matemáticas discretas

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es el libro usado para el curso de matemáticas discretas de la carrera de Ciencias de la Computación en la Facultad de Ciencias de la UNAM

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Matem aticas discretasFavio E. MirandaElisa Viso G.Facultad de Ciencias, UNAMIndice generalI L ogica Matem atica 11. Introducci on 31.1. Expresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Mecanismos formales para descripci on de expresiones . . . . . . . . . . . 61.3. Gram aticas y arboles de derivaci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. L ogica proposicional 192.1. El lenguaje de la l ogica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.1. Argumentos l ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2. Proposiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3. Sintaxis de la l ogica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.4. Sem antica de la l ogica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.5. Tautologas y contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.6. Argumentos correctos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2. Evaluaci on de expresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.1. Estados y evaluaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.2. Precedencia y asociatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.3. Sustituci on textual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3. An alisis sint actico de expresiones l ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3.1. Esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.2. Rango y conectivo principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.3. An alisis de proposiciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.4. Tautologas y sustituci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.4. Equivalencia l ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.4.1. Razonamiento ecuacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.4.2.Algebra de equivalencias l ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5. Conceptos sem anticos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.5.1. Interpretaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.5.2. Consecuencia l ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.6. An alisis de argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.6.1. Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.6.2. Uso de interpretaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.6.3. Derivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.7. Tableaux en c alculo proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.7.1. El concepto de tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.7.2. Eliminaci on de ramas del tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.7.3. Reglas para los tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.7.4. Modelo de una f ormula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.7.5. Algoritmos para la l ogica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . 1083. L ogica de predicados 1133.1. Introducci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.1.1. Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.1.2. Variables y cuanticadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.2. Sintaxis de la l ogica de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.2.1. T erminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.2.2. F ormulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.2.3. F ormulas cuanticadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2.4. Variables libres y ligadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.3. Especicaci on formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.3.1. Juicios aristot elicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.3.2. Negaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.3.3. Contando objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.3.4. Micromundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.4. Sem antica informal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.4.1. Dominios de interpretaci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.4.2. Noci on informal de verdad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.4.3. Verdad en micromundos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.4.4. Algunas equivalencias l ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.4.5. Algunos argumentos correctos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.5. Predicados y tipos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156II Inducci on y recursi on 1614. Inducci on y recursi on 1634.1. Introducci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.2. Los n umeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.2.1. Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.3. Inducci on en los n umeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.3.1. Cambio de la base de la inducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.3.2. Inducci on completa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.4. Deniciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.4.1. Denici on de funciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.5. Inducci on estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.5.1. Inducci on en listas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.5.2. Inducci on en f ormulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904.5.3. Inducci on en arboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192III Teora de Gr acas 1995. Conceptos de teora de gr acas 2015.1. Motivaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.1.1. Tiempo para completar un proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.1.2. Asignaci on optima de recursos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.2. Conceptos y formalizaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2155.3. Representaci on de gr acas para su manipulaci on . . . . . . . . . . . . . . 2285.3.1. Matriz de adyacencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2285.3.2. Matriz de incidencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2305.3.3. Listas de adyacencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315.3.4. Listas de incidencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2335.4. Isomorsmo entre gr acas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2366. Exploraci on en gr acas 2436.1. Circuitos eulerianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2436.2. Trayectorias hamiltonianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.3. Distancias en una gr aca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2696.4. Trayectorias m as cortas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2756.5. N umero de caminos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2846.5.1. Matrices de adyacencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2846.5.2. Colof on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2917. Modelado con gr acas 2957.1. Coloraci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2958.Arboles 3118.1. Caracterizaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3118.2.Arboles generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3188.3. B usqueda en profundidad (DFS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3228.4.Arboles generadores de peso mnimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3288.4.1. Algoritmo de Prim para arboles de peso mnimo . . . . . . . . . . 3298.4.2. Algoritmo de Kruskal para arboles de peso mnimo. . . . . . . . . 3469. Multigr acas y gr acas dirigidas 3539.1. Multigr acas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3539.2. Gr acas dirigidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3569.3. Circuitos eulerianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3619.4. Distancias en una gr aca dirigida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3669.4.1. BFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3669.4.2. Algoritmo de Dijkstra para trayectorias dirigidas m as cortas . . . . 3679.4.3. N umero de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3689.4.4.Arboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369Indice 375Parte IL ogica Matem aticaIntroducci on1El libro est a dividido fundamentalmente en tres partes: L ogica Matem atica, Inducci onyRecursi on, yTeoradeGr acas. Delainducci onyrecursi ontal veznohemosodopero de l ogica y gr acas s, cuando por ejemplo hemos hecho gr acas desde la secundaria(aunqueestainterpretaci ondegr acasnoeslaquevamosaatacarenestecurso)yelt ermino l ogica lo usamos de manera bastante liberal en nuestra vida diaria en frases comolas que siguen: No es l ogico lo que est as diciendo. No entiendo la l ogica de este asunto. Presentas un argumento que no es coherente. Es falso lo que est as suponiendo.Todosnosotrossabemosqueexistem asprecisi oncuandoestamosenelterrenoma-tem aticoquecuandoestamoshablandodeexperienciasdelavidacom un.Realmente,enel lenguaje natural1dejamos mucho a la subjetividad de los hablantes y al contexto que sesupone conocen ambos. Decimos que este tipo de lenguaje es informal mientras que el len-guaje que se usa en matem aticas o los lenguajes de programaci on son lenguajes formales.Distinguimos entre un objeto informal y uno formal porque este ultimo est a claramentedenido y especicado por un conjunto de reglas. Uno de los atractivos del formalismo esel poder expresar ideas de forma concreta, breve y precisa. Pero no nada m as nos interesanestosaspectosdelformalismosinosuaplicaci on, lacualnosobligaaformalizarnue