Elementos Bsicos en un Sistema de Control

Transformada bilateral de Laplace

Definicin

Convergencia

Regin de convergenciaLa condicin de convergencia de la transformada de Laplace, define una regin de convergencia de la variable s (ROC).Dos o ms seales pueden tener la misma transformada de Laplace.La regin de convergencia permite corresponder una transformada de Laplace X(s) con su seal x(t).

Propiedades de la regin de convergenciaPara una seal causal, la regin de convergencia corresponde a un semiplano hacia la derecha del polo bajo anlisis.Una regin de convergencia correspondiente a una banda vertical o un semipleno hacia la izquierda determina una seal no causal.La estabilidad de la seal queda determinada si la regin de convergencia incluye el eje imaginario.Propiedades de la regin de convergenciaPara seales en el dominio del tiempo, cuya transformada de Laplace corresponde a una funcin racional de s, es decir, X(s)=N(s)/D(s), esta transformada no converge en los valores de s donde D(s) es cero.Estos valores de s se llaman polos de X(s).Transformada bilateral inversa de LaplaceLa transformada inversa de Laplace corresponde a una seal x(t) y se obtiene a partir de una integral de contorno, de la forma

No obstante, en trminos prcticos, se recurre a tablas de transformadas para seales ms tpicas.

Transformada unilateral de LaplacePara sistemas causales, la transformada de Laplace corresponde a

Se utiliza esta expresin, dado que en la prctica las seales y sistemas son causales

Transformada unilateral de LaplaceEsta expresin se obtiene al considerar que x(t) es causal, es decir, x(t)=0 para ts, para a>0.

Propiedades de la Transformada de LaplaceDerivacin en el tiempo

Integracin en el tiempo

Propiedades de la Transformada de LaplaceDerivacin en la variable s

Modulacin

Propiedades de la Transformada de LaplaceConvolucin

Teorema del valor inicial: Si x1(0+) existe, entonces

Propiedades de la Transformada de LaplaceTeorema del valor final: Si x(t) existe, entonces

Tabla de propiedades de la Transformada de Laplace

Sistema continuo lineal invariante en el dominio s.Para un sistema continuo descrito por una ecuacin diferencial lineal

Esta puede ser descrita en trminos de la transformada de Laplace

Sistema continuo lineal invariante en el dominio s.Se puede obtener una relacin entre Y(s) y U(s), para obtener una relacin de polinomios, llamada funcin de transferencia.

Sistema continuo lineal invariante en el dominio s.La seal y(t) se obtiene al despejar Y(s) y obtener su transformada inversa.La funcin de transferencia H(s) corresponde a la Transformada de Laplace de la respuesta impulso.Esta funcin de transferencia describe el sistema lineal.La funcin de transferencia descrita corresponde a un sistema con una entrada y una salida (BIBO).

Sistema continuo lineal invariante en el dominio s.Grficamente, la relacin de un sistema lineal se puede describir como

Representando la expresin, en el dominio de Laplace

y en el dominio del tiempo

Polos y CerosUn polo es un valor de s que indefine X(s).Un cero en un valor de s que hace nula (cero) X(s).Para una expresin racional en s, de la forma H(s)=N(s)/D(s), un polo es un cero de D(s).

Polos y CerosDada la funcin de transferencia

Esta puede ser descrita como

-qi y -pi son los ceros y polos de la funcin de transferencia.

Expansin en fracciones parcialesSuponiendo que todos los polos son distintos, usando expansin en fracciones parciales, la funcin de transferencia se puede escribir como

La transformada de la respuesta corresponde a

Expansin en fracciones parcialesConsiderando un entrada impulso, la respuesta en el tiempo corresponde a

Se observa que los polos aparecen explcitamente en las constantes de tiempo de la respuesta.Los ceros estn implcitos en las constantes de cada uno de los trminos exponenciales.

Expansin en fracciones parcialesLa expansin en fracciones parciales permite expresar una funcin de transferencia racional en una suma de trminos cuya transformada inversa es conocida.

Tablas de transformadas

Tablas de transformadas

Configuracin polo-ceroEl anlisis de una funcin de transferencia se puede llevar a cabo, a partir de la posicin de sus polos y ceros en el plano complejo s. dado s=s+jw

Configuracin polo-ceroA partir de la configuracin polo-cero, se puede conocer la dinmica de la respuesta temporal del sistema.Polos ubicados a la derecha del eje imaginario, determinan trminos exponenciales crecientes en el tiempo. Luego el sistema, y su respuesta, es inestable.

Configuracin polo-ceroPolos ubicados a la izquierda del eje imaginario, determinan trminos exponenciales decrecientes en el tiempo. Luego el sistema, y su respuesta, es estable.