matemáticas ingeniería telecomunicaciones

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Grado en Ingeniería de las

Tecnologías de Telecomunicación

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II

CURSO 2015-2016

Índice general

1. Derivación de funciones de varias variables 3

2. Aplicaciones de la derivada 6

3. Cálculo de Primitivas 10

4. Aplicaciones de la Integral 13

5. Integración Múltiple 16

6. Análisis Vectorial 20

2

Capítulo 1

Derivación de funciones de

varias variables

1. Hallar las derivadas parciales de primer orden de las funciones:

a) = √.

b) = 22.

c) ( ) = sen.

d) =

2 + 2.

2. Evaluar y en los puntos que se indican:

a) ( ) = arctan

en (2−2).

b) ( ) =

− en (1−1).

3. Calcular las pendientes de las superficies en las direcciones de e en

el punto indicado:

a) = 4− 2 − 2 en (1 1 2).

b) = − cos en (0 0 1).

4. Calcular todas las derivadas parciales de primer orden de las funciones:

a) =p2 + 2 + 2.

b) ( ) = lnp2 + 2 + 2.

c) = sen (+ 2 + 3).

3

Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 4

5. Evaluar , y en el punto dado.

a) ( ) =p32 + 2 − 22 en (1−2 1).

b) ( ) = sen (+ ) en (0 2 4).

6. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de las funciones:

a) = 2 − 2 + 32.b) ( ) = ln

2 + 2.

c) = 2 + − 2.

d) ( ) = − sen .

7. Calcular

utilizando la regla de la cadena:

a) =p2 + 2, = cos , = .

b) = 2 + 2 + 2, = cos , = sen , = .

8. Calcular

por derivación implícita:

a) lnp2 + 2 + = 4.

b) cos+ tan + 5 = 0.

9. Calcular

y

por derivación implícita:

a) 2 + 2 + 2 = 1.

b) + = 0.

10. Calcular las primeras derivadas parciales de por derivación implícita:

a) 2 + 2 + 3 − 3− 2 = 4.

b) cos () + sen + = 20.

11. Calcular la derivada direccional de la función en el punto y en la direc-

ción del vector dados:

a) ( ) = , = (2 3), = (1 1).


b) ( ) = sen , = (1 2), = (−1 0).

c) ( ) = + + 2, = (1 1 1), = (2 1− 1).

12. Hallar el gradiente de la función en el punto dado:

a) = cos (2 + 2), = (3−4).b) = 32 − 5 + 2, = (1 1−2).

13. Hallar el gradiente de la función y el valor máximo de la derivada

direccional en el punto dado:

a) ( ) = tan , = (2 4).

b) ( ) = , = (2 0−4).

14. Hallar un vector normal y la ecuación de la recta tangente a la curva

de nivel de ( ) =

2 + 2que pasa por el punto = (1 1).

15. Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la su-

perficie dada en el punto indicado:

a) =

, = (1 2 2).

b) = (sen + 1), = (0 2 2).

c) 2 + 3− 2 = 4, = (2 1−2).

16. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva intersección de las

superficies dadas en el punto indicado:

a) 2 + 2 = 5, = , = (2 1 2).

b) = 2 + 2, + + 6 = 33, = (1 2 5).

Capítulo 2

Aplicaciones de la derivada

1. Determinar los valores máximos y mínimos absolutos de las siguientes

funciones, en el intervalo dado, y los puntos en los que se alcanzan:

a) () = 3 − 32 − 12+ 3, −2 ≤ ≤ 1.b) () = 4 − 22 + 3, 0 ≤ ≤ 4.c) () = 13, −1 ≤ ≤ 8.d) () = 2− ||, −1 ≤ ≤ 3.e) () = |− 2|+ |+ 3|, −5 ≤ ≤ 5.f ) () =

3

4(2 − 1)23, −3 ≤ ≤ 2 .

g) () = + sen 2, − ≤ ≤ .

h) () = ln(cos), −4≤ ≤

3.

i) () = − 2, 0 ≤ ≤ 1.

2. Calcular los puntos críticos y los valores extremos (relativos y absolu-

tos) de cada una de las siguientes funciones:

a) () = 23(+ 2).

b) () = √4− 2.

c) () =

½ −2 − 2+ 4 ≤ 1−2 + 6− 4 1

d) () = 2 ln1

.

6


3. Determinar los intervalos abiertos de crecimiento y decrecimiento de

las siguientes funciones. Obtener, si existen, los extremos relativos y

absolutos de cada función, indicando los puntos en los que se alcanzan.

a) () = −3 + 22.b) () = 4 − 82 + 16.c) () = − 6√− 1.

d) () =2 − 3− 2 , 6= 2.

e) () = sen 2, 0 ≤ ≤ .

f ) () =√3 cos+ sen, 0 ≤ ≤ 2.

4. Obtener los máximos y mínimos locales, los puntos de inflexión y los

intervalos donde las siguientes funciones son cóncavas o convexas:

a) () =1

44 − 22 + 4.

b) () =3

4(2 − 1)23.

c) () = + sen 2, −23≤ ≤ 2

3.

5. Dibujar las gráficas de las siguientes funciones, obteniendo previamente

los valores extremos, los puntos de inflexión y las asíntotas cuando

existan.

a) () = 43 − 4, () =√

2 + 1, () = 2− 23.

b) () =2 − 3− 2 , () =

8

2 + 1, () =

1

2 − 1 .

c) () = −2 − 2

2 − 1 , () =4 + 1

2, () =

8

2 + 4.

6. Se desea hacer una caja rectangular abierta con una pieza de cartón de

8 por 15 , cortando en las esquinas cuadrados de las mismas di-

mensiones y doblando hacia arriba los lados ¿Cuáles son las dimensiones

de la caja que puede hacerse de esta manera con el mayor volumen?

¿Cuál es ese volumen?


7. Una parcela rectangular en una granja estará limitada en uno de sus

lados por un río, y por los otros tres lados por una cerca electrificada

con un sólo alambre. Si se cuenta con 800 metros de alambre ¿cuál es la

mayor área que puede ocupar la parcela y cuáles son sus dimensiones?

8. Se desea diseñar un cartel cuya área de impresión es de 50 2, con

márgenes superior e inferior de 4 y márgenes laterales de 2 cada

uno. ¿Qué dimensiones debe tener el cartel para minimizar la cantidad

de papel usado?

9. Determinar las dimensiones de un cilindro circular recto de volumen

máximo que se puede inscribir en una esfera de radio 10 ¿Cuál es

el volumen máximo?

10. Un triángulo cuya hipotenusa mide√3 metros de largo se hace girar

alrededor de uno de sus catetos para generar un cono circular recto.

Determinar el radio, la altura y el volumen del cono de mayor volumen

que se puede hacer de esta manera.

11. Un alambre de metros de largo se corta en dos partes. Una pieza

se dobla para formar un triángulo equilátero y la otra se dobla para

formar un círculo. Si la suma de las áreas encerradas por cada parte es

mínima ¿cuáles son las dimensiones de cada parte?

12. Encontrar y clasificar los puntos críticos de las siguientes funciones:

a) ( ) = 22 + 32 − 4− 12 + 13.b) ( ) = 2

p2 + 2 + 3.

c) ( ) = (2 + 42)1−2−2 .

d) ( ) = 2 − 3 − 2.

13. Calcular los extremos absolutos de ( ) en la región que se indica:

a) ( ) = 12− 3− 2 y es la región triangular en el plano

de vértices (2 0), (0 1) y (1 2).

b) ( ) = 32+22−4 y es la región del plano acotada porlas gráficas de las funciones = 2 y = 1.

c) ( ) = 2 + y := {( ) ∈ R2 : || ≤ 2 || ≤ 3}.d) ( ) = 2 + 2 + 2 y := {( ) ∈ R2 : 2 + 2 ≤ 8}.


e) ( ) =4

(2 + 1)(2 + 1)y

:= {( ) ∈ R2 : ≥ 0 ≥ 0 2 + 2 ≤ 1}14. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el

extremo que se pide con la restricción dada, siendo e positivos.

a) Minimizar ( ) = 2 − 2, sujeto a − 2 + 6 = 0.b) Maximizar ( ) =

p6− 2 − 2, sujeto a + − 2 = 0.

c) Maximizar ( ) = , sujeto a 2 + 2 = 8.

d) Minimizar ( ) = 2+ , sujeto a = 32.

e) Minimizar ( ) = 2 + 2 + 2, sujeto a + + − 6 = 0.f ) Maximizar ( ) = , sujeto a ++−32 = 0 −+ = 0.g) Maximizar ( ) = +, sujeto a +2−6 = 0 −3 = 0.

15. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar la

distancia mínima desde la recta 2+ 3 + 1 = 0 al punto (0 0).


distancia mínima desde la circunferencia ( − 4)2 + 2 = 0 al punto

(0 10).


distancia mínima desde el plano + + − 1 = 0 al punto (2 1 1).18. Encontrar el punto más alto de la curva dada por la intersección de las

superficies 2 + 2 + 2 = 36 y 2+ − = 2.

19. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar las

dimensiones de la caja rectangular de volumen máximo inscrita (con

sus aristas paralelas a los ejes coordenados) en el elipsoide

2

9+

2

16+

2

4= 1

20. Determinar los puntos de la curva 2+12+62 = 130 más cercanos

al origen.

21. Determinar los puntos más alto y más bajo de la elipse dada por la

intersección del cilindro 2 + 2 = 1 y el plano 2+ − = 4.

22. Un cable de 120 de largo se corta en tres o menos piezas y cada

pieza se dobla para formar un cuadrado ¿Cómo deben hacerse los cortes

para minimizar la suma de las áreas? ¿Y para maximizarla?

Capítulo 3

Cálculo de Primitivas

1. Las siguientes integrales indefinidas se obtienen usando la linealidad de

la integral y la tabla de integrales inmediatas.

a)

Z ¡12− 2 + 3

¢,

Z µ√+√

2

¶,

Z7 sen

3

b)

Z(sen 2− csc2 ) ,

Z(1 + tan2 )

Z1 + cos 4

2

2. Si = () es una función derivable cuyo rango es un intervalo , y

es continua en , entonces

Z(()) 0() =

Z() . Utilizando

este método de sustitución, calcular:

a)

Z1

−√ ,

Z√− 1 ,

Z1−

2

b)

Z

cos2,

Z2√+ 2 ,

Z √ sen2(32 − 1)

c)

Z r3 − 311

,

Z(− 1)10 ,

Z2 cos

1 + sen2

3. Usar la integración por partes

Z()0() = ()()−

Z 0()()

para calcular:

a)

Z sen(2) ,

Zarctan ,

Z2−2

b)

Zln2 ,

Z2 cos 3 ,

Zln

2

10


c)

Zcos√ ,

Zsen (ln) ,

Zarcsen

4. Utilizar la fórmula de integración por partes para obtener las siguientes

fórmulas de reducción:

a)

Z cos = sen−

Z−1 sen .

b)

Z sen = − cos+

Z−1 cos .

c)

Z =

−

Z−1 .

5. Con las fórmulas obtenidas en el ejercicio anterior, calcular:

a)

Z4 cos .

b)

Z42 .

6. Para calcular algunas de las siguientes integrales, hay que descomponer

la fracción en suma de fracciones simples.

a)

Z1

+ 1,

Z1

(+ 1)2,

Z+ 1

2 + 2+ 3

b)

Z1

2 + 2+ 3,

Z+ 3

2 + 2+ 3,

Z+ 3

3 − 4

c)

Z2 − + 2

3 − 1 ,

Z4 + 2 − 13 +

,

Z1

(2 − 1)2

7. Aplicando cos2 + sen2 = 1 y cos2 − sen2 = cos 2, calcular:

a)

Zcos2 ,

Zsen2 ,

Zcos2 sen2 .

b)

Zcos5 sen ,

Zcos5 ,

Zcos3 sen2 .

8. Las siguientes integrales pueden obtenerse mediante la fórmula de inte-

gración por partes, pero resultan más sencillas transformando los pro-

ductos de funciones en sumas con las fórmulas trigonométricas de la

página 539 de Larson. Calcular:Zcos 2 cos 6

Zcos 4 sen 6

Zsen 3 sen 6


9. Para calcular integrales con el factor√2 − 2 es conveniente usar el

cambio de variables = sen . Si el factor es√2 + 2, se aplica el

cambio = tan . Para el factor√2 − 2, usar = sec (Sección

8.4, página 543 de Larson). Calcular:

a)

Z √25− 2 ,

Z√9− 2

,

Z3√2 + 4

.

b)

Z8

2√4− 2

,

Z√1 + 4

,

Z √2 − 4

.

10. Calcular las siguientes integrales usando el método más adecuado en

cada caso:

a)

Z1√

(+ 2),

Z tan2 ,

Z5√2− 3 ,

Z2√25 + 2

.

b)

Z1

2 − + 1,

Z5+ 31

32 − 4+ 11 ,Z √

4 + 7 ,

Zcos√4− sen2 .

c)

Ztan

ln(cos),

Zln(1 + ) ,

Z √2 + 9 ,

Z4

2 − 2 .

d)

Z

(2 + 2+ 2)2,

Z1

1 + cos 2,

Z√1 + 2 .

e)

Z42 + + 1

43 +

Z43 − + 1

3 + 1,

Z82 − 4+ 7(2 + 1)(4+ 1)

.

f )

Zsen2 cos4 ,

Z

2

1 + 22 .

Capítulo 4

Aplicaciones de la Integral

1. Determinar el área encerrada por las gráficas de las siguientes funciones:

a) = 2, = −2 + 4.b) = 4 − 42 + 4, = 2.

c) =p||, 5 = + 6.

d) = 22, = 0, = 3.

e) = 2 sen, = sen 2, 0 ≤ ≤ .

2. Determinar el área de la región en el primer cuadrante acotada por la

recta = , la recta = 2, la curva = 12 y el eje .

3. La región encerrada por la parábola = 2 y la recta = 4 se divide en

dos regiones de igual área mediante una recta horizontal = . Obtener

el valor de .

4. Determinar el área de la región acotada a la izquierda por + = 2, a

la derecha por = 2 y arriba por = 2.

5. Determinar el área de la región encerrada por la curva = 23 y por

las rectas = , = −1.6. Calcular el volumen de un sólido que se encuentra entre los planos

= −1 y = 1. Las secciones transversales del sólido perpendicu-

lares al eje entre esos planos son cuadrados cuyas bases van desde la

semicircunferencia = −√1− 2 a la semicircunferencia =√1− 2.

7. Calcular el volumen del sólido cuya base es la región acotada por las

gráficas de = 3, = 6 y = 0 y las secciones perpendiculares al eje

son rectángulos de altura 10.

13


8. Calcular el volumen del sólido cuya base es el círculo 2 + 2 ≤ 1 y

cuyas secciones transversales son triángulos réctangulos isósceles deter-

minados por planos perpendiculares al eje , entre = −1 e = 1, conuno de los catetos en el círculo.

9. Calcular el volumen del sólido que se genera por la región acotada por

las gráficas de = 3, = 0 y = 2 al girar alrededor del eje y

alrededor de la recta = 2.

10. Calcular el volumen del sólido que se genera por la región acotada por

las gráficas de = 2 + 1 y = + 3 al girar alrededor del eje y

alrededor de la recta = −1.11. Calcular el volumen del sólido que se genera por la región acotada por

las gráficas de = 2 y = 4 al girar alrededor del eje , alrededor de

la recta = 2 y alrededor de la recta = 4.

12. El sólido que genera el círculo 2 + 2 ≤ cuando gira alrededor de la

recta = , con se denomina toro. Calcular el volumen del toro.

13. Se considera la región , acotada por la gráfica de una función positiva

= () y por las rectas = 0, = , = 0. Si el volumen

que se obtiene al hacer girar alrededor del eje es 4 y el que se

obtiene al girar la misma región alrededor de la recta = −1 es 8¿Cuál es el área de la región ?

14. Calcular el volumen del sólido generado por la región acotada por las

gráficas de = 2− 1, = √ y = 0 al girar alrededor del eje .15. Calcular el volumen del sólido generado por la región acotada por las

gráficas de =sen

, = 0, =

2y = al girar alrededor del eje

.

16. Una esfera de radio 5 se perfora diametralmente con un taladro de radio

3 ¿Cuál es el volumen de la parte taladrada? ¿Cuál es el volumen de

la parte que queda en la esfera? Si quisiéramos que el volumen de la

parte taladrada y la parte que permanece en la esfera fuese el mismo

¿cuál debería ser la longitud del radio del taladro?

17. Determinar la longitud de arco de las siguientes curvas:

a) = 13(2 + 2)32 ∈ [0 1].b) = 32 ∈ [0 4].


c) = (33) + (14) ∈ [0 3].

18. Determinar el área de la superficie del tronco de cono que se genera

al hacer girar el segmento de recta = (2) + (12) 1 ≤ ≤ 3,

alrededor del eje .

19. Determinar el área de la superficie que se obtiene al hacer girar la curva

= 39 0 ≤ ≤ 2 alrededor del eje y alrededor del eje .20. Determinar el área de la superficie que se obtiene al hacer girar la curva

= 2√4− 0 ≤ ≤ 154 alrededor del eje .

Capítulo 5

Integración Múltiple

1. Calcular las siguientes integrales iteradas:

a)

Z 1

0

Z 2

0

(+ ) .

b)

Z

0

Z sen

0

(1 + cos) .

c)

Z 1

0

Z

0

(√1− 2) .

d)

Z 1

0

Z √1−20

(+ ) .

2. Utilizar una integral iterada para calcular el área de la región limitada

por las gráficas:

a)√+√ = 2, = 0 = 0.

b) 2− 3 = 0, + = 5 = 0.

c)2

2+

2

2= 1.

3. Calcular la siguientes integrales iteradas. Si fuese necesario, cambiar el

orden de integración

a)

Z 2

0

Z 2

p1 + 3 .

b)

Z 1

0

Z 1

sen2 .

16


4. Calcular la integral doble sobre la región que se indica

a)

ZZ

, donde es el rectángulo con vértices (0 0), (0 5), (3 5)

y (3 0).

b)

ZZ

2 + 2, donde es el triángulo acotado por = , =

2, = 2.

c)

ZZ

−2 ln , donde es la región acotada por = 4 − 2,

= 4− .

d)

ZZ

, donde es la región del primer cuadrante acotada por

=√25− 2, 3− 4 = 0, = 0.

5. Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las siguientes

funciones:

a) 2 + 2 = 1, 2 + 2 = 1, en el primer octante.

b) = , = 0, = , = 1, en el primer octante.

c) = + , 2 + 2 = 4, en el primer octante.

6. Calcular las siguientes integrales iteradas, usando coordenadas polares:

a)

Z

0

Z √2−2

0

.

b)

Z 2

0

Z √2−2

0

.

c)

Z 2

0

Z

0

p2 + 2 +

Z 2√2

0

Z √8−2

0

p2 + 2 .

7. Calcular la integral doble sobre la región que se indica:

a)

ZZ

( + ) , donde es la región acotada por 2 + 2 ≤ 4,

≥ 0, ≥ 0.


b)

ZZ

arctan

, donde es la región acotada por 2 + 2 ≥ 1,

2 + 2 ≤ 9, ≥ 0, ≥ 0.

8. Calcular el volumen del sólido acotado por las siguientes superficies:

a) =p2 + 2, = 0, 2 + 2 = 25.

b) Interior al hemisferio =p16− 2 − 2 e interior al cilindro

2 + 2 − 4 = 0

9. Calcular el valor de tal que el volumen del sólido interior al hemisferio

=p16− 2 − 2 y exterior al cilindro 2 + 2 = 2 sea la mitad del

volumen del hemisferio.

10. Hallar el área de la superficie dada por = ( ) sobre la región

en los siguientes casos:

a) ( ) = 8 + 2+ 2 y = {( ) ∈ R2 : 2 + 2 ≤ 4}.b) ( ) = 2 + 32 y es el rectángulo de vértices (0 0), (0 4),

(3 4) y (3 0).

c) ( ) =p2 − 2 − 2 y = {( ) ∈ R2 : 2 + 2 ≤ 2 0 }.

11. Hallar el área de la porción de esfera 2 + 2 + 2 = 25 que está en el

interior del cilindro 2 + 2 = 9.

12. Calcular las siguientes integrales iteradas:

a)

Z 1

0

Z

0

Z

0

.

b)

Z 4

0

Z 2

0

Z 1−

0

cos .

13. Calcular mediante una integral triple el volumen del sólido acotado por

= 9− 2, = 0, = 0, = 2.

14. Calcular mediante una integral triple el volumen del sólido acotado por

= 9− 2 − 2, = 0.

15. Obtener las siguientes integrales en coordenadas cilíndricas y esféricas,

evaluando la más sencilla:


a)

Z 2

−2

Z √4−2

−√4−2

Z 4

2+2 .

b)

Z

−

Z √2−2

−√2−2

Z √

2−2−2

.

16. Calcular el volumen del sólido interior a 2+ 2+ 2 = 2 y al cilindro

(− 2)2 + 2 = (2)2.

17. Calcular el volumen del sólido interior a 2 + 2 + 2 = 4 y al cono

=p2 + 2.

18. Calcular el volumen del sólido comprendido entre 2 + 2 + 2 = 4 y

2 + 2 + 2 = 16 que es interior al cono =p2 + 2.

19. Calcular

ZZ

4(2 + 2) , donde es el paralelogramo con vértices

(1 0), (0 1), (−1 0) y (0−1), realizando el cambio de variables =(+ )2, = (− )2.

20. Calcular

ZZ

( − ) , donde es el paralelogramo con vértices

(0 0), (4 0), (7 3) y (3 3), realizando el cambio de variables = + ,

= .

21. Calcular

ZZ

−2 , donde es la región del primer cuadrante com-

prendida entre las gráficas de = 4, = 2, = 1 y = 4,

realizando el cambio de variables =p, =

√.

22. Calcular el volumen del sólido limitado superiormente por la superficie

=√+ e inferiormente por la región del plano = 0 que está

acotada por el triángulo de vértices (0 0 0), (2 0 0), (0 2 0).

Capítulo 6

Análisis Vectorial

1. Determinar si el campo dado es conservativo. Si lo es, encontrar una

función potencial.

a) F( ) = (22 2

2).

b) F( ) =

µ

2 + 2

2 + 2

¶.

c) F( ) = ( cos sen ).

d) F( ) = ( ).

e) F( ) =

µ

2 + 2

2 + 2 1

¶.

2. Calcular la divergencia de los campos vectoriales:

a) F( ) = (62−2 0).b) F( ) = (sen cos 2).

3. Calcular las siguientes integrales de línea sobre la curva indicada.

a)

Z

4 , donde es la curva r() = ( 2− ) 0 ≤ ≤ 2.

b)

Z

8 , donde es la curva r() = (12 5 3) 0 ≤ ≤ 2.

c)

Z

(2+2) , donde es el segmento del eje que va desde = 0

hasta = 3.

20


d)

Z

(2 + 2) , donde es el trozo de circunferencia 2 + 2 = 1,

recorrida en sentido antihorario de (1 0) a (0 1).

e)

Z

(+ 4√) , donde es el cuadrado cuyos vértices son (0 0),

(2 0),(2 2) y (0 2), recorrido en sentido antihorario.

4. Calcular

Z

F·dr para el campo vectorial F y la curva parametrizada

por r(), en los siguientes casos:

a) F( ) = (3 4) y r() = (2 cos 2 sen ) 0 ≤ ≤ 2.

b) F( ) = (3 4) y r() = (√4− 2) −2 ≤ ≤ 2.

c) F( ) = (2 − ) y r() = ( 2 2) 0 ≤ ≤ 1.d) F( ) = (2 2 2) y r() =

¡2 sen 2 cos 1

22¢ 0 ≤ ≤ .

5. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzasF( ) = (−−2)sobre una partícula que se mueve a lo largo de la curva = 3 desde

el punto (0 0) al punto (2 8).

6. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F( ) =

( −5) sobre una partícula que se mueve a lo largo de la curvar() = (2 sen 2 cos 2) 0 ≤ ≤ 2.

7. Calcular

Z

(2− ) + (+ 3) sobre la trayectoria indicada:

a) es la unión del segmento de recta de (0 0) a (0−3) y del seg-mento de recta de (0−3) a (2−3).

b) es la porción de la curva = 1− 2 que va desde (0 1) a (1 0).

8. Calcular

Z

F · dr, analizando previamente si el campo es conservativo:

a) F( ) = (2 2 + 2) y es la unión de la porción de la elipse2

25+2

16= 1 desde (5 0) hasta (0 4), con la porción de la parábola

= 4− 2 desde (0 4) hasta (2 0).


b) F( ) = ( ) y es la unión de las curvas r1() =

( 2 ) 0 ≤ ≤ 4 y r2() = (2 2) 0 ≤ ≤ 2.

9. Calcular

Z

cos sen +sen cos siendo una curva suave que

va desde (0−) hasta (−32 2)10. Verificar el teorema de Green para el campo F( ) = (2 2) y la

curva que es la frontera de la región comprendida entre las gráficas

de = = 24.

11. Utilizar el teorema de Green para calcular

Z

( − ) + (2 − )

sobre la trayectoria dada:

a) es la frontera de la región comprendida entre las gráficas de

= y de = 2 − .

b) es la frontera de la región interior a =√25− 2 y exterior a

=√9− 2.

12. Calcular

Z

(2) + ( + ) donde es la frontera de región

comprendida entre las gráficas de = 0 y de = 4− 2.

13. Calcular

Z

2 arctan() + ln(2 + 2) donde es la elipse

(− 4)24

+( − 4)21

= 1

14. Calcular

Z

+ ( + ) donde es la frontera de región com-

prendida entre las gráficas de 2 + 2 = 1 y de 2 + 2 = 9.

15. Utilizar una integral de línea para calcular el área de la región acotada

por las gráficas de = 2+ 1 y de = 4− 2.

16. Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto

que se indica:


a) Superficie parametrizada por r( ) = (+ − ), en el punto(1−1 1).

b) Superficie parametrizada por r( ) = (2 cos 3 sen 2), en el

punto (0 6 4).

17. Calcular el área de la superficie r( ) = ( cos sen ), 0 ≤ ≤2, 0 ≤ ≤ .

18. Calcular la integral de superficie

ZZ

(−2+) , para las siguientes

superficies:

a) es la superficie = 4− 0 ≤ ≤ 4 0 ≤ ≤ 4.b) es la superficie = 10 2 + 2 ≤ 4.

19. Calcular las siguientes integrales de superficie:

a)

ZZ

( + 5) donde es la superficie r( ) = ( 2), 0 ≤

≤ 1, 0 ≤ ≤ 2.b)

ZZ

() donde es la superficie r( ) = (2 cos 2 sen ),

0 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ≤ 2.c)

ZZ

(2+2+2) donde es la superficie = +, 2+2 ≤ 1.

d)

ZZ

p2 + 2 + 2 donde es la superficie =

p2 + 2,

2 + 2 ≤ 4.

20. Hallar el flujo

ZZ

F ·N , dondeN el vector normal unitario dirigido

hacia arriba:

a) F( ) = (3−4 ) a través de la superficie + + = 1 en

el primer octante.

b) F( ) = ( ) a través de la superficie = 9−2−2, ≥ 0.c) F( ) = (4−3 5) a través de la superficie = 2+2, 2+2 ≤4.


21. Verificar el teorema de la divergencia para:

a) F( ) = (2−2 2) y la superficie es el cilindro 2+2 = 4,0 ≤ ≤ .

b) F( ) = (2− −2 + ) y la superficie es el plano +

2 + = 6 y los planos coordenados.

22. Utilizar el teorema de la divergencia para calcular

ZZ

F ·N en los

siguientes casos:

a) F( ) = (2 2 2) y es la superficie = 0, = , = 0,

= , = 0, = .

b) F( ) = (2−2 2) y es la superficie =p2 − 2 − 2,

= 0.

c) F( ) = ( 2−) y es la superficie 2 + 2 = 4, = 0,

= 4.

d) F( ) = ( 4 ) y es la superficie 2 + 2 + 2 = 9.

23. Verificar el teorema de Stokes para:

a) F( ) = (−+ − −) y dada por =p1− 2 − 2.

b) F( ) = ( ) y dada por 3+4+2 = 12 en el primer

octante.

24. Utilizar el teorema de Stokes para calcular

Z

F · dr donde está

orientada en sentido antihorario:

a) F( ) = (2 2 2) y es la curva frontera de = 4−2−2, ≥ 0.

b) F( ) = (2 ) y es la curva frontera de =p4− 2 − 2.

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