UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE

INTEGRANTES:VANESSA TORRES CASAMEN

MATEMÁTICA I - CONTINUIDADAULA: A201 NRC: 2011

Ing. PATRICIO BAYAS

CONTINUIDADUna función es continua en un punto si al acercarse a ese punto el límite, el valor al que tiende la función , y el valor de la función coinciden. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO Sea f(x) una función real de una variable definida en un dominio Dom (f), Se dice que la función f(x) es continua en el punto a si la función tiene límite finito en ese punto, la función está definida en ese punto y ambos coinciden: f(x) es continua en x=a lím f(x) = f(a)

Si una función es continua en todos los puntos del dominio se dice que la función es continua.SITUACIONES PARA QUE UNA FUNCIÓN SEA DISCONTINUA EN UN PUNTO

CONTINUIDAD EN UN PUNTO

x ͢ a 

Es discontinua cuando no está definida en el punto y tampoco tiene

límite finito al acercarse al punto.

Cuando no está definida pero sí

tiene límite finito.

Cuando está definida pero no

tiene límite finito.

Cuando estando definida en el

punto y teniendo límite finito al

acercarse a él , ambos no coinciden.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES Las funciones

polinómicas son siempre continuas. Así como las funciones racionales, en los puntos donde el denominador no se anula son continuas.

Las funciones potenciales y radicales, las funciones logarítmicas, las funciones trigonométricas directas e inversas son continuas en todos los puntos de su dominio definición.

Se dice que la función f(x) es continua por la derecha en el punto a si la función y el límite por la derecha coinciden: f(x) es continua por la derecha en x=a lím f(x) = f(a)

Se dice que la función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si la función y el límite por la izquierda coinciden: f(x) es continua por la izquierda en x=a lím f(x) = f(a)

CONTINUIDAD LATERAL

Si en un punto están definidos los límites a ambos lados, la función es continua en ese punto si y solo si es a la vez continua por la derecha y continua por la izquierda.

x ͢ a 

+

x ͢ a 

-

Si una función es continua en todos los puntos de un intervalo se dice que la función es continua en el intervalo.

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO

Si el intervalo I es cerrado [a,b] la función tendrá que ser: continua en los puntos interiores del intervalo y continua por la izquierda en el límite superior del intervalo.

Si el intervalo I es abierto ] a,b[ la función tendrá que ser continua en todos los puntos del intervalo, que son todos puntos interiores.

Si el intervalo I es semiabierto la función tendrá que ser continua en los puntos interiores del intervalo y continua lateralmente en el límite del intervalo.

TEOREMA DE DARBOUX (DEL VALOR INTERMEDIO)

Si la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y además f(a) ≠ f(b), entonces para cualquier punto d comprendido estrictamente entre f(a) y f(b) existe al menos un punto interior c perteneciente al intervalo abierto ] a,b[ en el que la función es exactamente igual al valor d.

TEOREMA DE BOLZANO (DE LAS RAÍCES O DE LOS CEROS)Si la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y además f(a) y f(b) tienen signos opuestos f(a)f(b)<0, entonces existe al menos un punto interior c perteneciente al intervalo abierto ] a,b[ en el que se anula la función.

TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD