matemáticas financieras ii

Julio Lezama Vsquez Matemticas Financieras II ......

Universidad Los ngeles de Chimbote/ Sistema de Universidad Abierta

INTRODUCCION

Las matemticas financieras, proporcionan herramientas que permite evaluar las diferentes alternativas de financiamiento empresarial; de manera que se constituyen en instrumentos tcnicos, que orientan a los ejecutivos en la toma de decisiones, para asignar recursos monetarios a las operaciones ms rentables y que mejor convengan a las organizaciones.

Como cualquier otra actividad cientfica las matemticas financieras evolucionan, utilizan nuevas formas y, a medida que se ampla el campo de sus aplicaciones, se profundizan los conceptos. Por tanto en este curso estudiamos los fundamentos tericos de las matemticas financieras, la lgica de sus diferentes mtodos y las herramientas que nos permiten dar solucin a la infinidad de problemas que en este campo se presentan. Uno de los principales objetivos del trabajo, es que el estudiante adquiera destrezas en la interpretacin y manejo de los conceptos y las frmulas de acuerdo a cada tema, a fin de afianzar sus conocimientos en la materia, los mismos que le permitirn una aplicacin exitosa en el ejercicio profesional. Con el propsito de dinamizar y hacer ms comprensible el estudio de la asignatura de Matemticas Financieras, diseamos el presente texto, en el que el lector encontrar las respectivas instrucciones para su eficiente manejo y las estrategias de estudio de todos y cada uno de los temas, permitiendo el desarrollo de un aprendizaje de calidad. Consientes de que una de las caractersticas ms relevantes del mundo globalizado, son los cambios vertiginosos en todos sus mbitos, como en el tecnolgico, econmico y financiero, induciendo una evolucin permanente de estas reas del conocimiento y en particular de las matemticas financieras que cambian al comps de los escenarios en los cuales actan.

Los captulos se han estructurado desarrollando un nivel de complejidad ascendente, de modo que la comprensin de uno facilita la comprensin del siguiente, cada captulo desarrolla la parte terica, ejemplos y problemas de aplicacin correspondientemente resueltos.



El captulo 1. Presenta los conceptos bsicos de las matemticas financieras, deduccin de las frmulas correspondientes al monto y al inters compuesto, dando solucin a problemas de casos tipos.

El capitulo 2. En este captulo se toca lo referente al valor actual a inters compuesto, se estudia adems la tasa de inters en sus diferentes modalidades, finalizando con el clculo del tiempo Captulo 3. Estudia lo referente al descuento, tanto el racional como el bancario y las ecuaciones de valor a inters compuesto

Los captulos 4,5,6 y 7 estudian las anualidades en sus diferentes formas, como las anualidades ordinarias, anticipadas, diferidas, perpetuas o vitalicias y las anualidades generales.

El captulo 8 Trata respecto a las amortizaciones de deudas, depreciacin de activos fijos y agotamiento de recursos no renovables.

Finalmente el captulo 9. Desarrolla los temas respecto a la evaluacin de alternativas de inversin, analizando los principales indicadores de evaluacin como el valor actual neto, la tasa interna de retorno, el perodo de recuperacin de capital y la relacin beneficio costo.



C O N T E N I D OS

CAPITULO I : INTERES COMPUESTO

1.1 Funcin del tiempo 1.2 La escala de tiempo 1.3 Valor del dinero en el tiempo 1.4 Periodo de capitalizacin 1.5 Valor futuro de un capital. 1.6 Capitalizacin 1.7 Inters compuesto 1.8 Clculo del monto 1.9 Deduccin de frmulas 1.10 Factor simple de capitalizacin 1.11 El monto en funcin de la tasa nominal 1.12 El monto en perodos fraccionarios 1.13 Capitalizacin calendria 1.14 Monto con principal constante y tasa efectiva variable 1.15 Monto con capital y tasa efectiva variable 1.16 Clculo del inters 1.17 Clculo de la tasa de inters 1.18 Clculo del nmero de periodos de capitalizacin 1.19 Problemas propuestos. CAPITULO II: VALOR ACTUAL O CAPITAL INICIAL 2.1 Valor actual 2.2 Factor simple de actualizacin 2.3 Tasas utilizadas en el sistema financiero 2.4 Tasa nominal 2.5 Tasa efectiva 2.6 Conversin de tasas 2.6.1 Conversin de una tasa efectiva en otra efectiva de diferente periodo 2.6.2 Tasas equivalentes 2.7 Tasa de inflacin 2.8 Tasa real



2.9 Tasas reajustadas por efectos de la inflacin 2.10 Listado de frmulas 2.11 Problemas propuestos

CAPITULO III: DSCUENTO COMPUESTO 3.1 Descuento racional o verdadero 3.2 Calculo del descuento 3.3 Clculo del valor nominal y valor efectivo 3.4 Descuento bancario 3.5 Listado de frmulas 3.6 Problemas propuestos

CAPITULO IV: ECUACIONES DE VALOR 4.1 Marco referencial 4.2 Ecuaciones de valor 4.3 Valor equivalente 4.4 Vencimiento medio de obligaciones 4.5 Problemas propuestos

CAPITULO V: ANUALIDADESA

5.1 Clasificacin de las anualidades 5.2 Monto de una anualidad ordinaria simple 5.3 Valor presente de una anualidad ordinaria simple 5.4 Valor de las rentas en una anualidad ordinaria simple

5.4.1 Renta ordinaria en funcin del monto 5.4.2 Renta ordinaria en funcin del valor actual

5.5 El tiempo en una anualidad ordinaria simple 5.5.1 El tiempo en funcin del monto 5.5.2 El tiempo en funcin del valor actual

5.6 La tasa de inters en una anualidad ordinaria simple 5.7 Listado de frmulas 5.8 Problemas propuestos CAPITULO VI: ANUALIDADES ANTICIPADAS 6.1 Monto de una anualidad anticipada simple 6.2 Valor actual de una anualidad anticipada simple 6.3 Rentas anticipadas simples

6.3.1 Renta anticipada en funcin del monto 6.3.2 Renta anticipada en funcin del valor actual

6.4 El tiempo en una anualidad anticipada simple



6.4.1 El tiempo en funcin del monto 6.4.2 El tiempo en funcin del valor actual

6.5 La tasa de inters en una anualidad anticipada simple 6.6 Listado de frmulas 6.7 Problemas propuestos

CAPITULO VII: ANUALIDADES DIFERIDAS

6.1 Valor del monto de una anualidad diferida

6.1.1 Monto de una anualidad vencida simple diferida 6.1.2 Monto de una anualidad simple anticipada diferida

6.2 Valor actual de una anualidad diferida 6.3 Valor de la renta de una anualidad diferida

6.3.1 Renta de una anualidad ordinaria diferida en funcin del monto 6.3.2 Renta de una anualidad anticipada diferida en funcin del monto 6.3.3 Renta de una anualidad ordinaria diferida en funcin del valor

actual 6.3.4 Renta de una anualidad anticipada diferida en funcin del valor

actual 6.3.5 Clculo de n y t en una anualidad simple diferida

CAPITULO VIII: RENTAS PERPETUAS O VITALICIAS

8.1 Valor actual de una renta perpetua ordinaria 8.2 Valor actual de una renta perpetua anticipada 8.3 Rentas de una perpetuidad

8.3.1 Renta perpetua ordinaria 8.3.2 Renta perpetua anticipada

8.4 La tasa de inters de una perpetuidad 8.5 Listado de frmulas 8.6 Problemas propuestos CAPITULO IX: ANUALIDADES GENERALES

9.1 Monto con varios periodos de capitalizacin por periodo de pago 9.2 Monto con varios periodos de pago por perodo de capitalizacin 9.3 Valor actual de una anualidad general 9.4 Renta de una anualidad general ordinaria 9.5 Renta de una anualidad general anticipada 9.6 Problemas propuestos

CAPITULO X: AMORTIZACIONES 10.1 Marco referencial 10.2 Sistemas de amortizacin



10.2.1 Un pago nico al final del periodo del prstamo 10.2.2 Amortizacin con cuotas ordinarias constantes 10.2.3 Amortizacin con cuotas anticipadas constantes 10.2.4 Amortizacin ordinaria a cuota constante, cuando el prstamo se

desembolsa en partes. 10.2.5 Amortizacin con periodo de gracia o pago diferido 10.2.6 Amortizacin con periodo de gracia , cuando en el plazo diferido

se paga solamente los intereses 10.3 Problemas propuestos

CAPITULO XI: DEPRECIACIONES

11.1 Causas que originan la depreciacin 11.2 Factores de la depreciacin 11.3 Mtodos de clculo de depreciacin

11.3.1 Depreciacin a cuota constante 11.3.2 Depreciacin a cuota decreciente 11.3.3 Depreciacin a cuota creciente

CAPITULO XII: AGOTAMIENTO

12.1 Mtodos de clculo del agotamiento 12.1.1 Mtodo del factor o costo de agotamiento 12.1.2 Mtodo del descuento por agotamiento

12.2 Problemas propuestos.

CAPITULO XIII: EVALUACIN ECONOMICA DE PROYECTOS DE INVERSION

13.1 Conceptos generales 13.2 Evaluacin econmica

13.2.1 Valor actual neto 13.2.2 Tasa interna de retorno 13.2.3 Relacin beneficio costo 13.2.4 Periodo de recuperacin de capital

13.3 Problema propuesto .

CAPITULO XIV: EVALUACIN FINANCIERA DE PROYECTOS DE INVERSION

14.1 Evaluacin financiera 14.2 Rentabilidad financiera 14.3 Flujo de caja financiero 14.4 Problema propuesto



C A P I T U L O I

1. INTERES COMPUESTO

Las matemticas financieras como cualquier otra actividad cientfica utiliza categoras e instrumentos tcnicos que ameritan su definicin terica para una mejor comprensin de sus contenidos.

En consecuencia, iniciamos el estudio de nuestra materia con el anlisis de los conceptos bsicos referentes a las categoras utilizadas en el clculo financiero. Es evidente que algunos de ellos, ya nos son familiares por haberse tocado en Matemtica Financiera I, pero es necesario mantenerlo vigente para su aplicacin correspondiente en la presente asignatura.

1.1 Funcin del Tiempo

El crecimiento natural es una variacin proporcional de la cantidad presente en cualquier orden de cosas en funcin del tiempo, tal es el caso de los vegetales, animales etc. Que crecen en funcin continua al tiempo, situacin que tambin se presenta en la capitalizacin a inters compuesto. 1.2 La Escala de Tiempo

Las escala de tiempo es indispensables para visualizar el flujo previsto de efectivo resultante de una inversin propuesta o un flujo de pagos, de acuerdo al tipo de operacin financiera que se efecte.

La escala de tiempo muestra periodos de clculo del inters, como tambin la frecuencia de capitalizacin de los mismos, y estos pueden ser: meses, trimestres, semestres, aos o cualquier otro perodo de tiempo. Por ejemplo si los intereses se capitalizan trimestralmente, por un espacio de 10 aos, la escala de tiempo mostrar 40 periodos y si se capitaliza semestralmente la escala mostrar 20 perodos de capitalizacin. La escala de tiempo muestra tambin los periodos de paga a la deuda, erogaciones por diferentes conceptos, etc. Grficamente la escala de tiempo, lo ilustramos en la figura siguiente:



Fig. 1.1

200 200 200 200 200 200 200 200 . . . . . . . 0 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n

La Fig. 1.1 representa una serie uniforme de desembolsos anuales que tienen lugar al final de cada ao durante un periodo de n aos. 1.3 Valor del Dinero en el Tiempo

El concepto del valor del dinero en el tiempo, se sustenta en el hecho de que el dinero disponible ahora, vale ms que la expectativa de la misma cantidad en un perodo futuro. Debido a que una unidad monetaria ahora se puede colocar en una alternativa que permita un rendimiento en el futuro, convirtindose en una cantidad mayor que la actual. De manera que no es lo mismo recibir una unidad monetaria ahora, a recibir la misma cantidad dentro de un mes. El valor del dinero en el tiempo es diferente, por efecto de la tasa de inters y la tasa inflacionaria; la tasa de inters permite medir el valor econmico del dinero y la tasa inflacionaria su capacidad adquisitiva. Por lo tanto un sol de hoy no es el mismo que el de ayer o el de maana.

La explicacin del valor del dinero en el tiempo, nos llevara a afirmar que no nos atreveramos a otorgar dinero en calidad de prstamo, sin exigir como pago una cantidad adicional, que compense la prdida de la capacidad adquisitiva o conservar su valor equivalente en el tiempo.

La tasa exigible por el prstamo es la tasa de inters; en consecuencia, el tiempo y la tasa de inters son factores esenciales que nos permiten conocer el valor cronolgico del dinero. Ahondando un poquito ms, el inters puede definirse ya como un costo o como una ganancia. Ser un costo, cuando se pide fondos prestados a terceros y por su utilizacin convenimos pagar una cierta cantidad de dinero; se define como ganancia cuando el prstamo se utiliza en la compra de materiales y equipos con la finalidad de desarrollar una actividad econmica que nos permitan generar ganancias

El factor tiempo juega un papel decisivo a la hora de fijar el valor de un capital. No es lo mismo disponer de 1 milln de unidades monetarias hoy que dentro de un ao, ya que el dinero se va depreciando como consecuencia de la inflacin.



Por lo tanto, S/.1,000 en el momento actual ser equivalente a S/.1,000 ms una cantidad adicional dentro de un ao. Esta cantidad adicional es la que compensa la prdida de valor que sufre el dinero durante ese periodo.

Hay dos reglas bsicas en matemticas financieras:

a. Ante dos capitales de igual cuanta en distintos momentos, se preferir aqul que sea ms cercano

b. Ante dos capitales en el mismo momento pero de distinto importe, se preferir aquel de importe ms elevado

Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay que hallar el equivalente de los mismos en un mimo momento, y para ello utilizaremos las formula de capitalizacin o de actualizacin segn el caso.

Ejemplo 1.1: Qu es preferible disponer de S/.2,000 dentro de 1 ao o de S/.4,000 dentro de 5 aos, si la tasa de inters anual es del 25?.

Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes de ambos importes en un mismo instante.

As, por ejemplo, si aplicando las leyes financieras resulta que el primer importe equivale a S/.1,600.00 en el momento actual, y el segundo equivale a S/.1,310.72, veremos que es preferible elegir la primera opcin.

Hemos calculado los importes equivalentes en el momento actual, pero podramos haber elegido cualquier otro instante (dentro de 1 ao, dentro de 5 aos, etc), y la eleccin habra sido la misma.

Las tcnicas financieras que nos permiten calcular el equivalente de un capital en un momento posterior, toman el nombre de capitalizacin, mientras que aquellas que nos permiten calcular el equivalente de un capital en un momento anterior, se denominan tcnicas de actualizacin.

Estas tcnicas financieras nos permiten tambin sumar o restar capitales en distintos momentos.

Ejemplo: Si vamos a recibir S/.1,000 dentro de 6 meses y S/.2,000 dentro de 9 meses, no los podemos sumar directamente, sino que tendremos que hallar sus equivalente en un mismo instante (el momento actual, dentro de 6 meses, 9 meses, etc) y entonces si se podrn sumar.

1.4 Perodo de Capitalizacin

Es el intervalo de tiempo convenido, para capitalizar los intereses formando un valor futuro o monto.



1.5 Valor Futuro de un Capital

Es el valor final o monto acumulado, despus de transcurridas sucesivas capitalizaciones durante el horizonte temporal 1.6 Capitalizacin

Capitalizar significa sumar el inters al capital al final de cada perodo, formando un nuevo capital mayor al anterior, sobre el cual se calcular el inters del siguiente perodo y as sucesivamente hasta el ltimo, de manera que se capitalizarn, tantas veces como el nmero de perodos permanezca el capital invertido. 1.7 Inters Compuesto

Es el proceso mediante el cual el inters generado por un capital calculado al final de cada perodo no se retiran sino que se suman al capital (se capitalizan) para formar un nuevo capital y sobre la base de este, calcular el inters del siguiente perodo y as sucesivamente, entonces dicha operacin financiera toma el nombre de inters compuesto. Cuando los intereses se pagan peridicamente, no puede haber inters compuesto, puesto que el capital se mantiene constante

1.8 Clculo del Monto

En cualquier inversin o colocacin de dinero se espera recibir, el capital ms sus intereses. Se compran bonos, acciones u otros ttulos, para recibir despus de un determinado periodo de tiempo una cantidad mayor. En este caso el monto es igual a la suma del capital ms el inters compuesto, calculado a una tasa de inters (i) en (n) periodos de tiempo; operacin que lo ilustramos en la escala de tiempo:

Fig. 1.2 P S = ? . . . . . .

0 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n

1.9 Deduccin de la frmula del Monto

Para el efecto utilizaremos la simbologa siguiente:

S = Monto o cantidad de dinero en una fecha futura, constituido por la suma del capital ms el inters.



P = Capital actual o valor presente del dinero por el cual se paga intereses. En la escala de tiempo se ubica en el punto cero, o cualquier otro punto en que se inicia el cmputo del tiempo.

i = Tasa de inters de un capital o tasa de rendimiento de una inversin. n = Nmero de periodos en los que un capital se encuentra colocado. m = Frecuencia de capitalizacin I = Importe del inters

De conformidad con la definicin del valor futuro de un capital, como la suma del capital ms el inters, al que se le denomina tambin monto, deducimos la frmula mediante el siguiente razonamiento:

Si un capital P, al final del primer perodo se ha convertido en

P + Pi

Factorizando dicha expresin se habr convertido en: P(1+i).

al finalizar el segundo periodo, este nuevo capital se habr convertido en P(1+i)(1+i) = P(1+i)2 ;

y al finalizar el tercer periodo en P(1+i)2(1+i) = P(1+i)3.

Esto implica que al final de n periodos, el capital se habr convertido en: P(1+i)n

En dicha expresin se encuentra sumado el capital con los intereses obtenidos en n perodos.

Luego la frmula del monto ser:

S = P(1+i)n

La formula permite calcular el monto en una cuenta a inters compuesto, cuando el capital y la tasa de inters efectiva son constantes, no se producen incrementos ni reducciones del capital, ni se realizan retiros de intereses durante el horizonte temporal. En esta frmula y las dems referentes al clculo financiero, i y n deben estar expresados en perodos de tiempo de la misma duracin; es decir si i es anual n es nmero de aos, si i es trimestral n ser numero de trimestres y as sucesivamente para cualquier otro perodo de tiempo.



1.10 Factor Simple de Capitalizacin

La expresin (1+i)n que multiplica al capital se llama Factor Simple de Capitalizacin, simblicamente lo podemos expresar por FSC. Por lo tanto la formula podra tambin expresarse como:

S = Pi- n.FSC

y se lee el monto es igual al producto del capital por el factor simple de capitalizacin a una tasa de inters i en n perodos de tiempo. El FSC es el monto a inters compuesto, generado por una unidad monetaria, durante n perodos de tiempo y a una tasa de inters i por perodo. Dicho factor tiene por funcin llevar al futuro cualquier cantidad presente o traer al presente cualquier cantidad del pasado.

Ejemplo 1.2 Se deposita en una cuenta de Ahorros S/.5,000 a inters compuesto a la tasa efectiva del 20% anual. A cunto ascender el monto al cabo de 4 aos?

S = P(1+i)n S = 5,000(1+0.20)4 S = 5,000(1.20)4 S = 5,000(2.0736) S = 10,368

Como la tasa efectiva esta dado anualmente, significa que el clculo de los intereses y las correspondientes capitalizaciones se dan anualmente. Es decir al final de cada ao.

1.11 El Monto en Funcin de la Tasa Nominal

Para solucionar problemas de carcter financiero con aplicacin de la tasa nominal que puede ser anual TNA, tasa nominal semestral TNS o en cualquier otro periodo de tiempo, con diferentes perodos de capitalizacin pudiendo ser mayor o menor al perodo dado para la tasa nominal, es necesario determinar la tasa efectiva dividiendo o multiplicando segn el caso.. Por ejemplo, pueden darse los casos:



Una tasa nominal anual TNA con capitalizacin mensual; una tasa nominal trimestral TNT con capitalizacin mensual o tambin la capitalizacin puede estar dado en un perodo mayor al de la tasa nominal, como el siguiente: Una tasa nominal mensual TNM con capitalizacin trimestral. En estos casos la frmula anterior se ve afectado por la frecuencia de capitalizacin (m); para el efecto es necesario convertir la tasa nominal j capitalizable m veces en una tasa efectiva i del perodo capitalizable. Cuando la frecuencia de capitalizacin se efecta en un perodo menor al establecido para la tasa nominal, la tasa efectiva del perodo capitalizable se obtiene dividiendo la tasa nominal por la frecuencia de capitalizacin.

i = mj

De manera que la frmula del monto estara dado por :

S = P ( )nmj.1+

Cuando el perodo de la frecuencia de capitalizacin esta dado en un perodo mayor al de la tasa nominal, es necesario adecuar la tasa multiplicndolo correspondientemente. Por ejemplo si se tiene una tasa nominal j mensual con capitalizacin semestral, es necesario multiplicar a la tasa nominal j por seis, porque en un semestre hay seis meses. Es decir la tasa i y el nmero de perodos n deben estar referidos a la misma unidad de tiempo, efectuando de ser necesario las conversiones apropiadas cuando dichas variables corresponden a diferentes perodos de tiempo.

Ejemplo 1.3: Un comerciante coloca la cantidad de S/. 10,000 al 26% anual con capitalizacin trimestral durante 5 aos y desea saber de cuanto dispondr al final del perodo.

S = 10,000 ( )20426.0.1+

S = 10,000( )20065.01 +

S = 10,000( )20065.1 S = 35,236.45

En este caso si la frecuencia de capitalizacin es trimestral el valor de m se obtiene respondiendo a la pregunta. Cuntos trimestres tiene el ao?.



Al dividir a la tasa y multiplicar al nmero de perodos por la frecuencia de capitalizacin, se ha convertido ambas variables en la unidad de tiempo trimestral.

Ejemplo 1.4: Un banco paga por depsitos en ahorro una tasa nominal mensual del 2% con capitalizacin trimestral. Cul ser el monto acumulado si el capital es de S/.2,000, colocado durante 9 meses?. Para obtener la tasa efectiva por perodo de capitalizacin, multiplicamos la tasa nominal mensual 0.02 por 3 meses que trae el trimestre, de manera que al trmino del primer perodo de capitalizacin, la tasa de inters efectiva ser de 0.06 y luego nos preguntamos: Cuantos trimestres hay en 9 meses?, la respuesta es 3, remplazando los datos en la frmula obtenemos:.

S = 2,000 ( )3061 .+ S = 2,382.03

Lo manifestado en el anlisis efectuado tiene la finalidad de indicar que la tasa nominal es simplemente una definicin y su aplicacin en las formulas es la tasa efectiva, por tal razn prescindimos de dicha definicin y aplicamos directamente la tasa efectiva.

1.12 El Monto en Periodos Fraccionarios Analizando los diferentes casos las operaciones financieras, a menudo no coinciden con los periodos de capitalizacin o de vencimiento. Por ejemplo: Un capital P se coloc por un perodo de cinco aos a una tasa de inters anual i; pero por razones imprevistas se interrumpe faltando cuatro meses para su vencimiento, fecha en la que se debe calcular el monto y liquidar la operacin.

Comercialmente se acostumbra, calcular el monto a inters compuesto en periodos completos y por la fraccin de tiempo que falta se determina el inters simple sobre el monto encontrado y luego se suma obtenindose el monto total.. Pero consideramos oportuno remarcar, que desde el punto de vista tcnico el monto debe calcularse a inters compuesto para el total de perodos, incluido la fraccin. Este tipo de problemas lo solucionamos colocando en el exponente de la frmula, el resultado de convertir el total de periodos incluido la fraccin en meses y dividirlo por la frecuencia de capitalizacin.

Ejemplo 1.5: Determinar el monto a inters compuesto de S/.5,870 depositado en un banco durante 3 aos y 3 meses a la tasa del 16% anual.



En este caso el nmero de periodos convertido a meses es 39 y como la

frecuencia de capitalizacin es anual y un ao tiene 12 meses n es igual a 1239 ,

cantidad que reemplazamos en la frmula:

S = P ( )ni1+ S = 5,870 ( )123916.01+

S = 5,870 ( ) 25.316.1 S = 9,508.82

Ejemplo 1.6: Que monto deber pagarse por un prstamo de S/.20,000, en un periodo de 2 aos y 9 meses, si el banco cobra el 20% anual con capitalizacin semestral El periodo convertido a meses es 33 y la frecuencia de capitalizacin es semestral, luego en un semestre hay 6 meses

S = P ( )ni1+ S = 20,000 ( ) 63310.01+

S = 20,000 ( ) 50.510.1 S = 33,782.34

1.13 Capitalizacin Calendara Las capitalizaciones: anual, semestral, trimestral, mensual, etc. estn referidos a perodos bancarios establecido por el BCR, en los cuales todos los meses estn conformados de 30 das. En cambio la capitalizacin calendaria, abarca perodos capitalizables en fechas fijas, incluyendo perodos de capitalizacin variables, dependiendo del nmero de das contenidos en cada mes del ao. Ejemplo 1.6: Determinar el monto a pagar de un prstamo obtenido el 31 de marzo por S/.20,000, el mismo que deber pagarse el 27 de Septiembre del mismo ao a una tasa efectiva anual del 16%. S = 20,000 ( )36018016.01+

S = 20,000 ( ) 5.016.1

S = 21,540.66



1.14 Monto con Principal Constante y Tasa Efectiva Variable Si en una operacin financiera no se producen aumentos o disminuciones del principal, durante el horizonte temporal, despus del primer depsito o colocacin inicial, estamos frente a una operacin con principal constante. Si la tasa efectiva aumenta o disminuye durante el horizonte temporal . Se produce una variacin en la magnitud de la tasa de inters; por ejemplo cuando una TEA del 16 % aumenta al 18% o disminuye al 14 %. Adems el plazo de la tasa es variable, cuando durante el horizonte temporal la tasa de inters se expresa en diferentes unidades de tiempo; por ejemplo, tasa efectiva anual, tasa efectiva semestral, tasa efectiva trimestral. etc. Ejemplo 1.7: Calcular el monto en la que se transform un capital de S/.6,800, colocado a plazo fijo durante 9 meses. En el transcurso de perodo la tasa de inters es del 18% los primeros tres meses, del 20 % durante los tres meses siguiente y bajando al 16% los ltimos 3 meses.

Fig. 1.3 6,800

0 i = 0.18 3 i = 0.20 6 i = 0.16 9

S = 6,800 ( ) ( ) 25.020.125.018.1 ( ) 25.016.1 S = 7,698.20 1.15 Monto con Capital y Tasa Efectiva Variables Durante el horizonte temporal de una cuenta, se presentan casos en los que se producen variaciones en la tasa de inters conjuntamente con el capital. La variacin en el capital se presenta cuando se realizan depsitos o retiros generando aumento o disminucin del capital segn el caso y a la vez la tasa de inters vara de acuerdo a las variaciones del sistema financiero. En este caso, una forma de solucionar es fraccionando la operacin en tramos, durante los cuales el capital y la tasa permanecen constantes. Ejemplo 1.8: Se deposita en una cuenta de ahorros S/. 2,000 y cuatro meses despus se efecta un nuevo depsito por S/. 800 y se liquida la cuenta cuatro meses despus, en dicho perodo la tasa efectiva mensual del 1.5 % se mantiene constante los primeros cuatro meses, fecha en el que se incrementa a 2.5 % hasta el trmino de la operacin. Calcular el monto al trmino del horizonte temporal.



Fig. 1.4

2,000 800 S = ?

0 i = 0.015 4 i = 0.025 8 S = 2000 ( )4015.1 ( )4025.1 + 800 ( )4025.1 S = 2,343.09 + 883.05 S = 3,226.14 1.16 Clculo del Inters El inters es el beneficio monetario obtenido por el uso de un capital propio o el costo por el uso del capital ajeno durante un determinado perodo de tiempo y a una tasa de inters determinada.. Hemos visto que una inversin colocada a inters compuesto a una tasa dada, se convierte en una cantidad mayor llamada monto a un plazo determinado. La diferencia entre dicho monto y el capital inicial, constituye el inters, que podemos representarlo por: I= S P La relacin anterior nos indica que para determinar el inters, es necesario primero determinar el monto, para luego sustraer el capital. Pero se puede determinar directamente deduciendo la siguiente frmula:

De: I = S P

reemplazamos S por P( )ni+1 obtenemos

I = P( ) Pni +1 Sacamos factor comn y obtenemos la frmula:

I = P ( )[ ]11 + ni

Ejemplo 1.9 Determinar el inters compuesto de S/. 20,000. Impuesto a una tasa efectiva del 20% anual durante 4 aos.

I = P ( )[ ]11 + ni



I = 20,000 [(1+0.20)4 1] I = 20,000 [(1.20)4 1] I = 20,000 [(2.0736 1)]

I = 20,000 (1.0736) I = 21,472

Ejemplo 1.10: Determinar el inters compuesto de un depsito a plazo fijo de S/. 14,000 efectuado en un banco, al 14% anual, capitalizable semestralmente durante 5 aos.

La tasa est dada anualmente y la capitalizacin semestral y como en un ao hay 2 semestres, la tasa semestral es del 7%, tasa que reemplazamos en la frmula.

I = 14,000 [ ( ) ]11007.01 + I = 14,000(0.967151357) I = 13,540.12

Consideramos oportuno remarcar, que para determinar el valor de la frecuencia de capitalizacin se debe responder a la pregunta: Cuntos semestres tiene el ao?, en este caso y de acuerdo al enunciado, puede ser cuantos meses, bimestres o cualquier otro perodo de tiempo. 1.17 Clculo de la tasa de inters Tasa, es el inters generado por una unidad monetaria al que se le aplica un recargo en una unidad de tiempo, que por lo general es un ao. La tasa de inters se define tambin como la razn geomtrica entre el inters obtenido en un perodo de tiempo que por lo general es un ao y el capital o stock inicial de dinero. De la frmula bsica S = ( )ni1P + despejamos i

i = nPS

- 1

Ejemplo 1.11: A que tasa de inters efectiva mensual un capital de S/.10,000 se habr convertido en S/.12,000, en un periodo de 6 meses?.



i = 6000,10000,12

- 1

i = 0.0308

i = 3.08% efectivo mensual 1.20 Clculo del nmero de periodos de capitalizacin

La variable tiempo n, es otro elemento determinante en el manejo de las operaciones financieras. El smbolo n indica el nmero de periodos de capitalizacin de los intereses a la que hace referencia la tasa; esto implica, que si la capitalizacin de los intereses es anual n es el nmero de aos que dura la operacin, si la tasa es trimestral n es el nmero de trimestres y as sucesivamente. Dicho de otra manera n es el nmero de periodos de capitalizacin que comprende el horizonte temporal de una operacin financiera. Es necesario tener claro que matemticamente el valor del tiempo es aproximado no exacto, dado a que las fracciones decimales centesimales o cualquier otra fraccin son aproximaciones a un determinado perodo.

La frmula lo deducimos partiendo de la frmula del monto

S = ( )ni+1

Aplicando logaritmos

n = ( )iLog +1logP- S Log

Ejemplo 1.12: En qu tiempo un capital de S/10,000 se convertir en S/.15,000, a una tasa efectiva del 2% mensual? n = ( )02.0.1

log10,000- 15,000 LogLog

n = 20.48 meses n = 1 ao 8 meses 14 das Ejemplo 1.13 Qu, tiempo ser necesario para que un capital de S/.100,000 soles colocado al 20% anual se convierta en S/. 172,800?



n = )1.(.log..

iLogPSLog

+

n = )20.01.(

000,100.log800,172..+

LogLog

n = )20.1.(

000,100.log800,172..Log

Log

n = 079181246.0

5237543738.5. n = 3 aos

Ejemplo 1.14: Se deposita S/. 20,000 al 24% anual con capitalizacin trimestral recibiendo S/. 210,900 despus de cierto tiempo; cunto dur el depsito?

En este caso, estamos frente a un problema en la que la tasa es nominal con capitalizacin frecuente, de manera que en el denominador de la frmula, hacemos participar a la frecuencia de capitalizacin m a fin de que el nmero de perodos nos arroje en aos.

n = )1.(

.log..

mimLog

PSLog

+

n = )

424.01.(4

000,20log900,210..

+

Log

Log

n = )06.1.(4

000,20log900,210..Log

Log

n = 025305865.04

301029996.432407658.5.x

n = 025305865.04

301029996.432407658.5.x

n = 10.11 aos. Equivalente a 10 aos 1 mes y 9 das



1.21 Problemas propuestos 1. Determinar el monto a pagar dentro de un ao y cinco meses, por un

prstamo bancario de S/. 32,000 a una tasa efectiva mensual del 3% 2. Hallar el valor futuro de S/. 6,000 en un perodo de 5 aos: a. A la tasa efectiva del 6 % semestral b. A la tasa del 6 % semestral con capitalizacin mensual 3. Una empresa obtiene un prstamo por S/. 8,000para cancelarse dentro de 4

aos y 6 meses, a la tasa del 16% anual con capitalizacin trimestral. Cunto pagar a la fecha de liquidacin?.

4. Una cuenta se apertura el 30 de Abril con S/.15,000, a una tasa nominal del 3 % mensual con capitalizacin diaria. Qu monto se acumular desde la fecha de su apertura hasta el 18 de Septiembre del mismo ao, fecha de su liquidacin

5. Calcular el monto en la que se transform un capital de S/. 16,000, colocado a plazo fijo durante 18 meses, perodo en el que la tasa de inters sufre las siguientes variaciones: Los primeros 6 meses una tasa efectiva mensual del 2.5%, los 6 meses siguientes el 3 % mensual con capitalizacin diaria y los ltimos 6 meses el 2 % efectivo mensual.

6. Se deposita en una cuenta de ahorros S/. 12,000 y ocho meses despus se efecta un nuevo depsito por S/. 8,000, liquidndose la cuenta despus de diez meses ms. En dicho perodo la tasa efectiva del 3 % bimestral se mantiene constante los primeros ocho meses, fecha en el que se incrementa a 3.5 % hasta el trmino de la operacin. Calcular el monto al trmino del perodo.

7. Calcular el inters producido por un capital de S/. 10,000, a una tasa efectiva trimestral del 4.5 %, en un perodo de un ao y 10 meses

8. Cunto se pagar de intereses por un prstamo de S/. 40,000 a la tasa del 18% anual con capitalizacin bimestral.

9. Determinar el inters compuesto de un depsito a plazo fijo de S/. 25,000 efectuado en un banco, al 14% efectivo anual, durante 2 aos y 4 meses.

10. Determinar el inters compuesto de una colocacin de S/. 24,000 efectuado en un banco, al 2% mensual con capitalizacin trimestral durante 4 aos.

11. A que tasa de inters nominal anual, ser necesario colocar un capital de S/.6,800, para convertirse en S/. 11,622.15, en un periodo de tres aos. Si los intereses se capitalizan mensualmente?.

12. A que tasa nominal anual convertible trimestralmente, un capital de $30000.00 crecer a $100,000.00 en cinco aos?

13. Calcular la tasa nominal anual con capitalizacin bimestral que se requiere, para convertir un capital de S/.3,000 en un monto de S/.10,000 en un plazo de 5 aos.

14. En que tiempo un capital de S/.6,800 se convertir en S/.12,000, si se coloca al 18% anual con capitalizacin trimestral?.

15. Calcular el tiempo necesario para que un capital de S/12,000, colocado al 20% anual con capitalizacin trimestral se convierta en S/.21550.28



C A P I T U L O II

2. VALOR ACTUAL O CAPITAL INICIAL

Si una cantidad actual llamado capital lo llevamos al futuro mediante el FSC, una cantidad futura llamada monto lo podemos traer al momento actual mediante el factor simple de actualizacin FSA.

Fig. 2.1

P = ? S I I I I I I . . . . . . . . . I I I 0 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n

Para clarificar el significado de valor actual o presente, hagamos la siguiente reflexin: Una empresa con el que negocia usted, le adeuda S/.10,000 pagaderos dentro de 5 aos, pero existe la posibilidad de ser liquidada ahora, la pregunta es cul es el valor actual de dicha cantidad de acuerdo a la tasa de inters vigente. El valor actual o presente a inters compuesto, de un dinero a recibirse en una fecha futura, es el valor equivalente al dinero que se recibir en dicha fecha, pero en el perodo actual. 2.1 Valor actual

Para el clculo del valor actual o presente se hace uso del factor simple de actualizacin FSA, factor que multiplicando por el monto, a una tasa de inters i, a un determinado perodo de tiempo n se obtiene el valor actual. La frmula lo deducimos del monto a inters compuesto.

S = ( )niP +1 Lo que buscamos es el capital P y lo obtenemos despejando de la ecuacin:



P = S ( )

+ ni11

El factor entre corchetes es el factor simple de actualizacin, de manera que podemos decir tambin:

P = FSAniS

El valor actual se obtiene multiplicando el valor del monto por el factor simple de actualizacin a una tasa de inters compuesto i en n perodos de tiempo. 2.2 Factor simple de actualizacin

La expresin ( )

+ ni11 que multiplica al monto se llama factor simple de

actualizacin FSA, . El factor simple de actualizacin, es el valor actual de una unidad monetaria a una tasa i por perodo, durante n perodos y su funcin es traer al presente cualquier cantidad futura o llevar al pasado cualquier cantidad actual. Para solucionar cualquier problema ya sea de capitalizacin o de actualizacin, en el que se utilice una tasa nominal capitalizable m veces, es necesario convertir previamente la tasa nominal a una tasa efectiva, dividiendo a la tasa nominal j por la frecuencia de capitalizacin m y en el caso que la tasa nominal este dado en un periodo menor a la frecuencia de capitalizacin, se hace necesario multiplicar por el periodo proporcional para su conversin en una tasa efectiva de acuerdo a la frecuencia de capitalizacin. Ejemplos 2.1 Qu cantidad de dinero deber depositarse para que capitalizado al 20% de inters efectivo anual durante 3 aos se obtenga un monto de S/. 124,416. Remplazando datos en la frmula:

P = S ( )

+ ni11

P = 124,416 ( )

+ 320.011

P = 124,416 ( 0.578703703 )



P = 72,000 Ejemplo 2.2 Hallar el valor presente de S/. 8,000 pagaderos en 5 aos a la tasa nominal anual del 16% capitalizable trimestralmente.. Remplazando datos en la segunda frmula:

P = 8,000 ( )

+ 2004.011

P = 8,000 x 0.456386946 P = 3,651.10

2.3 Tasas utilizadas en el sistema financiero Para analizar el indicador denominado tasa, implica hacer una clasificacin de las tasas, que para el efecto existen varios criterios, de acuerdo al tipo de operacin financiera en los que estn involucrados o al tipo de operacin financiera. Las tasas de inters lo podemos clasificar de acuerdo a varios criterios, entre estos tenemos: De acuerdo a la nomenclatura bancaria Tasa Activa, Es aquella que la entidad financiera aplica a las operaciones de colocacin de fondos como prestamos, descuento de documentos de crdito, crditos ordinarios, crditos hipotecarios etc. Tasa pasiva; Es aquella que el banco paga a los depositantes o ahorristas por la captacin de fondos, que pueden ser en ahorros, depsitos a plazo fijo o cualquier otra modalidad, lo que significa un pasivo para la entidad financiera. De acuerdo a la liquidacin de los intereses: Tasa vencida: Es la tasa que se aplica al vencimiento del plazo de la operacin financiera, en este caso es requisito fundamental el cumplimiento del periodo pactado para la liquidacin de los intereses.

Tasa adelantada es aquella que se descuenta del capital antes del vencimiento de la operacin, disminuyendo de esta manera, el valor nominal de una letra de cambio, pagar, un titulo valor o cualquier otro documento sometido a descuento. Segn el cumplimiento de la obligacin:



Tasa compensatoria: Es el pago que el deudor efecta en compensacin por el uso del dinero, es la tasa utilizada tanto en las operaciones activas como pasivas. Tasa moratoria: Es la tasa que se aplica al incurrir el prestatario en atraso en el pago de sus obligaciones.

De acuerdo al valor del dinero en el tiempo

Tasa efectiva: es aquella que efectivamente se paga o cobra en una transaccin financiera. No considera el efecto de la inflacin

Tasa real: Es la tasa efectiva que considera el efecto del la inflacin, mide la capacidad adquisitiva del dinero.

Las tasas cuyo manejo le dan significado a los dems elemento que son de uso frecuente en las operaciones financieras son la tasa nominal y la tasa efectiva, que miden el efecto de la capitalizacin 2.4 Tasa nominal La tasa de inters nominal (j) es aquella que tiene como base un ao y muestra el nmero de veces (m) que capitaliza al ao; no indica el costo real del dinero o la rentabilidad de una inversin. Cuando una tasa es susceptible de transformarse en una tasa proporcional o peridica, dividindose o multiplicndose para ser expresada en otra unidad de tiempo diferente a la original, recibe el nombre de tasa nominal. Dicho de otra manera, es la que se aplica directamente a operaciones de inters simple y lo representamos por j, y es susceptible de dividirse o multiplicarse, para ser expresado en otra unidad de tiempo a la que se conoce como tasa proporcional. En las operaciones a inters compuesto la tasa nominal nos permite determinar la tasa efectiva por periodo de capitalizacin. Por lo general surge cuando la tasa nominal es anual y el perodo de capitalizacin es menor a la de un ao; de manera que podemos decir, tasa anual con capitalizacin semestral trimestral, mensual u otro perodo. En consecuencia la tasa efectiva ser semestral, trimestral, mensual etc. Adems la tasa nominal, lo podemos expresar en diferentes perodos de tiempo como por ejemplo, tasa semestral con capitalizacin trimestral, tasa trimestral con capitalizacin mensual, etc. La tasa nominal tambin puede estar dado en un perodo menor al perodo de capitalizacin, esto nos autoriza a proponer por ejemplo, una tasa nominal



mensual con capitalizacin trimestral, en este caso determinaremos la tasa efectiva trimestral multiplicando la tasa nominal mensual por tres meses que incluye un trimestre. Ejemplo 2.3. Si la tasa de inters nominal es del 24% anual, las tasas proporcionales en perodos menores lo obtenemos de la siguiente manera:

Para un semestre j =

224.0 x 1 = 0.12

j = 12%

Para un trimestre j =

424.0 x 1 = 0.06

j = 6%

Para un mes j =

1224.0 x 1 = 0.02

j = 2%

Para 18 das j =

360

24.0 x 18 = 0.012

j = 1.2 %

Consecuentemente, si la tasa nominal es 1.5% mensual la tasa proporcional en un perodo mayor lo obtenemos multiplicando:

Para un trimestre j = 0.015 x 3 = 0.045 j = 4.5 %

Para un semestre j = 0.015 x 6 = 0.09 j = 9 %

Para un ao j = 0.015 x 12 = 0.18 j = 18 % El monto a inters compuesto aplicando una tasa nominal J capitalizable m veces durante un determinado espacio de tiempo que por lo general es un ao, durante n perodos que constituye el horizonte temporal de una operacin financiera, se calcula con la formula:

S = P ( )nm.j1+



De la cual deducimos una frmula que nos permite calcular la tasa nominal

( )nm.j1+ =

PS

mJ1+ = n

PS

mJ = n

PS - 1

j =

1n

PSm

Ejemplos 2.3 Si la cantidad de 100,000 capitalizado trimestralmente durante 4 aos, asciende a S/. 180,000 cul es la tasa de inters nominal anual?.

j = 4

116

000,100000,180

j = 0.1497 j = 14.97 % Ejemplo 2.4 Al cabo de 3 aos y 8 meses, se retira los intereses de un depsito, los mismos que ascienden a S/.33,718, si la capitalizacin es semestral, A qu tasa de inters se deposit la cantidad de S/. 45,000?,

Reemplazando valores en la frmula, encontramos que el monto es desconocido; pero por su definicin sabemos que ste est constituido por el capital ms los intereses, luego tenemos:

. j = m

1n

PS

j = 2

16

44

000,45718,48

j = 2 1322

74929.1 j = 2 x 0.079238728 j = 0.1585

j = 15.85 %



2.5 Tasa Efectiva Es aquella que indica cual es efectivamente la rentabilidad de una inversin o cual es el costo de un crdito por perodo

Es el verdadero rendimiento que produce un capital en una operacin financiera; es la que efectivamente acta sobre el capital, refleja el tiempo o frecuencia de capitalizacin o conversin de los intereses en capital. El hecho de capitalizar el inters dos o ms veces durante un ao, da lugar a una tasa efectiva anual mayor a la tasa nominal anual. Dicha tasa denota un rendimiento o un costo efectivo, segn se trate de una operacin activa o pasiva. La tasa efectiva por periodo de capitalizacin lo obtenemos a partir de la tasa

nominal de la manera siguiente: i = mj , dicha expresin est formado por los

elementos:

i = tasa efectiva j = tasa nominal m = frecuencia de capitalizacin en el periodo de un ao La tasa efectiva anual, lo obtenemos mediante el siguiente razonamiento: la tasa efectiva es igual al inters dividido por el capital (I/P) y el inters es igual al monto menos el capital (S P), luego tenemos:

i = P

PS

Reemplazando S por su frmula con el uso de la tasa nominal j y la frecuencia de capitalizacin m se tiene:

i = P

Pn

mj1P

+

Simplificando el segundo miembro obtenemos la formula requerida en base a la tasa nominal:

i = n

mj1

+ - 1

Ejemplo 2.5 Un ahorrista desea saber, cul es la tasa efectiva de inters anual de un depsito efectuado en un banco que paga el 12% de inters anual con capitalizacin diaria.



i = 1360

36012.01

+

i = ( ) 1360000333333.1 i = 0.1275

i = 12.75%

De acuerdo a los datos de los que se disponga, la frmula de la tasa efectiva tambin lo podemos expresar de la siguiente manera:

i = 1n1

PI1

+ Ejemplo 2.6 Calcular la tasa efectiva anual, que se impuso a un deposito efectuado en una cuenta de ahorros por S/. 6,000 y gener un inters compuesto de 360 en un perodo de tres meses, si la capitalizacin es mensual.

i = 131

000,63601

+

i = 0.019612822 Tasa efectiva mensual i = ( ) 112019612822.1 i = 0.2625 i = 26.25 % Tasa efectiva anual

Ejemplo 2.7 Un capital de S/. 40,000 es colocado por un perodo de 5 aos a una tasa de inters convertible trimestralmente, generando un monto de S/.83,526.08. Calcular la tasa efectiva anual

i = 1201

000,4008.526,431

+

i = 0.0375 tasa efectiva trimestral i = ( ) 140375.1 i = 15.865% tasa efectiva anual



En este caso cuando se conoce el monto, el capital, el perodo de tiempo y la frecuencia de capitalizacin, la tasa efectiva anual tambin lo calculamos de la siguiente manera: Primero calculamos la tasa efectiva de acuerdo a la frecuencia de capitalizacin, en este caso trimestral, con la frmula:

i = 1nPS

i = 12040,000

83,526.08 i = 0.0375 i = 3.75% tasa efectiva trimestral Luego calculamos la tasa efectiva anual, de la siguiente manera i = ( ) 140375.01 + i = 0.15865 i = 15.865% tasa efectiva anual

Ejemplo 2.8 Calcular la tasa efectiva trimestral de una colocacin de S/. 5,000 por un perodo de 1 ao, espacio de tiempo en el cual se obtuvo por concepto de intereses la cantidad de S/. 849.29

i = 141

000,529.8491

+

i = ( ) 14/1169858.1 i = 0.04

i = 4 % Trimestral o tambin:

i = 145,000

5,849.29 i = 0.04 i = 4% Trimestral



2.6 Conversin de Tasas En las operaciones financieras se presentan diversos casos, como el de convertir una tasa efectiva dada en un periodo en otra tasa efectiva de diferente periodo, analicemos estos casos. 2.6.1 Conversin de una tasa efectiva en otra efectiva de diferente perodo A partir de una tasa efectiva se puede obtener otra tasa efectiva de diferente perodo, presentndose dos casos bien definidos, el primero consistente en convertir una tasa efectiva de un periodo menor en otra tasa efectiva de un periodo mayor y para esto se potencia y un segundo caso que consiste en convertir una tasa efectiva de un periodo mayor en otra tasa efectiva de un periodo menor y para ello se radica. Primer caso: Una tasa efectiva de un periodo menor es susceptible de convertirse en otra tasa de un periodo mayor mediante la potenciacin. Ejemplo 2.9 Convertir la tasa efectiva mensual del 1.5% en una tasa efectiva trimestral, semestral y anual.

iT = ( ) 1ni1 M + iT = ( ) 13015.1 iT = 0.045678 iT = 4.57% trimestral iS = ( ) 1ni1 M + iS = ( ) 16015.1 iS = 0.0934433 iS = 9.34 % semestral iA = ( ) 1ni1 M +

iA = ( ) 112015.1 iA = 0.195618 iA = 19.5618 % anual

Segundo caso: Una tasa efectiva de un periodo mayor, es susceptible de convertirse en una tasa efectiva de un periodo menor mediante la radicacin



Ejemplo 2.10 Convertir la tasa efectiva anual del 16.986% en tasa efectiva semestral y trimestral.

iS = 1n i1 A + iS = 116986.01 + iS = 0.0816 iS = 8.16 % semestral iT = 1n TEA1 + iT = 14 16986.01 + iT = 0.04 iT = 4 % trimestral

En conclusin, para convertir una tasa efectiva de un periodo menor en otra tasa de un periodo mayor se potencia y para convertir una tasa efectiva de un periodo mayor en otra tasa efectiva de un periodo menor se radica. 2.6.2 Tasas equivalentes Cuando la frecuencia de capitalizacin de los intereses es anual la tasa nominal anual es equivalente a la tasa efectiva anual j = i Si la frecuencia de capitalizacin de los intereses esta dado en periodos menores a un ao, la tasa nominal anual equivalente a la tasa efectiva anual, lo obtenemos a partir de la frmula de la tasa efectiva. Partimos de la frmula de la tasa efectiva.

i = 11

+n

mj

n

mj

+1 = 1 + i

mj+1 = n i+1

mj = n i+1 - 1

j = m ( )11 +n i



Ejemplo 2.11 Si un banco paga por depsitos en cuentas de ahorro una tasa efectiva anual del 12.75% Cul ser la tasa nominal anual equivalente, si los intereses se capitalizan diariamente?.

jA = m ( )1n 1 Ai + jA = 360 ( )1360 1275.01 + jA = 0.12 jA = 12 % anual

Ejemplo 2.12 Cul ser la tasa nominal equivalente anual a la tasa efectiva anual del 20.17%, si los intereses se capitalizan trimestralmente?.

jS = m ( )11 +n Ai jS = 4 ( )14 2017.01 + jS = 0.1880 jS = 18.80 % anual

Para deducir la frmula que nos permita obtener la tasa nominal equivalente a una tasa efectiva, tambin podemos utilizar el siguiente razonamiento: El monto de 1 a la tasa efectiva i, transcurrido un perodo es 1+i, y el monto de 1 a la tasa nominal j en el mismo perodo a una frecuencia de capitalizacin m es (1+j/m)n; la ecuacin de equivalencia entre estos dos montos es:

1 + i = n

mj

+1

Despejando j de la ecuacin:

n imj +=+ 11

11 += n imj

j = ( )11 +n im

Con operaciones inversas y partiendo de la formula de la tasa nominal anual podemos obtener la formula de la tasa efectiva anual equivalente.



De j = ( )11 +n im despejamos i

( )11 +n im = j

( )11 +n i = mj

n i+1 = 1 + mj

i = n

mj

+1 - 1 Tasa efectiva Ejemplo 2.13 Cul ser la tasa efectiva equivalente anual a la tasa nominal anual del 24%, si los intereses se capitalizan trimestralmente?.

i = n

mj

+1 - 1

i = 4

4241

+ - 1

i = 0.2625

i = 26.25% anual 2.7 Tasa de inflacin La tasa de inflacin es una tasa efectiva, indicadora del crecimiento sostenido de los precios de los bienes y servicios de la economa, en un perodo de tiempo determinado, (calculada por Instituto Nacional de Estadstica e Informtica INEI) sobre la base de una canasta bsica de consumo familiar, tomada en una fecha cuya estructura de costos en la actualidad est referido al ao base 1994. Para el clculo de la tasa de inflacin se utiliza el ndice de precios al consumidor IPC, debido a que es uno de los indicadores econmicos ms importantes que permite conocer el comportamiento inflacionario en una determinada economa; debido a que mide la variacin promedio de precios de los bienes y servicios consumidos habitualmente por un conjunto de familias con diversos niveles de ingreso, e una determinada arrea geogrfica.



Para calcular la tasa de inflacin a la que lo representamos por f hacemos uso de la frmula:

f = 0IPC

IPCn - 1

IPC0 = IPC base

IPCn = IPC actual

EVOLUCION DE LA INFLACIN EN EL PERU Variacin porcentual anual

Ao IPC Inflacin 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

41.67295000 65.31565000 91.10207000 105.1200000 115.8700000 129.5900000 137.9600000 146.2500000 151.7000000 157.3600000 157.1600000 101.5200000 104.0400000 107.6600000

139.23% 56.73% 39.48% 15.39% 10.23% 11.84% 6.46% 6.01% 3.73% 3.73%

(0.13%) 1.52% 2.48% 3.48%

La informacin nos permite calcular la tasa inflacionaria par cualquiera de los aos. Ejemplo 2.13 Calcular la tasa de inflacin para el ao 2004, con los ndices de precios al consumidor de la tabla.. En este caso consideramos que los ndices de precios estn dados al 31 de Diciembre de cada ao.

f = 0IPC

IPCn - 1

f = 04.10466.107

- 1

f = 0.0348 f = 3.48 %



Con la frmula podemos calcular la inflacin anual, semestral, trimestral, mensual etc. Utilizando correspondientemente los ndices de precios.

2.8 Tasa real

Es la tasa de inters efectiva anual deflactada. Es decir la tasa efectiva anual deducida el efecto de la inflacin o de la elevacin de los precios.

En el estudio de las tasas hasta el momento, hemos obviado el efecto de la inflacin, tal es as que en el valor nominal de la unidad monetaria no se tom en cuenta la variacin de su poder adquisitivo a travs del tiempo por el incremento general de los precios de los bienes y servicios La tasa real permite medir el grado en el que los valores nominales que se ubican en el futuro seran erosionados por la inflacin. Cuando la inflacin en un pas es alta, la variacin de los precios de los bienes y servicios generan disminucin en la capacidad adquisitiva del dinero. Para ajustar el valor nominal del dinero a fin de que refleje su valor real, hacemos uso de la tasa deflactada, deduciendo el efecto de la tasa inflacionaria del mismo perodo; llamada tasa real:

r = 111 ++

fi

o tambin

r = ffi

+

1

i = Tasa efectiva anual f = Tasa de inflacin r = Tasa real

Ejemplo 2.14 Las empresas ms importantes del Departamento de Ancash han efectuado aumentos de sueldos y salarios a sus trabajadores en el orden del 22 %, 18 %, 14 % y 10 %, en una economa con una tasa anual promedio de inflacin del 14 %. Determinar la tasa real de incremento de sueldos y salarios.

Con el uso de la primera frmula:

r = 114.0122.01 +

+ r = 0.0702 r = 7.02 % de aumento real



r = 114.0118.01 +

+ r = 0.0351 r = 3.51 % de aumento real

r = 114.0114.01 +

+ r = 0 r = 0% de aumento real

Cuando por disposiciones legales se establece que los sueldos y salarios estan indexados a la tasa inflacionaria, los aumentos deben ser equivalentes al aumento de la tasa de inflacin, neutralizando los efectos de la inflacin manteniendo estable el nivel de vida de los trabajadores, sin mejorarlo ni empeorarlo realmente. Pero cuando porcentualmente los aumentos monetarios de sueldos y salarios son inferiores a .la tasa inflacionaria, la tasa real es negativa, indicador que refleja una prdida del poder adquisitivo del dinero recibido por concepto de remuneraciones

r = 114.0110.01 +

+ r = - 0.0351

r = 3.51 % de disminucin real

Por consiguiente un aumento del 10 % no compensa la prdida del valor real de los sueldos y salarios por estar por debajo de la tasa inflacionaria. Ejemplo 2.15 Calcular la tasa real de un prstamo que debe ser revertido en seis meses a una tasa efectiva anual del 20% y la tasa inflacionaria acumulada durante el perodo se estima en el 4%. Previamente determinamos la tasa efectiva semestral

iS = 120.01 + iS = 0.095445115 iS = 9.54 %



Remplazamos datos en la formula y obtenemos la tasa real

r = 104.01

0954.01 ++

r = 0.0533 r = 5.33 % en seis meses

2.9 Tasas reajustadas por efectos de inflacin De acuerdo a los resultados: la tasa efectiva semestral es del 9.54% y una tasa real del 5.33% y la tasa de inflacin de acuerdo a los datos del 4%. Observamos que la tasa real es menor a la tasa efectiva. Pero si se requiere mantener el valor de la tasa real equivalente a la tasa efectiva lo reajustamos de la siguiente manera: Calculamos la nueva tasa efectiva i = ( )i1+ ( )f1+ - 1 i = ( )0.09541+ ( )0.041+ - 1 i = 0.1392 La nueva tasa real ajustada por efectos de inflacin

r = 104.01

1392.01 ++

r = 0.0954 r = 9.54 %



2.10. istado de Formulas

Frmula

Factor

Obtiene

S = P ( )ni+1

FSC

Monto compuesto

P = S ( )

+ ni11

FSA

Valor actual o capital

i = 1nPS

i = 1nPI1 +

Tasa de inters efectiva

n = ( )i+1loglogp-Logs

Nmero de periodos de capitalizacin

I = ( )[ ]1i1P + n

Inters compuesto

P = ( ) 1i1I

+ n

Capital

i = mj

Tasa efectiva por periodo de capitalizacin

J =

1

PSm

Tasa nominal capitalizable m veces

r = 1f1i1 +

+

Tasa real



2.11 Problemas propuestos 1. Hallar la cantidad necesaria a depositar en una cuenta que paga el 20 %

anual con capitalizacin trimestral, para disponer de S/. 22,000 al trmino de 8 aos.

2. Una persona debe pagar S/ 30,000 dentro de 2 aos y acuerda con su

acreedor pagar S/. 10,000 de inmediato y por el resto firmar un pagar con vencimiento a 3 aos. Cul ser el valor del pagar, si la tasa de inters es del 20% anual con capitalizacin semestral?.

3. Hace 8 meses se deposit en un banco un capital al 2.5 % efectivo

mensual. Determinar el valor del depsito si el monto acumulado es de S/.3,898.89.

4. Cuanto ser necesario depositar en una cuenta que paga el 18 % anual con

capitalizacin diaria, para disponer de S/. 18,000 dentro de 180 das?.

5. Un capital de S/. 28,000 se coloca en dos partes; la primera a una tasa efectiva anual del 18 % y la segunda a una tasa efectiva anual del 20 % y al trmino de 10 aos, el monto de la primera es el triple del monto de la segunda. Determinar cunto se coloco en cada caso.

6. Calcular la tasa efectiva trimestral necesaria aplicar a una colocacin de

S/.4000 para generar un inters de S/. 679.43 durante un ao.

7. Al cabo de 2 aos y 6 meses, se dispone de un fondo de S/. 6,661.10. A qu tasa de inters nominal con capitalizacin trimestral se deposit la cantidad de S/. 4,500?,

8. Cul ser la tasa nominal anual que capitalizable mensualmente, sea

equivalente a una tasa efectiva anual del 19.56 9. Cunto tiempo ser necesario para que un capital de S/. 6,000 se convierta

en S/. 9,650.62 a una tasa nominal anual del 24 % con capitalizacin mensual?.

10. Cul es la tasa efectiva de inters que se recibe de un depsito bancario

de $1000.00, pactado a 18% de inters anual convertible mensualmente, en el periodo de un ao? R = 19.56



C A P I T U L O III

3. DESCUENTO COMPUESTO

Una operacin de descuento consiste en obtener el pago anticipado de un ttulo valor o de un documento de crdito como el pagar, letra de cambio, bono, etc. Deduciendo el inters llamado descuento, por el tiempo que falta para su vencimiento.

En el tema del descuento se presentan dos casos: a. El descuento compuesto racional o descuento verdadero y; b. El descuento compuesto bancario.

3.1 Descuento Racional o Verdadero

Este tipo de descuento compuesto es la diferencia entre el valor futuro por pagar y su valor actual o efectivo y lo representamos por D.

El descuento compuesto racional, equivale a la suma de los rditos que generan los valores efectivos parciales, a una tasa de inters que para el efecto lo llamamos tasa de descuento.

La tasa de descuento es la diferencia del valor nominal de un sol y su valor actual en un periodo determinado y lo representamos por d..

3.2 Clculo del Descuento

De la definicin se deduce que el descuento compuesto es la diferencia entre el valor nominal o futuro y el valor actual de una deuda especificada en un documento de crdito. Esto lo representaremos matemticamente con la relacin siguiente:

D = Vn - Va

Si por equivalencia hacemos al Vn = S y al Ve = P tendremos que el descuento compuesto es equivalente a la diferencia entre el valor nominal o monto a inters compuesto y el valor actual o importe recibido en el presente.

D = Vn Ve



Entonces podemos expresar las relaciones siguientes:

Vn = Ve (1+d)n y;

Ve = Vn ( )

+ nd11

Remplazando en la definicin del descuento tenemos

D = Vn - Vn ( )

+ nd11

Factorizando:

D = Vn ( )

+

nd1

11

Ejemplo 3.1 Cul es el descuento compuesto que se obtendra de un pagar cuyo valor nominal es de S/. 100,000 sometido a descuento 4 aos antes de su vencimiento a la tasa de descuento del 24% anual?

Aplicando la frmula:

D = 100,000 ( )

+ 424.01

11

D = 100,000 ( )

424.1

11

D = 100,000 (0.5770264) D = 57,702.64

Aplicando la definicin que el descuento es la suma de los rditos generados por los efectivos parciales lo explicamos mediante la escala de tiempo determinando el valor efectivo para cada perodo y luego calculamos los descuentos parciales, que sumados nos da el descuento total. Fig. 3.1

42,297.36 52,448.73 65,036.42 80,645.16 100,000

| | | | |



Rditos parciales: 42,297.36 x 0.24 = 10,151.37 52,448.73 x 0.24 = 12,587.69 65,036.42 x 0.24 = 15,608.74 80,645.16 x 0.24 = 19,354.84 57,702.64 Descuento

Ejemplo 3.2 Si el ejercicio anterior estuviera afectado por una tasa de descuento compuesto con una capitalizacin semestral, el descuento sera:

D = 100,000 ( )

812.1

11.

D = 100,000 (0.596116772) D = 59,611.68

3.3 Clculo del Valor Nominal y Valor Efectivo El valor nominal lo podemos obtener en base al descuento o en base al valor efectivo. Para el primer caso deducimos la frmula a partir del descuento y utilizamos los datos del ejercicio anterior

D = Vn ( )

+ nd111

D = Vn ( )( )

+

+nd

nd1

11

Vn = D ( )( )

+

+11

1nd

nd

Vn = 59,611.68 ( )( )

1812.1812.1

Vn = 100,000.00



En base al valor efectivo:

Vn = Ve (1+d)n y;

Ejemplo 3.3 Calcular el valor nominal de un pagar sometido a descuento compuesto 4 aos antes de su vencimiento a la tasa de descuento del 24% anual, si se conoce que el valor efectivo es de S/.42,297.36.

Vn = 42,297.36 (1+0.24)4

Vn = 42,297.36 (2.36421376)

Vn = 100,000

El valor efectivo lo obtenemos a partir de la frmula del valor nominal

Ve = Vn ( )

+ nd11

Ejemplos 3.4 Hallar el valor efectivo racional compuesto de una letra de valor S/.100,000, si se le somete a descuento 4 aos antes de su vencimiento, a una tasa de descuento del 24% anual con capitalizacin semestral. Ve = 100,000

( )

812.1

1

Ve = 100,000(0.403883228) Ve = 40,388.32

3.4 Descuento Bancario El descuento bancario es una operacin financiera que consiste en la presentacin de un ttulo de crdito en una entidad financiera para que sta haga efectivo el importe del documento previa deduccin de un inters por el periodo que falta para su vencimiento y gestione su cobro. En el descuento bancario el valor liquido de un ttulo valor es menor que su valor presente calculado a una tasa de inters vencida, debido a que el descuento bancario se obtiene sobre el valor nominal, es decir sobre el valor futuro de un documento de crdito o titulo valor. En consecuencia el descuento bancario es mayor que el inters. La tasa de inters aplicada para efectos del descuento, se le denomina tasa de descuento d y constituye una tasa adelantada diferente de la tasa vencida i



dada a que i se aplica sobre el valor presente P y d sobre el valor nominal o futuro, que lo representamos por Vn, originando un valor liquido VL menor al valor presente del documento. Para efecto de los clculos en la solucin de problemas de aplicacin utilizaremos la simbologa siguiente: D = Descuento bancario compuesto

Vn = Valor nominal del documento VL = Valor lquido del documento

d = Tasa de descuento compuesto La frmula del descuento y el correspondiente valor lquido lo deducimos de la manera siguiente: Considerando que para obtener el valor lquido de un documento desplazamos el valor nominal de un documento de crdito o titulo valor de derecha a izquierda. Valor lquido y el descuento en un perodo ser: Fig. 3.2 VL S = Vn | | 0 1 Para el tratamiento del tema, remplazamos el valor futuro S por el valor nominal Vn VL = Vn(1-d)

D = Vn [ ( ) ]d11

El valor lquido y el descuento para dos perodos Fig. 3.3 VL Vn | | | 0 1 2 VL = S(1-d)2

D = Vn [ ( ) ]211 d En consecuencia, el valor liquido y el descuento para n perodos ser:



VL = Vn (1-d)n D = Vn [ ( ) ]nd11

El factor (1-d)n es el valor 1quido de una unidad, al tipo de descuento peridico d en n perodos de tiempo.

Ejemplo 3.5 Hallar el descuento y el valor lquido que se obtendra de un pagar de S/. 5,000, si se le sometiera a descuento 8 aos antes de su vencimiento al 16% anual.

D = 5,000 [ ( ) ]816.011

D = 3,760.62 VL = 5,000(1-0.16)8

VL = 1,239.38

Ejemplo 3.6 Hallar el descuento y el valor lquido que se obtendra de un pagar de S/. 50,000, si se le sometiera a descuento 15 semestres antes de su vencimiento a la tasa de descuento del 8% semestral.

D = 50,000 [ ( ) ]1508.011 D = 35,685.13 VL = 50,000(1-0.08)15

VL = 14,314.87

Cuando la tasa de descuento esta dado con capitalizacin en perodos frecuentes se divide previamente la tasa de descuento por la frecuencia de capitalizacin y el nmero de periodos se expresa en funcin esta.

Ejemplo 3.7 Calcular el descuento y el valor lquido que se obtendra de una letra de S/. 75,000, si se le sometier

matemáticas financieras ii

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