antologia matemÁticas i 08

INTRODUCCION

ANTOLOGIA DE MATEMATICAS

I

AREA: TODAS LAS INGENIERIAS

TRABAJO COLABORATIVO:

Alan Brito DelgadoDébora Cabezas Prada

INSTITUTO TECNOLÓGICO

De Rolando Calles

S E P D G I T S E I T

Con las distintas reformas educativas que se llevan en la actualidad, surge la inquietud sobre la falta de preparación académica de los alumnos en este instituto. Los maestros comentan sobre el gran número de alumnos carentes de los hábitos de estudio tan necesarios para que se desempeñen bien en sus clases. Sin embargo, pareciera que no les falta la capacidad intelectual para el estudio, sino que no pueden enfrentar las demandas del discurso académico ni del ritmo del trabajo.

Por lo tanto la academia de ciencias básicas ante esta dificultad de aprendizaje de los alumnos se realiza la elaboración de una antología de matemáticas que permite relacionar los conocimientos que son necesarios para la formación del profesionista.

Es por ello necesario considerar una base pedagógicas en la aplicación de estrategias que lleven a un proceso de desarrollo cognitivo del alumno, por lo se considera desde el punto vista constructivismo, así mismo la relación entre las actividades del estudio y el rendimiento académico varia según las características del curso y las características del alumno. Es decir, el éxito académico depende en parte de características individuales como la habilidad intelectual, la motivación y las experiencias previas del estudio. Por otra parte, depende de los requisitos de la tarea en los cursos. Las características del alumno toman mayor importancia mientras más autonomía se requiere en la selección, organización, transformación e integración de información. Los alumnos que saben formular hipótesis, generar soluciones y comparar y analizar información, tendrán mejor rendimiento académico que los que se acostumbran a memorizar y reproducir detalles. En parte, la adquisición de estas habilidades depende de la calidad de su preparación escolar.

Como base para el constructivismo se retoman las teorías de Piaget y Vygotski, sobre todo en lo relacionado con los principios de asimilación y acomodación y la reestructuración del esquema del aprendiz en el proceso de aprendizaje. Se enfatiza el papel de la enseñanza en el desarrollo del conocimiento a través de los principios Vygotskianas de Andamiaje y de la Zona del Desarrollo Próximo.

Tomando en cuenta la noción de Vygotski, se arguye que los alumnos podrían desarrollar su intelecto más allá de lo que demuestran al inicio de sus estudios. Vygotski llama a esta distancia entre el nivel actual y la potencia del individuo la Zona del Desarrollo Próximo. Para ayudarles a llegar a su nivel potencial, los maestros aplican una especie de andamiaje (en términos vygotskianos), fomentando el desarrollo intelectual de sus alumnos y actuando como guías en el proceso. El maestro funciona al inicio como modelo en el proceso de aprendizaje retirando paulatinamente su ayuda y así permitiendo que los alumnos sean cada vez más independientes en la realización de tareas.

Por lo que se considera también en función del PIID (PROGRAMA INTITUCIONAL DE INNOVACIÓN Y DESARROLLO) que rige los programas

actuales de los institutos tecnológicos, así mismo con las necesidades actuales de la sociedad.

Se tiene un apartado 3.4.1 que dice sobre la revisión de los planes y programas de estudio para el perfil del egreso este acorde a las necesidades de la sociedad y la economía.

En el punto 3.4.2, donde se creara un modelo educativo que desarrolle habilidades en los estudiantes del entorno.

A si mismo implementar el programa de acreditación para asegurar la calidad institucional, que permita lograr la certificación de las carreras. Como disminuir el índice de reprobación y derivación para fortalecer la eficiencia terminal.Crear proyectos de investigación aplicada el área del conocimiento orientado a la atención de problemas que afectan el entorno.

El desarrollo de esta antología consta de VI unidades programáticas, la primera unidad consta de Introducción al cálculo, que relaciona sobre los números reales y propiedades, desigualdades valor absoluto y funciones.

La unidad II limites y continuidad; así mismo como propiedades, funciones y graficas,

La unidad III la conceptualización de la derivada, reglas de la derivada, derivación implícita y potencias y derivadas de orden superior.

La unidad IV son las aplicaciones de la derivada, ecuación de la recta, máximas y mínimas de las funciones y aplicaciones específicas de la especialidad.

La unidad V son las integrales, así mismo como su definición, teoremas del valor medio para integral y propiedades de la integración. La ultima unidad VI corresponde a las técnicas de la integración, integración por partes, sustición Trigonometricas, manejos de tablas y aplicaciones clásicas de la integración. La forma de evaluación para el curso de Matemáticas I (ANTOLOGIA), se consideran los siguientes aspectos de la evaluación:

A). EVALUACIÓN DIAGNOSTICA

B). EVALUACIÓN FORMATIVA

C).EVALUACIÓN SUMATIVA

En los aspectos se la evaluación Diagnostica se consideran: los conocimientos previos, habilidades de los conocimientos del contenido, integración de nuevos conocimientos.

La evaluación Participativa se considera la: participación individual, por equipo, actitudes sobre el conocimiento de l cálculo diferencial e integral, investigación para el análisis interpretativo de los contenidos.

La evaluación sumativa se considera su desempeño formal de los conocimientos de los contenidos, actitudes, aportaciones en las aplicaciones cotidianas en el desarrollo de solución de los problemas generados del área específica.

TEMARIO:

UNIDAD TEMAS SUBTEMASI Números reales 1.1 Clasificación y propiedades de los números

reales 1.2 Propiedades 1.3 Interpretación geométrica de los números

reales. 1.4 Desigualdades lineales y cuadráticas y sus

propiedades.1.5 Valor absoluto y sus propiedades

II Funciones 2.1 Definición de función 2.2 Representaciones de funciones (tablas,

graficas, formulas y palabras). 2.3 Clasificación de las funciones por su

naturaleza; algebraicas y trascendentales.2.3.1 Función polinomial 2.3.2 Función racional2.3.3 Función raíz2.3.4 Función trigonometrica2.3.5 Función exponencial2.3.6 Función logarítmica2.3.7 Función definida parte por parte2.3.8 Función inversa2.3.9 Función implícita

2.4 Clasificación de las funciones por sus propiedades.

2.4.1 Función creciente y decreciente 2.4.2 Función par e impar2.4.3 Función simétrica2.4.4 Función periódica

2.5 Operaciones con funciones y composición de funciones.

2.6 Translación de funciones III Limites y

Continuidad3.1 Definición de limites 3.2 Propiedades de los limites 3.3 Límites laterales3.4 Asintota (horizontal, vertical u oblicuas)3.5 Limites especiales 3.6 Definición de continuidad 3.7 Propiedades de la continuidad

IV La derivada 4.1 Definición de la derivada4.2 Interpretación geométrica y física de la

derivada. 4.3 Derivación de la función constante, derivada

del producto de una constante por una función, derivada de la función xn cuando n es un entero positivo, y cuando n es un numero real, derivada de una suma de funciones, derivada de un producto de funciones y derivada de un cociente de funciones.

4.4 Derivadas de funciones exponenciales.4.5 Derivadas de funciones trigonometricas 4.6 Derivadas de las funciones compuestas

(regla de la cadena)4.7 Derivada de la función inversa4.8 Derivada de las funciones logarítmicas. 4.9 Derivada de las funciones trigonométricas

inversas. 4.10 Derivada de las funciones implícitas. 4.11 Derivadas sucesivas.4.12 Funciones hiperbólicas y sus derivadas.4.13 Teorema del valor medio y teorema de Rolle.

V Aplicaciones de la derivada

5.1 Recta tangente, normal e intersección de curvas

5.2 Máximos y mínimos (criterio de la primera derivada).

5.3 Máximos y mínimos (criterio de la segunda derivada).

5.4 Funciones crecientes y decrecientes.5.5 Concavidades y puntos de inflexión 5.6 Estudio general de curvas5.7 Derivada como razón de cambio y

aplicaciones.

5.8 Problemas de aplicación (optimización y cinemática).

5.9 Regla de L Hopital

VI Sucesiones y series 6.1 Definición de sucesión. 6.2 Limites de una sucesión 6.3 Sucesiones monótonas y acostadas. 6.4 Definición de serie infinita. 6.5 Serie aritmética y geométrica. 6.6 Propiedades de las serie 6.7 Convergencia de series6.8 Series potencia6.9 Derivación de las series de potencia. 6.10 Representación de una función en series de

potencia. 6.11 Serie de Taylor y serie de McLaurin.

APRENDIZAJES REQUERIDOS

Dominio de los temas del álgebra, trigonometría y geometría analítica.

SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

Diagnosticar y homogenizar los conocimientos previos requeridos para esta materia.

Investigar antes de iniciar la clase el origen histórico, desarrollo e investigar desarrollo y definiciones planteadas en los conceptos involucrados a tema.

Analizar y discutir la aplicación de las definiciones del tema en problemas reales relacionados con la ingeniería en que se imparta esta materia, con el objetivo incrementar el interés y la creatividad del estudiantes.

Proporcionar el uso de software de matemáticas (Derive, Mathcad, Matemática, Maple, Matlab) o la calculadora de los conceptos, la resolución de problemas e interpretación de los resultados.

Propiciar la interrelación entre el profesor y las academias de las especialidades correspondientes, a través de reuniones en las que se discutan las necesidades de ambas partes y así establecer la profundidad con que se cubrirán cada uno de los temas de esta materia, así como determinar problemas de aplicación.

Uso e recursos audiovisuales de manera racional. En cada unidad iniciar con un proceso de investigación sugerida por el

maestro de los temas a tratar. Grupos de discusión y análisis sobre los conceptos previamente

investigados. Al termino de la discusión se formalice y establezca las definiciones

necearías y suficientes para el desarrollo de esta unidad.

Proporcionar al estudiante una lista de problemas del tema y genere practicas de laboratorio para confrontar los resultados obtenidos.

Los problemas, en caso posible, sean resueltos con algún software.

SUGERENCIAS DE EVALUACIÓN

Diagnostica, temática Ejercicios plateados en clase. Evidencias de aprendizaje (análisis y discusión grupal, elaboración de

prototipos, modelos, actividades de investigación, reportes escritos, solución de ejércitos extractase)

Problemas resueltos con apoyo de software

UNIDADES DE APRENDIZAJE

UNIDAD 1.- Introducción al calculo

Objetivo Educacional

Actividades de aprendizaje Fuentes de Información

El estudiante aplicara las propiedades de los números reales en la resolución de desigualdades lineales, cuadráticas y de valor absoluto

1.1 investigar la clasificación y las propiedades de los números reales

1.2 Representar los números reales en la recta numérica

1.3 Interpretar el concepto de intervalo1.4 Resolver desigualdades lineales cuadráticas y de

valor absoluto

1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,19,20

UNIDAD 2.- Funciones



Identificara los diferentes tipos de funciones y sus propiedades

Realizara Operaciones con

2.1 Establecer la diferencia entre ecuación y función2.2 Definir las funciones por sus propiedades: pares,

impares, simétricas, periódicas2.3 identificar los tipos de funciones, algebraica,

racional, inversa, exponencial, trigonometrica, logarítmica, etc.

2.4 Realizar operaciones con funciones

1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,19,20

funciones e interpretara su representación grafica

2.5 Graficar diferentes funciones estableciendo su dominio y su rango

2.6 Utilizar software que permita efectuar la graficación de funciones

UNIDAD 3.- Limites y continuidad



Determinara el limite de una función, en caso de que exista lo evaluara numéricamente y aplicara los teoremas de limites

Definirá y analizara la continuidad de una función

3.1 Definir el limite de una función3.2 Interpretar gráficamente a los limites de

funciones3.3 Determinar el limite de una función mediante la

aplicación de los diferentes teoremas de limites3.4 Aplicar los límites de funciones tanto en la

suma, resta, producto, cociente y composición. Así como, a funciones trigonometricas, logarítmicas y exponenciales.

3.5 Definir y aplicar los conceptos de limites laterales al infinito e infinitos

3.6 Establecer la definición de continuidad de una función

3.7 Identificar la discontinuidad esencial y removible 3.8 Mostrar funciones que permitan comprender los

conceptos de Asintota vertical y horizontal

1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20

UNIDAD 4.- Derivadas



Comprenderá el concepto de la derivada; su interpretación geométrica y física

Desarrollara la capacidad de derivar funciones algebraicas y trascendentes mediante reglas de

4.1 Definir la interpretación geométrica y física de la derivada

4.2 Definir el concepto de derivada 4.3 Derivar funciones algebraicas y

trascendentes 4.4 Aplicar la regla de la cadena 4.5 Derivar funciones trigonometricas inversas

y funciones implícitas4.6 Aplicar la derivación logarítmica o de

Bernoulli 4.7 Calcular las derivadas sucesivas de una

función

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,1819,20

derivación y la técnica para derivación implícita

4.8 Definir una función hiperbólica y obtener su derivada

4.9 Definir y aplicar el teorema del valor medio y el teorema de Rolle

UNIDAD 5.- Aplicaciones de la derivada



Aplicara los conceptos de las derivadas y los utilizara en la graficación de funciones y en la solución de problemas reales.

5.1 Definir y hallar las ecuaciones de la recta, tangente y normal de la curva.

5.2 Definir los intervalos en los que la función es creciente y decreciente.

5.3 Aplicar el teorema del valor medio y el teorema de Rolle en la solución de problemas.

5.4 Aplicar la regla de L’Hòpital a los problemas de limites donde aparezcan formas indeterminadas

5.5 Definir y aplicar el concepto de la primera derivada y su graficación

5.6 Definir y hallar los intervalos en los que la función es cóncava

5.7 Aplicaciones

1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20

UNIDAD 6.- Sucesiones y series



Adquirirá los conocimientos básicos

6.1 Analizar y definir los conceptos de sucesión y limite de una sucesión

6.2 Analizar y establecer la convergencia de una sucesión

6.3 Analizar y establecer el concepto de series infinitas

6.4 Conocer algunas series especiales, aritmética. Geométrica, armónica, entre otras.

6.5 Establecer los diferentes criterios de convergencia de las series y aplicarlos

6.6 Conocer y analizar las series de potencias 6.7 Establecer el intervalo y el radio de

convergencia de una serie de potencias 6.8 Representar una función mediante series de

potencias 6.9 Conocer y analizar la serie de Taylor y la serie

de Maclaurin

1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20

FUENTES DE INFORMACION

1. James – Stewart Calculo de una variable Edit. Thomson Editores

2. Swokowski Earl W. Calculo con geometría Analítica Grupo Editorial Iberoamerica.

3. Roland E. Hostetler Robert P. Cálculo y Geometría analítica Edit. McGraw-Hill

4. Zill Dennos G. Calculo con geometría analítica Grupo Editorial Iberoamerica

5. Edwards Jr. C.H y Penney David E. Cálculo y Geometría analítica Edit. Prentice-Hall

6. Fraleigh John B. Calculo con geometría analítica Edit. Addison – Wesley

7. Antón Howard Calculo con Geometría analítica Edit. Wiley

8. The Calculus Problem solver Edit. R.E.A

9. Leithold Louis El Cálculo Edit. OXFORD. University Press

10. Swokowski Earl W. Álgebra y trigonometría con geometría Analítica Grupo Editorial Iberoamerica

11.Granville William A. Calculo diferencial e Integral. Edit. Noriega – LIMUSA

12. Thomas Jr.- George / Finney Ross. CALCULO una variable Edit. Pearson Educatio

13. Larson – Hostetler Calculo con Geometría Edit. McGraw-Hill

|4 Purcell Edwing J. y Dale Varbeng Calculo congeometria analitica Prentice-Hall

15 Derive (software)

16 Mathematica (Software)

17 MathCad (Software)

18 Maple (Software)

19 Historia de las matemáticas C. Boyer Edit. Alianza

20. Historia de las matemáticas H. Bell Edit. Fondo de cultura Económica

PRACTICAS

Unidad Práctica

Discusión y análisis grupal de conceptos previamente investigados por el estudiante Graficación y resolución de problemas utilizando software matemático Análisis y discusión en el aula de la aplicación de las herramientas matemáticas en la solución de problemas de ingeniería.

I UNIDAD: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO

1.1 CLASIFICACION Y PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

Una forma de especificar un conjunto es listando sus miembros en cualquier orden. Dentro de llaves. Por ejemplo el conjunto 6, 8, 10 se puede denotar mediante una literal como A. Ciertos conjuntos de numero tienen nombres especiales, los números 1, 2,3, etc., forman un conjunto de los enteros positivos (números naturales).

Para representar el conjunto de los números reales en un sistema de coordenadas que se llama recta real (Fig. 1). El número real que corresponde a un punto particular de la recta real se llama coordenada de ese punto. El punto de la recta real que corresponde al cero se llama origen y se denota por 0. La dirección positiva (derecha) se indica el sentido de los valores creciente de x, considerándose positivos y los de la izquierda negativos.

Cada punto de la recta real corresponde a un número real y cada número real corresponde a uno y sólo uno de los puntos de la recta real, este tipo de relación se conoce como una correspondencia biunívoca.

DEFINICIÓN DE NO. REAL:

Son aquellos números que expresan una cantidad que puede ser representado en un sistema de número o en una recta numérica., pueden ser positivo, negativo o bien cero y cualquier número real puede clasificarse como: No. racional o irracional.

Un numero Racional ; es cualquier numero real que se expresa como el cociente de dos enteros ( m/n) , donde m y n son enteros, n , los números racionales comprenden los enteros( -3, -2, -1 , 0 , 1 , 2, 3), así como fracciones positivas y negativas ( -3/4, -8/5, 3/2, 5/2). Como se muestra en la figura no. 2

Los números irracional; los números reales que no son racionales se llaman irracionales, estos no se pueden representar como decimales que terminan o se

-4 -3 -2 - 1 0 1 2 3 4 a FIG. 1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-8/5 – 3/4 3/2 5/2

repiten, Para representar un número irracional, recurrimos por lo general a alguna aproximación racional como ejemplos:

2 = 1,4142135623, = 3, 1415926535 y e = 2, 7182818284

RECTA NUMÉRICA Y CONCEPTO DE INTERVALO

El sistema de los números reales consiste en un conjunto de elementos llamados números reales, sin embargo ahora daremos la interpretación geométrica al conjuntos de números reales asociando a los puntos de una recta horizontal llamada eje., se elige un punto del eje para que represente el número 0, este punto recibe el nombre de origen, seleccionando una unidad de distancia, el numero positivo quedará representado a la derecha del origen y a la izquierda los números negativos, como se muestra en al siguiente figura no.3

NOCIÓN DE ORDEN Y DESIGUALDADES

Una importante propiedad de los números reales es que se pueden ordenarse, si a y b son números reales, a es menor que b si b – a es positivo, lo cual denotamos por:

a b El símbolo a b significa que a es menor o igual que b

Geométricamente puede probarse que a b si y solo si a esta a la izquierda de b en la recta como se muestra en al sig. Figura no.4 , , así 1 2 puesto que 1 está a la izquierda de 2.

x

Existe un ordenamiento para el conjunto de los números reales por medio de una relación, por los siguientes símbolos:

(Que se le “menor que”)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1 0 1 2 FIG. 4

a b

(Que se le “mayor que”)

Si a y b son números reales se deduce la siguiente propiedad:

a b si y solo si b – a es positiva

a b si y solo si a – b es positiva

EJEMPLOS.

1. 3 52. – 9 -63. 3/4 > 2/3

Aplicando los criterios de la desigualdad determine si se cumple las propiedades.

1. b – a, 5 – 3 = 2 (es positiva)

2. b – a, -6 – (-4) = - 6 +9 = 3 (es positiva)

3. a – b, 3/4 - 2/3 = 9 – 8/ 12 = 1 /12 (es positivo)

Si a y b son elementos del conjunto de nos números reales ahora se definen los siguientes símbolos:

(Que se le “menor que o igual a”)(Que se le “mayor que o igual a”)

Los enunciados a b, a mayor b, a b y a b se conocen como desigualdades, as í mismo se clasifican en desigualdades estrictas y no estrictas.Ejemplos.

3 6, 2 10, -3 7, 10 - 1

CONCEPTO DE INTERVALOS

Un numero “x” esta entre a y b si a x y x b, podemos escribir esta como una desigualdad continua de la siguiente forma:

a x b

El conjunto de todos los números de “x” que cumplen la desigualdad continúa, se denomina intervalo abierto y se escribe (a, b); por lo tanto:

( a, b) = x/ a x b

El intervalo cerrado de a y b es el intervalo abierto de (a, b) junto con los puntos extremos de a y b y se simboliza por , se expreso de la siguiente manera:

= x / a x b

El intervalo semi - abierto por la izquierda, es el intervalo abierto ( a, b) junto con el punto extremo derecho de b.

= x/ a x b

El intervalo semi – abierto por la derecha de la misma manera y lo denotamos por la siguiente expresión:

= x / a x b

En cada uno de los intervalos (a, b), los números extremos a y b se llaman Puntos extremos del intervalo. El intervalo - , no tienen puntos extremos, los intervalos se emplean para representar conjuntos de solución de desigualdades en una variable.

EJEMPLOSHallar el conjunto de solución de la desigualdad y representarlo en la recta de los números reales.

1. 2 X - 5 72. 5 X + 2 X – 63. 4 3X - 2 10

SOLUCION1.

2X - 5 72X - 5 + 5 7 + 5 2 X 12 X 6

SOLUCION2.5 X + 2 X – 65 X + 2 – 2 X –6 –25 X X –8 5 X - X -84 X - 8 X - 2

SOLUCION3.4 3X – 2 104 + 2 3X 10 + 2 6 3 X 122 X 4

PROPUESTOS:

1. 2/3 x - 1/2 0

2. 0 X + 3 5

3. – 2X 9 + 9X

1.5 VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número es un valor positivo o cero, pero nunca negativo. El valor absoluto de X, se denota por se define como:

El conjunto de solución es: (- , 6)

- 0 6

El conjunto de solución es:

- 2 0

El conjunto de solución es:

0 2 4

X si X 0 - X si X 0

Geométricamente el valor absoluto de un número “x” es su distancia desde cero, sin importar el sentido de la misma. Es la distancia entre “a y b” sin considerar dirección alguna, sin que importe cual es el número mayor, como se observa en la siguiente figura.

TEOREMA DEL VALOR ABSOLUTO

Teorema 1 a si y solo si -a x a , a 0

Teorema 2 a si y solo si - a x a , a 0

Teorema 3 a si y solo si x a x -a , a 0

Teorema 4 a si y solo si x a x - a , a 0

Determinar el conjunto de solución que satisfaga la desigualdad utilizando el principio del valor absoluto e ilustrarlo en la recta de los números reales.

1. 22. 33. 9

SOLUCION

= =

a b a b

1. Aplicando el T – 2 del valor absoluto

- 2 x - 3 2- 2 + 3 x 2 + 3 1 x 5

El conjunto de solución es un intervalo cerrado

2. Aplicando el T- 3 del valor absoluto

CASO I

X + 2 3X 3 – 2X 11 , + )

CASO II

X + 2 - 3X - 3 - 2X - 5( - , - 5 )

3. Aplicando el T – 2 del valor absoluto

- 9 7 - 4 X 9-9 – 7 - 4 x 9 – 7- 16 - 4 X 24 X - ½

PROPUESTOS

1.2.

0 5

- - 5 0 1 +

- 1 0 4

II UNIDAD: FUNCIONES

2.1 DEFINICION DE FUNCION

Dos números reales cualesquiera forman un par (una pareja) y cuando el orden del par esta señalado se llama “par ordenado de no. reales”.

Si “x” es el primer numero y “y” es el segundo se puede escribir por un paréntesis y separados (x, y).

Se alije una recta horizontal en el plano Geométrico y se asigna un eje “x” y recta vertical llamado “y”. Consideremos que “y” es una función de “x” si existe alguna regla por medio del cuál se asigne un valor único a “y” para cada valor correspondiente de “x”.

Esta regla puede expresarse por medio de una ecuación, por ejemplo:

TABLA

x -2 8-1 20 01 2

3/2 9/22 8

DEFINICIÓN

-2 -1 1 3/2 0

8 9/2 2

0

X Y

REGION PLANA

Es un conjunto de pares ordenados de números (x, y) en los que no existen dos pares ordenados diferentes que tenga el mismo primer número.

El conjunto de todos los valores posibles de “x” se le llama Dominio de la función y el conjunto de todos los valores posibles de “y” se les llama “Contra dominio, ámbito o Rango de la función” La ecuación

La función f es el conjunto de todas las parejas (x, y) tales que “x” y “y” satisfacen a la ecuación:

La función f contiene un numero ilimitado de parejas ordenadas, ya que todo numero real asignado a “x” existe un valor resultante de “y”.

Dominio de la función Es el conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente (x).

Contra dominio de la función: E s el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente (y).

El valor más pequeño que “y” puede asumir es el 5 cuando x = 0, para la función su Dominio es el conjunto de todos los números reales D (- , + ).

El contra dominio de la función es el conjunto de todos los números positivos mayores que o igual a 5 CD = .

SOLUCION

D = (- )CD =

X Y

0 51 72 13

-1 7-2 13

-2 -1 1 2

5

EJEMPLOS

Y =

Considerando raíces positivas y no imaginarias se obtienen los siguientes datos:

SOLUCION: D = CD =

EJEMPLO NO: 2

Y = Aplicando el principio del valor absoluto se obtienen los siguientes datos

SOLUCION: D = CD =

X Y-1 00 11 1.4142 1.7323 24 2.236

X Y- 3 7- 2 6-1 50 41 32 23 1

- - 1 1 2 3 +

EJEMPLO NO. 3

F(X) =

Se consideran las raíces positivas y no raíces imaginarias, por lo tanto se obtienen los siguientes datos:

X Y2 01 1.730 2

- 1 2.4

- 0 1 2 3 4 +

- 0 1 2 +

PROPUESTOS:

1. h (X) = 2. f( x) = 3. h(x) = 4 -

CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES POR SU NATURALEZA

FUNCION POLINOMIAL

Una variable es un símbolo o letra utilizado para representar a un elemento arbitrario de un conjunto que contiene a más de un elemento.A un símbolo utilizado para representar a un elemento específico se le denomina constanteUn polinomio es una expresión algebraica en términos que son productos de números y variables elevadas a exponentes enteros no negativos

EJEMPLOS: termino coeficiente 4 2 4 23X -2X + X – 8 3X , - 2X , X , - 8 3, - 2 , 1 -8

- ¾ , -3/4 , - ¾

A los polinomios se le clasifica por grados, al grado de un termino se le define como la suma de potencias de las variables incluidas en el termino, el grado del polinomio es el mismo que el del término con el grado más alto.Un polinomio constante tal como 5 tiene grado cero ya que puede escribirse como 05x

EXPRESION TIPO GRADO

48X MONOMIO 4 4 73X – 6X +5X TRINOMIO 7 3 2 63X Y - 7X Y BINOMIO 7

15 MONOMIO 0 2 2 2 5 4 48ª b c - 6 a b - 7 b c TRINOMIO 8

EJEMPLOS

Calcular en la siguiente función polinomial el dominio y contradominio , grafique 3 2F(x) = x + 3x - x – 3 -4 x 2

Utilizando el método de la división sintética, la solución es la siguiente:

Se considera los coeficientes de la ecuación

1 3 -1 - 3

1 4 3____________ 1

2x + 4x + 3 = 0

( x + 1) (x + 3) ; x+1 = 0 SOLUCION : D = x+3 = 0 CD = x = 1

TABULACIONX F(X)

- 4 - 15- 3 0 -2 3 -1 0 0 - 3 1 0 2 15 ____________________________________

EJEMPLO NO, 2

DETERMINE EL DOMINIO Y CONTRADOMINIO DE LA SIGUIENTE FUNCION POLINOMIAL Y GRAFIQUE 3 2F(X) = X – 5X +2X + 8

Por el método de la división sintética

1 - 5 2 8

1 -4 -2___________1

1 3 -4 -0 2x – 3 x – 4 = 0(x +1) ( x – 4) x= -1 , x= 4, x = 2

solucion DOMINIO ( - , ) X = - 1 , 2 , 4 CONTRADOMINIO ( - , ) Y = 0

X Y-2 -51 -1 0 0 8 1 6 2 0

3 -4 4 0

PROPUESTO 3 21. f(x) = x + 2x -5x -6 sol D = (- , ) X= -1 -3, 2

CD = (- , ) Y = 0

2.

FUNCION RACIONAL

Asi como los números racionales se definen en terminos de cocientes de enteros, las funciones racionales se definen en términos de los cocientes de polinomios, las ecuaciones siguientes se definen como funciones racionales

F(X) = x -1 3 ________ G(X) = X - 1 2 _________ x-x -6 X

En general una función f es racional si:

F(X) = n (X) d = 0 _________ d(x)

EJEMPLO N0. 1DETERMINE EL DOMINIO E INTERSECCION CON EL EJE DE LAS “ X” PARA UNA FUNCION RACIONAL 2F(x) = 2x -2x -4 ____________ 2

x - 9

solución 2f(x) = n(x) 2x -2x -4 = 2 ( X – 2) (X+ 1) ______ __________ ____________________ d(x) 2 X – 9 (X- 3) ( +3)

D(3) = 2 (3) – 2 (3) -4 --------------------- = 8/0 =

3-3 (3 +3)

D(-3) = 2 (-3) – 2 ( -3) -4 _________________ = 12/0 = 3(-3) (-3 +3)

DOMINIO (- , - 3) u ( -3 , 3) u ( 3 , )

INTERSECCION EN EL EJE DE LA “X”

N (2) = 0 f(X) = 2 ( 2 – 2) ( 2 +1) _____________ = 0/-5 = 0 (2-3) (2+3)

n(-1) = 0 f(x) = 2 (-1-2) (-1+1) ______________ = 0/ -8 = 0 -1-3 ( -1+3)

valores de x son : x = 2 , x = - 1

2intersección en el eje “ y” f(0) = 2 x – 2x -4 ____________ = 2(0) -2 (0) - 4 2 ______________ = 4/9 x – 9 (0) - 9

EJEMPLO N0. 2

A partir de la siguiente función racional determine los siguiente:

a). El dominio

b). La intersección en el eje “ x”

c). La intersección en el eje de la “y”

d). La asuntota vertical 2F(x) = 3x - 12 2 ___________ = 3 ( x - 4) 2 __________ x + 2x – 3 (x- 1) (x+3)

f(x) = n(x)/d(x) 2 2d(-3) = 3 (-3) – 4 d(1) = 3 (1) - 4 ___________ = 15 /0 = _________ = -9/0 =

3-1 ( -3 +3) 1-1 (1+3)

DOMINIO = ( - , -3) U (-3, 1) U ( 1 , )

2B). N(-2) = 3 ((-2) -4) _________ = 0/-3 = 0 Y N (2) = 0

(-2-1) (-2+3)

SOLUCION EN EJE “X” (-2 , 2) 2C). F(0) = 3 X – 12 __________ = 3 (0) - 12 2 __________ = 12/3 = 4 X +2X – 3 (0) +2 (0) -3 D). ASINTOTA VERTICAL

23X - 12___ ___ = 3 – 12 / 2 2 __________ = 3 X X__________ 1 + 2/ -3 /

2X + 2X - 3 2 2 2X X X

Propuesto 21. F(x) = x -6x +9 __________ 2 x +x - 2 22. F(x) = x - x - 6 ___________ 2 x - x - 12

FUNCION TRIGONOMEFTRICA

Función exponencial

Una función exponencial se define mediante una ecuación de la siguiente forma: xF(x) = b b 0 , b diferente a 1

Donde b es una constante llamada base y el exponente x es una variableEl conjunto de sustitución l exponente, dominio de f es el conjunto de todo los números reales R, el rango de f es el conjunto de los no. reales positivo

EJEMPLO xF(x) = 2

- 3 1/8 -2 1/4 -1 1/2 0 1 1 2 2 43 8

-xF(x) =2-3 8-2 4-1 2 0 1 1 0.5 2 0.25

3 0.125

III UNIDAD: LÍMITES Y CONTINUIDAD

3.1 DEFINICIÓN DE LÍMITES

Considerando la función “F” definida por la expresión:

X 1 Se realiza una factorización a la ecuación para obtener una nueva expresión:

Y = 2 X + 3 sustituyendo el valor de x = 1 en la nueva ecuación

Y = 2(1) + 3

Y = 5

La función “F” esta definida para todos los valores de “x” excepto a 1, x 1, se analizará los valores de la función cuando “x” se aproxima a 1, pero no llega a ser igual a 1.

Primero dejamos que “x” tome valores de 0 , 0.25, 0.50, 0.75, 0.9, 0.99, 0.999 y 0.9999, así sucesivamente tomando valores cada vez más cercano a 1, pero menores que 1 (observe tabla no. 1)

X 0 0.25 0.50 0 .75 0.9 0.99 0.999 0.9999F(X) 3 3.5 4 4.5 4.8 4.98 4.998 4.9998

TABLA NO.1Ahora consideremos que la variable “x” se aproxima o tiende a 1, a través de valores mayores que 1, “x” toma los valores de 2, 1.75, 1.5, 1.25, 1.1, 1.01 y 1.001, (como se observa en la tabla no.2)

X 2 1.75 1.5 1.25 1.1 1.01 1.001F(X) 7 6.5 6 5.5 5.2 5.02 5.002

TABLA NO. 2

Observando ambas tablas que conforma a “x” se aproxima cada vez más a 1, f(x) se acerca cada vez más a 5, ejemplo: en la tabla no. 1 cuando x = 0.9, f(x) = 4.8 es decir cuando x es 0.1 menor que 1 y f(x) 0 0.2 menor que 5.

En la tabla no.2, cuando x = 1.1, f(x) = 0.2 es decir cuando x = 0.1 mayor que 1 y f(x) es 0.2 mayor que 5, es posible hacer que el valor de f(x) se Aproxime a 5, tanto como queramos; considerando a “x” suficientemente cercano a 1.

Una manera precisa de observar consiste en utilizar dos símbolos para estas pequeñas diferencias, este símbolo será (epsilón) y (delta) establezca para cualquier numero positivo dado existe un numero positivo de seleccionado adecuadamente tal que si es menor que y 0 ( es decir , x 1), entonces será menor que . Ahora bien ya que cualquier valor de 0 puede determinarse un valor de 0 tal que si 0 , entonces

y establecemos que el límite de f(x) a medida que “x” se aproxime a 1, es igual a 5, o bien expresado con símbolos:

Lím f(x) = 5X 1

DEFINICIÓN

A partir de una función definida existe todo número en un intervalo abierto que contiene un número real.

Lim f(x) = L

X a

a - a a +

En la siguiente figura el significado geométrico de y , en el eje x, es el eje horizontal se encuentra 1 - y 1 + , entonces f(x) en el eje vertical se encontrara entre 5 - y 5 + , una forma de expresar esto es que f(x) en el eje vertical puede restringirse entre 5 - y 5 + , restringido a “x” que se encuentra en el eje horizontal, a quedar entre 1 - y 1 + , como se observa.

5+

f(x2)

5

f(x1)

5-

1- x1 1 x2 1 +

3.3 TEOREMAS DE LÍMITES Y LÍMITES LATERALES

Para evaluar los límites de funciones de una manera más sencilla se usan teoremas cuyas demostraciones se basan en la siguiente definición (Lím mx+ b = ma+ b).

Si m y b son dos constantes cualesquiera,

Teorema 1Lím (mx +b) = ma + b x a

Teorema 2Si “c” es una constante, entonces para cualquier numero aLím c = cX a

Teorema 3Lím x = ax aTeorema 4Si lím f(x) = L y Lím g(x) = Mx a x a

Lím = L + Mx a

Teorema 5Lím f(x) = L1, Lim f2(x) = L2,.... Lím f(x) = lnx a x a x a

Teorema 6Si el Lím f(x)Si Lím f(x) = L y Lim g(x) = MLím = LMx a

Teorema 7Si lím f1(x) = L1, Lím f2(x) = L2.... Lím Fn(x) = Lnx a x a x aLím = L1, L2 = L n

Teorema 8Si Lím f(x) = L n = es cualquier entero positivo

x a

Teorema 9Si Lím f(x) = L y Lím g(x) = MLím f(x) / g(x) = L/Mx a

Teorema 10Si n = es entero positivo y Lím f(x) = L

EJEMPLOS:

Hallar el límite e indicar los teoremas correspondientes. Lím (x2 + 7x - 5)x 3Solución: Se aplica los teoremas 1, 2 y 5

Lím x2 + Lím 7x - lím 5x 3 x 3 x 3 Lím (3)2 + Lím 7 Lím x - Lím 5

x 3 x 3 x 3 9 + 7 . 3 - 5 = 25

Ejemplo: 2

t 2

Solución: Se aplica los teoremas 2 y 4

Ejemplo: 3

Solución: Se aplica los teoremas 1, 2 y 4

Solución 2

= =

LIMITE INFINITO

Si el valor numérico de una variable “V” llega a ser y permanecer mayor que cualquier N° positivo.

Asignado de antemano por grande que este sea decimos que “V” se vuelve infinito.

La notación que se emplea para los 3 casos es:

= =

= = o

Ciertos límites particulares que se presenta frecuentemente se dan a continuación.

1° Lim

2° Lim c v = c =

3° Lim

EVALUAR EL SIGUIENTE LIMITE

1° Lim

Procedimiento: Se aplica un artificio cuando se trata de un límite , consiste en dividir en la variable de mayor exponente término a término del numerador y denominador

=

2° = =

3° =

PROPUESTOS

1° para clase

2° tarea

3° clases

4° tarea

5°

6°

3.4 ASINTOTA HORIZONTAL Y VERTICAL

ASINTOTA VERTICAL:

Si f(x) tiende hacia , cuando x tienda a C por la 129. ó por la derecha, diremos que la recta X = C es una ASINTOTA VERTICAL

OBTENER LA ASINTOTA HORIZONTAL Y VERTICAL, TRAZA SU GRAFICA DE LA FUNCION

si x = 3

X = 3 (VALOR MEDIO, para la asuntota vertical)

=

ASINTOTA HORIZONTAL:

Se dice que la recta y = b es una ASINTOTA HORIZONTAL de la grafica de la función f siendo cuando menos uno de los siguientes enunciados es verdadero

Para algún numero N, si x >N f(x)

2º Para algún numero N, si x <N

GRAFICA 1

2

X = -1

X = -1 (Valor de la Asintota. vertical)

X Y-2 0.6-1 0.250 -

0.333

1 -1.52 -53 04 95 5.5

X Y0 -.03

30.5 -0.81 -1.5

1.5 -2.66

2 -52.5 -122.8 -33

(Valor Asintota horizontal)

PROPUESTO

39. 40.

44. 43.

45. 38.

X = 3=

X Y-3 -6.5

-2.5 -7.66

-2 -10-1.5 -17

X Y3 -

1.252.5 -1

2 -0.66

61.5 -0.21 0.50 4

=

Asintota horizontal (4,-4)

3.6 DEFINICIÓN CONTINUIAS

Analizar la función “F” definida por la ecuación:

F(x)=

F(x)= 2x+3 X=1 f(x)=0

Se observa que “f” esta definida para todos los valores de “x” excepto el N° 1.La grafica correspondiente consiste en todos los puntos ubicados sobre la recta Y =2x+3 excepto (1,5).

X Y-1 0.33

30 01 .33234 1.35

X Y-2 -1-1 -10 31 52 7

Existe una interrupción en el punto (1,5) y establece la función “f” es DISCOTINUA en el N° 1 debido que f (1)= No existe.

Si f(x) esta definiendo =2 cuando ; f(1)=2 existe una interrupción en la grafica Fig. 2.

Sin embargo si f(1)=5 se dice que la función es CONTINUA en todos los valores de “X”.

La función f(x) sigue siendo Discontinua por que el valor de la coordenada de posición (1,2) esta fuera de la recta

CONCEPTO:Se dice que la función “f” es continua en el número a si y solo si se cumplen las 3 condiciones siguientes:

1° F(a) existe2° lim f(x) existe (existir no real)

3° lim f(x)=f(a)

Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen para “a” se dice que la función “F” es DISCONTINUA en a.

PROBLEMA N°1

Aplicamos las 3 condiciones si la G(x) es CONTINUA Ó DISCONTINUA

1° f (a) = existir f(4) = 5

2° lim a (x)= lim

Lim x + 1 = 4+1 = 5

3° Lim f(x) = f (a) 5 = 5

SOLUCION La función G(x) es CONTINUA

PROBLEMA N° 2

si

1° f (a) = Existe 2° lim f (x) = lim f (3) = 2 = 3° lim f (x) = f (a) 0 = 2

La tercera condición no se cumple

La función F (x) = ES CONTINUAX = 3

X Y-1 00 11 22 33 44 55 6

X Y-1 40 31 22 13 04 15 26 3

PROBLEMA Nº 3

si si

1º f (a) = Existir 2º

f (-2) = 0

3º 0 = 0

SOLUCION:

La función es h(x) es: (Para Todos los valores) CONTINUA

PROPUESTOS:

Si Si Si

X Y-4 -0.5-3 -1-2 0-1 10 0.51 0.332

IV UNIDAD: DERIVADA

4.1 DEFINICIÓN DE DERIVADA

El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otra es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final.

Un incremento de “x” se representa por el símbolo el incremento puede ser (+) ó (-) según que la variable aumente ó disminuye al cambiar de valor.

Significa incremento de “y”Significa incremento de “ ”Significa incremento de

DEFINICION

La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero.

La definición puede darse mediante símbolos de la siguiente formaY = f (x)Asignemos a “x” un incremento entonces obtendremos para la función y un siendo el valor final de la función.

Para obtener el incremento de la función restamos de la función incrementada la función f(x) y se obtiene:

Dividir a los 2 miembros por resulta:

El limite del segundo miembro cuando es por definición, la

derivada de f(x) y se representa el símbolo dx

dy

4.2 INTERPRETACION GEOMETRICA Y FISICA DE LA DERIVADA

Primero consideramos que es la Tag. A una curva en un punto supongamos una secante que pase por el punto “P” y un punto próximo “Q” de la curva Fig. 2

Hacemos que el punto Q se mueva sobre la curva aproximándose indefinidamente a “P”. La secante girara alrededor de “P” y su posición limite es por definición, la tag a la curva en P.

Consideremos ahora la grafica de la función f (x) o sea la curva AB dada la ec. Y= f (x)

REGLA GENERAL PARA LA DERIVACION

La definición de DERIVADA se puede ver que el procedimiento para derivar una función Y = f(x) comprende los 4 pasos y son:

1º PASOSe sustituye en la función “x” por y se calcula el nuevo valor de la función

2º PASO Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene (incremento de la función)

3º PASO Se divide (incremento de la función) sobre

4º PASO

Se calcula el límite de este cociente cuando , así el límite hallado es la derivada buscada.

EJEMPLO 1Y = 3x2+5Y + = 3 (x + )2+5Y + = 3 (x2 + 2x + + 2)+5Y + = 3 x2 + 6x +3 2)+5Y = 3x2 + 5

2º S = 2t –t2

(-) –s =-2t + t2

=2-2t-0

3º S =

PROPUESTOS

Y = CX3; Y`= MY = MX + B; y` = MY =3X- X3; Y = 3-3X2

Y =

PROPUESTOS

Y =

-

1

22121 xxxy

DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

La regla general para la derivación, es fundamental puesto que se deduce directamente de la definición de derivada, sin embargo el procedimiento de aplicar la regla en la resolución de problemas es largo o difícil, por consiguiente de han derivado reglas especiales para ciertas formas normales que se presentan con frecuencia.En estas formulas u, v, w representan funciones derivables de x.

1º 6º

2º 7º

3º 8º

4º 9º

5º

Hallar la derivada de las siguientes expresiones:

1º

2º

3º

4º

y´=

5º

Y`=

y =

PROBLEMAS PROPUESTOS:

W =

=

DERIVADAS TRANSCEDENTALES

10 º

11º

12º

13

14

15

16

17

18

19

20

PROPIEDADES LOGARITMICAS

1º log

2º log ab = log a + log b3º Log 1 = 04º log an = nloga

5º log

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Ctg x = csc x = ctg x =

Sec x = tg x =

Sen2x + cos x = 11+tg2x=sec2x1+ ctg2x= csc2x

4.5 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

1º

y´ = 4(-1/2) (sec x)

y´ = -2 (sec x) * secx Tgx

y´ =

2º y = Ln Sen ax

y´=

y´= a Identidad trigonometrica

3º S = e-t cos 2t

S´ = e-t

S´= e-t(-sen2t) (2t) + cos 2t.e-t (-t)

S´= e-t (-sen2t) * 2 + cos 2t.e-t (-1)S´= 2e-t(-sen2t) - e-t cos 2tS´= -e (2sen 2t + cos 2t)

2

3

4 =

5 =

PROBLEMAS PROPUESTO

1.2.3.4.

SOLUCION

1.

2.

3.

u v

4.

u v

PROBLEMAS PROPUESTOS

1º

2º Y =

3º Y = 4 SENX COSX

SOLUCION

1

2

3.

4.

5.


1

2.

1.

2.

3.

SOLUCION

1.

2.

3.y = 1y` = 0


1.

2.

3.

P =

4.8 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS

1º

2º y = Ln x2 – Ln 1 + x2

=


Y = Ln Ctg x =

senax

axay

cos´

4.10 DERIVADA IMPLICITA

Cuando “y” se define como función implícita de “x”. Cuando se da una relación entre “x” y “y” por medio de una ecuación no resuelta para “y”, entonces “y” se llama función implícita de “x”.

Define “y” como función implícita de “x”. es claro que por medio de esta ecuación “x” se define igualmente como función implícita de “y” existe una regla para derivar.

a) Derivar la ecuación, termino a termino considerando “y” como de “x” y de la

ecuación resultante despejar


8.

11

12 cos xy = y2 + 2x

19.

SOL. 12

-y sen x + cos x

(Cos x – 2y) =2 + y sen x

=

Sol 11. xy + sen y = x 2

y + x cos y =2x

(x + cos y) = 2x – y

=

y2 = 2px

2y = 2p

=

2

3 15x = 15y + 5y3 + 3y5

15=15 +15y2 +15y

(15 + 15y2 + 154) = 15

= =


1. X3 – XY + Y2 = 4

2. X2Y + Y2X = -2

3.

4.

5. x3 y3 – y = x

SOLUCIONES

3x2 – y –x + 2y = 0

(2y-x) = y-3x2

=

2y =

2y =

=

Hallar por derivación implícita las siguientes funciones4. x3 - 3axy + y3 = 05. x3 - 3x2y + y2 = c3

6. x4 + 4x3y + y4 = 207. ax3 – 3b2xy + cy3 = 18.

SOLUCION

4. x 3 -3axy + y3 = 0

3x2 – 3ay- 3ax 3y2 = 0

(3y2 - 3ax) =3ay-3x2

=

5. x3+ 3x2y + y2 = c3

3x2 + 6yx + 3x2 +2y =0

(3x2 + 2y) = -3x2 + 6yx

=

x4 + 4x3y + y4 = 0

4x3 + 12x2y + 4x3

(4x3 + 4y3) = -4x3-12x2y

=

6.

ax3 - 3b2xy + cy3 = 1

3ax2 - 3b2y - 3b2x + 3cy2 = 0

(3cy2 – 3b2x) = 3b2y - 3ax2

8.

4.11 DERIVADAS SUCESIVAS

La derivada de una función de “x” es también una función de “x”.Puede ocurrir que esta nueva función sea también deribable; en este caso la derivada de la primera derivada se llama segunda derivada de la función primitiva.

Análogamente, la derivada de la segunda se llama la tercera derivada, sucesivamente hasta la enésima derivada.

Ejemplo:Y =3x4

=12x3

Los Símbolos Para La Derivada Son:

EJEMPLO:

1. y = 3X4 – 2X3 + 6X (Y´´) (u´´)

2. S = (S´´)

3. y = (y´´)

SOLUCION

1. Y´ = 12X3 - 6X2 + 6 Y´´ = 36X2 – 12X

2.

S = (a + bt)

S´= 1/2 (a + bt)1/2 (a + bt) S´´=

S´=

S´´=

3.

Y` = 2ab (a - bx)-2

Y´´ = 2ab*(-2) (a - bx)– 3 (-b)

4.

y´ = x (x2 + 1)-1/2 =

y``=(x2+1)1/2 * (1) – x (1/2) (x2+1)-1/2 (2x)

y´´´ =

5. u vy´ = x * ½(a2 + x2) ½ ( +2x ) + (a2 + x2) ½ ( 1 )

y´=

y`=

y´´=

Y´´= -

Y´´=

Y´´=

6.

4.12 TEOREMA DE ROLLE

El teorema de Rolle puede afirmarse que una función continua en un intervalo cerrado tiene necesariamente un valor en ese intervalo. Ahora presentamos el Teorema de Rolle, llamado así en honor al Matemático Francés Michael Role, que asegura la existencia de extremos en el interior.

TEOREMA DE ROLLE

Si f(x) en el intervalo y se anula en sus extremos, tiene una derivada f¨ (x) en todo punto interior del intervalo, entonces existen por lo menos un valor de “x”, comprendido entre a y b en el que f¨¨ (x) es igual a cero.Si f es continua en el intervalo cerrado si f(a) = f(b) entonces f tiene algun número crítico en el intervalo abierto (a, b).

EJEMPLO NO. 1

Hallar Las intersecciones con el eje “ x” de la grafica por medio del teorema de Rolle de la siguiente funciön: 2F(x) = x - 3 x + 2

SOLUCION

2x - 3 x + 2

(x-1) ( x – 2) = 0 ; x – 1= 0 ; x – 2 = 0 ; x = 1 y x= 2

2f(1) = f(2) = 0 (1 ) – 3 (1) + 2 = 0 ; 1- 3 + 2 = 0 -2 + 2 = 0

Por el teorema de role sabemos que existe un valor en el intervalo ( 1, 2) para esto encontramos este valor 2x - 3 x + 2 = 0

f¨´(x) = 2x – 3

f¨(x) = 0 ; 2x – 3 = 0 ; x = 3/2

este valor de “x” esta en el intervalo abierto (1, 2)

2 y = x - 3 x + 2

x y- 1 6 0 2

1 0 2

0

3 2 y

x 1 2 3

EJEMPLO NO 2

Determinar s es aplicable el Teorema de Rolle a f sobre el intervalo que se especifica.

2F(x) = x - 2 x (0. 2)

Solución

F(x) = 2 x – 2

2x - 2 =0 2x = 2 ; x = 2/2 = 1

x y - 1 3 0 0 1 -1 2 0 3 3 y

1 2 3 x

EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

El teorema de Rolle permite demostrar otro teorema muy conocido por el cálculo del valor medio.

Si f es continua en el intervalo y derivable en el intervalo abierto (a, b) existe algún numero c en ( a, b) tal que:

F© = f (b) - f( a) ___________

b - aEl teorema del valor medio tiene implicaciones en todas las interpretaciones de la derivada. Geométricamente garantiza al existencia de una recta tangente que es paralela a la secante que pasas por ( a, f(a) y ( b, f (b) , como lo muestra la siguiente figura.

Recta tag.

a c bEJEMPLO No. 1

Aplicar el teorema del valor medio a f en el intervalo indicado:

Dada f (x) = 5 - 4/x hallar todos los calores de c en ( 1, 4)

Solución

La pendiente de la secante que pasa por ( 1 , f(1) y 4 , f (4) es:

F¨(x) = f (b) – F(a) _________

b – a

f(4) – f( 1) = 4 - 1 ________ ______ = 3/3 = 1

4 .- 1 4 – 1

Como f satisface las condiciones del teorema del valor medio, existen en c al menos en (1, 4) tal que f¨(c) = 1 - 1 - 2F¨(x) = 1 5 – 4 / x 5 – 4 x = 4 x 2 2F¨(x) = 4 / x = 1/1 = x = 4 ; x = = + _ 2

En el intervalo ( 1, 49 escogemos c = 2 como se muestra en la siguiente figura.

Y = 5 - 4/ x

x y0 51 1 2 3 3 3.

64 4

( 2, 3) (4, 4)

PROPUESTO

2Si la funcion es f(x) = x ; ( -2, 1)

V UNIDAD: APLICACIONES DE LA DERIVADA

5.1 RECTA TANGENTE, NORMAL E UNTERSECCION DE CURVAS

La ecuación de la recta que pasa por el punto (x, y) y tiene de pendiente m es, Y – y1 = m (x – x1)

Si esta recta es tangente a la curva m es igual a la pendiente de la curva en (x1 y1)Si respetamos este valor de m por m1, la ecuación de la tangente TP1, siendo p1 (x1, x1) el punto de contacto será:

Y – y1 = m1 (x – x1)

Siendo la normal perpendicular a la tangente, su pendiente es, el valor negativamente reciproco de m1 y puesto que también pasa por el punto de contacto p1 (x1, y1) tenemos la ecuación de la normal PIN

Y – Y1 = -

Ejemplos:

1. y = x3 – 3x (2, 2)

2. y = (2, 5)

Solución y´ = 3 (4) -3 como la derivada de una variable, la y´= 3x2 -3 y´ = 12 – 3 pendiente m es igual a su valor y´= 3 (2)2 – 3 y´ = 9 encontrado

m = 9 (x1, y1)Ec. Tg ( 2, 2)

Y – y1 = m1 (x – x1) y = 9x -16Y = m1 (x – x1) + y1 9x – y -15 = 0Y = 9 (x - 2) + 2Y = 9x – 18 +2

Ec Normal

Y = -

x + 9y – 20 = 0 ecuación Normal

2.

Ahora sustituir la coordenada (a, a)

= M1 = 2

EC. DE LA TG.

Y – Y1 = m1 (x – x1)Y = m1 (x – x1) + y1Y = 2 (x - a) + aY = 2x – 2ª + aY = 2x – a2ª- y – a = 02x – y = a

EC. DE LA NORMAL

2y = - x + 3ª x + 2y = 3ª x + 2y – 3a = 0

ECUACIÓN DE LA TANGENTE Y LA NORMAL

PROPUESTO: 1. 2x2 –xy + y2 = 16 (3, 2)2. y2 + 2y – 4x + 4 = 0 (1, -2)3. x2 – 4y2 = 9 (5, 2)4. 9x2 + 4y2 = 72 (2, 3)5. xy + y2 + 2 = 0 (3, -2)6. y = 5x – 2x2 (1, 5)

7. (2, 6)

3. (2, 5)

EC TG.Y - y1 = m1(x - x1)Y = m1 (x - x1) + y1

Y = 7 (x - 2) + 5Y = 7x – 14 + 5Y = 7x – 97x – y – 9 = 0

EC. NORMAL

Y – Y1 = -

X + 7Y – 37 = 0

5. y2 + 2y – 4x + 4 = 0 (1, -2) Ec 2

2y y´ + 2y´- 4 = 0

(2y + 2) y´ = 4

SUSTITUCION (1, -2) x y

y´= m = 1

Ec. Normal

Ec TG.

Y = m1 (x - x1) + y1

Y= (x - 1) -2 y = x - 3Y = x – 1 – 2 x – y – 3 = 0 Ec. TG

Y = -

y = - x - 1 x + y +1 = 0 Ec NORMAL

EC DE LA TG Y NORMAL x y 2x2 – xy + y2 = 16 (3, 2)

2. 7x2 – 2y2 = 9 (2, 1)3. y = 5x – 2x2

SOLUCION

2x2 – xy + y2 = 16 (3, 2)

4x – y - x

y = m1 (x – x1) + y1 y = -10x + 32y = -10 (x - 3) + 2 ax + by + c = 0y = -10x + 30 +2 10x + y – 32 = 0 Ec. TG

y – y1 = -

-10y = - x – 17 x – 10y + 17 = 0 Ec N

9x2 – 4y2 =9 (5, 2)

18x – 8y = 0

(-8y) = -18x

m1=

x y7x2 – 2y2 = 9; (2 , 1)

14x – 4y

y = 7x – 14 +1 y = 7x – 13 7x- y – 13 = 0 Ec. TG

x + 7y – 9 = 0

3. y = 5x – 2x2; (1, 5)

m1= 5 – 4 (1)

m1= 5 – 4x m1 = 5 – 4 =1y – y1 = m1 (x – x1) y = 1(x -1) + 5y = m1 (x – x1) + y1 y = x – 1 + 5 y = x + 4 x – y + 4 = 0 Ec. Tg

Ec. N

PROPUESTO

1. xy + y2 +2 = 0 (3, -2)

2. (2, 6)

SOLUCION

1.

m1 = -2

2.

5.2 MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION (CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA)

Un valor de una función es un máximo si es MAYOR que cualquiera de los valores que le anteceden o le siguen inmediatamente.

Un valor de una función es un mínimo si es menor que cualquiera de los valores que le anteceden ó le siguen inmediatamente.

En la sig. Figura, se dice que la función tiene valor Máximo MA (x, y) (1, 2) y un valor NB (x, y) (2, 1)

Métodos (Pasos) Para Calcular Los Máximos Y Mínimos De Una Función.

1ª se obtiene la primera derivada d la función

2ª se iguala la primera derivada a cero y se obtienen las raíces reales de la ecuación resultante, estas raíces reales de la ecuación resultante, estas raíces son los valores míticos de la variable.

3º Se consideran los valores críticos uno por uno y se calculan los signos de la primera derivada en primer lugar para un valor un poco menor que el valor critico y después para un valor un poco mayor que el.

4º Si el signo de la derivada es primeramente + o – la fusión es un Máximo.Si el signo de la derivada es de – a + la función es un mínimo.

Si el signo es el mismo en ambos casos, entonces la función no tiene ni máximo ni mínimo para el valor crítico que se considera

Ejemplo 1

X3 – 6x2 + 9x 3(x2 – 3x – x + 3)+3x2 – 12x + 9 3x2 – 12x + 9

3(x - 1) (x - 3) = 0 (x - 1) (x- 3) = 0

x1=1 Valores x2 = 3 Crititicos x < 1 x > 13 (x- 1) (x - 3) 3 (x - 1) (x – 3 )3 (0.2 - 1) (0.5 - 3) 3 (1.5 - 1) (1.5 - 3) - - + - + -

Máximo X = 1X < 3 X > 33(x - 1) (x - 3) 3(3.5 - 1) (x - 3 )3 (2.5 -1) (2.5 - 3) + + + - + -

Mínimo X = 3

Y = x3 – 6x2 + 9x

X Y-2 -50-1 -16 0 01 42 23 -544 45

PROPUESTOS

10 + 12X – 3X2 – 2X3

2X3 + 3X2 +12X – 4X2 + 2X2 – 15X – 202X2 – X4

EJEMPLO Nº 2

Y = 2x3 + 3x2 -12x – 4a) y’= 6x2 + 6x – 12Factorizacion 6(x - 1) (x + 2) = 0

a) (x - 1) (x + 2) = 0/6 x – 1 = 0x + 2 = 0x1 = 1 Valor Criticox2 = -2

b) x < 1 X > 16(x - 1) (x + 2) = 0 6 (x- 1) (x + 2) = 06 (0.5 -1) (0.5 + 2) = 0 6 (1.5 - 1) (1.5 + 2) = 0

- + + + - +

Existe Un Mínimo De La FunciónX = 1

X < - 2 x > -26 (x - 1) (x + 2) =0 6 (x - 1) (x + 2) = 06(-2.5 - 1) (-2.5 + 2) = 0 6 (-1.5 -1) (-1.5 + 2) = 0 - - - + + -

Existe Un Máximo X = -2

Grafica Y = 2x3 + 3x2 – 12x – 4

Ejemplo 3Y = x3 – 6x2 + 9x

EJEMPLO Nº 4GRAFICAS

Y = 10 + 12X – 3X2 – 2X3

X Y-4-3 5-2 16-1 90 -41 -

112 03

X Y-3 1-2 -10-1 -30 101 172 6

1. y = x3 +2x2 – 15x – 20y´ = 3x2 + 4x – 15 Min x = 5/3(3x - 5) (x + 3) = 0 Max. x = -3

2. y = 2x3 + 3x2 – 12x – 4 Min x = 1y´ = 6x2 + 6x + 12 6 (x - 1) (x + 2) Max = -2

1. y = x3 + 2x2 -15x -20y´= 3x2 + 4x – 15 (3x - 5) (x + 5)

y = 2x2 – x4

y´ = 4x – 4x3 - 4x3 +4x -4(x2 ) ( ) -4x (x2 - 1) = 0 4x = 0

x2 – 1 = 0

1. y = 10 + 12x – 3x2 - 2x3

y = 2x2 – 4xy = 3x4 – 4x3 – 12x2y = 2x3 + 3x2 +12x – 4y = x3 +2x2 – 15x - 20

y = 3x 2 – 20x 3 15x4 – 60x2

15x (x3 – 4x) = 015x = 0 x1 = 0

x3 – 4x = 0 x (x2 - 4) = 0 x2=0

PROBLEMA Nº 4SOLUCIONY = 10 +12X – 3X2 -2X3

Y´ = 12 -6X- 6X2 -6 (X- 1) (X + 2) = 0Y´ = -6X2 -6X + 12 (X - 1) (X + 2) = 0/6 X - 1 = 0 X1 = 1 VALORES X + 2 = 0 X2 = -2 CRITICOS

X < 1 X > 1-6 (X- 1) (X + 2) = 0 -6 (X - 1) (X + 2) = 0-6(0.5 - 1) (0.5 + 2) = 0 -6 (1.5 - 1) (1.5 + 2) = 0 (-) - + - + + + -

LA FUNCION ES MAXIMOX = 1

X < -2 X > -2-6(X - 1) (X + 2) = 0 -6 (X – 1) (X + 2 ) = 0-6(-2.5 - 1) (-2.5 + 2) = 0 -6 (-1.5 - 1) (-1.5 + 2) = 0- - - - + - +

LA FUNCION MIN.X = -2

APLICACIÓN

Considerando la aplicación en el área de la física; movimiento de una partícula a lo largo de una línea recta. A este tipo de movimiento se llama movimiento rectilíneo.Si f es una función definida por la ecuación

S = f( t )S = es la distancia dirigida de la partícula desde un punto inicial ( o ).F = es la función definida por la ecuación anterior

Una partícula se desplaza a lo largo de una línea recta, tal que S es el Nº de unidades en la distancia dirigida de la partícula, desde un punto fijo en la recta a las t unidades de tiempo, entonces la VELOCIDAD INSTANTANEA de la partícula es el instante t, es v ( t ) unidades de velocidad, donde

V = F´ ( t ) = V =

La relación instantánea puede ser ( + ó - ) dependiendo de si la partícula se desplaza a lo largo de la recta es un sentido + ó -, cuando la velocidad instantánea es cero, la partícula en reposo.

EJEMPLOUna partícula se desplaza a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la ecuación indicando, donde S es en cm. representa la distancia de la partícula desde un punto O a los t (seg.)

DETERMINE:

a) la velocidad instantánea v (t) en un intervalo de t b) la velocidad (t,) para que el valor partícula de t1 = -1

t1 = -1

a)

b) V = 6t2 -2tV(-1) = 6(-1)2-2(-1)V(-1) = 6 + 2 = 8cm/s

EJEMPLO 2

Una partícula se desplaza a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la ecuación indicada.Determine los intervalos de tiempo cuando la partícula se desplaza a la derecha y cuando se desplaza a la izquierdaS = t3 + 3t2 - 9t + 4

V= t – 1 = 0

3( t – 1 ) (t + 3 ) = 0 t + 3 = 0 t1 = 1

t2 = -3

3( t - 1) (t +3) = 0 3( - 5 ) ( -1 ) = +3( -4 - 1) (-4 + 3) = 0 se desplaza a la

derechat < 1 3 ( 2 – 1 ) ( 2 + 3 ) = 0 3 (1) (5) = + se desplaza a la derecha-3 < t < 1 3 ( -1 -1 ) ( -1 + 3) = 0 3( -2 ) ( 2 ) = - se desplaza a ala izquierda

PROPUESTO1.

3. S = t1 = ½

4. S = t1 = 0

II

11. S = t3 + t2-2t + 4

Una partícula se desplaza a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la ecuación indicada.

Determine los intervalos de tiempo cuando la partícula se desplaza a la derecha y cuando se hace a la izquierda

S = t3 +3t2 -9t + 4

V= 3t2 + 6t – 9 t – 1 = 0 t1 = 1

3 (t - 1) (t +3) = 0 t + 3 = 0 t2 = -3

INTERVALO VALOR CRITICO CONCLUSIONT > 1 3(t-1)(t+3) = 0

+ 3(2 - 1) (2 + 3) + +

Se desplaza a la derecha

T < - 3 3(t - 1) (t + 3) = 0 3(-4 - 1) (-4 + 3)

+- -


-3 < t < 1 3(t - 1) (t + 3) = 03(0 - 1) (0 + 3) -

- +3(-1 - 1) (-1 + 3) -

- +

Se desplaza a la izquierda


I

S =

a) la velocidad instantánea V ( t ) es un intervalo de tb) la velocidad ( t1 ) para que el valor de la partícula donde t = 1

a) V = 2t2 + 3t - 2b) V = 2(1) 2 + 3 (1) – 2

V = 2t3 -2 V = 3 m/s

II

S = a) Determine los intervalos de

tiempo cuando la partícula se desplaza a la ó/e izquierda

(2t -1) (t + 2) = 0 2t2 + 4t – t - 2 = 2t 2 + 3t – 2 t2 = -2

INTERVALO VALOR CONCLUSIÓN T > ½ (2t - 1) (t + 2) = 0

+ + +


T < -2 (2t - 1) (t + 2) = 02( -3 ) -1 (-3 + 2) + - -


-2 < t < ½ (2t - 1) (t + 2) = 0 -2( 0 ) 0 + 2

- +


Solución Problema 3

S = 100 t2 + 100 t +100

V =

39 = 100 t2 +100t100t2 + 100t – 39 = 0

a = 100 b = 100 c = -39

t1 = 0.3

y2 = - 1.3

a) V = 200(0.3) + 100V = 160 cm/s

PROBLEMA 3

Un jugador golpea una bola de billar, haciéndola moverse en línea recta. Si s = cm es la distancia de la bola desde su posición inicial a los t seg. Entonces S = 100 t2 + 100t. Si la bola da una banda que se encuentra a 39 cm de su posición inicial

a) ¿A que velocidad pega en la banda?

Una masa de aire frió se aproxima a una universidad. La temperatura es de T grados a t horas, después de la media noche.

T = 0.1 (400 – 40t + t2) 0 t 12a) calcular: La intensidad de cambio promedio de T con respecto a t entre las

5 am y las 6 amb) encuentre la intensidad de cambio instantánea de T respecto a t a las 5 am.

Se esta extrayendo el agua de una piscina y el volumen del agua después de t minutos de iniciada la extracción, es V = litros, donde V v = 250 (1600 – 80t + t2)Determine

a) la intensidad promedio de salida del agua de la piscina durante los 5 primeros minutos

b) la intensidad de flujo de salida después de los primeros 5 minutos

S = 100 t2 + 100t

39 =100t2 + 100t

100t2 + 100t – 39 = 0

t1 =

t2 = -1.3

= 200 ( 0.3 ) +100 V = 160 cm/sT = gradosT = 0.1 (400 – 40t + t2) 0 T = 40 – 4t + 0.1 t2

5 am t 6am

T = -4 + 0.2 (1)= a) = - 3.8 grados/hrs b) -4 + 0.2 (5) =-4 + 1 = -3 grados/hr

27. V = litros v= 250(1600-80t + t2)t = 5 minV = 400,000 – 20, 000t + 250 t2

= -20,000 + 500 ( 5 )= - 20,000 + 2500

c) – 20,000 + 500t/2-20,000 + 1250V = 18750 li/mint.

b) 17,500 litros/ min.

UNIDAD VI: SUCESIONES Y SERIES

Definición de Sucesión.

El cálculo (o análisis) infinitesimal se denomina así por utilizar cantidades infinitesimales (infinitamente pequeñas): Abarca la teoría de límites, el cálculo diferencial y el integral. Se trabajará con sucesiones de números, considerando una cantidad infinita de términos. Los conceptos del análisis infinitesimal son de una extraordinaria sutileza y el fruto de muchos años de pensamiento.

Las progresiones son casos particulares de sucesiones. En las progresiones, en general, se centra la atención en un número finito de términos; en lo sucesivo tendrá más interés considerar los infinitos términos de una progresión.

Todas las progresiones geométricas cuya razón, en valor absoluto, es menor que uno, tienen algo en común: los términos de la sucesión se van acercando a cero rápidamente (la sucesión tiende a cero).

Por supuesto, no todas las sucesiones presentan la particularidad de que sus términos se aproximen paulatinamente a un número, llamado límite de la sucesión. Las que así se comporten se llamarán convergentes y, de todas las sucesiones, éstas son las merecedoras de estudio.

El concepto de límite ha sido de enorme utilidad en el desarrollo de las matemáticas; en él se fundamenta el cálculo infinitesimal.

Aunque muchos matemáticos utilizaron la idea intuitiva de límite, fue el barón de Cauchy (1789-1857), a principios del siglo XIX, quien dio una definición satisfactoria de límite y, en consecuencia, de derivada de una función.

6.2 Limite de una sucesión.

Dada una sucesión (an ), se dice que (an ) tiene por límite I, tiende a l o converge a l cuando n tiende a infinito (), y se simbolizará

o más simplificadamente

(an ) I, Si para todo > 0 (épsilon) tan pequeño como se quiera, existe un subíndice n0 tal que para todo n n0, an pertenece al entorno (I - , I + ).

Sucesiones convergente y divergente

Toda sucesión que tenga límite (finito) se dice que es convergente. Una sucesión (an) que tenga por límite I, se dirá que tiende a I o que converge a I. Las demás sucesiones son divergentes.

PROPIEDADES DE LÍMITES DE SUCESION.

Primera propiedad La suma de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la suma de los límites.

Segunda propiedad La diferencia de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la diferencia de los límites.

Tercera propiedad El producto de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es el producto de los límites.

Cuarta propiedad Si una sucesión (an ) tiene límite L, distinto de 0, y tiene todos sus términos también

Quinta propiedad Sean (an ) y (bn ) dos sucesiones convergentes que tienen por límites L1 y L2.

Ejemplo: cálculo de límites

Resolución:

La base es un cociente de dos polinomios del mismo grado, por tanto su límite es ½.

El exponente es también un cociente de dos polinomios en los que el

grado del denominador es menor que el del numerador; y por ser el coeficiente de n5 negativo, el límite es -.

Resolución:

Es el límite de un producto. El primer factor es un cociente de dos polinomios siendo el grado del numerador mayor que el del denominador, y al ser el coeficiente de mayor grado del numerador 3, positivo, el límite es +.

El segundo factor es otro cociente de polinomios, esta vez del mismo

El límite que se pide es de la forma (+)·(-5) = -

Límites indeterminados Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas:

Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma - no da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1 da siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso. Obsérvese que ya se han estudiado varios casos de indeterminaciones de

la -apasando por todos los valores intermedios. Ejemplo: cálculo de límites

Resolución:

Este límite es de la forma . Indeterminado. Este límite se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado, es decir, por

Por tanto el límite se reduce a calcular

Resolución:

El primer factor tiene por límite cero ya que el grado del numerador es menor que el del denominador.

El segundo factor tiene por límite pues el grado del numerador es mayor que el del denominador.

El límite es por tanto de la forma 0·. Indeterminado.

Multiplicando las dos fracciones:

Al ser un cociente de polinomios de igual grado,

Resolución:

Resolución:

Se saca factor común n2 en la expresión n2 + 3n -2:

EL NÚMERO E

El número e puede expresarse también así:

Con la ayuda de una calculadora se pueden calcular algunos términos de esta sucesión: a1 = (1 + 1)1 = 2

El límite de esta sucesión es el número irracional e = 2,7182818... (No será demostrado por su dificultad.) Este resultado tiene gran importancia, ya que el número e aparecerá, en general, en los límites de la forma 1. Propiedad para calcular límites de la forma 1

Ejercicio: cálculo de límites de la forma 1

Resolución: Este límite es de la forma 1 . (Se resolverá sin aplicar la propiedad.) Dividiendo n + 1 entre n - 1,

Está claro que si n , x

Por las propiedades de las potencias,

Resolución:

Se resolverá aplicando la propiedad.

Aplicando la propiedad,

Resolución: Este límite es de la forma 1. (No se aplicará la propiedad) Se divide n + 4 entre n + 3:

Cuando n , x

6.3 SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS.

Definiciones:

1. Una sucesión es creciente si para todo : . Una

sucesión es decreciente si para todo : . 2. Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente. 3. Una sucesión está acotada por arriba si existe un real tal que para todo

: . Una sucesión está acotada por debajo si existe un real

tal que para todo : .

Teorema: (Weierstrass)

1. Toda sucesión creciente y acotada por arriba converge. 2. Toda sucesión decreciente y acotada por debajo converge.

Además, si converge, entonces . Por ejemplo, si

, entonces .

Los hechos anteriores nos permiten calcular límites de sucesiones monótonas y acotadas. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo: Sea la siguiente sucesión: , .

Encuentre el límite de (si existe).

Solución:

1. Primero veamos que es decreciente (hacemos inducción):

1. Caso base ( ): .

2. Paso inductivo: Suponga que . Entonces:

2. Entonces la sucesión es decreciente.

3. Veamos que está acotada inferiormente por (hacemos inducción):

1. .

2. Si , entonces:

De modo que está acotada por .

3. Por el teorema de Weierstrass, la sucesión es convergente, esto es,

existe un real tal que . Entonces

.

Entonces , y puede hallarse (¿cómo?). Note

que además (¿por qué?).

Ejemplo: Sea la sucesión dada por , . Encuentre el

límite de (si existe).

Solución: (Encuentre el error...)

. Entonces .

Ejercicios:

1. Estudiar el ejemplo 11, página 701, del libro Calculus de Stewart (4ta ed.).

2. Sea , . Mostrar que la sucesión converge y hallar su límite.



5. Dé un ejemplo de una sucesión de reales negativos, decreciente y acotada por debajo. Halle su límite.

6.4 DEFINICIÓN DE SERIE INFINITA.1. las series infinitas, cuyos términos son positivos, tiene propiedades especiales.

En particular, la sucesión de sumas parciales de dichas series es creciente y tiene una cota inferior 0. si la sucesión es monótona y acotada. Como el acotamiento y la convergencia de u na sucesión monótona son propiedades equivalentes, entonces, la series es convergente. De este modo, se tiene el teorema siguiente.

Teorema

Una serie infinita de términos positivos es convergente si y sólo si su sucesión de sumas parciales tiene una cota superior.

En si mismo, este criterio no es muy útil: decidir si el conjunto es o no acotado es precisamente lo que no sabemos hacer. Por otra parte, si se dispone de algunas series convergentes para comparación se peude utilizar este criterio para obtener un resultado cuya sencillez encubre su importancia (constituye la base para casi todas las demás pruebas).

Ejemplo:

Demuestre que la serie es convergente:

Solución:

se debe obtener una cota superior para la sucesión de sumas parciales de la serie

Continúa….

ahora se consideran los primeros n términos de la serie geométrica con

a = 1 y r = :

la serie geométrica con a=1 y r= tiene la suma a/(1-r)=2. en consecuencia, la suma de la ecuación anterior es menor que 2. observe que cada término de la

http://www.monografias.com/trabajos12/romandos/romandos.shtml#PRUEBAS

suma primera es menor que o igual al término correspondiente de la suma siguiente; esto es,

esto es cierto por que k¡ = 1 · 2 · 3 ·….· k, que , además del factor 1.

Contiene k – 1 factores cada uno mayor que o igual a 2. en consecuencia.

de lo anterior, tiene la cota superior 2. por tanto, por el teorema de la serie infinita la serie dada es convergente.

2. series infinitas de términos positivos y negativos

Un tipo de series infinitas que constan de términos positivos y negativos es el de las series alternantes, cuyos términos son, alternadamente, positivos y negativos.

Definición de serie alternante

Si para todos los números enteros positivos n, entonces la serie

Y la serie

Se denominan series alternantes.

Ejemplo:

Un ejemplo de serie alternante de la forma de la primera ecuación , donde el primer termino es positivo, es

Una serie alternante de la segunda ecuación, donde el primer termino es negativo, es

El teorema siguiente, denominado criterio de las series alternantes, establece que una serie alternante es convergente si los valores absolutos de sus términos decrecen y el límite del n-ésimo término es cero. El criterio también se conoce como el criterio de leibniz para series alternantes debido a que leibniz lo formuló en 1705.

6.7 Convergencia de las Series.

Si una serie de potencias S an xn converge para valores de x / ô xô < R y diverge para ô xô > R, al valor de R se llama radio de convergencia de la serie y al conjunto -R < x < R se llama intervalo de convergencia; el intervalo de convergencia puede o no incluir los extremos.

Veamos como se calcula el radio de convergencia

Consideremos la serie S an xn / S ô an xnô < ¥ .

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior

Si existe, para cada x es:

Aplicando el criterio de D¢ Alembert para cada x resulta;

1.ô xô < 1 Þ S an xn converge y

http://www.monografias.com/trabajos13/radio/radio.shtml

1.ô xô > 1 Þ S an xn diverge


Es decir, para ¹ 0 , la serie S an xn converge si ô xô < 1 / l = R y diverge si ô xô >1/l = R.

Si l = 0 la serie converge para cualquier valor de x.

En efecto " x : l . ô xô = 0 < 1; en este caso el radio de convergencia R = ¥

Si l = ¥ , el radio de convergencia R = 0, es decir la serie solo converge para x = 0.

6.8 SERIE DE POTENCIA.

Son series de la forma S an (x - x0)n ; loss números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.

Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.

Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente:

Teorema:

Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .

Demostración:

Si S an .x0n < ¥ , entonces .

Tomando x = 1 $ n0 Î N / " n ³ n0 : ô an x0n - 0ô = ô an x0

nô < 1

Luego:

http://www.monografias.com/trabajos13/radio/radio.shtml


ô an xnô =

Si x es tal que ô xô < ô x0ô Þ


Luego " n ³ n0 : ô an xnô < qn y la serie S ô an xnô converge por comparación con la serie geométrica S qn. Por lo tanto S an xn converge absolutamente.

Teorema:

Si una serie de potencias S an xn no converge para x0 entonces tampoco converge para un número x si ô xô > ô x0ô.

6.9 DERIVACIÓN DE LAS SERIES DE POTENCIA.

A partir de series de potencias se pueden obtener otras series de potencias mediante la diferenciación e integración.

Se establecerán los dos teoremas fundamentales.

Teorema

Si es una serie de potencias cuyo radio de convergencia es

R > 0, entonces tambien tiene a R como su radio de convergencia.

Este teorema, cuya demostración se presenta en el suplemento de esta sección. Establece que la serie, obtenida al diferenciar cada término de una serie de potencias término a término, tendrá el mismo radio de convergencia que la serie dada. En el ejemplo ilustrativo siguiente se verifica el teorema para una serie de potencias particular.

Ejemplo:

Considere la serie de potencias.

http://www.monografias.com/trabajos11/funpro/funpro.shtml

El radio de convergencia se determina aplicando el criterio de la razón.

En consecuencia, la serie de potencias es convergente cuando ; de modo que su radio de convergencia es R = 1.

La serie que se obtiene al diferenciar término a término la serie anterior es:

Si se aplica el criterio de la razón a esta serie de potencias se tiene

Esta serie es convergente cuando < 1, así, su radio de convergencia es R´ = 1. Como R = R´, se ha verificado este teorema para esta serie.

6.10 REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN EN SERIES DE POTENCIA.

Se concluye el estudio de series infinitas en esta sección al considerar y aplicar dos series básicas: la serie para calcular logaritmos naturales y la serie binominal.

A fin de obtener la serie para calcular logaritmos naturales, primero se determinará una representación en serie de potencias de ln(1+x).

Ejemplo:

Considere la función ƒ definida por

ƒ(t) =

Una representación en serie de potencias para esta función está dada por la serie la cual es:

si < 1

Al integrar término a término se obtiene

si < 1

por tanto,

si < 1

si < 1

6.11 Serie de Taylor y Serie de Mclaurin.

en este tema se mostrará cómo obtener representaciones en series de potencias de funciones que tienen derivadas de todos los órdenes, es decir, funciones que son infinitamente diferenciables.

Esta serie se denomina serie de Taylor de f en a. el caso especial , es cuando a = 0, es :

Y se llama serie de maclaurin.

Ejemplos:

calcule la serie de maclaurin para .

Solución

Si para toda x, por tanto, para toda n. así, de la ecuación de maclaurin se tiene la serie de maclaurin:

Obtenga la serie te Taylor para sen x en a.

si ƒ(x) = sen x, entonces ƒ`(x) = cos x, ƒ``(x) = -sen x, ƒ````(x) = -cos x,

(x) = sen x, y así sucesivamente. De este modo, de la fórmula de

Taylor, la serie de Taylor requerida se obtiene del teorema serie de Taylor.

antologia matemÁticas i 08

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