Transformada de LaplaceLa transformada de Laplace de una funcin f(t) definida (en matemticas y, en particular, en anlisis funcional) para todos los nmeros positivos t 0, es la funcin F(s), definida por:

siempre y cuando la integral est definida. Cuando f(t) no es una funcin, sino una distribucin con una singularidad en 0, la definicin es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versin unilateral. Tambin existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) tpicamente existe para todos los nmeros reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Perspectiva histricaLa transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemtico francs Pierre-Simon Laplace, que la present dentro de su teora de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler haba investigado un conjunto de integrales de la forma:

como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundiz en ellas y pronto abandon su investigacin. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, tambin investig ese tipo de integrales, y las lig a la teora de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

que algunos historiadores interpretan como autnticas transformadas de Laplace.

Este tipo de integrales atrajeron la atencin de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trat de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso ms all, y reenfoc el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en da se entienden. Us una integral de la forma:

anloga a la transformada de Mellin, con la que transform una ecuacin diferencial en una ecuacin algebraica de la que busc su solucin. Plante alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoci que el mtodo de Joseph Fourier para resolver por medio de series de Fourier la ecuacin de difusin podra relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones peridicas. Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad ajeno a su moderna aplicacin en la fsica y la ingeniera, y ser tratadas sobre todo como objetos matemticos meramente tericos. La moderna aplicacin de las transformadas de Laplace y toda su teora subyaciente surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teora de vibraciones, el ingeniero ingls Oliver Heaviside (1850-1925) descubri que los operadores diferenciales podan tratarse analticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el "clculo operacional", si se tiene una ecuacin diferencial de la forma: (D a)y = f(t) donde D es el operador diferencial, esto es, D = d / dx, entonces la solucin general a dicha ecuacin es de la forma:

. Heaviside observ que si se trataba al operador D como una variable algebraica, era posible alcanzar igualmente la solucin de toda ecuacin pareja a la de arriba. En efecto, segn la solucin general, se cumple que:

Entonces, si se considera una ecuacin diferencial de segundo orden como la siguiente: y'' 3y' + 2y = et sta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:

(D2 3D + 2)y = et Heaviside propuso despejar y y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se tendra que:

Sustituyendo las fracciones en D por la expresin integral de las mismas arriba presentada, se llega a la solucin de la ecuacin diferencial:

Heaviside public sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la fsica y la ingeniera hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las crticas de algunos matemticos puristas que los rechazaron argumentando que los resultados de Heaviside no podan surgir de tal forma. No obstante, el xito del mtodo hizo que pronto fuera adoptado por ingenieros y fsicos de todo el mundo, de manera que al final atrajo la atencin de cierto nmero de matemticos tratando de justificar el mtodo de manera rigurosa. Tras varias dcadas de intentos, se descubri que la Transformada descubierta por Laplace haca un siglo no slo ofreca un fundamento terico al mtodo de clculo operacional de Heaviside, sino que adems ofreca una alternativa mucho ms sistemtica a tales mtodos. Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirti en una herramienta comn de la teora de vibraciones y de la teora de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con ms xito. En general, la transformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas ms significativas radica en que la integracin y derivacin se convierten en multiplicacin y divisin. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinmicas, mucho ms fciles de resolver.

PropiedadesLinealidad

Derivacin

Integracin

Dualidad

Desplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal

Nota: u(t) es la funcin escaln unitario.

Desplazamiento potencia n-sima

Convolucin

Transformada de Laplace de una funcin con periodo p

Condiciones de convergencia

(que crece ms rpido que e st) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que , no es una funcin de orden exponencial de ngulos.

Tabla de las transformadas de Laplace ms comunesLa siguiente tabla provee la mayora de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable. Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada trmino.

Aqu est una lista de las transformadas ms comunes. En ella u denota a la llamada funcin de Heaviside o funcin escaln, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia prctica.

ID

Funcin

Dominio en el tiempo

Dominio en la frecuencia

Regin de la convergencia para sistemas causales

1

retraso ideal

1a

impulso unitario

2

ensima potencia retrasada y con desplazamient o en la frecuencia

2a

n-sima potencia

2a. 1

q-sima potencia

2a. 2

escaln unitario

2b

escaln unitario con retraso

2c

Rampa

2d

potencia nsima con cambio de frecuencia

2d. amortiguacin 1 exponencial

3

convergencia exponencial

3b

exponencial doble

4

seno

5

coseno

5b Seno con fase

6

seno hiperblico

7

coseno hiperblico

8

onda senoidal con amortiguamie nto exponencial

9

onda cosenoidal con amortiguamie nto exponencial

10

raz n-sima

11

logaritmo natural

12

Funcin de Bessel de primer tipo,

de orden n

13

Funcin de Bessel modificada de primer tipo, de orden n

14

Funcin de Bessel de segundo tipo, de orden 0

15

Funcin de Bessel modificada de segundo tipo, de orden 0

16

Funcin de error

Notas explicativas:

representa la funcin escaln unitario. representa la Delta de Dirac. representa la funcin gamma. es la constante de Euler-Mascheroni.

, un nmero real, tpicamente representa tiempo, aunque puede representar cualquier variable independiente. es la frecuencia angular compleja. , , , y son nmeros reales. es un nmero entero.

sistema causal es un sistema donde la respuesta al impulso h(t) es cero para todo tiempo t anterior a t = 0. En general, el ROC para sistemas causales no es el mismo que el ROC para sistemas

anticausales.

EJEMPLO 1 Dado el circuito de la figura, con las siguientes condiciones iniciales:

Encuentre i(t), utilizando la transformada de Laplace.

SOLUCIN: Como primer paso, incluimos las condiciones iniciales en el circuito del dominio del tiempo, y luego transformamos todo el circuito al dominio de la frecuencia:

La ecuacin principal para resolver el problema, es:

Ahora planteamos dos ecuaciones de malla, teniendo en cuenta que la segunda ecuacin corresponde a la malla exterior del circuito:

despejamos estas ecuaciones:

Y reemplazando en la ecuacin principal:

separamos el primer sumando en fracciones parciales, ya que el segundo sumando ya posee coeficiente:

hallamos estos coeficientes:

con lo cual la funcin respuesta en el dominio de la frecuencia, es:

Esta ecuacin podemos convertirla directamente al dominio del tiempo:

EJEMPLO 2

Segn el circuito de la figura, encuentre:

a) b) c)

h (t) i2(t) si

SOLUCIN: a) Transformamos el circuito al dominio de la frecuencia:

Planteamos las siguientes ecuaciones de malla:

Organizando estas ecuaciones:

despejamos de la segunda ecuacin el valor de ecuacin:

I1(s), y lo reemplazamos en la primera

Esta ltima ecuacin es una funcin de transferencia del circuito. b) Para saber el equivalente de parciales:

H(s) en el dominio del tiempo, aplicamos fracciones

En esta ocasin, empleamos el planteamiento de ecuaciones para hallar los coeficientes A y B:

resolvemos este sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas:

con lo cual, la funcin

H(s) queda:

ecuacin a la que aplicamos directamente la tabla de transformadas inversas, lo que se traduce en una respuesta en el dominio del tiempo:

c) Tomamos la funcin de transferencia Vs(s):

H(s) y despejamos el valor de I2(s) en trminos de

Aplicamos la transformada de Laplace a la funcin vs (t), y reemplazamos el resultado en la anterior ecuacin:

hallamos estos coeficientes, utilizando la misma tcnica que se uso en el tem anterior:

ordenando:

resolviendo este sistema, obtenemos:

con lo cual la funcin

I2(s) se puede rescribir como:

y finalmente, aplicando pares de transformadas para regresar al dominio del tiempo, se llega a:

EJEMPLO 3