libro de fundamentos de matemáticas. espol

FUNDAMENTOS DE MATEMTICAS

ESPOLPara Bachillerato

LGICA-NMEROS-FUNCIONES-TRIGONOMETRA-MATRICES-GEOMETRA PLANA

GEOMETRA DEL ESPACIO-VECTORES-GEOMETRA ANALTICA-ESTADSTICA Y PROBABILIDADES

FU

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ISBN 9978-310-31-2

ISBN 978-9978-310-31-1

9 789978 310311

Instituto de Ciencias Matemticas

Presin0

5

10

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50 59 68 77 86 95 104 113

El Instituto de Ciencias Matemticas, ICM, de la Escuela Superior Politcnica del

Litoral, responsable de la enseanza de una de las ciencias bsicas del conocimiento

humano, tiene como parte de su Misin: Definir lineamientos y elevar el nivel de

la Educacin Matemtica en el pas; consecuente con este principio, ha credo

conveniente disear y desarrollar el presente texto, como un apoyo dirigido a los

estudiantes del Bachillerato. Este libro revisa temas bsicos de nivel secundario y,

por su amplitud y profundidad, constituye una gua necesaria dentro de su proceso

de aprendizaje.

El presente texto ha sido estructurado de tal manera que sea de fcil lectura y

comprensin, asequible para estudiantes de colegios que requieran fortalecer

su formacin matemtica, preparndose as para enfrentar los retos que la vida

universitaria les depare.

Los profesores podrn encontrar una ayuda didctica en la organizacin y el contenido

de sus clases, de tal manera que se logre homogeneidad en la simbologa y lenguaje

matemticos utilizados. Adems, el colorido de sus pginas facilita la visualizacin de

los captulos y temas tratados.

Los ejercicios resueltos tienen como objetivo que el estudiante profundice sus

conocimientos conforme los va adquiriendo y han sido desarrollados de manera tal

que progresivamente se los aplique, empezando por lo ms elemental, hasta llegar a

lo ms complejo. Adicionalmente, la orientacin del texto fomenta la investigacin de

los temas tratados, avanzando as en el conocimiento hacia su consolidacin.

La cristalizacin de esta obra se debe a la calidad acadmica de un equipo de

profesores del ICM, integrado por los ingenieros Miriam Ramos, Guillermo Baquerizo

y Soraya Sols, quienes con tesn, esfuerzo y largas horas de trabajo plasmaron este

texto.

En esta era de continuo cambio tecnolgico, las Matemticas son ms importantes

que nunca. Cuando los estudiantes terminen sus estudios de Bachillerato, el uso de

las Matemticas en la etapa universitaria y luego en su trabajo y en la vida diaria

les permitir operar equipos de computacin, planificar horarios y programas, leer e

interpretar datos, comparar precios, administrar finanzas personales y ejecutar otros

trabajos de resolucin de problemas sobre cualquier tema. Todo lo que se aprenda

en Matemticas y la manera en que se adquiera ese conocimiento, le proporcionar a

los estudiantes de nuestro pas una satisfaccin personal y una excelente preparacin

para afrontar un futuro exigente y en constante cambio.

Prlogo

A las autoridades de la ESPOL.

A los directivos del ICM.

Al aporte significativo de las seoritas estudiantes Janett Loja y Evelyn Pea, como responsables del proceso de digitalizacin de la informacin.

Agradecimientos

A los estudiantes de Bachillerato que requieren profundizar sus conocimientos matemticos y forjar las bases necesarias para acceder con paso firme al nivel superior de estudios.

Dedicatoria

CAPTULO 1

LGICA Y CONJUNTOSIntroduccin....................................................................... 7

1.1 PROPOSICIONES...................................................................Proposicin..................................................................Valor de verdad...................................................................Tabla de verdad...................................................................

89

1010

1.2 OPERADORES LGICOS........................................................Negacin............................................................................ Conjuncin.......................................................................Disyuncin....................................................................Disyuncin exclusiva............................................................Condicional.....................................................................Recproca, inversa, contrarrecproca....................................... Condiciones necesarias y suficientes......................................Bicondicional.....................................................................

111213141415161719

1.3 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS..........................Proposiciones simples y compuestas......................................

2020

1.4 FORMAS PROPOSICIONALES................................................Variables proposicionales......................................................Formas proposicionales........................................................ Tautologa, contradiccin, contingencia....................................Implicacin lgica................................................................Equivalencia lgica..............................................................

222222232425

Tabla de Contenido

1.5 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LGICOS.......................Leyes de los operadores fundamentales Conjuncin y Disyuncin........Leyes de los operadores Negacin, Condicional y Bicondicional.....Leyes de las Implicaciones Lgicas...........................................

25262627

1.6 RAZONAMIENTOS.................................................................Razonamientos....................................................................Validez de un razonamiento.......................................................

292930

1.7 DEMOSTRACIONES...............................................................1.7.1 Demostraciones directas...................................................1.7.2 Demostraciones por contraposicin....................................1.7.3 Demostraciones por contraejemplo....................................1.7.4 Demostraciones por reduccin al absurdo...........................

3333343536

1.8 CONJUNTOS..........................................................................Conjunto...........................................................................Cardinalidad......................................................................1.8.1 Conjuntos relevantes.................................................

39394040

1.9 CUANTIFICADORES..............................................................Cuantificador Universal........................................................Cuantificador Existencial......................................................Subconjunto.......................................................................Conjunto Potencia................................................................1.9.1 Relaciones entre conjuntos...........................................

Igualdad entre conjuntos.............................................Conjuntos disjuntos e intersecantes..............................

4142424243444444

1.10 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.....................................Unin entre conjuntos..........................................................Interseccin entre conjutos...................................................Diferencia entre conjuntos....................................................Diferencia simtrica entre conjuntos......................................Complementacin de conjuntos.............................................

444545454646

1.11 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSLeyes de las operaciones fundamentales Unin e InterseccinOtras leyes........................................................................

474748

1.12 PREDICADOS......................................................................Predicados de una variable...................................................Conjunto de verdad de un predicado.......................................Leyes de los conjuntos de verdad de predicados.......................Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores...............1.12.1 Leyes de los Cuantificadores........................................

535354555657

1.13 PARES ORDENADOS Y PRODUCTO CARTESIANO............Par Ordenado.......................................................................Producto Cartesiano..............................................................Plano Cartesiano...................................................................Cardinalidad del producto cartesiano.......................................Propiedades del producto cartesiano.......................................

585959596061

1.14 RELACIONES.......................................................................Relacin..............................................................................Dominio de una Relacin......................................................Rango de una Relacin.........................................................Representacin sagital de una relacin...................................

6162656566

1.15 FUNCIONES.......................................................................Funcin...........................................................................Variable independiente.......................................................Variable dependiente.........................................................1.15.1 Tipos de funciones...................................................

Funcin Inyectiva......................................................Funcin Sobreyectiva.................................................Funcin Biyectiva......................................................Funcin Inversible.....................................................Funcin Inversa........................................................Funcin Compuesta...................................................

6768686870707172727373

CAPTULO 2

NMEROS REALESIntroduccin.......................................................................... 111

2.1 REPRESENTACIN DECIMAL.................................................Representacin decimal de nmeros racionales...................Representacin decimal de nmeros irracionales.................

113114115

EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 79

2.5 CONCEPTOS ASOCIADOS AL CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS.............................................................................

Divisores y Mltiplos de un nmero entero.............................Nmero Primo....................................................................Nmero Compuesto............................................................Teorema fundamental de la Aritmtica..................................Mximo Comn Divisor........................................................Mnimo Comn Mltiplo.......................................................Nmeros Pares e Impares...................................................

123123124124125125126127

2.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS...............................................Expresin algebraica...........................................................2.6.1 Propiedades de las fracciones.......................................2.6.2 Propiedades de los exponentes....................................2.6.3 Productos notables..................................................... 2.6.4 Factorizacin............................................................. 2.6.5 Racionalizacin..........................................................

129129130133137139144

2.7 VALOR ABSOLUTO................................................................Tipos de intervalo.............................................................. Intervalo cerrado...............................................................Intervalo abierto................................................................Intervalo semiabierto/semicerrado.......................................Intervalo con extremos infinitos..........................................Valor absoluto....................................................................Propiedades del valor absoluto............................................

146147147147147147148149

2.4 RELACIN DE ORDEN............................................................2.4.1 Relacin de orden de nmeros enteros..........................

Orden en ................................................................2.4.2 Relacin de orden de nmeros reales............................

Tricotoma de los Nmeros Reales................................

121121121122122

2.3 OPERACIONES ENTRE NMEROS REALES............................Adicin............................................................................Multiplicacin....................................................................

119120120

2.2 OPERACIONES BINARIAS....................................................Operacin binaria...............................................................2.2.1 Propiedades de las operaciones binarias .......................

117117117

2.8 ECUACIONES........................................................................Identidad........................................................................Ecuacin..........................................................................Propiedades de las igualdades.............................................2.8.1 Ecuaciones lineales....................................................2.8.2 Ecuaciones cuadrticas..............................................Frmula general................................................................. Suma Algebraica de las Races de la Ecuacin Cuadrtica. Producto Algebraico de las Races de la Ecuacin Cuadrtica.2.8.3 Ecuaciones con valor absoluto.....................................2.8.4 Ecuaciones con radicales............................................2.8.5 Planteo de ecuaciones...............................................

154154155155156159161166166167168170

2.9 INECUACIONES....................................................................Desigualdad.....................................................................Inecuacin.....................................................................2.9.1 Inecuaciones lineales.................................................2.9.2 Inecuaciones cuadrticas............................................

Propiedades de las desigualdades.................................2.9.3 Inecuaciones con valor absoluto..................................2.9.4 Planteo de inecuaciones..............................................

178178178179181182183187

2.10 INDUCCIN MATEMTICA..................................................2.10.1 Axiomas de Peano....................................................2.10.2 Teorema de induccin...............................................

Teorema de Induccin..............................................

190190191191

2.11 TCNICAS DE CONTEO........................................................Factorial............................................................................Combinatoria.....................................................................Propiedades de las Combinatorias........................................2.11.1 Principio de la suma................................................2.11.2 Principio de la multiplicacin.....................................2.11.3 Permutaciones y combinaciones................................

Permutaciones........................................................Combinaciones........................................................

196196197198199200202203204

2.12 TEOREMA DEL BINOMIO.....................................................Teorema del Binomio........................................................

206207

2.13 SUCESIONES.....................................................................Sucesin......................................................................... Progresiones Aritmticas.....................................................Progresiones Geomtricas...................................................

210211212218


3.3 TIPOS DE FUNCIONES ...........................................................3.3.1 Funciones Inyectivas..................................................

Funcin Inyectiva.......................................................Criterio de la recta horizontal......................................

3.3.2 Funciones Sobreyectivas............................................Funcin Sobreyectiva.................................................

3.3.3 Funciones Crecientes.................................................Funcin Creciente......................................................Funcin Estrictamente Creciente..................................

3.3.4 Funciones Decrecientes..............................................Funcin Decreciente...................................................Funcin Estrictamente Decreciente..............................

Funcin Montona..............................................................3.3.5 Funciones Pares o Impares..........................................

Funcin Par...............................................................Funcin Impar...........................................................

3.3.6 Funciones Peridicas..................................................Funcin Peridica.......................................................

3.3.7 Funciones Acotadas...................................................Funcin Acotada........................................................

259260260260261261261262263264264265266266266267267267269269

CAPTULO 3

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REALIntroduccin......................................................................... 251

3.1 FUNCIONES DE VARIABLE REAL............................................Funcin de una variable real...............................................Dominio de una funcin de variable real..............................Rango de una funcin de variable real.................................

251252253254

3.2 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES.............................Grfica de una funcin de variable real...................................Criterio de la recta vertical....................................................

256257257

3.4 ASNTOTAS DE LA GRFICA DE UNA FUNCIN DE VARIABLE REAL...............................................................................Asntota Horizontal............................................................ Asntota Vertical................................................................

271272272

3.5 FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS...............................Aplicaciones de funciones definidas por tramos.....................

273275

3.6 TCNICAS DE GRAFICACIN DE FUNCIONES.....................Desplazamientos...............................................................Reflexiones......................................................................Compresiones o alargamientos............................................Valores absolutos..............................................................

275276278280282

3.7 FUNCIONES LINEALES.......................................................Funciones Lineales.............................................................Rango de una Funcin Lineal...............................................Aplicacin de funciones lineales...........................................

284285286287

3.8 FUNCIONES CUADRTICAS................................................Funciones Cuadrticas........................................................3.8.1 Forma cannica de la funcin cuadrtica.......................3.8.2 Rango de la funcin cuadrtica...................................3.8.3 Forma Factorizada de la Funcin Cuadrtica..................3.8.4 Grfica de la Funcin Cuadrtica..................................Aplicacin de funciones cuadrticas.....................................

289289290290291292295

3.9 OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIABLE REAL.............Operaciones con Funciones................................................Propiedades de las operaciones sobre los tipos de funciones.......Composicin de Funciones de Variable Real...........................

296296297302

3.10 FUNCIONES ESPECIALES....................................................Funcin Valor Absoluto.......................................................Funcin Signo...................................................................Funcin Escaln................................................................Funcin Mximo Entero o Entero Mayor................................

304305305306306

3.11 FUNCIN INVERSA DE UNA FUNCIN BIYECTIVA................Funcin Biyectiva...............................................................

311312

3.12 FUNCIONES POLINOMIALES..............................................Funcin Polinomial............................................................3.12.1 Grficas de Funciones Polinomiales............................

Funcin Potencia...........................................................Cero de Multiplicidad m.................................................Teorema del Valor intermedio..........................................

3.12.2 Operaciones con funciones polinomiales.....................Funcin racional............................................................Divisin Sinttica..........................................................Teorema del residuo......................................................Teorema del factor........................................................Forma anidada de una funcin polinomial.......................

3.12.3 Races de una ecuacin polinmica............................Teorema del nmero de ceros........................................Regla de los signos de Descartes....................................Teorema de los ceros racionales.....................................

314315315315317319320322322324326327328328328329

CAPTULO 4

TRIGONOMETRAIntroduccin.............................................................................. 397

4.1 NGULOS Y SUS MEDIDAS.....................................................Semirrecta.......................................................................ngulo.............................................................................4.1.1 Unidades angulares....................................................

Ubicacin de los ngulos respecto a su medida.............4.1.2 Clases de ngulos........................................................

Coterminales.......................................................Consecutivos.............................................................Adyacentes...............................................................Complementarios.......................................................Suplementarios.........................................................Opuestos por el vrtice................................................

4.1.3 Relacin entre grados sexagesimales y radianes..............

398398398400401402402402402403403403403

4.2 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS ELEMENTALES.....................Funciones trigonomtricas...................................................Valores de las funciones trigonomtricas de ngulos notables........

406407411

4.3 GRFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS......................Funcin Seno....................................................................Funcin Coseno.................................................................Funcin Tangente..............................................................Funcin Cotangente...........................................................Funcin Secante................................................................Funcin Cosecante.............................................................

412413414422423429429

4.4 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS...........................Funcin seno inverso...........................................................Funcin coseno inverso........................................................

430430431

3.13 FUNCIONES EXPONENCIALES..............................................Funcin Exponencial...........................................................3.13.1 Funcin Exponencial Natural......................................

Aplicacin de la funcin exponencial............................

332333338340

3.14 FUNCIONES LOGARTMICAS...............................................Funcin Logartmica...........................................................3.14.1 Funcin Logaritmo Natural........................................3.14.2 Funcin Logaritmo Comn........................................3.14.3 Propiedades de los logaritmos..................................3.14.4 Ecuaciones e inecuaciones exponenciales...................3.14.5 Ecuaciones e inecuaciones logartmicas......................

342343347347352354359


4.5 IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS.......................................Identidades Cocientes........................................................Identidades Recprocas.......................................................Identidades Pitagricas.......................................................Identidades Pares o Impares...............................................Identidades de suma y diferencia de medidas de ngulos......Identidades de ngulo doble................................................Identidades de ngulo mitad...............................................Identidades de suma a producto...........................................Identidades de producto a suma..........................................

436436436437437440446447451452

CAPTULO 5

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES.Introduccin....................................................................... 475

4.6 ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMTRICAS...............Ecuaciones trigonomtricas.................................................Inecuaciones trigonomtricas..............................................

455456463

5.1 MATRICES..........................................................................Matriz ...............................................................................Igualdad entre matrices......................................................5.1.1 Clases de matrices......................................................

Matriz fila..................................................................Matriz columna..........................................................Matriz rectangular......................................................Matriz cuadrada.........................................................Matriz triangular superior............................................Matriz triangular inferior..............................................Matriz nula................................................................Matriz diagonal..........................................................Matriz escalar.............................................................Matriz identidad.........................................................

5.1.2 Operaciones con matrices.............................................Suma entre matrices................................................... Propiedades...........................................................Multiplicacin de una matriz por un escalar..................... Propiedades...........................................................Multiplicacin entre matrices....................................... Propiedades...........................................................Transposicin de una matriz.........................................Matriz simtrica.........................................................

476476478478478478479479479480480480480480481481481482483485486488488

Funcin tangente inversa....................................................Funcin cotangente inversa.................................................Funcin secante inversa......................................................Funcin cosecante inversa..................................................

431431432432


5.4 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN EL PLANO (S.E.N.L.)..........................................................................

Sistemas de ecuaciones no lineales.....................................524524

CAPTULO 6

NMEROS COMPLEJOSIntroduccin.............................................................................. 555

6.1 NMEROS COMPLEJOS...........................................................Nmeros complejos............................................................

556557

5.5 SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES EN EL PLANO (S.I.L.)Conjunto factible...............................................................Programacin lineal............................................................

528529532

5.6 SISTEMAS DE INECUACIONES NO LINEALES (S.I.N.L.)............Sistemas de inecuaciones no lineales..................................

535535

6.2 OPERACIONES......................................................................Suma entre nmeros complejos.......................................... Propiedades......................................................................Multiplicacin de un nmero complejo por un valor real............... Propiedades......................................................................Multiplicacin entre nmeros complejos................................

560561561561561562

5.2 DETERMINANTES..................................................................Teorema 5.1......................................................................Teorema 5.2......................................................................Propiedades de los determinantes......................................

495496496499

5.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES....................................Sistemas de ecuaciones lineales...........................................Representacin matricial de un sistema de ecuaciones lineales.........Representacin de un sistema de ecuaciones lineales en forma de matriz aumentada...................................................................S. E. L. homogneos............................................................Solucin de un S. E. L..........................................................Mtodos de Gauss y de Gauss Jordan...................................S. E. L. consistentes e inconsistentes........................................Regla de Cramer.................................................................Teorema resumen..............................................................

506507507

508508508510510519523

Matriz antisimtrica....................................................Propiedades de la transposicin de matrices.............

Inversa de una matriz.................................................Propiedades de la inversa de una matriz....................

488489491492

Propiedades......................................................................Divisin entre nmeros complejos........................................

562563


6.4 NOTACIN DE EULER.............................................................Multiplicacin entre nmeros complejos...............................Divisin entre nmeros complejos.......................................Potenciacin de nmeros complejos.....................................Radicacin de nmeros complejos.......................................

566568568568573

6.3 REPRESENTACIN GEOMTRICA............................................Mdulo y argumento de un nmero complejo.........................

565566

6.5 APLICACIONES.....................................................................Funciones hiperblicas........................................................Funciones polinomiales.......................................................Teorema fundamental del lgebra........................................Otras aplicaciones..............................................................

EJERCICIOS PROPUESTOS..........................................................

577577579579580

583

CAPTULO 7

GEOMETRA PLANAIntroduccin.............................................................................. 589

7.1 FIGURAS GEOMTRICAS........................................................Punto.............................................................................Recta..............................................................................Plano...............................................................................Puntos colineales...............................................................Puntos coplanares..............................................................Semirrecta o rayo...............................................................Segmento de recta.............................................................Semiplano......................................................................Convexidad......................................................................Figuras autocongruentes.....................................................Figuras no autocongruentes.................................................

590590590591591591591591591591592593

7.2 RECTAS EN EL PLANO............................................................Perpendicularidad.......................................................... Propiedades de la perpendicularidad entre rectas................Paralelismo...................................................................... Propiedades del paralelismo entre rectas.............................Propiedades de la perpendicularidad, paralelismo e interseccin entre rectas.................................................................................Rectas oblicuas..................................................................

593594594595595

596596

7.3 NGULOS..............................................................................ngulos opuestos por el vrtice............................................ngulos externos...............................................................ngulos internos................................................................ngulos correspondientes...................................................ngulos alternos externos...................................................

596596597597597597

7.4 POLIGONALES Y POLGONOS.................................................Poligonal......................................................................Polgono Simple..................................................................Diagonal..........................................................................Nombres de polgonos de acuerdo a su nmero de lados...............Propiedades de los polgonos................................................Polgono regular.................................................................

599599600600601601602

7.5 TRINGULOS........................................................................Tringulos........................................................................Clasificacin de tringulos por la longitud de sus lados..................Clasificacin de tringulos por la medida de sus ngulos.............. Propiedades de los tringulos..............................................Rectas y puntos notables en el tringulo..............................

Bisectriz........................................................................ Incentro........................................................................Circunferencia inscrita.................................................... Mediatriz....................................................................... Circuncentro..................................................................Circunferencia circunscrita...............................................Altura...........................................................................Ortocentro....................................................................Mediana......................................................................Baricentro.................................................................Centro de gravedad........................................................

603604604604605605606606606606606606606606607607607

7.6 SEMEJANZA Y CONGRUENCIA................................................Teorema de Thales.............................................................Corolario del Teorema de Thales............................................Semejanza y Congruencia de Polgonos..................................

Polgonos semejantes.....................................................Polgonos congruentes....................................................

Congruencia y semejanza de Tringulos.................................. Criterios para la congruencia de tringulos.........................

Criterio LAL (Lado-ngulo-Lado)..................................Criterio ALA (ngulo-Lado-ngulo)...............................Criterio LLL (Lado-Lado-Lado).....................................

Criterios para la semejanza de tringulos.......................... Criterio AA (ngulo-ngulo)....................................... Criterio ALL (ngulo-Lado-Lado)................................. Criterio LLL (Lado-Lado-Lado).....................................

608609609610611611612612612612612612612613613

ngulos alternos internos....................................................ngulos conjugados externos..............................................ngulos conjugados internos...............................................Propiedades de los ngulos..................................................

597597597598

7.7 RESOLUCIN DE TRINGULOS...............................................Teorema 7.2: De Pitgoras....................................................Teorema 7.3.......................................................................Teorema 7.4.......................................................................Teorema 7.5: Ley de los Senos.............................................Teorema 7.6: Ley de los Cosenos..........................................7.7.1 Tringulos Rectngulos...............................................

ngulo de elevacin y ngulo de depresin....................7.7.2 Tringulos Acutngulos u Obtusngulos........................

617618618618619620621622628

7.8 CUADRILTEROS...................................................................Cuadriltero...............................................................Paralelogramo.................................................................

Propiedades de los paralelogramos..................................Paralelogramos ms utilizados.............................................

Rectngulo...................................................................Cuadrado.....................................................................Rombo.....................................................................Romboide....................................................................

Trapecio..........................................................................Trapezoide.......................................................................

635635635635636636636636636636636

7.9 PERMETRO Y REA DE UN POLGONO...................................Permetro de un polgono...................................................Superficie y rea.................................................................Permetro y rea de polgonos ms conocidos.......................

Cuadrado....................................................................Rectngulo...................................................................Tringulo.................................................................Paralelogramo............................................................Rombo....................................................................Trapecio....................................................................

638638638639639639639639639639

7.10 CIRCUNFERENCIA Y CRCULO..............................................Circunferencia y crculo ......................................................Elementos de la circunferencia y el crculo...........................

Radio.......................................................................Cuerda........................................................................Dimetro....................................................................Arco..........................................................................Secante........................................................................Tangente.....................................................................

ngulos en la circunferencia.................................................ngulo central................................................................ngulo inscrito...............................................................ngulo interior................................................................ngulo exterior...............................................................ngulo semi-inscrito........................................................

645645645646646646646646646648648649649649649

7.11 POLGONOS Y CIRCUNFERENCIAS........................................Polgono inscrito o circunscrito............................................Apotema..........................................................................

654655655

7.12 FIGURAS CIRCULARES.........................................................Sector circular....................................................................Segmento circular...............................................................Corona o anillo circular.........................................................rea del crculo...................................................................rea del sector circular.........................................................rea del segmento circular...................................................rea de la corona circular.....................................................

657657658658659660661661

CAPTULO 8

GEOMETRA DEL ESPACIOIntroduccin............................................................................... 681

8.1 FIGURAS EN EL ESPACIO.......................................................Figuras no contenidas en el plano..........................................

682682

8.2 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.........................................Rectas alabeadas...............................................................Posiciones de una recta respecto a un plano.........................Planos paralelos................................................................ngulo diedro....................................................................ngulo poliedro..................................................................

683683684684685685

8.3 CUERPOS GEOMTRICOS.......................................................Poliedro..........................................................................

Propiedades de un poliedro convexo.............................Diagonal del poliedro .......................................................Nombre de poliedros segn el nmero de caras..................Poliedro Regular.................................................................Tipos de poliedros regulares ..............................................

Tetraedro regular.......................................................Hexaedro regular.......................................................Octaedro regular........................................................Dodecaedro regular....................................................Icosaedro regular.......................................................

686686687688688688688688688689689689


8.4 PRISMAS...............................................................................Prisma ................................................................

Generatriz..................................................................Altura del prisma............................................................Prisma recto..................................................................Prisma recto regular.......................................................Prisma oblicuo...............................................................

Paraleleppedo...............................................................Ortoedro..................................................................

689690690690690690691691691

8.5 PIRMIDES...........................................................................Pirmide.........................................................................Pirmide recta....................................................................Pirmide regular.................................................................Apotema de la pirmide.......................................................Pirmide truncada..............................................................

693693693693694694

8.6 REAS DE POLIEDROS...........................................................Tipos de reas de prismas y pirmides.................................rea de poliedros regulares...............................................reas de las superficies de un prisma recto.............................reas de las superficies de una pirmide regular.....................reas de las superficies de una pirmide truncada regular........

694695695695695696

8.7 VOLUMEN DE POLIEDROS......................................................Volumen del paraleleppedo recto rectangular..........................Volumen del cubo...............................................................Volumen de una pirmide ...................................................Volumen de una pirmide truncada.......................................

701701701702703

8.8 CUERPOS DE REVOLUCIN....................................................Superficie de revolucin.....................................................Slido de revolucin............................................................Cuerpos de revolucin.........................................................

Cilindro recto.................................................................Cono recto....................................................................Cilindro de revolucin......................................................Cono de revolucin.........................................................

rea de la superficie lateral y de la superficie total de un cilindro rectorea de la superficie lateral y de la superficie total de un cono rectoCono truncado...................................................................Cono truncado de revolucin................................................Esfera slida y superficie esfrica...........................................Esfera slida de revolucin....................................................Elementos de la esfera slida y la superficie esfrica...............

Radio.........................................................................Dimetro.....................................................................Casquete esfrico...........................................................

707707708708708708709709709709713713714714714715715715

CAPTULO 9

VECTORES EN EL ESPACIOIntroduccin................................................................................ 745

9.1 VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO..............................Magnitudes escalares ........................................................Magnitudes vectoriales.......................................................Vector en el espacio.............................................................

Magnitud de un vector.....................................................Vector cero....................................................................

Vectores iguales.................................................................

745746746747749749749

9.2 OPERACIONES ENTRE VECTORES...........................................Suma vectorial...................................................................

Propiedades.................................................................Resta vectorial...................................................................Multiplicacin de un vector por un escalar................................

Propiedades.................................................................Vectores paralelos..............................................................Combinacin lineal..............................................................Espacio vectorial.................................................................Producto escalar.................................................................

Propiedades.................................................................Medida del ngulo entre dos vectores......................................Teorema 9.1: ngulo formado entre dos vectores.......................Vectores ortogonales..........................................................Teorema 9.2: Desigualdad de Cauchy-Schwarz.........................Desigualdad triangular........................................................Norma de un vector.............................................................

750750751752753753754756756759759760760760762763764

9.3 VECTORES UNITARIOS..........................................................Vector unitario...................................................................Proyecciones escalares y vectoriales...................................... Proyeccin vectorial............................................................Proyeccin escalar..............................................................

765765765765766

Huso esfrico................................................................Plano secante...............................................................Plano tangente..............................................................

Volmenes de cuerpos de revolucin.....................................Cilindro.................................................................Cono............................................................................Cono truncado...............................................................Esfera (slida)...............................................................

715715715715715716716716


9.4 PRODUCTO VECTORIAL.........................................................Producto vectorial................................................................

Propiedades...............................................................Teorema de la Norma del Producto Cruz..................................Producto cruz de vectores i, j, k...........................................

769769770771771

9.5 APLICACIONES GEOMTRICAS DEL PRODUCTO VECTORIAL...........rea de la superficie de un paralelogramo.............................Volumen de un paraleleppedo...............................................Producto mixto....................................................................

773773778779

CAPTULO 10

GEOMETRA ANALTICAIntroduccin.......................................................................... 785

10.1 RECTAS EN EL PLANO...........................................................Recta............................................................................10.1.1 Distancia entre dos puntos..........................................

Distancia entre dos puntos...........................................10.1.2 Punto medio de un segmento de recta........................ Teorema de: Punto medio de un segmento de recta..................10.1.3 Ecuacin de la recta...................................................

Ecuaciones paramtricas de la recta..............................Forma simtrica de la ecuacin de la recta....................... Forma general de la ecuacin de la recta.......................Vector normal...........................................................

10.1.4 Pendiente de una recta...............................................Pendiente de una recta...............................................Ecuacin de la recta punto pendiente.............................Rectas paralelas........................................................Rectas coincidentes...................................................Rectas secantes........................................................

Teorema de: Pendiente de rectas paralelas .........................Teorema de: Pendiente de rectas perpendiculares .................10.1.5 Distancia de un punto a una recta.................................

786786787788789790793794795795796798798800804804804804806807

10.2 SECCIONES CNICAS...........................................................10.2.1 Circunferencia..........................................................

Circunferencia..........................................................Forma cannica de la ecuacin de una circunferencia....Forma general de la ecuacin de una circunferencia......Clculo de los elementos de una circunferencia............Ecuacin de la recta tangente a una circunferencia......

811813813813814817819


10.2.2 Parbola.................................................................Parbola..................................................................Eje de simetra..........................................................Vrtice.................................................................Lado recto.................................................................Forma cannica de la ecuacin de la parbola.................... Forma general de la ecuacin de una parbola.................

834834834834834834837

10.2.3 Elipse......................................................................Elipse...................................................................

Eje mayor...........................................................Semieje mayor y semidistancia focal......................Centro.........................................................Vrtices.............................................................Lado recto..........................................................Semieje menor....................................................Excentricidad...................................................

Clculo de la longitud del eje menor..............................Forma cannica de la ecuacin de una elipse.................Ecuacin de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas............................................................

Eje mayor horizontal............................................Eje mayor vertical...............................................

Forma general de la ecuacin de una elipse.................

844844844844844844844844844844845

846846846846

10.2.4 Hiprbola................................................................Hiprbola...........................................................

Eje transverso....................................................Eje conjugado....................................................Centro............................................................Distancia focal...................................................Vrtices........................................................Semieje conjugado.............................................Lado recto.........................................................Excentricidad...................................................

Forma cannica de la ecuacin de una hiprbola ...........Ecuacin de la hiprbola con ejes paralelos a los ejes decoordenadas...........................................................Eje horizontal..........................................................Eje vertical..............................................................Asntotas oblicuas de una hiprbola..............................

Hiprbola cuyo centro es O(0, 0)............................Hiprbola cuyo centro es O(h, k)...........................

Eje transverso horizontal.................................Eje transverso vertical....................................

Hiprbolas conjugadas..............................................Rectngulo auxiliar.....................................................Hiprbolas equilteras...............................................Forma general de la ecuacin de una hiprbola..............

851851851851852852852852852852852

853853854854855855855855855855855856

CAPTULO 11

ESTADSTICA Y PROBABILIDADESIntroduccin............................................................................... 875

Primera fase: (Los censos).................................................Segunda fase: (De la descripcin de los conjuntos de la aritmtica poltica).....................................................................Tercera fase: (Clculo de probabilidades)..............................

875

875876

11.1 ESTADSTICA DESCRIPTIVA.................................................Estadstica descriptiva........................................................Estadstica inferencial.........................................................Mtodo estadstico.............................................................Errores estadsticos comunes.............................................

Sesgo..........................................................................Datos no comparables....................................................Proyeccin descuidada de tendencias................................Muestreo incorrecto........................................................

Conceptos bsicos..............................................................Elemento o ente.................................................................Poblacin.........................................................................

Poblacin finita..............................................................Poblacin infinita............................................................

Muestra..........................................................................Variable..........................................................................Variables Cuantitativas.......................................................

Discretas....................................................................Continuas...................................................................

Variables Cualitativas o Atributos........................................Ordinales....................................................................Nominales...................................................................

Clasificacin de las variables...............................................Variables unidimensionales.............................................Variables bidimensionales...............................................Variables multidimensionales..........................................

Escala de medicin de variables..........................................Tipos de medidas..........................................................

876877877877878878878878878878878879879879879879879879879879879880880880880880880880


10.2.5 Lugares geomtricos..................................................10.2.6 Excentricidad............................................................

862868

11.5 MEDIDAS DE DISPERSIN................................................Rango.........................................................................Varianza.................................................................Desviacin Tpica............................................................

900900900900

11.4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y NO CENTRAL............Media aritmtica............................................................Mediana.......................................................................Moda..........................................................................

Medidas de tendencia no centrales........................................Cuartiles...................................................................Deciles........................................................................Percentiles................................................................

894894895896898898898898

11.6 PROBABILIDADES..............................................................Experimento aleatorio.........................................................Espacio muestral................................................................Evento o suceso..................................................................Eventos mutuamente excluyentes........................................Eventos complementarios.....................................................Probabilidad clsica............................................................

901902902903903904904

11. 7 CONJUNTOS Y PROBABILIDADES.......................................Unin.........................................................................Interseccin...............................................................Complemento.............................................................Subconjunto.............................................................Propiedades............................................................

Diagrama de rbol.............................................................Tringulo de Pascal............................................................

907907907908908910912920

11.3 GRFICOS DE REPRESENTACIN...................................Histograma.............................................................Poligonal de frecuencias.................................................Diagrama de tallo y hojas..............................................

890890891892

11.2 ORGANIZACIN DE LOS DATOS.....................................Tablas de frecuencia...........................................................

Tabla de tipo I................................................................Tabla de tipo II..............................................................Tabla de tipo III (Tabla de intervalos).............................

Tabla de distribucin de frecuencias......................................Frecuencia absoluta........................................................Frecuencia absoluta acumulada........................................Frecuencia relativa.........................................................Frecuencia relativa acumulada........................................

Modelos de tablas estadsticas.............................................

881881881881883884884884884884885

Apndice APostulados de Euclides................................................ 933

Apndice BPostulados..............................................................Postulados de Cavalieri...............................................

935935


RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS.................................................. 937

GLOSARIO DE TRMINOS....................................................

BIBLIOGRAFA................................................................

945

949

1

Introduccin

Para que se pueda tener una idea global de esta obra, a continuacin se presenta un enfoque panormico de sus componentes.

El material del libro incluye:

Tabla de Contenido: Representa el detalle del ndice temtico de esta obra, para que el lector pueda ubicar de manera rpida los tpicos de su inters.

Once Captulos: Los cuales han sido seleccionados en base a las exigencias actuales del conocimiento que debe adquirir un estudiante del bachillerato. Cada captulo se puede diferenciar del resto, ya que se han utilizado colores distintos.

Glosario de Trminos: Contiene el significado de expresiones que se utilizan en este texto, con el propsito de no dejar dudas o imprecisiones.

2

Los once captulos a los cuales se hace referencia, son:

Lgica y Conjuntos: Con el uso de la Lgica Matemtica como lenguaje, se establecen criterios de verdad, se emplean mtodos de anlisis y razonamiento; y, se usan implicaciones y equivalencias lgicas para conocer cmo se realiza una demostracin. Considerando que los conjuntos constituyen uno de los conceptos bsicos de las matemticas, se puede obtener una descripcin detallada de los fundamentos de la Teora de Conjuntos. Ambos conceptos se enlazan de manera lgica para plantear el tema de funciones sobre conjuntos finitos, tema de trascendental importancia en el conocimiento matemtico.

Nmeros Reales: En la parte aritmtica se desea que el estudiante recuerde las operaciones fundamentales sobre los nmeros; un tema relevante lo constituyen la manipulacin de fracciones y los radicales. Cuando se utiliza el lgebra se espera que el estudiante adquiera destrezas mnimas como objeto de estudio de cantidades que pueden considerarse en la forma ms general posible. El planteo y resolucin de problemas es fundamental en la formacin profesional del futuro ingeniero.

Funciones de una Variable Real: El concepto de funcin se refiere a toda correspondencia matemtica que cumpla con las condiciones de existencia y unicidad. Se tratan los diferentes tipos y caractersticas que las funciones poseen, haciendo especial nfasis en su graficacin como requisito indispensable para los cursos de clculo. Las aplicaciones de este tema merecen especial atencin, pues se reconocer la utilidad particular de las funciones lineales, cuadrticas, exponenciales y logartmicas, en diversas situaciones que ocurren a nuestro alrededor.

Trigonometra: Las razones trigonomtricas son la base fundamental de numerosas aplicaciones matemticas y fsicas, por ello, en este captulo se conocer el significado de cada una, comprobando sus propiedades y relaciones en las denominadas identidades trigonomtricas. Nuevamente, el enfoque grfico es prioritario para el estudio de las funciones trigonomtricas y sus correspondientes inversas.

Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones: Para el modelamiento de mltiples ecuaciones se introduce el concepto de matriz con sus diferentes clasificaciones. La aplicacin del determinante nos permitir distinguir entre matrices singulares y regulares, as como resolver sistemas de ecuaciones lineales. Mientras que para resolver sistemas de ecuaciones no lineales y de inecuaciones se utilizar el anlisis grfico propuesto en el captulo de Funciones de una Variable Real.

Nmeros Complejos: Se ha considerado este captulo por la limitacin de los nmeros reales para resolver races de ndice par de nmeros negativos, ampliando los conceptos ya tratados en el captulo de Nmeros Reales. Tambin se muestra la relacin que tienen estos nmeros con las funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas.

3

Geometra Plana: El estudio de la geometra en el plano es de fundamental importancia, ya que a partir de subconjuntos no vacos se pueden establecer sus relaciones y propiedades, as como calcular permetros y reas de superficies que utilizamos en nuestra vida diaria.

Geometra del Espacio: La profundizacin en esta parte de la geometra proveer las referencias necesarias para construir cuerpos en tres dimensiones, identificando sus elementos principales y estableciendo las expresiones necesarias para el clculo de reas de superficies laterales, superficies totales y volmenes.

Vectores: Se realiza un anlisis vectorial en el plano y en el espacio, con las diferentes operaciones permitidas entre ellos o con valores escalares. Se introducen los conceptos de combinacin lineal y espacio vectorial, fundamentos de un curso de lgebra Lineal, as como la aplicacin geomtrica del producto punto y producto cruz.

Geometra Analtica: En este captulo se estudiarn definiciones y propiedades de figuras en el plano, partiendo del planteamiento de igualdades condicionadas que llevarn a identificar lugares geomtricos de rectas y cnicas, estudiando sus grficas, elementos; y, caractersticas principales.

Estadstica y Probabilidades: Aunque este tema puede resultar bastante extenso, solamente nos enfocaremos en la estadstica descriptiva y daremos una breve introduccin a la teora de Probabilidades. Se podr organizar un conjunto de datos en forma tabular y realizar su representacin grfica, encontrar las medidas de tendencia central y de dispersin; y, se utilizarn los conceptos del captulo referente a Conjuntos para encontrar los elementos que corresponden a eventos de espacios muestrales y la probabilidad de su ocurrencia.

Cada captulo presenta el siguiente esquema:

Introduccin al tema: En donde el lector obtiene una referencia apropiada de cada captulo mediante antecedentes histricos y biogrficos, as como de su importancia y trascendencia en las matemticas.

4

Normalmente esta introduccin tiene la foto de un personaje que distingue de manera adecuada el tema que se comenzar a analizar. La foto incluye el nombre del personaje, pas de origen y perodo de vida.

Induccin a la seccin: En bsqueda de la coherencia con el propsito del nuevo material de lectura, se prepara al lector con nexos para las diferentes secciones.

Secciones: Cada captulo ha sido dividido en temas, de acuerdo a los conceptos que se pretende analizar. Estas agrupaciones, denominadas secciones, muestran de manera detallada cada tpico con la profundidad y aplicacin que el caso amerita. Tambin se puede contrastar con lo que se supone el lector ya conoce sobre el tema. Cada seccin se encuentra numerada segn corresponda al captulo que se est analizando.

Objetivos: Al iniciar cada seccin, el profesor puede plantear de manera especfica en conjunto con sus estudiantes lo que se pretende lograr al finalizar la lectura de cada una de ellas. El cumplimiento de tales objetivos confirmar la comprensin de los diferentes conceptos.

5

Teoremas: Proporcionan el material necesario para complementar la importancia del marco terico de definiciones y demostraciones.

Ejemplos resueltos: Representan aplicaciones concretas y directas a partir del anlisis de cada tema. La complejidad de los mismos guarda un orden creciente en una misma seccin. Algunos de los ejemplos seleccionados tienen relacin con otras ramas de las ciencias y con la vida real.

Definiciones: Estas declaraciones representan las propiedades y los significados ms relevantes que el lector no debe olvidar.

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Ejercicios propuestos: Al finalizar cada captulo se plantean ejercicios organizados por seccin, los mismos que tienen diversos grados de dificultad y se presentan en forma de preguntas de tipo Verdadero/Falso, Opcin Mltiple y de Desarrollo. La finalidad de estos ejercicios es promover el trabajo independiente y la autocrtica por parte del estudiante. En la parte final del texto se muestran las respuestas a los ejercicios propuestos, exceptuando aquellos que requieren demostraciones o construccin de tablas y grficas.

7pg.

Todos estamos familiarizados con la idea de que algunas personas poseen una mentalidad lgica mientras que otras no. No siempre resulta sencillo seguir razonamientos o argumentos extensos para obtener conclusiones vlidas.

Nosotros trabajamos con argumentos dentro de la lgica aristotlica, donde todo argumento debe ser o verdadero o falso, no existe una tercera posibilidad. Para poder manejar y operar entre estos argumentos, el lenguaje usual puede resultar ambiguo respecto a la validez de los argumentos.

La frase: Pon el sobre que te sobre, sobre la mesa, sugiere que la palabra sobre tiene tres diferentes significados en la misma oracin. Por ello, se necesita de un lenguaje que sea ms preciso: la lgica simblica. Su propsito consiste en establecer un nuevo lenguaje, el cual se pueda utilizar para simplificar el anlisis de argumentos lgicos complicados.

La lgica simblica es la rama de las matemticas que nos permite reconocer la validez de una argumentacin, as como tambin nos proporciona las herramientas de razonamiento necesarias para elaborar demostraciones irrefutables y convincentes. Una parte importante de las matemticas son las definiciones, stas en general no responden a la pregunta qu es?, sino a la pregunta qu caractersticas tiene?

Adems, las definiciones tienen una parte conceptual (qu significa?) y una parte operativa (cmo se trabaja?).

Leibniz fue el primero en concebir este planteamiento, cuando a la edad de 14 aos intent reformar la lgica clsica. En 1666, deseaba crear un mtodo general en el cual todas las verdades de la razn seran reducidas a una especie de clculos, llamando a la lgica simblica caracterstica universal.

El sueo de Leibniz no se realiz hasta que Boole separ los smbolos presentes en las operaciones matemticas, de los conceptos sobre los cuales operaban y estableci un sistema factible y sencillo de lgica simblica.

Captulo 1Lgica y Conjuntos

Introduccin

Gottfried Leibniz,matemtico alemn

(1646-1716)

8pg.

En 1854, Boole expuso sus ideas en su obra An Investigation of the Laws of Thought (Investigacin de las Leyes del Pensamiento). Desgraciadamente, este trabajo no recibi buena aceptacin, y no fue sino hasta que los ingleses Bertrand Russell (1872-1970) y Alfred North Whitehead (1861-1947) utilizaron la lgica simblica en su obra Principia Mathematica (1902), que el mundo de la matemtica dio importancia a las ideas propuestas inicialmente por Leibniz alrededor de 250 aos antes.

El lgebra booleana constituye un rea de las matemticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Es usada ampliamente en el diseo de circuitos de distribucin y computadoras; y, sus aplicaciones van en aumento en muchas otras reas.

En el nivel de lgica digital de una computadora, el hardware trabaja con diferencias de voltaje, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel.

En este captulo se tratar de responder a la pregunta cmo podemos llegar a ser ms lgicos? Se pretende aplicar la lgica no solamente en el estudio de las ciencias, sino tambin en la vida cotidiana. Es necesario poder comunicarse de manera inteligente con los dems; se requiere adquirir capacidad para analizar los argumentos de nuestros dirigentes y legisladores; necesitamos ser consumidores inteligentes para analizar las aseveraciones de los anunciantes. Bien sea que nos agrade o no, la lgica es una parte importante del mundo que nos rodea y en este captulo sentaremos las bases que nos ayudarn a ser definitivamente ms lgicos.

1.1 Proposiciones

Objetivos

Al finalizar esta seccin el lector podr:

* Dadas varias oraciones, identificar cules son proposiciones y cules no, justificando adecuadamente su respuesta.

* Identificar oraciones que representan proposiciones.

George Boole,matemtico ingls

(1815-1864)

Seales de voltaje digitales que alimentan el hardware

del computador.

1 0 1 0v

t


9pg.

Definicin 1.1 (Proposicin)

Una proposicin es una unidad semntica que, o slo es verdadera o slo es falsa.

La lgica es un mtodo de razonamiento que no acepta conclusiones errneas. Esto se puede lograr definiendo en forma estricta cada uno de los conceptos. Todo debe definirse de tal forma que no d lugar a dudas o imprecisiones en la veracidad de su significado. Nada puede darse por supuesto, y las definiciones de diccionario no son normalmente suficientes. Por ejemplo, en el lenguaje ordinario, un enunciado u oracin se puede definir como una palabra o grupo de palabras que declara, pregunta, ordena, solicita o exclama algo; unidad convencional del habla o escritura coherente, que normalmente contiene un sujeto y un predicado, que empieza con letra mayscula y termina con un punto.

Sin embargo, en lgica simblica una oracin tiene un significado mucho ms especfico y se llama proposicin.

Los elementos fundamentales de la lgica son las proposiciones. Por ello, las oraciones que no son falsas ni verdaderas, las que son falsas y verdaderas al mismo tiempo, o las que demuestran algn tipo de imprecisin (carecen de sentido), no son objeto de estudio de la lgica.

Ejemplo 1.1 Oraciones que son proposiciones.

5 es un nmero primo.17 38 =21.

Todos los nmeros enteros son positivos.Vicente Rocafuerte fue Presidente del Ecuador.

Las oraciones anteriormente expuestas son proposiciones, ya que son verdaderas o falsas. Todas ellas pueden ser calificadas por el lector con precisin y sin ambigedades o subjetivismo.

Usualmente, las primeras letras del alfabeto espaol en minscula se usan para representar proposiciones.

Ejemplo 1.2 Representacin simblica de proposiciones.

5 es un nmero primo puede ser representada por la letra a, de la forma:

a: 5 es un nmero primo.

10pg.

Ejemplo 1.3 Oraciones que no son proposiciones.

Lava el auto, por favor.Hola, cmo ests?Aprate!La conceptualizacin cambia lo absurdo en azul. x 5 =9.Maana se acabar el mundo!

Las primeras cuatro oraciones no son proposiciones porque no se puede establecer su valor de verdad. Generalmente las oraciones imperativas, exclamativas e interrogativas no son proposiciones.

El quinto enunciado no es una proposicin, ya que el valor de x no es preciso y por lo tanto no se puede establecer su valor de verdad.

La sexta oracin no es una proposicin porque su valor de verdad no se puede determinar.

Definicin 1.2 (Valor de verdad)

El valor de verdad de una proposicin es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposicin. ste puede ser verdadero o falso.

Usualmente al valor verdadero se lo asocia con: 1, V, T, True; mientras que el valor falso se lo asocia con: 0, F, False. Se podra utilizar cualquiera de ellas, pero la convencin a seguir en el texto ser el uso de 0 y 1, tomando como referencia el sistema de numeracin binario.

En el ejemplo 1.1 podemos observar que el valor de verdad de la segunda proposicin es VERDADERO, mientras que el valor de verdad de la tercera proposicin es FALSO.

Verdad y falsedad pueden considerarse simplemente como los valores lgicos de la unidad semntica descriptiva con sentido completo. Ese valor es lo que ms nos interesa sobre una proposicin.

Definicin 1.3 (Tabla de verdad)

Una tabla de verdad es una representacin de los posibles valores de verdad que podra tomar una proposicin.

Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lgicas.


11pg.

Ejemplo 1.4 Construccin de tablas de verdad.

a

01

La cantidad de combinaciones (filas de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresin lgica.

a b

0011

0101

a b c

00001111

00110011

01010101

1.2 Operadores Lgicos

Objetivos

Al finalizar esta seccin el lector podr:

* Dada la definicin de los operadores lgicos, interpretar el comportamiento de estos operadores mediante su tabla de verdad.

* Dado un texto, traducirlo al lenguaje simblico, identificando operadores lgicos y proposiciones presentes.

* Dada una proposicin en el lenguaje simblico, interpretar su mensaje en lenguaje natural.

* Dada una condicional de proposiciones, realizar parafraseos con las diferentes expresiones gramaticales existentes.

* Dada una condicional de proposiciones, determinar su recproca, inversa y contrarrecproca.

* Dada una proposicin condicional verdadera, analizar sus condiciones necesarias y suficientes.

En nuestro lenguaje comn usamos frecuentemente proposiciones ms complejas, no tan simples o elementales.

12pg.

Surge entonces la necesidad de definir los nexos de estas proposiciones a los cuales se denominan conectores u operadores lgicos. Gramaticalmente, estos nexos, en su mayora, son denominados partes invariables de la oracin.

Definicin 1.4 (Negacin)

Sea a una proposicin, la negacin de a, representada simblicamente por a, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad:

a a

01

10

Cuadro 1.1: Tabla de Verdad de la Negacin.

Este operador lgico cambia el valor de verdad de una proposicin: si a es una proposicin verdadera, a es falsa; si a es una proposicin falsa, a es verdadera. La negacin se presenta con los trminos gramaticales: no, ni, no es verdad que, no es cierto que.

Ejemplo 1.6 Negacin de proposiciones.

Si se tiene la proposicin:a: Tengo un billete de cinco dlares.

La negacin de a es:a: No tengo un billete de cinco dlares.

Ejemplo 1.7 Negacin de proposiciones.

Si se tiene la proposicin:a: No quiero hacer el viaje.

La negacin de a es:a: Quiero hacer el viaje.

Ejemplo 1.5 Proposiciones que no son simples.

No te encontr en tu casa. Fui al banco y estaba cerrado. Tengo una moneda de cinco centavos o una de diez centavos. El carro de Juan o es azul o es negro. Si me gano la lotera, entonces me compro una casa. Estudio en la ESPOL si y slo si me esfuerzo.


13pg.

Ejemplo 1.9 Conjuncin de proposiciones.

Definicin 1.5 (Conjuncin)

Sean a y b proposiciones, la conjuncin entre a y b, representada simblicamente por a b, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad:

a b a b

0011

0101

0001

Cuadro 1.2: Tabla de Verdad de la Conjuncin.

Este operador lgico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposicin resultante ser verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero. En espaol, la conjuncin copulativa se presenta con los trminos gramaticales: y, pero, mas, y signos de puntuacin como: la coma, el punto, y el punto y coma.

Ejemplo 1.8 Conjuncin de proposiciones.

Si se tienen las proposiciones:a: Obtengo buenas notas.b: Gano una beca.

La conjuncin entre a y b es:a b: Obtengo buenas notas y gano una beca.

Si se tienen las proposiciones:a: Trabajo mucho.b: Recibo un bajo sueldo.

La conjuncin entre a y b se puede expresar como:a b: Trabajo mucho pero recibo un bajo sueldo.

14pg.

Definicin 1.6 (Disyuncin)

Sean a y b proposiciones, la disyuncin entre a y b, representada simblicamente por a b, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad:

a b a b

0011

0101

0111

Cuadro 1.3: Tabla de Verdad de la Disyuncin.

Este operador lgico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposicin resultante ser falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso.

En espaol, la disyuncin se presenta con el trmino gramatical o.

Ejemplo 1.10 Disyuncin de proposiciones.

Si se tienen las proposiciones:a: Tengo un libro de Trigonometra.b: Tengo un libro de lgebra.

La disyuncin entre a y b es:a b: Tengo un libro de Trigonometra o uno de lgebra.

Como se podr notar en este ejemplo, existe la posibilidad de poseer ambos libros, razn por la cual esta disyuncin recibe el nombre de disyuncin inclusiva.

En el lenguaje espaol suelen presentarse situaciones que son mutuamente excluyentes entre s. La expresin o estoy en Quito o estoy en Guayaquil denota la imposibilidad de estar fsicamente en Quito y Guayaquil al mismo tiempo.

Definicin 1.7 (Disyuncin exclusiva)

Sean a y b proposiciones, la disyuncin exclusiva entre a y b, representada simblicamente por a b, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad:

a b a b

0011

0101

0110

Cuadro 1.4: Tabla de Verdad de la Disyuncin Exclusiva.


15pg.

Este operador lgico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposicin resultante ser verdadera cuando solamente una de ellas sea verdadera.

En espaol, la disyuncin exclusiva se presenta con el trmino gramatical o, o slo, o solamente, o..., o....

La disyuncin exclusiva a b puede expresarse como: (a b) (a b)

Ejemplo 1.11 Disyuncin exclusiva de proposiciones.

Si se tienen las proposiciones:a: Estoy en Quito.b: Estoy en Guayaquil.

La disyuncin exclusiva entre a y b es:a b: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil.

Definicin 1.8 (Condicional)

Sean a y b proposiciones, la condicional entre a y b, representada simblicamente por a b, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad:

a b a b

0011

0101

1101

Cuadro 1.5: Tabla de Verdad de la Condicional.

Este operador lgico tambin se denomina enunciacin hipottica o implicacin. En la proposicin a b, a es el antecedente, hiptesis o premisa; b es el consecuente, conclusin o tesis; y la proposicin resultante ser falsa solamente cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor de verdad del consecuente sea falso.

En espaol, la proposicin a b se puede encontrar con los siguientes trminos gramaticales: si a, entonces b, a slo si b, a solamente si b, b si a, si a, b, b con la condicin de que a, b cuando a, b siempre que a, b cada vez que a, b ya que a, b debido a que a, b puesto que a, b porque a, se tiene b si se tiene a, slo si b, a, b, pues a, cuando a, b, los a son b, a implica b, o cualquier expresin que denote causa y efecto.

16pg.

Ejemplo 1.12 Condicional de proposiciones.

Si se tienen las proposiciones:a: Juan gana el concurso.b: Juan dona $ 10 000.

La condicional entre a y b es:a b: Si Juan gana el concurso, dona $ 10 000.

Parafraseando la condicional, tenemos:

Juan gana el concurso slo si dona $ 10 000.

Juan dona $ 10 000 si gana el concurso.

Si Juan gana el concurso, entonces dona $ 10 000.

Juan dona $ 10 000 puesto que gana el concurso.

Juan dona $ 10 000 debido a que gana el concurso.

Juan dona $ 10 000 siempre que gane el concurso.

Cuando Juan gane el concurso, dona $ 10 000.

Juan dona $ 10 000 porque gana el concurso.

En base a este ejemplo, nos podemos preguntar: cundo se quebrantar la promesa de Juan? Esto ser nicamente cuando Juan gane el concurso y no done el dinero.

Existen otras proposiciones relacionadas con la condicional a b, las cuales se denominan: recproca, inversa y contrarrecproca (o contrapositiva).

La Recproca, es representada simblicamente por: b a.

La Inversa, es representada simblic

libro de fundamentos de matemáticas. espol

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