1. FUNDAMENTOS DE MATEMTICAS9 789978 310311FUNDAMENTOS DE MATEMTICASPara BachilleratoISBN 9978-310-31-2 ISBN 978-9978-310-31-1ESPOLPara Bachillerato45 40 35 30 25 20 15 10 5 0505968778695104113PresinInstituto de Ciencias MatemticasLGICA-NMEROS-FUNCIONES-TRIGONOMETRA-MATRICES-GEOMETRA PLANA GEOMETRA DEL ESPACIO-VECTORES-GEOMETRA ANALTICA-ESTADSTICA Y PROBABILIDADES

2. Copyright 2006 Derechos reservados 2006 Instituto de Ciencias Matemticas ICM Segunda Edicin - Mayo 2006 Derechos del Autor No. 024094-IEPI ISBN-9978-310-34-7 AUTORIDADES DE LA ESPOL Rector Vicerrector General Director ICM Sub - Director ICM Dr. Moiss Tacle Ing. Armando Altamirano Ing. Washington Armas Ing. Robert ToledoCOMIT EDITORIAL Director: Ing. Washington Armas Profesores editores: Ing. Guillermo Baquerizo Ing. Miriam Ramos Ing. Soraya Sols Profesores colaboradores: Ing. Pablo lvarez Mat. Csar Guerrero Ing. Dalton Noboa Estudiantes colaboradores: Sr. Alejandro Carrin Srta. Janett Loja Sr. Oswaldo Navarrete Srta. Evelyn Pea Sr. Luis Ruiz Sr. Hugo Vinueza Diseo Grfico: Anl. Catalina Bayas Sr. Diego Cueva Tcnlg. Martha Ortega Tcnlg. Yen Chih Wang Tcnlg. Candy Wong Distribucin: ICM-ESPOL Campus Gustavo Galindo, Km. 30.5 Va Perimetral Telfonos: (593-4) 2269525-2269526 Telefax: (593-4) 2853138 e-mail: icm@espol.edu.ec www.icm.espol.edu.ec Impresin: Impreso en Ecuador/ Printed in Ecuador 3. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida o transmitida en cualquier forma o cualquier medio, electrnico o mecnico, incluyendo fotocopiado, grabacin, o por cualquier sistema de almacenamiento o captacin de datos sin permiso escrito del titular de la obra (ICM). Guayaquil - Ecuador 4. Prlogo El Instituto de Ciencias Matemticas, ICM, de la Escuela Superior Politcnica del Litoral, responsable de la enseanza de una de las ciencias bsicas del conocimiento humano, tiene como parte de su Misin: Definir lineamientos y elevar el nivel de la Educacin Matemtica en el pas; consecuente con este principio, ha credo conveniente disear y desarrollar el presente texto, como un apoyo dirigido a los estudiantes del Bachillerato. Este libro revisa temas bsicos de nivel secundario y, por su amplitud y profundidad, constituye una gua necesaria dentro de su proceso de aprendizaje. El presente texto ha sido estructurado de tal manera que sea de fcil lectura y comprensin, asequible para estudiantes de colegios que requieran fortalecer su formacin matemtica, preparndose as para enfrentar los retos que la vida universitaria les depare. Los profesores podrn encontrar una ayuda didctica en la organizacin y el contenido de sus clases, de tal manera que se logre homogeneidad en la simbologa y lenguaje matemticos utilizados. Adems, el colorido de sus pginas facilita la visualizacin de los captulos y temas tratados. Los ejercicios resueltos tienen como objetivo que el estudiante profundice sus conocimientos conforme los va adquiriendo y han sido desarrollados de manera tal que progresivamente se los aplique, empezando por lo ms elemental, hasta llegar a lo ms complejo. Adicionalmente, la orientacin del texto fomenta la investigacin de los temas tratados, avanzando as en el conocimiento hacia su consolidacin. La cristalizacin de esta obra se debe a la calidad acadmica de un equipo de profesores del ICM, integrado por los ingenieros Miriam Ramos, Guillermo Baquerizo y Soraya Sols, quienes con tesn, esfuerzo y largas horas de trabajo plasmaron este texto. En esta era de continuo cambio tecnolgico, las Matemticas son ms importantes que nunca. Cuando los estudiantes terminen sus estudios de Bachillerato, el uso de las Matemticas en la etapa universitaria y luego en su trabajo y en la vida diaria les permitir operar equipos de computacin, planificar horarios y programas, leer e interpretar datos, comparar precios, administrar finanzas personales y ejecutar otros trabajos de resolucin de problemas sobre cualquier tema. Todo lo que se aprenda en Matemticas y la manera en que se adquiera ese conocimiento, le proporcionar a los estudiantes de nuestro pas una satisfaccin personal y una excelente preparacin para afrontar un futuro exigente y en constante cambio. 5. AgradecimientosA las autoridades de la ESPOL. A los directivos del ICM. Al aporte significativo de las seoritas estudiantes Janett Loja y Evelyn Pea, como responsables del proceso de digitalizacin de la informacin.DedicatoriaA los estudiantes de Bachillerato que requieren profundizar sus conocimientos matemticos y forjar las bases necesarias para acceder con paso firme al nivel superior de estudios. 6. Tabla de ContenidoCAPTULO 1 LGICA Y CONJUNTOS Introduccin.......................................................................71.1 PROPOSICIONES................................................................... Proposicin.................................................................. Valor de verdad................................................................... Tabla de verdad...................................................................8 9 10 101.2 OPERADORES LGICOS........................................................ Negacin............................................................................ Conjuncin....................................................................... Disyuncin.................................................................... Disyuncin exclusiva............................................................ Condicional..................................................................... Recproca, inversa, contrarrecproca....................................... Condiciones necesarias y sucientes...................................... Bicondicional.....................................................................11 12 13 14 14 15 16 17 191.3 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS.......................... Proposiciones simples y compuestas......................................20 201.4 FORMAS PROPOSICIONALES................................................ Variables proposicionales...................................................... Formas proposicionales........................................................ Tautologa, contradiccin, contingencia.................................... Implicacin lgica................................................................ Equivalencia lgica..............................................................22 22 22 23 24 25 7. 1.5 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LGICOS....................... Leyes de los operadores fundamentales Conjuncin y Disyuncin........ Leyes de los operadores Negacin, Condicional y Bicondicional..... Leyes de las Implicaciones Lgicas...........................................25 26 26 271.6 RAZONAMIENTOS................................................................. Razonamientos.................................................................... Validez de un razonamiento.......................................................29 29 301.7 DEMOSTRACIONES............................................................... 1.7.1 Demostraciones directas................................................... 1.7.2 Demostraciones por contraposicin.................................... 1.7.3 Demostraciones por contraejemplo.................................... 1.7.4 Demostraciones por reduccin al absurdo...........................33 33 34 35 361.8 CONJUNTOS.......................................................................... Conjunto........................................................................... Cardinalidad...................................................................... 1.8.1 Conjuntos relevantes.................................................39 39 40 401.9 CUANTIFICADORES.............................................................. Cuanticador Universal........................................................ Cuanticador Existencial...................................................... Subconjunto....................................................................... Conjunto Potencia................................................................ 1.9.1 Relaciones entre conjuntos........................................... Igualdad entre conjuntos............................................. Conjuntos disjuntos e intersecantes..............................41 42 42 42 43 44 44 441.10 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS..................................... Unin entre conjuntos.......................................................... Interseccin entre conjutos................................................... Diferencia entre conjuntos.................................................... Diferencia simtrica entre conjuntos...................................... Complementacin de conjuntos.............................................44 45 45 45 46 461.11 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Leyes de las operaciones fundamentales Unin e Interseccin Otras leyes........................................................................47 47 48 8. 1.12 PREDICADOS...................................................................... Predicados de una variable................................................... Conjunto de verdad de un predicado....................................... Leyes de los conjuntos de verdad de predicados....................... Valor de verdad de proposiciones con cuanticadores............... 1.12.1 Leyes de los Cuanticadores........................................53 53 54 55 56 571.13 PARES ORDENADOS Y PRODUCTO CARTESIANO............ Par Ordenado....................................................................... Producto Cartesiano.............................................................. Plano Cartesiano................................................................... Cardinalidad del producto cartesiano....................................... Propiedades del producto cartesiano.......................................58 59 59 59 60 611.14 RELACIONES....................................................................... Relacin.............................................................................. Dominio de una Relacin...................................................... Rango de una Relacin......................................................... Representacin sagital de una relacin...................................61 62 65 65 661.15 FUNCIONES....................................................................... Funcin........................................................................... Variable independiente....................................................... Variable dependiente......................................................... 1.15.1 Tipos de funciones................................................... Funcin Inyectiva...................................................... Funcin Sobreyectiva................................................. Funcin Biyectiva...................................................... Funcin Inversible..................................................... Funcin Inversa........................................................ Funcin Compuesta...................................................67 68 68 68 70 70 71 72 72 73 73EJERCICIOS PROPUESTOS..........................................................79CAPTULO 2 NMEROS REALES Introduccin..........................................................................1112.1 REPRESENTACIN DECIMAL................................................. 113 Representacin decimal de nmeros racionales................... 114 Representacin decimal de nmeros irracionales................. 115 9. 2.2 OPERACIONES BINARIAS.................................................... 117 Operacin binaria............................................................... 117 2.2.1 Propiedades de las operaciones binarias ....................... 1172.3 OPERACIONES ENTRE NMEROS REALES............................ 119 Adicin............................................................................ 120 Multiplicacin.................................................................... 1202.4 RELACIN DE ORDEN............................................................ 2.4.1 Relacin de orden de nmeros enteros.......................... Orden en ................................................................ 2.4.2 Relacin de orden de nmeros reales............................ Tricotoma de los Nmeros Reales................................121 121 121 122 1222.5 CONCEPTOS ASOCIADOS AL CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS............................................................................. Divisores y Mltiplos de un nmero entero............................. Nmero Primo.................................................................... Nmero Compuesto............................................................ Teorema fundamental de la Aritmtica.................................. Mximo Comn Divisor........................................................ Mnimo Comn Mltiplo....................................................... Nmeros Pares e Impares...................................................123 123 124 124 125 125 126 1272.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS............................................... Expresin algebraica........................................................... 2.6.1 Propiedades de las fracciones....................................... 2.6.2 Propiedades de los exponentes.................................... 2.6.3 Productos notables..................................................... 2.6.4 Factorizacin............................................................. 2.6.5 Racionalizacin..........................................................129 129 130 133 137 139 1442.7 VALOR ABSOLUTO................................................................ Tipos de intervalo.............................................................. Intervalo cerrado............................................................... Intervalo abierto................................................................ Intervalo semiabierto/semicerrado....................................... Intervalo con extremos innitos.......................................... Valor absoluto.................................................................... Propiedades del valor absoluto............................................146 147 147 147 147 147 148 149 10. 2.8 ECUACIONES........................................................................ Identidad........................................................................ Ecuacin.......................................................................... Propiedades de las igualdades............................................. 2.8.1 Ecuaciones lineales.................................................... 2.8.2 Ecuaciones cuadrticas.............................................. Frmula general................................................................. Suma Algebraica de las Races de la Ecuacin Cuadrtica. Producto Algebraico de las Races de la Ecuacin Cuadrtica. 2.8.3 Ecuaciones con valor absoluto..................................... 2.8.4 Ecuaciones con radicales............................................ 2.8.5 Planteo de ecuaciones...............................................154 154 155 155 156 159 161 166 166 167 168 1702.9 INECUACIONES.................................................................... Desigualdad..................................................................... Inecuacin..................................................................... 2.9.1 Inecuaciones lineales................................................. 2.9.2 Inecuaciones cuadrticas............................................ Propiedades de las desigualdades................................. 2.9.3 Inecuaciones con valor absoluto.................................. 2.9.4 Planteo de inecuaciones..............................................178 178 178 179 181 182 183 1872.10 INDUCCIN MATEMTICA.................................................. 2.10.1 Axiomas de Peano.................................................... 2.10.2 Teorema de induccin............................................... Teorema de Induccin..............................................190 190 191 1912.11 TCNICAS DE CONTEO........................................................ Factorial............................................................................ Combinatoria..................................................................... Propiedades de las Combinatorias........................................ 2.11.1 Principio de la suma................................................ 2.11.2 Principio de la multiplicacin..................................... 2.11.3 Permutaciones y combinaciones................................ Permutaciones........................................................ Combinaciones........................................................196 196 197 198 199 200 202 203 2042.12 TEOREMA DEL BINOMIO..................................................... 206 Teorema del Binomio........................................................ 207 2.13 SUCESIONES..................................................................... Sucesin......................................................................... Progresiones Aritmticas..................................................... Progresiones Geomtricas...................................................210 211 212 218EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 225 11. CAPTULO 3 FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Introduccin......................................................................... 251 3.1 FUNCIONES DE VARIABLE REAL............................................ Funcin de una variable real............................................... Dominio de una funcin de variable real.............................. Rango de una funcin de variable real.................................251 252 253 2543.2 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES............................. 256 Grca de una funcin de variable real................................... 257 Criterio de la recta vertical.................................................... 257 3.3 TIPOS DE FUNCIONES ........................................................... 3.3.1 Funciones Inyectivas.................................................. Funcin Inyectiva....................................................... Criterio de la recta horizontal...................................... 3.3.2 Funciones Sobreyectivas............................................ Funcin Sobreyectiva................................................. 3.3.3 Funciones Crecientes................................................. Funcin Creciente...................................................... Funcin Estrictamente Creciente.................................. 3.3.4 Funciones Decrecientes.............................................. Funcin Decreciente................................................... Funcin Estrictamente Decreciente.............................. Funcin Montona.............................................................. 3.3.5 Funciones Pares o Impares.......................................... Funcin Par............................................................... Funcin Impar........................................................... 3.3.6 Funciones Peridicas.................................................. Funcin Peridica....................................................... 3.3.7 Funciones Acotadas................................................... Funcin Acotada........................................................259 260 260 260 261 261 261 262 263 264 264 265 266 266 266 267 267 267 269 2693.4 ASNTOTAS DE LA GRFICA DE UNA FUNCIN DE VARIABLE REAL............................................................................... 271 Asntota Horizontal............................................................ 272 Asntota Vertical................................................................ 272 3.5 FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS............................... 273 Aplicaciones de funciones denidas por tramos..................... 275 3.6 TCNICAS DE GRAFICACIN DE FUNCIONES..................... Desplazamientos............................................................... Reexiones...................................................................... Compresiones o alargamientos............................................ Valores absolutos..............................................................275 276 278 280 282 12. 3.7 FUNCIONES LINEALES....................................................... Funciones Lineales............................................................. Rango de una Funcin Lineal............................................... Aplicacin de funciones lineales...........................................284 285 286 2873.8 FUNCIONES CUADRTICAS................................................ Funciones Cuadrticas........................................................ 3.8.1 Forma cannica de la funcin cuadrtica....................... 3.8.2 Rango de la funcin cuadrtica................................... 3.8.3 Forma Factorizada de la Funcin Cuadrtica.................. 3.8.4 Grca de la Funcin Cuadrtica.................................. Aplicacin de funciones cuadrticas.....................................289 289 290 290 291 292 2953.9 OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIABLE REAL............. Operaciones con Funciones................................................ Propiedades de las operaciones sobre los tipos de funciones....... Composicin de Funciones de Variable Real...........................296 296 297 3023.10 FUNCIONES ESPECIALES.................................................... Funcin Valor Absoluto....................................................... Funcin Signo................................................................... Funcin Escaln................................................................ Funcin Mximo Entero o Entero Mayor................................304 305 305 306 3063.11 FUNCIN INVERSA DE UNA FUNCIN BIYECTIVA................ 311 Funcin Biyectiva............................................................... 3123.12 FUNCIONES POLINOMIALES.............................................. Funcin Polinomial............................................................ 3.12.1 Grcas de Funciones Polinomiales............................ Funcin Potencia........................................................... Cero de Multiplicidad m................................................. Teorema del Valor intermedio.......................................... 3.12.2 Operaciones con funciones polinomiales..................... Funcin racional............................................................ Divisin Sinttica.......................................................... Teorema del residuo...................................................... Teorema del factor........................................................ Forma anidada de una funcin polinomial....................... 3.12.3 Races de una ecuacin polinmica............................ Teorema del nmero de ceros........................................ Regla de los signos de Descartes.................................... Teorema de los ceros racionales.....................................314 315 315 315 317 319 320 322 322 324 326 327 328 328 328 329 13. 3.13 FUNCIONES EXPONENCIALES.............................................. Funcin Exponencial........................................................... 3.13.1 Funcin Exponencial Natural...................................... Aplicacin de la funcin exponencial............................332 333 338 3403.14 FUNCIONES LOGARTMICAS............................................... Funcin Logartmica........................................................... 3.14.1 Funcin Logaritmo Natural........................................ 3.14.2 Funcin Logaritmo Comn........................................ 3.14.3 Propiedades de los logaritmos.................................. 3.14.4 Ecuaciones e inecuaciones exponenciales................... 3.14.5 Ecuaciones e inecuaciones logartmicas......................342 343 347 347 352 354 359EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 367CAPTULO 4 TRIGONOMETRA Introduccin.............................................................................. 397 4.1 NGULOS Y SUS MEDIDAS..................................................... Semirrecta....................................................................... ngulo............................................................................. 4.1.1 Unidades angulares.................................................... Ubicacin de los ngulos respecto a su medida............. 4.1.2 Clases de ngulos........................................................ Coterminales....................................................... Consecutivos............................................................. Adyacentes............................................................... Complementarios....................................................... Suplementarios......................................................... Opuestos por el vrtice................................................ 4.1.3 Relacin entre grados sexagesimales y radianes..............398 398 398 400 401 402 402 402 402 403 403 403 4034.2 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS ELEMENTALES..................... 406 Funciones trigonomtricas................................................... 407 Valores de las funciones trigonomtricas de ngulos notables........ 411 4.3 GRFICAS Funcin Funcin Funcin Funcin Funcin FuncinDE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS...................... Seno.................................................................... Coseno................................................................. Tangente.............................................................. Cotangente........................................................... Secante................................................................ Cosecante.............................................................412 413 414 422 423 429 4294.4 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS........................... 430 Funcin seno inverso........................................................... 430 Funcin coseno inverso........................................................ 431 14. tangente inversa.................................................... cotangente inversa................................................. secante inversa...................................................... cosecante inversa..................................................431 431 432 4324.5 IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS....................................... Identidades Cocientes........................................................ Identidades Recprocas....................................................... Identidades Pitagricas....................................................... Identidades Pares o Impares............................................... Identidades de suma y diferencia de medidas de ngulos...... Identidades de ngulo doble................................................ Identidades de ngulo mitad............................................... Identidades de suma a producto........................................... Identidades de producto a suma..........................................436 436 436 437 437 440 446 447 451 452Funcin Funcin Funcin Funcin4.6 ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMTRICAS............... 455 Ecuaciones trigonomtricas................................................. 456 Inecuaciones trigonomtricas.............................................. 463 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 467CAPTULO 5 MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES. Introduccin....................................................................... 475 5.1 MATRICES.......................................................................... Matriz ............................................................................... Igualdad entre matrices...................................................... 5.1.1 Clases de matrices...................................................... Matriz la.................................................................. Matriz columna.......................................................... Matriz rectangular...................................................... Matriz cuadrada......................................................... Matriz triangular superior............................................ Matriz triangular inferior.............................................. Matriz nula................................................................ Matriz diagonal.......................................................... Matriz escalar............................................................. Matriz identidad......................................................... 5.1.2 Operaciones con matrices............................................. Suma entre matrices................................................... Propiedades........................................................... Multiplicacin de una matriz por un escalar..................... Propiedades........................................................... Multiplicacin entre matrices....................................... Propiedades........................................................... Transposicin de una matriz......................................... Matriz simtrica.........................................................476 476 478 478 478 478 479 479 479 480 480 480 480 480 481 481 481 482 483 485 486 488 488 15. Matriz antisimtrica.................................................... Propiedades de la transposicin de matrices............. Inversa de una matriz................................................. Propiedades de la inversa de una matriz....................488 489 491 4925.2 DETERMINANTES.................................................................. Teorema 5.1...................................................................... Teorema 5.2...................................................................... Propiedades de los determinantes......................................495 496 496 4995.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.................................... Sistemas de ecuaciones lineales........................................... Representacin matricial de un sistema de ecuaciones lineales......... Representacin de un sistema de ecuaciones lineales en forma de matriz aumentada................................................................... S. E. L. homogneos............................................................ Solucin de un S. E. L.......................................................... Mtodos de Gauss y de Gauss Jordan................................... S. E. L. consistentes e inconsistentes........................................ Regla de Cramer................................................................. Teorema resumen..............................................................506 507 507 508 508 508 510 510 519 5235.4 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN EL PLANO (S.E.N.L.).......................................................................... 524 Sistemas de ecuaciones no lineales..................................... 524 5.5 SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES EN EL PLANO (S.I.L.) 528 Conjunto factible............................................................... 529 Programacin lineal............................................................ 532 5.6 SISTEMAS DE INECUACIONES NO LINEALES (S.I.N.L.)............ 535 Sistemas de inecuaciones no lineales.................................. 535 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 539CAPTULO 6 NMEROS COMPLEJOS Introduccin.............................................................................. 555 6.1 NMEROS COMPLEJOS........................................................... 556 Nmeros complejos............................................................ 557 6.2 OPERACIONES...................................................................... Suma entre nmeros complejos.......................................... Propiedades...................................................................... Multiplicacin de un nmero complejo por un valor real............... Propiedades...................................................................... Multiplicacin entre nmeros complejos................................ Propiedades...................................................................... Divisin entre nmeros complejos........................................560 561 561 561 561 562 562 563 16. 6.3 REPRESENTACIN GEOMTRICA............................................ 565 Mdulo y argumento de un nmero complejo......................... 566 6.4 NOTACIN DE EULER............................................................. Multiplicacin entre nmeros complejos............................... Divisin entre nmeros complejos....................................... Potenciacin de nmeros complejos..................................... Radicacin de nmeros complejos.......................................566 568 568 568 5736.5 APLICACIONES..................................................................... Funciones hiperblicas........................................................ Funciones polinomiales....................................................... Teorema fundamental del lgebra........................................ Otras aplicaciones..............................................................577 577 579 579 580EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 583CAPTULO 7 GEOMETRA PLANA Introduccin.............................................................................. 589 7.1 FIGURAS GEOMTRICAS........................................................ Punto............................................................................. Recta.............................................................................. Plano............................................................................... Puntos colineales............................................................... Puntos coplanares.............................................................. Semirrecta o rayo............................................................... Segmento de recta............................................................. Semiplano...................................................................... Convexidad...................................................................... Figuras autocongruentes..................................................... Figuras no autocongruentes.................................................590 590 590 591 591 591 591 591 591 591 592 5937.2 RECTAS EN EL PLANO............................................................ Perpendicularidad.......................................................... Propiedades de la perpendicularidad entre rectas................ Paralelismo...................................................................... Propiedades del paralelismo entre rectas............................. Propiedades de la perpendicularidad, paralelismo e interseccin entre rectas................................................................................. Rectas oblicuas..................................................................593 594 594 595 5957.3 NGULOS.............................................................................. ngulos opuestos por el vrtice............................................ ngulos externos............................................................... ngulos internos................................................................ ngulos correspondientes................................................... ngulos alternos externos...................................................596 596 597 597 597 597596 596 17. ngulos alternos internos.................................................... ngulos conjugados externos.............................................. ngulos conjugados internos............................................... Propiedades de los ngulos..................................................597 597 597 5987.4 POLIGONALES Y POLGONOS................................................. Poligonal...................................................................... Polgono Simple.................................................................. Diagonal.......................................................................... Nombres de polgonos de acuerdo a su nmero de lados............... Propiedades de los polgonos................................................ Polgono regular.................................................................599 599 600 600 601 601 6027.5 TRINGULOS........................................................................ Tringulos........................................................................ Clasicacin de tringulos por la longitud de sus lados.................. Clasicacin de tringulos por la medida de sus ngulos.............. Propiedades de los tringulos.............................................. Rectas y puntos notables en el tringulo.............................. Bisectriz........................................................................ Incentro........................................................................ Circunferencia inscrita.................................................... Mediatriz....................................................................... Circuncentro.................................................................. Circunferencia circunscrita............................................... Altura........................................................................... Ortocentro.................................................................... Mediana...................................................................... Baricentro................................................................. Centro de gravedad........................................................603 604 604 604 605 605 606 606 606 606 606 606 606 606 607 607 6077.6 SEMEJANZA Y CONGRUENCIA................................................ Teorema de Thales............................................................. Corolario del Teorema de Thales............................................ Semejanza y Congruencia de Polgonos.................................. Polgonos semejantes..................................................... Polgonos congruentes.................................................... Congruencia y semejanza de Tringulos.................................. Criterios para la congruencia de tringulos......................... Criterio LAL (Lado-ngulo-Lado).................................. Criterio ALA (ngulo-Lado-ngulo)............................... Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)..................................... Criterios para la semejanza de tringulos.......................... Criterio AA (ngulo-ngulo)....................................... Criterio ALL (ngulo-Lado-Lado)................................. Criterio LLL (Lado-Lado-Lado).....................................608 609 609 610 611 611 612 612 612 612 612 612 612 613 613 18. 7.7 RESOLUCIN DE TRINGULOS............................................... Teorema 7.2: De Pitgoras.................................................... Teorema 7.3....................................................................... Teorema 7.4....................................................................... Teorema 7.5: Ley de los Senos............................................. Teorema 7.6: Ley de los Cosenos.......................................... 7.7.1 Tringulos Rectngulos............................................... ngulo de elevacin y ngulo de depresin.................... 7.7.2 Tringulos Acutngulos u Obtusngulos........................617 618 618 618 619 620 621 622 6287.8 CUADRILTEROS................................................................... Cuadriltero............................................................... Paralelogramo................................................................. Propiedades de los paralelogramos.................................. Paralelogramos ms utilizados............................................. Rectngulo................................................................... Cuadrado..................................................................... Rombo..................................................................... Romboide.................................................................... Trapecio.......................................................................... Trapezoide.......................................................................635 635 635 635 636 636 636 636 636 636 6367.9 PERMETRO Y REA DE UN POLGONO................................... Permetro de un polgono................................................... Supercie y rea................................................................. Permetro y rea de polgonos ms conocidos....................... Cuadrado.................................................................... Rectngulo................................................................... Tringulo................................................................. Paralelogramo............................................................ Rombo.................................................................... Trapecio....................................................................638 638 638 639 639 639 639 639 639 6397.10 CIRCUNFERENCIA Y CRCULO.............................................. Circunferencia y crculo ...................................................... Elementos de la circunferencia y el crculo........................... Radio....................................................................... Cuerda........................................................................ Dimetro.................................................................... Arco.......................................................................... Secante........................................................................ Tangente..................................................................... ngulos en la circunferencia................................................. ngulo central................................................................ ngulo inscrito............................................................... ngulo interior................................................................ ngulo exterior............................................................... ngulo semi-inscrito........................................................645 645 645 646 646 646 646 646 646 648 648 649 649 649 649 19. 7.11 POLGONOS Y CIRCUNFERENCIAS........................................ 654 Polgono inscrito o circunscrito............................................ 655 Apotema.......................................................................... 655 7.12 FIGURAS CIRCULARES......................................................... Sector circular.................................................................... Segmento circular............................................................... Corona o anillo circular......................................................... rea del crculo................................................................... rea del sector circular......................................................... rea del segmento circular................................................... rea de la corona circular.....................................................657 657 658 658 659 660 661 661EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 673CAPTULO 8 GEOMETRA DEL ESPACIO Introduccin............................................................................... 681 8.1 FIGURAS EN EL ESPACIO....................................................... 682 Figuras no contenidas en el plano.......................................... 6828.2 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO......................................... Rectas alabeadas............................................................... Posiciones de una recta respecto a un plano......................... Planos paralelos................................................................ ngulo diedro.................................................................... ngulo poliedro..................................................................683 683 684 684 685 6858.3 CUERPOS GEOMTRICOS....................................................... Poliedro.......................................................................... Propiedades de un poliedro convexo............................. Diagonal del poliedro ....................................................... Nombre de poliedros segn el nmero de caras.................. Poliedro Regular................................................................. Tipos de poliedros regulares .............................................. Tetraedro regular....................................................... Hexaedro regular....................................................... Octaedro regular........................................................ Dodecaedro regular.................................................... Icosaedro regular.......................................................686 686 687 688 688 688 688 688 688 689 689 689 20. 8.4 PRISMAS............................................................................... Prisma ................................................................ Generatriz.................................................................. Altura del prisma............................................................ Prisma recto.................................................................. Prisma recto regular....................................................... Prisma oblicuo............................................................... Paraleleppedo............................................................... Ortoedro..................................................................689 690 690 690 690 690 691 691 6918.5 PIRMIDES........................................................................... Pirmide......................................................................... Pirmide recta.................................................................... Pirmide regular................................................................. Apotema de la pirmide....................................................... Pirmide truncada..............................................................693 693 693 693 694 6948.6 REAS DE POLIEDROS........................................................... Tipos de reas de prismas y pirmides................................. rea de poliedros regulares............................................... reas de las supercies de un prisma recto............................. reas de las supercies de una pirmide regular..................... reas de las supercies de una pirmide truncada regular........694 695 695 695 695 6968.7 VOLUMEN DE POLIEDROS...................................................... Volumen del paraleleppedo recto rectangular.......................... Volumen del cubo............................................................... Volumen de una pirmide ................................................... Volumen de una pirmide truncada.......................................701 701 701 702 7038.8 CUERPOS DE REVOLUCIN.................................................... Supercie de revolucin..................................................... Slido de revolucin............................................................ Cuerpos de revolucin......................................................... Cilindro recto................................................................. Cono recto.................................................................... Cilindro de revolucin...................................................... Cono de revolucin......................................................... rea de la supercie lateral y de la supercie total de un cilindro recto rea de la supercie lateral y de la supercie total de un cono recto Cono truncado................................................................... Cono truncado de revolucin................................................ Esfera slida y supercie esfrica........................................... Esfera slida de revolucin.................................................... Elementos de la esfera slida y la supercie esfrica............... Radio......................................................................... Dimetro..................................................................... Casquete esfrico...........................................................707 707 708 708 708 708 709 709 709 709 713 713 714 714 714 715 715 715 21. Huso esfrico................................................................ Plano secante............................................................... Plano tangente.............................................................. Volmenes de cuerpos de revolucin..................................... Cilindro................................................................. Cono............................................................................ Cono truncado............................................................... Esfera (slida)...............................................................715 715 715 715 715 716 716 716EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 739CAPTULO 9 VECTORES EN EL ESPACIO Introduccin................................................................................ 745 9.1 VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.............................. Magnitudes escalares........................................................ Magnitudes vectoriales....................................................... Vector en el espacio............................................................. Magnitud de un vector..................................................... Vector cero.................................................................... Vectores iguales.................................................................745 746 746 747 749 749 7499.2 OPERACIONES ENTRE VECTORES........................................... Suma vectorial................................................................... Propiedades................................................................. Resta vectorial................................................................... Multiplicacin de un vector por un escalar................................ Propiedades................................................................. Vectores paralelos.............................................................. Combinacin lineal.............................................................. Espacio vectorial................................................................. Producto escalar................................................................. Propiedades................................................................. Medida del ngulo entre dos vectores...................................... Teorema 9.1: ngulo formado entre dos vectores....................... Vectores ortogonales.......................................................... Teorema 9.2: Desigualdad de Cauchy-Schwarz......................... Desigualdad triangular........................................................ Norma de un vector.............................................................750 750 751 752 753 753 754 756 756 759 759 760 760 760 762 763 7649.3 VECTORES UNITARIOS.......................................................... Vector unitario................................................................... Proyecciones escalares y vectoriales...................................... Proyeccin vectorial............................................................ Proyeccin escalar..............................................................765 765 765 765 766 22. 9.4 PRODUCTO VECTORIAL......................................................... Producto vectorial................................................................ Propiedades............................................................... Teorema de la Norma del Producto Cruz.................................. Producto cruz de vectores i, j, k...........................................769 769 770 771 7719.5 APLICACIONES GEOMTRICAS DEL PRODUCTO VECTORIAL........... rea de la supercie de un paralelogramo............................. Volumen de un paraleleppedo............................................... Producto mixto....................................................................773 773 778 779EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 781CAPTULO 10 GEOMETRA ANALTICA Introduccin.......................................................................... 785 10.1 RECTAS EN EL PLANO........................................................... Recta............................................................................ 10.1.1 Distancia entre dos puntos.......................................... Distancia entre dos puntos........................................... 10.1.2 Punto medio de un segmento de recta........................ Teorema de: Punto medio de un segmento de recta.................. 10.1.3 Ecuacin de la recta................................................... Ecuaciones paramtricas de la recta.............................. Forma simtrica de la ecuacin de la recta....................... Forma general de la ecuacin de la recta....................... Vector normal........................................................... 10.1.4 Pendiente de una recta............................................... Pendiente de una recta............................................... Ecuacin de la recta punto pendiente............................. Rectas paralelas........................................................ Rectas coincidentes................................................... Rectas secantes........................................................ Teorema de: Pendiente de rectas paralelas ......................... Teorema de: Pendiente de rectas perpendiculares ................. 10.1.5 Distancia de un punto a una recta.................................786 786 787 788 789 790 793 794 795 795 796 798 798 800 804 804 804 804 806 80710.2 SECCIONES CNICAS........................................................... 10.2.1 Circunferencia.......................................................... Circunferencia.......................................................... Forma cannica de la ecuacin de una circunferencia.... Forma general de la ecuacin de una circunferencia...... Clculo de los elementos de una circunferencia............ Ecuacin de la recta tangente a una circunferencia......811 813 813 813 814 817 819 23. 10.2.2 Parbola................................................................. Parbola.................................................................. Eje de simetra.......................................................... Vrtice................................................................. Lado recto................................................................. Forma cannica de la ecuacin de la parbola.................... Forma general de la ecuacin de una parbola.................834 834 834 834 834 834 83710.2.3 Elipse...................................................................... Elipse................................................................... Eje mayor........................................................... Semieje mayor y semidistancia focal...................... Centro......................................................... Vrtices............................................................. Lado recto.......................................................... Semieje menor.................................................... Excentricidad................................................... Clculo de la longitud del eje menor.............................. Forma cannica de la ecuacin de una elipse................. Ecuacin de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas............................................................ Eje mayor horizontal............................................ Eje mayor vertical............................................... Forma general de la ecuacin de una elipse.................844 844 844 844 844 844 844 844 844 844 84510.2.4 Hiprbola................................................................ Hiprbola........................................................... Eje transverso.................................................... Eje conjugado.................................................... Centro............................................................ Distancia focal................................................... Vrtices........................................................ Semieje conjugado............................................. Lado recto......................................................... Excentricidad................................................... Forma cannica de la ecuacin de una hiprbola ........... Ecuacin de la hiprbola con ejes paralelos a los ejes de coordenadas........................................................... Eje horizontal.......................................................... Eje vertical.............................................................. Asntotas oblicuas de una hiprbola.............................. Hiprbola cuyo centro es O(0, 0)............................ Hiprbola cuyo centro es O(h, k)........................... Eje transverso horizontal................................. Eje transverso vertical.................................... Hiprbolas conjugadas.............................................. Rectngulo auxiliar..................................................... Hiprbolas equilteras............................................... Forma general de la ecuacin de una hiprbola..............851 851 851 851 852 852 852 852 852 852 852846 846 846 846853 853 854 854 855 855 855 855 855 855 855 856 24. 10.2.5 Lugares geomtricos.................................................. 862 10.2.6 Excentricidad............................................................ 868 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 869CAPTULO 11 ESTADSTICA Y PROBABILIDADES Introduccin............................................................................... 875 Primera fase: (Los censos)................................................. 875 Segunda fase: (De la descripcin de los conjuntos de la aritmtica poltica)..................................................................... 875 Tercera fase: (Clculo de probabilidades).............................. 876 11.1 ESTADSTICA DESCRIPTIVA................................................. Estadstica descriptiva........................................................ Estadstica inferencial......................................................... Mtodo estadstico............................................................. Errores estadsticos comunes............................................. Sesgo.......................................................................... Datos no comparables.................................................... Proyeccin descuidada de tendencias................................ Muestreo incorrecto........................................................ Conceptos bsicos.............................................................. Elemento o ente................................................................. Poblacin......................................................................... Poblacin nita.............................................................. Poblacin innita............................................................ Muestra.......................................................................... Variable.......................................................................... Variables Cuantitativas....................................................... Discretas.................................................................... Continuas................................................................... Variables Cualitativas o Atributos........................................ Ordinales.................................................................... Nominales................................................................... Clasicacin de las variables............................................... Variables unidimensionales............................................. Variables bidimensionales............................................... Variables multidimensionales.......................................... Escala de medicin de variables.......................................... Tipos de medidas..........................................................876 877 877 877 878 878 878 878 878 878 878 879 879 879 879 879 879 879 879 879 879 880 880 880 880 880 880 880 25. 11.2 ORGANIZACIN DE LOS DATOS..................................... Tablas de frecuencia........................................................... Tabla de tipo I................................................................ Tabla de tipo II.............................................................. Tabla de tipo III (Tabla de intervalos)............................. Tabla de distribucin de frecuencias...................................... Frecuencia absoluta........................................................ Frecuencia absoluta acumulada........................................ Frecuencia relativa......................................................... Frecuencia relativa acumulada........................................ Modelos de tablas estadsticas.............................................881 881 881 881 883 884 884 884 884 884 88511.3 GRFICOS DE REPRESENTACIN................................... Histograma............................................................. Poligonal de frecuencias................................................. Diagrama de tallo y hojas..............................................890 890 891 89211.4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y NO CENTRAL............ 894 Media aritmtica............................................................ Mediana....................................................................... Moda.......................................................................... Medidas de tendencia no centrales........................................ Cuartiles................................................................... Deciles........................................................................ Percentiles................................................................894 895 896 898 898 898 89811.5 MEDIDAS DE DISPERSIN................................................ 900 Rango......................................................................... 900 Varianza................................................................. 900 Desviacin Tpica............................................................ 90011.6 PROBABILIDADES..............................................................Experimento aleatorio......................................................... Espacio muestral................................................................ Evento o suceso.................................................................. Eventos mutuamente excluyentes........................................ Eventos complementarios..................................................... Probabilidad clsica............................................................901 902 902 903 903 904 90411. 7 CONJUNTOS Y PROBABILIDADES....................................... 907 Unin......................................................................... Interseccin............................................................... Complemento............................................................. Subconjunto............................................................. Propiedades............................................................ Diagrama de rbol............................................................. Tringulo de Pascal............................................................907 907 908 908 910 912 920 26. EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 927Apndice A Postulados de Euclides................................................ 933 Apndice B Postulados.............................................................. 935 Postulados de Cavalieri............................................... 935RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS.................................................. 937GLOSARIO DE TRMINOS.................................................... 945 BIBLIOGRAFA................................................................ 949 27. Introduccin Para que se pueda tener una idea global de esta obra, a continuacin se presenta un enfoque panormico de sus componentes. El material del libro incluye: Tabla de Contenido: Representa el detalle del ndice temtico de esta obra, para que el lector pueda ubicar de manera rpida los tpicos de su inters.Once Captulos: Los cuales han sido seleccionados en base a las exigencias actuales del conocimiento que debe adquirir un estudiante del bachillerato. Cada captulo se puede diferenciar del resto, ya que se han utilizado colores distintos. Glosario de Trminos: Contiene el significado de expresiones que se utilizan en este texto, con el propsito de no dejar dudas o imprecisiones. 28. Los once captulos a los cuales se hace referencia, son: Lgica y Conjuntos: Con el uso de la Lgica Matemtica como lenguaje, se establecen criterios de verdad, se emplean mtodos de anlisis y razonamiento; y, se usan implicaciones y equivalencias lgicas para conocer cmo se realiza una demostracin. Considerando que los conjuntos constituyen uno de los conceptos bsicos de las matemticas, se puede obtener una descripcin detallada de los fundamentos de la Teora de Conjuntos. Ambos conceptos se enlazan de manera lgica para plantear el tema de funciones sobre conjuntos finitos, tema de trascendental importancia en el conocimiento matemtico. Nmeros Reales: En la parte aritmtica se desea que el estudiante recuerde las operaciones fundamentales sobre los nmeros; un tema relevante lo constituyen la manipulacin de fracciones y los radicales. Cuando se utiliza el lgebra se espera que el estudiante adquiera destrezas mnimas como objeto de estudio de cantidades que pueden considerarse en la forma ms general posible. El planteo y resolucin de problemas es fundamental en la formacin profesional del futuro ingeniero. Funciones de una Variable Real: El concepto de funcin se refiere a toda correspondencia matemtica que cumpla con las condiciones de existencia y unicidad. Se tratan los diferentes tipos y caractersticas que las funciones poseen, haciendo especial nfasis en su graficacin como requisito indispensable para los cursos de clculo. Las aplicaciones de este tema merecen especial atencin, pues se reconocer la utilidad particular de las funciones lineales, cuadrticas, exponenciales y logartmicas, en diversas situaciones que ocurren a nuestro alrededor. Trigonometra: Las razones trigonomtricas son la base fundamental de numerosas aplicaciones matemticas y fsicas, por ello, en este captulo se conocer el significado de cada una, comprobando sus propiedades y relaciones en las denominadas identidades trigonomtricas. Nuevamente, el enfoque grfico es prioritario para el estudio de las funciones trigonomtricas y sus correspondientes inversas. Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones: Para el modelamiento de mltiples ecuaciones se introduce el concepto de matriz con sus diferentes clasificaciones. La aplicacin del determinante nos permitir distinguir entre matrices singulares y regulares, as como resolver sistemas de ecuaciones lineales. Mientras que para resolver sistemas de ecuaciones no lineales y de inecuaciones se utilizar el anlisis grfico propuesto en el captulo de Funciones de una Variable Real. Nmeros Complejos: Se ha considerado este captulo por la limitacin de los nmeros reales para resolver races de ndice par de nmeros negativos, ampliando los conceptos ya tratados en el captulo de Nmeros Reales. Tambin se muestra la relacin que tienen estos nmeros con las funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas. 29. Geometra Plana: El estudio de la geometra en el plano es de fundamental importancia, ya que a partir de subconjuntos no vacos se pueden establecer sus relaciones y propiedades, as como calcular permetros y reas de superficies que utilizamos en nuestra vida diaria. Geometra del Espacio: La profundizacin en esta parte de la geometra proveer las referencias necesarias para construir cuerpos en tres dimensiones, identificando sus elementos principales y estableciendo las expresiones necesarias para el clculo de reas de superficies laterales, superficies totales y volmenes. Vectores: Se realiza un anlisis vectorial en el plano y en el espacio, con las diferentes operaciones permitidas entre ellos o con valores escalares. Se introducen los conceptos de combinacin lineal y espacio vectorial, fundamentos de un curso de lgebra Lineal, as como la aplicacin geomtrica del producto punto y producto cruz. Geometra Analtica: En este captulo se estudiarn definiciones y propiedades de figuras en el plano, partiendo del planteamiento de igualdades condicionadas que llevarn a identificar lugares geomtricos de rectas y cnicas, estudiando sus grficas, elementos; y, caractersticas principales. Estadstica y Probabilidades: Aunque este tema puede resultar bastante extenso, solamente nos enfocaremos en la estadstica descriptiva y daremos una breve introduccin a la teora de Probabilidades. Se podr organizar un conjunto de datos en forma tabular y realizar su representacin grfica, encontrar las medidas de tendencia central y de dispersin; y, se utilizarn los conceptos del captulo referente a Conjuntos para encontrar los elementos que corresponden a eventos de espacios muestrales y la probabilidad de su ocurrencia. Cada captulo presenta el siguiente esquema:Introduccin al tema: En donde el lector obtiene una referencia apropiada de cada captulo mediante antecedentes histricos y biogrficos, as como de su importancia y trascendencia en las matemticas. 30. Normalmente esta introduccin tiene la foto de un personaje que distingue de manera adecuada el tema que se comenzar a analizar. La foto incluye el nombre del personaje, pas de origen y perodo de vida.Induccin a la seccin: En bsqueda de la coherencia con el propsito del nuevo material de lectura, se prepara al lector con nexos para las diferentes secciones.Secciones: Cada captulo ha sido divididoen temas, de acuerdo a los conceptos que se pretende analizar. Estas agrupaciones, denominadas secciones, muestran de manera detallada cada tpico con la profundidad y aplicacin que el caso amerita. Tambin se puede contrastar con lo que se supone el lector ya conoce sobre el tema. Cada seccin se encuentra numerada segn corresponda al captulo que se est analizando.Objetivos: Al iniciar cada seccin, el profesor puede plantear de manera especfica en conjunto con sus estudiantes lo que se pretende lograr al finalizar la lectura de cada una de ellas. El cumplimiento de tales objetivos confirmar la comprensin de los diferentes conceptos. 31. Definiciones: Estas declaraciones representan las propiedades y los significados ms relevantes que el lector no debe olvidar.Teoremas: Proporcionan el material necesario para complementar la importancia del marco terico de definiciones y demostraciones.Ejemplos resueltos: Representan aplicaciones concretas y directas a partir del anlisis de cada tema. La complejidad de los mismos guarda un orden creciente en una misma seccin. Algunos de los ejemplos seleccionados tienen relacin con otras ramas de las ciencias y con la vida real. 32. Ejercicios propuestos: Al finalizar cada captulo se plantean ejercicios organizados por seccin, los mismos que tienen diversos grados de dificultad y se presentan en forma de preguntas de tipo Verdadero/Falso, Opcin Mltiple y de Desarrollo. La finalidad de estos ejercicios es promover el trabajo independiente y la autocrtica por parte del estudiante. En la parte final del texto se muestran las respuestas a los ejercicios propuestos, exceptuando aquellos que requieren demostraciones o construccin de tablas y grficas. 33. Captulo 1 Lgica y Conjuntos Introduccin Todos estamos familiarizados con la idea de que algunas personas poseen una mentalidad lgica mientras que otras no. No siempre resulta sencillo seguir razonamientos o argumentos extensos para obtener conclusiones vlidas. Nosotros trabajamos con argumentos dentro de la lgica aristotlica, donde todo argumento debe ser o verdadero o falso, no existe una tercera posibilidad. Para poder manejar y operar entre estos argumentos, el lenguaje usual puede resultar ambiguo respecto a la validez de los argumentos. La frase: Pon el sobre que te sobre, sobre la mesa, sugiere que la palabrasobre tiene tres diferentes signicados en la misma oracin. Por ello, se necesita de un lenguaje que sea ms preciso: la lgica simblica. Su propsito consiste en establecer un nuevo lenguaje, el cual se pueda utilizar para simplicar el anlisis de argumentos lgicos complicados.La lgica simblica es la rama de las matemticas que nos permite reconocer la validez de una argumentacin, as como tambin nos proporciona las herramientas de razonamiento necesarias para elaborar demostraciones irrefutables y convincentes. Una parte importante de las matemticas son las deniciones, stas en general no responden a la pregunta qu es?, sino a la pregunta qu caractersticas tiene? Adems, las deniciones tienen una parte conceptual(qu signica?) y una parte operativa (cmo se trabaja?).Leibniz fue el primero en concebir este planteamiento, cuando a la edad de 14 aos intent reformar la lgica clsica. En 1666, deseaba crear un mtodo general en el cual todas las verdades de la razn seran reducidas a una especie de clculos, llamando a la lgica simblica caracterstica universal. Gottfried Leibniz, matemtico alemn (1646-1716)El sueo de Leibniz no se realiz hasta que Boole separ los smbolos presentes en las operaciones matemticas, de los conceptos sobre los cuales operaban y estableci un sistema factible y sencillo de lgica simblica. pg. 7 34. En 1854, Boole expuso sus ideas en su obra An Investigation of the Laws of Thought (Investigacin de las Leyes del Pensamiento). Desgraciadamente, este trabajo no recibi buena aceptacin, y no fue sino hasta que los ingleses Bertrand Russell (1872-1970) y Alfred North Whitehead (1861-1947) utilizaron la lgica simblica en su obra Principia Mathematica (1902), que el mundo de la matemtica dio importancia a las ideas propuestas inicialmente por Leibniz alrededor de 250 aos antes.v1010t Seales de voltaje digitales que alimentan el hardware del computador.George Boole, matemtico ingls (1815-1864)El lgebra booleana constituye un rea de las matemticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Es usada ampliamente en el diseo de circuitos de distribucin y computadoras; y, sus aplicaciones van en aumento en muchas otras reas.En el nivel de lgica digital de una computadora, el hardware trabaja con diferencias de voltaje, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. En este captulo se tratar de responder a la pregunta cmo podemos llegar a ser ms lgicos? Se pretende aplicar la lgica no solamente en el estudio de las ciencias, sino tambin en la vida cotidiana. Es necesario poder comunicarse de manera inteligente con los dems; se requiere adquirir capacidad para analizar los argumentos de nuestros dirigentes y legisladores; necesitamos ser consumidores inteligentes para analizar las aseveraciones de los anunciantes. Bien sea que nos agrade o no, la lgica es una parte importante del mundo que nos rodea y en este captulo sentaremos las bases que nos ayudarn a ser denitivamente ms lgicos.1.1 Proposiciones Objetivos Al nalizar esta seccin el lector podr: * Dadas varias oraciones, identicar cules son proposiciones y cules no, justicando adecuadamente su respuesta. * Identicar oraciones que representan proposiciones.pg. 8 35. Captulo 1 Lgica y Conjuntos La lgica es un mtodo de razonamiento que no acepta conclusiones errneas. Esto se puede lograr deniendo en forma estricta cada uno de los conceptos. Todo debe denirse de tal forma que no d lugar a dudas o imprecisiones en la veracidad de su signicado. Nada puede darse por supuesto, y las deniciones de diccionario no son normalmente sucientes. Por ejemplo, en el lenguaje ordinario, un enunciado u oracin se puede denir como una palabra o grupo de palabras que declara, pregunta, ordena, solicita o exclama algo; unidad convencional del habla o escritura coherente, que normalmente contiene un sujeto y un predicado, que empieza con letra mayscula y termina con un punto. Sin embargo, en lgica simblica una oracin tiene un signicado mucho ms especco y se llama proposicin. Denicin 1.1 (Proposicin) Una proposicin es una unidad semntica que, o slo es verdadera o slo es falsa. Los elementos fundamentales de la lgica son las proposiciones. Por ello, las oraciones que no son falsas ni verdaderas, las que son falsas y verdaderas al mismo tiempo, o las que demuestran algn tipo de imprecisin (carecen de sentido), no son objeto de estudio de la lgica.Ejemplo 1.1 Oraciones que son proposiciones. 5 es un nmero primo. 17 + 38 = 21.Todos los nmeros enteros son positivos. Vicente Rocafuerte fue Presidente del Ecuador. Las oraciones anteriormente expuestas son proposiciones, ya que son verdaderas o falsas. Todas ellas pueden ser calicadas por el lector con precisin y sin ambigedades o subjetivismo. Usualmente, las primeras letras del alfabeto espaol en minscula se usan para representar proposiciones.Ejemplo 1.2 Representacin simblica de proposiciones. 5 es un nmero primo puede ser representada por la letra a, de la forma: a: 5 es un nmero primo. pg. 9 36. Ejemplo 1.3 Oraciones que no son proposiciones. Lava el auto, por favor. Hola, cmo ests? Aprate! La conceptualizacin cambia lo absurdo en azul. x + 5 = 9. Maana se acabar el mundo! Las primeras cuatro oraciones no son proposiciones porque no se puede establecer su valor de verdad. Generalmente las oraciones imperativas, exclamativas e interrogativas no son proposiciones. El quinto enunciado no es una proposicin, ya que el valor de y por lo tanto no se puede establecer su valor de verdad.x no es precisoLa sexta oracin no es una proposicin porque su valor de verdad no se puede determinar.Denicin 1.2 (Valor de verdad) El valor de verdad de una proposicin es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposicin. ste puede ser verdadero o falso. Usualmente al valor verdadero se lo asocia con: 1, V, T, True; mientras que el valor falso se lo asocia con: 0, F, False. Se podra utilizar cualquiera de ellas, pero la convencin a seguir en el texto ser el uso de 0 y 1, tomando como referencia el sistema de numeracin binario. En el ejemplo 1.1 podemos observar que el valor de verdad de la segunda proposicin es VERDADERO, mientras que el valor de verdad de la tercera proposicin es FALSO. Verdad y falsedad pueden considerarse simplemente como los valores lgicos de la unidad semntica descriptiva con sentido completo. Ese valor es lo que ms nos interesa sobre una proposicin.Denicin 1.3 (Tabla de verdad) Una tabla de verdad es una representacin de los posibles valores de verdad que podra tomar una proposicin. Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lgicas. pg. 10 37. Captulo 1 Lgica y Conjuntos Ejemplo 1.4 Construccin de tablas de verdad.a 0 1a 0 0 1 1b 0 1 0 1a 0 0 0 0 1 1 1 1b 0 0 1 1 0 0 1 1c 0 1 0 1 0 1 0 1La cantidad de combinaciones (las de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresin lgica.1.2 Operadores Lgicos Objetivos Al nalizar esta seccin el lector podr: * Dada la denicin de los operadores lgicos, interpretar el comportamiento de estos operadores mediante su tabla de verdad. * Dado un texto, traducirlo al lenguaje simblico, identicando operadores lgicos y proposiciones presentes. * Dada una proposicin en el lenguaje simblico, interpretar su mensaje en lenguaje natural. * Dada una condicional de proposiciones, realizar parafraseos con las diferentes expresiones gramaticales existentes. * Dada una condicional de proposiciones, determinar su recproca, inversa y contrarrecproca. * Dada una proposicin condicional verdadera, analizar sus condiciones necesarias y sucientes. En nuestro lenguaje comn usamos frecuentemente proposiciones ms complejas, no tan simples o elementales. pg. 11 38. Ejemplo 1.5 Proposiciones que no son simples. No te encontr en tu casa. Fui al banco y estaba cerrado. Tengo una moneda de cinco centavos o una de diez centavos. El carro de Juan o es azul o es negro. Si me gano la lotera, entonces me compro una casa. Estudio en la ESPOL si y slo si me esfuerzo.Surge entonces la necesidad de denir los nexos de estas proposiciones a los cuales se denominan conectores u operadores lgicos. Gramaticalmente, estos nexos, en su mayora, son denominados partes invariables de la oracin. Denicin 1.4 (Negacin) Sea a una proposicin, la negacin de a, representada simblicamente por a, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad:a a 0 1 1 0 Cuadro 1.1: Tabla de Verdad de la Negacin. Este operador lgico cambia el valor de verdad de una proposicin: si a es una proposicin verdadera, a es falsa; si a es una proposicin falsa, a es verdadera. La negacin se presenta con los trminos gramaticales: no, ni, no es verdad que, no es cierto que.Ejemplo 1.6 Negacin de proposiciones. Si se tiene la proposicin: a: Tengo un billete de cinco dlares. La negacin de a es: a: No tengo un billete de cinco dlares.Ejemplo 1.7 Negacin de proposiciones. Si se tiene la proposicin: a: No quiero hacer el viaje. La negacin de a es: a: Quiero hacer el viaje. pg. 12 39. Captulo 1 Lgica y Conjuntos Denicin 1.5 (Conjuncin) Sean a y b proposiciones, la conjuncin entre a y b, representada simblicamente por ab, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad:a 0 0 1 1b ab 0 0 1 0 0 0 1 1Cuadro 1.2: Tabla de Verdad de la Conjuncin. Este operador lgico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposicin resultante ser verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero. En espaol, la conjuncin copulativa se presenta con los trminos gramaticales: y, pero, mas, y signos de puntuacin como: la coma, el punto, y el punto y coma.Ejemplo 1.8 Conjuncin de proposiciones. Si se tienen las proposiciones: a: Obtengo buenas notas. b: Gano una beca. La conjuncin entre a y b es: ab: Obtengo buenas notas y gano una beca.Ejemplo 1.9 Conjuncin de proposiciones. Si se tienen las proposiciones: a: Trabajo mucho. b: Recibo un bajo sueldo. La conjuncin entre a y b se puede expresar como: ab: Trabajo mucho pero recibo un bajo sueldo. pg. 13 40. Denicin 1.6 (Disyuncin) Sean a y b proposiciones, la disyuncin entre a y b, representada simblicamente por ab, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad:a 0 0 1 1b ab 0 0 1 1 0 1 1 1Cuadro 1.3: Tabla de Verdad de la Disyuncin. Este operador lgico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposicin resultante ser falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso. En espaol, la disyuncin se presenta con el trmino gramatical o.Ejemplo 1.10 Disyuncin de proposiciones. Si se tienen las proposiciones: a: Tengo un libro de Trigonometra. b: Tengo un libro de lgebra. La disyuncin entre a y b es: ab: Tengo un libro de Trigonometra o uno de lgebra. Como se podr notar en este ejemplo, existe la posibilidad de poseer ambos libros, razn por la cual esta disyuncin recibe el nombre de disyuncin inclusiva. En el lenguaje espaol suelen presentarse situaciones que son mutuamente excluyentes entre s. La expresin o estoy en Quito o estoy en Guayaquil denota la imposibilidad de estar fsicamente en Quito y Guayaquil al mismo tiempo. Denicin 1.7 (Disyuncin exclusiva) Sean a y b proposiciones, la disyuncin exclusiva entre a y b, representada simblicamente por a b, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad:a 0 0 1 1b a b 0 0 1 1 0 1 1 0Cuadro 1.4: Tabla de Verdad de la Disyuncin Exclusiva. pg. 14 41. Captulo 1 Lgica y Conjuntos Este operador lgico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposicin resultante ser verdadera cuando solamente una de ellas sea verdadera. La disyuncin exclusiva a b puede expresarse como:(a b) (a b)En espaol, la disyuncin exclusiva se presenta con el trmino gramatical o, o slo, o solamente, o..., o....Ejemplo 1.11 Disyuncin exclusiva de proposiciones. Si se tienen las proposiciones: a: Estoy en Quito. b: Estoy en Guayaquil. La disyuncin exclusiva entre a y b es: a b: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil.Denicin 1.8 (Condicional) Sean a y b proposiciones, la condicional entre a y b, representada simblicamente por ab, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad:a 0 0 1 1b ab 0 1 1 1 0 0 1 1Cuadro 1.5: Tabla de Verdad de la Condicional. Este operador lgico tambin se denomina enunciacin hipottica o implicacin. En la proposicin ab, a es el antecedente, hiptesis o premisa; b es el consecuente, conclusin o tesis; y la proposicin resultante ser falsa solamente cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor de verdad del consecuente sea falso. En espaol, la proposicin ab se puede encontrar con los siguientes trminos gramaticales: si a, entonces b, a slo si b, a solamente si b, b si a, si a, b, b con la condicin de que a, b cuando a, b siempre que a, b cada vez que a, b ya que a, b debido a que a, b puesto que a, b porque a, se tiene b si se tiene a, slo si b, a, b, pues a, cuando a, b, los a son b, a implica b, o cualquier expresin que denote causa y efecto. pg. 15 42. Ejemplo 1.12 Condicional de proposiciones. Si se tienen las proposiciones: a: Juan gana el concurso. b: Juan dona $ 10 000. La condicional entre a y b es: ab: Si Juan gana el concurso, dona$ 10 000.Parafraseando la condicional, tenemos: Juan gana el concurso slo si dona Juan dona$ 10 000.$ 10 000 si gana el concurso. Si Juan gana el concurso, entonces dona$ 10 000.$ 10 000 puesto que gana el concurso. Juan dona $ 10 000 debido a que gana el concurso. Juan dona $ 10 000 siempre que gane el concurso. Cuando Juan gane el concurso, dona $ 10 000. Juan dona $ 10 000 porque gana el concurso. Juan donaEn base a este ejemplo, nos podemos preguntar: cundo se quebrantar la promesa de Juan? Esto ser nicamente cuando Juan gane el concurso y no done el dinero. Existen otras proposiciones relacionadas con la condicional ab, las cuales se denominan: recproca, inversa y contrarrecproca (o contrapositiva). La Recproca, es representada simblicamente por: La Inversa, es representada simblicamente por:ba.ab.La Contrarrecproca, es representada simblicamente por:ba.Ejemplo 1.13 Variaciones de la condicional. A partir de la proposicin: Si es un automvil, entonces es un medio de transporte. La Recproca sera: Si es un medio de transporte, entonces es un automvil. La Inversa sera: Si no es un automvil, entonces no es un medio de transporte. La Contrarrecproca sera: Si no es un medio de transporte, entonces no es un automvil. pg. 16 43. Captulo 1 Lgica y Conjuntos Cabe anotar que una proposicin puede ser reemplazada por su contrarrecproca sin que se afecte su valor de verdad, lo cual no se cumple con la recproca o la inversa. A continuacin se verica este hecho en el siguiente ejemplo.Ejemplo 1.14 Variaciones de la condicional. A partir de la proposicin: Si un nmero es divisible para 6, entonces es divisible para 3. La Recproca sera: Si un nmero es divisible para 3, entonces es divisible para 6. La Inversa sera: Si un nmero no es divisible para 6, entonces no es divisible para 3. La Contrarrecproca sera: Si un nmero no es divisible para 3, entonces no es divisible para 6. Relacionadas a la enunciacin hipottica, surgen las nociones de condicin necesaria y condicin suciente, y puede armarse con propiedad que mucha gente tiene integrada estas nociones a su lenguaje cotidiano, tal como se ilustra en el siguiente caso.Ejemplo 1.15 Introduccin a las condiciones necesarias y sucientes. Un profesor presenta este problema a sus estudiantes: Un hacendado tiene un cierto nmero de reses, de tal forma que: si las agrupa de 2 en 2, le sobra 1, si las agrupa de 3 en 3, le sobra 1, pero si las agrupa de 4 en 4, no le sobran. Entonces, podra indicar usted el nmero de reses que tie