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Ejercicios y Talleres

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Departamento de Matemáticas

Ecuaciones Diferenciales I- 2009

Taller Nº 8

Tema: Transformada de Laplace, Transformada de Laplace Inversa, Problemas de valores iniciales

Objetivos:

Utilizar la definición para calcular la transformada de Laplace o calcularla mediante tablas,

además determinar las transformadas inversas.

Utilizar la transformada de Laplace de derivadas e integrales para aplicar éstas en la solución

de ecuaciones diferenciales.

Ejercicios:

1. Determine ℒ 𝑓 𝑡

a. 𝑓 𝑡 = −1, 0 ≤ 𝑡 < 1

1, 𝑡 ≥ 1

b. 𝑓 𝑡 = 2𝑡 + 1, 0 ≤ 𝑡 < 1

0, 𝑡 ≥ 1

c. 𝑓 𝑡 = 𝑡 cos 𝑡

d. 𝑓 𝑡 = 𝑡2𝑒−2𝑡

e. 𝑓 𝑡 = 1 + 𝑒2𝑡 2

f. 𝑓 𝑡 = 𝑒𝑡 sinh 𝑡

g. 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑡 cosh 𝑡

2. En la solución de la ecuación de Bessel, se usa la función gamma. Una definición de esa

función es la integral impropia

Γ 𝛼 = 𝑡𝛼−1𝑒−𝑡𝑑𝑡∞

0

, 𝛼 > 0

a. Compruebe que Γ 𝛼 + 1 = 𝛼Γ 𝛼

b. Compruebe que ℒ 𝑡𝛼 =Γ 𝛼+1

𝑠𝛼+1 , 𝛼 > −1

3. Aproveche que Γ 1

2 = 𝜋 para determinar la transformada de Laplace de

a. 𝑓 𝑡 = 𝑡−1

2

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b. 𝑓 𝑡 = 𝑡1

2

c. 𝑓 𝑡 = 𝑡3

2

4. Realice la gráfica de 𝑓(𝑡) de cada una de las funciones:

a. 𝑓 𝑡 − 𝑓 𝑡 𝜇 𝑡 − 𝑎

b. 𝑓 𝑡 − 𝑏 𝜇 𝑡 − 𝑏

c. 𝑓 𝑡 𝜇 𝑡 − 𝑎

d. 𝑓 𝑡 𝜇 𝑡 − 𝑎 − 𝑓 𝑡 𝜇 𝑡 − 𝑏

e. 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝜇(𝑡 − 𝑎)- 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝜇(𝑡 − 𝑏)

5. Encuentre ℒ−1 F(s) donde F(s) está dada por:

a. 1

𝑠+3 𝑠+7

b. 2𝑠2+4𝑠+9

𝑠+2 𝑠2+3𝑠+3

c. 1

𝑠+1 𝑠+2 𝑠2+2𝑠+10

d. 3𝑠

𝑠−1 𝑠2− 4

e. 𝑠+7

𝑠2+4𝑠+5

f. 3𝑠2−7𝑠+5

𝑠−1 𝑠−2 (𝑠−3)

BIBLIOGRAFÍA

1. Texto Guía: Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores En la Frontera, Nagle,Saff, Zinder, cuarta edición, Pearson Addison Wesley. 2. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Kreyzig, volumen II, Tercera edición, Limusa Wiey. 3. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelo, Dennis Zill, séptima edición, MATH LEARNING, Thomas. Coordinadora : Mireya García , [email protected] , garmireya.googlepages.com



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