libro matemáticas ii

M M M M Matemtica IIatemtica IIatemtica IIatemtica IIatemtica II

JJJJJOSOSOSOSOS M M M M MIGUELIGUELIGUELIGUELIGUEL C C C C CUBILLUBILLUBILLUBILLUBILLOSOSOSOSOS M M M M MUNCAUNCAUNCAUNCAUNCA

Escuela Superior de Administracin PblicaPrograma Administracin

Pblica Territorial NcleoNcleoNcleoNcleoNcleo

FUN

DAM

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N

DirectorLUIS FRANCISCO JORDN PEARANDA

Subdirector AcadmicoTOMS ERNESTO CONCHA SANZ

Decano Facultad de Ciencias Polticas y AdministrativasJOS ELAS YEZ PEZ

Jefe Departamento de PregradoMARA EUGENIA SERRANO DE ROMERO

Coordinador de A.P.T.CARLOS MORENO OSPINA

Coordinacin Editorial

Helena Gardeazbal Garzn

Concepto Grfico

Marcela Otero Morales

Diagramacin

Sandra Patricia Snchez D.

Fotomecnica e Impresin

Grupo de Artes Grficas e Impresos, ESAP

Escuela Superior de Administracin Pblica Jos Miguel Cubillos Munca

ISBN:

Bogot D.C., Noviembre de 2002

Impreso en Colombia

Printed in Colombia

Escuela Superior de Administracin Pblica

CCCCCaptulo 2aptulo 2aptulo 2aptulo 2aptulo 2Integral definidaIntegral definidaIntegral definidaIntegral definidaIntegral definida

42

Integral definida22222

En el captulo anterior estudiamos la integral indefinida,En el captulo anterior estudiamos la integral indefinida,En el captulo anterior estudiamos la integral indefinida,En el captulo anterior estudiamos la integral indefinida,En el captulo anterior estudiamos la integral indefinida,la cual permita a travs de un proceso inverso a la deri-la cual permita a travs de un proceso inverso a la deri-la cual permita a travs de un proceso inverso a la deri-la cual permita a travs de un proceso inverso a la deri-la cual permita a travs de un proceso inverso a la deri-vacin, llegar a una funcin primitiva que se llam anti-vacin, llegar a una funcin primitiva que se llam anti-vacin, llegar a una funcin primitiva que se llam anti-vacin, llegar a una funcin primitiva que se llam anti-vacin, llegar a una funcin primitiva que se llam anti-derivada. Este proceso permiti partir de funciones comoderivada. Este proceso permiti partir de funciones comoderivada. Este proceso permiti partir de funciones comoderivada. Este proceso permiti partir de funciones comoderivada. Este proceso permiti partir de funciones comoel ingreso marginal, el costo marginal y la utilidad margi-el ingreso marginal, el costo marginal y la utilidad margi-el ingreso marginal, el costo marginal y la utilidad margi-el ingreso marginal, el costo marginal y la utilidad margi-el ingreso marginal, el costo marginal y la utilidad margi-nal respectivamente a las funciones de ingreso total, cos-nal respectivamente a las funciones de ingreso total, cos-nal respectivamente a las funciones de ingreso total, cos-nal respectivamente a las funciones de ingreso total, cos-nal respectivamente a las funciones de ingreso total, cos-to total y utilidad total. En este captulo se estudiar elto total y utilidad total. En este captulo se estudiar elto total y utilidad total. En este captulo se estudiar elto total y utilidad total. En este captulo se estudiar elto total y utilidad total. En este captulo se estudiar elproceso de integracin definida el cual nos lleva a deter-proceso de integracin definida el cual nos lleva a deter-proceso de integracin definida el cual nos lleva a deter-proceso de integracin definida el cual nos lleva a deter-proceso de integracin definida el cual nos lleva a deter-minar un rea limitada por curvas, que nos servir paraminar un rea limitada por curvas, que nos servir paraminar un rea limitada por curvas, que nos servir paraminar un rea limitada por curvas, que nos servir paraminar un rea limitada por curvas, que nos servir paraestudiar otras aplicaciones como el excedente del con-estudiar otras aplicaciones como el excedente del con-estudiar otras aplicaciones como el excedente del con-estudiar otras aplicaciones como el excedente del con-estudiar otras aplicaciones como el excedente del con-sumidor y del productorsumidor y del productorsumidor y del productorsumidor y del productorsumidor y del productor.....

INTEGRAL DEFINIDAINTEGRAL DEFINIDAINTEGRAL DEFINIDAINTEGRAL DEFINIDAINTEGRAL DEFINIDA

2

43

MMMMMatemtica IIatemtica IIatemtica IIatemtica IIatemtica II

PLPLPLPLPLAN DEL CAPTULAN DEL CAPTULAN DEL CAPTULAN DEL CAPTULAN DEL CAPTULOOOOO

1.1.1.1.1. CLCULCLCULCLCULCLCULCLCULO DEL REA MEDIANTE RECTNGULO DEL REA MEDIANTE RECTNGULO DEL REA MEDIANTE RECTNGULO DEL REA MEDIANTE RECTNGULO DEL REA MEDIANTE RECTNGULOS Y TROS Y TROS Y TROS Y TROS Y TRAPECIOSAPECIOSAPECIOSAPECIOSAPECIOS

2.2.2.2.2. INTEGRACIN DEFINIDAINTEGRACIN DEFINIDAINTEGRACIN DEFINIDAINTEGRACIN DEFINIDAINTEGRACIN DEFINIDA

3.3.3.3.3. APLICACIONES DE LA INTEGRACIN INDEFINIDAAPLICACIONES DE LA INTEGRACIN INDEFINIDAAPLICACIONES DE LA INTEGRACIN INDEFINIDAAPLICACIONES DE LA INTEGRACIN INDEFINIDAAPLICACIONES DE LA INTEGRACIN INDEFINIDA

4.4.4.4.4. PRCTICAS CON INTEGRAL Y DERIVEPRCTICAS CON INTEGRAL Y DERIVEPRCTICAS CON INTEGRAL Y DERIVEPRCTICAS CON INTEGRAL Y DERIVEPRCTICAS CON INTEGRAL Y DERIVE

OBJETIVO GENERALOBJETIVO GENERALOBJETIVO GENERALOBJETIVO GENERALOBJETIVO GENERAL

El estudiante podr desarrollar problemas sencillos de aplicacin de laintegral definida en el campo de la economa y la administracin,apoyado en el uso de un software de matemtica.

44

Integral definida222221.1.1.1.1. INTEGRACIN DEFINIDAINTEGRACIN DEFINIDAINTEGRACIN DEFINIDAINTEGRACIN DEFINIDAINTEGRACIN DEFINIDA

La necesidad de evaluar las reas de figuras fue uno de los factores que motiv hacia el desarrollo del clculointegral. En la geometra euclidiana o plana existen frmulas que nos permiten determinar las reas respecti-vas, tal es el cado de rectngulos, tringulos, cuadrados, etc. Sin embargo, no hay frmulas para calcular elrea de figuras limitadas por curvas. Podemos lograr una aproximacin por mtodos grficos convirtiendo elrea en mltiples rectngulos o trapecios, y haciendo la suma de las reas de estos. Esto ltimo nos lleva a lainterpretacin de la integral definida como el rea entre curvas.

Bsicamente la integral definida nos indica un rea entre unascurvas, aunque esta rea nos sirva como modelo para repre-sentar otros fenmenos. Partiremos del estudio de la obten-cin de la derivada por mtodos grficos. Los mtodos grfi-cos incluyen aproximacin por rectngulos, (Vase el ejemplo1), los cuales se pueden aplicar como rectngulos de un anchodeterminado y como altura el valor de la funcin en el puntomedio, o como el promedio entre el rea entre el rectnguloconformado por la altura mxima de la funcin en el subinter-valo y el conformado por la altura con el valor mnimo; y laaproximacin por trapecios. (vase el ejemplo 2).

La integracin a partir de mtodos grficos nos proporcionauna clara idea del rea que estamos calculando, sin embargoresulta ser imprecisa y si queremos un alto grado de precisinel proceso se hace muy largo. Frente a esto existe el procesode integracin indefinida por medio de reglas algebricas, a tra-vs del uso de unos teoremas conocidos como el teorema fun-damental del clculo y el teorema de Barrow. No nos detendre-mos en lo especfico de estos teoremas sino que veremos enque consiste el proceso de hallar la integral definida en la ex-plicacin 1 y el ejemplo 3.

La idea de estudiar el proceso de integracin en este mduloapunta a su aplicacin en el estudio de algunos fenmenosadministrativos como gastos de mantenimiento y recaudo defondos, y econmicos como el excedente del consumidor (van-se la explicacin 2 y los ejemplos 4 al 6), del productor(vanse la explicacin 3 y los ejemplos 7 al 9) y la relaciningreso - costo. En tales casos puede determinarse el punto,en el tiempo, donde el ingreso producido se iguale con el costodel factor. Vanse la explicacin 4 y los ejemplos 10 (utili-dad mxima), 11 (valor de salvamento) y 12 (ingreso total).

Oferta. Nmero de artculos de un productoque es puesto en el mercado para laventa.

Demanda. Nmero de artculos de un pro-ducto, que los consumidores estandispuestos a comprar en un momentodado.

Ingreso Marginal. Ingreso adicional que serecibe por producir y poner en el mer-cado un artculo ms. Matemtica-mente se entiende como la variacindel ingreso total en funcin de las va-riaciones unitarias de la cantidad deartculos vendidos.

Costo marginal. Costo adicional de produ-cir un artculo adicional. Se entiendecomo la variacin del costo total res-pecto a variaciones unitarias de lacantidad producida.

VOCABULARIOVOCABULARIOVOCABULARIOVOCABULARIOVOCABULARIO

45


Ejemplo 1. Clculo mediante rectngulosEjemplo 1. Clculo mediante rectngulosEjemplo 1. Clculo mediante rectngulosEjemplo 1. Clculo mediante rectngulosEjemplo 1. Clculo mediante rectngulos

Supongamos que se necesita saber el rea que hay bajo la

recta 321 += xy , y entre los valores x=5 y x=10. Se en-

tiende entonces que nos referimos al rea encerrada entre larecta indicada y el eje horizontal x, que por los lados est limita-da por rectas verticales que cortan los valores de x: 5 y 10.Vase la figura 1.

Cuente cuantas cuadrculas quedaron sombreadas: 31 comple-tas, ms otros fragmentos que podran sumar entre dos y tres.Intuitivamente diremos que el rea que intentamos medir tiene unvalor entre 33 y 34.

Como no siempre es posible construir cuadrculas con alturaentera, entonces podemos hacerlo calculando rectngulos deun ancho determinado y de altura correspondiente al valor me-dio de la funcin para obtener una aproximacin. As, tomemosesta vez un ancho de rectngulo de uno. El primer rectngulo irde cinco a seis y tendr como ancho el valor de y para el pro-

medio entre 5 y 6 es decir para 5,5 ser 75,535,521 =+=y .

As, el valor del rea del primer rectngulo es (5,75)1=5,75;

El rea para x= 6,5: 25,635,621 =+=y , ser

(6,25)(1)=6,25

El rea para x= 7,5: 75,635,721 =+=y , ser

(6,75)(1)=6,75y as sucesivamente:

rea = 5,75 + 6,25 + 6,75 + 7,25 + 7,75 = 33,75Revise el ejemplo y compare con la figura 2. Este tipo de aproxi-macin con rectngulos resulta ser exacta para el trabajo confunciones lineales como la del ejemplo, sin embargo, en reasdelimitadas por curvas, presenta un considerable grado de error.

46

Integral definida22222 DOCUMENTOSDOCUMENTOSDOCUMENTOSDOCUMENTOSDOCUMENTOS

Figura 1. rea bajo la recta y=0.5x+3

Figura 2. Aproximacin usando rectngulos.

Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Clculo del rea usando trapeciosClculo del rea usando trapeciosClculo del rea usando trapeciosClculo del rea usando trapeciosClculo del rea usando trapecios

Intentemos calcular ahora el rea en-

tre la curva xy 5= , el eje x y losvalores de x: 2 y 8.

Podemos formar rectngulos, como enel ejemplo 1, sin embargo para lograruna mejor aproximacin, usaremosahora los trapecios. Recordemos quela frmula para hallar el rea del trape-

cio es 2)( hbBA += . Revise la gr-

fica de la figura 3 y verifique ademsque uno de los lados del trapecio co-rresponde con uno de los lados del tra-pecio siguiente. Si contamos las cua-drculas, podemos aproximar que elrea est entre 62 y 66 unidades cua-dradas. En la parte izquierda del eje yse ha aclarado los valores que toma lafuncin a los lados de cada trapecio.Para calcular el rea del primer trape-cio, tenemos que la base menor

b = 5 2 + 3 = 7,07 es decir el valorde la funcin calculada en X = 2; la

base mayor B = 5 3 + 3 = 8,66 o elvalor de la funcin calculado en X = 3.Esta base mayor corresponde con labase menor del siguiente trapecio, ycomo se vio cada base de trapecio secalcula encontrando el valor de la com-ponente y para el valor x correspondien-te al lmite de cada intervalo tomado.

El primer trapecio tiene como rea

( ) 87,72

166,807,72

)(1 =+=+= hbBA

47

MMMMMatemtica IIatemtica IIatemtica IIatemtica IIatemtica IIDOCUMENTOSDOCUMENTOSDOCUMENTOSDOCUMENTOSDOCUMENTOS

Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2ContinuacinContinuacinContinuacinContinuacinContinuacin

Para el siguiente trapecio la base menor es 8,66 y la mayor B = 5 4 + 3 = 10.

El segundo trapecio tiene como rea

( ) 33,9

211066,8

2)(

2 =+=+= hbBA

El tercer trapecio tiene como base mayor B = 5 5 + 3 = 11.18, y

rea( ) 59,10

2118,1110

3 =+=A

El cuar to trapecio tiene como base mayor B = 5 6 + 3 = 12,25, y rea

( ) 71,112

125,1218,114 =+=A

El quinto trapecio tiene como base mayor B = 5 7 + 3 = 13,23, y rea

( ) 74,122

123,1325,125 =+=A

El sexto trapecio tiene como base mayor B = 5 8 + 3 = 14,14, y rea

( ) 69,132

114,1423,132 =+=A

Por tanto el rea total a medir es A = 7,87 + 9,33 + 10,59 + 11,71 + 12,74 +13,69 = 65,93. Lo cual es una buena aproximacin ya que el valor real es muycercano a 66.

Conclusin: La integral definida de xy 5= entre 2 y 8 es 66, 6658

2

= dxx .Una mejor aproximacin se logra si se toma un mayor nmero de trapecios ya quelogramos delimitar mejor el rea a medir. En este caso hemos tomado 6 peropodramos tomar 32 por ejemplo y para no demorar en el procedimiento usamos unprograma de computador y obtenemos un rea de 65,99 que constituye una mejoraproximacin. La actividad 1, le permitir verificar tambin esta forma de aproxi-macin con el apoyo del software.

48


Figura 3. rea bajo la curva xy 5= , la recta x y los valores 2 y 8.

EXPLICACIN 1EXPLICACIN 1EXPLICACIN 1EXPLICACIN 1EXPLICACIN 1INTEGRAL DEFINIDA.INTEGRAL DEFINIDA.INTEGRAL DEFINIDA.INTEGRAL DEFINIDA.INTEGRAL DEFINIDA.

La integral definida de una funcin con-tinua en un intervalo desde x=a hastax=b es el cambio neto de una antideri-vada de en ese intervalo. En formasimblica, si F(x) es una antiderivada de(x) es una antiderivada de (x), enton-ces

[ ] )()()()( aFbFxFdxxf bab

a

==donde F'(x)=(x), el integrando es (x),el lmite superior es b y el lmite inferiores a.

En otras palabras ms coloquiales, la in-tegral definida la obtenemos ejecutandoel proceso de integracin usando la re-gla que aplique al caso, luego reempla-zamos en el resultado el lmite superior,y por otro lado reemplazamos tambinel lmite inferior. Por ltimo restamos es-tos ltimos valores y obtendremos laintegral definida.

Tenga en cuenta que no puede haber in-tegral definida si no hay unos lmites deintegracin superior e inferior.No se debe confundir una integral defi-nida con una integral indefinida. La inte-

gral definida b

a

dxxf )( es un nmero

real; la integral indefinida dxxf )( esun conjunto de funciones, todas antide-rivadas de (x) que entre ellas slo sediferencian en el valor de la constantede integracin.

Ejemplo 3. Integracin DefinidaEjemplo 3. Integracin DefinidaEjemplo 3. Integracin DefinidaEjemplo 3. Integracin DefinidaEjemplo 3. Integracin Definida

Volvamos a los casos de los ejemplos uno y dos. En elprimero se calcul grficamente la integral definida co-rrespondiente al rea bajo la curva y=0,5x+3 entre los

valores de x: 5 y 10 es decir ( ) +105

21 3 dxx .

Siguiendo el proceso indicado en la definicin 1, tenemosque aplicando la regla de integracin de la potencia llega-mos a:

( ) +105

21 3 dxx =

10

5

210

5

2

34

322

1

++=

++ KxxKxx ,

Ahora reemplazamos los valores extremos:

75,3325,21555345103

410 22 ==

++

++ KK ,

por otro camino hemos llegado a que ( ) +105

21 3 dxx =33,75.

49


Ejemplo 3. ContinuacinEjemplo 3. ContinuacinEjemplo 3. ContinuacinEjemplo 3. ContinuacinEjemplo 3. Continuacin

En el ejemplo 2 se calcul grficamente la integral definida que corresponde al rea bajo la curva de

xy 5= entre 2 y 8 es 66, dxx82

5 . Incorporando a este ejercicio nuestro nuevo mtodo, tenemos que:

dxx82

5 = dxx82

2/

5 , re-expresando segn la definicin de raz. Ahora aplicando la regla de la integral de una

potencia tenemos dxx82

2/

5 =

8

223

8

223

23

23

105

=

xx . Ahora reemplazamos los lmites superior e inferior y

tenemos:

8

23

1023

x

= 3210

3810

23

23

= 75,93 - 9,43 = 66

Es decir 6658

2

= dxx . En este caso se nota que el segundo proceso resulta ms sencillo.

1 Adaptado de DRAPER Jean E. Matemticas para la Administracin y Economa, obra citada.Pgs. 426-428.

EXPLICACIN 2EXPLICACIN 2EXPLICACIN 2EXPLICACIN 2EXPLICACIN 2EXCEDENTE DEL CONSUMIDOREXCEDENTE DEL CONSUMIDOREXCEDENTE DEL CONSUMIDOREXCEDENTE DEL CONSUMIDOREXCEDENTE DEL CONSUMIDOR11111

Una funcin de demanda representa las cantidades de un artculoque podran comprarse a varios precios. Si el precio en el mercadoes po y la correspondiente demanda en el mercado es qo, entoncesaquellos consumidores que estuviesen dispuestos a pagar un pre-cio mayor que el de este mercado, ganan, por el hecho de que elprecio es solamente po. Vase la figura 4.

50


Figura 4. Excedente del consumidor.

El excedente del consumidor mide la riqueza econmica desde el lado delcomprador.

Bajo ciertas hiptesis econmicas la ganancia del consumidor se representapor el rea situada debajo de la curva de demanda y por encima de la rectay=yo. Marshall denomina a esta rea Excedente del consumidor y se evalacomo:

Excedente del consumidor = oq

ooo pqdqqf )( , donde la funcin de de-

manda es p=(q), o tambin como: 1 )(p

po

dppg , donde la funcin de de-

manda es q=g(p) y p1 es el valor de p cuando q=0, es decir, p1 es la ordena-da del intercepto con el eje y, de la funcin de demanda:

Excedente del consumidor = oq

ooo pqdqqf )( = 1 )(

p

po

dppg . Vanse

los ejemplos 4 al 6.

DOCUMENTOSDOCUMENTOSDOCUMENTOSDOCUMENTOSDOCUMENTOS

Explicacin 2. ContinuacinExplicacin 2. ContinuacinExplicacin 2. ContinuacinExplicacin 2. ContinuacinExplicacin 2. Continuacin

51


Ejemplo 4. Excedente del consumidorEjemplo 4. Excedente del consumidorEjemplo 4. Excedente del consumidorEjemplo 4. Excedente del consumidorEjemplo 4. Excedente del consumidor

Si la funcin de demanda es 2485 qqp = , hallar el excedente delconsumidor (a) si qo=5, (b) si po=64. Vase la figura 5.

Figura 5. Grfica de la demanda para el ejemplo 4

(a) Excedente del consumidor = ( ) 50

2 )40)(5(485 dqqq =

2003

2855

0

32

qqq =333,33-200=133,33

(b) Excedente del consumidor = ( ) 30

2 )64)(3(485 dqqq =

1923

2853

0

32

qqq =228-192=36


52


Ejemplo 5. Excedente del ConsumidorEjemplo 5. Excedente del ConsumidorEjemplo 5. Excedente del ConsumidorEjemplo 5. Excedente del ConsumidorEjemplo 5. Excedente del Consumidor

Si la funcin de demanda es qp = 9 , y po=5, hallar el excedente delconsumidor por dos mtodos. Vase la Figura 6.

Figura 6. Grfica de la demanda para el ejemplo 5.

Excedente del consumidor ( ) 5

0

)2)(5(9 21

dqq =

( ) 10932 5

0

23

q = 381018

316 =+ =

O tambin, Excedente del consumidor = ( ) dpp 29 = 3

2

3

39

pp =

38

3818927 =+ , igual que por el otro procedimiento.


53


Ejemplo 6. Demanda en situacin de monopolioEjemplo 6. Demanda en situacin de monopolioEjemplo 6. Demanda en situacin de monopolioEjemplo 6. Demanda en situacin de monopolioEjemplo 6. Demanda en situacin de monopolio

La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situacin de monopolio, se determinan por medio de la

funcin de demanda 216 qp = y por el costo marginal qdqdpMC == 6 de tal manera que se

maximice la ganancia. Determinar el correspondiente excedente del consumidor. Vase la figura 7.

Figura 7. Grfica del excedente del consumidor para el ejemplo 6.

Ingreso = 316 qq Ingreso Marginal = 316 qq La ganancia se maximiza cuando el ingreso se hace igual al costo marginal, es decir qq += 6316 2 ,transponemos los trminos hacia la izquierda: 0103 2 =+ qq( )( ) 0253 =+ qq , los valores para q son -2 y 5/3, sin embargo el que tiene sentido para nuestro fin es 5/3.P(5/3)=16-(5/3)=119/9, entonces qo=5/3, po=119/9.

Excedente para el consumidor = ( ) 3

5

0

2

9119

3516 dqq = 27

5953

163

5

0

3

qq =

09,381250

27595

81125

380 =


54


Cuando se establece un precio de mercado, todoslos productores ofrecen ese producto al precio delmercado; pero hay n productores que estaran dis-puestos a ofrecer el producto a un precio menor. Elexcedente del productor es la diferen-cia entre el precio que percibe el pro-ductor y el precio al que estara dis-puesto a ofrecer cada una de las uni-dades de producto.

El excedente del productor mide la ri-queza econmica desde el lado del pro-ductor.

Una funcin de oferta representa las res-pectivas cantidades de un artculo quepodran venderse a varios precios. Si elprecio en el mercado es po y la corres-pondiente oferta en dicho mercado esqo, entonces aquellos productores queestuviesen dispuestos a vender el art-culo a un precio inferior al de este mer-cado, ganan, por el hecho de que el pre-cio es po.

Bajo ciertas hiptesis econmicas la ganancia to-tal del productor se representa por el rea situadaencima de la curva de oferta y debajo de la rectap=po, llamndose esta rea el excedente del pro-ductor (vase la figura 8) cuya evaluacin se hacecomoExcedente del productor

= oq

oo dqqfpq0

)( , donde la funcin de oferta

es p=(q), o tambin como

Excedente del productor = 10

)(p

p

dppg , donde la

funcin de oferta es q=g(p) y p1 es el valor de ycuando x=0 (es decir, p1 es el intercepto con p dela funcin de oferta)

La suma de los excedentes constituye la contri-bucin que el mercado hace al bienestar general.En competencia perfecta, dicha contribucin esmxima. De esta forma, el punto A es un puntode eficiencia pero no un criterio de equidad.El rea del tringulo inferior a las reas rayadasrepresenta los recursos productivos empleadosen la produccin de equilibrio. De esta forma, losrecursos productivos estn medidos en costos,ya que representan la integral del costo margi-nal. Por otra parte, si se multiplica base por altu-ra de esa rea, se obtiene el costo de los consu-midores, o sea, el precio pagado por la cantidadconsumida.

EXPLICACIN 3EXPLICACIN 3EXPLICACIN 3EXPLICACIN 3EXPLICACIN 3EXCEDENTE DEL PRODUCTOREXCEDENTE DEL PRODUCTOREXCEDENTE DEL PRODUCTOREXCEDENTE DEL PRODUCTOREXCEDENTE DEL PRODUCTOR22222

Excedente del productor oq

oo dqqfpq0

)( =

10

)(p

p

dppg .

Figura 8. Excedentes del productor y del consumidor.

2 Adaptado de DRAPER obra citada.


55


Ejemplo 7. Excedente del productorEjemplo 7. Excedente del productorEjemplo 7. Excedente del productorEjemplo 7. Excedente del productorEjemplo 7. Excedente del productor

Si la ecuacin de oferta es ( )22+= qp y el precio se fija en p1=25 hallar el excedentedel productor por dos mtodos. Vase la figura 9.

Excedente del productor = +3

0

)2()25)(3( dqq = 254

)2( 21 dpp

+=+3

0

32

3)2(75)2(75 qdqq = 363

83

12575 =+Como alternativa,

254

)2( 21 dpp =

25

4

23

2 23

pp = 36831650

3250 =+

Figura 9. Excedente del productor para el ejemplo 7.


56


Ejemplo 8. Excedente del productor en el punto de equilibrio.Ejemplo 8. Excedente del productor en el punto de equilibrio.Ejemplo 8. Excedente del productor en el punto de equilibrio.Ejemplo 8. Excedente del productor en el punto de equilibrio.Ejemplo 8. Excedente del productor en el punto de equilibrio.

La cantidad demandada y el precio correspondiente, en situacin de competencia pura se deter-

minan por medio de las funciones de demanda y de oferta, 216 qp = y qP += 4 ,respectivamente. Determinar el correspondiente excedente del productor (vase la figura 10).

qqp +== 416 20122 =+ qq

0)3)(4( =+ qq

q= y q=-4, slo nos interesa el valor que aplica es decir q=3.q1=3 reemplazando en una de las ecuaciones de oferta o de demanda: p1=7.

Excedente del productor = +3

0

)4()7)(3( dqq = 3

0

2

2421

+ qq = 2

9291221 =

El rea representada por +30

)4( dqq habra podido evaluarse tambin como por la frmula del

rea del trapecio, 233

23)74(

2)( =+=+= hBbA .

Figura 10. Excedente del productor para el ejemplo 8


57


Ejemplo 9. Ambos excedentesEjemplo 9. Ambos excedentesEjemplo 9. Ambos excedentesEjemplo 9. Ambos excedentesEjemplo 9. Ambos excedentes

La cantidad demandada y el correspondiente precio, en situacin de competencia pura, se determinan

con las funciones de demanda y oferta, 236 qp = y 462qp += , respectivamente. Determi-

nar el correspondiente excedente del consumidor y el excedente del productor. (Vase la figura 11).

4

6362

2 qqp +== , dado que el equilibrio se registra cuando demanda y oferta son iguales,entonces igualamos las dos frmulas y luego despejamos el valor de q.

q=24

q=2 6

Excedente del consumidor = ( )( ) 620

2 1262)36( dqq =

6243

3662

0

3

qq = 4,78632624616672 =Excedente del productor =

( )( ) dqq

62

0

2

261262 = 6,196864612624 =

Figura 11. Excedentes del consumidor y del productor para el ejemplo 9.

58


EXPLICACIN 4EXPLICACIN 4EXPLICACIN 4EXPLICACIN 4EXPLICACIN 4INGRESO VS. COSTOINGRESO VS. COSTOINGRESO VS. COSTOINGRESO VS. COSTOINGRESO VS. COSTO

La integracin puede utilizarse en economapara determinar la utilidad total o las ganan-cias netas totales en varios contextos. En ge-neral la utilidad se maximiza (suponiendo quees un modelo de competencia perfecta) cuan-do el ingreso marginal se iguala con el costomarginal y la ganancia total es la integral de ladiferencia entre el ingreso marginal y el costomarginal desde una cantidad cero hasta la can-tidad para la cual la utilidad se maximiza.

Recuerde del mdulo de Matemtica 1, que elingreso marginal es el recibido por la venta deun artculo ms y se obtiene matemticamen-te como la derivada del ingreso total, mientrasque el costo marginal es la variacin en el cos-to por producir un artculo adicional y se obtie-ne matemticamente como la derivada del cos-to total.

De acuerdo con lo anterior, podemos tambinencontrar la funcin de costo total cuando co-nocemos la variacin en el costo que se pre-senta al producir un artculo adicional, integran-do la funcin costo marginal llegamos a la fun-cin de costo total, donde la constante de in-tegracin es el costo de producir cero artculoes decir el costo fijo.

Para el ingreso total tenemos un proceso simi-lar. El ingreso total se obtiene como la integraldel ingreso marginal, teniendo como constan-te de integracin el valor cero, ya que se sabeque si no hay produccin y venta, entonces nohay ingreso; a no ser que la actividad se en-contrara subsidiada por el Estado, caso en elcual la constante de integracin corresponde-ra a dicho monto.

Ejemplo 10. Utilidad mximaEjemplo 10. Utilidad mximaEjemplo 10. Utilidad mximaEjemplo 10. Utilidad mximaEjemplo 10. Utilidad mxima

Hallar la cantidad producida que maximice la utilidady determinar la utilidad total en dicho punto si lasfunciones de ingreso marginal y de costo marginalestn dadas por:

22525 qqMR =2310 qqMC =

Haciendo MR=MC=0

03102525 22 =++ qqqq

0215 2 = qq

0)3)(5( =+ qq

q=-5 y q=3. No nos interesa el valor -5 por que nohay producciones negativas, por lo que el valor quenos sirve es q=3.

La primera derivada de MR-MC es la segunda deriva-da de la utilidad total y, por lo tanto, su signo indica sila utilidad se maximiza o se minimiza para un valorparticular de q.

822)( 22

=== qdqUdMCMR

dqd

, as la

utilidad se maximiza para q=3.

Utilidad total = dqqq )215( 2 =3

0

22

315

qq = 45 - 9 - 9 = 27.

59


Ejemplo 11. VEjemplo 11. VEjemplo 11. VEjemplo 11. VEjemplo 11. Valor de salvamentoalor de salvamentoalor de salvamentoalor de salvamentoalor de salvamento

Una compaa manufacturera de la cual el Estado es socio, ha comprado una mquina cuya produccinrepresenta ganancias adicionales (ingreso adicional menos costo adicional de mano de obra y materiales) enun tiempo t, de

2

41225)( ttE = , donde E(t) est en unidades de 10.000 dlares y t est en aos. El costo adicional de

reparacin y mantenimiento en el tiempo t es 22)( ttR =

donde R(t) est en unidades de 10.000 dlares y t est en aos. Primeramente supngase que se puedeeliminar la mquina en cualquier tiempo sin costo alguno o valor de salvamento. Entonces debe retirarse lamquina en el momento en que las ganancias adicionales se igualan con el costo adicional de reparacin ymantenimiento. Vase la figura 12.

Las ganancias adicionales se igualan con el costo de reparacin y mantenimiento cuando22

41 2225 tt =

249225 t=

t=100t=10.Por lo tanto, debe retirarse la mquina despus de 10 aos. Las ganancias netas totales (ganancias menoscosto de reparacin y mantenimiento) despus de 10 aos son

[ ]dttRtE 100

)()( = dtt )225(10

0

249 = [ ]100343225 tt =2.250 - 750 =1.500 U$1.500.000.

Ah que la mquina tiene un valor de salvamento en un tiempo t de ttS += 6

6480)( , donde S(t) est en unidades

de 10.000 dlares y t est en aos. Entonces la compaa maximizar sus ganancias netas si suprime lamquina dentro de un tiempo t cuando las ganancias netas despus de T igualen el valor del salvamento enT (Vase la figura 13).

Las ganancias netas despus de T igualan al valor de salvamento en T cuando =+10

249 )225(

6480.6

T

dttT

3

432251500

6480.6 TTT

+=+ , de donde 3

432251500)( TTtN += . Pero, sigamos:

44323

29 225500.1350.1000.9480.6 TTTTT +++=

432

43

29225150520.20 TTTT +++= = )630195)(4( 2215343 + TTTT , si este producto es

igual a cero entonces T - 4 = 0, o el otro factor es cero. Con la primera hiptesis llegamos a una respuestacoherente. Por lo tanto, debe retirarse la mquina despus de cuatro aos.

60


Figura 12. Cuando las ganancias adicionales se igualancon el costo de mantenimiento

Figura 13. Grfica para el ejemplo 11.


61


Ejemplo 12. Ingreso TEjemplo 12. Ingreso TEjemplo 12. Ingreso TEjemplo 12. Ingreso TEjemplo 12. Ingreso Totalotalotalotalotal

Una Entidad Promotora de Salud EPS est considerando la adicin a su nmina de vendedores de planes com-

plementarios. El costo del empleo de vendedores adicionales es: xy 485 2 = donde y representa el costo enunidades de 10.000 dlares y x es el nmero de vendedores adicionales empleados, y el ingreso adicional es

)10(4)2( 2 += xR , donde R es el ingreso en unidades de 10.000 dlares y x es el nmero de vendedoresadicionales empleados. (Supngase que las funciones de costo y de ingreso son continuas, aunque realmenteellas tienen significado solamente para valores enteros de x). La entidad emplear vendedores adicionales hastacuando el costo de esta adicin iguale al ingreso adicional obtenido (vase la figura 14).

El costo de empleo de vendedores adicionales se iguala con el ingreso adicional obtenido si R=y:

)10(4)2( 2 += xR 404442 +=+ xRR xRR 43642 =

Por lo tanto, R=y cuando

125364

22 yyy = 0432487 2 = yy 0)12)(267( =+ yy

y=12, x=15y deben emplearse 15 vendedores adicionales. El ingreso neto total resultante (ingreso total menos costo) es

[ ] ++120

2412

485 9 dyyyy = [ ]dyyy +12

0

24879 =

12

0

31447

2

92

+ yyy

=72+108-84=96 unidades o 96.000.

Figura 14. Relacin Ingreso Vs. Costo.


62

Integral definida22222 ACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOS

En el CD-ROM de Fundamentacin est el software "Integral" instlelo en el computador en una carpetaindependiente y ejecute el programa "RUNME.BAT" de esa carpeta. Elija la opcin 2 de monitor a color. Ala pregunta de ver instrucciones "would you like some instruccions?" responda "Yes" la primera vez que abrael programa. Para salir de la ayuda pulse ESC.

En el men "Create Integrals" haga clic en la opcin "Create Integral" como se indica la figura 15. Use lasteclas de flechas para desplazarse por los mens ya que el Mouse puede presentarle problemas.

Figura 15. Software "Integral".

En la ventana escriba la siguiente ecuacin: 5 * SQRT(X) y pulse ENTER.

El programa solicitar el lmite inferior de la integral "Lower x limit:", escriba 2 y pulse ENTER. Luegosolicitar el lmite superior de la integral "Upper x limit:", escriba 8 y pulse ENTER.

En el men "Integral Operations" escoja la opcin "Trapezoidal Rule" y pulse ENTER unas seis veces, enton-ces aparecer una tabla que va mostrando a la izquierda el nmero de trapecios y a la derecha el valor dela integral obtenida con ese nmero de trapecios. Vase la figura 16. Revise el ejemplo 2 y compare. Quconclusin tiene usted respecto del nmero de trapecios? A que valor se aproxima el valor del reacuando aumenta el nmero de trapecios?

Figura 16. Aproximacin a la integral definida usando trapecios.

ACTIVIDAD 1ACTIVIDAD 1ACTIVIDAD 1ACTIVIDAD 1ACTIVIDAD 1INTEGRACIN POR TRAPECIOSINTEGRACIN POR TRAPECIOSINTEGRACIN POR TRAPECIOSINTEGRACIN POR TRAPECIOSINTEGRACIN POR TRAPECIOS

63

MMMMMatemtica IIatemtica IIatemtica IIatemtica IIatemtica IIACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOS

En el computador, ingrese al programa Derive.

Digite la ecuacin x+3 en la ventana de ecuaciones como: x2+3 y pulse Enter.

El objeto de esta actividad es representar y obtener con Derive +51

2 )3( dxx que representa

el rea limitada por y=x+3, y=0, x=1, y x=5, como se ilustra en la figura 18 generada porderive.

Genere la grfica correspondiente, siguiendo el mismo procedimiento de la actividad conDerive del captulo anterior. Seleccione del men "Seleccionar" la opcin "Rango de la grfi-ca" o simplemente pulse Control + R. Como rango de la grfica los siguientes: Horizontaldesde -1 hasta 6 con 7 divisiones, vertical desde -2 hasta 30 con 16 divisiones.

Ahora posicionado en la ventana de ecuaciones de Derive seleccione del men "Clculo" laopcin "Integrales" o pulse Control + Shift + I. Seleccione la opcin integral definida y digitelos lmites del intervalo de integracin como se muestra en la figura 17 y haga clic en el botn"Simplificar", debe obtener el valor 160/3 y al hacer clic en el cono obtendr el valor 53,33.

Figura 17. Parmetros de integracin indefinida.

Ahora, desde la ventana de ecuaciones introduzca la orden PlotInt (x^2 + 3, x, 1, 5) y pulseEnter, luego grafique esa expresin, y deber obtener un resultado similar al de la figura 18.

Las grficas de las figuras de este captulo fueron generadas con Derive, repase el captulogenerando las grficas usted mismo.

ACTIVIDAD 2ACTIVIDAD 2ACTIVIDAD 2ACTIVIDAD 2ACTIVIDAD 2 INTEGRACIN DEFINIDA USANDO DERIVE INTEGRACIN DEFINIDA USANDO DERIVE INTEGRACIN DEFINIDA USANDO DERIVE INTEGRACIN DEFINIDA USANDO DERIVE INTEGRACIN DEFINIDA USANDO DERIVE

64


Figura 18. Grfica de un rea generada por Derive.

ACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOS

1. 32

2xdx , Rta. 5

2. 4

3

5dx , Rta. 5

3. ( ) 40

2 43 dxx , Rta. 48

4. 1

0

1124 dxx , Rta. 2

PRCTICA DE ENTRENAMIENTOPRCTICA DE ENTRENAMIENTOPRCTICA DE ENTRENAMIENTOPRCTICA DE ENTRENAMIENTOPRCTICA DE ENTRENAMIENTO

5. ( )dxx 21

2 32 ,Rta. -2

6. 41

3 dxx , Rta. 14

7. ( ) 32

52 412 xdxx , Rta. 15.625

8. 32

2 32 dxxx , Rta. 7.82

Calcular cada una de las siguientes integrales definidas y verificar la respuesta.

65

MMMMMatemtica IIatemtica IIatemtica IIatemtica IIatemtica IIACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOS

PRCTICA DE APLICACINPRCTICA DE APLICACINPRCTICA DE APLICACINPRCTICA DE APLICACINPRCTICA DE APLICACIN

1. Determinacin de excedentes.Determinacin de excedentes.Determinacin de excedentes.Determinacin de excedentes.Determinacin de excedentes.La funcin de demanda para un producto es

qqfp 05,0100)( == , donde p es el preciopor unidad (en dlares) de q unidades. La fun-cin de oferta es p=g(q)=10+0,1q. Determi-nar los excedentes de consumidores y produc-tores bajo el equilibrio del mercado. Usar Deri-ve para generar el grfico respectivo.

2. Determinacin de Excedentes. Determinacin de Excedentes. Determinacin de Excedentes. Determinacin de Excedentes. Determinacin de Excedentes. La ecuacinde demanda para un producto es

290)( ==p

pfq

y la ecuacin de oferta es

q=g(p)= P-1. Determinar el excedente de losconsumidores y el de los productores cuan-do se ha establecido el equilibrio del merca-do.

3. Excedentes bajo equilibrioExcedentes bajo equilibrioExcedentes bajo equilibrioExcedentes bajo equilibrioExcedentes bajo equilibrio. En los siguien-tes casos la primera ecuacin es la de deman-da y la segunda es la ecuacin de oferta deun producto. En cada caso, determine el ex-cedente de consumidores y el excedente deproductores bajo equilibrio del mercado.

a. qp 8,020 = , qp 2,14 +=

.

b.

550+= qp

, 5,410+= qp .

c. )10(100 pq = ,

)1(80 = pq

.

4. Excedente de consumidores. La ecuacin de

demanda de un producto es pq = 10010 .Calcule el excedente de consumidores bajoel equilibrio del mercado, que ocurre a un pre-cio de $84.

5. Excedente de consumidores. La ecuacin de

demanda para un producto es qp = 112 , yla ecuacin de oferta es 12 += qp , donde pes el precio por unidad (en cientos de dla-res) cuando q unidades se demandan o seofrecen. Determine a las 1.000 unidades mscercanas el excedente de consumidores bajoequilibrio del mercado.

6. Excedentes bajo equilibrio.Excedentes bajo equilibrio.Excedentes bajo equilibrio.Excedentes bajo equilibrio.Excedentes bajo equilibrio. La ecuacin dedemanda para un producto es

600.35060

2 += qqp y la ecuacin de

oferta es 26)20ln(10 += qp . Determi-ne el excedente de consumidores y el de pro-ductores bajo equilibrio del mercado. Redon-dee sus respuestas al entero ms cercano.

7. Distribucin de IngresosDistribucin de IngresosDistribucin de IngresosDistribucin de IngresosDistribucin de Ingresos. El economista Wil-fredo Pareto3 estableci una ley emprica dedistribucin de ingresos superiores que da elnmero N de personas que reciben x o ms

dlares. S bax

dxdN = , donde a y b son

constantes, obtenga una integral definida qued el nmero total de personas con ingresosentre a y b, siendo a

66


10.Costo marginal. La funcin de costo marginal

de un fabricante es 32,0 += qdqdc

. Si c est

en dlares, determine el costo de incrementarla produccin de 60 a 70 unidades.

11.Ingreso marginal. La funcin de ingreso mar-ginal de un fabricante es

qMR

dqdr

100000.1== . Si r est en dlares,

encuentre el cambio en el ingreso total delfabricante si la produccin aumenta de 400 a900 unidades.

12.Curva de Lorentz. Una curva de Lorentz se usapara estudiar las distribuciones de ingresos.Si x es el porcentaje acumulativo de los re-ceptores de ingresos, ordenados de ms po-bres a ms ricos, y y es el porcentaje acumu-lativo de los ingresos, entonces la igualdadde la distribucin de ingresos est dada porla lnea y=x en la figura 19, donde x y y se

expresan como decimales. Por ejemplo, el10% de la gente recibe el 10% de los ingre-sos totales, el 20% recibe el 20% de los ingre-sos, etc. Suponga que la distribucin real estdada por la curva de Lorentz definida por

xxy211

2120 2 += . Observe, por ejemplo,

que el 30% de la gente recibe slo el 10% delos ingresos totales. El grado de desviacinde la igualdad se mide por el coeficiente dedesigualdad para una curva de Lorentz. Estecoeficiente se define como el rea entre lacurva y la diagonal, dividida entre el rea bajola diagonal:

diagonallabajoreadiagonallaycurvalaentrerea

.

Por ejemplo, cuando todos los ingresos soniguales, el coeficiente de desigualdad es cero.Encuentre el coeficiente de desigualdad parala curva de Lorentz definida antes.

Figura 19. Curva de Lorentz para el problema 12.

PRCTICA DE APLICACINPRCTICA DE APLICACINPRCTICA DE APLICACINPRCTICA DE APLICACINPRCTICA DE APLICACIN


67


RESPUESTASRESPUESTASRESPUESTASRESPUESTASRESPUESTAS


1. CS=9.000 y PS=18.000

2. CS=72,85 y PS=32.

3. (a) CS=25,6 y PS=38,4; (b) CS=50 LN(2)-25y PS=1,25; (c) CS=800 y PS=1.000.

4. CS= $426,67.

5. CS= $254.000.

6. CS=1.197 y PS=477.

7. b

a

bdxax .

8. $8.639.

9. 1.973.333.

10. $160.

11. $2.000.

12. 20/63.

AUTOEVALUACINAUTOEVALUACINAUTOEVALUACINAUTOEVALUACINAUTOEVALUACIN

1. Al introducir un impuesto, el precio que pagael consumidor es distinto del que percibe elproductor. Esa diferencia representa, justamen-te, el impuesto. Cuando se introduce o se in-crementa un impuesto, se desplaza hacia arri-ba el costo marginal de la empresa; por lotanto,

a. Se desplaza hacia abajo la curva de oferta.

b. Se desplaza hacia arriba la curva de oferta.

c. No se logra un punto de equilibrio de mer-cado.

d. Aumenta el excedente del consumidor

e. Aumentan las cantidades ofrecidas.

2. Las siguientes afirmaciones son verdaderasexcepto una. Cual?

a. Con el impuesto se produce una apropia-cin del Estado de los excedentes del con-sumidor y del productor.

b. La parte que es transferida al Estado norepresenta una prdida a nivel global.

c. Con el impuesto, hay una parte que cons-tituye una prdida que no la gana nadie.

d. La incidencia del impuesto depende de so-bre quin recaiga el mismo y no de la elas-ticidad de las curvas.

e. Los productores trasladan la totalidaddel impuesto a los consumidores cuan-do la curva de demanda es perfecta-mente inelstica.

3. La funcin de gasto del consumidor re-presenta el gasto mnimo para lograr unnivel de utilidad determinado. La diferen-cia entre lo que estaran dispuestos a pa-gar los consumidores para una determi-nada cantidad de producto y lo que efec-tivamente pagan, se llama:

a. Propensin marginal al consumo.

b. Propensin marginal al ahorro.

c. Costo marginal.

d. Excedente del consumidor.

e. Excedente del productor.

4. La diferencia entre lo que percibe el pro-ductor y el precio al que estara dispuestoa ofrecer cada una de las unidades de pro-ducto, se llama:

a. Propensin marginal al consumo.

b. Propensin marginal al ahorro.

c. Costo marginal.

d. Excedente del consumidor.

e. Excedente del productor.

68

Integral definida22222 ACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOSACTIVIDADES Y DOCUMENTOS

5. La funcin del ingreso total se puede ob-tener como la integral indefinida de:

a. El costo marginal.

b. La utilidad marginal.

c. El ingreso marginal.

d. El costo total.

e. El ingreso promedio.

6. Podemos llegar a la funcin de utilidadtotal usando el proceso de integracin in-definida, contando con la siguiente infor-macin:

a. La funcin de oferta y el costo fijo.

b. La ecuacin de demanda y el ingresopromedio.

c. Las funciones de costo fijo y costo va-riable.

d. El ingreso marginal y el costo marginal.

e. Los excedentes del productor y del con-sumidor.

7. La antiderivada de la utilidad marginal eslo mismo que:

a. La derivada de la utilidad total.

b. La derivada de la utilidad media.

c. El Ingreso Marginal menos el Costo Mar-ginal.

d. La integral indefinida de la utilidad to-tal.

e. La integral indefinida de la utilidad mar-ginal.

8. La integral definida entre dos valores a y bde x para una funcin se define como:

a. El rea bajo la curva entre x=a y x=b.

b. La variacin marginal entre x=a y x=b.

c. La antiderivada de dicha funcin.

d. La derivada de dicha funcin en los pun-tos a y b.

e. El rea entre la curva y el eje y desde y=ahasta y=b.

9. La curva de Lorentz se usa para estudiar:

a. Las distribuciones de ingresos.

b. La produccin mxima.

c. El ptimo de Pareto.

d. Las distribuciones de utilidades.

e. El anlisis marginal.

10. Para calcular la integral definida debemosseguir el procedimiento siguiente:

a. Calcular la antiderivada de la funcin y lue-go reemplazar esta funcin en el lmite su-perior e inferior. Luego hallar la diferenciade esos dos valores obtenidos.

b. Hallar el lmite cuando x 0 de[(x+ x)-(x)]/ x. El resultado obteni-do es nuestra integral buscada.

c. Hallamos la derivada de la funcin y luegoreemplazamos en ella la diferencia entrelos dos lmites del intervalo.

d. Hallamos primero la integral indefinida yluego reemplazamos en ella la diferenciaentre los lmites superior e inferior de la in-tegral.

e. Simplificamos la expresin, aplicamos laregla de integracin indefinida y simplifi-camos el resultado

Barnet Raymond A. Matemticas para Administracin y Ciencias Sociales. 2 Edicin. Nueva Editorial Interamenricana S.A. Mxico,1983.

Draper Jean E. & Klingman Jane S. Matemticas para Administracin y Economa. Editorial Harla. Mxico, 1976.

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Hoffman Lawrence D. Clculo para Ciencias Sociales y Administrativas. Editorial McGrawHill. Bogot, 1980.

AUTOEVALUACINAUTOEVALUACINAUTOEVALUACINAUTOEVALUACINAUTOEVALUACIN

REFERENCIAS BIBLIOGRFICASREFERENCIAS BIBLIOGRFICASREFERENCIAS BIBLIOGRFICASREFERENCIAS BIBLIOGRFICASREFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

Captulo 1.pdf

libro matemáticas ii

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