Presentaci onEl grupo de profesores del Departamento de Matematicas de la UniversidadTecnologicadePereiraquedurantea nos hanvenidoorientandoel primer cursode matematicas que deben tomar los alumnos que recien inician su vida enla educacion superior en los programas de: Ingenieras, Tecnologas, QuimicaIndustrial, Administraciondel medioAmbiente, yLicenciaturaenMatematicasyFsica; hanpuestosuexperienciaysuconocimientoenlaelaboraciondeestematerial con el objetivo de facilitar la comprension y desarrollo de todos los temasque se exponen en el.Aqu encontrarangrancantidaddetalleres consus respuestas sistematicamentepresentados conforme se desarrolle el curso, ajustados completamente al contenidodelaasignatura; permitiendoqueel alumnoavancehacialaconsecuciondelashabilidades ycompetencias necesarias que le daranlasolidez matematicaparaafrontar con solvencia las diferentes asignaturas que requieran de unas buenas basesmatematicas.Es derecalcar quelos talleres aqu planteados requierenfundamentalmentetansolodeloselementosteoricosqueel docenteentregaraencadaclase, siendoestoventajosodadoqueleevitaal alumnoel gastoasociadoalacompradeuntextogua.Finalmente se han agregado unos temas al inicio de este libro y corresponden en granmedida a los topicos fundamentales que cualquier alumno debe manejar con solturaparapoderdarinicioconresponsabilidadal desarrollodeejerciciosyproblemaspropuestos en este material que hemos denominado Talleres de Matematicas IProfesores Matematicas IDepartamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I1 Preliminares1.1 El sistema de los n umeros reales1.2 El orden y la recta numerica1.3 Valor absoluto1.4 Exponentes y leyes de exponentes enteros1.5 Exponentes racionales1.6 Expresiones algebraicas1.7 Ecuaciones e inecuaciones en una variable1.8 Ecuaciones de segundo grado con una incognita1.9 Secciones conicas1.1.Elsistemadelosn umerosrealesEmpezaremos conalgunos de los conjuntos basicos de n umeros conlos que yaesta familiarizado:Los n umerosnaturales N = 1, 2, 3, 4, ...Los n umerosenteros Z = ..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...Los n umerosracionales Q =_pq [ p, q Z, q ,= 0_El n umero asociado con la recta numerica se llama coordenada del punto.Los n umeros enteros se pueden representar en una recta de la siguiente forma:1. Elige un punto cualquiera de la recta. Asgnele el valor 0.2. Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y asgnele el valor 1.Ladistanciaentreambospuntosseralaunidaddemedidadelongitud.Simarcasesa unidad de medida a la derecha del 1, el punto representado es el 2. Haciendo lomismoaladerechadel2,obtienesel3.Yassucesivamenterepresentastodoslosn umerosnaturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, .....1Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas ISi marcas la unidad de medida a la izquierda del 0, obtienes los n umeros negativos-1, -2, -3, -4, -5, -6, . . . Este conjunto se denomina n umerosenterosFigura 1: N umeros enterosLos n umeros racionalesse asocianconpuntos sobre larectanumerica. Pararepresentar el n umero 2,5 que es un n umero comprendido entre 2 y 3, dividimos elsegmentoentrelosn umeros2y3en10partesiguales.Tomamos5deesaspartescontando a la derecha desde el 2.Despues de asociar cada n umero racional conunpunto de la recta numerica,nos encontramos que todavafaltanpuntos por asociar. Estos n umeros que nocorresponden a ning un n umero racional se llaman n umerosirracionales I.Los decimales nitos como por ejemplo14= 0.25 y los decimales periodicos como13= 0.33333 representan n umeros racionales.Es unhechoquelos decimales quenosonnitos ni periodicos nosonn umerosracionales. En otras palabras, un decimal de este tipo no se puede representar comoel cociente de dos enteros.Esteconjuntodedecimalesquenosonnitosni periodicosrecibeel nombreden umerosirracionales I. Por ejemplo, ,2 son n umeros irracionales.Loimportanteparanosotros es reconocer quelos n umeros irracionales tambienrepresentan puntos sobre la recta numerica. Si tomamos todos los n umeros racionalesjunto con todos los n umeros irracionales (tanto positivos como negativos), obtenemostodoslospuntosdelarectanumerica. Esteconjuntosellamael conjuntodelosn umerosreales y, por lo general, se designa con la letra R.Los n umeros reales R corresponden a un punto sobre la recta numerica. La siguientegura ilustra la relacion que existe entre los conjuntos antes expuestos2Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas IFigura 2: N umeros Reales1.1.1Propiedadesdelosn umerosrealesTerminologa Caso generalLa adicion es conmutativa a +b = b +aLa adicion es asociativa a + (b +c) = (a +b) +c0 es el neutroaditivo a + 0 = aa es el inversoaditivo a + (a) = 0La multiplicacion es ab = baLa multiplicacion es a(bc) = (ab)c1 es el neutromultiplicativo a1 = aSia ,= 0, 1aes el inverso a_1a_ = 1La multiplicacion es a(b +c) = ab +acdistributiva en la adicion (a +b)c = ac +bc1.1.2PropiedadesdelaigualdadA continuacion se enuncian las propiedades basicas de la igualdadSia = b yc es cualquier n umero real, entonces1. a +c = b +c2. ac = bc3Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I1.1.3Productosenlosqueintervieneelcero1. a0 = 0 para todo n umero reala2. Si ab = 0, entoncesa = 0, o bienb = 01.1.4Propiedaddelosn umerosnegativosPropiedad Ejemplo(a) = a (3) = 3(a)b = (ab) = a(b) (2)3 = (23) = 2(3)(a)(b) = ab (2)(3) = 23(1)a = a (1)3 = 31.1.5Notacionparalosn umerosrecprocosEl recproco1ade un n umero a distinto de cero, se representa con frecuencia,con a1, como se ve en la siguiente tablaDenicion EjemploSi a ,= 0, entonces a1=1a 21=12_34_1=1_34_=431.1.6SustracionydivisionLas operaciones sustracion (), y de division (), se denen como sigue:Denicion Ejemploa b = a + (b) 3 7 = 3 + (7)a b = a_1b_. = ab1; b ,= 0 3 7 = 3_17_ = 3 711.1.7PropiedadesdeloscocientesLas siguientes propiedades de los cocientes son validas, siempre que losdenominadores sean n umeros reales distintos de cero.4Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas IPropiedad Ejemplo1.ab=cdsiad = bc25=615porque 2 15 = 5 62.adbd=ab2 35 3=253.ab= ab= ab25= 25= 254.ab+cb=a +cb25 + 95=2 + 95=1155.ab+cd=ad +bcbd25 + 43=(2 3) + (5 4)(5 3)=26156.ab cd=acbd25 73=2 75 3=14157.ab cd=ab dc=adbc25 73=25 37=635Nota: Si a es un n umero distinto de cero, entonces:a0esta indenido, mientras que0a= 0 y00es indeterminado.Taller11. Eval ue las expresiones numericasa. 3 + (6) (+4) (8) b. (6)(2)(3) c. 2 3,552d. 4 + 7,29 e. 2[3 (2 5)] f. 2 (3)2g. 6 [4 (5 8)2] h. 9 3 [6 2(9 4)2] i.34 23 + 122. Escriba cada expresion como una fraccion simple reducida a su mnimaexpresiona.3 + 355 18b.4 2325 6c.23 1218 + 25d.35 12710 25Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I3. Reemplaceelsimbolocon = obiencon ,= paraqueelenumeradosecumplacontodoslosn umerosreales a, b, c, d; siemprequelasexpresionesesten denidasa.ab +aca b +ac b.ab +aca b +cc.b +ca

ba +cad.a +cb +d

ab+cde.a bb a 1 f. (a +b)a +b6Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I1.2ElordenylarectanumericaSeana yb n umeros reales:Sia b es positivo,a es mayor queb. Se notaa > b (> Mayor que)Sia b es negativo,a es menor queb. Se notaa < b (< Menor que)Sia b es cero,a es igual ab. Se notaa = b (= Igual a)a > b si y solo si a b R+a < b si y solo si a b Ra = b si y solo si a b = 0El conjunto de los n umeros reales es un Campoordenado.Teorema1. AxiomadetricotomaParatodoaybreales,unaysolounadelasproposiciones siguientes es valida:a > b,a = b oa < b1. El smbolo signica menor o igual que: 5 6, 6 6.2. El smbolo signica mayor o igual que: 6 5, 6 63. Ladobledesigualdada b entoncesac > bc, para todoc que pertenece aR+4. Sia, b son reales ya > b entoncesac < bc, para todoc que pertenece aR5. Sia, b pertenecen aR y siab > 0 entonces (a > 0 y b > 0) o (a < 0 y b < 0)6. Para todo reala, a2 07Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I7. Sia > b siendoa yb positivos entoncesa2> b28. Sia > 0, 1a> 09. Sia > b yc > d,a +c > b +d10. Sia, b, cyd son positivos ya > b,1b>1aEjemplo Determine la veracidad o no de los siguientes enunciados:a) 6 > 2 (V) e) 18 > 24 (F) i) 15 < 12 (V)b) 4 < 12 (V) f)127 1 (V)c) 4.50 < 2.26 (V) g) 2 = 2 (F) k) 9 > 11 (V)d)< 2e (F) h)35< 0.35 (F) l) 116> 2 (V)Ejemplo Reemplace el smbolo2 cono =72 2847 4228 12822828 =28Taller21. Reemplace el smbolo2 con o =a.132823b. 45102 92c. 1272 138d.32523222. En cada caso ordene de menor a mayor y represente en una recta numerica:a. 38,511, 57,23b. 32, 79, 68,45c. 13,52, 13, 47,533. Por que no tiene sentido escribir:a) 2 < x < 4b) 2 > x > 58Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I1.2.1LanotaciondeintervalosOtra manera de expresar conjuntos de n umeros descritos por desigualdades esutilizando la notacionde intervalos. Esta notaciones una manera convenientey compacta de representar intervalos en la recta numerica. Empezaremos conintervalos acotados, es decir, intervalos que tienen dos extremos.Utilizaremosparentesisparaindicarqueunextremonoestaincluido, ycorchetespara indicar que se incluye el extremo.Intervalosacotadosx[a x b [a, b]x[a < x < b (a, b)x[a x < b [a, b)x[a < x b (a, b]Intervalosnoacotadosx[x a [a, )x[x > a (a, )x[x a (, a]x[x < a (, a)Lossmbolos y norepresentann umeros; sonsimplementesmbolosquenosrecuerdanqueelintervalocontin uaporsiempre,oaumenta(odisminuye)sinn. Por lo tanto, siempre escribimos un parentesis junto al smbolo .Recordemos que siempre que utilizamos la notacion de intervalos, estamostrabajando dentro del marco del sistema de los n umeros reales. La lnea gruesa dela graca se nala que se incluyen todos los puntos de la lnea.Ejemplo1. Gracar las siguientes desigualdades en la recta numerica y expresar elconjunto utilizando la notacion de intervalos.a) x[x > 3b) s[s 4c) t[ 2 < t 69Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas IFigura 3: Conjunto solucionTaller31. Exprese el enunciado en forma de desigualdad:a.x es negativo.b.y es no negativo.c.q es menor que o igual a.d.d esta entre 2 y 4.e.t no es menor que 5.f. El inverso aditivo dez no es mayor que 3.g. El cociente dep yq es, cuando mucho 7.h. El recproco dew es, cuando menos 9.2. Graque cada conjunto sobre la recta numerica real:a.x[x < 4 b.x[x > 5 c.x[ 3 < x 2d.x[ 8 < x < 2 e.x[ 2 x < 43. Graque el conjunto sobre la recta numerica y expreselo mediante la notacionde intervalos.a.x[x < 4 b.x[x 1 c.x[x 5d. x[ 3 < x e. x[ 8 x < 5 f. x[0 < x 6g. x[ 2 x h.x[ 3 < x < 4 i.x[ 9 < x 2j. x[0 x 610Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I1.3ValorabsolutoDe manera geometrica, el valor absoluto de un n umero es su distancia al cero sobrela recta numerica.El valor absoluto dex se simboliza por [x[. Por tanto:[ 3[=3yaque 3esta3unidadesdedistanciadelceroenlarectanumerica.Ademas,[3[ = 3 ya que 3 esta a 3 unidades del cero en la recta numerica.Figura 4: Interpretacion gracaDe manera algebraca, denimos el valor absoluto de la siguiente manera:[x[ =_x six 0x six < 0Denicion Sean a,b las coordenadas de dos puntos A y B respectivamente en unarecta coordenadal. La distancia entre A y B, notadad(A, B) = [AB[ = [B A[.11Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I1.3.1Algunaspropiedadesdelvalorabsoluto1.[x[ 0 2.[x[ x3.[ x[ = [x[ 4.[x[2= x25.[x[ = [y[, x = y ox = y o x = y 6.[xy[ = [x[[y[7.xy = [x[[y[, y ,= 0 8. [x y[ = [y x[9.[x +y[ [x[ +[y[ 10.[x[ [y[ [x y[Ejemplo Escriba cada expresion sin los smbolos de valor absolutoa) [ 3[ b) [3 [ c) [x4+ 1[d) [x 2[ e) [x + 1[Solucion1. Como 3,14, entonces 3 es positivo, por tanto [ 3[ = 32. [3 [ es negativo, por tanto [3 [ = (3 ) = 3 + = 33. x4es no negativo yx4+ 1 tambien es positivo, por tanto [x4+ 1[ = x4+ 14. [x 2[ = x 2 cuandox 2 0, x 2, [x 2[ = (x 2) = x + 2 cuandox 2 < 0, x < 2 por tanto[x 2[ =_x 2 cuandox 22 x cuandox < 2Taller41. Determine el valor de cada expresion, six = 3, y = 2a.[x +y[ b.[x[ +[y[c. [x y[ d.[x[ [y[2. Escriba cada expresion sin los smbolos de valor absolutoa. [3 5[ b. [x 5[ c. [2 1[ d. [x + 4[e. [1 2[ f.[x2+ 1[ g. [ 3, 14[ h. [x4+ 3[12Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I3. Determine la distancia sobre la recta numerica entre cada par de puntos conlas coordenadas dadas.a. 2 y 5 b. -3 y 8 c. 5 y 9 d. -8 y 44. La distancia entre x y a se dene como [xa[. En cada caso graque el conjuntosolucion sobre la recta numerica y expreselo mediante notacion de intervalos.a. [x 2[ < 1 b. [x 2[ < 3 c. [x[ < 4 d. [x 4[ < 3e. [x 2[ 1 f. [x[ 3 g. [x 3[ > 5 h. [x 4[ 3i. [x + 2[ < 1 j. [x + 2[ 15. Calcule [x y[ [x[ [y[ six = 1 yy = 213Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I1.4ExponentesyleyesdeexponentesenterosEl concepto de exponente es de mucha utilidad para expresar n umeros en una formamas corta. Por ejemplo: el producto 2 2 2 2 2 se expresa de la forma 25y selee dos a la cinco.ELa expresionE2 2 2 2 2 esta en la forma expandida y la expresion 25es unaexpresion exponencial.EEl valor 32 es la quinta potencia de 2.Denicion La expresion xnsignica que x aparece multiplicada n veces. x se conocecomolabaseyncomoelexponente.Sellamapotenciaalvalorqueseobtienealmultiplicarlabasenveces.Estoes, xn=x x x x . .n vecesmultiplicadoporsimismon veces.Ejemploa) La notacion exponencial de (3)(3)(3)(3) es (3)4.b) La notacion exponencial deb b b esb3.Denicion Para toda basex, x1=x. Esto es, cualquier n umero elevado a la unoes el mismo n umero.Ejemplo 31= 3 (17)1= 17 (259)1= 259DenicionCualquier n umero diferente de cero, elevado a la cero es igual auno. Esto es, para toda basex x ,= 0 x0= 1.Ejemplo 30= 1 (5)0= 1 (58)0= 1Denicion Cualquier n umero diferente de cero yn un n umero entero, tenemosxn=1xnEjemplo 23=123=181.4.1Propiedades1. Si n y m son enteros positivos y x un real: xnxm= xn+m2. Si n y m son enteros positivos y x un real: (xn)m= xnm14Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I3. Si n es entero positivo y x, y reales: (xy)n= xnyn4. Si n y m son enteros positivos, n > m y x un real, x ,= 0 :xnxm= xnmEjemploa) 3235= 32+5= 38b) (a + 2b)3(a + 2b)7= (a + 2b)3+7= (a + 2b)10c) ((12 +13)2)4= ((56)2)4= (56)8= (65)8d)(2a2b)3(3ab)2a4=23a6b3(3)2a(2)b2a4=23(3)2a6a2b3b2a4= 23(3)2a6+(2)(4)b3+(2)= 23(3)2a8b5=a823(3)2b5=a872b5Taller5 Elimnense les exponentes negativos y simpliquese:1. (a5)42.23323. (aras)t4. (x2mx3n)45. (3)36.(2x5)(3x4)(x2)315Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I7. (2xy2)5x78y38. (2xn)n9. (a1+b1) (a +b)110.(2x3y2)(3x2y3)11._4a0b3a4b_212.a1+b1(a +b)113.x2y2x2y214. ((x2y3)2)316Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I1.5ExponentesracionalesDenicion Si n es un entero positivo y a un n umero para el cual a1/nesta denido,entonces la expresionna denomina raiz n-esima dea, donde el n umeroa se llamacantidad subradical y an el ndice del radical.La raz principal de un n umero positivo es la raz positivaLa raz principal de un n umero negativo es la raz negativa, sin es imparSe notay = a1/n=naNota: Sin = 2 (ndice del radical) entonces se omite al escribir la expresion.Ejemplo251/2=225 =25 = 5 25 es el radicando y 2 es el ndice; 52= 25DencionSi a es unn umero real y m, ndos enteros para la cual:na esun n umero real, entoncesam/n=namEjemploa)22/3=322=34b) a(2/3)=1a23=13a2,a ,= 0Taller6 Reduzcanse a su forma mas simple:1. 251/22. x1/4x1/53. (2x1/6y5/6)64. (210)3/55. x1/4x1/56. (x +y1)27. (x1/4)1/58. 37/231/29. (a1/2+b1/2)217Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I10. (125x4y327x2y6)1/311. (x1/3+y1/3)(x2/3x1/3y1/3+y2/3)1.5.1ReglasdelosradicalesPara cualquier entero positivon y n umeros realesa yb dondeb ,= 0, y si todas lasraces son n umeros reales:Denicion Regla del producto de radicalesnab =nanbEjemploa) 9 3 =93 = 33b)3234 =32 4 =38 = 2Denicion Regla de la division de radicalesn_ab=nanbEjemploa)4_1681=416481b)483=_483=16 = 41.5.2SimplicacionderadicalesUn radical esta en su forma mas simple si:1. El radicando no tiene factores con una raz enesima perfecta.2. No hay fracciones dentro del signo del radical.3. No existen radicales en el denominador.18Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas INota:Laregladelproductoseusaparahallarlasracesperfectasdelosfactoresdel radicando.Laregladeladivisionderadicalesseusacuandolasfraccionesestandentrodelsigno del radical.Taller7 Red uzcanse a su forma mas simple:1. 502.4323.3814.363185.5_32a10b46.75277. a2b2+b2c28.3x_a2x43_x32a49.na2nb3n10.5_4_3_(32)211._x + 6 +9x12.1032a51.5.3N umeroimaginarioDenicion Un n umero imaginario se dene como:i =1 y i2= 1Denicion Para todo n umero real positivoa, tenemos que:a =1a = ia19Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas IEjemplo Simplicar:a) 36 =136 = i36 = 6ib) 17 =117 = i17 =17i1.5.4OperacionesconradicalesSumayResta: En la suma y la resta utilizamos los siguientes pasos:1. Simplicar todos los radicales que no esten expresados en su forma mas simple.2. Sumar y restar terminos que contienen los mismos radicales (es decir, que sonsemejantes) usando la propiedad distributiba.Multiplicacion: En la multiplicacion de radicales hacemos los siguientes pasos:1. Multiplicar los coecientes de los radicales.2. Multiplicar los radicales y buscar la raz enesima del producto.3. Simplicar si es necesario.Ejemplo Realizar las operaciones y expresar la respuesta en su forma mas simplea)5x 10x 4+ 3x 24 x=5x 10x 4+ 2 3xx 4=5x 10 + (3x + 2)x 4=2x 8x 4=2(x 4)x 4= 220Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ib)4x(x + 1)(x22)3+1(x22)2=4x(x + 1)(x22)3+1(x22)2=4x(x + 1) + (x22)(x22)3=3x24x 2(x22)3Taller8 Evaluar:1.316 354 +32502. 12 +75 183. 3ab2318a3b4. (23 + 32)(33 22)5. 675 215Division: Antes de dividir expresiones con radicales tenemos que denir lo que esel conjugado.DenicionLas expresiones (a + b) y (a b), donde a y b representancualquierterminoalgebraicopositivosellamanconjugados. Cadaexpresioneselconjugado de la otra expresion. De manera que: (a +b)(a b) = a bDenicionEl procesoparaeliminar radicales que estanenel denominador sellama racionalizar el denominador.Ejemplo Racionalizara)42 +5=4(2 5)(2 +5)(2 5)=4(2 5)(4 5)=4(2 5)1= 4(2 5)b)11 +211 2=(11 +2)(11 +2)(11 2)(11 +2)=(11 +2)(11 +2)921Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas ITaller91. El factor racionalizante de15aesa)5ab)5a2c)5a42. La expresion12_x5y73__xyes igual a:a) xyb)6_x2y3c)3xyd)12_x2y53. El factor racionalizante dea +b3a2+b2es:a)3a +bb)3a bc)3a4+b4d)3a4+b4+ 2a2b24. El factor racionalizante de11 3xes:a) 1 +3x2b) 1 +x +x2c) 1 +3x +3x2d) 1 3x +3x222Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I1.6ExpresionesalgebraicasUna expresion algebraica es una expresion que se obtiene sumando, restando,multiplicando, dividiendo y calculando races de constantes y/o variables. Porejemplo:a. 3x1/3+ 9, b.2x + 57x3+ 1 , c. 5x3+ 3xyx+ 4,d. 2x5+x3+ 1Todas son expresiones algebraicas dondex, yson variables. Si n umeros especcosse sustituyenpor las variables enunaexpresionalgebraica, el n umeroreal queresulta se llama valor de la expresion para estos n umeros. Por ejemplo, el valor de2xy + 3xy 1, cuandox = 2 yy = 3 es:2(2)(3) + 3(2)3 1= 12 62= 9Cuando se trabaja con expresiones algebraicas, se supone que los dominios se escogendetal maneraquelasvariablesnorepresentann umerosquedejensinsentidolaexpresion. Entonces se supone que los denominadores no se anulan, siempre existenraces, etc.1.6.1Expresionesalgebraicas-PolinomiosDenicionUnpolinomioenlavariable xes unaexpresionalgebraicaformadasolamente por la suma de terminos de la formaaxn, dondea es cualquier n umeroyn es un n umero entero no negativo.Ejemploa) 3x 2b)x4+ 5c) 2n25n + 3d) 5y3+ 4y23y + 1e) 23Las siguientes expresiones algebriacas no son polinomios:a)1x + 2x b)x 3x2+ 4c) 2x2+x 5Nota Los polinomios son expresiones algebraicas pero no toda expresion algebraicaes un polinomio.23Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I1.6.2Componentesdeunpolinomio1. Termino: Un termino es una parte de una expresion algebriaca. Los terminosse separan entre s por los signos de suma (+) o resta (-).2. Coeciente: El coeciente numerico de un termino de un polinomio es el factornumerico del mismo.3. Termino constante: Es el coeciente numerico que no contiene variable.Ejemplo El polinomio 5x2+ 3x 8a) Tiene tres terminosb) Los coecientes numericos son 5, 3 y -8c) -8 es el termino constante1.6.3ClasicaciondelospolinomiosLospolinomiosseclasicandeacuerdoaln umerodeterminos.Unpolinomioquetiene un solo termino se llama monomio. Si el polinomio tiene dos terminos se llamaunbinomio y si tiene tres terminos se llamatrinomio. Los polinomios formadospormasdetresterminosnorecibenning unnombreenespecial,simplementesonpolinomios con la cantidad de terminos que contiene.EjemploMonomio Binomio Trinomio3x 7x 4 n2+ 3n + 225 3a + 5b 3x4x3+ 5x29x2y3n24n 4xy +pxy211xy4El polinomio 8x3+ 5x23x + 7 es un polinomio de cuatro terminos.1.6.4GradodeunpolinomioSi el polinomio es en una variable, el grado del polinomio esta determinado por eltermino que contiene el mayor exponente.EjemploPolinomio Grado9y45y3+ 3y2+ 7y 2 cuatro2n23n + 1 dos3x3y5+ 5x2y47xy2+ 6 ocho24Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I1.6.5TerminosSemejantesDos terminos sonsemejantes cuandoambos sonnumericos ocuandotienenlasmismas variables y sus exponentes son respectivamente iguales.Ejemploa) 6 semejante 6b) 9x2semejante 3x2c) 11x no semejante 11x21.6.6Operacionesentrepolinomios1. Suma. Encuentrese la suma de los polinomiosx3+2x25x +7 y 4x35x2+3(x3+ 2x25x + 7) + (4x35x2+ 3) = x3+ 4x3+ 2x25x25x + 3 + 7= (1 + 4)x3+ (2 5)x2(5)x + (3 + 7)= 5x33x25x + 102. Diferencia. Encuentreseladiferenciadelospolinomios x3+ 2x2 5x + 7y4x35x2+ 3(x3+ 2x25x + 7) (4x35x2+ 3) = x3+ 2x25x + 7 4x3+ 5x23= x34x3+ 2x2+ 5x25x + 7 3= (1 4)x3+ (2 + 5)x25x + (7 3)= 3x3+ 7x25x + 43.Producto. Encuentrese el producto de 2x3+ 3x 1 yx2x + 4(2x3+ 3x 1)(x2x + 4) = (2x3+ 3x 1)x2+ (2x3+ 3x 1)(x)+ (2x3+ 3x 1)4= 2x5+ 3x3x22x43x2+x + 8x3+ 12x 4= 2x52x4+ (3 + 8)x3+ (1 3)x2+ (1 + 12)x 4= 2x52x4+ 11x34x2+ 13x 425Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I4. Cociente.Antesdeprocederadividirdospolinomiossedebenescribirambosenordendescendentedeexponenteyluegorealizarunprocesomuyparecidoaladivision de n umeros en aritmetica.Ejemplox3x + 3x23 entrex 1Proceso:1. Ordenamos en forma descendente el dividendo y el divisor asx3+ 3x2x 3 (dividendo) yx 1 (divisor)2. El termino de mas grado del dividendo se divide entre el termino de mas gradodel divisor.x3x= x2. Luego se multiplica x2por el divisor y el resultado se restaal dividendo3. Este proceso se continua hasta lograr que el residuo sea un polinomio de gradoinferior al del divisor o una constante.x3x + 3x23 [x 1x3+x2x2+ 4x + 30 + 4x2x 34x2+ 4x0 + 3x 33x + 30Taller10 Completar1. (x + 2)(x + 3) =2. (x 2)(x + 3) =3. (2x + 3)(3x 5) =4.x3y3x y=5.x4y4x y=6.x4y4x +y=26Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I1.6.7FactorizacionFactorizar un polinomio es volverlo a escribirlo como un producto de polinomios.Ejemploa)y5+y4= y4(y + 1)b) 25 x2= (5 +x)(5 x)1.6.8Algunoscasosdefactorizacion1.Factorcom un Consiste en la aplicacion de la propiedad distributiva.Ejemploa) 3x3y 5x2y2+ 7xy = xy(3x25xy + 7)b)x2xy x +y = (x2xy) + (x +y) = x(x y) (x y) = (x y)(x 1)2. Factorizacion de trinomios Trinomio de la forma x2+bx+c: En este trinomiobycsonenterosysebuscafactorizarloas: sebuscan, si existen, dosn umerosenteros que sumados algebraicamente den como resultadob y multiplicadosc.Ejemplox2+ 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)x25x 24 = (x 8)(x + 3)3. Trinomiode laforma ax2+bx +c: Enestecasobycsonenteros ysefactoriza de la siguiente forma: Se multiplica y se divide el trinomio por a quedando(ax)2+b(ax) +aca, unavez as se procede comoel casoanterior, simplicandocuando sea posible.Ejemploa) 3x2+ 7x 6 =(3x)2+ 7(3x) 183=(3x + 9)(3x 2)3= (x + 3)(3x 2)b) 6x25x 6 =(6x)25(6x) 366=(6x 9)(6x + 46=3(2x 3)(3x + 2)26= 6x25x 6 = (2x 3)(3x 2)Taller11 Factorizar completamente cada una de las siguientes expresiones:1. 6x27x 327Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I2. 4x4y 10x3y2+ 6x2y33. a(x2y) + 2b(x2y)4. xy +xz5. 6ax + 2ya6. 2x29x 57. 3y2+ 7y 68. x2+x + 11.6.9ProductosnotablesCiertosproductosocurrentanfrecuentementeenalgebra, quemerecenunlugarespecial (produntosnotables). Hacemosunalistadeestos, endondelasletrasrepresentan n umeros reales.1. (x +y)(x y) = x2y22. (ax +b)(cx +d) = acx2+ (ad +bc)x +bd3. (x y)2= x22xy +y24. (x y)3= x33x2y + 3xy2y35. (x +y)(x2xy +y2) = x3+y36. (x y)(x2+xy +y2) = x3y31.6.10FactorizacionutilizandolosproductosnotablesTaller12 Factorizar completamente cada una de las siguientes expresiones:1. 49 a22. a2(x y)23. 27 b34. a3+ 2165. x2+x 2028Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I6. 6x27x 37. 3x33x26x8. (x 3)2(x 3)9. x41610. x28x + 1611. x2+ 2xy +y212. 8x3113. x33x225x + 7514. x2+ 4x + 4 y215. (x2+ 4)21.6.11Expresionesalgebraicas-ExpresionesracionalesConocemos lo que es un n umero racional, un n umero que se expresa de la forma:abdondea yb son enteros conb ,= 0Denicion Una expresion racional es una expresion algebraica de la forma:PQdondePyQ son polinomios yQ ,= 0Ejemploa)5xb) 3x + 1c)1x24De acuerdo con lo anterior, el denominador de una expresion racional no puede sercero, entonces:29Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I5xNo esta denida parax = 03x + 1No esta denida parax = 11x24No esta denida parax 2El numerador puede ser cero ya que la expresion:0bparab ,= 0 es cero1.6.12SimplicaciondeexpresionesracionalesPara simplicar una expresion racional seguimos los siguientes pasos:1. Factorizar completamente el numerador y el denominador.2. Dividir el numerador y el denominador por los factores comunes en ambos.Estose hace cancelando los factores comunes en el numerador y el denominador.Ejemplo Simplifquese3x25x 2x24Solucion:3x25x 2x24=(3x + 1)(x 2)(x 2)(x + 2)=3x + 1x + 2Enel ejemplo anterior, dividimos numerador y denominador por x 2. Debeenfatizarse que esta simplicacion es valida y las expresiones son iguales, solo bajola hipotesis de quex 2 ,= 0, esto esx ,= 2. Sin embargo 2 no esta en el dominio dex ya que nos lleva, cuando se sustituye en la expresion original, a un denominadorigual a cero.Taller13 Enmarcar con un crculo la respuesta correcta a cada problema.1. Al reducir la fraccionx2+xyx2y2a su mnima expresion se obtiene:a.xx +yb.xyc.xx yd.11 +ye. Ninguna de las anteriores2. Al reducir la fraccionx2+ 3x 104x x3a su mnima expresion se obtiene:a.x + 5x(x + 2)b. x + 5x(2 x)c.3x 103xd. x + 5x(x + 2)30Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ie. Ninguna de las anteriores3.x216y2x + 4y=a. x + 4y b. x 4y c. x y d. x +y e Ninguna de las anteriores.4. Completar con una expresion adecuada.a)15x2+ 10x5=b)5x3y2xy2+ 3xyxy=c)x33x2+ 3x 1x 1=d)x32x217x + 6x2+ 5x 2=Ejemplo Simplifquese2 x 3x26x2x 2Solucion:2 x 3x26x2x 2=(1 +x)(2 3x)(2x + 1)(3x 2)= (1 +x)2x + 1Dondehemosusadoel hechodeque(2 3x)= (3x 2). Estoexplicael signomenos en la respuesta nal.Ejemplo Realcense y simplifquense las operaciones indicadas:a)x26x + 9x21

2x 2x 3b)x + 22x 3 x242x23xSolucion:a)x26x + 9x21

2x 2x 3=(x 3)22(x 1)(x 1)(x + 1)(x 3)=2(x 3)x + 1b)x + 22x 3 x242x23x=x + 22x 3 2x23xx24=(x + 2)x(2x 3)(2x 3)(x + 2)(x 2)=xx 231Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas IEjemplo Simplifquese2x + 5x2+ 6x + 9 +xx29 +1x 3Solucion: Las formas factorizadas de los denominadores son: (x+3)2, (x+3)(x3)y (x 3). Entonces elm.c.d es (x + 3)2(x 3). Luego:2x + 5x2+ 6x + 9 +xx29 +1x 3=2x + 5(x + 3)2 (x 3)(x 3) +x(x + 3)(x 3) (x + 3)(x + 3)+1x 3 (x + 3)2(x + 3)2=(2x2x 15) + (x2+ 3x) + (x2+ 6x + 9)(x + 3)2(x 3)=4x2+ 8x 6(x + 3)2(x 3)=2(2x2+ 4x 3)(x + 3)2(x 3)Avecesesnecesariosimplicarcocientesenlosqueel numeradorydenominadorno son polinomios, como se muestra en el siguiente ejemplo:Ejemplo Simplicar:1 2x + 11x x1 2x + 11x x=(x + 1) 2x + 11 x2x=x 1x + 1 x1 x2=(x 1)x(x + 1)(1 x)(1 +x)=x(x + 1)2Taller14 Simplicar:1.p4+ 3p38p 24p32p29p + 1832Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I2.a2 1aa + 1a + 133Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I1.7EcuacioneseinecuacionesenunavariableUnaecuacionesunaigualdaddedosexpresionesmatematicas. Unaecuaciondeprimer grado en una variable es una ecuacion en la que aparece una variable elevadaal exponente uno. A estas ecuaciones tambien se le conocen como ecuaciones linealesen una variable.Lavariablepuedeaparecerpormasdeunaocasion, porejemplo, enlaecuacion5n3 = 3n+1 es una ecuacion de primer grado en una variable. Se puede observarque la variablen aparece dos veces pero ambas elevadas al exponente uno.Otros ejemplos de ecuaciones lineales en una variable son: 5x+1 = 16;2(x + 1) 3 = x + 5Resolver una ecuacion de primer grado en una variable consiste en hallar elvalordelavariablequehaceciertalaigualdad.Aestevalorseleconocecomolasolucionolarazdelaecuacion. Porejemplo, es2unaEsoluciondelaecuacion5n 3 = 3n + 1? Si lo es, pues al sustituir el valor de 2 en la ecuacion observamosque es cierta la igualdad:5(2) 3 = 3(2) + 1 luego 10 3 = 6 + 1 7 = 7 Se cumpleLoquehacemos pararesolver unaecuaciondeprimer gradoenunavariableesdespejar paralavariable, es decir, dejarlaaunladode laecuacionyescribirlas constantes (los n umeros) al otroladodelaecuacionusandolas propiedadescorrespondientes:1. Sia = b, entoncesa +c = b +c ya c = b c.2. Sia = b yc ,= 0, entonces:ac = bc yab=bcEjemploa)x + 53x 2= 5 x + 5 = 5(3x 2)x + 5 = 15x 10 5 + 10 = 15x x x =1514b)3x 1 + 5 =4 xx 134Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I3x 1(x 1) + 5(x 1) =4 xx 1(x 1)3 + 5(x 1) = 4 x5x 2 = 4 x6x = 6x = 1Taller151. Resolver para x:a.3x + 512 4 x6x 23= 0b.3x + 2x 1 65= 0c. 3x 3 2x7= 2 + 7 x5d.1x +3x + 1=23(x2+x)e. 5 +23 14x=458f.xx1 1xx1 + 1=xx+1 1xx+1 + 11.7.1SolucionaproblemasPara una buena formacion en Matematicas, a cualquier nivel, es necesaria lasolucion a problemas.Con este proceso puede confrontarse lo aprendido y sembrar bases que seranla fuente de trabajos posteriores.Taller16 Resolver utilizando ecuaciones en una variable:1. Unatiendadedescuentodecomputadoresrealizaunapromociondendea no de dos tipos de computadores. Se obtienen 41800 dolares por la venta de58 computadoras. Si uno de los tipos se vendio a 600 dolares y el otro a 850dolares. Cuantos computadores se cada tipo se vendieron?2. Carlospuedeprocesar200hojasdeuntrabajoenunahorayPedropuedeprocesar 150 hojas del mismo trabajo enuna hora. Cuanto tardaranenprocesar 900 hojas juntos, si Carlos comienza12hora despues de Pedro?35Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I3. Un camion transporta una carga de 50 cajas; algunas de estas cajas son cajasde 20kg y el resto son cajas de 25kg. Si el peso total de de todas las cajas esde 1175kg; Cuantas cajas hay de cada tipo?4. La tubera A puede llenar una piscina con agua en 3 das y la tubera B puedellenar la misma piscina en 2 das. Si se utilizaran ambas tuberas, En cuantotiempo se llenara la piscina?5. Cuando se abre la llave de una ba nera (y el desag ue) esta tapado, la ba nerase llena en 10 minutos; cuando el desag ue se destapa (y se cierra la llave), laba nera llena, se vaca en 15 minutos. Cuanto tarda en llenarse la ba nera si seabre la llave y el desag ue se destapa?.1.7.2InecuacioneslinealesAnteriormentehas usadolos smbolos (mayor que), (menor que), (mayor oigual que) y (menor oigual que) paradescribir comoes larelacionentreunn umeroyotro.Porejemplo:4> 1parase nalarque4esmayorque-1, 2< 3para se nalar que -2 es menor que 3 y 3 < 1 para se nalar que -3 es menor que -1.Estos ejemplos se conocen como desigualdades.Denicion Una inecuacion lineal es una expresion matematica que describe como serelacionan entre s dos expresiones lineales. Por ejemplo: 3+5x 18; 2(x+3) < 9.La solucion de una inecuacion lineal se puede representar haciendo uso de intervalosen la recta numerica, la cual contiene innito n umeros reales.Para resolver inecuaciones lineales hacemos uso de las siguientes propiedades:1. Para todo n umero reala,b yc, sia < b entonces:a +c < b +c ya c < b c2. Para todo n umero reala,b yc, dondec > 0 ya < b, entonces:ac < bc yac bc yac>bcTaller17 Resolver las siguientes inecuaciones lineales y representar la solucion enla recta numerica:36Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I1. x + 5 < 32. 3x + 2(x 4) > 4x3. 5x 7 2x + 84. 3x + 8 5x5.17(x + 5) >15(x + 1)6. 5x + 2 < 4 x7. 7(x 3) 4(1 + 2x)8.x3 1 x5 1537Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I1.8EcuacionesdesegundogradoconunaincognitaEn el apendice anterior trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuacioneslinealessonecuacionespolinomicasdegradouno. Ahoraestudiaremosecuacionespolinomicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadraticas.Denici on Una ecuacion cuadratica es una ecuacion de la forma:ax2+bx +c = 0 dondea,b, y ,c son n umeros reales ya es un n umero diferente decero.Ejemploa)x29 = 0b)x2x 12 = 0c) 2x23x 4 = 0Lacondicionde que aes unn umerodiferentede ceroenladenicionaseguraqueexistael terminox2enlaecuacion. Existenvariosmetodospararesolverlasecuaciones cuadraticas. El metodo apropiado para resolver una ecuacion cuadraticadependedel tipodeecuacioncuadraticaquesevaaresolver. Enesteapendiceestudiaremoslossiguientesmetodos: factorizacion, completandoel cuadradoylaformula cuadratica.1. FactorizacionPara utilizar este metodo la ecuacioncuadratica debe estarigualadaacero. Luegoexpresar el ladodelaecuacionquenoes cerocomounproducto defactores.Finalmente seiguala acerocada factory sedespeja paralavariable.2. Completandoel cuadradoCompletarel cuadradoconllevahallarel tercertermino de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Estoes, trinomios de la forma:x2+bx+?Reglaparahallarel ultimoterminodex2+ bx+?:El ultimoterminodeuntrinomiocuadradoperfecto(cona=1)eselcuadradodelamitaddelcoecientedel terminodel medio. Estoes; el trinomiocuadradoperfectocuyosdosprimerosterminos sonx2+bx es :x2+bx + (b2)2Al completar el cuadrado queremos una ecuacion equivalente que tenga un trinomiocuadradoperfectoaunlado. Paraobtenerlaecuacionequivalenteel n umeroque38Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Icompleta el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuacion.3.Formulacuadratica La solucion de una ecuacionax2+bx +c cona diferentede cero esta dada por la formula cuadratica:x = b b24ac2aDonde el n umero b24ac se denomina el discriminante y si:b24ac >0, las races son reales y diferentes.b24ac =0, las races son reales e iguales. (raz doble)b24ac c > 0,a2c2> 0,a2c2= b21. La ecuacion de la elipse con centro en el orgen, focos (c, 0) esx2a2+y2b2= 12. La elipse con centro en el orgen, focos (0, c) esy2a2 +x2b2= 1Taller251. Graque y determine las coordenadas del centro, vertices y focos de las elipses:48Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ia) 9x2+ 4y2= 36b) 4x2+ 9y2= 36c) 16x2+ 25y2= 400d) x2+ 3y2= 6e) x2+ 9y2+ 2x 18y + 1 = 0f ) 9x218x + 4y216y = 11g) 4x2+ 9y216x 18y = 111.9.7LahiperbolaConjunto de puntos en un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de susdistanciasadospuntosjosllamadosfocos, tambienenel plano, esigual aunaconstante positiva menor que la distancia entre los focos.La diferencia de las distancias se expresa como el real positivo 2a, la distanciaentre los focos es 2c, el punto medio entre los focos es el centro de la hiperbola0 < a < c,c2a2> 0,c2a2= b21. La ecuacion de la hiperbola con centro en el orgen, focos en (c, 0) esx2a2y2b2=12. La ecuacion de la hiperbola con centro en el orgen, focos (0, c) esy2a2x2b2= 1Taller261. Gracar y determinar las coordenadas del centro, vertice y focos de lashiperbolas:a) 9x24y2= 36b) 4x29y2= 36c) 9y24x2= 36d) 4y29x2= 36e) x24y22x + 16y 31 = 0f ) y2+ 2y 4x2+ 8x = 749Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas ITaller271. Graque sobre la recta numerica el conjunto solucion de la desigualdad [x1[ 2. Exprese tambien la solucion mediante notacion de intervalos.2. A) Haciendotodoel procedimiento, elimineena ba2b2los exponentesnegativos y simplique hasta su mnima expresion.B) Haciendo todo el procedimiento, verique que43x1/3 43x2/3=43_x 1x2/3_3. Utilizando el resultado notable a3b3= (ab)(a2+ab +b2) obtenga el factorracionalizante de1(1 3x)4. Factorice y simplique:i)(3x27x + 2)(x2x 2)ii)(x38)(x2x 2)5. Halle la ecuacion de la recta que pasa por el punto (6, 5) y que es perpendiculara al rectax 2y 6 = 0. Ilustre gracamente.6. Haciendotodoel procedimiento(completarcuadradosyexpresarenformacanonica la ecuacion dada), graque cada una de las siguientes ecuaciones:i)y26y 2x + 1 = 0ii)x2+ 9y2+ 2x 18y + 1 = 0Taller281. Graque sobre la recta numerica el conjunto solucion de la desigualdad [x3[ 2. Exprese tambien la solucion mediante notacion de intervalos.2. Haciendo todo el procedimiento, elimine enx1y1x2y2los exponentesnegativos y simplique hasta su mnima expresion.3. Utilizando la suma de cubosa3+b3= (a +b)(a2ab +b2) obtenga el factorracionalizante de11 +3x.50Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I4. Haciendo todo el procedimiento, determine si la expresion_x + 6 + 9x es igualo no a la expresionx(x + 3)x. Aqu suponemos quex es mayor que cero.5. Seal una recta cuya ecuacion esx 2y 5 = 0.a) Halle la ecuacionde la recta que pasa por el punto (6, 3) yque esperpendicular a l.b) Obtengalaecuaci ondelacircunferenciaconcentroenel punto(6, 3)queestangentealarectal cuyaecuaciones x 2y 5=0. Ilustregracamente las rectas y la circunferencia.51Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I2 Coordenasygracas2.1 Taller A2.1TallerA1. Obtenga una ecuacion de la recta que pasa por el punto (2, 3) y que es paralelaa la recta cuya ecuacion esx + 2y 2 = 0. Dibuje las rectas.2. Obtenga una ecuacionde la recta que pasa por el punto (5, 4) yque esperpendicular a la recta cuya ecuacion es 2x y + 4 = 0. Dibuje las rectas.3. Tres vertices consecutivos de unparalelogramoson(4, 1), (2, 3) y(8, 9).Determine las coordenadas del cuarto vertice.4. Dados los puntosA = (2, 1),B = (6, 1) yC = (4, 5)a) PruebepormediodependientesquelostrespuntosA, ByCsonlosvertices de un triangulo rectangulo y calcule el area del triangulo.b) VeriquequeelpuntoApertenecealarectal queesperpendicularalsegmentoBCen su punto medio.5. Demuestre que el punto medio de la hipotenusa de cualquier triangulorectangulo equidista de los tres vertices.Sugerencia: Puede suponer que el triangulo rectangulo tiene vertices en (0, 0),(a, 0) y (0, b) cona > 0 yb > 06. DadosloscuatropuntosA = (2, 4), B= (8, 1), C= (6, 4)yD= (4, 3).DemuestrepormediodependientesqueloscuatropuntosA, B, CyDsonlos vertices de un trapecio y calcule el area de este trapecio.7. Seal1 la recta que pasa por los puntos (2, 0) y (0, 4)a) Hallelaecuaciondelarectal2quepasaporel punto(5, 4)yqueesperpendicular a la rectal1. Ilustre gracamente.b) Halle la interseccion de las rectasl1 yl2 halladas anteriormente.52Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ic) Halle la ecuacion de la circunferencia con centro en el punto (5, 4) y quees tangente a la rectal1 dada anteriormente. Ilustre gracamente.8. Seal una recta cuya ecuacion esx 2y 4 = 0a) Obtengalaecuaci ondelacircunferenciaconcentroenel punto(3, 7)yqueestangentealarectal dada. Ilustregracamentelarectaylacircunferencia.b) Determineloscortesconlosejescoordenados, si esqueexisten, delacircunferencia obtenida en el literal a).9. Encuentre los valores de la constantek tal que la recta:3y kx =6seatangente alacircunferencia x2 2x +y2=3. Ilustregracamente.10. Halle la ecuacion de la circunferencia que tiene el centro sobre la recta y = x+1,y que pasa por los puntos (1,4) y (5,2). Ilustre gracamente.11. Larectay=mx + bcortaalaparabolay=x2 2x + 4enelpunto(3,7).Encuentre los valores dem yb tal que la rectay =mx + b corte a la gracadey = x22x + 4 unicamente en el punto (3,7).12. La recta y = mx +b pasa por el punto (5,0) y corta a la graca de y = 9 x2.Encuentre los valores dem yb de tal manera que esa recta corte a la gracadey = 9 x2en un unico punto, y ademas halle dicho punto.13. Dada la relaciony26y 2x = 5a) Halle los cortes de la relacion dada con los ejes coordenados.b) Trace la graca de la relacion dada, y determine cual es el dominio y elrango de esta relacion.c) Represente gracamente la solucion del siguiente sistema de desigualdadesen dos variables_y26y< 2x 52x + 1 y14. Suponga que el agua que uye del extremo de un tubo, el cual se encuentra a25 pies del suelo, describe una curva parabolica, de modo que el vertice de laparabola es el extremo del tubo. Si en un punto 4 pies debajo del tubo el ujo53Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ideaguaensutrayectoriacurvaselocalizaa8piesdedistanciadelarectavertical que pasa por el extremo del tubo. Que tan alejado de esta recta llegael agua al piso?15. Tracelagracade9x2 54x + 4y2 8y= 49. Determineel dominioyelrango de esta relacion.16. Dada la relacionx2+y22x 8y = 13a) Trace su graca e indique su dominio y su rango.b) Despeje ay en terminos dex, y represente gracamente cada una de lasrelaciones obtenidas, indicando sus respectivos dominios y rangos.17. En cada uno de los siguientes ejercicios trace la graca de la relacion dada eindique su dominio y su rango.a) x26x 2y + 11 = 0b) y24y 2x + 6 = 0c) y x 1 = 2d) y +x 1 = 2e) y = 4 8 x2+ 2xf ) y = 4 +8 x2+ 2xg) y = 2 2x x2+ 32h) y = 1 + 36x x25254Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I3 Funciones3.1 Taller A3.2 Taller B - Funciones exponenciales y logaritmicas3.1TallerA1. Trace la graca de cada una de las siguientes relaciones y determine cuales deellas son funciones y cuales no. si la relacion dada es funcion, expresela en laformay = f(x), e indique su dominio y su rango.a) x26x 2y + 11 = 0b) y24y 2x + 6 = 0c) x2+y22x 8y = 13d) y x 1 = 2e) y +x 1 = 2f ) y 2x x2= 0g) y = 4 8 x2+ 2xh) y = 4 +8 x2+ 2xi ) y = 2 2x x2+ 32j ) y = 1 + 36x x252k) y 4/32x x2+ 8 = 2l ) y + 4/32x x2+ 8 = 2m) y x22x 152= 2n) y 2x22x + 2 + 1 = 02. Para cada una de las siguientes funciones:a) Determine el dominio de fy halle los puntos de interseccion de la gracadefcon los ejes coordenados, si existen estos cortes.b) Trace su graca.i) f(x) = 2ii) f(x) = 2x 1iii) f(x) = x26x + 5iv) f(x) = x24x + 5v) f(x) = 3 +x 1vi) f(x) = 2 x 1vii) f(x) = 1 4x x2+ 5viii) f(x) = 4 +8 x2+ 2xix) f(x) =2x + 1 + 3x) f(x) =4 2x55Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I3. Seafla funcion que tiene como regla de correspondencia:f(x) = x22x 3A)a) Trace la graca def.b) Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (1, f(1))y (4, f(4)).c) Encuentref(x +h) f(x)hy simplique.B) Seafla funcion que tiene como regla de correspondencia:f(x) = 2x 1 2a)Trace la graca defb)Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (1, f(1)) y(5, f(5))c)Encuentref(x +h) f(x)hy simplique4. Supongaqueelaguaqueuyedelextremodeuntubo,elcualseencuentraa 25 pies del suelo, describe una curva parabolica, de modo que el vertice dela parabola es el extremo del tubo. Si en un punto 4 pies debajo del tubo elujodeaguaensutrayectoriacurvaselocalizaa8piesdedistanciadelarecta vertical que pasa por el extremo del tubo. Exprese la distancia desde larectaverticalquepasaporelextremodeltubohastaelujodeaguaensutrayectoria curva, en funcion deb pies debajo del tubo.5. Uno de los cables de un puente colgante pende en forma de parabola cuandolacargaestauniformementedistribuidademanerahorizontal. Ladistanciaentrelasdostorresesde160m, lospuntosdedel cableestana24marribade la carretera, y el punto ma bajo del cable esta a 8m sobre dicha carretera.Determineladistanciavertical delacarreteraal cabledeunpuntoqueseencuentraab mdelabasedeunatorre.Expreseestadistanciavertical y,en funcion deb. Indique el dominio admisible parab56Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I6. Un arco parabolico tiene una altura de 25m y un ancho de 40men la base. Si el vertice de la parabola esta en la parte superiordel arco, a que altura sobre la base tiene un ancho de b m?7. El techodeunvestbulode8m deanchotienelaformadeunasemielipsede 9m de altura enel centro y6m de altura de las paredes laterales.Determinar la altura del techo ab m de cualquier pared. Exprese la alturay del techo, en funcion deb. Indique el dominio admisible parab57Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I8. Un telescopio refractante tiene un espejo parabolico para el cual la distanciadel verticeal focoes de30 pies, Si el diametrodelapartesuperior delespejo es deb pulgadas, exprese la profundidadh del espejo en funcion deb9. UndepositohemisfericoderadioRestallenodeagua. Si empiezaagotearaguadelfondo,expreseelradiordelasuperciedelaguaenfunciondelaprofundidadh del casquete esferico, tal como se ilustra10. UnaantenadesatelitedeTVconstadeunplatoparabolicoconelreceptorcolocado en su foco.El plato parabolico puede describirse girando un trozo de parabola con respectode su eje de simetra (tal como se ilustra) con b x b dondex se mide enpies.a) Exprese la profundidad que tiene el plato en funcion debb) Donde debe colocarse el receptor con respecto de la parte inferior (vertice)del plato?58Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I11. El arcodeunt unel rectoenunacarreteradedoblesentidoessemielptcocon eje mayor horizontal. La base del arco abarca los 50 pies de ancho de lacarretera y la parte mas alta del arco mide 16 pies en forma vertical sobre lalnea central de la carretera.a)Expreselaalturaydel t unel enfunciondeladistanciaxpiesdesdelalnea central de la carretera (ilustrar gracamente)b) Puede un camion de 15 pies de altura y 11 pies de ancho, pasar por estet unel, manteniendose a la derecha de la lnea central?12. Algunos cometas siguen una orbita hiperbolica, con el sol en uno de sus focos(y nunca volvemos a verlos de nuevo). Se puede mostrar que el vertice de unarama de una hiperbola es el punto sobre ella mas cercano al foco asociado aesarama. Dadoestehecho yel quela trayectoria delcometaqueda descritapor la hiperbola 4x23y212 = 0, con el sol en uno de los focos (los n umerosestandadosenterminosdeU.A, donde1U.Aequivalea149,6millonesdekilometros, distancia medida de la tierra al sol)a) Determine cual es la distancia mas corta del cometa al solb) Exprese la distancia del cometa al sol en funcion dex (ver gura)59Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I13. Dibujelagracadelafunci onatrozosdadaydeterminesudominioysurango.f(x) =___x + 5, si 6 x < 3,3 x22x, si 3 x 1,1 si 1 < x < 2,2x212x + 17, si 2 < x 5.14. Dibuje la graca de la funcion a trozos dada y determine su dominio y su rangof(x) =___12(x + 7), si x < 51, si 5 x < 43 3x24x2si 4 x 0x + 2, si 0 < x < 12 6x x25, si 1 x < 5x 5 + 2, si 5 x15. Enlagurasedalagracadeunafuncionf. Formadaporunasemirectahorizontal, unasemielipse, unsegmentoderecta, yuntrozodeparabola.Denaf(x) a trozos sobre el intervalo cerrado [2, 3].60Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I16. En la gura se da la graca de una funcion f. Dena f(x) a trozos sobre todoel eje real.17. Enlagurasedalagracadeunafuncionf formadaporunasemirecta,tres segmentos de recta, un cuarto de circunferencia y un trozo de parabola.Denaf(x) a trozos sobre todo el eje real18. Enlagurasedalagracadeunafuncionf formadaporunasemirecta,unasemielipse, unsegmentoderecta, unasemicircunferenciayuntrozode61Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Iparabola con el vertice en el punto (5, 2). Denaf(x) a trozos sobre todo eleje real19. Al dividirel polinomioP(x)=x3 3kx + 1entrex 2, el residuoes15.Determine el valor dek.20. Halleel valordelaconstantekparaque elpolinomio: P(x) =x3 2kx + 3sea divisible porx 121. Halle el valor de la constante k para que el polinomio: P(x) = x3+k2x2kx+21sea divisible porx + 322. Para cada una de las siguientes funciones polinomiales:a) Factorice la expresion polinomial:anxn+ an1xn1++ a1x + a0comoproductodefactoreslinealesofactores cuadraticos irreducibles.b) Bosquejelagracadelafuncionpolinomial dada, indicandoloscortescon los ejes coordenados, cuando estos existen.i) f(x) = x34x2+ 5x 2ii) f(x) = x4+ 2x35x24x + 6iii) f(x) = 2x3x28x + 4iv) f(x) = x45x210x 6v) f(x) = 2x513x4+ 20x3+ 18x254x + 27vi) f(x) = x32xvii) f(x) = x32x + 162Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Iviii) f(x) = x5+ 2x42x34x2+x + 2ix) f(x) = 2x5x4x32x2+x + 123. Para cada una de las siguientes funciones racionalesa) Factorice el denominador y el numerador. Simplique.b) Determine el dominio y los ceros reales de la funcion dada.i) f(x) =2x 3x33x 2ii) f(x) =x2+ 2x 3x33x + 2iii) f(x) =x + 2x33x + 2iv) f(x) =3x 1x33x2+ 4x 2v) f(x) =x23x + 2x4x35x2+ 3x + 6vi) f(x) =x32x2x + 2x23x + 224. Dada la funcion racionalf(x) =x36x2+ 5x + 12x 4factorice el numerador ydetermine el dominio y los ceros de la funcion dada. Ademas, trace la gracadef.25. Para cada una de las siguientes funciones irracionalesa) Factorice el denominadorb) Determine el dominio de fy halle los puntos de interseccion de la gracadefcon los ejes coordenados, si existen estos cortes.i) f(x) =x + 2 xx3+x25x + 3ii) f(x) =2x 1 xx37x + 6iii) f(x) =2x 1 xx34x2+x + 6iv) f(x) =2x 1x2x 226. Halleel dominioyloscerosrealesdecadaunadelassiguientesfuncionesirracionales:a) f(x) =x 1 + 2b) f(x) =4 2xc) f(x) =x2x 2d) f(x) =_x + 3x 4e) f(x) =1_x13x+1 163Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas If ) f(x) =x33x + 22x2+ 5x 3g) f(x) =_x32x2+ 1x 227. Halle el dominio y trace la graca def(x) =x22x 3 + 228. Trace la graca de cada una de las siguientes funciones:a) f(x) = 2x 1b) f(x) = x22x 3c) f(x) = __3x 1d) f(x) = x +__2x 1e) f(x) = x +__12x + 1__f ) f(x) = __2x 1x + 1g) f(x) =[x[__xh) f(x) =x__12x + 129. Escriba cada una de las siguientes funciones como una funcion a trozos y dibujesu graca.a) f(x) = 2x 3x + 4b) f(x) = x + 2+2x 1+ 2xc) f(x) = x + 2+x 1x + 4d) f(x) = x22x 3+ 130.Sea f una funcion cuyodominio es el intervalo cerrado[2, 4] y su graca es la que seilustra. Trace la graca de [f[31. Seafuna funcion cuya graca se ilustra. Trace la graca de [f[.64Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I32. Dibuje la graca de la funcion dada y determine su dominio y su rango.f(x) =___[x + 3[, si 5 x < 0,__3x 1, si 0 x < 1,x26x + 7, si 1 x 4.33. Dibuje la graca de la funcion dada y determine su dominio y su rango.f(x) =___0, six < 1,2x2+ 1, si 1 < x 0,3x + 1, si 0 < x < 2.34. Dibuje la graca de la funcion dada y determine su dominio y su rango.f(x) =___[x + 5[, six 4,16 x2, si 4 < x 4,x 6, si 4 < x.35. Dibuje la graca de la funcion dada y determine su dominio y su rango.f(x) =___[x + 10[, six < 5,25 x2, si 5 x 0,5, si 0 < x 12,__2x + 1, si12< x < 2,6 x, si 2 x.65Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I36. Dibuje la graca de la funcion dada y determine su dominio y su rango.f(x) =___1, six < 4,x + 3, si 4 x < 0,(x 2)21, si 0 x < 3,__x 3, si 3 x < 6,[x 8[, si 6 x < 10,2, si 10 x.37. En cada uno de los siguientes ejerciciosA. Hallar (f g)(x) y su dominio para cada par de funciones.i)f(x) =1 x2,g(x) =xii)f(x) =x2+ 2x2,g(x) =x2x 2iii)f(x) =1x2,g(x) =x2+x 6x 2B.a) Hallef g y su respectivo dominio.b) Halleg fy su respectivo dominio.i) f(x) = x2+ 1, g(x) =xii) f(x) =x, g(x) =x + 3x 1iii) f(x) =x 1, g(x) =2x + 3x 2iv) f(x) = x2, g(x) =x2x 2v) f(x) =x2x21, g(x) =x 1vi) f(x) =1x 1, g(x) =2x 1x + 3vii) f(x) =1x2, g(x) =x 1viii) f(x) =xx 2, g(x) =x + 3x 1C. Seaf(x) =___1 x, six 0,xx + 1, si 0 < x < 2,x22x 2, si 2 x66Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Iyg(x) =x 2x 1.Hallar (f g)(x) y su respectivo dominio38. Seaf(x) = x22x 1. Encuentre dos funcionesg tales que:(f g)(x) = x23x.39. Seanf(x) = x2+ 1,g(x) =x yh(x) = 1 x.a) Encuentre [(f g) h](x) y [f (g h)](x).b) Que se puede decir de (f g) h yf (g h) ?.40. Para cada una de las siguientes funciones:a) Verique quefes uno a uno sobre su dominio.b) Halle la formula de correspondencia def1.c) Dibuje en un mismo plano las gracas defy def1.d) Verique que (f1 f)(x) = x, y que (f f1)(x) = x.i) f(x) =x 2ii) f(x) =x 2 + 3iii) f(x) =2x 2 + 3iv) f(x) = x3+ 141. Para cada una de las siguientes funciones:a) Verique quefes uno a uno sobre el dominio indicado.b) Halle la formula de correspondencia def1c) Dibuje en un mismo plano las gracas defy def1d) Verique que (f1 f)(x) = x, y que (f f1)(x) = xi) f(x) = x22x 3, conx 1ii) f(x) =4 x2+ 1, con 0 x 2iii) f(x) =4x x23, con 1 x 2iv) f(x) =4x x23, con 2 x 342. Para cada una de las siguientes funciones:a) Verique quefes uno a uno sobre su dominio.b) Halle la formula de correspondencia def1.c) Verique que (f1 f)(x) = x, y que (f f1)(x) = x67Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ii) f(x) =1x 1ii) f(x) =9x + 13x 2iii) f(x) =x + 52x + 1Los ejercicios que siguen tienen como objetivo manejar los siguientes aspectospara trazar las gracas de determinados tipos de funciones:I. Desplazamiento vertical de la graca dey = f(x)a) y = f(x) + c, dondec > 0. La graca defse desplaza verticalmentehacia arriba una distanciacb) y = f(x) c, dondec > 0. La graca defse desplaza verticalmentehacia abajo una distanciacII. Desplazamiento horizontal de la graca dey = f(x)a) y = f(x+c), donde c > 0. La graca de f se desplaza horizontalmentehacia la izquierda una distanciacb) y = f(xc), donde c > 0. La graca de f se desplaza horizontalmentehacia la derecha una distanciacIII. Ampliacion o compresion vertical de la graca dey = f(x)a) y=cf(x),dondec> 1.Lagracadefseampliaverticalmenteenun factorcb) y =cf(x), donde 0 1. La graca de f esta comprimidahorizontalmente en un factor1cb) y =f(cx), donde 0 2iii)_12_x1> 1iv) 3(x2+x2)> 1v) ln(x 1) < 0vi) ln(2x 1) < 0vii) ln_2x + 13 x_ < 0viii) ln x + 1 > 0ix) ln x + 1 < 0x)1 + ln xx> 0xi)ln xx2< 0xii)1 ln xx2> 0xiii)1 ln xx2< 0xiv) x(2 ln x + 1) > 0xv) x(2 ln x + 1) < 0xvi) (ln x)2< 1xvii) ln_x + 1x 2_ < 0xviii) log1/2(3x 1) > 0xix) ln(2x 1) + ln(x + 1) > 0xx)14 2x< 4xxi) log1/2_1x_ < 2xxii)13 1xxiv) e1x3< e9xxv)_13_x+2>_13_3x1xxvi) log1/2(3 2x) > log1/2(x + 1)xxvii)ln(3x 1)x 2 0xxviii)2 ln x 3x3> 0xxix) (ln x)(ln x + 2) > 0xxxln (2x 1) + ln (x 1) < 0xxxi (1/2)x2x2> 1xxxii log2 (x 1) < 1xxxiii_13_(x22x4)> 3xxxivln (2x + 1) < ln (x + 2)xxxvlog2 (x 1) + log2 (x 3) 3xxxvi 3(x32x2x)19xxxvii 4(x+2)>_12_x174Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I7. Haciendo todo el procedimiento, en cada uno de los siguientes ejercicios:a) Verique que log3_39x_ =1 4x2, para todox realb) Verique que log2_ 14x_ = 2x, para todox realc) Verique que_12_(3 log2 (x))=1x3, para todox > 0d) Verique que log2_4x2+116_ = 2_x2+ 1 4, para todox reale) Verique que log7_7(x3+4)(74x)x(7x)_ = x34x2x + 4, para todox real8. Seaf(x) = ln(x 1).a) Determine una funciong tal que (f g)(x) = xb) Calcule (g f)(x)9. Seaf(x) = ex.a) Determine una funciong tal que (f g)(x) = xb) Calcule (g f)(x)10. Crecimiento bacteriano:Se pueden utilizar funciones exponenciales para representar el crecimiento dealguna poblaciona) Supongase que se observa experimentalmente que el n umero de bacteriasen un cultivo se duplica cada da. Si al comienzo hay 1000 bacterias y sise supone que el crecimiento es exponencial, Cual sera la formula parapredecir la cantidad f(x) de bacterias presentes en cualquier momento t?b) El n umero de bacterias en determinado cultivo aumento de 600 a 1800, delas 7:00 a.m. a las 9:00 a.m. si se supone que el crecimiento es exponencial,Cual sera la formula para predecir la cantidad f(x), de bacterias t horasdespues de las 7:00 a.m.?75Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I11. Desintegracion radiactiva:Algunas cantidades fsicas decrecenenformaexponencial. Enestos casos,si aeslabasedelafuncionexponencial, entonces0 0 en (, 1)(4, +), f

(x) = 1 en el intervalo abierto (1, 2),f

(x) < 0 en (1, 1) (2, 4),f

(1) = 0,f

(2) no existe yf

(4) = 0.d) f

(x) > 0 en (, 2) (2, 5) yf

(x) < 0 en(2, 1) (5, +).7. Dibuje la graca de una funcionfque cumpla con todas las condiciones quese dan a continuacion:a) La funcion fes continua sobre los intervalos abiertos (, 1) y (1, +).b) lmxf(x) = 0, f(3) = 3, f(2) = 4, f(0) = 0, lmx1f(x) = +,lmx1+f(x) = 5,f(2) = 4,f(4) = 1, f(5) = 2, lmx+f(x) = 3.c) f

(x) < 0 en (, 2) (2, 4),f

(x) = 1 en el intervalo abierto (1, 2),f

(x) > 0 en(2, 1) (4, +),f

(2) = 0,f

(2) no existe yf

(4) = 0.d) f

(x) < 0 en (, 3) (5, +),f

(x) > 0 en(3, 1) (2, 5).8. Dibuje la graca de una funci onfque cumpla con todas las condiciones quese dan a continuacion:a) fes continua sobre los intervalos abiertos (, 1) y (1, +).152Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ib) lmxf(x) = 1, f(2) =4, f(1) =5, f(0) =3, lmx1f(x) = ,lmx1+f(x) = 1,f(2) = 3,f(4) = 1,f(6) = 1, lmx+f(x) = 2.c) f

(x) > 0 en (, 1) (4, +), f

(x) = 2 en el intervalo abierto (1, 2),f

(x) < 0 en(1, 1) (2, 4),f

(1) = 0,f

(2) no existe yf

(4) = 0.d) f

(x) > 0 en (, 2) (2, 6) yf

(x) < 0 en(2, 1) (6, +).9. Dibuje la graca de una funcionfcontinua sobre los reales y que cumpla contodas las condiciones que se dan a continuacion:a) f(x) > 0 para todox R,f(0) = 2 y lmxf(x) = lmx+f(x) = 2.b) f

(x) =(1 x)(1 +x)(x2+ 1)2,f

(x) =2x(x 3)(x +3)(x2+ 1)310. Dibuje la graca de cada una de las siguientes funciones, determinando primerolo siguiente: el dominio de la funcion f, el dominio de continuidad de la funcionf, f

(x) y f

(x), los puntos crticos de f, los extremos relativos de f, los puntosde inexion de la graca de f, los intervalos en que f es creciente y en los que fes decreciente, los intervalos en donde la graca de fes concava hacia arriba ydonde es concava hacia abajo y las asntotas verticales, horizontales y oblicuasde la graca de la funci onf, si existen.i) f(x) = 6x2x3ii) f(x) = x33x2+ 4iii) f(x) = x3+ 3x1iv) f(x) =x2+ 3x 1v) f(x) = x33x2+ 5vi) f(x) =x44x3vii) f(x) = x13(x 4)viii) f(x) =36x2x3ix) f(x) = 3x520x3x) f(x) = x + 2 sen xxi) f(x) = e(x)2xii) f(x) = ln(x2x 2)xiii) f(x) =ln xxxiv) f(x) = exxv) f(x) = x2exxvi) f(x) = x33x + 4xvii) f(x) = 5x2/3x5/3xviii) f(x) =ln xx2xix) f(x) = xe(x/2)xx) f(x) =2 +x22x153Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixxi) f(x) = x + 2 cos xxxii) f(x) = x(ln x)2xxiii) f(x) = arctan_1 +x1 x_xxiv) f(x) = e1/xxxv) f(x) =3x 6x2+ 1xxvi) f(x) =xexxxvii) f(x) = ex22xxxviii) f(x) =x35x2+ 2x + 8x27x + 12xxix) f(x) = arc sen(1 x)xxx) f(x) = arctan_1x_xxxi) f(x) = ln(x33x + 2)xxxii) f(x) = x1/3(6 x)2/3xxxiii) f(x)=sen x2 cos xenel intervalo[, 3]xxxivf(x) = (x 1)2/3(6 x)11. Unaruedaconcentroenelorigeny10centmetrosderadiogiraensentidocontrarioal delasmanecillasdel reloj, detal maneraqueenel instante tsegundos,elanguloqueseilustraesiguala8t.UnpuntoPenelbordeesta en (10, 0) cuandot = 0a) Exprese las coordenadas dePa lost segundos, en funcion detb) A cuantos radianes por segundo gira la rueda?c) A cuantas revoluciones por segundo gira la rueda?d) Con que rapidez se elevaP(o cae) en el instantet = 1 segundos?12. Considere el dispositivo rueda-piston (ver gura). La rueda tiene un radio de1 pie y gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de tal maneraque en el instante t segundos, el angulo que se ilustra es igual a 2t. La varillade conexion tiene 5 pies de longitud. El puntoPesta en (1, 0) en el momentot = 0154Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ia) Exprese las coordenadas dePa lost segundos, en funcion detb) Encuentrelacoordenadaydel puntoQenel instante t segundos (lacoordenadax del puntoQ siempre sera cero)c) A cuantos radianes por segundo gira la rueda?d) Encuentre la velocidad deQ en el instantet segundose) Con que rapidez se elevaP(o cae) en el momentot = /6 segundos?8.4TallerD1. Si la funcion de posicion de la partculaPen una recta coordenada esta dadapors(t) = t312t2+ 36t 20dondetsemideensegundosys(t)encentmetros. Describael movimientodePduranteel intervalodetiempo[0, 9]. Ademas, tracelasgracasdelasfunciones de posicion, velocidad, rapidez y aceleracion sobre el intervalo [0, 9].2. Suponga que un corredor en una carrera de 100 metros esta as metros de lalneademetatsegundosdespuesdel iniciodelacarrera, dondes=100 14(t2+ 33t). Determine la rapidez del corredor:a) Al inicio de la carrera.b) Cuando el corredor cruza la lnea de meta.155Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I3. Suponga que una partcula se lanza verticalmente hacia arriba y que suposicicion en pies despues det segundos, con respecto al piso, esta dada pors(t) = 16t2+ 320t + 80. Vease la gura.a) Para que valores de t estara la partcula a mas de 656 pies sobre el piso?b) Cual es la altura y la velocidad inicial de la partcula?c) Cual es la altura maxima que alcanza la partcula y en que tiempo?d) Cual es el tiempo en el que la partcula llega al suelo y la velocidad conque llega?e) Cual es la aceleracion en el tiempot?f ) Trace la graca de la funcions.8.5TallerE.FuncionesHiperb olicasysusfuncionesinversasFunciones Hiperbolicas El seno hiperbolico, coseno hiperbolico, tangentehiperbolica, cotangentehiperbolica, secantehiperbolicaycosecantehiperbolicasedenen como:senh(x) =exex2, cosh(x) =ex+ex2, tanh(x) =senh(x)cosh(x)coth(x) =cosh(x)senh(x), sech(x) =1cosh(x), csch(x) =1senh(x)156Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I1. Vericar cada una de las siguientes identidades hiperbolicas:i) cosh2(x) senh2(x) = 1ii) tanh2(x) + sech2(x) = 1iii) coth2(x) csch2(x) = 1iv) senh(x) = senh(x)v) cosh(x) = cosh(x)vi) tanh(x) = tanh(x)vii) senh(x +y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x) senh(y)viii) cosh(x +y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y)ix) senh(2x) = 2 senh(x) cosh(x)x) cosh(2x) = cosh2(x) + senh2(x)xi) cosh(x) + senh(x) = exxii) cosh(x) senh(x) = ex2. Vericar que:i) Dx[senh(x)] = cosh(x)ii) Dx[cosh(x)] = senh(x)iii) Dx[tanh(x)] = sech2(x)iv) Dx[coth(x)] = -csch2(x)v) Dx[sech(x)] = sech(x) tanh(x)vi) Dx[csch(x)] = csch(x) coth(x)3. Siguiendo las indicaciones del ejercicio n umero 6 del Taller C, trazar la gracade cada una de las funciones hiperbolicas senh(x), cosh(x), tanh(x) y coth(x).4. a) Apartirdelagracadey=cosh(x)ydey=senh(x), bosquejarlagraca dey = sech(x) y dey = csch(x).b) Siguiendolasindicacionesdelejercicion umero6delTallerC;trazarlagraca de sech(x) y de csch(x).5. Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:i) f(x) = senh(x)ii) f(x) = cosh(3x 2)iii) f(x) = ln(tanh(x))iv) f(x) = coth(1x)v) f(x) = sech(ln(x))vi) f(x) = csch(1x)157Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ivii) f(x) = senh2(x)viii) f(x) =12ln(tanh(x))ix) f(x) = x2tanh(1x)x) f(x) = cosh(ln(x))xi) f(x) = coth3(4x)xii) f(x) = ln(senh(3x))xiii) f(x) = ln(coth(x))xiv) f(x) = tanh3(x)xv) f(x) = senh(x2)xvi) f(x) = cosh(x3)xvii) f(x) = coth(ln(x))xviii) f(x) = excosh(x)xix) f(x) = e3xsenh(x)xx) f(x) = tanh(x)xxi) f(x) = tanh(sen(x))xxii) f(x) = cosh2(3x 1)xxiii) f(x) = senh(cos(x))xxiv) f(x) =senh(ln(x))x26. Aplicaciones: La catenaria. Si un cable exible de densidad uniforme cuelgalibrementededospuntosjosalamismaalturabajosupropiopeso,formaunacurvallamadacatenaria(verlagura). Ademas, sepuedecolocarunacatenaria en un sistema coordenado, de modo que su ecuacion tome la formay =a cosh_xa_cona >0. Algunos cables depuentes colgantes, algunossuspendidos de postes telefonicos y algunos otros con corriente electrica paralos tranvas y trolebuses penden en esta forma.Ejercicio: Conrmeanalticamentequeel puntomasbajodelacatenariaf(x)=a cosh(xa)cona>0estaen(0,a),yquelafuncionfesdecrecientecuandox0, yquelagracaesconcavahaciaarriba en todo punto.7. Utilice lo mas que pueda las indicaciones del ejercicio n umero 6 del Taller C,158Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ipara trazar la graca de cada una de las siguientes funciones:i) f(x) = senh(ln(x))ii) f(x) = exsenh(x)iii) f(x) = cosh(ln(x))iv) f(x) = tanh(ln(x22x 3))v) f(x) = senh2(ln(x))vi) f(x) = sech[ln(x22x 3)]8.a) Verique que cada una de las siguientes funciones es uno a uno sobre elconjuntoindicado, utilizandoparaello, lagracadelafunciondadayel criteriodelaprimeraderivadaparafuncionescrecientesyfuncionesdecrecientes.i.f(x) = senh(x) sobre Rii.f(x) = cosh(x) sobre [0, +)iii.f(x) = tanh(x) sobre Riv.f(x) = coth(x) sobre R 0Comentario: Las inversas de las funciones anteriores se llamanFuncionesHiperbolicasInversasysedenotanrespectivamenteporsenh1, cos1, tanh1, coth1, sech1, csch1b) Bosquejelagracadelasfuncioneshiperbolicasinversashaciendounareexion de la graca de cada una de las funciones dadas en el numerala) de este ejercicio sobre la recta y = x. Ademas, indique el Dominio y elRango de la respectiva funcion hiperbolica inversa.9. Probar que:a) senh1(x) = ln(x +x2+ 1) x (, +)b) cosh1(x) = ln(x +x21) x [1, +)c) tanh1(x) =12 ln_1 +x1 x_x (1, 1)d) coth1(x) =12 ln_x + 1x 1_x (, 1) (1, +)159Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ie) sech1(x) = ln_1x +1 x2x_x (0, 1]f ) csch1(x) = ln_1x +1 +x2x_x ,= 010. Probar que12 ln1 +x1 x =_tanh1(x) , si 1 < x < 1coth1(x) , si [x[ > 111. Probar quea) coth1(x) = tanh1_1x_, [x[ > 1b) sech1(x) = cosh1_1x_, 0 < x 1c) csch1(x) = senh1_1x_, x ,= 012. Halle el dominio de cada una de las siguientes funcionesa) f(x) = cosh 1_2x 1x + 2_b) f(x) = tanh1_3x + 12_c) f(x) = tanh1_1 x2_d) f(x) = coth1_2x 1x + 3_e) f(x) = sech1_7x 12_f ) f(x) = csch1_x2x 2_g) f(x) = senh1(3x + 1)h) f(x) = cosh1_x2_i ) f(x) = coth1(csc x)j ) f(x) = sech1_2x 1_160Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ik) f(x) =x21 + cosh1(2x)l ) f(x) =x21 + cosh1(3 x)m) f(x) =11 x2 + coth1(4x)n) f(x) = ln (sech1(x)) n) f(x) = sech1(ln x)o) f(x) = tanh1(ln x)p) f(x) = tanh1(2 ln x)q) f(x) = coth1(ln x)13. Vericar que:a) Dx[senh1(x)] =1x2+ 1x (, +)b) Dx[cosh1(x)] =1x2+ 1x (1, +)c) Dx[tanh1(x)] =11 x2x (1, 1)d) Dx[coth1(x)] =11 x2x (, 1) (1, +)14. Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones:i)f(x) = senh1(2x)ii)f(x) = cosh1(2x 1)ii)f(x) = tanh1(x)iv)f(x) = coth1(x2+ 1)v)f(x) = senh1(ln x)vi)f(x) = ln(tanh1(x))vii)f(x) = sech1(2x 1)viii)f(x) = csch1(2x)ix)f(x) = senh1(2x 1)x)f(x) = cosh1_2x 1x + 1_xi)f(x) = tanh1_3x + 22_xii)f(x) = coth1_2x 1x + 1_xiii)f(x) = sech1_6x 12_xiv)f(x) = csch1(x22x 3)xv)f(x) = tanh1(1 x2)xvi)f(x) = coth1(ex+ 1)xvii)f(x) = ln(sech1(x))xviii)f(x) = sech1(ln x)xix)f(x) = senh1(e2x1)xx)f(x) = cosh1_x2_+_x24xxi)f(x) =_4x21 + cosh1(2x)161Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixxii)f(x) = coth1(csc(x))xxiii)f(x) = cosh1(x)xxiv)f(x) =34 x2 + coth1_x2_xxv)f(x) = tanh1(ln x)xxvi)f(x) = tanh1(ln x 1)xxvii)f(x) = tanh1(cos(2x))xxviii)f(x) = tanh1(x3)xxix)f(x) = coth1(x2)xxx)f(x) = cosh1(ln x)xxxi)f(x) = tanh1(cos x)xxxii)f(x) = tanh1(sen(2x))xxxiii)f(x) = coth1(2 sen(x))xxxiv)f(x) = (coth1(x2))3xxxv)f(xt) = tanh1(sen(ex))xxxvi)f(x) = senh1(e2x)xxxvii) f(x) = x2senh1(x2) x4+ 1xxxviii) f(x) = xsenh1(x) _x2+ 1xxxix) f(x) = ln(_1 x2) +xtanh1(x)xl)f(x) =_x21 + cosh1(3 x)15. Utilicelomasquepuedalasindicacionesdel ejercicio18del tallerB, paratrazar la graca de cada una de las siguientes funciones:a) f(x) = senh1(e2x1)b) f(x) = cosh1(x23)c) f(x) = tanh1(1+x1x)d) f(x) = ln(1 x2) +xtanh1(x)e) f(x) =4x21 + cosh1(2x)162Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I9 AplicacionesdelaDerivada9.1 Taller A. Razones de cambio relacionadas9.2 Taller B. Optimizacion9.1TallerA.Razonesdecambiorelacionadas1.Angelica mide 6 pies de estatura y sealeja de la luz de un poste del alumbradop ublicoqueestaa42piesdealtura, talcomoseilustra. Si xpiesesladistanciade Angelica al poste:a) i) Exprese la longitud de la sombra que proyecta Angelica sobre el pisoen terminos dex.ii) Exprese la punta de la sombray en funcion dex.iii) Exprese tan en terminos dex.b) Si Angelica se aleja del poste a razon de 3 pies por segundo:i) Con que rapidez crece su sombra cuando Angelica esta a 24 pies delposte? a 30 pies?ii) Con que rapidez se mueve el extremo de la sombra?iii) Para seguir el extremo de su sombra a que razon angular debe alzarla cabeza cuando su sombra mide 6 pies de largo?163Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I2.El interior de untanque de aguatienelaformadeunconocircularrectoinvertidotal quesualturaesde 12 pies y el radio de su basecircular es de 6 pies. Si se hechaagua hasta una profundidadde hpies, con00, tal comoseilustra.a) Halle laecuacionde larectatangentealagracade f enel punto (a,1a).b) HalleladistanciadelpuntoAal puntoB en funcion dea, endonde A y B son los cortes conlos ejes coordenados de la rectatangente a la graca de fen elpunto (a, f(a)).c) Determine el punto (a,1a) de lacurva y =1x tal que la distanciadel punto Aal punto Bseamnima.32. Se desea construir un recipiente con la forma de un cilindro circular recto sintapa con un volumen de 24centmetros cubicos. El precio del material quese usa para el fondo es el triple del precio del material que se usa para la partelateral. Encuentrelasdimensionesdel recipienteparaloscualesel costoseamnimo.183Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I33.Dos casas A y B estan a unadistancia de 50 metros una de la otrayestansituadas aunmismoladodeunatuberaprincipaldeaguayaunadistanciade15y45metrosrespectivamente de dicha tubera.Se va a instalar agua a las casasAyBllevandoladesdeunmismopuntoPdelatuberaprincipal.Siel costode cadatuberainstaladaesde20dolarespormetro, desdeque puntoPde la tubera principaldebenpartirlasinstalacionesparaque el costo de esta sea mnimo?184Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas IRespuestas2.Coordenadasygracas2.1.TallerA1. x + 2y 8 = 02. x 2y + 3 = 03. x = 2,y = 74. a) Seam1 la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B.Seam2 la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y C.Comom1 = 12,m2 = 2, entoncesm1 m2 = 1. Por lo tantol1 l2.El area del triangulo rectangulo dado es 10 unidades cuadradas.b) El punto medio del segmentoBCes (5, 2). La ecuacon de la rectal quees perpendicular al segmentoBCen su punto medio esx 3y + 1 = 0.El punto A satisface la ecuacion de la rectal5. d__a2, b2_, (0, 0)_=d__a2, b2_, (0, b)_ = d__a2, b2_, (a, 0)_=a2+b226. SeamABla pendiente de la rectal1 que pasa por los puntos A y B.SeamDCla pendiente de la rectal2 que pasa por los puntos D y C.ComomAB =12ymDC=12entoncesl1es paralela al2. El area del trapecioes igual a 24 unidades cuadradas7. a) x 2y + 3 = 0.b) La interseccion de las rectas l1 yl2 es el punto (1, 2).c) x2+y210x 8y = 21.8. a) x2+y26x 14y = 13b) Cortes con el eje y: (0, 1) y (0, 13)9. k = 0 o k = 410. x2+y28x 10y = 31185Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I11. m = 4 ,b = 512. Param = 2 yb = 10, el punto es (1, 8) param = 18 yb = 90 , el punto es(9, 72)14. 20 pies15. Dominio = [1, 5] , Rango = [2, 4]16. a) La relacion dex2+y22x 8y = 13 es la circunferencia(x 1)2+ (y 4)2= 4. Dominio = [1, 3], Rango = [2, 6].b) y = 4 +2x x2+ 3, Dominio = [1, 3], Rango = [4, 6].y = 4 2x x2+ 3, Dominio = [1, 3], Rango = [2, 4].3.Funciones3.1TallerA1. a) S es funcion, f(x) =12x2 3x +112 , Dominiode f =R, Rangodef=[1, +)b) No es funcion.c) No es funcion.d) S es funcion,f(x) =x 1 + 2, Dominio def= [1, +), Rango def=[2, +)e) S es funcion,f(x) = x 1 + 2, Dominio def= [1, +), Rango def= (, 2]f) f(x) =2x x2, el Dominio def= [0, 2], Rango def= [0, 1]2. iii) Dominio def= R, corte con el ejey: (0, 5), cortes con el ejex: (1, 0) y(5, 0)3.B b) x y + 1 = 0c) el resutado es 2x 2 +h4. f(b) = 4b, con 0 b 2519. k = 1186Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I20. k = 221. k = 1, ok =2322. i) x34x2+ 5x 2 = (x 1)2(x 2)ii) x4+ 2x35x24x + 6 = (x + 3)(x 1)(x +2)(x 2)iii) 2x3x28x + 4 = (2x 1)(x 2)(x + 2)iv) x45x210x 6 = (x 3)(x + 1)(x2+ 2x + 2)v) 2x513x4+ 20x3+ 18x254x + 27 = (x 1)2(x 3)2(2x + 3)vi) x32x = x(x 2)(x +2)vii) x32x + 1 = (x 1)(x +152)(x +1+52)viii) x5+ 2x42x34x2+x + 2 = (x + 2)(x + 1)2(x 1)2ix) 2x5x4x32x2+x + 1 = (x 1)2(x +12)(2x2+ 2x + 2)23. i) a)2x 3x33x 2=2x 3(x + 1)2(x 2)b) Dom de (f) = R 1, 2, ceros def= 3/2ii) a)x2+ 2x 3x33x + 2=(x 1)(x + 3)(x 1)2(x + 2)=x + 3(x 1)(x + 2)b) Dom de (f) =R 2, 1, los ceros def=3iii) a)x + 2x33x + 2=x + 2(x 1)2(x + 2)=1(x 1)2b) Dom (f) = R 2, 1, no tiene cerosiv) a)3x 1x33x2+ 4x 2=3x 1(x 1)(x22x + 2)b) Dom de (f) = R 1, los ceros def=1/3187Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Iv) a)x23x + 2x4x35x2+ 3x + 6=(x 1)(x 2)(x + 1)(x 2)(x 3)(x +3)=x 1(x + 1)(x 3)(x +3)b) Dom de (f) = R 1, 3, 2,3, los ceros def=1vi) a)x33x2x + 2x23x + 2=(x + 1)(x 2)(x 1)(x 1)(x 2)=x + 1b) Dom de (f) = R 1, 2, los ceros def=124. El dominio defDom (f) = R 4, los ceros def=1, 325. i) El dominio de (f) = [2, +) 1. el corte con las graca defcon elejeyes el punto (0,23). La graca defcorta el ejex unicamente en elpunto (2, 0)ii) El dominio de (f) = [12, +) 1, 2. la graca defno tiene cortes conel ejey, ni tampoco tiene cortes con el ejex.26. i) El dominio de (f) = [1, +), la funcionfno tiene ceros reales.ii) El dominio de (f) = (, 2], comof(2) = 0 entonces 2 es un cero def,y este es el unico cero def.iii) El dominio de (f) = (, 1] [2, +)), los ceros defson -1 y 2.iv) El dominio de (f) = (, 3] [4, +)), el unico cero defes -3.v) El dominio de (f) = ((, 13) [1, +)) 1, no tiene ceros.vi) El dominio de (f) = (2, +)) 12, los ceros defson -2 y 1.vii) El dominio de (f) = (,152] [1,1+52] (2, +), los ceros de fson1 52, 1, 1 +52.29. a)f(x) =___x + 7, Six 43x 1, Si 4 < x 32x 7, Si32< x188Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I32. Dom def= [5, 4]Rango def= [2, 3)33. Dom def= (, 1) (1, 2)Rango def= (1, 7)34. Dom def= RRango def= (2, +)35. Dominio def= RRango def= R36. Dominio def= RRango def= [1, 3]37. B.i) a) (f g)(x) = x + 1, Dom (f g) = [0, +)b) (g f)(x) =x2+ 1, Dom (f) = Riii) a) (f g)(x) =_x+5x2, Dom (f g) = (, 5] (2, +)b) (g f)(x) =7x 1 + 2x + 4x 5, Dom (g f) = [1, +) 5v) a) (f g)(x) =x 1x 2, Dom (f g) = [1, +) 2b) (g f)(x) =1x21, Dom (g f) = (, 1) (1, +)vi) a) (f g)(x) =1_2x1x+3 1,Dom (f g) = (, 3) [12, +) 4b) (g f)(x) =7x 3x + 69x 4,Dom (g f) = [0, +) 1, 4/938. g(x) = 1 +x23x + 2,g(x) = 1 x23x + 240. i) b)f1(x) = x2+ 2ii) b)f1(x) = x26x + 11iii) b)f1(x) =x26x + 112iv) b)f1(x) =3x 1189Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I41. i) b)f1(x) = 1 +4 +xii) b)f1(x) =2x x2+ 3iii) b)f1(x) = 2 1 x2iv) b)f1(x) = 2 +1 x242. i) b)f1(x) =1 +xxii) b)f1(x) =2x + 13x 9iii) b)f1(x) =5 x2x 13.2TallerB.Funcionesexponencialesylogartmicas1. a) Dominio (f) = R 1, 3b) Dominio (f) = (1, +)c) Dominio (f) = (, 2) (1, +)d) Dominio (f) = (, 2) (12, +)e) Dominio (f) = (1e, +)f) Dominio (f) = (0, +) e,1eg) Dominio (f) = (0, +) 1, 2h) Dominio (f) = (12, +) 1i) Dominio (f) = (,15) (1, +)2. i) x = 0ii) x =13iii) x =12 + ln 2iv) x = 1v) x = 2, x = 1vi) x = 0vii) x = 1viii) x = eix) x = 1x) x =1e2, x = 1190Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixi) x =1exii) x =1exiii) x =1e, x = exiv) x = e12xvx = 3xvi) x =23xvii) x =32xviii) x = 2xix) x = 2xx) x = 4xxi) x = 0, x = ln 2xxii) x = 1xxiii) x = 1xxiv) x = 2xxv) x = 1, x = 0xxvi) x = 2xxvii) x = 1xxviii) x = 3xxix) x =23xxx) x = 2xxxi) x = 1xxxii) x = 2xxxiii) x = 0xxxiv) x = 27xxxv) x = 12, x =12xxxvi) x =18xxxvii) No tiene solucion.3. i) x = 2ii) x = 0, x =12iii) x =12191Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Iiv) x = ln 3v) x = 1, x = e4vi) x = 5vii) x = 0, x = 2viii) x =ln(e1)2ix) x = 1, x = e2x) x = 0, x = 2xi) x =ln(2)ln(24)xii) x = 2xiii) x = 1, x = 3xiv) x = 0, x = ln(2)xv) x =exvi) x = 1, x = 2xvii) No tiene solcion4. a) x =ln(1 +y2)2b) x =ln(y21)2c) x = ln(y +_y2+ 1)d) x =12ln_1 +y1 y_e) x =ln_1 +_9 + 4y22_2 ln(2)=12 log2_1 +_9 + 4y22_6. Acontinuacion daremos la solucion de cada desigualdad en notacion deintervalos.i) (, 0)ii) (1 + ln 23, +)iii) (, 1)iv) (2, 1)192Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Iv) (1, 2)vi) (12, 1)vii) (12,23)viii) (1e, +)ix) (0,1e)x) (1e, +)xi) (0, 1)xii) (0, e)xiii) (e, +)xiv) (e12, +)xv) (0, e12)xvi) (1e, e)xvii) (, 1)xviii) (13,23)xix) (1714, +)xx) [2, 2)xxi) (0, 4)xxii) (0, 2)xxiii) (2, 1) (0, +)xxiv) (2, +)xxv) (32, +)xxvi) (23,32)xxvii) (13,23] (2, +)xxviii) (e32, +)xxix) (0,1e2) (1, +)8. a)g(x) = ex+ 1, conx R9. a)g(x) = (ln x)2, conx110. af(t) = (1000)2t10. bf(t) = 600(3)t/212. af(t) = 20_12_t/140193Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I4.Funcionescomomodelosmatematicos4.1.TallerA.1. a) A = 40x x2.Losvaloresadmisiblesdexparaesteproblemason0 0.b) x = 1c) x33. a) 2 < t < 18.b) s = 1680 pies4. a) 2x6.b) 2x6c) x = y = 59. a) A = (x + 2)4 x2.b) A = h[4 h2+ 2]12. a) h = 5 25 x2.b) A = x(5 25 x2)13. a) h = 5 +25 x2.b) A = x(5 +25 x2)15. a) x 3x.b) A =3x(4 x)418. A = 2x(12 3x)19. A =x64 x22194Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I20. A = 2x + (3 6)x24, con 0 < x 0,f(t) = tetet+1 satisface los dos condiciones de la hipotesis delteorema del valor intermedio sobre el intervalo cerrado [0, x].Porlotanto, existe c (0, x)tal que f(x) f(0) =f

(c)(x 0); estoes(xexex+ 1) 0 = cxc(x 0).As,xexex+ 1 = cxec> 0 porlo tanto,xex> ex1.Poconsiguientexexex 1si x 0parax0si x< 2, y, f

(x) 0 six > 2.Entoncesftiene un mnimo relativo enc = 2d) f

(2) = 240 < 0 entoncesftiene un maximo relativo enc = 2.f

(0) = 0(elcriterionodecide), f

(2) = 240> 0entoncesftieneun mnimo relativo enc = 2ii) f(x) = 6x2x3,f

(x) = 3x(4 x),f

(x) = 6(2 x)a) Dom (f) = Rb) Punto crticos def:c = 0 yc = 4c) Comofescontinuaenc=0, f

(x) 0 si 0 < x < 4, y,f

(x) < 0 six > 4 entonces tiene un maximo relativo enc = 4d) f

(0) = 12 > 0 entoncesftiene un mnimo relativo enc = 0.f

(4) = 12 entoncesftiene un maximo relativo enc = 4iii) f(x) =x36 x22,f

(x) =18 x236 x2,f

(x) =x(x 36)(x + 36)(36 x)3/2a) Dom (f) = [6, 6]b) Punto crticos def:c = 32 yc = 32c) Comofes continua enc = 32,f

(x)< 0 si 6 0 si 32 0 si 32 < x < 32, y, f

(x) < 0si 32 < x < 6 entoncesftiene un maximo relativo enc = 32d) f

(32) = 2 > 0 entoncesftiene un mnimo relativo enc= 32, f

(32)= 2entoncesftieneunmaximorelativoenc = 32225Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Iiv) f(x) = x2x33 ,f

(x) = x(2 x),f

(x) = 2(1 x)a) Dom (f) = Rb) Punto crticos def:c = 0 yc = 2c) fes continua enc = 0,f

(x) < 0 six < 0, y,f

(x) > 0 si 0 < x < 2,entoncesftiene un mnimo relativo enc = 0.fes continua enc = 2,f

(x) > 0 si 0 < x < 2, y,f

(x) < 0 si 2 < xentoncesftiene ni maximo relativo enc = 2d) Comof

(0) = 2 > 0 entoncesftiene un mnimo relativo enc = 0.Comof

(2) = 2 < 0 entoncesftiene un maximo relativo enc = 2v) f(x) =x2x 1,f

(x) =x(x 2)(x 1)2 ,f

(x) =2(x 1)3a) Dom (f) = R 1b) Punto crticos def:c = 0 yc = 2c) Comofescontinuaenc=0, f

(x)>0si x 0vi) f(x) =x22x + 4 +x2,f

(x) =x 1x22x + 4 + 12,f

(x) =3(x22x + 4)32a) Dom (f) = Rb) Punto crticos def:c = 0c) Comofescontinuaenc=0, f

(x) 0, entoncesftiene un mnimo relativo enc = 0d) f

(0) =38> 0vii) f(x) = 12x x3,f

(x) = 3(2 x)(2 +x),f

(x) = 6xa) Dom (f) = Rb) Punto crticos def:c = 2 yc = 2c) f tieneunmnimorelativoenc = 2, f tieneunvalor maximorelativo enc = 2226Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Id) f

(2) = 12 > 0,f

(2) = 12 < 0viii) f(x) =x44x3,f

(x) = x2(x 3),f

(x) = 3x(x 2)a) Domf= Rb) Punto crticos def:c = 0 yc = 3c) fno tiene ni maximo relativo ni mnimo relativo en el punto crticoc = 0.ftiene un valor mnimo a relativo enc = 3d) Comof

(0) = 0 el criterio no decide.Comof

(3) = 9 > 0 entonces, por criterio de la segunda derivada,ftiene un valor mnimo relativo en el puntoc = 3ix) f(x) = x4/34x1/3,f

(x) =43_x 1x23_,f

(x) =49_x + 2x53_a) Domf= Rb) Punto crticos def:c = 0 yc = 1c) Comofno tiene ni maximo relativo ni mnimo relativo en el puntocrticoc = 0.ftieneunvalormnimorelativoenc = 1yaquefescontinuaenc = 1 yf

(x) < 0, si 0 < x < 1 yf

(x) > 0, six > 1d) f

(1) =43> 0x) f(x) =1x +x2,f

(x) =_x 2)(x +2_2x2,f

(x) =2x3a) Domf= R 0b) puntos crticos def:c = 2 yc =2c) Utilizando el criterio de la primera derivada se ve que f tiene un valormaximo relativo enc = 2 yftiene un valor mnimo relativo enc =2d) f

(2) = 22< 0,f

(2) =22> 0xi) f(x) = x33x2+ 4,f

(x) = 3x(x 2),f

(x) = 6(x 1)a) Domf= Rb) Punto crticos def:c = 0 yc = 2c) ftiene un valor maximo relativo en c = 0, y ftiene un valor mnimorelativo enc = 2d) f

(0) = 6,f

(2) = 6227Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixii) f(x) = x3+ 3x,f

(x) =(x 1)(x + 1)(x2+ 1)x2,f

(x) = 6_x4+ 1x3_a) Domf= R 0b) Los puntos crticos defson:c = 1 yc = 1c) f tieneunvalorm aximorelativoenc = 1, y, f tieneunvalormnimo relativo enc = 1d) f

(1) = 12,f

(1) = 12xiii) f(x) = x2+ 16x ,f

(x) =2(x 2)(x2+ 2x + 4)x2,f

(x) =2(x + 232)(x2232 x + 4(32)2)x3a) Domf= R 0b) puntos crticos def:c = 2c) Como fes continua en c = 2, f

(x) < 0, si 0 < x < 2, y, f

(x) > 0, six > 2 entonces por el criterio de la primera derivada ftiene un valormnimo relativo en el punto crticoc = 2.d) f

(2) = 6xiv) f(x) = x29 x2,f

(x) =3x(6 x)(6 +x)9 x2,f

(x) =6(x234(9 +33))(x234(9 33))(9 x2)3/2a) Domf= [3, 3]b) puntos crticos def:c = 6,c = 0 yc =6c) ftienevaloresmaximosrelativosenc= 6, y, ftieneunvalormnimo relativoc = 0.d) f

(6) = 363 ,f

(0) = 6xv) f(x) =x2 sen(x),f

(x) =12 cos(x),f

(x) = sen(x)a) Dom (f) = Rb) Puntoscrticosdef: c=(6n + 1)3, y, c=(6n 1)3, donden=0, 1, 2, ...c) ftiene valores mnimos relativos enc = (6n + 1)3ftiene valores maximos relativosc = (6n 1)3.228Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Id) f

((6n + 1)3) =32> 0,f

((6n 1)3) = 32< 0xvi) f(x) = xex/2,f

(x) =(x + 2)2ex/2,f

(x) =(x + 4)4ex/2a) Dom (f) = Rb) c = 2 es el unico punto crticofc) Comofes continua enc = 2, f

(x)< 0, si x< 2, y, f

(x)> 0,si x > 2 entonces el criterio de la primera derivada garantiza que ftiene un valor mnimo relativo enc = 2.d) f

(2) =12e> 0xvii) f(x) =ln(x)x,f

(x) =1 ln(x)x2,f

(x) = 3 + 2 ln(x)x3a) Dom (f) = (0, +)b) puntos crticos def:c = ec) Comofes continua enc =e, f

(x)> 0, si 0 0, si 0 < x 0six > 1 entoncesftiene un valor mnimo relativo enc = 1d) f

(1e2) = 2e2< 0,f

(1) = 2 > 0xix) f(x) = x1/3(6 x)2/3,f

(x) =2 xx2/3(6 x)1/3,f

(x) =8x5/3(6 x)4/3a) Dom (f) = Rb) puntos crticos def:c = 0,c = 2,c = 6229Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ic) Comofescontinuaenc=0, f

(x)>0,si x 0xxiv) f(x) =4x2+ 39x + 81x,f

(x) =(2x 9)(2x + 9)x2,f

(x) =162x3a) Dom (f) = R 0b) puntos crticos def:c =92,c = 92c) ftieneunvalormaximorelativoenel c = 92,y, ftieneunvalormnimo relativo enc =92d) Comof

(92) = 169< 0,f

(92) =169> 0xxv)f(x) =_x2+ 2x + 3, six < 1,x2+ 2x + 2, si 1 xf

(x) = 2(1 x) six ,= 1,f

(x) = 2 six ,= 1a) Dom (f) = Rb) puntos crticos de f: c = 1, ya que f

(1) =lmh0f(1 +h) f(1)h= ,f

=(1) =lmh0+f(1 +h) f(1)h= 0c) Apesarquef

(x) >0, si x 0, entoncesf(43+ 2n) (6n + 4)3 3son valores mnimos relativos.240Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixi. f(x) = ex2Dom (f) = Rf

(x) = (2x)ex2f

(x) = 2ex2(2x 1)(2x + 1)xii. f(x) = ln(x2x 2)Dom (f) = (, 1) (2, +)f

(x) =2x 1(x 2)(x + 1)f

(x) =(2x22x + 5(x 2)2(x + 1)2)fno tiene puntos crticos241Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixiii. f(x) =ln(x)xDom (f) = (0, )f

(x) =1 ln(x)x2f

(x) =2 ln(x) 3x3242Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixiv. f(x) = exDom (f) = Rf

(x) = exf

(x) = exxv. f(x) = x2exDom (f) = R243Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas If

(x) = xex(x + 2)f

(x) = (x2+ 4x + 2)exxvi. f(x) = x33x + 4Dom (f) = Rf

(x) = 3(x 1)(x + 1)f

(x) = 6x244Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixvii. f(x) = 5x2/35x5/3= x2/3(5 x)Dom (f) = Rf

(x) =53(2 x)(x1/3f

(x) = 109_1 +xx4/3_Puntos crticos def:c = 0,c = 2Puntos de inexion (1, f(1)) = (1, 6)lmx+x2/3(5 x) = lmxx2/3(5 x) = +xviii. f(x) =ln(x)x2Dom (f) = (0, +)f

(x) =1 2 ln(x)x3f

(x) = 5 + 6 ln(x)x4Puntos crticos def:c = e1/2245Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I246Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixix) Dom(f) = R;f

(x) = ex/2_2 +x2_;f

(x) = ex/2_4 +x4_xx) Dom(f) = R 0;f

(x) =(x 2)(x +2)2x2;f

(x) =2x3.Los puntos crticos de f son:c = 2,c =2.f es creciente en los intervalos (, 2] y [2, +); f es decreciente en losintervalos [2, 0) y (0,2].f tiene un valor maximo relativo enc = 2; f tiene un valor mnimo relativoenc =2.Lagracadefesconcavahaciaabajoenelintervalo(, 0),yesconcavahacia arriba en el intervalo (0, +).Larectavertical esasntotavertical alagracadef, ylarectay=12xesasntota oblicua izquierda y derecha.247Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixxi) Dom(f) = R;f

(x) = 1 2 sen(x);f

(x) = 2 cos(x);Los puntos crticos de f son:c =6 + 2n = (12n + 1)6,c =56+ 2n = (12n + 5)6donde n es cualquier n umero entero.Comof

(6+ 2n)= 3 0entoncesf(56+ 2n) = 56+ 2n 3sonvalores mnimos relativos.f es creciente sobre los intervalos _(12n 7)6, (12n + 1)6, y f es decrecientesobre los intevalos _(12n + 1)6, (12n + 5)6 conn entero.248Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixxii) Dom(f) = (0, +);f

(x) = (ln x)(ln x + 2);f

(x) =2(ln x + 1)x. Los puntoscrticos de f son:c =1e2,c = 1.249Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixxiii) Dom(f) = R 1;f

(x) =11 +x2;f

(x) =2x(1 +x2)2;f no tiene puntos crticos.Puntos de inexion de la graca de f: (0,4).250Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixxiv) Dom(f) = R 0;f

(x) = 1x2e1/x;f

(x) =(2x + 1)e1/xx4.f es discontinua en x=0.f no tiene puntos crticos.f es decreciente en los intervalos (, 0) y (0, +).Punto de infexion (1/2, e2).La graca de f es concava hacia arriba en el intervalo (1/2, 0), y es concavahacia abajo en los intervalos (, 1/2) y (0, +).lmx0+e1/x= +, lmx0e1/x= 0 lmxe1/x= 1 ylmx+e1/x= 1Asntota vertical: la recta vertical x=0.Asntota horizontal derecha: la recta horizontal y=1.Asntota horizontal izquierda: la recta horizontal y=1.251Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixxv) Dom(f) = R;f

(x) =3(2x + 1)(x2+ 1)3/2;f

(x) =12_x 3 418__x 3 +418_(x2+ 1)5/2.252Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixxvi) Dom(f) = R;f

(x) =1 xex;f

(x) =x 2ex.253Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixxvii) Dom(f) = R;f

(x) = 2(x 1)e(x22x);f

(x) = 2(2x24x + 3)ex22x.xxviii) Dom(f) = R3, 4; fes continua en R3, 4 f

(x) =(x 1)(x 5)(x 3)2;f

(x) = 8(x 3)3.Puntos crticos de f: c=1 y c=5.f es creciente en los intervalos (, 1] y [5, +).254Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas If es decreciente en los intervalos [1, 3), (3, 4) y (4, 5].f tiene un valor maximo relativo en c=1.f tiene un valor mnimo relativo en c=5.La graca de f es concava hacia arrriba en los intervalos (3,4) y (4, +) y esconcava hacia abajo en el intervalo (, 3).Asntota vertical:x = 3.Asntota oblicua:y = x + 2.xxix) Dom(f) = [0, 2];f

(x) =1_x(2 x);f

(x) =1 xx3/2(2 x)3/2255Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixxx) Dom(f) = R 0;f

(x) =1x2+ 1;f

(x) =2x(1 +x2)2.f no tiene puntos crticos.lmxarctan_1x_ = 0, lmx0arctan_1x_ = 2,lmx0+arctan_1x_ =2lmx+arctan_1x_ = 0256Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixxxi) Dom(f) = (2, +) 1; f

(x) =3(x + 1)(x + 2)(x 1); f

(x) =3(x2+ 2x + 3)(x + 2)2(x 1)2257Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ixxxii) Dom(f) = R;f

(x) =2 xx2/3(6 x)1/3;f

(x) =8x5/3(6 x)4/3Los puntos crticos de f son: c=0, c=2 y c=6.xxxiii) Dom(f) = [, 3];f

(x) =2 cos(x) 1(2 cos(x))2;f

(x) =(2 sen(x))(1 + cos(x))(2 cos(x))3.Los puntos crticos de f sobre el intervalo [, 3] son:c = 3,c =3,c =53yc =73 .258Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas I8.5TallerE.FuncionesHiperb olicasysusinversas3. f(x) = tanh(x) =exexex+exDom(f) =R, f

(x) =sec h2(x) >0paratodoxreal, f notienepuntoscrticos, f =2 sec h2(x) tanh2(x), f(x) >0sobre el intervaloabierto(, 0) yf(x)< 0 sobre el intervalo abierto (0, +), el punto (0, 0) es unpunto de inexion de la graca def.lmxtanh(x) = lmxexexex+ex= lmxe2x1e2x+ 1= 1lmx+tanh(x) = lmx+exexex+ex= lmx+1 e2x1 +e2x= 14. b)f(x) = sec h(x) =2ex+ex, Domf= R,f

(x) = sec h(x) tanh (x), f

(x) >0sobreel intrvaloabierto(, 0), yf

(x) < 0 sobre el intervalo abierto (0, +),ftiene un valor maximo relativoen el punto crticoc = 0f(x) = 2(sec h(x))_12 sec h2(x)_,f(x) = 0cuando c = ln(2 1) y c = ln(2+1),f

(x) > 0 sobre cada unode los intervalos abiertos (, ln(2 1)) y (ln(2+1), ), f(x) 0 para todox (0, +).f(x) =senh(ln x) cosh(ln x)x2= 1x3< 0 para todox (0, +)ii)f(x) = exsen h(x) =e2x12Dom (f) = R.f

(x) = ex[senh(x) + cosh(x)] = e2x.f

(x) = 2ex[senh(x) + cosh(x)] = 2e2x.261Departamento de Matematicas - UTP - Talleres de Matematicas Ilmxf(x) = 12iii)f(x) = cosh(ln x) =x2+ 12x=x2 +12xDom(f) = (0, +).f

(x) =senh(ln x)x=(x 1)(x + 1)2x2=12 12x2.f(x) =cosh(ln x) senh(ln x)x2=eln xx2=1x3iv)f(x) = tanh(ln(x22x 3))Dom(f) = (, 1) (3, +).f

(x) =2(x 1) sec h2(ln(x22x 3)