Ecuacin da la elipseEs todo el conjunto de todos los puntos del plano en los cuales la suma de sus distancias o dos puntos fijos llamados focos es simplemente igual a una constante.Con centro en el origen

c1-1vabv

Graficas de elipse LR

Excentricidad

BC (h,k)VBVLRF F

Ejemplos:Encuentra la ecuacin de la elipse que tiene como elementos , y . Si observamos el eje menor tiene ordenadas en , entonces la elipse es paralelo al eje y.

Encuentra los elementos de la siguiente ecuacin general.

Ecuacion de la hiperbolaEn el origen a- longitud semieje transverso b- longitud semieje conjugado

Graficas de la hiperbola

Asintotas

Asintotas

Ejemplos:Encuentra la ecuacin de la hiperbola que tiene los vertices , y .

Encontrar la ecuacin de la hiprbola que contiene centro en , el eje focal es paralelo al eje y, la semidistancia focal es de6 y el semieje conjugado es 4.

Encuentra todos los elementos de la siguiente hiperbola.

ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Recordando que un determinante de 3x3 es: Det(A)

Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (3,4)(-2,1)

ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA SIMETRICA(a,o)(o,b)

Dividiendo por ba

EjemploEncuentre la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (2,5) y (-2,-3) en su forma general y simtrica

FUNDAMENTOS MATEMATICOS 1PM3

Clculo de los valores 30, 40, 6grados

Para el ngulo de 45.

Ley de senos y cosenosLey de Senos

Ley de Cosenos

FUNDAMENTOS MATEMATICOS 1PM3

Mediante la ley de senos calcular los ngulos y lados restantes del siguiente. tringulo.

180=43+27+

=110

Mediante la ley de cosenos calcula los ngulos y lados restantes del siguiente tringulo. Si el resultado es negativo, significa que el ngulo es complementario.

Tarea

Suma de ngulosObservemos la siguiente figura que tienen los ngulos

Del tenemos: Sustituyendo en Ec. 3 (Sen) Adems como = Sustituyendo en Ec. 3 (Cos) = (Tan) = Definicin: dos ngulos, entonces:

ngulo doble Sea = = Demostrar que Demostrar que Mitad de un ngulo

Recordando que el & Cambio de variable Si encontrar a) b)a) Como == b) = =

Si OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICASMultiplicacin de polinomiosTermino.- Es una expresin algebraica formada por nmeros, letras, signos o combinaciones entre ellos. 5, 4a, B/2, , Polinomio.- Es una presin algebraica formada por ms de dos trminos. Dos trminos son semejantes, si tienen las mimas literales con los mismos exponentes sin importar el coeficiente numrico.

Operaciones con polinomio: Suma y Resta.Para sumar o restar algebraicamente los trminos tienen que ser semejantes y para la multiplicacin se ejecuta trmino a trmino y posteriormente se efecta una reduccin de trminos semejantesEjemplo:1) 3x+2y-2+(4x+2-6y) = 3x+2y-2+4x+2-6y = 7x-4ySustraer: 3x-2y+4 de 6x+2y+6 = (6x+2y+6)-(3x-2y+4) = 6x+2y+6-3x+2y-4 = 3x+4y+2Sustraer 5xy+6y-3y de 4y+6y4xy = (4y+6y-4xy)-(5xy+6y-3y) =4y+6y-4xy-5xy-6y+3y =-9xy+7y

Multiplicacin de polinomiosLa multiplicacin de dos polinomios de la forma: anx+an-1x+.ax+ax bnx+bn-1x+bx+bxEsta multiplicacin se realiza multiplicando el termino del primero polinomio por cada una de los trminos del segundo polinomio al finalizar las multiplicaciones de reduccin los trminos semejantes.(x+2)(3x-9)= 3x-9x+6x-18 =3x-3x-18(4x-2)(x+1)(x-2)= 4x+4x-2x-2= (4x+2x-2)(x-2)= 4x-8x+2x-4x-2x+4 = 4x-6x-6x+4

1) (x+3x-2x+4)(2x+x-2)= 2x+x-2x+6x+3x-6x-4x-2x+4x+8x-8 = 2x+7x-3x+8x+82) (2x+4) (2x+1)= 8x+32x+36x+16x+16

Divisin de polinomios La divisin de un polinomio de la forma anx+an-1x+.ax+ax por otro polinomio bnx+bn-1x+bx+bx , el proceso de esta divisin es muy parecida al proceso que se emplea en la divisin aritmtica. Siempre se obtiene un cociente y un residuo que puede ser 0 o un polinomio con grado menor que el divisor.

2x+2x+1 =-x+x+

X+x+1 = 1-

1) X+2x+2 =x-2x+2

2) X+3 = x-3x+9x-31x+89

3) 4x-3 =-x-+

Factorizacin por agrupamiento de trminos

La agrupacin puede hacerse ms de un modo, lo nico que se pide es que las 2 expresiones que se agrupan tengan algn factor comn y que las cantidades que quedan dentro de los parntesis, despus de sacar el factor comn en cada grupo sean extremadamente iguales.Ejemploa^2+ab+ax+bx=(a^2+ab)+(ax+bx) (a)(a+b)+x(a+b) (a+b)(a+x)

Ejercicios4a^3-1-a^2+4a(4a^3+4a)(-1-a^2)4^a (a^2+1)-(1+a^2)(a^2+1)(4a-1)

15bz-6bx-5a^2 z+2a^2 x(15bz-5a^2 z)+(2a^2 x-6bx)5(3b-a^2)-2x(3b-a^2)

a^2 x^2-3bx^2+a^2 y^2-3by^2(a^2 x^2-3bx^2)+(a^2 y^2-3by^2)x^2 (a-3b)+y^2 (a-3b)(a-3b)(x^2+y^2)

2x^2 y+2xz^2+y^2 z^2+xy^3(2x^2 y+xy^3)+(2x^2+y^2 z^3)xy(2x+y^2)+z^2 (2x+y^2)(2x+y^2)(z^2+xy

Factorizacin de la forma +CSuponiendo que la factorizacin de este trinomio se puede realizar mediante la multiplicacin de 2 parntesis como se muestra a continuacin

Donde a y b son 2 nmeros enteros, por lo tanto se tiene:

Ejemplos:1)2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Factorizacin de un trinomio de la forma La factorizacin de este trinomio se puede utilizar el mtodo del trinomio anterior para esto primero se multiplica todo el trinomio por el valor de A y para que no se altere la igualdad Si se utiliza un cambio de variable de la forma

Dnde: Ejemplo:1)

2)

3)

4)

5)

6)

Leyes de los exponentes

Sea el conjunto entonces se cumple: = 34 5 si a es diferente a 0, entonces: = 6 7

Para cada y cada existe un nico , este nmero real se detona:

1= = 2= 3 = 4 =

Ejercicios: aplica ley de los exponentes para simplificar la siguiente expresin1) ( = ( ==

2)== =

3) ( = ( ( = = = = ==

4) = = = .

5) == == =

A) (( =

B)= () = () =

C) = (= .

D). = == = = =

Aplica ley de los exponentes para simplificar la siguiente expresin.

( == == = ==

A)

B)

( =

C) 3=

D)

Simplificacin de Fracciones

Simplificar una fraccin es convertirla en una fraccin equivalente, cuyos trminos sean irreducibles.

Suma y Resta

Para sumar y restar se tienen que factorizar tanto el denominador como el numerador y en el denominador obtener factor comn y no comn elevados a su mxima potencia.

Ejemplo:

+ = + = + = + = = =

Ejercicio:

1) - - = - - = = =

2) - = - = = = =

3) - = = = = =

Multiplicacin

Para efectuar las multiplicaciones se factorizan todos los numeradores y denominadores y posteriormente multiplicamos numerador con numerador y denominador por denominador.

Ejercicio:

x =

=(2+10x)(x+5)2x(x+5)+(x+5)(x+5)(2x+1)

=6-2x+3x-12x(3x-1)+(3x-1)(3x-11)(2x+1)

=3-9x-x+33x(x-3)-(x-3)(3x-1)(x-3)

1) x = x =

Divisin

Se factorizan los denominadores y se efecta un producto de la siguiente manera:

Ejercicio:

=

+6x-4x-32x(4x+3)-(4x+3)(4x+3)(2x-1)

-20x+3x-154x(x-5)+3(x-5)4x+3(x-5)

-6x-14x+76x(2x-1)-7(2x-1)(2x-1)(6x-7)

-30x-7x+356x(x-5)-7(x-5)(x-5)(6x-7)

= = 1

Determinantes 2x + y - 2z = 103x + 2y + 2z = 15x + 4y + 3z = 4

Det (A) =

Det (A) = 12 24 + 10 (- 20 + 16 + 9) = - 2 -5 = -7Por menores(-1)i-j I=filasJ=columnasDet (A) = Det (A) = 2 -1 +(-2)Det (A) = 2(6-8)(9+9)2(12-10) = -4+1-4 = -7Regla de Krammert= -71 == 60-8+8+16-80-3 == -7 = 12 == 6-24+100+10-16-90 = -14 = 22 == 6-24+100+10-16-90 = +21 = -3

2x +4y +6z = -122x -3y -4z = 153x +4y +5z = -8Det (A) = = - 30 + 48 - 48 + 54 - 40 + 32 = 161 == 180 + 360 + 128 - 144 - 300 - 192= 32 = 22 == 150 - 96 + 144 - 270 + 120 - 64= -16 = -1

2 == 6-24+100+10-16-90 = -32

Fracciones ParcialesTericamente es posible escribir cualquier expresin opcional como una suma de expresiones racionales cuyas denominaciones son potencias de polinomios de grado que no sean mayores de 2 f(x) & g(x) son polinomios y el grado de f(x) es menor que el grado de g(x) puede mostrarse que =F1+F2++Fn; en donde:FK tiene la siguiente forma: O Caso I: Factores lineales distintos para cada factor distinto la fraccin se descompone como: + + Caso II: Fracciones lineales para cada factor lineal (ax+m)m la descomposicin en fracciones simples incluir la suma siguiente: + ++ Caso III: Factores cuadrticos. Para cada factor cuadrtico, la descomposicin en factores simples de incluir la suma:(ax2+bx+c)n + + +Realiza la descomposicin en fracciones parciales de la siguiente expresin. = = + 1Quitando denominadores.Y = +

y=A(x+1) + B(x-1)y=Ax+A+Bx-Bo=A+By=A-B

o=A+B

y=A-B

y=2A

A= 4/2 =2B= -A= -2

Sustituir en 1: = -

=+Quitando denominadores1=A(x+1/2)+Bx1=Ax+A/2+Bxo=A+B1=A/2Entonces A=2B= -A = 2Sustituir en 1= -

= + + Quitando denominadoresx+1=x(x^2+9)A+B(x^2+9)+(Cx+D)x^2x+1=x^3 X+9xA+Bx^2+98+Cx^3+Dx^2o=A+Co=B+B1=9 AA =1/9C=-A=-1/91=9 BB = 1/9D=-B=-1/9Sustituir en ecuacin 1.

1152-8

0168

-21680

0-2-8

-4140

0-4

10

Sustituir en ecuacin 1: 1/(15(5-1))-1/6(5+2) +1/(10(5+4)) = 5/((5+1)^2)Factorizamos:Quitamos denominadores1=n(5+2)(514)+B(5-1)(5+4)-C(5-1)(5+2)1=12 AA=1/151=-6 BB=-1/61=10 CC= 1/10

Parbola Es el lugar geomtrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo dado (foco) y de una recta fija dada (directriz) que no pasa por el punto.-Eje de la parbola: es la recta perpendicular a la directriz adems pasa por el Foco y el vrtice -Vrtice: punto medio entre la directriz y el foco

Parbola con el vrtice en el origen Caso A

N(-P,y) P(x,y)

V(0,0) F(h,0)

X=-P

P P 2P

Dnde: FP=PN Y =2px Y2=4Px

Parbola con el vrtice en el origen Caso B

N(P,y) P(x,y)

F(-P,0) V(0,0)

X=+P

P P 2P

FP=NP = ()(X2+2Px+P2+y2=x2-2Px+P24Px+y2=0

Y2=-4Px

Parbola con el vrtice en el origen Caso C

F(0,P) P(x,y) V(0,0)

Y=-P N(x,-P)

FP=NP = X2+(y-P)2=(y+P)2X2+y2-2Py+P2=y2+2py+p2x2=4py

Parbola con el vrtice en el origen Caso D

N(x,P)Y=P V(0,0) P(-x,-y) F(0,-P)

= X2+(y+P)2=(P+Y)2X2+y2+2py+p2=p2-2py+y2X2=-4py

Parbola con el vrtice fuera del origen

N(-P,y) P(x,y)

. F(h+p,k) V(h+p,k)

Directriz: x=(h-P)

(y-K)2=4p(h-k)

Parbola con el vrtice fuera del origen

P(-x,y) N(P,y)

. F(h+p,k) V(h+p,k)

Directriz: x=(h+P)

(y-K)2=-4p(h-k)

Ejemplo:

Escriba la ecuacin de la parbola en forma estndar y determine su vrtice, foco, directriz y ejea) Y2+4x-8y+28=0Y2-8y+4x+28=0Y2-8y+(Y2-8y+(Y2-)2=-4x-1(y2-2=-4(x+3)P=1V(-3, F(h-p,k) F(-3+(1),)=(-4,) directriz: h+p = -3+1= -2Directriz: -2 b) X2-4x+8y+39=0x2-4x+(x2-4x+222x2-4x+4=-8y+36+4(x-2)2=-8y+40(x-2)2=-8(y+5)V(2,-5)F(h,k-p)=(2,-5+2)=F(2,-3)P= =-2Y=(k-p)=(-5-2)=7 Directriz: Y=7

c)x2+8x-2y+10=0(x2+8x+16)=2Y-10+16(x+4)2=2y+6(x+4)2=2(y+3)V(-4,-3)4P=2P= F(h,k+p)=(-4, -5/3)Directriz= Y=k-pY=-3-1/2=-7/2

d)y2+4y-6x+7y=0(y2+4y+4)=6x+7+4(y+2)2=6x-3(y+2)2=6(x-1/2)V(1/2,-2)4p=6P=6/4=3/2F(h+p,k)F(1/2+3/2,-2)=(2,-2)Directriz = X=h-p=1/2-3/2=-1LR=4p=6

Circunferencia Definicin: La circunferencia es el lugar geomtrico de tolos los puntos del plano que equidistan de otro punto llamado centroEcuacin general de la circunferencia: x2+Dx+y2+Ey+F=0Ecuacin cannica: (x-h)2+ (y-k)2=r2En el centro

r C(0,0)

x2+y2=r2

Fuera del centro(x-h)2+(y-k)2=r2

EjemploA) 3x2+3y2+10x+12y+5=01/3(3x2+3y2+10x-12y+5)=0X2+y2-4y+=0 X2+x+)2-)2+y2-4y+()2-()2+()=0X2+x+)2+y2-4y+(2)2=)2+(2)2-(x+2+(y-2)2=

c(-)r2=

r

c(h,k)

B)x2+y2+7x+6y+9=0(x2+4x+4)+(y2+6y+9)=-9+4+9(x+2)2+(y+3)2=4h=-2 k=-3r=2c(-2,-3)

C)x2+y2-2y+4=0X2+(y2-2y+1)=4+1X2+(y-1)2=5h=0 k=1r=c(0,1)d)x2+y2-x+4y=19/4 (x2-x+1/4)+(y2+4y+4)=19/4+1/4+4(x-1/2)2+(y+2)2=9h=1/2k=-2r=3c(1/2,-2)

SISTEMA DE ECUACIONES ELIMINACIN GAUSEANAX+ 2y- 3z = 4 * 1 * -2X+ 3y + z=112x+ 5y-4z = 132x+ 6y + 2z = 22

X+ 2y -3z=40+ y + 4z= 70+ y + 2z= 50+ 2y +8z=14

X+ 2y- 3z= 4 Y+ 4z= 7 *-1 *-2 Y+ 2z= 5 2y+ 8z=14

X+2y-3z=4 Y+4z=7 0- 2z= -2 0 0 = 0

X+2y-3z=4 Y+4z= 7 -2z= -2

-2z= -2 Z= -2/-2= 1 Z= 1

Y+4(z)= 7Y= 7-4Y= 3

X+2y-3z=4X+6-3=4X= -3+4=1X=

2x+ y 2z= 103x+ 2y+ 2z= 15x+ 4y+ 3z= 4

X+ - z= 50 + y+ 5z=-14+3/2 y + 8z=-21

X+ y/2 z= 5 * -3 * -53x+ 2y + 2z= 15x+ 4y + 3z= 4

X+y/2- z= 5Y + 10 z= -28 * 3/23/2 y+ 8z= -21

X+ y/2 z= 5Y+ 10 z= -280- 7z= 21Z= 21/ 7= -3

Y+ 10(-3)= -28y-30= -28y= 30-28= 2

x+(2/2)- (-3)= 5x+1+3=5x+4=5x=1

RACIONALIZACINRacionalizar significa eliminar races.Cuando nos piden racionalizar el denominador tenemos que eliminar las races que existen en el denominador sin importar cuantas races obtengamos en el numerador.Cuando deseamos racionalizar es una sola raz multiplicamos tanto el numerador como el denominador por la raz del denominador, y si lo que vamos a racionalizar es una suma o diferencia de races multiplicamos tanto el numerador con el denominador por el conjugado del denominador.EJEMPLO TAREA1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) SOLUCIN1) = 2) 3) = = = 4) = 5) = 6) 7) = = SUMA Y DIFERENCIA DE FRACCIONES ALGEBRIACASPara resolver una suma de fracciones algebraicas se utiliza un procedimiento similar al de las fracciones numricas. Pero se recomienda que primero se simplifiquen las fracciones a su mnima expresin. Si MULTIPLICACION DE FRACCIONESSi con b,d son fracciones algebraicas, entonces el producto dado de la siguiente manera.

DIVISION DE FRACIONES

Si con b,d o son fracciones algebraicas entonces la divisin queda

RESOLVER LA SIGUIENTE OPERACIN.1) 2) 3)

FACTOR COMN.

DIFERENCIA DE CUADRADOS

SUMA Y DIFERENCIA DE CUADRADOS

EJERCICIOS.1) 2) 3) 4) 5) 6)

FACTORIZACION DEL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.Un trinomio cuadrado es un trinomio ordenado respecto a una literal en el cual el primero y el 3ro trmino tiene signo positivo, adems dichos trminos tienen raz cuadrada exacta. Pero segundo trmino es el doble producto de las races. EJEMPLO.

Para ver si un trinomio y cuadrado perfecto, lo primero es ordenar el trinomio respecto a una literal principalmente se obtiene leer races cuadradas del primer y tercer trmino, despus se obtiene el doble producto de las races, si este producto es exactamente igual al segundo trmino entonces el trinomio es cuadrado perfecto.

Cuadrado perfecto. 2)

Lo que falta

FACTORIZANDO UN TRINOMIO DE LA FORMA. Suponiendo que la factorizacin de este trinomio se puede realizar mediante la multiplicacin de 2 parntesis como se muestra a continuacin. Donde a y b son los nmeros enteros por lo tanto se tiene:

B= a + bC= ab 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Funciones Trigonomtricas

Escriba la cot en funcin del seno

cot =

cos =

Escriba la csc en funcin del cos csc=

sen = Encuentra los elementos restantes del tringulo. 34

y r 10.5tan tan 34 = y= 10.5 tan 34y= 7.08 180=r = r = Encuentra el valor de x y y de la siguiente figura.2016x 2y = 36 - 20yy 2y = 1636 y =

x = -Encuentra la altura de un tringuloissceles si la base mide 60 cm ysus lados 50 cm y el ngulo deinclinacin de sus lados.

h

50 50 50

60

h = sen

Demostrar la siguiente identidad:1.-

2.- 1=13.-

4.-

1=!

Funciones logartmicas y exponencialesSi f(x) = y a , entonces f es creciente. Definicin:Si a entonces la funcin exponencial, f con base a se define.f (x) = Definiciny= log si y solo si x =

x = Ejemplos:a) = 8b) Teoremas 1) a2) 3) Leyes de los logaritmos1) (uv)= 2) ) = 3) Definicion log = ln x = x

Sistema de ecuacionesEcuaciones de 1 y 2 grado Resolver una ecuacin, es decir encontrar el valor o los valores de la incgnita que satisfacen una ecuacin.

1)

2)

3)

4) + =

=

X=

6) = = =

=7) = 2- =

8)

9) 7+

= 8

La suma de 15 y 2 veces cierto nmero es 33 encontrar dicho nmero.

Encuentre el nmero tal que el doble sea menor en 12 que el triple del nmero.

El resultado de sumar 28 a 4 veces cierto nmero es el mismo que se obtiene al restar 5 de 7 veces el nmero, encuentre dicho nmero.

1)

2)

3)

4) La suma de 3 enteros positivos consecutivos es 72, encuentre el menor de ellos.

Ecuaciones de 2 grado1) 0

2)

3)

4)

5)

Formula General

1)

2)

ECUACIN DE LA RECTA EN SU FORMA NORMAL

Sea AB, la ecuacin de la recta en su forma simtrica. Ecuacin 1

Del AOP ; y BOP ;

Sustituyendo en Ecuacin 1

Multiplicando por d

Sustituyendo el valor de k en las ecuaciones:

Encuentra la ecuacin de la recta en su forma general y en su forma normal (2,-3) (-1,4)

A= 7 B=3 C=-5

ECUACIN DE RECTAS PARALELAS O PERPENDICULARES

TEOREMA DE PERPENDICULARIDAD

TEOREMA DE PARALELISMO

Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por el punto de interseccin de las rectas: y y es perpendicular a la recta

Encuentra el ngulo entre las rectas: 0 y =7 y una ecuacin de la recta que pasa por el punto de interseccin de dichas rectas y sea perpendicular a la recta

6x-5y=-1

(Y-8) = 6Y+48=-5X+356Y+5X+13=0