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Fundamentos de RobóticaHerramientas Matemáticas para la Localización Espacial

Matrices de Rotación

Ricardo-Franco [email protected]

Escuela Universitaria de Ingeniería MecánicaUniversidad de Tarapacá

Arica, Chile

April 16, 2015

R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 1 / 27

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1 Representación de la posiciónCoordenadas cartesianasCoordenadas polares y cilíndricasCoordenadas esféricasRepresentación gráfica de la posición en Sage

2 Representación de la orientaciónMatrices de rotaciónComposición de rotacionesÁngulos de EulerPar de rotaciónRepresentación gráfica de la orientación en Sage

3 Referencias


Representación de la posición

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3 Referencias


Representación de la posición Coordenadas cartesianas

Coordenadas cartesianas en 2 y 3 dimensiones


Representación de la posición Coordenadas polares y cilíndricas

Coordenadas polares y cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas especifican “r” la magnitud de laproyección del vector “p” en el plano “OXY”, “θ” el ánguloentre esta proyección y el eje “OX”, y “z” la proyecciónde “p” en el eje OZ.


Representación de la posición Coordenadas esféricas

Coordenadas esféricas

Las coordenadas esféricas especifican “r” la magnitud del vector“p”, “θ” el ángulo entre su proyección en el plano “OXY”con el eje “OX”, y “φ” el ángulo entre “p” y el eje “OZ”.


Representación de la posición Representación gráfica de la posición en Sage

Dibujando un sistema de coordenadas 3D en Sage

“vect_x, vect_y, vect_z” son vectores unitarios.


Representación de la posición Representación gráfica de la posición en Sage

Dibujando un vector 3D en Sage


Representación de la orientación

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3 Referencias


Representación de la orientación Matrices de rotación

Producto punto

Ref: http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product


http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product


Producto punto

Considerando un sistema de referencia OUV, un vector “P” sepuede expresar como P = pu iu + pv jv , con iu y jv vectoresunitarios.

Ref: http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product


http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product


Matrices de rotaciónSi P = pu iu + pv jv es un vector descrito en OUV, y si OUV esmóvil y está rotado α grados en relación a OXY, entonces:



Matriz de rotación 2DConsiderando px = ix · (pu iu + pv jv ) y py = jy · (pu iu + pv jv ):

Donde,

es llamada: “matriz de rotación”.



Matriz de rotación 2D

cos(90 + α) = −sen(α)Cuando α = 0, R es igual a la matriz identidad.



Matriz de rotación 3DEl mismo principio:

Donde,

es llamada: “matriz de rotación”.



Rotación sobre eje OX

matriz básica de rotación



Rotación sobre eje OY y OZ

matriz básica de rot. matriz básica de rot.


Representación de la orientación Composición de rotaciones

Rotación α, φ, θLas matrices de rotación en general pueden componerse dematrices de rotación básicas.Si se rota α alrededor de OX, φ alrededor de OY, y θ alrededor deOZ, se obtiene:



Rotación θ, φ, αSi se rota θ alrededor de OZ, φ alrededor de OY, y α alrededor deOX, se obtiene:



Multiplicando matrices con expresiones en Sage


Representación de la orientación Ángulos de Euler

Ángulos de Euler WUW

φ alrededor de OZθ alrededor de OU’ψ alrededor de OW”



Ángulos de Euler WVW

φ alrededor de OZθ alrededor de OV’ψ alrededor de OW”



Ángulos de Euler XYZ

ψ alrededor de OXθ alrededor de OYφ alrededor de OZ


Representación de la orientación Par de rotación

Par de rotación

La aplicación de un par de rotación que rote un vector “p”un ángulo “θ” alrededor del vector unitario “k” se realizaa través de la siguiente expresión:Rot(k , θ)p = p cos(θ) + (k × p)sen(θ) + k(k · p)(1 − cos(θ))


Representación de la orientación Representación gráfica de la orientación en Sage

Rotando un sistema de coordenadas 3D en Sage


Referencias

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3 Referencias


Referencias

BibliografíaBarrientos, A., Peñín, L.F., Balaguer, C., y Aracil, R., 2007,Fundamentos de Robótica, 2nd edition, McGraw-Hill.


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