guia matemáticas ii

Docente / Contenidos: Clarissa CruzDiseño y Diagramación: Máximo A. Méndez

Derechos Reservados 2012. Unnatec

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5Contenidos básicos para el desarrollo de las competencias de Matemática Página |

La Innovaciónde la EsperanzaLos grandes movimientos de la historia se han basado en el poder del ser humano.

Son los individuos y los equipos los que inyectan innovación a las organizaciones, quienes producen los grandes cambios que revolucionan el mundo. Arquímedes

decía: “Dame un punto de apoyo y moveré el mundo”, para enseñar que la palanca es capaz de multiplicar la fuerza y levantar cualquier objeto por muy pesado que sea, siempre que se tenga un punto de apoyo apropiado. Cuando alguien combina la energía y la inteligencia en el nivel correcto, estas le pueden generar una fuerza poderosa que catapulta de manera innovadora los nuevos paradigmas de la creatividad humana.

Nuestra función como institución de educación superior es precisamente esa: facilitar a nuestros estudiantes la palanca y el punto de apoyo para la innovación de la esperanza. Necesitamos una vía poderosa para enfrentar los grandes desafíos que agobian a nuestra sociedad, traducidos en la pobreza y la coerción social. La pobreza no es creada por la gente pobre, sino por el sistema que hemos establecido, las instituciones que diseñamos y los conceptos que formulamos. Vivimos tiempos difíciles, pero cuando la crisis llega a su nivel más profundo, entonces estos agravantes deprimen la condición humana. Sin embargo, a pesar de la adversidad, podemos descubrir grandes oportunidades para mejorar el bienestar de nuestro entorno.

Para esto, en la UNNATEC adoptamos un nuevo sistema de educación presencial y a distancia que le brindará las facilidades y el entorno de aprendizaje más idóneo para el desarrollo de sus competencias personales y profesionales, y le permitirá lograr su superación e inserción en el mercado laboral. Usted podrá estudiar, sin dejar de trabajar, y generar las entradas que le ayudarán a completar sus estudios. Así, podrá elevar su nivel de ingresos con una carrera profesional o técnica. Esta institución ha diseñado para usted una metodología innovadora y práctica, con la facilidad de todos los recursos necesarios para su aprendizaje, desde el uso de esta guía instruccional, la mediación de los tutores en los encuentros presenciales, las tutorías presenciales y a distancia, hasta el uso del aula virtual, las bibliotecas digitales y las redes sociales.

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6 Contenidos básicos para el desarrollo de las competencias de Matemática| Página

Todo ser humano ha venido a este mundo proveído de capacidades innatas, no solo para su desarrollo personal, sino también para contribuir a la generación de riquezas y bienestar del mundo donde vivimos. Usted puede develar el inmenso potencial que está oculto en su interior y mostrar la inquebrantable fe que lo caracteriza como ser humano, que no nació para sufrir la pobreza material o espiritual, sino para prosperar y triunfar en la vida. Esto es parte de nuestra misión, acompañarlo a recorrer este camino en el proceso de su formación, para que logre mejores resultados, con valor agregado, y que usted sea una inspiración personal para alcanzar la realidad que todos deseamos, “innovando la esperanza para vivir una vida digna y próspera”.

Ramona Reinoso de Reyes (Doña Cielo) / Presidenta del Consejo Directivo

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Bienvenidos al sistema de educación a distancia en su modalidad semipresencial y virtual de la UNNATEC. Usted es un estudiante del siglo XXI y debe estar preparado para afrontar los grandes desafíos de la globalización y de la sociedad

del conocimiento, y desarrollar las competencias personales y profesionales que lo acrediten como un individuo competente y eficiente.

El propósito de esta guía instruccional es guiarlo y a la vez acompañarlo en el proceso de su propio aprendizaje. Este instrumento es suficiente en sí mismo y lo llevará a usted, paso a paso, por el camino de la construcción de su propio conocimiento. Con esta guía podrá realizar sus actividades de estudio, investigaciones y prácticas de cada eje temático de la asignatura.

Nuestra propuesta metodológica para el uso de esta guía se centra en tres aspectos relevantes. Desde la perspectiva pedagógica, adoptamos el pensamiento constructivista como eje fundamental para fomentar el pensamiento crítico y creativo en la aplicación del conocimiento; desde una perspectiva comunicacional, para fomentar la dialéctica y la ética comunicativa del quehacer humano; y desde la perspectiva tecnológica, para crear los ambientes propicios de aprendizaje apoyados en las tecnologías de la información y comunicación. La articulación de la pedagogía, la comunicación y la tecnología, nos permite utilizar métodos y recursos útiles al momento de forjar las competencias requeridas en el currículo. Estas estrategias se basan en los postulados teóricos del profesor Reuven Feuerstein, quien favorece el desarrollo de los procesos mentales y las funciones cognitivas que están implícitos en las actividades educativas y en la vida social.

Esta guía está diseñada con objetivos claros que puedan ser entendidos y logrados a través de su trabajo como estudiante de una manera efectiva, que le permitirá desarrollar

El Nuevo

de laa DistanciaParadigma

Educación

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las competencias definidas sin pérdida de tiempo ni de recursos valiosos. Los recursos empleados en la guía, le permitirán fijar claramente los conceptos, manejar un nuevo vocabulario, elaborar mapas conceptuales y diarios de doble entrada, interactuar con sus compañeros para discutir temas de relevancia y conectarse a múltiples enlaces de informaciones y de personalidades en el aula virtual y en las redes sociales. Una vez realizadas todas las actividades de trabajo, tanto de la guía instruccional como del aula virtual, usted estará en capacidad de ser evaluado y valorado con una alta calidad en el conocimiento de su área de estudio.

Espero que con esta nueva manera de lograr los aprendizajes, podamos hacer juntos un ejercicio, no solamente teórico, sino moderno y pragmático que nos permita ser mejores seres humanos y mejores profesionales.

Ing. Luis Paulino Marte / Rector

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UNIDAD I: INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES............................................13

1.1. Funciones y clasificación.........................................................................................14 ACTIVIDADES...............................................................................................................21 1.2. Funciones lineales y sus aplicaciones.....................................................................27 ACTIVIDADES...............................................................................................................31 1.3. Funciones cuadráticas y aplicaciones.....................................................................35 ACTIVIDADES...............................................................................................................41 UNIDAD II: FUNCIONES TRASCENDENTES.......................................................45

2.1. Funciones exponenciales.........................................................................................46 ACTIVIDADES..............................................................................................................49 2.2. Funciones logarítmicas...........................................................................................53 ACTIVIDADES...............................................................................................................57 2.3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas...............................................................59 ACTIVIDADES...............................................................................................................63 UNIDAD III: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS........................................67

3.1. Los ángulos y sus medidas......................................................................................68 ACTIVIDADES...............................................................................................................73 3.2. Funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo...........................................77 ACTIVIDADES...............................................................................................................81 3.3. Resolución de triángulos rectángulos.....................................................................83 ACTIVIDADES...............................................................................................................89 UNIDAD IV:TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA.....................................................95

4.1. Identidades trigonométricas...................................................................................97 ACTIVIDADES..............................................................................................................101 4.2. Fórmulas de suma y diferencia de ángulos...........................................................105 ACTIVIDADES.............................................................................................................109 4.3. Fórmulas de ángulos dobles y medios ángulos.....................................................111 ACTIVIDADES.............................................................................................................117 4.4. Ecuaciones trigonométricas..................................................................................121 ACTIVIDADES.............................................................................................................125 BIBLIOGRAFÍA...........................................................................................................127

Indice

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Orientaciones muy importantes

Antes de iniciar cada unidad del programa, recomendamos leer detalladamente las siguientes pautas:

1- Lee con atención la introducción de cada unidad, aquí se te explica el contenido de la misma.

2- Interpreta correctamente el objetivo general de la asignatura, de esta manera sabrás con certeza a dónde queremos llegar.

3- Identifica los objetivos específicos de cada eje temático en los documentos, presentaciones, actividades, etc., con el objetivo fundamental de alcanzar mejores resultados de formación académica y profesional.

4- Visualiza detenidamente el plan de estudio, el orden y la jerarquía de los ejes temáticos y su relación con el tema de la unidad a estudiar, así logras no perder la secuencia de lo que has leído.

5- Usa todos los elementos que conoces de contenidos aprendidos anteriormente en otras asignaturas y confecciona tus propios resúmenes, comentarios, glosario de términos, reseñas, etc.; analízalos y preséntaselos al resto del grupo y a tu profesor en clases.

6- Analiza con detenimiento los planteamientos de los diferentes autores que tendrás al alcance en el Aula Virtual, aplicando tu propia experiencia para interpretarlos debidamente. De esta forma estarás en mejores condiciones de comparar, comprender y actualizar esa información con la realidad más cercana a ti.

7- Reorganiza el tiempo, logrando disponer del necesario para tu formación, evitando que la premura afecte la concentración necesaria en lo que haces. Siempre trata de aprovechar el tiempo indicado para realizar las actividades.

8- Comprueba tu propio nivel de aprendizaje realizando las actividades propuestas en cada eje temático y que aparecen al final de cada una de las unidades de estudio.

9- Refresca y mantén vigente cada competencia a desarrollar, como utilidad necesaria para tu evaluación.

10- Consulta el glosario, visualiza los videos y participa en los foros de discusión del Aula Virtual.

11- Cumple con las horas establecidas para cada unidad.

12- Ante cualquier dificultad, comunícate con tu profesor por cualquiera de las vías previstas.

Adelante, tú puedes!!!

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PLAN DE ESTUDIOTEMA DE LA UNIDAD I

CONTENIDO

APRENDIZAJE

HORAS DE TRABAJO

1. Objetivo General

2. Objetivos Específicos

3. Ejes Temáticos

5. Competencias

Horas presenciales --- 04Horas a distancia --- 16

INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES

Desarrollar las competencias necesarias para aplicar los conocimientos sobre las funciones en la resolución de operaciones matemáticas.

Identificar funciones contrastándolas con otras relaciones en operaciones matemáticas.

Graficar con exactitud funciones lineales y aplicarlas en la solución de problemas.

Resolver funciones cuadráticas, reconociendo las propiedades de las mis-mas, así como su aplicación en la solución de problemas.

Domina el concepto de función asociándolo a diferentes actividades de la humanidad.

Resuelve en forma gráfica funciones lineales y las aplica en la solución de problemas.

Construye gráficas en el plano cartesiano para representar funciones cuadráticas.

Funciones y clasificación.

Funciones lineales y sus aplicaciones.

Funciones cuadráticas y sus aplicaciones.

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1INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES1

El término matemático función data de fines el siglo XVII, cuando el cálculo estaba en sus primeras etapas de desarrollo. Este importante concepto es ahora espina dorsal de los cursos avanzados de matemáticas y es indispensable en todos los campos de las ciencias.

En esta unidad estudiaremos las propiedades de las funciones y su clasificación, para lo cual usamos métodos algebraicos y gráficos que incluyen localización de puntos, determinación de dominio y dominio de imágenes, etc.

Ahora bien, aunque estas técnicas sirven para obtener bocetos de las gráficas que nos ayudan a entender las propiedades de las funciones, los métodos modernos emplean refinados programas de computadora y matemáticas avanzadas para generar representaciones gráficas sumamente precisas de las funciones.

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1.1 Funciones y clasificación

1.1.1 Objetivos de la unidad temática.

Identificar funciones contrastándolas con otras relaciones en operaciones matemáticas.

1.1.2 Competencia a Desarrollar

Domina el concepto de función asociándolo a diferentes actividades de la humanidad.

1.1.3 Operaciones Mentales

Identificación, evocación, comparación, análisis, síntesis.

1.1.4 Actividades Actividades escritas.

1.1.5 Definición de relación y función

Con frecuencia, es útil describir una cantidad en términos de otra. Por ejemplo, el crecimiento de una planta está relacionado con la cantidad de luz que recibe; la demanda para cierto producto está relacionada con el precio del producto; el costo de un viaje está relacionado con la distancia recorrida, etc. Para representar estas cantidades correspondientes, es de ayuda utilizar pares ordenados.

Podemos indicar, por ejemplo, la relación entre la demanda para un producto y su precio, escribiendo pares ordenados en los que el primer número representa el precio y el segundo la demanda. Entonces, el par ordenado (5, 1000) podría indicar una demanda de 1,000 artículos, cuando el precio de éstos es de $5. Si se supone que la demanda depende del precio que se cobra, colocamos el precio primero y la demanda en segundo lugar. El par ordenado es una forma breve del enunciado “si el precio es de $5 (dólares), entonces la demanda es de 1000 artículos.

En este ejemplo, la demanda depende del precio del artículo. Por esta razón, a la demanda se le denomina variable dependiente, y al precio variable independiente. Generalmente, si el valor de la variable y depende de la variable x, entonces y es la variable dependiente y x es la variable independiente.

Como cantidades relacionadas pueden escribirse con pares ordenados, el concepto de relación puede definirse como sigue:

Para dos conjuntos no vacíos A y B, una relación de A en B es cualquier subconjunto del conjunto producto A x B.

Ejemplo 1:

Sean A = {4, 5, 6, 8}, B = {1, 2, 3}

Usaremos como enunciado formal “x es un múltiplo de y”.

El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida y B es el conjunto de llegada.

Primero buscamos el conjunto producto cartesiano, de la siguiente forma:

A x B = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2) (5, 3), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (8, 1), (8, 2), (8, 3)}

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El conjunto solución de esta relación es el conjunto de pares ordenados que cumplen con el enunciado formal “x es múltiplo de y”.

De esta forma la relación de A en B es:

A→B = {(4, 1), (4, 2), (5, 1), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (8, 1), (8, 2)}

Esta relación puede expresarse en diagrama de Venn-Euler y en diagrama de coordenadas cartesiana.

El conjunto de los primeros componentes (valore de x) de los pares ordenados de esta relación se llama dominio, y el conjunto de los segundos componentes (valores de y) se denomina dominio de imágenes.

Dominio: {4, 5, 6, 8},

Dominio de Imágenes: {1, 2, 3}

Es así que una clase especial de relación, llamada función es muy importante en las matemáticas y sus aplicaciones.

Según Charles D. Miller (1999), una función es una relación en la que, para cada valor del primer componente del par ordenado, existe un valor del segundo componente.

Esto significa que cualquier elemento del conjunto de partida puede tener o no imagen, pero si la tiene, es única.

Michael Sullivan (1997), define una función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos de números reales tal que a cada número x en el primer conjunto o dominio, le corresponde exactamente un número y del segundo conjunto. Es decir, una función es un conjunto de pares ordenados (x, y) en el que ninguno de los pares de la relación tienen el mismo primer elemento.

La función en la que el dominio es igual al conjunto de partida recibe el nombre de aplicación.

Ejemplo 2:

Determine si cada una de las relaciones siguientes es una función.

F = {(1, 2), (-2, 5), (3, -1)}

4

5

6

8

1

2

3

A B

321

4 5 6 7 8

Diagrama de Venn-Euler Diagrama de coordenadas cartesianas

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G = {(-2, 1), (-1, 0), (1, 2), (2, 2)}

H = {(-4, 1), (-2 ,1), (-2, 0)}

Las relaciones F y G son funciones, puesto que para cada valor de x, existe un único valor de y. Observe que en G, los últimos dos pares ordenados tienen el mismo valor de y. Esto no viola la definición de función, ya que cada primer elemento (valor de x) tiene sólo un segundo elemento (valor de y).

La relación H no es una función, pues los últimos dos pares ordenados tienen mismo valor x, pero diferentes valores de y.

Ejemplo 3:

Sea A = {1, 2, 3} y R1 es una función de A en A cuyo enunciado es: “x + y es impar”. Determine se R1 es una función de A en A.

A x A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

R1 = {(1, 2), (2, 1) (2, 3), (3, 2)}

1.1.5.1 Clasificación de las funciones

Según Melba Báez y Reyita Taveras (2005), las funciones se clasifican en:-Funciones iguales:

Dos funciones son iguales si y sólo sí tienen el mismo dominio y si cada elemento del dominio tiene la misma imagen en ambas funciones.

Ejemplo:

Sean A = {2, 3, 4} y B = {4, 6, 8}

Sea f: A →B que cumple con el enunciado “x es la mitad de y”.

1

2

3

1

2

3

A → A

A → B

Tanto en el diagrama como en el conjunto solución se evidencia que la relación R1 no es una función, ya que el elemento 2 tiene dos imágenes.

El conjunto solución es {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}

El dominio es {2, 3, 4}

4

6

8

2

3

4

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Sea g: A→B otra función y su regla es: “x + y es múltiplo de 3”.

2 + 4 es múltiplo de 3, por lo tanto: g (2) = 4



El conjunto solución es {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}

El dominio es {2, 3, 4}, por lo que f y g son iguales.

-Función inyectiva:

Una función de A en B es inyectiva solamente si cada elemento distinto del dominio, tiene una imagen distinta en el dominio de imágenes, o lo que es igual, cuando ningún elemento del dominio de imágenes es imagen de más de un elemento del dominio.

Las funciones puestas como ejemplos en la clasificación anterior son ejemplos de funciones inyectivas.

Definida como conjunto de pares ordenados, una función es inyectiva si los segundos elementos de los pares ordenados no se repiten.

Así, {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}, es inyectiva.

Ejemplo:

A → B

A → B

R es función inyectiva porque las imágenes participan una sola vez.

2

3

4

4

6

8

2

4

6

8

0

1

3

4

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-Función sobreyectiva:Una función de A en B es sobreyectiva solamente si todo elemento del conjunto de llegada es imagen de por lo menos un elemento del conjunto de partida.

Ejemplo 1:

La función f(x) = x2, definida en el conjunto de los números enteros positivos.

La imagen de 1 es 1: f (1) = 1



Los números 2, 3, 5, 7, 8… no son imágenes de ningún elemento del conjunto de partida.

Por tanto f no es sobreyectiva ya que no todo número entero positivo es cuadrado de por lo menos un número entero positivo.

Ejemplo 2:

Sea A = {m, n, s}, B = {r, s}

-Función biyectiva:

Una función f: A→B es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Ejemplo 1: Sea A = {m, n, s}, B = {r, s}

m

n

s

r

s

g: A → B

A → B

g es sobreyectiva porque todo elemento de B está relacionado con algún elemento de A.

f no es biyectiva porque no es inyectiva.

m

n

s

r

s

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g es inyectiva y es sobreyectiva, por lo que es una función biyectiva.

Ejemplo 2:

g: A → B

Función constante:

Una función de A en B es constante si el dominio de imagen es un conjunto unitario.

Ejemplo:

Sea f(x) = 1x, función definida en el conjunto de los números reales, es una función constante, porque para cada elemento del dominio existe la misma en el dominio de imágenes.

Sea el dominio {-2, -1, 0, 1, 2}

f(-2) = 1-2 = 1

f(-1) = 1-1 = 1

f(0) = 10 = 1

f(1) = 11 = 1

f(2) = 12 = 1

m

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-2

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0

1

2

1

A → B

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Eje Temático: Funciones y clasificación

Nombres y apellidos: ______________________________________________________

Matrícula: _________________

Facilitador: __________________________________________________________

Fecha: ___________________

I) Si A = {1, 2, 3}, B = {2, 4}, C = {1, 3, 5}, halla el conjunto producto cartesiano pedido y representar gráficamente cada caso.

1) A x B =

2) B x C =

3) B x A =

Actividades

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4) A2 =

5) C x C =

II) Dados los conjuntos A = {3, 6, 8}, B = {2, 4, 6}, C = {2, 6}, halla el Conjunto solución, Dominio y Dominio de imágenes. Representa en diagramas de Venn el conjunto solución.

1) R1: A →B, dada por x – y > 4

2) R2: A →C, dada por x + y = 9

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3) R3: A →A, dada por x = y/2

4) R4: C →A, dada por y < x

5) R5: B →C, dada por x + y ≤ 4

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III) Para los siguientes diagramas de relaciones, identifica los que corresponden a funciones.

1) 4)

2) 5)

3)

V) Dadas las siguientes funciones, clasifícalas escribiendo cuáles son inyectivas, sobreyectivas, constantes o biyectivas

1) 4)

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4

6

1

3

2

4

6

2

4

6

1

2

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4

5

1

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1

2

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a

b

c

d

e

A → B

A → B

A → B

A → BA → B

A → B

A → B

1

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3

1

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3

2

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5

4

9

16

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A → B2) 5)

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3)

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A → B

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