matemática - aula 26 - arcos
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PROF. PAULOAULA 26ARCOS
X Sen(x) cos(x) tg(x)
30 0
2
1
2
3
3
3
45 0
2
2
2
2 1
60 0
2
3 2
1 3
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS
sen(a + b) = sen(a).cos(b) + cos(a).sen(b)sen(a – b) = sen(a).cos(b) - cos(a).sen(b)
cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b)cos(a - b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b)
tg(a + b) = )().(1
)()(
btgatg
btgatg
-
+
tg(a - b) = )().(1
)()(
btgatg
btgatg
+
-
Exemplo 1:Calcule sen(75 0 )Resolução:sen(75 0 ) = sen(45 0 + 30 0 ) == sen(45 0 ).cos(30 0 ) + cos( 45 0 ).sen(30 0 ) =
= 2
1.
2
2
2
3.
2
2+ =
4
2
4
6+ =
4
26 +
Exemplo 2 :
Calcule cos(105 0 )Resolução:cos(105 0 ) = cos(45 0 + 60 0 ) == cos( 45 0 ). cos(60 0 ) - sen(45 0 ). sen(60 0 ) =
= 2
3.
2
2
2
1.
2
2- =
4
6
4
2- =
4
62 -
Exemplo 3 :
Calcule o valor de cos(90 0 + x)Resolução:cos(90 0 + x) = cos(90 0 ).cos(x) - sen(90 0 ).sen(x) = = 0.cos(x) – 1.sen(x) = = - sen(x)
Exemplo 4 :Sabendo-se que tg(a) = 3 e tg(b) = 2,calcule tg(a + b)Resolução:
)().(1
)()()(
btgatg
btgatgbatg
-
+=+ =
= 2.31
23
-
+ =
= 61
5
- =
= 5
5
- =
= -1
ARCO DUPLODefinições:
sen(2x) = sen(x + x) = senx.cosx + cosx.senx = 2.senx.cosx
cos(2x) = cos(x + x) = cosx.cosx – senx.senx = cos 2 x - sen 2 x
Lembrando que sen 2 x + cos 2 x = 11) cos 2 x = 1 - sen 2 x
cos(2x) = cos 2 x - sen 2 x = 1 - sen 2 x- sen 2 x = 1 – 2.sen 2 x2) sen 2 x = 1 - cos 2 x
cos(2x) = cos 2 x - sen 2 x = cos 2 x – ( 1 - cos 2 x) = cos 2 x – 1 + cos 2 x == 2. cos 2 x – 1
tg(2x) = tg(x + x) = xtg
tgx
tgxtgx
tgxtgx21
.2
.1 -=
-
+
Resumo das fórmulas
sen(2x) = 2.sen(x).cos(x)
cos 2 (x) - sen 2 (x)
cos(2x) = 2.cos 2 (x) - 1
1 - 2.sen 2 (x)
tg(2x) = )(1
)(22 xtg
xtg
-
Exemplo 1:
Sabendo-se que cos(x) = 3
1 e que
p20 ££ x , calcule cos(2x)Resolução:cos(2x) = 2.cos 2 (x) – 1 =
= 2.(3
1) 2 - 1
= 2.9
1 - 1 =
= 9
2 - 1 =
=9
92 - =
= 9
7-
Exemplo 2 :Simplifique a expressão:
cos 4 (x) - sen 4 (x)Resolução:cos 4 (x) - sen 4 (x) == [cos 2 (x) - sen 2 (x)].[cos 2 (x) + sen 2 (x)] == [cos 2 (x) - sen 2 (x)].1 == cos(2x).1 == cos(2x)
Exercícios:1) Calcule o valor de sen(90 0 + x).cos(180 0 - x)2) Calcule o valor de tg15 0
3) O valor de 00000 40sen).20cos.20seccos20sen.20(sec + é:a) sen40 0 b) cos40 0 c) 2 d) 1 e) 0
4) (UFMG) – A expressão xtg
tgx21
.2
+ é idêntica a:
a) tg(2x) b) cos(2x) c) sen(2x) d) 2.sen(x) e) sen(x).cos(x)5) (UFMA) – De acordo com os dados da figura abaixo, o valor de k é:a) 3/2 b) 1/3 c) 4/3 d) _ e) 1/4
k.a
a
2a a
3.a
RESOLUÇÃO:1) Calcule o valor de sen(90 0 + x).cos(180 0 - x)Resolução:sen(90 0 + x).cos(180 0 - x) == (sen90 0 .cosx + cos90 0 .senx).(cos180 0 .cosx + sen180 0 .senx) == (1.cosx + 0.senx).(-1.cosx + 0.senx) == (cosx).(-cosx) = -cos 2 x
2) Calcule o valor de tg15 0
Resolução:
tg(15 0 ) = tg(60 0 - 45 0 ) = 1.31
13
45.601
456000
00
+
-=
+
-
tgtg
tgtg =
322
324
13
1323
1)3(
13.2)3(
13
13.
13
1322
22
-=-
=-
+-=
-
+-=
-
-
+
-
3) O valor de 00000 40sen).20cos.20seccos20sen.20(sec + é:a) sen40 0 b) cos40 0 c) 2 d) 1 e) 0
Resolução:00000 40sen).20cos.20seccos20sen.20(sec + =
22).1(
20cos.20sen.2).20sen.20cos
1(
20cos.20sen.2).20sen.20cos
20cos20sen(
20cos.20sen.2).20sen
20cos
20cos
20sen(
)20.2sen().20cos.20sen
120sen.
20cos
1(
0000
0000
0202
000
0
0
0
000
00
=
=
=+
=+
=+
Resposta c
4) (UFMG) – A expressão xtg
tgx21
.2
+ é idêntica a:
Resolução:a) tg(2x) b) cos(2x) c) sen(2x) d) 2.sen(x) e) sen(x).cos(x)
)2sen(cos.sen.2
1
cos.
cos
sen.2
cos
1cos
sen.2
cos
sencoscos
sen.2
cos
sen1
cos
sen.2
1
.2 2
22
22
2
22
xxx
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
x
xx
x
xtg
tgx
==
===+
=
+
=+
Resposta c5) (UFMA) – De acordo com os dados da figura abaixo, o valor de k é:a) 3/2 b) 1/3 c) 4/3 d) _ e) 1/4
k.a
a
2a a
3.a
Resolução:
a
3a
tg(a ) = 3
1
3.
.==
a
a
adjacentecat
opostocat
k.a
2a
a tg(2a ) = kak
a
adjacentecat
opostocat 1
..
.==
a
aa
21
.2)2(
tg
tgtg
-=
a
2)3
1(1
3
1.21
-=
k
9
11
3
21
-=
k
9
83
21
=k
8
9.
3
21=
k
4
31=
k
k = 3
4
Resposta c