y un compacto no vacıo K ⊂ R,

∃ Φ(x) =

n∑

k=−nzke

ikx tal que |f(x)− Φ(x)| < ε ∀x ∈ K.

En particular, C(R,C) = clk([Fx | x ∈ R]) con Fx: R → C,t 7→ e−ixt

Igualmente, C(Rn,C) = clk([Fx | x ∈ Rn]) con Fx: R

n → C,

y 7→ e−i(x|y)

siendo esta igualdad de gran interes en la transformada de Fourier.

5. Si f : [−π, π] → R es una funcion continua que cumple f(−π) = f(π)

y en T = z ∈ C | |z| = 1 consideramos la traza de la topologıaeuclıdea, tambien es continua la funcion compuesta

g = f Arg: T → [−π, π] → R

z 7→ Arg(z) = t 7→ f(t)

Pensando esta g como una funcion G con llegada en C, G : T → C

tambien es continua y, ası, dado ε > 0, el teorema 1.1.12 asegura que

∃Φ(z) =

n∑

k=−nckz

k tal que ‖G− Φ‖∞ < ε

Por tanto,

|Re(G(z)− Φ(z))| = |g(z)− Re(Φ(z))| < ε ∀z ∈ T

1.2. MEDIDA E INTEGRACION 21

y, en consecuencia,∣∣∣∣∣f(t) − Re

(n∑

k=−ncke

ikt

)∣∣∣∣∣< ε ∀t ∈ [−π, π]

Ahora bien, si designamos ck = ak + ibk, tenemos

Re(ckeikt) =Re ((ak + ibk)(coskt+ i sen kt)) = ak cos kt− bk sen kt

Re(c−ke−ikt) =Re ((a−k + ib−k)(coskt− i sen kt)) = a−k cos kt+ b−k sen kt

y, por tanto,

Re(

n∑

k=−ncke

ikt) = a0 +

n∑

k=1

(ak + a−k) coskt+ (b−k − bk) sen kt

Del teorema 1.1.12 tambien se deduce, pues, la posibilidad de aprox-imar uniformemente toda funcion f : R → R continua y periodica de

periodo 2π, por polinomios trigonometricos

1.2 Medida e integracion

Una familia M de subconjuntos de un conjunto X 6= ∅ se llama σ-algebraen X cuando cumple:

1. ∅ ∈ M.

2. Si A ∈ M ⇒ Ac ∈ M (en particular X ∈ M).

3. Si An | n ∈ N ⊂ M ⇒∞⋃

n=1

An ∈ M.

Evidentemente la familia ∅, X es σ-algebra en X y la familia P(X) detodos los subconjuntos de X tambien es σ-algebra en X . Cuando se consi-

dera una σ-algebra M en un conjunto X se establece una estructura (X,M)llamada espacio medible.

Si Mi | i ∈ I es una familia de σ-algebras en X es claro que⋂

i∈IMi tambien

es σ-algebra en X . Ası, dada cualquier familia F de subconjuntos de X , lainterseccion de todas las σ-algebras en X que contienen a F es una σ-algebraen X . Por ser la mınima σ-algebra que contiene a F, se llama σ-algebra gene-

rada por F y se designa MF.Si (X, τ) es un espacio topologico, la σ-algebra Mτ generada por τ , se de-

nomina σ-algebra de Borel del espacio (X, τ).Si (X,M) e (Y,N) son espacios medibles, en X × Y se puede considerar la

familia de rectangulos medibles

R = A× B |A ∈ M , B ∈ N

La σ-algebra de X × Y generada por R se llama σ-algebra producto y se

designa M⊗ N. El espacio (X × Y,M⊗N) es el espacio medible producto.

Una medida en (X,M) es una aplicacion µ : M → [0,∞] que cumple lasdos propiedades siguientes:

1. µ(∅) = 0

2. Si (An) es una sucesion disjunta (An ∩ Am = ∅ ∀n 6= m) en M,

µ(∞⋃

n=1

An) =∞∑

n=1

µ(An)

La estructura (X,M, µ) se llama espacio de medida. Si A ∈ M decimos queA es un subconjunto medible de X con medida µ(A).

En el espacio mebible (X,P(X)) se puede definir la medida de contar

c : P(X) → [0,∞]

E → c(E) =

card(E) si card(E)< ℵ0

∞ si card(E) ≥ ℵ0

y ası obtenemos un primer ejemplo de espacio de medida (X,P(X), c).

Si el espacio de medida (X,M, µ) cumple que µ(X) = 1, se llama espa-

cio de probabilidad. A los miembros de M se les llama sucesos y en lugarde hablar de la medida de un conjunto se habla de la probabilidad de unsuceso. Cuando la probabilidad de un suceso es 0 se dice que ese suceso es

imposible y cuando es 1 se dice que es un suceso seguro.

Cualquier espacio de medida (X,M, µ) en el que µ(X) < ∞, puede serconsiderado, basicamente, como un espacio de probabilidad sin mas que

definir sobre la σ-algebra M la probabilidad

µ : M → [0,∞]

E → µ(E)

µ(X)

Algunas buenas propiedades de los espacios de medida finita son poseıdas

tambien por los espacios σ-finitos que son aquellos (X,M, µ) en los queexiste una sucesion (Xn) ⊂ M cumpliendo que

X =

∞⋃

n=1

Xn y µ(Xn) <∞ ∀n ∈ N

.

Comentarios 1.2.1

1. La aditividad numerable implica la aditividad finita de la medida puessi en la sucesion disjunta (An) ⊂ M tenemos Am = ∅ ∀m > k,

µ(A1 ∪ · · · ∪ Ak) = µ(A1) + · · ·+ µ(Ak)

2. Si A ⊂ B son medibles,

µ(A) ≤ µ(B) y µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).

3. Si (An) es cualquier sucesion en M,

µ(

∞⋃

n=1

An) ≤∞∑

n=1

µ(An).

4. Si una sucesion (En) ⊂ M es expansiva, E1 ⊂ E2 ⊂ · · · ⊂ En ⊂ . . . ,

y E =∞⋃

n=1

En, se cumple que µ(E) = limn→∞

µ(En).

5. Si una sucesion (Cn) ⊂ M con µ(C1) < ∞ es contractiva, C1 ⊃ C2 ⊃

· · · ⊃ Cn ⊃ . . . , y C =

∞⋂

n=1

Cn, se cumple que µ(C) = limn→∞

µ(Cn).

6. Si (X,M) e (Y,N) son espacios medibles, y P ∈ M⊗N, sus seccionesson medibles:

Px = y : (x, y) ∈ P ∈ N ∀x ∈ X

P y = x : (x, y) ∈ P ∈ M ∀ y ∈ Y .

En efecto:

Ambas se demuestran igual. Hagamos la primera:Sea Ω = P ⊂ X × Y | Px ∈ N la familia de subconjuntos que

cumplen lo deseado. Es facil probar:

(a) X × Y ∈ Ω

(b) Si P ∈ Ω ⇒ P c ∈ Ω

(c) Si P1, P2 ∈ Ω ⇒ P1 ∪ P2 ∈ Ω

(d) Si (Pi) ⊂ Ω es una sucesion expansiva ⇒∞⋃

i=1

Pi ∈ Ω

Por tanto, Ω es σ-algebra y, como cualquier rectangulo esta en Ω,M ⊗ N ⊂ Ω. Es decir, si P ∈ M ⊗ N resulta que Px ∈ N.


Ejemplos 1.2.2 Espacios de probabilidad

En (X,P(X)) podemos definir las siguientes probabilidades:

1. Para cada x ∈ X , la probabilidad de Dirac:

δx : P(X) → [0,∞]

E → δx(E) =

1 six ∈ E0 six /∈ E

2. Combinaciones convexas de probabilidades de Dirac:Si x0, · · · , xn son puntos distintos de X y α0, · · · , αn son reales posi-

tivos tales que∑n

i=0 αi = 1, la aplicacion

n∑

i=0

αiδxi: P(X) → [0,∞]

E 7→∑

xj∈Eαj

es claramente una probabilidad. En particular,

(a) Si X = R, x0 = 0, x1 = 1, α0 = p, α1 = 1 − p tenemos laprobabilidad de Bernouilli de parametro p

(b) Si X = R, x0 = 0,· · · , xn = n y αi = 1n+1 ∀i = 0, · · · , n tenemos

la probabilidad uniforme.

(c) Si X = R, x0 = 0,· · · , xn = n y αi =(ni

)piqn−i ∀i = 0, . . . , n

con p ∈ (0, 1) y q = 1 − p tenemos la probabilidad binomial deparametros (n, p) que esta basada en la formula del binomio de

Newton

(p+ q)n =

n∑

i=0

(n

i

)

piqn−i = 1

3. Series convexas de probabilidades de Dirac:

Si x0, · · · , xn, · · · es un subconjunto numerable de X y

∞∑

i=0

αi = 1

es una serie de reales positivos, la aplicacion

∞∑

i=0

αiδxi: P(X) → [0,∞]

E 7→∑

xj∈Eαj

es, tambien, una probabilidad. En particular,

(a) Si X = R, xn = n, αn = (1−p)pn ∀n ∈ N y p ∈ (0, 1), tenemos

la probabilidad geometrica de parametro p que esta basada en

la propiedad de la serie geometrica∞∑

n=0

(1 − p)pn = 1.

(b) Si X = R, xn = n, αn =e−λλn

n!∀n ∈ N y λ > 0, tenemos La

probabilidad de Poisson de parametro λ que esta basada en la

propiedad de la serie exponencial∞∑

n=0

e−λλn

n!= 1.

1.2.3 Funciones medibles.

Sea (X,M, µ) un espacio de medida, Y un conjunto cualquiera y f : X → Y

una funcion cualquiera. Es inmediato comprobar que

Mf = B ⊂ Y | f−1(B) ∈ M

es una σ-algebra en Y y en ella se puede definir la medida

µf : Mf → [0,∞]

B → µ[f−1(B)]

El espacio de medida (Y,Mf , µf) es el adecuado para estudiar los datos f(x)de los elementos de X . Si µ es una probabilidad, µf es tambien una proba-

bilidad que se llama ”ley de f”.

Si el conjunto Y esta dotado de una topologıa τ son de gran interes lasfunciones f : X → Y para las que τ ⊂ Mf porque ello significa que van

a ser µf -medibles todos los subconjuntos importantes de (Y, τ), como losabiertos, los cerrados, los compactos, los Fσ o los Gδ. Tales funciones se

llaman medibles.

Teorema 1.2.4

Si (X,M) es un espacio medible y en R se considera la topologıa habitual,una f : X → R es medible si y solo si se cumple una cualquiera de las

siguientes condiciones equivalentes:

i) x : f(x) ≥ a ∈ M ∀ a ∈ R

ii) x : f(x) > a ∈ M ∀ a ∈ R

iii) x : f(x) < a ∈ M ∀ a ∈ R

iv) x : f(x) ≤ a ∈ M ∀ a ∈ R

v) f−1(I) ∈ M ∀ intervalo I ⊂ R.

Demostracion:

Es consecuencia directa de que la topologıa habitual de R esta generada porla familia (a,+∞) | a ∈ R ∪ (−∞, b) | b ∈ R. ♦

Consecuencias 1.2.5

1. Cualquier f : X → R constante es medible.

2. Cualquier f : X → R que tome solo los valores 0, 1 es mediblesi y solo si E = x ∈ X | f(x) = 1 ∈ M. Tal funcion se llamacaracterıstica del conjunto E y se denota 1E .

3. Cualquier f : X → R que tome solo un numero finito de valoresdistintos α1, . . . , αn ⊂ R+ es medible si y solo si

Ei = x ∈ X | f(x) = αi = f−1(αi) ∈ M ∀i = 1, · · · , n.

Tal funcion se llama simple y es claro que f =

n∑

i=1

αi 1Ei.

4. Si f : X → R y g : X → R son medibles, f + g y f · g son medibles.

5. Llamamos soporte de f : X → R al conjunto Sf = y ∈ X | f(x) 6= 0.En el podemos definir la σ-algebra y la funcion:

M|Sf= A∩ Sf |A ∈ M y 1

f : Sf → R.

x 7→ 1f(x)

Entonces, si f : X → R es medible, 1f : Sf → R tambien es medible.

En efecto, el conjunto x ∈ Sf | 1f(x)

> α resulta ser:

Si α > 0,

x ∈ X | f(x) <1

α ∩ Sf ∈ M|Sf

.

Si α < 0,

(

x ∈ X | f(x) > 0 ∪ x ∈ X | f(x) <1

α)

∩ Sf ∈ M|Sf.

Si α = 0,

x ∈ X | f(x) > 0 ∩ Sf ∈ M|Sf.

Teorema 1.2.6

Si (X,M) e (Y,N) son espacios medibles, (Z, τ) es un espacio topologico yF : X × Y → Z es M ⊗ N-medible, las funciones parciales F (x, ·) : Y → Z

y F (·, y) : X → Z son medibles, respecto de N y M.

Demostracion:

Ambas se demuestran igual. Probemos que F (x, ·) : Y → Z es N-medible:

[F (x, ·)]−1(V ) = y | F (x, y) ∈ V = y | (x, y) ∈ F−1(V ) = [F−1(V )]x

y sabemos que F−1(V ) ∈ M ⊗ N ∀V ∈ τ y que cualquier x-seccion de un

M ⊗ N-medible es N-medible. ♦

Teorema 1.2.7

Sea (X,M) un espacio medible y supongamos en R la topologıa habitual 1 Si

(fn : X → R) es una sucesion de funciones medibles, tambien son medibles:

1) sup fn. 2) inf fn, 3) lim inf fn, 4) lim sup fn

Demostracion:

1. x ∈ X | sup(fn(x)) > a =

∞⋃

n=1

x ∈ X | fn(x) > a.

2. inf fn = − sup(−fn).

3. lim inf(fn(x)) = supn∈N

[ infk≥n

(fk(x))]

4. lim sup(fn(x)) = infn∈N

[supk≥n

(fk(x))]. ♦

Consecuencias 1.2.8

1. Si (fn) → f puntualmente, f es medible.

2. Si f, g son medibles, tambien lo son maxf, g y minf, g.

3. Si f es medible, f+ = maxf, 0 y f− = −minf, 0 son medibles.

Ası, |f | = f+ + f− es medible y f = f+ − f− puede expresarse comodiferencia de dos funciones medibles positivas.

Para finalizar la presentacion de estas importantes funciones, damos un teo-

rema acerca de su estructura.

Teorema 1.2.9

Sea (X,M, µ) un espacio de medida y sea [0,∞] con su topologıa habitual.

Si f : X → [0,∞] es medible, existe una sucesion de funciones simplesmedibles (sn) tal que

1Los entornos de +∞ son de la forma x ∈ R |x > k ∪ +∞ y los de −∞ son de laforma x ∈ R |x < k ∪ −∞

1. 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ · · · ≤ sn ≤ · · · ≤ f

2. (sn) → f puntualmente.

Expresaremos conjuntamente los dos puntos escribiendo (sn) f .

Demostracion:

Para la identidad I : [0,∞] → [0,∞] construimos la sucesion (ϕn) de fun-

ciones simples medibles Borel donde

ϕn(x) =

k

2n, si

k

2n≤ x <

k + 1

2n, k = 0, 1, . . . , n2n − 1

n , si x ≥ n

que cumple

- 0 ≤ ϕ1 ≤ ϕ2 ≤ · · · ≤ ϕn ≤ · · · ≤ I

- (ϕn) → I puntualmente

Entonces, definiendo sn = ϕn f ∀n ∈ N, obtenemos (sn) que cumple lasdos exigencias porque

1. 0 ≤ ϕ1 f ≤ · · · ≤ ϕn f ≤ · · · ≤ I f

2. (ϕn f) → I f puntualmente ♦

1.2.10 La integral respecto a una medida

Sea (X,M, µ) un espacio de medida y f : X → K una funcion medible

donde K es [0,∞], R, R, C o Rn, con sus respectivas topologıas habituales.

Queremos definir una integral de f en X respecto de µ,

∫

Xf dµ,

de modo que se verifiquen, en el maximo grado posible, las exigencias de

linealidad, las intuiciones geometricas y las mejores propiedades de paso allımite. Naturalmente, una vez definido este concepto, sera natural ampliarlo

en el siguiente sentido:

∫

Ef dµ =

∫

Xf · 1E dµ ∀E ∈ M

En todo lo que sigue convenimos que 0 · ∞ = ∞ · 0 = 0.

Definicion 1.2.11

1. Si 1E : X → [0,∞] es la caracterıstica del conjunto E ∈ M,∫

X1E dµ = µ(E)

La grafica de la funcion caracterıstica 1E , pide a gritos esta forma dedefinir para conservar la regla ”medida del rectangulo = medida de la

base × medida de la altura”.

2. Si s : X → [0,∞] es la funcion simple medible con representacion

disjunta s =

n∑

i=1

αi1Ei,

∫

Xs dµ =

n∑

i=1

αiµ(Ei).

Esta forma de definir viene obligada por la pretendida linealidad dela integral. Ademas, el convenio 0 · ∞ = ∞ · 0 = 0 lo adoptamos

para que αiµ(Ei) sea nulo tanto si αi = 0 y µ(Ei) = ∞ como siαi = ∞ y µ(Ei) = 0. Queremos que la integral de una funcion nula

en un conjunto de medida infinita sea nula y que la integral de unafuncion infinita en un conjunto de medida nula sea, tambien, nula.

3. Si f : X → [0,∞] es medible,∫

Xf dµ = sup

∫

Xs dµ | s es simple medible y 0 ≤ s ≤ f

.

4. Si f : X → R es medible,∫

X

f dµ =

∫

X

f+ dµ−∫

X

f− dµ.

Esta forma de definir viene obligada por la descomposicion f = f+−f−y la pretendida linealidad de la integral. Sin embargo, puede sucederque

∫

X f+ dµ =

∫

X f− dµ = ∞ y, entonces,

∫

X f dµ = ∞ − ∞ no

estarıa definida. Esto no sucede si∫

Xf+ dµ <∞ y

∫

Xf− dµ <∞

en cuyo caso diremos que f : X → R es integrable.

5. Si f : X → C es medible, tambien lo son Ref e Imf . Entonces,∫

Xf dµ =

∫

XRe f dµ+ i

∫

XIm f dµ.

Tambien aquı es necesario exigir que Ref e Imf sean integrables.


6. Si f : X → Rn es medible, tambien lo es Pif : X → R ∀i = 1 . . .n.

Entonces,∫

Xf dµ =

(∫

XP1 f dµ, . . . ,

∫

XPn f dµ

)

Tambien aquı sera necesario exigir que todas las Pif sean integrables.

Comentarios 1.2.12

1. Si s : X → [0,∞] es una funcion simple medible, es claro que c · stambien lo es ∀c ≥ 0. Ademas,

∫

X

c · s dµ = c

∫

X

s dµ

Sin embargo la linealidad en otros casos hay que probarla:La suma de las funciones simples medibles s, r : X → [0,∞] con

representaciones

s =

n∑

i=1

αi1Eiy r =

m∑

j=1

βj1Fj

donde Ei es disjunta y Fj es disjunta, es otra funcion simple quetoma el valor αi + βj en cada conjunto de la particion de X

Ei ∩ Fj | ∀ i = 1, . . . , n, ∀ j = 1, . . . , mAsı,

∫

X(s+ r) dµ =

n,m∑

i,j=1

(αi + βj)µ(Ei ∩ Fj) =

=

n∑

i=1

(

m∑

j=1

αiµ(Ei ∩ Fj)) +

m∑

j=1

(

n∑

i=1

βjµ(Ei ∩ Fj)) =

=n∑

i=1

αiµ(Ei) +m∑

j=1

βjµ(Fj) =

∫

X

s dµ+

∫

X

r dµ

Este resultado prueba, de paso, que la definicion de integral para una

funcion simple, no depende de que en su representacion s =

n∑

i=1

αi1Ei

la familia Ei sea disjunta o no lo sea.

2. Si s : X → [0,∞] es una funcion simple medible, la aplicacion

ν : M → [0,∞]

E →∫

E

s dµ

es una medida en M. En efecto:

(a) ν(∅) =∫

X s · 1∅ dµ = 0 · µ(X) = 0.

(b) Si (Aj) es una sucesion disjunta en M, se tiene:

ν(∞⋃

j=1

Aj) =

∫

X

s · 1∪Ajdµ =

n∑

i=1

αiµ(Ei ∩ [∞⋃

j=1

Aj]) =

=

n∑

i=1

αiµ(

∞⋃

j=1

(Ei ∩Aj)) =

n∑

i=1

αi(

∞∑

j=1

µ(Ei ∩Aj)) =

=

∞∑

j=1

(

n∑

i=1

αiµ(Ei ∩ Aj)) =

∞∑

j=1

∫

Xs · 1Aj

dµ =

∞∑

j=1

ν(Aj)

De paso, queda probado que si s : X → [0,∞] es simple medible y(Aj) es una sucesion disjunta de conjuntos medibles,

∫

∪Aj

s dµ =∞∑

j=1

∫

Aj

s dµ.

3. La monotonıa es trivial para funciones simples medibles:

s1 ≤ s2 ⇒∫

Xs1 dµ ≤

∫

Xs2 dµ.

Por ello, el punto 3 de la definicion, aplicado a cualquier funcion simple

medible s, es consistente con el punto 2.

4. Por el punto 3 de la definicion 1.2.11, la monotonıa tambien es trivial

para funciones positivas

f1 ≤ f2 ⇒∫

Xf1 dµ ≤

∫

Xf2 dµ

Como consecuencia, A ⊂ B ⇒∫

A f dµ ≤∫

B f dµ puesto que

∫

Xf · 1A dµ ≤

∫

Xf · 1B dµ

5. La monotonıa de la integral nos asegura que la condicion necesaria ysuficiente para que una f : X → K medible sea integrable es que

∫

X

|f | dµ <∞

en cualquiera de los casos K = R, K = R o K = C. Ademas∣∣∣∣

∫

Xf dµ

∣∣∣∣≤∫

X|f | dµ


6. El teorema 1.2.9 y el punto 3 de la definicion 1.2.11 aseguran que para

toda f : X → [0,∞] medible

∫

Xf dµ = lim

n→∞

∫

Xsn dµ si (sn) f

La definicion 1.2.11 se la debemos a Lebesgue. Si la comparamos con ladefinicion de integral dada previamente por Riemann, observaremos que el

aleman hace particiones en X y suma los productos de la medida de cadaparte por un valor cualquiera de los que toma la funcion en esa parte mien-tras el frances trata, ante todo, de saber como es la funcion y realiza las

particiones que convienen a su grafica. Ası, cuando la funcion es simple,

toma la particion X =

n⋃

i=1

Ei siendo Ei = f−1(αi).

El contraste entre los dos procedimientos se pone claramente de manifiesto

en el clasico ejemplo del comerciante ordenado: Para contar el dinero quehay sobre una mesa, Riemann dividirıa la mesa segun una cuadrıcula, con-

tarıa el valor de las monedas de cada casilla y sumarıa para todas las casillas.Sin embargo, Lebesgue se preocuparıa de saber que valores tienen las mon-

edas que hay sobre la mesa (α1 = 0.02, α2 = 0.05, α3 = 0.10, α4 = 0.2,α5 = 0.5, α6 = 1 y α7 = 2) y cuantas hay de cada valor (Ei = v−1(αi) y

c(Ei) numero de monedas de αi euros). Luego harıa simplemente

7∑

i=1

αi · c(Ei)

1.2.13 Teoremas de convergencia

Esta seccion esta dedicada al estudio del comportamiento de la integral de

Lebesgue en los procesos de paso al lımite. Veremos que en condicionesmuy generales los lımites puntuales de funciones integrables Lebesgue son

funciones integrables Lebesgue, lo cual supone una mejora respecto al com-portamiento de la integral de Riemann. Ademas, en general, el lımite de las

integrales va a coincidir con la integral del lımite.

Teorema 1.2.14 Teorema de la convergencia monotona

Sea (fn : X → [0,∞]) una sucesion de funciones medibles tales que

0 ≤ f1(x) ≤ f2(x) ≤ · · · ≤ fn(x) ≤ · · · ≤ ∞ ∀x ∈ X

El lımite puntual de (fn), que lo llamamos f , es medible y

∫

X

f dµ = limn→∞

∫

X

fn dµ.


Demostracion:

Ya sabemos que f es medible y( ∫

X fn dµ)

es creciente. Por tanto, existe

limn→∞

∫

Xfn dµ = α ∈ [0,∞]

Como fn ≤ f , la monotonıa asegura que∫

X

fn dµ ≤∫

X

f dµ ∀n ∈ N,

luego α ≤∫

X f dµ. Para probar la desigualdad contraria, tomamos cualquiers simple medible, 0 ≤ s ≤ f , consideramos cualquier c ∈ (0, 1) y fabricamos

la sucesion de conjuntos medibles En = x | fn(x) ≥ cs(x) que, evidente-

mente, es expansiva y, ademas,

∞⋃

n=1

En = X . En efecto:

Dado cualquier x ∈ X , o bien f(x) = 0 y, entonces, x ∈ E1, o bienf(x) > 0 y, entonces, f(x) > cs(x). En este caso ha de existir un n0

tal que fn0(x) ≥ cs(x) y, ası, x ∈ En0.Ası tenemos,

∫

X fn dµ ≥∫

Enfn dµ ≥

∫

Encs dµ = c

∫

Ens dµ y utilizando la

medida ν inducida por s (comentario 1.2.12.2) resulta que∫

X

fn dµ ≥ cν(En) ∀n ∈ N.

Tomando lımites, α ≥ c · limn→∞

ν(En) = c · ν(X) = c ·∫

Xs dµ y, como esto

es cierto ∀ c ∈ (0, 1), tambien lo es para c = 1. Luego, α ≥∫

X

s dµ y, como

esto vale ∀ s ≤ f , resulta que α ≥∫

Xf dµ. ♦

Consecuencias 1.2.15

1. Si (fn : X → [0,∞]) es una sucesion de funciones medibles y

f(x) =∞∑

n=1

fn(x) ∀x ∈ X

es claro que (gk) f siendo gk =

k∑

n=1

fn. Por tanto,

limk→∞

∫

Xgk dµ =

∫

Xf dµ

Es decir,

∫

X

f dµ = limk→∞

k∑

n=1

∫

X

fn dµ =∞∑

n=1

∫

X

fn dµ.


2. Dada cualquier f : X → [0,∞] medible, si (Xn) es una particion de

X , podemos definir fn = f · 1Xn . Puesto que f =∞∑

n=1

fn, se cumple

∫

Xf dµ =

∞∑

n=1

∫

Xfn dµ =

∞∑

n=1

∫

Xn

f dµ

que es la generalizacion de la propiedad aditiva del intervalo.

3. Sea (Y, τ) un espacio topologico, f : X → Y una funcion medible yg : Y → K una funcion medible Borel. Entonces, si µf es la ley de f ,

∫

X

g f dµ =

∫

Y

g dµf

En efecto:Por linealidad basta probarlo en el caso K = [0,∞] para cualquier

g : Y → [0,∞] medible Borel.

(a) Si g = 1B el resultado es obvio pues 1B f = 1f−1(B) y

∫

X1f−1(B) dµ = µ[f−1(B)] = µf (B) =

∫

Y1B dµf

(b) Si g es simple medible el resultado se deduce de (a) por linealidad.

(c) Si g : Y → [0,∞] es cualquier funcion medible Borel, el teorema1.2.9 asegura la existencia de una sucesion de funciones simples

medibles Borel, (sn) g. Entonces,

∫

Xg f dµ = lim

n→∞

∫

Xsn f dµ =

= limn→∞

∫

Y

sn dµf =

∫

Y

g dµf .

En particular, si f : X → [0,∞] es medible e I es la identidad,

∫

Xf dµ =

∫

[0,∞]I dµf

4. Si (X,M, µ) es un espacio de medida y f : X → [0,∞] una funcionmedible, podemos definir la nueva medida

ν : M → [0,∞]

E →∫

Ef dµ


Ademas, si g : X → [0,∞] es cualquier funcion medible, se cumple

∫

Xg dν =

∫

Xg · f dµ

cuestion que se suele expresar abreviadamente escribiendo dν = fdµ.

En efecto:

(a) ν(∅) =∫

∅ f dµ =∫

X f · 1∅ dµ = 0 · µ(X) = 0

(b) Sea (Ei) una sucesion disjunta de conjuntos medibles y sea E =∞⋃

i=1

Ei. Evidentemente, 1E =

∞∑

i=1

1Ei. Entonces,

ν(E) =

∫

Ef dµ =

∫

Xf · 1E dµ =

∫

X(

∞∑

i=1

f · 1Ei) dµ =

=∞∑

i=1

∫

X

f · 1Eidµ =

∞∑

i=1

∫

Ei

f dµ =∞∑

i=1

ν(Ei).

Para probar que dν = fdµ procedemos como ya es habitual:

(a) Si g = 1E, la igualdad∫

X g dν =∫

X g · f dµ se reduce a

∫

X1E dν = ν(E) =

∫

X1E · f dµ =

∫

Ef dµ

que es la propia definicion de ν.

(b) Si g es simple, el resultado se sigue de la linealidad de la integral.

(c) Si g es cualquiera, tomamos (sn) g y aplicamos 1.2.14:

∫

Xg dν = lim

n→∞

∫

Xsn dν = lim

n→∞

∫

Xsn · f dµ =

∫

Xg · f dµ.

Lema 1.2.16 Lema de Fatou

Si (fn : X → [0,∞]) es una sucesion de funciones medibles, se cumple que

∫

Xlim inf fn dµ ≤ lim inf

∫

Xfn dµ.

Demostracion:

Como lim inf(fn(x)) = supn∈N

[ infk≥n

(fk(x))], designando gn(x) = infk≥n

(fk(x))

obtenemos una sucesion de funciones medibles (gn) lim inf fn.El teorema 1.2.14 asegura que

∫

X

lim inf fn dµ = limn→∞

∫

X

gn dµ.

Ademas, como gn ≤ fn, resulta que∫

X gn dµ ≤∫

X fn dµ y, por tanto,

lim inf

∫

X

gn dµ ≤ lim inf

∫

X

fn dµ.

Ahora bien,

lim inf

∫

Xgn dµ = lim

n→∞

∫

Xgn dµ

y en consecuencia,∫

X

lim inf fn dµ = limn→∞

∫

X

gn dµ ≤ lim inf

∫

X

fn dµ.

Teorema 1.2.17 Teorema de la convergencia dominada

Sea (fn : X → K) una sucesion de funciones medibles que converge pun-tualmente a una funcion f . Si (|fn|) esta dominada por una g : X → K

integrable, es decir, si |fn(x)| ≤ g(x) ∀ (n, x) ∈ N ×X , se cumple:

1. f : X → K tambien es integrable.

2. limn→∞

∫

X

|fn − f | dµ = 0.

3. limn→∞

∫

X

fn dµ =

∫

X

f dµ.

Demostracion:

1. Sabemos que f es medible. Como |f | ≤ g, la monotonıa de la integralasegura que

∫

X |f | dµ ≤∫

X g dµ <∞. Luego f es integrable.

2. Como |fn − f | ≤ 2g, (2g − |fn − f |) es una sucesion de funciones

medibles positivas. El lema de Fatou dice que∫

Xlim inf(2g − |fn − f |) dµ ≤ lim inf

∫

X(2g − |fn − f |) dµ.

Por tanto,∫

X2g dµ ≤

∫

X2g dµ+ lim inf

(

−∫

X|fn − f | dµ

)

.

Cancelando∫

X 2g dµ, que es finita, tenemos

0 ≤ lim inf(

−∫

X|fn − f | dµ

)

= − lim sup

∫

X|fn − f | dµ.

Por tanto, lim sup∫

X |fn − f | dµ ≤ 0 y, como estas integrales son po-

sitivas, resulta que

0 ≤ lim inf

∫

X

|fn − f | dµ ≤ lim sup

∫

X

|fn − f | dµ ≤ 0.

Es decir,

limn→∞

∫

X|fn − f | dµ = 0.

3. Sabemos que |∫

X(fn − f) dµ| ≤∫

X |fn − f | dµ. Entonces,

(∣∣∣∣

∫

X(fn − f) dµ

∣∣∣∣

)

→ 0

y, por tanto,

limn→∞

∫

Xfn dµ =

∫

Xf dµ. ♦

1.2.18 Los espacios Lp(X, µ) (1 ≤ p < ∞)

Sea (X,M, µ) un espacio de medida. El conjunto de funciones

L1(X, µ) = f : X → R | f medible y

∫

X|f |dµ <∞

es un espacio vectorial real y la aplicacion

σ1 : L1(X, µ) → R+

f →∫

X|f | dµ

es, claramente, homogenea en valor absoluto y subaditiva:

1. σ1(λf) = |λ|σ1(f), ∀λ ∈ K y ∀ f ∈ L1(X, µ).

2. σ1(f + g) ≤ σ1(f) + σ1(g), ∀ f, g ∈ L1(X, µ).

Sin embargo, de la condicion σ1(f) = 0 no podemos deducir la nulidad def y, ası, σ1 es solo una seminorma.

Por ejemplo, si µ es la medida de Dirac δx0 y X 6= x0, es evidente que

∫

X

|f | dµ =

∫

x0|f | dµ+

∫

X\x0|f | dµ = |f(x0)|

En este caso, σ1(f) = 0 ⇔ f(x0) = 0 y no importa que f no sea nula enX \ x0. Este ejemplo no es una peculiaridad de δx0 , sino una ley general:

Teorema 1.2.19

Sea (X,M, µ) un espacio de medida y f ∈ L1(X, µ). Entonces,

σ1(f) = 0 ⇔ ∃E ∈ M con µ(X \ E) = 0 tal que f se anula en E.

Demostracion:

⇒) Designemos An = x ∈ X | |f(x)| > 1n. La monotonıa de la integral

asegura que 1nµ(An) ≤

∫

An|f | dµ ≤

∫

X |f | dµ = 0 y, ası, µ(An) = 0 ∀n ∈ N.

Entonces, A = x ∈ X | |f(x)| > 0 =

∞⋃

n=1

An tiene medida nula y f se

anula en X \ A. Evidentemente, E = X \ A es el conjunto buscado.

⇐) Si existe E ∈ M cumpliendo las condiciones tendremos

σ1(f) =

∫

X|f | dµ =

∫

E|f | dµ+

∫

X\E|f | dµ = 0. ♦

Cuando una propiedad se cumple en un E ⊂ X tal que µ(X \ E) = 0,

se dice que dicha propiedad se cumple casi por doquier (presque partout,almost everywhere) y se escribe µ · ae. Ası, el resultado anterior se suele

enunciar:

σ1(f) = 0 ⇔ f = 0 µ · ae

Teorema 1.2.20

Sea S el subespacio vectorial f ∈ L1(X, µ) | σ1(f) = 0 y sea L1(X, µ) el

espacio cociente L1(X, µ)/S. Entonces se cumple:

1. La aplicacion

‖ ‖1 : L1(X, µ) → R

+

f + S →∫

X|f | dµ

esta bien definida y es una norma en L1(X, µ).

2. El espacio (L1(X, µ), ‖ ‖1) es un espacio de Banach.

Demostracion:

1. Si f1 +S = f2 +S es claro que f1−f2 ∈ S. Por tanto, σ1(f1−f2) = 0.Pero |σ1(f1) − σ1(f2)| ≤ σ1(f1 − f2) y, ası, σ1(f1) = σ1(f2). Luego

‖ · ‖1 esta bien definida. Trivialmente es norma.

2. Probaremos que toda sucesion (fn + S) ⊂ L1(X, µ) absolutamente

sumable, es sumable. Es decir, probaremos que

∞∑

1

∫

X|fn|dµ = M <∞ ⇒

∞∑

1

fn ∈ L1(X, µ)

Sea ϕn(x) =

n∑

1

|fi(x)|. Entonces, ‖ϕn + S‖1 ≤n∑

1

‖fi + S‖1 ≤ M y,

en consecuencia∫

X ϕn dµ ≤M ∀n ∈ N.

Para cada x ∈ X , (ϕn(x)) es creciente y converge a algun punto ϕ(x)

de [0,∞]. Ası, definimos ϕ : X → [0,∞] que es medible y segun Fatou,∫

X ϕ dµ ≤ M . Luego existe un E ⊂ X tal que µ(X \ E) = 0 dondeϕ(x) < ∞ ∀x ∈ E. Es decir

∑∞1 |fn(x)| < ∞ ∀x ∈ E. Como R es

completo, tambien ocurre que∑∞

1 fn(x) ∈ R ∀x ∈ E y, ası, definimos

f : E → R

x→∞∑

1

fn(x).

En el espacio heredado (E,ME, µE), designando gn = f1|E+· · ·+fn|E,tenemos una sucesion (gn : E → R) de funciones ME-medibles que

converge puntualmente a f y esta dominada por ϕ. El teorema 1.2.17asegura que

f ∈ L1(E, µE) y limn→∞

∫

E|f − gn| dµE = 0

Ahora, extendiendo la f , definimos la f : X → R

f(x) =

f(x) six ∈ E

0 six /∈ E

Es claro que f ∈ L1(X, µ) y por cumplir,

limn→∞

∫

X|f −

n∑

i=1

fi| dµ = limn→∞

∫

E|f − gn| dµE = 0

resulta que f =

∞∑

n=1

fn. ♦

Las funciones que coinciden en un conjunto E tal que µ(X \ E) = 0 y son

medibles e integrables en el, quedan identificadas, y pasan a constituir unelemento del espacio normado (L1(X, µ), ‖ ‖1).

Si p es un numero real que cumple 1 < p <∞, designamos

Lp(X, µ) = f : X → R | f medible y

∫

X

|f |p dµ <∞

y

σp : Lp(X, µ) → R+

f →(∫

X|f |p dµ

) 1p

De modo no tan sencillo como en el caso p = 1, tambien podemos probar:

Teorema 1.2.21

Sea Sp el subespacio vectorial f ∈ Lp(X, µ) | σp(f) = 0 y sea Lp(X, µ) el

espacio cociente Lp(X, µ)/Sp. Entonces se cumple:

1. La aplicacion

‖ ‖p : Lp(X, µ) → R

+

f + Sp →(∫

X|f |p dµ

) 1p

esta bien definida y es una norma en Lp(X, µ).

2. El espacio (Lp(X, µ), ‖ ‖p) es un espacio de Banach.

Comentarios 1.2.22

1. Si X = 1, 2, . . . , n, M = P(X) y µ = c (medida de contar), una

f ∈ Lp(X, c) es una n-tupla de numeros reales (f(1), . . . , f(n)) y

‖f‖p =

(∫

X

|f | dµ)1

p

=

(n∑

i=1

∫

i|f |p dc

) 1p

=

(n∑

i=1

|f(i)|p) 1

p

En este caso,

(Lp(X, c), ‖ ‖p) = (Rn, ‖ ‖p)

2. El espacio (L2(X, µ), ‖ ‖2) es un espacio de Hilbert porque es un Ba-nach cuya norma procede del producto escalar:

(f | g) =

∫

Xf · g dµ

3. Dado un espacio de medida (X,M, µ) σ-finito, siempre existe una

funcion ω ∈ L1(X, µ) tal que 0 < ω(x) < 1 ∀x ∈ X . En efecto:

Sea X =

∞⋃

n=1

Xn disjunta con µ(Xn) <∞ ∀n ∈ N. Definimos:

ωn : X → R

x 7→

2−n

1 + µ(Xn)six ∈ Xn

0 six /∈ Xn.

La funcion ω =

∞∑

n=1

ωn, que es medible y verifica 0 < ω < 1, es

integrable pues

∫

X|ω|dµ ≤

∞∑

n=1

2−n · µ(Xn)

1 + µ(Xn)<

∞∑

n=1

2−n <∞.

1.2.23 Modos de convergencia

Si X es un conjunto no vacıo, (fn : X → R) es una sucesion de funciones y

f : X → R es otra funcion, ya conocemos las siguientes definiciones:

1. (fn) → f puntualmente si ∀ε > 0 y ∀x ∈ X , ∃n(ε, x) ∈ N tal que

|fn(x) − f(x)| < ε ∀n > n(ε, x)

2. (fn) → f uniformemente si ∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N tal que

|fn(x)− f(x)| < ε ∀n > n(ε) ∀x ∈ X

Evidentemente, ambas definiciones son equivalentes cuando X es un con-

junto finito. Si X es un conjunto infinito la convergencia uniforme implicala puntual pero no podemos asegurar la implicacion contraria.

Cuando en X tenemos una estructura de medida (X,M, µ) y las funcionesfn y f son medibles, ademas de las ya conocidas definiciones:

3. (fn) → f puntualmente µ-a.e.

4. (fn) → f en Lp(X, µ) con 1 ≤ p <∞

podemos dar las siguientes definiciones, tal vez desconocidas para el lector:

5. (fn) → f en L∞(X, µ) si ∃E ∈ M con µ(E) = 0 tal que

(fn) → f uniformemente en X \E

6. (fn) → f µ-a.e. uniformemente si ∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N y ∃E(ε) ∈ M

tal que

µ(E(ε)) ≤ ε y |fn(x)− f(x)| < ε ∀n > n(ε) y ∀x ∈ X \ E(ε)

7. (fn) → f en medida si ∀ε > 0 se tiene que

(µx ∈ X | |fn(x)− f(x)| ≥ ε) → 0


Teorema 1.2.24

Sea (X,M, µ) un espacio de medida, (fn : X → R) una sucesion de funcionesmedibles y f : X → R una funcion medible. Se cumple:

1. (fn) → f uniformemente ⇒ (fn) → f in L∞(X, µ)

2. (fn) → f in L∞(X, µ)⇒ (fn) → f µ-a.e. uniformemente.

3. (fn) → f µ-a.e. uniformemente ⇒ (fn) → f puntualmente µ-a.e.

4. (fn) → f µ-a.e. uniformemente ⇒ (fn) → f en medida

5. (fn) → f in L1(X, µ)⇒ (fn) → f en medida

Demostracion:

1. Se cumple que (fn) → f en L∞(X, µ) con E = ∅.

2. Se cumple que (fn) → f µ-a.e uniformemente con E(ε) = E ∀ε > 0y µ(E) = 0.

3. Inmediato.

4. Inmediato.

5.

1.2.25 Teoremas de Fubini

Teorema 1.2.26

Si (X,M, µ) y (Y,N, ν) son espacios de medida, dado Q ∈ M⊗N se puedendefinir las funciones:

ϕQ : X → [0,∞] y ψQ : Y → [0,∞]x 7→ ν(Qx) y 7→ µ(Qy)

Si (X,M, µ) y (Y,N, ν) son σ-finitos, ϕQ y ψQ son medibles.

Demostracion:

Ambas se demuestran igual. Probaremos que ϕQ es medible mediante la

siguiente tecnica de W.Rudin. Definimos la familia

Ω = Q ∈ M⊗ N | ϕQ es medible

y comprobamos que Ω cumple las siguientes propiedades:

1. Ω contiene a los rectangulos medibles:

(A×B)x =

B six ∈ A

∅ six /∈ A⇒ ν[(A×B)x] =

ν(B) six ∈ A

0 six /∈ A

⇒ ϕA×B(x) = ν(B)1A(x).

Ası ϕA×B = ν(B)1A y es medible porque A ∈ M.

2. La union numerable disjunta de elementos de Ω esta en Ω:

ϕ∪∞i=1Qi

(x) = ν[(∞⋃

i=1

Qi)x] = ν[∞⋃

i=1

(Qi)x] =∞∑

i=1

ϕQi(x) = lim

i→∞

n∑

i=1

ϕQi(x)

luego medible. En particular, las uniones finitas disjuntas de rectangulosmedibles, estan en Ω.

3. Ω es clase expansiva:

Si (Qi) es expansiva y Q =∞⋃

i=1

Qi se tiene:

ϕQ(x) = ϕ∪∞

i=1Qi(x) = ν[(

∞⋃

i=1

Qi)x] = ν[

∞⋃

i=1

(Qi)x] = limi→∞

n∑

i=1

ϕQi(x),

por tanto, medible.

4. Ω es clase ”dominadamente” contractiva:

Si (Qi) es contractiva y Qi ⊂ A × B con µ(A) < ∞ y ν(B) < ∞,

entonces Q =

∞⋂

i=1

Qi ∈ Ω. Pero esto es claro pues

ϕQ(x) = ν[(

∞⋂

i=1

Qi)x] = ν[

∞⋂

i=1

(Qi)x] = limi→∞

ν[(Qi)x] = limi→∞

ϕQi(x)

porque ν[(Q1)x] ≤ ν(B) <∞.

Ahora bien, como (X,M, µ) y (Y,N, ν) son σ-finitos, existen familias disjun-

tas Xn∞1 y Ym∞1 tales que X =∞⋃

n=1

Xn e Y =∞⋃

m=1

Ym con µ(Xn) < ∞

y ν(Ym) <∞ y podemos definir

Ω = Q ∈ M ⊗ N | Q ∩ (Xn× Ym) ∈ Ω ∀n,m.

Es claro que Ω contiene a R, al algebra generada por R y es clase monotona,

luego Ω = M⊗N. Ello indica que todo Q ∈ M⊗N se parte en una familiadisjunta de elementos de Ω. Pero, segun 2, esto significa que Q ∈ Ω. Es

decir, Ω = M⊗ N y, ası, ϕQ es medible ∀Q ∈ M ⊗ N. ♦

Teorema 1.2.27

Si (X,M, µ) y (Y,N, ν) son espacios de medida σ-finitos, las funciones

ϕQ : X → [0,∞] y ψQ : Y → [0,∞]x 7→ ν(Qx) y 7→ µ(Qy)

cumplen que ∫

XϕQ dµ =

∫

YψQ dν ∀Q ∈ M⊗ N

Demostracion;

Utilizando la misma tecnica del teorema 1.2.26, definimos la familia

Ω = Q ∈ M ⊗ N |∫

X

ϕQ dµ =

∫

Y

ψQ dν.

y comprobamos que Ω cumple las siguientes propiedades:

1. Ω contiene a los rectangulos medibles:Dado A×B ∈ M × N, sabemos que

ϕA×B = ν(B)1A y ψA×B = µ(A)1B

Entonces, ∫

XϕA×B dµ = ν(B)µ(A) =

∫

YψA×B dν.

2. La union numerable disjunta de elemntos de Ω esta en Ω:

∫

X

ϕ∪Qidµ =

∫

X

∞∑

i=1

ϕQidµ =

∞∑

i=1

∫

X

ϕQidµ =

∞∑

i=1

∫

Y

ψQidν =

∫

Y

ψ∪Qidν

3. Ω es clase expansiva:

Sea (Qi) una sucesion expansiva en Ω y sea Q =

∞⋃

i=1

Qi. Es claro que

(ϕQi) ϕQ y (ψQi

) ψQ. El teorema 1.2.14 asegura que

∫

XϕQ dµ = lim

i→∞

∫

XϕQi

dµ = limi→∞

∫

YψQi

dν =

∫

YψQ dν.

4. Ω es clase ”dominadamente” contractiva:

Sea (Qi) una sucesion contractiva tal que Q1 ⊂ A×B, con µ(A) <∞

y ν(B) <∞. Probemos que Q =

∞⋂

i=1

Qi esta en Ω:

(ϕQi) → ϕQ y |ϕQi

(x)| ≤ ϕA×B(x) ∀ i y ∀x ∈ X

(ψQi) → ψQ y |ψQi

(y)| ≤ ψA×B(y) ∀ i y ∀ y ∈ Y.

Como∫

X ϕA×B dµ =∫

Y ψA×B dν = µ(A) · ν(B) <∞, el terema 1.2.17

asegura que

∫

XϕQ dµ = lim

i→∞

∫

XϕQi

dµ = limi→∞

∫

YψQi

dν =

∫

YψQ dν.

Si consideramos Ω = Q ∈ M ⊗ N | Qnm ∈ Ω ∀n,m como en el teorema

1.2.26, podemos concluir que Ω = Ω = M ⊗ N ♦

Definicion 1.2.28

Si (X,M, µ) y (Y,N, ν) son espacios de medida σ-finitos, el valor comun

∫

XϕQ dµ =

∫

YψQ dν se denota µ⊗ ν(Q) ∀Q ∈ M ⊗ N

La funcion µ ⊗ ν : M ⊗ N → [0,∞] es una medida que en los rectanguloscumple la formula base por altura:

µ⊗ ν(A×B) = µ(A) · ν(B)

El espacio de medida (X×Y,M⊗N, µ⊗ν) es el espacio de medida producto.

Si existe en (X,M, µ) algun conjunto A no vacıo con medida nula y existeen (Y,N, ν) algun conjunto no medible B, resultara que A × B ⊂ A × Y

siendo A × B no medible y A × Y de medida nula . Los espacios productoson proclives a poseer la anomalıa de que hayan subconjuntos de conjuntos

de medida nula que no sean medible. Los espacios de medida que no poseenesta anomalıa se llaman completos.

Teorema 1.2.29 El Fubinito

Sean (X,M, µ), (Y,N, ν) espacios de medida σ-finitos y F : X ×Y → [0,∞]

una funcion medible. Entonces,

ϕ : X → [0,∞] y ψ : Y → [0,∞]

x 7→∫

Y F (x, ·) dν y 7→∫

X F (·, y) dµ

son medibles y se cumple que

∫

Xϕ dµ =

∫

X×YF d(µ⊗ ν) =

∫

Yψ dν.

Demostracion:

Como las funciones F (x, ·) y F (·, y) son medibles, las ϕ y ψ estan bien

definidas. Procedamos como siempre:


1. Si F : X × Y → [0,∞] es la funcion caracterıstica de un Q ∈ M ⊗ N,

es evidente que F (x, ·) = 1Qx y F (·, y) = 1Qy . Entonces,

ϕ(x) = ν(Qx) = ϕQ(x) y ψ(y) = µ(Qy) = ψQ(y)

y el resultado lo asegura el teorema 1.2.27.

2. Si F : X × Y → [0,∞] es la funcion simple

n∑

i=1

αi1Qies evidente que

F (x, ·) =

n∑

i=1

αi1(Qi)xy F (·, y) =

n∑

i=1

αi1Qyi

Entonces,

ϕ =

n∑

i=1

αiϕQiy ψ =

n∑

i=1

αiψQi

y el resultado se deduce de la linealidad de la integral.

3. En el caso general, el teorema 1.2.9 asegura una sucesion (sn) F .

Si

ϕn : X → [0,∞] y ψn : Y → [0,∞]

x 7→∫

Y sn(x, ·) dν y 7→∫

X sn(·, y) dµ

la monotonıa de la integral y el teorema 1.2.14 aseguran el resto. ♦

Es conveniente, a veces, introducir las variables para identificar con mas

facilidad las funciones que estamos manejando. Ası solemos enunciar elFubinito como sigue:

∫

X

[∫

YF (x, y) dν(y)

]

dµ(x) =

∫

X×YF (x, y) d(µ⊗ ν)(x, y) =

=

∫

Y

[∫

X

F (x, y) dµ(x)

]

dν(y).

Teorema 1.2.30 Teorema de Fubini

Sean (X,M, µ), (Y,N, ν) espacios σ-finitos. Sea F : X×Y → R una funcionM⊗ N-medible. Consideremos las funciones

ϕ∗ : X → [0,∞] y ψ∗ : Y → [0,∞]x 7→

∫

Y |F (x, ·)| dν y 7→∫

X |F (·, y)| dµ

Entonces se cumple:

1. ϕ∗ ∈ L1(X, µ) ⇒ F ∈ L1(X × Y, µ⊗ ν).


2. ψ∗ ∈ L1(Y, ν) ⇒ F ∈ L1(X × Y, µ⊗ ν).

Si F ∈ L1(X × Y, µ⊗ ν) se cumple:

3. Existe E ⊂ X con µ(X \ E) = 0 tal que F (x, ·) ∈ L1(Y, ν) ∀x ∈ E y

ϕ : E → R

x→∫

Y

F (x, ·) dν.

esta en L1(E, µE).

4. Existe G ⊂ Y con ν(Y \G) = 0 tal que F (·, y) ∈ L1(X, µ) ∀y ∈ G y

ψ : G → R

y →∫

XF (·, y) dµ

esta en L1(G, νG).

5. Ademas,

∫

Eϕ dµE =

∫

X×YF d(µ⊗ ν) =

∫

Gψ dνG.

Demostracion:

1. y 2. Se deducen aplicando el Fubinito a |F |.

3. y 4. Si F = F+ − F− es la descomposicion canonica, tenemos

F (x, ·) = F+(x, ·)− F−(x, ·) ∀x ∈ X

F (·, y) = F+(·, y)− F−(·, y) ∀ y ∈ Y

y definiendo

ϕ+ : X → [0,∞] ϕ− : X → [0,∞]x 7→

∫

Y F+(x, ·) dν x 7→

∫

Y F−(x, ·) dν

y

ψ+ : Y → [0,∞] ψ− : Y → [0,∞]y 7→

∫

X F+(·, y) dµ y 7→

∫

X F−(·, y) dµ

podemos deducir del Fubinito que

∫

X ϕ+ dµ =

∫

X×Y F+ d(µ⊗ ν) =

∫

Y ψ+ dν

∫

X ϕ− dµ =

∫

X×Y F− d(µ⊗ ν) =

∫

Y ψ− dν

(1.1)

Como F+ ≤ |F | y F− ≤ |F | y F ∈ L1(X × Y, µ⊗ ν), resulta que

ϕ+, ϕ− ∈ L1(X, µ) y ψ+, ψ− ∈ L1(Y, ν)

En consecuencia:

∃E ⊂ X con µ(X \E) = 0 tal que ϕ+(x) <∞ y ϕ−(x) <∞ ∀x ∈ E

∃G ⊂ Y con ν(Y \G) = 0 tal que ψ+(y) <∞ y ψ−(y) <∞ ∀ y ∈ G

Podemos, por tanto, definir las funciones

ϕ : E → R

x→ ϕ+(x)− ϕ−(x) =

∫

YF (x, ·) dν

y

ψ : G → R

y → ψ+(y)− ψ−(y) =

∫

XF (·, y) dµ

y observar que

∫

Y |F (x, ·)| dν = ϕ+(x) + ϕ−(x) <∞ ∀x ∈ E∫

X |F (·, y)| dµ = ψ+(y) + ψ−(y) <∞ ∀ y ∈ G.

Ası F (x, ·) ∈ L1(Y, ν) ∀x ∈ E y F (·, y) ∈ L1(X, µ) ∀ y ∈ G.

5. Es suficiente restar en (1.1). ♦

1.2.31 Teoremas de Radon-Nikodym

Dado un espacio de medida (X,M, µ), sabemos que cada f : X → [0,∞]medible define una nueva medida ν(E) =

∫

E f dµ y ya hemos explicadopor que es natural escribir, en ese caso, dν = f dµ. Los estadısticos lla-

man a f densidad de ν respecto de µ y los analistas, abusando del lenguaje

escriben f =dν

dµy la llaman derivada de Radon-Nikodym de ν respecto de µ.

En esta seccion nos ocuparemos del problema inverso, es decir, estudiare-

mos las condiciones para que dadas dos medidas ν y µ en (X,M) exista unah : X → [0,∞] medible tal que ν(E) =

∫

E h dµ ∀E ∈ M.

Evidentemente, es necesario que ν(E) se anule cuando µ(E) = 0. Paraencontrar la condicion suficiente, necesitamos el siguiente lema tecnico

Lema 1.2.32

Sea (X,M, µ) un espacio de medida finita, C ⊂ R un cerrado y f ∈ L1(X, µ):

∫

E fdµ

µ(E)

∣∣∣E ∈ M y µ(E) > 0

⊂ C ⇒ f(x) ∈ C µ.ae

Demostracion:

Sea A = R \ C y sea [a− r, a+ r] ⊂ A. Si Ar = f−1([a− r, a+ r]) no tienemedida nula llegamos al absurdo de encontrar un promedio fuera de C:

∣∣∣∣∣

∫

Arfdµ

µ(Ar)− a

∣∣∣∣∣≤∫

Ar|f − a|dµµ(Ar)

≤ rµ(Ar)

µ(Ar)= r

Ahora bien, A es union numerable de conjuntos del tipo [ai − ri, ai + ri] y,en consecuencia, 0 = µ(f−1(A)) = µx | f(x) /∈ C. ♦

Teorema 1.2.33 Teorema de Radon-Nikodym

Sea (X,M, µ) σ-finito y sea ν : M → [0,∞) una medida finita. Existe unA ∈ M para el que se cumple:

1. µ(E) = µ(E ∩A) ∀E ∈ M

2. Existe h ∈ L1(X, µ) tal que

ν(E ∩A) =

∫

Eh dµ ∀E ∈ M

Demostracion:

Por ser (X,M, µ) σ-finito, el comentario 1.2.22,3 asegura la existencia de

una ω ∈ L1(X, µ) con 0 < ω(x) < 1 ∀x ∈ X . Con ella, construimos lamedida finita µ(E) =

∫

E ω dµ.Consideremos la medida ξ = ν + µ, tambien finita, y comprobemos que

∫

X

f dξ =

∫

X

f dν +

∫

X

fω dµ

En efecto:

1. Para funciones caracterısticas:∫

X1E dξ = ξ(E) = ν(E) + µ(E) =

∫

X1E dν +

∫

X1E · ω dµ

2. Para funciones simples por linealidad.

3. Para funciones positivas f : X → [0,∞] medibles, por los teoremas

1.2.9 y 1.2.14.

4. Para cualquier f : X → R integrable, por linealidad.

Por otra parte, el funcional lineal

φ : L2(X, ξ) → R

f 7→∫

Xf dν

es continuo porque

∣∣∣∣

∫

Xf dν

∣∣∣∣≤∫

X|f | dν ≤

∫

X|f | dξ ≤

[∫

X|f |2 dξ

]12[∫

X12 dξ

]12

= ‖f‖2[ξ(X)]12

El teorema 6.2.7 asegura la existencia de una g ∈ L2(X, ξ) tal que

φ(f) =

∫

Xf dν =

∫

Xf · g dξ ∀ f ∈ L2(X, ξ).

Esta g no puede ser muy grande pues los promedios

∫

E g dξ

ξ(E)estan en [0, 1]

cuando ξ(E) > 0: Tomando f = 1E , vemos que ν(E) =∫

E g dξ y, ası,

0 ≤∫

E g dξ

ξ(E)≤∫

E g dξ

ν(E)= 1.

Concretamente, podemos probar que g(x) ∈ [0, 1] ξ.ae y, aun, suponer que

g(x) ∈ [0, 1] ∀x ∈ X sin que esto afecte a la identidad

∫

Xf dν =

∫

Xfg dξ =

∫

Xfg dν +

∫

Xfgω dµ.

Escribamosla en la forma∫

Xf(1 − g) dν =

∫

Xfgω dµ,

y consideremos

A = x ∈ X | 0 ≤ g(x) < 1 y B = x ∈ X | g(x) = 1.

Entonces,

1. Tomando f = 1B, vemos que∫

B ω dµ = 0 y, como ω(x) > 0 ∀x ∈ X ,deducimos que µ(B) = 0. Ası,

µ(E) = µ(E ∩A) + µ(E ∩ B) = µ(E ∩A) ∀E ∈ M


2. Tomando f = (1 + g + · · ·+ gn)1E, vemos que

∫

E

(1 − gn+1) dν =

∫

E

(g + · · ·+ gn+1)ω dµ ∀n ∈ N.

y como

limn→∞

gn+1(x) =

0 si x ∈ A1 si x ∈ B,

designando h =

∞∑

n=1

gnω resulta que ν(E ∩A) =∫

E h dµ. ♦

Para sacarle el maximo partido al teorema 1.2.33 conviene considerar medi-

das con signo o s-medidas y establecer algunas notaciones previas.

Definicion 1.2.34

1. Sea (X,M) un espacio medible. Una s-medida es una λ : M → R que

verifica λ(E) =

∞∑

i=1

λ(Ei) ∀(Ei) ∈ P(E) que es el conjunto de todas

las particiones medibles y numerables de E.

2. S(X,M) es el conjunto de todas las s-medidas en (X,M).

3. Sea λ ∈ S(X,M) y µ una medida en (X,M). Decimos que λ es abso-

lutamente continua respecto de µ, y lo denotamos λ µ, si λ(E) = 0cuando µ(E) = 0.

4. Decimos que λ ∈ S(X,M) se concentra en A ∈ M cuando

λ(E) = λ(E ∩A) ∀E ∈ M

5. Si λ1, λ2 ∈ S(X,M) se concentran en conjuntos disjuntos A1 y A2, sedice que son mutuamente singulares y se escribe λ1 ⊥ λ2.

Comentarios 1.2.35

1. En la definicion de s-medida exigimos la convergencia de las series∞∑

i=1

λ(Ei) sin admitir la posibilidad de que diverjan a +∞, como per-

mitiamos en el caso de una medida. Ademas, por ser conmutativa la

union de conjuntos, la convergencia de las series

∞∑

i=1

λ(Ei) debe ser

incondicional y, por tanto, absoluta. De ello se deduce que λ(∅) = 0.


2. A cada λ ∈ S(X,M) le asociamos la medida finita |λ|, llamada ”variacion

total de λ” y definida como sigue:

|λ| : M → [0,∞]

E → sup(Ei)∈P(E)

∞∑

i=1

|λ(Ei)|.

Es inmediato comprobar que

(a) λ |λ|(b) Si λ µ⇒ |λ| µ

(c) Si λ se concentra en A⇒ |λ| se concentra en A.

(d) Si λ1 ⊥ λ2 ⇒ |λ1| ⊥ |λ2|

3. A cada λ ∈ S(X,M) tambien le asociamos las medidas finitas

λ+ =1

2(|λ|+ λ) y λ− =

1

2(|λ| − λ)

llamadas ”variacion positiva de λ” y ”variacion negativa de λ”. Esclaro que

λ = λ+ − λ− y |λ| = λ+ + λ−

4. S(X,M) con la suma y el producto por escalares

(λ1 + λ2)(E) = λ1(E) + λ2(E) ∀E ∈ M.

(cλ1)(E) = c · λ1(E) ∀E ∈ M.

tiene estructura de espacio vectorial real. Ademas, la aplicacion

‖ ‖ : S(X,M) → R+

λ 7→ |λ|(X)

es una norma en S(X,M).

5. Con esta nueva terminologıa el teorema 1.2.33 asegura que si (X,M, µ)es σ-finito, cualquier medida finita definida en (X,M) se descompone

en suma de dos medidas finitas, una mutuamente singular con µ y otraderivable respecto de µ y, por tanto, absolutamente continua respecto

de µ. En efecto:Dada ν : M → [0,∞), si A y B son los conjuntos que aparecen el la

demostracion del teorema 1.2.33 y designamos νA y νB a las trazasde ν en A y en B, lo que ya probamos en dicho teorema puede ser

expresado del siguiente modo:

(a) ν = νA + νB


(b) νB ⊥ µ

(c) ∃h : X → [0,∞] integrable tal que νA(E) =∫

E hdµ ∀E ∈ M

(d) νA µ

6. Ademas, la anterior descomposicion es unica. Mejor aun:Si (X,M, µ) es σ-finito, λ ∈ S(X,M) y se cumple que λ = λa + λscon λa µ y λs ⊥ µ, tal descomposicion es unica.En efecto:

Supongamos que haya dos: λ = λa+λs = λ′a+λ′s. Entonces, λa−λ′a =

λ′s − λs. Como λa − λ′a µ y λ′s − λs ⊥ µ, resulta que λa − λ′a =

λ′s − λs = 0 y, por tanto, λa = λ′a y λs = λ′s.

Teorema 1.2.36 Teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym

Sea (X,M, µ) σ-finito y sea λ ∈ S(X,M). Entonces:

1. Existe un unico par (λa, λs) de elementos de S(X,M) tal que

λ = λa + λs, λa µ y λs⊥µ.

2. Existe una unica h ∈ L1(X, µ) tal que

λa(E) =

∫

Eh dµ ∀E ∈ M.

Demostracion:

1. Cuando λ es una medida finita las existencias estan probadas en elteorema 1.2.33 y las unicidades se deducen del comentario 1.2.35,6.

2. En el caso general, recordamos que λ = λ+ − λ− y consideramos los

pares de medidas finitas (λ+a , λ

+s ) y (λ−a , λ

−s ) asociados respectivamente

a λ+ y λ−. Entonces (λ+a − λ−a , λ

+s − λ−s ) es un par de s-medidas

asociado a λ. Ademas, si h+ y h− son las densidades de λ+a y λ−a ,

h+ − h− es densidad de λ+a − λ−a .

La unicidad del par de s-medidas asociado a λ y de la densidad de λarespecto de µ se deduce del comentario 1.2.35,6. ♦

Corolario 1.2.37

Sea (X,M, µ) σ-finito y sea λ ∈ S(X,M) tal que λ µ. Existe una unica

h ∈ L1(X, µ) tal que λ(E) =∫

E h dµ ∀E ∈ M.

Demostracion:

λ = λ+ 0 es una descomposicion que cumple λ µ y 0 ⊥ µ.

En particular, existe una unica g ∈ L1(X, |λ|) tal que dλ = g d|λ|, ♦

1.2.38 Teorema de representacion de Riesz

Un espacio topologico de Hausdorff (X, τ) se dice localmente compacto

cuando cada punto tiene un entorno con clausura compacta. Una funcionf : X → R se dice de soporte compacto cuando

sop f = x ∈ X | f(x) 6= 0

tiene clausura compacta. El conjunto de todas las funciones continuas de

soporte compacto es un espacio vectorial que designamos Cc(X).Los espacios localmente compactos gozan de la siguiente propiedad:

Lema 1.2.39 (Urysohn)

En un espacio localmente compacto (X, τ) dado un compactoK y un abierto

U tales que K ⊂ U , siempre existe una f ∈ Cc(X) tal que 1K ≤ f ≤ 1U .

Teorema 1.2.40

Sea (X, τ) localmente compacto y sea Λ : Cc(X) → R un funcional linealpositivo 2. Existe en X una σ-algebra M mas fina que la de Borel y unaunica medida µ : M → [0,∞] cumpliendo:

1. Λ(f) =∫

X f dµ ∀ f ∈ Cc(X).

2. µ(K) <∞ ∀K compacto de (X, τ).

3. Regularidad exterior:

µ(E) = infµ(V ) | E ⊂ V y V ∈ τ ∀E ∈ M

4. Regularidad interior:

µ(E) = supµ(K) | Kcompacto ⊂ E cuando E ∈ τ o µ(E) <∞

5. (X,M, µ) es un espacio de medida completo.

Demostracion:

• Unicidad

Si µ1 y µ2 satisfacen todas las propiedades, coinciden en los compactos.En efecto:

Dado un K y ε > 0 ∃U ∈ τ tal que K ⊂ U y µ2(U) < µ2(K) + ε.Por Urysohn, ∃ f ∈ Cc(X) con sop f ⊂ U y 1K ≤ f ≤ 1U . Entonces,

µ1(K) =

∫

X

1K dµ1 ≤∫

X

f dµ1 = Λ(f) =

=

∫

Xf dµ2 ≤

∫

X1U dµ2 = µ2(U) < µ2(K) + ε

2Transforma funciones positivas en reales positivos

y, cambiando los papeles, µ2(K) < µ1(K)+ ε. Luego µ1(K) = µ2(K).

Por 4, µ1(V ) = µ2(V ) ∀V ∈ τ . Por 3, µ1(E) = µ2(E) ∀E ∈ M.

• Definicion de µ y M

Empezamos definiendo la medida en los abiertos:

µ(V ) = supΛ(f) | f ∈ Cc(X), sop f ⊂ V, 0 ≤ f ≤ 1V

y, como V1 ⊂ V2 ⇒ µ(V1) ≤ µ(V2), la extendemos a cualquier conjunto:

µ(E) = infµ(V ) | E ⊂ V, V ∈ τ.

Sin embargo, solo se puede demostrar la aditividad numerable en

M = E ⊂ X | E ∩K ∈ Ω ∀K compacto

donde

Ω = E ⊂ X | µ(E) = supµ(K) | Kcompacto ⊂ E .

No nos detendremos en ver que M es σ-algebra ni que µ es una medidaen ella, pero sı probaremos que en los compactos se cumple

µ(K) = infΛ(f) | f ∈ Cc(X) y 1K ≤ f ≤ 1

En efecto:

Sea f ∈ Cc(X) con 1K ≤ f ≤ 1. Entonces, si α ∈ (0, 1),

K ⊂ f−1(α,∞) = Vα y

µ(K) ≤ µ(Vα) = supΛ(g) | g ∈ Cc(X), sop g ⊂ Vα, 0 ≤ g ≤ 1Vα

Cualquier de estas g cumple que g ≤ f

αy, por tanto, Λ(g) ≤ 1

αΛ(f).

Luego µ(K) ≤ 1

αΛ(f) ∀α ∈ (0, 1) y µ(K) ≤ Λ(f). Por tanto,

µ(K) es cota inferior. Para ver que es la maxima, observamos que dadoε > 0 existe un abierto V ⊃ K tal que µ(V ) < µ(K) + ε. El lema de

Uryshon asegura una f ∈ Cc(X) con sopf ⊂ V y con 1K ≤ f ≤ 1Vy, ası, Λ(f) ≤ µ(V ) < µ(K) + ε.

• Representacion

Para probar Λ(f) =∫

X f dµ ∀ f ∈ Cc(X), basta Λ(f) ≤∫

X f dµ pues

Λ(−f) ≤∫

X

−f dµ = −∫

X

f dµ ⇒ Λ(f) ≥∫

X

f dµ

Como sop f es un compacto K, f(X) esta contenido en un cierto [a, b].

Sea y0 < a < y1 < · · · < yn−1 < yn = b y Ei = f−1(yi−1, yi] ∩K

∀i = 1, · · · , n. Dada la particion Ei de K y un ε > 0 podemos

encontrar un cubrimiento abierto Vi de K tal que

Ei ⊂ Vi y µ(Vi) < µ(Ei) + εn

f(x) < yi + ε ∀x ∈ Vi

Sea hini=1 una particion de la unidad subordinada a Vi:

hi ∈ Cc(X), sop hi ⊂ Vi, 0 ≤ hi ≤ 1Viy∑

hi(x) = 1 ∀x ∈ K

Como 1K ≤∑ hi, resulta que µ(K) ≤ Λ(∑hi) =

∑Λ(hi) y, ası:

Λ(f) = Λ(∑

hif) =∑

Λ(hif) ≤∑

Λ(hi[yi + ε]) =

=

n∑

i=1

(yi + ε)Λ(hi) =∑

(|a|+ yi + ε)Λ(hi) − |a|∑

Λ(hi) ≤

≤∑

(|a|+ yi + ε)[

µ(Ei) +ε

n

]

− |a|µ(K) =

=

n∑

i=1

(yi − ε)µ(Ei) + 2εµ(K) +ε

n

n∑

i=1

(|a|+ yi + ε) ≤

≤∫

Xf dµ+ ε[2µ(K) + |a|+ |b|+ ε] ∀ ε. ♦

Comentarios 1.2.41

1. Sea (X, τ) un espacio localmente compacto. Al espacio de medida(X,M, µ) obtenido por el teorema 1.2.40 para un funcional positivo

Λ : Cc(X) → R, se le llama espacio de Radon.

2. Si (X, τ) es localmente compacto y cualquier funcional lineal acotado

Φ : Cc(X) → R fuese diferencia de dos funcionales positivos,

Φ+ : Cc(X) → R y Φ− : Cc(X) → R

el teorema de Riesz nos asegurarıa la existencia de sendos espacios

de medida (X,M+, µ+) y (X,M−, µ−) donde los funcionales tendrıanrepresentacion integral. Entonces, la s-medida λ = µ+ − µ− definida

en la σ-algebra M+ ∩M− representarıa al funcional Φ si definieramos

Φ(f) =

∫

Xfdµ+ −

∫

Xfdµ− =

∫

Xfdλ ∀f ∈ Cc(X)

Ello nos permitirıa conocer el dual de (Cc(X), ‖ ‖∞). Todo ello es

verdad pero queda fuera de los objetivos del curso.

3. Un espacio localmente compacto (X, τ) que puede expresarse como

union numerable de compactos, se llama σ-compacto. Podemos suponer

que X =∞⋃

i=1

Ki siendo (Ki) una sucesion expansiva de compactos.

4. Si (X, τ) es σ-compacto, cualquier espacio de Radon (X,M, µ) es,

claramente, σ-finito y cumple ∀E ∈ M y ∀ ε > 0 las siguientes pro-piedades de regularidad:

(a) ∃V abierto y ∃Fcerrado tal que F ⊂ E ⊂ V y µ(V \ F ) < ε.

(b) ∃A ∈ Fσ y ∃B ∈ Gδ tal que A ⊂ E ⊂ B y µ(B \ A) = 0.

En efecto:

(a) Sea (Ki) una sucesion expansiva de compactos cuya union es X .

Como µ(E ∩Ki) <∞ ⇒ ∃Vi ∈ τ tal que µ(Vi \ (E∩Ki)) <ε

2i+2 .

Si V =

∞⋃

i=1

Vi tenemos V ∈ τ y V \ E =

∞⋃

i=1

(Vi \ (E ∩Ki)).

Por tanto, µ(V \ E) ≤∞∑

i=1

ε

2i+2=ε

2y, de igual modo,

∃W ∈ τ tal que Ec ⊂W y µ(W \ Ec) <ε

2

Designando F = W c, tenemos F ⊂ E ⊂ V y, como V \ F =(V \ E) ∪ (E \ F ), µ(V \ F ) ≤ µ(V \E) + µ(E \ F ) ≤ ε.

(b) ∀n ∈ N ∃Vn ∈ τ y ∃Fn cerrado tales que Fn ⊂ E ⊂ Vn yµ(Vn \ Fn) < 1

n . Designando A = ∪Fn y B = ∩Vn, tenemos los

borelianos buscados.

1.2.42 La medida de Lebesgue en Rn y sus variedades

Rn dotado de la topologıa euclıdea en es σ-compacto. El teorema 1.2.40

nos permite definir en el, y en sus subespacios topologicos mas notables,medidas de Radon con las buenas propiedades de regularidad que acabamos

de destacar. Por ejemplo:

1. Un intervalo compacto [a, b] ⊂ R queda convertido en el espacio demedida de Lebesgue ([a, b],M,m) a traves del funcional positivo in-

tegral Riemann

Λ : C[a, b] → R

f 7→∫ ba f(x)dx

Ademas, como

∫ b

af(x)dx =

∫

[a,b]f dm ∀ f ∈ C[a, b]

todas las tenicas habituales de integracion conocidas para funcionesreales continuas de una varable real, son utilizables en ([a, b],M,m).

2. Como (R, e) es σ-compacto, para el funcional positivo integral Riemann

Λ : Cc(R) → R

f 7→∫ dc f(x)dx

donde [c, d] es cualquier intervalo cerrado y acotado que contiene asop f , el teorema 1.2.40 nos proporciona el espacio de medida de

Lebesgue (R,M, m) que sera σ-finito y, en el,

∫

R

f dm =

∫ d

cf(x)dx ∀ f ∈ Cc(R) con sopf ⊂ [c, d]

La medida m de cualquier intervalo es su longitud. En efecto:

Si I = (a, b), existe (εn) → 0 tal que [a+ εn, b− εn] ⊂ (a, b) y existe(fn) ⊂ Cc(R)

1[a+εn,b−εn] ≤ fn ≤ 1(a,b) ∀n ∈ N.

Por Riemann sabemos que b− a− 2εn ≤∫ ba fn(x)dx ≤ b− a y, ası,

limn→∞

∫

R

fndm = limn→∞

∫ b

afn(x)dx = b− a

Definiendo gn = maxi≤n

fi es claro que (gn) 1(a,b) y por 1.2.14

m(a, b) =

∫

R

1(a,b) dm = limn→∞

∫

R

gn dm.

Como limn→∞

∫

R

gn dm = limn→∞

∫

R

fn dm, deducimos que m(a, b) = b− a.

Si I = [a, b], por compacidad m(I) <∞ y como I =∞⋂

n=1

(a− 1

n, b+

1

n)

resulta que m(I) = limn→∞

b− a+2

n= b− a.

3. Como (Rn, en) es σ-compacto para el funcional positivo

Λ : Cc(Rn) → R

f 7→∫

Q f(x1, · · · , xn)dx1 · · ·dxn


es la integracion reiterada de Riemann en una caja Q que contiene a

sop f , el teorema de Riesz nos proporciona el espacio de medida deLebesgue (Rn,Mn, mn) y, en el,

∫

Rn

f dmn =

∫

Qf(x1, · · · , xn)dx1 · · ·dxn ∀ f ∈ Cc(Rn) con sopf ⊂ Q

Mediante un razonamiento analogo al realizado en R, podemos com-

probar que la medida de cualquier caja abierta

Q = (a1, b1) × · · · × (an, bn)

es mn(Q) = Πni=1(bi − ai) y lo mismo sucede para las cajas cerradas.

4. La σ-algebra de Lebesgue Mn es mas fina que la de Borel Bn pero paranosotros es suficiente considerar el espacio de medida (Rn,Bn, mn). En

el probaremos la invariancia por traslaciones de mn. En efecto:Sea x ∈ Rn y consideremos la medida

µ : Bn → [0,∞]

E → mn(E + x)

Esta medida coincide con mn en cualquier caja Q:

mn(Q) = mn(Q+ x) = µ(Q)

En Rn todo abierto se puede expresar como union numerable de ca-

jas abiertas disjuntas y, por tanto, la medida µ coincide con mn encualquier V ∈ en:

mn(V ) =∞∑

i=1

mn(Qi) =∞∑

i=1

µ(Qi) = µ(V )

Por ser µ y mn exteriormente regulares, coinciden en todo E ∈ Bn:

µ(E) = infµ(V ) |E ⊂ V, V ∈ en = infmn(V ) |E ⊂ V, V ∈ en = mn(E)

Por tanto,

mn(E) = mn(E + x) ∀E ∈ Bn,

lo cual significa que mn es invariante por traslaciones en Bn

5. Toda µ : Bn → [0,∞] finita en los compactos, invariante por trasla-

ciones y exteriormente regular coincide con mn, salvo una constantemultiplicativa o, si se prefiere, salvo un cambio de escala. En efecto:

Sea Q0 el cubo unidad compacto. Es claro que µ(Q0) = c = cmn(Q0).

Ahora bien, Q0 es union disjunta de 2kn cajas cubicas de arista 2−k.Siendo Q una de ellas, por la invariancia por traslaciones

2knµ(Q) = µ(Q0) = cmn(Q0) = 2kncmn(Q)

luego µ(Q) = cmn(Q) ∀Q cubica de lado 2−k. En consecuencia,tambien µ(V ) = cmn(V ) ∀V ∈ en y, por ser µ exteriormente re-

gular,µ(E) = cmn(E) ∀E ∈ Bn.

6. Si n = r + s es facil ver que

Bn ⊂ Mr ⊗Ms ⊂ Mn

Ademas, como mr ⊗ ms es finita en los compactos, invariante por

traslaciones y exteriormente regular,

mr ⊗ms = mn en Bn

Ahora bien, ∀C ∈ Mr ⊗ Ms, por estar en Mn, existen P1, P2 ∈ Bn

tales que P1 ⊂ C ⊂ P2 y mn(P2 \ P1) = 0 y, por tanto,

mr ⊗ms(C \ P1) ≤ mr ⊗ms(P2 \ P1) = mn(P2 \ P1) = 0.

En consecuencia, mr ⊗ms = mn en Mr ⊗Ms pues

mr ⊗ms(C) = mr ⊗ms(P1) = mn(P1) = mn(C) ∀C ∈ Mr ⊗Ms

La unica diferencia entre (Rn,Mn, mn) y (Rn,Mr⊗Ms, mr⊗ms) es

que el primero es un espacio de medida completo (ver teorema 1.2.40)y el segundo no lo es (ver pagina 45).

Por ello, si F : Rn → R es integrable∫

Rn Fdmn se puede calcular

indistintamente∫

Rr

[∫

Rs

F (x, y) dms(y)

]

dmr(x) =

∫

Rs

[∫

Rr

F (x, y) dmr(x)

]

dms(y)

7. Un caso interesante de medida finita en los compactos, invariante portraslaciones y exteriormente regular en (Rn,Bn) es

µ : Bn → [0,∞]

E → mn(T (E))

siendo T : Rn → Rn lineal. Si dim T (Rn) < n, es claro que µ ≡ 0 pero

si dim T (Rn) = n, T es biyectiva y T (E) ∈ Bn si y solo si E ∈ Bn.Ası, µ esta bien definida y es invariante por traslaciones pues

µ(E + x) = mn(T (E) + Tx) = mn(T (E)) = µ(E)


y es finita en los compactos pues la imagen continua de un com-

pacto es compacta. Ası, ∃ c = mn(T (Q0)) donde Q0 es la caja cubicade arista 1, es decir, el n-paralelepıpedo subtendido por los vectores

e1, . . . , en, de modo que µ(E) = mn(T (E)) = cmn(E) ∀E ∈ Bn.Ya vimos en el comentario 6.2.5,?? que

mn(T (Q0)) = G12 (Te1, . . . , Ten) = | detT |

y, por tanto, los casos anteriores (c = 0 y c 6= 0) se pueden agrupar

diciendo que toda aplicacion lineal T : Rn → R

n produce un cambiode medida de Lebesgue dado por

mn(T (E)) = | detT |mn(E) ∀E ∈ Bn.

8. Dada una T : Rn → Rn lineal y biyectiva, podemos preguntarnos cual

es la medida µ en Bn tal que la ley µT coincide con mn:Si queremos que µT (E) = µ(T−1(E)) = mn(E) ∀E ∈ Bn debe ocurrir

que µ(A) = mn(T (A)) ∀A ∈ Bn. Por tanto, µ = | detT |mn y

∫

Rn

f dmn =

∫

Rn

f T dµ =

∫

Rn

f T | detT | dmn.

En particular, si f = 1E · g, tenemos

f T = (1E · g) T = (1E T ) · (g T ) = 1T−1(E) · (g T )

y, en consecuencia,

∫

E

g dmn =

∫

Rn

1T−1(E) · g T | detT | dmn =

=

∫

T−1(E)g T | detT | dmn.

que es la formula del cambio lineal de variable. Esta formula puede

extenderse a situaciones mas generales, como vemos en el siguiente

Teorema 1.2.43 (Teorema del cambio de variable)

Sean V y W abiertos de Rn y sea F : V → W una aplicacion biyectiva,

diferenciable y con inversa continua. Entonces:

1. F (E) ∈ Bn(W ) ∀E ∈ Bn(V ).

2. La medida µ en V tal que la ley µF en W es mn, viene dada por

µ(E) = mn(F (E)) =

∫

E|JF (x)| dmn(x) ∀E ∈ Bn(V )


3. Si f ∈ L1(W,mn) se cumple que

∫

Wf dmn =

∫

Vf F dµ =

∫

Vf(F (x)) |JF (x)| dmn(x)

Demostracion:

1. Es inmediato.

2. Es razonable pensar que una funcion suave como F , transforma con-juntos de medida nula en conjuntos de medida nula y, por tanto,µ mn. En tal caso, el corolario 1.2.37 asegura la existencia de

h ∈ L1(V,mn) tal que

mn(F (E)) =

∫

Eh dmn ∀E ∈ Bn(V )

Por otra parte, por la formula del cambio lineal sabemos que

mn(DF (x)(E)) =

∫


Cuando E sea una pequena bola de centro x y radio ε contenida en V ,F y DF (x) estaran tan proximos como queramos y, en consecuencia,h(x) = |JF (x)| mn-ae. Por tanto,

µ(E) = mn(F (E)) =

∫


3. Acabamos de verlo en las funciones caracterısticas. Por linealidad lo

tenemos para las funciones simples. Por el teorema 1.2.14 lo tenemospara cualquier funcion medible positiva y, nuevamente, por linealidad

lo obtenemos para toda funcion integrable. ♦

Sea M ∈ Rn una variedad diferenciable q-dimensional de clase C1. Si (U, α)

es una carta local tal que α(U) = M , diremos que M es una variedad de una

sola carta. La aplicacion α transfiere la estructura de medida de Lebesgueque posee U como abierto de Rq a la variedad M del siguiente modo:

En M consideramos la σ-algebra Aα = E ⊂ M |α−1(E) ∈ Mq siendo

Mq la σ-algebra de Lebesgue en U , y en ella definimos la medida

µα: Aα → [0,∞]

E 7→∫

α−1(E)G

12 (t1, · · · , tq)(u) dmq(u)

1.3. CAMPOS EN R3 63

Con ello medimos, localmente, en el espacio tangente, pues G12 (t1, · · · , tq)(u)

es el cambio de medida producido por la aplicacion Dα(u) : Rq → Tx(M).

El espacio de medida (M,Aα, µα) es independiente de la carta (U, α) pues,si (V, β) es otra carta local de M tal que β(V ) = M , debe existir un difeo-morfismo φ : U → V tal que α = β φ y, por tanto,

E ∈ Aα ⇔ α−1(E) = φ−1(β−1(E)

)∈ Mq ⇔ β−1(E) ∈ Mq ⇔ E ∈ Aβ

Ademas,

G12 (Dα(u)e1, · · · , Dα(u)eq) = G

12 (Dβ(v)e1, · · · , Dβ(v)eq) · |Jφ(u)|

y, por el teorema 1.2.43,

µα(E) =

∫

φ−1[β−1(E)]

G12 (Dβ(v)e1, · · · , Dβ(v)eq) · |Jφ(u)| dmq(u) = µβ(E)

Ası pues, en toda variedad M ∈ V1q (R

n) de una carta existe un espaciode medida canonico, independiente de la representacion parametrica, que

llamaremos espacio de medida de Lebesgue (M,A, µ).

1.3 Campos en R3

Muchas situaciones tecnicas interesantes vienen modeladas por una funcionF : V → R3 siendo V un subconjunto de R3. Por ”plantar” un vector encada punto de V , es llamada campo de vectores.. Solo estudiaremos cam-

pos vectoriales definidos en subconjuntos abiertos. Para sacar el maximopartido al calculo y la geometrıa diferencial que conocemos, exigiremos que

los campos sean de clase C2(V ). El teorema de Schwartz nos asegurara,entonces, la simetrıa de las derivadas parciales segundas.

La traza de la diferencial de un campo F : V → R3 es una funcion real

que contiene informacion muy importante. Es la divergencia del campo

divF : V → R

x 7→3∑

i=1

∂F i

∂xi(x) =

3∑

i=1

F ii (x)

Cuando divF = 0 decimos que el campo F es solenoidal.

Tambien es importante el rotacional de F que es el nuevo campo

rotF : V → R3

x 7→(F 3

2 (x)− F 23 (x), F 1

3 (x)− F 31 (x), F 2

1 (x)− F 12 (x)

)


Cuando rotF = θ decimos que el campo F es irrotacional.

El campo rotF es solenoidal pues

div(rotF ) = F 321(x)− F 2

31(x) + F 132(x)− F 3

12(x) + F 213(x)− F 1

23(x) = 0

Para el manejo de estos conceptos es util introducir un lenguaje operacionalque, ademas, nos permite realizar un comodo calculo simbolico. Empezamos

definiendo el operador nabla

∇ =

(∂

∂x1,∂

∂x2,∂

∂x3

)

que al actuar sobre una funcion Φ : V ⊂ R3 → R nos da su campo gradiente

∇Φ: V → R3

x 7→(∂Φ

∂x1,∂Φ

∂x2,∂Φ

∂x3

)

(x) = (Φ1,Φ2,Φ3)(x)

Tambien consideraremos el laplaciano ∆ = div∇ que al actuar sobreuna funcion Φ : V ⊂ R3 → R nos da la funcion

∆Φ: V → R

x 7→3∑

i=1

Φii(x)

Cuando ∆Φ = 0 decimos que la funcion Φ es armonica.

El producto escalar simbolico de ∇ y un campo F nos da su divergencia

(∇|F ) =

((∂

∂x1,∂

∂x2,∂

∂x3

)

| (F 1, F 2, F 3)

)

=

3∑

i=1

F ii = divF

y el producto vectorial simbolico de ∇ y F nos expresa el rotacional

∇∧ F =

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k∂

∂x1

∂

∂x2

∂

∂x3F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣∣∣

= rotF

Esta notacion simbolica es muy adecuada pues nos permite recordar facilmente

que todo campo de rotores es solenoidal [(∇|∇ ∧ F ) = 0] o intuir quetodo campo de gradientes es irrotacional [∇∧∇Φ = (∇∧∇)Φ = o].

Pero, sin duda, la notacion que mas facilita los calculos es la notacion deEinstein. Cualquier vector x = (x1, x2, x3) se escribe en la forma simple xidando por supuesto que i ha de tomar los valores 1,2,3 y se conviene que


cuando en una expresion un ındice o multiındice se repite, se debe sumar

sobre el. Ası, por ejemplo,

∇Φ se escribe Φi → (Φ1,Φ2,Φ3)

∆Φ se escribe Φii → Φ11 + Φ22 + Φ33

divF se escribe F ii → F 11 + F 2

2 + F 33

Ademas, si εijk

es el signo de la permutacion (i, j, k), es decir, si

ε123 = ε231 = ε312 = 1

ε213 = ε132 = ε321 = −1

rotF se escribe εijkF kj → (ε1jk

F kj , ε2jkF kj , ε3jk

F kj )

pues sumando en los multi-ındices repetidos tenemos que

ε1jkF kj → ε123F

32 + ε132F

23 = (F 3

2 − F 23 )


31 + ε231F

13 = (F 1

3 − F 31 )


21 + ε321F

12 = (F 2

1 − F 12 )

Usando esta notacion, no queda ninguna duda sobre el caracter irrotacional

de un campo de gradientes:

rot∇Φ = εijkΦkj = o

1.3.1 Circulaciones

Dado un campo F : V → R3 y una curva regular Λ ⊂ V , podemos definir

(F |t): Λ → R

x 7→ (F (x)|t(x))

siendo t(x) el vector tangente unitario a la curva Λ en el punto x. Si (Λ,A, λ)

es la estructura de medida canonica, podemos considerar la integral

L(F,Λ) =

∫

Λ(F | t) dλ

Si Λ viene dada por la carta local α : (a, b) → R3, la integral vale

∫ b

a

(

F α(t) | α′(t)‖α′(t)‖

)

‖α′(t)‖dt =

∫ b

a

(F α |α′)dm1

pero si Λ viene dada por la carta α? : (a, b) → R3, t 7→ α(a+ b− t),

∫ b

a

(F α?(t) |α?′(t)

)dt = −

∫ b

a

(F α(a+ b− t) |α′(a+ b− t)

)dt


y, haciendo el cambio de variable t = a + b− τ ,

∫ b

a

(F α? |α?′

)dm1 = −

∫ b

a

(F α |α′)dm1

La integral L(F,Λ) es la circulacion del campo F a lo largo de la curva Λ

y su signo depende de la orientacion elegida. Si F es un campo de fuerzas,L(F,Λ) se interpreta fısicamente como el trabajo que realiza F para llevar

a la masa unidad por la curva Λ.

Campos conservativos

Un campo F : V → R3 de dice conservativo si existe una funcion

Φ: V → R

x 7→ Φ(x)

llamada potencial de F , tal que F = −∇Φ. Entonces, divF = −∆Φ y, ası,

F es solenoidal ⇔ Φ es armonica

Comentarios 1.3.2

1. Si F : V → R3 es conservativo con potencial Φ y Λ ⊂ V viene dada

en funcion de su arco por la carta local γ : (0, L) → R3 el teorema de

derivacion de la funcion compuesta asegura que

(F (x)|t(x)) = −(∇Φ(γ(s))|γ ′(s)) = (Φ γ)′(s) ,

y, por tanto,

L(F,Λ) = −∫ L

0

(Φ γ)′(s)ds = Φ(x(0))− Φ(x(L))

En este caso L(F,Λ) no depende del camino en sı pues viene dadapor la diferencia de potencial entre el punto inicial xi y el punto fi-

nal xf y, en consecuencia, L(F,∆) = 0 en toda curva cerrada ∆ ⊂ V .

En particular, si F es un campo de fuerzas conservativo y Λ viene

dada en funcion del tiempo por la carta local α : (0, T ) → R3, el tra-

bajo realizado por el campo para llevar una partıcula de masa m a lo

largo de Λ seram (Φ(xi)− Φ(xf ))

y, tambien,

∫ T

0

m (α′′(t) |α′(t))dt =1

2m

∫ T

0

(α′(t) |α′(t))′dt =1

2m (‖vf‖2−‖vi‖2)


Ası, obtenemos que

mΦ(xi) +1

2m‖vi‖2 = mΦ(xf) +

1

2m‖vf‖2 = constante

Es habitual designar

V(x) = mΦ(x) energıa potencial

T (x, v) =1

2m‖v‖2 energıa cinetica

y, por tanto, la igualdad anterior es el principio de conservacion

T + V = E (energıa total constante)

que gobierna la mecanica en los campos de fuerzas conservativos.

2. Tambien es cierto el siguiente recıproco de 1: Si F : V → R3 es uncampo tal que L(F,∆) = 0 ∀∆ ⊂ V cerrada, F es conservativo.

En efecto:La circulacion en cualquier Λ ⊂ V depende solo de su punto inicial y

su punto final, pues, si Λ1 y Λ2 tienen los mismos extremos, Λ1 ∪ Λ2

es cerrada y, ası,

L(F,Λ1 ∪ Λ2) = L(F ; Λ1) + L(F, Λ2) = 0 ⇒ L(F,Λ1) = L(F,Λ2).

Fijado x0 ∈ V y siendo Λ cualquier curva de origen x0 y final x, quedabien definida la funcion

Φ : V → R

x 7→ L(F,Λ)

Es claro que el numerador de

Φi(x) = limt→0

Φ(x + tei) − Φ(x)

t

es la circulacion de F en el segmento [x + tei, x]. Por tanto,

Φi(x) = limt→0

L(F, [x + tei, x])

t= lim

t→0

∫ 0t F

i(x)dt

t= −F i(x)

luego

∇Φ(x) = −F (x) ♦


1.3.3 Flujos

Dado un campo F : V → R3 y una superficie orientable Σ ⊂ V , definimos

(F |n): Σ → R

x 7→ (F (x)|n(x))

siendo n(x) el vector normal unitario a la superficie Σ en el punto x. Si(Σ,A, σ) es la estructura de medida canonica en la superficie, podemos con-

siderar la integral

S(F,Σ) =

∫

Σ(F |n) dσ

Si Σ viene dada por la carta (U, α) la integral se calcula

∫

U

(

F α | t1 ∧ t2

‖t1 ∧ t2‖

)

‖t1 ∧ t2‖dm2 =

∫

U

[F α, t1, t2] dm2

donde el corchete expresa el producto mixto. Evidentemente, si en Σ con-sideramos la orientacion opuesta tendremos

∫

U[F α, t2, t1] dm2 = −

∫

U[F α, t1, t2] dm2

La integral S(F,Σ) es el flujo del campo F a traves de la superficie Σ y su

signo depende de la orientacion elegida en la superficie.

Comentarios 1.3.4

1. Si F : V → R3 es un campo de clase C2(V ) y Q es una caja tal que

Q ⊂ V , el flujo de F a traves de su superficie lateral ∂Q es:

∫

∂Q(F |n)dσ =

∫

QdivFdm3

En efecto:

Si las caras de Q son

Π1 de normal exterior e1



y

Π4 de normal exterior − e1



tendremos

∫

∂Q(F |n)dσ =

6∑

i=1

∫

Πi

(F |n)dσi =

3∑

i=1

(∫

Πi

F idσi −∫

Πi+3

F idσi+3

)


Si las dimensiones de la cajaQ son `1×`2×`3, la cara Πi es la traslacion

de Πi+3 segun el vector ìei y, por tanto,

∫

Πi

F idσi −∫

Πi+3

F idσi+3 =

∫

Πi+3

(F i(x + ìei) − F i(x)

)dm2(x) =

=

∫

Πi+3

[∫ ì

0

∂F i

∂xi(x)dm1(xi)

]

dm2(x)(Fubini)

=

∫

Q

∂F i

∂xidm3

Como esto es cierto para i = 1, 2, 3, sumando obtenemos el resultado.

2. Evidentemente, el flujo de un campo solenoidal F : V → R3 a traves

de las paredes de cualquier caja Q ⊂ V es nulo. Esta condicion Q ⊂ Ves esencial y no basta con exigir que ∂Q ⊂ V como vemos en el caso

del campo solenoidal

F : R3 \ 0 → R3

x 7→ Kx

‖x‖3

a traves de la esfera de centro o y radio r, no es nulo:

∫

∂Br

(F |n)dσ = K

∫

∂Br

(x

‖x‖3

∣∣∣

x

‖x‖

)

dσ =K

r2

∫

∂Br

dσ = 4Kπ

Recıprocamente, si F : V → R3 es un campo cuyo flujo a traves de las

paredes de toda caja cerrada Q ⊂ V es nulo, debe cumplir que

∫

QdivFdm3 = 0 ∀Q ⊂ V luego divF = 0 m3 · ae

3. Dado un campo F : V → R3 de clase C2(V ) y un punto x0 ∈ V ,

podemos definir el flujo medio del campo como la funcion

Ψx0 (`) =

∫

∂Q`

(F |n)dσ

m3(Q`)si ` > 0

donde Q` es el cubo de centro x0 y arista ` tal que Q` ⊂ V . Lo vistoen el comentario 1 asegura que

divF (x0) = lim`→0

∫

∂Q`

(F |n)dσ

m3(Q`)= lim

`→0Ψx0(`)

y, ası, la divergencia de un campo en un punto puede ser interpretadacomo el flujo medio en dicho punto.


1.3.5 Generalizaciones de la regla de Barrow

La regla de Barrow que conocemos hasta ahora, afirma que

∫ b

af ′(x)dx = f(b)− f(a)

Es decir, relaciona el valor de la integral de una ”derivacion” de f en un

intervalo, con el valor de f en la frontera de ese intervalo y ha sido clavepara obtener el principio de conservacion de la energıa en Mecanica.

Ahora, para un campo F : V → R3 aparecen como derivaciones, su diver-

gencia y su rotacional. Hemos visto en el comentario 1.3.4.1 que, al menos

para una caja Q ⊂ V , tambien existe una relacion entre la integral de la”derivacion” divF en el interior de Q y el valor de F en la frontera ∂Q

∫

QdivFdm3 =

∫

∂Q(F |n)dσ

cuando n es el vector unitario normal exterior a ∂Q.Veremos que esta nueva regla de Barrow es cierta no solo para las cajas,

sino tambien para cualquier dominio regular D ⊂ V . Veremos, ademas,otra generalizacion de la regla de Barrow para la ”derivacion” rotF :

∫

Σ(rotF |n)dσ =

∫

∂Σ(F |t)dλ

siempre que Σ sea orientable y ∂Σ tenga su orientacion inducida.

Cuando dispongamos de estos poderosos instrumentos de medida, estaremosen condiciones de justificar otros principios fundamentales de la Electricidad,

el Magnetismo y de los Medios Continuos, como la ley de Gauss, la deAmpere, la de Faraday o la ley de Bernouilli, que son los pilares de la Fısica.

1.3.6 El Teorema de la Divergencia

Teorema 1.3.7

Sea F : V → R3 un campo de clase C2(V ) y sea D un dominio regular tal

que D ⊂ V . Si n es el vector normal unitario exterior en cada punto de ∂D,

∫

DdivF dm3 =

∫

∂D(F |n) dσ

Demostracion :

1. Si g : V ⊂ R3 → R es de clase C1(V ) y sop g es compacto,

∫

V

∂g

∂xidm3 = 0 ∀i = 1, 2, 3

Si definimos g = 0 fuera de sop g, tenemos una funcion de clase C1(R3).

Fubini y Barrow aseguran que∫

V

∂g

∂xidm3 =

∫

R3

∂g

∂xidm3 =

∫

R2

dm2

∫ ∞

−∞

∂g

∂xidxi = 0

porque g(x) = 0 para |xi| grande.

2. Si g : R3 → R es de clase C1(R3), sop g es un compacto contenido en

un abierto U × R y φ : U → R es de clase C1(U), se cumplen

(i)

∫

x3<φ

∂g

∂x3dm3 =

∫

U

g (I, φ) dm2

(ii)

∫

x3<φ

∂g

∂xidm3 = −

∫

Ug (I, φ) · ∂g

∂xidm2 para i = 1, 2

En efecto:

(i) Aplicando Fubini tenemos:∫

x3<φ

∂g

∂x3dm3 =

∫

R3

1U(x1, x2)·1[−∞,φ(x1,x2)](x3)·∂g

∂x3(x)dm3(x) =

=

∫

U

[∫ φ(x1,x2)

−∞

∂g

∂x3dx3

]

dm2(x1, x2) =

∫

Ug (I, φ) dm2

(ii) La funcion

G : U → R

(x1, x2) 7→∫ φ(x1,x2)

−∞g(x1, x2, z) dm1(z)

es la funcion compuesta

G = H (I, φ) donde H(x1, x2, x3) =

∫ x3

−∞g(x1, x2, z)dm1(z)

y, claramente, es de clase C1(U) y sopG es un compacto

contenido en U . Por tanto,∫

U

∂G

∂xidm2 = 0 para i = 1, 2

Ahora bien, los teoremas de diferenciacion de la funcion com-

puesta y de derivacion bajo el signo integral nos aseguran que

∂G

∂xi=

∫ φ

−∞

∂g

∂xidx3 + g (I, φ) · ∂φ

∂xipara i = 1, 2

y, en consecuencia,∫

x3<φ

∂g

∂xidm3 =

∫

U

[∫ φ

−∞

∂g

∂xidx3

]

dm2 = −∫

U

g(I, φ)· ∂φ∂xi

dm2

3. Tras estos dos apartados o lemas previos ya podemos abordar la prueba

del teorema. Consideremos ∂D dada por una carta local de la forma

(I, φ) : U → R3 con φ : U → R de clase C1(U)

y tomemos un abierto V ⊂ U × R de modo que D ⊂ V y

x3 < φ en V ∩Dx3 > φ en V \D

Es facil comprobar que la integral de la divergencia es

3∑

i=1

∫

V ∩D

∂F i

∂xidm3 =

3∑

i=1

∫

x3<φ

∂F i

∂xidm3 = lema 2 =

=

∫

U(F (x1, x2, φ(x1, x2))|(−

∂φ

∂x1,− ∂φ

∂x2, 1))dm2(x1, x2).

Pero, en estas condiciones, (− ∂φ

∂x1,− ∂φ

∂x2, 1) tiene la direccion de la

normal exterior a ∂D y

dσ(x1, x2) =

√

1 +

(∂φ

∂x1

)2

+

(∂φ

∂x2

)2

dm2(x1, x2)

luego

∫

U(F (x1, x2, φ(x1, x2))|(−

∂φ

∂x1,− ∂φ

∂x2, 1))dm2(x1, x2) =

∫

∂D(F |n)dσ ♦

Consecuencias 1.3.8

1. Aplicando el teorema 1.3.7 a los campos constantes ei en un dominio

regular D, tenemos

∫

∂D

n1dσ =

∫

∂D

n2dσ =

∫

∂D

n3dσ = 0. Ası,

∫

∂Dn dσ = o

La anulacion de esta integral vectorial significa que la media del vectornormal en una superficie cerrada es nula o que no existen direcciones

privilegiadas en una superficie cerrada.

2. Si aplicamos el teorema 1.3.7 al campo identidad I : D → R3 (divI=3)en la bola euclıdea Br de centro o y radio r tenemos:

3m3(Br) =

∫

∂Br

(

x

∣∣∣

x

‖x‖

)

dσ(x) = rσ(∂Br)


que esta perfectamente de acuerdo con los conocidos resultados

m3(Br) =4

3πr3

σ(∂Br) = 4πr2

3. Si aplicamos el teorema 1.3.7 al campo identidad en un dominio regular

D encerrado por un cono Σ de vertice o y un plano Π de ecuacion(x|n0) = h, tenemos

3vol(C) =

∫

Σ(I |n)dσ +

∫

ΠΣ

(I |n0)dm2

donde ΠΣ es el trozo de Π encerrado por la curva Π ∩ Σ, tendremos

(I |n) = 0 en Σ

(I |n0) = h en ΠΣ

luego m3(C) =1

3σ(ΠΣ) · h

4. Sea Σ un trozo del plano XY con orientacion e3 y sea su borde ∂Σuna curva cerrada con la orientacion inducida. Sea U un abierto de

R2 que contiene a Σ y sea F : U → R

2 un campo bidimensional declase C2(U). Entonces, se cumple la formula de Riemann-Green:

∫

∂Σ

(F |t)dλ =

∫

Σ

(∂F 2

∂x1− ∂F 1

∂x2

)

dσ

Demostracion:

Sea D un dominio regular cilındrico de altura h levantado sobre Σ y

sea ∂D su borde orientado al exterior. Puesto que

(F |t) = ((F 2,−F 1, 0)|t∧ e3) = ((F 2,−F 1, 0)|n),

aplicando los teoremas de Fubini y de la divergencia, obtenemos

∫

∂Σ(F |t) dλ =

1

h

∫ h

0

(∫

∂Σ((F 2,−F 1, 0)|n) dλ

)

dz =

=1

h

∫

∂D

((F2,−F1, 0)|n) dσ =1

h

∫

D

div(F2,−F1, 0)dm3 =

=1

h

∫ h

0

(∫

Σ

(∂F 2

∂x1− ∂F 1

∂x2

)

dσ

)

dm1 =

∫

Σ

(∂F 2

∂x1− ∂F 1

∂x2

)

dσ

La formula de Riemann-Green se puede entender como un teorema de

la divergencia bidimensional para el campo F ? = (F 2,−F 1) pues∫

∂Σ

(F ?|n)dλ =

∫

Σ

divF ?dσ

Ademas, considerando el campo tridimensional


F : U × R → R3

(x1, x2, x3) 7→ (F 1(x1, x2), F2(x1, x2), 0)

extension natural de F : U → R2, tambien se puede entender como

una version reducida del teorema del rotacional, para recintos planos:∫

∂Σ(F |t) dλ =

∫

Σ(rotF |n) dσ

5. El teorema 1.3.7 tambien es la clave de las formulas de Green . Si D es

un dominio regular, V es un abierto que contiene a D y f, g : V → R

son funciones reales de clase C2(V ), se cumplen las formulas

G1

∫

∂D(∇f |n) dσ =

∫

D∆f dm3

G2

∫

∂D

(

g(∇f |n)− f(∇g|n))

dσ =

∫

D

(g∆f − f∆g) dm3

En efecto:

G1 Se obtiene por aplicacion del teorema 1.3.7 al campo ∇f .

G2 Se obtiene aplicando el teorema 1.3.7 al campo g∇f − f ∇gteniendo en cuenta que

div(g∇f − f ∇g) = g∆f − f∆g

En particular:

(a) Si f armonica, G1 ⇒∫

∂D

∂f

∂ndσ = 0

(b) Si f, g armonicas y homogeneas de distinto grado, α 6= β,

G2 ⇒ α − β

r

∫

‖x‖=rg f dσ = 0 (f ⊥ g en L2(∂Br, σ))

Funciones armonicas

De las formulas de Green se deducen muchas de las buenas propiedades delas funciones armonicas.

Teorema 1.3.9 Propiedad del valor medio

f : V ⊂ R3 → R de clase C2(V ) es armonica si y solo si

f(p) =

∫

∂Br(p)f dσ

4 π r2∀Br(p) ⊂ V

Demostracion:

El isomorfismo entre el borde de la bola unidad euclıdea B y el borde de la

bola euclıdea Br(p)

c: ∂B → ∂Br(p)

u 7→ p + ru

es restriccion de la aplicacion

C: R3 → R3

x 7→ p + rx

cuya diferencial es rI . Asi, |J (c)(x)| = r2 y, por el teorema 1.2.43,

M(r) =

∫

∂Br(p)f dσ

4 π r2=

1

4 π

∫

∂B

f(p + ru)dσ(u).

La nueva expresion nos permite calcular facilmente

M ′(r) =1

4 π

∫

∂B

Df(p + ru)(u)dσ(u) =1

4 π

∫

∂B

∂f

∂n(p + r u)dσ(u)

o, volviendo a la bola primitiva,

M ′(r) =1

4 π r2

∫

∂Br(p)

∂f

∂ndσ =

1

4 π r2

∫

Br(p)∆fdm3

Si f es armonica, M(r) es constante, luego M(r) = M(0) = f(p).

Si M(r) es constante, M ′(r) =

∫

Br(p)∆fdm3 = 0 ∀ Br(p) ⊂ V . Luego

∆f = 0 m3 · ae en V

y, por continuidad, f armonica en todo V . ♦

Teorema 1.3.10 Principio del maximo

Si V es un abierto conexo y f : V → R es armonica y alcanza su maximoabsoluto M , entonces f es constante.

Demostracion:

Es claro que f−1(M) = x ∈ V | f(x) = M es cerrado no vacıo en V .Veamos que tambien es abierto: Si p ∈ f−1(M) y Br(p) ⊂ V ,

1

4 π r2

∫

∂Br(p)|M − f |dσ =

1

4 π r2

∫

∂Br(p)(M − f)dσ = M − f(p) = 0

Por tanto, f(x) = M ∀x ∈ ∂Br(p) y, tambien, ∀x ∈ ∂Bρ(p) con ρ < r.Luego Br(p) ⊂ f−1(M). Ası, f−1(M) = V y f(x) = M ∀x ∈ V . ♦


Podemos razonar lo mismo con el mınimo absoluto. Este principio asegura

que un problema de Dirichlet en un dominio regular conexo V

∆Φ = 0 en V

Φ = f en ∂V

si tiene solucion, es unica, pues, si Φ1 y Φ2 son dos soluciones, Φ1 − Φ2 esarmonica en V y nula en ∂V donde, ademas, alcanza sus valores extremos.

Por tanto, 0 ≤ Φ1 − Φ2 ≤ 0 en todo V .

Es facil ver que las unicas armonicas radiales son H : Rn \ o → R

donde H(x) =

A log ‖x‖+B si n = 2A

‖x‖ +B si n = 3

Ademas, si p ∈ Br(o) y p′ =r2

‖p‖2p es su transformado por la in-

version que deja invariante a ∂Br(o), tambien es facil comprobar que

Hp: Rn \ p → R

x 7→ H(x− p)

y

Kp: Rn \ p′ → R

x 7→ r

‖p‖H(x− p′)

son funciones armonicas que coinciden en ∂Br(o).

Teorema 1.3.11 Formula integral de Poisson

Si Br(o) ⊂ V y f : V ⊂ R3 → R es armonica, se tiene:

f(p) =r2 − ‖p‖2

4π r

∫

∂Br(o)

f(x)

‖p− x‖3dσ(x) ∀p ∈ Br(o)

donde σ es la medida canonica en ∂Br(o).

Demostracion:

Si p ∈ Br y Bε(p) ⊂ Br(o) y aplicamos G2 en el dominio Br(o) \Bε(p) a

las funciones f y Hp, por ser armonicas en el, tenemos

(?)

∫

∂Br(o)

(

f∂Hp

∂n−Hp

∂f

∂n

)

dσ =

∫

∂Bε(p)

(

f∂Hp

∂n−Hp

∂f

∂n

)

dσ

Como Hp = Kp en ∂Br(o) podemos sustituir∫

∂Br(o)Hp

∂f

∂ndσ =

∫

∂Br(o)Kp

∂f

∂ndσ


y al ser Kp armonica en un entorno de Br(o), de nuevo por G2

∫

∂Br(o)

Kp

∂f

∂ndσ =

∫

∂Br(o)

f∂Kp

∂ndσ

Luego, el primer termino de (?) puede ser escrito en la forma

∫

∂Br(o)

f

(∂Hp

∂n− ∂Kp

∂n

)

dσ

Del segundo termino de (?) podemos calcular sus dos sumandos:

∂Hp

∂n(x) = DHp(x)

(x − p

‖x− p‖

)

= − 1

‖x − p‖2

luego ∫

∂Bε(p)f∂Hp

∂ndσ = − 1

ε2

∫

∂Bε(p)f dσ = − 4 πf(p)

siendo la ultima igualdad debida al teorema 1.3.9. Ademas, por G1:

∫

∂Bε(p)Hp

∂f

∂ndσ =

1

ε

∫

∂Bε(p)

∂f

∂ndσ = 0

En resumen,

f(p) =1

4 π

∫

∂Br(o)f

(∂Kp

∂n− ∂Hp

∂n

)

dσ ∀p ∈ Br(o)

Cuando ‖x‖ = r se tiene que ‖x − p′‖ =r

‖p‖‖x − p‖ y, entonces, es facil

obtener la expresion anunciada del nucleo de Poisson

P(p, x) :=∂Kp

∂n(x)− ∂Hp

∂n(x) =

(p′|x)− r2

‖p‖ ‖x− p′‖3− (p|x)− r2

r ‖x− p‖3=

=(‖p‖2/r2)((p′|x)− r2) − ((p|x)− r2)

r ‖x− p‖3=

r2 − ‖p‖2

r ‖x − p‖3

con lo cual,

f(p) =r2 − ‖p‖2

4 π r

∫

∂Br(o)

f(x)

‖x− p‖3dσ ∀p ∈ Br(o) ♦

Comentarios 1.3.12

1. La formula integral de Poisson da la solucion del problema de Dirichleten una bola centrada en el origen pero, evidentemente, por traslacion,

la podemos adaptar a cualquier otra bola euclıdea.


2. El nucleo P(p, x) es diferenciable indefinidamente respecto de p y, por

tanto, toda funcion armonica es de clase C∞.

3. Para funciones armonicas f : V ⊂ R2 → R, tomando H(x) = log ‖x‖,la formula integral de Poisson queda como sigue

f(p) =r2 − ‖p‖2

2π r

∫

∂Br(o)

f(x)

‖p− x‖2dλ(x) ∀p ∈ Br(o)

donde λ es la medida canonica en ∂Br(o)

1.3.13 El Teorema del Rotacional

Teorema 1.3.14

Si Σ es una superficie orientada segun n, ∂Σ es la curva cerrada de su borde

con la orientacion inducida y F : V → R3 es un campo de vectores de clase

C2(V ) con Σ ⊂ V , se cumple que

∫

Σ(rotF |n) dσ =

∫

∂Σ(F | t)dλ

Demostracion:

Suponemos que Σ esta descrita por la carta local

(I, f): D → R3

(x, y) 7→ (x, y, f(x, y))

Suponemos en D la orientacion e3 y su borde ∂D descrito por una carta

local α : (a, b) → R2 que le confiere la orientacion inducida. Entonces, ∂Σ

estara descrito por la carta local

(I, f) α: (a, b) → R3

t 7→ (α(t), f α(t))

que le confiere la orientacion inducida por la orientacion (−f1,−f2, 1) de Σ.Ası, tenemos

∫

∂Σ(F |t)dλ =

∫ b

a

(F (α, f α)|(α′, (f α)′)

)dm1 =

=

∫ b

a

(F (α, f α)|(α′, Df(α)α′)

)dm1 =

∫

∂D(F ?|t)dλ

donde F ? es el campo bidimensional

F ?: D → R2

x 7→(F 1(x, f(x))+ F 3(x, f(x)) · f1(x)

F 2(x, f(x))+ F 3(x, f(x)) · f2(x)

)


Aplicandole la formula de Riemann-Green tenemos∫

∂D

(F ?|t)dλ =

∫

D

(

F ?21 − F ?12

)

dm2

y, comoF ?2

1 = F 21 + F 2

3 · f1 + (F 31 + F 3

3 · f1) · f2 + F 3 · f21

F ?12 = F 1

2 + F 13 · f2 + (F 3

2 + F 33 · f2) · f1 + F 3 · f12

resulta que

F ?21 − F ?12 = (F 21 − F 1

2 ) + (F 23 − F 3

2 ) · f1 + (F 31 − F 1

3 ) · f2.

Ahora bien, directamente podemos calcular∫

Σ(rotF |n)dσ =

∫

D

((F 3

2 − F 23 )(−f1) + (F 1

3 − F 31 )(−f2) + (F 2

1 − F 12 ))dm2.

luego∫

Σ(rotF |n)dσ =

∫

D

(

F ?21 − F ?12

)

dm2 =

∫

∂D(F ?|t)dλ =

∫

∂Σ(F |t)dλ ♦

Consecuencias 1.3.15

1. Hemos visto en los comentarios 1.3.1,1 y 2 que un campo F : V → R3

es conservativo si y solo si la circulacion L(F,∆) en toda curva cerrada

∆ ⊂ V es nula.Tambien sabemos que un campo conservativo es siempre irrotacional.El teorema 1.3.14 nos asegura el recıproco cuando toda curva cerrada

∆ ⊂ V es el borde de una superficie totalmente contenida en V .Los abiertos V que cumplen esta condicion se llaman simplemente

conexos y, en tal caso, todo campo F : V → R3 cumple que

F es conservativo ⇔ F es irrotacional

Un V ⊂ R2 es simplemente conexo si y solo si no tiene agujeros. Sin

embargo, un V ⊂ R3 con agujeros, puede ser simplemente conexo ya

que cualquier curva que los rodee podrıa ser el borde de una superficie

que lograra evitarlos sin salirse de V .

2. Si F : V → R3 es irrotacional y V es simplemente conexo podemos

calcular su funcion potencial directamente a partir de su definicion3.Ahora bien, si la quebrada

Λ = [o, (x, 0, 0)]∪ [(x, 0, 0), (x, y, 0)]∪ [(x, y, 0),x] ⊂ V

3Debemos recordar los metodos de integracion de las ecuaciones diferenciales exactasy asociar las ecuaciones cerradas con los campos irrotacionales


podremos calcular el potencial a partir de L(F,Λ) = Φ(o) − Φ(x):

Φ(x) = −∫ x

0F 1(x, 0, 0)dx−

∫ y

0F 2(x, y, 0)dy−

∫ z

0F 3(x, y, z)dz+ Φ(o)

Alternativamente, si la quebrada

Λ = [x∞, (x, 0, 0)]∪ [(x, 0, 0), (x, y, 0)]∪ [(x, y, 0), x]⊂ V

podremos calcular el potencial a partir de L(F,Λ) = Φ(x∞) − Φ(x):

Φ(x) = −∫ x

∞F 1(x, 0, 0)dx−

∫ y

0F 2(x, y, 0)dy−

∫ z

0F 3(x, y, z)dz+ Φ(x∞)

3. Hemos visto en la pagina 64 que todo campo de rotores es solenoidal.Ahora nos planteamos la cuestion inversa:Si un campo F : V → R3 de clase C2(V ) es solenoidal ¿existe un

P : V → R3 tal que F =rotP?. La respuesta la damos proponiendo

una solucion en V para el sistema de ecuaciones en derivadas parciales

εijkPkj = F i con F ii = 0

Eligiendo, de salida, P 1 = 0 el sistema se reduce a

P 32 − P 2

3 = F 1

−P 31 = F 2

P 21 = F 3

con F 11 + F 2

2 + F 33 = 0

y podemos proponer la solucion

P 1 = 0

P 2 =∫ xx0F 3dx+ g2(y, z)

P 3 = −∫ xx0F 2dx+ g3(y, z)

con g2 y g3 arbitrarias puesto que, por ser F solenoidal, se cumple que

P 32 − P 2

3 = −∫ x

x0

F 22 dx + g3

2(y, z)−∫ x

x0

F 33 dx− g2

3(y, z) = F 1

Eligiendo g2 = 0 debe cumplirse que g32(y, z) = F 1(x0, y, z) y, ası,

podemos proponer la solucion

(?)

P 1 = 0

P 2 =∫ xx0F 3dx

P 3 = −∫ xx0F 2dx+

∫ yy0F 1(x0, y, z)dy

1.4. EJERCICIOS 81

siempre que dados dos puntos arbitrarios x0, x ∈ V haya una caja

que los contenga y este totalmente contenida en V . Esta condiciondel dominio se puede debilitar y se puede probar (no lo haremos) que

basta que V no tenga agujeros para poder asegurar la existencia de lasolucion particular P dada en (?).

Es evidente que si existe esta solucion particular, tambien G = P+∇Φes solucion, cualquiera que sea la funcion Φ : V → R puesto que

rotG = rotP = F

Recıprocamente, si G fuese una solucion cualquiera, tendrıamos

rotG = F

rotP = F⇒ rot(G− P ) = o

y, al carecer V de agujeros, serıa simplemente conexo y estarıa asegu-

rada la existencia de un potencial Φ : V → R tal que G = P + ∇Φ.Por tanto, P + ∇Φ es la solucion general del sistema

εijkGkj = F i con F ii = 0

que se llama potencial vector del campo solenoidal F .

1.4 Ejercicios

1. Practica1. Operar con listas y diccionarios. sws

Capıtulo 2

Problemas inversos

Dada una funcion f : X → Y y un b ∈ Y , resolver el problema inversoo la ecuacion f(x) = b, es estudiar si existe algun x0 ∈ X tal que f(x0) = b

y calcularlo.

2.1 El caso lineal finito dimensional

Si X e Y son espacios vectoriales de dimension finita y f es lineal, este

problema ya ha sido tratado en la asignatura de Algebra Lineal.Recordemos que una aplicacion f : X → Y es lineal cuando

1. f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) ∀x1, x2 ∈ X

2. f(λ · x) = λ · f(x) ∀x ∈ X, ∀λ ∈ R

Son importantes los subespacios vectoriales

ker f = x ∈ X | f(x) = 0 ⊂ X y imf = f(x) | x ∈ X ⊂ Y

y, si dimX <∞, se cumple la ecuacion de dimensiones

(ED) dimker f + dim im f = dimX .

Las aplicaciones lineales son las mas importantes de las definidas entre espa-

cios vectoriales. Si X e Y tienen bases de Hamel u1, · · · ,un y v1, · · ·vm,la aplicacion lineal f : X → Y queda determinada por los vectores

f(uj) = aj =

m∑

i=1

aijvi ∀j = 1, · · · , n

o por la matriz

A = (aij) =

a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · amn

83

84 CAPITULO 2. PROBLEMAS INVERSOS

pues si x =

n∑

j=1

xjuj, se tiene que

f(x) =

n∑

j=1

xjaj =(a1 · · · an

)

xi...xn

=

a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · amn

xi...xn

= Ax

El problema inverso f(x) = b o, si se prefiere, el sistema lineal Ax = b,tiene solucion si y solo si

b ∈ im f = [a1, · · · , an].

Ademas, si x0 es una solucion, cualquier otra estara en x0 + ker f y, ası, la

solucion es unica si ker f = 0 o, por (ED), si a1, · · · , an son lineal-mente independientes.

El teorema de Rouche-Frobenius expresa esto en terminos de la matriz A:

1. f(x) = b tiene solucion si y solo si rang(A) = rang([A,b])

2. f(x) = b tiene solucion unica si y solo si rang(A) = rang([A,b]) = n

Cuando b /∈ im f , el sistema Ax = b no tiene solucion, pero si en Y

consideramos un producto escalar | : Y × Y → R y su correspondientenorma euclıdea

‖ ‖: Y → R

y 7→ +√

(y|y)

es claro que el vector b tiene una unica mejor aproximacion euclıdea en el

subespacio cerrado im f . Ası, existira un unico y0 ∈ im f tal que

‖y0 − b‖ = min‖Ax− b‖ | x ∈ X

Por tanto, la funcion

F : X → R

x 7→ ‖Ax − b‖

o, equivalentemente, la funcion

G: X → R

x 7→ (Ax− b|Ax− b)

alcanza un mınimo en un x0 ∈ X que debe cumplir que DG(x0) = 0. Como

G(x) = (Ax|Ax)− 2(Ax|b) + (b|b) = (A?Ax|x)− 2(A?b|x) + (b|b)

2.2. CASOS NO LINEALES 85

es claro que

DG(x) = 2A?Ax − 2A?b

y, por tanto, x0 es solucion del sistema lineal A?Ax = A?b.

Ası, aunque el sistema lineal Ax = b no tenga solucion, el sistema lin-

eal A?Ax = A?b si la tiene. Este es el sistema que resolvemos con la ordenRASL(A,b) en Sage y, por eso, siempre nos ofrece una solucion generalizada

o mejor aproximacion de la solucion aunque Rouche-Frobenius nos asegureque no existe solucion propiamente dicha.

2.2 Casos no lineales

Si f : X → Y no es lineal, el problema inverso f(x) = b es mucho mas difıcil,

aunque, designando F = f − b, podamos reducirlo al problema equivalenteF (x) = 0.

2.2.1 Polinomios

Ni cuando X = Y = R y F es un polinomio de grado mayor que uno, resultafacil el problema.

Al-Khwarizmi nos enseno a resolverlo cuando F (x) = ax2 + bx+ c pues,

mediante el cambio x = X − b

2a, llegamos a

X 2 =b2 − 4ac

4a2y, por tanto, x =

−b±√b2 − 4ac

2a

Tartaglia nos enseno a resolverlo cuando F (x) = ax3 +bx2+cx+d pues,


3a, podemos reducirlo a uno del tipo

X 3 +AX = B con

A =27ca2 − 9ab2

27a3

B =9cab− 27da2 − 2b3

27a3

.

y resolverlo siguiendo las instrucciones de su verso:


Cuando esta el cubo con las cosas preso

y se iguala a algun numero discretobusca otros dos que difieran en eso

Despues haras esto que te espetoque su producto siempre sea igual

al tercio cubo de la cosa neto

Despues el resultado generalde sus lados cubicos bien restados

te dara a ti la cosa principal

Es decir, debemos buscar dos numeros p y q tales que

p− q = B y pq =

(A

3

)3

y tomar X = 3√p− 3

√q

En efecto,X 3 = ( 3

√p− 3

√q)3 = p− 3 3

√

p2q + 3 3√

pq2 − q

y se cumple que

X 3 +

A︷︸︸︷

3 3√pq

X︷︸︸︷

( 3√p− 3

√q) =

B︷︸︸︷

p− q .

Euler nos enseno a resolver el caso F (x) = ax4 +bx3 +cx2 +dx+e pues,


4a, se reduce a una ecuacion del tipo

X 4 = AX 2 + BX +C con

A =96a2b2 − 256ca3

256a4

B =128ca2b− 32ab3 − 256da3

256a4

C =64da2b− 256ea3 − 16cab2 + 3b4

256a4

.

Esta ecuacion admite la solucion

X =√p+

√q+

√r si p, q, r cumplen

p+ q + r =A

2

p q r =B2

64

pq + pr + qr =A2 + 4C

16

es decir, si p, q, r son las raices de la ecuacion cubica

x3 − A

2x2 +

A2 + 4C

16x− B2

64= 0.

Y no es posible llegar mas lejos, pues Abel probo en 1824 que para un poli-

nomio cualquiera de grado mayor que cuatro no puede haber una solucionformal conseguida mediante operaciones algebraicas sobre los coeficientes

del polinomio.

2.2.2 Funciones continuas

Sin embargo, si F : [a, b] → R es continua y F (a) · F (b) < 0, el teo-

rema de Bolzano asegura una solucion s ∈ (a, b) a la que podemos aproxi-marnos mediante la funcion biseccio.sage definida en la worksheet MATES-

PRACTICA-PINV.

2.2.3 Funciones contractivas

Si X ⊂ Y y encontramos una G : X → Y tal que G = F + I , resolverF (x) = 0 equivale a resolver G(x) = x.

Teorema 2.2.4 Aplicacion contractiva de Banach

Si (Y, ‖ ‖) es un espacio normado completo, X ⊂ Y es un subconjuntocerrado y G : X → Y es una funcion que cumple

G(X) ⊂ X

∃L ∈ (0, 1) tal que ‖G(x)−G(y)‖ ≤ L‖x − y‖ ∀x, y ∈ X

se tiene que

1. Existe un unico p ∈ X tal que G(p) = p.

2. El algoritmo iterativo

x0 ∈ X

xk+1 = G(xk) ∀k ≥ 0

es convergente a p cualquiera que sea el punto de inicio x0

3. ‖xk − p‖ ≤ Lk

1− L‖x1 − x0‖ ∀k ≥ 1

Demostracion:

Para k ≥ 1 se verifica

‖xk+1 − xk‖ = ‖G(xk) −G(xk−1)‖ ≤ L‖xk − xk−1‖ ≤ · · · ≤ Lk‖x1 − x0‖

y, en consecuencia, para n > k ≥ 1 tenemos

‖xn − xk‖ ≤ ‖xn − xn−1‖ + · · · ‖xk+1 − xk‖ ≤ (Ln−1 + · · ·+ Lk)‖x1 − x0‖

luego

‖xn − xk‖ ≤ Lk

1 − L‖x1 − x0‖

Esto prueba que (xk) es una sucesion de Cauchy en el espacio metrico com-

pleto (X, d‖‖). Ası, existe p ∈ X tal que (xk) → p y G(p) = p. Siexistiera otro q ∈ Ω cumpliendo G(q) = q, llegarıamos al absurdo:

‖p− q‖ = ‖G(p)−G(q)‖ ≤ L‖p− q‖ < ‖p− q‖.La estimacion del error se obtiene tomando el lımite en la desigualdad

‖p− xk‖ = limn→∞

‖xn − xk‖ ≤ Lk

1− L‖x1 − x0‖ ♦

Ejemplo 2.2.5

Hallar una solucion de la ecuacion F (x) = 0 siendo F la funcion

F : R → R

x 7→ x3 + 3x− 5

Solucion:

Buscamos una solucion de la ecuacion G(x) = x siendo G la funcion

G: R → R

x 7→ 5−x3

3

Como G es derivable, ∀x1, x2 ∈ R se cumple que

|G(x1) −G(x2)| < |G′(x)| · |x1 − x2| para algun x ∈ [x1, x2].

Ası, la restriccion de G al intervalo cerrado C = [− 910 ,

910 ] sera contractiva.

Sin embargo, su grafica

nos demuestra que G : C → R no cumple la condicion G(C) ⊂ C exigida enel teorema 2.2.4.

Planteamos, alternativamente, la ecuacion H(x) = x siendo H la funcion

H : R → R

x 7→ 5x2+3

La grafica de |H ′| : R → R+

nos dice que H : R → R es contractiva de constante L < 0.7 y la grafica de

la restriccion de H al cerrado C = [−2, 2]

nos muestra que H(C) ⊂ C. Entonces, el teorema 2.2.4 nos asegura que∀p ∈ [−2, 2] las iteraciones

for k in range(40):

p=H(p).n()

nos llevan a una aproximacion a de la solucion exacta s de H(x) = x tal que

|a− s| < 0.740

.3· 4 = 8.48907434787868 · 10−6.

Para una tolerancia TOL prefijada, podemos hallar el numero k de itera-ciones necesarias resolviendo la ecuacion

0.7k

.3· 4 = TOL.

Ejemplo 2.2.6

Hallar una solucion de la ecuacion F (x) = 0 siendo F la funcion

F : R2 → R

2(x

y

)

7→(x2 − 10x+ y2 + 8

xy2 + x− 10y + 8

)

Solucion:

Buscamos una solucion de G(x) = x siendo G la funcion

G: R2 → R2

(x

y

)

7→(x2+y2+8

10xy2+x+8

10

)

Como G es diferenciable, el teorema de los incrementos finitos asegura que

‖G(x1) −G(x2)‖ ≤ ‖DG(x)‖‖x1 − x2‖ para algun x ∈ [x1, x2].

Como la diferencial DG(x) : R2 → R

2 viene matriz jacobiana(

x5

y5

1+y2

10xy5

)

tendremos que ‖DG(0)‖ = 110 y, en consecuencia, existira un entorno de 0

donde la restriccion de la funcion G sera contractiva.

Por ejemplo, en el disco cerrado C, de centro 0 y radio 2, la restriccionG : C → R2 es contractiva de constante L < 7

10 .

Ademas, podemos comprobar que G(C) ⊂ C. En efecto:En la siguiente figura, la circunferencia representa el borde ∂C y el segmentorepresenta el transformado de ese borde G(∂C). Vemos que G(∂C) esta

rodeado por ∂C y, por continuidad, concluimos que G(C) ⊂ C.

Por tanto, la funcion G : C → R2 cumple todas las condiciones del teorema

2.2.4 y las iteraciones

for k in range(40):

P=EV(G,P).n()

iniciadas en cualquier P ∈ C nos dan la solucion x =

(1

1

)

♦.

2.2.7 Metodo de Newton

Sean X e Y espacios normados completos, Ω ⊂ X un abierto y f : Ω → Yuna funcion diferenciable. Dado b ∈ Y se busca un x ∈ Ω tal que f(x) = b.

Si en x0 ∈ Ω conocemos el valor f(x0), sabemos que

f(x) ≈ f(x0) +Df(x0)(x− x0)

y podemos sustituir el problema f(x) = b por el problema lineal

A0x = b0 donde

A0 = Df(x0)

b0 = b− f(x0) +Df(x0)(x0).

La solucion x1 = RASL(A0,b0) puede no ser aceptable porque x1 /∈ Ω o

porque ‖f(x1)−b‖ sea mayor que el error que estemos dispuestos a tolerar.Sin embargo, si x1 ∈ Ω, puede servirnos para plantear un nuevo problema

lineal

A1(x) = b1 donde

A1 = Df(x1)

b1 = b− f(x1) +Df(x1)(x1)

cuya solucion x2 = RASL(A1,b1) sea mejor que x1 porque cumpla que

‖f(x2) − b‖ < ‖f(x1) − b‖.

Esto nos sugiere iterar el procedimiento hasta un xn tal que ‖f(xn) − b‖sea menor que un cierto numero fijado segun las necesidades de precision,

al que llamaremos tolerancia. En el caso particular X = Rn e Y = R

m,este proceso iterativo se recoge en la funcion newton.sage de la worksheetPractica2. Problemas Inversos.

El punto inicial x0 debe ser elegido con tino, segun el arte de cada cual.

2.2.8 Ajuste de una nube de puntos

Sea Ω un abierto de Rn, I ⊂ R un intervalo y Ψ : Ω → C(I) una carta local

de la variedad diferenciable de funciones reales

Ψ(w) : I → R | w ∈ Ω

Ası, el conjunto de derivadas parciales

∂Ψ

∂wi(w) : I → R | i = 1, · · · , n

constituye una base del espacio tangente a la variedad en el punto Ψ(w).

Pretendemos hallar la funcion de la variedad que mejor aproxime en norma


euclıdea los datos X = [x1, · · · , xk] e Y = [y1, · · · , yk]. Es decir, queremos

hallar el w0 ∈ Ω tal que

∥∥∥∥∥∥∥

y1...yk

−

Ψ(w0)(x1)...

Ψ(w0)(xk)

∥∥∥∥∥∥∥

= minw∈Ω

∥∥∥∥∥∥∥

y1...yk

−

Ψ(w)(x1)...

Ψ(w)(xk)

∥∥∥∥∥∥∥

y, por ello, buscamos el w0 ∈ Ω que minimice la funcion

(y|y)− 2(Ψ(w)(x)|y)+ (Ψ(w)(x)|Ψ(w)(x)).

En w0 ∈ Ω deben anularse todas las derivadas parciales y, por tanto,

−2(∂Ψ

∂wi(w0)(x)|y)+ 2(

∂Ψ

∂wi(w0)(x)|Ψ(w0)(x)) = 0 ∀i = 1, · · · , n

Ello quiere decir que w0 es un punto de Ω que cumple:

∂Ψ∂wi

(w0)(x1)...

∂Ψ∂wi

(w0)(xk)

⊥

Ψ(w0)(x1)− y1...

Ψ(w0)(xk)− yk

∀i = 1, · · · , n

y, por tanto, el vector Ψ(w0)(x)− y debe ser ortogonal al espacio tangentea la variedad en Ψ(w0).

Un caso particular sencillo, es el de una variedad lineal generada por las

funciones independientes f1, f2, · · · , fn en el que Ω = Rn y la variedad es

Ψ(w) |w ∈ Rn = w1f1 + · · ·+ wnfn |w ∈ R

n

En este caso, ∀w ∈ Rn el espacio tangente es la propia variedad lineal

[f1, · · · , fn] y podemos obtener w0 resolviendo el problema inverso lineal

f1(x1) · · · fn(x1)...

. . ....

f1(xk) · · · fn(xk)

w1...

wn

=

y1...

yk

mediante nuestra funcion de Sage nube(X,Y,F).

Otro caso particular es el llamado ajuste por mınimos cuadrados de un mode-lo a unos datos, en el que la variedad de funciones es de la forma

Φ(w): I → R

x 7→ w1f1(x)+···+wkfk(x)wk+1fk+1(x)+···+wnfn(x)

2.3. EJEMPLOS 93

y gira, ciertamente en torno a un modelo de funcion en el que solo cambian

los parametros w1, · · · , wn y se puede tratar con nuestra funcion ortotan-gente(X,Y,f) que construye el sistema de n ecuaciones no lineales con n

incognitas

∂Ψ

∂wi

(w0)(x1) · (Ψ(w0)(x1) − y1) + · · · +∂Ψ

∂wi

(w0)(xk) · (Ψ(w0)(xk) − yk) = 0 ∀i = 1, · · · , n

y nuestra funcion newton(f, P, T) que lo resuelve mediante la solucioniterada de aproximaciones lineales con tolerancia T y punto inicial P . Para

elegir el punto inicial, podemos servirnos de la funcion importada de NumPyfind-fit que hemos usado en el programa ajustaunmodelo(X,Y,model).

2.3 Ejemplos

La mayor dificultad que suele encontrar el alumno para resolver un problema

inverso de la vida corriente, es determinar los conjuntos X e Y y la funcionf : X → Y subyacente

Ejemplo 2.3.1

Sea A : Rn → R

m una aplicacion lineal y sea b ∈ imA. Hallar el vector denorma euclıdea mınima en la variedad Mb = x ∈ Rn |Ax = b.Solucion:Veamos dos maneras diferentes de calcular este vector:

1. Como b ∈ imA, existe un x0 ∈Mb. Si Mb = x0 el vector de normaeuclıdea mınima en Mb es x0. En otro caso, cualquier otro x ∈ Mb

cumplira que x ∈ x0 + kerA y, por tanto, Mb = x0 + kerA. Ası, elvector de norma euclıdea mınima xm ∈Mb sera ortogonal a kerA.

Sea u1, · · · ,un es una base ortonormal de Rn tal que [u1, · · · ,ur] =

[kerA]⊥, y [ur+1, · · · ,un] = kerA, tendremos

xm = x0+λr+1ur+1+· · ·+λnun, con λi = −(x0|ui) ∀i = r+1 · · · , n

y, en consecuencia,

xm = x0 − (x0|ur+1)ur+1 − · · · − (x0|un)un.

2. Otra manera de proceder es usar el teorema de los multiplicadores de

Lagrange para obtener el mınimo. La lagrangiana de este problema es

Φ : Rn × Rm → R

(x, y) 7→ (x|x)− (Aty|x) + (y|b)


y la anulacion de su gradiente nos produce las dos ecuaciones

2xm −Aty = 0 y Axm = b

Eliminando la xm obtenemos la ecuacion lineal eny

2

A · Aty2

= b cuya solucion esy

2= A · At\b

y sustituyendo tenemos xm = At(A ·At\b).

Ejemplo 2.3.2

¿A que altura llega el lıquido en un deposito esferico de 5m de radio si estaal 80% de su capacidad?

Solucion:Se busca la funcion V : [0, 10] → R que de el volumen en terminos de la

altura H del lıquido y se resuelve la ecuacion V (H) =400

3π.

Si integramos por discos vemos que

V (H) =

∫ H

0

π(2rh− h2)dh = πrH2 − πH3

Debemos encontrar un Ho ∈ (5, 10) que sea raiz de la ecuacion polinomica

H3 − 15H2 + 400 = 0.

Usando la orden find root de Sage,

var(’H’)

V=(H^3-15*H^2+400==0)

V.find_root(5,10)

obtenemos

Ho = 7.128592745832596

Usando biseccion.sage con TOL = 10−12 obtenemos

Ho = 7.1285927458328046668611932545900 en 43 iteraciones

Usando banach.sage con G(H) =400

15H −H2, TOL = 10−12 e inicio 7,

obtenemos

Ho = 7.1285927458325204497668892145157 en 13 iteraciones

Ejemplo 2.3.3

2.3. EJEMPLOS 95

Un cono recto de radio 3 y altura 4, apoyado sobre su base, contiene agua

hasta la mitad de su altura. ¿A que altura llegara el agua si lo tumbamossobre una de sus generatrices?

Solucion:

Ejemplo 2.3.4

Nieva de forma regular y los quitanieves retiran una cantidad constantede nieve por unidad de tiempo. Sale un quitanieves a las 12 horas y en la

primera hora recorre doble distancia que en la segunda. ¿A que hora empezoa nevar? A las 12:30 horas sale otro quitanieves desde el mismo punto y por

la misma ruta que el primero. ¿A que hora lo alcanza?Solucion:

Sabemos que la cantidad de nieve quitada por unidad de tiempo es una

constante C y que la altura que alcanza la nieve en el instante t es k(t-t0)siendo k otra constante y t0 el instante en que empezo a nevar. Entonces,

si L es la anchura del quitanieves y v(t) es su velocidad tendremos:

C = Lk(t− t0)v(t)

La primera pregunta la contestamos resolviendo la ecuacion en t0:

∫ 13

12

dt

t− t0= 2

∫ 14

13

dt

t− t0

y la segunda resolviendo la ecuacion en T :

∫ T

12

dt

t− t0=

∫ T

12.5

dt

t− 12

Ejemplo 2.3.5

Desde un punto de una circunferencia C1 se traza otra circunferencia C2 de

modo que la interseccion de sus cırculos ocupe la mitad del area del cırculode C1. ¿Es el radio de C2 igual al radio del hexagno circunscrito a C1?

Solucion:

Tomando como sistema de referencia polar el centro de C2 y la tangente porel a C1, la ecuacion de C1 es ρ = 2r sen θ. Como vemos en la figura

debemos encontrar un angulo Θ tal que

1

2

∫ Θ

04r2 sen 2θdθ +

1

24r2 sen 2Θ

(π

2− Θ

)

=πr2

4

es decir, debemos resolver la ecuacion

Θ(1 − 2 sen 2Θ) − sen Θ cos Θ + π sen 2Θ =π

4.


Usando biseccion.sage en [0, π2 ] con TOL = 10−12 obtenemos

Θ = .61794846213990661798476367039257 en 41 iteraciones

Usando newton.sage con TOL = 10−12 y punto inicial π4 obtenemos

Θ = .61794846213995480166403240218642 en 5 iteraciones

Tomando como buenas las trece primeras cifras decimales (coincidentes en

ambos metodos) deducimos que la razon entre los radios de C2 y C1 es

2 sen (.6179484621399) = 1.1587284730180322789294677932048

mientras que la razon entre el radio del hexagono circunscrito y el de C1 es

2√3

= 1.1547005383792515290182975610039

Estas razones difieren en mas de una milesima y, por tanto, podemos ase-

gurar que el radio de C2 no es el radio del hexagono circunscrito a C1.

2.4 Ejercicios

1. Practica2. Problemas Inversos. sws

2. Una pulga situada en un alambre [0, n] da saltos de longitud unidad

hacia el 0 con probabilidad α y hacia el n con probabilidad 1 − α.Designamos Pk la probabilidad de que la pulga, partiendo del punto

k, llegue al 0 antes que al n. Ası, P0 = 1 y Pn = 0.Teniendo en cuenta que Pk = αPk+1 + (1 − α)Pk−1, determinar Pkpara k = 1, · · · , n− 1 cuando α = 0.3 y n = 10

3. Una partıcula M situada en (4,0) inicia un movimiento circular uni-forme levogiro de radio 3 y velocidad angular 3 en torno a un punto C,

al tiempo que este punto C inicia desde (1,0) otro movimiento circularuniforme levogiro de radio 1 y velocidad angular 1 en torno al origen

de coordenadas.

2.4. EJERCICIOS 97

(a) Determinar y representar la trayectoria de la partıcula en el in-

tervalo de tiempo [0, 2π).

(b) Hallar los puntos del plano por los que la partıcula pasa dos vecesen ese periodo.

Capıtulo 3

Metodos numericos para

Ecuaciones Diferenciales

3.1 Introduccion

A partir de la revolucion cientıfica protagonizada por Newton y Leibnitzen el siglo XVII, muchos de los fenomenos de la naturaleza han podido

modelarse en terminos de un sistema de ecuaciones diferenciales (EEDD):

dxidt

= fi(t, x1(t), · · · , xn(t)); i = 1, · · · , n; t ∈ [t0, t0 + T ]

o, si se prefiere, en terminos de una ecuacion diferencial vectorial (EDV):

x′(t) = f(t, x(t)); t ∈ [t0, t0 + T ]

Su solucion general es una familia de curvas SG = sp |p ∈ Rn donde

sp: [t0, t0 + T ] → Rn

t 7→ sp(t)

que substutuıdas en la expresion (EDV), la verifican identicamente:

sp′(t) ≡ f(t, sp(t)) ∀t ∈ [t0, t0 + T ], ∀p ∈ R

n .

En condiciones muy generales para la funcion

f : [t0, t0 + T ] × Rn → R

n

(t, x) 7→ f(t, x)

sabemos que, fijado p0 ∈ Rn, existe una curva sp0 ∈ SG tal que

sp0′(t) ≡ f(t, sp0(t)) ∀t ∈ [t0, t0 + T ]

sp0(t0) = p0

llamada solucion particular con condicion inicial p0.

99

100CAPITULO 3. METODOS NUMERICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES

Recopilamos dichas condiciones en el siguiente

Teorema 3.1.1

Sea f : [t0, t0 + T ]× Rn → R

n una funcion cualquiera y sea p0 ∈ Rn.

1. Si f es continua en un entorno de (t0,p0), existe un T ′ ≤ T y unas : [t0, t0 + T ′] → Rn tal que

s′(t) = f(t, s(t)) ∀t ∈ [t0, t0 + T ‘]

s(t0) = p0

2. Si f es continua y existe un numero real λ verificando que

‖f(t, x)− f(t, y)‖ ≤ λ‖x− y‖ ∀(t, x, y) ∈ [t0, t0 + T ] × Rn × R

n

existe una y solo una s : [t0, t0 + T ] → Rn tal que

s′(t) = f(t, s(t)) ∀t ∈ [t0, t0 + T ]

s(t0) = p0

♦

Sin embargo no siempre es posible expresar la solucion sp0 : [t0, t0+T ] → Rn

de forma analıtica, en terminos de funciones elementales.

3.2 Ecuaciones lineales

Uno de los casos en que es posible expresar la solucion en terminos de fun-

ciones elementales, es el de las ecuaciones diferenciales lineales de coeficientesconstantes

f(t, x) = Ax + u(t)

donde A ∈ Mn(R) y u : [t0, t0+T ] → Rn es una funcion continua. Entonces,

la solucion particular de condicion inicial p0 se puede escribir en la forma

(?) sp0(t) = eA(t−t0)p0 +

∫ t

t0

eA(t−s)u(s) ds

y esta implementada en la funcion lineal.sage del worksheet CFMAT-PRACTICA-EDOS.

Las ecuaciones lineales aparecen, por ejemplo, en los siguientes casos:

3.2. ECUACIONES LINEALES 101

3.2.1 Circuitos RLC

Un alternador bipolar de velocidad angular ω genera una diferencia de po-

tencial instantanea V senωt. Si alimenta a un circuito en serie con unaresistencia de R ohmios, un condensador de C faradios y una bobina deL henrios, la carga q(t) y la intensidad i(t) cumplen el sistema lineal

dq(t)dt = i(t)di(t)dt = − 1

CLq(t) − RL i(t) + V

L senωt

que podemos escribir en la forma

(qi

)′=

(0 1

− 1LC −R

L

)(qi

)

+

(0

VL senωt

)

Ası aparece la ecuacion lineal x′ = Ax + u(t) donde

x =

(qi

)

, A =

(0 1

− 1LC −R

L

)

, u(t) =

(0

VL senωt

)

Su solucion esta programada en RLC Circuits del worksheet CFMAT-PRACTICA-EDOS.

3.2.2 Oscilador lineal

Sea F : R3 → R3 un campo de fuerzas lineal. Fijada una base en R3 existe

una matriz K ∈ M3(R) tal que F (x) = −Kx ∀x ∈ R3.

Como toda matriz 3× 3, K esta sometida a la siguiente disyuntiva:

1. o tiene sus tres autovalores en R

2. o tiene un autovalor en R y dos conjugados en C,

siempre podemos encontrar tres numeros reales k1, k2, k3 y una base en R3

respecto de la que el campo F se escriba en una de las dos formas siguientes:

1.

F (x) = −

k1 0 00 k2 0

0 0 k3

·

x1

x2

x3

2.

F (x) = −

k1 0 00 k2 −k3

0 k3 k2

·

x1

x2

x3


En el ultimo caso debe ser k3 6= 0 y, por tanto, F no puede ser conservativo

ya que

rotF (x) = −

2k3

00

6= 0.

Ası, un campo de fuerzas lineal y conservativo se podra representar en una

base adecuada en la forma

F (x) = −

k1 0 0

0 k2 00 0 k3

·

x1

x2

x3

Un oscilador lineal es un campo de fuerzas lineal y conservativo que im-pone a toda partıcula con masa trayectorias acotadas.

La segunda ley de Newton asegura que la trayectoria x(t) de una partıculade masa 1 bajo la accion de cualquier campo F debe cumplir

x′′ = F (x).

En el caso de cualquier campo lineal conservativo tendremos

x′′1 = −k1x1

x′′2 = −k2x2

x′′3 = −k3x3

y sera un oscilador si y solo si ki ≥ 0 para i = 1, 2, 3.La trayectoria x(t) de una partıcula de masam bajo la accion de un osciladorF (x) = −Kx, en un medio con coeficiente de viscosidad b y una fuerza

externa φ(t) debe cumplir que

mx′′ = −Kx − bx′ + φ(t)

Haciendo x′ = v podemos presentarla en la forma:

(x′

v′

)

=

(0 I

− 1mK − b

mI

)

·(x

v

)

+

(o

φ

)

y designando

X =

(x

v

)

, A =

(0 I

− 1mK − b

mI

)

y Φ =

(o

φ

)

entenderla como una ecuacion diferencial lineal en R6:

X ′ = AX + Φ.

3.3. ECUACIONES AUTONOMAS 103

3.3 Ecuaciones autonomas

Cuando la funcion f(t, x) no depende explıcitamente del tiempo, la ecuaciondiferencial x′ = f(x) se llama autonoma. Si f : Ω ⊂ Rn → Rn es diferen-

ciable en el abierto Ω y si xe es un cero de la funcion f , la curva constantex(t) = xe es, trivialmente, una solucion particular de x′ = f(x) y, por eso,

diremos que xe es un punto estacionario de la ecuacion.En el entorno de xe, podemos aproximar la ecuacion x′ = f(x) por laecuacion lineal

x′ = f(xe) +Df(xe)(x− xe) = Df(xe)x −Df(xe)xe .

El estudio de esta aproximacion lineal nos da informacion sobre el compor-

tamiento de la ecuacion original1 en el entorno del punto estacionario xe.Veamos algunos ejemplos:

3.3.1 Lobos y corderos

Sea un prado ideal, con posibilidad ilimitada de produccion de hierba, en el

que coexisten en cada instante t, x(t) corderos e y(t) lobos. Este ecosistemafue modelado por Lotka y Volterra segun las EEDD

x′ = αx − β x y

y′ = −γ y + δ x y

y los parametros α = 0.25, β = 0.01, γ = 1, δ = 0.01.Esta ecuacion autonoma tiene dos puntos estacionarios

xe0 = (0, 0) y xe1 =

(γ

δ,α

β

)

= (100, 25).

En el entorno de (0, 0) la ecuacion lineal que la aproxima es

(x′

y′

)

=

(0.25 00 −1

)(xy

)

y, para las condiciones iniciales CI = (k, k) con k = 1, ..., 10, la funcionlineal.sage nos da las soluciones

Ası pues, en el entorno del punto estacionario (0, 0) podemos decir que loslobos se extinguiran y los corderos aumentaran sin lımite.

En el entorno del punto estacionario (100, 25) la aproximacion lineal es

(x′

y′

)

=

(0 −1

0.25 0

)(xy

)

+

(25

−25

)

1Ver [Ra], 3.5, por ejemplo.

y para las condiciones iniciales CI = (100 + k, 25 + k) con k = 1, ...10 lafuncion lineal.sage nos da las soluciones

Ası pues, si partimos de una condicion inicial proxima a (100, 25), el ecosis-tema evolucionara en el tiempo sin que se extinga ni crezca indefinidamente

ninguna de las dos especies.

3.4 Metodos de un paso

Cuando la EDV no sea lineal, la discretizaremos para obtener aproxima-ciones numericas de la misma. Esta tecnica consiste en hacer una particion

equidistante del intervalo [t0, t0 + T ]

t0 < t1 < · · · < tk < tk+1 < · · ·< tN = t0 + T

y calcular una N + 1-tupla (xk) que aproxime a la N + 1-tupla (x(tk)),

mediante un proceso recursivo de la forma

x0 = p0

xk+1 = xk + hφ(tk, xk; h)

que se llaman metodo de un paso cuando la funcion φ utilizada para hallar

xk+1 solo depende de tk, xk y el paso h = TN .

3.4. METODOS DE UN PASO 105

El desarrollo de Taylor

x(tk+1) ≈ x(tk) + h

(

x′(tk) +h

2!x′′(tk) + · · ·

)

o la regla de Barrow

x(tk+1) − x(tk) =

∫ tk+1

tk

f(t, x(t))dt

nos sugieren dos maneras de obtener diferentes funciones φ segun los terminos

del desarrollo del Taylor que tomemos o los diferentes metodos de integracionaproximada que consideremos.

Definiciones 3.4.1

Un metodo de un paso de funcion φ se dice:

1. Consistente si

limh→0

(N−1∑

k=0

‖x(tk+1)− x(tk) − hφ(tk, x(tk); h)‖)

= 0

2. De orden p si existe una constante K ≥ 0 tal que

N−1∑

k=0

‖x(tk+1)− x(tk) − hφ(tk, x(tk); h)‖ ≤ Khp

3. Estable si existe una constante M independiente de h tal que paratodas las N -tuplas (yk) y (εk) que verifiquen

yk+1 = yk + hφ(tk, yk; h) + εk

se cumple que

max‖yk − xk‖ | k = 0, · · · , N ≤M

(

‖y0 − x0‖ +

N−1∑

k=0

‖εk‖)

4. Convergente si el error de discretizacion

E(h) = max‖xk−x(tk)‖ | k = 0, · · · , N cumple que limh→0

E(h) = 0

Consecuencia inmediata de estas definiciones es el siguiente

Lema 3.4.2


Si un metodo es consistente y estable, es convergente.

Demostracion:

Sea

εk = x(tk+1) − x(tk) − hφ(tk, x(tk); h)

Por ser el metodo estable existe una constante M tal que

E(h) ≤M

(N−1∑

k=0

‖x(tk+1)− x(tk) − hφ(tk, x(tk); h)‖)

y, por ser consistente, limh→0

E(h) = 0. ♦

No son tan inmediatos los tres lemas siguientes cuyas demostraciones puedenverse en [Cr-Mi].

Lema 3.4.3

Una condicion necesaria y suficiente para que un metodo de un paso seaconsistente es que

φ(t, x; 0) = f(t, x) ∀(t, x) ∈ [to, to + T ] × Rn. ♦

Lema 3.4.4

Una condicion necesaria y suficiente para que un metodo de un paso seaestable es que exista un H > 0 y una constante L tales que

‖φ(t, x; h)−φ(t, y; h)‖ ≤ L‖x−y‖ ∀t ∈ [to, to+T ], ∀x, y ∈ Rn, ∀h ∈ [0, H ]. ♦

Lema 3.4.5

Si f : [to, to+T ]×Rn → Rn es p veces continuamente diferenciable y existen

y son continuas en [to, to + T ] × Rn × [0, H ] las funciones

φ,∂φ

∂h, · · · , ∂

pφ

∂hp,

la condicion necesaria y suficiente para que el metodo de un paso de funcion

φ sea de orden p es que se cumplan las condiciones

φ(t, x; 0) = f(t, x)∂φ

∂h(t, x; 0) =

1

2f (1)(t, x)

...

∂p−1φ

∂hp−1(t, x; 0) =

1

pf (p−1)(t, x)

∀(t, x) ∈ [t0, t0 + T ]× Rn ♦

3.4. METODOS DE UN PASO 107

3.4.6 Metodo de Euler

El mas sencillo de los metodos de un paso para resolver el PCI

x′(t) = f(t, x(t)) ∀t ∈ [to, to + T ]

x(to) = po

es el correspondiente a φ(t, x; h) = f(t, x). Su esquema iterativo es

x0 = p0

xk+1 = xk + hf(tk, xk), k = 0, · · · , N − 1

y, de acuerdo con el lema 3.4.3, siempre sera un metodo consistente. Cuandof : [t0, t0 +T ]×R

n → Rn sea lipshitziana, de acuerdo con el lema 3.4.4, sera

un metodo estable y, por tanto, convergente. Cuando f sea derivable con

continuidad, de acuerdo con el lema 3.4.5, sera un metodo de orden 1.

Este metodo esta implementado como la funcion euler.sage en la work-sheet Practica3. Ecuaciones diferenciales.

3.4.7 Metodos de Runge-Kutta

Para cualquier p ∈ N se eligen vectores c y b y una matriz subdiagonal A

c =

c1c2c3...cp

, b =

b1b2b3...bp

, A =

0 0 · · · 0 0a21 0 · · · 0 0

a31 a32 · · · 0 0...

.... . . 0 0

ap1 ap2 · · · app−1 0

,

se definen las magnitudes

Fk1 = f(tk + c1h, xk)

Fk2 = f(tk + c2h, xk + a21Fk1h)

Fk3 = f(tk + c3h, xk + a31Fk1h+ a32Fk2h)

· · ·Fkp = f(tk + cph, xk + ap1Fk1h+ ap2Fk2h+ · · ·+ app−1Fkp−1h)

y se obtiene la funcion

φ(tk, xk, h) = b1Fk1 + · · ·+ bpFkp

Para p = 1, tomando

c = 0, b = 1, A = 0


obtenemos la φ(tk, xk; h) = f(tk, xk) del mismısimo metodo de Euler.

Para p = 4, tomando

c =

0

12

12

1

, b =

16

26

26

16

, A =

0 0 0 012 0 0 00 1

2 0 0

0 0 1 0

,

definimos las magnitudes

Fk1 = f(tk, xk)

Fk2 = f(tk +h

2, xk +

h

2Fk1)

Fk3 = f(tk +h

2, xk +

h

2Fk2)

Fk4 = f(tk+1, xk + hFk3)

y obtenemos la funcion

φ(tk, xk; h) =Fk1 + 2Fk2 + 2Fk3 + Fk4

6

Este es el mas clasico de los metodos de Runge-Kutta y lo hemos implemen-

tado en la funcion rungekutta.sage de la worksheet Practica3. Ecuacionesdiferenciales. En [Cr-Mi] podemos hallar el siguiente

Lema 3.4.8

Si 1p es el vector de unos de Rp y C es la matriz diagonal de vector c,

la condicion necesaria y suficiente para que un metodo de Runge-Kutta(p,c,b,A) sea

1. De orden 1 es que (b|1p) = 1.

2. De orden 2 es que (b|1p) = 1 y (b|C1p) = (b|A1p) =1

2

3. De orden 3 es que A1p = C1p y

(b|1p) = 1, (b|C1p) =1

2, (b|C21p) =

1

3, (b|AC1p) =

1

6

4. De orden 4 es que A1p = C1p y

(b|C31p) =1

4, (b|AC21p) =

1

12, (b|A2C1p) =

1

24, (b|CAC1p) =

1

8♦

De el podemos deducir inmediatamente que nuestro rungekutta.sage es

un metodo de orden 4.

3.5. EJEMPLOS 109

3.5 Ejemplos

La mayor dificultad que suele encontrar el alumno ante un problema de

ecuaciones diferenciales planteado retoricamente es detectar la funcion f :[t0, t0 +T ]×Rn → Rn subyacente en la ecuacion diferencial x′ = f(t, x) que

gobierne el fenomeno a tratar. En la mayorıa de los casos la f expresa unaley experimental descubierta en los laboratorios y se aplicara de forma mas o

menos estricta segun la precision que necesitemos en el problema. Resolver-emos algunos problemas concretos para que sirvan de modelo. Todos ellos

estan programados en la worksheet Practica3. Ecuaciones diferenciales.

3.5.1 Calentamiento-Enfriamiento

En problemas de equilibrio termico pueden presentarse dos situaciones desta-cables: Una instantanea, como obtener la temperatura T de la mezcla de

dos substancias que estan a temperaturas diferentes, y otra temporal, comoobtener la temperatura T (t) de un objeto que en el instante t = 0 se aban-dona en una habitacion climatizada a temperatura Ta(t).

En el primer caso, el calor cedido por la substancia a mayor temperaturaT1, con masa m1 y calor especıfico c1 tendra que ser igual al calor absorbido

por la substancia a menor temperatura T2, con masa m2 y calor especıficoc2. Es decir, m1c1(T1 − T ) = m2c2(T − T2) y, por tanto, la temperatura de

la mezcla sera

T =m1c1

m1c1 +m2c2T1 +

m2c2m1c1 +m2c2

T2

El segundo caso esta regido por la ley de Newton que dice que la razon de

cambio de la temperatura del objeto es proporcional a la diferencia entre latemperatura ambiente y la del objeto:

T ′(t) = k(Ta(t) − T (t))

donde k es una constante, obviamente positiva, que depende del objeto.

Ejercicio 3.5.2

En un local a 20o de temperatura sirven el cafe a 80o en una taza al 75% de

su capacidad y lo acompanan de una jarrita con leche a 5o.Un cliente completa su taza y espera tres minutos y, otro, espera tres mintosy completa su taza. Si el calor especıfico de la leche es 0.93 y suponemos

que las constantes de calentamiento-enfriamiento de Newton en la taza y enla jarra son, respectivamente, 0.35 y 0.23 por minuto, ¿a que temperatura

se toma cada uno de los dos clientes su cafe con leche?


3.5.3 Reacciones quımicas

En una reaccion quımica elemental donde los productos X1 y X2 reaccionan

dando lugar al producto X3, si xi(t) es la concentracion de Xi en el instantet, se cumple la ley de conservacion de la materia:

xi(t) + x3(t) = Ci odxidt

+dx3

dt= 0 para i = 1, 2.

La funciondx3

dtse llama velocidad de la reaccion y la ley de accion de masas

asegura que existe una constante k tal que

dx3

dt= kx1x2.

Si x = (x1, x2, x3) y u = (−1,−1, 1), una reaccion quımica de constante kestara gobernada por la ecuacion diferencial x′ = f(t, x) donde

f : [0,∞)× R3 → R

3

(t, x) 7→ kx1x2u

Las condiciones iniciales fijaran las concentraciones xi(0) para i = 1, 2, 3.

3.5.4 Lanzamientos

Ejemplo 3.5.5 Obuses

Figure 3.1: Gran Bertha en Verdun 1916

La trayectoria x de un obus se deduce de la ley de Newton:

La derivada temporal de la cantidad de movimiento en un sistema de refen-cia inercial es igual a la suma de las fuerzas actuantes.

F =d(mv)

dtsiendo v =

dx

dt.

3.5. EJEMPLOS 111

Como la masa m del obus es constante, si suponemos que la fuerza actuante

es la gravitatoria, tendremos

F = mg = mdv

dt⇒ x′′ = g

Si consideraremos el sistema equivalente

x′ = v

v′ = g − β

mv

y, designamos X =(xv

), tenemos la buscada ecuacion vectorial X ′ = f(t, X)

donde

f : [0,∞)× R4 → R

4

t,

x1

x2

x3

x4

7→

x3

x4

− β

mx3

−9.8− β

mx4

Las condiciones iniciales fijaran el punto (x0, y0) donde esta emplazado elcanon y la velocidad (vx0, vy0) de salida del proyectil.

Ejemplo 3.5.6 Cohetes

Figure 3.2: V2 en Peenemunde 1942

Si en lugar de un obus lanzamos un cohete de K kg de carga y P kg depropulsante que se consume uniformemente en Tseg produciendo gases que

salen del cohete a vgm/seg, tendremos que si la cantidad de movimiento del


cohete en un instante t es mv y en el instante t+∆t es (m−∆m)(v+∆v)+

∆m(v− vgv

‖v‖), su derivada es

lim∆t→0

(m− ∆m)(v + ∆v) + ∆m(v − vgv

‖v‖) −mv

∆t= mv′ −m′vg

v

‖v‖

Ası llegamos a la ecuacion de Tsiolkovski que, cuando las fuerzas actuantes

son la gravedad y el rozamiento del aire, queda en la forma:

mv′ −m′vgv

‖v‖ = mg − βv

o mejor,

x′ = v

v′ =(m′vg−β‖v‖

m‖v‖

)

v + g

En nuestro caso, es claro que

m′ = lim∆t→0

∆m

∆t=P

Ty m = K +

P (T − t)

T

3.5.7 Curvas de persecucion

Imaginemos que un movil, de trayectoria conocida c : [t0, t0 + T ] → R3, es

perseguido por otro movil. La trayectoria x(t) del perseguidor cumplira

x′(t) = k(t)c(t) − x(t)

‖c(t)− x(t)‖ donde |k(t)| = ‖x′(t)‖.

Si suponemos conocida la relacion r(t) = ‖x′(t)‖‖c′(t)‖ podremos concluir que

x′(t) = f(t, x(t)) con f(t, x(t)) = r(t)‖c′(t)‖ c(t) − x(t)

‖c(t)− x(t)‖

y, para cada posicion inicial del perseguidor x(t0) = x0, tendremos una unicacurva solucion. Este problema esta tratado en los ejercicios 14) y 15) de laworksheet Practica3. Ecuaciones diferenciales.

3.5.8 Curvas de arrastre

Imaginemos que un movil, de trayectoria conocida c : [t0, t0+T ] → R3, llevaligada, mediante una articulacion esferica, una varilla de longitud ` en cuyo

extremo hay una bola. Si sobre la bola actua, ademas, una fuerza exteriorφ : [t0, t0 + T ] → R3 y una friccion viscosa proporcional a la velocidad, la

trayectoria x(t) de la bola cumplira

x(t) = c(t) + `u(t) con ‖u(t)‖ = 1 ,

3.5. EJEMPLOS 113

su velocidad cumplira

x′(t) = c′(t) + ù′(t) con (u(t)|u′(t)) = 0

y, segun las leyes de Newton, su aceleracion cumplira

x′′(t) = c′′(t) + ù′′(t) = k(t)u(t) − β(c′(t) + ù′(t)) + φ(t)

con (u(t)|u′(t)) = 0 y (u(t)|u′′(t)) = −(u′(t)|u′(t))

donde k(t) es una funcion escalar y β es el coeficiente de viscosidad.Multiplicando por u(t) tendremos

k(t) = (c′′(t)|u(t))− `(u′(t)|u′(t)) + β(c′(t)|u(t))− (φ(t)|u(t))

y, en consecuencia,

u′′ =−c′′ + ((c′′|u)− `(u′|u′) + β(c′|u) − (φ|u))u− βc′ − βù′ + φ

`

Esta ecuacion de segundo orden es equivalente al sistema

u′ = v

v′ =−c′′ + ((c′′|u)− `(v|v) + β(c′|u)− (Φ|u))u− βc′ − β`v + φ

`

y designando U =

(u

v

)

podemos escribirlo como una ecuacion vectorial

U ′ = f(t, U). Para cada condicion inicial U(t0) = U0 tendremos una unica

solucion U(t) cuyas tres primeras componentes constituiran un u(t) que nospermitira escribir la trayectoria de la bola

x(t) = c(t) + ù(t).

En el caso particular de que la funcion c : [t0, t0+T ] → R3 sea identicamente

nula, la bola se movera en una esfera de centro 0 y radio ` describiendo una

trayectoria ù donde

u′ = v

v′ =(−`(v|v)− (φ|u))u− β`v + φ

`

En el caso particular de que el coeficiente de viscosidad sea muy grandepodemos suponer que la trayectoria de la bola sera

x(t) = c(t) + ù(t) con ‖u(t)‖ = 1 y x′(t) ‖ u(t).

Entonces, el problema queda de primer orden e independiente de cualquier

fuerza externa φ pues tendra que existir una cierta funcion escalar h(t) talque

c′(t) + ù′(t) = h(t)u(t) con (u(t)|u′(t)) = 0.


Multiplicando por u(t) tenemos que h(t) = (c′(t)|u(t)) y, por tanto,

u′(t) = f(t,u(t)) con f(t,u(t)) =(c′(t)|u(t))u(t)− c′(t)

`.

Ası, para cada vector unitario inicial u(t0) = u0, tendremos una unica

solucion u(t) y una unica trayectoria x(t) = c(t) + `u(t).A este problema se dedican varios ejercicios de la worksheet Practica 3.

Ecuaciones Diferenciales.

3.5.9 Mecanica Hamiltoniana

Veremos aquı como ha sido magistralmente generalizada por Hamilton latecnica de pasar al espacio de fases para plantear problemas mecanicos bajola forma de una ecuacion diferencial x′ = f(t, x) :

Si la energıa cinetica de un sistema es T (t, x, x′) y la potencial es V(t, x),

su diferencia es la lagrangiana del sistema

L(t, x, x′) = T (t, x, x′) − V(t, x).

La trayectoria debe venir dada por una funcion xo : [t1, t2] → Rn que sea

punto extremal del funcional

J(x) =

∫ t2

t1

L(t, x(t), x′(t))dt

y, ası, debe cumplir la ecuacion de Lagrange

∂L

∂x− d

dt

(∂L

∂x′

)

= o

Esta ecuacion vectorial equivale al sistema de n ecuaciones segundo orden

∂L

∂xi− d

dt

(∂L

∂x′i

)

= 0 ∀i = 1, . . . , n

que debe ser resuelto para encontrar las n componentes de xo(t) = (xo1(t), . . .xon(t)).

Haciendo el cambio de variables

yi =∂L

∂x′i

∀i = 1, . . . , n

pasamos al sistema de 2n ecuaciones de primer orden:

(?)

yi =∂L

∂x′i

y′i =

∂L

∂xi

3.5. EJEMPLOS 115

Hamilton tuvo la idea de considerar la funcion

H = (x′| y)− L(t, x, x′)

y no es difıcil probar que se puede expresar en terminos de las coordenadas

generalizadas (t, x, y). Ası, suponiendo

H = H(t, x, y) ,

la derivada total de H respecto de t se puede calcular de dos maneras:

dH

dt=∂H

∂xx′ +

∂H

∂yy′ +

∂H

∂t

dH

dt= (x′′| y) + (x′| y′) − ∂L

∂xx′ − ∂L

∂x′x′′ − ∂L

∂t= −∂L

∂xx′ + (x′| y′) − ∂L

∂t

y de su igualdad deducimos que

∂H

∂x= −∂L

∂x,

∂H

∂y= x′,

∂H

∂t= −∂L

∂t

En consecuencia, el sistema (?) se puede escribir en la forma hamiltoniana

x′ =∂H

∂y

y′ = −∂H∂x

y considerando el vector X =

(x

y

)

escribirlo en forma de ecuacion vectorial

X ′ = f(t, X).

La expresion mas general de la energıa cinetica es

T = (Ax′| x′) + (b| x′) + c

donde A ∈ Mn(R), b ∈ Rn y c ∈ R. Entonces,

y =∂L

∂x′ =∂T∂x′ = 2Ax′ + b

y, por tanto,

H = 2(Ax′| x′) + (b| x′)− T + V = (Ax′| x′) − c+ V .

Es frecuente que b = o y c = 0 y, en tal caso,

H = T + V = E = energıa total del sistema.

La funcion de Hamilton para partıculas de masa 1 bajo la accion de algunos

campos de fuerzas conocidos, es la siguiente:


1. Para un campo constante k : R3 → R3 tenemos

T =1

2(v|v)

V = −(x|k)y, por tanto, H =

1

2(v|v)− (x|k)

2. Para el campo identidad I : R3 → R

3 tenemos

T =1

2(v|v)

V = − 1

2(x|x)

y, por tanto, H =1

2((v|v)− (x|x))

3. Para un campo newtoniano de constante K

N : R3 \ 0 → R3

x 7→ Kx

‖x‖3

tenemos

T =1

2(v|v)

V =−K‖x‖

y, por tanto, H =1

2(v|v)− K

‖x‖

Ejemplos muy importantes de campos newtonianos son

• El campo gravitatorio creado por una masa puntual m. En este

caso K = −Kgm donde Kg = 6, 67 × 10−11 new · m2

kg2 es la

constante de gravitacion universal.

• El campo electrico creado por una carga puntual q. En este caso

K =q

4 π εdonde ε es la permitividad electrica del medio. Por

ejemplo, en el vacıo ε = 8, 85× 10−12 coul2

new · m2.

3.6 Ejercicios

1. Practica3. Ecuaciones Diferenciales.sws

Capıtulo 4

Variable compleja

4.1 El cuerpo A-cerrado de los numeros complejos

Una ecuacion algebraica tan sencilla como

x2 = −1

no puede tener solucion en R ni en ningun otro cuerpo totalmente ordenadoporque en ellos siempre se cumple que x2 = x · x = (−x) · (−x) ≥ 0 > −1.

Si pretendemos encontrar un cuerpo numerico en el que exista solucion para

esta ecuacion EI que, por razones historicas, se llama ecuacion imaginaria,debemos renunciar al orden total.

Consideramos el subconjunto de M2×2(R) constituido por los elementos de

la forma

(x −yy x

)

. Este conjunto, que designamos C, es cerrado para la

suma y el producto de matrices:(x1 −y1y1 x1

)

+

(x2 −y2y2 x2

)

=

(x1 + x2 −(y1 + y2)

y1 + y2 x1 + x2

)

(x1 −y1y1 x1

)

·(x2 −y2y2 x2

)

=

(x1x2 − y1y2 −(x1y2 + y1x2)

x1y2 + y1x2 x1x2 − y1y2

)

.

Es rutinario comprobar que (C,+, ·) es un cuerpo conmutativo con elementos

neutros

(0 00 0

)

y

(1 00 1

)

. Tambien es claro que

(0 −11 0

)

·(

0 −11 0

)

= −(

1 00 1

)

y, por tanto, (C,+, ·) es un cuerpo en el que EI tiene la solucion bien visible(

0 −1

1 0

)

. Sin embargo, es costumbre designarla i (inicial de imaginaria).

117

118 CAPITULO 4. VARIABLE COMPLEJA

Con el producto externo

• : R × C → C(

r,(x −yy x

))

7→(rx −ryry rx

)

(C,+, ·, •) es un espacio vectorial real de dimension 2 y, por tanto, todoz =

(x −yy x

)∈ C se puede expresar respecto de la la base

(1 0

0 1

)

,

(0 −1

1 0

)

de manera unica

z = x

(1 00 1

)

+ y

(0 −11 0

)

Es costumbre abreviar esta expresion en la forma

z = x+ yi

y hablar de la parte real de z, x = <(z), y de la parte imaginaria de z,

y = =(z).

Como cada(x −yy x

)∈ C queda determinada unıvocamente por su primera

columna, tambien podemos establecer la identificacion C ≡ R2. Ademas, si

entendemos(x −yy x

)como la matriz de una aplicacion lineal M : R2 → R2, es

inmediato comprobar que(x − y

y x

)

·(a − b

b a

)

≡M

(a

b

)

Puesto que zt =( x y−y x

)tambien esta en C, lo designamos z y lo llamamos

conjugado de z. La conjugacion en C es una involucion distinta de la iden-

tidad de la que destacamos las siguienes propiedades:

1. <(z · z) = x2 + y2 y =(z · z) = 0.

2. z1 + z2 = z1 + z2

3. z1 · z2 = z1 · z2En M2×2(R) es muy importante el subgrupo multiplicativo O2×2(R) de las

matrices que cumplen M t = M−1, llamadas ortogonales, y que, como apli-caciones lineales M : R2 → R2, son giros.

Como la inversa de

(x −yy x

)

6=(

0 0

0 0

)

es de la forma

(x −yy x

)−1

=

(x

x2+y2y

x2+y2−y

x2+y2x

x2+y2

)

4.1. EL CUERPO A-CERRADO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 119

un elemento de C estara en O2×2(R) si y solo si es de la forma

x√x2+y2

−y√x2+y2

y√x2+y2

x√x2+y2

y, en consecuencia, todo elemento no nulo de C puede escribirse de manera

unica como el producto de un numero real por un elemento ortogonal de C:

z =

(x −yy x

)

=√

x2 + y2 ·

x√x2+y2

−y√x2+y2

y√x2+y2

x√x2+y2

Esto nos permite interpretar cada complejo z como el producto de unadilatacion por un giro y definir:

1. El modulo

| | : C → R+

z 7→√

x2 + y2

que cumple

(a) |z| = 0 ⇔ z = 0

(b) |z1 · z2| = |z1| · |z2| ∀z1, z2 ∈ C

(c) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| ∀z1, z2 ∈ C

y, a partir de el, la distancia euclıdea

ρ : C × C → R+

(z1, z2) 7→ ρ(z1, z2) = |z1 − z2|

con las siguientes propiedades:

(a) ρ(z1, z2) = 0 ⇔ z1 = z2

(b) ρ(z1, z2) = ρ(z2, z1) ∀z1, z2 ∈ C

(c) ρ(z1, z2) ≤ ρ(z1.z) + ρ(z, z2) ∀z1, z2, z ∈ C

(d) ρ(z1 + z, z2 + z) = ρ(z1, z2) ∀z1, z2, z ∈ C

(e) ρ(z1z, z2z) = |z|ρ(z1, z2) ∀z1, z2, z ∈ C

(f)∣∣|z1| − |z2|

∣∣ ≤ ρ(z1, z2) ∀z1, z2 ∈ C.


2. El argumento:

Como tenemos bien difinida la aplicacion

O : C \ 0 → O2×2(R)

z 7→(

x|z|

−y|z|

y|z|

x|z|

)

y para cada α ∈ R existe un unico t ∈ (α, α+ 2π] tal que

cos(t) =x

|z| y sen (t) =y

|z| ,

podemos definir la funcion

Argumento(α, ) : C \ 0 → (α, α+ 2π]z 7→ t

que se llama α-determinacion del argumento. La 0-determinacion se

escribe, simplemente, argumento y se llama determinacion principal.

Si z ∈ C \ 0 y argumento(z) = t tenemos

z = x+ i y = |z|(x

|z| + iy

|z|

)

= |z|(cos t+ i sen t)

y como Euler sabıa que

et = 1 + t+t2

2!+t3

3!+t4

4!+ · · ·

cos t = 1− t2

2!+t4

4!− t6

6!+ · · ·

sen t = t− t3

3!+t5

5!− t7

7!+ · · ·

se atrevio a escribir

eit = 1 +it

1!+i2t2

2!+i3t3

3!+i5t5

5!+ · · · = cos t+ i sen t

y obtuvo la famosa expresion

z = |z|ei·argumento(z)

Esta expresion nos permite interpretar el producto de dos complejos comootro complejo cuyo modulo es el producto de los modulos y cuyo argumento

es suma de los argumentos. En efecto:

z · z′ = |z||z′|ei·(argumento(z)+argumento(z′ ))

e, iterando el razonamiento, deducir que

zn = |z|nei·n·argumento(z) ∀n ∈ N

4.2. DERIVACION COMPLEJA 121

Teorema 4.1.1

En C tienen n soluciones distintas todas las ecuaciones

zn = ω con (n, ω) ∈ N × C

Demostracion:

Si ω = |ω|eiθ los n complejos siguientes

n√

|ω|ei( θn

+ 2kπn

) con k = 0, 1, · · · , n− 1

son, claramente, soluciones distintas de la ecuacion dada. Ademas, es in-mediato observar que, cualquier solucion de la ecuacion dada esta entre las

n anteriores. ♦

En C no solo tiene solucion la ecuacion zn = ω sino cualquier ecuacionpolinomica a0z

n + a1zn−1 + · · ·+ an−1z + an = 0. Este resultado es el

llamado teorema fundamental del algebra y por cumplirse, se dice que C esun cuerpo algebraicamente cerrado.

No es facil probar este teorema con metodos algebraicos. Hemos llegadoa una de esas situaciones en la que los metodos matematicos que se mues-

tran solventes para resolver ciertos problemas de la realidad, acaban cons-truyendo un universo conceptual en el que se plantean cuestiones irresolubles

por dichos metodos. Este fue el caso de los problemas delicos para la geo-metrıa de la regla y el compas y, tal vez, sea el sino de cualquier metodo

matematico de alcance, que el hombre pueda disenar. Sin embargo, talessituaciones siempre se han resuelto con la creacion de nuevos metodos mas

sofisticados, nuevas herramientas mas versatiles, que han mantenido a lasmatematicas en la cima de los inventos utiles (ver 4.4.5,4).

4.2 Derivacion compleja

Una funcion compleja de variable compleja f : V ⊂ C → C, gracias a laidentificacion C ≡ R2, puede ser tratada como un campo F : V ⊂ R2 → R2.Estos campos son caso particular de los tridimensionales y podemos adap-

tarles facilmente los resultados conocidos que se recuerdan en el capıtulopreliminar de estos apuntes.

Si z = x+ iy, x =

(xy

)

, F (x) =

(u(x, y)v(x, y)

)

tenemos f(z) = u(x, y)+ iv(x, y)

y las funciones u : V ⊂ R2 → R y v : V ⊂ R

2 → R son, respectivamente, laparte real y la parte imaginaria de la f o la primera y segunda componente

del campo F .


Al disponer de la division compleja, cabe estudiar la existencia de la derivada

limz→o

f(z0 + z) − f(z0)

z= f ′(z0), z0 = x0 + iy0

en conexion con la existencia de la diferencial

DF (x0) : R2 → R

2, x0 =

(x0

y0

)

1. Si existe el complejo f ′(z0) =

(a −bb a

)

, tenemos

limx→o

F (x0 + x)− F (x0) −(a −bb a

)

x

‖x‖ = o

y, por tanto, F es diferenciable en x0

DF (x0) =

(ux(x0) uy(x0)vx(x0) vy(x0)

)

=

(a −bb a

)

y se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann:

ux(x0) = vy(x0), vx(x0) = −uy(x0)

2. Si F es diferenciable en x0 existe una matriz

(a c

b d

)

tal que

limx→o

F (x0 + x)− F (x0) −(a cb d

)

x

‖x‖ = o

Para que exista

limz→o

f(z0 + z) − f(z0)

z

es necesario y suficiente que exista

limz→o

(a cb d

)

z

z

y esto acontece si y solo si

(a cb d

)

es un numero complejo, es decir,

si a = d y c = −b

4.2. DERIVACION COMPLEJA 123

Ası pues, f : V ⊂ C → C es derivable en z0 si y solo si F : V ⊂ R2 → R2 es

diferenciable en x0 y se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann:

CR

ux(x0) = vy(x0)

uy(x0) = − vx(x0)

en cuyo caso,

f ′(z0) = ux(x0) + i vx(x0) = vy(x0)− i uy(x0)

Ejemplos 4.2.1

1. f(z) = z = x+ i y:

DF (x) =

(1 00 1

)

CR y f ′(z) = 1

2. f(z) = z = x− i y:

DF (x) =

(1 0

0 −1

)

No CR y f nunca es derivable

3. f(z) = |z| =√

x2 + y2:

DF (x) =

x√

x2 + y2

y√

x2 + y2

0 0

No CR y f nunca es derivable

4. f(z) = |z|2 = x2 + y2:

DF (x) =

(2x 2y

0 0

)

Solo CR en o y f solo es derivable en o

5. f(z) =1

z(z 6= o). Como u(x, y) =

x

x2 + y2y v(x, y) = − y

x2 + y2:

DF (x) = −

x2 − y2

(x2 + y2)22xy

(x2 + y2)2

−2xy

(x2 + y2)2x2 − y2

(x2 + y2)2

CR y f ′(z) = − 1

z2

6. f(z) = ez = ex(cos y + i sen y):

DF (x) =

(ex cos y −ex sen y

ex sen y ex cos y

)

CR y f ′(z) = ez


7. f(z) = sen z =eiz − e−iz

2i:

Como u(x, y) = senx cosh y y v(x, y) = cosx senh y, tenemos

DF (x) =

(cos x cosh y senx senh y

− senx senh y cosx cosh y

)

CR

y f ′(z) = cosx cosh y − i senx senh y.

8. f(z) = cos z =eiz + e−iz

2:

Como u(x, y) = cosx cosh y y v(x, y) = − senx senh y, tenemos

DF (x) =

(− senx cosh y cos x senh y− cosx senh y − senx cosh y

)

CR

y f ′(z) = − senx cosh y − i cosx senh y.

De 7 y 8 deducimos que, como en el caso real, la derivada del seno es elcoseno y la derivada del coseno es menos el seno.

Teorema 4.2.2 Reglas de derivacion

1. f , g derivables en z0 ⇒ (f + g)′(z0) = f ′(z0) + g′(z0)

2. f derivable en z0 ⇒ (c f)′(z0) = c f ′(z0) con c ∈ C

3. f , g derivables en z0 ⇒ (f g)′(z0) = f ′(z0) g(z0) + f(z0) g′(z0)

4. f , g derivables en z0 y g(z0) 6= o ⇒(f

g

)′(z0) =

f ′(z0) g(z0)− f(z0) g′(z0)

g(z0)2

5. f derivable en z0 y g derivable en f(z0) ⇒ (gf)′(z0) = g′(f(z0)) f′(z0)

Demostracion:

Todas son inmediatas. En 5 se sigue el metodo habitual. Es claro que 4resulta de 3 y 5 si tenemos en cuenta 4.2.1,5. ♦

El hecho de que para un z ∈ C \ o tengamos infinitas determinaciones delargumento

Argumento(α, z) ∈ (α, α+ 2π] ∀α ∈ R

obliga a considerar como multivaluadas ciertas funciones complejas.

Ejemplos 4.2.3

1. Si z 6= 0 tenemos z = |z|ei Argumento(α,z) y al intentar definir la funcionlogaritmo en el campo complejo resulta ser multivaluada:

ln(|z|eiArgumento(α,z)) = ln |z| + iArgumento(α, z)

Para cada α ∈ R sı tenemos una funcion univaluada o rama logarıtmica

4.3. FUNCIONES HOLOMORFAS 125

lnα: C \ o → C

z 7→ ln |z| + i Argumento(α, z)

que, evidentemente, no es continua. En particular, si α = 0 la lla-mamos rama principal. La restriccion de lnα al conjunto abierto

C[α] = C \ (o ∪ z |Argumento(α, z) = α + 2π)

que seguimos denotando de la misma manera,

lnα: C[α] → C

z 7→ ln |z| + i Argumento(α, z)

no solo es continua sino tambien derivable con derivada 1z .

Por ello diremos que o∪z |Argumento(α, z) = α+2π es un cortede ramificacion. El punto z = o, por pertenecer a todos los cortes de

ramificacion, se le llama punto de ramificacion.

2. Si z 6= 0 es claro que para cualquier w ∈ C podemos escribir

zw = ew lnα z

Ası, la potencia de exponente complejo tambien es multivaluada.

Para cada α ∈ R tenemos una funcion univaluada no continua

zwα : C \ 0 → C

z 7→ ew lnα z

cuya restriccion, que seguimos denotando de la misma manera,

zwα : C[α] → C

z 7→ ew lnα z

es derivable por el teorema 4.2.2, 5 y el punto anterior:

(zwα )′ =w

zew lnα z = w

ew lnα z

elnα z= we(w−1) lnα z = wzw−1

α

4.3 Funciones holomorfas

Una funcion f : V ⊂ C → C se llama holomorfa, f ∈ H(V ), si V es abierto

y f tiene derivada compleja ∀z ∈ V y se llama entera si f ∈ H(C).


Las CR aseguran que los campos

F =( u−v)

F ? =(vu

) son irrotacionales

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

u −v 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= o

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

v u 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= o

y si V es simplemente conexo, F y F ? seran conservativos. En todo caso,∀x0 ∈ V ∃Br(x0) ⊂ V donde los campos F y F ? son conservativos y, por

tanto, existen funciones ψ, φ : Br(x0) → R que cumplen

ψx = u

ψy = − vy

φx = v

φy = uy CR ⇒ ∆ψ = ∆φ = 0

Ası, ψ, φ ∈ C∞(x0) y, por tanto, u, v ∈ C∞(V ).

La holomorfıa de una funcion compleja exige tanta regularidad que acabaimponiendo la armonıa a sus componentes:

Teorema 4.3.1

Una funcion f = u+ iv ∈ H(V ) cumple las siguientes propiedades:

1. Sus componentes u y v son armonicas en V .

2. Todas sus derivadas sucesivas fn) : V → C tambien son holomorfas.

3. f admite, localmente, una primitiva holomorfa. Es decir, ∀z0 ∈ V∃Br(z0) ⊂ V y ∃F : Br(z0) → C holomorfa tal que F ′ = f |Br(z0).

Ademas, si V es simplemente conexo existe una primitiva global.

Demostracion:

1. Como u, v ∈ C∞(V ) podemos derivar las ecuaciones CR y obtener

uxx = vxy

uyy = − vyxy

uyx = vyy

uxy = − vxx

Sumando las dos primeras probamos que u es armonica y restando las

dos segundas probamos que v es armonica.

2. Ya hemos dicho que f ′ = ux + ivx. La regularidad de sus compo-nentes asegura que el campo Fx =

(ux

vx

)es diferenciable en todo punto.

Ademas, la primera y la cuarta ecuacion del punto anterior

uxx = vyx

uyx = − vxx

son, precisamente, las condiciones CR para Fx.

4.3. FUNCIONES HOLOMORFAS 127

3. Si ψ y φ son las funciones del preambulo del teorema, es claro que

el campo Φ =(ψφ

): Br(z0) → R

2 es diferenciable y cumple lasCR. Por tanto, la funcion F = φ + iψ es derivable y su derivada es

F ′ = u + i v = f . Ademas, si V es simplemente conexo las funcionesψ y φ estan definidas en todo V , luego F tambien. ♦

Ejercicio 4.3.2

Probar que en un abierto V ⊂ C simplemente conexo que no contiene al o,existe una determinacion holomorfa del logaritmo, es decir,

∃g ∈ H(V ) tal que eg(z) = z ∀z ∈ V

Ademas, si g1 ∈ H(V ) fuese otra determinacion holomorfa del logaritmo

∃k ∈ Z tal que g(z)− g1(z) = 2kπi ∀z ∈ V

Solucion:

La funcion1

z, por ser holomorfa en V , tiene una primitiva global que desig-

namos g : V → C. Entonces, g′(z) =1

z∀z ∈ V y, por tanto,

(ze−g(z))′ = e−g(z) − z g′(z)e−g(z) = o ∀z ∈ V

En consecuencia, existira una constante C tal que

eg(z) = C z ∀z ∈ V

y puede tomarse C = 1 modificando g en una constante aditiva.

Si g1 fuese otra determinacion del logaritmo

exp(g(z)) = exp(g1(z)) ⇒ exp(g(z)− g1(z)) = o ⇒

⇒ g(z)− g1(z) = 2kπi con k ∈ Z ♦

Si f ∈ H(V ) y existe un z0 ∈ V con f ′(z0) 6= 0 resulta que det(DF (x0)) 6= 0

y F : V ⊂ R2 → R

2 es un difeomorfismo local en x0, lo cual significaque existe un entorno abierto de x0, A ⊂ V , y otro entorno abierto B de

F (x0) tal que F : A→ B es biyectiva y su inversa tambien es diferenciable:

DF−1(F (x0)) = [DF (x0)]−1 =

vyuxvy − uyvx

− uyuxvy − uyvx

− vxuxvy − uyvx

uxuxvy − uyvx

y se cumplen las condiciones CR. Por tanto, la correspondiente funcion

compleja f : A→ B tambien tiene buenas propiedades:


1. Es inversible y su inversa f−1 : B → A es derivable en f(z0):

(f−1

)′(f(z0)) =

f ′(z0)|f ′(z0)|2

=1

f ′(z0)

2. Una curva Λ ⊂ A de ecuacion α : (a, b) → A tal que α(t0) = z0 se

transforma en la curva f(Λ) ⊂ B de ecuacion β = f α : (a, b) → B.En z0 el factor de longitud de Λ es |α′(t0)| y en f(z0) el factor de longi-

tud de f(Λ) es |β′(t0)| = |f ′(z0)||α′(t0)|. Por tanto, la transformacionf produce en el punto z0 una dilatacion

δ(z0) =|β′(t0)||α′(t0)|

= |f ′(z0)|

3. Otra curva Λ1 ⊂ A de ecuacion α1 : (a1, b1) → A con α1(s0) = z0 se

transforma en f(Λ1) ⊂ B dada por β1 = f α1 : (a1, b1) → B.El angulo de las tangentes a Λ y Λ1 en z0 es el mismo que el de lastangentes a f(Λ) y f(Λ1) en f(z0) puesto que

β′(t0) = f ′(z0)α′(t0)

β′1(s0) = f ′(z0)α′1(s0)

⇒

argβ′(t0) = arg f ′(z0) + argα′(t0)

argβ′1(s0) = arg f ′(z0) + argα′1(s0)

⇒ arg β′(t0)− arg(β′1(s0)) = argα′(t0)− arg(α′1(s0))

y por ello la transformacion f : A→ B se llama conforme

4. Si φ : B → R es armonica, Φ = φ F : A→ R tambien lo es.

En efecto, la regla de la cadena nos dice que

DΦ(x) = Dφ(F (x)) DF (x) y

D2Φ(x)(y1 ,y2) = D2φ(F (x))(

DF (x)(y1), DF (x)(y2))

+Dφ(F (x))(

D2F (x)(y1,y2))

y, en consecuencia,

∆Φ(x) = D2Φ(x)(1, 1)+D2Φ(x)(i, i) =

= D2φ(f(z))(

f ′(z), f ′(z))

+Dφ(f(z))(

D2f(z)(1, 1))

+

+D2φ(f(z))(

f ′(z)i, f ′(z)i)

+Dφ(f(z))(

D2f(z)(i, i))

=

= |f ′(z)|2(D2φ(f(z))(1, 1)+D2φ(f(z))(i, i)

)+

+φ′(f(z))(D2f(z)(1, 1)+D2f(z)(i, i)

)

El caracter armonico de φ y de las componentes de f asegura que

D2φ(f(z))(1, 1) +D2φ(f(z))(i, i) = 0

D2f(z)(1, 1) +D2f(z)(i, i) = 0luego ∆Φ(x) = 0 ∀z ∈ A

4.4. INTEGRACION COMPLEJA 129

Teorema 4.3.3 Principio del modulo maximo

Si V es un abierto conexo, f ∈ H(V ) y no es constante, y f : V → C escontinua, |f | alcanza sus extremos absolutos en ∂V .

Demostracion:

Si f es holomorfa y no constante en un abierto conexo V y es continua enV , sabemos por 1.3.10 que sus componentes u y v alcanzan sus extremos

absolutos en ∂V . Eso mismo le sucede a |f | pues si u2 + v2 tuviera unmaximo en V , en ese punto ocurrirıa que

u2 + v2 > 0 y

u · ux + v · vx = 0

u · uy + v · vy = 0

Multiplicando la 1a por u, la 2a por v y sumando y, multiplicando la 1a porv, la 2a por u y restando, en dicho punto tendrıamos que

ux = 0

uy = 0y

vx = 0

vy = 0

y, por tanto, u y v tambien tendrıan extremos en V . ♦

4.4 Integracion compleja

En la teorıa de funciones complejas es importante el concepto de integral

compleja de una funcion f : V → C a lo largo de una curva Λ ⊂ V que sedenota y define como sigue

∫

Λf(z)dz =

∫

Λf · t dλ

siendo λ la medida canonica en Λ y t el vector tangente unitario. Ahora

interesa integrar el producto complejo f · t pero como

f · t = (F | t) + i (F ? | t)

la nueva integral puede expresarse en terminos de circulaciones que ya han

sido estudiadas en 1.3.1:∫

Λf(z)dz = L(F ,Λ) + i L(F ?,Λ)

Si la curva Λ admite la ecuacion c : [a, b] → C es claro que

∫

Λf(z)dz =

∫ b

af(c(t)) · c′(t)dt


Ejemplos 4.4.1

Si C es la circunferencia de centro w y radio r tenemos:

1. ∫

C

dz

z −w=

∫ 2π

0

ieiθ

r eiθrdθ = 2πi

2.∫

C

dz

(z −w)n+1=

∫ 2π

0

ieiθ

rn+1 ei (n+1) θrdθ =

i

rn

∫ 2π

0e−niθdθ

pero

∫ 2π

0e−niθdθ =

∫ 2π

0cos nθdθ − i

∫ 2π

0sen nθdθ = o ∀n ∈ N

?

Teorema 4.4.2 Teorema de Cauchy

Si V es simplemente conexo y f ∈ H(V ), la integral compleja de f en una

curva Λ ⊂ V no depende del camino sino solo de sus extremos:

∫

Λf(z) dz = Φ(z1) − Φ(z0) con Φ primitiva global

En particular, si Λ es cerrada, la integral es nula.

Demostracion.

Las CR hacen que los campos F y F ? sean irrotacionales y el caractersimplemente conexo de V asegura que son conservativos. Si F = −∇ψ yF ? = −∇φ tendremos:

L(F ,Λ) = ψ(z1) − ψ(z0)

L(F ?,Λ) = φ(z1) − φ(z0)

y, por tanto, si Φ = ψ + iφ es una primitiva global de f , tendremos

∫

Λ

f(z)dz = L(F ,Λ) + i L(F ?,Λ) = Φ(z1) − Φ(z0) ♦

Tambien se cumple el siguiente recıproco:

Teorema 4.4.3 Teorema de Morera

Si f : V → C es continua y

∫

∆f(z) dz = o para toda curva cerrada ∆ ⊂ V ,

f es holomorfa y admite una primitiva global en V .

Demostracion:


Nos aseguran que

L(F ,∆) = 0

L(F ?,∆) = 0∀ curva cerrada ∆ ⊂ V

Segun el comentario 1.3.2,2 sabemos que F y F ? son conservativos y, portanto, existen ψ, φ : V → R tales que F = −∇ψ y F ? = ∇φ. El campo

G =(ψφ

)tiene sus derivadas parciales continuas y, por tanto, es diferenciable.

Ademas, cumple la condiciones CR, luego g = ψ + iφ es holomorfa. Como

g′ = f , f tambien es holomorfa y g es su primitiva global. ♦

Teorema 4.4.4 Formula integral de Cauchy elemental

Si f ∈ H(V ) y Br(o) ⊂ V se cumple que

f(w) =1

2π i

∫

∂Br(o)

f(z)

z − wdz ∀w ∈ Br(o)

cuando recorremos ∂Br(o) en sentido contrario a las agujas del reloj.

Demostracion:

Si f = u+iv, por ser u y v funciones armonicas cumpliran la formula integralde Poisson del comentario 1.3.12, 3. Ası, por ejemplo,

u(w) =r2 − |w|2

2π r

∫

∂Br(o)

u(z)

|z − w|2dλ(z) ∀w ∈ Br(o)

Ahora bien, si |z| = r es claro que

r2 − |w |2|z − w |2 =

z

z −w+

w

z − w

luego

u(w) =1

2 π r

∫

∂Br(o)

(z

z −w+

w

z − w

)

· u(z) dλ(z).

De igual modo

v(w) =1

2 π r

∫

∂Br(o)

(z

z −w+

w

z − w

)

· v(z) dλ(z).

y, en consecuencia,

f(w) =1

2 π r

∫

∂Br(o)

(z

z −w+

w

z − w

)

· f(z) dλ(z)

Podemos poner la integral en forma compleja dividiendo por el complejo

unitario t =iz

r, de acuerdo con la orientacion indicada, luego

f(w) =1

2 π i

∫

∂Br(o)

1

z

(z

z − w+

w

z − w

)

· f(z) dz ∀w ∈ Br(o).


Pero el teorema 4.4.2 asegura que

∫

∂Br(o)

f(z)

z(z − w)dz = o ∀w ∈ Br(o)

y, en consecuencia,

f(w) =1

2 π i

∫

∂Br(o)

f(z)

z − wdz ∀w ∈ Br(o) ♦

Comentarios 4.4.5

1. La formula integral de Cauchy elemental se cumple en cualquier discocerrado D ⊂ V no siendo esencial que este centrado en o. Si C es el

borde de D, orientado en sentido contrario a las agujas del reloj,

f(w) =1

2 π i

∫

C

f(z)

z − wdz ∀w ∈ D

2. Derivando bajo el signo integral obtenemos:

fk)(w) =k!

2 π i

∫

C

f(z)

(z −w)k+1dz ∀w ∈ D

La existencia y holomorfıa de f ′, f”, . . .fk), cuando f es holomorfa,

que ya nos era conocida, se obtiene aquı, de nuevo, a la vez que unaexpresion de las derivadas en terminos de f

3. Si f ∈ H(C) y es acotada, debe ser constante. Esta es una interesante

observacion de Liouville:

|f ′(w)| ≤ 1

2 π

∫

C

|f(z)|r2

dz ≤ sup |f |r

∀r > 0 luego f ′ = 0

4. Del anterior resultado se deduce que todo polinomio P : C → C de

grado mayor que 0 tiene al menos una raiz compleja pues, de lo con-trario, P−1 : C → C serıa holomorfa acotada y P serıa constante:

Absurdo.

Ahora vamos a extender el teorema 4.4.4 a cualquier curva cerrada ∆ en

lugar de restringirnos a circunferencias. Utilizaramos una estrategia similara la que hemos seguido en los comentarios 1.3.15, basada en el teorema del

rotacional.

Lema 4.4.6


Sea ∆ ⊂ C una curva cerrada que no pasa por un punto w. Entonces,

1

2π i

∫

∆

dz

z − w∈ Z

A este numero entero se le llama ındice de la curva ∆ respecto al punto w

y se denota ind∆(w).

Demostracion:

La funcion jw : C \ w → C tal que z 7→ 1

z − wes holomorfa y los campos

jw y j?w son irrotacionales. Designemos Ω a la porcion del plano complejolimitada por ∆ y estudiemos los casos posibles:

1. w /∈ Ω:∫

∆

dz

z − w= L(jw,∆)+ iL(j?w,∆) = S(rot(jw),Ω)+ iS(rot(j?w),Ω) = o

2. w ∈ Ω y ∆ da una vuelta en torno a w:

∃Bε(w) ⊂ Ω y podemos aplicar 1.3.14 en Ω′ = Ω \Bε(w), obteniendo

S(rot(jw),Ω′) + iS(rot(j?w),Ω′) = o

Como el borde de Ω′ es ∆ ∪ ∂Bε(w), segun la orientacion de ∆ y el

ejemplo 4.4.1, 1, tendremos

±∫

∆

dz

z −w=

∫

∂Bε(w)

dz

z −w= 2π i

3. w ∈ Ω y ∆ da n vueltas en torno a w:

En este caso podemos descomponer ∆ en n curvas cerradas de modoque cada una de ellas de solo una vuelta en torno a w y, ası,:

±∫

∆

dz

z − w= 2 nπ i ♦

La funcion ind∆ : C \ ∆ → Z es constante en cada componente conexa de

C \ ∆ por ser continua y tomar valores enteros y es nula en la componenteno acotada porque si B es una bola grande que contiene a ∆ y w /∈ B,

resulta que jw es holomorfa en B y, por tanto,

∫

∆jw(z)d z = 0. En la

siguiente grafica representamos los valores de la funcion ind∆ suponiendo laorientacion positiva contraria a las agujas del reloj.


Teorema 4.4.7 Formula integral de Cauchy general

Sea V un abierto simplemente conexo y f ∈ H(V ). Si ∆ ⊂ V es una curvacerrada que no pasa por un punto w ∈ V , se cumple que

ind∆(w)f(w) =1

2π i

∫

∆

f(z)

z −wdz

Demostracion:Sea Ω la region encerrada por la curva ∆. Si w /∈ Ω es claro que ind∆(w) = 0.

Ademas, f · jw ∈ H(Ω) y el teorema 1.3.14 asegura que el segundo miembrode la formula integral tambien es nulo.

Si w ∈ Ω existe un ε > 0 tal que Bε(w) ⊂ Ω. Entonces f · jw ∈ H(Ω′)siendo Ω′ = Ω \Bε(w) y el teorema 1.3.14 asegura que

∫

∆∪∂Bε(w)

f(z)

z − wdz = o

luego∫

∆

f(z)

z − wdz = ind∆(w)

∫

∂Bε(w)

f(z)

z −wdz

y, de acuerdo con 4.4.4,

1

2π i

∫

∆

f(z)

z −wdz = ind∆(w) f(w) ♦

4.5. FUNCIONES ANALITICAS 135

4.5 Funciones analıticas

4.5.1 Sucesiones y series de funciones

Cada sucesion zn ⊂ C tiene asociada de forma natural la sucesion de sus

sumas parciales Sn ⊂ C donde Sn = z1 + · · ·+ zn. Sabemos bien lo quesignifica que zn sea convergente a z:

zn → z ⇔ ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que |zn − z| ≤ ε ∀n > n0

Cuando Sn → S preferimos escribir∑

zn = S. Sea cualquier abierto

A ⊂ C, una sucesion de funciones fn : A → C | n ∈ N y otra funcionf : A→ C. Si E ⊂ A es no vacıo, decimos:

1. fn converge puntualmente a f en E o fn p→ f en E si

limn

|fn(z) − f(z)| = 0, ∀z ∈ E.

2. fn converge uniformemente a f en E o fn u→ f en E si

∀ε > 0 ∃no tal que |fn(z) − f(z)| < ε ∀n > no y ∀z ∈ E.

Observaciones 4.5.2

1. fn u→ f en E ⇒ fnp→ f en E.

2. fn u→ f en A y toda fn : A→ C continua ⇒ f : A→ C continua:

Fijemos z0 ∈ A y ε > 0. Necesitamos un entorno E de z0 tal que

|f(z)− f(z0)| < ε, ∀z ∈ E

Fijemos un n tal que

|fn(z) − f(z)) <ε

3∀z ∈ A.

Como fn es continua en z0 hay un entorno E de z0 tal que

|fn(z)− fn(z0)| <ε

3, ∀z ∈ E .

Para un arbitrario z ∈ E tenemos

|f(x)− f(z0)| ≤ |f(z) − fn(z)|+ |fn(z), f(z0)| ≤

|f(z)−fn(z)|+ |fn(z), fn(z0)|+ |fn(x0)−f(x0)| <ε

3+ε

3+ε

3= ε.


4.5.3 Series de potencias

Una serie de potencias

S =

∞∑

n=0

an(z − z0)n = a0 +

∞∑

n=1

an(z − z0)n

define, en su campo de convergencia C(S), la funcion

fS : C(S) → C

z 7→∞∑

n=0

an(z − z0)n

Una parte importante de la teorıa elemental de funciones de variable com-

pleja se ocupa del estudio de dichos campos de convergencia y de las propie-dades de las funciones desarrollables en serie de potencias o analıticas. El

resultado mas interesante de esta seccion es la equivalencia entre analiticidady holomorfıa (teorema 4.5.7) que probaremos haciendo uso de las tecnicas

de integracion compleja. Es la colaboracion entre los tres poderosos ins-trumentos, derivacion, integracion y desarrollo en serie, la que proporciona

su mayor belleza a esta teorıa.

Teorema 4.5.4

Dada la serie S =

∞∑

n=0

an(z − z0)n definimos su radio de convergencia

R =1

lim sup n√

|an|conviniendo que

1

0= ∞ y

1

∞ = 0

Entonces se cumple:

1. S converge absolutamente en cada punto de BR(z0) y converge uni-formemente en cada compacto K ⊂ BR(z0)

2. S diverge en cada punto de C \BR(z0)

3. BR(z0) ⊂ C(S) ⊂ BR(z0) y nada puede asegurarse en ∂BR(z0).

4. Si R > 0, fS ∈ H(BR(z0)), f ′S(z) =

∞∑

n=1

n an(z − z0)n−1 y

fk)S (z) =

∞∑

n=k

n!

(n− k)!an(z − z0)

n−k ∀k > 1

y, en particular, an =fn)S (z0)

n!∀n ∈ N.

Demostracion:

1. Si |z − z0| < r < R, lim sup |an(z − z0)n| < |z − z0|n

rnluego

∃n0 tal que |an(z − z0)n| < |z − z0|n

rn∀n ≥ n0

y, por tanto

∞∑

n=0

|an(z − z0)n|

∞∑

n=0

( |z − z0|r

)n

Como la serie mayorante es una geometrica de razon|z − z0|

r< 1, es

convergente y, ası, S converge absolutamente en BR(z0).

Dado un compacto K ⊂ BR(z0) tenemos k = supz∈K

|z − z0| < R y

tomando s ∈ (k, R) podemos asegurar que

∃n0 tal que |an| <1

sn∀n ≥ n0 y, por tanto,

∣∣∣∣∣

∞∑

n=n0

an(z − z0)n

∣∣∣∣∣≤

∞∑

n=n0

|an|kn <∞∑

n=n0

(k

s

)n

=s

s − k

(k

s

)n0

∀z ∈ K

Luego la convergencia es uniforme en K.

2. Si |z − z0| > R para un conjunto infinito de ındices n tendremos

n√

|an| >1

|z − z0|, es decir, |an(z − z0)

n| > 1

y la serie S sera divergente porque an(z − z0)n 6→ o

3. De 1. y 2. obtenemos BR(z0) ⊂ C(S) ⊂ BR(z0). En los puntos de lafrontera ∂BR(z0) cualquier cosa puede ocurrir como se muestra en los

siguientes ejemplos

(a) S1 =

∞∑

n=0

zn ⇒ R1 = 1 y C(S1) = B1(o)

(b) S2 =

∞∑

n=0

1

n2zn ⇒ R2 = 1 y C(S2) = B1(o)

(c) S3 =∞∑

n=0

1

nzn ⇒ R3 = 1 y

z = −1 ∈ C(S3)

z = 1 /∈ C(S3)

4. Si R = 0 la serie S solo converge en z0 y no tiene sentido hablar de la

funcion fS. Pero cuando R > 0, fS : BR(z0) → C esta bien definida.

Ademas, la serie

∞∑

n=1

n an(z − z0)n−1 tiene el mismo radio de conver-

gencia que S y, por tanto, tambien esta bien definida la funcion

g: BR(z0) → C

z 7→∞∑

n=1

n an(z − z0)n−1

que, como lımite uniforme de funciones continuas, es continua en cadacompacto de BR(z0) y, por tanto, continua en BR(z0).

Si ∆ ⊂ BR(z0) es una curva cerrada, ∆ sera un compacto de BR(z0)y, por haber convergencia uniforme en los compactos tendremos

∫

∆g(z) dz =

∞∑

n=1

n an

∫

∆(z − z0)

n−1 dz = o

Ası, el teorema 4.4.3 asegura que g ∈ H(BR(z0)) y admite una primi-

tiva global en BR(z0). Pero esa primitiva es fS puesto que

∫ z

z0

g(w) dw =

∞∑

n=1

an

∫ z

z0

n(w−z0)n−1 dz =

∞∑

n=1

an(z−z0)n = fS(z)−fS(z0)

Por tanto, fS ∈ H(BR(z0)) y f ′S(z) = g(z) =

∞∑

n=1

n an(z−z0)n−1.

El resto se obtiene por reiteracion de estos razonamientos. ♦.

Definicion 4.5.5

Una funcion f : V → C se dice analıtica en el abierto V si

∀z0 ∈ V ∃Br(z0) ⊂ V tal que f = fS en Br(z0)

Comentarios 4.5.6

1. Si fS(z) =

∞∑

n=0

an(z − z0)n debemos sobreentender que r < R siendo

R el radio de convergencia de la serie S.

2. Escibiremos f ∈ A(V ) para indicar que f : V → C es analitica en el

abierto V . Por el teorema 4.5.4, 4, sabemos que A(V ) ⊂ H(V ) y quela representacion en serie de potencias centrada en z0 de una f ∈ A(V )

tiene que ser unica:

f(z) =∞∑

n=0

fn)(z0)

n!(z − z0)

n

Teorema 4.5.7

A(V ) = H(V )

Demostracion:

Ya sabemos que A(V ) ⊂ H(V ). Probemos que H(V ) ⊂ A(V ):Sea f ∈ H(V ) y sea z0 ∈ V . Existe r > 0 tal que Br(z0) ⊂ V y por 4.4.4

tenemos que

f(w) =1

2 π i

∫

∂Br(z0)

f(z)

z −wdz ∀w ∈ Br(z0)

Si f fuera analıtica ocurrirıa que

f(w) =∞∑

n=0

fn)(z0)

n!(w− z0)

n

y, puesto quefn)(z0)

n!=

1

2 π i

∫

∂Br(z0)

f(z)

(z − z0)n+1dz ,

parece razonable ensayar con la serie de potencias

S =∞∑

n=0

1

2 π i

∫

∂Br(z0)

f(z)

(z − z0)n+1dz · (w − z0)

n

Pero,

w ∈ Br(z0)z ∈ ∂Br(z0)

⇒ |w − z0||z − z0|

< 1 ⇒

⇒∞∑

n=0

(w− z0)n

(z − z0)n+1=

primero

1− razon=

1

z − z0· 1

1− w − z0z − z0

=1

z −w

siendo la convergencia uniforme en el compacto ∂Br(z0). Por tanto,

1

2 π i

∞∑

n=0

(∫

∂Br(z0)

f(z)

(z − z0)n+1dz

)

(w− z0)n =

=1

2 π i

∫

∂Br(z0)f(z)

( ∞∑

n=0

(w− z0)n

(z − z0)n+1

)

dz =1

2 π i

∫

∂Br(z0)

f(z)

z − wdz = f(w)

Luego f = fS en Br(z0) y, en consecuencia, f ∈ A(V ). ♦


Comentarios 4.5.8

1. Si f ∈ H(V ) y Br(z0) ⊂ V , el metodo de prueba del teorema 4.5.7 nos

asegura que el radio de convergencia R de la serie

∞∑

n=0

fn)(z0)

n!(z−z0)n

es mayor o igual que r. Por tanto, f no solo sera representable en serie

de potencias en un pequeno entorno de z0 sino tambien en el mayordisco abierto centrado en z0 que este contenido en V .

2. Si f ∈ H(V ), V es conexo y ∃z0 ∈ V tal que fn)(z0) = o ∀n ≥ 1, secumple que f es constante. En efecto:

El conjunto A = z ∈ V | fn)(z) = o ∀n ≥ 1 es un cerrado no vacıode V . Pero ademas, es abierto pues si z0 ∈ A y Br(z0) ⊂ V tendremos

f(z) =

∞∑

n=0

fn)(z0)

n!(z−z0)n = f(z0) ∀z ∈ Br(z0) luego Br(z0) ⊂ A.

Ası, A = V y, por tanto, f es constante.

4.5.9 Ceros

Teorema 4.5.10

Si f ∈ H(V ), el abierto V es conexo y f no es constante, el conjunto

N (f) = z ∈ V | f(z) = 0 no tiene puntos de acumulacion en V .

Demostracion:

Basta ver que si z0 ∈ N (f), ∃Br(z0) tal que Br(z0) ∩N (f) = z0. Sabe-

mos que existe un Br1(z0) tal que f(z) =

∞∑

n=0

an(z− z0)n ∀z ∈ Br1(z0). Es

claro que a0 = 0 pues f(z0) = 0, pero existe un mınimo k ≥ 1, llamado orden

del cero z0, tal que ak 6= 0, pues si todos fueran nulos, segun el comentario4.5.8,2, la funcion f serıa constante, contra la hipotesis. Entonces

f(z) = (z − z0)k

∞∑

n=k

an(z − z0)n−k

La funcion g(z) =

∞∑

n=k

an(z − z0)n−k es no nula en z0 y, por continuidad, es

no nula en un cierto entorno Br(z0). Luego Br(z0) ∩N (f) = z0. ♦

Corolario 4.5.11

Sean f1, f2 ∈ H(V ) y sea el abierto V conexo. Si f1 = f2 en un subconjunto

de V con puntos de acumulacion, f1 = f2 en V .

4.6. FUNCIONES MEROMORFAS 141

Demostracion:

La funcion f1 − f2 tiene un conjunto de ”ceros” con punto de acumulaciony, segun el teorema 4.5.10 debe ser constante en V . Luego f1 = f2 en V .

♦

4.6 Funciones meromorfas

4.6.1 Series de Laurent

Una serie del tipo L =

∞∑

n=−∞an(z − z0)

n se llama serie de Laurent y es

convergente si y solo si son convergentes las dos series de potencias

S+ =

∞∑

n=0

an(z − z0)n y S− =

∞∑

n=1

a−n

(1

z − z0

)n

.

El teorema 4.5.4 asegura la convergencia si

lim sup n√

|a−n| = Ri < |z − z0| < Re =1

lim sup n√

|an|

y la divergencia si

|z − z0| > Re o |z − z0| < Ri

es decir, asegura la convergencia en la corona A = z |Ri < |z − z0| < Rey la divergencia en el exterior de ella sin que nada pueda asegurarse de loque pasa en el borde ∂A de la corona.

El teorema 4.5.4 tambien asegura la convergencia uniforme en los compactos

K ⊂ A y, por tanto, la continuidad de la funcion

fL: A → C

z 7→∞∑

n=−∞an(z − z0)

n

Ademas fL = fS+ +fS− jzo donde jz0(z) =1

z − z0y, por tanto, fL ∈ H(A).

Cuestion 4.6.2

Surge aquı la siguiente pregunta: ¿El conocimiento de la funcion fL deter-

mina unıvocamente los coeficientes an de la serie de Laurent L?. La res-puesta es afirmativa pero, ası como en el caso de las series de potencias, los

coeficientes quedan determinados por derivacion termino a termino, ahora

se determinan por integracion termino a termino, a lo largo de cualquier

circunferencia de radio ρ ∈ (Ri, Re) . En efecto:

fL(z) =

∞∑

−∞an(z − z0)

n ⇒

⇒∫

∂Bρ(z0)

fL(z)

(z − z0)m+1dz =

∞∑

−∞an

∫

∂Bρ(z0)(z − z0)

n−m−1 dz

pero∫

∂Bρ(z0)(z − z0)

n−m−1 dz = i

∫ 2π

0exp(iθ(n−m))dθ = 2π iδnm

luego

am =1

2πi

∫

∂Bρ(z0)

fL(z)

(z − z0)m+1dz ∀m ∈ Z

Teorema 4.6.3 Teorema de Laurent

Sea A = z | r < |z − z0| < R una corona con 0 ≤ r < R ≤ ∞ y seaf ∈ H(A). Existe una unica serie de Laurent L tal que f = fL en A.

Demostracion:

Dado un z ∈ A existen ε, δ > 0 tales que la corona de centro z0 y radiosr+ ε y R− ε menos Bδ(z) es como la zona sombreada de la figura siguiente

En esa zona, la funcion g(ς) =f(ς)

ς − zes holomorfa y los campos g y g?

son irrotacionales y aplicandoles el teorema 1.3.14 obtenemos∫

∂BR−ε(z0)

g(ς)dς −∫

∂Bδ(z)

g(ς)dς −∫

∂Br+ε(z0)

g(ς)dς = 0

donde los signos negativos se deben a que las circunferencias respectivas se

recorren en sentido de las agujas del reloj. Pero, segun 4.4.4,∫

∂Bδ(z)

g(ς)dς =

∫

∂Bδ(z)

f(ς)

ς − zdς = 2π i f(z)

y, por tanto,

f(z) =1

2π i

(∫

∂BR−ε(z0)

f(ς)

ς − zdς −

∫

∂Br+ε(z0)

f(ς)

ς − zdς

)

En la primera integral∫

∂BR−ε(z0)

f(ς)

ς − zdς

tenemos que |z−z0| < |ς−z0| = R−ε, luego|z − z0||ς − z0|

< 1, y podemos des-

arrollar1

ς − zen serie geometrica convergente uniformemente en ∂BR−ε(z0):

1

ς − z=

1

(ς − z0) − (z − z0)=

1

ς − z0· 1

1 − ς − z0z − z0

=∞∑

n=0

(z − z0)n

(ς − z0)n+1

En la segunda integral

−∫

∂Br+ε(z0)

f(ς)

ς − zdς =

∫

∂Br+ε(z0)

f(ς)

z − ςdς

tenemos que |z−z0| > |ς−z0| = r+ε, luego|ς − z0||z − z0|

< 1, y podemos des-

arrollar1

z − ςen serie geometrica convergente uniformemente en ∂Br+ε(z0):

1

z − ς=

1

(z − z0) − (ς − z0)=

1

z − z0· 1

1 − z − z0ς − z0

=∞∑

n=0

(ς − z0)n

(z − z0)n+1

Ahora bien,

∞∑

n=0

(ς − z0)n

(z − z0)n+1=

−∞∑

n=−1

(z − z0)n

(ς − z0)n+1y, ası

f(z) =

∞∑

n=0

(

1

2π i

∫

∂BR−ε(z0)

f(ς)

(ς − z0)n+1dς

)

(z − z0)n+

+

−∞∑

n=−1

(

1

2π i

∫

∂Br+ε(z0)

f(ς)

(ς − z0)n+1dς

)

(z − z0)n

Para finalizar, observamos que las funcionesf(ς

(ς − z0)n+1son holomorfas en

la corona abierta de centro z0 y radios r y R por lo que

∫

∂BR−ε(z0)

f(ς)

(ς − z0)n+1dς =

∫

∂Br+ε(z0)

f(ς)

(ς − z0)n+1dς =

=

∫

∂Bρ(z0)

f(ς)

(ς − z0)n+1dς ∀ρ ∈ (r, R)

Si Aε = z | r+ ε < |z − z0| < R− ε, eligiendo un ρ ∈ (r, R), se cumple

f(z) =

∞∑

n=−∞

(

1

2π i

∫

∂Bρ(z0)

f(ς)

(ς − z0)n+1dς

)

(z − z0)n ∀z ∈ Aε

pero siendo ε > 0 arbitrario, se cumple ∀z ∈ A. Ası, f = fL en A donde

L =

∞∑

n=−∞an(z − z0)

n y an =1

2π i

∫

∂Bρ(z0)

f(ς)

(ς − z0)n+1dς ∀n ∈ Z.

La unicidad de la serie ya ha sido probada en 4.6.2 ♦

4.6.4 La transformada z

Sabemos por 4.5.4 que a una aplicacion L : Z → C le corresponde unafuncion holomorfa

fL: A → C

z 7→∞∑

n=1

L(n)zn +

∞∑

n=0

L(−n)

zn

siendo A la corona z |Ri < |z| < Re donde

Ri = lim sup n√

|L(−n)| y Re =1

lim sup n√

|L(n)|

Tambien sabemos por 4.6.2 que dada una f holomorfa en una corona abierta

de centro 0 y radios Ri y Re, y fijado un ρ ∈ (Ri, Re) podemos definir laaplicacion

L: Z → C

m 7→ 1

2πi

∫

∂Bρ(0)f(z)zm+1 dz

y se cumple que f = fL.

Diremos que la funcion fL es la transformada z de la aplicacion L : Z → C

o que la aplicacion L es la transformada z inversa de la funcion f .

Si nos restringimos a aplicaciones L : Z → C con L(n) = 0 ∀n ∈ N

podemos hablar de la transformada z de una sucesion s : N → C o, si se

prefiere, de una sucesion (xn) ⊂ C. Su transformada z sera la funcion

Z [xn](z) =

∞∑

n=0

xnzn

que resultara holomorfa en la corona

D[xn] = z ∈ C |Ri < |z| donde Ri = lim sup n√

|xn|.

Naturalmente, si Ri = ∞ es claro que D[xn] = ∅ y la sucesion (xn) no tendratransformada z.

Teorema 4.6.5 Propiedades basicas de la transformada z

1. Z [αxn + βyn](z) = αZ [xn](z) + βZ [yn](z) ∀z ∈ D[xn] ∩ D[yn]

2. Si yn = xn+1 ∀n ∈ N ∪ 0 resulta que D[yn] = D[xn] y

Z [yn](z) = zZ [xn](z)− zx0

3. Si yn = xn+k ∀n ∈ N ∪ 0 resulta que D[yn] = D[xn] y

Z [yn](z) = zkZ [xn](z) −k−1∑

n=0

xnzk−n

4. Si a 6= 0 y yn = anxn ∀n ∈ N ∪ 0 resulta que D[yn] = |a|D[xn] y

Z [yn](z) = Z [xn](z

a)

5. Si yn = nxn ∀n ∈ N ∪ 0 resulta que D[yn] = D[xn] y

Z [yn](z) = −z ddz

Z [xn](z)

6. Si k > 1 e yn = nkxn ∀n ∈ N ∪ 0 resulta que D[yn] = D[xn] y

Z [yn](z) =

[

−z ddz

]k

Z [xn](z)

queriendo decir que debemos aplicar k veces a la funcion Z [xn](z) el

operador −z ddz

que deriva respecto de z y multiplica por −z.

Demostracion:

1.

∞∑

n=0

αxn + βynzn

= α

∞∑

n=0

xnzn

+ β

∞∑

n=0

ynzn

en D[xn] ∩ D[yn]

2.∞∑

n=0

ynzn

= z∞∑

n=1

xnzn

= z(Z [xn](z)− x0)

Los restantes apartados se prueban de manera similar y se proponen como

Trabajo 21.

Ejemplo 4.6.6

Hallar la transformada z de la sucesion (xn) sabiendo que x0 = 0, x1 = 1 y

cumple la siguiente ley de recurrencia a tres terminos:

xn+2 + xn+1 − 2xn = 1

Solucion:

Es claro queZ [xn+2 + xn+1 − 2xn](z) = Z [1](z)

Por 4.6.5,1 tenemos

Z [xn+2](z) + Z [xn+1](z) − 2Z [xn](z) = Z [1](z)

Por 4.6.5,2,3 y las condicones iniciales asegramos que

Z [xn+2](z) = z2Z [xn](z) − z

Z [xn+1](z) = zZ [xn](z)

y, como

Z [1](z) =

∞∑

n=0

1

zn=

z

z − 1,

despejando, obtenemos

Z [xn](z) =z2

(z + 2)(z − 1)2

que es una funcion holomorfa en la corona 2 < |z| <∞

4.6.7 Polos

Es de interes especial el caso en que la corona A es un disco sin su centro,BR[z0] := z | 0 < |z−z0| < R. Si V es un abierto, z0 ∈ V y f ∈ H(V \z0),f sera holomorfa en BR[z0] para algun R > 0 y tendra en el un desarrollode Laurent unico

f(z) =

∞∑

n=−∞an(z − z0)

n con lim sup n√

|a−n| = o

Tres casos pueden ocurrir:


1. a−n = 0 ∀n > 0: z0 es una singularidad evitable.

2. a− k 6= 0 y a−n = 0 ∀n > k: z0 es un polo de orden k

3. a−n 6= 0 para infinitos n > 0: z0 es singularidad esencial.

Comentarios 4.6.8

1. Si z0 es singularidad evitable de f tendremos

f(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n en BR[z0]

y f sera analıtica en BR(z0) y, por tanto, en V si definimos f(z0) = a0.

2. Si z0 es un polo de orden k de f tendremos

f(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n +

k∑

n=1

a−n(z − z0)n

en BR[z0]

y la funcion

φ(z) = f(z)−k∑

n=1

a−n(z − z0)n

sera analıtica en BR(z0) y, por tanto, en V si definimos φ(z0) = a0.

3. Si z0 es una singularidad esencial de f la parte no analıtica de f en z0es, por ası decirlo, completa.

Teorema 4.6.9

Si z0 ∈ V y f ∈ H(V \ z0) se cumplen las siguientes equivalencias:

1. z0 es singularidad evitable de f ⇔ ∃ limz→z0

f(z) ⇔ f es acotada

en un entorno de z0

2. z0 es un polo de orden k de f ⇔ ∃ limz→z0

(z−z0)kf(z) 6= o ⇔ z0 es un

cero de orden k de la funcion1

fsi admitimos a priori que

1

f(z0) = o.

3. z0 es singularidad esencial de f ⇔ f(Br[z0]) es denso en C ∀r > 0

Demostracion:

1. Si f(z) =

∞∑

n=0

an(z− z0)n en BR[z0] es claro que lim

z→z0f(z) = a0 y,

por tanto, f es acotada en un entorno de z0.

Inversamente, si f es acotada en un entorno de z0, h(z) = (z−z0)2f(z)


sera holomorfa en V y tal que h(z0) = o y h′(z0) = o. Por tanto,

h(z) =∞∑

n=2

an(z − z0)n y, en consecuencia, f(z) =

∞∑

n=0

an+2(z − z0)n

con lo que z0 es singularidad evitable de f .

2. Si f(z) =

∞∑

n=0

an(z−z0)n +

k∑

n=1

a−n(z − z0)n

con a−k 6= o en BR[z0],

es claro que limz→z0

(z − z0)kf(z) = a−k 6= o. En tal caso, f(z) 6= o en

un entorno perforado Br [z0] y admitiendo a priori que1

f(z0) = o,

tenemos bien definida la funcion:

1

f: Br(Z0) → C Ademas,

z 7→

1

f(z)si z 6= z0

o si z = z0

1

f(z) =

(z − z0)k

(z − z0)kf(z)= (z − z0)

kg(z) con g(z) =1

(z − z0)kf(z)

y como g ∈ H(Br [z0]) y ∃ limz→z0

g(z) =1

a−k6= o, por 1, g ∈ A(Br(z0)).

Luego z0 es un cero de orden k de1

f.

Inversamente, si z0 es un cero de orden k de1

f, por definicion tenemos

1

f(z) = (z−z0)kh(z), con h analıtica en cierto Br(z0) y lim

z→z0h(z) 6= o.

Podemos, por tanto, suponer que h(z) 6= o en Br(z0) y que1

hes

analıtica en Br(z0) con desarrollo en serie de potencias:

1

h(z) =

∞∑

n=0

bn(z − z0)n (b0 6= 0). Luego f(z) =

∞∑

n=0

bn(z − z0)n−k

y, por tanto, z0 es polo de orden k de la funcion f .

3. ⇒) Si f(Br[z0]) no es denso en C ∃Bρ(w) ⊂ C \ f(Br[z0]) luego

f(Br[z0]) ⊂ C \Bρ(w) y |f(z) −w| ≥ ρ ∀z ∈ Br[z0]. La funcion

g: Br[z0] → C

z 7→ 1

f(z) − w


es analıtica y acotada en Br[z0] y, por 1, tambien es analıtica en Br(z0)

si definimos g(z0) = limz→z0

g(z). Suponiendo

g(z) = (z − z0)kh(z) con k ≥ 0 y h(z0) 6= o

tendremos en un cierto Br′(z0)

f(z) = w + (z − z0)−k 1

h(z)con

1

h∈ A(Br′(z0))

y, por tanto, z0 no sera singularidad esencial de f .

⇐) Si z0 es singularidad evitable de f , f debe ser acotada en ciertoBr(z0), luego f(Br(z0)) no puede ser denso en C.

Si z0 es un polo de orden k de f , la funcion1

fsera acotada en cierto

Br′(z0), luego f(Br′(z0)) no puede ser denso en C. ♦

Definicion 4.6.10

Una funcion f : V → C se dice meromorfa en el abierto V , f ∈ M(V ),si existe un conjunto discreto P (f) ⊂ V tal que f ∈ H(V \ P (f)), y cada

p ∈ P (f) es un polo de f .

Comentarios 4.6.11

1. Si f, g ∈ M(V ) tambien f + g ∈ M(V ) y f · g ∈ M(V ) pues

P (f + g) ⊂ P (f) ∪ P (g) y P (f · g) ⊂ P (f) ∪ P (g)

2. Si f ∈ H(V ), el abierto V es conexo y f no es constante, es claro que1f ∈ M(V ) pues P ( 1

f ) = N (f) y, segun el comentario 4.5.8,2, N (f) es

un conjunto de puntos aislados.

3. En realidad, si f ∈ M(V ) y p ∈ P (f) tendremos

f(z) =

∞∑

n=−kan(z − p)n =

∞∑

n=0

an−k(z − p)n

(z − p)k

y, por tanto, una funcion es meromorfa si y solo si es localmente co-

ciente de dos funciones analıticas.

4. Si f ∈ M(V ), esta definida y es holomorfa en V \P (f). En este mismo

conjunto esta definida la funcion derivada f ′. Ademas, si p es un polode orden k de f , p sera un polo de orden k+1 de f ′ y, en consecuencia,f ′ ∈ M(V ).


4.6.12 Residuos

Definicion 4.6.13

Si f ∈ M(V ) y p ∈ P (f) es un polo de orden k > 0 tendremos

f(z) =

∞∑

n=0

an(z − p)n +

(a−1

z − p+

a−2

(z − p)2+ · · ·+ a−k

(z − p)k

)

︸︷︷︸

fa(z)

︸︷︷︸

Q(z)

donde fa(z) es analıtica en cierto entorno de p y Q(z) no lo es.El coeficiente a−1 de (z−p)−1 juega un papel muy importante en el estudio

local de f y se llama residuo de f en p, Res(f, p).

Comentarios 4.6.14

1. Si p es un polo simple de f , f(z) =a−1

z − p+

∞∑

n=0

an(z − p)n, luego

Res(f, p) = a−1 = limz→p

(z − p)f(z)

2. Si f =g

hen cierto Br[p] con g analıtica, g(p) 6= o y p cero simple de h

Res(f, p) = limz→p

(z − p)f(z) = limz→p

g(z)

h(z)− h(p)

z − p

=g(p)

h′(p)

3. Si f(z) =g(z)

(z − p)ken cierto Br[p] con g analıtica y g(p) 6= o:

f(z) =

∞∑

n=0

gn)(p)

n!(z − p)n−k luego Res(f, p) =

gk−1)(p)

(k − 1)!

En general, si p es un polo de orden k de f :

Res(f, p) =1

(k − 1)!limz→p

dk−1

dzk−1

(

f(z)(z − p)k)

4. Por ultimo, tambien puede calcularse el desarrollo de Laurent de f en p

y tomar directamente el coeficiente a−1. Como ejemplo, calcularemosRes(f, 1) siendo

f(z) =3z2 − 5z + 4

(z − 1)2

[

3 sen

(1

z − 1

)

+ 2 cos

(1

z − 1

)]


Con Taylor expresamos N (z) = 3z2−5z+4 en potencias de z−1:

N (z) = 3z2 − 5z + 4 ⇒ N (1) = 2

N ′(z) = 6z − 5 ⇒ N ′(1) = 1

N ′′(z) = 6 ⇒ N ′′(1) = 6

Por tanto

N (z) = N (1)+N ′(1)(z− 1)+N ′′(1)

2!(z− 1)2 = 2 + (z− 1)+ 3(z− 1)2

y, en consecuencia

N (z)

(z − 1)2=

2

(z − 1)2+

1

z − 1+ 3

Vayamos ahora con el factor. Sabemos que

senx = x − x3

3!+x5

5!+ · · ·

cos x = 1 − x2

2!+x4

4!+ · · ·

⇒

3 senx = 3x− x3

2+x5

40+ · · ·

2 cosx = 2 − x2 +x4

12+ · · ·

luego

3 sen

(1

z − 1

)

+2 cos

(1

z − 1

)

= 2+3

z − 1− 1

(z − 1)2− 1

2(z − 1)3+· · ·

Ası,

f(z) =

[2

(z − 1)2+

1

z − 1+ 3

][

2 +3

z − 1− 1

(z − 1)2− 1

2(z − 1)3+ · · ·

]

=

= 6 +11

z − 1+

4

(z − 1)2+ · · · y, por tanto, Res(f, 1) = 11

Teorema 4.6.15 Teorema de los residuos

Si V es simplemente conexo, f ∈ M(V ) y ∆ ⊂ V es una curva cerrada queno pasa por ningun polo de f

∫

∆

f(z)dz = 2πi∑

p∈P (f)

Res(f, p) ind∆(p)

Demostracion:

En principio la suma puede ser numerable, pero si ∆ ⊂ K ⊂ V siendo Kcompacto, solo habra un numero finito de polos de f rodeados por ∆ y, para

los demas, el ındice es 0.


Sean p1, . . . , pm los polos rodeados por ∆. Existe un r > 0 tal que todos

los discos Br(pj) estan tambien rodeados por ∆. Por ser f holomorfa enla region cuyo borde es ∆ ∪ ∂Br(p1) ∪ · · · ∪ ∂Br(pm) el teorema 1.3.14 nos

asegura que∫

∆

f(z)dz =

m∑

j=1

ind∆(pj)

∫

∂Br(pj)

f(z)dz

Para calcular cada una de estas integrales, hallamos el desarrollo de Lau-

rent de f en el correspondiente polo pj e integramos termino a termino,lıcitamente, por la convergencia uniforme en el compacto ∂Br(pj). Las in-

tegrales de todos los terminos son nulas, salvo la correspondiente al terminoresidual, cuyo valor es 2π iRes(f, pj), como vimos en el ejemplo 4.4.1,1.

Luego

∫

∆f(z)dz = 2π i

m∑

j=1

ind∆(pj)Res(f, pj) = 2π i∑

p∈P (f)

ind∆(p)Res(f, p) ♦

4.6.16 Usos del Teorema de los Residuos

El teorema 4.6.15 puede usarse para calcular integrales

∫ 2π

0

R(cos, sen )dm1

donde R es una funcion racional de cosenos y senos. Teniendo en cuenta

que en la circunferencia unidad se cumple

z = eiθ = cos θ + i sen θ1

z= e−iθ = cos θ − i sen θ

dz = ieiθdθ

⇒

cos θ =z +

1

z2

=z2 + 1

2z

sen θ =z − 1

z2i

=z2 − 1

2z i

dθ =dz

iz∫ 2π

0R(cos θ, sen θ)dm1(θ) se escribe

1

i

∫

∂B1(o)

1

zR

(z2 + 1

2z,z2 − 1

2z i

)

dz

y si f(z) =1

zR

(z2 + 1

2z,z2 − 1

2z i

)

es meromorfa y no tiene polos en ∂B1(o)

∫ 2π

0R(cos θ, sen θ)dθ =

1

i

∫

∂B1(o)f(z)dz = 2π

∑

p∈B1(o)

Res(f, p)

Ejemplo 4.6.17

Si a > b > 0 probar que

∫ 2π

0

dθ

a+ b cos θ=

2π√a2 − b2

Solucion:

Haciendo los cambios indicados a+ b cosθ = a+ bz2 + 1

2z=bz2 + 2az + b

2z,

∫ 2π

0

dθ

a+ b cos θ= −2i

∫

|z|=1

dz

bz2 + 2az + b

Los polos de f(z) =1

bz2 + 2az + b=

1

b(z − z1)(z − z2)son

z1 = −ab

+

√

a2

b2− 1 y z2 = −a

b−√

a2

b2− 1 y cumplen

|z2| =

∣∣∣∣∣−ab−√

a2

b2− 1

∣∣∣∣∣=a

b+

√

a2

b2− 1 >

a

b> 1 ⇒ z2 /∈ B1(o)

z1z2 =b

b= 1 ⇒ |z1| < 1 ⇒ z1 ∈ B1(o)

. Como

Res(f, z1) = limz→z1

(z − z1)f(z) = limz→z1

1

b(z − z2)=

1

b(z1 − z2)=

1

2√a2 − b2

,

∫ 2π

0

dθ

a+ b cos θ= −2i

∫

|z|=1

dz

bz2 + 2az + b= −2i·2π iRes(f, z1) =

2π√a2 − b2

♦

El teorema de los residuos puede usarse, junto con la transformada z, para

resolver ecuaciones en diferencias.

Ejemplo 4.6.18

Resolver la ecuacion en diferencias

xn+2 + xn+1 − 2xn = 1 con x0 = 0 e x1 = 1

Solucion:

Suponiendo que la solucion (xn) tiene transformada z:

Z [xn+2 + xn+1 − 2xn](z) = Z [1](z)

Por ??,1 tenemos

Z [xn+2](z) + Z [xn+1](z)− 2Z [xn](z) = Z [1](z)

Por ??,2,3 y las condicones iniciales asegramos que

Z [xn+2](z) = z2Z [xn](z)− z

Z [xn+1](z) = zZ [xn](z)

y, como

Z [1](z) =

∞∑

n=0

1

zn=

z

z − 1,

despejando, podemos asegurar que

f(z) := Z [xn](z) =z2

(z + 2)(z − 1)2.

Esta f(z) es holomorfa en A = z | 2 < |z| y, tomando cualquier ρ > 2,podemos esribir su correspondiente aplicacion

L: Z → C

m 7→ 1

2πi

∫

∂Bρ(0)

1

zm−1(z + 2)(z − 1)2dz

Como, limz→∞

f(z) = 0, podemos asegurar que L(n) = 0 ∀n ∈ N sin necesi-

dad de calcular las integrales. Para n = 0, 1, 2, .. tenemos

xn = L(−n) =1

2πi

∫

∂Bρ(0)

zn+1

(z + 2)(z − 1)2dz

y, designando Fn(z) = zn−1f(z), el teorema 4.6.15 nos permite escribir

xn = Res(Fn,−2) + Res(Fn, 1).

Segun el comentario 4.6.14,3

Res(Fn,−2) = limz→−2

Fn(z)(z + 2) = limz→−2

zn+1

(z − 1)2=

(−2)n+1

32

Res(Fn, 1) = limz→1

d

dz

(Fn(z)(z − 1)2

)= lim

z→1

(n+ 1)zn(z + 2) − zn+1

(z + 2)2=

3n+ 2

32

y, en consecuencia,

(xn) =

((−2)n+1 + 3n+ 2

9

)

♦

Finalmente, el teorema de los residuos tambien puede usarse para la valo-

racion principal de integrales:

Una funcion medible f : R → C es integrable si∫

R|f | dm1 < ∞. Cuando

esto sucede tambien son integrables sus restricciones

f l : (−∞, 0] → C y fr : [0,∞) → C

y considerando las sucesiones de funciones

fn = f · 1[−n,n]f ln = f l · 1[−n,0]frm = fr · 1[0,m]

resulta que

fn → f y |fn| ≤ |f |f ln → f l y |f ln| ≤ |f l|frm → fr y |frm| ≤ |fr|


El teorema 1.2.17 nos asegura, entonces, que

limn→∞

∫ n

−nf dm1 =

∫

R

f dm1 y

limn→∞

∫ 0

−nfdm1 + lim

m→∞

∫ m

0fdm1 = lim

n,m→∞

∫ m

−nfdm1 =

∫

R

fdm1

Sin embargo, conviene tener presente que existen funciones f : R → C

localmente integrables 1 y, por tanto, para las que existen todas las integrales∫ 0

−nf(x)dm1(x) ∀n ∈ N y

∫ m

0f(x)dm1(x) ∀m ∈ N

y verifican que

existe limn→∞

∫ n

−nf(x)dm1(x) y no existe lim

n,m→∞

∫ m

−nfdm1.

Tambien existen otras funciones localmente integrables para las que existen

limn,m→∞

∫ m

−nfdm1 y f /∈ L

1(R, m1)

Por ello conviene dar nombres particulares a estos lımites:

1. valor principal V P

∫ ∞

−∞f(x)dx := lim

n→∞

∫ n

−nf(x)dm1(x)

2. integral impropia

∫ ∞

−∞f(x)dx := lim

n,m→∞

∫ m

−nfdm1

Incluso puede interesarnos considerar una f : R → C que no sea localmente

integrable pero que sı lo sea su restriccion f : R \ s → C. Al punto s lollamaremos punto singular de f y es claro que existen todas las integrales

∫ s− 1n

af(x)dm1(x) ∀n ∈ N y

∫ b

s+ 1m

f(x)dm1(x) ∀m ∈ N.

Aunque, por hipotesis, no existe

∫ b

afdm1, puede existir el

limn,m→∞

(∫ s− 1

n

a

f(x)dm1(x) +

∫ b

s+ 1m

f(x)dm1(x)

)

y, en tal caso, para calcularlo bastara hallar el lımite

limn→∞

(∫ s− 1

n

af(x)dm1(x) +

∫ b

s+ 1n

f(x)dm1(x)

)

Tambien puede suceder que exista este ultimo lımite sin que exista el ante-

rior. Por ello conviene dar nombres particulares a estos lımites:

1Cada punto tiene un entorno donde la funcion es integrable.


1. valor principal V P (s)

∫ b

a

f(x)dx :=

limn→∞

(∫ s− 1n

af(x)dm1(x) +

∫ b

s+ 1n

f(x)dm1(x)

)

2. integral impropia (s)

∮ b

af(x)dx :=

limn,m→∞

(∫ s− 1

n

af(x)dm1(x) +

∫ b

s+ 1m

f(x)dm1(x)

)

Podemos usar el teorema de los residuos para determinar el valor principal

de integrales de algunas funciones reales. En cada caso deberemos estudiarsi la funcion es integrable o no, si es localmente integrable o no y si tiene

integral impropia o no.

Si f : R → C es localmente integrable y su extension compleja f(z) esmeromorfa, con un numero finito de polos, ninguno de ellos sera real. En lacurva ∆n = [−n, n] ∪Cn que encierra al semicırculo Dn, tendremos

-

i

O

y

x

Cn

n−n

Dn

∫ n

−nf(x) dm1(x) =

∫

∆n

f(z)dz −∫

Cn

f(z)dz

y el teorema 4.6.15 nos asegura que∫ n

−nf(x) dm1(x) = 2π i

∑

p∈Dn

Res(f, p)−∫

Cn

f(z)dz

Por tanto, si existe el limn→∞

∫

Cn

f(z) dz = C, tendremos que

V P

∫ ∞

−∞f(x) dx = 2π i

∑

Im(p)>0

Res(f, p)−C

donde el sumatorio se extiende a todos los polos de f(z) situados en el

semiplano Im(z) > 0.

Lema 4.6.19

lim|z|→∞

zf(z) = o ⇒ limn→∞

∫

Cn

f(z) dz = o

Demostracion:∣∣∣∣

∫

Cn

f(z)dz

∣∣∣∣≤∫

Cn

|f(z)|dz ≤ supz∈Cn

|f(z)|∫

Cn

dz = π supz∈Cn

|z f(z)|

y si lim|z|→∞

zf(z) = o es claro que limn→∞

∫

Cn

f(z)dz = o ♦.

Ası pues, en las condiciones del lema 4.6.19

V P

∫ ∞

−∞f(x) dx = 2π i

∑

Im(p)>0

Res(f, p)

Ejemplo 4.6.20

Si f(x) =x

(x2 + 1)(x2 + 2x+ 2), probar que

∫

R

f dm1 = −π5

.

Solucion:

El denominador de f es un polinomio que puede escribirse en la forma

q(x) = x4r(x) con lim|x|→∞

r(x) = 1

Ası, ∃K > 0 tal que r(x) >1

2en [−K,K]c y, en consecuencia,

|f | < 2

|x3| en [−K,K]c

Como f es continua en R, es integrable en [−K,K]. Ademas, por estardominada por una funcion integrable, tambien es integrable en [−K,K]c.

Por tanto, f es integrable en todo R y su integral coincide con su valorprincipal. Para calcularlo tenemos en cuenta que

f(z) =z

(z2 + 1)(z2 + 2z + 2)

es una funcion meromorfa que no tiene polos reales y verifica

lim|z|→∞

zf(z) = lim|z|→∞

z2

(z2 + 1)(z2 + 2z + 2)= 0 ,

Entonces, el lema 4.6.19 nos asegura que

V P

∫ ∞

−∞f(x)dx = 2π i

∑

Im(p)≥0

Res(f, p)


Como

z2 + 1 = 0 ⇒ z = ±iz2 + 2z + 2 = 0 ⇒ z = −1 ± i

los unicos polos del semiplano superior son z1 = i y z2 = −1 + i, y losresiduos en ellos se calculan facilmente:

Res(f, i) = limz→i

(z − i)f(z) = limz→i

z

(z + i)(z2 + 2z + 2)=

2 + i

10 i

Res(f,−1 + i) = limz→−1+i

z

(z2 + 1)(z + i+ 1)= −3 + i

10 i

Luego∫

R

f dm1 = V P

∫ ∞

−∞f(x)dx = 2π i

(2 + i

10 i− 3 + i

10 i

)

= −π5

♦

4.7 Ejercicios

1. Practica4. Variable Compleja I.sws

2. Practica5. Variable Compleja II.sws

3. Probar que:

(a) Log (1 + i)2 = 2 Log (1 + i)

(b) Log (−1 + i)2 6= 2 Log(−1 + i)

4. Considerando la rama principal de zi , hallar u(r, θ) , v(r, θ) cuando

zi = u+ iv .

5. Las funcionesRe z

z,

z

|z| ,Re z2

|z|2 ,z Re z

|z|estan definidas para z 6= 0 . ¿Cuales pueden ser definidas en z = 0 demanera que sean continuas en ese punto?.

6. ¿Es f(z) = x3 + i(y − 3)3 derivable en algun punto?. ¿Es holomorfa

en algun abierto?.

7. Demostrar que:

(a) | exp(z2)| ≤ exp(|z|2) .

4.7. EJERCICIOS 159

(b) exp(z) no es derivable en ningun punto.

(c) |eiz| = e−y .

8. Hallar las regiones donde son holomorfas las siguientes funciones:

a) f(z) = z2z , b) f(z) = ez2, c) f(z) = tg z , d) f(z) = x2−y2+2i|xy|

9. La parte imaginaria de una funcion holomorfa f(z) es 2x(1−y). Siendof(i) = 0, obtener f(z) en terminos de z.

10. Se dan los pares de funciones armonicas:

a)

u = 3(x2 − y2)

v = 3x2y − y3b)

u =x

x2 + y2

v =−y

x2 + y2

c)

u = x

v = −y d)

u = 1 + ex cos y

v = 1 + exsen y

¿Es f(z) = u + iv una funcion holomorfa en algun dominio?. ¿En

cual?. Escribir f(z) en terminos de z.

11. Calcular

∫

C(x2 − iy2) dz en los siguientes casos:

(a) a lo largo de la parabola y = 2x2 desde (1, 2) a (2, 8) .

(b) a lo largo de la poligonal de vertices (1, 2) , (1, 8) , (2, 8) .

(c) a lo largo de la recta que une (1, 2) con (2, 8) .

12. Calcular

∫

C(z + iz) dz , siendo C la frotera del recinto determinado

por la curva y2 = x3 y la recta x = 1 , recorrida en sentido positivo.

13. Hallar el valor numerico de

∫

C|z|2 dz alrededor del cuadrado de vertices

(0, 0) , (1, 0) , (1, 1) , (0, 1).

∫ 2−i

i

(3xy + iy2) dz

(a) a lo largo del segmento que une z = 1 con z = 2 − i .

(b) a lo largo de la curva x = 2t− 2 , y = 1 + t− t2 .


∫

Cz2 dz alrededor de los cırculos:

a) |z| = 1 ; b) |z − 1| = 1

16. Sea C el arco de la curva |z| = 2 que va de z = 2 a z = 2i en el primer

cuadrante. Sin calcular la integral, probar que

∣∣∣∣

∫

C

dz

z2 − 1

∣∣∣∣≤ π

3 .

17. Probar que si C es el triangulo de vertices 0 , 3i , −4 , entonces

∣∣∣∣

∫

C

(ez − z) dz

∣∣∣∣≤ 60

18. Sea CR ≡ |z| = R , R > 1 . Probar que:

∣∣∣∣

∫

CR

Log z

z2dz

∣∣∣∣≤ 2π

(π + lnR

R

)

19. Calcular la integral

∫

C

dz

z:

(a) cuando C es la mitad izquierda de la circunferencia |z| = 2.

(b) cuando C es la mitad derecha de la circunferencia |z| = 2.

(c) cuando C la circunferencia completa |z| = 2.

20. Probar que si zi denota la rama principal (|z| > 0 , −π < Arg z ≤ π) ,

∫ 1

−1

zi dz =1 + e−π

2(1 − i)

4.7. EJERCICIOS 161

21. Siendo C cada una de las circunferencias∣∣z − 1

4

∣∣ = R , R = 1

2 , 1 , 2,

calcular todos los valores posibles de la integral

∫

C

dz

z(z2 − 1)


∫

C

ez dz

z(1− z)3, donde C es un contorno simple

cerrado, en los siguientes casos:

(a) z = 0 cae dentro de C y z = 1 cae fuera de C .

(b) z = 1 cae dentro de C y z = 0 cae fuera de C .

(c) z = 0 y z = 1 caen dentro de C .


∫

C

z sen z

(z − 1)5dz , C ≡ x2

3+y2

9= 1


∫

C

ez dz

z4 + 2z2 + 1, siendo C ≡ |z − i| = R , R = 1 , 3


∫

C

senπz dz

(z2 − 1)2, siendo C ≡ |z − 1| = 1

26. Sea C el cırculo |z| = 3 descrito en sentido positivo. Probar que si

g(ω) =

∫

C

2z2 − z − 2

z − ωdz , |ω| 6= 3

entonces g(2) = 8πi . ¿Cual es el valor de g(ω) cuando |ω| > 3?. ¿Ex-

isten valores de ω dentro de C para los cuales g(ω) = 0 ?. Calcularlos.

27. Encontrar todas las funciones enteras f(z) que satisfacen las condi-

ciones: f(2 − i) = 4i , |f(z)| < e2 , ∀z ∈ C.

28. Hallar todas las funciones f(z) holomorfas en |z| < 1 y tales que

f(0) = 3 , |f(z)| ≤ 3 , ∀z ∈ B1(o)

29. Hallar todas las funciones f(z) holomorfas en |z| < 1 y que satisfacen

f(0) = 1 , |f(z)| ≥ 1 , ∀z ∈ B1(o)

30. Sea la funcion f(z) = (z + 1)2 y la region triangular cerrada R , devertices z = 0 , z = 2 , z = i . Hallar los puntos de R en los que |f(z)|alcanza sus valores maximo y mınimo.

31. Hallar el desarrollo en serie de Taylor de f(z) = sen z2 en el punto

z = 0 y deducir los valores de f4n)(0) , f2n+1)(0) , fvı)(0).

32. Desarrollar cos z en serie de Taylor centrada en z =π

2.

33. Hallar el desarrollo de Taylor de f(z) =1

z + 2en el punto z = 3i y

su radio de convergencia.

34. Hallar el desarrollo de Taylor de f(z) =z

(z2 + 1)2en z = 0 y su radio

de convergencia.

35. Calcular

∫

Ce−z

4dz , siendo C la curva z(t) = (3 − t4) + i

6

t+ 20 ≤ t ≤ 1 , orientada en el sentido en que decrece el parametro.

4.7. EJERCICIOS 163

36. Hallar todos los posibles desarrollos de f(z) =z

(z − 1)(z − 3)en serie

de potencias de z − 1 . Calcular, en cada caso, el campo de conver-

gencia.

37. Dar todas las posibles representaciones en serie de potencias de z, y el

campo de validez de cada una, para la funcion

f(z) =2z − i

(z2 + z)(z − 2i)

38. Desarrollar la funcion f(z) =z2

z − 1en serie de potencias en z = 0.

Dar el radio de convergencia y clasificar el punto.

39. Desarrollar en serie

f(z) =1

z − 2Log

z − i

z + i

en un entorno del origen y en la corona 1 < |z| < 2.

40. Dar una representacion en serie de potencias de z de la funcion f(z) =1

z2 senh zvalida en 0 < |z| < R y calcular R.

41. Hallar los puntos singulares y estudiar su naturaleza en las funciones:

a)1

z − z3; b)

z3

z − z3; c)

1

ez − 1− 1

z; d)

ez

z + z2; e)

1 + z2

ez

f) ez

1−z ; g) tanh z ; h)1

z3(2 − cos z); i) sen 1

1−z ; j) ez−(1/z)

42. Calcular los residuos de cada una de las ramas uniformes de las si-guientes funciones en el punto que se indica:

a)

√z

z − 1, z = 1 b)

za

1−√z, 0 < a < 1 , z = 1

43. Hallar los residuos de la funcion

f(z) =sen z2

z2(z − π4 )

en los puntos singulares.

44. Calcular

∫

C

z3(1− 3z)

(1 + z)(1 + 2z4)dz , siendo C ≡ |z| = 3

45. Verificar las siguientes igualdades:

(a)

∫ 2π

0

dθ

(5 − 3 sen θ)2=

5π

32

(b)

∫ π

−π

dθ

1 + sen2 θ= π

√2

(c)

∫ π

0

cos 2θ dθ

1 − 2a cos θ + a2=

π a2

1 − a2, |a| < 1

(d)

∫ ∞

−∞

dx

(x2 + 2x+ 2)2=π

2

(e)

∫ ∞

0

dx

(x2 + 1)2=π

4

(f) V P

∫ ∞

0

x4

x6 − 1dx =

π√

3

6

Capıtulo 5

Transformadas integrales

5.1 Transformadas de Fourier y de Laplace

El teorema 1.1.2 identifica los subconjuntos W ⊂ C(R+,R) que cumplen

[Π(W )] = C(R+,R)

cuando la clausura se toma respecto de la topologıa de la convergencia uni-

forme sobre los compactos y, en particular, nos asegura que goza de esapropiedad el conjunto de funciones Lx | x ∈ R+ donde

Lx : R+ → R .

y 7→ e−xy

El teorema 1.1.12 identifica los subconjuntos W ⊂ C(R,C) que cumplen

[Π(W )] = C(R,C)

cuando la clausura se toma respecto de la topologıa de la convergencia uni-forme sobre los compactos y, en particular, nos asegura que goza de esa

propiedad el conjunto de funciones Fx | x ∈ R donde

Fx : R → C .y 7→ e−ixy

Esta propiedad de los conjuntos Lx | x ∈ R+ y Fx | x ∈ R en los respec-

tivos espacios C(R+,R) y C(R,C) nos permiten demostrar los dos teoremassiguientes de manera analoga. Presentaremos solo la prueba del segundo.

Teorema 5.1.1 Tranformada de Laplace

Sea F(R+) el conjunto de todas las medidas finitas definidas en la σ-algebra

de Borel de R+. Esta bien definida y es inyectiva la aplicacion

L : F(R+) → C(R+,R) donde L(µ) : R+ → R

µ 7→ L(µ) x 7→∫

R+ Lx dµ

165

166 CAPITULO 5. TRANSFORMADAS INTEGRALES

Teorema 5.1.2 Tranformada de Fourier

Sea F(R) el conjunto de todas las medidas finitas definidas en la σ-algebrade Borel de R. Esta bien definida y es inyectiva la aplicacion

F : F(R) → C(R,C) donde µ : R → C

µ 7→ µ x 7→∫

RFx dµ

Demostracion:

Para probar que µ ∈ C(R,C), tomamos (xi) → x. Entonces (Fxi) → Fx

puntualmente, |Fxi| ≤ 1 ∀ i ∈ N y 1 ∈ L1(R, µ) ya que µ(R) <∞.

El teorema de la convergencia dominada concluye que

(∫

R

Fxidµ

)

→∫

R

Fx dµ ⇔ (µ(xi)) → µ(x) ⇒ µ ∈ C(R,C).

Para demostrar la inyectividad fijamos µ1, µ2 ∈ F(R) tales que µ1 = µ2.

Necesitamos probar que µ1 = µ2. Para ello es suficiente probar la igualdad

∫

R

fdµ1 =

∫

R

fdµ2 ∀f ∈ Cb(R,R). (5.1)

Lo hacemos en 3 pasos.

Paso 1:

Sea A0(R,C) el conjunto de todas las combinaciones lineales con coeficientes

complejos del conjunto Fx | x ∈ R. De la igualdad µ1 = µ2 y de la aditivi-dad de la integral se sigue que

∫

R

a0dµ1 =

∫

R

a0dµ2 ∀a0 ∈ A0(R,C). (5.2)

Sea A(R,C) la clausura of A0(R,C) en Cb(R,C) respecto de la norma ‖ ‖∞.De (5.2), como µ1 y µ2 son medidas finitas, obtenemos facilmente

∫

R

adµ1 =

∫

R

adµ2 ∀a ∈ A(R,C). (5.3)

Sea A(R,R) := A(R,C) ∩Cb(R,R). De (5.3) obtenemos

∫

R

adµ1 =

∫

R

adµ2 ∀a ∈ A(R,R). (5.4)

Paso 2.

Sea K ⊂ R un compacto no vacıo, f ∈ Cb(R,R) una funcion no identica-mente nula en K y ε ∈]0, 1[ un numero real. Existe a ∈ A(R,R) tal que

sup|f(x)− a(x)| : x ∈ K < ε y ‖a‖ ≤ ‖f‖ . (5.5)

5.1. TRANSFORMADAS DE FOURIER Y DE LAPLACE 167

En efecto:

Usaremos el siguiente hecho establecido en el lema 1.1.5:A(R,R) es un algebra que contiene las constantes reales, separa los puntos

de R y es cerrada en la toma de maximos y mınimos:

a1, a2 ∈ A(R,R) ⇒

a1 ∨ a2 = max(a1, a2) ∈ A(R,R)

a1 ∧ a2 = min(a1, a2) ∈ A(R,R)

Sea AK(R,R) = a|K : a ∈ A(R,R) y sea ‖g‖K = sup|g(x)| : x ∈ Ksi g ∈ Cb(R,R). Por el teorema 1.1.2 existe g1 ∈ A(R,R) tal que

‖f − g1‖K <ε

2. (5.6)

Como f |K 6= 0, de (5.6) deducimos que ‖g1‖K > 0 y, ası, podemos considerar

g := g1‖f‖K‖g1‖K

∈ A(R,R).

Es claro que ‖g‖K ≤ ‖f‖K y ademas se cumple que

‖f − g‖K < ε (5.7)

puesto que

‖f − g‖K ≤ ‖f − g1‖K + ‖g1 − g‖K = ‖f − g1‖K +

∥∥∥∥g1 − g1

‖f‖K‖g1‖K

∥∥∥∥K

=

= ‖f − g1‖K + ‖g1‖K∣∣∣∣1 − ‖f‖K

‖g1‖K

∣∣∣∣ =

= ‖f − g1‖K + |‖g1‖K − ‖f‖K | ≤ 2‖f − g1‖K < ε.

Ahora, si consideramos la funcion

a := (−‖g‖K ∨ g) ∧ ‖g‖Ktenemos que a ∈ A(R,R) y −‖g‖K ≤ a(x) ≤ ‖g‖K ∀x ∈ R. Por

tanto, ‖a‖ ≤ ‖g‖K ≤ ‖f‖K ≤ ‖f‖ y tambien tenemos que a|K = g|K.Entonces, por (5.7), vemos que (5.5) se satisface para a.

Paso 3.

Fijemos una f ∈ Cb(R,R) no identicamente nula y un ε ∈]0, 1[. Existe uncompacto K ⊂ R tal que

µ1(R \K) < ε, µ2(R \K) < ε y f |K 6= 0.

De acuerdo con el Paso 2 existe un a ∈ A(R,R) para el que se satisface (5.5).

De (5.3) obtenemos:∫

R

fdµ1 −∫

R

fdµ2 =

∫

R

(f − a)dµ1 −∫

R

(f − a)dµ2


y, tambien,

∫

R

(f − a)dµ1 =

∫

K(f − a)dµ1 +

∫

R\K(f − a)dµ1.

De acuerdo con 5.5 se cumple que ‖f − a‖ ≤ ‖f‖ + ‖a‖ ≤ 2‖f‖ y, ası,

∣∣∣∣

∫

R

(f − a)dµ1

∣∣∣∣≤∣∣∣∣

∫

K(f − a)dµ1

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣

∫

R\K(f − a)dµ1

∣∣∣∣∣≤

≤ ‖f − a‖Kµ1(K) + ‖f − a‖µ1(R \K) ≤ εµ1(K) + 2ε‖f‖ .

Similarmente,∣∣∣∣

∫

R

(f − a)dµ2

∣∣∣∣≤ εµ2(K) + 2ε‖f‖

y, en consecuencia,

∣∣∣∣

∫

R

fdµ1 −∫

R

fdµ2

∣∣∣∣≤ ε(µ1(K) + µ2(K) + 4‖f‖)

y, como ε > 0 es arbitrario, obtenemos (5.1). ♦

Esta prueba esta inspirada en la que podemos encontrar en la pag 69 de[4] y contiene las correcciones propuestas en [24] para evitar el error que

aquella contiene.

5.2 La F-transformada de medidas finitas en R

1. Para identificar una medida µ ∈ F(R) no es necesario hacer la integral∫

R1B dµ para todo boreliano B ⊂ R sino que es suficiente conocer

las integrales∫

RFx dµ con x ∈ R. Es decir, es suficiente conocer la

funcion F (µ) : R → C. Por eso los estadısticos suelen llamarla funcioncaracterıstica de la medida µ.

2. Si µ es una medida discreta, combinacion de deltas de Dirac, tenemos

µ =

n∑

p=1

hpδp−1 y F (µ)(x) =

n∑

p=1

hpe−i(p−1)x.

En los puntos xq = 2π q−1n con q = 1, · · · , n se cumple que

F (µ)(xq) =

n∑

p=1

hpe−2πi

(p−1)(q−1)n =

n∑

p=1

hpwqp

5.2. LA F -TRANSFORMADA DE MEDIDAS FINITAS EN R 169

La matriz compleja

W =

w11 · · · w1n...

. . ....

wn1 · · · wnn

con wqp = e−2πi (p−1)(q−1)

n

tiene una inversa especialmente sencilla:

W−1 =1

nW donde W = (wqp)

pues es facil1 comprobar que

1

n

n∑

k=1

wpkwkq =1

n

n∑

k=1

e2πi(k−1)(q−p)

n =

1 si p = q

0 si p 6= q

Por tanto, es facil resolver el sistema lineal

w11 w12 · · · w1n

w21 w22 · · · w2n...

.... . .

...wn1 wn2 · · · wnn

h1

h2...hn

=

F (µ)(0)F (µ)

(2πn

)

...

F (µ)(

2π(n−1)n

)

Su solucion es

h1

h2...

hn

=1

n

w11 w12 · · · w1n

w21 w22 · · · w2n...

.... . .

...

wn1 wn2 · · · wnn

F (µ)(0)

F (µ)(

2πn

)

...

F (µ)(

2π(n−1)n

)

Por tanto, si conocemos laF (µ) de una combinacion de deltas podemosrecuperar la medida µ tomando una muestra adecuada de F (µ) en

[0, 2π].

3. Si µ ∈ F(R) es absolutamente continua respecto de la medida deLebesgue m, µ m, el teorema 1.2.33 asegura la existencia de unafuncion de densidad h ∈ L1(R, m) tal que dµ = hdm. En tal caso se

suele escribir

F (h)(x) = F (µ)(x) =

∫

R

Fx · h dm

y se habla de la transformada de Fourier de la funcion h.

1Cuando p 6= q tenemos la suma de las raices del polinomio zn − 1 = 0 que es nulacomo el coeficiente del termino de grado n − 1.


4. Si µ m con densidad h : [a, a+ T ] → R:

F (h)(x) =

∫

R

e−ixt dµ(t) =

∫ a+T

ah(t)e−ixtdt

Si dividimos [a,a+T] segun la particion

tp = a+T (p− 1)

ncon p = 1, · · · , n+ 1

tenemos

F (h)(x) =n∑

p=1

∫ tp+1

tp

h(t)e−ixtdt ≈

≈ T

ne−iax

n∑

p=1

h(tp)e−ixT (p−1)

n

En los puntos xq = 2π q−1T con q = 1, · · · , n

n

TeiaxqF (h)(xq) ≈

n∑

p=1

h(tp)wqp

El sistema lineal

w11 w12 · · · w1n

w21 w22 · · · w2n

......

. . ....


h(t1)h(t2)

...h(tn)

=n

T

F(h)(0)

ei2πa

T F(h)(

2πn

)

...

ei2πa(n−1)

T F(h)(

2π(n−1)n

)

se resuelve automaticamente:

h(t1)h(t2)

...h(tn)

=1

T

w11 w12 · · · w1n

w21 w22 · · · w2n

......

. . ....


F(h)(0)

ei2πa

T F(h)(

2πn

)

...

ei2πa(n−1)

T F(h)(

2π(n−1)n

)

Ello nos permite obtener una muestra discreta de la densidad h a

partir del conocimiento de F (h).

5. Una de las funciones mas importantes que se puede definir en R es la

campana de Gauss

gbv : R → R

x 7→ 1√2πv

e−(x−b)2

2v

5.2. LA F -TRANSFORMADA DE MEDIDAS FINITAS EN R 171

donde b ∈ R y v ∈ (0,∞). Un estudio elemental nos dice que su grafica

es simetrica respecto al eje x = b y sobre el alcanza el maximo1√2πv

.

Sobre las rectas x = b − √v y x = b +

√v estan sus dos unicos

puntos de inflexion.

Por otra parte, el teorema del cambio de variable asegura que la medidadel hipografo H(gbv) =

∫

Rgbvdm, no depende de los parametros b y v.

Ası,∫

R

gbvdm =

∫

R

g01dm =

√

2

π

∫ +∞

0e−

x2

2 dm(x) = 1

Vemos que el parametro b no hace mas que trasladar adecuadamentelas campanas a lo largo del eje OX . La familia de medidas gaussianas

γbv : B1 → [0,∞]

E →∫

Egbvdm

se llaman normales(b,√v) y estan especialmente bien adaptadas a la

transformacion de Fourier. En efecto:

F (γ0v)(y) =1√2πv

∫

R

e−ixye−x2

2v dx

y derivando respecto de y bajo el signo integral e integrando por partes,

F (γ0v)′(y) =

1√2πv

∫

R

−ixe−ixye−x2

2v dx = −vyF (γ0v)(y).

Resolviendo la ecuacion diferencial con condicion inicial F (γ0v)(0) = 1,

obtenemos que F (γ0v)(y) = e−vy2

2 .Por otra parte, haciendo el cambio x− b = t y dx = dt obtenemos que

F (γbv)(y) = e−iby · F (γ0v)(y) = e−iby · e−vy2

2

6. Dadas dos medidas µ1, µ2 ∈ F(R) tenemos en R2 su producto µ1 ⊗µ2.

La suma + : R2 → R induce en R su ley (µ1 ⊗ µ2)+. Esta nueva

medida, tan natural, es la convolucion de µ1 y µ2 y se denota µ1 ?µ2.

Apoyados en el esquema

R2 +−→ R

Fs−→ R

es inmediato ver que∫

RFsdµ1 ? µ2 =

∫

R2e−is(t1+t2)dµ1 ⊗ µ2(t1, t2)

y, por tanto,

F (µ1 ? µ2) = F (µ1) · F (µ2)

e interesa recordar este hecho en los siguientes terminos:

Si en C(R,C) consideramos la operacion interna producto puntual ·y en F(R) la operacion interna ?, la aplicacion F : F(R) → C(R,C)

es un homomorfismo.

7. Si µ1 y µ2 son medidas discretas, su convolucion tambien es discreta ypodremos utilizar el metodo explicado en 2 para calcular explıcitamenteµ1 ? µ2.

8. Si µ1, µ2 son absolutamente continuas respecto de m, con densidades

h1, h2 : R → R+, es natural preguntarse cual es la densidad de µ1 ?µ2.Apoyados en el esquema

R2 +−→ R

1B−→ R

vemos que ∀B ∈ B se tiene:

µ1 ? µ2(B) =

∫

R2

1B(t+ s)h1(t)h2(s) dm2(t, s) =

=

∫

R

(∫

R

1B(t+ s)h1(t) dt

)

h2(s)ds =

∫

R

(∫

R

1B Ts · h1 dm

)

h2dm =

=

∫

R

(∫

R

1B · h1 T−s dm)

h2dm =

∫

R

(∫

R

1B(t) · h1(t− s) dt

)

h2(s)ds =

=

∫

R

1B(t)

(∫

R

h1(t− s)h2(s) ds

)

dt

lo cual significa que µ1?µ2 << m y su densidad es∫

Rh1(t−s)h2(s) ds.

Ello justifica que hablemos de la convolucion de h1 y h2:

h1 ? h2(t) =

∫

R

h1(t− s)h2(s) ds

9. Si µ1 y µ2 son medidas absolutamente continuas con densidades h1

y h2, podremos utilizar el metodo explicado en 4 para obtener unadiscretizacion de h1 ? h2.

5.3. LA L-TRANSFORMADA DE MEDIDAS FINITAS EN R+ 173

5.3 La L-transformada de medidas finitas en R+

1. Para identificar una medida µ ∈ F(R+) no es necesario hacer la integral∫

R+ 1B dµ de todo boreliano B ⊂ R+ sino que es suficiente conocer

las integrales∫

R+ Lx dµ con x ∈ R+. Es decir, es suficiente conocer

la funcion L(µ) : R+ → R. Por eso los estadısticos suelen llamarla

funcion caracterıstica de la medida µ.

2. Como ejemplo, identificaremos la ley de la suma de dos vv.aa. inde-pendientes Ber(p) sabiendo que

L(Ber(p))(x) = p+ qe−x

L(Bin(2, p))(x) = p2 + 2pqe−x + q2e−2x

Para hallar la ley de la suma calculamos sobre el siguiente esquema

Xv→ R

+ × R+ s→ R

+ Lx−→ R

L(µsv)(x) =

∫

R+

Lx dµsv =

∫

R+×R+

Lx s dµv =

=

∫

R+×R+

Lx s dµf1 ⊗ µf2 =

=

∫

R+

[∫

R+

e−x(x1+x2) dµf1(x1)

]

dµf2(x2) =

=

(∫

R+

e−xx1dµf1(x1)

)(∫

R+

e−xx2dµf2(x2)

)

=

=

(∫

R+

Lxdµf1

)(∫

R+

Lxdµf2

)

= (p+ qe−x)(p+ qe−x) =

= p2 + 2pqe−x + q2e−2x

Vemos que L(µsv) = L(Bin(2, p)) y, por tanto, µsv = Bin(2, p).

3. Si µ ∈ F(R+) es absolutamente continua respecto de la medida deLebesgue m1, µ m1, el teorema 1.2.33 asegura la existencia de una

h ∈ L1(R+, m1) tal que dµ = hdm1. En tal caso se suele escribir

L(h)(y) = L(µ)(y) =

∫

R+

Ly · h dm1

y se habla de la transformada de Laplace de la funcion h.

4. Una de las funciones mas importantes que se puede definir en (0,∞)

es la funcion gamma de Euler


Γ : (0,∞) → R

p 7→∫

R+ xp−1e−xdm1(x)

que tiene las siguientes propiedades:

(a) Γ( 12 ) =

∫ ∞

0e−xx−

12 dx = 2

∫ ∞

0e−t

2dt =

√π.

(b) Γ(1) = 1

(c) Γ(p+ 1) = pΓ(p) y, por tanto, Γ(n+ 1) = n!

De la definicion de la funcion Γ deducimos que∫

R+

xp−1e−x

Γ(p)dm(x) = 1 ∀p ∈ (0,∞)

to significa que para cada p > 0, las funciones Ep(x) =xp−1e−x

Γ(p),

algunas de ellas representadas en la siguiente figura,

son la densidad de una medida de probabilidad en (R+,B1) llamadaprobabilidad de Euler de parametro p:

ηp : B1 → [0,∞]

E →∫

E

xp−1e−x

Γ(p)dm1(x)

que estan bien adaptadas a la transformacion de Lapalace:

L(ηp)(y) =

∫ ∞

0

xp−1e−x(y+1)

Γ(p)dx

5.4. LA F -TRANSFORMADA EN EL ESPACIO L1(R) 175

y haciendo el cambio de variable x =t

y + 1, dx =

dt

y + 1tenemos

L(ηp)(y) =

∫ ∞

0

tp−1e−t

(y + 1)pΓ(p)dt = (y + 1)−p

5. Dadas dos medidas µ1, µ2 ∈ F(R+) tenemos en R+ × R+ su producto

µ1 ⊗µ2. La suma + : R+ ×R

+ → R+ induce en R

+ su ley (µ1 ⊗µ2)+.Esta nueva medida, tan natural, es la convolucion de µ1 y µ2 y se

denota µ1 ? µ2. Apoyados en el esquema

R+ × R

+ +−→ R+ Ly−→ R

es inmediato ver que L(µ1 ? µ2) = L(µ1)L(µ2) pues∫

R+

Lydµ1 ? µ2 =

∫

R+×R+

e−y(x1+x2)dµ1 ⊗ µ2(x1, x2) = L(µ1) · L(µ2)

6. Si µ1 y µ2 tienen densidades h1 y h2 respecto de la medida de Lebesgue

en R+, es natural preguntarse cual es la densidad h1 ? h2 de la con-

volucion µ1 ? µ2. Razonando como en 5.2,8 obtenemos

h1 ? h2(t) =

∫

R

h1(t− s)h2(s) ds

siendo h1 y h2 las extensiones a R de las funciones causales h1 y h2.

En consecuencia,

h1 ? h2(t) =

∫ t

0

h1(t− s)h2(s) ds

5.4 La F-transformada en el espacio L1(R)

Sea (R,M, m) el espacio de medida de Lebesgue en R y sea (R2,M2, m2)

el completado del espacio producto (R2,M⊗M, m⊗m).

L1(R) es el espacio vectorial complejo de todas las funciones f : R → C

medibles que cumplen

‖f‖1 :=

∫

R

|f |dm <∞

(L1(R), ‖ ‖1) es un espacio seminormado puesto que

N := f ∈ L1(R) | ‖f‖1 = 0 6= oEs aconsejable, por tanto, considerar el espacio normado cociente canonico

(L1(R), ‖ ‖1) donde L1(R) = L1(R)/N(ver Th.1.2.21) cuyo elemento f es la clase de funciones iguales a f a.e.(m).

En este espacio de Banach necesitamos recordar:

Lema 5.4.1

Si (fn) → f en (L1(R), ‖ ‖1), existe una subsucesion (fnk) y representantes

fnk∈ fnk

, f ∈ f tales que (fnk) → f a.e.(m).

Demostracion:

Como limn→∞

‖fn− f‖1 = 0, ∀k ∈ N ∃nk ∈ N tal que ‖fnk− f‖1 <

1

2k. Por

tanto,

∞∑

k=1

‖fnk− f‖1 =

∞∑

k=1

∫

R

|fnk(t)− f(t)| dt =

∫

R

( ∞∑

k=1

|fnk(t) − f(t)|

)

dt < 1

Esto solo es posible si existe E ∈ M con m(Ec) = 0, tal que

∞∑

k=1

|fnk(t)−f(t)| <∞ ∀t ∈ E . Luego lim

n→∞|fnk

(t)−f(t)| = 0 ∀t ∈ E ♦

Dada una f ∈ L1(R) definimos su transformada de Fourier

f : R → C

s 7→∫

RFs · f dm

aunque es mas frecuente verla expresada en los terminos clasicos

f(s) =

∫ ∞

−∞e−istf(t) dt

Esta definicion es consistente porque

1. Fs · f es medible y |Fs · f | = |f |, luego Fs · f ∈ L1(R)

2. Si f1, f2 ∈ f , f1 = f2 a.e.(m) y, por tanto,

∫

R

Fs · f1 dm =

∫

R

Fs · f2 dm

Algunas familias de funciones juegan un papel fundamental en lo que sigue:

• Traslaciones: ∀a ∈ R denotamos

Ta: R → R

t 7→ t+ a

Como la medida de Lebesgue es invariante por traslaciones, MTa = My mTa = m. Ası, ∀f ∈ L1(R) tenemos:

∫

R

f Ta dm =

∫

R

fdm y

∫

R

|f Ta| dm =

∫

R

|f |dm


• Dilataciones: ∀a ∈ R \ 0 denotamos

Da: R → R

t 7→ t a

Es claro que MDa = M y mDa = |a−1|m y, ası, ∀f ∈ L1(R) ten-

emos: ∫

R

f Dadm = |a−1|∫

R

fdm

En particular, si para a = −1 designamos T := D−1, se cumple que

∫

R

f T dm =

∫

R

fdm y

∫

R

|f T | dm =

∫

R

|f |dm

Propiedades 5.4.2

1. Si f1 + f2 ∈ g ⇒ g = f1 + f2

2. Si c f ∈ g ⇒ g = cf

3. Si f ′ ∈ g ⇒ g(s) = isf(s) y, por iteracion, para cualquier n ∈ N:Si f (n) ∈ g ⇒ g(s) = (is)nf(s).

4. Si f Ta ∈ g ⇒ g = F−a f

5. Si Faf ∈ g ⇒ g = f Ta6. Si f Da ∈ g ⇒ g = |a−1| f Da−1

7. Si f T ∈ g ⇒ g = f T

8. ‖f‖∞ ≤ ‖f‖1

9. f : R → C es uniformemente continua.

10. Riemann-Lebesgue: lim|s|→∞

f(s) = 0

Demostracion:

1. Evidente.

2. Evidente.

3. Integrando por partes:∫

Re−isxf ′(x)dm(x) = −

∫

R−ise−isxf(x)dm(x) = is

∫

Re−isxf(x)dm(x)

4. g(s) =∫

RFs · f Tadm =

∫

RFs T−a · fdm = F−a(s)

∫

RFs · fdm =

F−a(s) · f(s).

5. g(s) =∫

RFs+a · fdm = f(s+ a).

6. g(s) =∫

RFs ·fDadm =

∫

R(Fs a−1 ·f)Dadm = |a−1|

∫

RFs a−1 ·f dm =

|a−1|f(s a−1)

7. Es caso particular del punto anterior para a = −1.

8. |f(s)| =∣∣∫

RFs · f dm

∣∣ ≤

∫

R|f | dm = ‖f‖1 ∀s ∈ R. Luego

‖f‖∞ := sups∈R

|f(s)| ≤ ‖f‖1.

9. Primero probaremos que dados r ∈ (0,∞) y s1, s2 ∈ R, se cumple que

|f(s1) − f(s2)| ≤ r|s1 − s2| ‖f‖1 + 2

∫

[−r,r]c|f | dm

En efecto:

|f(s1)−f(s2)| ≤∫

R

|e−1s1t−e−is2t| |f(t)| dt≤∫

R

|e−1(s1−s2)t−1| |f(t)| dt =

=

∫ r

−r|e−1(s1−s2)t − 1| |f(t)| dt+ 2

∫

[−r,r]c|f | dm.

Pero

|eiα − 1|2 = (cosα− 1)2 + sen 2α = 2(1− cosα) = 4 sen 2(α

2

)

≤ α2

y, por tanto, |eiα − 1| ≤ |α|, luego

∫ r

−r|e−1(s1−s2)t − 1| |f(t)| dt ≤ r|s1 − s2|

∫ r

−r|f(t)| dt.

Ahora ya podemos comprobar la continuidad uniforme:

Como limr→∞

|f | · 1[−r,r]c = 0 tambien limr→∞

∫

[−r,r]c|f | dm = 0.

Por tanto, dado ε > 0

∃rε tal que

∫

[−rε,rε]c|f | dm <

ε

4y ∃δ =

ε

2rε‖f‖1tal que

|f(s1)−f(s2)| ≤ rε|s1−s2| ‖f‖1+2

∫

[−rε,rε]c|f | dm < ε si |s1−s2| < δ

10. Lo probamos, en primer lugar, para la clase de cualquier indicador

f = 1[a,b]:

f(s) =

∫ b

ae−istdt =

b− a si s = 0

e−isb − e−isa

−is si s 6= 0

por tanto,

lim|s|→∞

|f(s)| ≤ lim|s|→∞

2

|s| = 0

Por linealidad, tambien es cierto para la clase de cualquier funcion depaso

p =

n∑

k=1

ck 1[ak,bk].

Como las funciones de paso son densas en L1(R), dada una f ∈ L1(R)y un ε > 0, existe una funcion de paso pε tal que ‖f −pε‖1 < ε. Luego

|f(s)| ≤ |pε(s)|+ |f(s)− pε(s)| ≤ |pε(s)|+ε y lim|s|→∞

|f(s)| ≤ ε ♦

Consecuencias 5.4.3

1. Si f ∈ L1(R) es una funcion (im)par, f tambien es una funcion (im)par:

±f = f T ⇒ ±f = f T

2. ∀f ∈ L1(R) se cumple que ˆf = f T :

ˆf(s) =

∫

R

Fsf dm =

∫

R

Fs · fdm =

∫

R

F−s · fdm = f(−s)

3. Si f ∈ L1(R) es real, f es hermıtica:

f = f ⇒ f(s) = f(−s)

4. Si f ∈ L1(R) es real y par, =(f) = 0:

f = f

f = f T⇒

f = f Tf = f T

⇒ f − ¯f = 0 ⇒ =(f) = 0

5. Si f ∈ L1(R) es real e impar, <(f) = 0:

f = f

−f = f T⇒

f = f T−f = f T

⇒ f+¯f = 0 ⇒ <(f) = 0

Lema 5.4.4

Existe una constante K ∈ R+ tal que

sup0<a0

∣∣∣∣

∫ b

0

sen (s)

sds

∣∣∣∣< k

sera claro que la constante K = 2k cumple la condicion exigida. Basta

observar la grafica de la funcionsen (s)

spara concluir que

supb>0

∣∣∣∣

∫ b

0

sen (s)

sds

∣∣∣∣<

∫ π

0

sen (s)

sds < 1.852

Por tanto, K = 4 cumple la condicion del lema. ♦

Lema 5.4.5

Si f ∈ L1(R) es tal que <(f) = 0, se cumple que

sup0<a<b

∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(s)

sds

∣∣∣∣∣<∞

Demostracion:

Nos dicen que

f(s)

s= −i

∫

R

sen (st)

sf(t) dt.

El teorema de Fubini asegura que

∫ b

a

f(s)

s= −i

∫

R

(∫ b

a

sen (st)

sds

)

f(t) dt

y, por tanto,

∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(s)

s

∣∣∣∣∣≤∫

R

∣∣∣∣

∫ b

a

sen (st)

sds

∣∣∣∣|f(t)| dt =

∫

R

∣∣∣∣

∫ bt

at

sen (x)

xdx

∣∣∣∣|f(t)| dt

El lema 5.4.4 nos permite concluir que

sup0<a<b

∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(s)

sds

∣∣∣∣∣≤ 4‖f‖1 <∞ ♦

Una funcion f : R → C que cumple lim|s|→∞

f(s) = 0, se dice nula en el

infinito. Denotaremos C0(R) al espacio vectorial complejo de todas lasfunciones f : R → C continuas y nulas en el infinito. Toda funcion de C0(R)es, automaticamente, uniformemente continua y, por tanto, las propiedades

5.4.2 tienen el mismo alcance si en el apartado 9 probamos solo la con-tinuidad en vez de la continuidad uniforme. Si consideramos (C0(R), ‖ ‖∞),

podemos resumir lo mas importante de lo dicho hasta ahora, en el siguiente

Teorema 5.4.6

La transformacion de Fourier es un operador lineal y continuo de norma

unidad del espacio de Banach (L1(R), ‖ ‖1) en el espacio de Banach (C0(R), ‖ ‖∞).

Demostracion:

En las propiedades 5.4.2 esta probado que el operador

F : L1(R) → C0(R)

f 7→ f

esta bien definido, es lineal, es continuo y ‖F‖ ≤ 1. Ademas, en 5.4.2.10vemos que si f = 1[0,1], se tiene ‖f‖1 = 1 y ‖f‖∞ = 1. Luego, ‖F‖ = 1. ♦

Teorema 5.4.7

La transformacion de Fourier F : L1(R) → C0(R) es un operador inyectivopero no es suprayectivo.

Demostracion:

Para la inyectividad basta probar que

f ∈ L1(R)

f = o⇒ f = o.

Si f ∈ f es una funcion positiva, la medida

µ: B → R+

B 7→∫

B f dm

esta en F(B) y cumple

µ(s) =

∫

R

Fs · f dm = f(s) = o ∀s ∈ R

Esto asegura que µ = 0. Por tanto, f = 0 a.e.(m) y f = o.

Si f es una funcion real, descomponiendola en la forma habitual f = f+−f−deducimos que

F (f+) = F (f−)

Razonando como antes deducimos que f+ = f− a.e.(m). Luego f = o.

Si f es compleja, razonando como antes deducimos que

<(f) = 0 a.e(m)

=(f) = 0 a.e(m)luego f = o.

Para ver que no es suprayectivo consideramos la funcion

h: R → C

s 7→

i s si |s| ≤ e

ie

log(s)si s ≥ e

−i e

log(−s) si s ≤ −e

que es continua, nula en el infinito y su parte real es nula. Si fuera latransformada de Fourier de alguna f ∈ L1(R), segun el lema 5.4.5 deberıa

cumplir que

sup0<e<b

∣∣∣∣

∫ b

e

h(s)

sds

∣∣∣∣<∞

Sin embargo, es claro que no lo cumple:

∣∣∣∣

∫ b

e

h(s)

sds

∣∣∣∣= e

∫ b

e

ds

s log(s)= e log(log(b)) y lim

b→∞e log(log(b)) = ∞ ♦

Observaciones 5.4.8

1. En la seccion 5.2 hemos visto que las campanas de Gauss gbv se com-portan bien en la transformacion F :

gbv(s) = e−ibs · e−vs2

2

En particular, para b = 0, v = 1:

g01(s) = e−s2

2 =√

2πg01

De aquı se deduce:

(a) El subespacio [g] es invariante por F , es decir, F ([g]) = [g].

(b) g es ejemplo de vector con ‖g‖1 = 1 tal que ‖F (g)‖∞ = 1.

(c) g es un ejemplo de vector de L1(R) con F (g) ∈ L1(R).


2. Presentaremos una f ∈ L1(R) tal que F (f) /∈ L1(R):

En 5.4.2.10 hemos visto que si f = 1[−1,1],

f(s) = 2sen (s)

s∀s ∈ R

Probemos que f /∈ L1(R): Observando la grafica de la funcion seno es

inmediato ver que

sen (s)

s≥ 2

π∀s ∈

[

0,π

2

]

y, por tanto,

sen (s)

s≥ 2

π− 4k

s∀s ∈

[

2kπ, 2kπ+π

2

]

:= Ik, ∀k = 0, 1, 2, · · ·

Evidentemente,

∫

Ik

∣∣∣∣

sen (s)

s

∣∣∣∣ds ≥

∫

Ik

(2

π− 4k

s

)

ds = 1 − 4k

∫

Ik

ds

s≥

≥ 1− 4k|Ik|1

2kπ + π2

=1

4k + 1

y, en consecuencia,

∫

R

∣∣∣f(s)

∣∣∣ds =

∫

R

∣∣∣∣

sen (s)

s

∣∣∣∣ds ≥

∞∑

k=0

1

4k + 1= ∞

por lo que f /∈ L1(R).

3. Para las gaussianas g0v tenemos:

g0v(s) = e−vs2

2 =

√

2π

vg0v−1

y, por tanto, dos cosas se pueden comprobar facilmente:

(a) La funcion hv = 1√2πv

g0v−1 cumple que hv = g0v

(b) Las gaussianas g0v cumplen la formula de inversion:

g0v(t) =1

2π

∫

R

eitsg0v(s) ds

5.5 La F-transformada en el algebra (L1(R), ?).

El espacio de Banach (C0(R), ‖ ‖∞) dotado del producto puntual de fun-

ciones es un algebra de Banach conmutativa sin unidad. Intentaremos definiruna operacion interna en L1(R) de modo que con ella, el espacio de Banach

(L1(R), ‖ ‖1) sea, tambien, un algebra de Banach conmutativa sin unidadpara poder ver al operador F : L1(R) → C0(R) como un homomorfismo de

algebras. Las pautas se han dado al estudiar la F -transformada de medidasfinitas y la herramienta esencial para conseguirlo es el teorema de Fubini delque ahora nos interesan dos corolarios.

Corolario 5.5.1

Si f, g ∈ L1(R) y definimos

h: R2 → C

(t, s) 7→ f T−s(t) · g(s)

resulta que h ∈ L1(R2).

Demostracion:

Consideramos la funcion

ϕ(t) =

∫

R

|h(t, s)|ds =

∫

R

|f | T−s(t)|g(s)|ds.

Comprobamos que ϕ ∈ L1(R):

∫

R

|ϕ(t)|dt =

∫

R

(∫

R

|f | T−s(t)|g(s)|ds)

dt =

=

∫

R

|g(s)|(∫

R

|f | T−s(t)dt)

ds =

∫

R

|g(s)|‖f‖1ds = ‖f‖1 ‖g‖1 <∞.

El apartado 3 del teorema 1.2.30 concluye que h ∈ L1(R2). ♦

Corolario 5.5.2

Si f, g ∈ L1(R) existe un E ⊂ R, con m(Ec) = 0, tal que la funcion

f ? g: E → C

t 7→∫

R

f T−s(t) · g(s)ds

esta bien definida y cumple que f ? g ∈ L1(E).

Demostracion:

Como en el corolario 5.5.1, consideramos la funcion

5.5. LA F -TRANSFORMADA EN EL ALGEBRA (L1(R), ?). 185

h: R2 → C

(t, s) 7→ f T−s(t) · g(s)

Por ser h ∈ L1(R2), el apartado 3(a) del teorema 1.2.30 asegura la existencia

de un E ⊂ R, con m(Ec) = 0, tal que h(t, ·) ∈ L1(R) ∀t ∈ E. Nuestra f ?ges, precisamente, la aplicacion Φ considerada allı, por lo que f ? g esta bien

definida y cumple que f ? g ∈ L1(E). ♦

Definicion 5.5.3

En el espacio de Banach (L1(R), ‖ ‖1) definimos la operacion interna con-

volucion

?: L1(R)× L1(R) → L1(R)

(f , g) 7→ f ? g

de la siguiente manera: Si f1 y g1 son representantes de f y g, en cierto

E1 ⊂ R, con m(Ec1) = 0, esta bien definida la funcion f1 ? g1 : E1 → C. Por

ser un elemento de L1(E1), f1 ? g1 es representante de una clase en L1(R)

que es a la que denotamos f ? g.

Esta definicion es consistente pues, si f2 y g2 son otros representantes de f

y g, en cierto E2 ⊂ R, con m(Ec2) = 0, tendremos bien definida la funcion

f2 ?g2 : E2 → C. Si F ⊂ R, con m(F c) = 0, es un conjunto donde f1 = f2, y

si G ⊂ R, con m(Gc) = 0, es un conjunto donde g1 = g2, es claro que E :=E1∩E2∩F ∩G, que cumple m(Ec) ≤ m(Ec

1)+m(Ec2)+m(F c)+m(Gc) = 0,

es un conjunto en el que f1 ? g1 = f2 ? g2. Por tanto, f ?g esta bien definida.

Teorema 5.5.4

El espacio de Banach (L1(R), ‖ ‖1) dotado de la convolucion ? es un algebrade Banach conmutativa. Recordando la definicion de algebra de Banachconmutativa debemos probar:

1. f ? g = g ? f

2. (f ? g) ? h = f ? (g ? h)

3. f ? (g + h) = f ? g + f ? h

4. c · (f ? g) = c · f ? g

5. ‖f ? g‖1 ≤ ‖f‖1 · ‖g‖1

Demostracion:

1. f ? g(t) =

∫

R

f Tt T · g dm =

∫

R

(f Tt T · g) T T−t dm =

=

∫

R

f · g T T−t dm =

∫

R

g Tt T · f dm = g ? f(t)


2. f?(g?h)(t) =

∫

R

f(t−s)·(g?h)(s) ds =

∫

R

(∫

R

f(t− s)g(s− r)h(r) dr

)

ds =

=

∫

R

(∫

R

f(t− s)g(s− r) ds

)

h(r) dr =

∫

R

(∫

R

(f Tt T ) · (g T−r) dm)

h(r) dr =

=

∫

R

(∫

R

(f Tt T Tr) · g dm)

h(r) dr =

∫

R

(∫

R

f(t− r − s) · g(s) ds)

h(r) dr =

=

∫

R

(f ? g)(t− r)h(r) dr = (f ? g) ? h(t)

3. Inmediato.

4. Inmediato.

5. ‖f?g‖1 =

∫

R

|f?g(t)|dt =

∫

R

∣∣∣∣

∫

R

f(t− s) · g(s)ds∣∣∣∣dt ≤

∫

R

(∫

R

|f(t− s)| · |g(s)|ds)

dt =

=

∫

R

(∫

R

|f(t− s)| dt)

|g(s)|ds =

∫

R

(∫

R

|f T−s|dm)

|g(s)|ds = ‖f‖1‖g‖1.

♦

Teorema 5.5.5

La transformacion de Fourier

F : L1(R) → C0(R)

f 7→ f

es un homomorfismo entre algebras de Banach.

Demostracion:

En las propiedades 5.4.2 hemos probado el caracter de operador lineal ycontinuo entre espacios de Banach de F . Solo resta comprobar, por tanto,que F (f ? g) = f · g :

F (f ?g)(s) =

∫

R

e−ist(f ?g)(t) dt =

∫

R

e−is(t−r+r)(∫

R

f(t− r)g(r) dr

)

dt =

=

∫

R

(∫

R

e−is(t−r)f(t− r) dt

)

e−isrg(r) dr =

∫

R

(∫

R

(Fs · f) T−r dm)

e−isrg(r) dr =

= f(s)

∫

R

e−isrg(r) dr = f(s) · g(s). ♦

Observaciones 5.5.6

1. Claramente, el algebra de Banach (C0(R), ·) no es unitaria porque la

unica unidad posible serıa la funcion constante 1 y esta no se anula enel infinito.

2. El algebra (L1(R), ?) tampoco es unitaria porque, si lo fuera, existirıau ∈ L1(R) tal que

f ? u = f ∀f ∈ L1(R) y, por tanto, f · u = f ∀f ∈ L1(R)

5.5. LA F -TRANSFORMADA EN EL ALGEBRA (L1(R), ?). 187

En, particular, si g es la gaussiana standart, g · u = g y, como g(s) 6=0 ∀s ∈ R, deberıa suceder que u(s) = 1 ∀s ∈ R. Pero esto esimposible de acuerdo con la propiedad 5.4.2.10

3. Sin embargo, las gaussianas gv cumplen que

limv→0

‖gv ? f − f‖1 = 0 ∀f ∈ L1(R)

y por eso decimos que el algebra (L1(R), ?) tiene aproximaciones de launidad.

Explotaremos el teorema 5.5.5 para obtener nuevas propiedades del operador

F : L1(R) → C0(R)

Teorema 5.5.7

F (L1(R)) es denso en (C0(R), ‖ ‖∞)

Demostracion

Aplicando el corolario 1.1.13 al caso en que K es la compactificacion de

Alexandroff de R y x0 = ∞, deducimos que un algebra contenida en C0(R)que separa los puntos de R y tiene conjugados, es densa en (C0(R), ‖ ‖∞).

Por ser F un homomorfismo, F (L1(R)) es un algebra contenida en C0(R).Tambien es claro que F (L1(R)) tiene conjugados. Si probamos que F (L1(R))

separa los puntos de R, habremos concluido:En L1(R) esta la gaussiana g11 y en F (L1(R)) su transformada de Fourier

g11(s) = e−is−s2

2 . Es facil ver que s1 6= s2 ⇒ e−is1−s212 6= e−is2−

s222 . Luego

F (L1(R)) separa los puntos de R. ♦

Lema 5.5.8

Sean gv y hv las funciones consideradas en 5.4.8.3. Si f ∈ L1(R),

gv ? f(t) =

∫

R

hv(r)eitrf(r) dr ∀v ∈ R+

Demostracion:

gv?f(t) =

∫

R

f(t−s)gv(s) ds =

∫

R

f(t−s)hv(s) ds =

∫

R

f(t−s)(∫

R

e−isr · hv(r) dr)

ds =

=

∫

R

hv(r)

(∫

R

e−isr · f(t− s) ds

)

dr =

∫

R

hv(r)

(∫

R

ei(t−s)r · e−itr · f(t− s) ds

)

dr =

=

∫

R

hv(r)e−itr

(∫

R

ei(t−s)r · f(t− s) ds

)

dr =

∫

R

hv(r)e−itrf(−r) dr =

∫

R

hv(r)eitrf(r) dr ♦


Teorema 5.5.9 Formula de inversion

Si f ∈ L1(R) y f ∈ L1(R), existe E ∈ M con m(Ec) = 0 y existe f ∈ f talesque

f(t) =1

2π

∫

R

eits f(s) ds, ∀t ∈ E

Demostracion:

Consideremos la funcion

f0(t) =1

2π

∫

R

eits f(s) ds, ∀t ∈ R

Por el lema 5.5.8 sabemos que

g 1n? f(t) =

∫

R

h 1n(r)eitrf(r) dr ∀n ∈ N

La sucesion de funciones medibles (h 1n· F−t · f) converge puntualmente a la

funcion1

2πF−t · f y esta dominada por esta misma funcion integrable. El

teorema de la convergencia dominada asegura que

limn→∞

g 1n? f(t) = f0(t) ∀t ∈ R

y, por la observacion 5.5.6.3

limn→∞

‖g 1n? f − f‖1 = 0.

Por 5.4.1 existe E ∈ M con m(Ec) = 0 y existe f ∈ f tales que

f(t) = f0(t) ∀t ∈ E ♦

Comentarios 5.5.10

1. Esta formula de inversion es la misma que la que hemos obtenido paralas gaussianas gv en la observacion 5.4.8.3.

2. La inyectividad de F : L1(R) → C0(R) puede obtenerse como corolario

del teorema 5.5.9:Si f = 0 es claro que f ∈ L1(R). Por tanto, f tiene un representante

f = 0 a.e.(m).

3. Si f , f1 y f2 estan en L1(R) tenemos: f = f1 ? f2 ⇔ f = f1 · f2.En efecto:

⇒ Esta probado en el teorema 5.5.5.

⇐ Consideramos h = f1 ? f2. Nos dicen que h = f1 · f2 = f , luego

f = h.

5.6. LA L-TRANSFORMADA EN EL ESPACIO L1(R+). 189

En particular, tenemos la siguiente formula para las gaussianas

gb1,v1 ? gb2,v2 = gb1+b2,v1+v2 ,

pues sus transformadas cumplen

(

e−isb1−s2v1

2

)(

e−isb2−s2v2

2

)

= e−is(b1+b2)− s2(v1+v2)2

4. Si f, g son sendos representantes de f , g ∈ L1(R), podemos resolver la

ecuacion integral

u(x) = f(x) +

∫

R

u(λ)g(x− λ)dλ

transformando cada miembro de la ecuacion, despejando y aplicando

el teorema de inversion:

F (u) = F (f) + F (u) · F (g) ⇒ F (u) =F (f)

1− F (g),

u(x) =1

2π

∫

R

F (f)(y)

1 −F (g)(y)eixydy ♦

5.6 La L-transformada en el espacio L1(R+).

Dada una f : R+ → C medible , definimos su transformada de Laplace como

la funcion de la variable compleja z = x+ iy, dada por la integral

L(f)(z) =

∫

R+

f(t)e−ztdt.

Estara bien definida cuando∫

R+

|f(t)e−zt|dt =

∫

R+

|f(t)|e−xtdt <∞.

El numero real x0 = infx ∈ R | f(t)e−xt ∈ L1(R+) se llama abcisa de

sumabilidad de f y se cumple el siguiente

Teorema 5.6.1

Si f : R+ → C es medible y tiene abcisa de sumabilidad x0 la transformada

de Laplace esta bien definida y es holomorfa en el semiplano

L(f) : <(z) > x0 → C

Demostracion:

Si z = x+ iy tenemos que

|L(f)(z)| ≤∫

R+

|f(t)|e−xtdt ≤∫

R+

|f(t)|e−x0tdt < +∞ en <(z) > x0

Ademas, ∀m ∈ N, la abcisa de sumabilidad de la funcion

Pmf : R+ → C

t 7→ tmf(t)

tambien es x0 y, como

|tmf(t)e−xt| ≤ tm|f(t)|e−x0t

y la mayorante es integrable, podemos derivar bajo el signo integral

dL(f)m

dzm(z) = (−1)m

∫

R+

tmf(t)e−ztdt = (−1)mL(Pmf)(z) ♦

Ejemplos 5.6.2

1. La funcion de HeavesideH = 1[0,∞) tiene abcisa de sumabilidad x0 = 0y su L-transformada es

L(H): <(z) > 0 → C

z 7→ 1z

2. La funcion P− 12

que lleva t 7→ t−12 tiene abcisa de sumabilidad x0 = 0

y su L-transformada es

L(P− 12): <(z) > 0 → C

z 7→√

πz

En efecto, L(P− 12)(z) =

∫∞0 t−

12 e−ztdt y con el cambio

√t = u y

dt = 2udu tenemos

L(P− 12)(z) =

∫ ∞

0

2e−zu2du =

∫

R

e−zu2du =

√π

z.

3. Para p ≥ 0 y a ≥ 0 la funcion PpL−a que lleva t 7→ tpeat tiene abcisa

de sumabilidad x0 = a y su L-transformada es

L(PpL−a): <(z) > a → C

z 7→ Γ(p+ 1)

(z − a)p+1

Observacion 5.6.3

Si f : R+ → C es medible con abcisa de sumabilidad x0 y f es su extension

f : R → C

t 7→

0 si t < 0

f(t) si t ≥ 0

para <(z) = x > x0 existen las integrales

∫

R+

f(t)e−ztdt =

∫

R

f (t)e−xte−iyt

La primera es la transformada de Laplace L(f) : <(z) > x0 → C, la segundaes la transformada de Fourier F (f ·Lx) : R → C siendo Lx nuestra conocida

funcion t 7→ e−xt.La transformada de Laplace aparece, ası, como una transformada de Fourier

y, por tanto, podemos deducir algunas de sus propiedades a partir de las yaconocidas de la transformada de Fourier.

Propiedades 5.6.4

Sean f, g : R+ → C medibles con abcisas de sumabilidad xf y xg.

1. Linealidad:

∀λ, µ ∈ C tenemos que λf +µg es medible y su abcisa de sumabilidades x0 = maxxf , xg. En <(z) > x0 se cumple que

L(λf + µg) = λL(f) + µL(g)

2. Inyectividad:

Si L(f) = L(g) en <(z) > x0, se cumple que f = g a.e.(m) en R+

3. Conjugacion:La conjugada f : R+ → C tambien tiene abcisa de sumabilidad xf .De acuerdo con 5.4.3,2 y la observacion 5.6.3. se deduce que

L(f)(z) = L(f)(z)

4. Comportamiento en ∞:

De acuerdo con el lema 5.4.2,10 y la observacion 5.6.3 se cumple que

lim|z|→+∞

L(f)(z) = 0

5. Dilatacion:

Dado a > 0 podemos componer f con la dilatacion Da : R+ → R

+,

f Da: R+ → C

t 7→ f(at)

y, como ∫ ∞

0f(at)e−ztdt =

1

a

∫ ∞

0f(s)e−

zasds

es claro que la abcisa de sumabilidad de f Da esxf

a y

L(f Da) =1

aL(f) D 1

a

6. Traslacion:Dado a > 0 podemos componer f con la traslacion Ta : R+ → R+,

f Ta: R+ → C

t 7→ f(t+ a)

y, mediante el cambio t+ a = s vemos que

∫ ∞

0

f(t+ a)e−ztdt = eaz∫ ∞

a

f(s)e−zsds

Por tanto,

L(f Ta)(z) = eaz(

L(f)(z) −∫ a

0f(s)e−zsds

)

7. Retardo:

Dado a > 0 podemos componer la extension

f : R → C

t 7→

0 si t < 0

f(t) si t ≥ 0

con la traslacion T−a y obtener la funcion:

f T−a: R → C

t 7→

0 si t < a

f(t− a) si t ≥ a.

A la restriccion de f T−a en R+ la designamos

f • T−a: R+ → C

t 7→

0 si t < a

f(t− a) si t ≥ a

y, como

∫ ∞

0f • T−a(t)e−ztdt =

∫ ∞

af(t− a)e−ztdt =

∫ ∞

0f(s)e−(z+a)sds,

la abcisa de sumabilidad de f • T−a es xf + a y

L(f • T−a) = La · L(f)

8. Derivacion:Si existe L(f ′), integrando por partes tenemos

∫ ∞

0

f ′(t)e−ztdt = f(t)e−zt∣∣∣

∞

0+ z

∫ ∞

0

f(t)e−ztdt

luego,

L(f ′)(z) = −f(0) + zL(f)(z)

Para las sucesivas derivadas, iterando el razonamiento obtenemos

L(f (n)(z) = −f (n−1(0)− · · · − zn−1f(0) + znL(f)(z).

9. Valor inicial:

Si existe L(f ′), por 4. tenemos que lim|z|→+∞

L(f ′)(z) = 0 y, por 7.

lim|z|→+∞

zL(f)(z) = f(0)

10. Valor final:Si existe L(f ′) en <(z) > 0, el teorema 1.2.17 asegura que

lim|z|→0

(∫ ∞

0e−ztf ′(t)dt

)

=

∫ ∞

0f ′(t)dt = lim

t→+∞f(f)− f(0).

Ası,

lim|z|→0

L(f ′)(z) = lim|z|→0

zL(f)(z)− f(0) = limt→+∞

f(f) − f(0)

y, por tanto,

lim|z|→0

zL(f)(z) = limt→+∞

f(t)

11. Integracion:

La primitiva de f ,

F : R+ → C

t 7→∫ t0 f(s)ds


es medible, tiene abcisa de sumabilidad xf y cumple que F ′ = f y

F (0) = 0. Por 6., L(F ′)(z) = zL(F )(z), luego

L(F )(z) =L(f)(z)

z

12. Convolucion:

La funcion

f ? g : R+ → C

t 7→∫ t0 f(s)g(t− s)ds

es medible y tiene abcisa de sumabilidad x0 = maxxf , xg. Ademas,

L(f ? g) = L(f) · L(g).

En efecto:Para funciones f, g : R+ → R+ estamos en el caso de la L-transformada

de la convolucion de medidas finitas ya visto en 5.3,5.Para funciones f, g : R+ → R, se deduce de la linealidad de L y del

parrafo anterior:

L(f ? g) = L(f+ ? g+ − f+ ? g− − f− ? g+ + f− ? g−) =

= L(f+) · L(g+) −L(f+) · L(g−) −L(f−) · L(g+) + L(f−) · L(g−) =

= (L(f+) −L(f−)) · (L(g+)− L(g−)) = L(f) · L(g)

Para funciones f, g : R+ → C, se procede de forma analoga, descom-

poniendo las funciones f y g en sus partes real e imaginaria.

Recogemos en la siguiente tabla algunas de las reglas vistas hasta ahora:


Tabla de L-transformadas

f L(f)

11

z

t1

z2

tnn!

zn+1

eat1

z − a

tkeatk!

(z − a)k+1

teit1

(z − i)2

te−it1

(z + i)2

tsin(t)2z

(1 + z2)2

ebt sen ata

(z − b)2 + a2

ebt cos atz

(z − b)2 + a2

f ′ −f(0) + zL(f)(z)

f ′′ −f ′(0)− zf(0) + z2L(f)(z)

∫ t0 f(s)ds

L(f)(z)

z

f ? g L(f) · L(g)

Ejercicio 5.6.5

Determinar la funcion f(x) que satisface la ecuacion:

f(x) = e−x +

∫ x

0e−(x−t) sen (x− t)f(t)dt

Solucion:

Si designamos g(x) = e−x senx podemos escribir la ecuacion en la forma

f(x) = e−x + f ? g(x)

y transformandola usando el teorema de convolucion, resulta

L(f)(z) =1

z + 1+ L(f)(z) · L(g)(z) luego L(f)(z) =

1

z + 11 −L(g)(z)

Por tanto,

L(f)(z) =(z + 1)2 + 1

(z + 1)3=

1

z + 1+

1

(z + 1)3

Por la linealidad y la inyectividad de la L-transformada, la tabla tambiennos sirve para hallar las antitransformadas de combinaciones lineales defunciones de la ultima columna. Ası,

f(x) = e−x +x2e−x

2

Tambien nos da esta respuesta la orden de Sage L(f)(z).inverse laplace(z, x)

Para finalizar, veremos que el teorema 5.5.9 y la observacion 5.6.3 nos danun metodo directo de hallar L-antitransformadas:

Teorema 5.6.6

Sea V el semiplano abierto <(z) > x0 y sea G : V → C una funcion holo-

morfa tal que lim|z|→∞

G(z) = 0. Fijado cualquier x > x0 se tiene que

g : R → C

t 7→ G(x+ it)

esta en L1(R) y, si B es la recta paralela al eje imaginario con abcisa x,

h : R+ → C

t 7→ 12πi

∫

B G(z)eztdz

es tal que L(h) = G.

Demostracion:

La primera afirmacion es inmediata. Para la segunda, parametrizando la

recta B en la forma

B : R → C ,

s 7→ x+ is

tenemos

Lx(t) ·1

2πi

∫

B

G(z)eztdz =1

2π

∫

R

g(s)eistds

y, por 5.5.8

F(

Lx(t) ·1

2πi

∫

BG(z)eztdz

)

= g(t)

y, por 5.6.3L(h)(z) = g(t) = G(z)

Ejemplo 5.6.7

Para n > 1 la funcion

G C \ 0 → C ,z 7→ 1

zn

es holomorfa y lim|z|→∞

G(z) = 0. Ademas, fijado x > 0, la funcion

g : R → C

t 7→ 1(x+it)n

esta en L1(R) porque∫

R

|g(t)|dt ≤ 2

∫ ∞

0

dt

tn<∞.

Segun 5.6.6 para hallar la L-antitransformada de G(z) debemos evaluar

1

2πi

∫

B

ezt

zndz para t > 0

siendo B la recta paralela al eje imaginario de abcisa x. Siendo R > x, si

recorremos el contorno BR ∪CR en sentido contrario a las agujas del reloj ,

O x

√R2 − x2

−√R2 − x2

CR

BR

encerramos a z = 0, unico polo de la funcion ezt

zn y, usando 4.6.15,

1

2πi

∫

BR

ezt

zndz +

1

2πi

∫

CR

ezt

zndz = Res(

ezt

zn; 0)

Si R→ ∞ la primera integral tiende a la que debemos evaluar mientras quela seguda tiende a 0 y, ası,

1

2πi

∫

B

ezt

zndz = Res(

ezt

zn; 0) =

tn−1

(n− 1)!

puesto que

ezt = 1 +zt

1!+ · · ·+ zn−1tn−1

(n− 1)!+ · · ·


5.7 Aplicaciones de las F-transformadas

Por 5.5.9, si f y F (f) ∈ L1(R), ∃E ⊂ R con m(Ec) = 0 tal que

f(x) =1

2π

∫

R

eiyx(∫

R

f(t)e−iytdt)

dy =1

2π

∫

R2

f(t)eiy(x−t)dtdy =

=1

2π

∫

R2

f(t)[cos y(x− t) + i sen y(x− t)]dtdy =

=1

2π

∫

R2

f(t) cos y(x− t)dtdy ∀x ∈ E

porque sen y(x− t) es una funcion impar en y. Entonces,

f(x) =1

π

∫

R+

(∫

R

f(t) cos y(x− t)dt

)

dy =

=

∫

R+

[(1

π

∫

R

f(t) cos ytdt

)

cos yx+

(1

π

∫

R

f(t) sen ytdt

)

sen yx

]

dy ∀x ∈ E.

Es decir,

f(x) =

∫

R+

[A(y) cosyx+ B(y) sen yx] dy ∀x ∈ E

siendo

A(y) =

(1

π

∫

Rf(t) cosytdt

)

B(y) =

(1

π

∫

Rf(t) sen ytdt

)

Con esta nueva formulacion, el teorema 5.5.9 se puede utilizar para resolver

ecuaciones de la fısica matematica como se indica en los siguientes ejemplos:

Ejemplo 5.7.1

Una barra delgada semi-infinita [0,∞), cuya superficie esta aislada tieneuna temperatura inicial dada por f : [0,∞) → R. En un instante t = 0

se somete su extremo a una temperatura de 0 grados y se mantiene asıindefinidamente. Hallar la temperatura u(x, t) del punto x en el instante t.

Solucion:

Si κ es la conductividad termica de la barra, la fısica nos dice que

∂u

∂t= κ

∂2u

∂x2∀x > 0, t > 0.

En este caso, ademas, se debe cumplir que u(x, 0) = f(x) y u(0, t) = 0.Una solucion en variables separadas u(x, t) = T (t)X(x) de la ecuacion delcalor debe cumplir que

1

κ

T ′(t)T (t)

=X ′′(x)X(x)

5.7. APLICACIONES DE LAS F -TRANSFORMADAS 199

y, en consecuencia, ambos miembros deben ser iguales a una constante nega-

tiva, digamos −λ2. Ası, una candidata a solucion sera

uλ(x, t) = Tλ(t)Xλ(x) = e−κλ2t (A(λ) cos(λx) + B(λ) sen (λx))

con A(λ) y B(λ) constantes arbitrarias. Pero si uλ(0, t) = 0 ∀t > 0 esnecesario que A(λ) = 0 y nuestra candidata sera

uλ(x, t) = e−κλ2tB(λ) sen (λx).

Pero, evidentemente, la suma de soluciones

n∑

i=1

uλitambien sera solucion y,

por extension, tambien sera solucion

u(x, t) =

∫

R+

e−κλ2tB(λ) sen (λx))dλ

Imponiendo que u(x, 0) = f(x), resulta que

f(x) =

∫

R+

B(λ) sen (λx))dλ

y, segun la formulacion del teorema 5.5.9 dada en la pag. 198 deducimos

que f debe ser una funcion impar y cumplirse que

B(λ) =1

π

∫

R

f(v) sen (λv)dv =2

π

∫

R+

f(v) sen (λv)dv

Ası, podemos proponer como solucion de la ecuacion en derivadas y lascondiciones en los bordes:

u(x, t) =2

π

∫

R+×R+

f(v)e−κλ2t sen (λv) sen (λx)dvdλ ♦

Ejemplo 5.7.2

Una placa aislada semi-infinita R × R+ tiene su borde (x, 0) a temperatura

f(x). Calcular su temperatura u(x, y) en condiciones estacionarias.

Solucion:

Si κ es la conductividad termica de la placa, la fısica nos dice que

∂u

∂t= κ

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)

y, por tanto, cuando la temperatura no varie con el tiempo, u(x, y) debesatisfacer la ecuacion de Laplace

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 ∀(x, y) ∈ R × R

+.


Ademas, debe satisfacer la condicion de frontera, u(x, 0) = f(x) ∀x ∈ R.

Una solucion en variables separadas u(x, y) = X(x)Y (y) debe cumplir que

X ′′(x)X(x)

= −Y′′(y)Y (y)



uλ(x, y) = Xλ(x)Yλ(y) = (A(λ) cos(λx) +B(λ) sen (λx))(

C(λ)eλy +D(λ)e−λy)

con A(λ), B(λ), C(λ) y D(λ) constantes, en principio, arbitrarias. Pero,

como uλ(x, y) debe ser acotada cuando y → ∞ debemos exigir que C(λ) = 0.Ası, nos sirven las soluciones

uλ(x, y) = e−λy (A(λ) cos(λx) +B(λ) sen (λx))

o, como en 5.7.1, la suma de todas ellas

(?) u(x, y) =

∫

R+

e−λy (A(λ) cos(λx) +B(λ) sen (λx))dλ.

De la condicion de frontera u(x, 0) = f(x) y de la nueva formulacion delteorema 5.5.9 deducimos que

f(x) =

∫

R+

(A(λ) cos(λx) +B(λ) sen (λx))dλ

y

A(λ) =

(1

π

∫

Rf(u) cosλudu

)

B(λ) =

(1

π

∫

Rf(u) senλudu

)

Sustituyendo en (?) proponemos la solucion

u(x, y) =1

π

∫

R+×R

e−λyf(u) cosλ(u− x)dudλ. ♦

Ejemplo 5.7.3

A una cuerda infinita que coincide con el eje x se le da una forma inicialf(x) y se suelta sin velocidad inicial en un instante t = 0. Determinar el

desplazamiento y(x, t) ∀(x, t) ∈ R × R+.

Solucion:

Si τ es la tension de la cuerda y µ es su masa por unidad de longitud, la

fısica nos dice que el desplazamiento debe cumplir la ecuacion

∂2y

∂t2=τ

µ

∂2y

∂x2∀(x, t) ∈ R × R

+

5.7. APLICACIONES DE LAS F -TRANSFORMADAS 201

y, en nuestro caso, se deben cumplir las condiciones iniciales

y(x, 0) = f(x) y∂y

∂t(x, 0) = 0 ∀x ∈ R.

Designando a2 = τµ , una solucion en variables separadas y(x, t) = T (t)X(x)

debe cumplirT ′′(t)T (t)

= a2X′′(x)

X(x)



yλ(x, t) = Tλ(t)Xλ(x) = (A(λ) cos(λx) + B(λ) sen (λx)) (C(λ)cos(λt) +D(λ) sen (λt))

con A(λ), B(λ), C(λ) y D(λ) constantes, en principio, arbitrarias. Pero,como ∂yλ

∂t (x, 0) = 0, debemos exigir que D(λ) = 0. Ası, nos sirven las

soluciones

yλ(x, t) = (A(λ) cos(λx) +B(λ) sen (λx)) cos(λat)

y, tambien, su suma generalizada

(??) y(x, t) =

∫

R+

(A(λ) cos(λx) + B(λ) sen (λx)) cos(λat)dλ

De la condicion inicial y(x, 0) = f(x) y de la reformulacion de 5.5.9 obten-

emos

f(x) =

∫

R+

(A(λ) cos(λx) + B(λ) sen (λx))dλ

con

A(λ) =

(1

π

∫

Rf(u) cosλudu

)

B(λ) =

(1

π

∫

Rf(u) senλudu

)

Substituyendo en (??) tenemos

y(x, t) =1

π

∫

R+×R

f(u) cos(λat) cosλ(x− u)dudλ

y utilizando la identidad trigonometrica

cosα cosβ =1

2(cos(α+ β) + cos(α− β)) ,

y(x, t) =1

2π

∫

R+×R

f(u) cosλ(x+at−u)dudλ+1

2π

∫

R+×R

f(u) cosλ(x−at−u)dudλ

que es la famosa solucion de d’Alembert para la cuerda vibrante:

y(x, t) =f(x+ at) − f(x− at)

2♦


En las aplicaciones de la F -transformada tambien es habitual transformar

termino a termino una ecuacion en derivadas parciales, resolver la ecuaciondiferencial que aparece y obtener el resultado final calculando su antitrans-

formada mediante los teoremas 5.5.5 o 5.5.9.

Ejemplo 5.7.4

Determinar la temperatura de una barra delgada infinita y aislada, situadaen el eje x, sabiendo que su temperatura inicial es f(x).

Solucion:

La fısica y las condiciones iniciales nos dicen que debemos hallar una u(x, t)que cumpla

∂u

∂t= κ

∂2u

∂x2∀(x, t) ∈ R × R

+ y y(x, 0) = f(x) ∀x ∈ R.

Haciendo las transformadas de cada miembro de la ecuacion como funcionesde x tenemos:

F(∂u

∂t

)

(y) =

∫

R

∂u

∂te−iyxdx =

∂

∂t

∫

Rue−iyxdx =

∂

∂tF (u)(y)

y, por 5.4.2,3,

F(∂u

∂x

)

(y) = iyF (u)(y) y F(∂2u

∂x2

)

(y) = −y2F (u)(y).

La ecuacion transformada

∂

∂tF (u)(y) = −κy2F (u)(y)

puede ser interpretada como una ecuacion diferencial en t y,ası,

F (u)(y) = Ce−κy2 t.

En particular, para t = 0,

F (u(x, 0))(y) = F (f(x))(y) = C

y, por tanto,

F (u)(y) = F (f)(y)e−κy2t.

Ahora bien, en la pag. 172 obtuvimos que

F (γ0v)(y) = e−vy2

2

y, ası,F (u)(y) = F (f)(y) · F (γ0,2κt)(y).

El teorema de convolucion concluye que

u(x, t) =

∫

R

γ0,2κt(λ)f(x− λ)dλ =1√

4πκt

∫

R

e−λ2

4κt f(x− λ)dλ. ♦.

5.8. APLICACIONES DE LAS L-TRANSFORMADAS 203

5.8 Aplicaciones de las L-transformadas

Las L-transformadas se suelen usar para para transformar ecuaciones difer-enciales lineales con coeficientes constantes en ecuaciones algebraicas, ecua-

ciones diferenciales lineales con coeficientes variables en otras ecuacionesdiferenciales mas sencillas o ecuaciones en derivadas parciales en ecuaciones

diferenciales, resolver estas y obtener el resultado final calculando la anti-transformada, o resolver ecuaciones integrales haciendo uso del teorema deconvolucion. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 5.8.1

Resolver el problema de condicion inicial

y′′(t) + y(t) = cos(t), y(0) = 0, y′(0) = 1.

Solucion:

La ecuacion transformada es:

−1 + z2L(y)(z) + L(y)(z) =z

1 + z2y, por tanto, L(y)(z) =

1 + z + z2

(1 + z2)2

Descomponiendo en fracciones simples tenemos

L(y)(z) =1

1 + z2+

z

(1 + z2)2

Aplicando la tabla de la pag. 194 obtenemos la solucion

y(t) = sen (t) +1

2t sen (t) ♦

Ejemplo 5.8.2

Resolver el problema de condicion inicial:

y′′(t) + 2ty′(t) − 4y(t) = 1 con y(0) = y′(0) = 0

Solucion:

Por la linealidad y el teorema 3.13.1, la L-transformada de la ecuacion difer-encial,

y′′(t) + 2ty′(t)− 4y(t) = 1

es

L(y′′)(z)− 2dL(y′)dz

(z)− 4L(y)(z) = L(1)(z)

Al transformar 1 y las derivadas con y(0) = y′(0) = 0, obtenemos

z(z2 − 6)L(y)(z)− 2z2dL(y)

dz(z) = 1

que es una ecuacion diferencial lineal de primer orden cuya solucion, como

debemos saber o podemos ver mediante el siguiente programita de Sage,

var(’z’)

Ly = function (’Ly’, z)

ec = diff (Ly, z) == (z*(z^2-6)*Ly-1)/(2*z^2)

desolve(ec,Ly)

es

L(y)(z) = z−3

Su antitransformada la hallamos usando la tabla de la pag. 194 o la ordende Sage:

var(’C t’)

f(z)=C+z^(-3)

show(f(z).inverse_laplace(z,t))

y resulta ser

y(t) =t2

2.

Ejemplo 5.8.3

Resolver la ecuacion en derivadas parciales

∂u

∂t=∂2u

∂2xen 0 < x < π, t > 0

con las condiciones iniciales y de contorno

u(x, 0) = sen 2x∂u

∂x(0, t) =

∂u

∂x(π, t) = 0

Solucion:

Consideramos u(x, t) como una funcion de t donde x es un parametro. Sutransformada de Laplace L(u)(x, z) sera una funcion de z donde x es un

parametro.

La transformada de∂u

∂tsera la transformada de una derivada, luego

L(∂u

∂t

)

= zL(x, z)− u(x, 0) = zL(x, z)− sen 2x

Sin embargo, la transformada de∂u

∂xsera

∫ ∞

0

e−zt∂u

∂x(x, t)dt =

∂

∂x

∫ ∞

0

e−ztu(x, t)dt =∂L(u)

∂x(x, z)


e, igualmente, la de∂2u

∂2xsera

∂2L(u)

∂2x. Ası, la ecuacion transformada es

zL(u)(x, z)− sen 2x =∂2L(u)

∂2x(x, z)

Considerando la z como un parametro, hemos transformado el problemainicial en el siguiente problema de contorno:

L(u)′′(x, z)− zL(u)(x, z) = − sen 2x

L(u)′(0, z) = 0

L(u)′(π, z) = 0

La solucion general de la ecuacion homogenea es de la forma

Ae√zx +Be−

√zx

Como

sen 2x =

(eix − e−ix

2i

)2

=1

2− e2xi

4− e−2xi

4

buscamos una solucion particular de la ecuacion completa, de la forma

C +De2xi + Ee−2xi

Sustituyendo tenemos

−4De2xi − 4Ee−2xi − z(C +De2xi + Ee−2xi) = −1

2+e2xi

4+e−2xi

4

con lo que determinamos las constantes

C =1

2sD = −1

4

1

4 + sE = −1

4

1

4 + s

y la solucion particular1

2s− cos 2x

2(4 + s)

Ası, la solucion general de la ecuacion completa es

Ae√zx +Be−

√zx +

1

2z− cos 2x

2(4 + z)

Las condiciones de contorno imponen que A = B = 0 luego

L(u)(x, z) =1

2z− cos 2x

2(4 + z)

Solo queda hallar su antitransformada y para ello usamos la tabla de la pag.

194 o o la orden de Sage


var(’x t’)

f(z)=(1/(2*z))-(cos(2*x)/(2*(4+z)))


resultando ser

u(x, t) =1

2− cos 2x

2e−4t =

1 − e−4t cos 2x

2

Ejemplo 5.8.4

Resolver la ecuacion en derivadas parciales

∂2u

∂2x− 2

∂2u

∂x∂t+∂2u

∂2t= 0 en x ≥ 0, t ≥ 0

con las condiciones iniciales

u(x, 0) = 2x2

∂u

∂t(x, 0) = ex

Solucion:

Consideramos u(x, t) como funcion de t, con parametro x. Entonces, L(u)(x, z)

sera funcion de z con parametro x. Por tanto,

L(∂2u

∂2x

)

=∂2L(u)

∂2x

L(∂

∂t

(∂u

∂x

))

= z∂L(u)

∂x− 4x

L(∂2u

∂2t

)

= −ex − 2zx2 + z2L(u)

y la ecuacion transformada es

∂2L(u)

∂2x− 2

(

z∂L(u)

∂x− 4x

)

− ex − 2zx2 + z2L(u) = 0

Podems considerarla como una ecuacion diferencial lineal de segundo orden

de una funcion L(u) de x con parametro z:

L(u)′′(x)− 2zL(u)′(x) + z2L(u)(x) = −8x+ 2zx2 + ex

Como la solucion general de la ecuacion homogenea es nula basta con hallaruna solucion particular. Probamos una del tipo

A +Bx +Cx2 +Dex


Sustituyendo obtenemos las constantes y la solucion

A = − 4

z3, B = 0, C =

2

z, D =

1

(z − 1)2

L(u)(x, z) = − 4

z3+ 2x2 1

z+ ex

1

(z − 1)2

Solo queda hallar la antitransformada usando la tabla de la pag. 194 o laorden de Sage

var(’x t’)

f(z)=(1/(2*z))-(cos(2*x)/(2*(4+z)))


resultando ser

u(x, t) = −2t2 + 2x2 + ex t et = 2(x2 − t2) + tex+t

Capıtulo 6

Problemas de Sturm

Liouville

6.1 Espacios con producto escalar

En un espacio vectorial real X llamamos producto escalar a toda formabilineal, simetrica y definida positiva ( | ) : X × X → R. Todo producto

escalar satisface la desigualdad de Cauchy-Schwartz

(x|y)2 ≤ (x|x) · (y|y) ∀x, y ∈ X ya que

(λx + y|λx + y) = λ2(x|x) + 2λ(x|y)+ (y|y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ R.

La aplicacion

‖ ‖ : X → R

x 7→ (x|x)12

cumple trivialmente las propiedades de una norma y la desigualdad de

Cauchy-Schwartz asegura que tambien cumple la ley del paralelogramo:

‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 ∀x, y ∈ X

La desigualdad de Cauchy-Schwartz tambien asegura ∀x ∈ X , que el fun-

cional lineal

fx : X → R

y 7→ (x|y)

es acotado y cumple que ‖|fx‖| = sup |(x|y)|‖y‖ | y 6= 0 ≤ ‖x‖.

Teorema 6.1.1

Si en un espacio normado (X, ‖ ‖) se cumple la ley del paralelogramo, la

norma procede del producto escalar

209

210 CAPITULO 6. PROBLEMAS DE STURM LIOUVILLE

( | ) : X ×X → R

(x, y) 7→ ‖x + y‖2 − ‖x − y‖2

4

Demostracion:

Esta aplicacion ( | ) es, claramente, simetrica y definida positiva. Ademas,es rutinario comprobar que

(u + v|z) + (u− v|z) = 2(u|z)

Tomando u =x + y

2y v =

x − y

2vemos que (x|z) + (y|z) = (x + y|z),

luego (·|z) cumple la condicion de linealidad para la suma. Directamente dela definicion, vemos que tambien cumple la condicion de linealidad para el

producto por 1, 0 y -1. Tomando u = v, lo probamos para el producto por2 y, por induccion, para el producto por cualquier entero. De ahı, se prueba

inmediatamente para el producto por cualquier racional y, por continuidad,para el producto por cualquier real. Por tanto, ( | ) es bilineal. ♦

Si un espacio normado (X, ‖ ‖) cumple la ley del paralelogramo pero no

es completo, el teorema 6.1.1 permite definir en su completado la extensiondel producto escalar. Por ello, centramos nuestra atencion en los espaciosnormados completos cuya norma procede de un producto escalar, los espa-

cios de Hilbert.

Comentarios 6.1.2

1. El espacio `2 de las sucesiones reales 2-sumables

( ∞∑

n=1

x2n <∞

)

es

un espacio de Hilbert. Su norma ‖ ‖2 procede del producto escalar

((xn)|(yn)) =

∞∑

n=1

xnyn

2. En C[a,b] la norma ‖f‖2 =

(∫ b

a

|f(t)|2dt)1/2

procede del producto

escalar (f |g) =

∫ b

a

f(t) · g(t)dt pero (C[a,b],‖ ‖2) no es completo.

Su completado es el Hilbert (L2([a, b], m), ‖ ‖2) introducido en elcomentario 1.2.22,2.

3. En un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖), para todo par de vectores no nulosx, y se cumple que

−1 ≤ (x|y)

‖x‖ · ‖y‖ ≤ 1.

6.1. ESPACIOS CON PRODUCTO ESCALAR 211

Por tanto, podemos definir el angulo α(x, y) determinado por dichos

vectores como el angulo menor o igual que el llano que cumple

α(x, y) = arccos(x|y)

‖x‖ · ‖y‖y, a partir de ahı, recuperar conceptos geometricos importantes que, en

otros espacios normados son menos contundentes o carecen de sentido.Por ejemplo, la ortogonalidad de dos vectores x, y:

x ⊥ y ⇔ (x|y) = 0 ⇔ ‖x + y‖ = ‖x − y‖

que, si son no nulos, se corresponde con α(x, y) = π2 o con ser

rectangulo el paralelogramo subtendido por dichos vectores

q(x, y) = λx + µy | (λ, µ) ∈ [0, 1]× [0, 1]

y nos presenta la ley del paralelogramo en forma de teorema de

Pitagoras:

‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 ⇔ x ⊥ y.

El concepto de ortogonalidad se traslada facilmente a cualquier subconjunto

de un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖). Decimos que A ⊂ X es ortogonal si∀x, y ∈ A, con x 6= y, se tiene que x ⊥ y. Si, ademas, todos sus vectores

son unitarios, A se llama ortonormal.

Si A es ortogonal y finito, tambien se verifica el teorema de Pitagoras

A ortogonal ⇒∥∥∥∥∥

∑

x∈Ax

∥∥∥∥∥

2

=∑

x∈A‖x‖2

aunque, para car(A) > 2, ya no se verifica la implicacion contraria.

Si A es ortogonal y 0 /∈ A, A es libre pues si x1, ..., xn ⊂ A yn∑

i=1

λixi = 0,

multiplicando escalarmente tenemos(

n∑

i=1

λixi|xj)

= λj(xj|xj) = 0 ⇒ λj = 0 ∀j = 1, ..., n

Tambien interesa definir el conjunto ortogonal de un subconjunto A ⊂ X :

A⊥ = x ∈ X | (x|a) = 0 ∀a ∈ A

Evidentemente, siempre A ⊂ A⊥⊥ y si A ⊂ B ⇒ B⊥ ⊂ A⊥.


6.2 Aproximacion hilbertiana

En un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖), todo conjunto C convexo, cerrado y no

vacıo tiene la siguiente propiedad:

∀x ∈ X ∃1AC(x) ∈ C tal que ‖x− AC(x)‖ = inf‖x− c‖ | c ∈ C

Este ınfimo existe siempre y se denota d(x, C) por ser la distancia de x al

conjunto C. La existencia y unicidad del punto AC(x) llamado la mejoraproximacion de x en C, es uno de los motivos por los que los espacios de

Hilbert son un lugar de trabajo optimo para cientıficos y tecnicos.

Lema 6.2.1 (Vector minimizante)

Si C es un convexo cerrado no vacıo de un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖), Ctiene un unico vector de norma mınima.

Demostracion:

Sea k = infx∈C

‖x‖ y sea (xn) ⊂ C tal que (‖xn‖) → k. La ley del paralelo-

gramo y la convexidad de C aseguran que (xn) es de Cauchy:

‖xn−xm‖2 = 2(‖xn‖2 + ‖xm‖2

)−4

∥∥∥∥

xn + xm

2

∥∥∥∥

2

≤ 2(‖xn‖2 + ‖xm‖2

)−4k2

La completitud del espacio de Hilbert y el hecho de ser C cerrado aseguran

que (xn) → x0 ∈ C. Ası, k = ‖x0‖ = minx∈C

‖x‖. Si existiese otro y0 ∈ C

cumpliendo esta condicion, la ley del paralelogramo le obligarıa a coincidir

con x0:

‖x0 − y0‖2 ≤ 2(‖x0‖2 + ‖y0‖2

)− 4k2 = 0. ♦

Teorema 6.2.2 (Aproximacion a convexos)

Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert y C ⊂ X un convexo cerrado no vacıo.

Entonces:

1. ∀x ∈ X ∃1AC(x) ∈ C tal que ‖x− AC(x)‖ = d(x, C)

2. (x −AC(x)|y−AC(x)) ≤ 0 ∀(x, y) ∈ X ×C

3. Si (x, y0) ∈ X ×C y (x − y0|y − y0) ≤ 0 ∀y ∈ C, y0 = AC(x)

Demostracion:

1. −x + C es convexo cerrado y no vacıo ∀x ∈ X . Por el lema 6.2.1,∃1y0 ∈ C tal que ‖x− y0‖ = min

y∈C‖x− y‖. Luego y0 = AC(x).

6.2. APROXIMACION HILBERTIANA 213

2. Por ser C convexo

(1− λ)AC(x) + λy ∈ C ∀(λ, y) ∈ [0, 1]×C

luego

‖x− AC(x)‖2 ≤ ‖x − (1 − λ)AC(x)− λy‖2 =

= ‖x− AC(x)‖2 − 2λ(x−AC(x)|y−AC(x)) + λ2‖y −AC(x)‖2

y, por tanto,

0 ≤ −2λ(x−AC(x)|y−AC(x))+λ2‖y−AC(x)‖2 ∀(λ, y) ∈ [0, 1]×C.

En consecuencia,

2(x−AC(x)|y−AC(x)) ≤ λ‖y −AC(x)‖2 ∀(λ, y) ∈ (0, 1]×C

y, por continuidad, tambien debe ser cierto para λ = 0. Ası,

(x −AC(x)|y−AC(x)) ≤ 0 ∀y ∈ C

3. Es evidente que

(x−y0|y−y0) = (x−y0|x−y0−(x−y)) = ‖x−y0‖2−(x−y0|x−y).

Por la hipotesis y la desigualdad de Cauchy-Schwartz,

‖x− y0‖2 ≤ (x − y0|x − y) ≤ ‖x− y0‖ · ‖x − y‖ ∀y ∈ C.

Luego, ‖x− y0‖ ≤ ‖x− y‖ ∀y ∈ C y, por tanto, y0 = AC(x). ♦

Teorema 6.2.3 (Aproximacion a subespacios cerrados)

Sea Y un subespacio lineal cerrado de un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖). En-tonces:

1. ∀x ∈ X ∃1AY (x) ∈ Y tal que ‖x− AY (x)‖ = d(x, Y )

2. x −AY (x) ∈ Y ⊥ ∀x ∈ X .

3. X = Y ⊕ Y ⊥

4. La aplicacion de aproximacion AY : X → X es lineal, idempotente y

que cumple im AY = Y y kerAY = Y ⊥. Ademas, ‖AY ‖ = 1.

Demostracion:

1. Todo subespacio es convexo y no vacıo. Si Y es cerrado, ya esta

probado en 6.2.2,1.


2. Por 6.2.2,2, (x − AY (x)|y) ≤ 0 ∀y ∈ Y . Al ser Y un subespacio y

tenerse que cumplir la desigualdad para cada vector y su opuesto, soloes posible la igualdad . Por tanto, x −AY (x) ∈ Y ⊥ ∀x ∈ X .

3. Es una consecuencia inmediata de 2.

4. El punto 2 nos asegura, tambien, que la aplicacion de aproximacionAY : X → X es la proyeccion con im AY = Y y kerAY = Y ⊥ ligada a

la suma directa topologica X = Y ⊕ Y ⊥. Por el teorema de Pitagoras‖x‖2 = ‖AY (x)‖2 + ‖x − AY (x)‖2 y, ası, ‖AY (x)‖ ≤ ‖x‖. Por tanto,

AY es acotada con ‖AY ‖ ≤ 1. Ademas, como AY = AY AY es claroque ‖AY ‖ ≤ ‖AY ‖2 y, por tanto, 1 ≤ ‖AY ‖. Luego ‖AY ‖ = 1. ♦

Teorema 6.2.4 (Aproximacion a subespacios finitodimensionales)

Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert y sea Y un subespacio lineal finitodimen-sional de base x1, · · · , xn. Entonces, ∀x ∈ X se tiene que

1. AY (x) =

n∑

i=1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(x1|x1) · · · (x1|x) · · · (x1|xn)(x2|x1) · · · (x2|x) · · · (x2|xn)

.... . .

.... . .

...

(xn|x1) · · · (xn|x) · · · (xn|xn)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

G(x1, x2, · · · , xn)xi

2. d2(x, Y ) =G(x1, x2, · · · , xn, x)

G(x1, x2, · · · , xn)

Demostracion:

El teorema 6.2.3 asegura, para cada x ∈ X , una unica mejor aproximacionn∑

i=1

αixi que cumple x −n∑

i=1

αixi ∈ Y ⊥. Como Y ⊥ = x1, · · · , xn⊥, el

vector a = (αi) ∈ Rn es la unica solucion del sistema de ecuaciones lineales

(SL)

n∑

i=1

αi(xj|xi) = (xj|x) ∀j = 1, · · · , n.

El determinante, necesariamente no nulo, de la matriz de este sistema esel grammiano G(x1, · · · , xn). La expresion de AY (x) anunciada en 1. se

obtiene resolviendo el sistema (SL) mediante la regla de Cramer.Por otra parte, d(x, Y ) = ‖x −AY (x)‖ y, por tanto,

d2(x, Y ) = (x− AY (x)|x− AY (x)) = (x|x)− (x|AY (x))

6.2. APROXIMACION HILBERTIANA 215

Anadiendo esta ecuacion al sistema (SL) obtenemos el nuevo sistema lineal

α1(x1|x1) + α2(x1|x2) + . . . + αn(x1|xn) + 0 = (x1|x)α1(x2|x1) + α2(x2|x2) + . . . + αn(x2|xn) + 0 = (x2|x)

...α1(xn|x1) + α2(xn|x2) + . . . + αn(xn|xn) + 0 = (xn|x)

α1(x|x1) + α2(x|x2) + . . . + αn(x|xn) + d2(x, Y ) = (x|x)

De nuevo Cramer nos da la expresion de d2(x, Y ) anunciada en 2. ♦

Comentarios 6.2.5

En las condiciones del teorema 6.2.4 si x1, ..., xn es ortogonal

AY (x) =

n∑

i=1

(xi|x)

(xi|xi)xi

y, si x1, ..., xn es ortonormal, aun se simplifica su expresion

AY (x) =

n∑

i=1

(xi|x)xi

Teorema 6.2.6 (Desigualdad de Bessel)

Si (X, ‖ ‖) es un espacio de Hilbert y A ⊂ X es ortonormal, se cumple:

∑

y∈F|(x|y)|2 ≤ ‖x‖2 ∀x ∈ X y ∀F ⊂ A finito

Demostracion:

Si F = x1, · · · , xn e Y = [F ], Pitagoras y 6.2.5 aseguran que

‖x‖2 = ‖AY (x)‖2 + ‖x− AY (x)‖2 ≥ ‖AY (x)‖2 =

n∑

i=1

|(x|xi)|2. ♦

Teorema 6.2.7 (Riesz-Fisher)

Un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖) es isometricamente isomorfo a su dual (X?, ‖ ‖).Demostracion:

Hemos visto (pag 209) que fx : X → R es lineal, acotado y ‖|fx‖| ≤ ‖x‖.Ademas, ‖|fx‖| = sup

‖y‖=1

(x|y) ≥(

x| x

‖x‖

)

= ‖x‖, luego ‖|fx‖| = ‖x‖.

Ası, la aplicacion lineal

J : X → X?

x 7→ fx


es isometrica y, por tanto, inyectiva. Veamos que tambien es suprayectiva:

Dado cualquier f ∈ X? no nulo, por el teorema ?? y el teorema 6.2.3,3, existeun vector unitario u ∈ ker f⊥ tal que X = [u]⊕kerf . El vector v, candidato

a satisfacer f = fv, sera un λu que cumpla fλu(x) = f(x) ∀x ∈ X , esdecir, (λu|µu + y) = f(µu + y) ∀y ∈ ker f . Para ello es necesario y

suficiente que λ · µ = µ · f(u) ∀µ ∈ R y, por tanto, λ = f(u). Con laeleccion v = f(u)u aseguramos que f = ff(u)u. ♦

Comentarios 6.2.8

1. El teorema de Riesz-Fisher identifica cada espacio de Hilbert (X, ‖ ‖)con su dual (X?, ‖| ‖|) y, por ende, con su bidual (X??, ‖ ‖).

2. Para cualquier A ⊂ X tenemos que A⊥ =⋂

a∈A ker fa y, como

interseccion de subespacios cerrados, es un subespacio cerrado.

3. Para cualquier A ⊂ X se cumple que A⊥ = [A]⊥. En efecto:

Como A ⊂ [A] es claro que [A]⊥ ⊂ A⊥. Para el contenido contrario

tomamos v ∈ A⊥. Para cualquier x ∈ [A] tenemos una sucesion

(xn) ∈ [A] tal que (xn) → x. Entonces (v|x) = lim(v|xn) = 0 y, por

tanto, v ∈ [A]⊥.

4. Si (X, ‖ ‖) es un Hilbert e Y es un subespacio vectorial cerrado, del

contenido evidente Y ⊆ Y ⊥⊥ y de X = Y ⊕ Y ⊥ = Y ⊥⊥ ⊕ Y ⊥, sededuce que Y = Y ⊥⊥.

6.3 Bases hilbertianas

Definicion 6.3.1

En un espacio normado (X, ‖ ‖), una sucesion (xn) ⊂ X tal que para cadaelemento x ∈ X existe una unica sucesion (λn) ⊂ R tal que

x =∞∑

n=1

λnxn

se llama base de Schauder del espacio normado (X, ‖ ‖).

La existencia de base de Schauder en un espacio (X, ‖ ‖) es una cuestion

delicada. Si (xn) es base de Schauder, la envoltura lineal racional del con-junto numerable xn es un conjunto numerable con clausura X . Ası, elespacio (X, ‖ ‖) tiene un conjunto denso y numerable. Los espacios norma-

dos con conjuntos densos numerables se llaman separables. La separabilidades una condicion necesaria para la existencia de base de Schauder pero no

es suficiente como probo Enflo en 1972.

6.3. BASES HILBERTIANAS 217

En cualquier espacio de Banach (X, ‖ ‖) un subconjunto T tal que [T ] = Xse llama conjunto total. Es claro que una base de Schauder siempre es un

conjunto total pero, para asegurar que de un conjunto total se puede extraeruna base de Schauder se deben cumplir ciertas condiciones:

Teorema 6.3.2 Prop 1.a.3 de [?]

Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Banach. Una sucesion (xn) ⊂ X es base de

Shauder si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

1. xn | n ∈ N es total.

2. xn 6= 0 ∀n ∈ N

3. Existe una constante K tal que para toda (λn) ⊂ R y enteros p < q setiene que ∥

∥∥∥∥

p∑

n=1

λnxn

∥∥∥∥∥≤ K

∥∥∥∥∥

q∑

n=1

λnxn

∥∥∥∥∥

Teorema 6.3.3

En un Hilbert (X, ‖ ‖) un subconjunto A es total si y solo si A⊥ = 0.Demostracion:

Si [A] = X , por 6.2.8,3, A⊥ = [A]⊥

= X⊥ = 0.Si A⊥ = 0, por 6.2.8,4, [A] = [A]

⊥⊥= A⊥⊥ = 0⊥ = X . ♦

Teorema 6.3.4

Un espacio de Hilbert separable (X, ‖ ‖) siempre tiene una base de Schauder.

Demostracion:

Por ser (X, ‖ ‖) separable, existe un subconjunto A numerable y denso que,sin restriccion, podemos suponer libre. Sometemos a A = (xn) al siguiente

proceso iterativo de Gramm-Schmidt:

Con x1 generamos u1 =x1

‖x1‖y es claro que [x1] = [u1].

Con x2 generamos v2 = x2 − (x2|u1)u1 y u2 =v2

‖v2‖y es claro que

u2 ⊥ u1 y [x1, x2] = [u1,u2].

Con x3, v3 = x3 − (x3|u1)u1 − (x3|u2)u2 y u3 =v3

‖v3‖y es claro que

u3 ⊥ u1, u3 ⊥ u2 y [x1, x2, x3] = [u1,u2,u3]...

Ası, construimos el conjunto ortonormal U = (un) tal que [A] = [U ]. ComoX = A ⊂ [U ] ⊂ X , U es total. Ademas, Pitagoras le asegura la condicion 3

de 6.3.2. Luego (un) es base de Schauder. ♦


Las bases de Schauder ortonormales de un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖) sellaman bases hilbertianas.

Teorema 6.3.5

El conjunto

Wπ = 1√π

sennt | n ≥ 1 ∪ 1√π

cosnt | n ≥ 0

es una base hilbertiana del espacio (L2[−π, π], ‖ ‖2).

Demostracion:

Ya hemos visto en 1.1.14,5 que la envoltura lineal del conjunto

W = sennt | n ≥ 1 ∪ cosnt | n ≥ 0

es densa en (C[−π, π], ‖ ‖∞). Ademas, hemos dicho en 6.1.2,2 que C[−π, π] esdenso en (L2[−π, π], ‖ ‖2). En consecuencia, W es total en (L2[−π, π], ‖ ‖2).

Ademas, las identidades trigonometricas:

senα sen β = 12 (cos(α− β) − cos(α+ β))

cosα cosβ = 12 (cos(α+ β) + cos(α− β))

senα cosβ = 12 ( sen (α+ β) + sen (α− β))

nos aseguran que

∫ π

−πsennt senmtdt =

1

2

(∫ π

−πcos(n−m)tdt−

∫ π

−πcos(n+m)tdt

)

= πδnm

∫ π

−πcosnt cosmtdt =

1

2

(∫ π

−πcos(n +m)tdt+

∫ π

−πcos(n−m)tdt

)

= πδnm

∫ π

−πsennt cosmtdt =

1

2

(∫ π

−πsen (n+m)tdt+

∫ π

−πsen (n−m)tdt

)

= 0

siendo δnm la delta de Kronecker. Ası, Wπ es total y ortonormal. ♦

Corolario 6.3.6

Para todo T > 0 el conjunto

WT = 1√T

sennπx

T| n ≥ 1 ∪ 1√

Tcos

nπx

T| n ≥ 0

es una base hilbertiana del espacio (L2[−T, T ], ‖ ‖2).

Demostracion:

Mediante la biyeccion

6.3. BASES HILBERTIANAS 219

c : [−T, T ] → [−π, π]

x 7→ πxT

definimos la aplicacion lineal, biyectiva y ‖ ‖∞-isometrica

C : C[−π, π] → C[−T, T ] .

f 7→ f cSu extension

C : L2[−π, π] → L

2[−T, T ]f 7→ f c

tambien es lineal, biyectiva y conserva la ortogonalidad:

f ⊥ g ⇔ 0 =

∫ π

−πf(x)·g(x)dx=

π

T

∫ T

−Tfc(t)·gc(t)dt= 0 ⇔ C(f) ⊥ C(g)

y, aunque no es ‖ ‖2-isometrica, cumple que 1√π‖f‖2 = 1√

T‖C(f)‖2

Teorema 6.3.7 (Parseval)

Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert separable y sea (en) una base hilbertiana.

La transformacion

Φ: X → `2x 7→ ((x|en))

es lineal, continua, isometrica y biyectiva.

Demostracion:

La linealidad es evidente y la continuidad se deduce de

‖Φ(x)‖2 =

∞∑

n=1

|(x|en)|2 ≤ ‖x‖2

Si definimos xk =

k∑

n=1

(x|en)en, vemos que ‖xk‖ = ‖Φ(xk)‖ ∀k ∈ N y que

(Φ(xk)) → Φ(x). Ası ‖Φ(x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X y Φ es isometrıa. Estaigualdad se suele presentar al cuadrado, como la identidad de Parseval:

‖x‖2 =∞∑

n=1

|(x|en)|2

Finalmente, dada una (λn) ∈ `2, es claro que la sucesion

(k∑

n=1

λnen

)

es

de Cauchy en (X, ‖ ‖) y, por tanto, ∃x0 =

∞∑

n=1

λnen ∈ X . Evidentemente,


Φ(x0) = (λn) y Φ es suprayectiva. ♦

El teorema 6.3.7 nos presenta a `2 como modelo de todos los espacios

de Hilbert separables. Mediante la transformacion Φ : X → `2 podemostrasladar un problema de un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖) al espacio canonico

`2, resolverlo, y retornar1 la solucion al espacio original.

6.4 Teorıa espectral en espacios de Hilbert

Si (X, ‖ ‖) es un espacio de Hilbert designamos B(X) al conjunto de todaslas aplicaciones L : X → X lineales y continuas. Con la suma habitual y

el producto por escalares, B(X) es un espacio vectorial sobre R. Ademas,con la composicion, es un algebra vectorial unitaria sobre R. Con la norma

‖L‖ = sup‖L(x)‖ | ‖x‖ = 1 es un algebra de Banach con unidad:

1. (B(X), ‖ ‖) es un espacio de Banach

2. ‖L M‖ ≤ ‖L‖ · ‖M‖ ∀(L,M) ∈ B(X)× B(X)

3. ‖I‖ = 1 siendo I : X → X la identidad

En B(X) podemos definir la involucion

?: B(X) → B(X)

L 7→ L?

tal que (L?(x)|y) = (x|L(y)) ∀(x, y) ∈ X ×X y cumple:

1. L?? = L

2. ‖L‖ = ‖L?‖

3. (L M)? = M? L?.

Los puntos fijos en esta involucion ?, es decir, los operadores que cumplenL = L? se llaman autoadjuntos y juegan un interesante papel en la teorıa.

Propiedades 6.4.1

1. L? L y L L? son autoadjuntos.

2. ‖L? L‖ = ‖L‖2

3. kerL = (im L?)⊥ y kerL? = (im L)⊥ (relaciones de Lorch)

Demostracion:

1El retorno Φ−1 : `2 → X tambien es continuo por al teorema de la aplicacion abierta.

6.4. TEORIA ESPECTRAL EN ESPACIOS DE HILBERT 221

1. Inmediata

2. ‖L(x)‖2 = (L(x)|L(x)) = (L? L(x)|x) ≤ ‖L? L‖ · ‖x‖2 luego‖L‖2 ≤ ‖L? L‖. La desigualdad contraria es evidente.

3. y ∈ (im L?)⊥ ⇔ (L?(x)|y) = 0 ∀x ∈ X ⇔ (x|L(y)) = 0 ∀x ∈ X . Laotra relacion se demuestra de forma similar.

Teorema 6.4.2

Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert, B su bola unidad y L ∈ B(X) un opera-

dor autoadjunto. Entonces, ‖L‖ = supx∈B

|(L(x)|x)|

Demostracion:

Designemos QL(x) := (L(x)|x) y RL := supx∈B

|QL(x)|.Es claro que |QL(x)| ≤ ‖L‖ · ‖x‖2 luego RL ≤ ‖L‖. Para probar la desigual-

dad contraria tenemos en cuenta que

‖L‖ = supx∈B

‖L(x)‖ = supx∈B

supy∈B

(L(x)|y) = supx,y∈B

(L(x)|y)

y la siguiente cadena de desigualdades

(L(x)|y) =QL(x + y)−QL(x− y)

4≤ |QL(x + y)|+ |QL(x − y)|

4≤

≤ RL‖x + y‖2 + ‖x− y‖2

4= RL

‖x‖2 + ‖y‖2

2≤ RL ∀x, y ∈ B ♦

Observacion 6.4.3

La bola unidad cerrada B de un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖) no es compactapues toda base ortonormal (en) ⊂ B carece de subsucesiones de Cauchy ya

que ‖ei − ej‖ =√

2.Por ello conviene definir una convergencia mas debil que la de la norma para

lograr, al menos, la ”compacidad debil” de su bola unidad cerrada.

Definicion 6.4.4

En un espacio de Hilbert (X, ‖ ‖) decimos que la sucesion (xn) convergedebilmente a x y lo escribimos (xn) x si ((xn|y)) → (x|y) ∀y ∈ X .

Teorema 6.4.5

Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert y B su bola unidad. Toda (xn) ⊂ B tiene

una subsucesion debilmente convergente a un punto de B.

Demostracion:

Como Y = [(xn)] es un espacio de Hilbert separable, tiene un subconjunto

denso y numerable D = (an). Por ser ((a1|xn)) una sucesion real acotada,

∃(x1n) subsucesion de (xn) tal que ((a1|x1n)) → y1

y, de igual modo,

∃(x2n) subsucesion de (x1n) tal que ((a2|x2n)) → y2

∃(x3n) subsucesion de (x2n) tal que ((a3|x3n)) → y3

· · · · · ·Ası, la subsucesion diagonal (xnn) cumple que ((ai|xnn)) → yi ∀ai ∈ D.Probaremos que, tambien, ((y|xnn)) es convergente ∀y ∈ Y . En efecto:

Dados y ∈ Y , ε > 0 ∃aiy ∈ D tal que ‖y − aiy‖ ≤ ε

4. Ademas,

|(y|xnn)− (y|xmm)| ≤ |(y − aiy |xnn − xmm)| + |(aiy |xnn − xmm)|,

|(y − aiy |xnn − xmm)| ≤ ε

4‖xnn − xmm‖ ≤ ε

2por ser (xnn) ⊂ B,

|(aiy |xnn − xmm)| ≤ ε

2∀n,m > n0 por ser ((ai|xnn)) de Cauchy,

luego ((y|xnn)) es de Cauchy y, por tanto, convergente.

Entonces, podemos definir la aplicacion lineal

ϕ: Y → R

y 7→ limn→∞

((y|xnn))

y, como |ϕ(y)| ≤ limn→∞ ‖xnn‖ ‖y‖ ≤ ‖y‖ ∀y ∈ Y , es acotada y ‖ϕ‖ ≤ 1.Si P : X → Y es la proyeccion normal y tomamos f = ϕ P , es claro

que f ∈ X? y ‖f‖ ≤ 1. Segun el teorema 6.2.7 podemos identificar f conun x0 ∈ B. Este x0 cumple que ((x|xnn)) → (x|x0) ∀x ∈ X y, enconsecuencia, (xnn) x0 ♦

Definiciones 6.4.6

Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert y B su bola unidad. Decimos que

1. C ∈ B(X) es compacto si C(B) es compacto (⇔ C(B) totalmente acotado)

2. F ∈ B(X) es de rango finito si dim im F <∞.

Observaciones 6.4.7


1. Todo operador de rango finito es compacto. En efecto:

Si F es de rango finito F (B) es cerrado y acotado en F (X), luegocompacto en F (X) y, a fortriori, compacto en X .

2. Todo operador tranforma sucesiones (debilmente) convergentes en suce-siones (debilmente) convergentes.

Teorema 6.4.8

Sea L ∈ B(X) compacto y sea (xn) x. Entonces, (L(xn)) → L(x).

Demostracion:

Si (L(xn)) 6→ L(x) existe ρ > 0 y una subsucesion (zn) de (xn) tal que‖L(zn) − L(x)‖ > ρ. Como zn es acotada y L es compacto, existe una

subsucesion (wn) de (zn) tal que (L(wn)) → y0 ∈ X siendo y0 6= L(x).Como el lımite debil de una sucesion es unico, llegamos al siguiente absurdo:

(wn) x ⇒ (L(wn)) L(x)

(L(wn)) → y0 ⇒ (L(wn)) y0

♦

Comentarios 6.4.9

1. Los operadores compactos, por transformar las sucesiones debilmente

convergentes en convergentes, se llaman completamente continuos.

2. Designamos F(X) al subconjunto de B(X) constituido por todos los

operadores de rango finito. F(X) es un subespacio del espacio vecto-rial B(X) pero, en general, no es cerrado: Si (X, ‖ ‖) es separable y

dimX = ∞, es claro que la sucesion de proyectores basicos respectode cualquier base hilbertiana esta en F(X) pero su lımite, que es la

identidad, no lo esta.

3. F(X) es un ideal del algebra B(X) porque, claramente,

F L ∈ F(X)

L F ∈ F(X)∀(F, L) ∈ F(X)× B(X)

4. Designamos K(X) al subconjunto de B(X) constituido por todos losoperadores compactos. Es facil ver que K(X) es un subespacio del

espacio vectorial de B(X). Probaremos que es un ideal cerrado:

Teorema 6.4.10

K(X) es un ideal cerrado de B(X)

Demostracion:

Sean cualesquiera L ∈ B(X) y C ∈ K(X).

1. L C(B) es totalmente acotado porque es el transformado por la

funcion continua L del conjunto totalmente acotado C(B). Por tanto,L C ∈ K(X).

2. C L(B) es totalmente acotado porque esta contenido en ‖L‖ · C(B)

que es totalmente acotado. Por tanto, C L ∈ K(X).

Sea (Cn) ⊂ K(X) con (Cn) → L ∈ B(X).

Dado ε > 0 existe n0 tal que ‖Cn0 − L‖ < ε2 y existe

x1, ..., xp ⊂ X tal que Cn0(B) ⊂p⋃

i=1

xi +ε

2B.

Dado cualquier x ∈ B tenemos ‖L(x) − Cn0(x)‖ < ε2 y un xi0 tal que

‖Cn0(x)−xi0‖ < ε2 . Ası, L(B) ⊂

p⋃

i=1

xi+εB y, por tanto, L ∈ K(X). ♦

Teorema 6.4.11

Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert y sea L ∈ B(X) compacto y autoadjunto.

Existe un vector unitario u que cumple L(u) = ±‖L‖u.

Demostracion:

Por ser L autoadjunto, el teorema 6.4.2 asegura que existe una (xn) ⊂ B

tal que ‖L‖ = limn→∞

|(L(xn)|xn)| y el teorema 6.4.5 permite suponer que

(xn) u ∈ B. Como L es completamente continuo,

‖L‖ = supx∈B

|(L(x)|x)|= |(L(u)|u)| y, a fortriori, ‖u‖ = 1

Ası, existe un signo θ ∈ −1, 1 tal que ‖L‖ = θ(L(u)|u) y, entonces2

∥∥∥L(u) − θ‖L‖u

∥∥∥

2= ‖L(u)‖2 − 2θ‖L‖(L(u)|u) + ‖L‖2

luego∥∥∥L(u)− θ‖L‖u

∥∥∥

2≤ ‖L‖2 − 2‖L‖2 + ‖L‖2 = 0 ♦

Teorema 6.4.12 (Representacion espectral I)

Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert separable. Todo L ∈ K(X) autoadjuntoe inyectivo admite una representacion espectral

L =

∞∑

n=1

λnun ⊗ un

2Notese que si L es no nulo, tambien lo es u

donde (un) es una base hilbertiana de vectores propios y (λn) es la correspon-

diente sucesion de valores propios. Ademas, (λn) → 0 y λn 6= 0 ∀n ∈ N.

Demostracion:

Sea u1 el vector unitario asegurado para L en 6.4.11 y sea X1 = [u1]⊥.

Es claro que (X1, ‖ ‖) es un espacio de Hilbert separable y que L(X1) ⊂ X1.Entonces, L1 = L |X1∈ K(X1) y es autoadjunto e inyectivo.

Sea u2 el vector unitario asegurado para L1 en 6.4.11 y sea X2 = [u1,u2]⊥.

Es claro que (X2, ‖ ‖) es un espacio de Hilbert separable y que L(X2) ⊂ X2.Entonces, L2 = L |X2∈ K(X2) y es autoadjunto e inyectivo.

Sea u3 el vector unitario asegurado para L2 en 6.4.11 y seaX3 = [u1,u2,u3]⊥.

Es claro que (X3, ‖ ‖) es un espacio de Hilbert separable y que L(X3) ⊂ X3.Entonces, L3 = L |X3∈ K(X3) y es autoadjunto e inyectivo....

De esta forma iterativa construimos una sucesion ortonormal (un) de vec-tores propios de L y la sucesion de valores propios (λn), que cumple

|λ1| = ‖L‖ ≥ ‖L1‖ = |λ2| ≥ ‖L2‖ = |λ3| ≥ · · ·Como (un) 0 y L es compacto, (L(un)) → 0 y, por tanto, (λn) → 0.

Ademas, Y := [(un)]⊥ = kerL pues, si ası no fuera, el operador L|Y serıa

no nulo y tendrıamos 0 < ‖L|Y ‖ ≤ ‖L(un)‖ ∀n ∈ N, lo cual esta en contra

de que (L(un)) → 0. ♦

Corolario 6.4.13 (Representacion espectral II)

Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert separable. Todo L ∈ K(X) inyectivo

admite una representacion

L =

∞∑

n=1

λnun ⊗ vn

donde (un) es una base hilbertiana, (vn) es un conjunto ortonormal y (λn)

es una sucesion escalar convergente a 0.

Demostracion:

Como (X, ‖ ‖) es separable tiene una base hilbertiana (un). Claramente

L(x) =

∞∑

n=1

(x|un)L(un) =

∞∑

n=1

‖L(un)‖(x|un)L(un)

‖L(un)‖

Si (un) pudiera ser elegida de modo que

(L(un)

‖L(un)‖

)

fuese ortonormal, el

teorema estarıa probado tomando (vn) =

(L(un)

‖L(un)‖

)

y (λn) = (‖L(un)‖)


pues, por ser (un) 0 y ser L compacto, tendrıamos que (λn) → 0.

Basta elegir (un) como la que asegura 6.4.12 para el operador compacto,autoadjunto e inyectivo L? L. ♦

Corolario 6.4.14

Si (X, ‖ ‖) es un Hilbert separable, F(X) = K(X).

Demostracion:

Por 6.4.7,1 sabemos que F(X) ⊂ K(X), luego F(X) ⊂ K(X). Por 6.4.10

sabemos que K(X) = K(X), luego F(X) ⊂ K(X).Para el contenido contrario basta partir de un L ∈ K(X) inyectivo. El

corolario 6.4.13 asegura, entonces, que

L = limk→∞

k∑

n=1

λnun ⊗ vn con

(k∑

n=1

λnun ⊗ vn

)

⊂ F(X) ♦

Teorema 6.4.15 (Alternativa de Fredholm )

Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert separable, sea L ∈ B(X) un operador

compacto y autoadjunto y sea λ un numero real. Solo dos cosas puedensuceder:

1. El problema (L− λI)(x) = y tiene solucion para todo y ∈ X

2. El problema (L− λI)(x) = 0 tiene alguna solucion no nula.

En el primer caso la solucion de (L−λI)(x) = y es unica y depende continua-mente del dato y.

En el segundo caso, el problema (L− λI)(x) = y tiene solucion si y solo siy es ortogonal a todas las soluciones del problema (L− λI)(x) = 0

Demostracion

La alternativa es clara:

1. O bien λ no es autovalor de L.

2. O bien λ es autovalor de L.

Es decir,

1. O bien (L− λI)(x) = 0 tiene solo la solucion nula.

2. O bien (L− λI)(x) = 0 tiene alguna solucion no nula.

Por ser L autoadjunto, tambien lo es L− λI y, por 6.4.1 es claro que

1. ⇔ ker(L− λI) = 0 ⇔ im(L− λI) = X


Luego, en el primer caso, L−λI es una aplicacion lineal, continua y biyectiva

y (L− λI)−1 que es lineal, por el teorema de la aplicacion abierta tambienes continua. Ası, la solucion x = (L− λI)−1(y) es unica y depende contin-

uamente de y.En el segundo caso, (L−λI)(x) = y tiene solucion si y solo si y ∈ im(L−λI)y, nuevamente 6.4.1 asegura que im(L− λI) = [ker(L− λI)]⊥. ♦

Observaciones 6.4.16

1. Si (X, ‖ ‖) es un espacio de Hilbert separable, L ∈ B(X) es un opera-

dor compacto y autoadjunto y λ 6= 0 no es autovalor de L podemosexpresar la unica solucion del problema (L− λI)x = y de la forma

∞∑

n=1

(y|un)λn − λ

un

siendo (un) la base ortonormal de vectores propios de L y (λn) lacorrespondiente sucesion de valores propios.

2. Si λ 6= 0 es autovalor, sabemos que el problema (L − λI)x = y tiene

solucion si y solo si y ∈ [ker(L− λI)]⊥.Suponiendo que y cumple esta condicion y que ker(L−λI) = [u1, · · · ,uk]tenemos una variedad de soluciones que se pueden expresar en la forma

[u1, · · · ,uk] +∞∑

n=k+1

(y|un)λn − λ

un

En efecto, siempre existe un µ ∈ R tal que λ+µ no es autovalor de L.

Entonces, nuestro problema (L−λI)x = y es equivalente al problema(L− (λ+ µ)I)x = y− µx que esta en el caso primero. Su solucion es,

por tanto, de la forma

∞∑

n=1

(y − µx|un)λn − λ− µ

un =

k∑

n=1

(x|un)un +

∞∑

n=k+1

(y − µx|un)λn − λ− µ

un

Entonces debe cumplirse que

(x|un) =(y − µx|un)λn − λ− µ

∀n > k

y, despejando,

(x|un) =(y|un)λn − λ

un ∀n > k ♦

3. El teorema 6.4.15 tambien se cumple cuando λ = 0 pero, en tal caso,

no podemos asegurar la convergencia de las series que nos aparecenen los dos puntos anteriores. Para que dichas series representen las

soluciones debemos exigir respectivamente que

∞∑

n=1

(y|un)2λ2n

<∞ y

∞∑

n=k+1

(y|un)2λ2n

<∞.

Un tipo especial de operadores compactos muy importantes en la tecnica

son los que introducimos a continuacion

Definicion 6.4.17

Sea (X, ‖ ‖) un espacio de Hilbert separable. Un operador H ∈ B(X) se dicede Hilbert-Schmidt si existe una base hilbertiana (un) tal que

∞∑

n=1

‖H(un)‖2 <∞

Observaciones 6.4.18

1. La identidad de Parseval (ver 6.3.7) asegura, para cualquier otra basehilbertiana (vm), que

∞∑

n=1

‖H(un)‖2 =

∞∑

n=1

( ∞∑

m=1

|(H(un) | vm)|2)

=

=∞∑

m=1

( ∞∑

n=1

|(un |H?(vm))|2)

=∞∑

m=1

‖H?(vm)‖2

Esto prueba que

∞∑

n=1

‖H(un)‖2 no depende de la base inicial (un) y,

ademas, si designamos HS(X) al conjunto de todos los operadores deHilbert-Schmidt del espacio de Hilbert separable (X, ‖ ‖), resulta que

H ∈ HS(X) si y solo si H? ∈ HS(X)

2. La funcion

N: HS(X) → R

H 7→( ∞∑

n=1

‖H(un)‖2

)12

esta bien definida porque no depende de la base (un) y nos permite

probar que HS(X) es subespacio vectorial de B(X). En efecto:

(a) Si H ∈ HS(X) y λ ∈ R es claro que λH ∈ HS(X)

(b) Si H,G ∈ HS(X) tenemos ∀m ∈ N que

(m∑

n=1

‖H(un) +G(un)‖2

) 12

≤(

m∑

n=1

(‖H(un)‖ + ‖G(un)‖)2) 1

2

≤ N(H)+N(G)

Luego, N(H +G) ≤ N(H) + N(G) <∞ y H +G ∈ HS(X).

A fortriori, tenemos que N : HS(X) → R es una norma pues, N1, N2y N3 son claras y N4 acaba de ser probada. Esta norma procede del

siguiente producto escalar, que tampoco depende de (un),

( | ): HS(X)× HS(X) → R

(H,G) 7→∞∑

n=1

(H(un)|G(un))

3. HS(X) es un ideal en B(X) pues ∀(H,L) ∈ HS(X)×B(X) tenemos:

(a) ‖L H(un)‖2 ≤ ‖L‖2 · ‖H(un)‖2 luego N(L H) ≤ ‖L‖ · N(H)y, por tanto, L H ∈ HS(X).

(b) (H L)? = L? H? ∈ HS(X) luego H L ∈ HS(X).

4. HS(X) ⊂ K(X). En efecto:Todo H ∈ HS(X) es lımite de los operadores de rango finito

Hk : X → X

x 7→k∑

n=1

(x|un)H(un)

que son acotados porque, por Holder, tenemos

‖Hk(x)‖ ≤k∑

n=1

|(x|un)| ‖H(un)‖≤N(H)‖x‖

y, nuevamente, por Holder,

‖H(x)−Hk(x)‖ =

∥∥∥∥∥

∞∑

n=k+1

(x|un)(H −Hk)(un)

∥∥∥∥∥≤N(H −Hk)‖x‖.

Como (N(H −Hk)) → 0, (‖H −Hk‖) → 0 y (Hk) → H .

El espacio de Hilbert mas util para el tecnico es L2[a, b] y ha sido introducido

en 6.1.2,2 como el completado de (C[a, b], ‖ ‖2). Este espacio es separablepues, por el teorema 1.1.2, la sucesion de polinomios en una variable (tn−1)es densa en C∞[a, b] y, a su vez, C([a, b],R) es denso en L2[a, b].

Es interesante observar que si (en) es una base ortonormal de L2[a, b],

(enm) es una base ortonormal de L2([a, b]× [a, b]) donde


enm : [a, b]× [a, b] → R

(t, s) 7→ en(t) · em(s)

Teorema 6.4.19

Una aplicacion lineal H : L2[a, b] → L2[a, b] esta en HS(L2[a, b]) si y solo si

existe una funcion G ∈ L2([a, b] × [a, b]), llamada funcion de Green

tal que ∀φ ∈ L2[a, b]

H(φ) : [a, b] → R

s 7→∫ b

aG(t, s)φ(t)dt

Ademas, H es autoadjunto si y solo si G es simetrica.

Demostracion:

Si H admite la representacion integral mencionada, es acotado porque

‖H(φ)‖2 =

∫ b

a

(∫ b

aG(t, s)φ(t)dt

)2

ds ≤ (Holder)

≤∫ b

a

(∫ b

a|G(t, s)|2dt

)

·(∫ b

a|φ(t)|2dt

)

ds = ‖G‖2 ‖φ‖2

Usando la igualdad de Parseval al principio y al final, tenemos

∞∑

n=1

‖H(en)‖2 =

∞∑

n=1

( ∞∑

m=1

|(H(en) | em)|2)

=

=

∞∑

n,m=1

∣∣∣∣

∫ b

aH(en)(s) · em(s)ds

∣∣∣∣

2

=

=

∞∑

n,m=1

∣∣∣∣

∫ b

a

[∫ b

aG(t, s)(en)(t)d(t)

]

· em(s)ds

∣∣∣∣

2

=

∞∑

n,m=1

|(G | enm)|2 = ‖G‖2

y, por tanto, H ∈ HS(L2[a, b]). Ademas, siG es simetrica,H es autoadjunto:

(H(φ) |ψ) =

∫ b

aH(φ)(s)ψ(s)ds =

∫ b

a

[∫ b

aG(t, s)φ(t)dt

]

ψ(s)ds =

∫ b

a

[∫ b

aG(s, t)ψ(s)ds

]

φ(t)dt =

∫ b

aH(ψ)(t)φ(t)dt = (φ |H(ψ))

Si partimos de que H ∈ HS(L2[a, b]), la observacion 6.4.17,4 y el teorema

6.4.13 nos aseguran la existencia de una base ortonormal (en), una sucesionortonormal (vn) y una sucesion real (λn) de cuadrado sumable, tales que

H =

∞∑

n=1

λnen ⊗ vn y, por tanto H(φ) =

∞∑

n=1

λn(en | φ)vn luego

6.5. EL PROBLEMA REGULAR DE STURM-LIOUVILLE. 231

H(φ)(s) =

∞∑

n=1

λn

(∫ b

aen(t)φ(t)dt

)

vn(s) =

∫ b

a

( ∞∑

n=1

λnen(t)vn(s)

)

φ(t)dt

Probemos que G(t, s) =

∞∑

n=1

λnen(t)vn(s) esta en L2([a, b]× [a, b]):

∫ b

a

∫ b

aG2(t, s)dtds =

∫ b

a

∫ b

a

( ∞∑

n=1

λnen(t)vn(s)

)( ∞∑

n=1

λmem(t)vm(s)

)

dtds =

∞∑

n,m=1

λnλm

(∫ b

aen(t)em(t)dt

)(∫ b

avn(s)vm(s)ds

)

=

∞∑

n=1

λ2n = N2(H) <∞

Ademas, si H es autoadjunto, podemos elegir (en) = (vn) y, ası, la

funcion G(t, s) =

∞∑

n=1

λnen(t)en(s) es claramente simetrica. ♦

6.5 El problema regular de Sturm-Liouville.

Los operadores de Hilbert-Schmidt son de gran utilidad para tratar el proble-ma inverso que se conoce con este nombre y cuyo enunciado es:

(SL) Dadas las funciones c ∈ C[a, b] y f ∈ L2[a, b], hallar u : [a, b] → R

tal que

−u′′(t) + c(t)u(t) = f(t) en a < t 0

βu(b) + β′u′(b) = 0 con |β|+ |β′| > 0

En este problema inverso, el espacio de datos es L2[a, b] y el espacio X donde

hay que buscar la incognita u es el subespacio de L2[a, b] constituido por lasfunciones de C1[a, b] que cumplen las condiciones de contorno

αu(a) + α′u′(a) = 0 con |α|+ |α′| > 0

βu(b) + β′u′(b) = 0 con |β|+ |β′| > 0

y cuya derivada segunda generalizada3 esta en L2[a, b]. La transformacion

L : X → L2[a, b] esta dada por L(u) = −u′′ + cu, que es lineal y cumple(L(x)|y) = (x|L(y)) ∀x, y ∈ X . En efecto:

(L(x)|y) =∫ ba (−x′′y + cxy)dt = −[x′y]ba +

∫ ba x

′y′dt+∫ ba cxydt

(x|L(y)) =∫ ba (−y′′x+ cxy)dt = −[xy′]ba +

∫ ba x

′y′dt+∫ ba cxydt

3Ver la seccion ?? dedicada a las distribuciones

y, por las condiciones de contorno, es claro que [x′y]ba = [xy′]ba. Como X es

denso L2[a, b], podemos considerar que L es autoadjunto aunque no sea unendomorfismo en L2[a, b].

Veamos, en primer lugar, que el problema homogeneo con la primera de

las condiciones

PHC(a)

−u′′(t) + c(t)u(t) = 0 en a < t 0

tiene, unicamente, un rayo de soluciones. En efecto:Es claro que el problema de condicion inicial

PHI(a)

−u′′(t) + c(t)u(t) = 0 en a < t 0

tiene una unica solucion u1 que, necesariamente, es no nula. Tambien esclaro que todo elemento del rayo [u1] es solucion del PHC(a).

Por otra parte, si v es una solucion no nula del PCC(a), por la condicionde contorno αv(a) + α′v′(a) = 0 con α 6= 0 o α′ 6= 0 resulta que v′(a) 6= 0 o

v(a) 6= 0. Entonces − αv′(a)v o α′

v(a)v deben coincidir con la unica solucion u1

del PCI(a) y, ası, en cualquiera de los dos casos, v ∈ [u1].De igual modo, el problema homogeneo con la segunda condicion

PHC(b)

−u′′(t) + c(t)u(t) = 0 en a < t 0

tiene otro rayo de soluciones [u2].

Si el problema homogeneo asociado a nuestro (SL) inicial

−u′′(t) + c(t)u(t) = 0 en a < t 0

βu(b) + β′u′(b) = 0 con |β| + |β′| > 0

solo tiene la solucion nula, los rayos [u1] y [u2] tienen que ser distintos pues,

de lo contrario, habrıa una solucion no nula para el problema homogeneo.Por tanto, u1u

′2 − u2u

′1 6= 0 pues,

u1u′2 − u2u

′1 = 0 ⇒ u′1

u1=u′2u2

⇒ logu1 = logu2 + log k ⇒ u1 = ku2.

Por ser u1 y u2 soluciones de la ecuacion homogenea −u′′ + cu = 0 se tiene

que u1u′′2 − u2u

′′1 = 0 y como u1u

′′2 − u2u

′′1 = (u1u

′2 − u2u

′1)

′ resulta que


u1u′2 − u2u

′1 es una constante no nula que designamos W .

Consideramos, ∀t ∈ [a, b], el sistema

ρ2u2(t) + ρ1u1(t) = 0

ρ2u′2(t) + ρ1u

′1(t) = 1

que tiene solucion unica ρ1 = −u2(t)

Wy ρ2 =

u1(t)

W. La funcion

Gt : [a, b] → R

s 7→

ρ1u1(s) = − u2(t)u1(s)

Wsi s ∈ [a, t]

−ρ2u2(s) = − u1(t)u2(s)

Wsi s ∈ [t, b]

es continua pero no es derivable. Definiendo G(t, s) = Gt(s) tenemos

G : [a, b]× [a, b] → R

(t, s) 7→

− u1(t)u2(s)

Wsi a ≤ t ≤ s ≤ b

− u2(t)u1(s)

Wsi a ≤ s ≤ t ≤ b

que es simetrica, esta en C([a, b] × [a, b]) ⊂ L2([a, b] × [a, b]) y, por tanto,

genera un operador de Hilbert-Schmidt autoadjuntoHG : L2[a, b] → L

2[a, b].

Veamos que HG(f) puede considerarse solucion del problema (SL):

u(t) := HG(f)(t) = − u2(t)

W

∫ t

au1(s)f(s)ds − u1(t)

W

∫ b

tu2(s)f(s)ds

Si f fuese continua, u serıa derivable en sentido clasico pero como es cualquierelemento de L2[a, b], solo podemos asegurar que u es derivable como dis-

tribucion. Su derivada es

u′(t) = − u′2(t)W

∫ t

au1(s)f(s)ds − u′1(t)

W

∫ b

tu2(s)f(s)ds

que es una funcion continua como se puede comprobar secuencialmente. Alderivar u′ como distribucion obtenemos

u′′(t) = − u′′2(t)

W

∫ t

au1(s)f(s)ds − u′′1(t)

W

∫ b

tu2(s)f(s)ds−

− u′2(t)u1(t) − u′1(t)u2(t)

Wf(t)

Como u′′i (t) = c(t)ui(t) tenemos que u′′(t) = c(t)u(t) − f(t). Ademas, u

satisface las condiciones de contorno pues

αu(a) + α′u′(a) = − αu1(a) + α′u′1(a)W

∫ b

au2(s)f(s)ds = 0

βu(b) + β′u′(b) = − βu2(b) + β′u′2(b)W

∫ b

au1(s)f(s)ds = 0

Por tanto, HG(f) es solucion generalizada de (SL) y es la unica solucion

posible pues si v fuese otra solucion, v − HG(f) lo serıa del problema ho-mogeneo asociado y hemos supuesto que este solo admite la solucion nula.

Ası, HG : L2[a, b] → L2[a, b] es un operador compacto, autoadjunto e in-yectivo y el teorema 6.4.12 nos asegura la existencia de una sucesion de

valores propios reales no nulos (λn) → 0 y una base hilbertiana de L2[a, b]constituida por los vectores propios (en) que dan la representacion espectral

HG =

∞∑

n=1

λnen ⊗ en y la solucion del (SL) u =

∞∑

n=1

λn(f | en)en

Ademas, ∀g ∈ L2[a, b] es claro que HG(g) ∈ X y podemos considerar que

HG : L2[a, b] → X . En particular, la base de vectores propios (en) esta en elsubespacio X y, a fortiori,X es un subespacio no cerrado y denso de L2[a, b].

La transformacion lineal

L: X → L2[a, b]u 7→ −u′′ + cu

ligada al problema (SL) tiene una inversa HG : L2[a, b] → X con las buenaspropiedades espectrales que hemos visto. Pero L tiene el mismo conjunto

de vectores propios que HG y los valores propios de L son los inversos de losvalores propios de HG. La aplicacion lineal L no es acotada porque tiene

una sucesion de valores propios que tiende a ∞ pero, tiene una sucesion devectores propios que constituyen una base ortonormal de L2[a, b]. Este es el

famoso teorema de oscilacion que aquı es un corolario del teorema 6.4.12.

En la practica suele ser sencillo determinar los valores y vectores propiosde L y, a traves de ellos, determinar la representacion espectral de HG yobtener la solucion del problema (SL).

Ejemplo 6.5.1

Dada una funcion f ∈ L2[0, l] hallar u : [0, l] → R tal que

−u′′(t) = f(t) en 0 < x < l

u(0) = 0

u(l) = 0

Solucion:

Este problema de Sturm-Liouville esta ligado al operador

L: X → L2[0, l]u 7→ −u′′

Como el problema homogeneo asociado

u′′(t) = 0 en 0 < t < l

u(0) = 0

u(l) = 0

solo tiene la solucion nula, podemos construir la funcion de Green:La solucion general de la ecuacion homogenea u′′ = 0 es u = At + B. Im-

poniendo la primera condicion de contorno, u(0) = 0, obtenemos que B = 0y que el rayo de soluciones es [u1] con u1(t) = t.

Analogamente, imponiendo la segunda condicion de contorno, u(l) = 0,obtenemos que 0 = Al + B ⇒ B = −Al, y el correspondiente rayo de solu-ciones es [u2] con u2(t) = t− l.

Puesto que W =

∣∣∣∣

u1(t) u2(t)

u′1(t) u′2(t)

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

t t− l

1 1

∣∣∣∣

= l, la funcion de Green viene

dada por

G(t, s) =

−u1(t) u2(s)

W= −t(s − l)

l, 0 ≤ t ≤ s ≤ l

−u2(t) u1(s)

W= −(t− l)s

l, 0 ≤ s ≤ t ≤ l

y la solucion del problema inicial es:

u(t) =

∫ l

0G(t, s)f(s) ds = −t− l

l

∫ t

0sf(s) ds − t

l

∫ l

t(s− l)f(s) ds

Otra vıa para resolver el problema es hallar la representacion espectral del

operador HG, es decir, buscar los autovalores y autofunciones de L:

1. Como el problema homogeneo asociado solo tiene la solucion nula, 0no es valor propio de L.

2. No hay autovalores negativos pues la ecuacion diferencial −u′′ = −k2u

tiene la solucion general A senh (kt) +B cosh(kt) y las condiciones decontorno imponen

A · 0 +B = 0

A senh (kl) = 0⇒ A = B = 0.


3. Buscamos los autovalores positivos. La ecuacion diferencial −u′′ = k2u

tiene la solucion general A sen (kt) + B cos(kt) y las condiciones decontorno imponen

A · 0 + B = 0

A sen (kl) = 0⇒ B = 0

pero A puede ser no nula si k =nπ

l∀n = 1, 2, · · · .

Ası,

(n2π2

l2

)

son los autovalores de L y (en) =

(√

2

lsen

(nπt

l

))

es la

correspondiente base ortonormal de vectores propios. Por tanto,

HG(f) =l2

π2

∞∑

n=1

1

n2(f |en) en

y la solucion puede darse en la forma:

u(t) =2l

π2

∞∑

n=1

1

n2

(∫ l

0f(t) sen

(nπt

l

)

dt

)

sen

(nπt

l

)

♦

Ejemplo 6.5.2

Resolver el problema de Sturm-Liouville

u′′(t) = t en 0 ≤ t ≤ 1

u(0) = 0

u′(1) = 0

Solucion:

La solucion general de la ecuacion diferencial homogenea es u = At + B.Imponiendo las condiciones iniciales se tiene

u(0) = 0 = B

u′(1) = 0 = A

, y el problema homogeneo solo tiene la solucion 0. Por tanto, existe funcionde Green y es unica.Resolviendo el sistema formado por la ecuacion diferencial homogenea y la

primera condicion de contorno,

u′′(t) = 0

u(0) = 0

, se obtiene la solucion u1(t) = t.

Analogamente,u′′(t) = 0

u′(1) = 0

⇒ u2(t) = 1 y W =

∣∣∣∣

u1(t) u2(t)u′1(t) u′2(t)

∣∣∣∣= −1


Escribiendo la ecuacion diferencial en la forma −u′′(t) = −t, la funcion de

Green es:

G(t, s) =

−u1(t) u2(s)

W= t, 0 ≤ t ≤ s ≤ 1

−u2(t) u1(s)

W= s, 0 ≤ s ≤ t ≤ 1

La solucion del problema (SL) es entonces:

u(t) =

∫ 1

0

G(t, s)(−s) ds = −∫ t

0

s2 ds− t

∫ 1

t

s ds =t3

6− t

2

Otra manera de resolverlo, es hallar la representacion espectral. Como elproblema homogeneo solo tiene la solucion trivial, 0 no es autovalor del

problema

−u′′ = λu

u(0) = 0

u′(1) = 0Veamos si hay autovalores negativos:

Haciendo λ = −k2, la solucion general de la ecuacion −u′′ = −k2u es u(t) =Aekt +Be−kt y u′(t) = Akekt + Bke−kt

Imponiendo las condiciones de contorno:

u(0) = 0 = A+B

u′(1) = 0 = Akek + Bke−k

⇒ A = B = 0, pues el determinante del

sistema vale −2k cosh k 6= 0 . Por tanto, no hay autovalores negativos.

Calculemos, por ultimo, los autovalores positivos:Haciendo λ = k2, la solucion general de la ecuacion −u′′ = k2u es u(t) =

A cos kt+B sen kt , y u′(t) = −Ak sen kt+ Bk cos ktImponiendo las condiciones de contorno:

u(0) = 0 = A

u′(1) = 0 = −Ak sen k +Bk cos k

⇒ cos k = 0 ⇒ k =(2n− 1)π

2

Los autovalores son λn =(2n− 1)2π2

4, n = 1, 2, · · ·

y los vectores propios correspondientes un = sen(2n− 1)πt

2.

Podemos normalizarlos para obtener la base hilbertiana de vectores propios:

‖un‖2 =

∫ 1

0

sen2 (2n− 1)πt

2dt =

1

2⇒ ‖un‖ =

1√2

(en) =

(un

‖un‖

)

=(√

2 sen(2n− 1)πt

2

)

El operador HG, inverso de L, tiene la representacion espectral

HG =

∞∑

n=1

1

λnen ⊗ en , es decir, HG(f) =

∞∑

n=1

1

λn(f |en)en

Para f(t) = −t se tiene:


(f |en) =

∫ 1

0−√

2 t sen(2n− 1)πt

2dt =

(−1)n4√

2

(2n− 1)2π2

Con lo cual, la solucion del problema (SL) es:

HG(f)(t) = u(t) =32

π4

∞∑

n=1

(−1)n

(2n− 1)4sen

(2n− 1)πt

2.

Ejemplo 6.5.3

Resolver el problema de Sturm-Liouville

u′′(t) + u(t) = t en t ∈ [0, π]

u(0) + u′(0) = 0

u(π) = 0

Solucion:

El problema homogeneo asociado tiene unicamente la solucion 0. En efecto,

la solucion general de la ecuacion diferencial homogenea es u(t) = A cos t+B sen t. Imponiendo las condiciones de contorno,

u(0) + u′(0) = 0 = A +B

u(π) = 0 = −A

⇒ A = B = 0

Por tanto, el problema (SL)tiene solucion unica.En este caso los autovalores de la aplicacion lineal L no se pueden calcular de

manera exacta. Sin embargo es muy sencillo construir la funcion de Green.Resolviendo el sistema formado por la ecuacion diferencial homogenea y la

primera condicion de contorno:

u′′(t) + u(t) = 0

u(0) + u′(0) = 0

se obtiene la solucion u1(t) = cos t− sen t

Analogamente,u′′(t) + u(t) = 0

u(π) = 0

⇒ u2(t) = sen t

W =

∣∣∣∣

u1(t) u2(t)

u′1(t) u′2(t)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

cos t− sen t sen t

− sen t− cos t cos t

∣∣∣∣= 1

y, si queremos utilizar la expresion de la funcion de Green dada en la pagina

233, (obtenida con el coeficiente de u′′ igual a −1) debemos escribir laecuacion diferencial en la forma −u′′(t) − u(t) = −t.

G(t, s) =

−u1(t) u2(s)

W= −(cos t− sen t) sen s, 0 ≤ t ≤ s ≤ π

−u2(t) u1(s)

W= − sen t(cos s− sen s), 0 ≤ s ≤ t ≤ π

La solucion del problema (SL) es entonces:

u(t) =

∫ π

0G(t, s)(−s) ds = sen t

∫ t

0s(cos s − sen s) ds+

+(cos t− sen t)

∫ π

ts sen s ds = t+ π cos t− (π + 1) sen t. ♦

Hasta ahora hemos visto ejemplos de problemas de Sturm-Liouville talesque su asociado homogeneo tiene unicamente la solucion nula. Ahora vere-

mos que siempre existe un µ ∈ R tal que el problema homogeneo

−u′′(t) + (c(t) + µ)u(t) = 0 en a < t 0

βu(b) + β′u′(b) = 0 con |β|+ |β′| > 0

tiene unicamente la solucion nula. Para ello necesitamos el siguiente

Lema 6.5.4

∀φ ∈ C1[a, b] y ∀ε > 0 ∃C(ε) > 0 tal que

‖φ‖2∞

≤∫ b

a(ε φ′2(t) + C(ε)φ2(t))dt

Demostracion:Si ası no fuera existirıa un ε > 0 y una sucesion (ϕn) ⊂ C1[a, b] tal que

‖ϕn‖2∞>

∫ b

a(ε ϕ′2

n(t) + nϕ2n(t))dt y, tomando φn =

ϕn‖ϕn‖∞

,

∃(φn) tal que 1 = ‖φn‖2∞>

∫ b

a(ε φ′2n(t) + nφ2

n(t))dt

Entonces,1

n>

∫ b

aφ2n(t)dt ≥

1

4m

(

t | φn(t) >1

2

)

y, por tanto,

m

(

t | φn(t) >1

2

)

≤ 4

n

Sea tn ∈ [a, b] tal que |φn(tn)| = 1. Como m

([

tn −4

n, tn +

4

n

])

=8

n

existira sn ∈[

tn −4

n, tn +

4

n

]

tal que φn(sn) ≤ 1

2y el teorema de los

incrementos finitos en [tn, sn] asegura que

1

2≤∫ sn

tn

|φ′(t)|dtHolder≤

√

|tn − sn|(∫ b

a

|φ′n(t)|2dt) 1

2

.

Luego

1

2≤ 2√

n

(∫ b

a

|φ′n(t)|2dt) 1

2

yn ε

16≤ ε

∫ b

a

|φ′n(t)|2dt < 1

con lo que llegamos al absurdo de acotar N. ♦.

Este lema nos dice que siempre existe un K > 0 tal que si c(t) ≥ K, elproblema homogeneo asociado al (SL) inicial solo tiene la solucion trivial.

Veamoslo:Si v es solucion del problema homogeneo asociado es claro que

0 =

∫ b

a

[−v′′(t) + c(t)v(t)

]v(t) dt luego

∫ b

a(v′2(t) + c(t)v2(t))dt = v′(b)v(b)− v′(a)v(a) =

α

α′ v2(a) − β

β′v2(b) ≤ 4

≤(∣∣∣α

α′

∣∣∣ +

∣∣∣∣

β

β′

∣∣∣∣

)

‖v‖2∞

≤(∣∣∣α

α′

∣∣∣+

∣∣∣∣

β

β′

∣∣∣∣

) ∫ b

a(v′2(t) +C(1)v2(t))dt

Por tanto, si c(t) es suficientemente grande, la desigualdad solo es posible si

v(t) = 0.

Sea un problema de Sturm-Liouville

(SL)

−u′′(t) + c(t)u(t) = f(t) en a < t 0

βu(b) + β′u′(b) = 0 con |β|+ |β′| > 0

cuyo problema homogeneo asociado tiene una solucion u1 no nula. Eso

quiere decir que el operador L : X → L2[a, b] tal que L(u) = −u′′ + cuadmite el autovalor 0 y su subespacio propio es kerL = [u1].

Sin embargo, como c : [a, b] → R es continua y, por tanto, acotada, siemprehay un µ suficientemente grande para asegurar que el problema de Sturm-Liouville

(SLµ)

−u′′(t) + (c(t) + µ)u(t) = f(t) + µu(t) en a < t 0

βu(b) + β′u′(b) = 0 con |β| + |β′| > 0

equivalente al inicial, tiene un problema homogeneo asociado que solo ad-mite la solucion trivial y, por tanto, a esta formulacion le podemos aplicar

los metodos conocidos que ya han sido expuestos (ver pag 234). La solucion

4Si α′ o β′ fuesen nulos, no aparecerıa el termino correspondiente


de SLµ es de la forma u = HGµ(f + µu) donde HGµ : L2[a, b] → X es un

operador de Hilbert-Schmidt autoadjunto e inyectivo.

Podemos calcular la funcion de Green Gµ y escribir

u = HGµ(f + µu) =

∫ b

a

Gµ(t, s)f(s)ds+ µ

∫ b

a

Gµ(t, s)u(s)ds

pero de aquı no podemos obtener una expresion explıcita de la solucion upuesto que aparece en ambos miembros de la ecuacion y no podemos de-

spejarla. Sin embargo, la informacion de que el operador HGµ es compacto,autoadjunto e inyectivo nos situa en la alternativa de Fredholm y nos permite

obtener una expresion de la solucion u del problema SL cuando f ∈ [u1]⊥.

Es claro que HGµ es el inverso de L + µI y, por tanto, su sucesion de

autovalores convergente a 0 es

(1

λn + µ

)

donde (λn) son los autovalores de

L y su correspondiente base hilbertiana de autovectores (un) son tambienlos autovectores de L. Podemos suponer sin restriccion que λ1 = 0 y su

autovector correspondiente es u1. Entonces,

u = HGµ(f + µu) =

∞∑

n=1

(f + µu|un)λn + µ

un = (u|u1)u1 +

∞∑

n=2

(f + µu|un)λn + µ

un

y, por tanto,

(u|un) =(f + µu|un)λn + µ

∀n ≥ 2

y despejando,

(u|un) =(f |un)λn

∀n ≥ 2.

El unico producto (u|un) que queda sin determinar y que, por tanto, es una

constante arbitraria k, es (u|u1) y, ası, la solucion se expresa en la forma

u = ku1 +

∞∑

n=2

(f |un)λn

un

Ejemplo 6.5.5

Resolver el problema

−u′′(t) − u(t) = cos t+ sen t , t ∈ [0, π]

u(0) + u′(0) = 0

u(π) + u′(π) = 0

Solucion:

La ecuacion homogenea u′′ + u = 0 tiene como solucion general u(t) =

C1 cos t+ C2 sen t e imponiendo las condiciones de contorno obtenemos

C1 +C2 = 0

−C1 −C2 = 0

⇒ C2 = −C1

Luego u1(t) = cos t − sen t es solucion no nula del problema homogeneo

asociado, el operador L : X → L2[0, π], tal que L(u) = −u′′ − u tiene elautovalor λ1 = 0 y kerL = [u1].

Segun la alternativa de Fredholm el problema tiene solucion si f ∈ [u1]⊥ y

este es el caso ya que

(f |u1) =

∫ π

0(cos t+ sen t)(cos t− sen t) dt =

∫ π

0cos 2t dt = 0

Como hemos dicho, la solucion viene dada por:

u(t) = cu1(t) +

∞∑

n=2

1

λn(un|f)un

donde c es una constante arbitraria, (λn) la sucesion de autovalores no nulosde L y (un) la correspondiente sucesion ortonormal de vectores propios.

Calculemos en primer lugar los autovalores de L, es decir, los valores de λtales que −u′′(t) − u(t) = λu(t), o bien −u′′(t) = (1 + λ)u(t).

La solucion general de esta ecuacion diferencial homogenea es distinta segunsea 1 + λ < 0, 1 + λ = 0 o 1 + λ > 0.

Si 1 + λ < 0, hacemos 1 + λ = −k2 y la ecuacion u′′(t) = k2u(t) tiene comosolucion u(t) = Aekt + Be−kt , con k = +

√k2, que derivada y sustituida en

las condiciones de contorno nos proporciona el sistema:

(1 + k)A+ (1 − k)B =0

(1 + k)ekπA + (1 − k)e−kπB =0

El determinante de este sistema lineal es∣∣∣∣

1 + k 1 − k(1 + k)ekπ (1 − k)e−kπ

∣∣∣∣= −2(1− k2) senh kπ

que, por ser k 6= 0, se anula unicamente para k2 = 1 ⇒ k = 1.

Ası pues, 1+λ = −k2 = −1 nos da el autovalor λ = −2 y el correspondiente

vector propio se obtiene resolviendo el sistema anterior para k = 1:

2A =0

2eπA =0

⇒ A = 0 ⇒ u−2(t) = e−t


Si 1 + λ = 0, la solucion general de la ecuacion diferencial u′′(t) = 0 es

u(t) = At+B. Derivada y sustituida en las condiciones de contorno nos da:

B + A = 0

Aπ +B + A = 0

⇒ A = B = 0

de modo que λ = −1 no es autovalor de L.

Si 1 + λ > 0, hacemos 1 + λ = k2 y la ecuacion −u′′(t) = k2u(t) tienecomo solucion general u(t) = A cos kt+B sen kt que, derivada y sustituidaen las condiciones de contorno, nos proporciona el sistema:

A+ kB = 0

(A+ kB) cos kπ + (B − kA) sen kπ = 0

Si A+kB = 0 y B−kA = 0 , la unica solucion es la trivial, A = 0 , B = 0,pero tambien puede ser B − kA 6= 0 y sen kπ = 0, es decir, kπ = nπ , n =

1, 2, · · · , con lo cual 1+λ = n2 y λn = n2−1 , n = 1, 2, · · · son autovalores deL. Los correspondientes vectores propios se obtienen resolviendo el sistema

anterior para k = n y sustituyendo en la solucion general:

A = −nB , un(t) = cosnt− 1

nsennt , n = 1, 2, · · ·

Para n = 1 se obtiene λ1 = 0 que, como ya sabıamos, es el autovalor aso-ciado a u1(t) = cos t− sen t .

Para expresar la solucion como se ha indicado falta normalizar la base devectores propios y calcular los productos escalares. Por simplicidad procede-

mos a la inversa, calculamos primero los productos escalares (u−2|f), (un|f)y despues dividimos por la norma:

(u−2|f) =

∫ π

0e−t(cos t+ sen t) dt = 1 + e−π

(un|f) =

∫ π

0

(

cosnt− 1

nsennt

)

(cos t+ sen t) dt =

−4

n2 − 1, n par

0 , n impar

o bien, sustituyendo n por 2n:

(u2n|f) =−4

4n2 − 1, n = 1, 2, · · ·

Como, ademas,

‖u−2‖2 =

∫ π

0e−2t dt =

1 − e−2π

2

‖u2n‖2 =

∫ π

0

(

cos 2nt− 1

2nsen 2nt

)2

dt =4n2 + 1

8n2π

la solucion del problema inicial es:

u(t) = cu1(t) +1

λ−2

(u−2|f)u−2

‖u−2‖2+

∞∑

n=1

1

λ2n

(u2n|f)u2n

‖u2n‖2=

= c(cos t− sen t) − e−t

1 − e−π+

∞∑

n=1

−32n2

π(4n2 − 1)2(4n2 + 1)(cos 2nt− 1

2nsen 2nt)

donde c es una constante arbitraria. ♦

Para finalizar tratamos los problemas de Sturm-Liouville en que las condi-

ciones de contorno no son homogeneas,

(SLNH)

−u′′(t) + c(t)u(t) = f(t) en a < t 0

βu(b) + β′u′(b) = B con |β| + |β′| > 0

Si podemos descomponer el problema en los dos subproblemas siguientes

SL

−u′′(t) + c(t)u(t) = f(t) en a < t 0

βu(b) + β′u′(b) = 0 con |β| + |β′| > 0

y

P

−u′′(t) + c(t)u(t) = 0 en a < t 0

βu(b) + β′u′(b) = B con |β|+ |β′| > 0

y resulta que

1. SL es un problema de Sturm-Liouville cuya solucion sabemos calcularpor alguno de los metodos expuestos anteriormente,

2. en el problema P , es compatible el sistema lineal que resulta de im-

poner las condiciones de contorno no homogeneas a la solucion generalde la ecuacion diferencial,

entonces, la solucion del problema SLNH sera la suma de las soluciones de

SL y P .

Ejemplo 6.5.6

Resolver el siguiente problema de contorno:

u′′(t) + 4 u(t) = et en t ∈[

0,π

4

]

u(0) = 1

u(π

4

)

= −1


Solucion:

Descomponemos el problema en los dos subproblemas

SL

−u′′(t) − 4u(t) = −et , t ∈[

0,π

4

]

u(0) = 0

u(π

4

)

= 0

y

P

−u′′(t) − 4u(t) = 0 , t ∈[

0,π

4

]

u(0) = 1

u(π

4

)

= −1

SL es un problema de Sturm-Liouville regular que vamos a resolver en primer

lugar. La solucion general de la ecuacion diferencial u′′ + 4u = 0 es u =A cos 2t+B sen 2t que, sustituida en las condiciones de contorno homogeneas,nos da

u(0) = 0 = A , u(π

4

)

= 0 = B

Ası, el problema homogeneo asociado a SL solo tiene la solucion 0 y, por

ello, SL tiene una unica solucion que podemos hallar a traves de la funcionde Green o mediante la representacion espectral del operador HG. Con-

struyamos en primer lugar la funcion de Green:Resolvemos el sistema formado por la ecuacion diferencial homogenea y laprimera condicion de contorno para obtener el rayo [u1]:

u′′ + 4u =0 ⇒ u = A cos 2t+B sen 2t

u(0) = 0 =A

⇒ u1(t) = sen 2t

Procediendo de igual manera con la segunda condicion de contorno,

u′′ + 4u =0 ⇒ u = A cos 2t+B sen 2t

u(π

4

)

= 0 = B

⇒ u2(t) = cos 2t

W es, W =

∣∣∣∣

sen 2t cos 2t2 cos 2t −2 sen 2t

∣∣∣∣= −2, y la funcion de Green:

G(t, s) =

−u1(t) u2(s)

W=

sen 2t cos 2s

2, 0 ≤ t ≤ s ≤ π

4

−u2(t) u1(s)

W=

cos 2t sen 2s

2, 0 ≤ s ≤ t ≤ π

4

La solucion del problema (SL), teniendo en cuenta que debemos escribir la

ecuacion diferencial en la forma −u′′ − 4u = −et, es:

u(t) =

∫ π4

0

G(t, s)(−es) ds = −1

2cos 2t

∫ t

0

es sen 2s ds−

− 1

2sen 2t

∫ π4

tes cos 2s ds =

et

5− cos 2t

5− e

π4 sen 2t

5

Hallemos ahora la solucion de SL mediante la representacion espectral deloperador HG. Debemos calcular los autovalores de su inversa L, tal queL(u) = −u′′ − 4u, es decir, los valores de λ para los cuales existe un u, no

nulo, verificando −u′′ − 4u = λu, o bien, u′′ + (4 + λ)u = 0.La solucion general de esta ecuacion diferencial homogenea es distinta segun

sea 4 + λ < 0 , 4 + λ = 0 o 4 + λ > 0 .

Para 4 + λ < 0 , hacemos 4 + λ = −k2 y la solucion general de la ecuacion

diferencial u′′ − k2u = 0 es u(t) = Ae kt + Be− kt

Sustituyendo en las condiciones de contorno,

u(0) = 0 = A+ B

u(π

4

)

= 0 = Aekπ4 +Be−k

π4

⇒ A = B = 0, pues

el determinante del sistema vale −2 senhkπ

4, distinto de cero salvo para

k = 0, que no es el caso. Por tanto, los λ < −4 no son autovalores.

Para λ = −4 , u(t) = At+B


u(0) = 0 = B

u(π

4

)

= 0 = Aπ

4+B

⇒ A = B = 0, y λ = −4 no es autovalor.

Para 4 + λ > 0 , hacemos 4 + λ = k2 y la solucion general de la ecuaciones u(t) = A cos kt + B sen kt


u(0) = 0 = A

u(π

4

)

= 0 = A coskπ

4+B sen

kπ

4

Este sistema admite la solucion A = 0 , B 6= 0 si senkπ

4= 0.

Es decir, sikπ

4= nπ ⇒ k = 4n⇒ λ = 16n2 − 4 , n = 1, 2, · · ·

La sucesion de autovalores es (λn) = (16n2 − 4) y la correspondiente base

de vectores propios (un) = ( sen 4nt), que podemos normalizar para obtenerla base hilbertiana:

‖un‖2 =

∫ π4

0sen 24nt dt =

π

8, (en) =

(un

‖un‖

)

=

(√

8

πsen 4nt

)

La representacion espectral de HG es,

6.6. ECUACIONES DE LA FISICA-MATEMATICA 247

u = HG(f) =

∞∑

n=1

1

λn(f |en)en

Para f(t) = −et, se tiene:

u(t) =

∞∑

n=1

1

16n2 − 4

(√

8

π

∫ π4

0−et sen 4nt dt

)√

8

πsen 4nt =

= −2eπ4 + 4

5π

∞∑

n=1

sen 4nt

4n2 − 1

Resolvemos, por ultimo, el problema P

u′′(t) + 4 u(t) = 0 , t ∈[

0,π

4

]

u(0) = 1

u(π

4

)

= −1

La solucion general de la ecuacion diferencial esv(t) = A cos 2t + B sen 2t , que sustituida en las condiciones de contorno

permite calcular A y B:

v(0) = 1 = A , v(π

4

)

= −1 = B , v(t) = cos 2t− sen 2t

La solucion del problema propuesto, calculada a traves de la funcion deGreen, es:

u(t) =et

5− cos 2t

5− e

π4 sen 2t

5+ v(t) =

et

5+

4 cos 2t

5−

(

1 + eπ4

)

sen 2t

5

y calculada a traves de la representacion espectral del operador HG, es:

u(t) = cos 2t− sen 2t− 2eπ4 + 4

5π

∞∑

n=1

sen 4nt

4n2 − 1♦

6.6 Ecuaciones de la fısica-matematica

La teorıa de Sturm-Liouville combinada con el metodo de separacion de

variables permite resolver muchos problemas de la fısica gobernados por

ecuaciones en derivadas parciales que cumplen determinadas condicionesiniciales y de contorno. Ejemplos clasicos son el tratamiento de la ecuacion

de ondas y la ecuacion del calor.

Ejemplo 6.6.1 (Cuerda vibrante)

La funcion

U : (0, l)× (0,∞) → R ,

(x, t) 7→ U(x, t)


nos describe, en un instante t, la pequena ordenada y = U(x, t) de un punto

de abcisa x de una cuerda flexible de extremos 0 y l que tiene una masa µpor unidad de longitud y esta sometida a vibracion en el plano xy bajo una

tension constante τ , cuando satisface la ecuacion de ondas

Utt =τ

µ· Uxx en (0, l)× (0,∞)

Se quiere determinar la funcion U(x, t) con las condiciones

CC

U(0, t) = 0

U(l, t) = 0∀t ∈ (0,∞) y CI

U(x, 0) = f(x)

Ut(x, 0) = 0∀x ∈ (0, l)

Solucion:

Buscamos una solucion U(x, t) = X(x) ·T (t) en variables separadas pues,

en tal caso,T ′′

T=τ

µ

X ′′

X

y esta igualdad entre funciones de variables que se suponen independientes,

obliga a que ambas sean iguales a una constante k. Ası, aparecen los prob-lemas separados

X”− kµ

τX = 0

X(0) = 0, X(l) = 0

X(x) · T (0) = f(x)

y

T ′′ − kT = 0

T ′(0) = 0

o, si se prefiere,

(I)

X ′′ − kµ

τX = 0

X(0) = 0, X(l) = 0

X(x) = f(x)

y (II)

T ′′ − kT = 0

T ′(0) = 0

T (0) = 1

Para que (I) tenga solucion no nula, segun 6.5.1, se precisa que

k = −n2π2τ

l2µcon n ∈ N

y, en tal caso, la solucion es de la forma

Xn = An sen(nπx

l

)

El correspondiente problema (II) tiene, entonces, solucion general

A′n sen

(√τ

µ

nπt

l

)

+B′n cos

(√τ

µ

nπt

l

)


e imponiendo que T ′(0) = 0 y T (0) = 1 obtenemos la solucion

Tn = cos

(√τ

µ

nπt

l

)

Conseguimos, ası, una familia numerable de funciones

Un(x, t) = An cos

(√τ

µ

nπt

l

)

sen(nπx

l

)

que, por el principio de superposicion, nos da la solucion general

U(x, t) =

∞∑

n=1

An cos

(√τ

µ

nπt

l

)

sen(nπx

l

)

del problema

Utt =τ

µ· Uxx en (0, l)× (0,∞)

U(0, t) = 0 ∀t ∈ (0,∞)

U(l, t) = 0 ∀t ∈ (0,∞)

Ut(x, 0) = 0 ∀x ∈ (0, l)

Solo nos falta determinar los coeficientes An para imponer la ultima condicion

U(x, 0) = f(x) ∀x ∈ (0, l)

Esto se consigue obteniendo el desarrollo de Fourier de f respecto de lamisma base ortogonal en que tenemos desarrollada

U(x, 0) =∞∑

n=1

An sen(nπx

l

)

Ası,

f(x) =2

l

∞∑

n=1

(∫ l

0f(x) sen

(nπx

l

)

dx

)

sen(nπx

l

)

y, como el desarrollo es unico, deducimos que

An =2

l

∫ l

0f(x) sen

(nπx

l

)

dx ∀n ∈ N

Por tanto, la funcion

U(x, t) =2

l

∞∑

n=1

(∫ l

0f(x) sen

(nπx

l

)

dx

)

cos

(√τ

µ

nπt

l

)

sen(nπx

l

)

cumple la ecuacion de ondas y el resto de las condiciones exigidas. ♦

Ejemplo 6.6.2 (Ecuacion del calor)

La funcion

U : (0, l)× (0,∞) → R ,(x, t) 7→ U(x, t)

nos describe, en un instante t, la temperatura de un punto de abcisa x de unabarra cilındrica, isotropa y homogenea de extremos 0 y l cuando la superficie

lateral de la barra esta aislada termicamente si satisface la ecuacion del

calor

Ut(x, t) =ν

cρUxx(x, t) 0 < x < l 0 < t <∞

donde ν, c, ρ son respectivamente el coeficiente de conductividad termica,

el calor especıfico y la densidad del material que constituye la barra. Enestas condiciones, las superficies isotermicas son las secciones transversales

y, en cada instante t, la temperatura de los puntos de la barra depende deuna unica variable espacial, la abscisa x.

Se quiere determinar la funcion U(x, t) cuando los extremos de la barra semantienen constantemente a temperatura cero y la temperatura de la barra

en el instante inicial viene dada por una funcion conocida f(x). Es decir, sequiere resolver el problema

Ut(x, t) = a2 Uxx(x, t) 0 < x < l 0 < t <∞U(0, t) = 0 , U(l, t) = 0

U(x, 0) = f(x)

donde a2 =ν

cρes el llamado coeficiente de termodifusion.

La aplicacion del metodo de separacion de variables

U(x, t) = X(x) T (t)

nos conduce, como en el ejemplo anterior, al problema de Sturm-Liouvillehomogeneo

(I)

X ′′(x)− k

a2X(x) = 0 , 0 < x < l

X(0) = 0 , X(l) = 0

al problema de condicion inicial

(II)

T ′(t)− kT (t) = 0

T (0) = 1, 0 < t <∞

y a la ecuacion

(III) X(x) = f(x)


Segun 6.5.1, el problema (I) tiene soluciones no nulas para los valores de k

tales quek

a2= −n

2π2

l2y, en ese caso, la solucion correspondiente es

Xn(x) = An sennπx

l

Para estos valores de k resolvemos el correspondiente problema (II):

T ′(t) = −n2π2a2

l2T (t)

T (0) = 1

y obtenemos la solucion

Tn(t) = e−n2π2a2 t

l2

Ası tenemos la sucesion de soluciones del problema inicial

Un(x, t) = An e−n2π2a2 t

l2 sennπx

l, n ∈ N

y, por el principio de superposicion, la solucion

U(x, t) =

∞∑

n=1

An e−n2π2a2 t

l2 sennπx

l

La condicion (III) nos permite escribir

U(x, 0) =∞∑

n=1

An sennπx

l= f(x)

y desarrollando f(x) en serie de Fourier respecto de la base de vectorespropios obtenida podremos identificar los coeficientes correspondientes. Por

tanto, la funcion

U(x, t) =2

l

∞∑

n=1

(∫ l

0f(x) sen

(nπx

l

)

dx

)

e−n2π2a2 t

l2 sen(nπx

l

)

♦

El metodo de separacion de variables tambien nos permite abordar proble-mas con las condiciones de contorno no homogeneas pero, en este caso,

debemos buscar la separacion en la forma

U(x, t) = X(x) · T (t) + ϕ(x)

Si en el Ejemplo 6.6.1 las condiciones de controno fuesen

CC

U(0, t) = A

U(l, t) = B∀t ∈ (0,∞)

deberıamos resolver, en primer lugar, el problema

ϕ′′(x) = 0

ϕ(0) = A

ϕ(l) = B

cuya solucion es ϕ(x) =B −A

lx +A, y a continuacion, los problemas

(I)

X ′′ − kµ

τX = 0

X(0) = 0, X(l) = 0

X(x) = f(x) − ϕ(x)

y (II)

T ′′ − kT = 0

T ′(0) = 0

T (0) = 1

La solucion sera,

U(x, t) = ϕ(x) +2

l

∞∑

n=1

(∫ l

0

(f − ϕ)(x) sen(nπx

l

)

dx

)

cos

(√τ

µ

nπt

l

)

sen(nπx

l

)

Si en el Ejemplo 6.6.2 suponemos que los extremos de la barra se mantienena temperaturas fijas A y B, el problema a resolver es

Ut(x, t) = a2 Uxx(x, t) , 0 < x < l , 0 < t <∞U(0, t) = A , U(l, t) = B

U(x, 0) = f(x)

y, como antes, la solucion sera

U(x, t) = ϕ(x) +2

l

∞∑

n=1

(∫ l

0

(f − ϕ)(x) sen(nπx

l

)

dx

)

e−

n2π2a2 t

l2 sen(nπx

l

)

donde ϕ(x) =B − A

lx+A.

Capıtulo 7

TRABAJOS

1. Historial de una empresa de 110 trabajadores de los que 100 siguen enactivo.

(a) Grado()

i.

(b) Master()

i.

2. Condicionamiento de sistemas lineales.

(a) Grado()

i.

(b) Master()

i.

3. Inversa generalizada de Moore-Penrose

(a) Grado()

i.

(b) Master()

i.

4. Alturas que alcanza el agua que ocupa el 80% del volumen de una vasijade cristal cerrada de forma dada (cilındrica, conica, troncoconica,prismatica, piramidal, piramidal truncada,...), cuando esta en las dife-

rentes posiciones de equilibrio.

(a) Grado()

i.

(b) Master()

253

254 CAPITULO 7. TRABAJOS

i.

5. Estudio del periodo del movimiento de un pendulo simple en el vacıoy en el aire.

(a) Grado()

i.

(b) Master()

i.

6. A partir de una lista de complejos L con len(L) ≥ 10, genera la lista Qde todos sus cuadrivertices distintos y halla el q0 ∈ Q cuyo Steiner4(q0)

consiga la maxima reduccion relativa de longitud. ¿Cuantas capastiene cebolla(q0)?

De la lista Q extrae la sublista C de todos los cuadrilateros convexosy halla los de mayor y menor perımetro y los de mayor y menor area.

(a) Grado()

i.

(b) Master()

i.

7. Programacion de una funcion Steiner6(L) realizada por iteracion

(a) Grado()

i.

(b) Master()

i.

8. Dada una lista L de puntos en el plano complejo, designamos H(L) ala longitud de su menor conexion hamiltoniana y S(L) a la longitud

de su conexion de Steiner.Designamos C(L) al porcentaje de ganancia relativa que obtenemos al

cambiar H(L) por S(L), es decir,

C(L) = 100H(L)− S(L)

H(L).

Si para cada natural n ≥ 3 llamamos L(n) = L ||L| = n y definimos

Cn = maxL∈L(n)

C(L), aparecen dos problemas:

1) La determinacion de listas optimas LOn ∈ L(n)

2) El calculo de las constantes Cn = C(LOn).Siempre podemos desdoblar un punto de una lista L ∈ L(n) para

obtener otra lista L′ ∈ L(n + 1) con la misma conexion de Steiner e

255

igual o mayor conexion hamiltoniana. Por tanto, la sucesion Cn es

monotona creciente y, como es acotada superiormente, (Cn) es conver-gente. Aparece ası un nuevo problema

3) El calculo de C∞ = limn→∞

Cn.

Sabemos que LO3 es el triangulo equilatero, que C3 = 50(2 −√

3) y

que C∞ > 501+√

32+

√3

pero, todo lo demas, esta sin resolver para n ≥ 4.

(a) Grado()

i.

(b) Master()

i.

9. ¿Cual es la conexion por cable de mınima longitud, entre las 20 ciu-dades mas pobladas de Galicia ?

(a) Grado

i.

(b) Master()

i.

10. Programar la evaluacion continua mediante una lista con etiquetas.

(a) Grado()

i.

(b) Master()

i.

11. Curvas de interes en ingenierıa

(a) Grado()

i.

(b) Master()

i.

12. Problemas de Maxima y Mınima a elegir (al menos 2)

(a) Grado()

i.

(b) Master()

i.

13. Algoritmo de Kruscal sobre arboles generadores mınimos

256 CAPITULO 7. TRABAJOS

(a) Grado()

i.

(b) Master()

i.

14. Escoger una prueba de la formula de Stirling.

(a) Grado()

i.

(b) Master()

i.

15. Ejercicios propuestos por los propios alumnos

(a)

Bibliografıa

[1] Ciarlet, P.G. Introduction a l’analyse numerique matricielle et al’optimisation. Paris, Masson, 1990.

[2] Corbacho, E., Rodrıguez, V. Ampliacion de Calculo. Vigo. Apuntes declase. 2003.

[3] Crouzeix, M., Mignot, A.L. Analyse numerique des equations differen-tielles. Paris, Masson, 1984.

[4] Dacuha-Castelle, D., Duflo, M. Probabilites et Statistiques 1. Paris,Masson, 1982.

[5] Dedeckind Que son y para que sirven los numeros

[6] Dunhan, W. Viaje a traves de los genios. Madrid, Piramide, 1993.

[7] Dudundji, J. Topology. Boston, Allyn and Bacon, 1967.

[8] Euclides. Elementos I-IV; V-IX; X-XIII. Madrid, Editorial Gredos,1996.

[9] Feyman, R., El Caracter de la ley fısica. Barcelona, Metatemas, 2000.

[10] Fiedler, M. Special matrices and their applications in numerical math-

ematics. Martinus Njhoff Publishers. 1986.

[11] Kline, M. El pensamiento matematico de la antiguedad a nuestros dıas

I, II, III. Madrid, Alianza Editorial, 1992.

[12] Kothe, G. Topological vector spaces I. Berlin, Springer, 1969.

[13] Novo, S., Obaya, R., Rojo, J. Ecuaciones y sistemas diferenciales.Madrid, McGraw-Hill, 1995.

[14] Matousek, J. Lectures on discrete geometry. New York, Springer-Verlag,

2002.

[15] Martinez, C., Sanz, M.A. Analisis de una variable real. Barcelona, Re-

verte, 1992.

257

258 BIBLIOGRAFIA

[16] Newton, I. Principios matematicos de la filosofıa natural. Madrid, Ed-

itorial Tecnos, 1987.

[17] Ortega, J.M., Poole, W.G. Numerical methods for differential equations.Marshfield (Massachusetts), Pitman, 1981.

[18] Rao, M.R.M. Ordinary differential equations. London, E. Arnold, 1981.

[19] Rubio de Francia, J.L., Memoria Analisis II. Zaragoza, 1975.

[20] Rudin, W. Analisis real y complejo (3a edicion). Madrid, Mc. Graw-

Hill, 1988.

[21] Rudin, W. Functional Analysis. New York, Mc. Graw-Hill, 1973.

[22] Santalo, L. La matematica: Una filosofıa y una tecnica. Barcelona,Editorial Ariel, 1994.

[23] L. Schwartz. Analyse hilbertienne. Paris, Hermann, 1979.

[24] Tarieladze, V.I. A uniqueness theorem for the Fourier transform. (Rus-sian) Proc. Inst. Computational Math. Georgian Acad. Sci. 27-1 195–

207, 1987.

teoría matemáticas aplicadas

Documents