Fundacin MatemticasAnthony Croft y Robert Davisoncuarta edicin

Fundacin MatemticasVisita laFundacin Matemticas, cuarta edicinSitio web compaero enwww.pearsoned.co.uk / croftpara encontrar valiosaestudiantematerial de aprendizaje que incluyen: Paquete de Apoyo al Estudiante. Contiene resmenes de una pgina de temas claves completas con ejemplos, ejercicios y respuestas Preguntas adicionales al final de su captulo con respuestas

Trabajamos con los autores principales para desarrollar elmateriales educativos ms fuertes en las matemticas, con lo queel pensamiento de vanguardia y las mejores prcticas de aprendizaje paraun mercado global.En virtud de una serie de huellas bien conocidos, incluyendoPrentice Hall, elaboramos la impresin de alta calidad ypublicaciones electrnicas que ayudan a los lectores a entendery aplicar su contenido, ya sea estudiando o trabajando.Para obtener ms informacin sobre la gama completa de nuestrapublicacin, por favor vistenos en la World Wide Web en:www.pearsoned.co.uk

Fundacin MatemticasCuarta edicinAnthony CroftUniversidad de LoughboroughRobert DavisonDe Montfort University

Pearson Educacin, SAPuerta de EdimburgoHarlowEssex CM20 2JEInglaterray empresas asociadas en todo el mundoVistenos en la World Wide Web en:www.pearsoned.co.ukPrimera edicin 1995Tercera edicin de 2003Cuarta edicin publicada 2006#Pearson Educacin, SA 1995, 2006Los derechos de Anthony Croft y Robert Davison a ser identificados como autores deeste trabajo ha sido afirmado por ellos de conformidad conlos Derechos de Autor, Diseos y Patentes de 1988.Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicacin puede ser reproducida, almacenadaen un sistema de recuperacin o transmitida en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea electrnico,mecnico, fotocopiado, grabacin u otros, sin que el anteriorpermiso escrito del editor o de un permiso de copia restringidaen el Reino Unido emitido por el Derecho de Autor Licensing Agency Ltd,90 Tottenham Court Road, Londres W1T 4LP.Descripcin: 978-0-13-197921-5British Library de datos Catalogacin en la fuenteUn registro de catlogo de este libro se encuentra disponible en la Biblioteca BritnicaBiblioteca del Congreso de datos Catalogacin en la fuenteCroft, Tony, 1957 - Matemticas Foundation / Anthony Croft, Robert Davison.4th ed. p. cm. Incluye ndice. ISBN-13: 978-0-13-197921-5 (alk. papel) ISBN-10: 0-13-197921-3 (alk. papel) 1. Matemticas. I. Davison, Robert. II. Ttulo. QA37.3.C76 2006 510dc22 200600774710 9 8 7 6 5 4 3 210 09 08 07Compuesta en 10 = 12,5 Times de 72Impreso y encuadernado por Ashford Color Press, GosportLa poltica de la Editorial es usar papel fabricado a partir de bosques sostenibles.

ContenidoPrefacioVisita guiadaLos smbolos matemticos 1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516171819202122232425262728293031323334Aritmtica de los nmeros enteroFraccionesLas fracciones decimalesSetsPorcentaje y relacinlgebrandicesBases numricasLgica elementalSimplificar expresiones algebraicasFactorizacinFracciones algebraicasLa transposicin de frmulasResolucin de ecuacionesSucesiones y seriesFuncionesLas grficas de las funcionesLa lnea rectaLa funcin exponencialLa funcin logaritmoAnglesIntroduccin a la trigonometraLas funciones trigonomtricas y sus grficasIdentidades trigonomtricas y ecuacionesSolucin de tringulosMatricesMedicinLas rampas de las curvasLas normas de productos y cocientes de diferenciacinIntegracin y reas bajo la curvaIntegracin por partesFunciones de ms de una diferenciacin variable y parcialTablas y grficosEstadsticaviiixxi 1 14 26 34 46 54 63 78 89100108115129135146161174194207216234244252265277294300316333340357365382399

viContenido353637ProbabilidadCorrelacinRegresinSolucionesndice413422437444520Apoyo a los recursosVisitawww.pearsoned.co.uk / croftencontrar valiosos recursos en lneaSitio web compaero para estudiantes Paquete de Apoyo al Estudiante. Contiene resmenes de una pgina de temas clave completos, con ejemplos, ejercicios y respuestas Preguntas adicionales al final de su captulo con respuestasPara los instructores Manual de soluciones que contienen soluciones a los ejercicios de prueba y de asignacin en el extremo de cada uno captulo Diapositivas de PowerPoint con personajes del libro y los puntos clave de la agenda con su relacionada ejemplos prcticosPara obtener ms informacin, pngase en contacto con su representante de ventas local de Pearson Educationo visite el sitiowww.pearsoned.co.uk / croft

PrefacioHoy en da, una gran variedad de disciplinas que sus alumnos tienenconocimiento de ciertas herramientas matemticas con el fin de apreciar laaspectos cuantitativos de sus sbditos. Al mismo tiempo, la educacin superiorinstituciones han ampliado el acceso de modo que no es mucho mayor variedad en laexperiencias matemticas preuniversitarias del alumnado. Algunoslos estudiantes estn regresando a la educacin despus de muchos aos en el lugar de trabajo oen casa la educacin de las familias. Fundacin Matemticas ha sido escrito para aquellos estudiantes de mayorla educacin que no se han especializado en matemticas en A o AS nivel. Esdestinada a los no especialistas que necesitan un poco pero no muchomatemticas mientras se embarcan en sus cursos de educacin superior. Esprobable que sea especialmente til para aquellos estudiantes que embarcan en unGrado Fundacin con contenido matemtico. Se lleva a los estudiantes dealrededor de los niveles ms bajos de GCSE a un estndar que les permitirparticipar plenamente en un grado o diplomatura. Es ideal para aquellosel estudio de marketing, estudios de negocios, la gestin, la ciencia, la ingeniera,ciencias sociales, geografa, estudios y diseo combinados. Ser til paraaquellos que carecen de la confianza y la necesidad de una orientacin cuidadosa y constante enlos mtodos matemticos. Incluso para aquellos cuya experiencia matemtica esya establecida, el libro ser una revisin til y gua de referencia.El estilo del libro tambin lo hace adecuado para aquellos que deseen participar enautoaprendizaje o el aprendizaje a distancia. Hemos tratado a lo largo de adoptar un enfoque informal, fcil de usary se han descrito procesos matemticos en el lenguaje cotidiano.Las ideas matemticas suelen ser desarrollados por ejemplo en lugar de porprueba formal. Esto refleja nuestra experiencia que los estudiantes aprenden mejor deejemplos que de desarrollo abstracto. En su caso, elejemplos contienen una gran cantidad de detalles para que el alumno no se quedepreguntndose cmo una etapa de un clculo conduce a la siguiente. En FundacinMatemticas, los objetivos estn claramente definidos al comienzo de cada captulo, ypuntos clave y frmulas se destacan a lo largo del libro. Auto-preguntas de evaluacin se proporcionan al final de la mayora de las secciones. Estas pruebascomprensin de las caractersticas importantes de la seccin y las respuestas se dan enla parte posterior del libro. Estos son seguidos por ejercicios, sino que es esencial queestos se trataron como la nica manera de desarrollar la competencia y

viiiPrefaciocomprensin es a travs de la prctica. Las soluciones a estos ejercicios se dan enla parte posterior del libro y se debe consultar slo despus de los ejercicios tienenha intentado. Se presenta una nueva serie de ejercicios de prueba y asignacin aAl final de cada captulo. Estos se proporcionan para que el tutor puede establecerasignaciones regulares o pruebas a lo largo del curso. Las soluciones a estos sonno proporcionado. La retroalimentacin de los estudiantes que han utilizado las ediciones anteriores deeste libro indica que han encontrado el estilo y el ritmo del librotil en su estudio de las matemticas en la universidad. Con el fin de mantener el tamao del libro razonable nos hemos esforzado porincluir temas que creemos que son las ms importantes, hacer que la mayor parteproblemas para los estudiantes, y que tienen la aplicabilidad ms amplia. Tenemoscomenzado el libro con materiales de aritmtica, incluyendo nmeros enteros,fracciones y decimales. Esto es seguido por varios captulos queintroducir gradualmente los temas importantes y de uso comn en lgebra.Los captulos restantes presentan funciones, trigonometra, clculo,matrices, estadstica y probabilidad. Estos se pueden encontrar tiles en lacursos enumerados anteriormente. La mejor estrategia para aquellos que utilizan el libro sera leer a travs decada seccin, cuidadosamente el estudio de todos los ejemplos y soluciones trabajadas.Muchas de estas soluciones se desarrollan resultados importantes que se necesitan ms tarde en ellibro. Entonces es una buena idea para cubrir la solucin y tratar de trabajarel ejemplo de nuevo de forma independiente. Es solamente haciendo el clculo de quedejar dominar las tcnicas necesarias. Al final de cada seccin de lapreguntas de autoevaluacin se debe intentar. Si estos no pueden ser contestadasentonces las pginas anteriores se deben trabajar a travs de nuevo con el fin deencontrar las respuestas en el texto, sin consultar con las respuestas dadas en la parte posteriordel libro. Por ltimo, los ejercicios se debe intentar, una y otra vez, las respuestasdeben examinarse regularmente con los que figuran en la parte posterior del libro. En conclusin, recuerde que el aprendizaje de matemticas requiere tiempo yesfuerzo. Llevar a cabo un gran nmero de ejercicios permite al estudianteexperimentar una mayor variedad de problemas y construir as la experiencia yconfianza. Armado con estos el alumno ser capaz de hacer frente a msproblemas no familiares y exigentes que se plantean en otros aspectos de suPor supuesto.Esperamos que usted encuentre la Fundacin Matemticas til y desea que el muymejor de las suertes.Anthony Croft, Robert Davison 2006

Visita guiadaPuntos clave destacan importantes resultadosque necesitan ser denominado con facilidad orecordado.11111112011Ejemplos resueltos se incluyen en el libropara reforzar el aprendizaje de los estudiantes y para ilustrar un pasoa paso enfoque para resolver problemas matemticos.

xVisita guiadaSe proporcionan Preguntas de autoevaluacinal final de la mayora de secciones para probarcomprensin de las partes importantes dela seccin. Las respuestas se dan en elparte posterior del libro.11111112Ejercicios son una oportunidad clave paradesarrollar la competencia y la comprensina travs de la prctica. Las respuestas se dan enla parte posterior del libro.11111112011Ejercicios de ensayo y de asignacin (con las respuestas proporcionadasen un Manual de Profesores 'aparte) permitir que los profesores ytutores para establecer tareas o exmenes regulares duranteel curso.

Los smbolos matemticos

%6 >

x1 cuandoA1x2 > : 2x1 cuando x>6Evaluar(A) Y (0)(B) y (4)(C) y (2)(D) y (7)Solucin(A) Se requiere el valor de y cuando x0. Dado que se encuentra entre 0A1y 2 nos utilizar la primera parte de la definicin, es decir, Y x21. Por lo tantoy (0)0211(B) Se requiere y cuando x4. La segunda parte de la definicin debe ser usado porque x se encuentra entre 2 y 6. Por lo tantoy (4)3 (4)12(C) Se requiere y cuando x2. El valor de x2 se produce en la primera parte de la definicin. Por lo tantoy (2)2215

166Funciones(D) Se requiere y cuando x7. La parte final de la funcin debe ser utilizado. Por lo tantoy (7)2 (7)115Preguntas de autoevaluacin 16.21. Explique qu se entiende por una funcin.2. Explicar el significado de los trminos "variable dependiente" y "variable independiente".3. Dada f (x), es la declaracin de 'f (x = 1) significa 1 = f (x)' verdadero o falso?4. D un ejemplo de una funcin f (x) tal que f (2)f (3), es decir, las salidas de las entradas 2 y 3 son idnticos.Ejercicio 16.21. Describir con palabras cada una de las siguientes funciones: (A) H (t) 10t (b) g (x) AX2 4 (C) h (t) 3t4(D) f (x) x2(E) f (x)3x22x9(G) f (x)0(F) f (x)5(F) 1 se resta de la entrada y la resultado se eleva al cuadrado.(G) el doble del de entrada se resta de 7 y el resultado se divide por 4.(H) La salida es siempreA13cualquier el valor de la entrada.4. Dada la funcin A (n)n2n1 evaluar (A) Un (2) (b) (c) A (3) A (0) (D) A (A1)5. Y Dada (x)(2x1)2evaluar (A) y (1) (b) y (A1) (c) y (A3) (D) y (0:5) (e) y (A0: 5)6. La funcin f viene dada por f (t)4t6. Escribe expresiones para (A) f (t 1) (b) f (t2) (C) f (t 1)f (t) (d) f (t2)f (t)7. La funcin f (x) se define por f (x) 2x23. Escribe expresiones para (A) f (n) (b) f (z) (c) f (t) (d) f (2t) 0 10 1 13 (E) f@ A(F) f@ A(G) f (ax) zn(H) f (A4X)(I) f (x1)(J) f (2x1)2. Describir con palabras cada una de las siguientes funciones: (A) f (t) 3t22t (b) g (x)3x22x Comente sus respuestas.3. Escriba las siguientes funciones utilizando notacin matemtica: (A) La entrada es cortado en cubos y el resultado es dividido por 12. (B) La entrada se aade a 3 y el resultado est escuadrada. (C) La entrada se eleva al cuadrado y se aade a 4 veces la de entrada. Por ltimo, 10 es sub- extrajo a partir del resultado. (D) La entrada se eleva al cuadrado y se aade a 5. A continuacin, la entrada se divide por este resultado. (E) La entrada es cortado en cubos y luego 1 es restado del resultado.

16.3YFunciones compuestas1678. Dada la funcin a (p)p23p1 escribir una expresin para una (p 1). Verificar que A (p 1)un (p)2p4.9. A veces, la salida de una funcin forma la entrada a otra funcin. Supongamos que tenemos dos funciones: f dada por f (t) 2t, y h dada por h (t)t1. f (h (t)) significa que t es de entrada a H, y el salida de h es la entrada a f. Evaluar (A) f (3) (b) h (2) (c) f (h) (2) (D) h (f (3))10. Las funciones f y h se definen como en Pregunta 9. Escriba expresiones para (A) f (h (t)) (b) h (f (t))11. Una funcin se define por 8 0xx> > : 1x>1Evaluar(A) f (0:5) (b) f (1:01)(C) f (1)16,3 funciones compuestasA veces queremos aplicar dos o ms funciones, una despus de la otra.La salida de la funcin de uno se convierte en la entrada de la siguiente funcin. Supongamos que f (x) 2x y g (x)x3. Tomamos nota de que la funcin f (x)duplica el de entrada, mientras que la funcin g (x) aade 3 a la entrada. Ahora, dejamosla salida de g (x) se convierten en la entrada a f (x). La figura 16.3 ilustra laposicin.Figura 16.3La salida de g es lade entrada de fTenemosg (x)x3f (x3)2 (x3)2x6Tenga en cuenta que f (x3) se puede escribir como f (g (x)). Haciendo referencia a la Figura 16.3vemos que la entrada inicial es x y que el resultado final es 2x6. Lafunciones g (x) yf (x) se han combinado. Llamamos f (g (x)) un compuestofuncin. Se compone de las funciones individuales f (x) y g (x). En esteejemplo tenemosf (g (x))2x6Ejemplos resueltos16.11F Given (x)2x y g (x)x3 encontrar la funcin compuesta g (f (x)).

168FuncionesSolucinLa salida de f (x) se convierte en la entrada para g (x). La figura 16.4 ilustra esto.Figura 16.4La funcin compuestag (f (x))Vemos queg (f (x))g (2x)2x3Tenga en cuenta que en general f (g (x)) y g (f (x)) son funciones diferentes.16.12F Given (t)t21, g (t)3y h (t)2t determinar cada uno de los siguientes tfunciones compuestas.(A) f (g (t))(B) g (H (t))(C) f (h (t))(D) f (g (H (t)))(E) g (f (h (t)))Solucin 0 1 0 12 339(A) f (g (t))F@ A@ A1 1 ttt2(B) g (H (t))g (2t)32t(C) f (h (t))f (2t)(2t)214t21 0 1 3 el uso de (b) (d) f (g (H (t))) F@ A 2t 0 12 3 @ A1 2t94t21utilizando (c)(E) g (f (h (t)))g (4t21)34t21Preguntas de autoevaluacin 16.31. Explicar 'funcin compuesta "del trmino.2. Dar ejemplos de las funciones f (x) yg (x) tal que f (g (x)) y g (f (x)) son iguales.

16.4YLa inversa de una funcin169Ejercicio 16.31. F Given (x)4x y g (x)3x2 hallazgo (A) f (g (x)) (b) g (f (x))2. Si x (t)t3e y (t)2t encontrar (A) y (x (t)) (b) x (y (t))3. Dada r (x) , S (x) 3x y 2xT (x)x2 hallazgo14. Una funcin se puede combinar con s mismo. Esto se conoce como auto-composicin. Dado (T)2t1 buscar (A) ((T))(B)(((T)))5. Dada m (t)(T1)3, N (t)t21 y P (t) t2encontrar (A) m (n (t)) (b) N (M (t)) (C) m (P (t)) (D) P (m (t)) (E) N (P (t)) (f) p (n (t)) (G) m (N (P (t))) (h) p (p (t)) (i) n (n (t)) (J) m (m (t))(A) r (s (x)) (b) t (s (x)) (c) t (r (s (x)))(D) r (t (s (x))) (e) R (s (t (x)))16.4 La inversa de una funcinTenga en cuenta que el smboloFA1 1no significa. FHemos descrito una funcin f como una regla que recibe una entrada, digamos x, ygenera una salida, decir y. Consideremos ahora la reversin de ese proceso,a saber, la bsqueda de una funcin que recibe y como entrada y genera x como elde salida. Si existe una funcin de este tipo que se llama la funcin inversa de f.La figura 16.5 ilustra esquemticamente este. El inverso de f (x) se denota porFA1(X).xLa funcin FyLa inversa de FxFigura 16.5La inversa de reveses fel efecto de fEjemplos resueltos16.13Las funciones f y g se definen porf (x)2xg (x)x2(A) Verifique que f es la inversa de g.(B) Verifique que g es la inversa de f.Solucin(A) La funcin g recibe una entrada de x y genera una salida de x = 2, es decir, se reduce a la mitad la entrada. Con el fin de invertir el proceso, la inversa de g debe recibir x = 2 como entrada y generar como salida x. Ahora considere

170Funcionesla funcin f (x)2x. Esta funcin duplica la entrada. Por lo tanto 0 10 1 xx F @ A2@ Ax 22La funcin f ha recibido x = 2 como entrada y x generadas como salida.Por lo tanto f es la inversa de g. Esto se muestra esquemticamente en la figura 16.6.Figura 16.6La funcin f es lainversa de ggxReducir a la mitad el entradax / 2FDoble la entradax(B) La funcin f x recibe como entrada y genera como salida 2x. Para invertir el proceso, la inversa de f debe recibir como entrada y 2x generar como salida x. Ahora g (x) x = 2, es decir, la entrada se redujo a la mitad, y asg (2x)2x2xPor lo tanto g es la inversa de f. Esto se muestra esquemticamente en la figura 16.7.Figura 16.7La funcin g es lainversa de fFxDoble la entrada2xgReducir a la mitad el entradax16.14SolucinEncontrar la inversa de la funcin f (x)3x4.La funcin f multiplica la entrada por 3 y 4 resta del resultado. Ainvertir el proceso, la funcin inversa, g decir, debe aadir 4 a la entrada yluego dividir el resultado por 3. Por lo tantog (x)x4316.15SolucinEncontrar la inversa de h (t) 1t5. 2La funcin h multiplica la entrada por1y despus aade 5 al resultado. 2Por lo tanto la funcin inversa, g decir, debe restar 5 de la entrada yluego dividir el resultado por1. Por lo tanto 2g (t)(T5)A1 = 2 A2 (t 5) A2T 10

16.4YLa inversa de una funcin171Hay un mtodo algebraico de encontrar una funcin inversa que es a menudoms fcil de aplicar. Supongamos que deseamos encontrar la inversa de la funcinf (x)62x. Dejamos quey62xy luego incorporar la presente para x. Esto dax6y2Por ltimo, intercambiamos xyy para dar y(6x) = 2. Esta es la requeridafuncin inversa. Para resumir estas etapas:Punto clavePara encontrar la inversa de yf (x),YYtransponer la frmula para hacer x el temaintercambio de X e YEl resultado es la funcin inversa requerida.Nos encontraremos algunas funciones que no tienen una funcin inversa. Paraejemplo, considere la funcin f (x)x2. Si 3 es la entrada, la salida es 9.Ahora bien, si3es la entrada, la salida tambin ser puesto 9 (A3)29. En ordenpara revertir este proceso una funcin inversa tendra que tener una entrada de 9y producir salidas de ambos 3 yA3.Sin embargo, esto contradice ladefinicin de una funcin, que establece que una funcin debe tener un solode salida para una entrada dada. Decimos que f (x)x2no tiene una inversafuncin.Preguntas de autoevaluacin 16.41. Explique qu se entiende por la inversa de una funcin.2. Explique por qu la funcin f (x)4x4no posee una funcin inversa.Ejercicio 16.41. Encontrar la inversa de cada una de la siguiente funciones: x (A) f (x) 3x (b) f (x) 4 (C) f (x) x1 (d) f (x)x3(E) f (x)3x (F) f (x) 2x6 1(G) f (x)73x (h) f (x) x(I) f (x)3x(J) f (x) 34x2. Encontrar la inversa, fA1(X), cuando f (x) es dada por: (A) 6x (b) 6x 1 (c) x6 x6 (D) (e) 6x

172Funciones3. Encontrar la inversa, gA1(T), cuando g (t) es dada por: 1 (A) 3t 1 (b) 3t 1(C) t3(D) 3t3(F)3t314. La funcin g (t) yh (t) se definen porg (t)2t1; h (t)4t3Encontrar(A) la inversa de h (t), que es, hA1(T)(B) la inversa de g (t), que es, gA1(T)(C) gA1(HA1(T)) (D) h (g (t))(E) la inversa de h (g (t))Qu observaciones Cmo se hace a partir de (c)y (e)?(E) 3t31Test y ejercicios de asignacin 161. Dada r (t)t2t = 24 evaluar(A) R (0)(B) r (A1)(C) R (2)(D) R (03:06)(E) R (A4: 6)2. Una funcin se define como h (t)t27.(A) Estado de la variable dependiente.(B) Estado de la variable independiente.3. Dadas las funciones A (x)x21 yb (x)2x1 expresiones de escritura para 0 1 x (E) A (x 1) (f) b (xh) (a) a () (b) b (t) (c) (2x) (d) b@ A 3(G) b (xh)(H) a (b (x))(I) B (A (x))4. Encontrar la inversa de cada una de las siguientes funciones: t1 (A) f (x) x (b) h (t) 2 (c) r (n) 3n(E) r (n)2 n1donde a y b son constantes.(F) r (n)unnb(D) r (n)1n15. Dada A (n)n2n6 encontrar expresiones para (A) A (n 1) (b) A (n1) (C) 2A (n 1)Un (a)A (n1)6. Encuentra hA1(X) cuando h (x) viene dada por: x13x1 (A) (b) (c) 3x1x7. Dado(T)4t2 hallazgo (A) A1(T) (b)((T))(D)xx1

16.4YLa inversa de una funcin1738. Dada h (x)9x6 y g (x)(A) H (g (x))(B) g (h (x))13xencontrar9. F Given (x)(X1)2, G (x)4x y h (x)x1 buscar(A) f (g (x))(F) h (g (x))(B) g (f (x))(G) f (g (h (x)))1(C) f (h (x))(H) g (H (f (x)))(D) h (f (x))(E) g (h (x))10. Dado x (t)t3, Y (t)(A) y (x (t)) y z (t) 3t1 buscar t1(B) y (z (t)) (c) X (Y (z (t))) (d) Z (y (x (t)))11. Escriba cada una de las siguientes funciones utilizando la notacin matemtica.(A)(B)(C)(D)(E)La entrada se multiplica por 7.Cinco veces el cuadrado de la entrada se resta de dos veces el cubo de la entrada.La salida es de 6.La entrada se agrega a la recproca de la entrada.La entrada se multiplica por 11 y luego 6 se resta de esta. Por ltimo, se divide por 9este resultado.12. Encuentre la inversa def (x)x1x1

Las grficas de las funciones17Objetivos:YYYYYYYEn este captulo:muestra cmo las coordenadas se representan en elxyplanointroduce la notacin para denotar intervalos en laxejeintroduce los smbolos para denotar 'mayor que' y 'menor que'muestra cmo dibujar una grfica de una funcinexplica lo que se entiende por el dominio y el rango de una funcinexplica cmo utilizar la grfica de una funcin para resolver ecuacionesexplica cmo resolver ecuaciones simultneas mediante grficosEn el captulo 16 presentamos las funciones y los representados por algebraicaexpresiones. Otra forma til de representar grficamente las funciones es, porlos medios de los grficos.17.1 ElXAYplanoSe introduce ejes horizontal y vertical como se muestra en la figura 17.1. Estosejes se cortan en un punto O llama origen. El eje horizontal se utiliza pararepresentar a la variable independiente, comnmente x, y el eje vertical esse utiliza para representar la variable dependiente, y comnmente. La regin mostradase conoce entonces como el plano x-y. Una escala se dibuja en ambos ejes, de tal manera que en el origen x 0 yy0. Valores de x positivos se encuentran a la derecha y los valores x negativos hacia la izquierda.Valores y positivos son por encima del origen, valores y negativas estn por debajo del origen.No es esencial que las escalas de ambos ejes son el mismo. Tenga en cuenta queen cualquier lugar en el eje x el valor de y debe ser cero. En cualquier lugar en el eje Yel valor de x debe ser cero. Cada punto en el plano corresponde a una especficavalor de x e y. Nos solemos llamar el valor de x la coordenada X y llamamos y

17.1YLaXAYplano175Figura 17.1El plano x-yFigura 17.2Varios puntos en el plano X-Yvaloran la coordenada. Para hacer referencia a un punto especfico que damos tanto sus coordenadasentre parntesis en la forma (x, y), dando siempre la coordenada x primera.Ejemplo prctico17.1SolucinDibuje el plano x-y y en l marca los puntos cuyas coordenadas son (1, 2),(3,A1),(A2, 3), (A2,A2).El plano se dibuja en la figura 17.2, y los puntos dados se indican. Notaque la primera coordenada de cada soporte es la coordenada x.Preguntas de autoevaluacin 17.11. Explicar los conceptos de eje horizontal", "eje vertical" y "origen".2. Al dar las coordenadas de un punto en el plano x-y, que coordinan siempre se da en primer lugar?3. Indique las coordenadas del origen.Ejercicio 17.11. Trazar y rotular los siguientes puntos en el plano x-y: (A2; 0); (2; 0); (0; A2);(0, 2); (0; 0):2. Un conjunto de puntos se traza y luego se uni a estos puntos mediante una lnea recta que es paralela a el eje x. Qu se puede deducir de las coordenadas de estos puntos?3. Un conjunto de puntos se representa a continuacin, estos puntos estn unidos por una lnea recta que es paralela para el eje y. Qu se puede deducir de las coordenadas de estos puntos?

176Las grficas de las funciones17.2 Las desigualdades e intervalosCon frecuencia tenemos slo una parte del eje x cuando se traza grficos. Por ejemplo,podemos estar interesados slo en la parte del eje x va desde x1 ax3 o desde x 2a X07:05. Tales partes del eje X se llamanintervalos. Con el fin de que describen los intervalos de manera concisa en el eje x, seintroducir alguna nueva notacin.Mayor que y menor queUtilizamos el smbolo>en el sentido de "mayor que". Por ejemplo, 6>5 y4>5son ambas afirmaciones verdaderas. Si x1>x2entonces x1est a la derecha de x2enel eje x. El smbolosignifica 'mayor que o igual a', por lo que, por ejemplo,108 y 88 son ambas verdaderas. El smbolo 6}

17.5YResolver ecuaciones mediante las grficas185Preguntas de autoevaluacin 17.41. Explicar 'dominio de una funcin "de los trminos y' rango de una funcin '.2. Explique por qu el valor de x3 debe ser excluido de cualquier dominio de la funcin f (x) 7 = (x3).3. D un ejemplo de una funcin para la que hay que excluir el valor de x 2desde el dominio.Ejercicio 17.41. Grficos de trazado de las siguientes funciones. Sealndose en cada caso (i) la variable independiente, (ii) la variable dependiente, (iii) el dominio, (iv) la gama. (A) Y x1, 6x10 (b) ht23, 4t : A2T 21por0