Tarea 2

MATEMÁTICAS APLICADAS

2016-1

Grupo: 03

“Solución numérica de ecuaciones,

Método de Von Mises y método de Newton-Raphson de segundo orden”

Por

Damián Vital Villaseñor

27 de septiembre del 2015

Matemáticas AplicadasGrupo 03

Tarea 1

Tarea:

Calcular la raíz cuadrada de 0.5 empleando: a) el método de Newton Raphson de segundo orden y b) el método de Von Mises.

a) Método de Newton-Raphson de segundo orden

Para resolver la ecuación x=√0.5, la cual puede escribirse como x2=0.5, aplicando el método de Newton-Raphson es necesario obtener la función f ( x ) y su correspondiente derivada f ' ( x ) y segunda derivada f ' ' ( x ), por tanto:

f ( x )=x2−0.5

f ' ( x )=2x

f ' ' (x )=2

Sustituyendo f ( x ), f ' ( x ) y f ' ' (x )en la siguiente ecuación:

xn+1=xn+Δ xn

donde

1Δ xn

=−f ' ( xn )f (xn )

+ 12

f ' ' (xn )f ' (xn )

Se obtiene:1Δ xn

= −2x

x2−0.5+ 1

22

2x

Por tanto, para x0=0.6

1Δ xn

=−2 (0.6 )

(0.6 )2−0.5+0.5

22 (0.6 )

=9.405

Δ xn=0.10633

x1=0.6+0.10633=0.706

Para realizar el resto de las iteraciones para encontrar las raíces de la ecuación se programó la solución en FORTRAN. El código se muestra en la Figura 1. Los resultados obtenidos se muestran en la Figura 2.

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Tarea 1

Figura 1. Código fuente del programa para encontrar la solución empleando el método de Newton-Raphson de segundo orden

Figura 2. Resultados obtenidos del programa desarrollado en FORTRAN (Método Newton-Raphson segundo orden)

b) Método de Von Mises

Para resolver la ecuación x=√0.5, la cual puede escribirse como x2=0.5, aplicando el método de Newton-Raphson es necesario obtener la función f ( x ) y su correspondiente derivada f ' ( x ), por tanto:

f ( x )=x2−0.5

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f ' ( x )=2x

Sustituyendo f ( x ) y su correspondiente derivada f ' ( x ), en la siguiente ecuación:

xn+1=xn−f (xn )f ' (x0 )

Para x0=0.6 se obtiene:

xn+1=0.6−0.62−0.52 (0.6 )

=0.7166

El resto de las iteraciones para encontrar las raíces de la ecuación se obtuvieron desarrollando un programa en FORTRAN. El código se muestra en la Figura 3. Los resultados obtenidos se muestran en la Figura 4.

Figura 3. Código fuente del programa para encontrar la solución empleando el método de Von Mises

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Figura 4. Resultados obtenidos del programa desarrollado en FORTRAN (Método Newton-Raphson segundo orden)

Conclusión

En esta tarea se presentan dos de los métodos existentes para la solución numérica de ecuaciones (i.e Método de Newton-Raphson de segundo orden y método de Von Mises). En particular las dos metodologías descritas aquí convergen más rápidamente que la de aproximaciones sucesivas (presentada en la tarea anterior). De ambas metodologías se concluye que las raíces de la ecuación x=√0.5 resultan x1=0.7071 y x2=−0.7071. El entendimiento de la técnica para encontrar la solución de ecuaciones resulta muy importante para poder implementar programas iterativos que permitan desarrollar un gran número de ecuaciones en poco tiempo.

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