100 problemas maravillosos de matemáticas - libro 8
TRANSCRIPT
MARAVILLOSOS PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS
Libro 8
http://matemelga.wordpress.com/
Una heladería tiene un repertorio de sabores diferentes de helados. Cuando Diego compra un cono con dos bolas de sabores diferentes lo puede elegir de 153 maneras diferentes.
Recientemente, el día que cumplió 22 años, compró un cono gigante de 15 bolas de sabores diferentes.
¿De cuantas formas lo pudo elegir?
SOLUCIÓN
Sean n la cantidad de sabores diferentes de que dispone la heladería. La cantidad de combinaciones de dos
sabores serán ( )( )
18030615322
1
!2!2
!153
22
2
=⇒=−−⇒=−=−×=−×
⇒=
nnn
nnnn
n
nn sabores
diferentes, pues se desecha la solución negativa de la ecuación por el contexto del problema.
Entonces, las posibilidades que tuvo Diego en su cumpleaños fueron =××=×
=
6
161718
!3!15
!1815
18
816
En una empresa de reparación de ordenadores Juan repara tres ordenadores mientras María repara dos.
Ángela es más rápida que los dos: mientras María repara un ordenador ella repara tres.
En el tiempo en que Juan repara nueve ordenadores, ¿cuántos ordenadores habrán reparado entre los tres?
SOLUCIÓN
Mientras que Juan repare 9 ordenadores María habrá reparado 6 pues la proporción es 2:3
Pero si María ha reparado 6 ordenadores, Ángela habrá reparado 18 ya que la proporción es 3:1
En resumen, habrán reparado en total =++ 1869
33 ordenadores
Halla el menor número natural que es suma de 9 naturales consecutivos, es suma de 10 naturales consecutivos y es suma de 11 naturales consecutivos, teniendo en cuenta que ninguna de las tres sumas está contenida en las otras.
SOLUCIÓN
Sea N el número buscado. Entonces,
( ) ( ) ( ) ( ) AaaaaaaN 9493698...21 =+×=+=+++++++= siendo 4>A
( ) ( ) ( ) ( ) BbbbbbbN 592545109...21 =+×=+=+++++++= siendo 10>B impar
( ) ( ) ( ) ( ) CccccccN 11511551110...21 =+×=+=+++++++= siendo 5>C
De lo anterior deducimos que N es múltiplo de 5 , 9 y 11 con las condiciones indicadas-
El menor número es =××= 1195N
495
Tres amigas que van a una pizzería piden una pizza y la dividen, para comérsela, en tres partes iguales.
Antes de empezar a comer llega otra amiga y deciden compartir la pizza con ella de manera que las cuatro coman la misma cantidad.
¿Qué porcentaje de su trozo de pizza deben aportar cada una de las tres a su amiga?
SOLUCIÓN
En un primer momento deben las amigas tienen, cada una 3
1 de pizza y, cuando reparta a la amiga, le
quedará 4
1 de pizza.
Según lo anterior, el trozo que aporta a la amiga es 12
1
4
1
3
1 =− de pizza.
Y 12
1 de
3
1 es ==×=× %
4
100%100
12
3%100
3
112
1
25 %
Halla todas las ternas de números enteros (x,y,z) tales que
SOLUCIÓN
Está claro que, si x , y , z son enteros, 211
022
≤=+< zyx
Entonces, 1=z o 2=z
• Si 222222
111
1 yxyxyx
z ×=+⇒=+⇒= , siendo ambos cuadrados enteros positivos. La única
posibilidad es que yxyx ,222⇒== no son enteros: ¡imposible por contradicción con la hipótesis
del enunciado!
• Si ( ) ⇒=−=××−+⇒××=+⇒=+⇒= 022211
222222222222
22yxyxyxyxyx
yxz
10 2222 ==⇒=−⇒ yxyx según las condiciones del enunciado al ser ambos cuadrados enteros
positivos. De ahí se obtiene que 1,1 ±=±= yx
Las ternas son, entonces,
(-1,-1,2), (-1,1,2), (1,-1,2), (1,1,2)
Si 11x = 7y = 77, halla
SOLUCIÓN
Como 11ln
77ln77ln11ln77ln11ln7711 =⇒=×⇒=⇒= xxxx y ⇒=⇒= 77ln7ln777 yy
7ln
77ln77ln7ln =⇒=×⇒ yy , basándonos en las propiedades de los logaritmos.
De todo lo anterior se deduce, teniendo en cuenta también las propiedades de los logaritmos, que
( ) ==×=+=+=+=+77ln77ln
77ln711ln
77ln7ln11ln
77ln7ln
77ln11ln
7ln77ln1
11ln77ln111
yx
1
Si cada ángulo interior de un polígono mide 172o o 173o, ¿cuál es la mayor cantidad posible de lados del polígono?
SOLUCIÓN
Si n son los lados del polígono y α el ángulo interior genérico, según se ve en la
imagen se verificará que ( ) º360º180 =−× αn
Entonces, según los límites establecidos, si ( ) ⇒=−×⇒= º360º172º180º172 nα
45º8
º360º360º8 ==⇒=⇒ nn , y si ( ) ⇒=−×⇒= º360º173º180º173 nα
4,51º7
º360º360º7 ==⇒=⇒ nn
De lo anterior, 51454,5145 ≤≤⇒≤≤⇒ nn
El mayor número de lados del polígono será 51 si es factible con los ángulos que se indican. Y sí lo es,
obteniéndose la cantidad de ángulos de cada tipo resolviendo el sistema
48335777
36078
51
36078=⇒=⇒
=+=+
⇒
=+=+
baba
ba
ba
ba: ( ) ( ) º360º173º18048º172º1803 =−×+−×
Esto quiere decir que hay 3 ángulos de º172 y 48 ángulos de º173 en los polígonos que resuelven el
problema.
El mayor número de lados del polígono es, entonces,
51
Si x e y son dos números naturales tales que x > y, x + xy = 391, ¿cuánto vale x + y?
SOLUCIÓN
2317391 ×= por lo que ( ) 23173911 ×==+×=+ yxxyx
Como ( ) 23171 ×=+× yx y 16,23171,23 ==⇒=+=⇒> yxyxyx
Por lo tanto, =+=+ 1623yx
39
Encuentra el mayor número natural N que cumple las siguientes condiciones:
• E(N/3) es un número de tres cifras iguales,
• E(N/3) = 1 + 2 + … + n, para algún número natural n,
donde E(x) representa la parte entera de x.
SOLUCIÓN
La primera condición establece que aaaaN
E 111101003
=++=
, siendo 100 << a , y la segunda indica
que ( )2
1...21
3+×=+++=
nnn
NE , para algún número natural n
De lo anterior se deduce que ( ) ( ) ( ) annannann ×××=+×⇒=+×⇒=+×
3732122211112
1, siendo
100 << a
El primer miembro indica que la multiplicación se debe poder expresar como producto de dos números
consecutivos y esto se produce únicamente, según las condiciones del problema, cuando ⇒= 6a
( ) 3736637321 ×=×××=+×⇒ nn
Entonces, 20011998667366636661113
<≤⇒×<≤×⇒==
NNaN
E
El mayor valor posible de N es
2000
Sea el trapecio de la figura en donde la longitud de su base mayor es tres veces la longitud de su base menor. Los puntos M y N son los puntos medios respectivos de los lados BC y CD.
Si el área del trapecio es 32 cm2, ¿cuánto vale el área del triángulo AMN ?
SOLUCIÓN
Llamamos ADb = a la base menor, por lo que la base mayor bBC 3= , y h a la altura del trapecio.
Adjuntamos al trapecio original una copia del mismo
girada º180 con lo que obtenemos el paralelogramo
que se aprecia en la figura, con una base de b4 cm y
una altura de h cm
Su superficie es el doble de la del trapecio: 64 cm2
Entonces, 164
64643224 ==⇒=×= bhbh
Por otro lado, la superficie sombreada es la diferencia entre el área del paralelogramo y el doble de la suma
de las áreas de los triángulos ABM y 'MNA pues observamos que, en la figura, hay dos parejas de
triángulos idénticos.
Hallamos las áreas de esos triángulos:
• 124
163
4
3
22
3
2=×==
×=×= bhh
bhBM
ÁreaABM cm2
• ( )
108
165
8
5
222
5
222
3
22
'
22
'' =×==
×=
×
+=
×+=
×= bh
hbhb
bhCAMC
hMA
ÁreaMNA cm2
De lo anterior, ( ) ( ) 2010122642 'log =+×−=+×−= MNAABMramoparaleverde ÁreaÁreaÁreaÁrea cm2
Por lo tanto, el área del triángulo AMN es la mitad:
10 cm2
El rectángulo ABCD tiene adosado un triángulo rectángulo isósceles AEB de hipotenusa AB = 4 cm.
Si BC = 3 cm, ¿cuál es el valor del área del triángulo AEC ?
SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta las condiciones del problema dibujamos los segmentos 'BB
(prolongación de CB), 'AA (prolongación de DA ) y el perpendicular a ambos ''BA
pasando por E , formando un rectángulo CDBA ''
Evidentemente, si el triángulo AEB es rectángulo e isósceles los triángulos BEB' y
AEA' también lo son y sus catetos miden 22
'''' ===== ABEBBBEAAA cm
Entonces 532'' =+=+= BCBBCB cm y el área del rectángulo es 2045''' =×=×= ABCBÁrea CDBA cm2
Podemos observar que el área del triángulo AEC es la diferencia entre el área del rectángulo construido y la
suma de las de los triángulos rectángulos CEB' , AEA' y ADC
Entonces ( ) ⇒
×+×+×−=++−=2
43
2
22
2
2520'''' ADCAEACEBCDBAAEC ÁreaÁreaÁreaÁreaÁrea
( ) =−=++−==⇒ 132062520AECÁrea
7 cm2
Se tiran consecutivamente tres dados y se forman, con ellos, un número A de tres cifras: la primera tirada nos da las centenas de A, la segunda las decenas y la tercera las unidades.
Repetimos el proceso obteniendo otro número B de tres cifras.
Calcula la probabilidad de que A > B.
SOLUCIÓN
La ocurrencia de cada cifra es independiente de la anterior ocurrencia, por lo que la probabilidad p de que
BA > es la misma de que AB >
Si llamamos q a la probabilidad de que BA = tendremos que 121 =+⇒=++ qpqpp
Pero, evidentemente, una vez que se han realizado las tres primera tiradas la probabilidad de que la cara de
la cuarta tirada sea igual que la de la primera es de 6
1, la misma que la de la quinta tirada sea igual a la de la
segunda y de que la de la sexta igual que la de la tercera.
Por lo tanto, 432
215
216
215
216
11
6
1121
6
122
6
1
6
1
6
1
6
1333 =⇒=−=−=⇒=+=+⇒=××= pppqpq
Es decir, la probabilidad de que BA > es
215/432 = 0,4977
Cada día enciendo una de las 100 velas que he comprado. Cuando se consume guardo la cera sobrante y hago otra vela nueva con la cera de 7 velas ya usadas, añadiéndola al conjunto de velas para encender.
¿Durante cuántos días podré encender velas?
SOLUCIÓN
Cuando haya consumido las primeras 100 velas (100 días) habré guardado 100 restos y, con ellos, creadas
147
100 =
E nuevas velas, sobrándome 298100147100
7
1007100 =−=×−=
×− E restos.
Después de los primeros 100 podré encender 14 velas más que me dejarán 14 restos que, añadidos a los 2
que me han quedado anteriormente, permitirán crear 27
167
214 =
=
+EE nuevas velas para encender y
me sobrarán 2141627167
16716 =−=×−=
×− E restos.
Sl final, me quedarán 42227
16 =+=+
E restos, insuficientes para crear alguna vela nueva.
Definitivamente, tengo velas para =++ 214100
116 días
[ ]xE es la función ”parte entera”
Joaquín, recorriendo un camino en bici, hace la primera mitad a 6 km/h y la segunda mitad a 12 km/h.
José Luis hace el primer tercio del mismo camino a 5 km/h y los dos tercios siguientes a 15 km/h.
¿Cuál es la proporción entre los tiempos que han tardado cada uno?
SOLUCIÓN
Consideramos la fórmula velocidad
espaciotiempo =
Si la longitud del camino es L , el tiempo que tarda Joaquín en hacer el camino completo es
824
3
122
3
122
122
62 LL
LLL
LL
===+
=+ horas y el tiempo que tarda José Luis en hacer el camino completo es
945
5
153
5
153
2
153
2
53 LL
LLL
LL
===+
=+ horas
Entonces, la porporción entre los tiempos es ==L
LL
L
8
9
9
8
9/8
Hallar todos los números enteros n tales que
es un cuadrado perfecto.
SOLUCIÓN
Como ( ) ( ) ( ) ( ) 222342222 222 babnnbaannbannbannbann ++×+++=++×++=++ , identificando los
dos primeros coeficientes no unitarios con los correspondientes del polinomio 1836224 234 +−+− nnnn ,
dado en el enunciado tenemos que
=−=
⇒
=+−=
9
2
222
422 b
a
ba
a con lo que ( ) 81362249281362 234222 +−+−=+−⇒=−= nnnnnnbyab
Entonces, ⇒−+−+−=+−+− 6381362241836224 234234 nnnnnnnn
( ) 6392183622422234 −+−=+−+−⇒ nnnnnn
El primer número es un cuadrado entero perfecto 1836224 2342 +−+−= nnnnx y, evidentemente,
xkxnn >+=+− 922 para que, así, ( ) ( ) 6363921836224 2222342 −+=−+−=+−+−= kxnnnnnnx
siendo kx, dos enteros positivos.
Tenemos, pues, ( ) ( ) ( ) 736326363 22222 ×==×+⇒=−+⇒−+= kkxxkxkxx
Estudiamos las posibilidades, teniendo en cuenta que kkx >+2 :
• ⇒=−−⇒=+−⇒=⇒=+⇒= 02323292316321 22 nnnnxkxk
Ζ∉±=+±=⇒ 2412311n
• ⇒=−−⇒=+−⇒=⇒=+⇒= 032129292123 22 nnnnxkxk
−==
⇒±=+±=⇒1
321311
n
nn
• 1011110128921927 22 =⇒±=−±=⇒=+−⇒=+−⇒=⇒=+⇒= nnnnnnxkxk
Tres números cumplen el enunciado:
n = -1, n = 1, n = 3
Cada uno de los habitantes de un extraño planeta tiene, al menos, dos ojos.
Tres de ellos, Disi, Isi, y Trisi, se encuentran sólos en el interior de un cráter del planeta y comentan:
“veo 8 ojos”, dice Isi
“veo 7 ojos”, añade Disi
“veo sólo 5 ojos”, apostilla Trisi
Si ninguno de ellos puede ver sus propios ojos, ¿cuántos tiene Trisi?
SOLUCIÓN
Sean zyx ,, el número de ojos respectivos de Isi, Disi y Trisi.
Según el enunciado, ( ) ( ) ( ) 5102578
5
7
8ª3ª2ª1
=⇒=⇒−+=+−+++⇒
=+=+=+
−+zzyxzxzy
yx
zx
zyececec
Trisi tiene 5 ojos
Se eligen dos números distintos de entre los cinco del conjunto {-3, -1, 0, 2, 4} y se multiplican.
¿Cuál es la probabilidad de que ese producto sea 0 ?
SOLUCIÓN
La cantidad de posibilidades de elección es el número de combinaciones distintas de dos elementos del
conjunto: 10!312
!345
!3!2
!52
52,5 =
××××=
×=
=C
La cantidad de pares tales que el producto de ambos números sea 0 equivale a la cantidad de pares que
contengan al número 0 : 4!31
!34
!3!1
!41
41,4 =
××=
×=
=C
En conclusión, la probabilidad pedida es ===5
2
10
4P
0,4
Se ordenan de menor a mayor todos los números que se forman reordenando de alguna forma los dígitos del 1 al 7 sin repetir ninguno.
Concretamente, el menor de todos estos números es 1234567 y el mayor es 7654321.
Halla el número que ocupa la posición 2016.
SOLUCIÓN
La cantidad de números que pueden escribirse es el número de permutaciones de siete cifras distintas:
5040!77 ==P números.
La misma cantidad hay que empiecen por cada cifra concreta, pues se reordenarán las seis restantes:
720!66 ==P
Como 57672022016 +×= , el número citado estará en la posición 576 de los empezados por 3 ya que
antes estarán todos los empezados por 1 y por 2 :
1234567 … 1765432 2134567 … 2765431 3124567 … ??????3 …
La misma cantidad hay que empiecen 3 y tengan en tercer lugar otra cifra concreta, pues se reordenarán las
cuatro restantes: 24!44 ==P
Como 024496 +×= , el número citado estará en la posición última posición de los empezados por 365 ya
que antes estarán todos los empezados por 1, por 2 , por 4 y por 5 excepto el último.
El número que ocupa la posición 2016 es
3657421
Hoy, el producto de las edades de Manolo y de su hijo Luis es 2015.
Si Manolo cumple los años en febrero y Luis en abril, ¿qué edad tenía Manolo cuando nació Luis?
SOLUCIÓN
El dato de los meses de nacimiento es para que los dos tengan las edades adecuadas al año (este problema
está propuesto en un mes posterior a abril).
Como 311352015 ××= , la única solución factible es que Manolo tenga 65135 =× años y Luis tenga 31
años.
La diferencia entre las edades es 343165 =− , que es la edad que tenía Manolo en el nacimiento de Luis.
34 años
En una granja hay gallinas y cerdos. El número de patas que se cuentan son 28 más que el doble del número de cabezas.
¿Cuántos cerdos hay?
SOLUCIÓN
Si llamamos x al número de gallinas e y al número de cerdos, el número de cabezas es yx + y el número
de patas es yx 42 +
El enunciado nos dice que ( ) 1428222284222842 =⇒=⇒++=+⇒+×+=+ yyyxyxyxyx
Hay 14 cerdos
¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un número al azar entre 1000 y 9999, el producto de sus cifras sea múltiplo de 3?
SOLUCIÓN
Hay 9000 números y vamos a hallar aquellos en los que el producto de sus cifras no es múltiplo de 3 : son
todos los de cuatro cifras que pueden formarse con las cifras 8,7,5,4,2,1,0 y tales que su primera cifra no
sea nula, porque no pueden tener ninguna de las cifras 9,6,3
Que empiecen por cada una de las cifras anteriores hay una cantidad igual al número de variaciones con
repetición de siete cifras tomadas de tres en tres: 343733,7 ==VR
Como pueden escribirse con seis cifras diferentes representando las unidades de millar, números de cuatro
cifras cuyo producto de sus cifras no es múltiplo de 3 hay, en total, 205834366 3,7 =×=×VR
Por lo tanto, como la probabilidad de elegir al azar un número de cuatro cifras cuyo producto de sus cifras no
sea múltiplo de 3 es 1500
1157
532
8913
532
891332
9000
6942
9000
20581
9000
2058' 32323 =
×××=
×××××==−=⇒= PP es la
probabilidad de elegir al azar un número de cuatro cifras cuyo producto de sus cifras sea múltiplo de 3
1157/1500 = 0,77
En un triángulo rectángulo la bisectriz de uno de sus ángulos agudos divide al lado opuesto en dos segmentos de longitudes 1 y 2
¿Cuál es la longitud de la bisectriz?
SOLUCIÓN
Llamamos x a la longitud de la bisectriz y c al cateto adyacente al ángulo
donde dibujamos la bisectriz, cuyo valor es α2 . El otro cateto vale 321 =+
En los dos triángulos rectángulos que aparecen se verifica que c
tg1=α y
ctg
32 =α
Entonces, 323323
31
1
123
1
22 222
2
2
2 =⇒=−⇒=−⇒
−
×=⇒
−×= ccc
cc
cctg
tgtg
ααα
Y, por el teorema de Pitágoras, 24311 222 =⇒=+=+= xcx
La bisectriz mide 2 unidades lineales
¿Cuántos números naturales verifican que, al quitarles la cifra de las unidades, el nuevo número formado con esta operación es 14 veces más pequeño que el original?
SOLUCIÓN
Llamamos Ac al número inicial donde c es la última cifra.
Es evidente que al quitarle a cAAc += 10 la última cifra se transforma en el número A
El enunciado nos dice que cAcAAcA
A =⇒+=⇒+= 41014
14
10
Como c es una cifra, y múltiplo de 4 , las únicas posibilidades son
=⇒===⇒==
282,8
141,4
AcAc
AcAc por lo que la
condición del problema la cumplen
2 números naturales
Si
calcula S2016 en forma de fracción irreducible
SOLUCIÓN
Tenemos en cuenta que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒+×+×=
+×+×−+=
+×+−
+× 212
212
211
11
nnnnnn
nn
nnnn
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+×+−
+××=
+×+×⇒
21
1
1
1
2
1
21
1
nnnnnnn
Entonces,
×−
××=
×× 32
1
21
1
2
1
321
1,
×−
××=
×× 431
321
21
4321
,
×−
××=
×× 541
431
21
5431
, …
De lo anterior se deduce que ( ) ( ) =+×+×
++××
+××
=21
1.........
4321
3211
nnnSn
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+×+−
+×+
+×−
×−++
×−
×+
×−
×+
×−
××=
21
1
1
1
1
1
1
1......
54
1
43
1
43
1
32
1
32
1
21
1
2
1
nnnnnnnn
y, simplificando, queda ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⇒+×+×+=
+×+×−+×+×=
+×+−
××=
214
3
212
221
2
1
21
1
21
1
2
1 2
nn
nn
nn
nn
nnSn
( )( ) ( )214
3+×+×
+×=nn
nnSn
Por lo tanto, =×
×××=×××××××=
×××=
10092017
673732
1009220172
6733732
201820174
20192016 32
2
25
2016S
508788 / 2035153
Si las dos raices de la ecuación
son números primos, ¿cuál es la suma de las cifras de n ?
SOLUCIÓN
Si las raices de 0852 =+− nxx son a y b se cumple que aba ⇒=+ 85 y b tienen distinta paridad, por lo
que uno de ellos es primo y par: 832 =⇒= ba
Entonces, como el producto de las raices es el término independiente, =++⇒=×=×= 661166832ban
13
Sean tres números naturales distintos entre sí tales que la suma de los productos de cada uno de los pares que pueden formarse es igual al producto de los tres.
¿Qué valores puede tomar la suma de los tres?
SOLUCIÓN
Sean zyx ,, tres números naturales distintos entre sí.
Suponemos que zyx >> y establecemos esta condición para evitar repetición de análisis de posibles
resultados, dada la simetría entre las tres variables.
Según el enunciado, xyzyzxzxy =++
1=z es imposible, porque implicaría que 0=+ yx . Por la misma razón, 1≠x e 1≠y . Los tres números
son mayores que 1
• Si ( )2
22222222222
−=⇒=−⇒=−⇒=+⇒=++⇒=
y
yxyxyyxxyxyyxxyyxxyz
o Si 63 =⇒= xy
o Si yxy ==⇒= 44 : No cumple que yx ≠
o Si yxy <⇒> 4 , por lo que no se cumplen las condiciones
• Si ( )32
33323322333333
−=⇒=−⇒=−⇒=+⇒=++⇒=
y
yxyxyyxxyxyyxxyyxxyz
o Si yxy <⇒> 3 , por lo que no se cumplen las condiciones
• Si ( ) ⇒=−−⇒=−−⇒−=+⇒=++⇒> yzxzyyzyzxzxyxyzxyxyzyzxzxyzyzxzxyz 3
( )( ) ( ) zzy
yzxyzxzzy
−−=⇒=−−⇒
11 y se verifica siempre que si yxy <⇒> 4 , no
cumpliéndose las condiciones
Por lo tanto, los únicos valores posibles son 6,3,2 === xyz y su suma es =++=++ 236zyx
11
En una reunión de 500 diplomáticos sabemos que 450 de ellos hablan inglés, 390 hablan francés, 380 hablan español y 290 hablan alemán.
¿Cuál es el mínimo número de diplomáticos que podemos asegurar que hablan los cuatro idiomas?
SOLUCIÓN
Vamos a analizar, en todo momento, la situación más adversa en cuanto al conocimiento de idiomas:
Supongamos que los 50450500 =− diplomáticos que no saben inglés saben, sin embargo, francés y los
110390500 =− diplomáticos que no saben francés saben, sin embargo, inglés.
Deducimos entonces que hay 16011050 =+ diplomáticos que no saben francés e inglés simultáneamente.
Si los 120380500 =− diplomáticos que no saben español se encuentran entre los 340160500 =− que
saben, a la vez, francés e inglés tendremos 28012011050 =++ diplomáticos que no conocen, a la vez,
inglés, francés y español.
Por último, y siguiendo un razonamiento similar a los anteriores, si los 210290500 =− diplomáticos que no
saben alemán se encuentran entre los 220280500 =− que saben, a la vez, francés, inglés y español
tendremos 49021012011050 =+++ diplomáticos que no conocen, a la vez, inglés, francés, español y
alemán.
Por tanto sólo podemos asegurar que hablan los cuatro idiomas, como mínimo,
10 diplomáticos
La figura adjunta muestra siete regiones delimitadas por las intersecciones de tres círculos.
Se escribe un número entero en cada región de manera que sea la suma de los números escritos en las regiones contíguas, que son las que tienen algún arco común con la indicada.
Teniendo en cuenta los dos números ya señalados, ¿qué número hay que colocar en la región central, pintada de rojo?
SOLUCIÓN
Señalando todas las regiones tenemos que
( ) =−+=⇒
+=−=
⇒
+==+
⇒
+=+=+=+
⇒
++=+=+=+=
333
3
3
23
3
23
21
2
1
xyx
y
yx
yy
yx
tsy
yts
yx
tsy
yt
ys
0
¿Cuál es mayor capicúa de cuatro cifras divisible por 15?
SOLUCIÓN
Si es divisible por 15 lo es por 5 y como es capicúa necesariamente debe acabar y empezar por 5 para que
tenga cuatro dígitos.
Debe ser, entonces, de la forma 55aa
Al ser divisible por 15 lo es por 3
10231023553
+=⇒=+⇒=+++⇒a
nnanaa , número natural.
El mayor valor de la cifra a que hace que n sea natural es 83
10727 =+×=⇒= na
En conclusión, el capicúa pedido es
5775
Sean a , b , c , d números naturales tales que ad = b 2 + bc + c 2
Demuestra que
es un número compuesto.
SOLUCIÓN
Sea 02222 >+++= dcbaN , número natural por ser suma de potencias de números naturales.
Teniendo en cuenta el enunciado, ⇒+−+=⇒−=+⇒++= 222222 dbcadaNbcadcbcbcbad
( )⇒++−++=−−−−++=⇒−−++=⇒2222222222 2222 cbcbdadacbcbbcdadaNadbcdadaN
( ) ( )22 cbdaN +−+=⇒
O sea, ( ) ( ) ( )( )cbdacbdacbdaN −−++++=+−+= 22, por lo que
N = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 es compuesto
Sabiendo que 3-y = 2 y que 2x+1 = 18, halla el valor exacto de la expresión
SOLUCIÓN
Como 3log2log
2log3log23 −=⇒=×−⇒=− yyy
Además, ( ) ( )⇒+×=+×=×==+⇒=×+⇒=+ 1
2log
3log2
2log
2log3log2
2log
23log
2log
18log118log2log1182
21 xxx
2log3log2×=⇒ x
Entonces, ==+−=
−××−
−××=−
23
221
3log2log
2log3log2
3log2log
2log3log2
11xy
xy
1,5
Un círculo de radio unidad posee, en su interior, cuatro arcos del mismo radio que encierran un cuadrado cuyos vértices son los puntos medios de los arcos como se ve en la figura adjunta.
¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?
SOLUCIÓN
Dibujamos el cuadrado cuyos lados son tangentes al círculo en los puntos de intersección de los arcos y cuyos
vértices son los centros de los citados arcos, dividiéndolo entonces en cuatro cuadrados iguales todos de
lado unidad:
Tomamos uno de ellos y llamamos x a la longitud del lado del cuadradito azul
que contiene
Si d es la longitud de la diagonal del cuadradito azul, d+1 es la longitud de
la diagonal del cuadrado.
Aplicando entonces el teorema de Pitágoras en el cuadrado al triángulo
rectángulo formado por lados y diagonal tenemos ( ) ⇒=+=+ 2111 222d
1221 −=⇒=+⇒ dd
Volvemos a usar el teorema de Pitágoras en el cuadradito azul en el triángulo
rectángulo formado por lados y diagonal y obtenemos ( ) ( )⇒
−=⇒−=+=2
1212
2
22222 xxxd
( )2
22
2
122
2
12 −=⇒−×=−=⇒ xx
Como el lado del cuadrado azul original es el doble del anterior, la longitud de su lado es =−×=2
2222x
2 – √2
Halla todos los números naturales m tales que
es un cuadrado perfecto
SOLUCIÓN
Si 2121 1 =+×⇒= −mmm , que no es cuadrado perfecto.
Si 21 121 amm m =+×⇒> −
es impar, por lo que a es impar. Supongamos que 12 += xa , siendo x un
número natural.
Entonces, ( ) ( ) ( )⇒+××=+×=×⇒++=+==+×⇒> −− 124214412121 2212221 xxxxmxxxamm mm
( )12 3 +×=×⇒− xxm m
Es decir, el número 32 −× mm es producto de dos números naturales consecutivos. Al ser impar uno de ellos
m no puede ser una potencia de 2 y, además, uno de los dos factores consecutivos debe ser un divisor
impar de m
• Si 132323 333 ×=×=×⇒= −−mmm
• Si 452525 353 ×=×=×⇒= −−mmm , que cumple las condiciones del enunciado, pues 2415 9811162125125 ==+×=+×=+× −
• Si 163862626 363 ×=×=×=×⇒= −−mmm
• Si 1672727 373 ×=×=×⇒= −−mmm
• Si 3292929 393 ×=×=×⇒= −−mmm
• …
y vemos que, aun eligiendo como factor impar al máximo divisor impar de m , el otro factor es cada vez más
grande que el indicado.
Por lo tanto el único valor de m , para el que la expresión dada es un cuadrado perfecto, es
5
Eliminando uno de los n primeros números naturales, el promedio de los restantes es 4,75.
¿Qué número se ha eliminado?
SOLUCIÓN
Llamamos nx ≤≤1 al número buscado.
Como la suma de la progresión aritmética formada por los n primeros números naturales es
( )2
1...321
+×=++++ nnn , el enunciado dice que
( )75,4
12
1
75,41
...321 =−
−+×
⇒=−
−++++n
xnn
n
xn
Entonces,
019417205,925,85,95,9275,422
2 2222
=+−−⇒=+−−⇒−=−+⇒=−−+
xnnxnnnxnnn
xnn
Ahora debemos imponer que n y x deben ser naturales tales que nx ≤≤1
Aplicando la fórmula de las soluciones de una ecuación de segundo grado obtenemos
( )4
32137174
19481717 2 xn
xn
+±=⇒+−×−±=
El radicando debe ser cuadrado perfecto impar: 32
13732137
22 −=⇒=+ a
xax y 13≥a impar y del tipo
34 += ka para el signo positivo de la fórmula o 14 += ka para el signo negativo de la fórmula hasta
17<a
Posibilidades:
• 14
13171
32137169
13 =−=⇒=−=⇒= nxa . No tiene sentido porque no habría números para
hacer el promedio
• 84
151775,2
32137225
15 =+=⇒=−=⇒= nxa . No tiene sentido al no ser x natural
• 94
19177
32137361
19 =+=⇒=−=⇒= nxa . Valores todos válidos y coherentes con el
enunciado
• 104
231725,12
32137529
23 =+=⇒=−=⇒= nxa . No tiene sentido al no ser x natural y,
además, sucede que nx > para este valor y los siguientes
En resumen, el número eliminado es el
7
Dado un trapecio ABCD se dibuja el segmento BE paralelo al lado CD del trapecio.
Si la superficie del trapecio ABCE es de 12 cm2, calcula la superficie del triángulo ACD
SOLUCIÓN
Llamamos h a la altura común del trapecio ABCE y del triángulo ACD
La superficie del trapecio ABCE es 122
=×+= hAEBC
SABCE cm2 y la superficie del triángulo ACD es
hEDAE
hAD
SACD ×+=×=22
Como CDBE // y EDBC // se verifica que ABCEACD ShBCAE
hEDAE
SBCED =×+=×+=⇒=22
, por lo
que la superficie del triángulo es == ABCEACD SS
12 cm2
Descompón en factores primos el número
SOLUCIÓN
Evidentemente podemos operar y, siendo 8059981865320201320071995 =+××=N , obtener los
factores probando por sucesivos primos, pero esto nos llevaría excesivo tiempo. Lo hacemos de otra manera.
Si hacemos ( ) ( ) ⇒+−+−=++××−=⇒= 320726123206122007 223 aaaaaaaNa
320726 23 +−−=⇒ aaaN
Probamos por la regla de Ruffini para los divisores de 320 y obtenemos, en el primer caso de éxito, que
De lo anterior, ( ) ( )8024320726 223 −−×−=+−−= aaaaaaN
Resolviendo 08022 =−− aa obtenemos que
=−=
⇒±=+±=10
8918011
a
aa son las raíces del polinomio
de segundo grado, por lo que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10848024320726 223 −×+×−=−−×−=+−−= aaaaaaaaaN
En resumen, como hemos hecho 2007=a , una primera descomposición factorial es
( ) ( ) ( ) 1997201520031020078200742007 ××=−×+×−=N
Los números anteriores son sencillos de factorizar:
• 2003 es primo
• 311352015 ××=
• 1997 es primo
Por lo tanto,
N = 5 x 13 x 31 x 1997 x 2003
Se marcan varios puntos, todos distintos, en una recta y se consideran todos los intervalos abiertos que pueden construirse con cada par de esos puntos.
Si uno de los puntos está en el interior de 80 de esos intervalos y otro de los puntos está en el interior de 90, ¿cuántos puntos se han marcado en la recta?
SOLUCIÓN
Marcamos n puntos distintos (ordenados de menor a mayor) naaaa ,,...,, 321 en una recta:
A la vista del esquema, está claro que
• 1a no está en ningún intervalo
• 2a está en los intervalos ( )31 , aa , ( )41 , aa , …, ( )naa ,1 . Es decir, en 2−n intervalos
• 3a está en los intervalos ( )41 , aa , ( )51 , aa , …, ( )naa ,1 y ( )42 , aa , ( )52 , aa , …, ( )naa ,2 . Es decir,
en ( )22 −× n intervalos
• …
• ma está en los intervalos ( )11 , +maa , ( )21 , +maa , …, ( )naa ,1 ; ( )12 , +maa , ( )22 , +maa , …, ( )naa ,2 ; ...;
( )11 , +− mm aa , ( )21 , +− mm aa , …, ( )nm aa ,1+ . Es decir, en ( ) ( )mnm −×−1 intervalos, siendo nm ≤≤1
Entonces, consideramos dos puntos xa , contenido en 80 intervalos, y ya , contenido en 90 intervalos.
Se verifica que ( ) ( )( ) ( )
=−×−=−×−
901
801
yny
xnx. Veamos las posibilidades:
• ( ) ( ) 0172839082182;280;11 2 =+−⇒=−×−⇒==⇒=−=− yyyynxxnx . El discriminante
de esta ecuación 62011724832 =×−=∆ no es cuadrado perfecto y⇒ no es entero: imposible
• ( ) ( ) 0133449043143;340;21 2 =+−⇒=−×−⇒==⇒=−=− yyyynxxnx . El discriminante
de esta ecuación 14041334442 =×−=∆ no es cuadrado perfecto y⇒ no es entero: imposible
• ( ) ( ) 0115269025125;520;41 2 =+−⇒=−×−⇒==⇒=−=− yyyynxxnx . El discriminante
de esta ecuación 2161154262 =×−=∆ no es cuadrado perfecto y⇒ no es entero: imposible
• ( ) ( ) 0112239022122;616;51 2 =+−⇒=−×−⇒==⇒=−=− yyyynxxnx . El discriminante
de esta ecuación
=−=
=+=⇒
±=⇒=×−=∆7
2923
162
923
2
8123811124232
y
yy , coherentes ambas
• ( ) ( ) 0109209019119;910;81 2 =+−⇒=−×−⇒==⇒=−=− yyyynxxnx . El discriminante
de esta ecuación 361094202 −=×−=∆ es negativo y⇒ no es entero: imposible
Las posibilidades 8;101 =−=− xnx ; 5;161 =−=− xnx ; 4;201 =−=− xnx ; 2;401 =−=− xnx y
1;801 =−=− xnx repiten los valores de n , por lo que su estudio saca las mismas conclusiones que en los
cinco casos anteriores.
La única posibilidad coherente es, entonces, que 22=n con 6=x o 17=x (que se obtiene en el análisis de
uno de los cinco últimos casos) e 7=y o 16=y
En resumen, el número de puntos que se han marcado en la recta en todos los casos factibles es
22
N es el menor número entero positivo cuyas cifras suman 2015.
¿Cuánto suman las cifras del número N + 1 ?
SOLUCIÓN
El menor número debe tener la menor cantidad posible de cifras por lo que deberá tener la mayor cantidad
de cifras iguales a 9
Dividimos 2015 entre 9 y obtenemos 223 de cociente y 8 de resto.
Por lo tanto el menor número debe tener 223 nueves y un 8 . Será el número 9......982231 cifras+
De lo anterior, 0......0919......98122312231 cifrascifras
N++
=+=+ y la suma de sus cifras es
9
Halla todos los pares de números reales (x,y) que verifican la ecuación
SOLUCIÓN
Completamos cuadrados en el polinomio: ( ) ( ) ( ) ( ) =−+++=++ xysenxysenxysenxxxysenxx 2222 1212
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xyxysenxxysenxysenxysenxx 22222 cos12 ++=−+++=
La ecuación queda, entonces, ( )( ) ( ) ( )( )
==+
⇒=++0cos
00cos22
xy
xysenxxyxysenx , cumpliéndose ambas
afirmaciones a la vez.
Si ( ) Zkkxyxy ∈∀+=⇒= ,2
0cos ππ
Estudiamos los casos para la primera igualdad deducida:
• Si nk 2= es par, ( ) ⇒=+⇒=
+⇒=
++⇒=+ 0102
022
0 xsenxnsenxxysenxπππ
1−=⇒ x . Entonces, Znnynynynxy ∈∀+=⇒+−=⇒+=−⇒+= ,22
32
22
22
2ππππππππ
• Si 12 += nk es impar, ( ) ( ) ⇒=
×+++⇒=+ 0122
0 ππnsenxxysenx
102
302
23 =⇒=
+⇒=
++⇒ xsenxnsenxπππ
. Entonces,
( ) Znnynynxy ∈∀+=⇒+=⇒×++= ,22
32
2
312
2ππππππ
Concluyendo, los pares pedidos son
(±1 , 3π/2 + 2nπ), para cualquier n entero
En el aula de Plástica se están haciendo insectos voladores de papel. Con un cuadrado, de 6 cm de lado, se hacen las alas azules de uno de ellos.
La zona azul, que forma las alas, del cuadrado está limitada por un semicírculo y dos arcos de cuadrante.
Halla la superficie de una de las alas.
SOLUCIÓN
Si dividimos la figura en los cuatro cuadraditos iguales que se ven vemos que cada
uno de ellos está formado por una parte azul y otra roja rotuladas con los dígitos
1 y 2 que designan, respectivamente, a partes de la misma superficie que hay en
todo el cuadrado.
Como hay dos partes 1 y dos partes 2 de cada color, la superficie blanca y la
superficie azul, encerradas por el cuadrado, tendrán el mismo área.
De ahí, el área de la parte azul es la mitad de la del cuadrado: 182
66 =× cm
2
Por consiguiente la superficie de una de las alas será =2
18
9 cm2
La función representada en la figura adjunta es y = f (x )
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación f (f (f (x ))) = 0 ?
SOLUCIÓN
Es fácil deducir que la función que nos muestra la gráfica es
>≤<−−
−≤+=
0
02
24
)(
xsix
xsix
xsix
xf
Entonces, ( )( )
( ) ( ) ⇒
>≤<−
−≤+=
⇒
>≤<−−−
−≤++=
0
02
28
)(
0
02
244
)(
xsix
xsix
xsix
xff
xsix
xsix
xsix
xff
( )( )( )
( )( )
>≤<−−
−≤+=⇒
>≤<−−
−≤++=⇒
0
02
212
)(
0
02
248
)(
xsix
xsix
xsix
xfff
xsix
xsix
xsix
xfff
( )( ) 0)( =xfff se cumple si
• ( )( ) 12012)( −=⇒=+= xxxfff cuando 2−≤x
• ( )( ) 00)( =⇒=−= xxxfff cuando 02 ≤<− x
• ( )( ) 0)( == xxfff cuando 0>x (¡imposible!)
• 40404)( −=⇒=+⇒=+= xxxxf cuando 2−≤x y, asi, ( )( ) ( )( ) ( ) 000)4( ===− ffffff
• ( ) 80808)( −=⇒=+⇒=+= xxxxff cuando 2−≤x y, asi, ( )( ) ( ) 00)8( ==− ffff
Las soluciones de la ecuación son 12− , 8− , 4− y 0 :
4 soluciones
Encuentra todas las funciones naturales de variable natural f tales que
para todo número natural n
SOLUCIÓN
( ) ( )( ) ( )( )( ) ⇒=++ nnfffnffnf 3
Si hacemos ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) 11113131111 ===⇒=×=++⇒= ffffffffffffn al ser las
imágenes tres números naturales que suman 3
Si hacemos ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) 22226232222 ===⇒=×=++⇒= ffffffffffffn al ser las
imágenes tres números naturales que suman 6 y, necesariamente, ( ) ( )12 ff ≠ : si fueran iguales
( ) ( )( ) ( )( )( )222 ffffff ++ valdría 3 y no 6 .
Siguiendo el mismo razonamiento obtenemos que ( ) 11 =f , ( ) 22 =f , ( ) 33 =f , …, ( ) Nnnnf ∈∀= ,
La única función que cumple la condición del problema es
la función natural de variable natural IDENTIDAD: f (n ) = n
Estamos en el año 2016.
Calcula, DE MEMORIA, la raiz cuadrada de las sumas de las cuatro operaciones básicas donde intervenga exclusivamente, dos veces en cada operación, ese año.
SOLUCIÓN
Si hacemos 2016=n , en general ( ) ( ) ( ) ( ) =++=+++=+×+−++ 12102/ 22 nnnnnnnnnnnn
( ) Nnnn ∈∀+=+= ,11 2
Por tanto, el resultado de la operación es
2017
Las distancias de un punto P a tres de los vértices de un rectángulo son, como se ve en la figura, 3, 6 y 10 cm.
Halla la distancia de P al cuarto vértice.
SOLUCIÓN
Llamamos x a la distancia pedida en centímetros.
Dividimos el rectángulo en cuatro rectángulos al dibujar dos segmentos, desde
un lado al opuesto, paralelos a los lados pasando por P . Señalamos las
longitudes de sus lados con los correspondientes valores dcba ,,,
Esos cuatro rectángulos tienen, como diagonales, a los segmentos con las
distancias dadas y con la pedida.
Aplicando el teorema de Pitágoras en cada uno de ellos obtenemos:
( ) ( ) ( )⇒
=+=+
⇒
=+−+=−+=+−+++
⇒
=+=+=+
=+−+
222
22
222
222222222ª2ª3ª1
222
222
222
222
1279361003610
6
3
10
xcb
cb
xcb
dadbca
xcb
db
da
caec
==⇒=⇒ 1271272 xx
11,27 cm
Halla los pares de números enteros ( x , y ) que verifican la ecuación
SOLUCIÓN
( ) ( ) 4745202720542754 =−×−⇒+=+−−⇒=−− yxyxxyyxxy
Como 47 es primo, las posibilidades existentes es que uno de los factores sea 1± y el otro 47±
Entonces:
• ⇒
==
⇒
=−=−
51
6
474
15
y
x
y
xel par ( )51,6 verifica la ecuación
• ⇒
−==
⇒
−=−−=−
43
4
474
15
y
x
y
xel par ( )43,4 − verifica la ecuación
• ⇒
==
⇒
=−=−
5
52
14
475
y
x
y
xel par ( )5,52 verifica la ecuación
• ⇒
=−=
⇒
−=−−=−
3
42
14
475
y
x
y
xel par ( )3,42− verifica la ecuación
(-42 , 3); (4 , -43); (6 , 51); (52 , 5)
Halla x sabiendo que
SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta que ( )
552
1010110...21 =×+=+++ según la fórmula de la suma de una progresión
geométrica, ⇒=×++×+⇒=+++ 11010log10...10log210log11010log...10log10log 102xxxxxx
( ) ⇒=⇒==⇒=×⇒=×+++⇒ 10255
11010log11010log5511010log10...21 2xxxx
x = √10
Rellena los huecos que faltan:
SOLUCIÓN
La solución es cuestión de lógica. Empezando por las veces que aparece el cero y casi todas las demás cifras
(una vez, en la mayoría de los casos es lo más lógico),…. Se llega a
Escribimos todos los números del 1 al 9999 de forma consecutiva formando el número
Halla la cifra que ocupa el lugar 2016 en dicho número.
SOLUCIÓN
El número N está formado por 9 números de una cifra, 90 números de dos cifras, 900 números de tres
cifras y 9000 números de cuatro cifras. En total, tiene 3888949000390029019 =×+×+×+× cifras, y a
partir de la siguiente cifra a la que ocupa el lugar 18929019 =×+× y hasta la cifra que ocupa el lugar
2889390029019 =×+×+× son todos los valores añadidos de tres cifras y la cifra que ocupa el lugar 2016
está en el lugar 18271892016 =− desde el inicio de esos valores.
Hay 900 valores de tres cifras añadidos ( 2700 cifras) y, cada 3009/2700 = cifras cambia la de las centenas.
Visto que se trata del que ocupa el lugar 2730061827 +×= , la cifra de las centenas en donde esta la cifra
buscada es un 7 . A partir de ahí, deberíamos marcar 93/27 = números completos, siendo la cifra de las
unidades del último ( 708700,708 ade ) el que nos indica la buscada.
La cifra es
8
La media geométrica de tres números es 3 y la media geométrica de otros tres es 12.
¿Cuál es la media geométrica de los seis?
SOLUCIÓN
Sean cba ,, los tres primeros números: 33 =×× cba
Sean fed ,, los otros tres números: 123 =×× fed
Entonces, =×=×=×××××=×××××=××××× 12312333666 fedcbafedcbafedcba
== 36
6
Halla
SOLUCIÓN
01616...16161616...161616 22 =−−⇒+=++++=⇒+++= xxxxx
Entonces, ( )
2
651
2
164110162 ±=
−×−±=⇒=−− xxx
En el contexto del enunciado, como =+=⇒>2
6510 xx
4,5311
Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética, y las longitudes de sus alturas también.
Si un lado del triángulo mide 4 cm, halla las longitudes de los otros dos.
SOLUCIÓN
Nombrando lados y alturas del triángulo con las correspondientes letras
tenemos, según indica el enunciado y si x es la diferencia de la progresión
aritmética de los lados e y es la diferencia de la progresión aritmética de
las alturas, que
+=+=
xac
xab
2 y
+=+=
ymp
ymn
2 según la correspondencia
(proporción inversa: x e y deben tener distinto signo) entre lados y
alturas.
El área del triángulo puede escribirse así:
( ) ( ) ( ) ( )⇒
+×+=+×+=×⇒
×=×=×2
22
22222
ymxaymxamapcnbma
⇒=++=++⇒+++=+++=⇒ 0422
2
422
22xyxmayxyxmay
xyxmayamxyxmayamam
00 =⇒=⇒ xxy o 0=y , pero en ambos casos se deduce que el otro parámetro debe ser también nulo.
Por tanto 0== yx y los tres lados son iguales, siendo el triángulo equilátero. Los otros lados miden
4 cm y 4 cm
Blanca tiene un dado clásico, con las caras numeradas con 1, 2, 3, 4, 5, 6, y Lourdes tiene un dado especial: sus seis caras están numeradas con 2, 2, 2, 5, 5, 5.
Si lanzan los dos dados a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que Blanca saque un número superior al que saque Lourdes?
SOLUCIÓN
Si llamamos Bn al suceso “saca Blanca el número n” y nL < al suceso “saca Lourdes un número menor que
n”, la probabilidad de que gane Blanca será ( ) ( ) +<×+<×= )2(2)1(1)( LPBPLPBPBlancaganarP
( ) ( ) ( ) ( ) =<×+<×+<×+<×+ )6(6)5(5)4(4)3(3 LPBPLPBPLPBPLPBP
=+=+×+×+×=×+×+×+×+×+×=6
1
12
3
6
1
2
1
6
1
2
1
6
1
2
1
6
11
6
1
6
3
6
1
6
3
6
1
6
3
6
10
6
10
6
1
5/12
Las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo son x cm e y cm, y la hipotenusa mide x + y – 4 cm
Halla la longitud del radio de su circunferencia inscrita.
SOLUCIÓN
Nombramos los vértices y el incentro, centro de la circunferencia
inscrita, y llamamos r a su radio.
En el dibujo aparecen tres triángulos CIBBIAAIC ,, tales quye la
siuma de sus áreas es igual al área del triángulo rectángulo ABC ,
rectángulo en A : ⇒=++ ABCCIBBIAAIC ÁreaÁreaÁreaÁrea
( ) ( )422
422
422 −+
=⇒×=×−+++⇒×=×−++×+×
⇒yx
xyryxryxyx
yxryxryrx
Por otro lado, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC , ( ) ⇒+=−+ 2224 yxyx
8441688288216 2222 −+=⇒−+=⇒+=−−+++⇒ yxxyyxxyyxyxxyyx
Ssustituyendo esta última expresión en la obtenida para r ,
( )⇒
−+−+×=
−+−+=
−+=
4224222
422844
422 yx
yx
yx
yx
yx
xyr
r = 2 cm
Halla la función real de variable real tal que
SOLUCIÓN
Sea ( ) { }1,0,1
1 −∈∀=
−+ Rxx
xfxf [1]
Si tomamos el valor x−1
1, ⇒
−=
−−−+
−⇒
−=
−−
+
− xx
xf
xf
xx
fx
f1
1
111
11
11
1
11
1
11
1
xx
xf
xf
xx
xf
xf
−=
−+
−⇒
−=
−−+
−⇒
111
11
111
11
[2]
Y tomando el valor x
x 1−, ⇒
−=
+−+
−⇒
−=
−−+
−x
x
x
xxf
x
xf
x
x
x
xf
x
xf
11
1111
1
11
( )x
xxf
x
xf
11 −=+
−⇒ [3]
Operamos ahora las tres expresiones:
[1]+[3]-[2] ( ) ( ) ⇒−
−−+=
−−
−−+
−+
−+⇒
xx
xx
x
xf
xfxf
x
xf
xfxf
1111
111
11
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
xx
xxxf
xx
xx
xx
xxxxx
xx
xxxxxxf
221112
1111
22
3
2
3
2
2322
−+−=⇒
−+−=
−−−+−−=
−×−−×−+−×=⇒
La función es
f (x) = (x3-x+1)/(2x2-2x) para xєIR, x≠0, x≠1
¿Cuáles, de las siguientes proposiciones, son ciertas?:
A) “C es cierta”
B) “A es cierta”
C) “E es falsa”
D) “B es falsa”
E) “1 + 1 = 2”
SOLUCIÓN
Si A fuera cierta, C sería cierta y, por tanto, E falsa. Esto es absurdo porque E es, evidentemente, cierta.
De lo anterior se deduce que A es falsa, por lo que B y C también son falsas y D , por tanto, cierta.
Son ciertas D y E
Tres circunferencias de igual radio, tangentes entre sí, están inscritas en otra circunferencia de radio unidad.
¿Cuánto miden los radios de esas circunferencias?
SOLUCIÓN
Llamando r al radio de los círculos interiores y dibujando las líneas que se
muestran en la imagen aparece un triángulo equilátero de r2 unidades de
lado y cuyo baricentro coincide con el centro de la circunferencia exterior.
La longitud de la altura del triángulo la calculamos aplicando el teorema
de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos mitades del equilátero:
( ) rrrraltura ×==−= 332 222
Por otro lado, como la distancia del baricentro a cada vértice son dos
tercios de la mediana correspondiente, que en este caso coincide con la
altura, ⇒=+××⇒××=×=− 1332
332
32
1 rrralturar
( ) ( )( ) ( )
( )⇒
−××=−××+×
−××=+×
=⇒=×+×⇒=+××⇒3
3323
332332
3323
332
3333213
32
rrrr
332 −×=r
2 x √3 – 3 unidades de longitud
Calcula las soluciones reales de la ecuación
SOLUCIÓN
Sea 597 44 =+− xx . Hacemos 497 yx =− y
=+=+
⇒=97
544
4
zy
zyzx
Entonces, ( ) yzzyyzzyzy 225252 22222 −=+⇒=++=+
Por otro lado, ( ) ( ) ⇒==++×++=++++=+ 625564644 42222442233444 zyzyyzzyzyyzzyzyzy
( ) ⇒=+−+−⇒=+−×+⇒ 097625681006256225497 222222 zyzyyzzyyzyz
( ) ( ) 192536125264252502645005281002 2222 ±=±=−±=⇒=+−⇒=+−⇒ yzyzyzyzzy
De lo anterior salen las siguientes posibilidades:
• 61925 =−=yz
o 1=y , 6=z ; 6=y , 1=z : no cumplen la primera ecuación 5=+ zy
o 2=y , 8133 4 ==⇒= xz y se cumplen todas las condiciones iniciales
o 3=y , 1622 4 ==⇒= xz y se cumplen todas las condiciones iniciales
• 441925 =+=yz
o No hay valores de y , z que cumplan la primera ecuación 5=+ zy
Por lo tanto, las únicas soluciones son
x = 16, x = 81
¿Cuántos polígonos regulares hay, obviado la longitud del lado, cuyos ángulos (en grados sexagesimales) interiores son números enteros?
SOLUCIÓN
El ángulo de un polígono regular de n lados mide exactamente n
º360º180 −
(según se puede ver en la imagen adjunta) por lo que el número de lados, para
que el ángulo sea un valor entero positivo, debe ser cualquier divisor de º360
mayor que 2
Como 532360 23 ××= , los divisores de 360 mayores de 2 son
360,180,120,90,72,60,45,40,36,30,24,20,18,15,12,10,9,8,6,5,4,3
22 polígonos
En un bombo de lotería quedan cuatro bolas, dos con número par y dos con número impar.
Si damos vueltas al bombo y extraemos dos bolas, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea impar?
SOLUCIÓN
Habrá suma impar si sacamos dos números de distinta paridad. Por lo tanto, llamando I a ‘sacar impar’ y P
a ‘sacar par’ la probabilidad que nos piden es
( ) ( ) ( ) ( )32
32
42
232
42
32
42
|| =××=×+×=×+×= IPPIPPIPPPP
2/3
Dado un número real a, se define el polinomio
Halla todas sus raíces sabiendo que son reales y están en progresión aritmética.
SOLUCIÓN
Sean dmmdm +− ,, las tres raíces, en progresión aritmética, del polinomio. Entonces
( ) ( ) ( ) ( ) =−−×−×+−=+−+= dmxmxdmxaxaxxxP 102 23
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )dmmdmxdmmdmdmmdmmxx +××−−×+×++×−+×−+−= 23 3 , de donde se obtiene
que
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
⇒
−=−−=−
−=⇒
−=−−=−
−=⇒
=+××−−−=+×++×−+×−
=−×→
10
3
23
10
3
23
10
23
23
23ª2ª2
23
22
mdm
mamdm
am
mdm
adm
am
dmmdm
admmdmdmmdm
amm
0203420342024
23
102
23 2323ª1ª2
3
2ª22ª2ª1ª1
3
ª3ª2=−−⇒=−⇒
+−=−=
⇒
+−=−=
⇒−×→
×→−
mmmmmam
mam
mam
amm
Probando por Ruffini se obtiene que ( ) ( )105422034 223 ++×−=−− mmmmm , y la única solución real de
la ecuación obtenida es 2=m
Como 39102810 222
23 ±=⇒=⇒−=−⇒−=−=
dddmdmm
En ambos casos las raíces pedidas son, entonces, dmmdm +− ,, cuyos valores son
-1, 2, 5
En el rectángulo ABCD de la figura P1 es el punto medio de DC ; P2 es el punto medio de AP1 ; P3 es el punto medio de BP2 , y P4 es el punto medio de CP3
Halla la razón entre las áreas del cuadrilátero P1P2P3P4 y del rectángulo ABCD
SOLUCIÓN
Sean a y b las dimensiones de los lados del rectángulo.
Al ser 1P el punto medio de 21
bDPDC =⇒
Por lo tanto, 42
21
abb
aÁreaADP =
×=
Como 2P es el punto medio de ⇒1AP la distancia de 2P al
lado AB es 2
a por lo que
422
2
aba
bÁrea BAP =
×=
También, por la razón anterior, la distancia de 2P al lado AD es ⇒4
b la distancia de 2P al lado BC es
⇒43b
la distancia de 3P al lado BC es 8
3b al ser 3P el punto medio de 2BP . Entonces,
16
3
28
3
3
abb
aÁrea CBP =
×=
Por último, la distancia de 2P al lado AB es ⇒2a
la distancia de 3P al lado AB es 4a
al ser 3P el punto
medio de 2BP , por lo que la distancia de 3P al lado DC es 4
3a y la distancia de 4P al lado DC es
83a
al ser
4P el punto medio de 3CP . Por ello, 32
3
28
3
214
abab
Área PCP =×
=
La superficie del cuadrilátero interior es, entonces,
⇒−−−−=−−−−=32
3
16
3
44143214321
abababababÁreaÁreaÁreaÁreaÁreaÁrea PCPCBPBAPADPABCDPPPP
32
7
32
3688324321
ababÁrea PPPP =−−−−=⇒
La razón entre las dos superficies es
7/32
Si
¿cuál es el mayor factor primo de n ?
SOLUCIÓN
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒××××=×+×+×+=+⇒×××=+!13732!123!313732
!!3 3333 nnnnnn
n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=+⇒××=××××=×××=+×+×+⇒ 26126272813237213732123 3233 nnnn
2525 ==⇒ n
El mayor factor primo de 25=n es
5
En un triángulo rectángulo se traza la altura que parte del ángulo recto y el triángulo queda dividido en dos triángulos, uno de los cuales tiene el triple de área que el otro.
Si la hipotenusa del triángulo original mide 1 cm, ¿cuánto miden sus catetos?
SOLUCIÓN
Sean a y b los dos catetos, h la altura y x e y los segmentos en que
queda dividida la hipotenusa por la altura citada: 1=+ yx
Según el enunciado, xyxhyh
32
32
=⇒××=×
Entonces,
=
=⇒
==
⇒
==+
⇒
==+
cmy
cmx
xy
x
xy
xx
xy
yx
4341
3
14
3
13
3
1
Según el teorema de la altura, cmhyxh4
3
16
3
4
3
4
12 =⇒=×=×=
En las condiciones anteriores aplicamos a sendos triángulos rectángulos el teorema de Pitágoras y
obtenemos
cmaahxa21
41
164
163
161
43
41
222222 =⇒==+=
+
=⇒+=
cmbbhyb23
43
1612
163
169
43
43
222222 =⇒==+=
+
=⇒+=
1/2 cm y √3/2 cm
Eli está haciendo un cuadrado mágico multiplicativo utilizando los números 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100.
Los productos de los números situados en cada fila, en cada columna y en las dos diagonales deben ser todos iguales.
Ha comenzado como se ve en la figura.
¿Qué número debe poner Eli en la casilla marcada con el signo de interrogación?
SOLUCIÓN
Como 100010000000001000000000100502520105421 3 =⇒=×××××××× es el valor de los
productos de cada fila, columna o diagonal.
De ahí, el último número de la primera fila debe ser 50120
1000 =×
Evidentemente, el 100 no puede estar nunca alineado ni con 20 ni con 50 , pues su
producto con cualquiera de ellos rebasaría el valor común de los productos. En
consecuencia, 100 debe estar en la casilla central de la última fila.
Siguiendo la lógica, el valor de la casilla central es 101100
1000 =×
de donde el valor de
la primera casilla de la tercera fila es 25010
1000 =×
y el de la última casilla de la
tercera fila es 52100
1000 =×
Para acabar, los valores que faltan por rellenar en las dos casillas de la fila central
son, respectivamente, 25220
1000 =×
y 4505
1000 =×
, con lo que queda completado el cuadrado mágico:
El valor pedido es
4
El hexágono regular inscrito en la estrella tiene un área de 12 cm2
¿Cuál es el valor del área, en cm2, de la estrella?
SOLUCIÓN
Observamos que el hexágono está compuesto de 6 triángulos equiláteros iguales
(en verde), por lo que el área de cada uno será de 26
12 = cm2
Si a mide cada lado de dichos triángulos y h la altura, aplicando el teorema de
Pitágoras a uno de los triángulos rectángulos en los que la altura divide a cada
equilátero obtenemos que 2
34
342
222
222 a
haa
aa
ah×=⇒=−=
−= cm
De ahí, 324
3
83
3
82
43
22
3
222
2
×=×
=⇒=⇒=×=
××=×
haa
aaha
Se observa que h es, precisamente, el lado cada triángulo equilátero (en naranja) formado por el centro del
hexágono y dos vértices consecutivos suyos.
Por un razonamiento idéntico al caso anterior, el área de cada uno de estos triángulos equiláteros es
2
3
4
323
4
3 2
=××=× h cm
2
Teniendo en cuenta que la estrella se descompone en 12 de tales triángulos equiláteros marrones, su área
será =×122
3
18 cm2
Hallar todos los números enteros n para los que
es un número primo
SOLUCIÓN
Como ( ) ( ) ( ) 112111 2422422222 ++=−++=−+=+−×++ nnnnnnnnnnn , el número 124 ++ nn es
primo sólo si, en todo caso, el factor ( )
±==
⇒=±×⇒=±⇒=+±1
001011 22
n
nnnnnnn
Ahora bien, si 0=n obtendríamos 1100 24 =++ , número no primo, por lo que los valores enteros que
hacen que la expresión sea número primo ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
=+−+−=×=+−−−×+−+−=++=×=+−×++
311131111111
3111131111112422
2422
son
n = ±1
Ocho sobres sin marca alguna en el exterior contienen los números 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.
Presen elige unos cuantos sobres al azar y Roque toma los que quedan.
Ambos suman los números que hay dentro de los sobres, y la suma de Presen es 31 unidades más que la de Roque.
¿Cuántos sobres cogió Presen?
SOLUCIÓN
Se hacemos la suma total de los contenidos de los sobres obtenemos 2551286432168421 =+++++++
Si a y b son las sumas que corresponden a cada uno (Presen y Roque, respectivamente) se debe cumplir
que
==
⇒
=−=+
112
143
31
255
b
a
ba
ba
De esta manera, como
++=+==++++=+==
1632644864112
124812815128143
b
a se deduce inmediatemente que Roque cogió
3 sobres y Presen cogió
5 sobres
El área de un hexágono regular en cm2 viene dada por el mismo número que su perímetro en cm.
¿Cuántos centímetros mide su lado?
SOLUCIÓN
Si el lado del hexágono es a , el área es 2
4
36 a×× cm
2, seis veces el área de un triángulo equilátero de lado
a cm.
El perímetro es, evidentemente, a6 cm.
Entonces, como debe ser =×==⇒=×⇒=××3
34
3
41
4
36
4
36 2 aaaa
2,31 cm
Sea la sucesión dada por a1 = a2 = 1 y
Halla a2016
SOLUCIÓN
NnaaaaNnaa
a nnnnnn
n ∈∀+×=×⇒∈∀+= ++++
+ ,1,1
1121
2 y como Nnnaaaa nn ∈∀=×⇒== + ,1 121
Entonces, ⇒=××=×==⇒
−=>∀⇒−=×>∀−
− ...2014
201320152014
201520151,11,1
2013
2014
20152016
11 a
a
aa
a
nannaan
nnnn
( ) ( ) ( ) ⇒
×=
××××=
××××××××=⇒ 21007222016
2!1007
!2015
2...201020122014
!2015
2...201020122014
3...201120132015a
( )2!100720142
!20152016 ×
=a
La figura muestra un cubo en el que hay marcados cuatro ángulos.
¿Cuánto vale la suma de esos ángulos?
SOLUCIÓN
Según se ve en la figura está claro que hay tres ángulos de º90
El cuarto, en el vértice A mide º60 si observamos que es uno de los del
triángulo equilátero ABC
La suma de los ángulos es, entonces, =+++ º60º90º90º90
330o
Un comerciante desea etiquetar un producto para que al hacer un descuento del 20 % obtenga un beneficio del 25 %.
Si el producto le costó 200 €, ¿qué precio debe poner en la etiqueta?
SOLUCIÓN
Si desea obtener un beneficio del %25 sobre los €200 de coste debería obtener €250€20025,1 =×
efectivos.
Si quiere hacer un %20 de descuento respecto del precio etiquetado deberá indicar un precio tal que su
%80 sean los €250 que quiere obtener de ganancia.
Por lo tanto, el etiquetado del producto debe ser de =×80
100250
312,5 €
Escribe la expresión más simplificada del número
SOLUCIÓN
Si observamos, ( )
Nnn
nn
n
nn
n
n
n∈∀×−=−=−=− ,
212242424
22
2
De ahí, =
×××
××
××
×=
−××
−×
−×
−2222 2016
40324031...
365
243
121
20162
4...32
422
412
4
( ) ( ) =×
==××××
××××××××=!2016!2016
!4032
!2016
!4032
2016...321
40324031...65432122
2016
4032
Un barco de motor tarda 4 horas en navegar, corriente abajo, de Iquitos a Tabatinga.
El retorno, contra corriente, de Tabatinga a Iquitos, le lleva 6 horas.
¿Cuántas horas tardaría un tronco de madera en llegar desde Iquitos a Tabatinga, llevado sólo por la corriente, suponiendo que no encuentra ningún obstáculo en su camino?
SOLUCIÓN
Llamamos d a la distancia entre Iquitos y Tabatinga y v a la velocidad del barco en km/h.
Si w es la velocidad de la corriente del río, también en km/h, se cumple que, corriente abajo, ambas
velocidades se suman por lo que 4
dwv =+ y corriente arriba deberán restarse:
6
dwv =−
Restando ambas igualdades tenemos que ( ) ( ) ⇒=⇒−=+−+⇒−=−−+
122
12
23
64
dw
ddwvwv
ddwvwv
24
dw =⇒ , velocidad de la corriente.
En conclusión, el tronco de madera tardará en hacer el trayecto
24 horas
En una progresión aritmética de nueve términos el quinto es 4.
¿Cuánto suman los nueve términos?
SOLUCIÓN
Si d es la diferencia de la progresión, tenemos que daadaadaadaa −=−=−=−= 54535251 ;2;3;4 y
daadaadaadaa 4;3;2; 59585756 +=+=+=+=
Por lo tanto, ++++−+−+−+−=++++++++ daadadadadaaaaaaaaaa 555555987654321 234
=×==++++++ 499432 5555 adadada
36
Calcula todas las sucesiones finitas de números naturales consecutivos cuya suma es 484
SOLUCIÓN
Sea la sucesión maaaa +++ ...,,2,1, de 1+m de números naturales consecutivos,
progresión aritmética.
Como la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es ( )
21 naa
S n ×+= , la suma de la
propuesta es ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 96812484
2
12
2
1 =+×+⇒=+×+=+×++mam
mammmaa
Teniendo en cuenta que amm 21 +<+ (por ser m y a números naturales) y que 23 112968 ×= podemos
analizar las siguientes posibilidades:
• 483248421;14842;21 =⇒=+=⇒=+=+ aamamm , imposible porque Na ∈
• 239224223;32422;41 =⇒=+=⇒=+=+ aamamm , imposible porque Na ∈
• 57114212127;71212;81 =⇒=⇒=+=⇒=+=+ aaamamm :
sucesión 64,63,62,61,60,59,58,57
• 3978288210;10882;111 =⇒=⇒=+=⇒=+=+ aaamamm :
sucesión 49,48,47,46,45,44,43,42,41,40,39
• 23244221;21442;221 =⇒=+=⇒=+=+ aamamm , imposible porque Na ∈
Por lo tanto, hay 2 sucesiones que cumplen las condiciones del problema:
57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64
39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49
Félix escribe cuatro números naturales consecutivos.
A continuación, calcula las cuatro sumas posibles con tres de ellos y ninguna de ellas es un número primo.
¿Cuál es el menor número que puede escribir Félix?
SOLUCIÓN
Sean los números naturales consecutivos
3,2,1, +++ nnnn
Las cuatro sumas posibles, según el enunciado, son:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) 63321
5332
4331
3321
+=++++++=+++++=+++++=++++
nnnn
nnnn
nnnn
nnnn
Se obtienen, así, cuatro números consecutivos con el primero y el cuarto múltiplos de 3
Se trata de ver cuando es la primera vez que sucede que entre dos múltiplos sucesivos de3 hay dos números
compuestos.
Rodeando de rojo los múltiplos de 3 en la tabla donde están señalados los primos con fondo amarillo, se
observa que es en la secuencia 27,26,25,24 que se corresponde con 673,573,473,373 +×+×+×+× ,
por lo que el menor número que puede escribir Félix es el
7
Cada uno de los siete días de la semana, José Luis hace exactamente un deporte.
Corre tres días pero nunca dos días consecutivos. Los lunes hace piragüísmo y los miércoles, voley.
También hace natación y ciclismo pero nunca va en bicicleta el día siguiente de correr o nadar.
¿Qué día de la semana hace natación?
SOLUCIÓN
Según el enunciado, los martes y los jueves o viernes debe correr, siendo el sábado o el domingo el otro día
que tiene para correr.
Si fuera el jueves quedarían tres días para natación, correr y bicicleta, lo cual es imposible según la condición
de no ir en bicicleta un día después de correr o nadar, y si hiciera natación el jueves quedarían tres días para
correr y bicicleta y también sería imposible.
Por lo tanto hará ciclismo el jueves, correrá viernes y domingo y hará natación el
sábado
Calcula todos los números naturales de cuatro cifras que sean iguales al cubo de la suma de sus cifras.
SOLUCIÓN
Como el número ha de ser de cuatro cifras, la suma de sus cifras se reduce a un valor entre 10=s
( )1000103 = y 21=s ( )9261213 =
Además, el número pedido y el que resulta de la suma de sus cifras deben dar el mismo resto al dividirlos por
9 por lo que, si el resto es r , se debe cumplir que ( )9mod3rr ≡ .
De ahí, necesariamente debe ser
=+++==⇒=
≠=+++==≠=+++==
⇒=
=+++==⇒=
173194;491317:17819289586;685919:19
1010001;100010:101
182385;583218:180
3
3
3
3
srs
sr
sr
En resumen, los únicos números que cumplen la condición son
4913 y 5832
Se pueden escribir las fechas en la forma DD-MM-AAAA.
Si llamamos sorprendente a una fecha en la que los 8 dígitos escritos de esta manera son diferentes (por ejemplo, 17-03-2016 no es sorprendente ), ¿en qué día se dará por primera vez, a partir de ahora, una fecha sorprendente ?
SOLUCIÓN
Si nos mantenemos en el segundo milenio (primera cifra del año igual a 2 ), el año no puede contener las
cifras 0 ni 1 porque éstas aparecerán, necesariamente, una en día y otra en mes.
Por lo tanto, el primer año posible es 2345
A partir de ahí, es fácil deducir que el 0 debe aparecer en el mes y, por tanto, el 1 en el día. El primer día
sorprendente es el
17-06-2345: 17 de junio de 2345
Una lista de 5 números naturales verifica las siguientes propiedades:
• El único número de la lista que aparece más de una vez es el 8
• La mediana es 9
• La media es 10
¿Cuál es el mayor número natural que puede aparecer en dicha lista?
SOLUCIÓN
Tenemos cinco números naturales de los cuales hay, al menos, dos 8 y también un 9 , que es el valor central
de la lista ordenándolos de menor a mayor.
Si llamamos a los otros números x e y ( yx < ), deberán ser mayores de 9 para que este sea la mediana del
conjunto.
Además, xyyxyxyx −=⇒=+⇒=++⇒=++++
25255025105
988
El menor valor posible para x es 910 >=x , por lo que el mayor valor para y debe ser =−= 1025y
15
Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión geométrica de razón r > 0.
¿Para qué valores de r es rectángulo el triángulo?
SOLUCIÓN
Sean 2, aryara los tres lados del triángulo, siendo 0>a .
• Si 1>r , la hipotenusa es 2ar y, aplicando el teorema de Pitágoras, se cumple que
( ) ( ) ⇒=−−⇒+=⇒+=⇒+=≠
011 24240
222422222 rrrrraaraaraara
( )27202,1
2
15
2
15
2
51
2
411 *20
22
=⇒=+=⇒+=⇒
±=+±=⇒>
rrrrr
φ
• Es imposible que 1=r , pues los tres lados serían iguales y estaríamos hablando de un triángulo
equilátero.
• Si 1<r , la hipotenusa es a y, aplicando el teorema de Pitágoras, se cumple que
( ) ( ) ⇒=−+⇒+=⇒+=⇒+=≠
011 24240
224222222 rrrrraraaararaa
( )
78615,01
215
215
251
2411
*
20
22
=⇒=−=⇒−=⇒
±−=+±−=⇒>
rrrrr
φ
Son dos los valores de r los que hacen al triángulo rectángulo,
1,27202 y 0,78615
(*) Los valores de r son, precisamente, φ=r y φ1=r , siendo φ la razón aúrea.
En una conferencia, los 2016 asistentes están registrados desde A1 hasta A2016
Cada participante desde A1 hasta A2015 estrecha la mano de un número de participantes igual a su propio número de registro.
¿Cuántas manos ha estrechado el participante A2016?
SOLUCIÓN
El participante 2015A debe estrechar la mano de todos los restantes, incluidos 2016A y 1A . Para este último,
según las condiciones propuestas, será su único saludo.
El participante 2014A debe estrechar la mano de todos los restantes excepto 1A , incluidos 2016A y 2A . Este
último, según las condiciones propuestas, no tendrá más saludos que con los dos citados.
El participante 2013A debe estrechar la mano de todos los restantes excepto 1A y 2A , incluidos 2016A y 3A .
Este último, según las condiciones propuestas, no tendrá más saludos que con los tres citados.
Por inducción, el participante nA −2016 debe estrechar la mano de todos los restantes excepto 1A , 2A , …, 1−nA ,
y esto sucederá siempre que 10085,10082
20172017220161 ≤⇒=<⇒<⇒−<− nnnnn
Por lo tanto llegaremos a la afirmación de que el participante 1008A estrechará la mano de todos excepto de
los 1A , 2A , …, 1007A y aquí se acabará el razonamiento porque ya se habrán efectuado todos los saludos.
De lo anterior se deduce que 2016A realiza
1008 saludos
Se divide el rectángulo PQRS en ocho cuadrados como muestra la figura.
El lado de cada cuadrado sombreado es 10.
¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado grande PTVZ?
SOLUCIÓN
Llamamos x a la longitud del cuadrado PTVZ e y a la longitud del lado de cada uno de los cuatro
cuadrados pequeños.
Por las condiciones del problema, 246
4
305
4
30
4=⇒
==
⇒
==
⇒
=+=
⇒
=+==
xy
yx
y
yx
yx
yx
QRZSPZPS
PTPZ
24
Halla los valores reales a y b tales que el polinomio
sea divisible por
SOLUCIÓN
Como ( )22 112 +=++ xxx , aplicando Ruffini se verifica que el resto de la división de 134 ++ bxax por 1+x
es :0
011
)1
100
=+−⇒
+−−−−−−−−−
babaabbaaba
baabbaa
ba
y el resto de la división del cociente obtenido ( ) ( ) abxbaxabax −+−+−+ 23 por 1+x también debe ser
:0
04343232
322)1 =−⇒
−−−−−−−−−−
ababbaaba
abbaa
abbaaba
Por consiguiente,
==
⇒
=−=
⇒
=+−=+−
⇒
=−=+−
⇒
=−=+− +×
4
3
4
1
04
01
043
0444
043
01 ª2ª1ª14
b
a
b
ba
b
ba
ab
ba
ab
ba ecec
a = 3, b = 4
El número natural N tiene exactamente seis divisores positivos distintos, incluyendo a 1 y a N. El producto de cinco de ellos es 648.
¿Cuales son los divisores de N ?
SOLUCIÓN
Como 43 32648 ×= , es inevitable que 2 y 3 sean divisores de N y, además, lo será 632 =×
Tenemos entonces cinco divisores conocidos de N : baNN 32,6,3,2,1 ×=⇒ , donde 1, ≥ba
Apreciamos que si multiplicamos estos cinco valores obtenemos ya 32 , por lo que el divisor desconocido será
únicamente potencia de 3 : necesariamente 932 = y 1832 2 =×=N
Como 58321896321 =××××× , el divisor que falta es 9648
5832 = y los divisores son
1, 2, 3, 6, 9, 18
a, b y c son tres números que verifican que
¿Cuál es el valor de c ?
SOLUCIÓN
( ) ⇒=⇒=+⇒
=+++=+
⇒
=+++=+
⇒
=+=+=+
+2132433
24
3
24
3
6
18
3ª3ª2
ccabcba
ba
abcbac
ba
abc
bac
baec
c = 7
Halla todos los números naturales m y n que cumplan que
SOLUCIÓN
( ) ( ) ( )2!!11!!1!1! 22 −×=−−=⇒−=+ mmmnmn . De lo anterior se deduce que nm <<2
Entonces, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!!!12...212!!! −×=×+×+××−×−×⇒−×= mmmmmnnnmmn y, simplificando por !m ,
obtenemos que ( ) ( ) ( ) ( ) 2!12...21 −=+×+××−×−× mmmnnn
Es evidente que !m es divisible por 3 al ser 2!2 −⇒> mm no es divisible por 3
Se sigue que el miembro derecho de la última igualdad , formado por un producto de números consecutivos,
no es divisible por 3 y, en consecuencia, deberá tener, uno o dos factores únicamente y no divisible(s) por 3
Hay, por ello, dos posibilidades:
• 433!2!11 =⇒=⇒+=⇒−=+⇒+= nmmmmmmn , valores que verifican la ecuación inicial:
( )21!3251!4 −==+
• ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒−=+×⇒−=+++×⇒−=+×+⇒+= 4!32!222!122 mmmmmmmmmmmn
( ) 43! =+×−⇒ mmm . Se deduce de la expresión que m es divisor de 4 , y como ⇒=⇒> 42 mm
6=⇒ n , valores que no verifican la ecuación inicial: ( ) 5291!47211!6 2 =−≠=+
Entonces, los únicos valores posibles son
m = 3, n = 4
Las longitudes de los arcos AP y BP de la figura son 20 cm y 16 cm respectivamente.
¿Cuánto mide, en grados sexagesimales, el ángulo AXP ?
SOLUCIÓN
Trazamos el radio OP perpendicular a la tangente PX y
construímos el triángulo rectángulo OPX con el ángulo
α=BOP
Es evidente que la longitud de la circunferencia es
( ) ( ) 72162022 =+×=+×= BPAPL cm
Por lo tanto se cumple que, midiendo los ángulos en grados
sexagesimales, la longitud del arco º8072
3601616
360
72
360=×=⇒=⇒
×= αααLBP
Entonces el otro ángulo del triángulo rectángulo, cuyo valor se pide, es =−=−= º80º90º90 αAXP
10o
En la figura adjunta, O es el centro de la semicircunferencia y OD es perpendicular al diámetro AB.
Si AC = a y CB = b, ¿cuánto vale DC ?
SOLUCIÓN
El radio de la semicircunferencia es 22
baCBACOBOAOD
+=+===
Por tanto, aplicando el teorema de Pitagoras en el triángulo rectángulo DOC , tenemos que
( ) ( )⇒
−++=
−++
+=⇒−+=+=2222
222222
2422
babab
babaDCCBOBODOCODDC
( ) ( ) ( )⇒
+=+×=+−+++=−++=⇒24
24
2244
22222222222 babababababababa
DC
2
22 baDC
+=
Cien números, en progresión aritmética, verifican que su suma es 52 y que la suma de los términos pares es 1.
Calcula la suma de los cuadrados de los cien números
SOLUCIÓN
Sean los números { }1002 ...,,,1
aaa en progresión aritmética de diferencia ⇒d los términos pares también
forman una progresión aritmética
Por tanto, según el enunciado,
( )
( )
( )
( ) ⇒
=+−=
⇒
=+=+
⇒
=×+++
=×++
⇒
=×+
=×+−×
25000100
100100
25000100
1049900200
12
5099
522
10099
12
50
522
100
1
ª1ª22
1
1
11
11
1002
1001
da
d
da
dadada
daa
aa
aaecec
+=+===
−=⇒
50
150
50
150
50
2501
100
50021
2
1a
d
La sucesión es, entonces,
+++
501
1...,,501
49,501
50 y la suma de sus cuadrados es
( )2
222222
501
501...4950501
21...4950501
1...501
49501
50
×++++××++++=
+++
++
+=S
Se sabe que la suma de los cuadrados de los n primeros naturales es igual a ( ) ( )
6121 +×+× nnn
(en la Red
existen variadas páginas que demuestran esta afirmación) por lo que
( ) ( )⇒+×+××+××=
×++++××++++=501
250501
501
26
1015150501
501...4950501
21...49502
222S
=+=++××=501
42976501
511011725S
2148801/50
En la pirámide de bloques de la derecha cada uno tiene un número que es el producto de los dos en los que se apoya.
¿Cuál de los cinco siguientes números no puede aparecer en el bloque superior si los tres números de la fila inferior son números naturales mayores que 1?
56 – 84 – 90 – 105 – 220
SOLUCIÓN
Si llamamos cba ,, a los números, mayores que la unidad, situados en
los bloques inferiores de la pirámide, el número que se encuntra en el
bloque superior debe ajustarse a la descomposición numérica indicada:
cab2
Veamos si los números propuestos si se ajustan a ese modelo:
• 7,2,27227256 23 ===⇒××=×= cba
• 7,2,372373284 22 ===⇒××=××= cba
• 5,3,253290 2 ===⇒××= cba
• 753105 ××=
• 11,2,511251152220 22 ===⇒××=××= cba
Y apreciamos que el único que no se ajusta al modelo es
105
Joaquín tiene un terreno con forma de triángulo equilátero de 1 km de lado como el de la figura.
Desea construir una casa en el punto A y caminos perpendiculares a cada lado desde dicho punto.
¿Cuál es, en km, la longitud total de los tres caminos?
SOLUCIÓN
Sean yx, las distintas longitudes de los caminos en kilómetros. Se pide,
entonces, la longitud yx 2+
Como el triángulo ABC es rectángulo en A e isósceles, está claro que la
altura mide 2
1=x km al ser 1º45 =tg
Además, podemos distinguir dos triángulos rectángulos de las mismas
dimensiones, AEB y AFC . Tengamos en cuenta el primero de ellos. Su
hipotenusa AB coincide con el cateto del triángulo ABC
Por el teorema de Pitágoras, 2
2
2
1
2
1121 2222 ==⇒=⇒=⇒=+
=ABABABACAB
ACAB km
Además, el ángulo º15º45º60 =−=−= CBACBEABE)))
, por lo que, en el triángulo AEB , ⇒=AB
EAsen º15
º152
2º15 senysenABEAy ×=⇒×==⇒ km
En resumen, la longitud pedida es º1522
1º15
2
22
2
12 sensenyx ×+=××+=+ km y como
( ) ( )⇒
−×=×−×=×−×=−=4
132
2
2
2
1
2
2
2
3º45º60cosº45cosº60º45º60º15 sensensensen
( ) =−+=−××+=+⇒2
13
2
1
4
1322
2
12yx
√3/2 km
Para cada número natural n consideremos an como el número cuya expresión decimal está formada por n treses. Es decir, a1 = 3, a2 = 33, a3 = 333, etc,... formando así una sucesión.
Halla, en función de n, la expresión más simplificada de la suma
SOLUCIÓN
Evidentemente, 3
1109
1103
99...99999
31...1111133...33333
)()()( −=−×=×=×==
nnvecesn
vecesnvecesn
na
O sea, 3
10...101010
3
110...
3
110
3
110
3
110....
3232
321
naaaa
nn
n
−++++=−++−+−+−=++++ y,
aplicando la fórmula de la suma de los n términos de la progresión geométrica n10,...,10,10,10 32 , se
obtiene que =×
−−=−
−−×
=+++++
39
91010
3110
101010
....1
321
nnaaaa
n
n
n
2710910 1 −−+ nn
En el rectángulo ABCD la longitud del lado BC es la mitad de la longitud de la diagonal AC.
Si M es un punto de CD tal que AM = MC, ¿cuál es la medida en grados del ángulo CAM ?
SOLUCIÓN
Dibujamos los elementos descritos en el enunciado y designamos las
longitudes y medidas de ángulos.
Como MCAM = , el triángulo AMC es isósceles y el ángulo pedido
es MCAMAC))
==α , complementario al ángulo BCA)
=β del
triángulo rectángulo ABC
En este último triángulo se verifica que ⇒==AC
BCBCA)
coscosβ
º602
1
2cos =⇒==⇒ ββ
x
x
Entonces, =−=−= º60º90º90 βα
30o
La figura adjunta muestra un rectángulo ABCD inscrito en una semicircunferencia y su diámetro.
Las dimensiones del rectángulo son AB = 12 cm y BC = 28 cm.
Se ha construido un cuadrado DEFG como se ve en la figura.
¿Cuánto vale el área del cuadrado DEFG ?
SOLUCIÓN
Llamamos r a la longitud del radio de la semicircunferencia y x a la
del lado del cuadrado DEFG , ambas medidas en centímetros.
Si O es el centro de la semicircunferencia aplicamos el teorema de
Pitágoras en el triángulo rectángulo OAB y obtenemos que
34014122
2222
22222 =+=⇒
+=⇒+= rBC
ABOBOAABOB
Observamos ahora el triángulo rectángulo OGF y aplicamos en él, también, el teorema de Pitágoras:
( ) ( ) ⇒+++=⇒++=⇒++=⇒+= 1962834014 22222222222 xxxxxrDGODFGOFOGFGOF
41177277072140144282 222 =⇒±−=+±−=⇒=−+⇒=−+⇒ xxxxxx cm pues rechazamos,
según el contexto del problema, el valor negativo.
Entonces, la superficie del cuadrado DEFG es == 22 4x
16 cm2
Diego corta un rectángulo de área 2016 en 56 cuadrados iguales, siendo valores enteros las longitudes de los lados del rectángulo y de los cuadrados.
¿En cuántos rectángulos diferentes puede hacer esto?
SOLUCIÓN
El área de cada cuadrado es 22 323656
2016 ×== por lo que su lado mide 632 =× y esta longitud debe ser
divisor común de ambos lados del rectángulo.
Como 7322016 25 ××= , las posibilidades que aparecen son
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
×=×××××=××××
×=×××××=××××
424873232
842473232
1681273232
336673232
4
23
32
4
medidas de
rectángulos distintos de área 2016 descomponibles en 56 cuadrados.
Las mallas respectivas serían de
×=×
×=×
×=×
×=×
786
42
6
48
1446
84
6
24
2826
168
6
12
5616
336
6
6
cuadrados
En resumen, la descomposición citada puede hacerse en
4 rectángulos diferentes
Una progresión aritmética de n términos verifica las siguientes propiedades:
• La suma de los términos primero, tercero, quinto y así sucesivamente hasta llegar al último de la progresión original, es 320.
• La suma de los términos primero, cuarto, séptimo, décimo y así sucesivamente hasta el último de la progresión original, es 224.
¿Cuál es la suma de todos los términos de la progresión?
SOLUCIÓN
Consideramos la progresión aritmética { }na de n términos y de diferencia d . Como en las dos sumas
descritas se llega al último término se deberá cumplir que 16 += mn
Si xa =1 , tenemos que ⇒
=+++++++=+++++++
⇒
=++++=++++
+
+
2246...63
3206...42
224...
320...
16741
16531
mdxdxdxx
mdxdxdxx
aaaa
aaaa
m
m
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ⇒
=×+×+×+
=×+×+×+⇒
=+++×+×+=+++×+×+
⇒224
2
221312
3202
331213
2242...21312
3203...21213mm
dxm
mmdxm
mdxm
mdxm
( ) ( )( ) ( )
=+×+=+×+
⇒224312
320313
mdxm
mdxm y, dividiendo miembro a miembro, 3
710
224320
1213 =⇒==
++
mm
m
El número de términos es, entonces, 19136 =+×=n
Además, tomando una de las ecuaciones obtenidas, ( ) ( ) ( ) ⇒=+×⇒=+×+ 22497224312 dxmdxm
327
2249 ==+⇒ dx
La suma pedida es ( ) ( ) ( ) ( ) =×=×+=×+=×++=×+= 1932199
219182
21918
219191 dx
dxdxxaaS
608
Cada uno de los habitantes de la Isla de los Caballeros y Escuderos es un caballero (que siempre dice la verdad) o un escudero (que siempre miente).
Durante tu viaje a la isla encuentras a 7 personas en torno a una fogata y los siete te dicen: “Estoy sentado entre dos escuderos”.
¿Cuántos escuderos hay en el grupo?
SOLUCIÓN
Necesariamente debe haber, al menos, un caballero alrededor de la hoguera
porque, en caso contrario, habría escuderos diciendo la verdad.
Señalamos, entonces, un caballero y, a ambos lados, sendos escuderos como se
ve en la figura inicial y llamamos 1, 2, 3 y 4 a las restantes personas alrededor de
la hoguera.
Empezamos ahora estudiando los casos posibles de la persona 1, teniendo en cuenta que el escudero
adyacente miente y no puede tener, a ambos lados, dos escuderos:
• 1 es caballero ⇒ 2 es escudero y puede suceder que
� 3 es caballero ⇒ 4 es escudero y verifica que está
mintiendo al no tener, a ambos lados, dos
escuderos
� 3 es escudero ⇒ 4 es caballero y verifica que está
diciendo la verdad al tener, a ambos lados, dos
escuderos
• 1 es escudero ⇒ 2 es caballero ⇒ 3 es escudero y puede suceder
que
� 4 es caballero y verifica que está diciendo la
verdad al tener, a ambos lados, dos escuderos
� 4 es escudero: ¡imposible!, porque a ambos lados
tendría sendos escuderos y diría la verdad
Como se ve, de cuatro casos posibles los tres primeros son coherentes con el enunciado y todos describen
una situación de 3 caballeros y
4 escuderos
Si
¿cuál es es valor de a ?
SOLUCIÓN
Observemos que c
cc
aa a
aa
ac
log
log11
loglog
1log
1 === por la propiedad de cambio de base logarítmica.
Debido a ello, ( ) 1432log14log3log2log1log
1log
1log
1
432
=××⇒=++⇒=++ aaaaaaa, por la
propiedad de la suma de logaritmos de la misma base.
En resumen, ⇒=⇒=++ 124log1log
1log
1log
1
432aaaa
a = 24
Las ecuaciones x2 + ax + b = 0 y x2 + bx + a = 0 tienen, ambas, raíces reales.
Se sabe que la suma de los cuadrados de las raíces de la primera ecuación es igual a la suma de los cuadrados de las raíces de la segunda, y a es distinto de b
Calcula
SOLUCIÓN
Sean 21, αα las raíces de la ecuación
=×−=+
⇒=++b
abaxx
21
212 0αα
αα y sean 21, ββ las raíces de la ecuación
=×−=+
⇒=++a
babxx
21
212 0ββββ
, según las fórmulas de suma y producto de raíces reales de una ecuación de
segundo grado.
Además, ( ) ( ) ( ) baba 2222 2221
221
22
2121
22
21
221 −=−−=××−+=+⇒××++=+ αααααααααααα y
( ) ( ) ( ) abab 2222 2221
221
22
2121
22
21
221 −=−−=××−+=+⇒××++=+ ββββββββββββ
Según el enunciado tenemos que, ⇒−=−⇒−=−⇒+=+ abbaabba 2222 222222
21
22
21 ββαα
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⇒−×−=−×+⇒−×=−×+⇒≠ba
bababaabbaba 22
a + b = -2