Matemticas II

Ramn Reyes CarretoFlaviano Godnez JaimesFrancisco Julin Ariza HernndezFebrero del 2009

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Contenido1. Sistema de Ecuaciones Lineales1.1. Conceptos1.2. Grfica de una ecuacin lineal con dos incgnitas1.3. Grfica de sistemas de ecuaciones1.4. Mtodo de solucin de sistemas lineales con dos incgnitas1.5. Problemas que se modelan con sistemas de ecuaciones lineales1.5.1. Determinante2. Ecuaciones de Segundo Grado2.1. Clasificacin2.2. Problemas cuyo modelo es una ecuacin cuadrtica2.3. Solucin de ecuaciones cuadrticas por mtodos algebraicos2.4. Anlisis de la naturaleza de las races2.5. Anlisis del discriminante2.6. Grfica de una ecuacin cuadrticas2.7. Ecuaciones de segundo grado con radicales2.8. Resolucin de problemas que implican ecuaciones de segundo grado3. Introduccin a las funciones3.1. Los procesos de cambio3.2. Variables dependientes e independientes3.3. Definicin del concepto funcin3.4. Dominio, contradominio y regla de correspondencia3.5. Diferentes formas de representacin de una funcin3.6. Clasificacin de las funciones de acuerdo a su representacin3.7. Funciones algebraicas elementales3.8. Funcin lineal3.9. Funcin cuadrtica3.10. Funcin cbica

ConceptosEcuacin linealEcuacin polinmica de primer grado, es decir, ecuacin en la cual las incgnitas aparecen con grado 1: ax + by + cz + ... = k, en donde a, b, c, ..., k son nmeros reales y x, y, z, ... son las incgnitas.Grficamente:Dos variables representan una recta en el plano.Tres variables un plano en el espacio.Ms de tres variables un hiperplano.Una forma comn de ecuaciones lineales es y = mx + c, donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y ).Ecuacin no linealUna ecuacin que no cumple los requisitos de la ecuacin lineal, es llamada ecuacin no lineal.Sistema de ecuaciones linealesEs un conjunto de ecuaciones donde todas las ecuaciones que lo forman son lineales.Sistema de ecuaciones no linealesEs un conjunto de ecuaciones donde las ecuaciones que lo forman son no lineales.Sistema de ecuaciones lineales con dos variablesEs un conjunto de ecuaciones donde todas las ecuaciones que lo forman tienen dos variables.Sistema de ecuaciones lineales con tres variablesEs un conjunto de ecuaciones donde todas las ecuaciones que lo forman tienen tres variables.Ejemplos de ecuaciones lineales

Ejemplos de ecuaciones no lineales:

Ejemplo de sistema de ecuaciones lineales con dos variables

Ejemplo de sistema de ecuaciones lineales con tres variables

Grfica de una ecuacin lineal con dos incgnitasSi es una funcin cuyo dominio es , su grfica es el conjunto de pares ordenados

En otras palabras, la grfica de consiste en todos los puntos en el plano coordenado tales que y est en el dominio de .Para dibujar una grfica se le da valores a la variable independiente para que esta le asigne a la variable dependiente y genere un par de valores, los cuales se pueden ubicar en el plano y unir; con los puntos formados obtenemos la grfica deseada.Grfica de una ecuacin lineal con dos incgnitas

Figura 1.Grfica de la ecuacin lineal En Mathematica En RPlot[1-2x, {x, -4, 4}, curve(1-2*x,-4,4,col="red")PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0]}]; abline(h=0,v=0,lty=3,col="blue")

Figura 2.Grfica de la ecuacin lineal En Mathematica En Rtt = {-(1/8)x-(1/2)};curve(-1/2-x/8,-10,4,col="blue")Plot[Evaluate[tt], {x, -10, 4}, abline(h=0,v=0,lty=3,col="gray")PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1]}];

Figura 3. Grfica de la ecuacin lineal En MathematicaEn RPlot[8x+1, {x, -10, 10}, curve(8*x+1,-10,10,col=1)PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0]}];abline(h=0,v=0,lty=3,col="gray")

Grfica de sistemas de ecuaciones

Figura 4. En Mathematica En RPlot[{(1 - 3 x)/-2, (18 - 2 x)/3},curve((1-3*x)/-2,-10,10,col=2){x, -15, 15}, PlotStyle -> {RGBColor[1,curve((18-2*x)/3,add=TRUE,col=4)0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]abline(h=0,v=0,lty=3,col="gray")

Figura 5.En MathematicaEn RPlot[{(2 x - 1)/3,-5 x,(8 x - 12)/3},curve((2*x-1)/3,-15,15,col=2){x, -15, 15}, PlotStyle -> {RGBColor[1,curve((5*x),add=TRUE,col=4)0, 0], RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[0, 1, 0]}]curve((8*x-12)/-3,add=TRUE)abline(h=0,v=0,lty=3,col="gray")

1.4.Mtodo de solucin de sistemas lineales con dos incgnitas Mtodo Grfico Mtodo de sustitucin Mtodo de igualacin Mtodo de suma y resta MatricesMtodo GrficoAl graficar dos (o ms) ecuaciones se pueden tener los siguientes casos: Las rectas se intersectan en un solo punto entonces el sistema de ecuaciones lineales tiene solucin nica. Las rectas se intersectan en un nmero infinito de puntos entonces el sistema de ecuaciones lineales tiene un nmero infinito de soluciones. Las rectas son paralelas entonces el sistema de ecuaciones lineales no tiene solucin. En el caso general, dos de las rectas son paralelas o se intersectan por pares.Ejemplo de un sistema con una solucin nica Ejercicio: Hacer la grfica en Mathematica y en R.

Figura 6. Solucin nicaComo se observa en la figura, las coordenadas del punto de interseccin de las dosrectas son (-1,6). La solucin del sistema de ecuaciones es Ejemplo de un sistema con un nmero infinito de soluciones

Ejercicio:Hacer la grfica en Mathematica y en R.

Figura 7. Infinitas solucionesComo se observa en la figura, las dos rectas coinciden, tienen un nmero infinito de puntos de interseccin.Ejemplo de un sistema sin solucin

Ejercicio:Hacer la grfica en Mathematica y en R.

Figura 8. Sin solucinComo se observa en la figura, las dos rectas son paralelas, sin puntos de interseccin. Mtodo de sustitucinConsideremos un sistema con dos variables Este mtodo consta de los siguientes pasos:1. Se despeja en alguna de las dos ecuaciones para expresarla en funcin de .2. Se reemplaza y en la otra ecuacin por su expresin en trminos de x. El resultado es una ecuacin con una incgnita.3. Se sustituye el valor de encontrado mediante el paso anterior en la expresin obtenida en el paso 1, de esta manera se encuentra el valor de .4. La posible solucin ser el par de valores encontrados.Ejemplo 1. Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

Solucin1. Se despeja y

2. Se reemplaza

3. Se sustituye el valor de x encontrado mediante el paso anteriory = 6 2(1)y = 6 2y = 4La solucin de este sistema es nica x = 1 y y = 4, lo cual se corrobora con el teorema 1 a11a22 a12a21 0, 2(4) 1(1) 7 6 0

Mtodo de igualacinEl mtodo de igualacin consta de los siguientes pasos:1. Se escoge una incgnita y se despeja en ambas ecuaciones.2. Se igualan las ecuaciones lineales encontradas en el paso anterior para obtener una ecuacin lineal con una incgnita. Cuando esta ecuacin es resuelta, se encuentra el valor de una incgnita.3. Se sustituye el valor de la incgnita determinado mediante el paso anterior en alguna de las ecuaciones resultantes del primer paso; as se obtiene el valor de la otra incgnita.

Ejemplo. Considere el siguiente sistema de ecuaciones:2x + y = 6x + 4y = 17Solucin1

Mtodo de suma y restaEl mtodo de suma y resta consiste en realizar operaciones con las ecuaciones de un sistema para eliminar una de las variables, a fin de reducir el sistema a una ecuacin lineal con una incgnita.Ejemplo resolver el sistema

Ejemplos y EjerciciosDel ejemplo 1:2x + y = 6x + 4y = 17

En MathematicaSolve[{2x + y == 6, x + 4y == 17},{x, y}]Sol.{{x -> 1, y -> 4}}

En Req1 {RGBColor[0, 1, 0],RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}];Las races de las ecuaciones son:Solve[x^2 + 7x-8==0]Solve[x^2-49==0]Solve[x^2-12x==0]Como ejemplo veamos las grficas de los problemas planteados anteriormente.

, ecuacin completa. (Hallar las dimensiones del cuadrado . . .)Races 1 y -8, ecuacin incompleta. (Hallar dos nmeros. . . )Races 7 y -7, ecuacin incompleta mixta. (Hallar la edad. . . )Races 0 y 12Ecuaciones de segundo grado con radicalesUna ecuacin de una o ms radicales que contienen la incgnita se llama una ecuacin con radicales. Slo consideramos aqu ecuaciones en las que entran races cuadradas y cuya resolucin dependa de ecuaciones lineales o cuadrticas. Son ejemplos de tales ecuaciones.

Para resolver una ecuacin con radicales, debemos eliminar los radicales por racionalizacin.El procedimiento general es transformar la ecuacin dada de modo que un radical aparezca slo en un solo miembro de la ecuacin.Nota:Este mtodo, conocido como aislamiento de un radical, puede ser repetido para cada uno de los radicales restantes.Ejemplo 1: resolver Solucin.Primero aislaremos un radical, digamos , transponindolo al segundo miembro. As tenemos:

o

Resolviendo por el mtodo de factorizacin

Entonces:

Resolucin de problemas que implican ecuaciones de segundo gradoEjercicios:El nmero de diagonales de un polgono de lados est dado por , encontrar el polgono que tiene diagonales.La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es , cules son esos enteros?El producto de dos enteros pares consecutivos es , cules son esos enteros?La suma de los primeros nmeros naturales es Cuntos nmeros naturales consecutivos comenzando con el suman ?Solucin para el problema 1. El modelo es: Podemos resolver la ecuacin por el mtodo de completar el cuadrado o por frmula general.Resolviendo por la frmula general, el valor de Entonces tiene dos soluciones reales.Las dos soluciones reales sonPor tanto el polgono que tiene 54 diagonales, es un polgono de 12 lados. No podemos tomar , porque no puede haber un polgono de -9 lados.En Mathematica:tt = {x^2 - 3x-108};pp = Plot[Evaluate[tt], {x, -15, 15},PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0]}];Las races de la ecuacin son:rr=Root[#^2-3#-108&,1],rr=Root[#^2-3#-108&,2]Solucin para el problema 2. El modelo es: . Luego la ecuacin cuadrtica tiene la forma completa. Podemos resolver la ecuacin por el mtodo de completar el cuadrado o por frmula general.Las dos soluciones reales son Por tanto, los tres nmeros elevados al cuadrado y adems consecutivos cuya suma es 77, son:

En Mathematica:tt = {x^2+2x-24};pp = Plot[Evaluate[tt], {x, -10, 15},PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1]}];Las races de la ecuacin son:rr=Root[#^2+2#-24&,1],rr=Root[#^2+2#-24&,2]Solucin para el problema 3. El modelo es: Luego la ecuacin cuadrtica tiene la forma completa. Podemos resolver la ecuacin por el mtodo de completar el cuadrado o por frmula general.Las dos soluciones reales son Por tanto los nmeros pares consecutivos cuyo producto es 288, son En Mathematica:tt = {x^2 + 2x-288};pp = Plot[Evaluate[tt], {x, -25, 25},PlotStyle -> {RGBColor[1,0,0]}];Las races de la ecuacin son:rr=Root[#^2+2#-288&,1],rr=Root[#^2+2#-288&,2]Solucin para el problema 4. El modelo es: Las dos soluciones reales sonPor tanto, los nmeros consecutivos cuya suma resulta 1275, son los primeros 50 numeros.En Mathematica:tt = {x^2+x-2550};pp = Plot[Evaluate[tt], {x, -60, 65},PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0]}];Las races de la ecuacin son:rr=Root[#^2+#-2550&,1],rr=Root[#^2+#-2550&,2]

Introduccin a las funcionesLos procesos de cambioVariables dependientes e independientesDefinicin del concepto funcinDominio, contradominio y regla de correspondenciaDiferentes formas de representacin de una funcinClasificacin de las funciones de acuerdo a su representacinFunciones algebraicas elementalesFuncin linealFuncin cuadrticaFuncin cbica

Los procesos de cambioUn tinaco se llena de agua a razn de 5 litros por minuto. Se quiere saber cuntos litros tiene el tinaco en cierto tiempo en la tabla se dan varios tiempos y los litros que hay en el tinaco en esos tiempos.Para encontrar la cantidad de litros se multiplica por 5 el nmero de minutos transcurridos.Nmero de litros = (5)(nmero de minutos)MinutosLitros

15

210

1050

1575

20100

25125

30150

Sea =nmero de litros, nmero de minutos Si vara el tiempo, la cantidad de litros que contiene el tinaco tambin cambia; es decir la cantidad de litros del tinaco depende del tiempo o la cantidad de litros est en funcin del tiempo.Por tanto en este ejemplo es la variable independiente y la variable dependiente.Variables dependientes e independientesEjemploLa frmula para calcular el rea de un crculo es una funcin donde la variable independiente es el radio y la variable dependiente es el rea , es decir, el rea de un crculo depende del valor de su radio.Definicin del concepto funcinUna funcin es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y slo un elemento del segundo conjunto.

Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contra dominio o imagen.Una funcin se puede concebir tambin como un aparato de clculo. La entrada es el dominio, los clculos que haga el aparato con la entrada son en s la funcin y la salida es un valor del contra dominio.Esta forma de concebir la funcin facilita el encontrar su dominio.

Notacin: al nmero que entra a la mquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos x o s, o cualquier otra.Al nmero que sale de la mquina lo denotamos con el smbolo f (x) f (s).

EjemploEsta funcin es una regla de correspondencia que dice lo siguiente: A cada nmero en el dominio de f se le relaciona con el cuadrado de ese nmero ms el triple de ese nmero menos seis.Dominio contradominio y regla de correspondenciaRecordando la definicin de funcinUna funcin f es una regla de correspondencia que asigna, a un elemento x de un conjunto A un y slo un elemento, f (x), de un conjunto B.Al conjunto A se le llama dominio de la funcin, que es el conjunto donde la funcin no se indetermina.El contradominio de f es el conjunto de todos los valores posibles de f (x) cuando x vara en el dominio, esto es, La regla de correspondencia nos indica el criterio con el cual se eligen las parejas de elementos del dominio y contradominio; es decir, que a cada elemento del dominio solamente le puede tocar un elemento del contradominio.Ejemplo 1La funcin el dominio de es el conjunto de todos los nmeros reales El contradominio de est formado por todos los valores de esto es, todos los nmeros con la forma .Ejemplo 2Define el dominio de la funcin Solucin Como no se permite la divisin entre cero, vemos que f (x) no est definida cuando o cuando ; por consiguiente el dominio de f es:

Ejemplo 3Define el dominio de SolucinDado que la raz cuadrada de un nmero negativo no est definida (como nmero real), el dominio de consiste en todos los valores de tales que

Resolveremos esta desigualdad factorizando. Como el producto cambia de signo cuando , o cuando , segn

Por lo consiguiente, el dominio de h es]Regla de correspondencia:El rea de un crculo.La frmula para calcular el rea de un circulo es la regla de correspondencia es que nos indica que para obtener el rea de un circulo se debe multiplicar por el radio al cuadrado.Diferentes formas de representacin de una funcina. Grficab. Tabla de variacinc. Expresin algebraicad. Expresin verbale. DiagramaGrficas de funcionesSi es una funcin cuyo dominio es A, su grfica es el conjunto de pares ordenados

En otras palabras, la grfica de consiste en todos los puntos en el plano coordenado tales que est en el dominio de . La grfica de una funcin f sirve para obtener una imagen til del comportamiento, o la historia de una funcin.Ejemplo 1. Trazar la grfica de la funcin Hagamos .xY

05

29

17

-13

-21

-3-1

Texto a escribir en Mathematicatt = {2x + 5 };pp = Plot[Evaluate[tt], {x, -8, 8},PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0]}]

Grfica deEjemplo 2. Trazar la grfica de la funcin Hagamos xY

-1-24

18

26

30

4-4

50

618

Texto a escribir en Mathematicatt = {x^3 - 8x^2 + 15x };pp = Plot[Evaluate[tt], {x, -8, 8},PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1]}];

Ejemplos de expresin verbal:Una panadera produce 300 pasteles al da. Cul es la produccin de pasteles en das.El corazn, en condiciones normales, late aproximadamente 72 veces por minuto. Cul es el nmero de veces que late el corazn en horas.Identifica en los diagramas cuales de estas son funciones:

Cero de una funcinCero de , es el valor de x que al evaluar en la funcin da como resultado cero.Es decir, x1 es un cero de si .Ejemplo 1-1 es un cero de la funcin porque Ejemplo 20, 3 y 5 son los ceros reales de la funcin porque

Grficamente los ceros reales de son las abscisas de los puntos en donde la grfica corta al eje Clasificacin de las funciones de acuerdo a su representacinFunciones polinomialesUna funcin f se llama funcin polinomial o polinomio de grado n,

en donde n es un entero no negativo y los nmeros son constantes, llamadas coeficientes del polinomio con .El dominio de todo polinomio es Ejemplos de estas funciones son la funcin lineal, cuadrtica, cubica, etc. que se estudiaran ms adelante.Funciones ExponencialesSon aquellas funciones que tienen la forma , en donde la base a > 0.

tt = {2^x };pp = Plot[Evaluate[tt], {x, -10, 10},PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1]}]Funciones LogartmicasSi y , la funcin exponencial es creciente o decreciente y, por consiguiente, es inyectiva. Entonces tiene una funcin inversa, que se llama funcin logartmica con base , y se representa mediante

entonces As, si es el exponente al que se debe elevar la base para obtener Grfica de para , 3, 5, 10 Figura 13. Funciones Trigonomtricas: sen(x), cos(x), tan(x), csc(x), sec(x), cot(x)Figura 14. Grfica de Figura 15. Grfica de Figura 16. Grfica de Figura 17. Grfica de Funciones algebraicas elementalesFuncin constanteLa funcin constante tiene a como dominio y su contradominio est formado nicamente por el nmero . Su grfica es una recta.

Figura 20. Grfica deFuncin identidad

Se denomina funcin identidad, ya que a cada nmero del eje de abscisas le corresponde el mismo nmero en el eje de ordenadas, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idnticas (1, 1), (2, 2), (3.5, 3.5), ...

Figura 21. Grfica de Funcin potenciaUna funcin de la forma , en donde es constante, se llama Funcin de potencia. Estudiemos varios casos: , entero positivoLa forma general de depende si es par o impar. Si es par, es una funcin par y su grfica se parece a la parbola .Si es impar, es una funcin impar y su grfica es similar a la de La grfica de la funcin es una hiprbola equiltera para la cual los ejes coordenados son asntotas. , entero positivoLa funcin = es una funcin raz. Para se trata de la funcin raz cuadrada, cuyo dominio es y cuya grfica es la mitad superior de la parbola.Grfica de cuando es entero positivo par.

Figura 22. Grfica de Grfica de cuando es entero positivo impar.

Figura 23. Grfica de Analicemos el comportamiento de la grfica cuando entero positivo impar.

Analicemos el comportamiento de la grfica cuando entero positivo par.

Grfica de entero positivo.

Figura 26. Grfica de Funcin linealEsta funcin es de la forma: constantesSu grfica es una recta.Al coeficiente le llamamos pendiente.La inclinacin de la recta depende del valor de la pendiente, a pendiente positiva inclinacin hacia la derecha pendiente negativa inclinacin hacia la izquierdaEjemplos de funcin lineal (pendiente positiva) (pendiente negativa)Grfica de

Funcin cuadrtica son constantes reales, Su grfica es una parbola.Teorema 2La funcin cuadrtica , , se representa grficamente por medio de la parbola , cuyo eje es paralelo (o coincide con) al eje Y, y cuyo vrtice es el punto. Si , la parbola se abre hacia arriba y su vrtice es un punto mnimo, teniendo la funcin cuadrtica un valor mnimo igual a para Si , la parbola se abre hacia abajo y su vrtice es un punto mximo, teniendo la funcin cuadrtica un valor mximo igual a para Identifica aplicando el teorema anterior hacia donde abren las parbolas siguientes:1. 2. 3. 4. 5. 6. Grfica de:

Teorema 3La funcin cuadrtica ,, en donde , y son constantes reales, tiene un valor mximo o mnimo igual a cuando .Este valor es un mnimo cuando y es mximo cuando .Ejemplo 1.Calcular el valor mximo o mnimo de la funcin cuadrtica Comprobar el resultado grficamente.SolucinYa que el coeficiente de es negativo, la funcin tiene un mximo que puede obtenerse por sustitucin directa en las frmulas del Teorema 2.As, para, el valor mximo es para

La grfica de la funcin muestra el punto mximo y los ceros

MximoEjemplo 2Hallar dos nmeros tales que la suma de sus recprocos sea 5, y que la diferencia de sus recprocos sea 1.SolucinSea nmero menor y nmero mayorLa suma y la diferencia de sus recprocos son, respectivamente,

Esto no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utilizando como incgnitas . As sumando las dos ecuaciones tenemosde donde yRestando la segunda ecuacin de la primera, obtenemos de dondeyPor tanto, los dos nmeros son .Funcin cbica constantes reales, Grfica de

Bibliografa Lehmann, Ch. (2001). lgebra . Mxico. Editorial Limusa. Stewart, James.(2000).Clculo, Trascendentes tempranas. Mxico. Editorial Thomson. Grossman Stanley I. lgebra lineal. Mxico. Editorial McGraw-Hill. Aurelio Baldor.lgebra Grupo editorial Patria. http://www.vitutor.com/algebra/sistemas %20I/p_e.html http://docentes.uacj.mx http://www.cedmm.org/matematicas1/con4.htm http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/3.4.html http://www.portalplanetasedna.com.ar/Ec2Grado.htm

Introduccin a las funciones18/mayo/2010A un depsito cilndrico que tiene una capacidad de 20 litros, se le agregan 0.5 litros de agua cada segundo de forma constante Qu pasa con el volumen d agua dentro del depsito desde el inicio del llenado hasta que se llena completamente?Para contestar la situacin planteada, comencemos por preguntarnos Qu es lo que cambia?Hay dos magnitudes que se estn modificando:a) _____________________________________________________________b) ______________________________________________________________El volumen cambia desde ______________________________________________Podemos saber cmo cambia el tiempo teniendo en cuenta que llegan al depsito _________________________________________________________________________________En la siguiente tabla anota los cambios del tiempo y del agua.Tiempo(segundos)

Volumen(litros)

En el proceso de llenado todo est cambiando? _______ fundamenta tu respuesta _______________________________________________________________________________________________________________________________________Como se llaman las magnitudes que cambian? _______________, con que letras se acostumbra representarlas? __________Sabes cmo se llaman las cantidades que no cambian? ______________, se acostumbra representarlas con las letras ______Sera posible relacionar a la variable y la constante de tal manera que expresen el fenmeno que se estudia? _______________Escribe la ecuacin o frmula que indique como estn relacionadas las magnitudes cambiantes _________________________Esta frmula es importante porque nos permite saber qu valor corresponde a una variable cuando a otra se le asigna una cierta cantidad. Si a t le asignamos un valor de 1.5 cul ser el valor del v? ________________Y si ahora le asignamos un valor a t de 1.25 cul ser el valor del v? ________________En otras palabras el volumen depende ________________; o bien e l ___________ es funcin del tiempo. Esto ltimo podemos representarlo as: lo que indica que ______ es funcin de ______ y se lee ______________A quien le podemos llamar variable independiente? __________________ y dependiente? ____________________________Ahora tratemos de identificar los elementos que estn involucrados en el fenmeno:Primeramente, a la variable volumen que toma valores de 0 a 20, escribe una expresin: ________________________La variable tiempo puede tomar valores de 0 hasta 40 represntalo con una expresin ____________________Entre estas dos variables se estableci una regla de correspondencia que representamos con : ________________________Al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente se le llama? _______________________________Y al conjunto que se genera con los valores que adquiere la variable dependiente la llamaremos? _______________________A la expresin que muestra como estn relacionadas las variables mencionadas se llama? _____________________________Elabora un esquema donde quede representada la situacin planteada.Grfica de una funcinSe usan dos mtodos para trazar la grfica de cualquier funcin:1. Graficacin por tabulacin y2. Graficacin por anlisis de la regla de correspondencia.Graficacin por tabulacinEl mtodo que ms se utiliza es el mtodo por tabulacin.1. Trazar la grfica de la funcin constante , donde c es una constante. Indique dominio e imagen. D a un valor de 5.-3-2-10123

Describa sus caractersticas.a) ._____________________________________b) _____________________________________c) _____________________________________2. Trazar la grfica de la funcin identidad . Indique dominio e imagen.-3-2-10123

Describa sus caractersticas. a) . ._____________________________________b) _____________________________________c) ____________________________________37

3. Trazar la grfica de la funcin valor absoluto , Indique dominio e imagen.-3-2-10123

Describa sus caractersticas. a) .___________________________b) ____________________________c) ____________________________Grfica de la funcin potenciaUna funcin de la forma , en donde es constante, se llama funcin potencia. Veamos los siguientes casos: , entero positivoLa funcin = es una funcin raz. Para se trata de la funcin raz cuadrada.4. Trazar, en un mismo plano, la grfica de las funciones , para toda Indique dominio e imagen.0123456

0123456

0123456

0123456

Describa sus caractersticas.

La grfica de la funcin es una hiprbola equiltera para la cual los ejes coordenados son asntotas.5. Trazar la grfica de la funcin , Calcule el dominio y la imagen.-3-2-10123

Describa sus caractersticas. d) .___________________________e) ____________________________f) ____________________________ , entero positivoLa forma general de depende si es par o impar.Si es par, es una funcin par y su grfica se parece a la parbola .En un solo plano grafica las funciones -3-2-10123

-3-2-10123

-3-2-10123

-3-2-10123

Describa sus caractersticasa) .____________________________________________________________________________b) _____________________________________________________________________c) _____________________________________________________________________Si es impar, es una funcin impar y su grfica es similar a la de En un solo plano grafica las funciones