César Emilio Villarreal Rodríguez
Profesor de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la Universidad Autónoma de Nuevo León
Sara Verónica Rodríguez Sánchez
Profesora de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la Universidad Autónoma de Nuevo León
II Prólogo
πσιν κριβς καθεξς σοι γρψαι, κρτισ-
τε Θεφιλε, να πιγνς περ ν κατηχθης
λγων τν σφλειαν.»
«También yo he resuelto escribírtelos por su orden, ilustre Teófilo, después de investigar- lo todo diligentemente desde el principio, para que conozcas la solidez de las enseñanzas que has recibido» (Evangelio según San Lucas 1.3- 4).
El presente libro está dirigido a las personas interesadas en aprender a leer y escribir de manera clara y con actitud crítica, en cualquier tema de matemáticas que sea de su preferencia. Para lograr lo anterior, se trata de construir el «edificio de las Matemáticas» desde sus cimientos, después poco a poco ir avanzando en profundidad y amplitud de conocimientos. Se abordan los temas con rigor y siguiendo un orden lógico, de manera que en la medida de lo posible evitemos ambigüedades tanto conceptuales como de notación. Se pretende que este libro sirva además como fuente de consulta sobre teoremas, fórmulas y definiciones de manera que el lector al consultarlo no solamente encuentre en éste una fórmula o resultado sino también una demostración rigurosa del mismo. En la mayoría de los libros de matemáticas, cuando encontramos resultados cuya demostración parece difícil o es laboriosa, comúnmente nos topamos con frases como «la demostración no está dentro de los objetivos del curso», «la demostración va más allá de los alcances del libro, el lector interesado puede leer un libro con tales o cuales características», «el resultado es intuitivamente claro, por lo que omitimos su demostración» o simplemente «omitimos su demostración». En nuestro caso, los pocos teoremas que no se demuestren no será por causa de que sea de un alto grado de dificultad, sino por que consideramos que el lector que es capaz de comprender el tema en cuestión también es capaz de demostrarlo por sí mismo, ya sea por ser un caso particular o consecuencia inmediata de otro teorema, o bien por que la metodología que pudiese ser utilizada para la demostración ya ha sido empleada anteriormente. Lo anterior es con la intención de hacer del presente un libro completo y autocontenido. Se recomienda para una buena comprensión del libro, que cuando se le consulte o lea no sea por medio de frases aisladas, sino en el contexto de al menos toda la sección. También se recomienda al lector que antes de leer la demostración de algún teorema o resultado intente demostrarlo por sí mismo, tomando en cuenta que muchas veces un mismo resultado puede ser demostrado de varias formas distintas.
No hay un requisito previo para la lectura de este libro, aunque es recomendable, que haya llevado cursos de matemáticas a nivel medio y tenga una cultura general de al menos ese nivel. El primer capítulo comienza con una breve descripción del razonamiento lógico y deductivo. En el capítulo 2 se establecen los axiomas que describen el concepto de función y de conjunto, los cuales son fundamentales en todas las matemáticas de la actualidad. Tales axiomas se escogieron tratando de que fueran claros a la intuición y que fueran resultados aceptados y usados por la comunidad matemática, ya sea en forma explícita o implícita. El capítulo 3 trata sobre los principales resultados de los números naturales basándose en los llamados axiomas de Peano. En él se introduce además el concepto de pareja ordenada, operación, conjunto infinito, factorial y se establecen técnicas de conteo, entre otras cosas. En el capítulo 4 se estudia las propiedades de los números reales, exceptuando el axioma del supremo, el cual se ve hasta el capítulo 7. Al final del capítulo 4 se abordan algunos temas de teoría de números.
III
Los capítulos 5 y 6 abarcan los temas que tradicionalmente se ven en los cursos de álgebra, aunque algunos temas como lo son los de progresiones aritméticas y geométricas se ven en el capítulo 8, en el cual se introducen los conceptos de sucesiones y series. En el capítulo 9 se definen las funciones logarítmicas y las exponenciales, aunque no de la forma tradicional que es a través de integrales definidas, sino de una forma más natural basada en aproximaciones. El capítulo 10 cubre un poco más de los temas que generalmente se ven en un curso cálculo diferencial, a excepción de los temas relacionados con las funciones trigonométricas, los cuales pueden ser estudiados en el capítulo 15. En los cursos de cálculo generalmente se estudian primero los temas del capítulo 10, después lo concerniente a integrales y después la mayor parte de los temas que aparecen en los capítulos 7 y 9. Creemos que el orden seguido en este libro es el más adecuado lógica e intuitivamente, aunque no necesariamente sigue el orden en que históricamente se han desarrollado los temas. El capítulo 11 aborda la geometría elemental sin definir conceptos elementales como el de distancia, punto recta plano y espacio, pero estableciendo sus propiedades y relaciones entre ellos en base a postulados que los describen. En el capítulo 12 se definen con precisión los conceptos de determinante y matriz, además de establecer sus principales propiedades y proveer de métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El capítulo 13 es una breve introducción a las estructuras algebraicas. El capítulo 14 aborda los temas y resultados topológicos más importantes. El capítulo 15 trata de la geometría analítica en Rn y estudia como casos particulares la geometría analítica plana y la trigonometría. El capítulo 16 desarrolla parte de la teoría de homotopías, y haciendo uso de algunos resultados se demuestra el teorema de la curva de Jordan y se introduce el concepto de índice de un camino cerrado simple en el plano. El capítulo 17 aborda temas relacionados con la integral definida e indefinida. En el capítulo 18 se estudia el cálculo en varias variables, donde se demuestran teoremas importantes como son el de los multiplicadores de Lagrange, el de Green y el de Fubini para funciones Riemann-integrables, así como el teorema de cambio de variables. En el capítulo 19 se estudian los números complejos y sus principales propiedades. El capítulo 20 da una breve introducción a la teoría de conjunto de Zermelo-Fraenkel y, basándose en dicha teoría, se demuestran los axiomas dados en los capítulos anteriores.
Al final del libro hay unos apéndices. En el apéndice A se da una lista de símbolos usados en el texto con su significado. En el apéndice B se enlistan las letras del alfabeto helénico con sus nombres en español. En el apéndice C se da una bibliografía complementaria al texto. En el apéndice D se da un índice alfabético, donde se indica en qué sección se define o introduce cada concepto.
«Τ σ σντομον τς λξεως μεταδικειν
κα` τ ξεργαστικν τς πραγματεας πα- ραιτεσθαι τ τν μετφρασιν ποιουμν
συγχωρητον. ντεθεν ον ρξμεθα τς
διηγσεως τος προειρημνοις τοσοτον
στορας πλεονζειν, τν δ στοραν πιτε-
μεν.»
«Al divulgador le compete una exposición con- cisa, renunciando al tratamiento exhaustivo. Comencemos, pues, desde ahora el relato, tras abundar tanto en los preliminares; pues sería absurdo alargar el prólogo y abreviar la histo- ria» (Segundo Libro de los Macabeos 2.31-32).
IV Contenido
1. Razonamiento lógico y deductivo 1
1.1. Introducción 1 1.2. Proposiciones 3 1.3. Negación 4 1.4. Conjunción y disyunción 5 1.5. Implicación 6 1.6. Proposiciones equivalentes 7 1.7. Razonamientos válidos y falacias 8
2. Conjuntos y funciones 13
2.1. Introducción 13 2.2. Conjuntos 15 2.3. Funciones 16 2.4. Predicados 19 2.5. Los cuantificadores universal y existencial 26 2.6. El recorrido de una función 28 2.7. Uniones e intersecciones arbitrarias 30 2.8. Notaciones de uso común 32
3. Elementos de matemáticas discretas 33
3.1. Axiomas de Peano 33 3.2. Parejas ordenadas 35 3.3. Relaciones 39 3.4. Definiciones recursivas 45 3.5. Multiplicación de números naturales 50 3.6. Operaciones 54 3.7. Conjuntos finitos y conjuntos infinitos 57 3.8. Técnicas de conteo 61 3.9. Segundo método de inducción matemática 74 3.10. Conjuntos infinito numerables 75 3.11. Diagramas 77
Contenido V
4. El conjunto de los números reales 83
4.1. Introducción 83 4.2. Operaciones en el conjunto de números reales 86 4.3. Desigualdades 90 4.4. Subconjuntos de números reales 93 4.5. Exponentes enteros 94 4.6. El valor absoluto 97 4.7. Aritmética 99
5. Álgebra de números reales 109
5.1. Radicales 109 5.2. Exponentes racionales 111 5.3. Expresiones algebraicas 113 5.4. Notación científica 114 5.5. Polinomios 115 5.6. Productos notables 116 5.7. Factorización 117 5.8. Factorización de expresiones especiales 118 5.9. Simplificación de expresiones fraccionarias por factorización 119 5.10. Teorema del binomio 120
6. Ecuaciones y desigualdades 123
6.1. Introducción 123 6.2. Ecuaciones lineales 124 6.3. Ecuaciones cuadráticas 125 6.4. Otras ecuaciones 128 6.5. Resolución de desigualdades 130 6.6. Desigualdades con valor absoluto 137 6.7. División de polinomios 138 6.8. Sistemas de ecuaciones lineales 143
7. Axioma del supremo 145
7.1. Conjuntos acotados 145 7.2. Raíces cuadradas 150 7.3. Exponentes racionales 152
VI Contenido
8. Sucesiones y series 155
8.1. Introducción 155 8.2. Progresiones aritméticas 157 8.3. Progresiones geométricas 159 8.4. Convergencia de sucesiones 162 8.5. Tipos de divergencia 166 8.6. Series 170 8.7. Criterios de convergencia 174 8.8. La constante de Napier 189 8.9. Sistema decimal 191
9. Funciones exponenciales y logarítmicas 195
9.1. Introducción 195 9.2. Definición de potencias con exponentes reales 196 9.3. Propiedades de los exponentes 198 9.4. Funciones exponenciales 201 9.5. Aplicaciones de la función exponencial 203 9.6. Funciones logarítmicas 205
10. Funciones y sus gráficas 209
10.1. Introducción 209 10.2. Asíntotas horizontales 213 10.3. Asíntotas verticales 217 10.4. Límites finitos 221 10.5. Continuidad 224 10.6. Sucesiones y límites de funciones de variable real 232 10.7. La función exponencial natural 234 10.8. Algunos tipos de discontinuidades 237 10.9. Velocidad y aceleración 238 10.10. La recta tangente 240 10.11. Definición de derivada 242 10.12. Teoremas sobre derivadas 244 10.13. Máximos y mínimos relativos 249 10.14. Formas indeterminadas 255
Contenido VII
11. Elementos de geometría 261
11.1. Introducción 261 11.2. Segmentos y rayos 263 11.3. Planos 267 11.4. Conjuntos convexos 269 11.5. Ángulos y triángulos 271 11.6. Circunferencias 272 11.7. Longitud de arco 273 11.8. Medidas de ángulos 276 11.9. Congruencia de triángulos 280 11.10. Postulados y teoremas de congruencia de triángulos 282 11.11. Perpendicularidad 285 11.12. Desigualdades geométricas 289 11.13. Rectas paralelas 293 11.14. Cuadriláteros 300 11.15. Semejanza y proporcionalidad 303 11.16. Áreas 309 11.17. Área del círculo y sectores circulares 313 11.18. Sistemas de coordenadas 315 11.19. Volúmenes 320
12. Matrices y determinantes 327
12.1. Introducción 327 12.2. Suma y resta de matrices 329 12.3. Multiplicación por escalar 330 12.4. Multiplicación de matrices 331 12.5. La transpuesta de una matriz 334 12.6. Permutaciones 335 12.7. Determinantes 338 12.8. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 343 12.9. Operaciones elementales por renglón 345
13. Conjuntos y estructuras 353
13.1. Introducción 353 13.2. Grupos 354 13.3. Homomorfismos 363 13.4. Anillos 366 13.5. Espacios vectoriales 370 13.6. Transformaciones lineales 379
VIII Contenido
14. Topología 389
14.1. Introducción 389 14.2. Espacios métricos 390 14.3. Funciones en espacios métricos 399 14.4. Espacios topológicos 411 14.5. Topología producto 424 14.6. Topología cociente 432
15. Análisis geométrico 435
15.1. Distancia entre dos puntos 435 15.2. Álgebra en Rn 438 15.3. Trayectorias y sus longitudes 448 15.4. Ortogonalidad 455 15.5. Isometrías entre planos 460 15.6. Medidas de ángulos 467 15.7. Conceptos generales 475 15.8. Funciones trigonométricas 478 15.9. Gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas 487 15.10. Ecuaciones de la recta 497 15.11. Ecuaciones de la circunferencia 502 15.12. Ecuaciones de la parábola 504 15.13. Ecuaciones de la elipse 507 15.14. Ecuaciones de la hipérbola 514 15.15. Funciones hiperbólicas 520 15.16. Rotaciones y reflexiones en R2 523 15.17. La ecuación general de segundo grado 525 15.18. El cilindro en R3 528 15.19. Rotaciones y reflexiones en Rn 530 15.20. El cono circular recto en R3 532 15.21. El elipsoide en R3 534 15.22. El hiperboloide elíptico en R3 535 15.23. El paraboloide elíptico en R3 537 15.24. El paraboloide hiperbólico en R3 538 15.25. Coordenadas polares 539 15.26. Coordenadas cilíndricas y esféricas 542 15.27. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados en Rn 543 15.28. Áreas y volúmenes 548 15.29. La medida de Lebesgue en Rn 568
Contenido IX
16. Homotopías 579
16.1. Caminos homotópicos 579 16.2. Clases de homotopía 582 16.3. El grupo fundamental 584 16.4. Funciones cubrientes y levantamientos 585 16.5. El índice de un camino cerrado 589 16.6. El teorema de la curva de Jordan 592 16.7. Separación de conjuntos 601 16.8. Grafos lineales 603 16.9. Aproximación por poligonales 612
17. Integración 623
17.1. Antiderivadas 623 17.2. La integral de Riemann 629 17.3. Cálculo de la longitud de un arco 644 17.4. La integral de Riemann-Stieltjes 650 17.5. Desarrollo de Taylor 664 17.6. Integrales impropias 668 17.7. La función gamma 672
18. Funciones de varias variables 675
18.1. Integración sobre caminos 675 18.2. Derivadas de funciones de varias variables 681 18.3. El teorema de los multiplicadores de Lagrange 697 18.4. Integración de funciones de varias variables 701 18.5. Cambio de variables 711
19. Los números complejos 729
19.1. Introducción 729 19.2. El plano complejo extendido 735 19.3. Sucesiones y series de números complejos 738 19.4. Funciones complejas de variable compleja 751 19.5. Polinomios complejos 753 19.6. Funciones holomorfas 759 19.7. Integración compleja 765 19.8. Ceros y singularidades aisladas 789
20. Teoría de conjuntos 805
20.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel y de elección 805 20.2. Construcción de los números naturales y enteros 811 20.3. Cardinalidad y conjuntos bien ordenados 814 20.4. Proposiciones equivalentes al axioma de elección 819 20.5. Construcción de los números racionales 827
X Contenido
20.6. Construcción de los números reales 829 20.7. Construcción de los números complejos 835
Epílogo 836
Apéndice B. Alfabeto helénico 861
Apéndice C. Bibliografía 863
XI
-1
0
1.1. Introducción
En las matemáticas para que una afirmación nueva tenga aceptación universal es necesario que se haya demostrado lógicamente basándose en conocimientos previamente aceptados. Tal demostración debe tener un rigor lógico de tal manera que la veracidad de la afirmación no tenga lugar a dudas.
Un ejemplo no es aceptado como demostración lógica debido a que sólo muestra el cumpli- miento de la afirmación en un caso particular y es posible que en otros casos la afirmación sea falsa. Por ejemplo, si tomamos la afirmación «todos los mamíferos son rumiantes» y toma- mos como ejemplo a una cebra, no podemos concluir que debido a que la cebra es rumiante, entonces todos los mamíferos son rumiantes.
En las ciencias naturales cuando se quiere probar el cumplimiento de una hipótesis se realiza una serie de experimentos. Una vez hechos los experimentos, si en todos ellos se verificó la hipótesis, ésta es aceptada (los principios de Arquímedes y la ley de la gravitación universal, por ejemplo, no se pueden demostrar matemáticamente sino que son aceptados en base a observaciones, aunque sí son descritos por fórmulas matemáticas). En las matemáticas y en la lógica esta forma de proceder no es aceptada. Es decir, no es suficiente con verificar varios ejemplos, aunque sean muchos, para aceptar una suposición.
Analicemos, por ejemplo, la afirmación «si n es un número natural, entonces n2´n`11 es un número primo» (un número primo es un número natural mayor que 1 que sólo es divisible por 1 y por sí mismo).
Si tomamos n “ 1, tenemos n2 ´ n` 11 “ 12 ´ 1` 11 “ 11;
si tomamos n “ 2, tenemos n2 ´ n` 11 “ 22 ´ 2` 11 “ 13;
si tomamos n “ 3, tenemos n2 ´ n` 11 “ 32 ´ 3` 11 “ 17;
si tomamos n “ 4, tenemos n2 ´ n` 11 “ 42 ´ 4` 11 “ 23;
si tomamos n “ 5, tenemos n2 ´ n` 11 “ 52 ´ 5` 11 “ 31;
si tomamos n “ 6, tenemos n2 ´ n` 11 “ 62 ´ 6` 11 “ 41.
1
2 1.1. Introducción
Los números 11, 13, 17, 23, 31 y 41 son primos. En los 6 ejemplos anteriores el resultado de n2´n`11 fue un número primo pero no es suficiente para concluir que n2´n`11 es primo para todo número natural n, de hecho lo único que demuestra es que n2´n`11 es primo cuando n es 1, 2, 3, 4, 5 ó 6. Podemos observar que si n “ 11, entonces n2´n`11 “ p11q2´11`11 “ p11q2
el cual no es un número primo. Vale la pena aclarar que aún y cuando la conclusión de un razonamiento sea algo verda-
dero, este razonamiento no se considera una demostración si el razonamiento no fue correcto. Parte del razonamiento lógico involucra la expresión por medio de símbolos. Supondremos
que el lector distinguirá con sus sentidos cuando dos símbolos sean iguales o diferentes y no habrá polémica alguna en ese sentido, por ejemplo, distinguirá la escritura de las letras α, β, γ, etc.
En las secciones siguientes de este capítulo se abordarán los conceptos básicos referentes al razonamiento lógico.
1.2. Proposiciones 3
1.2. Proposiciones
«Le grand fondement des Mathématiques est le principe de contradiction ou de l’identité, c’est-à-dire qu’une énonciation ne saurait être vraie et fausse en même temps; et qu’ainsi A est A et ne saurait être non A. Et ce seul principe suffit pour démontrer toute l’Arithmétique et toute la Géométrie, c’est-à-dire tous les princi- pes Mathématiques.»
«El gran fundamento de las matemáticas es el principio de contradicción o identidad, esto es, que una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo, y que, en consecuencia, A es A y no puede ser no A. Y ese único princi- pio es suficiente para demostrar cualquier par- te de la aritmética y de la geometría, es decir, todos los principios matemáticos» (fragmento de la Segunda carta de Leibniz a Clarke 1).
En lógica una proposición es una oración, frase o cualquier afirmación que tiene asignado un único valor de verdad, donde los valores de verdad pueden ser solamente verdadero o falso. Es decir toda proposición es verdadera o falsa pero no puede ser verdadera y falsa a la vez.
Tenemos los siguientes ejemplos de proposiciones:
1. El caballo es un mamífero.
2. Todos los reptiles pueden volar.
3. 2` 5 “ 7.
5. El agua es necesaria para la vida humana.
El sentido común nos dice que las proposiciones 1, 3 y 5 son verdaderas, mientras que las proposiciones 2 y 4 son falsas.
No son aceptadas como proposiciones las afirmaciones que emitan un juicio o digan algo sobre sí mismas. Por ejemplo, si la oración «estoy diciendo una mentira» se refiere a que la oración misma es falsa, entonces no se le puede asignar un valor de verdad puesto que si fuera falsa, entonces estaría diciendo una mentira, lo cual confirmaría la oración y sería verdadera. Por otro lado, si la oración fuese verdadera, entonces estaría diciendo una mentira, lo cual haría falsa a la oración. Es decir tal afirmación sería falsa y verdadera a la vez. En el lenguaje usual, cuando alguien dice «estoy diciendo una mentira» generalmente se refiere a que otra expresión que se dijo con anterioridad es mentira.
Cuando una proposición es expresada por medio de símbolos matemáticos (no en forma gramatical) a la expresión le llamamos fórmula.
A veces a las proposiciones se les representa por letras como p, q, r, s, t, etc.
4 1.3. Negación
1.3. Negación
«Les vérités de Raisonnement sont néces- saires et leur opposé est impossible, et ce- lles de Fait sont contingentes et leur oppo- sé est possible. Quand une vérité est né- cessaire, on en peut trouver la raison par l’analyse, la résolvant en idées et en véri- tés plus simples, jusqu’à ce qu’on vienne aux primitives.»
«Las verdades de razonamiento son necesarias, y su opuesto es imposible, y las de hecho son contingentes y su opuesto es posible. Cuan- do una verdad es necesaria, se puede hallar su razón por medio de análisis, resolviéndola en ideas y verdades más simples, hasta que se llega a las primitivas» (Gottfried Leibniz, La Monadología 33, 1714).
Si p es una proposición, a la proposición que afirma que p es falsa se le llama la negación de p y se le representa por el símbolo p, el cual se lee «no p». Se tienen las siguientes reglas lógicas:
Si p es verdadera, entonces p es falsa.
Si p es falsa, entonces p es verdadera.
Lo anterior se ilustra en la tabla siguiente, donde V significa que la proposición es verda- dera y F que es falsa.
p p
V F F V
Para los cinco ejemplos de proposiciones dadas en la sección anterior sus negaciones se pueden expresar respectivamente como:
1. El caballo no es un mamífero.
2. Algunos reptiles no pueden volar.
3. 2` 5 ‰ 7.
5. El agua no es necesaria para la vida humana.
1.4. Conjunción y disyunción 5
1.4. Conjunción y disyunción Si p y q son dos proposiciones, la conjunción de p y q, representada por p ^ q ó por
p&q es una proposición cuyo valor de verdad es verdadero si tanto p como q son verdaderos y de falso si al menos una de las proposiciones es falsa. La proposición p^ q se lee «p y q» y afirma que ambas proposiciones p y q son verdaderas.
Por otra parte, la disyunción de p y q, representada por p_ q, es una proposición cuyo valor de verdad es de verdadero cuando al menos una de las dos proposiciones ya sea p ó q es verdadera y de falso cuando tanto p como q son falsas. La proposición p_ q se lee «p ó q» y afirma que al menos una de las proposiciones p ó q es verdadera.
Lo anterior se ilustra en las tablas siguientes, donde V significa que la proposición es verdadera y F que es falsa.
p q p^ q
V V V V F F F V F F F F
p q p_ q
V V V V F V F V V F F F
6 1.5. Implicación
1.5. Implicación Al símbolo ùñ se le conoce como símbolo de implicación. Si p y q son dos proposiciones,
la expresión p ùñ q es de nuevo una proposición cuyo valor de verdad es de falso si p es verdadero y q es falso, y en todos los otros casos el valor de verdad es de verdadero. La proposición p ùñ q se lee «p implica q» o bien «q ó no p (es decir q _ p)» o bien «si p, entonces q» y afirma que la proposición q es verdadera cuando lo es la proposición p.
Observemos que si p es verdadera, entonces p ùñ q es verdadera solamente si q es también verdadera, lo que indica que a partir de una proposición verdadera se debe concluir una proposición verdadera. Pero si p es falsa, entonces p ùñ q es verdadera, independientemente de si q es verdadera o falsa, lo que indica que a partir de una proposición falsa se puede concluir cualquier proposición, ya sea verdadera o falsa.
Otra forma de leer e interpretar el significado de la expresión p ùñ q es diciendo «p es suficiente para que se cumpla q» o bien «q es necesario para que se cumpla p».
Cuando tengamos una proposición de la forma p ùñ q, a la proposición p se le llama hipótesis, premisa, condición o antecedente y a la proposición q se le llama conclusión o consecuente.
Lo anterior se ilustra en la tabla siguiente, donde V significa que la proposición es verda- dera y F que es falsa.
p q p q _ p
V V F V V F F F F V V V F F V V
es decir,
p q p ùñ q
V V V V F F F V V F F V
La recíproca de una proposición de la forma p ùñ q, se define como la proposición q ùñ p.
1.6. Proposiciones equivalentes 7
1.6. Proposiciones equivalentes Decimos que dos proposiciones p y q son equivalentes, denotándose p ðñ q, cuando
p ùñ q y q ùñ p. Es decir pðñ q es verdadera cuando la proposición pp ùñ qq ^ pq ùñ pq es verdadera.
Podemos observar que p ðñ q es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad. En efecto, si ambas proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces las proposiciones p ùñ q y q ùñ p son verdaderas, por lo que pp ùñ qq^pq ùñ pq es verdadera. Ahora bien, si las proposiciones p y q tienen diferente valor de verdad, entonces alguna de las proposiciones p ùñ q ó q ùñ p es falsa por lo que pp ùñ qq ^ pq ùñ pq es falsa, es decir si las proposiciones p y q tienen diferente valor de verdad, entonces pðñ q es falsa (a saber p ùñ q es falsa si q es falsa y p verdadera, y q ùñ p es falsa si p es falsa y q verdadera). La expresión pðñ q a veces se lee como «p si y sólo si q» o como «p es necesario y suficiente para q».
Lo anterior se resume en la tabla siguiente, donde V significa que la proposición es ver- dadera y F que es falsa.
p q pðñ q
V V V V F F F V F F F V
Observemos lo importante que es el uso adecuado de paréntesis o símbolos de agrupación, por ejemplo la proposición pp ùñ pq ^ pqq ùñ p no es equivalente a la proposición pp ùñ qq^pq ùñ pq cuando p es verdadera y q es falsa, puesto que en dicho caso pp ùñ pq^pqq ùñ p sería verdadera y pp ùñ qq ^ pq ùñ pq sería falsa (como lo podrá verificar el lector).
8 1.7. Razonamientos válidos y falacias
1.7. Razonamientos válidos y falacias Una tautología es una expresión que es siempre verdadera, independientemente del valor
de verdad de las proposiciones que la forman, por ejemplo:
a) «Si Ramiro está loco, entonces Ramiro está loco.» Esta proposición es del tipo p ùñ p, la cual es siempre verdadera independientemente del valor de verdad de p.
b) «La rosa es una flor o no es una flor.» Esta proposición es del tipo p _ p, la cual también es siempre verdadera, independientemente del valor de verdad de p.
c) «Si x es un zorro, y el hecho de que x sea zorro implica que x es canino, y el hecho de que x sea canino implica que x es carnívoro, entonces x es carnívoro.» La afirmación anterior es del tipo pp ^ pp ùñ qq ^ pq ùñ rqq ùñ r, la cual es siempre verdadera, independientemente de los valores de verdad de p, q y r.
Una contradicción es una expresión que es siempre falsa, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, por ejemplo:
a) «Alejo está loco y si Alejo está loco, entonces no está loco.» Esta proposición es del tipo p ^ pp ùñ pq, la cual es siempre falsa, independientemente del valor de verdad de p.
b) «La margarita es una flor y no es una flor.» Esta proposición es del tipo p^ p, la cual es siempre falsa, independientemente del valor de verdad de p.
Observemos que la negación de una tautología es una contradicción, mientras que la negación de una contradicción es una tautología.
Una contingencia es una expresión formal cuyo valor de verdad depende de los valores de verdad que tengan las proposiciones que la forman, donde para algunos valores de verdad de tales proposiciones la expresión es verdadera, mientras que para otros la proposición formada es falsa. Como ejemplos de contingencias tenemos:
a) «Está haciendo frío y está lloviendo.» Esta expresión es del tipo p^ q.
b) «Si conduces correctamente, entonces no tendrás accidentes.» Esta proposición es del tipo p ùñ q.
c) «Los alacranes no pican dos veces a la misma persona.» Esta proposición es del tipo p.
d) «O juegas futbol o juegas beisbol.» Esta proposición es del tipo p_ q.
Veremos a continuación algunos tipos de argumentos válidos en lógica que sirven para obtener conclusiones: Un tipo de razonamiento válido es el llamado modus ponens, que consiste en que si tenemos dos proposiciones p y q, y suponemos que son verdaderas las pro- posiciones p y p ùñ q, entonces podemos concluir que la proposición q también es verdadera. Dicho razonamiento se basa en el hecho de que la proposición pp ^ pp ùñ qqq ùñ q es una tautología, en efecto, veamos la siguiente tabla de verdad que muestra dicha tautología.
1.7. Razonamientos válidos y falacias 9
p q p ùñ q p^ pp ùñ qq pp^ pp ùñ qqq ùñ q
V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V
Ejemplos de razonamientos mudus ponens son:
a) Los perros tienen pelo; pero si los perros tienen pelo, entonces son mamíferos. Por lo tanto, los perros son mamíferos.
b) Tito es de Piriápolis y si Tito es de Piriápolis, entonces es uruguayo. Por lo tanto Tito es uruguayo.
Otro tipo de razonamiento válido es el llamado modus tollens, que consiste en que si tenemos dos proposiciones p y q, donde q es falsa, pero p ùñ q es verdadera, entonces podemos concluir que la proposición p es falsa. Dicho razonamiento se basa en el hecho de que pp qq ^ pp ùñ qqq ùñ p es una tautología. En efecto, veamos la tabla siguiente que muestra dicha tautología.
p q q p ùñ q p qq ^ pp ùñ qq p pp qq ^ pp ùñ qqq ùñ p
V V F V F F V V F V F F F V F V F V F V V F F V V V V V
Ejemplos de razonamientos mudus tollens son:
a) Si las garzas tienen pelo, entonces son mamíferos; pero las garzas no son mamíferos. Por lo tanto, las garzas no tienen pelo.
b) Fidel no es uruguayo, pero si Fidel fuera de Piriápolis, entonces sería uruguayo. Como Fidel no es uruguayo, podemos concluir que no es de Piriápolis.
Otro tipo de razonamientos son los del tipo reductio ad absurdum o reducción a lo absurdo que consiste en concluir una proposición al demostrar que la negación de ella conduce a una contradicción.
Tenemos también que p ùñ q equivale a q ùñ p, de manera que el demostrar que p ùñ q puede hacerse demostrando que q ùñ p. Este métodos de hacer demostraciones se llama método indirecto.
Los razonamientos no válidos de hacer conclusiones se llaman falacias. Ejemplos de fa- lacias son:
a) Deducir la veracidad de p a partir de la veracidad de q y de la veracidad de p ùñ q. Por ejemplo: «Si un animal es lobo, entonces es un canino, pero como los zorros son caninos, entonces los zorros son lobos.»
10 1.7. Razonamientos válidos y falacias
b) Deducir la falsedad de q a partir de la falsedad de p y de la veracidad de p ùñ q. Por ejemplo: «Si Manuel fuera de Piriápolis, entonces sería uruguayo, pero sabemos que Manuel no es de Piriápolis, por lo que no es uruguayo.» Con la información que se tiene, a saber que los de Piriápolis son uruguayos y que Manuel no es de Piriápolis, no se puede concluir que Manuel no sea uruguayo, aunque tampoco se puede concluir que lo sea.
c) Otro tipo de falacias son los argumentos ad hominem, el cual intenta negar una proposición p basándose en desacreditar a la persona o personas que afirman p, o bien en el desprestigio que pudiera tener dicha persona, por ejemplo: «Has nacido todo entero en pecado, de manera que tus enseñanzas no son buenas.»
Ejercicios.
1. Supongamos que p, q y r son proposiciones. Verificar que las siguientes parejas de proposiciones son equivalentes independientemente de los valores de verdad de p, q y r.
aq p pq, p. bq p^pq_rq, pp^qq_pp^rq. cq p_ pq ^ rq, pp_ qq ^ pp_ rq. dq p_ q, q _ p. eq p^ q, q ^ p. fq pðñ q, q ðñ p. gq pp_ qq, p pq ^ q. hq pp^ qq, p pq _ q. iq p ùñ q, p qq ùñ p. jq pp_ qq _ r, p_ pq _ rq. kq pp^ qq ^ r, p^ pq ^ rq. lq p_ q, p pq ùñ q. mq q ùñ p, p qq _ p. nq pp ùñ qq, q ^ p.
2. Si p, q y r representan respectivamente las proposiciones «el caballo es un mamífero», «todos los reptiles pueden volar» y «2 + 5 = 7» expresar las siguientes proposiciones con palabras y sin usar los símbolos p, q, r, , ^, _, ùñ ni ðñ. Además, dar su valor de verdad.
aq p ùñ q. bq q ùñ r. cq p^ q. dq p_ q. eq p_ q. fq p pq ^ r.
3. Supongamos que p, q y r son proposiciones. Verificar que las siguientes parejas de proposiciones no son equivalentes para valores de verdad adecuados de p, q y r.
aq p^ pq _ rq, pp^ qq _ r. bq pp_ qq, p pq _ p qq. cq p ùñ q, q ùñ p. dq pp ùñ qq _ pq ùñ rq, p ùñ q. eq pp ùñ qq _ pq ùñ rq, p ùñ r. fq p ùñ q, p pq ùñ q.
4. Cuando una persona dice «si tú eres músico, yo soy Supermán» ¿qué está tratando de decir? ¿Por qué? (usar modus tollens).
5. A continuación en cada inciso se darán dos proposiciones, las cuales, aunque parezca absurdo en algunos casos, supondremos que son verdaderas. Posteriormente se dará una serie de proposiciones. El lector deberá marcar con una V las que se puedan concluir
1.7. Razonamientos válidos y falacias 11
que son verdaderas a partir de las dos proposiciones dadas al inicio y con una F las que se puedan concluir que son falsas (las que no se pueda concluir su valor de verdad con las dos proposiciones dadas se dejarán sin marcar).
a) Los miembros de la tribu Tarahumara tienen el pelo lacio. En África hay personas con el pelo rizado.
I) Los miembros de la tribu Tarahumara no son africanos. II) Algunos habitantes de África no pertenecen a la tribu Tarahumara. III) Solamente algunos africanos pertenecen a la tribu Tarahumara. IV) Algunos africanos tienen el pelo lacio y otros no. V) Ningún africano con pelo rizado pertenece a la tribu Tarahumara.
b) Perro que ladra no muerde. Los perros negros muerden.
I) Un perro me mordió sin ladrar. II) Los perros que no ladran son negros. III) Los perros negros no ladran. IV) Los perros blancos ladran. V) Los perros pintos ladran y muerden.
c) Con la lluvia se riegan las plantas. Es necesario regar las plantas para que sobre- vivan.
I) Si no llueve, las plantas no sobreviven. II) Si llueve, las plantas sobreviven. III) Es necesario que llueva para que se rieguen las plantas. IV) Cuando llueve feo, las plantas no sobreviven. V) Perro que ladra no muerde.
d) El que nace para maceta no sale del corredor. Juan salió del corredor.
I) Juan no nació para maceta. II) A Juan no le gustan las macetas. III) Juan entra y sale del corredor sin macetas. IV) Los que no salen del corredor nacieron para maceta. V) Si alguien no nació para maceta, ese es precisamente Juan.
e) Al que madruga Dios lo ayuda. Al que no se ayuda Dios no lo ayuda.
I) El que no madruga no se ayuda. II) El que madruga se ayuda. III) El que no se ayuda no madruga. IV) Perro que ladra, muerde y madruga, con seguridad se ayuda. V) Perro que no se ayuda, ni ladra ni muerde ni madruga.
f) Todos los saltillenses son coahuilenses. Los venezolanos no son coahuilenses.
I) Los venezolanos no son coahuilenses ni saltillenses.
12 1.7. Razonamientos válidos y falacias
II) Los argentinos no son venezolanos ni coahuilenses. III) Algunos coahuilenses son venezolanos. IV) Ningún coahuilense es venezolano. V) Los saltillenses no son venezolanos.
g) Mi abuelita no tiene ruedas. Mi abuelita no es bicicleta.
I) Si mi abuelita tuviera ruedas, sería bicicleta. II) Si mi abuelita no tuviera ruedas, no sería bicicleta. III) Si mi abuelita tuviera ruedas, no sería bicicleta. IV) Si mi abuelita no tuviera ruedas, sería bicicleta. V) Mi abuelita tiene ruedas y aún así no es bicicleta.
h) Si Luis no arregla su cuarto, no tendrá permiso de ir a la fiesta. Luis arregló su cuarto.
I) Luis tendrá permiso de ir a la fiesta debido a que arregló su cuarto. II) Si Luis va a la fiesta con permiso, entonces arregló su cuarto. III) Luis no tiene permiso de ir a la fiesta aunque haya arreglado su cuarto. IV) Como Luis arregló su cuarto, entonces irá a la fiesta aunque no tenga permiso. V) Luis no irá a la fiesta aunque tenga permiso.
i) Los santos no se bañan con agua caliente. Los santos ayunan.
I) Los santos no se bañan. II) Los santos ayunan y se bañan con agua fría. III) Los que no ayunan ni se bañan no son santos. IV) Los que ayunan y se bañan con agua fría son santos. V) Los glotones son santos.
j) Mikal no tuvo hijos hasta el día de su muerte. Mikal es hija de Saúl.
I) Las hijas de Saúl no tienen hijos. II) Mikal tuvo hijos después de muerta. III) Algunas hijas de Saúl no tienen hijos. IV) Alguna hija de Saúl murió sin tener hijos. V) Todos los hijos de Mikal nacieron después de que ella ya había muerto.
Capítulo 2
CONJUNTOS Y FUNCIONES
2.1. Introducción Los conceptos matemáticos están definidos en términos de los conceptos de conjuntos y
funciones, así como su relación entre ellos. Consideraremos a los conjuntos y funciones como conceptos básicos no definidos.
En las matemáticas hay conceptos básicos que no es posible definir ya que para hacerlo sería necesario tener otros conceptos que a su vez para estar definidos se necesitarían otros, y así sucesivamente, de tal suerte que para definirlos necesitaríamos hacerlo en base en ellos mismos, lo cual sería un círculo vicioso, o bien tener una infinidad de términos, lo cual sería imposible de definir. Así, hay conceptos básicos que no están definidos, se supone que se entiende su significado por sentido común, aunque tienen propiedades básicas que pueden clarificar su significado. De los términos no definidos y sus propiedades básicas se definen nuevos conceptos y se demuestran otras propiedades usando el razonamiento lógico.
En el capítulo anterior, los conceptos de proposición, verdadero y falso no fueron de- finidos; sin embargo se establecieron propiedades básicas y en base en ellas se definieron conceptos y símbolos tales como conjunción, implicación, ðñ, , etc. y así se dedujeron algunas propiedades (no básicas) y se le pidió al lector que dedujera otras.
En este libro a las propiedades básicas que no se demuestran y se supondrá que son verda- deras las llamaremos axiomas, aunque en algunas ocaciones, principalmente en la geometría, se les llama postulados. Las propiedades que se concluyen directa o indirectamente de las definiciones o de los axiomas se llaman teoremas. A algunos teorema se les suele llamar lemas y a otros corolarios. Generalmente un lema es un teorema cuyo objetivo principal es el de demostrar un teorema más importante y un corolario es un teorema que se deduce di- rectamente o casi directamente de otro, aunque técnicamente hablando los términos teorema, lema y corolario son lo mismo.
Una condición necesaria y suficiente para que un objeto forme parte de un concepto definido es que debe satisfacer todas las propiedades de la definición. Por ejemplo para definir el concepto de ave veamos de las siguientes proposiciones cuál es la definición correcta.
a) Un ave es un animal que vuela.
b) Un ave es un vertebrado de sangre caliente y que es ovíparo.
13
14 2.1. Introducción
c) Un ave es un vertebrado de sangre caliente, ovíparo que tiene plumas y que tiene pico.
d) Un ave es un vertebrado de sangre caliente, ovíparo, que tiene plumas, alas, pico, dos patas y además vuela.
e) Un ave es un vertebrado de sangre caliente que tiene alas y vuela.
f) Un ave es un animal que tiene plumas.
La proposición a) no corresponde a una correcta definición para ave pues por ejemplo las moscas vuelan y no son aves. La proposición b) tampoco lo es, pues por ejemplo el ornitorrinco es un vertebrado de sangre caliente y ovíparo pero no es ave. La proposición c) parece ser una buena definición para ave pues las aves son vertebradas, de sangre caliente, ovíparos, tienen plumas y pico, además cualquier animal con estas características es un ave. La proposición d) tiene el defecto de que hay aves que no vuelan, por ejemplo los avestruces. La proposición e) no es una buena definición para ave puesto que los murciélagos satisfacen esas características y no son aves. La proposición f) también sería una buena definición de ave puesto que todas las aves son animales con plumas y todos los animales con plumas son aves.
«Ε δ τις λγοι τν πιστμην ποδεικ-
τικν εναι μετ λγου, κουστω τι κα
α ρχα ναπδεικτοι οτε γρ τχν οτε
μν φρονσει γνωστα.»
«Si alguien dijera que el conocimiento se basa en la demostración mediante la razón, que se- pa que sus principios son indemostrables» (San Clemente de Alejandría, fragmento de Stroma- ta 2.4.13).
2.2. Conjuntos 15
2.2. Conjuntos En este capítulo uno de los términos no definidos es el de objeto. En matemáticas un
objeto será cualquier cosa de la cual podamos hablar o decir algo. Otro término muy im- portante no definido es el de conjunto. Para darnos una idea de su significado podemos considerar «sinónimos» de conjunto como colección, familia, clase, agrupación de objetos, etc. El concepto de pertenecer es también un término no definido. Cuando decimos que un objeto a pertenece a un conjunto A queremos decir que a es un miembro de los objetos que forman al conjunto A. Usaremos el símbolo P para formar expresiones como a P A la cual se lee «a pertenece a A». Otro concepto que no se definirá será el de existencia. Comencemos por establecer los primeros axiomas.
2.2.1. Axioma de existencia de conjuntos. Existe al menos un conjunto.
2.2.2. Axioma. Si a es un objeto y A un conjunto, entonces a P A es una proposición.
2.2.3. Definición. Si A es un conjunto y a P A, es decir si a pertenece al conjunto A; decimos también que a es elemento de A, que a es miembro de A o que a está en A. A la negación de a P A se le representa como a R A y se lee «a no pertenece a A».
En matemáticas la igualdad es otro término no definido. La idea de que dos objetos sean iguales es que son exactamente lo mismo aunque pueden estar representados por diferentes símbolos. A la proposición que afirma que dos objetos a y b son iguales se le representa así a “ b y se lee «a es igual a b». A la negación de a “ b se le representa como a ‰ b y se lee a es diferente de b».
2.2.4. Axioma de equivalencia para la igualdad. Si a, b y c son objetos, entonces se satisfacen las siguientes propiedades:
I) a “ a (propiedad reflexiva de la igualdad).
II) a “ b ùñ b “ a (propiedad simétrica de la igualdad).
III) (a “ b y b “ c) ùñ a “ c (propiedad transitiva de la igualdad).
16 2.3. Funciones
2.3. Funciones El concepto de función de A en B, donde A y B son conjuntos, será otro término no
definido. Una función de A en B se puede ver como una regla que hace corresponder a cada elemento de un conjunto A un único elemento de un conjunto B. Si a P A, entonces denota- remos por fpaq al único elemento en B tal que la función f le asigna o le hace corresponder a a. Si f es una función, la expresión fpaq se lee «f de a». Al objeto fpaq se le llama también la imagen de a bajo f ó el valor de f en a. Como sinónimos del término función tenemos también el de aplicación y el de transformación.
Si f es una función, a la proposición que afirma que a cada elemento del conjunto A, la función f le asigna un único elemento en el conjunto B se le denota así
f : A ÝÑ B.
u u
A B
f j
El diagrama anterior representa la forma en que la función f asigna a cada elemento del conjunto A un solo elemento del conjunto B. Podemos observar que de cada elemento del conjunto A sale solamente una flecha, mientras que a los elementos del conjunto B pueden llegar una, varias o ninguna flecha.
2.3.1. Ejemplo. Si A es el conjunto de habitantes de Guadalajara, R el conjunto de números reales y f : A ÝÑ R es la función que a cada habitante de Guadalajara le asigna su edad en años, entonces si a es un habitante de Guadalajara, fpaq es la edad en años de a. Todo habitante de Guadalajara tiene una edad y esa edad es única, es decir ningún habitante de Guadalajara tiene más de una edad.
2.3. Funciones 17
2.3.2. Ejemplo. Si R es el conjunto de números reales y g : R ÝÑ R es tal que a cada número real le asigna su cuadrado, entonces si x P R, tenemos que gpxq “ x2, por ejemplo gp1q “ 1, gp2q “ 4, gp´3
4 q “
9 16 . Observemos que tiene sentido que g sea función
puesto que cada número real tiene exactamente un cuadrado.
-4 -2 2 4 6 8
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
gHxL=x2
2.3.3. Ejemplo. Tomemos un conjunto PH cuyos elementos son los pacientes de un cierto hospital. Cada paciente x tiene asignado un factor sanguíneo Rhpxq en el conjunto t`,´u. Así la función Rh es la que a cada paciente x del hospital le asigna su factor sanguíneo Rhpxq. Tenemos así que Rh : PH ÝÑ t`,´u.
2.3.4. Notaciones. Si A y B son dos conjuntos y f es una función, entonces la proposición
f : A ÝÑ B aÞÑb
significa que f : A ÝÑ B y además que fpaq “ b, es decir significa que la función f asigna a cada elemento de A un único elemento en B y además a a le asigna b. La función g dada en el ejemplo 2.3.2 podría escribirse
g : R ÝÑ R x ÞÑx2
.
Al hecho de que fpaq “ b también se le denota por f : a ÞÑ b. La expresión x ÞÑ fpxq representa a una función tal que a cada valor de x le asigna fpxq, pero si se quiere ser específico se puede escribir px P Aq ÞÑ fpxq, lo cual representará a la función que a cada elemento x del conjunto A le asigna fpxq, en esta última notación se está especificando que A es el dominio de la función. Con esta última notación, la función g dada en el ejemplo 2.3.2 puede representarse como px P Rq ÞÑ x2.
2.3.5. Definición. Si f : A ÝÑ B, decimos que A es el dominio de la función f . Al dominio de f se le denota por Dompfq.
En el primero de los ejemplos anteriores el dominio de f es el conjunto de habitantes de Guadalajara y en el segundo ejemplo el dominio de g es R.
La expresión que dice que una proposición p se vale o es verdadera para algún objeto x significa que existe un objeto x tal que p es verdadera. El término de «algún» es también un concepto no definido que se utiliza en el siguiente axioma y en otros.
2.3.6. Axioma. Si Ψ es un objeto, entonces Ψ pertenece a algún conjunto.
18 2.3. Funciones
Debido a que los conjuntos y las funciones son objetos, el axioma anterior nos permite hablar de conjuntos de funciones y de conjuntos.
2.3.7. Axioma de sustitución de iguales. Si f : A ÝÑ B, s P A y s “ t, entonces t P A y fptq “ fpsq.
2.3.8. Axioma de igualdad de funciones. Las funciones f y g son iguales (f “ g) si y sólo si tienen el mismo dominio A y además si a P A, entonces fpaq “ gpaq.
2.4. Predicados 19
2.4. Predicados
Cuando se hable acerca de un objeto y no se especifique en qué conjunto está se sobreen- tenderá que está en un conjunto U llamado conjunto universo. Por ejemplo cuando se habla acerca de personas, el conjunto universo al cual pertenecen las personas es el conjunto de todos los seres humanos. Si las personas en cuestión habitan en una cierta ciudad, entonces el conjunto universo puede tomarse como el conjunto de habitantes de dicha ciudad. Cuando se habla de números puede considerarse como universo al conjunto de números reales. Si se habla de países se puede considerar como universo al conjunto de países del mundo.
2.4.1. Definición. Diremos que un símbolo p es un predicado, si es tal que si x es un objeto, entonces la expresión denotada por ppxq será una proposición. Cuando p sea un predicado y tengamos una expresión ppxq, donde se sobreentienda que x está en algún conjunto U , al conjunto U lo llamamos universo del discurso o conjunto universo del predicado p. Cuando x no sea un elemento del universo del discurso de p, supondremos que ppxq es una proposición falsa. Cabe aclarar que es posible que algunos predicados no tengan conjunto universo debido a no estar especificado ni sobreentendido cuál es el conjunto universo.
Es decir si p es un predicado cuyo conjunto universo es U y x P U , entonces ppxq es una proposición. Recordemos que si ppxq es una proposición, entonces tiene un único valor de verdad, ya sea verdadero o falso. Se puede interpretar como predicado p a una afirmación que diga algo sobre un objeto desconocido en el universo. Generalmente si no sabemos de qué objeto x se trata, tampoco sabremos si ppxq es verdadera o falsa. Con la restricción ppxq ‰ x evitamos construir proposiciones que hablen de sí mismas.
2.4.2. Ejemplo. Sea U el conjunto de mexicanos y ppxq la proposición «x es un médico mexicano». Tal proposición ppxq tiene un valor de verdad, pero tal valor de verdad depende de quién sea x. Si x es médico, entonces ppxq es verdadera; si x no es médico, entonces ppxq es falsa. Gramaticalmente hablando, el predicado sería «es un médico mexicano». Si x fuera «Juan Sánchez Gutiérrez», entonces ppxq se expresaría diciendo «Juan Sánchez Gutiérrez es un médico mexicano».
2.4.3. Ejemplo. Sea U “ R (conjunto de números reales) y qpxq la proposición expresada mediante la fórmula «3x ` 2 “ 0». En el caso en que x “ ´2
3 la proposición es verdadera y
en cualquier otro caso la proposición es falsa.
2.4.4. Ejemplo. Veamos un ejemplo donde se puede ver el por qué es necesario pedir para un predicado p que ppxq ‰ x. Si ppxq es la afirmación «x es una proposición falsa», entonces no podemos tener que ppxq “ x ya que si x fuera una proposición verdadera, entonces ppxq sería falsa, pero como ppxq “ x, concluimos que x es verdadera y falsa a la vez, contradiciendo el hecho de que toda proposición tiene un único valor de verdad. Ahora bien, si x fuera una proposición falsa, entonces ppxq sería verdadera, y de nuevo como ppxq “ x, tendríamos que x es verdadera y falsa a la vez, contradiciendo nuevamente el hecho de que toda proposición tiene un único valor de verdad.
2.4.5. Definición. Se dice que x es el único objeto que satisface ppxq, si ppxq es verdadera y ppaq ùñ a “ x, para cualquier objeto a.
2.4.6. Axioma de especificación de conjuntos. Sea p un predicado cuyo conjunto
20 2.4. Predicados
universo es U . Existe un único conjunto A cuyos elementos son todos los objetos x en U tales que la proposición ppxq es verdadera.
2.4.7. Definición. Al conjunto A dado en el axioma de especificación de conjuntos se le llama conjunto solución de p y se le denota por
tx : ppxqu
o por tx P U : ppxqu,
si se quiere hacer énfasis en el conjunto universo U del predicado p. A veces se utiliza la notación tx|ppxqu en lugar de tx : ppxqu. En general, si A es un conjunto cualquiera y p es un predicado, la expresión
tx P A : ppxqu
representará al conjunto tx : x P A y ppxqu.
Cuando tengamos un símbolo no definido x, y p sea un predicado, en la expresión ppxq, al símbolo x se le llama variable o variable libre y a la expresión ppxq se le llama fór- mula o proposición abierta. En tal caso llamaremos conjunto solución de la fórmula o proposición ppxq al conjunto solución del predicado p. El dominio de la variable x será por definición el universo del discurso de p.
Observemos que cualquier conjunto es el conjunto solución de algún predicado, pues si A es un conjunto, entonces
A “ tx : x P Au
(donde se está tomando como dominio de la variable x en la proposición x P A a un conjunto U tal que todo elemento de A sea también un elemento de U).
2.4.8. Notación. A los conjuntos tx : x “ au, tx : x “ a ó x “ bu, tx : x “ a, x “ b ó x “ cu, etc. se les denotará respectivamente como tau, ta, bu, ta, b, cu, etc. Se dice que esta última notación describe al conjunto por listado de sus elementos. Es decir se ponen entre llaves todos los elementos del conjunto separados por comas. Esto es posible hacerlo solamente cuando los conjuntos tienen un número finito de elementos.
En algunas proposiciones aparecen dos variables y el valor de verdad de tales proposiciones depende del valor que tomen cada una de las variables. Por ejemplo, en la proposición «x y» su valor de verdad no solamente depende del valor de x, sino también del de y; el valor de verdad de la proposición «los zapatos del modelo x son para practicar el deporte y» depende tanto del modelo como del deporte. Estableceremos así el concepto de predicado de dos variables.
2.4.9. Definición. Diremos que un símbolo q es un predicado de dos variables, si es tal que cuando x e y sean objetos, la expresión denotada por qpx, yq será una proposición.
2.4.10. Definición. Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A está incluido en B si para cualquier objeto x se tiene que x P A ùñ x P B. Al hecho de que A esté incluido en B se le denota por
A B
2.4. Predicados 21
o por B A
aunque la segunda notación se acostumbra leer como «B incluye a A» o «B contiene a A». La notación A B significa que todos los elementos de A son también elementos de B. Cuando A B también se dice que A es subconjunto de B o que A está contenido en B. Para evitar confusiones trataremos de evitar usar el término «contenido en» debido a que a veces se toma como sinónimo de «pertenece a» y no de «incluido en».
U
A
B
A B
2.4.11. Ejemplo. Si A es el conjunto de patos y B el conjunto de aves, entonces A B debido a que todos los patos son aves. Es decir, si x es pato, entonces x es ave.
2.4.12. Ejemplo. tx : 3x` 2 “ 0u tx : x2 “ 4 9 u. Observemos que tx : 3x` 2 “ 0u “ t´2
3 u
3 , 2
3 u.
2.4.13. Notación. A la negación de A B se le denotará A {B. Así mismo, cuando tenga- mos que A B pero A ‰ B, diremos que A está incluido propiamente en B. Cualquiera de las expresiones A B ó B A denotarán el hecho de que A está incluido propiamente en B.
2.4.14. Axioma de igualdad de conjuntos. Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A B y B A. Es decir,
A “ B ðñ pA B y B Aq.
2.4.15. Axioma de existencia del conjunto potencia. Si A es un conjunto, entonces existe un conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Dicho de otra manera; si A es un conjunto, entonces existe un conjunto B tal que x P B si y sólo si x A.
2.4.16. Definición. Sea A un conjunto. Al conjunto cuyos elementos son todos los subcon- juntos de A se le llama el conjunto potencia de A y se le denota por ppAq ó por 2A. La notación 2A se deberá usar solamente cuando el contexto no permita confusión.
2.4.17. Ejemplo. Si A “ ta, b, cu, entonces ppAq “ ttu, tau, tbu, tcu, ta, bu, ta, cu, tb, cu, ta, b, cuu.
22 2.4. Predicados
El siguiente axioma expresa que dados dos conjuntos cualesquiera siempre hay un conjunto «más grande» que los dos, es decir un conjunto del cual los conjuntos dados son subconjuntos.
2.4.18. Axioma. Si A y B son conjuntos, entonces existe un conjunto U tal que A U y B U .
2.4.19. Definición. Sean A y B dos conjuntos. Definimos la unión de A y B como el conjunto
tx P U : x P A ó x P Bu,
donde U es un conjunto tal que A U y B U . La definición anterior tiene sentido debido al axioma 2.4.18.
Se puede demostrar que la definición anterior no depende de cuál sea el conjunto U siempre que cumpla con las propiedades. A la unión de A y B se le denota por
AYB
y es el conjunto de todos los objetos que pertenecen a A ó a B.
2.4.20. Definición. Sean A y B dos conjuntos. Definimos la intersección de A y B como el conjunto
tx P AYB : x P A y x P Bu
el cual se denota por AXB
y es el conjunto de todos los objetos que son elementos tanto de A como de B.
Definamos ahora la resta de dos conjuntos.
2.4.21. Definiciones y notaciones. Sean A y B dos conjunto. Definimos la resta de A con B, denotada AzB, como
AzB :“ tx P A : x R Bu.
El anterior es el conjunto de todos los elementos de A que no están en B. Así mismo, definimos la diferencia simétrica de A y B como el conjunto
A4B :“ pAzBq Y pBzAq.
El anterior es el conjunto de todos los elementos de AYB que no están en AXB.
2.4.22. Axioma. Supongamos que p y q son predicados. Si ppxq es verdadera para algún x y además ppxq ùñ qpxq, entonces qpxq es verdadera para algún x.
2.4.23. Definición. Decimos que un conjunto A no tiene elementos si dado cualquier objeto a, se tiene que a R A.
A continuación enunciaremos nuestro primer teorema el cual afirma la existencia de con- juntos sin elementos.
2.4.24. Teorema. Existe un conjunto que no tiene elementos.
Demostración. Haremos la demostración detallada y en varios pasos. Pondremos entre paréntesis la justificación de cada paso.
2.4. Predicados 23
a) Sea B un conjunto. (Axioma de existencia de conjuntos 2.4.15).
b) Sea a un objeto. (Como los conjuntos son objetos, entonces por a) y por el axioma 2.4.22, podemos hablar de la existencia de objetos).
c) a R BzB. (Si a P BzB, entonces a P B y a R B; pero alguna de las proposiciones a P B ó a R B es falsa puesto que una es la negación de la otra, por lo tanto se concluye a R BzB por reducción a lo absurdo).
d) BzB no tiene elementos. (Paso c) y significado o definición de no tener elementos). ‚
2.4.25. Teorema. Existe solamente un conjunto que no tiene elementos.
Demostración. Por el teorema 2.4.24 existe al menos un conjunto que no tiene elementos. Sean A y B conjuntos que no tienen elementos. Como A y B no tienen elementos, entonces las proposiciones x P A y x P B son falsas, por lo cual x P A ùñ x P B y además x P B ùñ x P A, es decir A B y B A, y de acuerdo al axioma de igualdad de conjuntos 2.4.14 concluimos que A “ B. ‚
2.4.26. Definiciones. Al único conjunto que no tiene elementos se le llama conjunto vacío. Al conjunto vacío se le denota por ∅ ó por tu. Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos o ajenos si su intersección es el conjunto vacío, es decir si no tienen elementos en común. Cuando la intersección de A y B no es el conjunto vacío, decimos que estos conjuntos se intersecan.
Bernard Russell
1872-1970
Podríamos preguntarnos sobre la existencia de un «superconjunto» S, es decir un conjun- to S al cual pertenezcan todos los objetos, en particular todos los conjuntos. Tal pregunta se puede responder por medio del planteamiento si- guiente conocido como paradoja de Russell, en honor del matemático británico Bernard Rus- sell quien lo planteo por primera vez en 1901: «Suponiendo la existencia de tal conjunto S. Sea A “ tx P S : x R xu y preguntémonos ¿A P A? Si la respuesta es sí, entonces A R A, lo cual es una contradicción (estamos suponiendo que S es un superconjunto, por lo que A debe pertenecer a S). Si la respuesta es no, entonces A R A, por lo que A es elemento de A, es decir A P A, tenien- do de nuevo una contradicción». La paradoja de Russell es similar a la del barbero que dice: «En un pueblo hay un barbero (hombre) que afeita solamente a todos los hombres del pueblo que no se afeitan ellos mismos. ¿Quién afeita al barbero?»
El razonamiento anterior nos lleva a que no es posible la existencia de un conjunto S al cual pertenezcan absolutamente todos los conjuntos y menos al cual pertenezcan todos los
24 2.4. Predicados
objetos pues el suponer la existencia de tal conjunto nos lleva a contradicciones. El axioma siguiente evita la existencia de un conjunto S en el cual S P S.
2.4.27. Axioma. Si A es un conjunto y B A, entonces A R B. En particular A R A.
El axioma 2.4.27 afirma que ningún conjunto es elemento de sí mismo. Por ejemplo, si A es el conjunto de caballos en la Tierra, entonces cualquier elemento de A es un caballo, pero el conjunto de todos los caballos no es un caballo, por lo que A R A. Tomemos otro ejemplo. Si N es el conjunto de los números naturales, entonces N R N pues N no es un número natural, N no es el 1, ni el 2, ni el 3, ni ningún otro número natural. La naturaleza del axioma 2.4.27 no es de lo que está permitido hacer con los conjuntos, sino de lo que no está permitido hacer con los conjuntos.
2.4.28. Teorema. Si A es un conjunto, existe un conjunto B tal que A está incluido pro- piamente en B.
Demostración. Supongamos que A es un conjunto y definamos al conjunto B como B “ A Y tAu. Tenemos que A P B y A B, pero por el axioma 2.4.27 tenemos que A R A, de manera que A ‰ B, por lo tanto A está incluido propiamente en B. ‚
Ejercicios.
1. De las siguientes proposiciones decir cuales son falsas y cuales son verdaderas (justificar las respuestas).
a) 5 P t5, 6u. b) 5 “ t5u.
c) t5u t5, 6u. d) t5u P t5, 6u.
e) t5u P t5, 6, t5, 6uu. f) t5u P t5, 6, t5uu.
g) t5u t5, 6, t5uu. h) t5u t5, 6, t5, 6uu.
i) t5, 6u P t5, 6, t5uu. j) t5, 6u P t5, 6, t5, 6uu.
k) ∅ ∅. l) t5, 6u “ t6, 5, 6, 6u.
m) tu “ ttuu. n) ∅ P t5, 6u.
ñ) ∅ t5, 6u. o) t4, 5, 6u X t5, 6, 7, 8u “ t5, 6, 6, 5, 5u.
p) t4, 5, 6u Y t5, 6, 7, 8u “ t5, 6, 7, 8u. q) ∅ P ∅.
2. Expresar los siguientes conjuntos por listado de sus elementos.
a) t4, 5, 6, 7u X t5, 6, t5, 6uu.
b) t4, 5, 6, 7u Y t5, 6, t5, 6uu.
c) t4, 5, 6, 7u X tt5, 6uu.
d) tx : x es un número entero tal que 2x “ 8 ó x2 “ 49u.
e) tx : x es un número entero tal que 2x “ 8 ó x2 “ 15u.
f) tx : x es un número real tal que 2x “ 8 ó 5x “ 18u.
g) tx : x es un número entero tal que 2x “ 8 ó 5x “ 18u.
2.4. Predicados 25
h) tx : x es un número real tal que 2x “ 8 y 5x “ 18u.
i) {Pedro, Rodrigo, Ramón, Silvia, Poncio, Rosa, Pamela}XA, dondeA es el conjunto de todas las personas cuyo nombre comienza con la letra «P».
26 2.5. Los cuantificadores universal y existencial
2.5. Los cuantificadores universal y existencial
«Et remarquant que cette vérité: je pen- se, donc je suis, était si ferme et si assurée, que toutes les plus extravagantes supposi- tions des sceptiques n’étaient pas capables de l’ébranler, je jugeai que je pouvais la re- cevoir sans scrupule pour le premier prin- cipe de la philosophie que je cherchais.»
«Y notando que esta verdad: “yo pienso, por lo tanto soy” era tan firme y cierta, que no podían quebrantarla ni las más extravagantes suposi- ciones de los escépticos, juzgué que podía ad- mitirla, sin escrúpulo alguno, como el primer principio de la filosofía que estaba buscando» (Renato Cartesio, fragmento de Discurso del Método, 1637).
2.5.1. Notación. Sea p un predicado, la expresión
@x, ppxq
es la proposición que dice que para cualquier x la proposición ppxq es verdadera y se lee «para todo x, ppxq».
Como ejemplo de un predicado p que haga que la proposición @x, ppxq sea siempre ver- dadera tenemos al predicado p en el cual ppxq significa x “ x. En este caso la expresión «@x, x “ x» es una proposición verdadera.
Si se quiere ser más específico en cuanto al dominio de la variable x se escribe
@x P A, ppxq
lo cual significa @x, x P A ùñ ppxq.
Interpretamos el significado de @x P A, ppxq como la proposición que indica que para cualquier x perteneciente a A la proposición ppxq es verdadera y se lee «para todo x en A, ppxq».
Ahora, la expresión Dx, ppxq
es la proposición que dice que existe al menos un x tal que ppxq es verdadera y se lee «existe un x tal que ppxq». En este caso la expresión existe un x se refiere a que existe un x en algún conjunto dado. Si se quiere ser más específico se escribe
Dx P A, ppxq
lo cual significa Dx, x P A y ppxq
y es la proposición que indica que existe al menos un x perteneciente al conjunto A tal que ppxq es verdadera y se lee «existe un x en A tal que ppxq».
2.5.2. Definición. Al símbolo @ se le llama cuantificador universal y al símbolo D se le llama cuantificador existencial.
2.5.3. Axioma. Si para todo x, las proposiciones ppxq y qpxq son proposiciones equivalentes; entonces
Dx, ppxq ðñ Dx, qpxq
2.5. Los cuantificadores universal y existencial 27
y @x, ppxq ðñ @x, qpxq.
2.5.4. Axioma (leyes de de Morgan). Si p es un predicado, entonces
p @x, ppxqq ðñ Dx, ppxq
y p Dx, ppxqq ðñ @x, ppxq.
El axioma anterior expresa que el hecho de negar que una proposición ppxq sea válida para todo x es equivalente a decir que hay al menos un x para el cual la proposición ppxq no se cumple. También expresa que el hecho de que no exista un x para el cual la proposición ppxq sea verdadera, equivale a decir que todo x hace la proposición ppxq falsa o que ningún x hace que se cumpla ppxq (decir que ppxq no se cumple significa lo mismo que decir que ppxq es verdadera).
Siempre que tengamos una fórmula de la forma ppxq (donde p es un predicado y x una variable) querremos decir @x, ppxq.
Los axiomas anteriores se pueden utilizar cuando tengamos cuantificadores múltiples, por ejemplo una proposición de la forma @x, Dy, ppxq ùñ qpyq es equivalente a Dx, @y, (ppxq y qpyq), pues negar que ppxq implica qpyq equivale a afirmar que se cumple ppxq y no se cumple qpyq.
2.5.5. Ejemplo. Negar que para todo número real positivo x existe un número natural N tal que N x equivale a decir que existe algún número real positivo x tal que para todo número natural N se cumpla que N x.
Aunque pueda no gustarnos, en español la frase «no existe ningún x» significa «no existe algún x», «ningún x» o simplemente «no existe x», es decir la expresión «no existe ningún» no es una doble negación, sino más bien una confirmación de una negación. Algo similar sucede con expresiones como «no tienes nada» que significa «no tienes algo».
2.5.6. Ejemplo. Una forma de negar la frase «todos los peruanos tienen un hermano que es médico» es con la frase «algún peruano no tiene un hermano que es médico» o con la frase «existe algún peruano tal que ninguno de sus hermanos sea médico».
28 2.6. El recorrido de una función
2.6. El recorrido de una función
2.6.1. Definición. Sea f : A ÝÑ B. Definimos el recorrido de f como
ty P B : Dx P A, y “ fpxqu .
Al recorrido de f lo denotaremos por Rpfq.
Observemos que el recorrido de f es un subconjunto del conjunto B.
2.6.2. Ejemplo. El recorrido de la función f : x ÞÑ x2 ` 1 es Rpfq “ ty : y 1u.
2.6.3. Ejemplo. El recorrido de la función
g : t1, 2, 3, 4, 5u ÝÑ nÞÑ2n´1
t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9u
es Rpgq “ t2 ¨ 1´ 1, 2 ¨ 2´ 1, 2 ¨ 3´ 1, 2 ¨ 4´ 1, 2 ¨ 5´ 1u “ t1, 3, 5, 7, 9u.
2.6.4. Axioma. Si f es una función, entonces f no pertenece ni al dominio ni al recorrido de f .
El axioma anterior es de la misma naturaleza del que afirma que un conjunto no pertenece a sí mismo y del hecho de que una proposición no hable de sí misma.
2.6.5. Axioma. Sea Λ un conjunto tal que para todo elemento λ de Λ existe un único objeto denotado por aλ (es decir para todo λ P Λ existe un único y tal que y “ aλ). Existe una única función τ cuyo dominio es Λ tal que τ : λ ÞÑ aλ.
Para evitar confusiones siempre será sano que un mismo símbolo no represente más de un objeto aunque muy frecuentemente un mismo objeto se representará con diferentes símbolos.
2.6.6. Notación. Si tenemos que el dominio de una función τ : λ ÞÑ aλ es Λ, entonces la expresión taλ : λ P Au representará al conjunto tx P Rpτq : existe un λ P Λ X A tal que x “ aλu. Cuando por alguna razón se sobreentienda cual es el conjunto A al cual pertenecen los λ, entonces podremos escribir simplemente taλu en lugar de taλ : λ P Au.
2.6.7. Teorema de funciones seccionadas. Sean f : D ÝÑ B y g : C ÝÑ B funciones tales que si e P D X C, entonces fpeq “ gpeq. Existe una única función h : D Y C ÝÑ B tal que si d P D, entonces hpdq “ fpdq y si c P C, entonces hpcq “ gpcq.
Demostración. Sea Λ “ D Y C, aλ “ fpλq para λ P D y aλ “ gpλq para λ P ΛzD “ CzD. Por el axioma 2.6.5 existe una única función h : Λ ÝÑ B tal que hpλq “ aλ. Ahora, si d P D, entonces hpdq “ ad “ fpdq. Si c P C, tenemos que c P CzD ó c P C X D; en el primer caso hpcq “ ac “ gpcq; en el segundo caso hpcq “ ac “ fpcq “ gpcq. Por lo tanto la función h satisface las condiciones del teorema. Para ver que h es la única función que satisface las condiciones del teorema tomemos una función k : D Y C ÝÑ B tal que si d P D, entonces kpdq “ fpdq y si c P C, entonces kpcq “ gpcq. Si d P D, entonces kpdq “ fpdq “ hpdq y si c P C, entonces kpcq “ gpcq “ hpcq, por lo que k “ h, es decir h es la única función que satisface las condiciones del teorema. ‚
2.6.8. Ejemplo. Sean f : tx : x 0u ÝÑ R y g : tx : x 0u ÝÑ R tales que fpxq “ x y gpxq “ ´x. La intersección de Dompfq “ tx : x 0u con Dompgq “ tx : x 0u es {0}
2.6. El recorrido de una función 29
y fp0q “ gp0q, por lo que de acuerdo al axioma anterior existe una función h : R ÝÑ R tal que si x 0, entonces hpxq “ x y si x 0, entonces hpxq “ ´x. El lector que tenga conocimientos básicos de matemáticas podrá darse cuenta que hpxq “ |x|, el valor absoluto de x.
2.6.9. Notación. Sean f , g y h como las dadas en el teorema de funciones seccionadas, y además p y q predicados cuyos conjuntos solución son A y B respectivamente. Denotaremos hpxq como:
hpxq “
fpxq, si x P A
gpxq, si x P B.
En la descripción anterior, se acostumbra decir que la función h es una función seccio- nada.
2.6.10. Ejemplo. La función h del ejemplo 2.6.8 está dada por
hpxq “ |x| “
x, si x 0
´x, si x 0.
2.6.11. Definición. Si f : A ÝÑ C y B A, definimos la restricción de f al conjunto B como la función denotada por f |B y definida por
f |B : B ÝÑ x ÞÑfpxq
C.
2.7. Uniones e intersecciones arbitrarias En esta sección se usará frecuentemente el concepto de familia de conjuntos.
2.7.1. Definición. Se acostumbra llamar familia o colección a los conjuntos cuyos elemen- tos son conjuntos. Decimos que una familia de conjuntos es disjunta o que sus elementos son conjuntos disjuntos si dos conjuntos diferentes cualesquiera de la familia son disjuntos. Es decir, los elementos de una familia de conjuntos F son disjuntos si A P F, B P F y A ‰ B implica que AXB “ ∅.
El siguiente axioma es una generalización del axioma 2.4.18.
2.7.2. Axioma. Sea F una familia de conjuntos. Existe un conjunto U tal que si A P F y a P A, entonces a P U .
2.7.3. Definición. Sea F una familia de conjuntos y U como en el axioma anterior. Definimos la unión de todos los conjuntos de F como
ta P U : DA P F, a P Au ;
este conjunto se denota como
APF
Es decir,
APFA es el conjunto de todos los objetos que pertenecen al menos a un elemento de la familia F.
2.7.4. Definición. Sea F una familia de conjuntos. Definimos la intersección de todos los conjuntos de F como el conjunto
ta : @A P F, a P Au ;
este conjunto se denota como
APF
λ ÞÑAλ F, tomaremos las siguientes notaciones:

λPΛ
APRpq
A,
donde Rpq es el recorrido de . En la notación anterior a los elementos λ de Λ se les llama índices y al conjunto Λ se le
llama conjunto de índices. Observemos que
2.7. Uniones e intersecciones arbitrarias 31

λPΛ
y
Aλ “ tx : @λ P Λ, x P Aλu .
Cuando q es un predicado cuyo conjunto universo es Λ, acordaremos las siguientes nota- ciones:

qpλq
Aλ :“ tx : Dλ P Λ, x P Aλ y qpxqu
y
Aλ :“ tx : @λ P Λ, x P Aλ y qpxqu .
2.7.5. Axioma de elección. Sea F una familia de conjuntos no vacíos. Existe una función
ψ : F ÝÑ
APF
A
tal que @A P F, se tiene que ψpAq P A.
La función ψ dada en el axioma de elección asigna a cada conjunto de la clase F un «representante» a “ ψpAq en A. Por ejemplo, si nuestra familia de conjuntos está formada por los grupos de alumnos de una escuela, de cada grupo se puede escoger un alumno de tal manera que cada grupo tenga un único representante. Si algún alumno pertenece a varios grupos es posible que sea representante de uno, varios o ningún grupo.
Una forma alternativa de interpretar las leyes de de Morgan es a través del siguiente teorema cuya demostración se sigue precisamente de las leyes de de Morgan, de la notación establecida en esta sección y de la definición que hemos dado para la unión e intersección de una familia de conjuntos.
2.7.6. Teorema. Si tAλ : λ P Λu es una colección de conjuntos incluidos en un conjunto U , entonces
Uz
λPΛ
pUzAλq.
2.7.7. Definición. A los axiomas que se han enunciado hasta este momento, es decir a los 18 axiomas de este capítulo, los llamaremos axiomas básicos.
32 2.8. Notaciones de uso común
2.8. Notaciones de uso común En esta breve sección daremos algunos símbolos y notaciones que generalmente son usadas
para abreviar la escritura, algunos de ellos son más usados en los apuntes de libreta y en la escritura de pizarrón, otras en cambio llegan a usarse en textos. El uso de esta terminología se suele usar según el estilo y criterio de quien escribe.
El símbolo ðù significa «es necesario para», por ejemplo pðù q se lee «p es necesario para q», es decir pðù q significa q ùñ p.
El símbolo 6 representa la frase «por lo tanto».
El símbolo « significa aproximadamente igual, por ejemplo a « b se lee «a es aproxi- madamente igual a b».
El símbolo # significa la palabra «número».
El símbolo significa muy grande, por ejemplo a b se lee «a es muy grande comparado con b».
.
El símbolo 7 representa la frase «puesto que» o «como». Este símbolo es poco usado.
La abreviación de origen latín i.e. significa «es decir».
La abreviación de origen latín cf. significa «comparar».
El símbolo :“ significa «igual por definición» y se emplea para definir algo mediante una igualdad, por ejemplo a :“ b significa que se está definiendo a de tal manera que a “ b.
El símbolo ‚ lo usaremos y de hecho lo hemos usado para indicar el fin de una demos- tración.
Para indicar que a P A^ b P A se puede escribir simplemente a, b P A.
Cuando no se especifique, ppaq ùñ qpbq significará @a, @b, ppaq ùñ qpbq.
Los símbolos N, Z, Q, R, P y C representan los conjuntos de los números naturales, ente- ros, racionales, reales, positivos y complejos respectivamente; los cuales se establecerán posteriormente; aunque a veces se les representa por N, Z, Q, R, P y C.
Capítulo 3
ELEMENTOS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS
3.1. Axiomas de Peano Al conjunto N que se describirá en esta sección se le llama conjunto de números natu-
rales. Los axiomas dados en esta sección se conocen como axiomas de Peano y describen al
conjunto N de los números naturales. Los 5 axiomas de Peano se enuncian a continuación.
3.1.1. Axiomas de Peano. Existe un conjunto N que satisface las siguientes proposiciones:
a) Existe un objeto, denotado por 1, tal que 1 P N.
b) Existe una función que a cada número natural n le asigna otro número natural, denotado n` 1; es decir la función es tal que n ÞÑ n` 1.
c) Si n P N, entonces n` 1 ‰ 1.
d) Si n P N, m P N y n` 1 “ m` 1, entonces n “ m.
e) Si M es un subconjunto de N que cumple con las siguientes propiedades:
I) 1 PM ;
II) n PM ùñ n` 1 PM , para todo n P N;
entonces N “M .
3.1.2. Definiciones. Al número 1 dado en el axioma 3.1.1 a) se le llama uno. Al n&ua