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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS

2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

EXAMEN DE MATRICES Y DETERMINANTES 18 – 10 – 17

Ejercicio 1. Considera las matrices

−+

=10011101

mm

A

(a) [1,5 puntos] Determina, si existen, los valores de m para los que 𝐴−1 = 2𝐼 − 𝐴 (b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de m para los que 𝐴 + 𝐴𝑇 no tiene inversa

Ejercicio 2.- Sean A y B las matrices 𝐴 = � 2 −3

−3 5 � 𝑦 𝐵 = � 1 −4−9 5 �

(a) [1,25 puntos] Calcula las matrices X e Y para las que �2𝑋 − 𝑌 = 𝐴

𝑋 − 3𝑌 = 𝐵� .

(b) [1,25 puntos] Halla la matriz Z que verifica B2 +ZA+BT = 3I (I denota la matriz identidad de orden 2).

Ejercicio 3. Dada las matrices

−

−=

112010111

A y

−−−−

=368

478233

B

(a) [1,5 puntos] Halla la matriz X que verifica AX + B = 2A. (b) [1 punto] Calcula B2 y B2016

Ejercicio 4.- Sabiendo que 3==fecedbcba

A , calcula, indicando las propiedades que utilices, los

siguientes determinantes:

(a) [1,5 punto] |A3|, |A + AT|

(b) [1 punto] fcecebdbcaba

−−−

444



EXAMEN DE MATRICES Y DETERMINANTES 15 – 11 – 17

Ejercicio 1. Sea C la matriz, que depende de un parámetro m, dada por

−−

−=

112101

12 mC

a) [1,25 puntos] ¿Para qué valores del parámetro m no tiene inversa la matriz C? b) [1,25 puntos] Calcula la matriz inversa de C para m=2.

Ejercicio 2. [2,5 puntos] Resuelve ABt X = - 2C, siendo Bt la matriz transpuesta de B y

−

=012301

A ,

−

−=

220031

B y

−

=10

41C

Ejercicio 3. Considera las matrices

=

210101

A ,

=

001001

B ,

=

012001

C

(a) [1,25 puntos] Calcula A.B, A.C, AT.BT y CT.AT

(b) [1.25 puntos] Razona cuáles de las matrices A, B, C y AB tienen matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa.

Ejercicio 4. Se sabe que 5==dcba

A . Calcula, enunciando las propiedades de los determinantes que

hayas usado, el valor de:

(a) [1 punto]. dcdcbaba

263263

+−+−

(b) [0'75 puntos] TAA ⋅

(c) [0'75 puntos] A4

SEMINARIO DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES 10 – 11 – 17

Ejercicio 1. Dado el sistema de ecuaciones lineales

=++=++=++

5233

32

zyxnzmyx

zyx

(a) [1’5 puntos] Calcula m y n para que el sistema tenga más de una solución. (b) [1punto] Resuélvelo en el caso en que sea compatible indeterminado Ejercicio 2. Considera el sistema de ecuaciones

=+=−=+

7412

2

kyxyx

kyx

(a) [1’75 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro k (b) [0’75 puntos] Resuelve para k = 3 Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

�a 7 20a 8 231 0 −a

� ∙ �𝑥𝑦𝑧� = �

000�

(a) [1’5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro a. (b) [1 punto] Resuelve para a = 1 Ejercicio 4. [2'5 puntos] Una tienda tiene tres tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las tres conservas es de 1 €.Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, y abona 58 €. Otro compra 20 unidades de A, y 30 de C, y abona 51 €. Calcula el precio de cada unidad de A, B y C.



EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES 22 – 11 – 17

Ejercicio 1. Dado el sistema de ecuaciones lineales

=++=++=++

11

mzyxzymx

mzmyx

(a) [1’5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro m. (b) [1punto] Resuélvelo en el caso en que m = - 2 Ejercicio 2. Considera el sistema de ecuaciones

=++=−+

532332

zyxzyx

(a) [1 puntos] Calcula α de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma αx + y − 7z = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original.

(b) [1’5 puntos] Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea 4.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones

=+=+=+

1mymxmymxmmyx

(a) [1’75 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro m (b) [0’75 puntos] Resuelve cuando sea compatible Ejercicio 4. De los datos recabados en un informe sobre los beneficios obtenidos por las empresas A, B y C el pasado año, se desprende lo siguiente:

• la empresa B obtiene el mismo beneficio que las empresas A y C juntas. • el beneficio de la empresa A es la media aritmética del de las otras dos.

a) [1'25 puntos] Determina si se puede hallar el beneficio de cada empresa sabiendo que A ha obtenido el doble que C.

b) [1'25 puntos] Calcula el beneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido 210 millones de euros.



EXAMEN DE LA UNIDAD 3: VECTORES, RECTAS Y PLANOS Ejercicio 1 Sean los vectores 𝑢�⃗ = (1, 0, 1), �⃗� = (0, 2, 1) y 𝑤��⃗ = (m, 1, n) a) [1’25 puntos] Calcula los valores de m y n sabiendo que los vectores 𝑢�⃗ , �⃗� y 𝑤��⃗ son linealmente dependientes y que 𝑤��⃗ es ortogonal a 𝑢�⃗ b) [1’25 puntos] Para n = 1, halla los valores de m para que el tetraedro determinado por 𝑢�⃗ , �⃗� y 𝑤��⃗ tenga volumen10 unidades cúbicas. Ejercicio 2 Considera el punto P(− 1, 0, 1), el vector 𝑢�⃗ = (1, 2, 1) y el plano π de ecuación y = 0. a) [1,25 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por P, está contenida en π y cuyo vector director es perpendicular a 𝑢�⃗ . b) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por P, es perpendicular a π y del que 𝑢�⃗ es un vector director. Ejercicio 3 Los puntos A(1, 1, 1) , B(2, 2, 2) y C(1, 3, 3) son vértices consecutivos del paralelogramo ABCD. a) [1 punto] Calcula el área del paralelogramo. b) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene a dicho paralelogramo. c) [0,5 puntos] Calcula las coordenadas del vértice D. Ejercicio 4 Considera los puntos A(1, 1, 1) , B(0, − 2, 2) , C(−1, 0, 2) y D(2, −1 −2) . a) [1 punto] Comprueba si los puntos A, B, C y D son coplanarios b) [1,5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano determinado por los puntos A, B y C.



RECUPERACIÓN DE LA UNIDAD 3: VECTORES, RECTAS Y PLANOS

Ejercicio 1. Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C (−1, 2, 1) los vértices de un triángulo. (a) [0’75 puntos] Halla la ecuación del plano π que contiene al triangulo. (b) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a π y pasa por el origen de coordenadas. (c) [1 punto] Calcula el área del triángulo ABC.

Ejercicio 2.- Dados el punto P(1,1,-1) y la recta r:

=+=+

01

zyzx

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a r y pasa por P. (b) [1,25 puntos] Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación y + z = 0, que es perpendicular a r y pasa por P. Ejercicio 3.- Considera los puntos A(-1,k,3), B(k+1,0,2), C(1,2,0) y D(2,0,1). (a) [1,25 puntos] ¿Existe algún valor de k para que A, B, C y D sean coplanarios? (b) [1,25puntos] Calcula los valores de k para que los puntos A, B, C y D formen un tetraedro de volumen 1. Ejercicio 4.- Considera los vectores 𝑢�⃗ = (1,1, m), �⃗� = (0,m, 1) y 𝑤��⃗ = (1, 2m,0) a) [1,25 puntos] Determina el valor de m para que los vectores 𝑢�⃗ , �⃗� y 𝑤��⃗ sean linealmente dependientes. b) [1,25 puntos] Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, expresa el vector 𝑤��⃗ como combinación lineal de los vectores 𝑢�⃗ y �⃗�



EXAMEN DE LA UNIDAD : PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

Ejercicio 1.- Considera los puntos A(−1,−2,−1) y B(1, 0, 1). a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos A y B son simétricos. b) [1,25 puntos] Calcula la distancia de P(−1, 0, 1) a la recta que pasa por A y B. Ejercicio 2.- Sea π el plano determinado por los puntos A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) y C(0, 0, λ), siendo

λ un número real, y sea la recta 𝑟: � 𝑦 − 𝑧 = 3−𝑥 + 2𝑦 = 3

�

a) [1,25 puntos] Estudia la posición relativa de r y π según los valores de λ. b) [1,25 puntos] Para λ = 2, calcula el ángulo que forman la recta y el plano

Ejercicio 3.- Sea r la recta que pasa por A(4, 3, 6) y B(− 2, 0, 0) y sea s la recta �𝑥 = 2 + 𝑡𝑦 = 𝑡

𝑧 = 1 − 2𝑡�

a) [1,25 puntos] Determina la posición relativa de r y s. b) [1,25 puntos] Calcula la distancia entre las dos rectas.

Ejercicio 4.- Considera el punto P(1,−1, 0) y la recta r dada por �𝑥 = 1 + 3𝑡𝑦 = −2𝑧 = 𝑡

�

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r. b) [1,25 puntos] Halla las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r.



EXAMEN DE LA UNIDAD : PROBLEMAS GEOMÉTRICOS Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Calcula el punto simétrico de A (1, 2, 0) respecto al plano

02 =+−≡ zxπ Ejercicio 2. [2'5 puntos] Considera el plano de ecuación 02 =+−+≡ zyxπ y la recta de

ecuación 36

25

−−

==−−

≡zyxr

(a) [1'25 puntos] Halla la posición relativa de π y r. (b) [1'25 puntos] Calcula el ángulo que forman

Ejercicio 3. Determina un punto P de la recta 3

43

52

3 +=

+=

+≡

zyxr que equidista del

origen de coordenadas y del punto A(3, 2, 1) . Ejercicio 4. [2’5 puntos] Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta

r :

=−−=−

03432

zyxyx

Colegio San Alberto Magno SEMINARIO DE MATEMÁTICAS

BACHILLERATO II

EXAMEN DE LA UNIDAD 5: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADA

1. Calcula los siguientes límites:

a) [1’25 puntos]

lim𝑥→−1

𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1𝑥2 + 2𝑥 + 1

b) [1’25 puntos]

lim𝑥→∞

(�𝑥2 + 𝑥 − 𝑥)

2. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) [1’25 puntos] f(x) = 34𝑥

cos(𝑥2+1)

b) [1’25 puntos] 1tg 22 −⋅= xxy

3. [2’5 puntos] Calcula la recta tangente y la recta normal a la función en x = 2. 𝑦 = ln (𝑥2 − 2𝑥 + 1)

4. Sea la función f : (−∞, 1) → R dada por 𝑓(𝑥) = �𝑥 + 2𝑒−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0𝑎√𝑏 − 𝑥 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1

�

a) [2 puntos] Determina a y b sabiendo que la función es derivable en todo su

dominio. b) [0,5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de

abscisa x = 0.

Colegio San Alberto Magno SEMINARIO DE MATEMÁTICAS

BACHILLERATO II

RECUPERACIÓN DE LA UNIDAD 5: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADA

1. Calcula los siguientes límites:

a) [1’25 puntos] 9157

93523

23

3 +++−++

−→ xxxxxxlim

x

b) [1’25 puntos] 4

11lim2

−−+

∞→ xx

x 2. calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) [1’25 puntos] 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) ∙ √𝑐𝑜𝑠𝑥3 b) [1’25 puntos] 𝑓(𝑥) = log2�𝑥2−4�

𝑒3𝑥2 3. Calcula la recta tangente y la recta normal a la función en x = 2

( )3)( 2 −= xLnxg

4. Considera la función derivable f : R→ R definida por

𝑓(𝑥) = �𝑒𝑥+𝑒−𝑥

𝑥+1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 > 0�

(a) [1’75 puntos] Calcula las constantes a y b. (b) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 0.



EXAMEN DE LA UNIDAD 6: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Ejercicio 1. [2'5 puntos] Dada la función f : R → R definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx, determina a, b y c sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1,0), y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación y = - 3x + 3. Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula el valor de a sabiendo que el límite es finito. Calcula dicho límite

+−+

→ 20

)3cos()1ln(limx

xxasenxxx

Ejercicio 3. [2'5 puntos] Una cuerda de un metro de longitud se divide en dos trozos con los que se construyen un cuadrado y una circunferencia respectivamente. Determina, si es posible, las longitudes de los trozos para que la suma de las áreas sea mínima.

Ejercicio 4. Considera la función 1

)( 2

3

−=

xxxf , para x ≠ 1 y x ≠ - 1

(a) [0'5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de las asíntotas con la gráfica de f(x) (b) [1'5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (c) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de f.



EXAMEN DE LA UNIDAD 7: INTEGRALES

Ejercicio 1. [2'5 puntos] Calcula ∫ 3x3+x2−10x+1x2−x−2

dx Ejercicio 2. [2’5 puntos] Considera la función f : 𝑅 → 𝑅 definida por 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1) ∙ 𝑒2𝑥 Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (1, e2) Ejercicio 3. [2’5 puntos] Calcule el valor de α positivo, para que el área encerrada entre la curva 𝑦 = 𝛼𝑥 − 𝑥2 y el eje de abscisas sea 36. Representa la curva que se obtiene para dicho valor de α. Ejercicio 4.

(a) [1 punto] Dibuja el recinto limitado por las curvas 𝑦 = 𝑒𝑥+2, 𝑦 = 𝑒−𝑥 y el eje de ordenadas.

(b) [1'5 puntos] Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior.

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