libro de matemáticas

MatemáticasEncuentro con las

Carlos bosch Claudia Gómez 1

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Dirección EditorialÁngela Ortiz

AutoresCarlos Bosch Giral y Claudia Gómez Wulschner

EdiciónRebeca Lorena Riquer RamírezUriel Jiménez HerreraLina Moreno Jiménez

Diseño de portada e interioresRicardo Salas § Frontespizio, Iván Ávalos y Adriana González Gutiérrez

Corrección de estiloRamona Enciso Centeno

DiagramaciónSaicam, Eduardo Sevilla González, Francisco Rivera Erika Fabila Villegas y Carina J. Haro Vázquez.

FotografíaArchivo fotográfico Nuevo MéxicoJorge González, María Elena Mézquita, Raquel Soledad López Torres, Saúl Moreno Valdespino© 2005, Jupiterimages Corporation, páginas: 32, 33, 46, 48, 60, 63, 76, 83, 84, 86, 89, 92, 95, 102, 126, 129, 131, 141, 146, 148, 149, 150, 151, 156, 186, 187, 194, 203, 206, 219, 220, 226, 236, 237, 238, 240, 243, 252; © 2007, Jupiterimages Corporation, páginas: 106, 109, 130, 131, 175, 196; 2007 www.photospin.com, página: 232.

Fotografía de portadaArchivo fotográfico Nuevo México

Investigación iconográficaErika Fabila Villegas

IlustracionesImanima studioLaura Rodríguez y Miguel Ángel Espinoza

La presentación y disposición en conjunto de cada página de Encuentro con las Matemáticas, primero son propiedad del editor.Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado o escaneado, sin autorización escrita del editor.

ISBN: 978-970-677-258-9

D.R. © 2006 por Editorial Nuevo México, S.A. de C.V. Insurgentes Sur núm. 686, 1-2-3, colonia Del Valle, 03100, México, D.F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Edito-rial Mexicana. Reg. 3012.

Segunda edición: junio de 2007

Impreso en México

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Encuentro con las Matemáticas te dará la oportunidad de pensar, divertirte, disfrutar y aprender.

En nuestra cultura, las matemáticas se han convertido en un área indispensable y son cada vez más necesarias para comprender nuestro mundo. Adquirir una buena formación en esta materia requiere de una participación activa; las matemáticas hay que hacerlas, hay que vivirlas, hay que construirlas.

Por ello, presentamos una gran cantidad de actividades, ejercicios y problemas con distintos niveles que permitirán a los alumnos encontrar siempre un reto interesante, además de propiciar un am-biente adecuado para reflexionar, investigar y dialogar en torno a temas matemáticos y a la resolución de problemas. De esta manera, se pretende lograr un aprendizaje más profundo y permanente.

Asimismo, se busca despertar en los estudiantes la curiosidad, interés y creatividad; inducirlos a crear conjeturas, y desarrollar en ellos una autonomía que les permita enfrentar situaciones desconocidas, todo lo cual favorecerá que su actitud hacia esta ciencia sea positiva.

Las matemáticas trabajan con ideas, ya que al tratar de resolver problemas reales utilizan teorías, obtienen una solución abstracta y posteriormente regresan al problema y la aplican.

No hay que olvidar que en matemáticas también hay una parte mecánica que es la operativa, por lo que es necesario ser hábil en el manejo de símbolos y la forma de relacionarlos.

Bienvenido a este libro.

Presentación

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Presentación

Conoce tu libro

BLOQUE 11. Los números antiguos y modernos

�. Patrones con números

�. Como espejos

4. Fracciones y decimales

5. Razones y proporciones

�. Diagramas y tablas para contar

BLOQUE 21. Números fraccionarios y decimales

�. Multiplicación y división de números racionales

�. Rectas y ángulos

4. Construcción de fórmulas de figuras planas

5. Proporcionalidad

BLOQUE 31. Operaciones con decimales�. Hacer y deshacer ecuaciones�. Formas geométricas4. Todo proporciones5. El porcentaje�. Gráficas

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Índice

4

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BLOQUE 41. Números con signo

�. Raíz cuadrada y potencias

�. Relaciones funcionales

4. Propiedades de la circunferencia

BLOQUE 51. Números positivos y números negativos �. Áreas y diseños�. La suerte está echada4. Proporcional y al revés5. Medidas de tendencia central y de dispersión

Encuentro con la tecnología

Tablas de correspondencia

Bibliografía

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68

En los campos de cultivo, conceptos como área, fracción y proporcionalidad

son decisivos para planear una siembra. El ser humano, en su necesidad de

alimentarse, ha creado herramientas y fórmulas matemáticas para obtener

cada vez mejores cosechas.

69

bloque 2

69

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos:

1. Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con fracciones.

2. Resuelvan problemas que implican efectuar multiplicaciones con números decimales.

3. Justifiquen el significado de fórmulas geométricas que se utilizan al calcular el perímetro y el área de triángulos, cua-driláteros y polígonos regulares.

4. Resuelvan problemas de proporcionalidad directa del tipo valor faltante, con factor de proporcionalidad entero o frac-cionario y problemas de reparto proporcional.

Conoce tu libro

Encuentro con las Matemáticas primero se divide en 5 bloques; cada uno inicia con una gran imagen acompañada de un texto breve que te introduce al tema que se va a estudiar.

Número de bloque

Información sobre los propósitos del bloque.

Texto breve sobre la aplicación de los temas por aprender. Título del tema.

Subtítulo o nombre de la actividad de inicio.

Problema de entrada, este texto tiene la finalidad de introducirte al tema partiendo de los conocimientos que posees, y de conceptos básicos.

Tablas, son herramientas para representar o agrupar información o datos.También son organizadores que te permiten establecer conclusiones para encontrar una regla.

22 PATRONES 23 PATRONES

Fíjate que el número que ocupa el cuarto lugar se puede obtener sin necesidad de usar el número del tercer lugar, simplemente dándonos cuenta de que es 3 4 + 1; es decir 3 por el lugar más 1.

El número del lugar 8 sería 3 8 + 1.

La regla en este caso es multiplicar por tres el lugar y añadir uno.

¿Cuál número corresponderá al lugar 22? ____________

En el caso del inciso b), busca una regla que indique cómo encontrar los demás números y escríbela a continuación. _____________________

__________________________________________________________________

¿Cuál número correspondería al lugar 100? _____________________

1. Continúen el patrón dibujando los puntos e indiquen el número de puntos de cada figura.

Escriban una regla que permita obtener el número de puntos de una fi gura a partir del número de puntos de la fi gura anterior. ______________________________________________________________________

¿Podrían obtener la cantidad de puntos en el dibujo del lugar 100 si conocen los que hay en el lugar noventa y nueve? _______________

Explíquenlo. ____________________________________________________

__________________________________________________________________

Ahora queremos encontrar el número de pun-tos que tendría una figura dependiendo del lugar que ocupa. Sigan las indicaciones para encontrar una regla que permita calcularlo.

2. Observa y completa.

Escribe la regla _____________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

Patrones con números TEMA 2

Asociar cada número de un patrón con su lugar, de acuerdo con el orden de los números, es una excelente estrategia.

1 4

2 7

3 10

4 13

5 16

Cápsula

••

• •• •

• • •• • •

• • • •

TRABAJO EN EQUIPO

En suma

Observa que a cada lugar se le está asociando el número de puntos. A cada número que representa un lugar le corresponde un solo número que representa la cantidad de puntos de la fi gura. A este tipo de correspondencia se le llama una función.

Cápsula

BUSQUEMOS PATRONES

La búsqueda de patrones consiste en encontrar alguna regla o motivo que se repite. Algunos son geométricos; por ejemplo, los que obtene-mos al reproducir una misma fi gura a cierta distancia de la anterior:

Se puede hacer más complicado. Dibuja las formas que siguen:

Una de las estrategias para resolver problemas es encontrar patro-nes, por eso las matemáticas se dedican a estudiarlos.

■ Continúa los siguientes patrones numéricos añadiendo tres números en cada caso, y luego compara tus resultados con los de tus compañeros.

Para descubrir el patrón que nos sugieren los primeros números podemos hacernos las siguientes preguntas:

• ¿Los números van creciendo o decreciendo?• ¿Cómo es cada número con respecto al anterior?

• ¿Y con respecto a los dos anteriores?• ¿Cómo es cada número con respecto a los tres anteriores?• ¿Qué diferencia existe entre dos números consecutivos?• ¿Cómo es la suma de cada dos?

En los patrones numéricos del ejercicio anterior, los números van creciendo. Analicemos detenidamente cada caso.

a) Observa que la diferencia existente entre dos números consecu-tivos cualesquiera es ______ ; así que si continuamos el patrón, los

tres números que siguen a los que tú escribiste son: 28, 31, 34.

1.4 Los patrones sirven para hacer decoraciones, como las que muestran las fotos.

a) 4, 7, 10, 13, 16, _____, _____, _____

b) 0, 5, 10, 15, 20, _____, _____, _____

LugarNúmero

de puntosRegla

1 1 = 2 1 – 1

2 3 = 2 _____ – 1

3 5 = 2 _____ – 1

4 7 = 2 4 – 1

BLOQUE 1

Actividades de ejercitación que te guían paso por paso en la construcción del conocimiento.

Cápsulas, definiciones de algunos conceptos que favorecen un mejor aprovechamiento de los conocimientos matemáticos.

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7

Trabajo en equipo, en esta parte se propone que todos los integrantes del equipo aporten sus ideas para encontrar la solución de una problemática o llegar a una conclusión.

Recursos e investigación, en estos apartados se proponen fuentes de consulta, y la investigación sobre temas o conceptos para enriquecer la información del libro.

Ejemplos, se presenta la resolución de un ejercicio que busca ayudarte en la adquisición de las habilidades necesarias para alcanzar los objetivos.

Actividades, se presenta una serie de ejercicios para reafirmar los conceptos y habilidades adquiridos.

Encuentro con la tecnología, sección al final del libro que presenta sugerencias de trabajo con calculadora y hoja de cálculo electrónica, para verificar algunas respuestas y realizar cálculos de manera más eficiente.

Diagramas, apoyos visuales que permiten una mejor comprensión de los conceptos.

Para escribir tus respuestas, se usan recuadros y líneas.

Problema de cierre, es una situación problemática que abarca los aspectos más sobresalientes de cada tema.

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Las propiedades geométricas de un objeto se estudian por medio

de sucesiones numéricas. El tejido del tapete obedece a un patrón

que se conoce como teselación, en donde se combinan el álgebra

y la geometría.

bloquE 1

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1. Conozcan las características del sistema de numeración decimal (base, valor de posición, número de símbolos) y es-tablezcan semejanzas o diferencias respecto a otros sistemas posicionales y no posicionales.

�. Comparen y ordenen números fraccionarios y decimales mediante la búsqueda de expresiones equivalentes, la recta numérica, los productos cruzados u otros recursos.

�. Representen sucesiones numéricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa.

4. Construyan figuras simétricas respecto de un eje e identifi-quen cuáles son las propiedades de la figura original que se conservan.

5. Resuelvan problemas de conteo con apoyo de representaciones gráficas.

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los números antiguos y modernos

TEMA 1

DE DIEZ EN DIEZ Y DE MIL EN MIL

¿Cuántas bolas de chicle hay en la máquina?Escribe una aproximación ____________________________ Para aproximarte al número puedes pensar que están acomodadas en 10 capas donde cada capa tiene, más o menos, 45 bolas, así que en la máquina hay

45 3 10 = _________________ bolas de chicle.

Observa que multiplicar por 10 es muy fácil pues basta añadir un cero a la derecha al número que quieres multiplicar. Al multiplicar 8 3 10 se obtiene 80 o bien 8 decenas.

■ Escribe con tus palabras cómo se multiplica:

Por 100 ____________________________________________________________

Por 1 000 __________________________________________________________

Por 1 0 000 ________________________________________________________

Efectúa la siguiente multiplicación: 827 3 100 000 = _____________

Cómo escribirías, en notación con exponente y base diez, el número:

100 000 = 10

Recuerda que tienes que colocar el número que sigue al 10 un poco más pequeño y arriba. Ese número se llama exponente e indica el número de ceros que van después del 1.

Por ejemplo:326 es 3 centenas más 2 decenas más 6 unidades. Lo podemos escribir como:

326 = 300 + 20 + 6 = 3 3 102 + 2 3 101 + 6

En sumaCápsula1 ningún cero 100

10 un cero 101

100 dos ceros 102

1 000 tres ceros 103

bloquE 110 sistemas de numeraCión

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En la tabla anterior se observa que cada tres posiciones determinan una nueva clase, por ello es más fácil escribir los números en grupos de tres, de derecha a izquierda, para distinguir el orden de un nú-mero. Por ejemplo, 5894723723 es más fácil de leer si se agrupa:

En suma

1 = 100 es una unidad10 = 101 es una decena100 = 102 es una centena1 000 = 103 es un millar

Cápsula

11º 10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º

potenciade 10

nombreu

nid

ades

millares de millón millones millares unidades simples

dec

enas

de

mil

lar

de

mil

lón

dec

enas

un

idad

es d

e m

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r

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mil

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mil

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n

un

idad

es d

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ten

as

1010 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100

En suma

5 894 723 723, formando grupos de mil, se lee:Cinco mil ochocientos noventa y cuatro millones setecientos veintitrés mil setecientos veintitrés.

Cápsula

orden

clase

Nuestro sistema de numeración es posicional, es decir que la posición de cada dígito está indicando lo que llamamos el orden en la cifra.

Así en el ejemplo anterior el 3 indica 3 unidades de tercer orden (centenas, 102) el 2 indica 2 unidades de segundo orden (decenas, 101) y el 6 indica 6 unidades de primer orden (unidades, 100 = 1).

El sistema que utilizamos se llama decimal, o en base 10, pues cada diez unidades de cualquier orden forman una unidad del siguiente; por ejemplo con 10 unidades se tiene una decena, con 10 decenas se tiene una centena, con 10 centenas se tiene una unidad de millar...

Se usa el nombre de potencias de 10 pues al escribir 104, 4 es el exponente e indica la potencia, es decir el número de veces que hay que multiplicar 10 por él mismo:

104 = 10 3 10 3 10 3 10 = 10 000

En general cualquier número se puede expresar como la suma de sus ci-fras multiplicadas por las respectivas potencias de 10. Por ejemplo:

267 542 = (2 3 105) + (6 3 104) + (7 3 103) + (5 3 102) + (4 3 101) + (2 3 100)

Millaresde millón

Millones Millares Unidadessimples

{ { { {5 894 723 723

sistemas de numeraCión

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1� sistemas de numeraCión

Es muy importante colocar correctamente el orden de magnitud para distinguir entre setecientos veintitrés mil que escribimos 723 000 y setecientos veintitrés que escribimos 723.5 894 723 723 lo escribimos en notación desarrollada como:

Es decir que multiplicamos 5 por el resultado de multiplicar 1 000 tres veces por sí mismo. Esto podemos escribirlo como 5 (1 000 3 1 000 3 1 000) o bien usando el mismo método que para las poten-cias de 10 tenemos que:

1 000 3 1 000 3 1 000 = 1 0003

y así 5 894 723 723 se escribe como:

5 3 1 0003 + 894 3 1 0002 + 723 3 1 0001 + 723

1. Anota en tu cuaderno cada uno de los siguientes números, indica el orden del dígito 4 y di cuántas unidades representa.

543 45 678 3 452 421 122

84 3 524 435 400 000 000

�. Escribe de qué número se trata.

4 3 105 + 3 3 104 + 5 3 103 + 4 3 102 + 5 3 10 + 4 3 100= _______

3 3 105 + 4 3 103 + 3 3 10= ________________

6 3 104 + 5 3 103 + 8 3 102 + 7 3 100= ________________

1 3 105 + 3 3 104 + 2 3 103 + 4 3 102= ________________

�. Escribe los siguientes números como una suma de potencias de 10.

5 000 000 000

894 000 000

723 000

723

ACTIVIDADES

895 534

52 103

2 405 502

4 444

En suma

el orden de magnitud es un factor de 10. dos números difi eren en tres órdenes de magnitud si uno es 1 000 veces mayor que otro. así 723 y 723 000 difi eren en tres órdenes de magnitud. el orden de magnitud de 723 es el de las centenas, es decir, 100 y el de 723 000 es el de las centenas de millar es decir 100 000.

Cápsula

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1� sistemas de numeraCión

4. En tu cuaderno escribe como sumas de potencias de 1 000.

• Diez millones setecientos treinta y cuatro mil doscientos doce • Ciento cincuenta y dos mil cuatrocientos dos • El año en que cumplirás cincuenta años • Cuatro mil trescientos cuarenta y dos • Treinta y tres mil Escribe con letra cada número y luego como potencias de 1 000. • 384 843 76 325 657 4 825 6 532 423 161

Cálculo mental

Para realizar cálculos mentales con rapidez, el sistema posicional en base 10 es muy útil. Te hacemos unas sugerencias que puedes emplear para multiplicar o dividir un número.

La multiplicación por 5 es sencilla cuando se trata de una sola cifra y aplica también para números de varias cifras. Por ejemplo, una forma sencilla para multiplicar 46 3 5 es:

46 = 40 + _______ ahora se puede multiplicar

40 3 5 = __________

6 3 5 = __________

¿Qué crees que tienes que hacer ahora?

_________________________________________________________

Entonces el resultado de 46 3 5 = _________ + _________ = _______

Recuerda que 5 es la mitad de _____________ . Ahora si multiplicas46 3 10 tendrás el doble del número que buscas. ¿Cómo puedes obtener entonces 46 3 5?

46 3 10 = _____________

46 3 5 = _____________ ÷ _____________ = _____________

En muchas ocasiones es útil reacomodar los factores de una multipli-cación para que ésta sea más sencilla. Por ejemplo:

2 3 8 3 5 3 20 3 5 se reagrupa como: 8 3 (2 3 5) 3 (20 3 5)

Explica por qué éste es un buen reagrupamiento que ayuda a hacer la

multiplicación rápidamente puesto que 2 3 5 ______ y 20 3 5 ______

El resultado es: 8 3 (2 3 5) 3 (20 3 5) = 8 3 10 3 100 = _________

Consulta las actividades so-bre la calculadora para hacer operaciones con números muy grandes, en la página 258.

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14 sistemas de numeraCión

Para dividir, podemos pensar que una división equivale a una serie de restas. Por ejemplo, imagina que al hacer un inventario en un almacén se tienen que acomodar 687 botes en cajas de 6. Un cálculo rápido nos

indica que, como una caja contiene 6 botes, 10 cajas contienen ________

y 100 cajas ________. De manera que si se llenan 100 cajas quedarán

_______ botes. Con ellas se pueden llenar 10 cajas: 87 – _______ = 27;

y luego, 4 cajas más, 27 – (634) = 27 – ________ = 3. Así que en total

se llenaron ________ + 10 + 4 = 114 cajas y sobran 3 botes.

Esta técnica sirve también para estimar rápidamente divisiones. Por ejemplo, para calcular una estimación de 3 715 ÷ 53, calcula:

1 3 53 = ________

10 3 53 = ________

100 3 53 = ________

Así que 3 715 está entre 53________ y 53________ entonces el cociente

debe estar entre ________ y ________

Para tener una mejor estimación observa que 37 ÷ 5 = __________ aproximadamente.

De manera que puedes concluir que el cociente aproximado es ______

El resultado es una aproximación que mentalmente se calcula de manera rápida.

Completa el siguiente ejemplo que indica cómo estimar rápidamente el resultado de una división: 8 349 ÷ 23, calcula:

1 3 _______ = __________

10 3 _______ = __________

100 3 _______ = __________

1 000 3 _______ = __________

Así 8 349 está entre _________ y _________ entonces el cociente debe

estar entre _________ y _________

Ahora dividamos 83 ÷ 2 = _________ aproximadamente.

Podemos entonces concluir que _________ es una estimación del resultado buscado.

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15 sistemas de numeraCión

1. Calcula mentalmente, luego escribe el resultado en tu cuaderno explicando cómo lo hiciste.

750 3 5 2 3 8 3 6 3 5 3 5 3 6 5 734 ÷ 19

�. Escribe en tu cuaderno el procedimiento para sumar rápidamente

21 + 32 + 19 + 58 + 3.

�. Calcula mentalmente y escribe el resultado

273 3 5 = 108 3 5 =

322 3 5 = 576 ÷ 21 =

2 582 ÷ 32 = 871 ÷ 43 =

2 3 7 3 5 3 4 = 5 3 6 3 20 3 3 =

2 3 4 3 8 3 5 = 6 3 6 3 2 3 5 =

OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

El sistema egipcio

El sistema de numeración egipcio tiene las siguientes propiedades:• No es un sistema posicional.• Los símbolos que se usan se pueden agrupar sin importar el orden.• Un símbolo se puede repetir hasta nueve veces.• Es un sistema aditivo, es decir, los números se obtienen sumando

los valores que representa cada símbolo.

Por ejemplo los egipcios escribían:

Para representar 2 007 Para representar 1 210 000

Para representar 999

Aun cuando no es un sistema posicional, los egipcios representaban los números según los valores de los numerales de mayor a menor simplemente para hacer las cosas con orden. Indica cuál de los núme-ros anteriores no está representado así: _________________________

Para representar 999

ACTIVIDADES

1

10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

1.1 estatua de escriba egipcio, principios de la dinastía V.

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1�

1. Discute con tu equipo cómo escribir con los símbolos egipcios el número 5 894 723. Háganlo en sus cuadernos.

�. Discutan cómo hacer la suma de (138 + 967) con símbolos egipcios.

�. ¿Qué ventajas y desventajas tiene el sistema de numeración egip-cio respecto al sistema de numeración decimal?Escríbelo en tu cuaderno.

4. Escribe el número decimal que representan los símbolos:

El sistema romano

■ Con tu equipo de trabajo investiga dónde se usan todavía los números romanos y anótalo aquí (al menos tres aplicaciones).

___________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Las propiedades de este sistema son:

De los siete símbolos que se usan, sólo las potencias de 10 (1, 10, 100, 1 000) es decir I, X, C, M pueden repetirse hasta tres veces (aunque a menudo el I se repetía cuatro veces IIII para representar al 4).

Es un sistema aditivo, dado que un símbolo colocado a la derecha de otro mayor o igual que él, se suma al primero. Por ejemplo, VI representa el 6, CLXIII es el 163.

También es un sistema sustractivo porque un símbolo que se coloca a la izquierda de otro mayor que él se resta de aquél. Por ejemplo, IX representa el 9, IV= 5–1= 4, XL= 50–10= 40, DXLIV representa 544. Los símbolos V, L y D no se anteponen.

Es un sistema multiplicativo debido a que una raya encima de una de las letras que se utilizan, multiplica su valor por mil. Se tiene, por ejemplo,CCCXXV representa 325 mil y M representa un millón.

1

5

10

50

100

500

1 000

I

V

X

L

C

D

M

En sumaCápsula

sistemas de numeraCión

TRABAJO EN EQUIPO

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Investiga cuándo se dejó de usar el sistema de numeración romano y quién introdujo en Europa el sistema de numeración decimal. Haz una biografía de Leonardo de Pisa también conocido como Fibonacci.

Responde lo siguiente.

■ Indica algunas diferencias que hay entre el sistema de numeración

romana y el nuestro. _________________________________________

___________________________________________________________

■ ¿Podrías efectuar la multiplicación CMXCIX por DLXV operando

con números romanos? ____ ¿Por qué? ___________________________

__________________________________________________________________

■ Escribe con números romanos 723 723

__________________________________________________________________

■ ¿Qué sistema crees que tenga más ventajas para operar? ________

____________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Números mayas

La civilización maya, como era de esperarse dada su grandeza, desarro-lló el mejor sistema aritmético de su época. Se usaban tres símbolos:

1 5 0

Los mayas, con puntos y rayas, podían representar de manera sen-cilla los números del 1 al 19.

El sistema maya es un sistema que usa base 20, a diferencia del nues-tro que tiene base 10. Así que para cada 20 unidades se forma una de orden superior. Los números se escribían en forma vertical.

Observa que para escribir los números del 1 al 19 el sistema maya parece ser un sistema aditivo con base 5 pero al introducir números mayores, éstos se escriben en forma vertical y la posición juega un papel importantísimo. Los números del 1 al 19 considerados como un solo símbolo, constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20 3 20, 20 3 20 3 20..., según el lugar que ocupe, y sumar para convertir el número maya a base 10. Es, por lo tanto, un sistema posicional que se escribe de abajo hacia arriba empezando segun corresponda a las unidades, luego las veintenas, las cuatrocentenas, etcétera.

1.2 Glifo maya, localizado en la zona arqueológica de Palenque.

sIstEmas dE numEracIón

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18

10

11

12

13

14

15

16

17

18

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 19

Al tener cada cifra un valor relativo de acuerdo con su posición, se hace imprescindible la presencia de un signo para el cero, con el que indican la ausencia de unidades de algún orden. Los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto en sí de cantidad nula.

El sistema de numeración que acabamos de describir es el comercial, o sea el usado para comprar y vender.

representa 21 representa 20

1 3 20 3 20 3 20 = 2 3 20 + 2 = representa 8000 representa 42

1 3 20 3 20 + 1 = 3 3 20 + 1 = representa 401 representa 61

■ Trabajen en equipos para indicar el número que representa en base decimal cada uno de los siguientes números mayas y compara tus respuestas con las de otros equipos.

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

En sus cuadernos, intenten escribir 5 894 723 en símbolos mayas.¿Cuáles son las dificultades con las que se encuentran?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

traBaJo en equIpo

Investiga si el cero aparece en otros sistemas de numeración y en qué época ocurre. Explica las razones de lo que investigaste.


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19

A veces, en vez de usar puntos, líneas y conchas, los mayas usaron caras u otros glifos para representar ciertos números y éstos, a su vez, se combinaban con puntos, líneas y conchas.

Las matemáticas eran una disciplina tan importante para los mayas que se encuentra incluso en algunos de sus mu-ros y estelas. Los científi cos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica. Para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así, la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multi-plica por 20 3 18 = 360 en vez de ser como en el sistema comercial maya 20 3 20 = 400. La razón para utilizar 18 en lugar de 20 es que 360 se acerca mucho a la duración de un año, el cual consideraban dividido en 18 uinal (co-rrespondiente a nuestros meses) que constaba cada uno de 20 días. Así, a los 360 días se añadían algunos días festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía un año que tenía 365 días.

Los mayas tenían otro sistema de numeración que les servía para las fiestas religiosas. En éste, el año se dividía en 20 ciclos de 13 días, que totalizaban 260 días.

el sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal se usa actualmente para medir el tiempo y los ángulos. Hay bloques que son decimales, otros que van por grupos de 60. En efecto para cantidades menores de un segundo se utiliza el sistema decimal. Por ejemplo, cuando dicen que Ana Guevara corrió los 400 metros en 49.16 significa que son 49 segundos con 16 centésimos. El 1 indica décimos de segundo y el 6 indica centésimos de segundo.

Sin embargo, decir que el récord mundial de Daniel Komen, de Kenya, en 3 000 metros es de 7:58.61, equivale a un tiempo de 7 minutos, 58 segundos y 61 centésimos.

En este caso 100 centésimos forman un segundo y 60 segun-dos forman un minuto. Además, sabemos que 60 minutos son una hora. Para abreviar, se usa h después de las horas, dos puntos después de los minutos y un punto después de los segundos, de esta manera el tiempo queda claro. Por ejemplo, el récord del mundo de 20 kilómetros de caminata en pista que es de Bernardo Segura, de México, se escribe 1 h 17:25.60, es decir 1 hora, 17 minutos, 25 segundos y 60 centésimos.


1.3 detalle del códice de dresde. cultura maya.

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20

En general se tiene que:

24 horas = 1 día 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos 1 segundo = 10 décimos de segundo 1 segundo = 100 centésimos de segundo 1 segundo = 1 000 milésimos de segundo

Observa que este sistema es posicional con ciertas restricciones, pues no se pueden tener más de 24 horas o 60 segundos o 60 minutos.

¿Qué pasa si se tienen más de 24 horas? ________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Describe cómo se aplica el sistema sexagesimal para sumar horas, minu-

tos y segundos. _____________________________________________

____________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Realiza los ejercicios y escribe el procedimiento:

Tres horas y media (en minutos)

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Cinco minutos y cuarto (en segundos)

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Dos horas y tres segundos (en segundos)

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Resuelve las siguientes sumas de unidades de tiempo.

4: 22’ 45” 8: 39’ 52” 5: 31’ 21” + 2: 39’ 18” + 6: 14’ 25” + 1: 58’ 13”

Los Babilonios fueron, hace más de 6 000 años, los inventores de la rueda, y dividieron la circunferencia en 360 partes iguales obteniendo lo que se llama actualmente el grado sexagesimal.


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21

1. Escribe con letras los números.

233 233 233 5 768 543 899 5 678 432 234

2. Efectúa rápidamente las multiplicaciones y explica cómo lo hiciste.

2 3 4 3 3 3 5 579 3 10 000 3 412 3 5 9 459 ÷ 9

3. Escribe usando potencias de diez los siguientes números:

445 445 3 232 67 890 3 782 953 425

4. Escribe en números egipcios el año de la Independencia de México.

5. Escribe con números mayas el año en que naciste.

6. Escribe con sumas de potencias de 1 000.

3 541 3 483 234 567 891 2 993 452

7. Escribe en el sistema decimal los siguientes números romanos.

MMVIII DCCXLIV MDCCCX MMMCMLXXXIX

8. Escribe en tu cuaderno la equivalencia en numeración decimal.

9. Con tu equipo, indaga cómo era la numeración de los babilonios, dónde se desarrolló y cómo la usaban. Explica las ventajas o des-ventajas de ese sistema. Busca sus aplicaciones actuales


aCtIVIDaDes

Busca en una enciclopedia otros códices que tengan números mayas, o consulta la página electrónica http://www.archaeoastronomie.de/codex/cdstart.htm

Dos representaciones

El profesor acaba de ilustrar el número 196 colocando un objeto en la columna de las centenas, nueve en la columna de las decenas y seis en la columna de las unidades, como se muestra en la tabla:

Pablo le dice al profesor que si se pudieran poner más de 10 objetos en cada columna se podría representar el mismo número, el 196, con más de 16 objetos. Así es, le comenta al profesor, nuestro método es el mejor pues es el que usa menos objetos.

El profesor le pide a Pablo y a Sofía que busquen cómo representar el 196 con un total de 70 objetos, se permite utilizar, cuando se quiera, más de 10 objetos por columna. Un rato después, Pablo y Sofía encontraron soluciones distintas. Indica cuáles son.

centenas decenas unidades

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22 PatronEs

Patrones con números Tema 2

Busquemos patrones

La búsqueda de patrones consiste en encontrar alguna regla o motivo que se repite. Algunos son geométricos; por ejemplo, los que obtene-mos al reproducir una misma figura a cierta distancia de la anterior:

Se puede hacer más complicado. Dibuja las formas que siguen:

Una de las estrategias para resolver problemas es encontrar patro-nes, por eso las matemáticas se dedican a estudiarlos.

■ Continúa los siguientes patrones numéricos añadiendo tres números en cada caso, y luego compara tus resultados con los de tus compañeros.

Para descubrir el patrón que nos sugieren los primeros números podemos hacernos las siguientes preguntas:

• ¿Los números van creciendo o decreciendo?• ¿Cómo es cada número con respecto al anterior?

• ¿Y con respecto a los dos anteriores?• ¿Cómo es cada número con respecto a los tres anteriores?• ¿Qué diferencia existe entre dos números consecutivos?• ¿Cómo es la suma de cada dos?

En los patrones numéricos del ejercicio anterior, los números van creciendo. Analicemos detenidamente cada caso.

a) Observa que la diferencia existente entre dos números consecu-tivos cualesquiera es ______ ; así que si continuamos el patrón, los

tres números que siguen a los que tú escribiste son: 28, 31, 34.

1.4 Los patrones sirven para hacer decoraciones, como las que muestran las fotos.

a) 4, 7, 10, 13, 16, _____, _____, _____

b) 0, 5, 10, 15, 20, _____, _____, _____

BLOQUe 1

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23 PatronEs

Fíjate que el número que ocupa el cuarto lugar se puede obtener sin necesidad de usar el número del tercer lugar, simplemente dándonos cuenta de que es 3 4 + 1; es decir 3 por el lugar más 1.

El número del lugar 8 sería 3 8 + 1.

La regla en este caso es multiplicar por tres el lugar y añadir uno.

¿Cuál número corresponderá al lugar 22? ____________

En el caso del inciso b), busca una regla que indique cómo encontrar los demás números y escríbela a continuación. _____________________

__________________________________________________________________

¿Cuál número correspondería al lugar 100? _____________________

1. Continúen el patrón dibujando los puntos e indiquen el número de puntos de cada figura.

Escriban una regla que permita obtener el número de puntos de una fi gura a partir del número de puntos de la fi gura anterior. ______________________________________________________________________

¿Podrían obtener la cantidad de puntos en el dibujo del lugar 100 si conocen los que hay en el lugar noventa y nueve? _______________

Explíquenlo. ____________________________________________________

__________________________________________________________________

Ahora queremos encontrar el número de pun-tos que tendría una figura dependiendo del lugar que ocupa. Sigan las indicaciones para encontrar una regla que permita calcularlo.

2. Observa y completa.

Escribe la regla _____________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

asociar cada número de un patrón con su lugar, de acuerdo con el orden de los números, es una excelente estrategia.

1 4

2 7

3 10

4 13

5 16

Cápsula

••

• •• •

• • •• • •

• • • •

traBaJo en equIpo

en suma

observa que a cada lugar se le está asociando el número de puntos. a cada número que representa un lugar le corresponde un solo número que representa la cantidad de puntos de la fi gura. a este tipo de correspondencia se le llama una función.

Cápsula

LugarNúmero

de puntosRegla

1 1 = 2 1 – 1

2 3 = 2 _____ – 1

3 5 = 2 _____ – 1

4 7 = 2 4 – 1

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24 PatronEs

en suma

una variable es una letra que puede representar cualquiera de los números de un conjunto o colección de números.

Cápsula

El lugar 8 de la sucesión de la página anterior tiene:

2 8 – 1 = 15.

El número asociado al lugar 22 es _________ y al 49 ___________. Si en una mesa cuadrada se pueden sentar 4 personas, al colocar otra mesa junto se sientan 6 y al poner otra, se sientan 8, ¿cuántas personas se pueden sentar en 5 mesas colocadas en fila? ¿Y en 82 mesas en fila?

Para contestar estas preguntas observa la siguiente figura:

¿Cuántas personas más se pueden sentar cada vez que se agrega una mesa? _______

Completa la tabla y escribe una regla que te indique cómo obtener el número de comensales dependiendo del número de mesas:

Ahora contesta cuántas personas caben en una fila de 82 mesas ____

La regla para obtener el número de personas dependiendo del nú-mero de mesas es: dos por el número de mesas más dos, así, si la variable n representa el número de mesas la regla será:

2 3 ____ + 2 = 2n + 2.

De manera que para obtener el número de personas que pueden sentarse en 36 mesas colocadas en fila debemos calcular 2(____) + 2 = 74.

Calcula el número de personas que se pueden sentar en 28 mesas.

2 3_______ + 2 = __________ personas.

Calcula el número de personas que se pueden sentar al tener 43 mesas: ______________________________________________________________

Número de mesas Número de personas Regla

1 4 = 2 1 + 2

2 6 = 2 2 + 2

3 8 = 2 _____ + 2

4

consulta las actividades para la hoja de cálculo elec-trónica, en la página 260.

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25 PatronEs

aCtIVIDaDes

1. Dibuja las dos figuras que sigan el patrón indicado y escribe el número de puntos que corresponden a cada figura.

¿Cuántos puntos aumentan de una figura a otra? _______________

¿Cuántos puntos hay en la décima figura? _______________________

Escribe en tu cuaderno una regla que te indique cómo obtener el nú-mero de puntos de una figura dependiendo del lugar que ocupa.

Primero escríbela con palabras y luego usa una variable que repre-sente el lugar que ocupa cada figura para escribir la regla.

¿Cuántos puntos hay en la figura número 38? ___________________

2. Dibuja en tu cuaderno las tres figuras siguientes de cada uno de los patrones y completa la tabla correspondiente.

A B

Números triangulares y cuadrados

Los números, al igual que los seres humanos, tienen formas variadas. En la siguiente fi gura indica el número de puntos que hay en cada di-bujo y haz en tu cuaderno las tres fi guras que siguen.

________ ________ ________ ________

••

•• •• •

• •• • •• • •

• • •• • • •• • • •

A Lugar Cuadros

1 1

2 3

3 6

4

5

6

B Lugar Cuadros

1 1

2 4

3 9

4

5

6

•• • •

• • •• • •

• • • • • • • • • •


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26 PatronEs

Por obvias razones a los números que corresponden a este tipo de arreglos de puntos se les llama triangulares. También se pueden repre-sentar por medio de cuadrados formando una especie de “triángulos” como se indica en la siguiente fi gura. Dibuja los siguientes números triangulares y escribe las cantidades correspondientes.

Observa que el 7 no es un número triangular pues no se pueden colocar siete cuadrados en la forma anterior, sobra uno o faltan tres pues en esta formación se usan sólo 6 y en el siguiente dibujo se usan 10.

¿Cuál es el octavo número triangular? Una forma de saberlo es com-pletando el “triángulo” que tiene ocho cuadrados por base. Dibújalo en tu cuaderno y responde:

¿Cuántos cuadritos hay? __________

¿Cuál es el octavo número triangular? __________

1. En una cartulina, cada alumno debe construir con cuadraditos idén-ticos los números triangulares que representen el séptimo, noveno y décimo. Luego deben recortar esos dibujos y, por parejas, unirlos como se indica en la fi gura, asegurándose de que son idénticos.

¿Qué figura se forma? ___________________________________________

¿Qué medidas tiene la unión de los séptimos números triangulares?____________________________________________________________

¿Cuál es el área de esa figura en cuadritos? ______________________

El área de cada una de las figuras triangulares es la mitad del área que acabas de calcular, de manera que el número de cuadritos de uno de los “triángulos” es ________

Esta actividad se puede repetir con el “triángulo” correspondiente al lugar 9 y al 10. Las áreas de éstos y los números triangulares se obtienen de la siguiente manera:

Ahora toma la variable n como lugar del triángulo y escribe una

regla que indique cómo calcular los números triangulares depen-

diendo de su lugar.

10 3 2

= ______9 3 2

= ______

aCtIVIDaDes por pareJas

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27 PatronEs

Observa que un número triangular también se puede ver como una suma de números consecutivos:

1. ¿Cómo puedes encontrar la suma de los 10 primeros números? __________________________________________________________________

Representa con la variable n la cantidad de números que quieres sumar y deduce una fórmula. ____________________________________

¿Cuánto vale la suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 98 + 99 + 100? Puedes usar la regla para números triangulares y tomar n como el último número que quieres sumar. ______________________________________

2. Resuelve en tu cuaderno. El inciso c) en equipo.

a) 1 + 2 + 3 + 4 + … + 88

b) 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 + 99 + … + 3 + 2 + 1

c) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 58 + 60

Números cuadrados

Al unir dos fi guras que representan un mismo número triangular se obtiene un rectángulo. Para obtener un cuadrado es necesario juntar dos números triangulares consecutivos. Dibuja lo que le falta al de 5 3 5 para completar un cuadrado.

2 3 2 3 3 3 4 3 4

Así tenemos que: 1 + 3 = 2 3 2 lo cual escribimos como 22 3 + 6 = 3 3 3 lo cual escribimos como 32

aCtIVIDaDes

5 3 5

6 3 7 = 212

• + 1• • + 2• • • + 3• • • • + 4• • • • • + 5• • • • • • + 6

21


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28 PatronEs

Completa. 6 + 10 = 4 3 4 = 4 10 + 15 = 5 3 5 = ____

Observa que para indicar que un número se multiplica por él mismo usamos un exponente, el 2. Completa:

6 6 = ____ ____ 3 ____ = 72

Observa la siguiente figura y completa la línea que falta.

La suma de los primeros cinco números impares es ______________

Para indicar el cuadrado del número n escribimos n 3 n = n2 lo que indica que al número n lo multiplicamos por él mismo. La suma de los primeros n números impares es n2.

1. Calcula.

102 = ____ 82 = ____ 92 = ____ 72 = ____

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = ________________

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = _________________

Números cúbicos

Si ahora en vez de cuadrados usamos cubitos, éstos se pueden co-locar en fi la, o unos encima de otros en varias capas. Cuando el número de capas es igual al número de fi las y columnas se obtiene un número cúbico. El número cúbico más pequeño es 1. El segundo es 2 2 2, es decir, 8, se escribe 23 y se lee dos al cubo.

Usando esa notación 53 significa 5 5 5 = 125.

¿Qué significa 63? _________________ ¿Y n3? __________________

Compara 23 y 32 e indica cuál de los dos es mayor. _____________

aCtIVIDaDes

1

2 3 2 3 2 = 23

1 = 12

1 + 3 = 22

1 + 3 + 5 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 42

1 + 3 + 5 + 7 + 9 =

Investiga en equipo qué son los números pentagonales y hexagonales.

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29 PatronEs

De manera análoga usaremos 24 para indicar 2 2 2 2, y es dos a la potencia 4, el exponente es 4.

Calcula 24 = ____ 3 ____ 3 ____ 3 ____ = ____

¿Qué crees que indica 25? ___________________________________

Compara 25 y 52 __________________________________________

13 23 33 43

Observa que el primer cubo tiene lados de longitud una unidad, el segundo, que corresponde a 23 tiene lados de longitud 2. El que corresponde a 33 tiene lados de longitud 3.

¿Qué longitud tiene el lado del cubo que corresponde a 43? _____

¿El que corresponde a 53? ______________

¿El que corresponde a 103? _____________

1. Imagina un cubo de un metro de lado, es decir de un metro por un metro por un metro. Ahora piensa que marcas los milímetros en cada uno de los lados; se forman cubitos de un milímetro por un milímetro por un milímetro. Si colocas todos esos cubitos de un milímetro de lado uno tras otro, ¿qué longitud tendrá la fi la de cubitos?

Perímetros

El perímetro de una figura es la suma de las longitudes de sus lados. Consideremos un triángulo equilátero con lados de 3 cm, entonces el perímetro es: 3 + 3 + 3 = _______ cm.

traBaJo en equIpo

¿En qué tipo de cálculos crees que se aplican los números al cubo?

3 3

3

en suma

Busca en el diccionario el signifi cado de acutángulo y escribe la defi nición de triángulo acutángulo en tu cuaderno.

Cápsula

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30 PatronEs

8

9

Escribe una fórmula para calcular el perímetro de un triángulo equilátero donde uses la variable l que representa la longitud de los lados del triángulo.

Perímetro = _______ + _______ + _______

Utiliza la fórmula anterior para calcular el perímetro de un trián-gulo equilátero con lados de longitud 23 cm.

Perímetro = _______ + _______ + _______

El rombo tiene sus cuatro lados de la misma longitud. Explica cómo calcular su perímetro.

___________________________________________________________

Indica una fórmula que te permita calcular el perímetro de un rombo con la longitud de los lados representada por la variable l.

Perímetro = _____________________

Un cuadrado es un rombo cuyos ángulos son rectos. Calcula el perímetro del cuadrado de la figura.

Perímetro = _____________________

¿Qué fórmula puedes usar para calcular el perímetro de un cuadrado cuyos lados miden a?

Perímetro = _____________________

¿Se parece a la que descubriste para el rombo? _______ ¿por qué? Explícalo.

___________________________________________________________

___________________________________________________________

¿De qué manera calculas el perímetro de un rectángulo?

___________________________________________________________

___________________________________________________________

¿Cuál es la fórmula?

___________________________________________________________

¿Cuántas variables intervienen en ella?

___________________________________________________________

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31 PatronEs

1. Encuentra el número de palitos necesarios para construir las siguien-tes fi guras y luego indica cuántos hacen falta para la fi gura número 8. Finalmente escribe una fórmula general usando una variable:

Realiza lo mismo para las figuras siguientes.

Ahora haz el cálculo para el siguiente patrón.

Repite el procedimiento para las siguientes figuras.

Cuadrados casi mágicos

Coloca los números del 1 al 9 cada uno en una casilla, de manera que la suma de los tres números en las casillas verticales de cada columna sea igual a la suma de los tres números de las casillas horizontales de cada fila.

A cuadrados con esa propiedad se les llama casi mágicos. Si además se pide que la suma de los números de cada diagonal sea igual a la suma de los números de cada columna y a la de cada renglón, se dice que el cuadrado es mágico.

Como en este caso trabajaremos con cuadrados casi mágicos, empieza por colocar el 9 al centro y encuentra todas las soluciones posibles con esta propiedad.

¿Puedes encontrar una solución al cuadrado casi mágico en la que el 9 no esté en el centro?

aCtIVIDaDes

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32

Las Letras

Si miras a tu alrededor, verás que muchos de los objetos que nos rodean son simétricos. Ejemplo de figuras simétricas planas son las siguientes.

La simetría tiene muchas aplicaciones en geometría, pero primero juguemos un poco con las palabras simétricas. Hay palabras como AMA que, usando letras mayúsculas, se leen igual de izquierda a derecha o de derecha a izquierda; esto se debe a que las letras tie-nen una simetría vertical. Hay once letras mayúsculas que tienen simetría vertical, encuéntralas y escríbelas a continuación.

__________________________________________________________

Un interesante efecto visual se puede obtener con el dispositivo que se muestra en la figura.

Consiste en un palito que será el eje y una lámina de plástico transparente. En el plástico se escribe una palabra (en este caso AVIVA) que tenga un eje de simetría vertical (lo tiene en la letra I).Cuando se hace girar la placa entre las manos alrededor del

eje, la palabra parece fl otar en el aire. Efectúa varias pruebas hasta alcanzar la velocidad de rotación adecuada.

■Hay letras como la C que tienen simetría horizontal. Hay en total nueve letras ma-yúsculas con simetria horizontal. Escríbelas. ___________________________________

Como espejosTema 3

A M ACOCO

sImEtrÍa

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33 sImetrÍa

1. Con tu equipo de trabajo busca otros animales que no sean si-métricos, hay pocos. Escríbelos y si es posible consigue una foto o un dibujo para ilustrarlos y mostrarlos en el salón.

___________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

TrABAJO en eQUiPO

Sin embargo, el llamado cangrejo violinista tiene una gran tenaza de un solo lado y por eso no es simétrico.

Una palabra con una simetría horizontal es COCO. Otra palabra de siete letras con simetría horizontal es DIOXIDO. Escribe 5 pa-labras que tengan simetría horizontal (en este caso no tomaremos en cuenta los acentos).________________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________

En la naturaleza la simetría juega un papel importante pues casi todos los seres vivos son simétricos respecto a un eje. Por ejemplo un águila, una araña, una mariposa, un ser humano, son simétricos.

un eje. Por ejemplo un águila, una araña, una mariposa, un ser humano,

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34

■ Completa las tablas preservando las simetrías que hay.

Laura, cuando se estaba peinando en la mañana frente al espejo, vio el reloj reflejado como aparece en la figura. Ella entra a la escuela a las 07:00. ¿Puedes ayudarla a saber cuánto tiempo tiene para llegar a la escuela?

_____________________________________________________

Los ejes

■ Marca con una línea punteada los ejes de simetría de las siguientes figuras.

En la primera figura hay _________ ejes de simetría y en la segunda

hay _________ ejes de simetría.

Marca los ejes de simetría en las siguientes figuras.

A X

B E

N L

Z

R

T S

Tiene ____ eje(s) de simetría. Tiene ____ eje(s) de simetría. Tiene ____ eje(s) de simetría.

A

D BC

L M

P N

sImetrÍa

A

H

Investiga si los animales que en su apariencia son simétricos, por ejemplo una mariposa, también son simétricos interiormente. explícalo en tu cuaderno.

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35

En la figura ABCD el eje de simetría se denota por AC porque es la línea que va del punto A al C. Los puntos B y D son puntos simétricos respecto al eje vertical. Los ángulos ABC y ADC son también simétricos. Mide con tu transportador cada uno de esos ángulos y anota su medida.

Ángulo ABC = _________ Ángulo ADC = _________

¿Qué observas? _____________________________________________

Escribe una propiedad sobre los ángulos simétricos. __________________________________________________________________________________________________________________________

Considera ahora la figura LMNP. Mide con tu regla la longitud de LP y la de MN y anota cuántos centímetros miden. LP = ________ MN = ________. LP y MN son segmentos de recta simétricos res-pecto al eje de simetría de la figura. Escribe una propiedad sobre los segmentos simétricos.

“Los segmentos simétricos respecto a un eje son ______________”.

A partir de un eje, se puede construir el simétrico de una figura. Empe-zaremos por encontrar el simétrico de un punto respecto a un eje.

La construcción

¿Podría ser T simétrico de N respecto a l? Justifica: _____________________________________________________________________________________________________________

Para construir el simétrico de un segmento AB respecto a una recta l basta construir el simétrico de A que llamaremos A', y el de B que se denota B'; así el simétrico de

AB será A'B'.

Investiga cómo se aplica la simetría para el estudio y clasificación de animales.

En suma

Para identificar un ángulo en un polígono se escriben tres letras. Por ejemplo, en el ángulo ABC, la letra B representa el vértice.

Cápsula

P

M

P'l

P' es simétrico de P res-pecto a l, si el segmento PP' es perpendicular a l y P' M = MP

B

AB'

A'

l

T•

•N

l

B

A

A'

l

B

A

l

•

sImetrÍa

A

B C

•

•

Pliego 3-33-48.indd 35 10/3/08 17:35:05

36

En el siguiente grupo de figuras indica cuál no representa dos segmentos simétricos respecto al eje l.

En la siguiente figura, usa tu escuadra y tu regla para construir primero el simétrico de K y luego el simétrico de L. Denota por MN el segmento simétrico de KL. Mide la longitud de KL y la de MN.

¿Cómo son KL y MN? ___________________________________________________________

Para encontrar el simétrico de un triángulo respecto a un eje basta encon-trar los simétricos de los vértices y trazar el triángulo correspondiente.

■ Traza en la siguiente página el simétrico del triángulo KLM res-pecto a l y denótalo por K'L'M' donde K' es el simétrico de K, L' el de L y M' el de M.

l l l

L

K

l

l

B

A

l

B

CA

l

B

A C

A'

B'A'

C'

B' l B'A'

C'

CA

B

En suma

recuerda que las figuras simétricas respecto a una línea recta son iguales en todas y cada una de sus partes.

Cápsula

sImetrÍa

Pliego 3-33-48.indd 36 10/3/08 17:35:07

37

Ahora usa el transportador para medir los ángulos.

MKL = ________ y M'K'L' = ________ ¿Cómo son? ___________

KLM = ________ y K'L'M' = ________ ¿Cómo son? ___________

LMK = ________ y L'M'K' = ________ ¿Cómo son? ___________

1. Con tu equipo observa que en cada una de las siguientes figuras hay una simetría marca los ejes y descubre qué son.

2. Encuentra aplicaciones de la simetría en otras asignaturas, por ejemplo en Artes Plásticas, y escríbelas en tu cuaderno.

Espejo en esquina

Un espejo en esquina se forma colocando dos espejos en ángulo recto. Explica la razón por la cual es muy diferente verse en un espejo en esquina que un espejo normal. Haz esquemas para que puedas expresar mejor tus ideas.

ACTiviDADes

sImetrÍa

Usa tu regla para medir KL y K'L' ¿Cómo son? _______________

L

K

l

M

1.5 Interior de la mezquita de Córdoba, arte musulmán en españa.

En suma

Para recordar cómo medir ángulos con el transportador, consulta el procedimiento en la página 100.

Cápsula

Pliego 3-33-48.indd 37 10/3/08 17:35:10

38

Fracciones y decimalesTEmA 4

En primaria trabajaste con fracciones y decimales. Escribe a conti-nuación para qué se usaban o para qué sirven esos números.______________________________________________________________________________________________________________________

Tenemos un segmento de recta AB donde A y B son los extremos.

A B

Si lo dividieras en cuatro partes iguales encontrarías los puntos que representan las fracciones , y de ese segmento.

Júntate con tu equipo e indica una manera de hacerlo. Haz la des-cripción en tu cuaderno.

Discute con los otros equipos de tu salón el método usado por ellos y también el de ustedes. ¿Cómo harían para dividir un segmento en 7 partes y obtener , , ..., ?

Discutan un método para hacerlo y divide el siguiente segmento.

C D

Observa que una regla no resulta de gran utilidad pues el segmento sólo se puede dividir aproximadamente. A continuación propo-nemos una forma de dividir un segmento en cualquier número de partes iguales. Esta actividad se puede hacer en parejas.

Material• una hoja de papel rayado• una tarjeta de cartón

Numera las líneas de abajo hacia arriba como se indica y usa la tarjeta de cartulina para copiar el segmento.

A B

A' B'

8

7

6

5

4

3

2

1

0

En suma

Una fracción es un número de la formadonde el de arriba es el numerador y el de abajo el denominador.

Cápsula

número enteronúmero entero

Busca en el diccionario el significado de fracción, numerador, denominador y anótalo en tu cuaderno.

14

24

34

17

67

FraCCIONes Y DeCImaLes

27

BLoquE 1

DiviDe sin meDir

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39FraCCIONes Y DeCImaLes

Procedimiento

Coloca el punto A' sobre la recta 0 de la hoja de papel. Luego mueve la tarjeta de manera que el punto B' toque la línea 4 teniendo al punto A' sobre la línea 0, como se indica en la figura. La línea 1 toca el borde de la tarjeta en de la longitud de A' a B'. De manera similar la línea 2 y la 3 tocan en y respectivamente.

Observa que la línea 5 toca en de A'B', es decir A'B' más un cuarto

de la longitud de A'B' que es lo que tomamos como unidad.

Una vez marcados esos puntos en el borde de la tarjeta, se pueden transferir al segmento original AB.

Ahora tenemos un método para dividir segmentos. Usa este pro-cedimiento para dividir el segmento CD de la página anterior en siete partes iguales. Recuerda que el punto A' tiene que estar sobre la línea 0 (cero) y el B' debe estar en la línea que corresponde al denominador.

Compara el resultado que se obtiene con el que usaron en tu equipo. Discute con tus compañeros el procedimiento que van a utilizar en las siguientes actividades.

1. Encuentra sobre el segmento el punto que se indica.

• El punto B, tal que AB = de AC

A C 1 unidad

• El punto Y, tal que XY = de XZ

X Z 1 unidad

2. Realiza las siguientes actividades poniéndote de acuerdo con tu equipo en el procedimiento que van a seguir.

• Marca el punto E, de manera que DE = 3 unidades

D F5 unidades

• Marca el punto H, de manera que GH = de GI

G I 2 unidades

ACTiviDADes

14 2

434

54

23

56

25

Realiza las siguientes actividades poniéndote de acuerdo con tu

8

7

6

5

4

3

2

1

0

A'

B'

34

_

14

_2

4_

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40 FraCCIONes Y DeCImaLes

• Marca el punto L, de manera que JL = de JK J K 4 unidades

• Marca el punto P, de manera que MP = 2 unidades

de unidad

• Marca el punto R de manera que QR = 1 unidad

de unidad Q S

La palabra fracción viene del latín fractio que es el acto de romper en pedazos. Explica qué deduces de la frase anterior.______________________________________________________________________________________________________________________

Las fracciones indican cantidades o distancias en las que se sub-

divide la unidad básica. Por ejemplo si un pastel se divide en 12

partes y se consumen 7 de ellas, la fracción expresa la cantidad

de pastel que se consumió. En este ejemplo la unidad es el pastel.

En los ejemplos de las figuras la unidad es el rectángulo. Una frac-

ción como se representa coloreando 3 de los 6 subrectángulos

iguales en los que se dividió la unidad.

Observa que es lo mismo que .

Para escoger la unidad básica sobre una recta es importante elegir un segmento de recta, el cual será la unidad básica y que a su vez se repetirá a lo largo de toda la línea recta. Una vez escogido un primer punto, a ese le pondremos la etiqueta de 0 (cero) y al segundo punto le pondremos la etiqueta de 1. Por lo general, el segundo se marca a la derecha del primero.

0 1

Ahora es fácil colocar las fracciones sobre la recta. Se puede usar el método que aprendiste al principio de esta lección y así obtener las fracciones entre 0 y 1 o mayores que 1.

43

23

53

712

36

36

12

1 unidad

M N

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En las siguientes figuras indica las fracciones que faltan.

0 1

0 1

Utiliza las rectas anteriores para contestar lo siguiente.

Escribe tres pares de fracciones que representen la misma parte del segmento de recta.

_____ = _____ _____ = _____ _____ = _____

Compara las siguientes fracciones y escribe los símbolos >, < o =.

Explica cómo usaste las rectas para contestar la actividad anterior.______________________________________________________________________________________________________________________

12

14 4 4

18 8

38

78

34

816

14

416

25

34

35

35

12

916

1216

34

78

45

716

35

132

164

En suma

el denominador indica el número de partes en que se dividió la unidad y el numerador, el número de partes que se toman.

Cápsula

1 2 3 40

10 2 3 4 5

1 212

24

3

102 3

104

101

10

Pliego 3-33-48.indd 41 10/3/08 17:35:16


Hay fracciones fáciles de comparar como por ejemplo y .Explica cuál es mayor y por qué.

___________________________________________________________

___________________________________________________________

Compara las fracciones y usa los símbolos > o <.

Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, ¿cuál es la más

grande?

Otras fracciones fáciles de comparar son las que tienen el mismo numerador, ya que tenemos el mismo número de partes en ambos casos y las partes de una de las fracciones son más pequeñas cuando el denominador es más

Compara las siguientes fracciones usando > o <.

Hay fracciones que tienen como denominador una potencia de 10,

por ejemplo que se puede escribir como = + . Esto

indica que se tienen siete décimos y cinco centésimos.

Nuestro sistema de numeración es posicional, es decir que la po-sición de cada cifra determina qué orden representa y cada diez unidades de un orden forman una unidad del siguiente orden. Por otro lado, si cada unidad la partimos en diez, estos pedazos representan una unidad inferior; en este caso, un décimo, y si un décimo lo dividimos en 10 obtenemos un centésimo de la unidad y así sucesivamente.

Para indicar que pasamos de unidades enteras a décimos se usa un punto que se llama punto decimal. A la derecha del punto se escribe la parte decimal. La posición de las cifras también se puede expresar con potencias de 10, pero en el denominador. Así tenemos que:

= + = 0 + + = 0.75

24

34

75100

710

75100

5100

7101

5102

5100

75100

710

En suma

si dos fracciones tienen el mismo numerador, la que tiene menor denominador es la mayor. Por ejemplo:

<

<

>

Cápsula

13

12

825

811

14169

14227

716

35

45

122343

145343

811

916

511

710

711

1523

1529

118

119

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1+ + = 1 + 0 + = + =

otro ejemplo

Vamos a expresar trescientos treinta y cinco milésimos con punto decimal y luego con potencias de 10 en el denominador.

3 décimos 3 centésimos 5 milésimos 0.335

+ + = + + = + + =

Ahora vamos a expresar un entero y nueve centésimos.

1 entero 0 décimos 9 centésimos

1.09

Por último, ciento cinco milésimos.

1 décimos 0 centésimos 5 milésimos 0.105

+ + = + + = + =

En suma

Cuando falte alguna unidad, es necesario poner cero en su lugar para que al desarrollar en fracciones de potencias de 10, las cifras ocupen el lugar que realmente les corresponde.

Cápsula

Un

idad

es d

e m

illó

n

Cen

ten

as d

e m

illa

r

Dec

enas

de

mil

lar

Un

idad

es d

e m

illa

r

Cen

ten

as

Dec

enas

Un

idad

es

PU

NT

O

DE

CIM

AL

Déc

imo

s

Cen

tési

mo

s

Mil

ésim

os

Die

zmil

ésim

os

Cie

nm

ilés

imo

s

Mil

lon

ésim

os

106… 105 104 103 102 101 100 . …1101

1102

1103

1104

1105

1106

Enteros Parte fraccionaria

en méxico se usa el punto decimal, pero en europa se emplea otra notación.Investiga cuál es esa notación y cuál es la universal, es decir la aceptada en la mayoría de los países.

310

3102

5103

310

3100

51000

3001000

301000

51000

3351000

010

9100

9102

100100

9100

109100

110

0102

5103

110

0100

51000

1001000

51000

1051000

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Contesta, luego escribe las cantidades en tu cuaderno con punto decimal y usando potencias de 10 en el denominador.

1. ¿Cuántos décimos tiene cincuenta y siete centésimos? 2. ¿Cuántos centésimos tiene mil quinientos milésimos?

orden en las expresiones decimales

Para ordenar los números decimales, primero se compara la parte entera: si se trata de números diferentes, se aplica el mismo crite-rio que para los números naturales. Si la parte entera es la misma, entonces se comparan cada uno de los decimales de izquierda a derecha. Comparemos, por ejemplo 6.023 y 6.032.

6.023 6.032 3 > 2

Luego 6.032 es mayor que 6.023

En tu cuaderno, ordena de menor a mayor: 37.9, 34.35, 38, 33.057. Como son números con parte entera distinta, el orden se rige como en los naturales. Luego compara 0.146000 con 0.146.

Comparemos 0.9281 con 0.9273. Si los décimos son iguales, se comparan los centésimos, y así hasta la primera posición en que difieran las cifras. son iguales

0.9281 0.9273

Por consiguiente, aunque veamos que 3 > 1 en los diezmilésimos, se tiene que 0.9281 es mayor 0.9273

Para comparar 3.5 con 3.38, debemos completar el primer número con ceros para que ambos tengan dos decimales.

3.50 3.38 5 _____ 3, así que 3.5 _____ 3.38

Compara 9.53 con 9.5312. Completamos 9.53 con ceros 9.5300.

9.5300 9.5312 1 _____ 0 entonces 9.5312 _____ 9.53

1. ¿Cuántos milésimos son cuatro décimos? ___________________

2. ¿Por qué escribimos $0.75 para representar setenta y cinco centavos? ________________________________________________________

ACTiviDADes

ACTiviDADes

En suma

Los ceros al fi nal de la parte decimal de un número no tienen valor. Investiga en qué otra parte del número tampoco lo tienen.

Cápsula

8 > 7

Pliego 3-33-48.indd 44 10/3/08 17:35:21


Observa que del mismo modo que la unidad se puede seccionar en cuatro partes iguales también la podemos dividir en 10, 100, 1 000 o cualquier potencia de 10. Escribe las fracciones en la recta.

Otra manera de escribir las fracciones anteriores es usando deci-males. Completa las que faltan aquí.

En las rectas anteriores se subdividió el intervalo en décimos, pero se puede dividir en centésimos o milésimos según sea necesario.

Para colocar el número 1.27 sobre la recta numérica lo más fácil es proceder de la siguiente manera:

Ponemos el 1

Dividimos en décimos y ponemos el 1.2

Dividimos el intervalo de 1.2 a 1.3 en centésimos y ponemos el 1.27

1. Dibuja en tu cuaderno una recta numérica y marca los siguientes números: 1.4, 2.1, 1.48, 2.0, 0.75, 2.4.

2. Ordena de mayor a menor los siguientes números.2.015, 3.025, 23.015, 23.150, 2.0150, 3.0015, 0.150, 2.150____________________________________________________________

0 1

0 1

0.8 1.2

0 1

0.8

1.30

1.27

1.20

ACTiviDADes

110

610

1010

1310

0 1

0 1 1.2

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3. Escribe en tu cuaderno los siguientes números con potencias de 10 y en decimal.

• quince milésimos• ciento doce cienmilésimos• cuarenta y cinco diezmilésimos• tres mil quinientos treinta y seis enteros, cuatrocientos veintiún millonésimos

A medir

Menciona algunos usos comunes de los números decimales. Al menos debes escribir 2, luego discute con el grupo lo que ellos encontraron y anótalo en tu cuaderno.

___________________________________________________________

___________________________________________________________

Las fracciones se utilizan a menudo en contextos donde es necesario medir, como los medidores de gasolina siguientes.

Coloca la flecha de acuerdo con la cantidad de gasolina que queda en el tanque.

Ahora escribe la fracción de gasolina que indica la flecha.

¿Cuál es la fracción que indica el vaso medidor?

En suma

muchas veces los objetos o grupos de objetos se separan en partes iguales

Cápsula

12

14

34

o

1

3

2o1

3

8 2 84o

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1. ¿Cuántos triángulos hay en el hexágono? ______ ¿Qué fracción

del hexágono representa un triángulo? ______ ¿y 2 triángulos?

______ o ______ ¿y 3 triángulos? ______ o ______

2. Una caja de huevos tiene una docena. ¿Qué fracción de la caja

es 1 huevo? ______ Para hacer una omelette grande se usan

3 huevos, ¿qué fracción de la caja hace falta para hacer

esa omelette? ______ o ______ Una omelette chica es de 2

huevos, ¿qué fracción de la caja es? ______ o ______

¿Para cuántas omelettes chicas alcanza la caja? ______

Números mixtos

Los diagramas ayudan a representar los números mixtos, que com-binan los números enteros con los fraccionarios.

Por ejemplo, 2

parte entera parte fraccionaria

Escribe el número mixto que corresponde a cada diagrama.

Colorea los rectángulos necesarios y parte de ellos para representar el número mixto de la izquierda.

ACTiviDADes

12

2 34

3 18

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Los números mixtos también se usan para medir.

Usa la regla para contestar las siguientes preguntas.

¿Cuántos hay en 3 ? ______ ¿Y en 1 ? ______

¿Y en 2 ? ______ ¿Y en 4 ? ______

Ahora emplea la regla para cambiar las fracciones a números mixtos:

= 2 = = =

Indica las fracciones que faltan en la siguiente regla.

Usa la regla para cambiar de números mixtos a fracciones.

1 = 2 = 3 = 2 =

Ahora cambia de una fracción a números mixtos.

= 3 = = =

Se puede cambiar de una fracción mixta a una fracción sin nece-sidad de usar una regla. Para transformar 2 a una fracción, se hace lo siguiente:

La parte entera 2, se transforma en quintos multiplicando: 2 ✕ 5 = 10 quintos.

Se suman los quintos de la parte fraccionaria: 10 + 3 = 13 quintos.

Con lo que: 2 =

Cambia a una fracción los números mixtos que se indican.

1 = _________ 4 = _________ 5 = _________

12

12

12

12

12

0 1 2 3 4 5

14

24

44 4

84

104 4

134 4 4 4

184 4 4

34 4

24 4

14 4

74

134

164

94

54

35

35

135

24

58

56

112

52

82

222

1 12

4

3 12

Pliego 3-33-48.indd 48 10/3/08 17:35:32

49

También se puede cambiar una fracción a un número mixto sin usar una regla. Vamos a escribir como número mixto.

Se divide el numerador entre el denominador. El residuo y el divisor serán el numerador y el denominador de la parte fraccionaria, y el cociente la parte entera. Así que:

Cambia las fracciones por números mixtos:

= = = =

Fracciones equivalentes

Fracciones iguales o equivalentes se pueden representar por medio de diagramas.

Si este círculo se divide en 2 partes iguales, cada parte es

Si se divide en 4 partes iguales, cada parte es

Hay que tomar partes para tener medio círculo.

En cada una de las siguientes figuras colorea la fracción del área que se te pide, y completa la igualdad.

En suma

No se te olvide que una fracción representa una división.

= 7 ÷ 4

Cápsula

74

175

25

175

85

113

72

425

1 = 22

= 12

24

=6

13

= 1216

=20

15

35 17 2

FraccioNes y decimales

cociente

residuo

= 3de donde

Pliego 4-49-64.indd 49 10/3/08 17:37:03

50

Cada uno de los cuadrados siguientes ha sido dividido en medios. Subdivídelos para obtener las partes que se indican.

cuartos octavos décimos doceavos

Una manera de encontrar fracciones equivalentes o iguales es mul-tiplicando el numerador y el denominador por el mismo número.Por ejemplo:

= = = = = = = =

Cada una de las siguientes parejas de fracciones son iguales o equivalentes y se ha obtenido la segunda al multiplicar la primera. Indica el número por el que se multiplicó.

= por ___ = por ___

= por ___ = por ___

Coloca el numerador o denominador que falta para que las frac-ciones representen la región coloreada.

Cada una de las siguientes parejas de fracciones son iguales, y se ha obtenido la segunda al dividir el numerador y el denominador de la primera entre el mismo número. Indica el número entre el que se dividieron.

= entre ____ = entre ____ = entre ____

Hay fracciones, como por ejemplo, y en las cuales el denomi-nador y el numerador no pueden dividirse entre el mismo número. Estas fracciones se llaman irreducibles. Para obtener una fracción irreducible equivalente a , indica el número por el que hay que dividir el numerador y el denominador. ______________________

En suma

También se puede dividir el numerador y el denominador entre el mismo número para obtener fracciones equivalentes.

Cápsula

34

912

3 3 24 3 2

68

34

3 3 34 3 3

1216

34

3 3 44 3 4

1520

34

3 3 54 3 5

34

23

515

5 6

2 12

23

69

34

1216

35

610

38

924

( (

( (

( (

( (

12

510

15

315

13

618( ( ( ( ( (


Pliego 4-49-64.indd 50 10/3/08 17:37:06

51

Completa la tabla. Para cada una de las siguientes fracciones, in-dica el número por el que hay que dividir el numerador y el denomi-nador para obtener una fracción irreducible y escríbela en la última columna. ¿Qué observas? ____________________________________

____________________________________________________________

Comparación de fracciones

En equipo respondan: ¿Qué fracción es más grande?

o o

Escribe en tu cuaderno qué procedimiento usaron.

Una forma de hacerlo es transformando estas fracciones en núme-ros mixtos.Escribe cada una de las dos fracciones como números mixtos:

= =

¿Cómo es la parte entera en ambos casos? ____________________

El mayor será el que tenga mayor parte fraccionaria. Para determinarlo podemos emplear un denominador común de esas dos fracciones, que es 4 3 5 = 20, y compararlas.

Escribe las fracciones equivalentes con denominador común.

¿Cuál es mayor? >

La mayor corresponde a ____ y la menor corresponde a _____

Escribe el signo adecuado .

1. ¿Cuál es mayor o ?

Explica tu respuesta en el cuaderno.

2. Expresa las fracciones con otras equivalentes con mismo deno-minador e indica cuál es mayor.

o o

este método se puede usar sin necesidad de pasar por los números mixtos, sino usando directamente denominadores comunes.

324432

126168

180240

912

1624

1520

837

958

334

425

334

425

425

374

375

37

12

322

211

ACTIVIDADES


FracciónNúmero por el que hay que dividir

Fracción irreducible

334

Pliego 4-49-64.indd 51 10/3/08 17:37:08

52

El regalo

Observa que las fracciones, además de un número, también repre-

sentan una división. Por ejemplo son tres quintos, pero también

representa tres partes de las cinco en que se ha dividido la unidad,

es decir, 3 ÷ 5.

Si se efectúa la operación, queda:

En este caso, se dice que 0.6 es la representación decimal de .

En su cumpleaños, Carmen quiso repartir de manera equitativa

5 tablillas de chocolate que tenía en casa para ella y sus

3 amigas.

A cada una le tocaron , que escrito como número mixto

es 1 + .

De manera que dio 1 tablilla a cada amiga, otra para ella y repartió

una tablilla entre las cuatro.

La solución se puede expresar como 1 + , o bien como .

Si se hace la división representada por la fracción, se obtiene:

Por tanto, un entero y un cuarto es igual a 1.25

Se puede escribir fácilmente 1.25 como fracción con denominador

con potencia de 10, ya que equivale a 1 y veinticinco centésimos o

bien a que al reducirla es lo mismo que .

Ahora comparemos y . Escribe en forma decimal:

= ________ = ________ ¿Cuál es mayor? ________

Cuando los números son grandes, conviene usar la calculadora.

¿Cuál es mayor o ? _______________________________

Explica tu respuesta en el cuaderno.

En suma

escribir las fracciones como números decimales nos proporciona otra forma de ordenarlos: primero, pasamos las fracciones a su forma decimal y luego simplementecomparamos los decimales.

Cápsula

35

0.65 3.0

0

35

54

14

14

54

125100

54

19425

314

314

19425

223489

237521


1.254 5.00 1.0 2 0 0

Pliego 4-49-64.indd 52 10/3/08 17:38:14

53

Resuelve en tu cuaderno.

1. Verifica si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:

y y y y y

2. Enlista todas las fracciones con denominador 24, que sean irre-ducibles y menores que 1.

3. Construye una recta numérica y localiza sobre ella los siguientes números: 2.25 3.1 y 0.5

4. Sobre la misma recta, localiza los puntos simétricos de los nú-meros anteriores, respecto al origen 0.

5. Escribe como fracción decimal, esto es, con denominador en potencias de 10, los números: 21.18, 3.050, 0.279, 0.65 y 243.5.

6. ¿Cuál es el número decimal que representa cada una de las si-guientes fracciones?

, , , , ,

7. Escribe cinco números que estén entre 3.5 y 3.8

8. ¿Cuál es mayor?

0.5 o 3.8 o 5 o

La pendiente

Los antiguos egipcios midieron lo empinado de una pendiente usando la fracción , donde x representa el número de manos de la longitud horizontal, y representa el número de manos de la altura. Siete manos representan un cúbito. Un problema que aparece en el papiro de Ahmés calcula la pendiente de la cara de una pirámide de 240 cúbitos de altura y cuya base es un cuadra-do de 2 800 manos por lado. El papiro da como resultado 1 . Demuestra que el papiro está en lo correcto.

ACTIVIDADES

18

324

47

2035

1013

100130

57

4563

1226

613

13

1315

27

85

25

194

12310

3571 000

1210 000

66100

7100

34

195

194

yx

15


x

x

y

y

1.6 Fragmento del papiro rhind, 1650 a. de n. e.

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54 razoNes y proporcioNes

TEMA 5

RAZONES

En una escuela secundaria hay 324 alumnos, de ellos 192 son ni-ños y el resto niñas. Se dice que la razón del número de niños con respecto al número total de alumnos es el cociente , a veces expresado como 192 : 324.

¿Cuál será la razón del número de niñas respecto al número de alumnos?

Hay 324 – 192 = ________ niñas

La razón es =

La razón de niños respecto al total de alumnos es que se pue-

de escribir de manera simplificada o reducida como una vez

dividido tanto el numerador como el denominador entre 12.

Expresa las siguientes razones en forma simplifi cada o reducida.

385 a 440 es decir = ________

612 a 432 es decir = ________

Una razón que no es obvia

Al hacer una encuesta se dieron cuenta de que de los tele-videntes votaron por el programa deportivo. ¿Cuál es la razón de los que votaron a favor del programa deportivo respecto a los que no votaron por él?

Explica tu respuesta. ______________________________

_________________________________________________

_______________________________________________

En suma

si a y b son dos números donde b es distinto de cero, la razón del número a con respecto al número b es el cociente .

Cápsula

ab

1627

192324

(número de niñas)(número de alumnos) 324

192324

385440612432

15

BLOQUE 1

Razones y proporciones

Pliego 4-49-64.indd 54 10/3/08 17:38:19

55razoNes y proporcioNes

A continuación te proponemos una forma de encontrar la solución, si tú pensaste en otra, coméntala en clase y compara tu resultado con el siguiente.

La razón que se busca es el número de personas que votaron por el pro-grama deportivo entre los que votaron por otro programa. Pero con la información proporcionada no podemos saber esos números, así que para resolverlo, observa la figura donde se representa a todos los votantes.

Tener quiere decir que 1 de cada 5 votó a favor, por lo tanto, de

cada 5 personas 1 votó a favor y 4 en contra, así que por cada parte de

votantes a favor hubo cuatro en contra:

es decir, por cada persona que votó a favor del programa deportivo hubo 4 que no votaron por él.

Comparación de razones

El jugador de basquetbol, Eduardo Nájera, en una práctica metió 36 de los 45 tiros que envió a la canasta, así que falló 9.

La razón de los tiros fallados respecto a los que metió fue de es decir . Lo que significa que falla uno y mete cuatro.

Ahora encuentra la razón del número de tiros fa-llados y la de tiros metidos respecto al total.

simplifica = simplifica =

Manuel hizo 9 tandas de cinco tiros a la canasta con los resultados que se ilustran en la siguiente figura. Cada vez que encestó hay un balón en la canasta y cada vez que falló no hay balón.

Fíjate en el primer renglón e indica la razón de los tiros que falló respecto a los que encestó.

La razón es ________ a 3, o bien

Ahora cuenta todos los que metió y todos los que falló, calcula la razón entre esas dos cantidades y simplifica la fracción. = =

votaron a favor

no votaron a favor

1

2

3

4

5

6

7

8

9

15

945

3645

fallómetió

9361

4

2

14

Votantes a favorVotantes en contra

=

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Eduardo Nájera tiene una razón de fallos respecto a aciertos de . ¿Quién es mejor tirador, Eduardo Nájera o Manuel? Explícalo en tu cuaderno.

Si Manuel solamente hubiese tirado 15 tiros, los resultados serían los tres primeros renglones.

¿Cuántos tiros de 15 falló? ________ ¿Cuántos metió? ________

¿Cuál es la razón?________ =

Completa la siguiente tabla.

A veces las razones forman ciertos patrones; por ejemplo: y .

Ambas representan la misma razón pues al simplificarlas resulta

que y =

Pero hay otra forma de comprobar que representan la misma razón y es haciendo los productos cruzados, es decir, las multiplicaciones que indican las flechas.

12 3 24 y 18 3 16

Calcúlalo en tu cuaderno y anota qué observaste.

Cuando dos razones son iguales, forman una proporción.

Por ejemplo, = es una proporción, ya que 6312 = 839 = 72.

14

con tu equipo de trabajo investiga y enuncia en tu cuaderno otras aplicaciones de las razones.

1218

1624

1218

1624

23

1218

1624

912

68

En suma

si los productos cruzados son iguales, las razones que representan son iguales.

Cápsula

69

18

16

1827

Número total Número Número Razón de fallados de tiros de fallados de anotados entre anotados

15

20

25

30 18

35

40 16

45

3

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Aplica los productos cruzados para averiguar qué pares de razones forman una proporción.

y___________________________________________________________

y ___________________________________________________________

y ___________________________________________________________

Las sombras

Escribe cómo supones que podrías calcular la altura del Ángel de la Independencia de la Ciudad de México, sin subirte a una escalera o algo similar. _________________________________________________________________________________________

En un día soleado los objetos forman sombras. La sombra de los árboles está relacionada con su altura, los más altos proyectan sombras más largas.

Usa la información de la figura para completar la siguiente tabla.

Verifica en tu cuaderno que las razones son iguales. La razón entre la altura de un árbol y la longitud de su sombra forma una proporción, que es la misma de la de otro árbol cercano y su sombra respectiva a la misma hora del día. A este tipo de razones se les llama proporciones directas.

ACTIVIDADES

56

2024

87

4842

104

3020

129

86

Longitud de la sombra

12 9

3

8 6

6

Altura Razón

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En suma

Una proporción directa siempre está representada por una recta que pasa por el origen.

Cápsula

TRABAJO EN EQUIPO

altura escuelalongitud sombra escuela

altura niñolongitud sombra niño

altura niño longitud sombra niño

PerlaGloria

Ramón

60

85

1.20 1.30

sombra

altu ra

3 longitud sombra escuelaaltura escuela =

=

La siguiente gráfica representa la relación que existe entre la altura de una persona y su sombra. Observa que en un lado tienes la altura de la persona y en el otro la longitud de la sombra.

Perla mide 1.20 m y su sombra es de 60 cm. Gloria mide 1.30 m y su sombra es de _________ Ramón mide _________ y su sombra es de 85 cm. Si una persona mide 1.40 m, ¿cuánto mide su sombra? _________ ¿Cuál es la razón de la altura de Ramón con respecto a su sombra? _________ ¿Cuál es la razón de la altura de Perla con respecto a su sombra? _________ Estas dos últimas razones ¿forman una proporción? _________ Verifícalo en tu cuaderno.

Observa que la razón entre la altura y la sombra siempre es la mis-ma, en este caso es 2. A este número se le llama constante de pro-porcionalidad. Si alguien mide 1.40 m, sabemos que 140 dividido entre la medida de su sombra nos dará 2, o bien que la altura es 2 veces la longitud de su sombra. Así que la sombra mide 70 cm.

1. Resuelvan en el cuaderno.

Calculen la altura de su escuela usando las proporciones.Primero midan la altura de una de las personas del equi-po, luego su sombra y finalmente midan la sombra del edificio más alto de la escuela. Para calcular la altura de la escuela la proporción que tenemos es:

Lo que equivale a:

En suma

cuando dos razones son iguales, se tiene una proporción; al valor de esa razón se le llama constante de proporcionalidad. este tema se estudiará a lo largo del libro cada vez con más profundidad como en las páginas 128,168 y 212.

Cápsula

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ACTIVIDADES

En suma

se usa la letra n para denotar al número que falta en la proporción, y los productos cruzados para encontrarla.

Cápsula

23

8n

10n

= 215

1210

= n15

84n

= 218

8510

= 51n

Proporciones y productos cruzados

Las proporciones tienen una propiedad muy particular y es que al estar formadas por cuatro números, por ejemplo = , siempre es posible determinar uno de ellos si se conocen los otros tres.

En efecto, si tenemos = donde la letra n denota al número que falta para completar la proporción, es posible encontrar el valor de n.

¿Cuánto crees que vale n? _________

Al tener proporciones se cumple la propiedad de los productos cruzados. Es decir: 2 3 n = 5 3 6, con lo que el doble de n es igual a 30, así que n será la mitad de 30, que escrito de manera mate-mática sería: n = 30 ÷ 2, por lo que podemos concluir que n = 15. Compara este resultado con el tuyo.

1. Encuentra n si =

Escribe los productos cruzados _______ 3 _______ = _______

Divide para encontrar n: n = _______ ÷ _______ = _______

2. Practica en tu cuaderno cómo encontrar n en cada una de las siguientes igualdades.

6 3 n = 36 8 3 n = 64

21 = 7 3 n 42 = n 3 7

3. Usando productos cruzados, encuentra el número que falta (n) en cada proporción.

10 3 ___ = ___ 3 n

150 = 2 3 n

___ ÷ 2 = n

___ = n o bien n = ___ n = ___ n = ___

25

615

25

6n

n = ___

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Resolución de problemas con proporciones

A continuación resolveremos problemas usando proporciones di-rectas, como las que acabas de trabajar.

Julio caminó 6 cuadras en 9 minutos. A esa velocidad, ¿cuánto tardará en caminar 10 cuadras?

Como antes, el número que hay que determinar se denota por n. En este caso n representa el número de minutos que Julio tarda en caminar 10 cuadras y se tiene entonces la proporción:

es igual a así que =

Como los productos cruzados son iguales, se tiene que:

6 3 n = 9 3 10 6 3 n = 90 n = 90 ÷ 6 n = 15

Por lo tanto, Julio caminará 10 cuadras en 15 minutos.

Una caja con 8 libros iguales pesa 14 kg. ¿Cuál será el peso de una caja con 24 de esos libros?

Si denotamos por n el peso de la caja grande entonces =

Es decir, 8 libros son a 14 kg lo mismo que 24 libros son al peso n.

Así que _____ 3 _____ = _____ 3 _____ _____ = n 3 _____ _____ ÷ _____ = n El peso será de _______ kg

1. Un tubo de 2 m pesa 16 kg. ¿Cuál será el peso de un tubo igual con una longitud de 3 m?

___________________________________________________________

2. En un negocio de serigrafía se estampan 66 playeras en 120 mi-nutos. A ese ritmo, ¿cuántas playeras se estampan en 10 horas?

___________________________________________________________

3. Un avión viaja 1 200 km en 2 h. Con esa velocidad, ¿cuánto tarda en recorrer 1 800 km?

___________________________________________________________

6 cuadras9 minutos

10 cuadrasn minutos

69

10n

814

24n

ACTIVIDADES

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Medidas del Medidas dibujo reales

Longitud total 15 cm 2 250 cm

Altura mástil principal

Longitud entre los mástiles

Profundidad del casco

1150

= 15n

Dimensiones

casco

Dibujos a escala

Diseñadores y constructores hacen dibujos a escala para saber cómo será el objeto o el edificio que quieren construir. Dibujos como el que se presenta en esta página son hechos a escala, y muestran el objeto con exactitud, pero más grande o más pequeño. La escala de estos dibujos da una razón que compara las longitudes del dibujo con las del objeto real.

El dibujo es un velero a escala 1:150, lo que nos indica que cada cen-tímetro del dibujo representa 150 centímetros en la realidad.

Mide la longitud del velero en el dibujo ______________ cm

Se pueden usar las proporciones para encontrar la longitud real del velero. Denotemos por n la longitud real del velero.

Dibujo a escala 1 cm _________Longitud real 150 cm n

Haciendo los productos cruzados, se tiene que:

____ 3 n = ____ 3 ____ entonces n = ______ cm = ______ m

La longitud real del velero es ______________ cm

Aquí nuevamente se tiene una proporción directa dada por:

Medida real = 150 3 (medida del dibujo), donde 150 es la constante de proporcionalidad.

Realiza las medidas necesarias y completa la tabla.

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1. Los arquitectos, antes de construir, hacen planos a escala. Realicen un plano del salón de clases, junto con los muebles que hay ahí. La escala que deben utilizar es que 1 cm del dibujo represente m en la realidad, o bien 2 cm representan 1 m.

2. Si los siguientes triángulos están construidos a escala, es decir, que las longitudes de sus lados son proporcionales, ¿cómo se pueden calcular las medidas de AB = x y B'C' = y?

Calculen los valores de x y y utilizando las proporciones.

3. Supongamos que tres amigos se juntaron para comprar una bolsa de caramelos que cuesta 45 pesos, Pablo puso 9 pesos, Sofía puso 15 pesos y María puso lo que faltaba.

¿Qué fracción del total puso Pablo? __________ ¿Qué fracción puso Sofía? __________ ¿Qué fracción del total puso María? __________

Si la bolsa tiene 30 caramelos ¿cuántos caramelos le corresponden a cada uno?

Pablo ____________ Sofía ____________ María ____________

4. Si un automóvil recorre 180 kilómetros gastando 12 litros de ga-solina, ¿cuántos kilómetros recorre con un litro? __________ ¿Cuán-tos litros necesita para recorrer 480 kilómetros? __________

5. Los circuitos eléctricos de una computadora se diseñan con un tamaño mucho mayor del que se emplea en las computadoras. Un circuito se planea del tamaño de una hoja de papel de 32 por 24 cm. Si la computadora usara esos circuitos sin reducirlos, los teclados medirían 112 por 336 cm, en vez de los reales de 14 por 42 cm. ¿Qué tamaño real deben tener los circuitos eléctricos para utilizarlos en las computadoras?

____________________________________________________________

TRABAJO EN EQUIPO

A

B C

2.25

4.55

x

A'

B' C'

6 4.5

y

12

En suma

dos triángulos construidos a escala tienen sus lados proporcionales.

Cápsula

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ACTIVIDADES

6. El pago del consumo de gas en un edifi cio de cuatro departamen-tos depende del número de personas que los habitan. En el A hay 3 personas; en el B, 2; en el C, 4, y en el D, 1. En total 10 personas.

¿Qué fracción paga cada departamento? , , , Si la compañía cobró $850 en noviembre, ¿cuánto debe pagar cada departamento? A: _______ B: ________ C: ________ D: _______

1. En un corral hay 36 caballos de los cuales la mitad son de Ju-lio, la tercera parte de Juan y la sexta parte de Javier. ¿Cuántos caballos tiene Julio? ______ ¿Y Juan? ______ ¿Y Javier? ______

2. Para que un adulto de 180 cm de estatura se siente cómoda-mente en una silla, ésta debe tener una altura de 50 cm del piso al asiento. ¿Qué altura sería conveniente para una sillita de un niño de 96 cm de estatura? _________________________________

3. La receta de un pastel para cuatro personas lleva seis cucha-radas de harina. Necesitamos hacer un pastel para 14 personas. ¿Cuánta harina nos hace falta si cada cucharada pesa 25 g?

4. Encuentra n.

a) b) c) d)

5. Un chimpancé pasa del tiempo trepado en los árboles. ¿Cuán-

tas horas al día está en los árboles? _________________________

6. Pablo pesa 50 kg en la Tierra y 18 kg en Marte; su primo Julio pesa 75 kg en la Tierra. ¿Cuánto pesará en Marte? ___________

7. Si la jarra azul tiene 7 vasos de agua y 3 cucharadas de azúcar y la jarra roja tiene 5 vasos de agua y dos cucharadas de azúcar. ¿Qué jarra tiene el agua más dulce? _________________________

MezclasUn pintor tiene tres latas de pintura del mismo tamaño, cada una con un color distinto, llenas hasta . Cada lata tiene tres marcas , y . No tiene otro recipiente y quiere hacer una mezcla homogénea, es decir con la misma cantidad de cada color en cada lata. ¿Cómo lo harías tú?

25100

=16n

=38

12n

=n5

3225

=214

n16

231

312

23

34

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64

TEMA 6 Diagramas y tablas para contar

diaGramas y TaBlas para coNTar

Vamos a hacer una bandera con tres franjas de distinto color. Los colores que tenemos son azul, blanco y rojo. Ninguno se repite en cada bandera.

Colorea todas las banderas distintas que puedes hacer teniendo en cuenta que es diferente de

¿Cuántas banderas distintas pudiste hacer? Pregunta a tus compa-ñeros cuántas hicieron ellos.¿Cuántas diferentes se pueden hacer en total? __________________

¿Cómo lo sabes? _____________________________________________

____________________________________________________________

Julia desea comprar un coche, y puede elegir entre el modelo austero o el de lujo, y entre tres colores: verde, rojo o negro. ¿Cuáles son todas las posibilidades de compra que tiene Julia?

Para averiguarlo se puede usar un rectángulo de Carroll en donde cada casilla representa una posibilidad, por ejemplo la casilla in-ferior derecha representa un coche rojo de lujo. También podemos utilizar un diagrama de árbol en el que cada rama representa una opción para Julia. verde austero de lujo austero negro verde (v , a) (v , l) rojo negro (n , a) (n , l) coche rojo (r , a) (r , l) verde lujo negro rojo

Con ambas técnicas vemos que tenemos 2 3 = 6 posibilidades. tipo color

BLOQUE 1

PARA NO CONTAR DE MÁS

Pliego 4-49-64.indd 64 10/3/08 17:38:51

65

Pablo se olvidó de la combinación de su casillero que es de tres cifras, sólo recuerda que consta de 2, 4, 8 porque eran potencias del mismo número (21, 22, 23) y que no se repiten. ¿Cuál es el máximo de combi-naciones que debe probar Pablo para abrirlo sin romper el candado?

Para la primera cifra se tienen tres posibilidades, quedan dos cifras por elegir, luego se tienen dos posibilidades para la segunda cifra, y sólo una para la última. Por lo tanto, Pablo tiene 6 posibles com-binaciones. Se pueden ordenar las cifras en un diagrama de árbol, de la siguiente manera.

Observa que el primer número no se puede repetir en la segunda posición ni en la siguiente, ni la segunda cifra en la tercera. Como la segunda cifra no se puede repetir en la tercera posición es claro que ésta queda determinada, por ejemplo si tenemos 4, 2 en las dos primeras posiciones, la última posición debe ser ocupada por el 8.

Otra manera de calcularlo es multiplicar entre sí las posibilidades de cada cifra, es decir 3 2 1 = 6 diferentes combinaciones del candado.


1. Josué quiere comprar unas plantas. Puede elegir entre hortensias, geranios o azaleas; maceta de plástico o barro y tamaño grande o chico.

En tu cuaderno, haz un diagrama de árbol para encontrar todas las posibilidades que tiene Josué. Después resuélvelo utilizando una multiplicación y verifícalo con el diagrama.

2. ¿Cuántas combinaciones distintas se pueden hacer usando como máximo cuatro puntos y tres barras?

3. Amalia quiere hacer un collar con cuentas de color amarillo, mo-rado y verde. Ha planeado hacer el collar con un patrón de cuatro cuentas que se repita, por ejemplo: morado, amarillo, amarillo, verde. ¿Cuántos patrones distintos puede hacer?

aCtiVidades

8

2

4

4

8

8

4

2

2

8

4

8

2

2

4

diaGramas y TaBlas Para coNTar

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66

En una ciudad se consultó a 100 personas acerca de los periódicos que prefieren. A 23 sólo les gusta el periódico Jornalero, y de las 65 que manifestaron que les gustaba el Actual, 20 confesaron que también les gustaba el Jornalero. Entonces, ¿cuántas personas leen sólo el Actual? ¿A cuántas personas, en total, les gusta el Jornalero? ¿A cuántas personas no les gusta ni el Jornalero ni el Actual?

Pongamos los datos en un diagrama. El óvalo morado representa el conjunto de todos los encuestados, el naranja las personas a las que les gusta leer el Jornalero, y el amarillo las que leen el Actual.

Con esta información responde:

¿Cuántos contestaron que les gusta por lo menos uno de los dos

periódicos? _____ + _____ = _____

¿A cuántos no les gusta ninguno de los dos? 100 – _____ = _____

¿A cuántos les gusta sólo el Actual? 65 – _____ = _____En este problema se ha utilizado la técnica de los diagramas de Venn-Euler. En la teoría de conjuntos se hace un uso extenso de estos diagramas.

Veamos otro caso: En una empresa trabajan 150 empleados, de los cuales 89 trabajan en el área administrativa. De estos últimos, 35 trabajan también en el área de cómputo, que tiene un total de 64 empleados. Usa el diagrama de Venn para contestar las siguientes preguntas:

¿Cuántos empleados del área de cómputo no están en el área admi-

nistrativa?___________ ¿Cuántos empleados no trabajan en cómpu-

to?___________ ¿Cuántos empleados que no trabajan en cómputo

trabajan en el área administrativa? ________________

Muchas veces los problemas se pueden abordar de distintas maneras. El anterior puedes resolverlo con la siguiente tabla. Complétala.

A esta tabla de doble entrada se le llama diagrama de Carroll. La suma de las cantidades de la última fi la y columna son iguales.

No les gusta ningún periódico


Área de administración Fuera del área de administración Total

Área de cómputo 35 64 – 35 = 64

Fuera del áreade cómputo

89 – 35 = 150 – ( ____ + ____ ) =

Total 89 61 150

Sólo leen el Actual

45

Sólo leen el Jornalero

23

Leen elActual

y elJornalero

20

No les gusta ningún periódico

Empresa 150

Área admistrativa 89

Cómputo64

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67

Realiza los siguientes ejercicios en tu cuaderno.

1. En las pruebas para determinar el grupo sanguíneo, se define la presencia de los identificadores A y B, lo que significa que se pueden encontrar los tipos A, B, o AB. Las personas que no poseen A ni B, son del tipo O. Además, cada uno de los anteriores se combina con el factor Rh: positivo (Rh+) si está presente, y negativo (Rh–) en caso contrario.

En una población de 100 personas, se sabe que 8 son de tipo O y 68 son Rh+. De las 40 que tienen factor B, 12 también tienen el A; 20 son tipo B factor Rh+; 10 son del tipo AB factor Rh+ y 20 son del tipo A factor Rh–.

Elabora un diagrama y calcula: ¿Cuántas personas tienen sangre tipo O factor Rh–? ¿Cuántas personas son tipo A factor Rh+?

2. “Nuestro barrio es nuevo y aún hay muchas cosas por hacer”, contaba don Juan. “De las 150 manzanas, 65 tienen agua corriente y gas natural, pero hay 27 a las que no llega el agua, mientras que la red de gas sólo alcanza a cubrir 81 manzanas.”

Haz un diagrama que te ayude a contar:• ¿Cuántas manzanas del barrio de don Juan tienen agua corriente?• ¿A cuántas manzanas no llega ninguno de los servicios?

3. En la fonda “Las Lupitas” tienen la siguiente carta para que cada persona pueda organizar su propio menú, escogiendo sólo un platillo de cada sección. ¿Cuántos menús diferentes se pueden formar?

4. En un invernadero se venden los siguientes arreglos fl orales. Arreglo A: docena de rosas rojas. Arreglo B: docena de rosas blancas. Arreglo C: docena de rosas rojas y blancas (seis de cada una). Si un cliente compró 5 arreglos A, 6 arreglos B y 3 arreglos C, ¿cuántas rosas rojas y cuántas rosas blancas se utilizaron?

El teléfono

Los números telefónicos de la ciudad de Tepejolucla son de ocho cifras pero todos empiezan con los mismos cuatro números que son 5231 y para completar los otros cuatro no se usa ninguno de esos. ¿Cuántos números telefónicos puede haber en Tepejolucla?

aCtiVidades


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68

En los campos de cultivo, conceptos como área, fracción y proporcionalidad

son decisivos para planear una siembra. El ser humano, en su necesidad de

alimentarse, ha creado herramientas y fórmulas matemáticas para obtener

cada vez mejores cosechas.

bloque 2

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69 69


1. Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con fracciones.

2. Resuelvan problemas que implican efectuar multiplicaciones con números decimales.

3. Justifiquen el significado de fórmulas geométricas que se utilizan al calcular el perímetro y el área de triángulos, cua-driláteros y polígonos regulares.

4. Resuelvan problemas de proporcionalidad directa del tipo valor faltante, con factor de proporcionalidad entero o frac-cionario y problemas de reparto proporcional.

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70

Un poqUitín de historia

Los egipcios usaron las fracciones de una manera peculiar, pues

todas las fracciones que usaban tenían numerador 1 excepto .

Inicialmente usaron el símbolo para pero posteriormen-

te se convirtió en el jeroglífico que denotaba las fracciones. Por

ejemplo,

representa representa representa .

Algunas fracciones tenían representaciones especiales.

Como los numeradores eran siempre 1, los egipcios usaban sumas para representar las distintas fracciones.

Por ejemplo representaba + que más adelante

veremos que es .

Con mayor esfuerzo llegaban a fracciones como , usando

+ + + + .

Los egipcios, aproximadamente en 1800 a. de n. e., suponían que cualquier fracción se podía escribir como una suma de fracciones con numerador 1, pero nunca lo probaron. Fue Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, quien lo demostró hacia el año 1200, es decir, tres mil años después.

Tema 1 Números fraccionarios ydecimales

23

1320

15

110

112

12

23

14

13

115

25

729

16

124

158

187

1232

Números fraccioNarios y decimalesbloque 2

2.1 fórmulas numéricas en monumento funerario egipcio.

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71Números fraccioNarios y decimales

Las fracciones con denominador 60 o potencias de 60 eran comunes en Babilonia, en el año 2000 a. de n. e. donde 12.35 significaba 12 + .

Esta forma de escritura fue adoptada posteriormente por el astró-nomo griego Ptolomeo, alrededor del año 125.

También fue utilizada en los países islámicos y europeos, y actual-mente se usa para las medidas de los ángulos, por ejemplo: 13° 19’ 47’’ significa 13 + + .

La notación moderna de las fracciones: el uso de la barra entre el numerador y el denominador, tuvo su origen en la India y se difun-dió durante el siglo xvi en Europa.

Dentro de los números racionales, las fracciones son del tipo:

a numerador b denominador

Una fracción propia representa un número menor que uno, el de-nominador indica el número de partes en que se dividió la unidad y el numerador indica el número de partes que se tomaron; indica 4 partes de las que se toman 3. Un número racional es o bien una fracción propia o bien un número mixto escrito ya sea como 2 + o como .

Si se escribe como 2 + , a 2 lo llamamos la parte entera y a la parte fraccionaria; usualmente, se escribe 2 .

Si se escribe como , observamos que el numerador es mayor que el denominador; a este tipo de fracciones las llamamos impropias. Aquí, nos referiremos a los racionales como fracciones tanto pro-pias como impropias.

Un número racional, y por lo tanto una fracción, representa una división. Por ejemplo, = 7 ÷ 4, lo cual se escribe como 1.75 en forma decimal.

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad,

por ejemplo y son equivalentes, ya que ambas representan

1.75 en forma decimal.

en suma

Un número racional positivo se puede representar por una fracción o por una división.

significa a entre b.

Cápsula

ab

34

114

3560

1960

47602

34

34

34

34

114

74

175100

74

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72 Números fraccioNarios y decimales

en suma

la propiedad fundamental de las fracciones, es:

=

siempre que c no sea cero.

Cápsula

ab

a 3 cb 3 c

La propiedad fundamental de las fracciones nos permite encontrar

fracciones equivalentes.

Por ejemplo, para encontrar el valor de n tal que = .

Por la propiedad fundamental tenemos que = = .

Como ambas fracciones tienen el mismo denominador serán iguales

si los numeradores son iguales, es decir n = 60.

Una forma de verificar si dos fracciones son equivalentes es usar

los productos cruzados.

Por ejemplo, para demostrar que y son equivalentes,

multiplicamos así:

2 106 234 2 106 3 783 = 1 648 998

7 047 783 7 047 3 234 = 1 648 998

Como son iguales los dos productos, entonces

Cuando se trabaja con fracciones, es importante saber cómo sus-

tituirlas por fracciones equivalentes, pero con el mismo denomi-

nador. Por ejemplo cada una de las fracciones y puede ser

sustituida por una fracción equivalente, pero con un denominador

común, así:

y = = = =

Una vez que las fracciones tienen el mismo denominador es fácil compararlas. Indica cómo:

_________________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

La propiedad fundamental de las fracciones también se usa para reducirlas y escribirlas de manera más simple, por ejemplo:

= =

1242

n210

1242

12 3 542 3 5

60210

2 1067 047

234783

710

58

7824

78 ÷ 624 ÷ 6

134

2 1067 047

234783

=

710

58

58

5 3 108 3 10

5080

710

7 3 810 3 8

5680

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1. Las figuras representan fracciones equivalentes. Escribe de qué fracciones se trata.

a) b)

2. Determina si las parejas de fracciones siguientes son equivalentes usando el método del denominador común.

a) y b) y c) y d) y

3. Simplifica las siguientes fracciones reduciéndolas:

1. ¿Qué parte del total representa la parte coloreada de las figuras? Explíquenlo en su cuaderno.

2. Expliquen cómo se pueden usar las fi guras siguientes para ilustrar: • Fracciones equivalentes • Denominador común • La propiedad fundamental de las fracciones

aCtiVidades

traBaJo en eqUipo

A

B CF

D E

a) b) c) d)

1842

37

1842

614

925

140500

24256

996

el vértice del ángulo recto de la fi gura se halla en el centro del cuadrado.

D, e y F son los puntos medios de los lados del triángulo.

912

23

34

1836

96288

2 520378

x

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algoritmos

Un algoritmo es una descripción de los pasos de un procedimiento.

Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, o de-nominador común:

Veamos un ejemplo para ilustrar cómo funciona este algoritmo.

+ = = =

Completa las siguientes operaciones:

+ = = + = =

Para sumar y restar fracciones mediante este algoritmo es necesario que éstas tengan el mismo denominador.

Veamos gráficamente cómo obtener fracciones con denominador común:

en suma

Para sumar o restar dos fracciones con el mismo denominador basta sumar o restar los numeradores y poner el denominador común.

Cápsula

Para preparar una quesadilla:Para preparar una quesadilla:

1. calentar el comal.2. Poner la tortilla a calentar.3. Poner queso a la tortilla y

doblarla por la mitad.4. cambiar el lado de la

tortilla que toca el comal.5. retirar la quesadilla del

comal cuando el queso esté derretido.

23

35

15

78

9 + 516

916

516

1416

58

78

412

812

Inicio Sumar o restar los

numeradores

Escribir el numerador resultante sobre el

denominador

¿Es la fracción

irreducible?Final

Cambiar la fracción a

una irreducible

sí

no

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Completa para obtener fracciones con denominador común.

y

y

Ahora daremos algunos ejemplos para encontrar un denomina-

dor común. Por ejemplo, para encontrar un denominador común

de y , se toma el denominador más grande, 5.

5 no es denominador común

5 3 2 = 10, no es un denominador común

5 3 3 = 15, no es un denominador común

5 3 4 = 20, es un denominador común.

Fracciones con cuartos y quintos se pueden cambiar a fracciones

equivalentes con 20 como denominador común.

Explica cómo obtener un denominador común:

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

Encuentra un denominador común de las siguientes fracciones

siguiendo las instrucciones que acabas de escribir:

y ____________________ y __________________________

Para sumar o restar fracciones con denominador diferente, lo que

se hace es buscar dos fracciones equivalentes, pero con el mismo

denominador y luego sumar o restar los numeradores.

Por ejemplo, para sumar y , primero se observa que un deno-

minador común es el 12, así que:

= = = = + = + =

34

16

14

23

1 3 34 3 3

14

312

2 3 43 3 4

23

812

312

812

1112

34

45

23

12

14

23

13

56

13 6

56

56

14

23

14

23

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2 4

Pon atención al siguiente ejemplo y completa.

Vamos a restar – . El denominador común es _________.

Así que: – = – = – =

Simplifícalo hasta obtener una fracción irreducible.

Las notas representan sonidos musicales de diferente duración. La unidad de tiempo es un compás, que se delimita mediante rayas verticales. Al comienzo de la partitura aparece una fracción que indica la duración de cada compás.

El valor de las notas es:

= = = =

negra corchea semicorchea fusa

Los músicos componen canciones muy pegajosas para que sean difí-ciles de olvidar, como por ejemplo la siguiente, que está compuesta por compases que equivalen a 2 negras.

Haz la suma del valor de las notas y verifícalo.

1er compás _________ 2o compás _________ 3er compás _________

1. Efectúa las siguientes operaciones.

a) + b) – c) – d) +

2. Una persona corrió de km y descansó. Luego volvió a correr,

cubriendo de km. ¿Cuánto corrió en total?

3. Raúl tenía de kg de harina, usó kg para un pastel. ¿Cuánta

harina le queda? ¿Cuánto le hace falta para tener kg de harina?

en suma

Para restar dos fracciones, hay que restar los numeradores una vez que las fracciones tengan un denominador común.

Cápsula

aCtiVidades

12

310

12

1 32 3

3 310 3

310

18

116

132

14

19

56

23

12

34

16

23

15

23

34

23

12

12

2 4

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El algoritmo de la suma se puede ilustrar como se muestra.

Y el algoritmo de la resta se muestra a continuación.

1. ¿Qué suma se ilustra en la figura?

2. Ilustra en tu cuaderno + .

3. ¿Qué resta se ilustra en la figura?

4. En tu cuaderno verifica que = + + + y escríbelo

usando símbolos egipcios.

aCtiVidades

16

14

12

2325

13

115

150

14

23

76

12

–

76

36

46

312

812

1112

+

–

–

+

+

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en suma

Para restar números decimales se disponen de modo que queden en columnas las unidades de cada orden, y se restan como números naturales. si la resta es posible, se pone el punto decimal en columna con los puntos del sustraendo y del minuendo.

Cápsula

operaciones con decimales

Luis quiere saber cuánto alambre debe comprar para construir 3 galline-ros. Sabe que para uno de ellos necesita 24.6 m, para otro 38 m y para el tercero 22.5 m. Claramente, Luis tiene que realizar una suma, pero sólo sabe sumar fracciones. Para resolver la situación, Luis hace lo siguiente:

24.6 = , 38 = y 22.5 =

Así que: 24.6 + 38 + 22.5 = + + = = 85.1

Observa que se han sumado números con denominador 10.

La forma más útil de sumar números decimales es disponerlos de modo que queden alineadas las columnas de las unidades y los puntos decimales.

A continuación se suman como los números naturales y se pone el punto decimal en la columna correspondiente.

Andrea sale de un punto A siguiendo una calle rectilínea en direc-ción a B. Corriendo recorre 1.78 km. Después, sigue en la misma dirección caminando 1.12 km y, finalmente, corre en dirección contraria 2.26 km.

La distancia que le falta para regresar al punto A la recorre cami-nando. ¿Cuántos kilómetros corrió y cuántos caminó Andrea?

Completa la siguiente gráfica para entender mejor el problema.

1.78 1.12

A B

2.26 Observa y completa.

1.78 2.90 Andrea corrió: 1.78 + 2.26 = _________+ 1.12 – 2.26 2.90 Andrea caminó: 1.12 + _______ = _______

Ana quiere saber cuál es el área de un rectángulo cuyas dimensiones son 3.7 cm, y 5.3 cm. Para resolver este problema, recuerda que el área de un rectángulo está dada por la multiplicación de la base por la altura:

3.7 3 5.3 = 3 = =19.61 cm2

11 24.6 38+ 22.5 96.1

24610

38010

22510

24610

38010

22510

85110

3710

5310

1 961100

el tema de multiplicación de decimales se estudiará con mayor profundidad en la página 139 y la multiplicación de fracciones en la página 84.

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Observa que para multiplicar dos fracciones basta con multiplicar los numeradores obteniendo el numerador, y multiplicar los deno-minadores obteniendo el denominador.

Además, la multiplicación 3.7 3 5.3 se puede hacer de otra forma simplemente multiplicando cada uno de los números por 10 para deshacerse del punto decimal y recordando que el resultado lo ten-dremos que dividir entre 10 3 10. Así 37 3 53 = 1 961.

Ahora debemos dividir entre 100, lo que equivale a colocar el punto decimal dos lugares hacia la izquierda, entre el 9 y el 6, de manera que 3.7 3 5.3 = 19.61.

Indica cómo multiplicar dos números decimales:

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

1. Sofía observa en el microscopio unas células bacterianas que se miden en micrones, 1 micrón = 0.001mm. Bajo condiciones adecuadas las células empiezan a multiplicarse cada 30 minutos. Si inicialmente Sofía tiene 100 bacterias que se multiplican por 2 cada 30 minutos y ninguna se muere, ¿cuántas células bacterianas tendría Sofía al cabo de 5 horas? Si cada bacteria mide 4 micrones de largo y se colocan todas las bacterias una detrás de otra, ¿qué longitud tendrá la fila de bacterias en milímetros?

2. Un kilowatt/hora significa que 1 000 watts se usan continuamen-te durante una hora. La compañía de luz cobra 0.4715 pesos por cada kilowatt/hora usado. En casa de Pablo se usan, durante los meses de invierno, tres calentadores eléctricos. Cada uno consume 1 200 watts por hora. Si los calentadores se prenden 12 horas al día, ¿cuánto cuesta calentar la casa de Pablo cada día?

Si la lectura del medidor en la casa de Pablo es de 104.72 kilowatts/hora en un mes, ¿cuánto debe pagar por el consumo de luz durante ese mes?

3. El motor de un auto se mide en pulgadas cúbicas; para nosotros es más claro tenerlo en centímetros cúbicos (2.54 cm = 1 pulgada). Si 1 pulgada cúbica es 1 pulgada por una pulgada por una pulgada, ¿cuánto es una pulgada cúbica en centímetros cúbicos?

Susana tiene un viejo auto de 1963 cuyo motor es de 390 pulgadas cúbicas. ¿Cuántos centímetros cúbicos tiene el auto?

4. Completen el cuadrado mágico de la derecha; en él la suma de cada renglón, columna o diagonal debe ser la misma. Ver la defi-nición en la página 31 o en la 231.

en suma

Para multiplicar por potencias de 10, se recorre el punto decimal a la derecha. si es necesario, se agregan ceros.

Para dividir se recorre el punto decimal a la izquierda; si es necesario se agregan ceros.

Cápsula

traBaJo en eqUipo

8.2

3.7 5.5

9.1 2.8

5.3 3 104 = 53 000

7.4 ÷ 104 =

= 0.00074 7.410000

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aCtiVidades

1. Escribe, en la unidad indicada, las siguientes cantidades.

a) 5 cm en dm ______________ b) 35 cm en m ________________c) 20 m en hm ______________ d) 25.6 m en cm ______________

2. Encuentra el área de un triángulo cuya base mide 0.83 m, y la altura es de 0.44 m. Expresa el resultado en cm2.

Cálculo mental y estimaciones

Laura fue a la tienda y compró varias cosas que tenían marcados los siguientes precios: $4.75, $2.30, $18.50, $36.00 y $0.90. No sabe si le va a alcanzar el dinero, ayúdala a hacer un cálculo mental aproximado.

Una estrategia útil es considerar primero las partes enteras y sumar-las (4 + 2 + 18 + 36 = 60) y considerar luego la parte decimal: 0.90 es casi 1, 0.75 + 0.30 se aproxima a 1, y finalmente se suma 0.50, con lo que Laura estima un total aproximado de $63.00. Para estar segura efectúa la suma de 4.75 + 2.30 + 18.50 + 36.00 + 0.90.

Algunas herramientas que se usan con números enteros para el cálculo mental también se pueden usar con decimales de la siguiente manera.

a. Partiendo y uniendo 1.5 + 3

1.5 + 3 .7 + 4.48 4.5 + 0.7

= 4.5 + 0.7 + 4.48 5.2 + 4

= 5.2 + 4 .48 9.2 + 0.48

= 9.2 + 0.48= 9.68

b. Usando números complementarios

7.91 + 4.09 7.91 12 3.85 3.85 + 0.15 4.09 4 0.15 16

+

consulta las actividades so-bre la calculadora para hacer operaciones con números muy grandes, en la página 258.

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Describe en tu cuaderno un método que te resulte cómodo para estimar la siguiente multiplicación: 7.6 × 8.3

En el mercado, Carmen quiere comprar de kg de uvas, 2 kg de

naranjas, kg de peras, una manzana que pesa de kg, dos cirue-

las que pesan de kg y un melón que pesa de kg. ¿Cuánto pesa,

aproximadamente, toda la compra de Carmen? Tienes que calcular

mentalmente la suma de: + 2 + + + +

Observa que + + es un poquito más de 1, ya que + son

y es un poco más que , que equivale a . Por otro lado,

+ es un poco menos de 1, así que la estimación del peso de la

compra es de aproximadamente 4 kg.

1. Estima el área de un rectángulo, cuya base es 8.6 cm y su altura es 9.2 (sugerencia: aproxima a los enteros más cercanos).

2. Estima: 8.1 × 7.79 y 32.6 × 20.4

3. Estima.

a) + + b) + + + c) + + +

ACTIVIDADES

14

12

14

12

27

18

27

56

14

12

18

27

56

12

14

34

27

28

14

18

56

45

317

1100

14

1123

715

3041

35

67

59

221

9.27 = 9.25 + 0.02+ 3.79 = 3.75 + 0.04 13.00 + 0.06 = 13.06

c. Con números compatibles

d. Balanceando con decimales en la resta

e. Balanceando con decimales en la multiplicación

4.63 4.63 + 0.03 = 4.66 – 1.97 –(1.97 + 0.03) = – 2.00 2.66

0.25 3 8

34 ÷4 1 3 2 = 2

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4. Practica el cálculo mental.

• 65.84 + 24.29 + 12.18 + 19.75 • 5.85 + 6.13 + 9.10 + 4.32

• 89.47 – 32.16 • 223.75 – 87.60

5. Los diseñadores e ingenieros necesitan hacer maquetas y muchas veces miden en pulgadas. En la ilustración se muestra un esquema con medidas en pulgadas. Haz los cálculos para averiguar la dis-tancia B en centímetros.

6. Coloca los números 1, 2, 4, y 5, uno en cada una de las siguientes casillas, para que se cumpla la ecuación:

+ =

7. Juan necesita preparar una mezcla de 11 kg de cereales. Compró

4 kg de avena 3 kg de trigo y 2 kg de maíz. ¿La compra de

Juan alcanza para hacer la mezcla que desea?

14

78

14

1516

1320

12

B

34

4 58

7 58

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8. Una receta requiere 3 tazas de leche. Lucero pone 1 de taza para

terminar un envase. ¿Cuánta leche tiene que añadir para completar lo

que pide la receta?

9. Isabel fue a una tiendita donde compró caramelos y chicles. La dueña le indicó que eran $6.15 de los caramelos, $0.85 de una paleta, $7.25 de los chicles, $2.75 de unos polvitos y $1.50 de una galleta. Isabel tiene un billete de 20 pesos.

Haz una estimación para saber si le alcanza, si le darán cambio, si le falta y cuánto le falta.

10. Escribe tres números decimales que sigan los patrones que se inician.

a) 0.9, 1.8, 2.7, 3.6, 4.5, __________, __________, __________b) 0.3, 0.5, 0.7, 0.9, 1.1, __________, __________, __________c) 0.2, 1.5, 2.8, 4.1, 5.4, __________, __________, __________

11. Escribe tres números decimales que se encuentren entre los números que se indican.

a) 3.2 y 3.22 b) 462.24 y 462.243

12. Carol está de viaje en México, donde pagan 11.30 pesos por cada dólar.

a) Carol cambia primero 135 dólares. ¿Cuántos pesos le dan?

b) Para pagar el hotel, Carol necesita 2 450 pesos. Si cambia 250 dólares, ¿cuánto le darán de cambio?

El origen

Con tu equipo prepara un trabajo sobre el origen y contenido del papiro de Rhind.

Puedes consultar una enciclopedia o si tienes acceso a una computadora, consulta:

http://www.egiptomania.com/literatura/rhind.htm

12

34

pliego 6-81-96.indd 83 10/3/08 17:43:54

84

TEMA 2 Multiplicación y divisiónde números racionales

PARTIENDO Y REPARTIENDO

Una receta para un pastel de chocolate lleva:

7 huevos 2 tazas de harina 2 tazas de azúcar taza de cacao 200 gramos de mantequilla 1 cucharada de levadura

Se mezcla todo muy bien, sin que la pasta tenga grumos, se coloca en un molde y se hornea a 250 grados, durante 30 minutos.

Escribe en tu cuaderno: ¿Cuáles serían las cantidades de ingredien-tes para 3 pasteles? ¿Cuáles serían las cantidades de ingredientes para un pastel de la mitad de la receta original?

Una forma de multiplicar 2 por 3 es construir un rectángulo de 2 por 3 y contar los cuadros que se obtienen, así 2 3 3 = 6, como indica la figura.

Para multiplicar dos fracciones, podemos seguir el mismo procedi-miento. Por ejemplo, para multiplicar por podemos colocar en el eje vertical y en el eje horizontal.

Observemos que la parte sombreada corresponde al cuadrado de 1 por 1 y está dividido en décimos. La parte rayada corresponde a la multiplicación; como tenemos 12 de los décimos de la unidad quiere decir que 3 = . Si y son dos números racionales, para multiplicarlos, cada unidad se divide en bd rectángulos iguales, y ac de esos rectángulos se sombrean. Por lo que 3 = .

2

3

1

a 3 cb 3 d

12

45

32

32

453

245

45

32

1210

ab

cd

ab

cd

1

multiplicacióN y divisióN de Números racioNales

12

BLOQUE 2

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85

¿Qué multiplicaciones se ilustran a continuación?

En tu cuaderno, ilustra con un rectángulo las siguientes multipli-caciones y encuentra el resultado:

y

Pedro camina a una velocidad de km por hora.

Observa: En 1 hora camina km

En 2 horas camina 3 2 = = 7 km

En 3 horas camina 3 3 = km

En 4 horas camina 3 4 = = 14 km

¿Cuánto camina en hora? Hay que multiplicar las fracciones 3 . Si en una hora camina km, en media hora caminará la mitad de , es decir, km.

La operación es: 3 =

Se han multiplicado los numeradores para obtener el nuevo nume-rador y los denominadores para obtener el nuevo denominador.

Si camina de hora, ¿cuántos kilómetros recorre? ______________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

Escribe con tus palabras cómo se multiplican dos fracciones.

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

1

1 1

3

2 3

En suma

si n es un natural y es una

fracción, entonces

n 3 =

si y son fracciones,

entonces 3 =

Cápsula

ab

n 3 ab

ab

ab

cd

ab

cd

a 3 cb 3 d

2

35

32

54

127

212

727

274

72

12

74

34

142

72

212

72

282

72

72

72


2 3 3

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86 multiplicacióN y divisióN de Números racioNales

1. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones.

a) 3 = b) 3 = c) 5 3 =

d) 3 = e) 3 = f) 3 3 =

2. ¿Cuánto es la mitad de la mitad?

a) Dobla una hoja de papel por la mitad.

b) Luego vuélvela a doblar por la mitad. ¿Cuánto representa esa parte respecto al total?

c) Calcula ahora 3 _______________________________________

¿Es el mismo resultado que en el inciso b? _______________________

3. ¿Cuánto es la mitad de un tercio? Divide en tres partes iguales el rectángulo de la izquierda y uno de esos tercios a la mitad. ¿Qué porción del rectángulo resulta? Establece la operación aritmética que representa obtener la mitad de un tercio.

________________________________________________________________

4. En una botella caben de litro. ¿Cuántos litros caben en 8 botellas?

¿Cuántos litros caben en 11 y media botellas? (Expresa 11 como

fracción impropia). ___________________________________________

5. Realiza la operación en la calculadora de la siguiente manera:

3 4 ÷ 3 3 5 ÷ 6 =

Realiza la operación con fracciones, convierte el resultado a deci-males y compara tu resultado con el de la calculadora. ¿Notas que el resultado no se altera si primero se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí y luego se lleva a cabo la división que si primero efectúas la división de cada fracción y después multiplicas los resultados entre sí?

ACTIVIDADES

35

2845

87

5303

4922

1213

427

928

815

12

12

78

12

43

56

78

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Algunos ejemplos de probabilidad

Un investigador realiza el siguiente experimento: coloca en un re-cipiente tres bolas azules y una amarilla; sin ver, saca una bola y registra el color. Luego devuelve la bola al recipiente.

Si repite el experimento 20 veces, ¿cuántas veces crees que saque una bola azul? _____________

Observa que partes de las bolas del recipiente son azules, así que se puede esperar que de las veces que el investigador haga el experimento sacará una bola azul.

Es decir, 3 20 = 15

Proporción Número Número esperado de bolas azules de veces de bolas

puesto que 3 20 = 3 = = 15

¿Cuántas veces se espera que saque la bola amarilla? ______

Sofía dibujó en una hoja de papel líneas separadas entre sí exac-tamente la longitud de su lápiz. Después, lo lanzó al aire 20 veces y lo dejó caer de una altura aproximada de un metro. Registró el número de veces que el lápiz tocó una de las líneas trazadas en la hoja de papel y las que no.

¿Qué fracción del número de experimentos tocó una línea? ________

¿Qué fracción del número de experimentos no tocó una línea?________________________________________________________________

Reúnete con cuatro compañeros, usen un lápiz para hacer una hoja como la de Sofía y repitan su experimento. Registren los resultados de 100 lanzamientos en la tabla. Es importante que usen siempre el mismo lápiz.

A partir de los resultados obtenidos, contesta las siguientes preguntas:

¿Cuántas veces crees que el lápiz toque una línea si el experimento

se realiza 200 veces? _____ ¿Por qué? _________________________

En 200 experimentos, ¿cuántas veces esperas que el lápiz no toque

una línea? _____________________

Tocó 12

No tocó 8

Tocó

No tocó

34 3

4

34

34

34

201

604

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En suma

para reducir una fracción, divide el numerador y el denominador por un factor común.

a veces se puede hacer más de una vez o con más de un factor.

Cápsula

23

58

2 3 58 3 3

512

28

53

14

53

89

34

34

34

44

34

74

31

89

74

45

56

31

89

74

143

23

1 2

3 1

1024

23

58

2 3 53 3 8

512

512

23

58

13

54

Una sugerencia

Calcula 3 ______________________________________________

Ya sabes cómo multiplicar fracciones y luego simplificar.

3 = = =

Esta operación se puede escribir de la siguiente forma:

= 3 = 3 =

son equivalentes

De este modo, se obtiene una fracción irreducible.

Hay otra manera rápida de calcular una multiplicación de fraccio-nes, tomando un atajo, por así decirlo.

Se divide un numerador y un denominador entre un mismo factor:

2 ÷ 2 = 1, y 8 ÷ 2 = 4. Así pues, 3 = 3 =

Para calcular: 3 3 3 1 , primero se escribe 1 como fracción impropia.

1 = + = , así que se tiene que calcular 3 3 ,

de donde 3 3 = = 4

Usa este método para calcular 3

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

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89


1. Multiplica las siguientes fracciones:

a) 3 b) 4 3 1

c) 2 3 4 d) 2 3 1 3 5

2. Una bicicleta está en oferta a de su precio original. Si costaba $1 460.00, ¿cuál es su precio de oferta?

Resuelve en equipo.

3. Carlos le dio de sus canicas a Pablo. Pablo le dio a Juan de

las canicas que le había dado Carlos. Juan le dio a Emilio de

las canicas que le había dado Pablo. Si Emilio tiene 4 canicas,

¿cuántas tenía Carlos?

4. Un ciempiés viaja a 7 cm por minuto. ¿Cuántos centímetros recorre en una hora?

5. Sofía ha leído partes de un libro. Si aún le faltan 82 páginas para terminarlo, ¿cuántas páginas ha leído?

Un problema de división

Manolo preparó 4 L de agua de jamaica y quiere embotellarla en envases de L. ¿Cuántos envases puede llenar?

Hay varias maneras de resolver este problema. ¿Podrías discutirlo con un compañero y tratar de encontrar una solución?

El problema que tenemos nos pide repartir 4 L en medios litros, es decir, tenemos que hacer la siguiente división: 4 ÷

ACTIVIDADES

12

23

56

45

38

112

45

13

34

12

12

12

23

34

34

12

34

12

34


pliego 6-81-96.indd 89 10/3/08 17:44:13

90

La pregunta también podría ser: ¿Cuántos litros hay en 4 L?

4 + = ( + + + + + + + ) + + ( 3 )

Así vemos que hay 9 medios litros más la mitad de medio litro. De manera que Manolo puede llenar 9 envases y medio.

En este problema también podemos introducir una letra q que re-presente el número de envases que se requieren. El número q puede tener una parte fraccionaria, ya que puede darse el caso de que un envase no esté completamente lleno. Así que debemos resolver:

q 3 = 4

Cantidad Total de agua de envases 3 L = de jamaica

Estamos buscando el factor q, que equivaldría a

dividir 4 entre .

q = 4 ÷ = ÷ = 3 = = 9 .

Divide con dibujos

Ahora vamos a realizar la operación ÷ . Para esto se divide el

círculo en cuartos. Toma tres de esos cuartos y cada uno divídelo

en dos; en cada uno de los cuartos tendrás dos octavos, ¿verdad?

Entonces, ¿cuántos octavos tienes en los del círculo?

Es decir, ÷ = 6

Calculemos 1 ÷ = 3 = = 4

Colorea las partes de acuerdo con este resultado.

En suma

verás con los ejercicios que se hicieron antes que:

÷ = 3 =

fíjate que se usan distintas notaciones para el producto:a 3 b = a • b = a(b) = ab

Cápsula

ab

cd

ab

dc

12

34

12

34

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

34

12

12

34

34

18

34

12

26

32

62

184

12

adbc


194

12

34

12

194

21

192

12

1

18

34

2

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91

1. Colorea las figuras para calcular 1 ÷ = _______________

2. Calcula ÷ = _______________

Colorea el resultado en el pentágono.

3. Realiza las siguientes operaciones y completa.

a) ÷ = 3 b) 1 ÷ = 1 3

c) ÷ = d) 4 ÷ =

4. María está tejiendo un mantel. Cada hilera del tejido es de cm.

¿Cuántas hileras ha tejido si el mantel mide cm de longitud?

María ha avanzado y ya tiene 6 cm tejidos. Cada banda de color

mide cm. ¿Cuántas bandas ha tejido? _______________

5. La figura de la derecha tiene 2 m de lado. Haz los cálculos en tu cuaderno para hallar:

a) El área total de la figura.

__________________________________________________________

b) El área de todos los cuadrados verdes. _________________

__________________________________________________________

c) El área de todos los rectángulos azules. ________________

__________________________________________________________

d) El área de todos los triángulos blancos. ________________

__________________________________________________________

e) El área de todos los triángulos rojos. __________________

__________________________________________________________

ACTIVIDADES


34

14

45

25

310

45

910

38

23

19

110

12

34

12

pliego 6-81-96.indd 91 10/3/08 17:44:19

92

Los zapatos

Andrés compró un par de zapatos de $900.00. Afortunadamente, los zapatos que compró tenían un descuento, y el precio que pagó Andrés era menos del precio original. ¿Cuál era el precio de los zapatos antes de la rebaja?

Como suele suceder, en matemáticas hay varias maneras de re-solver este problema. ¿Podrías discutirlo con un compañero y tratar de encontrar una solución? Escriban sus conclusiones en sus cuadernos.

• Solución 1Si $900 representan del precio antes de la rebaja, 900 ÷ 3 = _______

será del precio completo, por lo que tendremos que multiplicarlo por

4 para obtener el precio anterior a la rebaja. 4 3 _______ = _______

Observa que (900 ÷ 3) 3 4 = 900 3 = 900 ÷

• Solución 2Pongamos la letra q para representar el precio antes de la rebaja; así que q = 900, de donde q = 900 ÷ , o bien q = 900 3 = _________

1. Para preservar el papiro de Ahmés hay que aplicarle un químico por cada centímetro cuadrado, para lo cual es necesario conocer su área. Al medir, se dan cuenta de que su forma es un rectángulo de 6 metros de longitud por de metro de ancho. ¿Cuál es el área?

2. El papiro de Moscú, otro papiro egipcio donde se encuentra información matemática, tiene la misma longitud que el papiro de Ahmés pero del área. ¿Qué ancho tiene?

3. En un mapa a escala , la distancia entre Ciudad Cen-

tral y Amolia es de 12 cm. ¿Cuál es la distancia real entre esas dos

poblaciones?

¿A qué distancia aparecen en el mapa dos poblaciones cuya dis-tancia real es de 44 km?

TRABAJO EN EQUIPO


14

34

14

43

34

34

34

13

14

12 000 000

pliego 6-81-96.indd 92 10/3/08 17:44:22

93

Aritmética mental

Usar adecuadamente las propiedades de las operaciones con números racionales hace que se simplifique el pro-ceso de ciertos cálculos. A continuación verás algunas estrategias. La única manera de que aprendas a utilizar-las es practicando.

Efectúa mentalmente las siguientes operaciones.

a) 53 – 29 b) (6 – 4 ) + 7

• Soluciones

a) Suma a cada término y así se obtiene:

53 – 29 = 53 – 30 = 23

b) Agrupa las cantidades.

(6 – 4 ) + 7 = (6 + 7 + + ) – 4 =

Suma a cada cantidad.

14 – 4 = 14 + – 4 + = 14 – 5 = 9

Ahora observa y explica qué estrategia se aplicó para resolver cada una de las siguientes operaciones.

c) 3 90 = 7 3 = 7 3 6 = 42

d) 3 14 + 3 25 = 3 14 + 3 50 =

(14 + 50) = 3 64 = 3 3 = 3 3 8 = 24

e) 4 3 18 = (4 + ) 3 18 = 4 3 18 + 3 18 = 72 + 3 = 75

f) 3 3 = 3 3 = 3 3 3 =


35

18

23

78

25

35

25

25

18

23

78

18

78

23

13

23

13

23

13

13

13

715

9015

38

34

38

16

58

38

38

38

648

16

16

710

2449

510

749

248

12

17

314

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94

Explica cómo efectuar de manera simple los siguientes cálculos.

+ ( + ) = ________________________________________________

_______________________________________________________________

+ ( + ) = ________________________________________________

_______________________________________________________________

3 3 3 = ______________________________________________

_______________________________________________________________

( 3 ) = _________________________________________________

_______________________________________________________________

Un número racional entre otros dos

Queremos encontrar un número racional entre otros dos, por

ejemplo: entre y .

Coloca las fracciones < . Escríbelas con un denominador

común < . Los numeradores resultan ser números conse-

cutivos, por lo tanto tomaremos el siguiente denominador común:

. Así está entre y , es decir

Ahora vamos a buscar un número racional entre y .

Observa que con el denominador 24 obtenemos números consecu-tivos, como se muestra:

= y = . El siguiente denominador común es: ________

Así que = y = , de manera que está entre y .

Encuentra un número racional entre y .


25

35

23

14

25

14

23

18

23

78

34

59

43

12

23

812

38

924

512

1024

512

38

512

38

23

34

12

612

12

12< 2

3<

1212<

512

38

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95

Realiza en tu cuaderno.

1. Describe cómo efectuar los siguientes cálculos de manera más rápida.

a) ( – ) = b) ( – ) = c) 3 3 3 =

2. Efectúa los siguientes cálculos y reduce las fracciones.

a) ÷ b) 3 c) ÷

d) 3 e) 2 3 f) 11 ÷

3. En un plano hecho a escala , una habitación mide 2 por 3 cm.

¿Cuáles son las medidas reales de la habitación? Si el jardín es de 9

por 12 metros, ¿qué medidas tendrá en el plano?

4. Supón que en tu calculadora la tecla ÷ está rota, pero puedes usar la tecla 1/x . Explica cómo calcularías .

5. Lidia, al llegar a su casa, se comió de la media pizza que sobró de la cena de ayer. Si una pizza completa representa aproximada-mente 2 000 calorías, ¿cuántas calorías consumió?

6. Si al lanzar una moneda al aire Jaime obtuvo 376 veces águila, ¿aproximadamente cuántas veces lanzó la moneda?

7. En el Instituto hay 150 estudiantes. Si del total son mujeres y de ellas son rubias, ¿qué fracción son mujeres rubias?

El comercialUn productor contrató en una estación de radio 36 minutos de publicidad durante 24 horas de transmisión.

• ¿Qué parte de la transmisión total del día se anuncia su producto?

• Si sus anuncios duran de minuto, ¿cuántos hay en un día?

ACTIVIDADES


23

19111

46

58

95

15

23

34

45

56

427

83

29

78

365

925

4212

47

512

43

910

2140

1150

504 72323

13

23

25

34

pliego 6-81-96.indd 95 10/3/08 17:44:42

96

TEMA 3

PUNTOS Y LÍNEAS

Las figuras de las ilustraciones parecen complicadas a primera vista, pero al verlas en detalle se da uno cuenta de que su aparente com-plejidad queda de lado al encontrar cierto orden en las partes más simples. En este tema vamos a trabajar con los elementos básicos

de la geometría: puntos, rectas, semirrectas y ángulos.

Un punto en una hoja de papel se expresa con una cruz o un peque-ño círculo coloreado. En el monitor de un televisor, es un pequeño rectángulo que brilla, y se llama pixel. La punta de un lápiz bien afi lado representa un punto en el espacio. Pero ni el círculo, ni el pixel, ni la punta del lápiz son una representación exacta de lo

que es un punto geométrico. Podemos imaginar que el círculo, el pixel o la punta del lápiz van decreciendo en tamaño hasta convertirse

en un punto que solamente señala un lugar en el espacio; un punto que no tiene volumen, ni superfi cie, ni color. Sin embargo, para plasmarlo en una hoja de papel necesitamos usar un pequeño círculo.

Discutan en equipo lo siguiente. ¿Qué es una línea recta? ¿Cómo se representa en una hoja de papel? ¿Con qué instrumentos se dibuja?

Las rectas se denotan mediante letras minúsculas l, m, n; también como AB para indicar que es la línea que pasa por los puntos A y B. En ocasiones se colocan flechas para indicar que se puede extender en esas direcciones.

Tres puntos determinan o bien tres líneas rectas o una sola. En este último caso, se dice que los puntos son colineales.

Rectas y ángulos

B

A

C

A, B y C determinantres rectas distintas

P, Q, R son colineales

P

Q R

investiga en dónde más se usan los pixeles.

rectas y ÁNGulos

algunas de las características de una línea recta son que no tiene superfi cie, ni volumen y se puede extender tanto como uno quiera.

BLOQUE 2

A B m

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97

Traza todas las líneas rectas que determinan los siguientes puntos e indica las ternas de puntos (tres puntos) que son colineales.

_______________________________________________________________

Observa que por el punto A pasan las rectas AC, AD y AE; cuando tres líneas rectas pasan por un punto se dice que son concurrentes en ese punto.

Muy a menudo, en vez de decir línea recta, solamente diremos recta. Dos rectas que tienen un punto en común son rectas que se intersectan.

Discute con tu equipo qué es un segmento de recta, escribe la respuesta, y luego confróntala con la de los otros equipos.______________________________________________________________________________________________________________________________

Dibuja un segmento e indica su longitud.

Longitud _______ cm.

Encuentra y marca el punto medio del segmento anterior.

Un segmento es una porción de recta limitada por dos puntos AB y se llama segmento de recta AB, segmento AB o simplemente AB.

Por lo general, se emplean marcas para indicar que dos segmentos son iguales; también se dice que son congruentes.

AM = MB AB = CD M es el punto medio de AB

B

A

C

D

E

AB

C

D

AM

B

En suma

Rectas que se intersectan

Cápsula

m

l

En suma

Si dos rectas no tienen un punto en común, entonces son paralelas. Recuerda que una recta siempre se puede prolongar.

Cápsula

BA

RectaS y ánguloS

En suma

Rectas concurrentes en el punto P

Cápsula

P

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98

Indica los segmentos que son iguales poniéndoles una marca como las que usamos antes.

Rayos y ángulos

Tenemos un punto P sobre una línea recta. A partir de P podemos tomar la dirección que va hacia Q o hacia Q', en sentido opuesto. Así obtenemos dos rayos o semi-rectas que tienen un punto espe-cífico P, que es su origen.

Usa tu regla para dibujar una semirrecta que empiece en el pun-to R, dos que empiecen en el punto S y cinco que empiecen en el punto T.

• • • R S T

La unión de dos rayos con un mismo origen es un ángulo y se de-nota en general como BAC.

El origen de ambos rayos se llama vértice del ángulo y se identifica con la letra intermedia. En la figura, los puntos B y C, que no son el vértice, se pueden escribir en cualquier orden, ya que BAC denota lo mismo que CAB.

Q'Q

P

A

B

CEn suma

los rayos AB y AC son los lados del ángulo. un ángulo cuyos lados no están en la misma recta separa el plano en dos partes, el interior y el exterior del ángulo.

Cápsula

RectaS y ánguloS

P

R Q

I

S

T

UVJ

X

Y

En suma

es importante notar que las flechas indican que cada rayo se prolonga indefinidamente.

Cápsula

En suma

un punto U sobre una recta LM la separa en dos semirrectas, una de éstas inicia en el punto U y continua hacia L, la otra inicia en U pero continua hacia M.

Cápsula

L

M

U

pliego 7-97-112.indd 98 10/3/08 17:45:39

99 RectaS y ánguloS

Un ángulo se mide en grados. Hay 360° al dar una vuelta completa.

BAC agudo < 90° BAC recto = 90°

BAC obtuso > 90° BAC llano = 180°

A la mitad

En una hoja de papel marca dos puntos A y B. Dóblala de manera que los puntos A y B coincidan; el doblez señala una recta, repásala con lápiz. Marca un punto cualquiera en esta recta y llámalo R.

¿Cómo son AR y RB? ________________________

Traza el segmento AB y denota con M el punto en el que se inter-

sectan AB y la recta. ¿Cómo son AM y MB? __________________

¿Cómo son los ángulos formados por la recta y el segmento? ______

La recta RM que acabas de construir se llama mediatriz del segmento AB. Describe sus propiedades. __________________________________________________________________________________________________

En una hoja de papel traza un ángulo XOY, marca el vértice con O y cada rayo con OX y OY. Dobla la hoja y haz que coincidan los rayos OX y OY. Tal vez te resulte más fácil si detienes con una mano el vértice y luego haces que coincida OX con OY. Se marca una recta y dentro del ángulo XOY se forma una semirrecta, repá-sala y denótala por OZ.

Indica cómo son los ángulos XOZ y ZOY. ______________

La recta que acabamos de construir se llama bisectriz del ángulo XOY. Describe sus propiedades. _______________________________________________________________________________________________

En suma

la medida de un ángulo es la cantidad de rotación que se requiere para llevar un lado de un ángulo hasta el otro rotando alrededor del vértice.

Cápsula

A

B

C

A A

B

B

A C A

B

B

A

A

B

RM

X

OY

O

X

Y

X

Y

C

O

Z

B C

pliego 7-97-112.indd 99 10/3/08 17:45:41


Indica cuál de las siguientes semirrectas es bisectriz del AOB.

Explica por qué en los otros casos no se cumple la propiedad que se indica. _______________________________________________________

Rumbo al ángulo

Para orientarse en cualquier lugar, usualmente se emplea una brújula, que señala los cuatros puntos cardinales: Norte (N), Sur (S), Este (E) y Oeste (W). Como estas cuatro direcciones no son en general sufi cientes para determinar los rumbos principales, se incluyen otras doce, como lo indica la ilustración de la Rosa de los Vientos.

Para construir una brújula se debe colocar una aguja imantada sobre un disco que tenga dibujada la Rosa de los Vientos. El ángulo comple-to del disco mide 360°. El ángulo entre los rumbos N y E es de 90°, el de los rumbos SE y S es de 45° y el de WSW y W es de 22.5°.

¿Cuánto mide el ángulo que forman los rumbos N y NE? _____¿Y el que forman NE y SE? ________¿Cuál es el ángulo determinado por NNE y SSW? ________¿Y por SSE y NNE? ________

Si un barco se dirige al SSE y el capitán grita: “¡Al Noreste!”, ¿cuál es la medida del ángulo mínimo que debe girar el barco para tomar ese rumbo? ________

A veces los ángulos que se quieren medir no son del tipo de los que aparecen en la Rosa de los Vientos; por ejemplo, a veces la aguja apunta una dirección entre NW y N, y para medir el ángulo se emplea un transportador. Se coloca el centro del transportador en el vértice del ángulo y la marca del 0 en uno de los lados del ángulo. El número del transportador por donde pasa el otro lado es la medida del ángulo. La unidad que se utiliza es el grado, así que el ángulo de la fi gura mide 110°.

B

A

O B

A

O B

A

O

la palabra “orientarse” proviene de hallar el oriente (este). la abreviatura que se utiliza para el oeste es W, que proviene del inglés West y se utiliza por convención internacional.

el rumbo que se ubica entre n y ne es nne y se lee, nornoreste.

NNW NNEN

E

NENWWNW

ESESE

SSES

SSW

SWWSW

W

En suma

la bisectriz divide el ángulo en dos ángulos de la misma medida.

Cápsula

pliego 7-97-112.indd 100 10/3/08 17:45:44


Mide con tu transportador los ángulos y escribe los resultados.

a) ______ b) ______ c) ______

Construye un ángulo de 60° usando como vértice el punto A y, como uno de los lados, la recta que se indica en la siguiente figura.

Denota por XAY el ángulo que acabas de construir. Usa tu trans-portador para construir la semirrecta AZ y que sea la bisectriz.

Trazo de líneas y ángulos

Para realizar dibujos más precisos necesitamos diversos instrumen-tos. Veamos cómo se pueden utilizar algunos de ellos.

La regla

Ahora se va a trabajar con una regla graduada en centímetros. Para medir la distancia entre dos puntos, se coloca la marca del 0 sobre uno de ellos. Luego, se hace coincidir el otro punto en el borde de la regla y el número que ésta marca indica la distancia entre los dos puntos.

Mide e indica la longitud de los segmentos AB, CD y EF.

AB ______ mm CD ______ mm EF ______ mm

Indica cuál es el punto medio del segmento XY.

X N K J H L Y

Para dibujar un ángulo, coloca el centro del transportador en el punto del vértice. luego haz dos marcas: una donde el transportador indica 0 y otra donde señale los grados del ángulo que quieres construir. Retira el transportador y traza, con ayuda de una regla, los lados del ángulo, desde el vértice hacia las marcas.

En suma

el punto medio de un segmento AB es un punto Z sobre el segmento tal que la longitud AZ es igual a la longitud ZB.

Cápsula

a b c d

A

B

C

D

E

F

d) ______

X

A

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Las escuadras

Otros instrumentos de gran utilidad son los dos tipos de escuadras: una tiene un ángulo recto y dos ángulos de 45o, mientras que la otra, además del ángulo recto, tiene uno de 30° y otro de 60°. Por estas características, sirven para dibujar rápidamente

ángulos de 30°, 45°, 60° y 90°, así como ángulos cuyas medidas son sumas y restas de las mencionadas.

Verifica con tu transportador las medidas de los ángulos de las escuadras.

Cuando dos rectas se intersectan y forman un ángulo recto, los otros ángulos que forman también son de 90°; entonces, se dice que las rectas son perpendiculares.

Para construir un ángulo recto basta colocar la escuadra y trazar los lados que corresponden al ángulo recto.

Es muy fácil utilizar las escuadras para trazar un rectángulo. En el cuaderno vas a construir uno, a manera de ejemplo, que mida 7 cm de ancho por 9 cm de largo. Para comenzar, construye con la ayuda de una escuadra un ángulo recto. Llama A a su vértice.

Sobre uno de sus lados, marca un segmento de 7 cm y sobre el otro, uno de 9 cm. Denota a los extremos de los segmentos como B y D. Ahora coloca el ángulo recto de la escuadra en el punto B de manera que uno de los lados del ángulo recto de la escuadra coincida con AB.

Traza el otro lado del ángulo recto y repite la operación en el vértice D. Denota por C la intersección de las semirrectas que acabas de trazar y tendrás el rectángulo ABCD con los datos pedidos.

Explica cómo trazar un cuadrado de 4 cm de lado usando las escuadras y la regla graduada. ___________________________________

________________________________________________________________

_______________________________________________________________

900

una tiene un ángulo recto y dos ángulos de 45

Rectas perpendiculares.

pliego 7-97-112.indd 102 10/3/08 17:45:47

103

el compás

El compás tiene una punta metálica que permanece fija y otra con una puntilla que traza circunferencias al girarlo. La punta me-tálica deja una marca que corresponde al centro del círculo y que denotaremos por O.

Mide los segmentos: OA = ________ mm OB = ________ mm OC = ________mmOD = ________ mm OE = ________ mm OF = ________ mm¿Qué observas? _______________________________________________

La abertura del compás es el radio del círculo. ¿Cuánto mide en la figura anterior? _________ mm

Construcciones con regla y compás

Al hablar de las construcciones en las que se usa sólo regla y compás, nos referimos a aquellas en las que no se permite hacer mediciones. La regla se utiliza exclusivamente para trazar rectas. Si queremos trazar un segmento que mida lo mismo que otro, usamos el compás con la abertura necesaria para tener el mismo tamaño.

Para copiar el ángulo QPR, Alma ejecutó el siguiente procedimiento.

Con centro en P, trazó un arco que corta a PQ en L y a PR en M.

Trazó una semirrecta OX. Con centro en O y el mismo radio que antes (PL), trazó un arco que cortó a OX en A.

Abrió su compás en la longitud LM. Con centro en A trazó un segundo arco con radio LM y llamó B a la intersección de los arcos. Finalmente, trazó OB. De este modo, construyó el ángulo BOA idéntico a QPR.

Efectúa en tu cuaderno el procedimiento de Alma y mide con el transportador los ángulos RPQ y AOB. ¿Cómo son? _________________________________________________

RectaS y ánguloS

P

LQ

RM

BA

F

EC

D

En suma

el compás sirve para dibujar circunferencias o porciones de éstas, llamadas arcos.

Cápsula

O

O

B

XA

O XA

O X

pliego 7-97-112.indd 103 10/3/08 17:45:48


Raúl propuso realizar la siguiente construcción sobre el ángulo AOB.

Con el centro O y radio arbitrario, trazó un arco que cortó a los lados del ángulo en C y D. Con centro en C y con un radio mayor al anterior, trazó un arco en el interior del ángulo AOB. Repitió la operación con centro en D y trazó un arco que cortó al anterior en E. Trazó la semirrecta OE.

Efectúa en tu cuaderno el procedimiento de Raúl y mide los ángulos

AOE y BOE con el transportador. ¿Cómo son?___________ ¿Cómo

se llama la semirrecta OE?

Pedro propuso encontrar la bisectriz de un ángulo de 180° con el proce-dimiento de Raúl. Inténtalo en tu cuaderno sobre un ángulo llano ABC y verifica con tu escuadra que queda dividido en dos ángulos de 90°.

A Mariana le pidieron que dibujara una recta perpendicular a la recta AB, pero que pase por el punto P. Se le ocurrió trazar un arco de circunferencia con centro en P y que intersecte en C y D a la recta AB. Luego, con centro en C y el mismo radio, trazó un arco del otro lado de P y lo mismo con centro en D, así que esos dos arcos de mismo radio se intersectan en el punto E. Luego trazó PE.

Ejecuta en la figura los pasos propuestos por Mariana y verifica que PE es perpendicular a AB, ya sea con la escuadra o con el transportador.

Miguel propuso dividir un segmento AB en dos partes iguales, para lo cual hizo lo siguiente:Con centro en A, trazó un arco de radio AB. Con centro en B y el mismo radio, trazó nuevamente un arco que se intersecta con el anterior en los puntos R y T. Trazó la recta RT, que corta al seg-mento AB en el punto M.

Verifica con regla o compás que MA y MB tienen la misma lon-gitud y que RT es perpendicular a AB.

Ahora coloca un punto cualquiera en la recta RT, denótalo por P y traza PA y PB. ¿Cómo son PA y PB? _______________________ Escoge otro punto Q en la recta RT, traza QA y QB.

¿Cómo son? ________________

¿Qué se puede decir de cualquier punto de la recta RT con respecto a los extremos del segmento AB? ________________________________

¿Cómo se llama la recta RT respecto al segmento AB? __________

P

A B

A BM

R

T

B

C

O DA

E

pliego 7-97-112.indd 104 10/3/08 17:45:49

105

Triángulos

Ahora veamos cómo construir un triángulo a partir de las longitu-des de sus tres lados. Tomemos, por ejemplo, el triángulo ABC de lados AB = 5 cm, BC = 4 cm y CA = 3 cm. Para trazarlo, podemos empezar dibujando cualquiera de sus lados, digamos AB.

Después, apoyándonos en A, trazamos un arco de longitud igual a CA y con centro en B otro de medida BC. La intersección de los dos arcos será C, el tercer vértice del triángulo como puedes ver en la figura.

¿Cuánto mide CAB? _______________________

¿Cuánto mide ABC? _______________________

¿Cuánto mide BCA? _______________________

Construye en tu cuaderno el triángulo PQR con lados PQ = QR = RP = 4 cm, y explica cómo lo hiciste. Si un triángulo tiene sus tres lados iguales se llama _____________¿Cuánto miden sus ángulos? ________________

Un triángulo es isósceles si dos de sus lados miden lo mismo. Para construir uno, se traza su lado desigual (AB). Luego, con una abertura de la longitud de los lados iguales y apoyándose en A, se traza con el compás un arco; se repite el proceso apoyándose en B. Si llamamos C a la intersección de los dos arcos, los segmentos AC y BC serán los dos lados iguales. Nota que un triángulo equilátero es un caso particular de triángulo isósceles.

Construye en tu cuaderno el triángulo ABC con AB = 4 cm, y BC y CA = 7 cm. Mide los ángulos de tu triángulo.

¿Cuánto mide CAB? ________ ¿Cuánto mide ABC? _______¿Cuánto mide BCA? ________ ¿Qué observas en los ángulos opuestos a los lados iguales? ________________________________

Algo redondo

Los círculos aparecen en muchos contextos distintos. Las ruedas de una bicicleta, el timón de un barco, etc., dan una idea clara de un círculo.

Observa, en el círculo de la derecha, los puntos A, B y C, que están sobre la circunferencia, y el centro, indicado por la letra O.

AB es el diámetro de la circunferencia; OA, OB y OC son radios, y los ángulos cuyo vértice es el centro (como AOB y BOC) se co-nocen como ángulos centrales.

BAO

C

RectaS y ánguloS

C

C

A B

A B

pliego 7-97-112.indd 105 10/3/08 17:45:50

Hexágono regular

Traza en tu cuaderno un círculo de radio igual a 5 cm. Apoya el compás en cualquier punto de la circunferencia y traza un arco de la misma medida del radio. Haz lo mismo a partir de donde se intersectan el punto anterior y la circunferencia y repite la operación hasta que regreses al primer punto. Si hiciste todo co-rrectamente, habrás encontrado seis puntos, que son los vértices de un hexágono. Mide uno de los lados y cerciórate de que su longitud es de 5 cm. Sin necesidad de medir los demás, da un argumento que indique que se trata de un hexágono regular.

el árBiTro

En un partido, el árbitro decide reanudar el juego de manera que el balón esté a la misma distancia del jugador de uniforme amarillo marcado con A y del de uniforme rojo marcado con B.

Ambos jugadores protestan pues creen que la pelota marcada con P está más cerca del otro jugador. Verifica qué jugador está más cerca de la pelota.Encuentra el punto medio del segmento AB y denótalo con M. ¿Está a la misma distancia de A y B? ________________

Encuentra otros dos puntos distintos de P y M donde el árbitro podría colocar la pelota para que esté a la misma distancia de A y de B. Márcalos con Q y R.

¿Qué puedes decir de los puntos M, P, Q y R?

Si consideras la recta MPQR, ¿qué ángulo forma con AB?

¿Cómo se llama la recta MPQR con respecto al segmento AB?

En suma

el hexágono regular tiene sus seis lados iguales.

Cápsula

A

B

P

RectaS y ánguloS106

pliego 7-97-112.indd 106 10/3/08 17:46:20

107 númeRoS fRaccionaRioS y decimaleS

MPQR es el eje de simetría del segmento AB.

Toma un punto cualquiera sobre la recta MPQR y verifica que equidista de A y B. La recta MPQR es la mediatriz de AB y está formada por todos los puntos que equidistan de los extremos del segmento AB.

Todos los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de los extremos del segmento.

Para construir la mediatriz de un segmento con regla y compás pue-des repetir la construcción hecha por Miguel en la página 104.

Otra forma de hacerlo es usando una regla graduada y una escua-dra, ya que la mediatriz es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular a éste.

Tomando en cuenta lo anterior construye la mediatriz del siguiente segmento y escribe los pasos que seguiste.

Traza los ejes de simetría de las siguientes figuras. Verifica en cuáles de éstas el eje es la mediatriz de AB.

Indica de quién son mediatrices los otros ejes de simetría de las

figuras anteriores.

A

B

A B

C

D

A

B

C

D

A

CB

RectaS y ánguloS

En suma

Se dice que un punto P equidista de dos puntos a y B si Pa = PB, es decir, si la distancia de P a a es la misma que de P a B.

Cápsula

pliego 7-97-112.indd 107 10/3/08 17:46:21

1. En que parte del terreno debería de construirse la casa para que esté a la misma distancia del pozo de agua y del transformador de

luz, pero lo más lejos posible de éste último ya que hace ruido.

Indiquen en la figura dónde coloca-rían la casa y den una explicación en

su cuaderno.

2. Tres pueblos P, Q y R no tienen luz eléctrica y han decidido invertir en una planta generadora. La condición es que la planta se encuentre a la misma distancia de cada pueblo para que el cableado sea de la misma longitud en los tres casos. Localicen en la figura el lugar donde debe construirse la planta. Expliquen en su cuaderno cómo lo determinan y discutan su resultado con otros equipos.

Más sobre los ejes de simetría

¿Crees que un ángulo tenga eje de simetría?

Discute tu respuesta con el resto del grupo. Recupera la actividad de la página 99 en la que se obtuvo la bisectriz del ángulo XOY por medio del doblado de papel. ¿Es la semirrecta OZ eje de simetría

del ángulo XOY? . En la página 104 Raúl construye con regla y compás la bisectriz de un ángulo.

Repite esa construcción en el ángulo siguiente y después marca tres puntos A, B, y C cualesquiera en la bisectriz denotada por OP.

TraBaJo en eQuipo

P R

Q

O

N

M

RectaS y ánguloS108

pliego 7-97-112.indd 108 10/3/08 17:46:41

109

La distancia de un punto a una recta se mide con la perpendicular desde el punto a la recta. Para hacer la medición se puede usar una escuadra como se indica.

En cada caso mide la distancia del punto a la recta.

Mide las distancias en el MON (pág. 108) y completa la tabla.

Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo y, recíprocamente, los puntos que equidistan de los lados del ángulo son los puntos de la bisectriz.

Indica una forma de construir el eje de simetría de un ángulo usando

regla y transportador.

Construye los ejes de simetría de las siguientes figuras e indica de qué ángulos son bisectriz:

TT

T

ll l

distancia = distancia = distancia =

Distancia desde hasta Valor

A OMA ONB OMB ONC OMC ON

A

B C

RectaS y ánguloS

El eje de simetría es

bisectriz del

El eje de simetría es

bisectriz del

y del A

B

C

D

¿Qué observas? En suma

la distancia de un punto a una recta es la longitud de la perpendicular que va del punto a la recta.

la distancia entre t y l es la longitud de tH

Cápsula

t

l

H

}distancia

pliego 7-97-112.indd 109 10/3/08 17:46:44

110

Se quiere construir una torre de vigilancia que se encuentre a la

misma distancia de las tres carreteras que se indican en la figura.

Con tu equipo establezcan el procedimiento para

localizar el punto donde se colocará la torre,

discútanlo con el resto de la clase y, finalmente

realicen los trazos y señalen el lugar donde de-

berá construirse.

lo Que no camBia

Para construir con regla y compás un cuadrado de 3 cm de lado y otro del doble, es decir, de6 cm, se procede de la siguiente manera:

RectaS y ánguloS

D

P

R A S B

Q

TraBaJo en eQuipo

1. Se traza un segmento AB de 3 cm de largo.

2. Se prolonga el segmento AB y, con el compás centrado en A y radio arbitrario, se traza un arco que intersecte a la recta en ambos lados de A y los puntos se llamarán R y S.

3. Se construye la mediatriz de RS, denotada por PQ; ésta es perpendicular a AB en A.

4. Se prolonga la recta PQ, se traza un arco con centro en A y abertura igual a AB que intersecte a la prolongación de PQ, y de esta manera se obtiene el segmento AD.

5. Lo anterior se repite con el punto B, obtenién-dose el punto C y el segmento BC, lo que nos permite trazar el cuadrado ABCD.

pliego 7-97-112.indd 110 10/3/08 17:46:45

111

Construye de la misma manera el cuadrado A'B'C'D', con lados de 6 cm.

Estos dos cuadrados son semejantes, pues uno es más grande que el otro. El chico es una reducción del grande y el grande es una ampliación del chico.

Fíjate que los lados del segundo cuadrado miden el doble que los del primero, es decir:

= = = = 2

Los lados de las dos figuras son directamente proporcionales con una constante de proporcionalidad igual a 2. En este caso, el se-gundo cuadrado es una reproducción del primero a escala 2:1 (se lee 2 a 1).

Calcula las siguientes proporciones:

= =

El cuadrado de 3 cm de lado tiene área de 9 cm2 y el cuadrado de 6 cm de lado tiene área de 36 cm2; así, se tiene que:

Proporción entre lados: =

Proporción entre perímetros: =

Proporción entre áreas: =

Observa que las proporciones no son las mismas; esto se debe a que el área no crece de manera proporcional, sino cuadráticamente, es decir, que si la razón de los lados es , la de las áreas será = .

Construye las mediatrices de los lados del cuadrado A'B'C'D'. ¿Qué observas? ________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

Construye las bisectrices de los ángulos del cuadrado ABCD ¿Qué observas? _____________________________________________________

________________________________________________________________

A'B'AB

Perímetro del cuadrado grandePerímetro del cuadrado chico En suma

cuando se tienen figuras a la misma escala, las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos quedan iguales. Si la escala cambia, las longitudes cambian según la escala; sin embargo, las medidas de los ángulos quedan sin cambio.

Cápsula

RectaS y ánguloS

B'C'BC

C'D'CD

D'A'DA

Área del cuadrado grandeÁrea del cuadrado chico

36

1224

12

12

14

936

12

14( 21

2)

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112

1. En tu cuaderno dibuja un triángulo equilátero y uno isósceles y traza sus tres bisectrices y sus tres mediatrices, usando regla y compás. Discute con tus compañeros tus resultados.

2. Reproduce en tu cuaderno el siguiente polígono a la mitad del tamaño que aparece. Recuerda que las longitudes de los lados del nuevo polígono deberán tener la mitad de las longitudes del polí-gono inicial.

Observa que hay ángulos ya marcados con sus medidas; puedes usar esos datos, tu transportador y una regla graduada para re-producir la figura.

3. Escribe un procedimiento para trazar un rombo. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Construye en tu cuaderno un rombo que tenga 9 cm de lado, siguiendo las indicaciones que acabas de escribir.

¿Qué propiedad tienen las diagonales de un rombo? ___________________________________________________________________________

¿Cómo son sus ángulos opuestos? ______________________________

5. Construye en tu cuaderno un triángulo cuyos lados tengan la misma longitud que los segmentos siguientes.

acTiVidades

135o

45o

45o

RectaS y ánguloS

pliego 7-97-112.indd 112 10/3/08 17:46:47

113

6. En tu cuaderno traza la mediatriz de un segmento AB. Marca

sobre la mediatriz un punto C, traza los segmentos AC y BC. ¿Cómo

son esos dos segmentos? _______________. Usa tu transportador para

medir CAB y CBA ¿Cómo son esos ángulos? ________________

¿Qué tipo de triángulo es ABC? ________________ ¿Todos obtuvieron

el mismo resultado? ________ ¿Por qué? ________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

7. Con tu equipo de trabajo, encuentra el lugar donde debe colocarse una antena para que resulte estar a la misma distancia de los pueblos A, B y C. Explica en tu cuaderno cómo tienen que ubicarla y la razón por la que ese punto está a la misma distancia de A, B y C.

8. En tu cuaderno construye un rectángulo de lados 8 y 5 cm. Traza las diagonales. ¿Son bisectrices de los ángulos correspondientes?

9. Reproduce con precisión la siguiente figura al doble de su tamaño.

Reconstrucción

Con tu equipo construye con regla y compás un cuadrado cuya diagonal mida 10 cm. Expliquen primero cómo lo realizarán y luego háganlo.

Rectas y ángulos

A

C

B

pliego 8-113-128.indd 113 10/3/08 17:47:40

114

Del rectángulo al paralelogramo

Indica cómo crees que se puede calcular el área del paralelogramo que aparece en la figura.______________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________

Para la siguiente actividad usa una hoja de papel cuadriculado. Traza en ella un paralelogramo cuyos vértices coincidan con los vértices de la cuadrícula. Traza la altura que va desde uno de los vértices hasta el lado opuesto, como se indica en la figura.

Recorta el triángulo que se formó con la altura que trazaste y co-lócalo en el otro lado del paralelogramo como se muestra.

¿Qué tipo de polígono es la nueva figura? __________________ ¿Qué relación existe entre la base y la altura del paralelogramo origi-nal y las del nuevo polígono? __________________ ¿Cuánto mide el área del nuevo polígono? ____________. ¿Cuál es la relación entre el área del paralelogramo original y el área del nuevo polígono? _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Construye otros cuatro romboides diferentes en tu hoja de papel cuadriculado. En cada uno de ellos, traza la altura, corta la figura y construye el rectángulo correspondiente.

Halla el área del rectángulo asociado a cada uno de los paralelogra-mos. ¿Qué relación existe entre el área del paralelogramo y la del rectángulo asociado? ____________ Escribe una regla para determinar el área del romboide. _________________________________________________________________________________________________________

6

4

En suma

un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Cápsula

BloquE 2 constRucción de fóRmulas de figuRas planas114

Construcción de fórmulas de figuras planas

TEma 4

En suma

un romboide es un paralelogramo que tiene lados consecutivos desiguales y ángulos consecutivos desiguales.

Cápsula

pliego 8-113-128.indd 114 10/3/08 17:47:42

115 constRucción de fóRmulas de figuRas planas

Del paralelogramo al triángulo

Construye en una hoja cuadriculada un triángulo obtusángulo ABC cuyos vértices se encuentren en los vértices de la cuadrícula. Por comodidad toma el lado AB de manera que sea horizontal.

Construye un segmento DC que sea paralelo a AB y tenga longitud igual a AB. Traza el segmento DA.

¿Qué nombre recibe el cuadrilátero ABCD? _________________ ¿Cuánto mide su área? _________________ ¿Qué fracción del área del cuadrilátero ABCD es el área del triángulo ABC?_________________ ¿Cuánto mide el área del triángulo ABC? _________________

Repite el procedimiento anterior y construye cuatro nuevos trián-gulos diferentes en tu hoja de papel cuadriculado. Determina el área de cada uno.

¿Qué relación existe entre el área del paralelogramo y la del triángu-lo asociado?_________________ Escribe una regla para determinar el área de un triángulo. __________________________________________

Del paralelogramo al trapecio

En un papel cuadriculado construye un trapecio ABCD con lados pa-ralelos horizontales. Toma el lado AB de manera que sea horizontal.

Haz una copia de ABCD y recórtala. Luego, colócala como se indica en la figura para obtener un cuadrilátero que denotaremos por IJKL.

¿Qué tipo de cuadrilátero es IJKL? _________________

¿Cuánto vale el área de IJKL? _________________

¿Qué relación existe entre el área de IJKL y la de ABCD? _________

¿Cuánto vale el área del trapecio ABCD? _________________

Construye otros tres trapecios diferentes en tu hoja de papel cua-driculado. Repite la actividad anterior en cada caso. Determina el área de cada uno de los trapecios.

¿Qué relación existe entre cada uno de los trapecios y su paralelo-gramo asociado? ______________ Escribe una regla para determinar el área de un trapecio. ___________________________________________

C

BA

BA

CD

BA

CD

A B

CDL K

JI

En suma

Busca en el diccionario el significado de la palabra obtusángulo y escribe en tu cuaderno la definición de triángulo obtusángulo.

Cápsula

pliego 8-113-128.indd 115 10/3/08 17:47:44


Con tu equipo de trabajo determina cómo calcular el área de un rombo ABCD. Para eso, observa la figura y explica._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Y los perímetros?

Calcula el perímetro de los siguientes polígonos:

P = ____ + ____ + ____ + ____ + ____ = ____

P = ____ + ____ + ____ + ____ + ____ + ____ = ____

¿Cómo calcularías los perímetros usando otra operación?

_______________________________________________________________

¿Cómo son los lados de cada uno de los polígonos? _____________

¿Cómo son los ángulos interiores de cada uno de los polígonos de

los ejemplos anteriores? ___________________________

Observa que los ejemplos son polígonos regulares.

1. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo equilátero de lado 1?

________

¿Cuál es el perímetro de dos triángulos colocados uno junto al

otro? ________ ¿Y de tres? ________ ¿Y de cuatro? ________ ¿Y de

cinco? ________ ¿Cuántos triángulos colocados uno junto a otro

se necesitan para obtener un perímetro de 12 unidades? ________

¿Y de 19? ____________


Si colocas k triángulos uno detrás de otro como antes, escribe una regla que determine el perímetro. ______________________________

traBaJo en eQuipo

En suma

un polígono es regular si sus lados y sus ángulos interiores son iguales.ambas condiciones sedeben cumplir. así pues, para calcular su perímetro, basta multiplicar el número de lados por la longitudde un lado.

Cápsula

En suma

el perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de los lados que lo forman.

Cápsula

D

A

C

B

3.4

5.2

Número de triángulos equiláteros de lado 1

1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 16

Perímetro 18

3.43.4

3.4

3.4

5.25.2

5.25.25.2

constRucción de fóRmulas de figuRas planas

pliego 8-113-128.indd 116 10/3/08 17:47:48


Hagamos el ejercicio con cuadrados de lado 1.

Perímetro =

¿Cuál es el perímetro de cinco cuadrados colocados en línea? ______

¿Y de 9? __________


¿Cuántos cuadrados son necesarios para obtener un perímetro de

38 unidades? __________ ¿Y de 66? __________

Dados k cuadrados colocados uno detrás de otro, escribe una regla para calcular el perímetro. ______________________________

Repitamos el ejercicio anterior con pentágonos regulares de lado 1.

Perímetro = __________ __________ __________

¿Cuánto es el perímetro de una fila de 8 pentágonos regulares? __________ ¿Cuántos se necesitan para tener un perímetro de 65 unidades? __________ ¿Cuánto mide el perímetro si colocamos 100 pentágonos juntos? __________

Completa la tabla.

Dados k pentágonos colocados uno detrás de otro, escribe una regla que determine el perímetro. ____________________________________

Número de cuadrados de lado 1 1 2 3 5 9 11 20 25 100

Perímetro

investiga cómo se forma el nombre de los polígonos.


Número de pentágonos de lado 1 1 2 3 5 9 11 20 25 100

Perímetro

pliego 8-113-128.indd 117 10/3/08 17:47:50


construcciones De polígonos regulares

En la figura hay tres hexágonos con distintas propiedades. El pri-mero, al tener sus ángulos interiores iguales y sus lados iguales, recibe el nombre de hexágono regular.

¿Cuál es el polígono regular con menos lados?

Construye un triángulo equilátero ABC con lado de 4 cm. Puedes usar la construcción que se desarrolló en la página 105 con las medidas de los tres lados iguales a 4 cm.

Mide sus ángulos interiores.

ABC

BAC

CAB

¿Cuál es el polígono regular con cuatro lados?

¿Cuánto miden sus ángulos?

Al trazar los ejes de simetría en un polígono regular todos se inter-sectan en un punto que se llama centro del polígono.


Hexágono con lados y ángulos interiores iguales

Hexágono con lados iguales y ángulos in-teriores desiguales

Hexágono con lados desiguales y ángulos interiores iguales

En suma

un poligono que tiene sus ángulos interiores y sus lados iguales se llaman polígono regular.

Cápsula

pliego 8-113-128.indd 118 10/3/08 17:47:51


Ángulo central

Encuentra el centro de cada uno de los polígonos regulares.

Los ángulos centrales de un polígono regular son los que tienen su vértice en el centro y sus lados pasan por dos vértices consecutivos del polígono.

En las figuras anteriores traza los ángulos centrales y mídelos.

¿Cómo son los ángulos centrales de cada uno de los polígonos

anteriores?

¿Cuánto mide el ángulo central del polígono regular de 8 lados?

Al dividir 360° entre 8 se obtiene

¿Qué observas?

¿Cuánto mide el ángulo central del polígono regular de tres lados?

¿Qué obtienes al dividir 360° entre 3?

¿Qué observas?

¿Cuánto mide el ángulo central del cuadrado?

Al dividir 360° entre cuatro se obtiene

¿Qué observas?

¿Qué puedes concluir sobre el valor de uno de los ángulos centrales de un

polígono regular con n lados?

Calcula el ángulo central de un pentágono.

Calcula el ángulo central de un hexágono.

pliego 8-113-128.indd 119 10/3/08 17:47:51


Ángulo interior

Ángulo exterior

En un polígono regular se define un ángulo interior como el ángu-lo que forman dos lados consecutivos. En la figura está marcado también el ángulo exterior, que es el ángulo formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

En los siguientes polígonos mide el ángulo exterior, el ángulo interior y el ángulo central. Completa la tabla con la información que obtengas:

Figura Ángulocentral

Ánguloexterior

Ángulointerior

180° – ángulo exterior

Hexágono

Dodecágono

Pentágono

¿Qué observas?

Regla y transportador

Completa la figura para construir un triángulo equilátero de lado 3 cm con regla y transportador reaalizando los pasos siguientes:

a) Tenemos un segmento AB de 3 cm de longitud. b) Con el transportador, construye en A un ángulo de 60° usando el lado AB. Obtienes el segmento AX. c) Mide 3 cm sobre AX para obtener el punto C.

d) Traza CB.

A B

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Con este mismo método, completa la figura y construye un cua-drado de lado 3.5 cm.

a) Tienes el segmento AB = 3.5 cm.

b) En A y en B, construye ángulos rectos obteniendo AX y BY.

c) Sobre AX y BY mide 3.5 cm y marca, respectivamente, D y C.

d) Traza DC.

Para un hexágono regular ABCDEF de lado 2.5 cm, se puede llevar a cabo una construcción similar.

a) Se traza el segmento AB = 2.5 cm.

b) En A y en B se construyen ángulos de 120° obteniendo AX y BY.

c) Sobre AX se marca F, tal que AF = 2.5 cm, y sobre BY se marca C, tal que BC = 2.5 cm.

d) En C y F se construyen ángulos de 120° obteniendo CR y FS.

e) Sobre CR se marca D tal que CD = 2.5 cm.

f) Sobre FS se marca E tal que FE = 2.5 cm.

g) Se traza DE.

Completa la figura siguiendo los pasos indicados.

Explica cómo construirías un pentágono regular ABCDE de lado

3 cm y trázalo. Observa que en este tipo de construcciones se usa

la medida del ángulo interior del polígono.

Regla y compás

Un cuadrado también se puede construir de manera muy sencilla utilizan-do regla y compás. Observa el procedimiento de la siguiente página.

A B

X

S R

F C

A B2.5 cm

Y

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Dibuja un círculo y dos rectas perpendiculares que pasen por el centro del círculo; o también se puede empezar por las rectas, tomar la intersección como centro y luego dibujar el círculo. La intersección de la circunferencia y las rectas son los vértices del cuadrado.

Al construir las bisectrices de los ángulos rectos, obtenemos ocho puntos sobre la circunferencia, que son los vértices de un octágono regular.

Así podemos seguir construyendo las bisectrices de los ángulos cen-trales y obtener los vértices de un polígono regular de 16 lados.

En tu cuaderno traza un círculo de 9 cm de radio y construye un polígono regular de 16 lados. Tienes que ser preciso en tus trazos para que tu figura quede bien.

Otro polígono fácil de construir con regla y compás es el hexá-gono regular; recuerda que lo hiciste en el tema anterior trazando un círculo de centro O, marcando un punto A en la circunferencia y señalando los puntos B al F, con el compás abierto a la medida del radio (OA). Si unes todos los puntos obtienes un hexágono, y si tomas puntos alternos, un triángulo equilátero.

Escribe en tu cuaderno cómo construir un dodecágono regular (12 lados), usando un círculo de radio 8 cm.

Regla, compás y transportador

A veces es más fácil usar todos los instrumentos para construir un polígono regular. Explicaremos la manera de hacer un pentágono regular.

a) Trazamos un círculo.

b) Como el ángulo central de un pentágono es de 72°, dibujamos un ángulo central AOB de esa medida con el transportador.

c) Con el compás tomamos la distancia AB y marcamos sobre la circunferencia los puntos C, D, E, tal que AB = BC = CD = DE.

d) Unimos ABCDE y el polígono que resulta es un pentágono regular.

BC

D

EF

AO

A

E

B

CD

O

720

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En tu cuaderno traza un círculo de 8 cm de radio y sigue las ins-trucciones que se indican a continuación para construir un heptá-gono regular o polígono regular de 7 lados.

a) Traza el radio AB.

b) Traza un círculo con centro en B que pase por A. Marca el seg-mento CD y su punto medio, E. Marca los arcos de longitud DE sobre la circunferencia inicial, empezando en D.

c) Habrás marcado los puntos FGHIJK.

d) Mide los segmentos DF, FG, GH, HI, IJ, JK y KD. ¿Qué observas?

Mide aproximadamente los ángulos DFG, FGH, GHI, HIJ, IJK, JKD

y KDF. ¿Qué observas?

Entonces, se tiene un polígono de siete lados que son iguales y con ángulos interiores iguales, por lo tanto se trata de un heptágono regular.

Doblado de papel

Doblando papel se pueden construir algunos polígonos regulares. Empecemos por construir un cuadrado.

Primero dobla una hoja de papel por la mitad para conseguir un rectángulo. Recorta una de las tiras que formaste.

Llamaremos A y B a los vértices superiores, y a los inferiores, X y Y.

Ahora llevemos el vértice A sobre el lado BY de manera que el seg-mento AB coincida con el lado BY. Obtenemos el punto C sobre el lado BY.

Por último, doblamos la tira de manera que los lados de la tira coincidan y BC caiga sobre CY, como se indica en la figura. Así, habremos obtenido el punto D sobre el lado AX.

El cuadrilátero ABCD resulta ser un cuadrado.

A

E

B K

D

F

GH

I

C

J

BA

YX

B

AC

YX

A B

D C

YX

pliego 8-113-128.indd 123 10/3/08 17:47:56


Otra figura que se puede hacer con la cinta de papel es el pentá-gono regular. Para ello, se hace un nudo como el de la imagen y se aplasta cuidadosamente hasta obtener el pentágono regular.

¿Y las áreas?

Un polígono es regular si todos sus lados y todos sus ángulos in-teriores son iguales. Estos polígonos se pueden descomponer en triángulos iguales usando el ángulo central que corresponde a cada lado del polígono.

¿En cuántos triángulos iguales se descompone el hexágono de la

figura? ¿En cuántos se descompone el pentágono?

¿Y el polígono regular de 12 lados?

Si conocieras el área de uno de los triángulos en los que se descompone

el hexágono de la fi gura, ¿cómo calcularías su área?

Si conocieras el área de uno de los triángulos en los que se des-

compone el pentágono de la figura, ¿de qué manera la calcularías?

¿Y cómo lo harías si conocieras el área de uno de los triángulos en los

que se descompone el polígono de 12 lados?

Observa que entonces el área de un polígono regular se puede calcular multiplicando el área de uno de los triángulos con ángulo central, por el número de lados que tiene el polígono.

¿Cómo se calcula el área de un triángulo central?

Así tendremos que, en general, el área de un polígono regular es:

A = (longitud del lado) 3 (longitud del apotema) 3 (número de lados)

Observa que la longitud de un lado multiplicada por el número de lados es el perímetro del polígono, como se vio en la página 116, así que:

A = (perímetro) 3 (longitud del apotema)

12

12

En suma

la distancia del centro de un polígono regular al punto medio de un lado es siempre la misma y se llama apotema.

Cápsula

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1. Calcula la apotema de los siguientes polígonos, y obtén su área usando la fórmula de la cápsula de la derecha. ¿Coincide con la forma usual de hacerlo? Explica en tu cuaderno.

2. Encuentra el área y el perímetro de los siguientes polígonos regulares.

P = P = P = A = A = A =

3. Traza en tu cuaderno un círculo de radio 4 cm y construye un polígono regular de 10 lados, usando los instrumentos que prefieras.

4. Calcula el perímetro de la figura formada por siete hexágonos colocados como se indica a continuación.

5. Dados k hexágonos colocados como se indica en la figura anterior, determina, con tu equipo, una regla para obtener el perímetro.

La regularidad

Usa el método que quieras para construir en tu cuaderno un po-lígono regular de 9 lados y otro de 12 lados.

• • •

actiViDaDes

18 44

En suma

el área de un polígono regular con n lados, de longitud l y apotema a es igual a lan = ap

donde p es el perímetro del polígono.

Cápsula

12

12

a = 13.8 l = 16 a = 8.6 l = 8 a = 2.9 l = 10


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126

las proporciones Humanas

¿Te has dado cuenta de que las partes del cuerpo humano guardan cierta proporción?

Por ejemplo, mide, con la mano abierta, la longitud de tu mano desde el pulgar hasta la punta del dedo medio.

Luego toma tu muñeca con la mano de manera que puedas comparar la longitud que acabas de medir con la circunferencia de la muñeca. Observa-rás que miden aproximadamente lo mismo.

¿Se te ocurren otros ejemplos de proporciones en tu cuerpo? Comén-talo con tus compañeros.

Organícense en equipos de cinco personas y realicen las mediciones en centímetros, como se indica, redondeando a 0.5 cm. Cada grupo necesitará dos cintas métricas y una calculadora (opcional).

A) Distancia del ombligo al piso (sin zapatos).B) Longitud del dedo medio de la mano derecha al dedo medio de

la mano izquierda, con los brazos extendidos hacia los lados.C) Tibia: Coloca el pie en el piso y mide en la parte exterior desde el

hueso del tobillo hasta justo antes de la cápsula de la rodilla.D) Radio: Con el codo en el escritorio, la mano hacia arriba y la

palma hacia el frente, mide del codo al hueso de la muñeca.E) La estatura.F) La circunferencia del cuello.G) La circunferencia de la muñeca.

Haz una tabla en tu cuaderno con los nombres los integrantes de tu equipo y las medidas de cada uno.

TEma 5 Proporcionalidad

En suma

las proporciones del cuerpo humano, que han sido estudiadas por muy diversas personas, son casi las mismas en todos los individuos.

Cápsula ¿Te has dado cuenta de que las partes del cuerpo

Luego toma tu muñeca con la mano de manera que puedas comparar la longitud que acabas de medir con la circunferencia de la muñeca. Observa-

pRopoRcionalidad

C

D

BloquE 2

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127pRopoRcionalidad

Escribe en la tabla siguiente las razones que se piden de acuerdo con los datos proporcionados por la tabla de la actividad anterior.

Examina las razones obtenidas para los integrantes de tu grupo. ¿Hay algunas que sean, aproximadamente, las mismas para todos los integrantes? __________ ¿Cuáles? ___________________________________________________________________________________________

Haz la comparación de los decimales, tomando en cuenta únicamente hasta la cifra de los centésimos, ¿qué razones son, aproximadamen-te, las mismas para todos los alumnos? _____________________

Encuentra el promedio de las razones escritas como decimales de la tercera columna. Suma todos los decimales de y divídelos entre 5. Repite lo mismo para los decimales de la columna .

¿Qué fracción de la estatura es la longitud de la tibia? ______

¿Qué fracción de la estatura es la longitud del radio? _______

Repite los cálculos anteriores con la primera columna, . Indica

cuál es, aproximadamente, la razón entre la estatura y la altura del

piso al ombligo. ________

Por regla general, la razón de la estatura de una persona respecto a la altura de su ombligo es de, aproximadamente, 1.62. Compara esta cifra con la que encontraste en tu equipo de trabajo.

Compara todos los resultados con los de otros equipos, y discute si se pueden esperar las mismas razones para grupos de otras edades.

NombreGF

Fracción Decimal Fracción Decimal Fracción Decimal Fracción Decimal Fracción Decimal

si un paleontólogo encuentra únicamente algunos huesos de una persona enterrada hace muchos años, puede reconstruir el esqueleto completamente.

un médico forense puede indicar la altura, peso, edad, sexo y otras características, examinando el cráneo o bien algunos huesos de una persona. esto es posible gracias a las proporciones del cuerpo humano.

DE

CE

BE

EA

CE

DE

EA

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128 pRopoRcionalidad

Retomando los resultados de la tabla, y dado que la razón entre la estatura y la distancia del ombligo al piso es aproximadamente la misma para todos los humanos, se puede decir que es una constante de proporcionalidad.

= 1.62 constante de proporcionalidad

Observemos que si denotamos por y a la estatura, y por x a la distancia del ombligo al piso, se tiene que:

= 1.62 o bien y = 1.62x

Por lo tanto, si conocemos la altura del ombligo, podemos multi-plicarla por 1.62 para conocer la estatura.

La distancia del ombligo de Juan al piso es de 1.15 m, de manera que su estatura puede calcularse resolviendo y = (1.62)(1.15) = 1.863, es decir, aproximadamente 1.86 m.

Esta situación se repite en muchos eventos de la vida diaria. Por ejemplo, el consumo de gasolina de un auto es proporcional a la cantidad de kilómetros recorridos, el costo de los lápices es pro-porcional al número de lápices que se compren y la ganancia por la venta de boletos es proporcional al número de boletos vendidos.

Veamos algunos ejemplos:

En un día soleado, Pedro utilizó el método de las sombras para saber la altura de un poste. Primero midió su sombra, su estatura y la sombra del poste y luego utilizó las proporciones para encontrar el dato que buscaba.

= = 0.75 = 0.75

altura poste = 0.75 3 (sombra poste), es decir: h = 0.75(9) = 6.75 m

estaturadistancia del ombligo

yx

altura de pedrosombra de pedro

1.52

altura postesombra poste

1.5

2 9

consulta la página 58 para recordar el concepto de constante de proporcionalidad.

Cápsula

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ProPorcionaliDaD

Los mapas están hechos a escala. En general, un centímetro repre-

senta 250 kilómetros. Si en un mapa la distancia en línea recta entre

Veracruz y Acapulco es de 1.8 cm, ¿cuál es la distancia real?

Como el mapa está dibujado a escala, la distancia en éste es pro-

porcional a la distancia real, es decir:

= d = (250)(1.8) = 450 km

Otra forma de hacerlo sería pensando de manera directa que si 1 cm

representa 250 km, entonces (1.8)(250) = 450 km

Los circuitos eléctricos se arman sobre tableros cuadrados de 30

por 30 cm para ser diseñados. Posteriormente, se reducen a de

las medidas originales. Por último, esa placa se reduce a una escala

de para obtener una placa de medio por medio centímetro.

Para averiguar de cuánto es la reducción de las longitudes de la placa ori-

ginal podemos verlo de dos maneras; 30 cm se convierten en cm.

Así que la constante de proporcionalidad es:

= =

O bien, primero se hizo una reducción de y luego una de , así

tenemos = .

La placa también sufrió una reducción en cuanto a su superficie, la que podemos calcular de dos maneras:

Superficie de la placa: 30 30 = 900

Superficie de la placa reducida: = = 0.25

Así, la constante de proporcionalidad resulta ser = .

o bien, cada longitud está a una escala de y como la

escala de la superficie es = .

d1.8

2501

110

16

12

230

0.530

160

1

110

16

110

16

160

12

12

14

0.25900

13 600

160

160

13 600

160

ProPorcionaliDaD 129

Comprueba en tu cuaderno que 900 ( ) = 0.2513 600

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Un microscopio amplifica las imágenes gracias al uso de dos len-tes; el objetivo (que se ubica cerca de lo que se quiere agrandar y a veces se puede elegir uno de entre tres lentes) y el ocular (que es donde se coloca el ojo para ver).

En general el objetivo tiene tres posibles aumentos de 30 veces, 50 veces u 80 veces, y el ocular cuyo aumento es de 20 veces.

Si se quiere ver una célula vegetal que mide en tamaño real 8 mi-crómetros, entonces el tamaño en el microscopio, al usar el lente objetivo de 50 veces de aumento es:

Aumento lente objetivo: 8 =

Aumento lente ocular: 20 =

Tamaño en el microscopio micrómetros.

Completa el siguiente esquema:

Tamaño promedio

real

Aumento con lente objetivo

(80 veces)

Aumento con lente ocular (20 veces)

Tamaño en el microscopio

Bacteria 5

Glóbulo rojo 6

Célula vegetal 8

Glóbulo blanco 10

Célula animal 12

¿Qué tamaño crees que tendrá un objeto al pasar del tamaño real a

través de un lente objetivo de aumento 50 veces y del lente ocular de

aumento 20 veces?

Aumento lente objetivo 80

Aumento lente ocular

8 micrómetros micrómetros micrómetros

Tamaño real Tamaño después Tamaño final

en suma

el micrómetro sirve para medir longitudes pequeñas.1 micrómetro equivale a 0.001 milímetros, es decir, a

milímetros; dicho

de otra manera, 1 000 micrómetros equivalen a 1 milímetro.

Cápsula

11000

ProPorcionaliDaD130

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Al tomar una fotografía en una película, se graba en un negativo que suele ser un rectángulo de aproximadamente 35 mm de largo por 23.3 mm de ancho. Los lentes de la cámara reducen el objeto real para que quede grabado en el negativo.

Una persona de 1.80 m se graba como una imagen de 18 mm. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite pasar del objeto

real a la imagen grabada?

Ten cuidado, ya que el objeto real esta en metros y la imagen en milímetros, y para encontrar la constante de proporcionalidad es necesario manejar las mismas unidades.

Si después se hace una impresión en papel donde se agranda el largo del negativo de 35 mm a una foto de 15 cm de largo, ¿cuál es la cons-tante de proporcionalidad que permite pasar de la impresión en el ne-

gativo a la foto en papel?

¿De que tamaño aparece ahora la persona que en la realidad media

1.80 m?

Aplica lo que aprendiste sobre las proporciones para resolver lo siguiente:

1. Describe, al menos, una aplicación de la razón áurea en arte, música, naturaleza, arquitectura, psicología, filotaxis o conchas marinas.

________________________________________________________________

________________________________________________________________

_______________________________________________________________

Aumento lente ocular

actiVidades

consulta las páginas: http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/rincon-c/curiosid/rc-25/rc-25.htm

http://www.interactiva.matem.unam.mx/index_fl ash.html

o busca en la biblioteca información sobre la razón áurea y compárala con los resultados de la columna de la página 127.

De

ProPorcionaliDaD 131

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2. Sandra dice que puede caminar a razón de 2 km por hora. ¿Cuánto tardará en caminar 6 km?, ¿y 15 km? __________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

3. Una pared larga se pinta con una mezcla de 2 L de pintura blanca y 1 L de pintura negra. Una pared corta se pinta con una mezcla de 5 L de pintura blanca y 3 litros de negra. ¿Qué pared tiene la superficie más

obscura?

¿Por qué?

4. Un kilómetro es un poquito más de de milla. Si la veloci-dad máxima en una carretera de México es de 90 kilómetros por hora, ¿a cuántas millas por hora se puede viajar en esa carretera sin exceder el límite de velocidad?______________________________________________________________________________________________________________________________

5. Si un auto consume 32 litros de gasolina para recorrer 384 kilómetros, determina la cantidad de gasolina necesaria para que recorra 576 kilómetros.______________________________________________________________________________________________________________________________

6. Si se usan 1 tazas de azúcar para hacer una docena de ga-lletas, ¿cuántas tazas de azúcar serán necesarias para hacer seis docenas?______________________________________________________________________________________________________________________________

7. Si tres camisas cuestan $599.70, ¿cuánto costarán siete camisas iguales? ______________________________________________________________________________________________________________________

8. Si con un kilogramo de café se hacen 250 tazas, ¿cuántos gramos se

requieren para hacer 100 tazas?

610

13

ProPorcionaliDaD132

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133

9. Si doce lápices cuestan $80.40, ¿cuántos lápices se pueden com-

prar con $140.70? _______________________________________________

_______________________________________________________________

10. Calcula la altura de un árbol cuya sombra es de 2.80 m. sabiendo que la sombra de un niño de 1.40 m, a esa hora, es de 1 m.

_________________________________________________________________

_______________________________________________________________

1. Pilar gana $55 por hora. ¿Cuánto ganó el lunes si trabajo 3 ho-ras y media? El martes ganó $275, ¿cuánto tiempo trabajó?

Prueba que la razón del tiempo trabajado el lunes a lo que ganó es igual a la razón del tiempo tra-bajado a lo que ganó el martes, es decir, que esas dos razones forman una proporción.

2. Si s es proporcional a t y s = 62.7 cuando t = 7, ¿cuánto vale s cuando t = 10?

3. Si un auto tiene un tanque de gasolina de capa-cidad de 60 litros, ¿qué capacidad tendrá un auto hecho a escala ? Primero encuentra las dimen-siones del chasis a escala sabiendo que el original mide de 3.8 por 1.7 m.

El monumento

Menhir ha hecho un obelisco gigante de 8 toneladas para el cum-pleaños del faraón Cincuentín.

Ahora está haciendo uno más pequeño para el hijo del faraón.

Si todas las medidas del nuevo obelisco son una cuarta parte de las del obelisco gigante, ¿cuántos kilogramos pesa el segundo obelisco?

traBaJo en eQUipo

110

ProPorcionaliDaD

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134

En toda construcción se encuentran elementos geométricos. Los

cálculos de superficies implican plantear y resolver ecuaciones. La

belleza arquitectónica de un lugar requiere de la habilidad para

solucionar problemas matemáticos.

bloque 3

pliego 9-129-144.indd 134 10/3/08 17:49:51

135 135 135


1. Resuelvan problemas que implican efectuar divisiones con números decimales.

2. Resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales.

3. Resuelvan problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación:

Porcentaje = cantidad base tasa.

4. Resuelvan problemas que implican el cálculo de cualquiera de los términos de las fórmulas para calcular el área de triángulos, romboides y trapecios. Asimismo, que expliquen la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras.

5. Interpreten y construyan gráficas de barras y circulares de frecuencias absolutas y relativas.

6. Comparen la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos aleatorios para tomar decisiones.

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Un poco de decimales y fracciones

¿Sabes relacionar las fracciones con los decimales?

Escribe la fracción y el decimal correspondiente al área sombreada.

Fracción Decimal

¿Qué incisos tienen la misma respuesta?

Coloca el signo que corresponde >, < o =

0.172 0.34 0.75 0.57

0.081 0.28 0.104 0.2

operaciones con decimales

a)

b)

c)

d)

e)

f)

División De números Decimalesbloque 3136

TeMA 1

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137

7.21 + 22.853 = 721100

+ 22 8531 000

= 7 2101 000

+ 22 8531 000

= 30 0631 000

= 30.063

Ahora coloca los números en las casillas de manera que los símbolos resulten correctos.

0.3210.132 > >0.44

0.0190.91 < < 0.109

0.2300.302 > >0.203

0.1000.010 < <0.001

Redondeo de decimales

Hacer cuentas con números decimales es similar a hacerlo con números enteros. La referencia es el punto decimal.

Cuando tenemos números de este tipo, 3.83021156 o 0.001250034, solemos redondearlos para tener menos decimales y poder manejarlos mejor.

Así, 3.83021156 redondeado al entero más cercano es 4. El redondeo de 3.83021156 a décimos sería 3.8; y 3.83 para centésimos.

Redondea como se indica.

3.2047 al entero más cercano

13.6147 al décimo más cercano

0.018 al centésimo más cercano

Suma y resta

Una manera de sumar 7.21 + 22.853 es pasarlo a fracciones:

7.21 = 721100

y 22.853 = 22 8531 000

en suma

al redondear, cada vez que una cifra decimal es mayor que 5 vamos hacia arriba 3.26 3.30si es menor hacia abajo 3.23 3.20y si es igual a 5 no cambia. 3.25 3.25

Cápsula

División De números Decimales

pliego 9-129-144.indd 137 10/3/08 17:50:07


.

.

.

.

.

.

.

25.423 – 2.77 – .

.

Explica cómo sumar o restar decimales de manera vertical:

Suma o resta, escribiendo en forma vertical:

.

13.78 – 5.216 – .

.

.

3.166 + 6.945 + .

Aproximaciones

Para tener una aproximación mental del resultado de una suma o resta como 37.863 – 3.69, podemos aproximarla:

38 – 4 = 34

Si hacemos la resta con decimales, obtenemos 34.173, casi lo mis-mo que en el cálculo mental.

Calcula mentalmente.

23.47 + 7.81

es aproximadamente + =

551.42 – 417.815

es aproximadamente – =

138

pliego 9-129-144.indd 138 10/3/08 17:50:08

139

Multiplicación

Ahora supongamos que queremos multiplicar 22.76 por 5.6. Una forma de hacerlo es escribiendo ambos números como fracciones y haciendo la multiplicación.

22.76 = 5.6 =

Por lo tanto:

(22.76)(5.6) = = = = 127.456

También se puede hacer la multiplicación directamente de la si-guiente manera:

Se multiplican los números como enteros.

Se cuentan los dígitos a la de-recha del punto de cada uno de los números que se quiere multiplicar y se suman.

Se coloca el punto decimal en el producto contando de derecha a izquierda tantas cifras como dio la suma.

Se puede hacer una aproximación de manera rápida: 22.76 23 y 5.6 6

23 6 = 138

Primero aproxima el resultado y luego haz las operaciones.

(582.4)(9.7)

582.4 9.7

aproximación =

582.4 9.7 =

2 276100

5610

2 276100

5610

2 276 56100 10

127 4561 000

Tres decimalesDos

decimalesUn decimal

582.4 9.7


Dos ceros

Un cero

Tres ceros

{Tres decimales

22.76 5.6

2276 56

1365611380127456

Dos decimales

Un decimal

Así, (22.76)(5.6) = 127.456

{

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(34.6)(1.04)

34.6 1.04

aproximación =

34.6 1.04 = División

Supongamos que queremos dividir 537.6 entre 2.56 ¡Lo podemos hacer usando fracciones!

537.6 = 2.56 =

De manera que:

537.6 ÷ 2.56 = ÷ = = =

Así el problema se reduce a hacer una división de números enteros, 53 760 entre 256. Multiplicamos por 100 tanto el divisor como el dividendo y obtenemos fracciones equivalentes.

Entonces dividir 2.56 537.6 es lo mismo que 256 53 760

Es decir: en la segunda división lo que se hizo fue recorrer el punto en ambos números tantos decimales como tiene el divisor. Como 2.56 tiene dos decimales, recorremos el punto dos lugares.

Lo cual queda, 537.6 ÷ 2.56 = 53 760 ÷ 256 = 210

Hagamos otros ejemplos recorriendo el punto; o lo que es lo mis-mo, multiplicando el divisor y el dividendo por la misma potencia de 10, para obtener una fracción equivalente o una nueva división donde el resultado sea igual que el de la división inicial.

Para dividir 1.2032 entre 0.32

se coloca 0.32 1.2032

Así obtenemos 1.2032 ÷ 0.32 = 3.76

Realiza en tu cuaderno. 9 ÷ 0.75 101.4 ÷ 0.13

5 37610

256100

34.6 × 1.04


5 37610

256100

100256

537 6002560

53 760256

5 37610

dos dos

3.7632 120.32

96243224

192192

0

pasa arriba

140


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141

En la época de Navidad, Lucero quiere comprar un pavo. En la granja El Pavo de Oro le ofrecen un pavo de 6.31 kilos a un precio de $178. En la granja Pavo Gordo le ofrecen un pavo de 7.24 kilos a $198.

Una forma rápida de averiguar dónde es más barato el pavo es redondear y dividir. Para la granja El Pavo de Oro 6.31 se redondea a 6 y 178 a 180; así el kilo de pavo tiene un costo aproximado de $ 30.

En la granja Pavo Gordo 7.24 se redondea a y 198 se redondea a 200, así que el kilo de pavo sale aproximadamente en $

¿Dónde debería comprar el pavo Lucero ?

Con tu calculadora, verifica los resultados y comprueba tu respuesta.

En la tienda Doña Nieves ofrecen 6 refrescos a $49.50 y en La

pasadita la oferta consiste en 8 refrescos a $66.40. Para su fiesta, Ángela quiere comprar 48 refrescos. ¿En qué tienda le conviene más comprar y cuánto le va a costar?

En la tienda Doña Nieves 49.50 ÷ 6 = $ por refresco.

En la tienda La pasadita 66.40 ÷ 8 = $ por refresco.

¿En qué tienda le conviene más comprar? ____________________

¿Cuánto le costarían los 48 refrescos en esa tienda? ______________

El calentador de agua de Luis consume de metro cúbico de gas

por día. Para guisar en su estufa las tres comidas diarias utiliza de

metro cúbico. Luis pagó $106.26 del recibo mensual (30 días). ¿A

qué precio está pagando Luis el metro cúbico de gas?

Primero hay que calcular el consumo de gas al día:

Ahora escríbelo como un número decimal:

Calcula el consumo de gas al mes:

Calcula el precio por metro cúbico:


es posible usar la calculadora para hacer multiplicaciones y divisiones con decimales. Basta usar un par de teclas para obtener el resultado.

Para dividir :138.563 ÷ 8.91 se hace lo siguiente:

on/ac 138.563

÷

8.91

=

15.551402con 6 decimales.

14

18

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Aproximadamente, ¿cuántas horas podría estar prendido un foco de 75 watts para que los cargos fueran de $1 si la compañía cobra $ 0.01715 por kilowatt/hora? Un kilowatt/hora significa 1 000 watts usados continuamente durante una hora.

Cada hora, el foco gasta = 0.075 kilowatts/hora

El costo por cada hora será 0.075 0.01715 =

Con $ 1 se puede tener prendido el foco 1 ÷ = horas

Redondea a la hora

Para ir a China la familia de Renata cambió $16 076 a dólares que al llegar a Pekín cambiarán a yuanes, la moneda china, pues en el banco no tenían esa moneda. ¿Cuántos yuanes obtendrán en total si un dólar se compra a $10.85 y un yuan cuesta 8.18 dólares?

¿Cuántos dólares lleva la familia de Renata?

¿Cuántos yuanes le darán por sus dólares? _____________________

Renata desea comprar una caja que contiene 9 tubos con 3 dibujos en cada uno. Si el precio de la caja es de 60.45 yuanes, ¿cuánto vale cada dibujo en yuanes? ¿Y en pesos?

Para resolver este problema contesta primero ¿cuántos dibujos hay

en total en la caja?

Divide el precio en yuanes de la caja entre el número de dibujos

para encontrar el costo de cada uno. yuanes. Calcula

el precio en pesos.

Un arquitecto está haciendo los planos para una casa y quiere dibujar un cuarto rectangular que mida 4.5 m por 3.5 m. De qué medidas lo debe dibujar en el plano para que la escala sea de 1 a 150, es decir, que 1 cm representa 1.50 m.

Trabajemos todo en centímetros, así:

4.5 m = 450 cm 3.5 m = 350 cm 1.50 m = 150 cm

450 cm se representan como: 450 ÷ 150 = cm

y 350 cm se representan como: 350 ÷ 150 = cm


751 000

3.1 la ciudad Prohibida, Beijing, china.

142

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143

1. Completa la siguiente serie.

3.4, 4.3, 5.2, , 7, ,

2. Primero estima el resultado y luego realiza las operaciones en tu cuaderno. Por último, comprueba los resultados con tu calculadora.

a) 4.112 + 31.30 b) 31.30 – 4.112 c) (4.112)(31.30)

d) 31.30 ÷ 4.112 e) 25.32 + 32.251 f) 123.45 – 54.123

g) (22.32)(17.53) h) 25.32 ÷ 10.10 i) 20.01 ÷ 11.10

3. En 1998 el tipo de cambio estaba a $9.10 por dólar. ¿Cuántos dólares podías obtener con $1 164.80?

4. César va a comprar unos refrescos. Hay una oferta de 4 botellas de litro y medio por $87, o bien la conocida botella de 750 ml (tres cuartos de litro) por $12. ¿Cuánto cuesta el litro de refresco en el paquete de oferta? ¿Cuánto es el ahorro total al comprar el paquete de las 4 botellas de litro y medio en vez de las de 750 ml para tener la misma cantidad de refresco?

5. Los camarones gigantes se venden congelados en bloques de 2.5 kg. El peso del hielo es aproximadamente 0.075 kg del total. Cada camarón gigante pesa en promedio 0.025 kg. ¿Cuántos camarones hay en ese bloque de hielo?¿Alcanzarán para que en un banquete donde hay 15 invitados se coman 8 camarones cada uno?

6. En una yarda hay 3 pies y en cada pie hay 12 pulgadas. Una yarda es exactamente 0.9 metros. ¿Cuántos pies hay en 17 metros?¿Cuántas pulgadas hay en 20 metros?¿Cuántos centímetros mide una pulgada?


actiVidades

Fracciones decimales

Sean a y b dos dígitos entre 1 y 9.

Consideremos x = a + + + y

y = + +

¿Qué dígitos pueden ser a y b para que sea mayor que 40?

a10

a100

a1000

b10

b100

b1000

xy

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144

encUéntralo

¿Cómo encontrar el valor que falta en una ecuación?

Ejemplo: x + 9 = 13

Para obtener el valor de la incógnita x, debemos deshacer la operación sobre x, en este caso a la incógnita se le está sumando 9.

¿Cuál es la operación que deshace la suma?

Tenemos entonces que: x + 9 = 13

se escribe x = 13 – 9 de manera que x = 4

Resuelve las siguientes ecuaciones:

x + 3 = 21 x = ______________________________

x + 11 = 12 x = ______________________________

x + 7 = 14 x = ______________________________

Procedamos de otra forma. Escribe algebraicamente lo que se te pide a continuación y trata de adivinar el número.

Pienso un número, le sumo 3 y obtengo 8. ¿Qué número es?

Pienso un número x

Le sumo 3 x + 3

Obtengo 8 x + =

¿De qué número se trata? Para contestar resuelve la ecuación.

Hacer y deshacer ecuaciones

TeMA 2

en suma

se llama ecuación a una igualdad de la forma:

x + a = bx n = ba x + b = c

y el dato que se quiere determinar se llama incógnita.

Cápsula

Planteamiento y resolución De ecuacionesbloque 3144

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145

otros casos

¿Recuerdas cómo encontrar el número que falta en una proporción? (página 59)Encuentra n si =

Haz los productos cruzados _____ _____ = 8 n

Ocho veces n será igual al producto de los otros dos números de la proporción, así que n debe ser ese producto entre 8.

Calcula n ___________________________________________________Los productos cruzados siempre son igualdades del tipo:

a) 300 = 5n b) 88 = 22n c) 4n = 32

Encontrar el valor de n significa resolver la ecuación. Resuelve la ecuación de cada uno de los incisos anteriores.

a) b) c)

¿Qué operación usaste para encontrar n?

Lo que hiciste fue “deshacer” la operación de multiplicar la variable por algún número. En general, en lugar de usar la letra n se usa la letra x para denotar la variable, así:

3x = 15 se “deshace” dividiendo entre 3 x= =5

5x = 8 se “deshace” dividiendo entre 5 x= =1.6

En la última ecuación el resultado es un número decimal.

Calcula la solución de las ecuaciones siguientes, obteniendo en los casos necesarios un número decimal. 4x = 3 8x = 43 2x = 52 6x = 54

Lo pesado

Las ecuaciones resultan ser una herramienta básica en la solución de problemas, como se ve en el ejemplo siguiente:El peso de un material es igual a la densidad por su volumen, peso = densidad volumen.

Si sabemos que el peso de un lingote de oro es de 231.6 gramos y que su densidad es 19.3 gramos por centímetro cúbico, entonces tenemos que 231.6 = 19.3 volumen.

Denotemos con la letra x el volumen, de manera que la ecuación queda: 231.6 = 19.3 x

Para conocer x tenemos que resolver esa ecuación y así tenemos:x = 231.6 ÷ 19.3 =12 cm3.

15385

PlanteaMiento y resoluCión de eCuaCiones

836

6n

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146

La densidad del platino es 21.4 gramos por centímetro cúbico y supongamos que tenemos 749 gramos. Usa la fórmula anterior para encontrar el volumen.

= x De manera que: x =

Las compras

Si Andrea pagó $82.30 por tres cuadernos, escribe una ecuación que te indique, al resolverla, cuál es el precio de cada cuaderno.

El IVA es el Impuesto al Valor Agregado de los productos o ser-vicios. En general, corresponde al 15% del precio de éstos.

Recuerda que 15% de una cantidad c es c

Vamos a profundizar sobre esto más adelante.

La siguiente fórmula indica cómo se relaciona el precio con IVA y el precio sin IVA: Precio con IVA = 1.15 precio sin IVA.

Si el precio de un disco compacto es de $181.70 con IVA incluido, ¿cuál es el precio del disco sin IVA?

181.70 = 1.15 precio sin IVA181.70 = 1.15 xEncuentra _______________________________________

¿Y las fracciones?

A veces en las ecuaciones aparecen fracciones multiplicando a la incógnita, por ejemplo. x = 3

Deshacer la multiplicación por es dividir precisamente entre este

número: x = 3 ÷ o dicho de otra forma, multiplicar por ,

como se indica en la cápsula de la página 90 es decir multiplicar

por 2; así x = 3 2 = 6

Resuelve.

a) x = 2 x =

b) x = 120 x =


investiga qué servicios, como por ejemplo, médicos, tienen un costo sin iva. investiga también si existen productos con un iva distinto del considerado aquí.

12

12

12

23

54

15100

21

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147

El truco

El mago al comenzar su acto dice con voz solemne:

“Escoge un número, multiplícalo por 3, súmale 30, divídelo entre 3 y resta el número que escogiste...”

El mago pide que cada quien escriba el resultado en un papel sin revelarlo y después de unas palabras mágicas, lo adivina.

Tú puedes hacer el mismo truco; supón que cada columna de la tabla siguiente corresponde a una persona que escoge un número distinto.

¿Qué número dijo el mago? ¿Cómo lo obtuvo?

Para saber qué fue lo que hizo el mago, denotemos por x el número de inicio.

al multiplicar x por 3 se obtiene: 3 x

al sumarle 30 al resultado se tiene :

al dividirlo entre 3 se tiene: (3 x + 30 ) ÷ 3 = x + 10

al restar el número x se tiene: x + 10 – =

El resultado es siempre:

Escribe una ecuación que describa lo que se indica:

Pienso un número x

Lo multiplico por 3 3 x

Le sumo 5

Y obtengo 32


1 2 3 4 5Persona

Escoge un número

Multiplícalo por 3

Súmale 30

Divídelo entre 3

Resta el número que escogiste

En suma

Para deshacer una multiplicación usamos una división y para deshacer una división utilizamos una multiplicación. Para deshacer una suma usamos una resta y para deshacer una resta se emplea una suma.

Cápsula

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¿Qué número es? Resuelve la ecuación. Observa que lo primero que tendrías que llevar a cabo es deshacer la suma de 5, luego obtienes una ecuación donde debes deshacer la multiplicación.

Escribe la ecuación que corresponde a la situación que se describe:

Pienso un número: __________________________________________

Lo multiplico por : _______________________________________

Le sumo 8: _________________________________________________

Obtengo 12: _______________________________________________

¿Qué número es? ___________________________________________

Resuelve la ecuación ________________________________________

¿Y los decimales?

De la misma manera que aparecen fracciones en las ecuaciones también pueden aparecer números decimales:

1.5x – 3.2 = 8.4

Deshacemos la resta: 1.5x = 8.4 + =

Deshacemos la multiplicación:

x = ÷ 1.5 de donde x =


a) 12x = 12.96

b) 1.1x + 2.8 = 6.1

c) 0.2x – 1.3 = 5.1

1. Resuelve aquí las siguientes ecuaciones.

a) 6x = 300 b) 1.5 x + 4 = 5.5

c) 4 x – 3 = 21 d) 8 x + 16 = 192

ACtiViDADes

15

148

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149P á g i n a s i n t r o d u C t o r i a s

e) x – 6 = 3 f) x + =

g) 5 x + 2.5 = 81 h) 1.7 x – 11.5 = 39.5

i) 2 x + 8 = 14 j) x + 2 = 5

k) x + 1 = 3 l) 18 x + = 31

2. Escribe una ecuación y resuelve. Tres veces un número y luego aumentado en diez nos da 31. Encuentra el número.

La tarjeta para el metrobús cuesta $75 por 20 viajes. ¿De qué precio es cada viaje?

La temperatura se mide en grados Celsius, que es la escala que usamos en México, o bien se puede medir en grados Fahrenheit. Si la temperatura es de 80° grados Fahrenheit, ¿a cuánto equivale en grados Celsius? Los grados Fahrenheit son iguales a 1.8 por el número de grados Celsius (incógnita) más 32.

El perímetro de un rectángulo es 24 y el ancho es 4. Determinen el largo.


La granja

Un granjero debe entregar 900 pacas de trigo en un pueblo cercano. Tiene dos camiones para transporte, uno puede llevar 150 pacas y el otro tiene capacidad para 120 por carga. Después de dos viajes el camión grande se estropea, así que el granjero tiene que terminar el trabajo con el de menor capacidad. ¿Cuántos viajes en total hizo con el camión más pequeño?

Para saber más sobre grados Celsius y Fahrenheit consulta:

http://www.mundohelado.com/helados/temperatura.htm

32

14

12

14

12

74

62

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TEMA 3 Formas geométricas

triÁnGULos Y MeDiDAs

Para iniciar este tema necesitas una caja de palillos de madera o de plástico, todos del mismo tamaño.

Toma tres palillos y construye un triángulo. Como los tres lados miden lo mismo, este tipo de triángulo se llama equilátero. Ahora construye un triángulo con 4 palillos.

¿Pudiste construir un triángulo? ¿Por qué

Para completar la tabla siguiente usa el número de palillos que se indica y construye todos los triángulos posibles. El final de un palillo debe coincidir con el principio del otro. La unidad es pre-cisamente el tamaño del palillo, si es necesario ayúdate con una regla para alinearlos. Cuando no se pueda construir un triángulo con cierta cantidad de palillos, escribe “no existe”. En las cápsulas de las páginas 29 y 115, buscaste el significado de acutángulo y de obtusángulo, revísalos.

Un triángulo con lados (5, 4, 3) es el mismo que uno con lados (3, 5, 4), así que cuando los escribas en tu tabla siempre ordénalos del lado menor al mayor.

ConstruCCión de triángulos y Cuadriláteros

Palillos Posibles triángulos Tipo de triángulo 3 1,1,1 acutángulo, equilátero

4

5

6

7

8

9

10

11

BLoquE 3150

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151

¿Puedes construir un triángulo con lados (1, 3, 5)? ¿Por qué?



Si los lados de los triángulos son:

De lo anterior puedes concluir que para construir un triángulo de lados a, b y c es necesario que:

+ > c + > b + > a

Si un triángulo equilátero tiene 12 palillos como perímetro, ¿cuál es la longitud de cada lado? Usa una ecuación.

Como los tres lados son iguales:

Perímetro = 3x; donde x es la longitud de un lado cualquiera.

Así x=

Haz un triángulo con un lado de 3 y otro de 4 palillos. Discute en clase cuántos triángulos diferentes se pueden construir con esos dos lados. Escribe las posibles longitudes del tercer lado en palillos. Después dibuja dos de estos triángulos aquí.


lados 1, 3, 5 1, 4, 5 1, 5, 5

entonces 1 + 3 < 5 1 + 4 = 5 1 + 5 > 5

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152

Cuatro ángulos rectos

Ahora construye un rectángulo con perímetro igual a 36 palillos. Discute en clase cuántos rectángulos distintos se pueden hacer con 36 palillos. Piensa que el cuadrado de 9 por lado es también un rectángulo. Escribe las longitudes de los lados de cada uno.

Si el perímetro de un rectángulo es 36 y uno de sus lados es 12 palillos más largo que el otro, encuentra la medida de los lados. Puedes usar una ecuación para encontrar las medidas: si x es la longitud del lado corto, como el largo es 12 palillos más grande, podemos escribir su medida como: x + 12.

Escribe la ecuación y resuélvela. Recuerda que una manzana + una pera + una manzana + una pera + una pera es igual a dos manzanas + tres peras.

+ + + = 36

Si en un rectángulo un lado es el doble del otro lado y su perí-metro es 54, encuentra las longitudes de los lados. Denota con x uno de los lados, el otro será 2x. Escribe y resuelve la ecuación que permita calcular el perímetro.

+ + + = 54

La superficie

Consideremos un área rectangular de 36 palillos cuadrados. Construye con los palillos tres rectángulos diferentes que tengan esa misma área. Compara tus resultados con el resto de la clase. Escribe las longitudes de sus lados y de sus perímetros.


lado 1 lado 2 lado 3 lado 4

área perímetro lado 1 lado 2 lado 3 lado 4

longitud

En suma

Para sumarx + 12 + x + x + 12 + x, hay que agrupar las x y los números:x + x + x + x + 12 + 12 = 4x + 24

Cápsula

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Usa una ecuación para resolver el siguiente problema.

Un rectángulo tiene área 36 y uno de sus lados mide 3, ¿cuál es la

longitud del otro lado?

Construye un triángulo de área 3 cuya base, de longitud 2, es la que está indicada en la retícula y el otro vértice es un punto de la retícula misma. Luego dibuja otros 5 triángulos diferentes con área 3 y base AB.

¿Qué observas? ¿Dónde se encuentra el tercer vértice?

Para construir un triángulo de área 10 que tenga base de longitud 5, ¿cuánto debe medir la altura? Usa una ecuación para responder.

Construye en tu cuaderno seis triángulos diferentes de área igual a 10 cm2 cuya base sea un segmento AB de longitud 5 cm.

Puedes construir otros seis y otros seis y otros seis y... ¿Cuántos triángulos hay con esa propiedad?

Mide los lados de seis de esos triángulos y calcula su perímetro.

1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

6. =

A pesar de que el área sea igual, los perímetros pueden variar y ser muy grandes.


A B

base

base

base

altura

altura

altura

altura

En suma

si aBC es un triángulo, una altura es el segmento determinado por un vértice y el pie de la perpendicular al lado opuesto o a la recta que lo determina. un triángulo tiene tres alturas.

Cápsula

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154

Ahora construye seis paralelogramos cuya base sea un segmento AB de longitud 5 cm y con área 10 cm2. ¿Qué observas sobre el

lado opuesto a AB?

Calcula el perímetro de tres de esos paralelogramos.

1. =

2. =

3. =

Encuentra la altura de un paralelogramo con base 8 cm y área 168. Usa una ecuación para encontrar la respuesta.

El terreno

A las superficies se les asocia un número para saber qué tan grandes son, y a ese número se le llama el área de la superficie. En el tema 4 del bloque 2, se obtuvieron algunas fórmulas que ayudan a calcular el área de cierto tipo de figuras.

Por ejemplo, para pintar una pared hay que obtener primero el área y luego calcular la cantidad de pintura que se requiere. El área de una pared se mide en metros cuadrados, lo mismo que un terreno en la ciudad, sin embargo, hay otras unidades cuya utilización depende de la superficie de que se trate.

Expresa qué unidades utilizarías para medir las siguientes áreas:

un rancho un país

También hay unidades de área para medir superficies pequeñas.

Dibuja un cuadrado de 1 cm por 1 cm. Su área es cm2.

Dibuja ahora en tu cuaderno un cuadrado de 1 dm de lado.

¿Cuántos cm2 caben en 1 dm2? Observa que 10 cm = 1 dmAsí 1 dm2 = 1 dm × 1 dm = cm × cm = cm2

En suma

un área siempre se mide en unidades cuadradas como:

kilómetros cuadrados km2

metros cuadrados m2

decímetros cuadrados dm2

centímetros cuadrados cm2

milímetros cuadrados mm2

Cápsula


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155

Ahora piensa en un cuadrado de 1 mm2.

¿Cuántos milímetros cuadrados hay en 1 cm2?

¿Cuántos milímetros cuadrados hay en 1 dm2?

Otra unidad que se utiliza comúnmente para medir áreas es el cuadrado de 100 metros de lado, que se emplea para medir terrenos grandes en el campo; al área de ese cuadrado se le llama hectárea y su símbolo es ha.

1 ha = 100 m × 100 m = m2

Completa las siguientes tablas.

Equivale en m2

1 km2

1 ha

1 dm2

10 km2

Un campesino plantó su terreno con papas, lechugas, jitomates y rábanos. Sembró media hectárea de papas, un rectángulo de 20 por 50 m de lechugas, 1500 m2 de rábanos y, entre las lechugas y las rábanos, un cuadrado de 50 m de lado de jitomates.

Encuentra el área total del terreno. Para esto tendrás que sumar el área de cada cultivo:

área =

área =

área =

área =

Observa que no se pueden sumar metros cuadrados y hectáreas, así que tienes que convertir a metros cuadrados la superficie dada en hectáreas.

Área total

+ + + =

Con los datos anteriores dibuja en tu cuaderno la distribución de la siembra, a una escala de 1 cm por 10 m.

Equivale en mm2

1 m2

1 dm2

1 cm2

10 m2


Pliego 10-145-160.indd 155 10/3/08 17:54:32

P á g i n a s i n t r o d u C t o r i a s156

1. Dibuja en una hoja 3 triángulos con base 6 y altura 10. Calcula sus áreas.

2. Con 18 palillos construye un hexágono regular. ¿Cuál es el perí-metro? ¿Cuánto mide cada lado?

3. Construye todos los rectángulos diferentes que puedas con perímetro 12 palillos, y lados formados por los palillos. Calcula el área de cada uno.

4. Si un cuadrado tiene perímetro 8, calcula su área.

5. Si un rectángulo tiene 24 palillos cuadrados de área, ¿cuántos rectángulos distintos puedes construir cuyos lados estén formados por palillos? En cada caso detalla las dimensiones de lados y perí-metros. Hazlo en tu cuaderno.

6. ¿Cuántos triángulos diferentes puedes construir con 15 palillos y cuyos lados estén formados por palillos?

7. ¿Cuántos triángulos diferentes cuyos lados estén formados por palillos puedes construir, de manera que un lado mida 5 palillos y el otro 6?

8. En un rectángulo el perímetro es de 26 unidades y un lado es 5 unidades mayor que el otro. Calcula la longitud de los lados.

9. Un cuadrado tiene área 49. Calcula su perímetro.


base altura área

ACtiViDADes

Pliego 10-145-160.indd 156 10/3/08 17:54:35


10. Considera dos rectas paralelas que estén a 5 cm una de la otra. Ahora considera un trapecio cuyas bases mayor y menor están sobre las rectas mencionadas. Si la base menor tiene longitud 4 y la base mayor con longitud 8, se desplaza sobre la recta; ¿cómo cambia el área del trapecio? Construye en tu cuaderno tres trapecios distintos que cumplan las especificaciones anteriores.

11. Un terreno rectangular mide 302 m por 56 m. Indica su área en

hectáreas.

12. El tablero de una mesa rectangular se quiere laquear. La mesa

mide 1.2 por 0.8 m. Si el cobro por el trabajo es de $2.50 por cm2,

¿cuál será el costo total?


El tesoro

El pirata Gartio escondió un tesoro en la Isla de la Roca y, antes de morir, le dio las siguien-tes instrucciones a su hijo para que lo encontrara:

“En la isla hay una enorme roca, a la que llamaremos R, y hay también un viejo árbol, el cual denotaremos por A. La distancia entre la roca y el árbol es de un kilómetro. El tesoro está sobre el vértice de un triángulo que tiene un lado sobre el segmento AR y un ángulo de 20° en el vértice R. Un lado del triángulo mide 700 metros y el otro 400 metros”.

En ese momento murió el pirata. Su hijo pensó que el tesoro estaba en R, pero no fue así. Localiza en el mapa los posibles lugares donde puede estar el tesoro.

A

R

Pliego 10-145-160.indd 157 10/3/08 17:54:39

P á g i n a s i n t r o d u C t o r i a s158

TEMA 4

Los pintores

A tres pintores, Juan, Pablo y Federico, les pagaron $2 520 por pintar un salón. Juan trabajó 3 horas, Pablo, 5 y Federico, 6. Ellos dividieron la paga de forma proporcional al tiempo trabajado. ¿Cuánto le correspondió a cada uno?

¿Quién crees que debe recibir más dinero? ¿Por qué?

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

Este problema se puede resolver de distintas maneras. Verifica que tu respuesta otorgue la mayor cantidad de dinero al pintor que escogiste.

Resuelve este problema a tu manera y comenta la solución con tus compañeros de clase.

El problema anterior, así como los que plantearemos en este tema, se resuelven con procedimientos explicados en los primeros blo-ques. Las proporciones son una herramienta más para dar solución a este tipo de problemas.

Las proporciones tienen en alguno de sus términos una incógnita.

Por ejemplo, en la proporción

x representa una incógnita y queremos saber cuánto vale. Aquí

presentamos dos maneras distintas para encontrar el valor de esa

incógnita. Primero, usaremos la propiedad de que los productos

cruzados son iguales; escríbelo 3 × ____ = x × ____ de donde

entonces x = __________

Todo proporciones

ProPorCionalidad y valor unitarioBLoquE 3

En suma

dos razones iguales forman una proporción.

Cápsula38

x16

=

48 x=

Pliego 10-145-160.indd 158 10/3/08 17:54:41

159

Otra forma de encontrar el valor de x es multiplicando la proporción:

al multiplicar por 16 ambos lados de la igualdad se observa que

y obtenemos

de modo que

La regla de tres

Si debe de haber 3 calculadoras por cada 4 alumnos en un salón de 44 estudiantes, ¿cuántas calculadoras se tienen en total?

Lo que queremos encontrar es el número total de calculadoras en la clase, así que en la siguiente tabla tenemos un resumen de los datos del problema.

La razón entre calculadoras y número de alumnos siempre tiene que ser igual; así:

Basta resolver esta proporción para encontrar el resultado.

Encuentra el valor de x.

de donde x = ___________ calculadoras

ProPorCionalidad y valor unitario

En suma

dos cantidades son directamente proporcionales si su cociente es una constante.

Cápsula

38

16× = x

16 × 16

116

16 × = 1

3 16 × = x

8

=x

número de calculadoras 3 x

número de alumnos 4 44

34

= x44

34

= x44

calculadorasalumnos

Pliego 10-145-160.indd 159 10/3/08 17:54:43

160

Siempre es importante colocar las unidades de medida cuando se trabaja con proporciones. Veamos el siguiente ejemplo:

Una tortuga recorre 48 cm en 12 segundos. ¿Qué distancia recorre por minuto? Denotemos por x la distancia buscada. Si se ignoran las unidades, tenemos

entonces

Con lo anterior, resultaría que x = 4 centímetros por minuto, lo cual es absurdo, pues no puede ser que en 12 segundos la tortuga recorra más distancia que en 1 minuto. La tabla anterior es inco-rrecta, así que hay que colocar las unidades correspondientes para obtener el resultado correcto. Observa que en la primera razón se calcula el número de centímetros por segundo y en la segunda, el número de centímetros por minuto. Recuerda que 1 minuto tiene 60 segundos; entonces:

Resuelve

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

Observa que, al utilizar las unidades adecuadas el resultado indica que la tortuga recorre 240 cm en un minuto, lo cual es lógico, pues el tiempo se incrementó.

Las tablas que se elaboraron son una manera de representar las proporciones y ayudan a encontrar la incógnita en una proporción: este procedimiento se conoce como la regla de tres.

A veces no es necesario hacer una tabla, pero la disposición es la misma y es recomendable siempre indicar las cantidades y las unidades.

ProPorCionalidad y valor unitario

distancia 48 x

tiempo 12 1

distancia 48 x

tiempo 12 60

48 = x cm1 minuto12 segundos

cm

4812

= x60

Pliego 10-145-160.indd 160 10/3/08 17:54:46

161

Hagamos una regla de tres para resolver el siguiente problema.

Si 4 toronjas se venden en $25, ¿cuánto cuestan 6 toronjas?

En la tabla, x denota el precio en pesos de las 6 toronjas:

Recuerda que, como estudiamos en el bloque 1, la expresión 4:25 y 6:x se lee, 4 toronjas son a 25 pesos como 6 toronjas son a x pesos, por lo que, utilizando fracciones y aplicando la regla de los productos cruzados, se tiene:

por lo tanto 4 x = 6 × 25, x = ________

Observa que para obtener una proporción que te permita resolver el problema siempre tendrás una incógnita, cuyo valor queremos obtener, y tres datos que junto con ella son los cuatro números que forman la proporción. Es por eso que se llama regla de tres, en alusión a los tres datos que se tienen. Para encontrar el valor de la incógnita una vez que se tiene la proporción, en general, se resuelve por medio de productos cruzados.

1. En un mapa, de cm representa 5 km. Si San Juan y San Fran-

cisco están separados por 18 cm en el mapa, ¿cuál es la distancia

real entre ellos?

2. Sofía leyó 40 páginas en 50 minutos. ¿Cuántas páginas leerá en 80 minutos si lo hace a la misma velocidad?

3. Una vela mide 30 cm. Después de estar encendida 12 minutos, se reduce a 25 cm. A ese ritmo, ¿cuánto tiempo durará la vela encendida?

4. Pablo y Carmen trabajaron 3 y 4 horas, respectivamente,

en un proyecto de cómputo. Si el pago total fue de $1 760, ¿cuánto

le corresponde a cada uno si se reparten el dinero según las horas

de trabajo?

ProPorcionalidad y valor unitario

toronjas 4 6

precio 25 x

ACTIVIDADES

425

= 6x

En suma

la cantidad de centímetros en el plano es proporcional a la cantidad de metros en la realidad, pues la razón entre esas dos cantidades es constante.

Cápsula

13

13

12

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162 ProPorcionalidad y valor unitario

2 520 x14 1

=

revisa la página 58 para recordar el concepto de constante de proporcionalidad.

Cápsula

Proporcionalidad

Analicemos con detalle el problema de los pintores. Para encontrar la paga justa, según el trabajo de cada pintor, debemos saber cuánto se está pagando por hora. En total se llevó 3 + 5 + 6 = 14 horas.

Así que, si x denota el pago por hora, tenemos

pago en pesos 2 520 x horas 14 1

de manera que . Observa que esto es una proporción,

así que el valor de la razón será la constante de proporcionalidad.

Es decir que x = 180 pesos por hora.

Ahora, observa que, para encontrar lo que le corresponde a cada quien, debemos multiplicar $180 por el número de horas que tra-bajó cada pintor, por lo que a cada uno le corresponde:

Juan 180 × 3Pablo 180 × 5Federico 180 × 6

Como puedes ver, en cada uno de los casos aparece 180 multipli-cado por el número de horas, asi que esta cantidad es la constante de proporcionalidad, ya que es la razón entre la cantidad ganada por cada persona, dividida entre el número de horas de trabajo.

Compara la solución que aquí se propone con tus resultados.

Veamos algunas aplicaciones de la constante de proporcionalidad.

Un avión boeing 747, tiene aproximadamente 77 m de largo por 63 de ancho (el ancho indica la longitud de las alas). Un modelo a escala mide 44 cm de largo. ¿Cuál es la constante de proporcionali-dad, en este caso llamada escala del modelo? ¿Cuál es el ancho del modelo a escala? ¿Cuánto debe medir la altura de una ventana en el modelo a escala si en la realidad tienen una altura de 0.7 m?

Denotemos por k la constante de proporcionalidad, que nos indi-cará cuántos cm le corresponden a 1 m.

medidas reales 77 m 1 mescala 44 cm k cm

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163

Verifiquemos primero que las unidades sean las adecuadas,

y así, . Haciendo los productos cruzados 77k = 44

de donde k = , es decir, a cada metro le corresponden en la figu-

ra de cm.

El ancho a escala es de × 63 cm = ________ cm

La altura de la ventana a escala es ________ × 0.7 cm = ________

Los robots

En una armadora de automóviles usan robots para construir los autos. Si 3 robots ensamblan 17 autos en 1 hora, ¿cuántos autos ensamblan 14 robots en 1 hora si todos los robots trabajan al mismo ritmo? ¿Y en 45 horas?

Para poder dar una solución a este problema, lo primero que te-nemos que hacer es entenderlo muy bien. Queremos determinar el número de autos que 14 robots pueden ensamblar en 1 hora si con el ritmo normal de ensamblado 3 robots arman 17 autos.

Si supiéramos cuántos autos ensambla un robot en 1 hora, podría-mos resolver el problema. Ese valor se llama el valor unitario pues se refiere a lo que hace una unidad (un robot) en una unidad de tiempo (una hora).

Hagamos un plan para resolver este problema.

Sea x el número de autos que 14 robots arman en 1 hora. Como 3 robots ensamblan 17 autos en 1 hora y trabajan siempre al mismo ritmo, tratemos de relacionar esto con el hecho de que 14 robots ensamblan x autos en 1 hora. Primero necesitamos encontrar la razón, que será el número de autos (o partes de auto) ensamblados por un robot en 1 hora.

Llevemos a cabo este planteamiento.

Si 3 robots ensamblan 17 autos en 1 hora, consecuentemente,

1 robot ensambla autos en 1 hora.


En suma

El valor unitario es el valor por unidad. Si 7 lápices cuestan $28, el valor unitario es 28 ÷ 7, es decir, $4 por lápiz.

Cápsula

7744

= 1k

47

47

47

autos x 17

robots 14 3

173

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164

Por lo que

es decir, que como 14 robots ensamblan x autos en 1 hora, al aplicar

los productos cruzados, x × 14 es decir que 14 robots ar-

man autos o bien 79 autos completos más un tercio de otro

en ese tiempo.

Ahora veamos qué pasa en 45 horas.

Como el ritmo de armado (la razón) es el mismo, puedes completar la solución del problema.

_____________________________________________________________

Por lo que en 45 horas los 14 robots armaron, x = _________ autos

Una vez que se ha entendido bien el problema, podemos echarle otro vistazo y observar que puede resolverse sin usar ecuaciones, de la siguiente manera:

como 1 robot ensambla de auto en 1 hora

14 robots ensamblan _____ autos en 1 hora

Así que, en 45 horas, 14 robots ensamblaron

_____ × _____ × = 3 570 autos

Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.

1. a) b) c)

2. Encuentra x, si se sabe que 3.5 es a 5 lo mismo que x es a 15.

3. Usa la siguiente tabla para encontrar x:


ACTIVIDADES

metros 88 100

horas 11 x

x14

= 173

= 173

238 3

173

× 173

173

12x

= 1823

x7

= 1021

57

= x98

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165

1. La razón de niños a niñas en una clase es de 2:3. ¿Cuál es la razón de niños respecto a todos los alumnos de la clase?

2. Un grillo puede saltar 20 veces su longitud. Midan la altura de uno de sus compañeros de equipo y calculen la longitud que podría saltar si un humano pudiera hacerlo en la misma proporción, con respecto a la altura, que un grillo.

3. Un terreno rectangular tiene proporciones largo – ancho de 9:5.

Si el perímetro es de 2 800 m, ¿cuáles son las dimensiones del

terreno?

4. Una pizza de 25 cm de diámetro se vende a $40, y el precio

es proporcional al diámetro. Para encontrar el costo x de una

pizza de 35 cm de diámetro, ¿es correcto usar la proporción

? Justifiquen su respuesta.


TRABAJO EN EQUIPO

x40

= 3525

¡Encuéntralo!

Escoge un número de tres cifras donde la cifra de las centenas sea mayor que la de las unidades. Intercambia la cifra de las centenas con la de las unidades obteniendo así un segundo número.

Resta este segundo número del primero. Compara tu resultado con tus compañeros de clase y observen dos propiedades de esos resultados, una de ellas es que la suma del dígito de las centenas y el de las unidades del resultado es 9.

Ahora, en el número que obtuvieron como resultado, intercambien la cifra de las unidades y de las centenas. Sumen estos dos últimos números y el resultado de esa suma siempre será 1 089. Da una explicación y escríbela en tu cuaderno.

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166

TEMA 5 El porcentaje

UNA PARTE

Comenten en clase: ¿Qué es un porcentaje?

En cada una de las siguientes cuadrículas cuenta el número de cuadritos para averiguar el porcentaje que ocupa la figura sombreada.

% % %

Observa que la notación % es un símbolo especial donde aparecen dos ceros y un 1. Podríamos interpretarlo como:

% 100

El porcentaje indica partes de 100. Por ejemplo, 30% significa 30

partes de 100 o .

Recuerda que una parte de una unidad se puede expresar como una fracción, un decimal, o un porcentaje.

cálculo dEl PorcEntajE

% 100

30100

En suma

= = 0.8 =

= 80%

Cápsula4 5

8 10

80 100

BLOQUE 3

Pliego 11-161-176.indd 166 10/3/08 17:55:59

167

Escribe en fracción, decimal y porcentaje la parte sombreada.

Completa las tablas de acuerdo con la parte sombreada.


fracción decimal porcentaje fracción decimal porcentaje fracción decimal porcentaje

40%significa de100

o 20 de 50

o 25 de

o 4 de

o 6 de

o 60 de

15%significa____de100

o de 20

o de 40

o 12 de

o 24 de

o de 25

25%significa____de100

o de 20

o de 4

o 2 de

o 50 de

o de 10

40% 25% 15%

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168

Determina el número de figuras e ilumínalas.

20% de los cuadrados =

75% de los triángulos =

Pon una A en 10% de los cuadritos, una B en 27%, una C en

18%, una D en 35% y una E en el resto de las casillas.

¿Cuántas A hay? ¿Cuántas E ? ¿Cuántas casillas

son en total? ¿Qué porcentaje representan las E?

De tiendas

Al comprar una camiseta con 25% de descuento, ¿cuánto aho-rras si la prenda costaba $128.00?

25% de 128 de 128

o 128 =

o 0.25 128 =

o 128 =


20100 15

75100 8

significa 25100

25100

14

significa

significa

significa

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169

El anuncio de la derecha indica una rebaja. ¿Es correcto el precio de la oferta? Explica por qué.

Puedes hacer estimaciones al porcentaje de una cantidad. Por ejemplo, en un comercio se hace una compra de $442.00. Determina cuánto hay que pagar de Impuesto al Valor Agregado, IVA, que en general es de 15%. Por pasos:

10% significa 442 que es aproximadamente 44

5% es de 10%, así 44 = 22

De manera que el 15% de 442 es aproximadamente 66.

Hagamos el cálculo exacto.

15% de 442 es de 442, así 442 = = 66.30

Por lo que la estimación que hicimos fue muy buena.

Usa el método anterior para calcular una estimación del IVA (15%) de las siguientes cantidades:

a) $368.50

b) $567.50

c) $143.90

d) $872.50

e) $1 674.00

f) $709.00

En el anuncio de la tienda Compuservicios no incluyen el IVA.¿Cuál sería el precio total a pagar?

Calcula el IVA 6 450

Precio total = 6 450 + (IVA) =

En Compuservicios quieren incluir el impuesto en todos sus artículos para que los compradores sepan cuánto tienen que pagar sin tener que calcular el IVA.

Se han dado cuenta de que si el precio es x pesos, el precio total con el

IVA incluido es de x + x = x + 0.15 x = 1.15 x y así ya no tendrán

que calcular el 15% y luego sumarlo, sólo multiplicar por 1.15


110

12

12

15100

6630100

15100

15100

15100

Pliego 11-161-176.indd 169 10/3/08 17:56:05

170

Completa la tabla para ayudarlos a sustituir las cantidades.

Los comerciantes

En un comercio, el precio de los productos equivale a su costo más 45%. El dueño ofrece 45% de descuento a sus amigos. ¿Gana, pierde o sale a mano cuando le vende a un amigo?

Antes de calcularlo escribe cuál crees que es la respuesta:

Para resolver este problema, supón que el costo es de $100.

El precio a pagar será: 100 + 100 =

Descuento a un amigo: =

Precio para los amigos: – =

Compara con los $100 del costo y escribe la respuesta.

Un pariente cercano llega al comercio y quiere comprar un objeto que está marcado en $607.50. Como es su pariente, el comerciante le da el precio de costo sin aumento. ¿Cuál es el costo si se sabe que el precio marcado tiene un aumento de 35%?


Precio TotalComputadora $8 990.00

Teclado $317.50

Regulador $585.50

Mouse $105.00

Impresora $1 975.50

Preciodecosto

x

+

+ 607.5

607.5

607.5

35100

Así

o bien

35%+ sobrepreciodecosto Precioapagar

Entonces x = 607.5 =

=

=

=

=

115100

x

0.35 x

1.35 x

x

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171

Federico Gómez hace una compra y pide una factura con el IVA desglosado. El señor Gómez ha pagado $437. ¿Cómo llenarías su factura?

Primero plantea la ecuación. Recuerda que:precio sin IVA + IVA = precio pagado

Si x es el precio sin IVA:

x + x = 437 x + 0.15x = 437

1.15x = 437 x = 437

Calcula el IVA:

Ahora llena la factura.

En la escuela

Completa el siguiente problema: Carmen contestó correctamente 80% de un examen que constaba de 40 preguntas. ¿Cuántas respuestas acertó?

80% de 40 significa de 40 así 40= ________

o 0.80 × 40 = o 40=

En la gráfica vemos la composición de una escuela que incluye un total de 2 400 personas.

Observa que + + + = 100%, el total.

Calcula cuántos alumnos hay: 2 400 =

Cuántos profesores 2 400 =

Encuentra la razón de alumnos por profesor

Por lo tanto, cada profesor tiene a su cargo aproximadamente

alumnos.


15100

= 437 = 437

= 437 = 437

80100

45

2100

8100

4100

86100 alumnos 86%

Personal administrativo 2%

8% Profesores

4% auxiliares

80100

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172

En el colegio de Pablo están consternados pues, en el grupo de 4°, 6 niños no pasaron el examen de Matemáticas; sin embargo, en la escuela de Sofía hubo 8 alumnos del mismo grado que re-probaron el examen. ¿Por qué crees que le preocupa al grupo de Pablo si en la escuela de Sofía reprobaron más?

Explícalo.

Para saber de qué índole es el problema de los reprobados debemos saber cuántos alumnos hay en cada clase y comparar el porcentaje de reprobados de cada grupo.

En el colegio de Pablo hay 20 alumnos en 4° y en el de Sofía, 50. Veamos cuál es el porcentaje de reprobados en cada grupo:

Pablo: = 0. = = %

Sofía: = 0. = = %

¿Podrías explicar en cuál grupo es más grave el problema de los

reprobados?

____________________________________________________________

Observa que si nos fijamos únicamente en el número de reprobados, hay más en el 4° grado de la escuela de Sofía que en la de Pablo, pero si nos basamos en los porcentajes nuestra comparación es más acertada.

Uso y abuso de los porcentajes

Contesta verdadero o falso según creas.

a) Leonardo recibió 10% de aumento en su salario al final del primer año de trabajo, y al segundo año volvió a recibir otro aumento de 10%. Su aumento total fue del 20% del salario original.

b) Joaquín y Fernanda pagaron 45% de una cuenta de $620 de la tienda departamental y 48% de otra cuenta de $380 de la misma tienda. Pagaron 45% + 48% = 93% del total de 620 + 380 = 1 000 pesos.


620 100

850 100

F V

F V

Pliego 11-161-176.indd 172 10/3/08 17:56:16

173

c) Claudia gastó 25% de su salario en comida y 40% en renta. Gasta en total 25% + 40% = 65% de su salario en comida y renta.

d) En la compra de una silla marcada en $ 420, la tienda aumentó 15% de IVA, más 5% de envío sobre el precio con IVA. El total a pagar es 420 + 84 = $504.

Analicemos los problemas anteriores.

a) Leonardo recibe 10% de aumento de su salario original el primer año, pero el segundo recibe el 10% de aumento sobre el salario que ya tuvo un aumento. Por tanto, los porcentajes se refieren a cantidades diferentes y no se pueden sumar.

Supongamos que Leonardo ganaba $10 000 al mes el primer año. Al fi nal de ese año recibió un aumento de 10%, es decir:

10 000 =

Su salario el segundo año fue: 10 000 + __________ = __________

Al terminar el segundo año recibe un aumento de 10%, con lo que

el aumento es de =

Su salario es de + =

Si el aumento hubiese sido de 20% sobre su salario original tendríamos que:

10 000 + 10 000 =

¿Qué le conviene más, 10% cada año o 20% el segundo año?

b) En este caso Joaquín y Fernanda pagan distintos porcentajes de cantidades desiguales. En cada caso pagan menos de $500; sin embargo 93% de $1 000 serían $930.Comprueba si tu respuesta fue correcta:

620 = 380 =

Pagaron ________ + ________ = ________


10100

10100

20100

45100

48100

F V

F V

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174

c) En este caso se habla de 25% y 40% de una misma cantidad, por lo que los porcentajes se pueden sumar. Si denotamos el salario con x tenemos:

x + x = 0.25x + 0.40x

= 0. x

d) Nuevamente, el IVA y el 5% se están aplicando a distintas can-tidades. Hagamos las cuentas.

Precio sin IVA + IVA = Precio silla

420 + 420 =

Gastos de envío = Precio silla = =

Precio silla + envío =

Total a pagar

Observa que cuando hemos calculado el precio de un objeto con IVA se multiplica por 1.15 el precio antes del impuesto.

Escribe 1.15 como porcentaje

Observa que ese porcentaje es mayor a 100.

Qué cantidad es mayor, ¿el precio final o el precio sin IVA?

Explica:

Completa.

25% de 20 es

50% de 20 es

75% de 20 es

100% de 20 es

125% de 20 es

¿A qué porcentaje corresponde el número mayor a 20? ¿Cómo es el 100% de una cantidad con respecto a la cantidad

original?


25100

40100

15100

5100

5100

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175

Escribe en lenguaje coloquial qué significa:

Que el 100% de los alumnos aprobaron el examen

Que el portero del equipo jugó al 120%

Que la probabilidad de que el sol salga mañana sea 100%

Que la probabilidad de que el equipo de Juanita pierda es 0%

Si un terreno mide 225 m2 y otro mide 75 m2, ¿qué porcentaje del

área del terreno chico representa la del terreno mayor?

Recuerda que para obtener un porcentaje tienes que dividir un número entre otro y multiplicar el resultado por 100:

100 =

Al ser el porcentaje mayor a 100 comprobamos que efectivamente el terreno mayor es más grande que el otro. Fíjate que es exactamente tres veces más grande que el pequeño.

Ahora observa que

75 300% =

¿Si un terreno es dos veces más grande que otro, qué porcentaje es

del terreno pequeño?

Qué porcentaje representa:

a) 85 de 15

b) 45 de 20

c) 35 de 15

d) 75 de 10

e) 95 de 20

22575


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176

Calcula el porcentaje que se indica.

36% de 25

200% de 25

150% de 25

100% de 25

80% de 25

60% de 25

1. Calcula mentalmente una aproximación del 15% para:

a) 363 b) 180

c) 1625 d) 38

2. Calcula los porcentajes y escribe cuál es mayor.

a) 15% de 348 o 18% de 300

b) 6% de 235 o 9% de 180

3. Indica qué porcentaje es:

a) 12 de 36

b) 5 de 220

c) 10 de 25

4. Si $1 672.10 es la cantidad a pagar incluido el 15% de IVA, ¿cuál

es la cantidad sin IVA?

5. Una falda que se vende regularmente en $350 está rebajada a

$280. ¿Cuál es el porcentaje de descuento?

ACTIVIDADES


Pliego 11-161-176.indd 176 10/3/08 17:56:27

177

6. Una familia gana $8 400 al mes y paga de renta $2 016. ¿Qué

porcentaje es la renta respecto al ingreso familiar?

7. El precio de una camisa que vale $100 tiene 25% de descuento. ¿En qué porcentaje hay que aumentar el precio rebajado para

regresar al de $100?

8. ¿En qué porcentaje es mayor 50 que 40?

9. ¿En qué porcentaje es menor 40 que 50?

Un comerciante compra a $0.60 el kg de tornillos y vende a $2.10 el

kg. ¿Cuál es su porcentaje de ganancia?

Juan vendió 180 periódicos de los 200 que tenía, Bárbara 85% de sus 260 periódicos y Raúl 212 periódicos, 80% de los que tenía.

a) ¿Quién vendió el mayor número de per iód icos y cuántos fueron?

b) Del total de periódicos, ¿quién vendió el mayor porcentaje y cuánto representa?

cálculo Del porcentaJe

TRABAjo en eQUIPo

El descuento

En una tienda hacen 10% de descuento. Al llegar María pregunta si el 10% lo hacen antes de cargar el IVA o después.¿De qué manera pagará menos María?, ¿pidiendo descuento antes del IVA o bien sobre el precio con IVA?

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178

TEma 6 Gráfi cas

Descripción y construcción De gráficas y tablas

LAS LUneTAS

Trae una bolsita de lunetas, pero no te las comas hasta terminar las actividades. Antes de abrirla contesta:

¿De qué colores crees que son las lunetas?

¿De qué color crees que hay más?

¿De qué color crees que hay menos?

¿Cuántas lunetas crees que tiene la bolsita?

En lo anterior has contestado lo que tú supones, no tienes plena seguridad porque careces de la información necesaria.

Una vez que se tiene la información conviene presentarla por medio de gráficas y números, ya que de esa manera es más fácil relacionar unos datos con otros.

Abre tu bolsa y escribe cada uno de los colores de las lunetas y la cantidad que hay de cada color. Luego suma las cantidades para hallar el total de lunetas.

Rojo = =

= =

= =

= =

¿De qué color hay más? ¿De cuál hay menos?

Compara tus resultados con tus predicciones.

bLoQuE 3

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179

En la siguiente gráfica colorea los círculos según el color y el número de lunetas que tengas.

número

Este tipo de gráfica se llama pictograma, ya que los datos que se quieren comparar se presentan por medio de dibujos.

Compara tu pictograma con los que hicieron tus compañeros. Describe las semejanzas y diferencias, y da una explicación:

Diferencias:

Semejanzas:

Explicación:


color

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180

Ahora, compara con tus compañeros los datos de las lunetas amarillas, contesta las preguntas y completa la gráfica.

¿Cuál es el mayor número de lunetas amarillas registradas

por algún alumno?

¿Cuál es el menor?

Sobre la línea roja marca el punto del número mayor y el menor de lunetas amarillas registradas en tu salón. Marca los números intermedios. Pide que digan en voz alta el número de lunetas amarillas que tiene cada quien y señálalo con una cruz, como se indica en la figura de abajo.

Cada columna de cruces indica cuántas bolsas contenían ese número de lunetas amarillas.

Usa la gráfica que construiste para determinar si cierto número de lunetas no están contenidas en ninguna bolsita, si todas las bolsas tienen el mismo número de lunetas amarillas, o cuántas lunetas amarillas contiene aproximadamente cada bolsa.

Comenta la gráfica.

¿Cuántas lunetas amarillas hay en total en la clase?


Mínimo Máximo

En suma

el espacio muestra o espacio muestral es la colección de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, es decir, de un experimento cuyos resultados son al azar.

Cápsula

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181

Elabora en tu cuaderno una tabla de frecuencias absoluta y relativa de tu bolsa de lunetas.

Indica en la siguiente gráfica el total de lunetas de cada color que hay en tu grupo usando un círculo para representar tantas lunetas como sea necesario.

Un círculo representa lunetas.número

color

Usa los datos anteriores para construir la siguiente gráfica de barras que refleje el número total de lunetas de cada color que hay en la clase.

número

color

¿Te parece más fácil de construir un pictograma o una gráfica

de barras? ¿Por qué?

¿Cuál gráfica pudiste interpretar mejor? Explícalo:


En suma

se llama frecuencia absoluta a la cantidad de veces quese repite cada dato.el número de veces que aparece el dato, dividido entre el total de datos se llama frecuencia relativa.

Cápsula

En suma

la suma total de frecuencias relativas es igual a uno o a 100%.

Cápsula

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182

¿Qué porcentaje del total de lunetas es de color amarillo?

En tu bolsita, ¿cuántas lunetas había? ¿Qué porcentaje representan las amarillas?

Los gastos

En esta ocasión, empleamos gráficas circulares para representar los gastos mensuales de dos familias.

¿Las gráficas incluyen la cantidad de pesos que cada familia gasta en cada cosa? ________

¿Se puede decir por las gráficas si las dos familias ganan lo mismo? _______

¿Qué familia gasta mayor porcentaje en renta? _____________

Si la familia García tiene como ingresos mensuales 15 000 pesos y la familia Pérez 24 000 pesos, ¿cuánto dinero gasta la familia García en renta? _________________ ¿Y la familia Pérez? ______________

¿Qué familia necesita más dinero para la renta? ___________

Compara la respuesta anterior con la tercera respuesta de esta actividad y explica por qué son diferentes. __________________________________________________________________________________________________________________________________

Ambas familias gastan 30% en comida. ¿Qué familia gasta más dinero en comida?

En porcentaje, la familia Pérez ahorra el doble que la familia García. ¿En términos de dinero cuántas veces más ahorra la

familia Pérez respecto de la familia García? _________________

_______________________________________________________

Gráficas circulares

Cuando las gráficas se usan para comparar porcentajes es muy importante saber la cantidad en la que se basan para poder interpretarlas adecuadamente.

Para hacer gráficas circulares se requiere dividir el círculo en porciones que representan los porcentajes indicados.


comida30%

renta30%

ropa20% otros

15%

ahorros 5%

familia garcía

comida30%

renta25%

ropa10% otros

25%

ahorros 10%

familia pérez

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183

Un círculo tiene 360°. Para hacer una gráfica circular tenemos que encontrar el número de grados que representen el porcentaje. Para eso vamos a usar proporciones.

Sombrea 25% del círculo.

Para encontrar 25% de 360°, es decir, =

aplicamos los productos cruzados.

25 360 = 100 n9 000 = 100 n

9 000 ÷ 100 = n n = 90°

¿Qué porcentaje del círculo no está sombreado?

¿Cuántos grados representan 10% del círculo?

Colorea: • 10% del círculo con rojo • 15% con azul • 20% con amarillo

¿Qué porcentaje del círculo no está sombreado?

En una olimpiada escolar de secundaria los grupos obtuvieron los siguientes resultados. Usa la información de la tabla para hacer una gráfica circular.


330°0°

180°150°210°

30°

270° 90°

240° 120°

300° 60°

330°0°

180°150°210°

30°

270° 90°

240° 120°

300° 60°

25100

n360

Porcentajede medallas

de oro

1° A

1° B

2° A

2° B

3° A

3° B

GrupoGrados

en elcírculo

Color

10%

5%

15%

25%

20%

25%

azul

amarillo

rojo

verde

café

negro

TOTAL 100%

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184

Ahora usa la información de la tabla para hacer una gráficacircular de las medallas ganadas por el grupo 1°A.

Observa las dos últimas gráficas. La primera refleja el número de medallas que se repartieron entre todos los grupos, la segunda se refiere solamente al total de medallas ganado por el grupo 1°A.

¿Qué probabilidades hay?

Existen circunstancias en las que no podemos predecir qué sucede-rá. En dichas situaciones se habla del azar o de las probabilidades de que algo ocurra.

Si afirmamos que la probabilidad es alta, queremos decir que es muy probable que suceda. Por otra parte, si decimos que es baja, significa que es poco probable que ocurra.

Para esta actividad consigue una bolsa que no sea transparente y ocho canicas (si no tienes canicas, usa tarjetas): 5 verdes, 2 azules y una amarilla. Supón que sacas una canica (o tarjeta). Usa la gráfica con la escala marcada y contesta cuáles son las probabili-dades de que salga:


330°0°

180°150°210°

30°

270° 90°

240° 120°

300° 60°Porcentaje

de medallasde oro

futbol

carrera de1500 m

volibolfemenil

natación

TOTAL

Disciplina Grados Color

25%

10%

25%

40%

100%

Grupo 1°A

Sin posibilidades

casi imposible

algunas posibilidades

Mismas posibilidades

buenas posibilidades

Seguros

casiseguro

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185

Una canica verde

Una canica amarilla

Una canica azul

Una canica roja

Una canica azul o amarilla

El cubo misterioso

Esta actividad se hace por parejas y cada alumno necesita 3 cubos sin marcas. Si no tienen cubos, constrúyanlos. Cada alumno toma uno y, sin que el compañero lo vea, en cada cara marca uno de los números 1, 2, 3, 4, 5 o 6. No es necesario usar los seis números, puede haber números repetidos.

Uno de los alumnos tira su dado sin que el compañero lo vea rodar y únicamente le anuncia el número que sale en la cara superior. Esto se continúa hasta que el otro alumno decida tratar de adivinar cuántas caras están marcadas con qué dígitos. Conviene anotar los números que van saliendo en una tabla como la siguiente:

Si el compañero identifica correctamente qué dígitos están marcados en el dado, cambien papeles, que él lance su dado y tú adivinas. Si no, indícale las respuestas correctas y continúa lanzando el dado. Por ejemplo:

Compañero: Hay un 1 en dos caras y un 5 en cuatro caras.Respuesta: El 1 en dos caras es correcto, pero el 5 no.

Compañero: Hay un 1 en dos caras, un 2 en una cara y un 5 en tres. Respuesta: Correcto.


1 2 3 4 5 6

5 1 5 5 1 5

Tiro

Número

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

… 7 8 9 10

… 2 5 1 5

Tiro

Número

Tiro

Número

2 5 5 51

1

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186

Continúen hasta haber usado los tres dados y llenen la tabla.

Explica cómo usarías o usas la probabilidad para hacer tus

predicciones.

Para cada dado enumera los posibles resultados al lanzarlo.

En un dado marcado con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 la probabilidad

de que salga un 4 se calcula así: .

Si hay una cara que tiene el 4, hay 1 caso favorable entre los 6 casos posibles, que corresponden a las seis caras del dado. Por lo tanto, la probabilidad teórica es .

En el dado del ejemplo el 5 aparece en 2 caras, por lo que hay 2 casos favorables, y la probabilidad teórica es = .

En los dados que tu compañero y tú construyeron indica cuál es la probabilidad de que salga un 4 en cada uno de los dados.

¿Qué significa que la probabilidad sea 0?

¿Qué significa que la probabilidad sea 1?


casos favorablescasos posibles

Dado 1 Dado 2 Dado 3 Dado 4 Dado 5 Dado 6

Dado

Número de tiradas necesarias para adivinar

1 2 3 4 5 6

16

26

13

Número decasos con 4

Dado 1 Dado 2 Dado 3

Probabilidadteórica






Dado 4 Dado 5 Dado 6






2 5 5 3

1

1

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187Descripción y construcción De gráficas y tablas

En el dado 1, ¿qué número o números tienen mayor probabilidad de salir?

En el dado 2, ¿qué número o números tienen menor probabilidad de salir?

1. Haz en tu cuaderno una gráfica circular con la distribución de los colores de lunetas de tu bolsita.

2. Contesta con verdadero o falso y explica tu respuesta.

Una probabilidad puede ser de 3.2

¿Puede haber más casos favorables que posibles? __________

La probabilidad teórica de que al lanzar una moneda salga

águila es ____________________________________________

Un porcentaje puede ser mayor que 10

1. Calculen la probabilidad de que al lanzar tres monedas salgan tres águilas o dos águilas y un sol. Primero cuenten los eventos posibles, luego los favorables.

12

ACTIVIDADeS

TRABAjo en eQUIPo

El concurso

Bernardo va en bicicleta hacia abajo y cada vez que pasa por un cuadrado gana el número de puntos que indica éste. Conforme baja, tiene la posibilidad de escoger entre los dos cuadrados por debajo de aquél en el que está. ¿Cuál es la mayor cantidad de puntos que puede obtener? Dibuja el trayecto empezando en el número 1.

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188

En cada instante que transcurre se conjugan distintas variables; por ejem-

plo, la duración de un día está en función del movimiento de rotación de

nuestro planeta. Al contemplar los astros y querer obtener sus medidas

respecto a la Tierra, es necesario estudiar diferentes figuras geométricas y

sus propiedades.

bLoQuE 4

Pliego 12 177-192.indd 188 10/3/08 17:57:43

189 189 189 189


1. Identifiquen, interpreten y expresen, algebraicamente o mediante tablas y gráficas, relaciones de proporcionalidad directa.

2. Resuelvan problemas que impliquen el cálculo de la raíz cua-drada y potencias de números naturales y decimales.

3. Construyan círculos que cumplan con ciertas condiciones establecidas.

4. Justifiquen y usen las fórmulas para calcular el perímetro o el área del círculo.

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190

Números con signoTEma 1

Un jUego

Este juego se hace con un compañero. Cada uno necesita una ficha y 5 monedas. Al inicio, cada jugador coloca su ficha en el 0 y los dos se turnan para lanzar las monedas.

Cada uno tira las cinco monedas y mueve su ficha. Cuando caiga águila, la ficha se mueve una unidad hacia la derecha y si cae sol se mueve una unidad hacia la izquierda. Por ejemplo, si salen cuatro águilas y un sol, la ficha se moverá 4 unidades hacia la derecha y 1 hacia la izquierda resultando un movimiento de 3 unidades hacia la derecha. El primero que rebase +7 o –7 ganará.

Juega dos veces con tu compañero y luego contesta lo siguiente:Si tuvieras que representar el número de monedas que caen en águila, ¿con qué números lo harías, positivos o negativos? _______________________ ¿Y las que caen en sol? ____________________

¿En algún turno tu ficha se quedó en el mismo lugar, sin moverse? ___________ ¿Por qué?______________________________________________

¿Ocurrió que tu ficha se movió únicamente dos o cuatro unidades en total desde el punto donde empezó ese turno? _____ Explícalo._____________________________________________________________________

En la recta anterior, ¿cuál es el único número que no es ni positivo ni negativo?__________________________

probleMas De nÚMeros con signo

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7NEGATIVOS POSITIVOS

INICIO

bLoQuE 4190

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191

Escribe lo opuesto a lo que se indica:

bajo el mar

Marina vive en una colina de 45 m de altura que se encuentra al lado de la playa. Su trabajo consiste en sacar muestras de sedimentos que se encuentran a 22 metros de profundidad. Para indicar las distancias, se toma el nivel del mar como 0. Así pues:

45 m sobre el nivel del mar + 45 22 m bajo el nivel del mar – 22

Sobre el nivel y bajo el nivel del mar son conceptos opuestos.

De igual modo, +24 y –24 son números opuestos: +24 se lee “más 24”, o “24 positivo”, y –24 se lee “menos 24”, o “24 negativo”.

¿Cuál es el opuesto de +4? _____ ¿Qué distancia hay de +4 a 0? _____

¿Y de –4 a 0? _____ ¿Cómo son las distancias? _______________________

¿Esto se repite para cualquier número y su opuesto? _____

Escribe tu conclusión. _________________________________________________

________________________________________________________________________

Anota el opuesto de cada número:

–8 opuesto ______ +2.4 opuesto ______

+1.1 opuesto ______ –5.2 opuesto ______

Indica el número que corresponde al concepto:

probleMas De nÚMeros con signo

Perdió 3 kg

Ganó 4 kg

8o bajo cero

12o sobre cero

–3

+4

2.5 m sobre el nivel del mar

210 m sobre el nivel del mar

5 horas después del despegue

3 horas antes del despegue

arribaizquierda

opuesto

calientedespués

opuesto

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192

Los signos y las rectas

Ya has utilizado rectas numéricas que empiezan en 0.

1, 2, 3, 4... se pueden escribir como +1, +2, +3, +4,... y también cualquier decimal, por ejemplo, 2.1 puede escribirse como +2.1.

También podemos emplear una recta para colocar los números y sus opuestos.

Los números a la izquierda del cero son los enteros negativos y los que están a la derecha son los enteros positivos.

Localiza en la siguiente recta los números que se indican y escribe la letra que corresponde a cada número para que con la clase comentes la oración que se forma.

En la recta numérica que contiene los números positivos, negativos y el cero, “mayor que” signifi ca “a la derecha de”. Por ejemplo, +2.3 es mayor que +1.7 y se escribe +2.3 > +1.7.

En esa misma recta numérica “menor que” signifi ca “a la izquierda de”. Por ejemplo, –1.9 es menor que +8 y se escribe –1.9 < +8.

1. Utiliza una recta numérica como la anterior para colocar, según corresponda los signos < o >.

+3 + 1 +8.3 +3.8 –2 –1

+9.2 10.1 –1.9 – 0.9 –2 0

ACTIVIDADeS

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

En suma

el cero es un entero que no es positivo ni negativo.

Cápsula

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

Z a b C E G L o u N

–4 +7 –8 +5 –2 +5 +8 –0.5 +3.5 –5.5 +2 7 –5.5

probleMas De nÚMeros con signo192

Pliego 12 177-192.indd 192 10/3/08 17:58:06

193

p á g i n a s i n t r o d u c t o r i a sp á g i n a s i n t r o d u c t o r i a s

2. Coloca según corresponda los signos <, = o >.

–3 +2 –1 0 +1 +1

–3.8 –2.5 –4.3 4.3 –1.8 +37.2

– 31.30 –51.25 –27.30 –46.40 –72 +51

3. Indica todos los enteros que estén entre los dos números que se muestran:

4. Ordena de menor a mayor.

5. Ordena de mayor a menor.

a) +2.7, –5.2, +3.7, +8.9, –5.6, +4.34, –5.201

b) –1, +1.8, –1.79, –1.88, +1.709, +1.43, –1.8701

c) –2.201, –2.102, +2.012, –2.210, +2.020, –2.021

e) +7.230, –2.001, –9.010, +3.017, +3.007, +2.999

d) +13.013, –11.101, –14.515, +14.514, +12.012, +12.021

–3 y +2 –2, –1, 0, +1

–4 y +5

–8 y –1

+4, +3.1, +8.2

–1, –2.1, +2, +5

–5, –4, –4.8

nÚMEros con signo

problEMas dE nÚMEros con signo

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Menos que nada

Si hacemos la resta 8 – 4 quedan 4. Si hacemos la resta 8 – 8 nos da 0. Pero, ¿qué nos queda si restamos 8 de 5? ¿5 – 8?

Los griegos decidieron que esa operación no era posible, pues el resultado sería menos que 0. ¿Cómo puede ser algo menos que nada si nada es lo menos posible?

Este tipo de razonamiento duró mucho tiempo, pero hay innumerables situaciones, como la siguiente, en las que el uso de números negativos es necesario: si disponemos de 5 pesos para pagar una deuda de 8, al entregar los 5 pesos nos quedamos con una deuda de 3 pesos, es decir, si restamos 8 de 5 resulta que tenemos menos que cero. Eso lo denotamos como –3.

En la actualidad, los números negativos forman parte de nuestra vida diaria como se puede observar en la tabla de temperaturas promedio de la localidad en la que vive Lucía.

¿Cuál es la diferencia de temperatura entre mayo y junio?

¿Cuál es la diferencia de temperatura entre enero y febrero?

¿Qué mes del año es el más frío?

¿Qué mes del año es el más caliente?

¿Cuál es la diferencia de temperaturas entre el mes más caluroso y el

más frío?

Al conjunto formado por los naturales y los negativos lo llamamos númerosenteros, lo indicamos con:

Ζ = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

En el periódico se indican las temperaturas mínimas pronosticadas para distintas ciudades. Dibuja en tu cuaderno un termómetro en grados Celsius (°C) y coloca las siguientes temperaturas.

Ordena las temperaturas de mayor a menor.

En suma

Es lo mismo escribir +3 que 3.

Cápsula

mes oC enero –10 febrero –9 marzo –3 abril 5 mayo 13 junio 16 julio 21 agosto 20 septiembre 15 octubre 8 noviembre 0 diciembre –7

Temperaturas de la localidad de Lucía

Ciudad Chihuahua Buenos Aires Caracas Montreal México

Temperatura 2° bajo 0 20° sobre 0 28° sobre 0 9° bajo 0 13° sobre 0

194

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195

La escuela

En la escuela de Isabel organizaron una “búsqueda del tesoro” para los alumnos del primer curso. Como punto de partida dieron la esquina donde está la escuela, que en el plano aparece marcado con 0.

La primera pista es: dirigirse hacia (3E, 1N). Localiza ese punto en el plano, denótalo por A. Escribe, de manera similar, dónde se localizan las pistas siguientes B, C y D.

El ganador provocó algo de confusión cuando dijo que el tesoro estaba a 3 cuadras del Eje Central y a 4 de la Calle Principal.

¿Cuál fue la confusión? ¿Cómo debió expresarse para evitarla? ______________

_____________________________________

_____________________________________

El tesoro estaba en (3E, 4S). Localiza el lugar y márcalo con una T.

Valor absoluto

En la “búsqueda del tesoro” el ganador provocó confusión, porque no brindó la información completa. A tres cuadras del Eje Central se encuentran tanto el Eje 3 Este como el Eje 3 Oeste; es decir, que si usamos + para Este y – para Oeste, el problema es que la distancia de –3 a 0 y de +3 a 0 es la misma, o sea 3 y que denotaremos como |3|.

En general, el valor absoluto de a, denotado por |a|, es simplemente la distancia de a a 0.

Ahora, si queremos encontrar los números enteros cuyo valor absoluto es 4, lo planteamos como |x|= 4 y vemos que existen dos números que cumplen esa condición: |–4|= 4 y |+4|= 4, así que |x|= 4 implica que x = +4, o x = –4

Cómo calcularías la distancia entre:

+6 y +8

–8 y –6

–2 y +4

Calle 5 Norte

Calle 4 Norte

Calle 3 Norte

Calle 2 Norte

Calle 1 Norte

Calle Principal

Calle 1 Sur

Calle 2 Sur

Calle 3 Sur

Calle 4 Sur

Calle 5 Sur

B

CD

0

Eje

6 O

este

Eje

5 O

este

Eje

4 O

este

Eje

3 O

este

Eje

2 O

este

Eje

1 O

este

Eje

Cen

tral

Eje

1 E

ste

Eje

2 E

ste

Eje

3 E

ste

Eje

4 E

ste

Eje

5 E

ste

Eje

6 E

ste

En suma

llamamos valor absoluto de un número a su distancia respecto al cero; así que el valor absoluto de –3 es igual a 3 y el valor absoluto de 3 también es 3.

Cápsula

En suma

a los números que tienen el mismo valor absoluto y distinto signo los llamamos opuestos o simétricos.

Cápsula


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196

Los contadores se encargan de llevar las cuentas de las compañías y para ello tienen, por lo general, un cuaderno donde hay dos colum-nas. Una corresponde a los ingresos, es decir, al dinero que recibe la compañía; la otra columna corresponde a los egresos, es decir, al dinero que se usó para pagar. A veces se dice que la columna de ingresos son los números negros y la columna de egresos son los números rojos.

Ingresos(negros)

Egresos(rojos)

3 527

2 787

11 343

5 721

3 456

2 345

8 724

3 386

¿Cuál sería otra forma clara de distinguir los números rojos de los

números negros?

Escribe los ingresos usando números con signo.

Escribe los egresos usando números con signo.

1. En la recta coloca los puntos: 0, –3.5, +8, 2.5, –2, –6, +4

2. Escribe el valor absoluto de los siguientes números.

– 4 |–4| = _____ –3 |_____| = _____

2.1 |_____| = _____ 8.9 |_____| = _____

acTIVIdadES



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197

1. Discutan el siguiente problema y contesten.

Para visitar a varios clientes un vendedor sale de su casa y viaja 10 km al Sur, 10 al Este y 15 nuevamente al Sur para llegar al negocio de su primer cliente; luego recorre 30 km al Oeste y 10 al Norte para llegar a su segundo destino. Desde allí se desplazó 25 km al Norte y 10 al Oeste, donde estaba el tercer cliente. Por último visitó un comercio al que llegó después de recorrer 10 km al Norte y 20 al Este.

• ¿A cuántos km al Oeste o al Este y a cuántos km al Norte o al Sur se encuentra el segundo cliente de la casa del vendedor?

• ¿A cuántos km al Este o al Oeste y a cuántos al Norte o al Sur de su casa se encuentra el último cliente visitado?

• Representen en una gráfi ca (parecida a la que empleamos para la “búsqueda del tesoro”) el recorrido que efectúa el vendedor. Marquen el punto de llegada fi nal y la posición de cada comercio. Denótenlos con dos números: el primero, positivo o negativo, será el que está en Este-Oeste, y el segundo, positivo o negativo, para Norte-Sur.

• Calculen el total de kilómetros recorridos por el vendedor.

2. Ordena de menor a mayor: 3.56, +2.1, 2.01, –3.65, –3.56, –2.01, –3.5000, –3.0505

3. Calcula la distancia entre:

–2 y 6 3 y –3

–3 y 0 –3 y –1

TraBaJO EN EQuIPO

investiga quién introdujo los símbolos + y – delante de los números.

Elordenesimportante

Si los dígitos del 1 al 9 se escriben en orden, es posible colocar signos de + y de – entre los números o no colocar nada para obtener un total de 100. Por ejemplo:1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100

¿Puedes obtener 100 usando menos signos que los que aparecen en el ejemplo? Observa que entre 7 y 8 no hay signo y se convierte en 78. _______________________________________________________


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198

TEMA 2

La raíz cuadrada

Si un cuadrado tiene 5 unidades de longitud por lado, su área es 25 o de manera opuesta si 25 es el área de un cuadrado, entonces su lado es de longitud 5.

Si un cuadrado tiene 4 unidades de longitud por lado, su área es de , de manera inversa, si el área es 16, la longitud del lado es de

Si el área es de 64, la longitud de cada lado es de

Si un cuadrado tiene unidades de longitud por lado, su área es de 36.

Si el área de un cuadrado es 4 unidades cuadradas, entonces podemos decir que cada lado mide 2 unidades de longitud.

Así, 4 está relacionado con 2, pues la raíz cuadrada de 4 es 2 y 4 es 2 al cuadrado. De manera análoga 9 es 3 al cuadrado y 3 es la raíz cuadrada de 9.

Usamos el símbolo para denotar la raíz cuadrada.

Así escribimos: 4 = 22 o bien 2 =

Completa

16 = 42 o bien =

25 = o bien 5 =

81 = 92 o bien =

49 = o bien 7 =

Raíz cuadrada y potencias

raíz cuadrada y potEncias

investiga quién inventó el símbolo para escribir la raíz cuadrada.

4

BLoquE 4

81

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199

Si 2 está entre 1 y 4, 2 está entre 1 y 4 , es decir,

1< 2< 4

Otro ejemplo, 7 se encuentra entre 4 y 9, 7 está entre 4 y 9, es decir, 7 está entre 2 y 3, 2 < 7< 3.

Completa: 5 se encuentra entre y

29 se encuentra entre y

58 se encuentra entre y

Para saber entre qué números está 22 en un tablero como el de la figura, colocamos en orden 22 fichas empezando por rellenar el cuadrado de lado 1 luego el de lado 2, después el de lado 3 y así hasta quedarnos sin fichas.

En nuestro ejemplo el mayor cuadrado obtenido es de lado 4 y sobraron 6 puntos; no alcanzamos a completar el cuadrado 5, así que 22 está entre 4 y 5, pues 22 está entre los cuadrados de lados 4 y 5, es decir, 22 está entre 16 y 25.

Repite este procedimiento para ver entre qué números se encuentran 14 y 18 .

14 está entre y 18 está entre y


6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

En el cuadrado de lado 1, se colocan 3 más para formar uno de lado 2; para completar uno de lado 3 se le agregan 5, y así sucesivamente hasta aproximarse a la raíz buscada.

1< 2 < 2 2 está entre 1 y 2

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200

En la siguiente tabla tenemos una aproximación a centésimos de las raíces cuadradas de los números del 1 al 10.

Hay varios métodos para calcular raíces cuadradas, explicaremos cómo encontrar la raíz cuadrada por ensayo y error. Para entender bien el proceso empecemos por calcular la raíz cuadrada de 625.

Empecemos con un número del cual conozcamos el cuadrado o que éste sea fácil de obtener. Por ejemplo, cuadrados que conocemos:

102 = 100 202 = 400 302 = 900

Nos damos cuenta de que entre éstos, el cuadrado más cercano a 625 es 400.

Aunque con este método podemos empezar por cualquier número cuyo cuadrado sea menor que 625 es conveniente empezar por 22 para llegar antes al resultado.


n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n 1.00 1.41 1.73 2.00 2.24 2.45 2.65 2.83 3.00 3.16

1. Verificamos si nuestra suposición es buena ha-ciendo la división de 625 entre 22. Si le atinamos a la raíz cuadrada, el cociente será igual al divisor.

2. En este caso, a pesar de que obtuvimos algo distinto a 22, tenemos como cociente 28 y esto nos hace creer que la raíz cuadrada está entre 22 y 28. Tratemos con 25.

3. Ahora podemos ver que el cociente es igual al divisor y comprobar que:

2822 625 –44

185–176

09

2525 625

–50 125–125 0

25 × 25 = 252 = 625

De manera que:

625 = 25

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201 raíz cuadrada y potEncias

12 150

10 150

acTIVIdadES

12.

1. Empecemos con 30, ya que 302= 900 y 402=1 600.

2. El resultado indica que la raíz está entre 30 y 44. Tratemos con 36.

3. Tratemos con 36.5 ya que la raíz está entre 36 y 37.

3736 1344

–108264

–252 12

4430 1344

–1200144–120

024

36.8365 13440

–10952490

–21903000

–2920 0080

Veamos otro ejemplo: hay que encontrar la medida del lado de un cuadrado de área igual a 1 344. La respuesta se dará con un decimal. La raíz cuadrada de 1 344 será el valor del lado buscado.

4. Así podemos decir que una buena aproximación es 36.6 ya que sabemos que la raíz está entre 36.5 y 36.8 por los cálculos anteriores.

Completa para encontrar la aproximación de 150

La raíz está entre 10 y

Efectúa la división hasta obtener dos decimales en el cociente.

La raíz está entre 12 y

Tomemos como una aproximación a 150.

1. En tu cuaderno obtén una aproximación de:

a) 1000 b) 54

2. Encuentra la medida aproximada del lado de un cuadrado cuya área es:

a) 3 000 b) 154

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202

Decimales, raíces y cuadrados

En los números decimales (2.05)2 significa 2.05 × 2.05 = 4.2025. Ahora, 1.69 es un número tal que elevado al cuadrado es igual a 1.69, es decir que ( 1.69 ) ( 1.69 )= 1.69.

Para encontrar la raíz cuadrada de un número decimal, podemos usar la misma técnica que para los números naturales.

Calculemos 1.69.

Recuerda que al elevar un número al cuadrado su significado geo-métrico sería un cuadrado cuyo lado es el número; así que si un número es menor que otro, al elevarlo al cuadrado sigue siendo menor, por ejemplo 0.53 < 0.54, por tanto (0.53)2 < (0.54)2.

Si un número es menor que otro, su raíz cuadrada también será menor. Como 25.032 < 25.12, entonces 25.032 < 25.12.

No es necesario calcular la raíz cuadrada o el cuadrado para saber qué número es mayor.

1. Calcula en tu cuaderno:

a) (32.01)2 b) (1.25)2 c) (51.1)2

2. Calcula en tu cuaderno. Aproxima con dos números decimales.

a) 0.81 b) 10.1 c) 6.25

3. Coloca el símbolo adecuado < o >.

a) 4.81 6.3 b) (2.2)2 (1.4)2


acTIVIdadES

1.Empecemoscon1. 2.Despuéstomamosunnúmeroentre1y1.69,porejemplo1.5

3.Comopuedesver,necesitamoscontinuar,asíqueahoratomamos1.3queestáentre1.1y1.5

4.Comoeldivisoryelcocientesoniguales,en-contramoslarespuesta.

1.115 16.9

01 94

1.69 = (1.3)2

de donde 1.69 = 1.3

1.691 1.69

0 6090

1.313 16.9

390

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203

c) 75.82 75.62 d) (32.12)2 (23.21)2

e) (0.04)2 (0.4)2 f) 0.04 0.4

Potencias Un biólogo logra aislar una célula. Al cabo del primer minuto, hay dos células, al segundo minuto ya hay cuatro células. ¿Cuántas habrá después de 5 minutos?

Observa que a partir del diagrama anterior es fácil predecir que al cabo de 5 minutos, habrá 32 células; basta observar que el número de células en cada minuto transcurrido es una potencia de 2, es decir, 1= 20, 2 = 21, 4 = 22, 8 = 23, 16 = 24, 32 = 25, etcétera.

En el ejemplo de las células:

Al 2 se le llama base y al 5 se le llama exponente. En el cálculo de áreas de cuadrados y volúmenes de cubos aparecen potencias con exponente 2 y 3, respectivamente, llamadas cuadrados y cubos; por ejemplo, el área de un cuadrado de lado l se expresa como l2 y el volumen de un cubo de lado a como a3 .

Si al 2 lo multiplicamos por él mismo n veces, lo escribimos como:

Lo mismo sucede con cualquier otro número:


En suma

En general, la potencia de un número es la multiplicación de éste por sí mismo, tantas veces como indica el exponente.

Cápsula

célula minutos

1 0

2 1

4 2

8 3

25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 5 veces

{

2 × 2 × 2 × … 2 = 2n

n veces

{

(1.5) × (1.5) × …(1.5) = (1.5)n

nveces

{

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204

Indica la multiplicación y calcula el resultado:

a) 34 = =

b) 125 = × … × = veces

c) (3.2)3 = × × =

Para calcular el volumen de un cubo se usa la fórmula:

Volumen = lado × lado × lado = l × l × l = l3

Es decir, la longitud del lado se eleva al cubo; así, para encontrar el volumen de un cubo tenemos que elevar la longitud del lado a la potencia 3.

Calcula el volumen de un cubo cuyo lado tenga longitud 4.7 cm.

volumen =

Ya que para calcular el volumen de un cubo hay que multiplicar la longitud del lado por él mismo tres veces:

¿Cómo crees que podemos encontrar la longitud del lado de un cubo

conociendo su volumen?

27 = 3 × 3 × 3, así que si el volumen de un cubo es 27, la longitud

del lado es

Si el volumen de un cubo es 64, dado que:

64 = × × , la longitud del lado es

Si tenemos que 9 = 32, 3 es la raíz cuadrada de 9.

Si tenemos que 27 = 33, 3 es la raíz cúbica de 27.

Si tenemos que 81 = 34, 3 es la raíz cuarta de 81.

Si tenemos que 243 = 35, 3 es la raíz quinta de 243.


{l

9 = 3

3 27 = 3

4 81 = 35 243 = 3

l

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205

Calcula.

Si 1 024 = 4 , es la raiz de 1 024

Si 343 = 7 , es la raiz de 343

Si = 93, es la raiz de

Si el área de un cuadrado es 124. Calcula la longitud del lado.

Completa la siguiente tabla y contesta las preguntas.

¿Qué número tiene cuarta potencia 10 000?

¿Qué número tiene raíz cúbica 5?

¿Qué número tiene raíz cuadrada 0.5?

¿Qué número es la raíz cúbica de 3.375?

¿Qué número es la raíz cuadrada de 0.25?

¿Qué número es la raíz cúbica de 140.608?

¿Qué número es la raíz cuarta de 50 625?

¿Qué número tiene tercera potencia igual a 8?

¿Qué número tiene segunda potencia igual a 169?

¿Qué número tiene cuarta potencia igual a 5.0625?

¿Cuál es la raíz cuarta de 10 000?

¿Cuál es la raíz quinta de 100 000?

n n2 n3 n4

0.5 0.125

1.5

16

27

16

125

5.2

10 000

144

169

225

En suma

la raíz cúbica de un número a es 3 a , que al elevarlo a la tercera potencia nos da nuevamente a.

la raíz cuarta de un número b es 4 b , que al elevarlo a la cuarta potencia nos da nuevamente b.

Cápsula


( )3 a 3 = a

( )3 27 3 = 27

( )4 b 4 = b

( )4 256 4 = 256

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206

acTIVIdadES

1. Calcula en tu cuaderno lo que se indica; en el caso de las raíces, aproxímalas con dos decimales:

a) 841 b) 484 c) (37)2

d) 88 e) 3452 f) (32.2)2

g) (4.82)3 h) (0.202)4 i) (49)2

j) 225 k) 2197 l) 64

m) 3.375 n) 1728 o) 1000

2. Calcula.

el volumen de un cubo con lado de longitud 31.2

el volumen de un cubo con lado de longitud 50.653

el área de un cuadrado con lado de longitud 22.22

el área de un cuadrado con lado de longitud 73.12

la longitud del lado de un cuadrado con área de 234 cm2, con una aproximación en milímetros.

La longitud de un cubo con volumen 1.728 cm3

La calculadora se inventó para poder hacer las operaciones de manera más rápida y precisa. En tu calculadora localiza la tecla

. Marca un número y luego oprime la tecla , obtendrás la raíz cuadrada del número que marcaste inicialmente. Usa la calcu-ladora para verificar los resultados del ejercicio 2.


4

4

3

3

3

3

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207

Algunas calculadoras tienen la función para elevar un número a una potencia. Dependiendo de la calculadora es la secuencia de teclas que se tiene que usar para encontrar el resultado. Pide a tu maestro que te ayude a descubrir esa secuencia para poder elevar un número a una potencia.

1. Efectúa los siguientes ejercicios con tu equipo.

Calculen la longitud del lado de un cuadrado con área de 10 km2, con una aproximación a metros.

Calculen la longitud del lado de un cuadrado con área de 149m2, con una aproximación a centímetros.

Si un chisme se propaga de manera que el primer día lo conocen 5 personas y el segundo día cada una se lo cuenta a 5 personas distintas y el tercer día cada una de esas personas a 5 y así sucesivamente, indiquen en cuántos días sabrán el chisme al menos 2 millones de personas.

Comparen las parejas de números, escriban cuál es mayor y den una explicación.

a) (0.05)2 y (0.005)2 b) (12.1)2 y (12)2

c) 121 y 133 d) (23.5)3 y (32.3)3


TraBaJO EN EQuIPO

Seriesdecaramelos

Mariana y Pedro se están repartiendo los caramelos de una bolsa con el procedimiento siguiente:

Pedro toma un caramelo, Mariana dos, Pedro tres, Mariana cuatro y así sucesivamente, cada uno toma en su turno uno más que el otro. Mariana es la última en tomar caramelos. En ese momento Mariana tiene 10 caramelos más que Pedro, ¿cuántos caramelos había en la bolsa?

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208

Un arquitecto le pidió a su maestro de obras muestras de celosías con ladrillos cuadrados blancos y ladrillos rectangulares rojos.

Observa las muestras, completa las tablas y contesta las siguientes preguntas.• Diseño 1

¿Cómo se relaciona el número de ladrillos rojos con el de ladrillos blancos?___________________________. Si r denota el número de ladrillos rojos, ¿cuántos ladrillos blancos hay? Si r denota el número de ladrillos rojos y b el número de ladrillos blancos, ¿cuántos ladrillos blancos b hay respecto a los rojos r?_____________________________________________________________________________________________• Diseño 2

¿Cómo se relaciona el número de ladrillos rojos con el de ladrillos blancos?__________________________. Si y representa el número de ladrillos rojos y x el número de ladrillos blancos, escribe una ecuación que relacione x con y. ______________________________________________________

TEMA 3 Relaciones funcionales

Ladrillos rojos 1 2 3 4 20 80 100 Ladrillos blancos

Ladrillos rojos 1 2 3 4 10 20 100 Ladrillos blancos 2 8

BLoquE 4 rElacionEs FuncionalEs

EL MaESTrO dE OBraS

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¿Quién soy yo?

Este es un juego entre dos personas que se alternarán para adivinar la relación que existe entre x y y. El jugador que al primer intento adivine la relación, obtiene 5 puntos; si es al segundo, obtiene 3, y 1 punto si adivina al tercer intento. El jugador que tenga más puntos después de cinco turnos es el ganador.

El primer jugador elige una relación de un solo tipo:

Por ejemplo: y = x + 1, y = 3x + 2, y = 4x, y = 2x + 2.

El segundo jugador solamente sabe el tipo y tiene que adivinar la relación exacta, puede dar máximo 10 valores de x distintos para que le den los valores correspondientes de y.

Por ejemplo:

Se otorga 1 punto más si escribe la relación entre x y y, como y = 3x +1.

A continuación tienes unas funciones que puedes usar en el juego.

Encuentra y escribe la relación entre x y y que produce la tabla adjunta. ______________________________________________________________

Ahora completa la tabla si y = 7x – 8

Observa que todas las relaciones anteriores corresponden a igualdades del tipo y = ax + b donde a y b son ciertos valores; en el ejemplo anterior, y = 7x – 8, se tiene que a = 7 y b = –8.Determina a y b si

2o jugador 1er jugador Conjetura del 2o jugador Respuesta del 1er jugador x = 2 y = 7 Se suma 5 con x Incorrecto x = 0 y = 1 No dice nada No dice nada x = 3 y = 10 No dice nada No dice nada x = 4 y = 13 Multiplicar x por 3 y sumarle 1 Correcto tienes 3 puntos

x 0 3 4 6

y 15 19 23 27

x 0 1 4 6 10

y

y=7x a= b=

y=6x – 4 a= b=

y=2x + 24 a= b=

En suma

Unafunciónesunarelaciónenlacualacadavalordexlecorrespondesólounvalordey.

Cápsula

209RelacionesfUncionales

y = x + a y = ax + b y = ax

y = x y = x – 1 y = 2x + 1 y = 8x –1 y = 12 + x y = 5x

y = 5x – 4 y = 3x – 3 y = 2x + 2 y = x + 1 y = 24 + 2x

P14 209-224.indd 209 10/3/08 18:01:44

210

Las plumas

Escribe la relación entre el precio a pagar representado por y y el precio por cada pluma, 8 pesos, si el número de plumas está representado por x____________________________

¿Cuál será el precio total de 7 plumas? ____________________________

El señor Felipe decidió poner una fabriquita de plumas e hizo un estudio de las máquinas y los costos de producción llegando a las siguientes conclusiones:

El costo de producir plumas incluye la compra de una máquina especial que cuesta $ 4 800; además, para la elaboración de cada pluma se requiere de plásticos, tintas y otros materiales con un costo de $2 por pluma.

Observa que: Costo total = Costo inicial + Costo variable

Costo total de producir 3 plumas = 4 800 + 3 (2) = _________________

Costo total de producir 17 plumas = 4 800 + 17 (2) = _______________

Encuentra el costo total y de producir x plumas. __________________

Calcula el costo total de producir 1 000 plumas. ___________________

Si las plumas se venden en $7 cada una, ¿cuál es la utilidad del productor si vende 1 000 plumas? Observa que:

Utilidad = Precio de venta – Costo total ___________________________

Los refrescos

En una compañía refresquera quieren comprar una máquina de lavado de botellas. Para decidir qué maquinaria comprar, los dirigentes de la compañía observan el funcionamiento de una máquina mientras trabaja y se preguntan: ¿Cuántas botellas lava en una hora?

No pasan ni cinco minutos cuando uno de los dirigentes de la compañía contesta: “Alrededor de 960 botellas”.

¿Cómo crees que lo hizo? ______________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Número de plumas (x)

Precio a pagar (y)

4

161 823

RelacionesfUncionales

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211

Por cierto, cuando los dirigentes llegaron al despacho de ventas de la fábrica donde se producen las máquinas, vieron en la pared una gráfica como la que aparece abajo.

Observa la gráfica, ¿cuántas botellas lava la máquina en 2 h? _________

Completa la tabla.

Si denotamos por x el número de horas y por y el número de botellas lavadas, indica cuál es la relación entre x y y.

______________________________________________________________

Pasó el tiempo y un vendedor les hizo una oferta sobre una máquina usada y una máquina nueva más moderna. Les enseñó la gráfica que aparece a la derecha.

Repasa con rojo la gráfica que creas que represente la máquina usada y con azul la que represente la nueva.

Explica tu elección. ____________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Completa la tabla, correspondiente a la máquina 2.

Si x denota las horas y y el número de botellas, escribe la relación que existe entre x y y para la máquina 1. _____________________________


botellas

horas

2 880

1 920

960

1 2 3

En suma

lagráficadey = kx esunarectaquepasaporelorigen(0,0)yesunafunción lineal.

Cápsula

botellas

horas

1 500

1 000

1 2 3

máquina 1

máquina 2

3

1

2

horas (x) botellas (y) relación entre x y y

3

1

2

horas (x) botellas (y) relación entre x y y

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212

Escribe las tres funciones siguientes. ¿De qué tipo son? ¿Tienen algo en

común al graficar? ¿Qué es? ______________________

La que corresponde a 960 botellas en 1 hora ______________________

La que corresponde a 1 000 botellas en 1 hora _____________________

La que corresponde a 1 500 botellas en 1 hora _____________________

Si y = 3x, k = 3 es la constante de proporcionalidad.

Escribe la constante de proporcionalidad para las siguientes funciones:

y = 8x k = y = 1.5x k =

¿Y las gráficas?

La gráfica de una función se traza sobre el plano cartesiano, que es donde se sitúan los pares ordenados. Empecemos por los pares ordenados de enteros. Un par ordenado de enteros representa un punto en una cuadrícula. Por ejemplo, (+2, –3) corresponde al punto A de la siguiente gráfica.

Se empieza en el 0. El primer número del par indica que se tiene que ir a la derecha si es positivo o a la izquierda si es negativo. El segundo número indica que se tiene que ir hacia arriba si es positivo o hacia abajo si es negativo.

(+2, –3)

2 unidades 3 unidades a la derecha hacia abajo

En suma

enlasigualdadesdeltipoy = kx, krepresentaunnúmeroquesellamaconstante de proporcionalidad.

observaque,locualcoincideconelusodeestetérmino enlaspáginas58,128y162.

Cápsula


–4 –3 –2 –1 +1 +2 +3 +4 +5

+4

+3

+2

+1

–1

–2

–3

–4

0

A

y = k x

P14 209-224.indd 212 10/3/08 18:01:48

213

Así como se pueden representar números decimales sobre una recta, las parejas ordenadas de números decimales representan puntos, como se ve en la siguiente gráfi ca.

Completa.

B = (+1.2, –1)C = ( , )D = (–3 , )E = ( , )

Si un kilogramo de arroz cuesta 2.80 pesos, representamos por y el costo total y por x el número de kilogramos.

Escribe la relación que hay entre x y y ____________________________Indica el valor de y si x es 2: y = ______________

En el sistema de coordenadas coloca el punto que corresponde a x = 2, y dibuja la recta que representa la ecuación anterior.


E

–2

+2.8

+2.5

C

–1

–1

–2

–3D

+1

+1.2 +2.5

+2

B

y

x

2.8

1 2

5.6

y

x

–3

P14 209-224.indd 213 10/3/08 18:01:50

214

El proyector

Para lograr una buena proyección, lo ideal es que la imagen proyectada sea del mismo tamaño que la pantalla, es decir que sea lo más grande posible.

Para que la imagen sea cada vez más grande, ¿hay que acercar o alejar el proyector de la pantalla? ________________________________________

Al hacer las mediciones de la distancia del proyector a la pantalla y del tamaño de la imagen, se obtiene la tabla adjunta.

Copia las cuatro parejas ordenadas que aparecen en la tabla empezando por la distancia y luego por el ancho:(______,______) (______,______) (______,______) (______,______)

En la siguiente gráfica coloca los puntos anteriores y traza la recta que los une.

¿Qué valor corresponde a 1.5?__________ ¿Y a 1.8? __________

Completa con esos valores la tabla anterior.

Si y = –– x, efectúa los siguientes cálculos:

• Si x = 0.3, y = • Si x = 1.5, y =

¿Crees que y = –– x representa la recta que corresponde a los puntos de la tabla? ________ Explica: _____________________________

Nota que, aunque en la gráfica sólo ubicaste las cuatro parejas orde-nadas de la tabla para trazar la recta, ésta se forma por infinidad de puntos, todos los cuales respetan la relación funcional y = –– x.

Distancia en m

Ancho de la imagen

en m

1.2

0.80.3 0.40.60.9 1.2

1.6

1.81.5

43

43


0.3 0.6 0.9

0.4

0.8

1.2

2.5

2.41 2

1

2

3

43

P14 209-224.indd 214 10/3/08 18:01:51

215

Contesta lo siguiente en tu cuaderno.

1. Cristina tiene 3 años menos que Andrés. Si representamos por y la edad de Cristina y por x la edad de Andrés, escribe una relación entre x y y. ¿Qué edad tendrá Cristina cuando Andrés tenga 49 años?

2. En una carrera de autos, un auto corre a 180 km/hora y tarda 3 minutos en dar una vuelta a la pista. ¿Cuántos kilómetros recorrió?Si otro auto va a 360 km/hora, ¿cuánto tardará el auto más rápido en dar una vuelta? Un periodista contesta inmediatamente: “pues tarda un minuto y medio...” ¿Estás de acuerdo? Explícalo.

3. Si en un almacén 2 kg de harina cuestan $6.50, ¿cuánto deberá pagarse por 120 toneladas de harina? (1 tonelada = 1 000 kg).Si y representa el precio total de la harina y x el número de kilos, escribe una relación entre x y y. Represéntalo gráfi camente con una recta.

4. Una persona tiene la presión arterial alta y el médico se la quiere nivelar. El médico sabe que 1 mg de cierta medicina disminuye 1.5 unidades de presión. ¿Qué disminución producirán 10 mg? Si y representa la disminución en la presión y x el número de miligramos que se receta, escribe la relación entre x y y. Si el médico quiere bajar la presión 22.5 unidades, ¿cuántos mg de medicina debe recetar? Representa gráfi camente con una recta esta situación.

5. ¿Es el perímetro de un cuadrado proporcional a la longitud de uno de sus lados? Explícalo. Escribe una relación entre y, el perímetro, y x, la longitud de uno de sus lados.

6. ¿Es el área de un trapecio con altura fi ja proporcional a la base mayor? Contéstalo y explícalo.

7. Busca un recibo de agua. El cobro del agua es proporcional al número de litros que se consumen. Busca en el recibo el costo y el consumo y luego escribe una relación entre y, el costo total, y x, el número de litros que se consumen. Nota que el recibo de agua indica la cantidad de agua consumida en metros cúbicos.

Receta secreta

El betún de un pastel de chocolate es 25% del peso del pastel. ¿En qué porcentaje hay que reducir el betún para que se convierta en 20% del peso del pastel?

aCtIVIDaDES


En suma

lacapacidadsemideenlitrosysetieneque 1litro=1dm3

asíque1000litros=1000dm3=1m3

Cápsula

P14 209-224.indd 215 10/3/08 18:01:54

Propiedades de la circunferencia

TEma 4

El plato

Unos arqueólogos han encontrado un pedazo de un plato circular y lo quieren reconstruir. Para ello, requieren encontrar el centro y el radio. Tratan de crear primero un modelo antes de hacer la reconstrucción definitiva. Discute con tus compañeros de equipo qué harían para ayudar a hacer la reconstrucción.

Construye un círculo de radio 3 cm y centro en el punto C, que se indica a continuación.

Sobre la circunferencia marca dos puntos que tu escojas y denótalos por A y B.

Busca el punto medio de AB y denótalo por M. Traza la recta perpendicular a AB que pase por M, es decir, la mediatriz de AB. ¿Qué observas?

_____________________________

______________________________

Ahora traza un segmento cuyos extremos sean S y T. Traza la mediatriz de ese segmento. Traza un círculo con centro en esa mediatriz y que pase por S y T.

¿Cuántos círculos que pasen por S y T, con centro sobre la mediatriz, puedes trazar?

figURasPlanasyjUstificacióndefóRmUlas

En suma

Uncírculotienelapropiedaddequetodoslospuntosdelacircunferenciaestánalamismadistancia,llamadaradior,deunpuntofijo(O)llamadoel centro.

Cápsula

r

0

En suma

Hayunainfinidaddecírculosquepasanpordospuntosfijos.elcentroseencuentrasobrelamediatriz. Pararecordarelconceptode mediatriz,revisaeltema3delbloque2.

Cápsula

bLOQuE 4

C

S T

C

S T

216

________ Explica: __________________

__________________________________

P14 209-224.indd 216 10/3/08 18:01:57

Después de la actividad anterior, ¿podemos construir el centro de un

círculo que pasa por tres puntos no alineados? _____________________

En efecto, sean E, F y G tres puntos que no están sobre la misma recta. Si buscamos un círculo que pase por E, F y G, ese círculo pasa por E y F, por lo tanto, el centro está sobre la mediatriz de EF. Como pasa por F y G también está sobre la mediatriz de FG. Así, el centro O del círculo que pasa por E, F y G está sobre la mediatriz de EF y de FG, es decir, en la intersección de esas dos rectas. Una vez teniendo el centro del círculo, O, el radio será OE, OF o bien OG, ya que todas esas longitudes son iguales. Traza la mediatriz de EG en la figura.

¿Qué observas? ________________________________________________

______________________________________________________________

Traza un círculo que pase por los puntos A, B y C, primero encuentra el centro O de ese círculo.

Traza un círculo que pase por S y T y que tenga un radio de 2 cm.

Explica los trazos que hiciste para encontrar el centro. ____________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

¿Cuántos círculos puedes trazar con esas especificaciones? ___________

______________________________________________________________

figURasPlanasyjUstificacióndefóRmUlas 217

E

F

G

A

C

B

S T

P14 209-224.indd 217 10/3/08 18:01:57

P á g i n a s i n t R o d U c t o R i a sP á g i n a s i n t R o d U c t o R i a s P á g i n a s i n t R o d U c t o R i a sP á g i n a s i n t R o d U c t o R i a s

Ahora regresa a ayudar a los arqueólogos. Toma tres puntos sobre el borde del plato y busca el centro del círculo que forma el plato;

luego, traza el círculo que representa el plato y decóralo siguiendo los patrones.

Calcula el perímetro del hexágono:

Cada lado mide ________

El perímetro del hexágono es _______________________

Construye dentro de ese círculo un polígono regular de 12 lados. Lo puedes hacer duplicando el número de lados del hexágono que ya está construido. Calcula el perímetro del polígono regular de 12 lados midiendo uno de sus lados y multiplicándolo por 12.

Longitud de un lado _______________ Perímetro __________________

Ahora, con un estambre rodea el círculo para medir su perímetro.

Extiende el estambre y mídelo. La longitud es ________________

Observa que el perímetro del polígono regular de 12 lados que construiste arriba nos da una aproximación a la longitud del estambre.

losgriegostratarondeaproximarlalongituddelacircunferenciaconelperímetrodepolígonosinscritosenél,cadavezconmáslados.


El perímetro

Es importante construir bien los círculos, pues ya hemos visto que son la base para construir polígonos regulares.

Traza un círculo de radio 3.5 cm y centro O. Después, traza un hexágono regular cuyos vértices estén sobre el círculo.

218

O

P14 209-224.indd 218 10/3/08 18:01:59


Si conocemos la longitud de la circunferencia en centímetros y sabemos que el radio del círculo es 3.5 cm, por lo que su diámetro es 7 cm, calcula:

Busca otros círculos a tu alrededor, por ejemplo, la tapa de un frasco, y haz el mismo procedimiento. Con ayuda de un estambre mide la longitud de la circunferencia y luego con una regla mide el diámetro y calcula:

Ahora puedes repetir la actividad anterior con un plato que tenga forma de círculo y calcular nuevamente:

¿Cómo son los tres resultados que acabas de calcular? ______________

un número consentido

En el tema 2, bloque 2, Sofía realizó un experimento con un lápiz dejándolo caer y contando el número de veces que tocó una de las líneas que marcó. Retomen los resultados que obtuvieron al lanzar 100 veces el lápiz y júntenlos con otros tres grupos para tener entre todos 300 lanzamientos. Calculen el siguiente cociente.

¿Cuánto obtienes? _____________________________________________

Compara este resultado con los obtenidos al dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro.

Una rueda al dar una vuelta completa recorre exactamente π veces su diámetro:

Para los cálculos que efectuaremos aquí es sufi ciente tomar la aproximación π=3.14. Este número se usa para calcular la circunferencia de un círculo de la manera siguiente:

circunferencia = 2π × radio = π × diámetro

7longitud circunferencia

diámetro= =

longitud circunferenciadiámetro

longitud circunferenciadiámetro

dos veces el número de lanzamientosnúmero de veces que el lápiz toca una línea

enlaépocadelosbabiloniossesabíaque,aldarunavueltacompleta,unaruedarecorreunpocomásde3veceslalongituddesudiámetro,independientementedeltamañodelarueda.estevalorseconoceahoracomoelnúmeropi:π,ytalvezeslaconstantematemáticamásfamosa.

diámetro

1 2 3

π = 3.1415926535...

219figURasPlanasyjUstificacióndefóRmUlas

__________

__________

______________

= =

= =

P14 209-224.indd 219 10/3/08 18:02:01


Observa la llanta. Calcula cuánto recorre con una rotación completa.¿Cuánto mide el diámetro? _____________

La distancia recorrida será la circunferencia.

Calcula la circunferencia _______________________

Calcula la circunferencia de la mesa redonda

cuyas medidas aparecen en la fi gura. __________

__________________________________________

Calcula la circunferencia de un pastel de 22 cm

de diámetro. _________________________________

La circunferencia de la Tierra es de 40 066.4 km. Se quiere poner una línea eléctrica alrededor del ecuador a una distancia de 1 km de la Tierra como si fuera un anillo de la forma que se muestra en la fi gura. ¿Cuánto cable será necesario? _____________________________

_____________________________________________________________

Compara la cantidad de cable con la circunferencia de la Tierra, ¿qué observas si divides esa cantidad entre 2?_____________________________________________________________

Si el radio aumenta 1 unidad, ¿cuál es la diferencia entre la circunferencia antes y después de aumentar el radio? ______________

Si el radio aumenta 2 unidades, ¿cuál es la diferencia entre la circunferencia antes y después de aumentar el radio? __________________

Si el radio de un círculo aumenta k unidades, ¿qué puedes decir de la circunferencia del nuevo círculo? _______________________

Los egipcios, un cálculo del espacio al plano

En el segundo papiro egipcio, el papiro de Moscú, encontramos el siguiente procedimiento para calcular la superfi cie de media esfera y, sobre todo, un maravilloso ejemplo que ilustra bastante bien la forma en que se hacían las matemáticas en una época donde la notación algebraica estaba todavía muy lejos de ser implantada.

Debido a esto es difícil seguir el razonamiento que ahí aparece, pero observando el papiro podrás descubrir números y fracciones que se estudiaron en el tema 1, bloque 1.

220 figURasPlanasyjUstificacióndefóRmUlas

1.40m

35cm

18cm

P14 209-224.indd 220 10/3/08 18:02:06

P á g i n a s i n t R o d U c t o R i a sP á g i n a s i n t R o d U c t o R i a s221

P á g i n a s i n t R o d U c t o R i a sP á g i n a s i n t R o d U c t o R i a s

3+19

127

181+ +

78.53.14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14


A = 2d 2 89

2

péndulo hacha

1

2

89

81

Si en aquella época hubieran conocido la notación algebraica, diríamos que los egipcios calculaban la superficie de la mitad de una esfera

como

Actualmente se calcula con A = 2d2 (π2), así, ellos tomaban π como

Lo anterior se indica en los jeroglíficos de la derecha en donde calculan

el valor aproximado de π como . Recuerda que los egip-

cios escribían las fracciones con 1 en el numerador (consulta la página

70). Así que, resolviendo la suma de fracciones, su aproximación a π se

escribe como 3 que nos da, redondeando a milésimas, 3._________

La diferencia entre ese número y el valor que tomamos para π, 3.1416

es de ___________ diezmilésimos. El valor usado por los egipcios para π

es muy cercano al que utilizamos 4 000 años después.

En el siglo xviii Georges Louis Leclerc, conde de Buffon, también obtuvo una aproximación al valor de π con un experimento similar al que realizaste en la página 87.

En la actualidad se calcula el área de un círculo con la fórmula A=πr2 y, como tomamos la aproximación π=3.14, el área de un círculo de radio 1 será A = π(1)2 = π = 3.14

Un círculo de radio 2 tendrá área: A = _______________

Así que el área del anillo entre los círculos de radio 2 y 1, de color azul en la figura será A = __________ – 3.14 = ________

También se usan ecuaciones, por ejemplo, para calcular el radio de un círculo con área 78.5, pues como A = 3.14r2, se tiene 78.5 = 3.14r2

o bien r2 = = ________ de donde r= _______

Leonardo

Leonardo da Vinci (1452-1519) se concentró en calcular áreas de regiones curvilíneas como el péndulo o el hacha que aparecen a continuación, los cuales se construyen de manera sencilla tomando como centros los puntos que aparecen marcados.

P14 209-224.indd 221 10/3/08 18:02:07

222

Los arcos que forman las fi guras anteriores tienen radio 1. Con tu equipo de trabajo trata de contestar las siguientes preguntas.

¿Cómo calcularían el área del péndulo? ___________________________

______________________________________________________________

¿Cuánto obtienen? _____________________________________________

Es sorprendente que ambas fi guras tengan un área igual. Observa lo que hizo Leonardo para calcular el área del hacha.

Termina los trazos para indicar lo que hizo Leonardo para calcular el área del péndulo.

• Calculen el área de cada uno de los sectores que se indica:

Comparen el área de b) y a), c) y a), d) y a).

• Construyan en una hoja de papel cuatro círculos de diámetro 10 cm que sean tangentes 2 a 2 como se muestra en la fi gura.Recorten y reacomoden el jarrón en rojo, usando el método de Leonardo, para ver que su área es la misma que la de un cuadrado.Prueben que el área del jarrón es 100 cm2.

Como reto traten de hacerlo cortando el jarrón en sólo tres pasos.

tRaBaJo EN EQUIpo

2 2 22

60°

a) b) c) d)

2 2 22

60°

a) b) c) d)


2 2 2 2

60o

a) b) c) d)

En suma

doscírculossontangentessitienenunúnicopuntoencomún.

círculostangentesexteriormente

círculostangentesinteriormente

Cápsula

En suma

Unsector circulareslaporcióncomprendidaentreunarcodecircunferenciaylosdosradiosquedeterminanesearco.enlaspáginas182-184sehanusadosectorescircularespararepresentarporcentajes.

sectorcircular

Cápsula

P14 209-224.indd 222 10/3/08 18:02:12

223

1. Un autódromo está formado por dos semicírculos y un rectángulo como se observa en la fi gura. El carril interno va pegado a la parte verde y el externo está marcado en rojo.

Calcula la longitud que se recorre al conducir por el carril interno y la que se recorre al conducir por el carril externo. ____________________________________________________________________________________Cuántos metros más se recorren por el carril externo con respecto al recorrido por el carril interno. ___________________________

2. Calcula el área de la parte sombreada.

3. Calcula el radio de los siguientes círculos.

aCtIVIDaDES

5

2

5

2

50.24

25 m

25 m 25 m

25 m

300 m

150 m

37.68La distribución

En el interior de un cuadrado de 11 11, Pablo dibujó un rectángulo y prolongando sus lados dividió al cuadrado en 5 rectángulos, como lo muestra la fi gura.

Sofía hizo lo mismo, pero además logró que las longitudes de los 5 rectángulos fueran números enteros entre 1 y 10, todos distintos. Dibuja en tu cuaderno una fi gura como la que hizo Sofía.


5

2

5

2

50.24

25 m

25 m 25 m

25 m

300 m

150 m

37.68

a) b)

5

2

5

2

50.24

25 m

25 m 25 m

25 m

300 m

150 m

37.68Área

circunferencia

5

2

5

2

50.24

25 m

25 m 25 m

25 m

300 m

150 m

37.68a) b)

P14 209-224.indd 223 10/3/08 18:02:15

224

Al explorar el cielo, aún quedan muchas incógnitas que no se han

podido explicar: ¿Pudo ser el azar el que se ocupó de nuestra exis-

tencia en la galaxia? La teoría de la probabilidad ofrece una solución

aproximada para fenómenos de los que no podemos tener certeza.

bLOQuE 5

P14 209-224.indd 224 10/3/08 18:02:26

225 225


1. Resuelvan problemas aditivos que implican el uso de números con signo.

2. Expliquen las razones por las cuales dos situaciones de azar son equiprobables o no equiprobables.

3. Resuelvan problemas que implican una relación inversamente proporcional entre dos conjuntos de cantidades.

4. Resuelvan problemas que impliquen interpretar las medidas de tendencia central.

Pliego 15 225-240.indd 225 10/3/08 18:04:06

BLOQUE 5

DE NUEVO LA GEOMETRÍA

La recta numérica puede ser útil para sumar y restar números enteros. Por ejemplo, si se quieren sumar los números 4 y –2, siempre se empieza en el 0 de la recta numérica; luego se caminan 4 unidades a la derecha (+4) y de ahí se caminan 2 unidades a la izquierda (–2).

Dibuja estas caminatas en la recta numérica. ¿Dónde termina el

recorrido?

Para cada una de las siguientes caminatas, indica dónde terminan. Ayúdate de la recta numérica.

Completa las siguientes oraciones:

Dos caminatas hacia la derecha es lo mismo que una caminata larga

hacia la

Dos caminatas hacia la izquierda es lo mismo que una caminata

larga hacia la

Números positivos y números negativos

TEMA 1

a) +5 seguida de –4 + =

b) +6 seguida de –10 + =

c) +10 seguida de –10 + =

d) –5 seguida de +8 + =

e) –1 seguida de –2 + =

f) +3 seguida de +4 + =

Una caminata de: Termina en: Operación

En suma

Las caminatas representan sumas de números enteros. Por ejemplo, la caminata de + 4 seguida de –2 representa la suma: (+4) + (–2) = +2

Cápsula

–6 –5 –4 –3 2 –1 0 1 2 3 4 5 6

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO226

Pliego 15 225-240.indd 226 10/3/08 18:04:13

227ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO

Calcula las siguientes sumas:

a) (–6) + (+2) = b) (+8) + (–10) = c) (–2) + (+6) =

d) (+5) + (–3) = e) (–7) + (+1) = f) (+9) + (–3) =

¿Qué ejercicios tienen un resultado positivo?

¿En qué ejercicios el resultado es negativo?

¿Cuál es la caminata más larga en los incisos anteriores?

Se pueden usar caminatas para ilustrar la resta de números enteros.

Por ejemplo, se quiere restar +6 de –3 es decir –3 – (+6): Se em-pieza en 0, como siempre; se avanzan 3 unidades a la izquierda (–3) y después 6 unidades a la izquierda (en dirección contraria al signo de la segunda caminata, pues se está restando). Esta resta se expresa así: (–3) – (+6) = (–3) + (–6) = – 9En la recta numérica se ilustra de la siguiente manera:

–6 se suma el opuesto a + 6– 3 – (+6) = – 9

Una cajera tiene $1 000 en su caja. Primero llega una persona a ingresar $ 852 y luego llega otra y retira $1 340. ¿Cuánto dinero tiene la caja?

Calcula el monto que tiene la cajera al recibir el primer depósito.

+ =

Luego el monto que tiene después del retiro.

+ =

Ahora responde.

La temperatura era – 4°C y en una hora subió 10°C. ¿Cuál es la

temperatura ahora?

En suma

La resta es lo mismo que caminar en dirección contraria.

Cápsula

–10 – 9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

–3

pesos

Pliego 15 225-240.indd 227 10/3/08 18:04:20

228

Partículas cargadas

Hace más de 2 500 años, los griegos afirmaron que la materia esta-ba formada por partículas diminutas llamadas átomos.

Fue hasta el año de 1913 cuando Niels Bohr, físico danés, estableció el modelo clásico del átomo, que indica que está formado por cargas positivas y negativas. Las cargas positivas se encuentran en el núcleo atómico y se les llama protones, mientras que las negativas, los elec-trones, giran alrededor de este núcleo en órbitas estables.

En las fi guras se usan puntos rojos para representar los protones, con car-gas positivas, y puntos verdes para representar los electrones, con cargas negativas. Por ejemplo:

Representa +2 pues si se aparean protones y electrones, anulándose, se obtiene una carga de +2.

De manera análoga se obtiene una carga de –3.

Usando protones y electrones realiza diagramas donde se represente el número que se indica:

Cualquier número entero se puede representar de esta forma.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO

+2

–3

El átomo es la estructura más pequeña de la materia que conserva sus propiedades. Está formado de protones con carga positiva, neutrones sin carga y electrones con carga negativa.

+5

–2

–1

0

1

3

5.1 Escultura Atomium, feria Internacional en Bruselas.

o

o +2

Pliego 15 225-240.indd 228 10/3/08 18:04:24

229

Usando protones y electrones vamos a sumar y restar números enteros. Observa el ejemplo:

Veamos otro ejemplo para representar +4 – (+7) = –3

¿Cómo podrías representar –2 para calcular la diferencia –2 –(+5) usando protones y electrones? Dibújalo y resuelve la operación.

Así se obtiene que –2 – (+5) =

Reglas

Completa con los números que faltan y observa los patrones.

¿Cuándo es positiva la suma de un número entero positivo y un número entero negativo?

¿Cuándo es cero?

¿Cuándo es negativa?

Escribe una regla para sumar un número entero positivo y un número

entero negativo.


En suma

Restar equivale a quitar.

Cápsula

4 + 2 =

4 + 1 =

4 + 0 =

4 + (–1) =

4 + (–2) =

4 + (–3) =

4 + (–4) =

4 + (–5) =

4 + (–6) =

+

se quitan 5

+6 – (+4) = +2+6 – (+4) = +2

se quitan 4

Como no hay 7 protones para quitar, puedes usar

otra representación de +4 añadiendo

+3 + (–3) = 0

se quitan 7=

–3

+4+4

+

0

o

Pliego 15 225-240.indd 229 10/3/08 18:04:29

230

Completa las operaciones del recuadro.

Observa el patrón de las operaciones y escribe una regla para sumar dos números enteros negativos:

Efectúa las siguientes operaciones:

–7 – (+6) = –3 – (+4) =

–2 – (–4) = –5 – (–8) =

–4 – (–1) = –9 – (–3) =

Escribe en tu cuaderno dos problemas que se resuelvan me-diante una operación que sume un entero positivo y un entero negativo.

1. Calcula las siguientes operaciones. Ayúdate de una recta numérica si lo consideras necesario.

¿Encontraste los mismos resultados en cada pareja de operaciones? Explícalo en tu cuaderno.

2. Encuentra las siguientes restas.

3. El 1º de diciembre, Sofía tenía en el banco $ 3 000. Durante ese mes hizo cheques por $1 000, $450, $550, $1 650 y $350, y depósitos por $750, $250 y $4 000.

a) Si un cheque representa un número entero negativo y un depósito representa un número entero positivo, expresa las transacciones como una suma de números positivos y negativos.


ACTIVIDADES

–4 + 2 =

–4 + 1 =

–4 + 0 =

–4 + (–1) =

–4 + (–2) =

–4 + (–3) =

–4 + (–4) =

(+4) – (+3) =

(+4) + (–3) =

(+1) – (–8) =

(+1) + (+8) =

a)

d)

(–7) – (+3) =

(–7) + (–3) =

(+10) – (+5) =

(+10) + (–5) =

b)

e)

(–6) – (–2) =

(–6) + (+2) =

(–5) – (–8) =

(–5) + (+8) =

c)

f)

a)

d)

b)

e)

c)

f)

(+13) – (+7) =

(+48) – (–16) =

(–21) – (–38) =

(+9) – (+11) =

(–35) – (+19) =

(–9) + (+11) =

Pliego 15 225-240.indd 230 10/3/08 18:04:31

231

b) Cuál es el balance al final del mes en la cuenta de banco de Sofía.

4. Un cuadrado es mágico si la suma de los números que aparecen en las casillas de cada línea horizontal es igual a la suma de los números que aparecen en las casillas de cada línea vertical y también a la de los que aparecen en cada diagonal.

Completa el cuadrado para que sea mágico usando los números en-teros: –13, –10, –7, –4, 2, 5, 8, 11


Paréntesis anidados

Si se insertan paréntesis en la expresión 1 – 2 – 3, se obtienen resultados diferentes dependiendo de dónde se coloquen:

(1–2) – 3 = – 1 – 3 = –4o

1 – (2–3) = 1 – (–1) = 1 + 1 = 2 Si insertas tantos paréntesis como quieras en la expresión:

1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6

¿cuántos resultados diferentes puedes obtener?

Los paréntesis pueden estar anidados: 1 – (2 – (3 – (4 – 5)) – 6), pero no pueden poner el paréntesis antes de un signo –, pues eso indicaría otro tipo de operación: 1 – 2 – 3(– 4 – 5 (– 6)).

–1

TRABAJO EN EQUIPO

1. Escriban en el cuaderno una situación que se resuelva:1) Con una resta de un número entero negativo y un número entero

positivo.2) Con una resta de dos números enteros negativos.

2. Completa las siguientes oraciones.

La suma de dos números enteros de distinto signo es positiva

cuando

La suma de dos números enteros de distinto signo es negativa

cuando

La suma de dos números enteros de signo igual es

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232

Áreas y diseños SUPERFICIES

Un campesino ha sembrado alfalfa en un terreno rectangular de 12 por 18 metros. Clavó una estaca en el centro del terreno y amarró a un ca-ballo con una cuerda de 2 metros de largo, como se indica en la fi gura.

El caballo se mueve para comerse la alfalfa mientras está amarrado.

¿Qué fi gura es la parte de alfalfa que se comió el caballo?

______________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué área tiene esa fi gura?

Si hay 2.5 kg de alfalfa por metro cuadrado, ¿qué cantidad de alfalfa

se puede comer el caballo? ¿Cuántos kilogramos de

alfalfa quedan en el terreno para ser cosechados?

Un círculo se inscribe en un cuadrado como se muestra en la fi gura. ¿Qué porcentaje del área del cuadrado está dentro del círculo? Si el área del cuadrado es el total, partimos de que el área del cuadrado

es 1. Así, el lado será 1 y el radio del círculo será .

Calcula el área del círculo ¿Qué porcentaje

es del área del cuadrado?

En un cuadrado de lado 2 se marcan los puntos medios de los lados para formar un cuadrado más pequeño, como se indica en la fi gura. ¿Qué área tiene el cuadrado más pequeño?

Para averiguarlo, basta calcular el área del cuadrado grande y restar el área de los cuatro triángulos que rodean al cuadrado pequeño.

Efectúa los cálculos:

TEMA 2

BLOQUE 5 CÁLCULO DE ÁREAS EN FIGURAS PLANAS

12

1

2

caballo

estaca

cuerda

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233

Una diana tiene cuatro anillos que rodean un círculo. Los círculos tienen radio 1, 2, 3, 4 y 5. Supongamos que un dardo tiene la misma probabilidad de caer en cualquier punto de la diana. ¿La probabilidad de que un dardo lanzado al azar caiga en el anillo exterior es mayor o menor que la probabilidad de que caiga en el círculo del centro?

Veamos cuál es el área total. El radio del círculo

exterior es 5, así que el área total es:

Ahora calcula el área del círculo interior:

La probabilidad de que el dardo caiga en el círculo interior es:

área círculo interior ÷ área total = =

Ahora calcula el área del anillo exterior.

Luego la probabilidad de que caiga en ese anillo es:

El Talmud es considerado como el libro que reúne las leyes y cos-tumbres judías. En uno de los diversos comentarios que se han hecho acerca de él (Tosfos Succah, Tosfos Pesachim, Marsha Babba Bathra), se presenta una bella aproximación a la fórmula A = πr2 para el área de un círculo. Imagina que el interior de un círculo de radio r se cubre por círculos concéntricos de lana. Cortando esos círculos de lana con una línea vertical que siga un radio, cada pe-dazo se puede estirar para armar con ellos un triángulo isósceles. De esa manera se puede calcular el área del triángulo que será igual a la del círculo.

¿Cuánto mide la longitud de la base?

¿Por qué?

¿Cuánto mide la altura del triángulo? ¿Cuál es el área

del triángulo? ¿Cuál es la fórmula para el área del

círculo? ¿Tienen algo en común las dos fórmulas?

CÁLCULO DE ÁREAS EN FIGURAS PLANAS

Radio r

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234

La región coloreada de la figura (A) está formada por dos arcos de círculo centrados en los vértices opuestos de un cuadrado de lado 1. ¿Cuánto mide el área de la región coloreada?

Observa que para calcular el área coloreada basta hallar el área del cuadrado y restarle el área que no está coloreada. Para esto tracemos los arcos por partes.

Al trazar el primer arco observamos que el área E es igual a la parte no coloreada marcada con I.

Podemos calcular el área de E tomando el área del cuadrado y

restando del área de un círculo de radio 1.

Área E = área del cuadrado – del área del círculo de radio 1.

El área del cuadrado es: El área del círculo es:

El área E es: Por tanto, el área no coloreada que queríamos

hallar es: _________________________________

1. Esta fi gura se parece al símbolo del Ying-Yang, y está formada por dos círculos de radio 1. Calcula el área de la región sombreada.

2. Calcula el área de la región coloreada.

a) b)

3. Calcula el área de la figura.


14

14

ACTIVIDADES

1 1

2

4

2

1

1

A

I

E

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235

4. Encuentra el área de los tres triángulos A, B y C.

a) Los lados del triángulo B son dos veces más largos que

los del triángulo A. ¿Cuál es la razón, , de las áreas

de los triángulos?

b) La escala del triángulo A al C es 3. ¿Cuál es la razón de

las áreas, ?

5. Un muro se cubre con un patrón de 15 círculos como en la fi gura. Si se lanza un dardo a la pared, ¿cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en un punto que no esté cubierto por un círculo?

6. Dentro de un cuadrado con centro en los puntos medios de los lados, se trazan cuatro semicírculos como se muestra en la fi gura. ¿Cuál es el área de la región azul?

1. Dos regiones A y B son recortadas en cartoncillo. Supongamos que el área de la región A es 20 cm2 más grande que el área de la región B. Si las regiones se traslapan, ¿por cuánto excede el área de la parte que no se traslapa de la región A al área de la parte que no se traslapa que corresponde a la región B? Expliquen con detalle.

2. En una estancia de 10 × 12 m se quiere poner mosaicos de 10 × 10 cm. ¿Cuántos mosaicos hacen falta?

3. Calculen el área del cuadrilátero que muestra la figura.


área Bárea A

área Cárea A

TRABAJO EN EQUIPO

2560

52

39

Un rompecabezas

En un pedazo de cartoncillo o cartulina, traza un cuadrilátero cualquiera, recórtalo y localiza los puntos medios de cada lado. Une los puntos medios consecutivos para obtener cuatro triángulos T1, T2, T3, T4 y un paralelogramo P.

a) Arma un rompecabezas con los cuatro triángulos para cubrir el paralelogramo P.

b) ¿Cuánto es el área del paralelogramo comparada con el área del cuadrilátero original?

1

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236

TEMA 3 La suerte está echada

UN DADO

Cuando Lucía falló el tiro penal en el partido de campeonato, argumentó que le había sucedido algo muy raro: tuvo un espasmo muscular que la obligó a patear la pelota hacia fuera. ¿Cómo sabe Lucía que eso es raro y cómo se puede medir?

Por muchos años, la probabilidad se utilizó para entender mejor los juegos de apuestas; actualmente, es el pilar de todas las cien-cias e incluso puede medir qué tan frecuentes son los espasmos musculares.

Algunos de los conceptos básicos de la probabilidad se pueden ilustrar mediante juegos de dados.

Un dado es un cubo cuyas caras están marcadas con los números del 1 al 6. Cuando se lanza un dado, es igual de probable, es decir, existen las mismas posibilidades, de que caiga sobre cualquiera de las seis caras del cubo. En este caso, decimos que la probabilidad de que salga algún número es la misma para cualquiera de los números que aparecen en cada cara del dado.

Por ejemplo, como hay 6 caras y un número en cada cara, la

probabilidad de sacar un 3 es de , lo que se expresa con símbolos

como P(3) = . Así tenemos la conocida fórmula:

Probabilidad de un evento =

Con esta fórmula vamos a calcular algunas probabilidades.

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar un

dado? Como entre 1 y 6 los pares son ____ , ____, ____ hay

casos favorables.

Probabilidad (P pares) =

16

16

número de casos favorablesnúmero total de casos

La rama de las matemáticas llamada teoría de la probabilidad tiene sus orígenes en el siglo XVI cuando un médico y matemático, Jerónimo Cardano, escribió el primer libro acerca de esta materia.

BLOQUE 5 EQUIPROBABILIDAD Y JUEGOS DE AZAR JUSTOS

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237

La probabilidad se ha definido como una fracción y se puede re-ducir, entonces:

P(pares) =

¿Cuál es la probabilidad de que salga un número impar?

¿Y de que salga un 7? ¿Cuál es la probabilidad de

que salga un número menor que 10?

Uno de los dos eventos anteriores tiene probabilidad cero y el otro

probabilidad uno. ¿Cuál de los dos eventos anteriores es imposible?

¿Cuál es seguro?

Observa que si el dado se tira 30 veces y la probabilidad de que salga

un 3 en una tirada es , entonces se estima que el número de veces

que saldrá un 3 durante 30 tiradas será: 30 × = = 5

Si se hace una estimación como la anterior, ¿cuántas veces saldrá un

número impar en 100 tiradas?

Estima cuántas veces saldrá un número menor o igual que 2 en 300

tiradas.

Dos dados

Cuando se usan dos dados en vez de uno, podemos contar las po-sibilidades totales para combinar las seis caras de un dado con las seis del otro:

Así, se tienen 6 × 6 = 36 distintas posibilidades.

Si sumáramos los números que se obtienen al lanzar los dados, el número más pequeño que puede salir es el 2 y el número más grande es el 12.

¿Cuál es la posibilidad de que salga 2 al sumar el resultado de los

dos dados? ¿Cuál es la probabilidad de que salga 12 al

sumar el resultado de los dos dados?

Federico le propone un juego a Pablo indicándole que los posibles resultados al lanzar dos dados son los números que van del 2 al 12. Él gana si salen los números 2, 3, 4, 10, 11 o 12. Pablo gana si salen los otros números, es decir, 5, 6, 7, 8 o 9.

Pablo tiene la impresión de que el juego no es justo, pues no tiene la misma cantidad de números que Federico. Federico tiene 6 de los 11 resultados posibles y Pablo tiene 5 de los 11 resultados posibles.

EQUIPROBABILIDAD Y JUEGOS DE AZAR JUSTOS

16

306

16

1

Dado 1 Dado 2 Suma123456

2

123456

3

123456

4

123456

5

123456

6

123456

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238 EQUIPROBABILIDAD Y JUEGOS DE AZAR JUSTOS

4

4

4

7

7

7

7

7

7

¿Crees que alguno de los dos tiene mayores probabilidades de ganar

si juegan largo tiempo? ¿Quién?

¿Por qué?

Finalmente, Pablo aceptó el juego porque se dio cuenta de que Federico había escogido dos números que sólo salían de una manera: el 2, con 1 en un dado y 1 en el otro, y el 12, con 6 en un dado y 6 en el otro.

Escribe todas las combinaciones posibles para obtener 7 con los dos dados. Para esto, escribe en rojo lo que sale en el primer dado y en azul lo que sale en el segundo dado. Por ejemplo, para 4 te-nemos las siguientes posibilidades:

4: 1, 3 2, 2 3, 1

Así que hay 3 posibilidades de obtener un 4. Observa que 2, 2 es lo mismo que 2, 2.

Ahora escribe las posibilidades para obtener:

7:

¿Cuál es la probabilidad de que salga 7?

¿Qué es más probable que salga, un 4 o un 7?

Los eventos “que salga 4” o “que salga 7” no son equiprobables, es decir, no tienen la misma probabilidad de ocurrir, ya que la probabilidad de que salga 4 es menor a la de que salga 7.

En la siguiente tabla hemos colocado todas las posibilidades de un dado rojo, de 1 a 6, y las de un dado verde, de 1 a 6. Completa los resultados que se pueden obtener al sumar el número de cada una de las caras al tirar los dos dados.

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239

Ahora es fácil calcular la probabilidad de que salga 11:

Calcula la probabilidad de que salga 2, 3, 4, 10, 11 o 12:

Calcula la probabilidad de que salga 5, 6, 7, 8 o 9:

Ahora contesta: ¿Quién tiene más posibilidades de ganar, Pablo o

Federico? ¿Por qué?

Los eventos de Federico y Pablo no son equiprobables, por lo que no es un juego justo.

¿Es justo?

Ahora vamos a usar un dado como el de la figura.

De forma similar a las cuentas hechas con el dado anterior, calcula la probabilidad de obtener un número impar usando este dado.

P(impar) =

Compara este resultado con el del caso de un dado normal.

Si jugaras con el dado de la fi gura, ¿qué escogerías, ganar cuando sale

un impar o cuando sale un par? ¿Por qué?

Cuando usamos el dado normal, la probabilidad de sacar 2 era:

P(2)= ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 con este nuevo

dado? Si vas a jugar con este dado, ¿qué número esco-

gerías para tener mayor probabilidad de ganar? ¿Crees

que el nuevo dado es un dado justo? ¿Por qué?

¿Crees que sería justo que si sale 2 te ganes una fi cha y si sale 6

pagues 3 fichas? ¿Por qué?

¿Cómo crees que sería justo jugar a pares e impares con este nuevo

dado?

¿Cuánto ganarías si sale par y cuánto pagarías si sale impar?

¿Por qué?


P (11) =

P (2, 3, 4, 10, 11, 12) =

P (5, 6, 7, 8, 9) =

36

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240

La ruleta

Una ruleta americana cuenta con 38 compartimentos alrededor de su circunferencia. Tiene los números del 1 al 36, de los cuales la mitad están coloreados en negro y la otra mitad en rojo. Además, tiene dos números, el 0 y el 00, coloreados en verde.

Mientras la ruleta da vueltas en una dirección, se lanza una bolita en dirección opuesta. Si la ruleta está bien equilibrada y es justa, la probabilidad de que la bolita caiga en alguno de los compartimentos es la misma para los 38 compartimentos. ¿Cuál es la probabilidad de

que salga 8 en un lanzamiento? ¿Cuál es la probabilidad

de que salga 0 o 00?

Al jugar a la ruleta, se puede apostar por el rojo o por el negro, si eliges el rojo y sale rojo, te ganas una fi cha. Lo mismo si juegas una fi cha en negro y sale negro. Si sale verde o el color opuesto al que colocas-te tu fi cha, pagas una fi cha. ¿Crees que es justo? ¿Por qué?

____________________________________________________________

Calcula la probabilidad de que salga un número rojo y la de que

salga un número negro:

El juego en el casino no es justo, pues no se tienen la mitad de las posibilidades de que salga rojo o de que salga negro, el casino tiene siempre dos números con los que gana, 0 y 00. ¿Qué ruleta usarías para que el juego a rojo y negro fuese justo?

1. Una señora muy distraída escribió 3 cartas dirigidas a 3 personas distintas. Por otro lado, puso la dirección de esas personas en 3 so-bres. Luego puso las cartas sin fi jarse si a cada una le correspondía su sobre.Encuentra la probabilidad de que:a) Una o más de una de las cartas estén en el sobre adecuado.b) Exactamente una carta esté en el sobre adecuado.c) Exactamente una carta esté en el sobre equivocado.

Una manera ordenada de resolver este problema es representando con A, B y C los sobres y las cartas por a, b y c.

Completa la tabla donde están todas las posibilidades de colocar las cartas en los sobres.


ACTIVIDADES

1. a b c

2. a c b

3.

4.

5.

6.

A B C

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241

2. En un dado justo con seis números, ¿cuál es la probabilidad de

que no salga un 2?

3. Lucía se informó y hay 1 posibilidad en 10 000 000 de que le dé un

espasmo muscular al patear un penalti. ¿Cuál es la probabilidad de

que no le dé el espasmo?

4. Usando dos dados justos con seis números del 1 al 6 cada uno,

¿crees que sería justo que un jugador gane con los números pares

y el otro con los impares? ¿Qué escogerías, pares (2, 4, 6, 8, 10,

12) o impares (3, 5, 7, 9, 11)? Explica.

5. Usando dos dados justos del 1 al 6 cada uno, ¿crees que sería

justo que un jugador gane cuando la suma sea 3, 5, 7 u 11 y otro

cuando la suma sea 2, 4, 6, 8, 9, 10 o 12? ¿Qué escogerías tú?

Explica.

eQuiproBaBilidad y JuegoS de aZar JuStoS

Losdadosdelasuerte

Un matemático de la Universidad de Stanford, Bradley Efron, diseñó el siguiente conjunto de dados no usuales. Están planeados de tal manera que si una persona escoge un dado y lo lanza, otra persona puede escoger otro de los dados y saber que al lanzarlo dos tercios de las veces obtendrá un número mayor que el que obtuvo la primera persona.

¿Qué dado escogerías si yo elijo el dado A?

¿Y si elijo el B? ¿Y si elijo el C?

¿Y si elijo el D?

Explica tus razones.

A B

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242

Descartes

Uno de los problemas que interesó a René Descartes, inventor de la geometría analítica, fue el planteado por el matemático griego Zenón, sobre un modelo de cómo corrían Aquiles y la tortuga.

Descartes representaba con una recta el movimiento de Aquiles y el de la tortuga, ya que ambos corrían a una velocidad constante.

La tortuga corría a 50 metros por minuto, es decir, que por cada minuto recorría una distancia de 50 metros.

Completa la tabla.

Si tomas alguna de las distancias de la tabla, por ejemplo 150, y la divides entre el tiempo correspondiente, en este caso 3, obtienes la velocidad.

En este caso, = 50

Analiza el caso de 250. =

Calcula el caso de 200. =

Ahora, si d representa la distancia recorrida por la tortuga en un

tiempo t, indica el valor de = 50 o d = t

Proporcional y al revés TEMA 4

SituacioneS de proporcionalidad directa e inverSa242 BloquE 5

0 1 2 3 4 5

0 50 150

Tiempo en minutos

Distancia en metros

puedes saber más acerca de este problema en la página http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/rincon-c/curiosid/rc-64/rc-64.htm

1503

250

200

Aquilestortuga

dt

50m

5.2 rené descartes, inventor de la geometria analítica (grabado del año 1596).

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243

Con los valores de la tabla se pueden marcar puntos en la siguiente gráfi ca colocando t sobre el eje horizontal y d sobre el eje vertical. Une los puntos con una regla.

En la gráfica, busca el punto que corresponde al tiempo de 2 mi-

nutos e indica la distancia que, según la gráfica, recorrió la tortuga:

¿Cómo podrías verificar que la lectura que haces en la gráfica es

correcta?

Aquiles corre seis veces más rápido que la tortuga, es decir, a 300

metros por minuto, así tenemos que = o d = t

Completa la tabla.

Haz una gráfi ca que represente la distancia recorrida por Aquiles.

Tanto el movimiento de la tortuga como el de Aquiles se modelan

por medio de relaciones proporcionales; en un caso = 50 y en el

otro = 300, o bien, d = 50t, y d = 300t.

SituacioneS de proporcionalidad directa e inverSa

12

dt

t

d

0 1 2 3 4 5

0 300

dt

dt

250

1 2 3 4 5

200

150

100

50

0

d

t

0 1 2 3 4 5

300

600

900

1 200

1 500

Pliego 16 241-256.indd 243 10/3/08 18:05:57

244

Cuando se tiene un cociente igual a una constante se dice que la relación es proporcional directa. A la constante se le llama cons-tante de proporcionalidad. Esta situación es equivalente a tener una variable (d) que es igual a una constante multiplicada por otra variable (t).

Indica cuáles de las siguientes son relaciones proporcionales directas. Enciérralas.

1) d = 35t + 3 2) d = 28t 3) = 4

4) = 3 5) xy = 5 6) dt =

El círculo

Escribe la fórmula de la longitud de una circunferencia:

Observa que la longitud de la circunferencia entre el diámetro es una constante: 3.14. Recuerda lo que viste en la página 219.

Haz una tabla de valores y una gráfica donde representes la longitud de la circunferencia respecto al diámetro.

la temperatura

La relación entre la temperatura en grados Celsius (°C) y en grados

Fahrenheit (°F) viene dada por la siguiente fórmula: °F = °C + 32

¿Es ésta una relación proporcional directa?

Observa que si °C = 0, entonces °F = (0) + 32 = 32.


yx + 2

12

xy

C =

95

95

–20

–10 14

0 32

10

20

30

40

°Celsius °Fahrenheit

9.42

diámetro circunferencia

0

3.14

2

2.5

circunferencia

diámetro

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245

Calcula los valores que faltan en la tabla y luego colócalos en la siguiente gráfica. Únelos con una regla.

¿Qué representa la gráfica?

¿Pasa por el punto (0, 0)?

El equilibrio

Gran cantidad de aparatos utilizan el equilibrio para poder trabajar adecuadamente; por ejemplo, los viejos tocadiscos que usaban un brazo con una aguja, una grúa de construcción, un sube y baja o una balanza.

Vamos a construir un mecanismo que emplea el mismo principio de equilibrio. Consigue una regla de madera de 30 cm y en el centímetro 15 haz un hoyo con un clavo; pasa un hilo por el hoyo y cuelga la regla.

Con una lima para uñas, marca la línea de cada centímetro como indica la figura.

Ten a la mano unos 15 clips, que usarás como pesas. El lado que va del centímetro 1 al 15 se llamará lado A; el otro se llamará lado B. Esta actividad consiste en ir colocando distintos números de clips a ambos lados de la regla hasta lograr que se alcance el equilibrio. Nota que dependiendo de la cantidad de clips que usemos, éstos deberán estar a diferentes distancias del centro de la regla (centí-metro 15). Empecemos colocando dos clips en el centímetro 27, es decir, a 12 cm del centro.

¿A qué distancia del centro habrá que colgar otros dos clips para

que la regla esté equilibrada?


En suma

para que una relación sea proporcional directa, es necesario que la gráfi ca represente una recta que pase por el punto (0, 0).

Cápsula90

60

30

–20 –10 10 20 30 40

¿A qué distancia del centro habrá que colgar otros dos clips para

Pliego 16 241-256.indd 245 10/3/08 18:06:01

246

Luego, aumentemos un clip en el lado B de la regla. ¿A qué distancia se tendrán que colgar 3 clips para que los pesos estén balanceados; es decir, dos en el lado A y tres en el B?

Completa la tabla, ubica en la gráfica las parejas (peso, distancia) y conecta estos puntos.

Observa que si multiplicamos los valores del lado B se obtiene2 12 = 24, 3 8 = 24 ..., 12 2 = 24

¿En general si multiplicamos xy que obtienes?

Es decir que tenemos xy =

O bien algo equivalente es y =

De manera que la curva que acabas de dibujar es del tipo y = ,

que es una función de proporcionalidad inversa, donde k es la constante de proporcionalidad.

Si tomamos un punto por el cual pasa la gráfica, por ejemplo (2, 12), y sustituimos en la función de proporcionalidad inversa, tenemos que

12 = y la constante de proporcionalidad es: k = 12(2) = 24

Completa las siguientes tablas.


k2

kx

Peso Distancia(número de clips) del centro

2 12

3 8

4

6 4

8

12

x y

Lado B

distancia

0 peso

LADOA

Peso Distancia Pesopordistancia

2 12

2 12

2 12

2 12

2 12

2 12

LADOB

Peso Distancia Pesopordistancia

2

3

4

6

8 3 24

12

x

Pliego 16 241-256.indd 246 10/3/08 18:06:03

247

Como la regla está balanceada, el producto peso distancia es el mismo cada vez en ambos lados, es decir, 24. De aquí que yx = 24

y entonces y = para x > 0.

Ahora se va a graficar la función y = . En esta relación hay que

excluir un valor, puesto que en ese punto no se puede hacer la di-

visión. ¿Cuál es este valor?

¿Qué sucede con esta función “cerca” del 0? Para números muy próximos al 0, tenemos los valores en la tabla de la derecha.

Observa que a medida que la x se acerca a 0, los valores de la función se hacen más y más grandes. Por la izquierda (valores negativos de x) se hacen cada vez mayores con signo negativo y por la derecha (valores positivos de x) se hacen grandes con signo positivo.


24 x

1x

la división entre 0 no está definida.

–1 –2 ? 2 112

–1x

23

– 23

13

x –2 –1 0 1 332

–12

32

12

–

x1x

0.1 10

0.01 100

0.001 1 000

–0.01 –100

–0.001 –1 000

–0.0001 –10 000

1

–1

–1

1

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248

El rectángulo

El área de un rectángulo es de 360 m2.

Indica cuáles podrían ser las longitudes de sus lados:

Explica cómo las encontraste.

Completa la tabla donde en la columna x se indica una de las lon-gitudes del rectángulo y en la columna y, la otra longitud.

Se tiene una función del tipo y= .

Determina el valor de :

las ciruelas

Un ciclista lleva 48 ciruelas para evitar el desfallecimiento durante la etapa que se dispone a correr. Está pensando qué cantidad de ciruelas debe comer cada hora porque de esto dependerá que le duren para más o menos veces.

El número de veces será:

kx

k

x y180

3

4

5

60

36

36

60

¿Cuál fue ahora el procedimiento para encontrar el valor faltante en la tabla?

¿Cuánto vale xy?

¿Cuánto vale y?

Número de ciruelas 48

Número de ciruelas cada vez Número de ciruelas cada vez=

A = 360 m2

x

y


Pliego 16 241-256.indd 248 10/3/08 18:06:11

249

Para entenderlo mejor, completa la siguiente tabla.

Si come 1 ciruela cada vez tiene para veces.

Si come 4 ciruelas cada vez tiene para veces.

Si come ciruelas cada vez tiene para 8 veces.

Si come ciruelas cada vez tiene para 12 veces.

Si multiplicamos el número de ciruelas por el número de veces que

come ciruelas obtenemos

Es decir que xy es igual a

De manera que y = x

Aquí la constante de proporcionalidad inversa es igual a

Teniendo en cuenta que una etapa no dura más de 8 horas, ¿qué le

aconsejarías al ciclista?

¿Para cuántas veces le alcanzarían las ciruelas con ese reparto?

¿Cuántas ciruelas comería cada vez?

1. Si x y y son dos cantidades inversamente proporcionales, completa la tabla:

¿Cuánto vale xy?

Escribe y= x

¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa?

xciruelascadavez

1 2 3 4 6 8 12 16 48

ynúmerodeveces

48 24 16 2 1

k

activiDaDes

x 25 50 100 400

y 16 8 2


Pliego 16 241-256.indd 249 10/3/08 18:06:12

250

2. La equivalencia entre pulgadas (p) y centímetros (c) está dada por la fórmula c = 2.5p. Realiza lo siguiente en tu cuaderno.

a) Haz una tabla con cinco valores.

b) ¿Es la relación proporcional directa? Explícalo.

c) Haz una gráfica que represente esa resolución.

3. Pablo compró un resorte que puede estirarse 30 cm sin deformar-se. Si coloca una pesa de 4 kilogramos, el resorte se estira 12 cm. Sin peso, el resorte, obviamente, no se alarga. Pablo sabe que la relación entre el estiramiento del resorte y el peso que lo alarga se representa por una recta.

a) ¿Con cuánto peso el resorte se estira 18 cm?

b) Haz una tabla que represente el estiramiento (e) respecto al peso (p).

c) ¿Cuál es la ecuación que representa al estiramiento (e) res-pecto al peso (p)?

d) Traza la recta que represente la ecuación, es decir, el estira-miento respecto al peso.

4. Indica cuáles relaciones son inversamente proporcionales.

a) xy = 2 b) x + y = 4 c) = 6

d) y = e) y = + 1 f) xy = 5

5. Si denotas las medidas de un rectángulo con a, para el ancho, y con L, para el largo, escribe cómo obtendrías el área.

A = ______________

a) Si el área es igual a 6, ¿qué fórmula se obtiene? ¿Es la relación inversamente proporcional? Explica.

b) Haz una tabla donde se relacione L respecto a a. Usa los siguientes valores para a: , 1, 2, 3, 6.

c) Haz una gráfica que represente a L respecto a a.

d) Traza en tu cuaderno dos de estos rectángulos.


12

8x

8x

yx

Pliego 16 241-256.indd 250 10/3/08 18:06:13

251SituacioneS de proporcionalidad directa e inverSa

¿QuétangrandeeselSol?

Desde la Tierra, el Sol parece tan grande como la Luna, ya que durante un eclipse ésta lo cubre casi totalmente.

El tamaño aparente del Sol depende de la distancia desde donde se ve. Si la distancia de la Tierra al Sol fuese de la mitad, el Sol parecería tener el doble del tamaño con que lo vemos. ¿Qué tan grande se ve el Sol desde distintos planetas? Usando como unidad de longitud la distancia entre el Sol y la Tierra y como unidad para el diámetro del Sol el diámetro aparente desde la Tierra, si denotamos por d al diámetro aparente del Sol se tiene que:

d = 1l

donde l es la distancia del Sol al observador.

Completa la tabla. Busca los datos que necesites y haz una aproximación que te facilite los cálculos.

Completa la gráfica con los puntos y luego únelos.

distancia 0.4 1.0 1.5 5.2

Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno

1.0 0.1diámetro aparente 1.4

Mercurio

Saturno

Tierra

2.5

2

1

1 9 10

diámetro aparente

distancia

Pliego 16 241-256.indd 251 10/3/08 18:06:15

252

¿QUiÉN es MeJOr? Las MUJeres se acercaN

Hay investigadores que dicen que las mujeres pueden lograr los mismos tiempos que los hombres (o mejores) en carreras de 200, 400, 800 o 1 500 metros. Otros piensan que eso nunca va a suceder. ¿Tú qué opinas? _________________________________________________________________

Veamos algunos datos para analizar la situación con más cuidado.

En la siguiente gráfi ca coloca los puntos que corresponden al tiempo de cada año. Marca con azul los puntos que corresponden a los hombres y con rojo los que corresponden a las mujeres.

Después, une los puntos consecutivos con su color respectivo.

¿Están muy distantes las dos gráfi cas? ______ ¿Puedes sacar alguna

conclusión? ______________________________________________________

¿Cuál es el mejor tiempo para los hombres? ________ ¿Y para las mujeres?

_________ ¿Los datos están claros en la gráfi ca? ___________

Medidas de tendenciacentral y de dispersión

TEMA 5

048 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96

10

20

30

20042000

Hombrestiempo en segundos

Mujerestiempo en segundos

20.5

23.7

21.1 24.4

20.7

20.6 23.4

24.0

AñoOlimpiada

1960

1948

1952

1956

20.23

22.5

20.3 23.0

19.83

20.00 22.40

22.371976

1964

1968

1972

19.75

22.0320.19

19.80 21.81

21.341988

1980

1984

19.79

22.12

19.73 21.72

19.32

20.09 21.84

22.05

1992

1996

2000

2004

200 metros

interpretación de gráficaS y comparación de datoSBloquE 5

tiempo

año

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253

En la siguiente gráfica coloca nuevamente los tiempos y años correspondientes a los hombres y a las mujeres.

Ambas gráficas, ésta y la anterior, representan los mismos datos.

¿En qué gráfica puedes comparar más claramente los datos? _____________

_________________________________________________________________

Indica dos diferencias entre estas gráficas _____________________________

_________________________________________________________________

Indica cuál es el mejor tiempo de los hombres ________________________

Indica cuál es el mejor tiempo de las mujeres _________________________

¿Cuál es la diferencia entre el mejor tiempo registrado por las mujeres y el

mejor tiempo de los hombres? ______________________________________

¿Cuál es la diferencia entre el peor registro de las mujeres y el peor de los hombres? ________________________________________________________

¿Cuál es la diferencia entre el mejor registro de las mujeres y el peor de los hombres? ________________________________________________________

200448

24.5

24

23.5

23

22.5

22

21.5

21

20.5

20

19.5

52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 2000

interpretación de gráficaS y comparación de datoS

Pliego 16 241-256.indd 253 10/3/08 18:06:20

254

¿Quiénes son más lentos corriendo los 200 metros? ___________________¿Cuál es el promedio de los registros de las mujeres en las 15 olimpiadas?

_________________ ¿Y el de los hombres?__________________

¿Cuál es la diferencia entre el peor y el mejor tiempo de los hombres? ____

_____________ ¿Cuál es la diferencia entre el peor y el mejor tiempo de las

mujeres? _________________________

Escribe un argumento que indique que las mujeres, en un futuro, igualarán los tiempos de los hombres en 200 metros. _________________________________________________________________

Escribe un argumento que indique que las mujeres nunca igualarán los tiempos de los hombres en 200 metros._________________________________________________________________

la encuesta

En dos grupos de 6º año hicieron una encuesta para ver cuántas horas a la semana veían la televisión los escolares y se obtuvieron los resultados que se indican en la parte izquierda de la tabla. La otra parte de la tabla la hemos reservado para que reúnas la información de 60 alumnos de 1º de secundaria.

En el ejemplo anterior, la moda es 8 o 9.

Tiempohoras

Marcas Frecuencia Marcas Frecuencia

En suma

llamamos moda al dato que tiene la mayor frecuencia.

Cápsula


6º año 1º secundaria

0 o 1 1

2 o 3 5

4 o 5 6

6 o 7 10

8 o 9 15

10 o 11 5

12 o 13 2

14 o 15 4

16 o 17 3

18 o 19 2

20 o más 7

TOTAL 60

Pliego 16 241-256.indd 254 10/3/08 18:06:22

255

¿Qué porcentaje de alumnos de 6º ve televisión 8 o 9 horas? ____________

¿Cuántos alumnos de 6º ven televisión 16 o más horas? ________________

¿Cuál es el tiempo en horas que tiene la mayor frecuencia? _____________

Con los datos que obtuviste, llena la siguiente gráfi ca. Marca con rojo los datos de 6º y con azul los de los 60 alumnos de 1º de secundaria.

¿Quiénes ven más televisión, los alumnos de 6º o los de 1º de secundaria? ___________________________________________

¿Puedes decirlo al ver las gráfi cas? ______________

Explica tu respuesta.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________


Alumnos

Horas

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 o 1 2 o 3 4 o 5 6 o 7 8 o 9 10 u 11 12 o 13 14 o 15 16 o 17 18 o 19 20 o más

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256

1. La siguiente gráfi ca representa los resultados del examen de Historia del grupo de primer año de la Secundaria 239 (en rojo). En la tabla están los resultados del mismo examen de la Secundaria 432. Grafícalos en azul, junto a los datos de la Secundaria 239.

Analiza las dos gráfi cas y contesta las siguientes preguntas.

Según tú, ¿qué secundaria es mejor en Historia?_______________________

¿En qué grupo de primero hay más alumnos reprobados?______________

¿En cuál hay más alumnos aprobados?_______________

¿En qué secundaria está el alumno con mejor califi cación? _____________

¿En qué grupo está el alumno con peor califi cación? ___________________

Observa que en ningún grupo conoces la califi cación de los alumnos, así

que no puedes calcular directamente el promedio grupal. Lo que ocurre

es que las califi caciones se presentaron de forma agrupada en rangos de

diez puntos. Para obtener el promedio, en este caso, se asume que todos

los alumnos que cayeron en un mismo rango tienen la misma califi cación

y que ésta es el punto medio del rango.

activiDaDes


Secundaria 432

0-9 1

10-19 1

20-29 3

30-39 5

40-49 11

50-59 10

60-69 5

70-79 7

80-89 8

90-100 1

Califi cación Marcas Frecuencia

Frecuencia

Califi cación

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 - 9 10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 100

Pliego 16 241-256.indd 256 10/3/08 18:06:27

257

Por ejemplo, si hay 5 alumnos que tienen entre 50 y 60 aciertos, se asumirá que la califi cación de esos 5 alumnos es 55.

¿Qué promedio obtuvo la Secundaria 239? ___________________________

¿Qué promedio obtuvo la Secundaria 432? ___________________________

¿Cuál es la moda de la Secundaria 239? _____________________________

¿Cuál es la moda de la Secundaria 432? _____________________________

Escribe un argumento que indique que el grupo de la Secundaria 239 es mejor

en Historia que el grupo de la Secundaria 432. _________________________

___________________________________________________________________

__________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Escribe un argumento que indique que el grupo de la Secundaria 432 es

mejor en Historia que el grupo de la Secundaria 239.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

¿Quién crees que es mejor? _________________________________________

Escribe un argumento que apoye tu opinión. __________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Más rápido

La velocidad de un auto de carreras se midió después de recorrer 3 km, 4 km y 6 km. El promedio de velocidad en los 3 primeros kilómetros fue de 140 km/h, de 168 km/h entre el kilómetro 3 y el kilómetro 4 . En el siguiente kilómetro y me-dio, el promedio se mantuvo en 210 km/h. ¿Cuál es la velocidad promedio del auto en los 6 kilómetros?

12

12

IntErPrEtacIÓn DE grÁFIcaS Y coMParacIÓn DE DatoS

__________________________________________________________________

recorrer 3 km, 4 km y 6 km. El promedio de velocidad en los

Pliego 257-264.indd 257 10/3/08 18:07:14

Encuentro con la tecnología

258

Usos de la calcUladora para números grandes

La suma y la resta

Cuando se trabaja con números muy grandes, las calculadoras solamente dan una aproximación. Sin embargo, se pueden tener resultados exactos con una combinación entre lápiz, papel y un buen uso de la calculadora.

Trata de efectuar, con ayuda de tu calculadora, la suma:

4 582 669 453 283 + 42 146 289 648 225

¿Crees que el resultado que arroja la calculadora es correcto? ___________

El resultado redondeado debe ser del orden de 46 000 000 000 000. La mayor parte de las calculadoras solamente tienen capacidad para números de 10 cifras y ésta es de 14, así que será imposible que obtengamos el resultado correcto en la pantalla con una calculadora común.

¿Qué hacer?

Aprovechemos que nuestro sistema es posicional, partamos en dos sumas la operación que tenemos que efectuar y luego resolvamos cada bloque con la calculadora, como se indica a continuación:

(1) 4 582 669 453 283 + 42 146 289 648 225 46 728 959 101 508

Observa que al usar la calculadora obtenemos 1 millón en el bloque derecho y lo pasamos al siguiente bloque, como se hace en cualquier suma.

Con el método anterior, encuentra en tu cuaderno el resultado exacto de:

40 358 561 238 149 + 36 835 671 246 742 = ________________________

269 432 129 346 256 + 767 325 584 249 521 = ______________________

La resta se puede hacer empleando el mismo método. Sin embargo, es importante evitar los números negativos al partir el número en bloques.

En suma

Si al realizar una operación con números muy grandes aparece error en la pantalla de la calculadora, significa que el resultado tiene mas dígitos de los que puede mostrar.

Cápsula

Pliego 257-264.indd 258 10/3/08 18:07:15

259 EncuEntro con la tEcnología

Por ejemplo, si al restar 322 472 425 023 de 548 751 254 612 partimos los números en dos bloques de 6 dígitos, tenemos:

548 751 254 612322 472 425 023226 279 −170 411

Observa que en el lado derecho aparece un número negativo que puede causar problemas. Es claro que estas dos partes se pueden combinar para obtener el resultado, pero es más fácil partir los números moviendo la línea una cifra a la derecha. De este modo, se obtiene de un golpe el resultado.

548 751 2 54 612− 322 472 4 25 023

226 278 8 29 589

Según los números con los que vayamos a operar, se puede mover la separación hacia la derecha o hacia la izquierda.

Calcula con este método las siguientes restas:

435 721 865 421 – 28 140 937 986 = ________________________

62 572 186 135 428 – 8 888 121 346 319 = ________________________

La multiplicación

Al multiplicar 275 por 3 428 con la calculadora da: ___________________

Ahora multiplica 26 524 348 4 534 412 con tu calculadora. ¿Qué observas?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Examinemos de cerca cómo se puede efectuar esta multiplicación para después multiplicar números muy grandes usando calculadora, lápiz y papel.

Este resultado debe ser el mismo que obtuviste con la calculadora.

34 28

2 75

21 00 75 28 y colocamos el resultado en las columnas correspondientes

25 50 75 3400 (porque ya multiplicamos 75 28), quitamoslos dos últimos ceros y colocamos en las columnas correspondientes

56 200 28 (porque ya multiplicamos por 75), quitamos los dos últimos ceros y colocamos en las columnas correspondientes

+68 00 200 3400 (porque ya se multiplicó por 28), quitamos los dos últimos ceros y colocamos en las columnas correspondientes

94 27 00 Sumamos de manera normal todas las columnas

En suma

Si al multiplicar dos números grandes se despliega en la pantalla de la calculadora un número decimal multiplicado por una potencia de 10, significa que la calculadora no tiene la capacidad de mostrar todos los dígitos del resultado, pero sí una aproximación, en la que lo redondea al indicar el número total de dígitos con la potencia de 10.

Cápsula

Pliego 257-264.indd 259 10/3/08 18:07:16

Usemos la misma idea que en la multiplicación anterior. Lo que hicimos fue partir en bloques nuestra multiplicación. En efecto, colocamos 3 428 y 275 en bloques de dos cifras de derecha a izquierda, y luego multiplicamos cada bloque colocándolo en la columna correspondiente.

Así que ahora puedes usar tu calculadora, lápiz y papel para efectuar la multiplicación: 26 524 348 × 4 534 412 agrupando las cantidades en bloques como se indica en la siguiente tabla:

Efectúa las operaciones y encuentra el resultado.

Extensiones posibles

Extiende estas ideas para operar con números que tengan muchos decimales. Extiéndelas para operar con números negativos y positivos.Podrías extenderlas también para la división.

Una peqUeña ayUda con la hoja de cálcUlo electrónica

Cada día se manejan números más grandes y se requiere trabajar con más precisión y rapidez; por ello muchas veces las calculadoras no son la herramienta adecuada, y se vuelve indispensable usar la computadora. Además, debido a que la cantidad de datos es cada vez mayor, es importante capturarlos, analizarlos, ordenarlos y procesarlos. Las personas que se dedican al cómputo han desarrollado lo que llaman hojas de cálculo electrónicas, las cuales permiten llevar a cabo las funciones anteriores de manera eficiente.

La mayor parte de las computadoras cuentan con hojas de cálculo elec-trónicas. Hay cursos completos para aprender a manejar estos programas, pero aquí daremos solamente los rudimentos, y con eso podremos usarlo para nuestros fines. Así que manos a la obra, vayamos a la computadora.


2 6 5 2 4 3 4 8

4 5 3 4 4 1 2

4412 4348

4412 2652 0000

+

Pliego 257-264.indd 260 10/3/08 18:07:17

Lo primero es encontrar el programa. Para empezar, después de encender la computadora, localiza en la pantalla el botón de o de , da clic en éste y pide ver todos los programas: se desplegará una serie de posibilidades en donde buscarás la hoja de cálculo electrónica.

Al encontrar el botón correspondiente haz clic y, de acuerdo con la versión que tengas del programa, aparecerá una pantalla similar a la que se muestra a continuación.

Los recuadros de la pantalla se llaman celdas, y la que aparece marcada con una línea en otro color se conoce como celda activa. Para referirnos a una celda, se emplea un sistema similar al que hemos usado en el libro para las tablas o para las coordenadas (página 212), mencionando primero la letra de la columna y después el número de fila; por ejemplo, la celda activa del esquema es la B11. Así, una celda es la intersección de una columna con una fila.

En cada hoja de cálculo se puede guardar una gran cantidad de datos, ya que contiene 256 columnas y 65 536 filas.

Empecemos con nuestro primer ejercicio, que será realizar una suma. Para esto, coloquemos los números que queremos sumar en la columna A, uno debajo del otro, y uno en cada celda. Escribe el primer número en la celda A1 y luego pulsa la tecla . Observa el esquema de la derecha.

Por ejemplo si queremos sumar:123 + 456 + 789 + 987 + 654 + 321 tendremos en la columna A:


Barra de menú

Barra de formato

Cuadro nombres(referencia de la celda)

Filas

Celda activa

Barra de fórmulas

Barra de herramientas

Etiquetas de hojas

Barras de desplazamiento

Columnas

StartInicio

Pliego 257-264.indd 261 10/3/08 18:07:20

Después de introducir todos los sumandos, pasa a la celda siguiente, en este ejemplo la A7. Observa que en la barra hay un símbolo fx ; lleva la flecha del cursor ahí y haz clic. Aparecerá un signo de igual en la celda A7 y un recuadro como el siguiente:

En el menú del lado derecho, selecciona la función SUMA, oprime el botón y aparecerá un recuadro como el que se muestra enseguida:

Como puedes ver, en la casilla junto a “Número 1” se lee A1:A6 (que se conoce como Argumento de la función), lo cual indica que se suman los números que aparecen desde la celda A1 hasta la A6. A continuación dice 123\456\789… y abajo se muestra la suma 3330. Si oprimes , tendrás el resultado de la suma en la celda A7. Observa en la pantalla de la página siguiente que en la barra de fórmulas aparecen tanto la celda activa, como la fórmula que se aplicó en ella.


Aceptar

Aceptar

Pliego 257-264.indd 262 10/3/08 18:07:23

Otra forma de hacer la suma anterior es colocarse en la celda en la cual se quiere que aparezca el resultado (A7 en nuestro ejemplo), oprimir fx , escoger SUMA, escribir A1:A6 en el recuadro de argumentos y luego dar clic en . Por último, se colocan los números que se quieren sumar en las celdas A1 a A6, respectivamente y la suma ira apareciendo conforme se van colocando los números.

Con este proceso puedes resolver los tres incisos de la actividad 2 de la página 27 y verificar así tus resultados.

Nuestra segunda actividad se refiere al ejercicio de las mesas que viene en la página 24. Desarrollemos la técnica necesaria para poder responder a algunas preguntas de ese ejemplo y de otros similares.

Pensemos en mesas pentagonales que se pegan como se indica en la figura:

Observa que en cada paso hay que aumentar 3 sillas.

Ahora queremos saber cuántas sillas o lados habrá al unir veintitrés pentágonos.


Aceptar

Pliego 257-264.indd 263 10/3/08 18:07:27

Abrimos la hoja de cálculo electrónica y en la celda A1 colocamos la primera cantidad, en este caso 5. Nos colocamos en la celda A2 y en la casilla que aparece en la barra de fórmulas, escribimos =A1+3. Observa que cuando se coloca la flecha del ratón en cualquier celda la hoja de cálculo electrónica, aparece una cruz con centro blanco.

Lleva esa cruz hasta la esquina inferior derecha de la celda activada (A2), y cuando se convierta en una cruz negra, oprime el botón izquierdo del ratón y arrástralo hacia abajo sin soltarlo para copiar la fórmula hasta A23.

Lo que hace el programa es sumar 3 a la celda anterior, así que en A23 obtendremos 71 como resultado. En realidad, la fórmula es 5 + 3(n − 1).

Ahora que conoces este procedimiento, calcula la cantidad de personas que caben en 82 y en 28 mesas cuadradas como las de la página 24, y compara tus resultados con los que obtuviste en la lección 2 del bloque 1.

Utilízalo también para contestar la actividad 1 de la página 25 y verifica que el resultado que obtengas sea el mismo.

Por último, aplícalo en la actividad 3 de la página 125 para encontrar el número de lados que hay en una hilera formada por siete hexágonos.


+

Pliego 257-264.indd 264 10/3/08 18:07:30

265

Conocimientos y habilidades Tema Página

Identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales. 1 10

Representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. 4 38

Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. Determinar expresiones genera-les que definen las reglas de sucesiones numéricas y figurativas. 2 22

Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar. 2 29

Construir figuras simétricas respecto de un eje, analizarlas y explicar las propiedades que se conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

3 32

Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversos procedimientos. 5 54

Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional. 5 59

Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos, tales como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos personales. 6 64


Resolver problemas aditivos con números fraccionarios y decimales en distintos contextos. 1 70

Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos. 2 84

Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos. 1 79

Utilizar las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo para resolver diversos problemas geométricos.

3 99106

Construir polígonos regulares a partir de distintas informaciones. 4 118

Justificar las fórmulas de perímetro y área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. 4 114

Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando operadores fraccionarios y decimales. 5 126

Interpretar el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. 5 129

BloqUe 1

BloqUe 2

Tabla de correspondencia

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266


Resolver problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos. 1 140

Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales o decimales.

2 144

Construir triángulos y cuadriláteros. Analizar las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones. 3 150

Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios. Realizar conversiones de medidas de superficie.

3 152

154

Resolver problemas del tipo valor faltante utilizando procedimientos expertos. 4 158

Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentaje utilizando adecuadamente la expresión fraccionaria o decimal. 5 166

Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa. 6 178

Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicar información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.

6 182

Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria.Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y vincular diferentes formas de expresarla.Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificar la respuesta.

6 184

BloqUe 3

266

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Plantear y resolver problemas que impliquen la utilización de números con signo. 1 190

Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales. 2 198

Analizar en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas y representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica. En particular, la expresión de la relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

3 208

Construir círculos a partir de diferentes datos o que cumplan condiciones dadas. 4 216

Determinar el número Pi como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Justificar la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia y el área del círculo. 4 218

Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo. 4 221

Explicar las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano. 3 211

BloqUe 4


Utilizar procedimientos informales y algoritmos de adición y sustracción de números con signo en diversas situaciones.

1 226

Analizar los vínculos que existen entre varias representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a la misma situación, e identificar las que son de proporcionalidad directa.

4 242

Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas en diversas figuras planas y establecer relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cadauna de estas figuras.

2 232

Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

3 236

Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

4 245

Comparar el comportamiento de dos o más conjuntos de datos referidos a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central.

5 252

BloqUe 5

267

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artícUlos

Los siguientes artículos son del mismo autor y fueron publicados en el mismo boletín.Bosch, Carlos. Boletín del Concurso de Primavera para maestros, Academia Mexicana de Ciencias, México, D.F.

● “3.141592653589793238462643383279”, núm. 1, enero 1998.

● “Un poquito más… infinito”, núm. 2, enero 1998.

● “Raíces y potencias”, núm. 3, febrero 1998.

● “La notación decimal”, núm. 4, febrero 1998.

● “Algo sobre Pitágoras”, núm. 5, marzo 1998.

● “π vuelve a atacar”, núm. 7, abril 1998.

Bosch, Carlos. Boletín de Ficom (http://web.missouri.edu/~chavezo/ficom)Academia Mexicana de Ciencias.

● “Unos puntos, una figura y el área”, núm. 15, enero 1999.

● “Cuadrados y raíces extrañas”, núm. 16, febrero 1999.

● “La firma del diablo”, núm. 1, marzo 2000.

● “Una gran sorpresa”, núm. 2, abril 2000.

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algUnas páginas en la red

Página de la Academia Mexicana de Ciencias:http://www.lacienciaentuescuela.amc.edu.mx/lacienciaentuescuela3.htm

Acceder a las siguientes lecturas en la opción “Material Didáctico ENSM”:

Alfaro Aguilar, Felipe, Carlos Bosch Giral. “Pi y probabilidad”, 2003.

Alfaro Aguilar, Felipe. “Estadística”, 2003.

Alfaro Aguilar, Felipe. “Probabilidad”, 2003.

Bosch Giral, Carlos, Laura Hidalgo Solís. “Series de Farey”, 2004.

Bosch Giral, Carlos. “La fórmula de Pick”, 2004.

Bosch Giral, Carlos. “Resolución de problemas”, Academia Mexicana de Ciencias, La Ciencia en tu escuela, 2002.

Fernández-Alonso González, Rogelio. “Proporciones y números”, UAM Iztapalapa, Agosto 2003.

Hernández Zapata, Paloma. “Crecimiento exponencial”, 2006.

Hernández Zapata, Paloma. “Ecuaciones”, 2006.

Hidalgo Solís, Laura. “Los números de Fibonacci”.

Hidalgo Solís, Laura. “Otras geometrías”, 2002.

Hidalgo Solís, Laura. “Patrones geométricos”, UAM Iztapalapa, Departamento de Matemáticas, 2003.

Hidalgo Solís, Laura. “Poliedros”, 2003.

Pérez Chavela, Ernesto. “El teorema de Pitágoras”, 2003.

Romero Hidalgo, Silvia. “Relaciones funcionales”, 2006.

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libro de matemáticas

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