proyecto de aula: la historia de la matemática como una
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Proyecto de aula:
La historia de la matemática como una
herramienta mediadora en la
enseñanza de los números reales
Carlos Adrián Vergara Gómez
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Medellín, Colombia
2019
II
III
Proyecto de aula:
La historia de la matemática como una
herramienta mediadora en la
enseñanza de los números reales
Carlos Adrián Vergara Gómez
Trabajo final de maestría presentado como requisito parcial para optar al título de: Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Diego Esteban Agudelo Suárez
Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Medellín, Colombia
2019
IV
V
Dedicatoria
A Dios por permitirme gozar de buena
salud y energía para culminar este
proyecto, a mi madre por siempre estar
ahí brindándome su apoyo incondicional y
a mi institución educativa en cabeza del
señor rector, que siempre creyó en mí y
me apoyó en todo momento.
VI
Agradecimientos
A Dios por permitirme gozar de buena salud para culminar este proceso y porque siempre
manda su mejor ángel para cuidar de mí y garantizar mi protección y felicidad.
A mi madre por su apoyo incondicional y por ser mi fuerza en los momentos duros.
A la profesora y amiga Julieta Cardona, porque siempre ha creído en mí y me apoya en
todo momento con su amistad incondicional ayudándome a crecer como persona.
Gracias por todo lo que me has aportado en estos años de conocerte.
A la Institución Educativa Nicanor Restrepo Santamaría en cabeza del señor rector
Francisco Javier Jiménez Giraldo por su apoyo y comprensión en la culminación de este
proceso.
A mi asesor Diego Esteban Agudelo Suárez por su excelente asesoría y paciencia en la
realización del trabajo, su profesionalismo y sabiduría permitió llevar a feliz término la
propuesta.
VII
Resumen El presente trabajo tiene como objetivo diseñar un proyecto de aula, como estrategia
didáctica que favorezca el desarrollo del pensamiento numérico a través de la integración
de la historia de la matemática con el conjunto de los números Reales, en los estudiantes
del grado noveno de la institución educativa Nicanor Restrepo Santamaría de la ciudad de
Medellín.
Se aplicó una prueba diagnóstica al grupo, encontrando falencias para reconocer el
sentido y significado de los diferentes conjuntos que conforman a los números reales,
(Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales), por lo que se intervino estas dificultades
mediante unas actividades estructuradas teniendo en cuenta la teoría del aprendizaje
significativo de Ausubel (1963), y la teoría sociocultural de Vigotsky (1978), y articuladas
desde la historia de las matemáticas, específicamente en lo que tiene que ver con la
forma como se fueron construyendo y formalizando los números reales.
Desarrollada las guías de intervención, se realiza una prueba postest, la cual arrojó una
mejora significativa en la comprensión del concepto de cada conjunto numérico que
conforman a los números reales.
Palabras claves: proyecto de aula, pensamiento numérico, conjuntos numéricos, historia de la matemática, comprensión, números reales.
VIII
Abstract
This paper aims at designing a classroom project as a didactic strategy that favors the
development of numerical thinking through the integration of the history of mathematics
with the set of Real numbers, in ninth graders at Nicanor Restrepo Santamaria educational
institution in Medellín city.
A diagnostic test was applied to the group, finding flaws to recognize the sense and
meaning of the different sets that frame the real numbers (Natural, Integer, Rational and
Irrational). These difficulties were intervened through structured activities based on the
theory of meaningful learning proposed by Ausubel (1963), and the socio-cultural theory
by Vigotsky (1978), and articulated from the history of mathematics, specifically in the way
the real numbers were constructed and formalized.
Developed the intervention guides, a post test was carried out, which showed a significant
improvement in the understanding of the concept of each numerical set that constitute the
real numbers.
Keywords: classroom project, numerical thinking, numerical sets, history of mathematics,
comprehension, real numbers.
IX
Tabla de contenido Agradecimientos ............................................................................................................... VI
Resumen ......................................................................................................................... VII
Abstract .......................................................................................................................... VIII
Tabla de contenido ..................................................................................................................... IX
Lista de figuras ................................................................................................................. XI
Lista de tablas.................................................................................................................. XII
Introducción ....................................................................................................................... 1
CAPITULO I. DISEÑO TEÓRICO ...................................................................................... 3
1.1 Selección y Delimitación del Tema ......................................................................... 3
1.2 Planteamiento del Problema .................................................................................... 4
1.2.1 Descripción del problema .................................................................................................. 4
1.2.2 Formulación de la Pregunta ............................................................................................... 7
1.3 Justificación ............................................................................................................. 7
1.4 Objetivos ................................................................................................................... 9
1.4.1 Objetivo General ................................................................................................................ 9
1.4.2 Objetivos Específicos .......................................................................................................... 9
1.5 MARCO REFERENCIAL ............................................................................................ 9
1.5.1 Referente. Antecedentes ................................................................................................. 10
1.5.2 Referente Teórico ............................................................................................................. 12
1.5.3 Referente Conceptual – Disciplinar .................................................................................. 17
1.5.4 Referente Legal ................................................................................................................ 22
1.5.5 Referente Espacial ............................................................................................................ 23
CAPITULO II. DISEÑO METODOLÓGICO ..................................................................... 25
2.1 Enfoque ................................................................................................................... 25
2.2 Método .................................................................................................................... 26
2.3 Instrumentos de recolección de información y análisis de información ............ 28
2.4 Población y Muestra ............................................................................................... 29
2.5 Delimitación y Alcance........................................................................................... 30
2.6 Cronograma ............................................................................................................ 31
CAPITULO III. SISTEMATIZACIÓN DE LA INTERVENCIÓN .......................................... 33
3.1 Diseño del proyecto de aula .................................................................................. 33
3.1.1 La contextualización ......................................................................................................... 34
3.1.2 Lo metodológico ............................................................................................................... 35
X
3.1.3 Lo evaluativo .................................................................................................................... 42
3.2 Resultados y análisis de la intervención .............................................................. 43
3.2.1 Prueba diagnóstica. Análisis ............................................................................................. 43
3.2.2 Proyecto de Aula. Análisis ................................................................................................ 54
3.2.3 Prueba final Postest. Análisis .......................................................................................... 65
3.3 Conclusiones Y Recomendaciones ...................................................................... 72
3.3.1 Conclusiones..................................................................................................................... 72
3.2.2 Recomendaciones ............................................................................................................ 74
Referencias ..................................................................................................................... 75
Anexos............................................................................................................................. 78
A. Anexo: Prueba diagnóstica .......................................................................................... 78
B. Anexo: pautas para la observación participante y diario de campo .............................. 84
C. Anexo: Prueba post test .............................................................................................. 86
D. Anexo: proyecto de aula .............................................................................................. 92
XI
Lista de figuras
Figura 1: El aprendizaje verbal significativo de Ausubel. Tomada de: Viera Torres, T.
(2003). ............................................................................................................................. 15
Figura 2: Etapas de la IAP ............................................................................................... 27
Figura 3: Nivel alcanzado por los estudiantes respecto al manejo de los Naturales. ........ 45
Figura 4: Ejemplo de respuestas dadas por algunos estudiantes. ................................... 46
Figura 5: Nivel alcanzado por los estudiantes respecto al manejo de los Enteros. ........... 47
Figura 6: Ejemplo de respuestas dadas por algunos estudiantes. ................................... 48
Figura 7: Nivel alcanzado por los estudiantes respecto al manejo de los Racionales. ..... 49
Figura 8: Ejemplo de respuestas dadas por algunos estudiantes. ................................... 50
Figura 9: Nivel alcanzado por los estudiantes respecto al manejo de los Irracionales. ..... 52
Figura 10: Ejemplo de respuestas dadas por algunos estudiantes................................... 53
Figura 11: Evidencias de la aplicación de la sesión 1 (trabajo en grupo) ......................... 55
Figura 12: Evidencias de la aplicación de la sesión 1 (sistemas numéricos) .................... 56
Figura 13: Evidencias de la aplicación de la sesión 2 (videos) ......................................... 58
Figura 14: Evidencias de la aplicación de la sesión 3 (ojo de Horus) .............................. 60
Figura 15: Evidencias de la aplicación de la sesión 3 (doblado de papel) ........................ 61
Figura 16: Evidencias de la aplicación de la sesión 3 (videos) ......................................... 62
Figura 17: Evidencias de la aplicación de la sesión 4 (Número pi) ................................... 64
Figura 18: Nivel alcanzado por los estudiantes respecto al manejo de los Naturales. ...... 67
Figura 19: Nivel alcanzado por los estudiantes respecto al manejo de los Enteros. ......... 68
Figura 20: Nivel alcanzado por los estudiantes respecto al manejo de los Racionales. ... 69
Figura 21: Nivel alcanzado por los estudiantes respecto al manejo de los Irracionales. ... 71
XII
Lista de tablas
Tabla 1: Normograma ...................................................................................................... 22
Tabla 2: Planificación de actividades ............................................................................... 31
Tabla 3: cronograma de actividades ................................................................................ 32
Tabla 4: Sesiones de intervención ................................................................................... 37
Tabla 5: Rúbrica de evaluación del Pretest ...................................................................... 43
Tabla 6: Rúbrica de evaluación del Postest ..................................................................... 65
1
Introducción
El ministerio de educación nacional en los lineamientos curriculares en el área de matemáticas
propone que el aprendizaje de esta deberá estar relacionado con la experiencia cotidiana del
estudiante desde situaciones problema, enmarcadas en un contexto real que sea mediador,
entre el contenido abstracto y su aplicación en una situación concreta. Es así como estos
lineamientos plantean entre muchos aspectos, el desarrollo de los diferentes pensamientos
matemáticos, entre ellos, el pensamiento numérico y sistemas numéricos, el cual, según el
MEN (1998), hace énfasis en la capacidad que tiene los estudiantes para pensar y comprender
el sentido y significado de los números, para usarlos en contextos significativos.
Bajo este contexto y después de realizar una prueba diagnóstica a los estudiantes del grado
noveno uno de la institución educativa Nicanor Restrepo Santamaría, ubicada en la ciudad de
Medellín, se encontró que la mayoría de ellos, presenta dificultades para operar con el
pensamiento numérico, específicamente en la comprensión del sentido y significado de los
diferentes conjuntos numéricos que componen a los números reales, lo que justifica la
propuesta de este trabajo, el cual busca favorecer el desarrollo del pensamiento numérico a
través de la integración de la historia de las matemáticas, especialmente en lo que tiene que
ver con el proceso de construcción de los diferentes conjuntos numéricos, hasta llegar a la
formalización de los números reales.
Al profundizar en el proceso histórico y las dificultades que se dieron en de cada cultura para
formalizar los diferentes conjuntos numéricos que componen a los números reales (Naturales,
Enteros Racionales e Irracionales). Se espera mejorar la comprensión del concepto de número
real, dinamizando su enseñanza y despertando en los estudiantes el interés, el análisis y la
participación crítica.
La propuesta se fundamenta en la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel (1963), desde
la estimulación de los conocimientos previos, identificando los subsunsores en el individuo que
servirán de anclaje para interiorizar la nueva información; además de la teoría sociocultural de
Vygotsky (1978), donde se tendrá en cuenta las capacidades del estudiante y como estas se
pueden potencializar con la ayuda de un compañero más capaz, desde el trabajo en grupos
colaborativos y con unos roles definidos para cada integrante.
2
El trabajo se encuentra estructurado de la siguiente manera: el primer capítulo llamada diseño
teórico, está compuesto por la selección y delimitación del tema, la descripción del problema, la
formulación de la pregunta, la justificación, y los objetivos: general y específicos; seguidamente
aparece el marco referencial donde se relacionan los antecedentes respecto a la aplicación de
la historia de la matemática como herramienta didáctica en la enseñanza de la misma; además
se encuentra el referente teórico y conceptual de la propuesta así como el referente legal y
espacial.
En el segundo capítulo llamado diseño metodológico se encuentra el enfoque, el método y los
instrumentos de recolección de la información, también la población beneficiada con la
propuesta, así como el alcance y el cronograma de actividades.
En el tercer capítulo, llamado sistematización de la intervención se define lo que es un proyecto
de aula desde Álvarez & González (1998), se propone el diseño de la propuesta de
intervención para luego presentar el análisis del Pretest realizado, el análisis de cada una de
las sesiones estructurada desde las diferentes actividades articuladas desde la historia de las
matemáticas y el análisis de la prueba postest aplicada. Finalmente se realizan las
conclusiones y recomendaciones de la propuesta.
3
CAPITULO I. DISEÑO TEÓRICO
1.1 Selección y Delimitación del Tema
El presente trabajo está enfocado a favorecer el desarrollo del pensamiento numérico desde el
sentido y el significado de los números Reales (Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales).
Cabe aclarar que no se ahondará en las propiedades ni las operaciones entre estos conjuntos,
sino que sólo se buscará a través de un proyecto de aula, utilizar la historia de las Matemáticas
como una herramienta mediadora para potenciar la comprensión, la interpretación y la
representación de los números Reales, desde su concepto y las relaciones de orden, a partir de
diferentes estrategias visuales, auditivas y de material concreto, en el grado Noveno de la
Institución Educativa Nicanor Restrepo Santamaría ubicada en la ciudad de Medellín.
De acuerdo con Rico (1996), el pensamiento numérico se refiere a la habilidad que tienen las
personas para asimilar las estructuras matemáticas desde la comprensión del número y sus
operaciones, además, a la capacidad para comunicar, elaborar y codificar relaciones
puramente matemáticas que permite utilizarlas en situaciones significativas, dando sentido y
significado a un problema real usando el cálculo mental o escrito.
Respecto al sentido y significado del número Sierpinska, (1990) citada por Godino, (2009),
expresa que el significado se relaciona directamente con la comprensión. “Comprender el
concepto será entonces concebido como el acto de captar su significado. Este acto será
probablemente un acto de generalización y síntesis de significados relacionados a elementos
particulares de la estructura" (p. 2).
Dummett (1991) citado por Godino (2009), relaciona el significado y la comprensión de una
manera más general: "una teoría del significado es una teoría de la comprensión; esto es,
aquello de que una teoría del significado tiene que dar cuenta es aquello de que alguien conoce
cuando conoce el lenguaje, esto es, cuando conoce los significados de las expresiones y
oraciones del lenguaje" (p. 2).
En este orden de ideas, la preocupación por el sentido y significado del número conlleva a una
indagación desde sus orígenes y su evolución, por ello, en este trabajo se propone abordar la
enseñanza del concepto de número real desde la historia de la matemática, como una
herramienta que permita rastrear la génesis y la construcción de cada conjunto numérico que
4
compone a los reales. En palabras de Urbaneja (2004), la historia de la matemática facilita
conocer las situaciones que dieron origen a las diferentes nociones de número, las ideas que
generaron su construcción y desarrollo, así como las dificultades que se presentaron en ese
proceso.
Así, el presente trabajo se llevará a cabo bajo las ideas de un proyecto de aula, el cual es
asumido por Agudelo (2001), como una propuesta didáctica que se convierte una guía o una
acción intencionada que permite dar solución de un problema, posibilitando una relación entre
lo viejo y lo nuevo, lo conocido y lo desconocido, con el ánimo de dinamizar los procesos de
enseñanza aprendizaje en el aula.
1.2 Planteamiento del Problema
1.2.1 Descripción del problema Actualmente las matemáticas son consideradas un área fundamental en la formación de los
estudiantes, ya que contribuyen al desarrollo del pensamiento y tiene múltiples aplicaciones en
la sociedad. Sin embargo, no es un secreto que en la mayoría de las escuelas y colegios del
país, la enseñanza y aprendizaje de la matemática se ven empañados por la forma como se
abordan, según Rivas (2005), La práctica pedagógica de la matemática se limita a presentar
unas formulas y a solucionar unos algoritmos mediante procedimientos acabados, fomentando
en los estudiantes estructuras puramente mecánicas sin dar cabida muchas veces a reflexiones
sobre las mismas, y tal vez, presentar diferentes soluciones y construcciones a un problema.
Es común encontrar estudiantes que manifiestan apatía hacia el área, concibiéndola como una
asignatura que “aburre” y genera conflictos y desgano en todo momento, la presión que ejerce
la sociedad y la familia frente al estudio de la matemática hace que la gran mayoría de
educandos la estudien por obligación y no por gusto, esto hace que el aprendizaje se torne
erróneo y se presenten dificultades en el proceso.
Los estudiantes del grado noveno uno de la institución educativa la Huerta no son ajenos a
estás problemáticas respecto al aprendizaje de las matemáticas. Después de realizar un
diagnóstico mediante observaciones directas realizadas por el docente del área, se encontró
que la mayoría de los integrantes del grado manifiestan no sentirse atraídos para el trabajo con
5
los contenidos matemáticos, unos dicen no entenderlos por su cantidad de fórmulas abstractas
y sin sentido, otros simplemente dicen que no les gusta porque no le encuentran un sentido
para su vida. Situaciones como las anteriores evidencian la desmotivación que tienen los
estudiantes hacia el aprendizaje de las matemáticas, empañando así, las múltiples aplicaciones
que tienen en la vida cotidiana y la importancia de esta área para el desarrollo cognitivo.
Respecto a los números reales, se presentan dificultades para comprender los diferentes
conjuntos numéricos que los conforman, (Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales), lo que
conlleva a vacíos conceptuales para la utilización del pensamiento numérico, carecen de
sentido para comprender la estructura global de los números, situación que los pone en
desventaja a la hora de resolver problemas en contextos matemáticos significativos.
Con el conjunto de los Naturales, los estudiantes presentan dificultad para leer números
grandes, no reconocen conceptualmente el valor posicional de una cifra, especialmente en
números muy extensos y con cifras significativas muy pequeñas, por ejemplo, se equivocan
para escribir ceros intermedios en un número como diez mil diez, apareciendo escrito como
1010. Respecto a los números enteros, se les dificulta representar los números negativos
entender el orden entre ellos, errores como: indicar que -1 es menor que -100.
Con los números racionales no entienden sus diferentes representaciones en decimal y
porcentaje, además no reconocen la relación de orden entre ellos, así por ejemplo 1/2 lo toman
como menor que 1/5 pensando tal vez que 2 es menor que 5. También se encuentran errores
como pensar que la mitad de 1/8 es 1/4 cuando en realidad sería el doble. Y finalmente sobre
los números irracionales no tiene una idea básica de su significado, ni los reconocen como
decimales infinitos no periódicos.
Revisando los resultados de la última prueba saber 9, realizada en la institución educativa en el
año 2017, se encontraron los siguientes porcentajes por niveles de desempeño de los
estudiantes del grado noveno en el área de matemáticas: el 29% en insuficiente, el 49% en
mínimo, el 16% en satisfactorio, y solo el 6% en el nivel de desempeño avanzado. es notorio
que la mayoría de los estudiantes, un 78%, están ubicados en un nivel insuficiente y mínimo y
muy poco porcentaje en satisfactorio y avanzado.
En comparación con los establecimientos educativos que presentaron un promedio similar al de
la institución, se encontró que los estudiantes de noveno son más fuertes en el componente
6
geométrico-métrico y aleatorio pero muy débiles en el componente numérico. (ICFES. 2018, p
7).
Por lo tanto, es inminente la necesidad de desarrollar el pensamiento numérico en los
estudiantes de la institución desde elementos que aporten a la comprensión y que les permita
acceder al conocimiento de la realidad y a la transformación de ésta, utilizando para ello
procedimientos humanizadores y científicos que les ayuden, no sólo a memorizar, sino también
a aprender conscientemente para luego aplicar lo aprendido en sus contextos, brindándoles
instrumentos que los lleven a dinamizar su desempeño en el aula y en la vida.
Por ello se busca intervenir esta dificultad, con un proyecto de aula basado en la integración de
la historia de la matemática con la enseñanza del conjunto de los números reales, de manera
que se contribuya a cambiar el método de enseñanza tradicional y se apele a un trabajo más
dinámico que permita evidenciar como ha sido el desarrollo matemático de cada conjunto
numérico y aportar un conocimiento con sentido y que sea más significativo a la vista del
estudiante.
En la Institución Educativa Nicanor Restrepo Santamaría ubicada en la ciudad de Medellín, los
planes de estudio o mallas curriculares están construidos sin tener en cuenta la historia de la
matemática, dicha historia no ha ocupado un lugar predominante, a pesar de que se muestra
que científicos y particularmente los matemáticos se ven atraídos cada vez más en el
fundamento histórico de la ciencia que ejercen.
Se ha ignorado que, para llegar a la comprensión del significado de número, tuvieron que
ocurrir unos hechos que llevaban implícitas unas limitaciones, una problemática, una época y
un momento histórico. Además, la inclusión cada vez mayor de temas matemáticos en el
currículo no ha sido una estrategia que garantice el aprendizaje de esos tópicos, al contrario, se
ha convertido en una estrategia que garantiza el rechazo de la mayoría de los estudiantes
hacia las matemáticas y hace inevitable que estos aprendizajes sean tan superficiales y frágiles
en ellos que llegan incluso hasta desaparecer en unas vacaciones de mitad de año.
Con base en lo expuesto anteriormente surge el siguiente planteamiento:
7
1.2.2 Formulación de la Pregunta
¿Cómo favorecer el desarrollo del pensamiento numérico a través de la integración de
la historia de la matemática con el conjunto de los números Reales en los estudiantes
del grado noveno de la institución educativa Nicanor Restrepo Santamaría?
1.3 Justificación
Quien conoce elementos significativos de la historia de la matemática se abre la posibilidad de
recrearla en el ámbito escolar y valorar su proceso de construcción, mejorando la comprensión
de su estructura. En el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas se debería
establecer la relación que se genera entre la historia de esta ciencia con el trabajo algorítmico
desde sus avances, aciertos y desaciertos, para despertar intereses y aptitudes de acuerdo a
las potencialidades de cada individuo.
El reconocimiento de la historia de la matemática permite que el maestro establezca un
equilibrio entre teoría y práctica, en esa danza sin fin de la historia y la ciencia, lo que lleva a
que se despierten fantasías, y se abran caminos a nuevas exploraciones, a nuevas maneras de
ver, interpretar y analizar el universo de los números.
Es así como en este Proyecto de Aula se quiere mostrar la conveniencia de enseñar historia de
la matemática en la escuela, tomándola como una propuesta didáctica que puede ser de
mucha utilidad, para que los conceptos enseñados sean interiorizados más fácilmente por los
educandos. Y es que la historia de una teoría puede ayudar, en efecto, a comprenderla y aún a
prolongarla. Jean Dieudonné, citado por Avanzini (1990), hablando de la introducción en
matemáticas de nociones generales, observa que si se tiene conciencia del origen y la
evolución de los diferentes conceptos se puede mejorar su comprensión.
Por ello se espera contribuir a la formación integral de los estudiantes, utilizando la historia
como una herramienta fundamental en el desarrollo del saber matemático específicamente en
el desarrollo del pensamiento numérico en el conjunto de los números reales. Novell (1955),
citado por Lovell (1986), observó que los jóvenes presentaban condiciones superiores para
resolver problemas y para clasificarlos, además de construir nuevos conceptos, cuando eran
8
sometidos a un “fondo” estimulante. Por tanto, la motivación es un factor importante a la hora
de aprender matemáticas y éste puede potencializarse desde la historia de la matemática.
Henao (2005), también plantea que una de las variables que más influyen en el aprendizaje de
las matemáticas es la motivación y el placer. Es por esto, que la historia de la matemática
puede convertirse en una didáctica que además de permitir que los conceptos sean
interiorizados con más facilidad, también se promuevan actitudes positivas en los estudiantes
que los lleve a obtener mejores resultados académicos.
Desde lo anterior se espera desarrollar el pensamiento numérico para mejorar la comprensión
del conjunto de los números reales desde su sentido, su significado y sus diferentes
representaciones, y es que en los estándares básicos de competencias (MEN, 2006), los
cuales están fundamentados en los lineamentos curriculares (MEN, 1998), se plantea para la
educación básica y media, la enseñanza, además de los naturales, los sistemas numéricos de
los enteros, los racionales y los irracionales como estructuras esenciales para el desarrollo del
pensamiento numérico, sugiriendo la construcción de cada uno de estos sistemas de manera
progresiva, de tal forma que se favorezca la compresión del uso y el significado de número.
Por ello en este trabajo se apela al desarrollo histórico y la construcción del concepto de
número natural, entero, racional e irracional. Fauvel y Van Maunen (2000), mencionan que “la
historia de la matemática debe formar parte importante para su enseñanza en términos de
lograr un mejor aprendizaje de sus conceptos” (p. 241).
Para Álvarez y González (1988), se convierte la motivación en uno de los principios de la
didáctica, por cuanto ayuda para que el contenido le sea significativo al escolar, lo pueda
asimilar y reproducir y se convierta en un instrumento de la transformación del medio,
aportando a su realización como persona.
La poca motivación es una preocupación general que se observa en el medio educativo, lo que
nos debe conducir a la búsqueda de estrategias que animen a los estudiantes a sentir gusto
por la matemática, que podamos hacer análisis de la evolución de la cultura, de la historia y de
los desarrollos que la matemática le ha proporcionado a la humanidad.
9
1.4 Objetivos
1.4.1 Objetivo General
Diseñar un Proyecto de Aula que favorezca el desarrollo del pensamiento numérico a través de
la integración de la historia de la matemática con el conjunto de los números Reales en los
estudiantes del grado noveno de la institución educativa Nicanor Restrepo Santamaría.
1.4.2 Objetivos Específicos
Diagnosticar los conocimientos respecto a la comprensión del sentido y significado de
los conjuntos numéricos que componen a los números reales.
Estructurar un Proyecto de Aula que articule la historia de la matemática con el
desarrollo del pensamiento numérico desde el sentido y significado de los números
reales.
Intervenir la enseñanza de los conjuntos que componen a los números reales, mediante
el Proyecto de Aula, integrando la historia de la matemática en el grado noveno uno.
Evaluar el impacto esperado del Proyecto de Aula respecto al desarrollo del
pensamiento numérico desde la comprensión, la interpretación y la representación del
conjunto de los números Reales.
1.5 MARCO REFERENCIAL
10
1.5.1 Referente. Antecedentes
A continuación, se hace un rastreo de los trabajos que se han desarrollado respecto a la
aplicación de la historia de la matemática como una herramienta mediadora en la enseñanza
de esta.
A nivel local Caicedo (2017), trabajó la historia de la matemática como recurso didáctico en el
aprendizaje de los números irracionales, considerándola como una ruta para la construcción del
pensamiento, en la medida en la que se convierta en un buen recurso didáctico para mediar los
procesos de aprendizaje en el aula. Urrego (2016), En su trabajo, “El cuento y la historia de la
geometría como mediadora en la enseñanza de objetos tridimensionales”, buscó utilizar el
cuento y situaciones históricas de la matemática, para desarrollar la competencia
argumentativa y propositiva en los estudiantes, encontrando que la gran mayoría mejoró la
forma de argumentar y proponer soluciones a problemas aplicados.
Sánchez (2012), escribe un artículo llamado “La historia como recurso didáctico: el caso de los
Elementos de Euclides” donde propone la historia de las matemáticas, en particular la obra de
los Elementos de Euclides, como un recurso para la enseñanza y aprendizaje de la geometría y
como, al hacer un recorrido por esta obra, desde contenido, su estructura, sus fortalezas y sus
limitaciones, se puede potenciar el razonamiento en los estudiantes.
A nivel nacional, Rengifo & Suárez (2014), Desarrollaron un proyecto donde caracterizan la
formación que deben tener, en historia de las matemáticas, los docentes que la enseñan. Dicha
caracterización enfocada a responder el por qué los profesores deben ser formados en historia
de la matemática: Para qué se procura esa formación; Qué tipo de historia debe ser enseñada;
Cómo y cuándo se debe llevar la apropiación de la historia de la matemática. El estudio
recomienda formar a los maestros en historia de la matemática para cualificar su práctica
docente y para que se aplique con sus estudiantes y se genere una mejor construcción de los
conceptos.
Siguiendo con Arboleda (2011), en su artículo “objetividad matemática, historia y educación
matemática” reconoce que la historia puede ser utilizada en la enseñanza en la medida en que
le permite al estudiante tener una experiencia de reconstrucción de un concepto, además que
se sale de la rutina de las matemáticas mecánicas y acabadas.
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Así mismo Anacona (2003), Presenta un artículo donde señala los aportes de la historia
matemática en la reflexión educativa, planteando que es necesario considerar la historia de un
concepto matemático a la hora de impartir su enseñanza, para posibilitar una mejor
comprensión y construcción teórica del mismo.
A nivel internacional, nos encontramos con trabajos como el de Massa (2009), Donde se
propone la enseñanza de la trigonometría, usando la historia. El trabajo concluye que el uso de
casos históricos ayuda a incrementar la motivación en los estudiantes. Así mismo, León
(2009), Trabajó la enseñanza de la probabilidad aplicando situaciones históricas atractivas
sobre aquellos personajes que contribuyeron al desarrollo de la probabilidad, analizando los
errores cometidos y los problemas que tuvieron que enfrentar para generar tal teoría.
Zapico (2006), plantea que la historia de las matemáticas permite humanizar su enseñanza,
mostrando a los estudiantes, que la matemática ha sido producto de la actividad humana y que
se ha venido desarrollando a través del tiempo, en este sentido se presentan unas matemáticas
contextualizadas y en constante construcción.
Siguiendo esta misma línea, se encuentra el trabajo de Protti (2003), quien considera algunos
recursos que se pueden utilizar desde la historia de la matemática para su enseñanza,
mencionando, por ejemplo, la lectura constante de pasajes de la historia donde se ilustren
trabajos realizados por algunos matemáticos, así como anécdotas de su vida misma.
Recomienda que a la hora de introducir un nuevo concepto se pueda plantear la situación
problema que dio origen su construcción. Este recurso permitirá captar la atención del
estudiante, haciendo el aprendizaje más placentero y más humano.
Finalmente se cita el trabajo de Urbaneja (1991), “Integración cultural de las matemáticas,
génesis de sus conceptos y orientación de su enseñanza” donde plantea que en la enseñanza
de las matemáticas se puede desarrollar la capacidad crítica del estudiante a partir del análisis
de los hechos que ocurrieron en la evolución de los conceptos, al mismo tiempo que se
entrelaza las ciencias y las humanidades; concluye que los profesores del área están llamados
a dinamizar sus clases aprovechando la cantidad de material didáctico y motivador que se
encuentra en la historia de las matemáticas.
Los anteriores referentes evidencian consenso en la importancia de la incorporación de la
historia de las matemáticas en la enseñanza de esta, para desarrollar las diferentes
12
competencias desde la construcción de los conceptos propios del área, despertando la
capacidad crítica y humanizando su enseñanza para posibilitar una mejor comprensión.
En este sentido, este trabajo se adhiere a estos presupuestos, y su elemento diferenciador
radica en la realización de un proyecto de aula enfocado específicamente en el desarrollo del
pensamiento numérico y sistemas numéricos desde el desarrollo histórico de cada conjunto
numérico (Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales), mostrando algunas situaciones
problema a que se dio lugar en la construcción de cada uno, así como las diferentes culturas
que aportaron a la construcción; además, las actividades de cada sesión de intervención se
construyen teniendo en cuenta la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel (1963), y la
teoría sociocultural de Vigotsky (1978), y desde unas necesidades y problemáticas específicas
identificadas en la prueba diagnóstica realizada al grupo intervenido.
1.5.2 Referente Teórico
Para este proyecto de aula, se toma como referente la base teórica del constructivismo,
asumiendo las ideas de los enfoques planteados desde la investigación psicológica y educativa
por autores como: David Ausubel (1963), basado en el aprendizaje significativo y Lev Vygotsky
(1978), desde su teoría sociocultural, quienes aportan diferentes posturas para enriquecer la
corriente constructivista.
Méndez (2002), menciona que el constructivismo es una teoría del aprendizaje que puede ser
usada por todos los docentes en el acto educativo, involucrando a sus estudiantes en procesos
activos de construcción de conocimiento que tenga sentido para ellos y que lo puedan
compartir en la interacción con sus pares.
Según (Abbott, 1999) citado por Payer (2005), sostiene que el constructivismo aboga por un
aprendizaje activo, donde el estudiante toma un papel protagónico como centro del proceso,
incorporando los nuevos aprendizajes a sus experiencias previas. En este sentido, el
aprendizaje no es pasivo, sino que por el contrario se genera un espacio para la reflexión y la
interacción en las clases, donde el estudiante desarrolla el conocimiento por sí mismo con la
orientación del docente.
13
La función del docente será entonces como un orientador, que facilita y estructura situaciones
problemáticas en la que los estudiantes manipulan, se cuestionan y realizan preguntas
inteligentes, intentándolas resolver desde sus conocimientos previos y desde la interacción no
solo con sus compañeros sino con la experiencia misma, construyendo así su propio
conocimiento.
La teoría constructivista va en contravía entonces del modelo tradicional, en el cual el profesor
se sitúa como el protagonista del proceso, trasmitiendo unos conocimientos acabados y
memorísticos donde el papel del estudiante es pasivo y solo se limita memorizar los contenidos
impartidos.
En relación con la actividad matemática, aquella que los matemáticos han desarrollado durante
siglos, y que se quiere introducir a los estudiantes, es señalada por Bkouche (1991) citado por
Panizza (2003), como construcción de un mundo matemático por un sujeto que es actor de su
saber. Y es que la matemática tiene sentido en el momento en que se relaciona con la historia
personal y social del sujeto que la estudia.
Desde lo anterior, esta propuesta favorece el desarrollo del pensamiento numérico en la
medida es que se presentan los conjuntos numéricos que componen a los números reales
desde su desarrollo histórico, involucrando a los estudiantes de manera activa en un rastreo,
desde situaciones problema, de cómo se fueron contrayendo dichos conjuntos numéricos y
que situaciones y dificultades se presentaron en el proceso, de tal manera que el docente sea
un facilitador de situaciones que estimulen el pensamiento de los estudiantes y que los saque
de un aprendizaje netamente memorístico donde se presentan conceptos acabados, esto los
incita a la reflexión constante y a la indagación del porqué de los conceptos de manera que
cobre sentido y significado para ellos.
Con la articulación de situaciones históricas de los conjuntos numéricos en su enseñanza, los
estudiantes investigan y exploran su entorno estimulando la búsqueda de respuestas a sus
propios interrogantes.
Siguiendo a Ausubel (1963), citado por Moreira (2005), el aprendizaje significativo se
fundamenta cuando el conocimiento nuevo interactúa con los conocimientos previos que tiene
el sujeto, es decir, se plantea que podemos aprender a partir de los conocimientos que ya
poseemos.
14
Rodríguez (2004), referenciando a Ausubel (1976), hace hincapié en que para que se dé un
aprendizaje significativo se debe relacionar los nuevos conocimientos de forma no arbitraria,
con la estructura cognitiva del aprendiz en unos aspectos específicos y relevantes, a los que
llama subsunsor o subsumidores, el subsumidor se encuentra en la estructura cognitiva del
aprendiz de manera que se ancla con la información nueva produciendo un aprendizaje
significativo para el individuo.
Además de lo anterior, para que se produzca un aprendizaje significativo es fundamental la
disposición del estudiante en todo el proceso con una actitud positiva para aprender y que el
docente le presente un material potencialmente significativo y lógico, es decir, que se relacione
con las ideas previas del individuo de manera no arbitraria y sustantiva, además esas ideas
previas o de anclaje (subsumidores) deben ser acorde y adecuadas para que se permita una
interacción significativa con el material presentado.
El aprendizaje significativo es entonces una propuesta que va en contravía del aprendizaje
mecánico y memorístico, donde el estudiante tiene una participación activa y debe estar
interesado por aprender y el maestro está llamado a proponer situaciones de aprendizaje
donde reconozca los conocimientos previos de sus estudiantes.
Según Moreira (2005), es importante, además de conocer el aprendizaje significativo, conocer
los principios programáticos facilitadores, los cuales son: la diferenciación progresiva que se
refiere a presentar, al inicio de la instrucción, las ideas más generales del contenido y
diferenciarlas detalladamente. La reconciliación integradora que consiste en identificar las
diferencias y similitudes del contenido a trabajar. La organización secuencial que no es más
que organizar los tópicos a trabajar de forma coherente e hilada. Finalmente, la consolidación
que no es más que hacer énfasis en el contenido trabajado e insistir en el aprendizaje antes de
iniciar con conocimientos nuevos.
Para Vygotsky (1978), que centra su teoría y sus aportes al constructivismo, basándose en la
interacción social, el otro, cobra un valor importante en el aprendizaje de la persona, en este
sentido, la relación profesor alumno se ve enriquecida por un dialogo reciproco que facilita el
conocimiento, de la misma manera, las relaciones entre los mismos estudiantes propician una
oportunidad de construir el conocimiento mediante una interacción dialógica.
Carretero (1997), siguiendo a Vygotsky, menciona que el conocimiento se construye desde la
interacción social y en relación con la cultura, en este sentido la trasmisión cultural emplea el
15
lenguaje como elemento fundamental para fomentar el aprendizaje. Aparece entonces la Zona
de Desarrollo Próximo, que se refiere a la distancia que existe entre lo que el sujeto es capaz
de hacer y lo que aún no logra hacer por sí mismo, pero que lo logrará con la ayuda del
profesor o de otro compañero más capaz y con más conocimientos, generando una nueva zona
de desarrollo próximo.
La teoría de Vygotsky aporta elementos importantes a la corriente constructivista del
aprendizaje, dando pautas claras sobre como aprende el sujeto, además que se reconoce la
importancia de la relación entre profesor y el alumno, y entre los alumnos mismos, para ayudar
a construir el aprendizaje desde la interacción social. Estos elementos ayudan a crear
situaciones de aprendizaje óptimas entre las capacidades que tiene el estudiante, el contenido
y la forma como se debe abordar; pero la enseñanza de las matemáticas se beneficiaría aún
más, si se hace un análisis detallado del contenido mismo del currículo de matemáticas.
Figura 1: El aprendizaje verbal significativo de Ausubel. Tomada de: Viera Torres, T. (2003).
A modo de síntesis se puede decir que los docentes están llamados a reflexionar el proceso de
enseñanza en las aulas, tomando como referencia las teorías que crea convenientes para
alimentar su práctica.
16
En este caso, el diseño del proyecto de aula va dirigido al desarrollo del pensamiento numérico
desde el sentido y significado de los números reales en el grado noveno, se propone entonces
abogar por una enseñanza constructiva, donde se utilicen situaciones problema, desde la
historia de la matemática, que involucre al estudiante en una experiencia contextual y
problemática que lo incite a la reflexión y favorezca la construcción de los conjuntos numéricos
que componen a los números reales.
Desde el aprendizaje significativo, se tendrá en cuenta los conocimientos previos, que el
estudiante ya trae de grados anteriores en lo que respecta a los números naturales, a los
enteros, a los racionales y a los irracionales y desde su experiencia con el entorno, para
diseñar actividades de conocimiento, intencionadas y con racionalidad lógica, no solo utilizando
la tiza, tablero, sino también lenguaje hablado, Internet, videos, libros, arte, religión, ciencia,
objetos de la realidad, juegos, y muy importantes situaciones históricas sobre la matemática.
En tal sentido, la labor del docente será presentar un material potencialmente significativo para
facilitar el desarrollo del pensamiento numérico desde el aprendizaje de los números reales, de
manera que los estudiantes puedan comprender los descubrimientos que se han generado
progresivamente en esta área, atendiendo al desarrollo histórico de cada conjunto numérico y
propiciando el descubrimiento de ideas matemáticas, adentrándose en sus protagonistas y los
hechos históricos en el discurrir de sus anales. Y es que la construcción de los números reales
está ligada directamente con el desarrollo de su historia por cuanto son un constructo social,
que ha ido evolucionando de acuerdo de las necesidades humanas.
En el desarrollo de este proyecto de aula, desde la teoría de sociocultural de Vigotsky, se
trabajará en grupos colaborativos, definiendo sus roles y conformando grupos de trabajo con
estudiantes que presentan mejores competencias en el área con los que presentan algunas
falencias para asegurar que exista una figura de “alguien más experto” dentro de cada grupo
colaborativo. El docente estará pendiente de cada grupo de trabajo guiándolos hacia el camino
correcto, además, para el trabajo con cada conjunto numérico se irán variando los roles de
manera que cada estudiante pueda variar sus responsabilidades y se apropie de su respectivo
rol dentro del grupo.
17
1.5.3 Referente Conceptual – Disciplinar
El Ministerio de Educación Nacional al desarrollar los lineamientos curriculares en matemáticas,
pretende atender y estructurar el currículo de esta, con el ánimo de contribuir al desarrollo
intelectual de los estudiantes. Los lineamientos tienen como objetivo, orientar la enseñanza de
las matemáticas como una herramienta que ayuda a las personas a dar sentido al mundo que
las rodea, a desarrollar la capacidad de pensamiento y a fomentar el trabajo desde situaciones
contextuales y problemáticas que no se alejen de la realidad del alumno. (MEN, 1998).
Además de los lineamientos, el MEN propone los estándares curriculares y los derechos
básicos del aprendizaje, los cuales son una guía más específica sobre lo que los estudiantes
deben saber y saber hacer con lo que aprenden en cada grado.
Es así como el MEN estableció el programa de matemáticas para los diferentes grados
escolares, y propone tres grandes aspectos al organizar el currículo. los conocimientos
básicos, que tienen que ver con los procesos específicos que se desarrollan desde los cinco
pensamientos matemáticos. (Pensamiento numérico, pensamiento espacial, pensamiento
métrico, pensamiento aleatorio, pensamiento variacional).
Procesos generales, que tienen que ver con el aprendizaje, tales como el razonamiento; la
resolución y planteamiento de problemas; la comunicación; la modelación y la comparación y
ejercitación de procedimientos y el contexto, que tiene que ver con los ambientes que rodean al
estudiante y que le dan sentido a las matemáticas que aprende. (MEN, 1998).
La intervención que se realiza con este proyecto de aula va enfocada al desarrollo del
pensamiento numérico específicamente en el eje que tiene que ver con el sentido y el
significado de los números Reales (Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales) desde la
comprensión, la interpretación y la representación, donde el estudiante adquiera la habilidad
para contar, agrupar, medir, representar, comparar y relacionar los diferentes tipos de
cantidades numéricas en diferentes contextos cotidianos. (Rico, 1996).
El documento que ha orientado las practicas curriculares en matemáticas son los estándares
básicos de competencias (MEN, 2006), el cual se fundamentó en los lineamentos curriculares
(MEN, 1998), donde se proponen las pautas para organizar el currículo. Respecto al
pensamiento numérico y sistemas numéricos, los estudiantes en el trascurrir del bachillerato,
18
van abordando de manera progresiva el trabajo con los diferentes conjuntos numéricos de las
matemáticas hasta llegar a la formalización los números reales que se imparten de justamente
en el grado noveno. Es así como en grado sexto se trabajan los números naturales con sus
relaciones y operaciones, los cuales son todos aquellos números que utilizamos para contar y
ordenar naturalmente.
Seguidamente, en el grado séptimo se avanza el conjunto de los números enteros y racionales.
En este punto hay un avance significativo porque se asume la noción de números negativo y
las relaciones de orden en una recta numérica; además de la concepción del número racional
como el cociente de dos números enteros. En este punto los estudiantes comprenden el
significado de un número entero, tanto como cantidad negativa como positiva, comprendiendo
en rigor la función del número cero. También hay un avance importante en la comprensión del
número racional como la división de dos números enteros, que puede dar como resultado otro
número entero o un número decimal menor que la unidad. (MEN, 2006).
En este sentido, para llegar a la construcción del conjunto de los números reales, se debe
comprender los números irracionales, que son justamente números que no se pueden expresar
como una razón, es decir, como un número racional. En síntesis, son números que son
inexactos y que tiene cifras decimales infinitas no periódicas, por lo que no es posible
expresarlos como el cociente de dos números enteros. (Jiménez, 2006).
Los números reales son un conjunto de números que representa uno del más grandes logros
de la humanidad respecto a su desarrollo y evolución en las matemáticas, sus múltiples
aplicaciones en la vida cotidiana, para modelar situaciones y resolver problemas hacen de ellos
un sistema digno de enseñarse en la escuela y según el MEN, se debe empezar a impartir la
enseñanza de ellos en el grado octavo y noveno. Estos números reales son justamente la unión
de los conjuntos de los números irracionales y los números racionales, que a su vez se
componen de los números enteros y los números naturales. (MEN, 2006).
Según el Ministerio de Educación Nacional, MEN (2006), “el trabajo con los números reales en
el grado noveno, implican la aritmetización de procesos infinitos, el estudio de las magnitudes
inconmensurables, la irracionalidad y la continuidad”, (p.60). Estos elementos amplían en los
estudiantes sus representaciones numéricas que los llevara a potenciar sus capacidades
cognitivas y sus destrezas intelectuales; y es que es precisamente esto el objetivo de la
educación, propiciar en los jóvenes, situaciones contextuales que los lleven a adquirir las
19
competencias y habilidades necesarias para responder a las demandas sociales y para que
contribuya eficazmente a la trasformación de sus comunidades (MEN, 1998).
A partir de este trasfondo y tomando en cuenta los referentes curriculares que se esbozan en
los Lineamientos Curriculares de Matemáticas, emitidos por el MEN, como también todos los
referentes teóricos que se han expuesto en éste trabajo, se deduce que existe una gran
relación entre el contexto histórico en el que se ha desarrollado cada concepto de los números
reales que se debe estudiar en el grado Noveno, con los estándares curriculares que los
estudiantes de este grado deben alcanzar al terminar el año escolar (MEN, 1998). Dicha
relación tiene que ver con dos aspectos fundamentales:
El primero es la aceptación de que el conjunto de los números reales es resultado de una
evolución histórica y el segundo es la relación que hay entre los conceptos matemáticos con las
circunstancias sociales y culturales.
La primera de ella surge de los nuevos planteamientos que la filosofía de las matemáticas ha
hecho en los últimos años, al llegar a la conclusión de que la concepción de las matemáticas ha
cambiado y que ese cambio de concepción ha conllevado a reconocer que el conocimiento
matemático es la suma las experiencias de personas que interactúan en entornos, culturas y
periodos históricos particulares (MEN. 1998, p 29).
Todo concepto matemático que se quiera impartir a nuestros estudiantes está enmarcado por
una historia, una época y unos protagonistas. Si el profesor contextualiza y hace una
personalización de los conocimientos en ese marco histórico, con toda seguridad el aprendizaje
va a tener un mayor sentido para el estudiante.
El segundo aspecto, la relación con las circunstancias sociales y culturales, surge porque el
conocimiento de la historia de las matemáticas proporciona una visión dinámica de éstas y
permite apreciar cómo sus desarrollos han estado relacionados con cada circunstancia social y
cultural en la cual tuvo lugar” (MEN 1998).
Esto se podría utilizar para hacer reflexiones sobre las limitaciones y los alcances de un
conocimiento matemático en el pasado, para orientar la comprensión de un concepto
matemático de los números reales de una forma significativa.
Por ejemplo, los números reales que es el sistema numérico que se trabaja en el grado noveno,
generalmente se aborda desde una perspectiva estructural a la que se llegó después de
20
muchos siglos de maduración. Si se consideran aquellos momentos culminantes que se dieron
en el tiempo para llegar a una noción de número, la forma como los pueblos antiguos
comenzaron a operar con ellos (cada uno de una forma diferente), se podría proporcionar
aproximaciones más intuitivas a este concepto, como también, que existen diversas formas de
construcción y de razonamiento.
Desde lo anterior, se quiere planear desde al área de matemática una metodología basada en
la historia de ésta, con el ánimo de contribuir eficazmente mediante un diálogo progresivo y
articulado con los contenidos del área, una reflexión dialógica entre profesor y estudiantes, que
fomenten la participación activa y discursiva, donde se abran pequeños espacios para la puesta
en común de experiencias cotidianas por parte del grupo, tomando como referente un elemento
tan importante y determinante para la humanidad, como lo es la historia.
Dentro del desarrollo del pensamiento numérico se contempla la enseñanza de los números
reales, con cada uno de los conjuntos numéricos que los componen. A continuación, se
formaliza cada conjunto y se especifica los elementos históricos a trabajar desde cada conjunto
numérico (Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales).
Según Cid & Godino (2003), los números naturales surgen de la necesidad de contar, y es que
las técnicas de contar son universales y se han desarrollado por diferentes culturas de manera
diferente, pero con principios semejantes, dichos desarrollos los llaman sistemas de
representación numérica. Para este trabajo se abordan los números naturales desde los
sistemas de numeración egipcio (aditivo de base 10) y el sistema babilónico (posicional de
base 60), posteriormente se formaliza la definición desde la idea de clases de equivalencia
(cardinal de un número).
Los números negativos, conocidos antiguamente como números absurdos o deudos, remontan
su uso al siglo V, y llegan a accidente solo hasta el siglo XVI, sin embargo, todavía a finales del
siglo XVIII no eran aceptados universalmente y se nombraban números falsos. Fue Leonard
Euler el primero en darles un estatus formal. (Ninahuanca, sin fecha. P, 10).
Los números enteros es uno de los conceptos matemáticos cuyo desarrollo y aceptación ha
sido un proceso lento que han generado polémica en su formalización entre muchos
matemáticos de diferentes épocas, inclusive, actualmente en la escuela se presentan
dificultades en el proceso de enseñanza aprendizaje de dicho conjunto, por ello Machado &
Romero (2009), citando a Gómez (1993), menciona que se debe enseñar articulando la historia
21
de la matemática para conocer las razones que provocaron ciertos cambios y los obstáculos
por lo que se pasaron para la formalización de los conceptos matemáticos.
Por ello se trabaja los números enteros, en este proyecto, asumiendo la postura de los chinos
respecto a este conjunto, pasando por la cultura hindú árabe y terminando con la formalización
dada por Leonard Euler. Además, se define a los números enteros como la unión de los
naturales con los negativos y el cero. Así mismo para los números racionales se tiene en
cuenta el trabajo de las fracciones por los egipcios, evidencias encontradas en el papiro de
Rhind, y se formaliza su concepto desde los libros de texto como la división de dos números
enteros a/b siempre que b sea distinto de cero, (Obando, 2003).
Finalmente se aborda a los números irracionales desde Hipaso de Metaponto quien al estudiar
un triángulo rectángulo con catetos cuya medida era 1, al realizar el teorema de su maestro
Pitágoras, pudo observar que la suma de los catetos al cuadrado es igual al cuadrado de la
hipotenusa, quedaría que 2 es igual a la hipotenusa al cuadrado, entonces Hipaso llegó a la
conclusión que existían números que no estaban dentro de la razón, es decir irrazonables. Con
este descubrimiento Hipaso rompió el pacto del secreto al divulgar que existen números
irracionales (Rodríguez & Fernández, 2009). Estos irracionales se definen en este trabajo
según los libros de texto como números que poseen infinitas cifras decimales no periódicos y
por tanto, no se puede expresar en forma de fracción.
Por otra parte, la propuesta didáctica para la enseñanza de los números reales se ejecutará
desde el desarrollo de un proyecto de aula. Según Agudelo (2001), Un proyecto de aula es una
propuesta didáctica que se fundamenta en la solución de una problemática enmarcada en el
seno de la academia desde la investigación del docente. Es una acción intencionada que
posibilita un diálogo entre el docente y el estudiante a de tal manera que permita avanzar en el
proceso la formación y en la adquisición de las competencias necesarias para aportar a la
sociedad.
Hopkins (1996), plantea que la investigación en el aula es una acción llevada a cabo por el
docente con el fin de reflexionar su práctica, deconstruirla y reconstruirla para garantizar un
mejor aprendizaje de sus estudiantes y un mejor dinamismo en el proceso. También la
investigación en el aula surge como la necesidad de mejorar una problemática presentada al
interior de la misma, la cual quiere ser mejorada para bien de los actores del proceso.
22
Según Álvarez & González (1998) El Proyecto de Aula se compone de tres fases. La
contextualización, que es donde se define el problema, y desde ese problema presentado al
interior del aula se plantea la intención que se quiere lograr en los estudiantes tomando en
cuenta sus condiciones particulares y sus intereses. En esta fase se construye el diseño
teórico de la investigación.
Lo metodológico, donde se define el método que se va a utilizar, la población objeto del
estudio, y los medios. El método es la organización del proyecto de aula en coherencia con los
actores que interviene en él. La población será el docente ejecutor del proyecto y sus
estudiantes y el medio es la herramienta que se va a utilizar para intervenir la problemática
presentada. Finalmente, lo evaluativo, donde se validan los resultados obtenidos de acuerdo a
los objetivos planteados; se hace evaluación del impacto de la propuesta, concluyendo las
ventajas y desventajas de su aplicación, dejando como evidencia un producto que puede ser
decosntruido y retroalimentado.
1.5.4 Referente Legal
Tabla 1: Normograma
Norma Texto de la norma Contexto de la norma (articulado a su trabajo)
Constitución política (1991)
Articulo 67 “Toda persona tiene derecho a la educación. La educación es un servicio público con una función social, que busca el acceso al conocimiento, a la ciencia y a los valores de la cultura”.
Se trabaja desde el aula, la reflexión crítica desde múltiples situaciones, atendiendo las particularidades de los estudiantes y entendiendo su contexto social al que pertenecen. Acomodación de situaciones pertinentes a las necesidades de los estudiantes.
Ley General de Educación (115 de 1994)
Articulo 5ₒ Numeral 5 Uno de sus fines se refiere la adquisición de conocimientos científicos y técnicos para el desarrollo del saber.
Se trabaja la matemática, especialmente la enseñanza de los números reales desde un enfoque reflexivo, que permita desarrollar las habilidades cognitivas y hábitos intelectuales, para facilitar la comprensión de situaciones cotidianas.
23
Lineamientos Curriculares en matemáticas M.E.N (1998)
Los lineamientos son las directrices y orientaciones sobre el currículo de matemáticas, sobre su función y su enfoque, para comprenderlas y enseñarlas.
Desde el planteamiento de situaciones problema, enmarcadas en contextos históricos que permitieron el desarrollo de los números reales, se espera desarrollar las competencias matemáticas planteadas por el MEN.
Estándares Básicos de competencia en Matemáticas M.E.N (2002-2003)
Mejorar el sistema educativo en sus procesos de aprendizaje, desarrollando capacidades y habilidades que le permitan al estudiante afrontar las exigencias del mundo contemporáneo.
La propuesta sobre la articulación de la historia de la matemática, en la enseñanza de los números reales es coherente con los estándares básicos, se alinea las temáticas de tal manera que hay coherencia lo planteado en los estándares.
Derechos Básicos De aprendizaje M.E.N (2015)
Los derechos básicos de aprendizaje plantean unas orientaciones mucho más específicas sobre lo que el estudiante debe saber año tras año, con el fin de que alcancen las competencias definidas para cada grado.
De una manera más específica, se proponen situaciones problemáticas que apunten al desarrollo de lo propuesto por los derechos básicos del aprendizaje profundizando las temáticas para propiciar la construcción del conocimiento matemático.
1.5.5 Referente Espacial
La Institución Educativa Nicanor Restrepo Santamaria está ubicada el departamento Antioquia
Municipio de Medellín en la Carrera 97 No. 69 C 71. Urbanización Mirador de la Huerta San
Cristóbal. En la zona Occidental (Nuevo Occidente). Comuna: 60, Núcleo Educativo: 936.
La población del barrio de la Huerta está compuesta en su mayoría por habitantes de Moravia
después del incendio que motivo al gobierno a reubicarlos.
La institución tiene para este año aproximadamente 1246 estudiantes. En la jornada de la
mañana se atiende al preescolar y primaria y en la jornada de la tarde bachillerato, además
cuenta con media técnica en diseño gráfico. En la dimensión sociocultural, los estudiantes y
sus familias son una población altamente heterogénea presentando algunas problemáticas de
desarticulación familiar lo que conlleva posiblemente a pérdida de la identidad colectiva de la
misma. existe poca participación e integración de los padres de familia en los procesos
académicos de sus hijos lo que conlleva posiblemente a que se carezca de un proyecto de vida
claro.
24
En la Institución Educativa la huerta se trabaja el modelo pedagógico dialogante; en el cual el
papel del docente es de mediador, favoreciendo el planteamiento de actividades enfocadas al
desarrollo tanto de la dimensión cognitiva como la afectiva del estudiante. El docente propicia
un ambiente de aprendizaje social, donde se dé la interacción entre el grupo y se construya el
conocimiento desde el debate y el trabajo colaborativo. En este sentido el estudiante juega un
papel activo en su proceso de aprendizaje practicando cabalmente el pensamiento crítico y la
investigación, para adquirir las competencias necesarias para aportar a su comunidad.
El grado Noveno uno de la institución está compuesto por 38 estudiantes de los cuales 21 son
hombres y 17 son mujeres pertenecientes a estratos socioeconómicos 1 y 2 y ubicados en
edades entre 14 y 16 años.
En general el grupo noveno uno presenta buenas relaciones entre compañeros, lo que facilita
el trabajo colaborativo, es un grupo muy participativo y con gran capacidad de atención para
trabajar los tópicos matemáticos y aunque la mayoría de los estudiantes presentan vacíos
conceptuales en la comprensión del sentido y significado de los conjuntos numéricos que
componen a los números reales, han demostrado mucha actitud para mejorar y se han
mostrado muy motivados en el trabajo con el área de matemática, se ha podido observar que
el grupo aprende con facilidad de forma cooperativa y mediante trabajos dinámicos.
25
CAPITULO II. DISEÑO METODOLÓGICO
2.1 Enfoque
En esta propuesta de trabajo final, se toma como referente el paradigma crítico-social, el cual
surgió, según Arnal (1992), como una alternativa a la investigación cuantitativa e interpretativa,
con el ánimo de superar las limitaciones de la primera, la cual es eminentemente objetiva y
medible, desde procesos de observación absolutos y carentes de la historicidad, sin
interferencia de situaciones contextuales. Y la segunda que en cambio busca una aproximación
más general a situaciones sociales y de fenómenos humanos susceptibles de ser explorados y
analizados para comprenderlos e interpretarlos mediante una construcción teórica y
sistematizada.
En respuesta a estos paradigmas, se plantea el enfoque crítico-social, el cual pretende superar
las limitaciones de lo cuantitativo y lo interpretativo asumiendo como objetivo la trasformación
de la sociedad, generando respuestas a problemáticas presentadas en una comunidad e
integrando a los miembros desde sus diferentes roles. Es así como este trabajo fue más allá,
porque no se limitó analizar a la enseñanza de las heurísticas y los algoritmos propios del área,
ni a describir la situación social que se generó en las clases. Sino que procuró la autorreflexión
crítica de los participantes trasformando las relaciones sociales desde la acción con conciencia
crítica, utilizando la historia de la matemática como una herramienta para que los estudiantes
reflexionen sobre el proceso de construcción de los conjuntos numéricos y como estos han
aportado a la interpretación del mundo real.
Es así como se relaciona la teoría y la práctica desde la concepción de un conocimiento que se
construye a partir de la necesidad de un grupo procurando la emancipación del ser humano
desde una toma de conciencia del rol que cada uno tiene. (Alvarado, 2008).
En tal sentido, este trabajo busca la mediación de la historia de la matemática como una
herramienta que contribuya a mejorar la comprensión del sentido y significado de los números
reales desde el trabajo consiente y crítico del estudiante con un rol definido en su grupo.
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La historia de la matemática se toma como pretexto para desarrollar competencias y despertar
en los estudiantes la reflexión y el análisis crítico de situaciones presentes al interior del área,
reflexionando como ha sido la construcción del concepto de número y las implicaciones que ha
tenido para el desarrollo de las sociedades.
Se procura el trabajo cooperativo entre los integrantes del grupo desde la participación, que
permitan mostrar lo humano de las matemáticas y de cómo se han construido los conceptos
que hoy aplicamos en múltiples situaciones cotidianas y que permiten avances tecnológicos y
científicos del ser humano.
2.2 Método
Dentro del trabajo final, se sigue el método de investigación-acción educativa con el fin de
abordar la enseñanza de los números reales y mejorar el trabajo matemático en el grupo
intervenido. La investigación-acción educativa según Bausela (2004), Entiende la enseñanza
como un proceso de investigación, donde el docente reflexiona su práctica, la planifica y la
reconstruye para introducirle mejoras.
Kemmis y MacTaggart (1988), citados por Bausela (2004), Plantean que la investigación-acción
es un proceso que se construye desde la comprensión y mejora continua de la práctica
educativa, involucrando a todos los actores que interviene desde un análisis crítico-reflexivo de
situaciones problemáticas. Se plantea una ruta desde las fases de “Diagnostico-planificación,
acción, observación y Reflexión-evaluación”.
27
Figura 2: Etapas de la IAP
Tomada de: https://ecomaletas.wordpress.com/el-proyecto-2/antecedentes/
Diagnóstico, donde se define el problema y se hace una revisión rigurosa del estado actual, en
este sentido, las observaciones directas realizadas en clase y la prueba pretest permitieron la
identificación de la problemática presentada, especificada en el planteamiento del problema. La
planificación de la intervención está enfocada al diseño de unas guías construidas teniendo en
cuenta la historia de los conjuntos numéricos con el objetivo de mejorar la situación presentada
y apelar a una enseñanza constructiva reflexionando sobre los orígenes de los conceptos
propios de los números reales, revisando los conocimientos previos de los estudiantes e
incorporando el trabajo colaborativo.
La acción, que se refiere propiamente a poner en práctica la propuesta planteada, llevando a
cabo en el aula las guías de intervención construidas. La observación, la cual se llevará a cabo
una vez implementada la propuesta mediante la observación participante con registro en diario
de campo con el objetivo de determinar las variables que influyen positiva o negativamente. Y
finalmente la evaluación, donde a partir de las evidencias obtenidas se analiza los resultados
para concluir si hubo mejora de la práctica.
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2.3 Instrumentos de recolección de información y análisis de
información
Una vez seleccionada la muestra de la población se da origen a unos instrumentos de
recolección de datos, los cuales se utilizan como técnicas o métodos que permiten obtener
datos de la situación observada. Estos instrumentos son una herramienta que permite
aproximarse a la realidad observada y obtener de ella información.
Los instrumentos que se van a utilizar para este trabajo son: una prueba diagnóstica, la
observación participante, el diario de campo y una post prueba.
Prueba diagnostica
El diseño de la prueba diagnóstica estará encaminado indagar conocimientos previos del grupo
intervenido, respecto a la comprensión del sentido y el significado de los conjuntos numéricos
que componen a los Números Reales. Para ello la prueba estará dividida en unos ítems
relacionados con cada conjunto numérico (naturales, enteros, racionales e irracionales).
Observación Participante
Observar es la acción de mirar detenidamente una situación para asimilar con detalle la
característica investigada, existen varios tipos de observación, pero la que se va a utilizar en
esta propuesta es la observación directa, la cual, asumida desde Torres & Salazar (2006), es
aquella donde el investigador toma los datos directamente de la población investigada a partir
de una observación permanente del proceso.
Este instrumento se aplicará a los estudiantes durante toda la intervención por medio de un
diario de campo, donde se tomará nota de las reacciones, actitudes y comportamientos de los
estudiantes para evaluar los resultados que se presenten en el transcurso de dicho proceso.
29
Diario de Campo
El diario de campo se llevará a cabo registrando los sucesos encontrados en las actividades
planteadas y evidenciando los datos recogidos en cada una de las observaciones realizadas en
las sesiones de intervención para facilitar la toma de decisiones y poder evaluar las dificultades
y fortalezas encontradas en el trabajo con los conjuntos numéricos. Se seguirá el formato
citado en el anexo B.
Post- prueba
La cual presenta la misma estructura de la prueba diagnóstica, cuyo objetivo será observar los
resultados de la intervención y los conocimientos alcanzados por los estudiantes para analizar
si se logró lo que se pretendía, obteniendo datos precisos que permitan su tabulación y análisis
para de esta manera describir con precisión los resultados obtenidos respecto a los hallazgos
encontrados en la prueba diagnóstica.
2.4 Población y Muestra
La población objeto de estudio está conformada por todos los actores directos del grado
noveno uno de la institución educativa Nicanor Restrepo Santamaría, compuesto por 79
estudiantes.
A continuación, se enumeran los criterios por los cuales se eligió esta institución:
Por ser el sitio de trabajo del investigador
Porque presenta problemas en el aprendizaje de las matemáticas
Porque el rector apoya el proyecto y aprobó su aplicación
La muestra se seleccionó de acuerdo con las necesidades de la intervención, satisfaciendo las
condiciones de desarrollo que se plantea para el estudio.
La compone el grupo de estudiantes del grado noveno uno, de la institución educativa la
Nicanor Restrepo Santamaría, la cual es el escenario donde se va a realizar la intervención.
30
Dicho grupo está compuesto por 38 estudiantes entre los 14 y 16 años, de los cuales 21 son
hombres y 18 son mujeres. Los estudiantes pertenecen a un estrato social 1 y 2.
2.5 Delimitación y Alcance
El alcance de esta propuesta es entregar como producto un Proyecto de Aula donde se logre
incorporar la historia de las matemáticas como una herramienta mediadora en la enseñanza de
los números reales, a partir de unas actividades definidas desde situaciones problemas,
enmarcadas en la historia de la construcción de los conceptos propios de los números reales.
En este sentido se espera lograr un buen desarrollo del pensamiento numérico en cada uno de
los estudiantes, mejorando la comprensión del sentido y el significado de los conjuntos
numéricos que componen a los números reales para garantizar unos mejores niveles de
competencias en matemáticas y para resolver problemas en contextos reales, que vallan
preparando a los estudiantes a razonar cuantitativamente y que a la hora de enfrentarse a las
pruebas estandarizadas se obtengan mejores resultados.
También se espera generar unas conclusiones y recomendaciones, una vez aplicada la
propuesta, para motivar a los otros docentes de la institución educativa Nicanor Restrepo
Santamaría a reevaluar sus prácticas e incentivar el uso de diferentes metodologías que
permitan salir de la enseñanza rutinaria y tradicional de los algoritmos matemáticos, para el
desarrollo de las competencias en los estudiantes.
31
2.6 Cronograma
Tabla 2: Planificación de actividades
FASE OBJETIVOS ACTIVIDADES
Fase 1:
Caracterización
Diagnosticar los conocimientos respecto a la comprensión del sentido y significado de los conjuntos numéricos que componen a los números reales.
1.1. Realización de un diagnostico a los estudiantes
mediante observaciones directas en el desarrollo
de las clases y la realización de un Pretest.
1.2. Análisis e interpretación de los resultados
encontrados en el diagnóstico (pretest) con el
objetivo de tenerlos en cuenta en el diseño del
proyecto de aula y en su intervención.
Fase 2: Diseño Estructurar un Proyecto de Aula que articule la historia de la matemática con el desarrollo del pensamiento numérico desde el sentido y significado de los números reales.
2.1 Revisión bibliográfica sobre los diferentes
aspectos históricos de la matemática
susceptibles de ser aplicados en la intervención y
que se relacionen con el conjunto de los números
reales.
2.2 Revisión bibliográfica de los documentos del
MEN enfocados a los estándares curriculares y
los derechos básicos de aprendizaje para el
grado noveno.
2.3 Diseño y construcción de situaciones problema
alineadas con los conjuntos numéricos.
2.4 Diseño y construcción de actividades que se
desprenden de las situaciones de la historia de
las matemáticas susceptibles de ser aplicadas en
el grado.
Fase 3:
Intervención en el
aula.
Intervenir la enseñanza de los conjuntos que componen a los números reales, mediante el Proyecto de Aula, integrando la historia de la matemática en el grado noveno uno.
3.1. Intervención de la propuesta didáctica en el aula,
mediante la aplicación de las actividades
diseñadas.
3.2. Observación permanente del trabajo de los
estudiantes mediante un diario de campo,
teniendo en cuenta como se da el desarrollo y las
novedades que se vallan presentando.
Fase 4:
Evaluación.
Evaluar el impacto esperado del Proyecto de Aula respecto al desarrollo del pensamiento numérico desde la comprensión, la interpretación y la representación del conjunto de los números Reales.
4.1. Construcción y aplicación de actividades
evaluativas durante la implementación del
proyecto de aula.
4.2. Construcción y aplicación de una actividad
evaluativa al finalizar la implementación del
32
Conclusiones y
recomendaciones
proyecto de aula, Postest.
4.3. Realización del análisis de los resultados
obtenidos una vez intervenido el grupo con la
propuesta didáctica.
4.4. Redacción de conclusiones claras y concisas
teniendo en cuenta el análisis realizado de la
intervención.
4.5. Realizar recomendaciones para posterior
aplicación del proyecto de aula por otros
docentes.
Tabla 3: cronograma de actividades
ACTIVIDADES
SEMANAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Actividad 1.1 X X
Actividad 1.2 X X
Actividad 1.3 X X
Actividad 2.1 X X X X x
Actividad 2.2 X X X X x
Actividad 3.1 X X X X X
Actividad 3.2 x x x x X
Actividad 4.1 X X
Actividad 4.2 X X
Actividad 4.3 X
Actividad 5.1 x x
Actividad 5.2 x x
33
CAPITULO III. SISTEMATIZACIÓN DE LA
INTERVENCIÓN
3.1 Diseño del proyecto de aula
El presente trabajo surge a partir de las dificultades identificadas en los estudiantes del grado
noveno uno (1) de la institución educativa Nicanor Restrepo Santamaria de la ciudad de
Medellín citadas en el planteamiento del problema respecto a la comprensión de los números
reales, especialmente en el manejo de los conceptos de los diferentes conjuntos numéricos que
los componen.
Después de realizar un diagnóstico mediante observaciones directas hechas por el docente en
el desarrollo de las temáticas impartidas en el área de matemáticas para el grado noveno y de
la aplicación de un pretest para identificar los conocimientos frente al manejo del sentido y
significado de cada uno de los conjuntos numéricos (naturales, enteros, racionales e
irracionales), se encuentra falencias de la mayoría de los estudiantes para operar con el
pensamiento numérico, falencias enmarcadas en la poca comprensión, interpretación y
representación del sentido y del significado del número real.
A partir de la problemática encontrada se diseña y se construye un proyecto de aula basado en
la integración de la historia de las matemáticas con la enseñanza de los conjuntos numéricos
que componen a los números reales, especialmente lo que tiene que ver con la construcción
del concepto, el sentido y el significado de los diferentes conjuntos numéricos, pasando por
diferentes culturas y personajes que aportaron al desarrollo de la estructura de los números
reales, esto con el ánimo de aportar al desarrollo del pensamiento numérico apelando a
situaciones didácticas desde la historia, que incentive la reflexión crítica de los estudiantes
respecto al aprendizaje de las matemáticas. (Anacona, 2003).
En el desarrollo de las guías didácticas se plantean unas actividades evaluativas que se
analizan a partir de unas rubricas de evaluación donde los estudiantes dan cuenta de su
desempeño y de las competencias adquiridas, además se realiza una prueba final (Postest)
que dé cuenta de los aprendizajes alcanzados por los estudiantes con respecto a los hallazgos
34
iniciales encontrados y poder determinar los avances respecto a la comprensión del sentido y
significado del número real.
Atendiendo a los fundamentos y principios de un proyecto de aula, Según Álvarez & González
(1998), referenciado en este trabajo en el referente conceptual- disciplinar, a continuación, se
presenta el desarrollo del proyecto estructurado en tres momentos: la contextualización, lo
metodológico y lo evaluativo.
3.1.1 La contextualización
3.1.1.1 Introducción
El proyecto se denomina “la historia de la matemática en la enseñanza de los
números reales” cuyo propósito es articular la historia de las matemáticas en la enseñanza
de los números reales, atendiendo a construir el sentido y significado de cada uno de los
conjuntos numéricos que los componen para desarrollar el pensamiento numérico. Cabe
resaltar que no se ahondará en las operaciones con dichos conjuntos.
Se busca la comprensión por parte de los estudiantes de los números naturales, enteros,
racionales e irracionales apelando a la construcción y el proceso histórico a que tuvo lugar para
llegar a la formalización actual de cada conjunto, y es que como se han mencionado
anteriormente, las formas históricas de la matemática pueden ser de gran utilidad al momento
de intervenir el trabajo con el conjunto de los números reales para llevar al estudiante a la
reflexión, a la sensibilización, y sobre todo a relacionar eventos históricos con el contexto actual
en el cual se encuentra inmerso.
3.1.1.2 El Problema
El proyecto apunta a la solución de la problemática encontrada en los estudiantes del grado
noveno uno (1) de la institución educativa Nicanor Restrepo Santamaria y que se detalla en la
descripción del problema de este trabajo. Básicamente cosiste en los vacíos conceptuales
encontrados en los estudiantes para reconocer el sentido y el significado de los números
35
reales, situación que los pone en desventaja a la hora de operar con el pensamiento numérico
y desarrollar situaciones problemas en contextos matemáticos.
3.1.1.3 Los objetivos
Articular la historia de la matemática con la enseñanza del conjunto de los números
reales para mejorar la comprensión del sentido y significado del número.
Fortalecer el proceso de enseñanza-aprendizaje de los conjuntos numéricos que
componente a los números reales mediante diferentes estrategias visuales, auditivas y
de material concreto relacionados con la historia de los conjuntos numéricos.
Desarrollar el pensamiento numérico a partir de situaciones problema enmarcadas
desde la historia de los números reales para mejorar la solución de problemas en
contextos matemáticos.
Evaluar los conocimientos adquiridos por los estudiantes respecto a la apropiación y
comprensión de los conjuntos numéricos que componen a los números reales.
3.1.1.4 Los conocimientos
Los números naturales (lectura de números grandes, valor posicional de una cifra)
Los números enteros (orden y representación)
Los números racionales (orden y densidad)
Los números irracionales (sentido y significado, construcción del número pi)
3.1.2 Lo metodológico
Cuando se estudia un concepto matemático desde su desarrollo histórico se comprende el
origen de las circunstancias que motivaron su construcción para dar respuesta a problemas
prácticos de cada época, además según Zapico (2006), nos acerca a una visión más humana
de la matemática, dinamizando su enseñanza e incentivando la reflexión crítica. Cuando se
trabaja las matemáticas desligada de su evolución histórica se niega la posibilidad de
36
evidenciar las dificultades que se presentaron para llegar a la construcción de un concepto, el
reconocer el proceso histórico nos da la posibilidad de desligar la enseñanza puramente
mecánica y al contrario motiva el aprendizaje proporcionando fundamentos para la
comprensión de los conceptos.
Por ello, el desarrollo de este proyecto se diseñó desde 4 guías de intervención, articuladas con
la historia de las matemáticas y cada una con unas actividades planteadas desde tres
momentos: I. Actividades de exploración (activación de conocimientos previos), II actividades
de desarrollo con la historia de los conjuntos numéricos y, III. Actividades de cierre, buscando
la formalización de conceptos.
A continuación, se hace la descripción de cada uno de los momentos:
I. ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN (Activación de conocimientos previos)
Son actividades enfocadas a revisar los conocimientos previos que tienen los estudiantes sobre
cada conjunto numérico (natural, entero, racional e irracional), y se desarrollan mediante
actividades manuales, de recorte de material, videos de YouTube, debates en clase sobre los
videos, preguntas dirigidas y de realización de prácticas desde la resolución de problemas para
estimular un aprendizaje significativo.
II. ACTIVIDADES DE DESARROLLO CON LA HISTORIA
El segundo momento plantea actividades desarrolladas teniendo en cuenta la historia de las
matemáticas para motivar el aprendizaje y evidenciar los momentos cruciales de algunas
culturas en la construcción de los conjuntos numéricos.
En la primera sesión, los números Naturales: se trabaja los sistemas de numeración egipcio
(aditivo) y el sistema babilónico (posicional); en la segunda sesión, los números Enteros: se
aborda a los chinos, a la cultura hindú árabe y algunas ideas de Leonard Euler; en la tercera
sesión, los números Irracionales: se presenta la forma como los egipcios trabajaban con las
fracciones, evidencias encontradas en el papiro de Rhind; finalmente en la cuarta sesión, los
números Irracionales: se hace un desarrollo histórico sobre el origen de los números
irracionales con Hipaso y terminando con algunas construcciones históricos del número pi.
37
III. ACTIVIDADES DE CIERRE. FORMALIZACIÓN DE CONCEPTOS En el tercer momento se plantean actividades donde se desarrollan los conceptos desde las
definiciones formales, además se plantean unas actividades evaluativas donde se pone en
evidencia los conocimientos adquiridos después de realizadas las actividades anteriores
integradas con la historia de la matemática. Para la evaluación de cada sesión se plantea una
rúbrica con los niveles de desempeño.
En la siguiente tabla se relaciona cada una de las sesiones y las actividades a realizar en cada
uno de los momentos. En el anexo D se encentra el desarrollo completo de cada sesión de
intervención con su respectiva rúbrica de evaluación.
Tabla 4: Sesiones de intervención
SESIÓN # 1
LOS NÚMEROS NATURALES
GRADO: Noveno uno
TIEMPO: Una semana y media (8 horas)
RECURSOS: Guías, Video Beam, tijeras, folder.
ESTÁNDAR: Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.
EVIDENCIAS DE
APRENDIZAJE
Interpreta los sistemas de numeración egipcio y babilónico para reconocer en
ellos el principio aditivo y posicional de un número.
Identifica el sentido y el significado de los números naturales.
Conoce y aplica el sistema de numeración decimal en situaciones
contextuales desde la lectura de números grandes y el reconocimiento del
valor posicional de una cifra.
I- ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN (Activación de conocimientos previos)
Juego con números egipcios.
Actividad con el sistema de numeración creado.
38
ACTIVIDADES
II- ACTIVIDADES DE DESARROLLO CON LA HISTORIA
Historia de los sistemas numéricos egipcio y babilónico.
Proyección de video (sistemas de numeración)
https://www.youtube.com/watch?v=_gefn6rb4n4
Sistema de numeración egipcio (sistema aditivo).
Actividad con el sistema de numeración egipcio.
Sistema de numeración babilónico (sistema aditivo posicional).
Video sobre sistema sexagesimal.
Actividad sobre el sistema de numeración babilónico.
III- ACTIVIDADES DE CIERRE. FORMALIZACIÓN DE CONCEPTOS
Actividad de conocimientos previos con el manejo del dinero.
Sistema decimal de numeración.
Actividad con el sistema de numeración decimal.
Actividad evaluativa de la sesión.
SESIÓN # 2
LOS NÚMEROS ENTEROS
GRADO: Noveno uno
TIEMPO: Una semana (5 horas)
RECURSOS: Guías, Video Beam, folder.
ESTÁNDAR: Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.
EVIDENCIAS DE
APRENDIZAJE
Reconoce las situaciones históricas que dieron origen a los números enteros.
Identifica las características de los números enteros, en diferentes
condiciones de situaciones problema.
Ordena números enteros a partir de diferentes representaciones.
I. ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN (Activación de conocimientos previos)
Vídeo: origen de los números negativos.
39
ACTIVIDADES
https://www.youtube.com/watch?v=ZTPQCw9In34
Actividad a partir del video observado.
II. ACTIVIDADES DE DESARROLLO CON LA HISTORIA
Origen de los números enteros.
Los números negativos para los chinos.
Actividad sobre los números chinos.
Línea de tiempo de los números enteros
Cultura hindú y árabe.
Actividad sobre los números enteros.
Video sobre los números enteros.www.youtube.com/watch?v=6wtxNfZEjVU
Preguntas sobre el vídeo observado.
Continuemos con la historia (actividad).
III. ACTIVIDADES DE CIERRE. FORMALIZACIÓN DE CONCEPTOS
Definición de número entero.
Orden de los números enteros.
Actividad evaluativa de la sesión.
SESIÓN # 3
LOS NÚMEROS RACIONALES
GRADO: Noveno uno
TIEMPO: Una semana (5 horas)
RECURSOS: Guías, Video Beam, tijeras, hojas, folder.
ESTÁNDAR: Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.
EVIDENCIAS DE
APRENDIZAJE
Reconoce las situaciones que dieron origen a la construcción de los números
racionales (fraccionarios)
Identifica las fracciones en sus diferentes contextos y representa situaciones
haciendo uso de ellas.
Ordena números racionales y reconoce la propiedad de la densidad en ellos.
40
ACTIVIDADES
ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN (Activación de conocimientos previos)
Actividad sobre fracciones para activar conocimientos previos.
Socialización de la actividad propuesta.
ACTIVIDADES DE DESARROLLO CON LA HISTORIA
Los egipcios y las fracciones
Actividad con hoja de papel. fracciones propias.
El papiro Rhind
Actividad sobre repartición de los panes.
ACTIVIDADES DE CIERRE. FORMALIZACIÓN DE CONCEPTOS
Definición de número racional.
Actividad sobre el concepto de racional.
Diferentes formas de un número racional.
Actividad evaluativa de la sesión.
SESIÓN # 4
LOS NÚMEROS IRRACIONALES
GRADO: Noveno uno
TIEMPO: Una semana (5 horas)
RECURSOS: Guías, Video Beam, tijeras, metro, cuerdas, circunferencias folder.
ESTÁNDAR: Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.
EVIDENCIAS DE
APRENDIZAJE
Reconoce la situación histórica que dio origen a los números irracionales.
Comprende el sentido y el significado de los números irracionales y la
diferencia de los demás conjuntos de números.
Construye el valor de pi a partir de situaciones experimentales y lo reconoce
como un número irracional.
ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN (Activación de conocimientos previos)
Vídeo sobre el origen de los irracionales.
41
ACTIVIDADES
https://www.youtube.com/watch?v=kxx6p46gs1e
Actividad sobre el vídeo observado.
ACTIVIDADES DE DESARROLLO CON LA HISTORIA
Historia de los irracionales.
Actividad con números irracionales.
El número irracional pi.
Diferentes aproximaciones al número pi.
Vídeo para ilustrar experimentalmente el valor de π (pi).
https://www.youtube.com/watch?v=54ix2k7v3zy
Construcción del valor de pi.
ACTIVIDADES DE CIERRE. FORMALIZACIÓN DE CONCEPTOS
Concepto de número irracional.
Actividad evaluativa de la sesión.
En la construcción de cada sesión de intervención, se tuvo en cuenta la teoría del aprendizaje
significativo planteada por Ausubel (1963), en este sentido, en el primero momento de cada
guía se indagó los conocimientos previos que tiene los estudiantes, con el ánimo de establecer
los subsunsores que servirán como anclaje a los nuevos conocimientos sobre los conjuntos
numéricos.
En el segundo momento se motivó a los estudiantes con actividades potencialmente
significativas desde algunos apartes de la historia de los conjuntos numéricos, se presentaron
algunas culturas y la forma como trabajaron y construyeron algunos conceptos propios de cada
conjunto numérico. Y es que autores como: Anacona (2003), Arboleda, (2011), Protti (2003),
Urbaneja (2004) y Zapico (2006), coinciden en la necesidad de abordar la enseñanza de las
matemáticas sin dejar el lado la historia y la manera como se llegó a la construcción de los
conceptos, de tal manera que se apele a un trabajo más humano, más didáctico y sobre todo
42
más motivador, que valla en contravía de la enseñanza mecánica e instrumental de los
algoritmos.
Además, en el desarrollo de las actividades se tuvo en cuenta algunos elementos de la teoría
sociocultural de Vygotsky (1978), que plantea a modo general, que los estudiantes desarrollan
mejor su aprendizaje cuando interactúan con el otro, por ello se plantearon discusiones en
grupo y construcciones, donde los estudiantes que aprendieron con mayor facilidad ayudaron a
los que se les dificultó un poco aportando a desarrollar su zona de desarrollo próximo.
Finalmente, en el momento de cierre, se realizaron algunas actividades evaluativas que dieran
cuenta de los aprendizajes alcanzados por los estudiantes.
3.1.2.1 Población beneficiada
Este proyecto de aula se desarrollará con el grupo noveno uno (1) de la Institución Educativa
Nicanor Restrepo Santamaría de la ciudad de Medellín. El grupo está conformado por 38
estudiantes en edades comprendidas entre 14 y 16 años.
3.1.3 Lo evaluativo
Como paso final del presente trabajo y con el propósito de indagar acerca del impacto del
proyecto de aula con respecto a la comprensión del sentido y significado de los diferentes
conjuntos numéricos que componen a los números reales, se llevará a cabo la evaluación de
cada sesión a partir de unas categorías de análisis (rubricas de evaluación) que se encuentran
en el anexo D, y que den cuenta de los niveles de desempeño alcanzados, además se realiza
una prueba Postest (anexo C), que se hará de forma escrita, indagando los conceptos
trabajados durante la realización del proyecto y comparando el resultado con la prueba
diagnóstica aplicada, para de esta manera identificar los logros alcanzados y el cumplimiento
en cuanto a los objetivos planteados en proyecto de aula .
43
3.2 Resultados y análisis de la intervención
La ejecución de este proyecto de aula se estructuró desde la aplicación de una prueba
diagnóstica (anexo A), el desarrollo de 4 sesiones con unas actividades de intervención (anexo
D), abordando los conceptos de los conjuntos numéricos que componente a los números reales
desde la construcción histórica de cada uno en diferentes culturas, y una prueba final postest
(anexo C), que evidenció los aprendizajes alcanzados por los estudiantes. Todos estos
momentos enfocados al desarrollo del pensamiento numérico desde la comprensión del sentido
y significado del número real. Cabe resaltar que en ningún momento se ahondó en las
operaciones con dichos conjuntos numéricos.
3.2.1 Prueba diagnóstica. Análisis
La prueba diagnóstica (pretest) se aplicó a los 38 estudiantes que conforman el grupo noveno
uno de la institución educativa Nicanor Restrepo Santamaría con el objetivo de indagar los
conocimientos previos que presentan los estudiantes del grupo, con respecto a la comprensión
del sentido y significado de los diferentes conjuntos numéricos que componen a los números
reales. Para el análisis de esta prueba se tiene en cuenta las siguientes categorías (rubrica de
evaluación):
Tabla 5: Rúbrica de evaluación del Pretest
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
CATEGORIAS
NIVELES DE DESEMPEÑO
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
C-1. Conocer y aplicar el sistema
de numeración decimal en
situaciones contextuales desde la
lectura de números grandes y el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
PREGUNTAS 1, 2, 3.
No conoce ni aplica el
sistema de numeración
decimal en situaciones
contextuales desde la
lectura de números
grandes ni desde el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
Conoce y aplica el
sistema de numeración
decimal en situaciones
contextuales desde la
lectura de números
grandes, pero no desde el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
Conoce y aplica el
sistema de numeración
decimal en situaciones
contextuales desde la
lectura de números
grandes y desde el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
44
C-2. Identificar las características
de los números enteros, en
diferentes situaciones y
ordenarlos a partir de su
representación.
PREGUNTAS 4, 5, 6.
No identifica las
características de los
números enteros, en
diferentes situaciones ni
los ordena a partir de su
representación.
Identifica las
características de los
números enteros, en
diferentes situaciones,
pero no los ordena a
partir de su
representación.
Identifica las
características de los
números enteros, en
diferentes situaciones y
los ordena a partir de su
representación.
C-3. Identificar las fracciones en
sus diferentes contextos y
ordenarlas reconociendo la
propiedad de la densidad en
ellas.
PREGUNTAS 7, 8, 9.
No identifica las
fracciones en sus
diferentes contextos ni
las ordena reconociendo
la propiedad de la
densidad en ellas.
Identifica las fracciones
en sus diferentes
contextos, pero no las
ordena reconociendo la
propiedad de la densidad
en ellas.
Identifica las fracciones
en sus diferentes
contextos y las ordena
reconociendo la
propiedad de la
densidad en ellas.
C-4. Comprender el sentido y el
significado de los números
irracionales y diferenciarlos de los
demás conjuntos numéricos.
PREGUNTAS 10, 11, 12 ,13.
No comprende el sentido y el significado de los números irracionales ni la diferencia de los demás conjuntos numéricos.
Comprende el sentido y el significado de los números irracionales, pero no la diferencia de los demás conjuntos numéricos.
Comprende el sentido y
el significado de los
números irracionales y
la diferencia de los
demás conjuntos
numéricos.
A continuación, se presentan los resultados obtenidos de la prueba diagnóstica con el análisis
respectivo, la cual constó de 13 preguntas, evaluadas desde las 4 categorías relacionadas en
la rúbrica de evaluación con los 3 niveles de desempeño definidos.
Categoría 1, (C-1): Conocer y aplicar el sistema de numeración decimal en
situaciones contextuales desde la lectura de números grandes y el
reconocimiento del valor posicional de una cifra.
45
Esta categoría se analiza con las preguntas 1, 2 y 3. Que dan cuenta del conocimiento de los
estudiantes del conjunto de los números naturales específicamente para reconocer el valor
posicional de una cifra, y la lectura de números grandes. La figura 1. muestra los niveles de
desempeño alcanzados por los estudiantes en esta categoría.
Figura 3: Nivel alcanzado por los estudiantes respecto al manejo de los Naturales.
La grafica permite ver qué de los 38 estudiantes, 33 se encuentran en el nivel 1, es decir,
presentan vacíos conceptuales respecto a la lectura de números grandes y desconocen por
completo el significado del valor posicional de una cifra en un número dado. Sólo 5 estudiantes
llegan al nivel dos, donde se evidencia que manejan en algo la lectura de números, pero sin
reconocer el valor posicional de la cifra. Ningún estudiante logró realizar bien los tres ítems
evaluados, lo que evidencia falencias del grupo para reconocer los números naturales en
contextos aplicados.
En la figura 4 se muestran algunas respuestas dadas por algunos estudiantes, confirmando las
falencias presentadas en la comprensión del sentido y significado del número natural
33
5
00
5
10
15
20
25
30
35
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
Nú
mer
o d
e es
tud
ian
tes
Niveles de Desempeño
LOS NATURALESLectura de números grandes y reconocimiento
del valor posicional de una cifra.
46
Figura 4: Ejemplo de respuestas dadas por algunos estudiantes.
En la figura 4 se observa el desconocimiento de saberes previos de los estudiantes,
subsonsores o ideas de anclaje, que se tiene para leer números grandes y como confunden la
posición de las cifras, problema radicado tal vez una enseñanza descontextualizada en años
anteriores.
47
Categoría 2, (C-2): Identificar las características de los números enteros, en
diferentes situaciones y ordenarlos a partir de su representación.
Esta categoría se analiza con las preguntas 4, 5 y 6. Las cuales indagan por el concepto que
tiene los estudiantes de número negativo para representar situaciones y su reconocimiento del
orden al ubicarlos en la recta numérica, es decir, reconocer cuando un número entero es mayor
que otro y que se debe tener en cuenta para identificar el sentido de este conjunto numérico.
La figura 5. muestra los niveles de desempeño alcanzados por los estudiantes en esta
categoría.
Figura 5: Nivel alcanzado por los estudiantes respecto al manejo de los Enteros.
La grafica de la figura 5 evidencia que 25 estudiantes se ubican en el nivel 1, es decir, no
reconocen los contextos donde se usan los números enteros ni tampoco las relaciones de
orden. Presentan dificultad para identificar cuando un número negativa es mayor o menor que
otro, ya sea negativo positivo o el mismo cero. 9 estudiantes alcanzan a reconocer el uso de
los enteros en algunos contextos, pero presentan dificultad para organizarlos e identificar la
relación de orden entre ellos. Solo 4 estudiantes se encuentran en el nivel 3 donde logran
satisfactoriamente reconocer el contexto, así como la relación de orden entre ellos.
25
9
4
0
5
10
15
20
25
30
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
Nú
mer
o d
e es
tud
ian
tes
Niveles de Desempeño
LOS ENTEROSCaracterísticas de los números enteros y
relaciones de orden entre ellos.
48
La figura 6 muestra algunos errores cometidos por la mayoría de los estudiantes.
Figura 6: Ejemplo de respuestas dadas por algunos estudiantes.
La figura, muestra un ejemplo del desconocimiento del concepto del número entero y su
relación de orden. En la pregunta 4, por ejemplo, donde se les pide a los estudiantes que
organicen los números dados en orden ascendente, es notorio que se presenta un error de
comprensión del sentido de número entero, algunos ubican al (-1) como un número menor que
el (-2) y (-3). Esto indica que los estudiantes se han quedado con la idea de número natural. Se
desconoce que, con los números negativos, un número es mayor mientras más pequeño sea.
Seguidamente, en el punto 5 se evidencia el mismo error, además de la dificultad para
representar los enteros en la recta numérica y reconocer a qué lado se ubica el número mayor.
Si revisamos en detalle el punto 5 incisos a y c. vemos como hay una contradicción al afirmar
que 2 < -2 y luego lo contrario -2 < 2. Estas respuestas son ejemplos de vacíos conceptuales
serios que evidencian poca comprensión de este conjunto.
49
Según Iriarte, Jimeno & Vargas (1990), mencionan algunos obstáculos que impiden la
comprensión de los números enteros, tales como: la identificación del número como cantidad,
es decir, -200 no tiene sentido muchas veces para los estudiantes, además, si se contempla la
suma como adicionar, entonces como explicar el hecho de encontrar un número que sumado
con 4 me dé como resultado 1. Otro obstáculo que se presenta es el de ignorar con frecuencia
el signo del número. Históricamente, la formalización de los enteros tardó más de 10 siglos,
esto nos indica que hubo un proceso de aceptación y de ruptura con las estructuras netamente
concretas. Desde ahí podría ser una buena estrategia para la enseñanza aprendizaje de los
enteros. Identificar como fue ese proceso de construcción histórica y llevar a los estudiantes a
la ruptura de los esquemas que traen de años anteriores.
Categoría 3, (C-3): Identificar las fracciones en sus diferentes contextos y
ordenarlas reconociendo la propiedad de la densidad en ellas.
Esta categoría se analiza con las preguntas 7, 8 y 9. Que buscan identificar la comprensión que
tiene los estudiantes de una fracción como razón y como partición de la unidad, además de
reconocer el orden entre ellas y su propiedad de la densidad. La figura 7. muestra los niveles
de desempeño alcanzados por los estudiantes en esta categoría.
Figura 7: Nivel alcanzado por los estudiantes respecto al manejo de los Racionales.
36
20
0
5
10
15
20
25
30
35
40
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
Nú
mer
o d
e es
tud
ian
tes
Niveles de Desempeño
LOS RACIONALESIdentificación de la fracción y su relación de
orden. Densidad.
50
La gráfica de la figura 7 presenta unos resultados preocupantes en el manejo con el concepto
de número racional. Se indagó por el concepto de fracción como razón y como partición de la
unidad, además de las relaciones de orden. Se encuentra que ningún estudiante alcanza el
nivel de desempeño 3, es decir, no identifican la fracción en algunos contextos ni el orden de
ellas. Solo dos estudiantes lograron identificar el concepto de fracción como razón y como
partición, los demás se encuentran en nivel 1, es decir, la mayor parte de los estudiantes no
maneja los conceptos de los números racionales y carecen de sentido y significado a la hora de
representar situaciones con ellos. La figura 8 muestra algunas respuestas dadas por los
estudiantes.
Figura 8: Ejemplo de respuestas dadas por algunos estudiantes.
51
En la figura 8, se presentan los errores más comunes, encontrados en la mayoría de los
estudiantes con la prueba diagnóstica. Se sabe que el conjunto de los números racionales es
una de las experiencias donde falla el algoritmo del recuento, esto puede generar choques
conceptuales en la estructura cognitiva de los aprendices. Como se puede ver en el punto 7,
cuando se le pide que organice algunos números fraccionarios de mayor al menor, el
estudiante ubica a ½ como el número mayor sobre 4/3, y 7/3. De aquí se deduce que no se
reconoce las fracciones propias e impropias ni tampoco ninguna regla para identificar el orden
de los números racionales.
En el punto 9 no reconocen la igualdad entre 2/6 y 1/3 así como tampoco 10/20 y ½, y más
grave aún, la mayoría de los estudiantes contesto que ¼ es menor que 1/8. En palabras de
Godino (2009), el conocimiento de los números naturales puede llegar a ser un obstáculo para
comprender los números racionales, así, en la respuesta dada, argumentan que ¼ es menor
que 1/8 porque 4 < 8. Errores como estos, invitan a los docentes a trabajar arduamente en la
enseñanza y específicamente en dar sentido y significado a las fracciones.
Categoría 4, (C-4): Comprender el sentido y el significado de los números
irracionales y diferenciarlos de los demás conjuntos numéricos.
Esta categoría se analiza con las preguntas 10, 11, 12 y 13. Indagan por el reconocimiento del
significado de un número irracional y la diferenciación de las características de este conjunto
numérico con respecto a los otros conjuntos. La figura 9. muestra los niveles de desempeño
alcanzados por los estudiantes en esta categoría.
52
Figura 9: Nivel alcanzado por los estudiantes respecto al manejo de los Irracionales.
De la figura 9 se concluye que 34 de los 38 estudiantes se ubican en un nivel uno, es decir, no
comprenden el significado del conjunto de los irracionales ni tampoco los diferencian de los
demás conjuntos numéricos. Solo 4 estudiantes alcanzan a reconocer que tipo de decimal
pertenece a los irracionales, pero no logran diferenciarlos de los demás conjuntos. Cero
estudiantes alcanzan el nivel 3. La figura 10 cita algunas respuestas dadas.
34
40
0
5
10
15
20
25
30
35
40
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
Nú
mer
o d
e es
tud
ian
tes
Niveles de Desempeño
LOS IRRACIONALESSignificado de número Irracional y su diferncia
con los otros conjuntos.
53
Figura 10: Ejemplo de respuestas dadas por algunos estudiantes.
De las figuras 9 y 10 se puede deducir que los estudiantes presentan serias dificultades para el
reconocimiento y comprensión del sentido de los números irracionales, además no logran
identificar las diferencias con los otros conjuntos. Esto invita a pensar qué conocimientos
previos posen los estudiantes respecto a este conjunto y que actividades se deben
potencialmente significativas se deben plantear y diseñar para estimular dichos conocimientos
previos.
A partir del análisis anterior, donde se presentaron los aspectos más relevantes evaluados en
la prueba diagnóstica, se puede concluir que los estudiantes de grupo noveno uno, presentan
dificultades para comprender el sentido y significado de los conjuntos numéricos que componen
a los números reales. Se identificaron falencias en cada conjunto numérico para relacionar
cada concepto en diferentes contextos. Además de problemas para plantear relaciones de
orden. La mayoría de los estudiantes en todas las categorías se ubicó en el nivel de
desempeño número 1.
54
3.2.2 Proyecto de Aula. Análisis
De los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica (Pretest), los cuales evidencian una gran
problemática en la comprensión de los conjuntos numéricos que componen a los números
reales, además de la imposibilidad para reconocer su sentido y significado, se diseñó una
propuesta de intervención compuesta por 4 sesiones, estructuradas desde 3 momentos, con el
objetivo de mejorar dicha problemática y aportar a una mejor comprensión de cada conjunto
numérico. (Anexo D).
Para el análisis de cada sesión de intervención, se tendrá en cuenta algunos elementos de la
teoría del aprendizaje significativo, planteado por Ausubel (1963); algunos elementos de la
teoría sociocultural de Vygotsky (1978); y, desde articulación de la historia de la matemática
como recurso didáctico en su enseñanza, a autores como Anacona (2003), Arboleda, (2011),
Protti (2003), Urbaneja (2004) y Zapico (2006). Producto de lo anterior, se tendrán en cuenta
las siguientes categorías:
Categorías de análisis:
Comprensión del sentido y significado de los conjuntos numéricos que componen a
los números reales.
El impacto de la historia de las matemáticas como herramienta mediadora en la
construcción de los conceptos propios de los conjuntos que componen a los números
reales.
3.2.2.1 Análisis Guía de intervención 1
Esta sesión fue desarrollada en el tiempo estipulado y estuvo enfocada al trabajo con el
conjunto de los números naturales, específicamente en lo que tiene que ver con el
reconocimiento del sistema decimal, desde el valor posicional de una cifra y la lectura de
números grandes.
55
En la actividad de estimulación de los conocimientos previos, se les dio a los estudiantes unos
símbolos y se les pidió a organizarse por grupos colaborativos y crear un sistema numérico, en
esta actividad se evidenció mucha creatividad, los estudiantes plantearon sistemas numéricos
con ideas alternas al nuestro, algunos plantearon reglas donde insinuaron el manejo posicional
de una cifra, otros manejaron un sistema aditivo y otras hasta cambiaron el manejo de la base
diez por otras.
Figura 11: Evidencias de la aplicación de la sesión 1 (trabajo en grupo)
El trabajo en grupo favoreció el debate de los estudiantes. Según Vygotsky (1978), el
crecimiento intelectual del aprendiz se incrementa con mayor facilidad cuanto se integra en
grupo, y es que cuando el estudiante es guiado con ayuda, no solo del docente sino de sus
compañeros, alcanza con mayor facilidad el desarrollo potencial de sus capacidades.
Las actividades de desarrollo que se plantearon desde la historia de las matemáticas aportaron
a la Interpretación de los sistemas de numeración egipcio y babilónico para reconocer en ellos
el principio aditivo y posicional de un número. Estas actividades estuvieron enmarcadas desde
56
la visualización de algunos videos de YouTube, reconociendo como era el trabajo del sistema
numérico que usaban tanto los egipcios como los babilonios. Posterior a cada video el docente
planteó debates en clase con el ánimo de identificar las diferencias de estos sistemas con
nuestro sistema de numeración decimal, además, se asignó la tarea de convertir diferentes
números egipcios y babilónicos al sistema decimal.
Al presentar un material potencialmente significativo a los estudiantes y sumergirlos con
experiencias manipulativas recreando las culturas egipcia y babilónica, se pudo notar una
mayor facilidad de los estudiantes para reconocer y comprender las reglas que caracterizan un
sistema numérico, la mayoría manifestó comprender a cabalidad el principio aditivo y posicional
de un número, y es que Ausubel (1963) plantea que cuando se presenta a los estudiantes un
material organizado y estructurado anima a los aprendices a darle sentido, relacionándolo con
las ideas que ya tienen, provocando un aprendizaje significativo.
Figura 12: Evidencias de la aplicación de la sesión 1 (sistemas numéricos)
57
Al final, cuando se formalizó el sistema decimal actual, los estudiantes se mostraron dispuestos
cognitivamente y la motivación presentada por la totalidad contribuyó a la comprensión
inmediata de lectura de números grandes y la comprensión del valor posicional de una cifra, la
mayoría de los estudiantes alcanzó un buen desempeño, lo que permite concluir que la historia
de la matemática contribuyó a dar sentido y significado a lo enseñado. Referenciando a
Urbaneja (2004), el conocimiento de la historia de la evolución de un concepto matemático
permite una mejor aproximación lo actual favoreciendo la comprensión.
3.2.2.2 Análisis Guía de intervención 2
Esta sesión cuyo propósito fue reconocer las situaciones que dieron origen a los números
enteros, así como reconocer su uso en diferentes contextos y poder establecer relaciones de
orden entre ellos, los estudiantes conservaron una actitud activa en el desarrollo de todas las
actividades.
Cuando se les propuso el video donde se explica la necesidad de ampliar el conjunto de los
números naturales al de los números enteros por situaciones cotidianas de deudas, muchos de
los estudiantes manifestaron no saber que los números negativos se utilizaban para este
concepto. También se les preguntó para que otras situaciones y contextos se usan los números
enteros, las respuestas fueron nulas. No se reconoció su uso para situaciones como
temperaturas bajo cero, fechas antes de cristo, entre otras.
Esto pone de manifiesto los vacíos que se pueden generar cuando se lleva una enseñanza
mecánica, enfocada solo al trabajo con los algoritmos. Según la teoría del aprendizaje
significativo no se puede lograr un aprendizaje significativo en los estudiantes cuando se
organiza el contenido de manera lineal y simplista. (Ausubel ,1963).
58
Figura 13: Evidencias de la aplicación de la sesión 2 (videos)
Atendiendo a las ideas de Anacona (2003), quien propone que la matemática presenta un sinfín
de problemas históricos en la construcción de los conceptos, y que estos se pueden llevar al
aula para recrear situaciones de aprendizaje, se desarrolla el segundo momento de la sesión,
con diferentes actividades en grupo, analizando la cultura china, como fue su manejo de los
números negativos, además de un recorrido por los hindúes hasta llegar a la formalización con
Leonard Euler desde la recta numérica.
Estas actividades aportaron a la motivación de los estudiantes desde situaciones históricas, se
mostraron muy curiosos favoreciendo la comprensión de números los enteros y sus usos.
Respecto al manejo del orden de los números en la recta numérica, la mayor parte de los
estudiantes mejoró su interpretación de esta, reconociendo que un número es mayor mientras
más a la derecha se ubique de esta. Se noto en muchos estudiantes, generalizaciones como:
un número negativo, mientras más pequeño, mayor es. Cualquiera número positivo es mayor
que cualquier negativo. El cero es mayor que cualquier número negativo. Se evidenció un
59
reconocimiento del cero mucho más significativo, algunos estudiantes notaron que en las
culturas egipcia y babilonia no lo usaron en su sistema de numeración.
En la actividad evaluativa de esta intervención la mayoría de los estudiantes, según la rúbrica
de avaluación (anexo D), se ubicaron en el nivel 3, lo que permite concluir que cuando se saca
el tiempo para enseñar los conceptos, reconociendo los conocimientos previos y
relacionándolos con un material potencialmente significativo y organizado se presenta una
mejor comprensión de los significados.
3.2.2.3 Análisis Guía de intervención 3
El propósito de esta intervención es que los estudiantes reconozcan las situaciones que dieron
origen al conjunto de los números racionales e identificar su uso en diferentes contextos,
además reconocer la relación de orden entre ellas.
Cuando se trabajó el primer momento de la intervención con el objetivo de identificar y
estimular los conocimientos previos de los estudiantes, se encuentra que la mayoría no
reconoce la fracción como un todo que se divide en partes iguales, los estudiantes manifiestan
dificultad para expresar gráficamente una fracción. Tienen unas ideas vagas de la fracción,
como la razón entre dos cantidades.
A partir de las preguntas y problemas planteados en la primera actividad de la sesión, el
docente explicó los puntos donde los estudiantes manifestaron vacíos conceptuales, esto con
el ánimo de generar los conocimientos previos necesarios para abordar el resto de las
actividades. Se rescata de los estudiantes del grupo noveno uno, la actitud frente al trabajo con
la matemática, se encuentran muy motivados para trabajar y aprender. Algunos estudiantes
manifestaron que el año pasado no aprendieron casi nada con la profesora que les compartía
la materia, por ello tenemos muchos vacíos en matemáticas porque no entendíamos. Otros
manifestaron sentirse muy atraídos por la forma como se está abordando el curso, rescatan
gustarle la historia de las matemáticas y catalogan como interesante la forma como ciertas
culturas fueron desarrollando los conceptos matemáticos.
En el desarrollo de las actividades incorporando la historia de las matemáticas, se evidenció
una mayor atención y disposición de los estudiantes, esto favoreció la comprensión del
concepto de número racional con una mayor facilidad, y es que según Ausubel (1963), es
60
fundamental para lograr un aprendizaje significativo que el estudiante tenga absoluta
disposición y actitud frente al material presentado. Esto se logró y se evidenció durante la
aplicación de toda la sesión.
Figura 14: Evidencias de la aplicación de la sesión 3 (ojo de Horus)
61
Figura 15: Evidencias de la aplicación de la sesión 3 (doblado de papel)
En la actividad con las fracciones del ojo de Horus, los estudiantes reconocieron el patrón de
repetición de cada una, luego cuando se hizo el doblado de papel y se pedía escribir la fracción
encontrada en cada doblez, la mayoría lo desarrolló correctamente encontrando el patrón de
generalización infinitamente. Un estudiante encontró que, para llegar a la fracción equivalente a
doblar 30 veces el papel, bastaba encontrar el denominador hasta el 15 y luego lo multiplica por
sí mismo para hallar el resultado final. Esta generalización echa por el estudiante pone de
manifiesto que la actividad aportó al desarrollo del pensamiento numérico, y es que Rico
(1996), manifiesta que cuando se opera con el pensamiento numérico, se demuestra habilidad
para elaborar codificar y decodificar relaciones matemáticas.
62
En el desarrollo de los problemas del 1 al 6, encontrados en el papiro de Rhind, que tratan
sobre repartición de barras de pan, se propuso a los estudiantes resolver el problema 6, el cual
trata sobre repartir 9 panes entre diez personas de forma equitativa, al inicio, pocos estudiantes
se aproximaron a una respuesta válida, sin embargo, cuando se ilustró la manera como lo
hicieron los egipcios, los estudiantes se mostraron motivados con la forma como llevaban a
cabo este proceso. Al realizar un debate pertinente y poner a resolver los problemas del 1 al 5,
los resultados fueron excelentes, la mayoría de los estudiantes realizo el proceso de forma
correcta proponiendo diferentes maneras de cómo hacer la repartición, así se mostró un
avance en la comprensión del sentido y significado del uso de la fracción.
Figura 16: Evidencias de la aplicación de la sesión 3 (videos)
63
Estas actividades, desde situaciones históricas de la matemática aportaron a la comprensión
del concepto de fracción al mismo tiempo que se vio beneficiado el pensamiento numérico de
los estudiantes. Los resultados se evidenciaron al final, cuando se formalizó el concepto y se
trabajó el orden de algunas fracciones, la mayoría de los estudiantes manifestó tener mayor
claridad en las ideas y rescataron haber comprendido la equivalencia entre las fracciones, así
como las reglas para reconocer el orden entre ellas.
3.2.2.4 Análisis Guía de intervención 4
Esta sesión de intervención estuvo enfocada a reconocer el contexto histórico que dio origen a
los números irracionales, comprendiendo su sentido y significado y diferenciándolos de los
demás conjuntos numéricos. Se ahondo también en el reconocimiento del número irracional pi
obteniendo su valor de forma experimental.
En la primera actividad, se presentó un video ilustrando la vida de Hipaso y cómo llegó a los
números irracionales, seguidamente se genera un debate en la clase socializando las
conclusiones de lo encontrado por Hipaso. Estas actividades mostraron que era necesario que
los estudiantes comprendieran el teorema de Pitágoras para reconocer el procedimiento hecho
por Hipaso aplicando este teorema, por ello emergió una nueva actividad donde se propuso
trabajar con el teorema de Pitágoras para comprender su significado y como es su aplicación.
Esto demuestra la necesidad de los conocimientos previos de los estudiantes y como estos
sirven de anclaje para comprender y dar sentido a nuevos significados. (Ausubel, 1963).
Al presentar el concepto de número irracional tomando como referente su historia y las
implicaciones que esta tuvo en la época, se favoreció la motivación y el interés de los
estudiantes, manifestados en la participación activa en la clase, algunos estudiantes se
acercaron al docente manifestando que les pareció muy buena la clase, que les gustó mucho y
que muy interesante como se ha ido desarrollando la matemática.
La curiosidad evidenciada en la mayoría de los estudiantes facilito su concentración y como
consecuencia de esta, una mejor comprensión del sentido y significado de este conjunto
numérico. Citando a Zapico (2006), al enseñar matemáticas desde la historia se debería
mostrar a los estudiantes como se fueron construyendo los conceptos y presentar los
64
desarrollos logrados por sus precursores, algunas veces para resolver problemas y otras por su
pasión y gusto por la ciencia.
En las actividades de construcción del número pi, las cuales básicamente consistieron en
encontrar su valor experimentalmente y reconocerlo como un número irracional, los estudiantes
dibujaron algunas circunferencias de diferentes tamaños, y usando hilo y cinta métrica,
comprobaron, que la división entre el perímetro de la circunferencia y su diámetro se aproximan
a pi. Estas actividades fueron muy productivas intelectualmente, pues permitieron que los
estudiantes evidenciaran por sí mismos y con sus propias medidas una aproximación del
número pi. La mayoría de los estudiantes se mostraron muy activos con la actividad, el grupo
manifiesta que las clases de matemáticas son más dinámicas y divertidas así, y que aprenden
mejor cuando experimentan por ellos mismos.
Figura 17: Evidencias de la aplicación de la sesión 4 (Número pi)
65
Cuando se llevó a cabo las actividades de formalización del concepto, se encontró una mejor
disposición de los estudiantes para el aprendizaje, hacían preguntas con frecuencia y se notó
que comprendieron con mayor facilidad cuando se hacían preguntas directas y los estudiantes
contestaron acertadamente.
3.2.3 Prueba final Postest. Análisis
La evaluación final se llevó a cabo con la realización de la misma prueba pretest, con el
objetivo de comparar el avance de los estudiantes y los aprendizajes adquiridos con respecto a
los hallazgos encontrados inicialmente.
Para el análisis de esta prueba se tiene en cuenta las siguientes categorías (rubrica de
evaluación):
Tabla 6: Rúbrica de evaluación del Postest
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
CATEGORIAS
NIVELES DE DESEMPEÑO
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
C-1. Conocer y aplicar el sistema
de numeración decimal en
situaciones contextuales desde la
lectura de números grandes y el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
PREGUNTAS 1, 2, 3.
No conoce ni aplica el
sistema de numeración
decimal en situaciones
contextuales desde la
lectura de números
grandes ni desde el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
Conoce y aplica el
sistema de numeración
decimal en situaciones
contextuales desde la
lectura de números
grandes, pero no desde el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
Conoce y aplica el
sistema de numeración
decimal en situaciones
contextuales desde la
lectura de números
grandes y desde el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
66
C-2. Identificar las características
de los números enteros, en
diferentes situaciones y
ordenarlos a partir de su
representación.
PREGUNTAS 4, 5, 6.
No identifica las
características de los
números enteros, en
diferentes situaciones ni
los ordena a partir de su
representación.
Identifica las
características de los
números enteros, en
diferentes situaciones,
pero no los ordena a
partir de su
representación.
Identifica las
características de los
números enteros, en
diferentes situaciones y
los ordena a partir de su
representación.
C-3. Identificar las fracciones en
sus diferentes contextos y
ordenarlas reconociendo la
propiedad de la densidad en
ellas.
PREGUNTAS 7, 8, 9.
No identifica las
fracciones en sus
diferentes contextos ni
las ordena reconociendo
la propiedad de la
densidad en ellas.
Identifica las fracciones
en sus diferentes
contextos, pero no las
ordena reconociendo la
propiedad de la densidad
en ellas.
Identifica las fracciones
en sus diferentes
contextos y las ordena
reconociendo la
propiedad de la
densidad en ellas.
C-4. Comprender el sentido y el
significado de los números
irracionales y diferenciarlos de los
demás conjuntos numéricos.
PREGUNTAS 10, 11, 12 ,13.
No comprende el sentido y el significado de los números irracionales ni los diferencia de los demás conjuntos numéricos.
Comprende el sentido y el significado de los números irracionales, pero no los diferencia de los demás conjuntos numéricos.
Comprende el sentido y
el significado de los
números irracionales y
los diferencia de los
demás conjuntos
numéricos.
A continuación, se presentan los resultados obtenidos de la prueba Postest (ANEXO C), con el
análisis respectivo desde las 4 categorías relacionadas en la rúbrica de evaluación con los 3
niveles de desempeño definidos.
Categoría 1, (C-1): Conocer y aplicar el sistema de numeración decimal en
situaciones contextuales desde la lectura de números grandes y el
reconocimiento del valor posicional de una cifra.
67
Esta categoría se analiza con las preguntas 1, 2 y 3. Relacionadas con el conocimiento que los
estudiantes tienen del conjunto de los números naturales específicamente en el reconocimiento
del valor posicional de una cifra, y la lectura de números grandes.
La figura 18. Muestra los niveles de desempeño alcanzados por los estudiantes en esta
categoría.
Figura 18: Nivel alcanzado por los estudiantes respecto al manejo de los Naturales.
La grafica muestra que la mayoría de los estudiantes alcanzan un nivel 3 de desempeño, el
cual se refiere a conocer y aplicar el sistema de numeración decimal desde la lectura de
números grandes y el reconocimiento del valor posicional de una cifra. 7 estudiantes lograron
leen bien números grandes, pero presentan todavía algunas dificultades para identificar valores
posicionales de algunas cifras. solo 3 de los 38 estudiantes se ubican en el nivel 1, en el cual
no se logra todavía leer números grandes ni tampoco reconocer el valor posicional de las cifras.
De la gráfica se puede deducir que los estudiantes han presentado una mejora significativa
respecto a la categoría evaluada en comparación con la prueba diagnóstica, donde la mayoría
se ubicaba en un nivel de desempeño 1.
3
7
28
0
5
10
15
20
25
30
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
Nú
mer
o d
e es
tud
ian
tes
Niveles de Desempeño
LOS NATURALESLectura de números grandes y reconocimiento
del valor posicional de una cifra.
68
Esto indica que el trabajo con el sistema numérico babilonio y egipcio desde actividades en
grupo, con material manipulativo, material audiovisual y reflexionando a partir de las diferentes
culturas que aportaron al desarrollo de las matemáticas, mediante debates, y preguntas
constantes a los estudiantes, puedo lograr un avance en la comprensión del sistema decimal,
evidenciada en las respuestas dadas por los estudiantes en la prueba postest.
Categoría 2, (C-2): Identificar las características de los números enteros, en
diferentes situaciones y ordenarlos a partir de su representación.
Esta categoría se analiza con las preguntas 4, 5 y 6. Donde se indaga en qué situaciones se
utilizan los números enteros, además de reconocer el orden entre ellos, es decir, cuando un
número entero es mayor que otro. La figura 19. Muestra los niveles de desempeño alcanzados
por los estudiantes en esta categoría.
Figura 19: Nivel alcanzado por los estudiantes respecto al manejo de los Enteros.
La grafica permite observar que ningún estudiante quedó en nivel uno, es decir, todos los
estudiantes del grupo, según las respuestas dadas, lograron reconocer los diferentes contextos
donde se usan los números enteros. Solo 8 estudiantes presentaron dificultad para reconocer
0
8
30
0
5
10
15
20
25
30
35
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
Nú
mer
o d
e es
tud
ian
tes
Niveles de Desempeño
LOS ENTEROSCaracterísticas de los números enteros y
relaciones de orden entre ellos.
69
el orden de los números enteros. La mayoría se ubicó en un nivel 3 de desempeño, logrando
comprender el sentido y significado de este conjunto y reconociendo su orden de manera
adecuada.
Los resultados obtenidos en esta categoría dejan ver lo logros alcanzados por los estudiantes
respecto a la prueba inicial y evidencia lo conveniente del proyecto de aula, es decir, abordar
las matemáticas desde situaciones contextualizadas además de la importancia de ubicar el
momento histórico al que se dio lugar con la creación de cada concepto.
Categoría 3, (C-3): Identificar las fracciones en sus diferentes contextos y
ordenarlas reconociendo la propiedad de la densidad en ellas.
Esta categoría se analiza con las preguntas 7, 8 y 9. Cuyo propósito es indagar por los
conocimientos adquiridos por los estudiantes respecto el concepto de fracción y el orden entre
este conjunto numérico. La figura 20. Muestra los niveles de desempeño alcanzados por los
estudiantes en esta categoría.
Figura 20: Nivel alcanzado por los estudiantes respecto al manejo de los Racionales.
4
9
25
0
5
10
15
20
25
30
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
Nú
mer
o d
e es
tud
ian
tes
Niveles de Desempeño
LOS RACIONALESIdentificación de la fracción y su relación de
orden. Densidad.
70
La grafica de la figura 20 presenta unos resultados mejorados con respecto a la prueba inicial,
donde 25 estudiantes se ubican en el nivel 3 de desempeño, logrando identificar las fracciones
en diferentes contextos, además de ordenarlos reconociendo la propiedad de la densidad en
ellos. 9 estudiantes todavía presentaron alguna dificultad para organizar números racionales en
orden y solo 4 estudiantes se ubican en el nivel 1 donde no lograron reconocer el uso de las
fracciones en diferentes contextos ni tampoco organizarlas coherentemente.
La mejora presentada es notoria si se compara con la prueba inicial, donde cero estudiantes
quedaron en el nivel 3 de desempeño. A pesar de que algunos estudiantes todavía se ubicaron
en el nivel 1 de desempeño, la gran mayoría del grupo presentó un avance significativo
respecto a la comprensión de sentido y significado de este conjunto numérico. Estos resultados
evidencian el impacto de las actividades planteadas desde situaciones históricas de la
matemática, para este caso, la presentación de una sesión enfocada desde el trabajo de los
egipcios con las fracciones, desde el ojo de Horus, y la forma como resolvieron los problemas
presentados en la época sobre el reparto de barras de pan de manera equitativa.
Categoría 4, (C-4): Comprender el sentido y el significado de los números
irracionales y diferenciarlos de los demás conjuntos numéricos.
Esta categoría se analiza con las preguntas 10, 11, 12 y 13. Las cuales buscan identificar los
conocimientos adquiridos por los estudiantes respecto al sentido y significado de número
irracional, además de su diferenciación con los demás conjuntos numéricos. La figura 21.
Muestra los niveles de desempeño alcanzados por los estudiantes en esta categoría.
71
Figura 21: Nivel alcanzado por los estudiantes respecto al manejo de los Irracionales.
Como se observa en la figura 21, la mayor parte de los estudiantes se ubicó en el nivel 3 de
desempeño, es decir, según las respuestas dadas, se evidenció una mejor comprensión del
significado del número irracional y su diferenciación con los demás conjuntos numéricos. 11
estudiantes todavía presentaron alguna dificultad para clasificar algunos números como
irracionales presentando dificultad para identificar sus diferencias y solo 4 tiene dificultad para
comprender el significado de este conjunto.
De los resultados anteriores, en comparación con la prueba diagnóstica, es evidente el avance
de los estudiantes para interpretar y comprender este conjunto numérico, pues en la prueba
inicial, ningún estudiante lograba comprender el significado de los números irracionales y
mucho menos diferenciarlos de los demás conjuntos numéricos, y después de aplicar la guía
de intervención, sesión 4, se logró identificar una mejora satisfactoria, evidenciada en las
respuestas dadas por los estudiantes y en la seguridad mostrada para responder cada
pregunta.
4
11
23
0
5
10
15
20
25
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
Nú
mer
o d
e es
tud
ian
tes
Niveles de Desempeño
LOS IRRACIONALESSignificado de número Irracional y su diferncia
con los otros conjuntos.
72
3.3 Conclusiones Y Recomendaciones
3.3.1 Conclusiones
Terminada la intervención de este proyecto de aula con cada una de las actividades aplicadas
en su totalidad, se concluyó que:
La realización de la prueba diagnóstica (Pretest) a los estudiantes del grupo noveno
uno, permitió identificar los vacíos conceptuales que presentaban respecto a la
comprensión del sentido y significado de número real, desde los diferentes conjuntos
numéricos que los componen. Se pudo concluir que este grupo tenía dificultad para
la lectura de números grandes, el reconocimiento del valor posicional de una cifra, el
concepto de numero entero y sus relaciones de orden, la representación de un
número racional en contextos aplicados, así como las relaciones de equivalencia y
orden, y finalmente, el significado y sentido de un número irracional y su diferencia
con los demás conjuntos numéricos.
En el diseño de las guías de intervención (proyecto de aula) fue fundamental la
inclusión de actividades de inicio en cada sesión con el ánimo de identificar y
estimular los conocimientos previos de los estudiantes, según Ausubel (1963), para
provocar un aprendizaje significativo es necesario que la nueva información se
relacione con unas ideas ya existentes en la estructura cognitiva del estudiante
(subsunsores), que sirvan de anclaje para comprender significativamente la nueva
información. En este sentido, en cada sesión de intervención de este proyecto de
aula, se estimuló los conocimientos previos de los estudiantes, generando una
excelente activación y disposición, la cual fue de suma importancia para preparar al
estudiante en el trabajo con cada conjunto numérico aportando a favorecer una mejor
comprensión de los conceptos.
El planteamiento de actividades en grupos colaborativos, donde los estudiantes
tuvieron la posibilidad de integrarse al grupo de trabajo desde unos roles definidos,
aportó a la interacción desde discusiones reflexivas y constructivas que promovieron
el aprendizaje crítico y la autonomía del aprendiz, y es que según Vygotsky (1978), la
interacción con el otro, más experto, es fundamental para el aprendizaje de nuevas
73
habilidades que ayudan a cada estudiante a construir su aprendizaje. En el desarrollo
de este trabajo, en cada sesión de intervención, se observó que los estudiantes que
sabían más ayudaron a los que se les dificultaba un poco, logrando una mejor
comprensión de todos los concetos trabajados sobre los números reales.
La conceptualización del número real articulada con la historia de la matemática,
específicamente en lo que tiene que ver con la construcción de los conjuntos
numéricos, permitió presentar unas matemáticas más dinámicas, apartadas un poco
de la mecanicidad de los algoritmos y vislumbrando las dificultades por las que se ha
pasado para llegar a la formalización del conjunto de los números reales. Esto ayudó
a crear situaciones favorables dentro del aula que estimularon el interés y la
motivación de los estudiantes por los temas presentados, y es que Anacona (2003),
menciona que uno de los grandes propósitos de llevar la historia de las matemáticas
al aula es humanizar su enseñanza, así como estimular en el estudiante la
participación crítica y creativa desde el análisis de una matemática en construcción.
El conocimiento de la historia, y en particular de la evolución de los conceptos
propios de los conjuntos numéricos que componen a los números reales, permitió
que los estudiantes identificaran y valoraran como se fue logrando la formalización
de los números reales, situación que aportó a la comprensión del sentido y
significado de cada conjunto numérico aportando al desarrollo del pensamiento
numérico.
Finalizada la implementación de la propuesta de intervención, se realizó una prueba
postest, encontrando mejores resultados de acuerdo con los hallazgos presentados
en la prueba diagnóstica, lo que evidenció que las guías de intervención, con cada
una de las actividades propuestas desde situaciones con la historia de las
matemáticas y construidas bajo el marco del aprendizaje significativo, aportaron a un
avance en la comprensión de los conjuntos numéricos que los componen a los
números reales, demostrada en la seguridad de los estudiantes en la presentación
de la prueba así como en las respuestas acertadas por cada estudiante.
74
3.2.2 Recomendaciones
Se sugiere dedicar un mayor tiempo en la ejecución de las actividades planteadas, de
tal manera que se pueda aprovechar la participación de los estudiantes y hacer mayor
énfasis en las diferentes construcciones propuestas por ellos.
Tener siempre presente la indagación y estimulación de los conocimientos previos de
los estudiantes para reconocer las ideas que tienen y utilizarlas como punto de anclaje
para la nueva información presentada.
Apelar al trabajo colaborativo desde la definición de roles que permitan a cada
estudiante asumir compromisos e integrarse de manera responsable al grupo.
Articular la historia de la matemática con su enseñanza, enfocada desde las diferentes
situaciones problema que se presentaron en cada época para la construcción y
formalización de los conceptos propios del área, de tal forma que se favorezca el
cuestionamiento permanente de los estudiantes.
75
Referencias
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78
Anexos.
A. Anexo: Prueba diagnóstica
INSTITUCIÓN EDUCATIVA NICANOR
RESTREPO SANTAMARÍA
FECHA
PRE-TEST: Prueba Diagnóstica sobre los Números Reales
Profesor: Carlos Adrián Vergara Gómez
Tiempo: 2 horas
Nombre______________________________________________Grupo________
OBJETIVO: indagar conocimientos previos, respecto a la comprensión del sentido y el significado de los conjuntos numéricos que componen a los Números Reales.
1. Completar la siguiente tabla de posición de acuerdo con cada número natural:
(C=Centenas, D= Decenas, U=unidades)
2. Escribir dos números que cumplan cada condición dada:
NÚMERO
Tabla de posición
Billones Miles de millones
Millones Miles Unidades
C D U C D U C D U C D U C D U
45.263.709
1.563.155
364.512.001
9.638
9.123.256.112
79
a) Tiene 5 cifras. 8 decenas de mil y 2 unidades
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
______________________________________________
b) Tiene 7 cifras. 4 decenas y 6 decenas de mil.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
______________________________________________
c) Tiene 8 centenas, 4 centenas de mil y 3 centenas de millón.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
______________________________________________
3. Completar la siguiente tabla.
NÚMERO Escriba la lectura de cada número
6.765.987
33.888.983.001
23.109.890.001
4. Escribe la respuesta usando números enteros:
a. Le debo mil pesos a maría. _______________
b. Tres grados bajo cero. _______________
c. Aristóteles nació en el 384 a.C. _______________
d. El submarino está a dos mil metros bajo el nivel del mar. _____________
e. En horas de la mañana el termómetro marcaba 3 ºC. Si la temperatura ha descendido 9
ºC. ¿qué temperatura marca ahora el termómetro? ______
5. Organice en orden ascendente (de menor a mayor) los siguientes números:
80
a. 8, 7, -9, -12, 0, 19, -1, -8, 6, -11, 3, -4, 2
______________________________________________________________________
______________________________________________________________
b. -100, 150, -200, 300, -50, 350, 0, 250, 400
______________________________________________________________________
______________________________________________________________
c. -1, -2, -3, -4, 0, 1, 2, 3, 4
______________________________________________________________________
______________________________________________________________
6. Completar los cuadros vacíos de cada expresión con el número.
a. -5 < n < < -2
b. -8 > > > -11
c. – 1< < < 2
7. Representa la fracción pintada en la imagen:
a.
b. En el salón de educación física, de cada 9 balones, 4 son de futbol, 3 son de voleibol y 1
de basquetbol.
- Representa gráficamente la fracción de cada tipo de balones.
- ¿Qué fracción representan los balones de futbol y de voleibol juntos?
81
c. Escriba 5 números comprendidos entre -1 y 2 de forma ascendente.
__________________________________________________________________
8. Organice en orden descendente (de mayor a menor) los siguientes números racionales:
a. 1
2,
4
3,
3
4,
2
6,
7
3,
1
6,
9
6
__________________________________________________________________
b. −3
6,
−1
4,
−9
18,
2
10,
5
4,
−1
6
__________________________________________________________________
9. Escribir >, <, = según corresponda de acuerdo a cada par de números racionales.
a. 2
6 _______
1
3
b. 1
4________
1
8
c. 10
20_______
1
2
10. Al calcular la √2 obtenemos como resultado:
a. Un decimal infinito periódico
b. Un decimal finito no periódico
c. Un decimal infinito no periódico
d. Un decimal finito periódico
11. Escriba los números que se indican en cada caso:
a. Dos números irracionales entre 0 y 10
__________________________________________________________________
b. Tres números irracionales entre - √3 y π
82
_________________________________________________________________
12. Los números irracionales se caracterizan porque…
a. Tienen infinitas cifras decimales
b. Tienen infinitas cifras decimales periódicas
c. Tienen infinitas cifras decimales irracionales
d. Tienen infinitas cifras decimales no periódicas
13. Completar la tabla poniendo ϵ (pertenece) o ∉ (no pertenece) en cada cuadro según el
caso.
Naturales N
Enteros Z
Racionales Q
Irracionales I
Reales R
-11
√𝟑𝟔
1/12
√𝟐
0.08 π
e
RÚBRICA DE EVALUACIÓN
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
NIVELES DE DESEMPEÑO
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
Conocer y aplicar el sistema de
numeración decimal en
situaciones contextuales desde la
lectura de números grandes y el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
No conoce ni aplica el
sistema de numeración
decimal en situaciones
contextuales desde la
lectura de números
grandes ni desde el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
Conoce y aplica el
sistema de numeración
decimal en situaciones
contextuales desde la
lectura de números
grandes, pero no desde el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
Conoce y aplica el
sistema de numeración
decimal en situaciones
contextuales desde la
lectura de números
grandes y desde el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
83
Identificar las características de
los números enteros, en
diferentes situaciones y
ordenarlos a partir de su
representación.
No identifica las
características de los
números enteros, en
diferentes situaciones ni
los ordena a partir de su
representación.
Identifica las
características de los
números enteros, en
diferentes situaciones
pero no los ordena a
partir de su
representación.
Identifica las
características de los
números enteros, en
diferentes situaciones y
los ordena a partir de su
representación.
Identificar las fracciones en sus
diferentes contextos y ordenarlas
reconociendo la propiedad de la
densidad en ellas.
No identifica las
fracciones en sus
diferentes contextos ni
las ordena reconociendo
la propiedad de la
densidad en ellas.
Identifica las fracciones
en sus diferentes
contextos pero no las
ordena reconociendo la
propiedad de la densidad
en ellas.
Identifica las fracciones
en sus diferentes
contextos y las ordena
reconociendo la
propiedad de la
densidad en ellas.
Comprender el sentido y el
significado de los números
irracionales y diferenciarlos de los
demás conjuntos numéricos.
No comprende el sentido y el significado de los números irracionales ni los diferencia de los demás conjuntos numéricos.
Comprende el sentido y el significado de los números irracionales, pero no los diferencia de los demás conjuntos numéricos.
Comprende el sentido y
el significado de los
números irracionales y
los diferencia de los
demás conjuntos
numéricos.
84
B. Anexo: pautas para la observación
participante y diario de campo
GUÍA DE OBSERVACIÓN
Fecha:
Observador
Tema:
Objetivo de la
observación:
Categorías de análisis Características observadas
¿Cuál es la actitud de los estudiantes cuando se
lleva a cabo la actividad?
¿Qué conocimientos previos se observan desde
cada tema trabajado?
¿Cómo se evidenció el trabajo en grupo de los
estudiantes desde los roles definidos?
¿Cómo estuvo la participación de los
estudiantes?
¿Qué impacto genero la historia de la
matemática en la enseñanza?
85
¿Cómo se vio la comprensión de los temas una
vez desarrollada cada actividad?
¿Qué dificultades se presentaron?
REGISTRO DE DIARIO DE CAMPO
Fecha y hora:
Observador:
Lugar:
Tema:
Descripción:
Interpretación:
Conceptualización:
Conclusiones:
86
C. Anexo: Prueba post test
INSTITUCIÓN EDUCATIVA NICANOR
RESTREPO SANTAMARÍA
FECHA
PRE-TEST: Prueba Diagnóstica sobre los Números Reales
Profesor: Carlos Adrián Vergara Gómez
Tiempo: 2 horas
Nombre______________________________________________Grupo________
OBJETIVO: indagar conocimientos previos, respecto a la comprensión del sentido y el significado de los conjuntos numéricos que componen a los Números Reales.
14. Completar la siguiente tabla de posición de acuerdo con cada número natural:
(C=Centenas, D= Decenas, U=unidades)
15. Escribir dos números que cumplan cada condición dada:
d) Tiene 5 cifras. 8 decenas de mil y 2 unidades
NÚMERO
Tabla de posición
Billones Miles de millones
Millones Miles Unidades
C D U C D U C D U C D U C D U
45.263.709
1.563.155
364.512.001
9.638
9.123.256.112
87
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
______________________________________________
e) Tiene 7 cifras. 4 decenas y 6 decenas de mil.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
______________________________________________
f) Tiene 8 centenas, 4 centenas de mil y 3 centenas de millón.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
______________________________________________
16. Completar la siguiente tabla.
NÚMERO Escriba la lectura de cada número
6.765.987
33.888.983.001
23.109.890.001
17. Escribe la respuesta usando números enteros:
f. Le debo mil pesos a maría. _______________
g. Tres grados bajo cero. _______________
h. Aristóteles nació en el 384 a.C. _______________
i. El submarino está a dos mil metros bajo el nivel del mar. _____________
j. En horas de la mañana el termómetro marcaba 3 ºC. Si la temperatura ha descendido 9
ºC. ¿qué temperatura marca ahora el termómetro? ______
18. Organice en orden ascendente (de menor a mayor) los siguientes números:
88
d. 8, 7, -9, -12, 0, 19, -1, -8, 6, -11, 3, -4, 2
______________________________________________________________________
______________________________________________________________
e. -100, 150, -200, 300, -50, 350, 0, 250, 400
______________________________________________________________________
______________________________________________________________
f. -1, -2, -3, -4, 0, 1, 2, 3, 4
______________________________________________________________________
______________________________________________________________
19. Completar los cuadros vacíos de cada expresión con el número.
d. -5 < n < < -2
e. -8 > > > -11
f. – 1< < < 2
20. Representa la fracción pintada en la imagen:
a.
b. En el salón de educación física, de cada 9 balones, 4 son de futbol, 3 son de voleibol y 1
de basquetbol.
- Representa gráficamente la fracción de cada tipo de balones.
- ¿Qué fracción representan los balones de futbol y de voleibol juntos?
89
c. Escriba 5 números comprendidos entre -1 y 2 de forma ascendente.
__________________________________________________________________
21. Organice en orden descendente (de mayor a menor) los siguientes números racionales:
c. 1
2,
4
3,
3
4,
2
6,
7
3,
1
6,
9
6
__________________________________________________________________
d. −3
6,
−1
4,
−9
18,
2
10,
5
4,
−1
6
__________________________________________________________________
22. Escribir >, <, = según corresponda de acuerdo a cada par de números racionales.
d. 2
6 _______
1
3
e. 1
4________
1
8
f. 10
20_______
1
2
23. Al calcular la √2 obtenemos como resultado:
e. Un decimal infinito periódico
f. Un decimal finito no periódico
g. Un decimal infinito no periódico
h. Un decimal finito periódico
24. Escriba los números que se indican en cada caso:
c. Dos números irracionales entre 0 y 10
__________________________________________________________________
d. Tres números irracionales entre - √3 y π
_________________________________________________________________
90
25. Los números irracionales se caracterizan porque…
e. Tienen infinitas cifras decimales
f. Tienen infinitas cifras decimales periódicas
g. Tienen infinitas cifras decimales irracionales
h. Tienen infinitas cifras decimales no periódicas
26. Completar la tabla poniendo ϵ (pertenece) o ∉ (no pertenece) en cada cuadro según el
caso.
Naturales N
Enteros Z
Racionales Q
Irracionales I
Reales R
-11
√𝟑𝟔
1/12
√𝟐
0.08 π
e
RÚBRICA DE EVALUACIÓN
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
NIVELES DE DESEMPEÑO
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
Conocer y aplicar el sistema de
numeración decimal en
situaciones contextuales desde la
lectura de números grandes y el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
No conoce ni aplica el
sistema de numeración
decimal en situaciones
contextuales desde la
lectura de números
grandes ni desde el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
Conoce y aplica el
sistema de numeración
decimal en situaciones
contextuales desde la
lectura de números
grandes, pero no desde el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
Conoce y aplica el
sistema de numeración
decimal en situaciones
contextuales desde la
lectura de números
grandes y desde el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
91
Identificar las características de
los números enteros, en
diferentes situaciones y
ordenarlos a partir de su
representación.
No identifica las
características de los
números enteros, en
diferentes situaciones ni
los ordena a partir de su
representación.
Identifica las
características de los
números enteros, en
diferentes situaciones
pero no los ordena a
partir de su
representación.
Identifica las
características de los
números enteros, en
diferentes situaciones y
los ordena a partir de su
representación.
Identificar las fracciones en sus
diferentes contextos y ordenarlas
reconociendo la propiedad de la
densidad en ellas.
No identifica las
fracciones en sus
diferentes contextos ni
las ordena reconociendo
la propiedad de la
densidad en ellas.
Identifica las fracciones
en sus diferentes
contextos pero no las
ordena reconociendo la
propiedad de la densidad
en ellas.
Identifica las fracciones
en sus diferentes
contextos y las ordena
reconociendo la
propiedad de la
densidad en ellas.
Comprender el sentido y el
significado de los números
irracionales y diferenciarlos de los
demás conjuntos numéricos.
No comprende el sentido y el significado de los números irracionales ni los diferencia de los demás conjuntos numéricos.
Comprende el sentido y el significado de los números irracionales, pero no los diferencia de los demás conjuntos numéricos.
Comprende el sentido y
el significado de los
números irracionales y
los diferencia de los
demás conjuntos
numéricos.
92
D. Anexo: proyecto de aula
SESIÓN # 1
LOS NUMEROS NATURALES
GRADO: NOVENO
TIEMPO: UNA SEMANA y MEDIA (8 HORAS)
RECURSOS: Guías, Video Beam, tijeras, folder.
ESTÁNDAR:
Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
Interpreta los sistemas de numeración egipcio y babilónico para reconocer en ellos el
principio aditivo y posicional de un número.
Identifica el sentido y el significado de los números naturales.
Conoce y aplica el sistema de numeración decimal en situaciones contextuales desde la
lectura de números grandes y el reconocimiento del valor posicional de una cifra.
I. ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN
(Activación de conocimientos previos)
JUEGO CON NUMEROS EGIPCIOS
93
Recorta los números egipcios que se te dan a continuación, y por grupos colaborativos de 3
estudiantes, inventar un sistema numérico diferente al que conocen asignándole un valor a
cada símbolo egipcio.
Tomada de: ‘Las matemáticas son un juego: otros sistemas de numeración.’ CEIP Manuel Siurot (La Palma del Cdo.)
ACTIVIDAD CON EL SISTEMA DE NUMERACIÓN CREADO
a. Usando el sistema de numeración inventado con los símbolos dados, escribe las
fechas de nacimiento de cada integrante del grupo.
b. Usando el sistema de numeración inventado con los símbolos dados, escribe el
número de teléfono de cada integrante.
c. Cada compañero propone 3 números en el sistema decimal que conocen y los otros
los deben de formar con el sistema inventado.
d. Realicen pagos y préstamos con dicho sistema de numeración. Inventen préstamos
y realicen los pagos respectivos con intereses definidos.
II. ACTIVIDADES DE DESARROLLO CON LA HISTORIA
HISTORIA DE LOS SISTEMAS NUMÉRICOS EGIPCIO Y BABILÓNICO.
94
El hombre primitivo empezó a valerse de un sistema numérico en su vida diaria, tuvo muchas
razones y situaciones cotidianas que lo impulsaron a tratar de cuantificar todo lo que le
rodeaba. En su etapa sedentaria se vio forzado a emplear algún método de conteo, ya fuera
para saber cuántas cabezas de ganado u ovejas poseía; como también para conocer el número
de armas que tenía.
Al tener el hombre antiguo un sistema base de medida, se vio en la necesidad de cuantificar las
medidas en su modo base de contar, esta operación la llevó a cabo, por ejemplo, utilizando un
sistema de rayas rasgadas en las paredes o pintadas en papiro; otro método era haciendo
marcas en los troncos de los árboles o cortes sobre una vara para llevar un registro
permanente de las cosas.
Cada pueblo o tribu tuvo que inventar sus propias palabras y signos para representar sus
operaciones de conteos realizados, con el comercio los antiguos mercaderes estaban
obligados a saber una gran variedad de sistemas de medidas y numeración, a fin de poder
comerciar con los diferentes pueblos o tribus. (Sector Matemática, 2007).
ACTIVIDAD # 1
Se proyecta el siguiente video sobre los diferentes sistemas de numeración con el ánimo de
estimular los conocimientos previos y anclar las bases cognitivas para comprender el sentido y
significado del número natural.
Video: Sistemas de Numeración (0401)
https://www.youtube.com/watch?v=_gefn6RB4N4
95
1. Se realiza un debate en clase sobre el video, la idea es estimular el pensamiento
creativo y reconocer el proceso histórico que dio lugar a nuestro sistema de numeración
de base diez.
2. Escribir en el folder las ideas principales de cada sistema de numeración utilizado por
cada cultura y realiza un cuadro comparativo con las diferencias y semejanzas
encontradas.
SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO (Sistema Aditivo)
Hacia el año 3000 a.C. los egipcios eran una gran civilización con conocimientos avanzados en
diferentes áreas. En matemáticas tenían conocimientos bastante prácticos para solucionar
problemas, sus métodos, que no eran teóricos demostrativos, les servían para resolver
situaciones cotidianas de repartos, comercio y, sobre todo, para volver a hacer las marcaciones
de tierra borradas por las inundaciones del rio Nilo.
El sistema de numeración usado por los egipcios era de base 10, dicho sistema era aditivo más
no posicional. Un sistema se dice que es aditivo cuando al sumar los símbolos de las unidades,
las decenas y las centenas, etc., se obtiene como resultado el número escrito. Y no era
posicional, lo que indica que se puede escribir un número en cualquier orden, de derecha a
izquierda, al revés, o de abajo a arriba, cambiando la orientación de las figuras según el caso
(Ruiz, 2009).
96
EJEMPLOS:
1. El 1.214 se representa separándolo en sus unidades, sus decenas, sus centenas, y
finalmente sus unidades de miles. Quedaría así:
1.214 = 1.000 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1
Tomada de: https://issuu.com/abelgalois/docs/sistemas_de_numeraci_n/66
Nótese que se escribieron de izquierda a derecha, pero bien podría ser de derecha a izquierda
o agruparlos como se desee.
2. Por ser un sistema aditivo, los puedes agrupar de diferente forma, además se pueden
descomponer para escribirlos y leerlos más cómodamente.
97
Tomada de: ‘Las matemáticas son un juego: OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN.’ CEIP Manuel Siurot (La Palma del Cdo.)
ACTIVIDAD # 2
1. Consultar que es el Papiro de Rhind o Papiro de Ahmes, que contenido tiene, cuando
fue descubierto y cuál es su tamaño.
2. Escribe los siguientes números naturales en el sistema de numeración egipcio.
a. 123 b. 1235 c. 1250000 d. 4000000 e. 140000 f. 79
3. Responde falso o verdadero según cada afirmación.
a. El sistema de numeración egipcio se usó en el siglo III A.C ___________
b. En el sistema de numeración egipcio se incluye el cero. ___________
c. El sistema de numeración egipcio es aditivo. ___________
d. El sistema de numeración egipcio es posicional. ___________
4. Escribe las semejanzas y las diferencias entre el sistema de numeración egipcio y el
que nosotros usamos (base 10):
Semejanzas Diferencias
_________________________________________________________________
98
_________________________________________________________________
SISTEMA DE NUMERACIÓN BABILÓNICO (Sistema Aditivo Posicional)
El sistema de numeración Babilonio data aproximadamente de 1900 a 1800 a. C. Es un
sistema sexagesimal, es decir que utiliza como base el 60; además es aditivo hasta 60 y
posicional para números mayores que 60.
Este sistema presenta unas reglas específicas para representar cantidades:
a. una cuña vertical que representa el valor de 1 y se puede repetir hasta un total de nueve
veces. Cuando se repite esta cuña simplemente se suma su valor.
b. una cuña horizontal que representa el número 10 . Y se puede repetir hasta 5 veces.
Se debe tener en cuenta que los símbolos mayores se escriben a la izquierda (Martín,
2009)
99
Para formar números mayores a 60 se utiliza un sistema posicional usando como base
potencias de 60, similar a como lo hacemos con nuestro sistema decimal usando potencias de
10. En la siguiente tabla se ilustra cómo sería el método:
Tomada de: < https://issuu.com/abelgalois/docs/sistemas_de_numeraci_n/66>
Se propone observar el siguiente video para ilustrar el procedimiento de cómo se usaba el
sistema sexagesimal según el método babilónico.
https://www.youtube.com/watch?v=9c82TwClnmY
ACTIVIDAD # 3
1. R
espon
de
falso
o
verda
dero según cada afirmación.
a. En el sistema de numeración babilónico se incluye el cero. ________
100
b. El sistema de numeración babilónico es aditivo. ________
c. El sistema de numeración babilónico no es posicional. ________
2. Escribe las semejanzas y las diferencias entre el sistema de numeración babilónico y el
que nosotros usamos (base 10):
Semejanzas Diferencias
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
3. Que números están representados en cada fila del siguiente cuadro.
4. Representa los siguientes números decimales al sistema babilónico:
a. 25 b. 39 c. 9 d. 59 d. 46 e. 52 f. 31 g. 16 f. 18
5. Representa en el sistema decimal los siguientes números babilonios:
a. = __________
b. = ________
c. = _______________
6. Representa los siguientes números a la numeración babilónica utilizando el sistema
posicional.
101
a. 2569
b. 6368
c. 10450
d. 12600
e. 125450
f. 269000
g. 956412
III. ACTIVIDADES DE CIERRE.
FORMALIZACIÓN DE CONCEPTOS
ACTIVIDAD # 1
1. Paga las cantidades que se muestran, utilizando el menor número de billetes y
monedas
a. 20.500
b. 327.150
c. 980.500
d. 793.250
2. Calcula cuantos billetes de la denominación que se indica, se necesitan para completar
la cantidad de dinero que se pide en cada caso. Primero responde haciendo cuentas y
después verifica tu resultado utilizando los billetes.
a) Completa $100.000 con billetes de $20.000
b) Completa $370.000 con billetes de $10.000
c) Completa $225.000 con billetes de $5.000
102
SISTEMA DECIMAL DE NUMERACIÓN:
Las características fundamentales de nuestro sistema de numeración son decimal y posicional.
Es decimal porque utiliza diez símbolos denominados cifras que son: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 y 0.
Y es posicional porque la formación de sus unidades va de diez en diez. Así, por ejemplo: 10
unidades forman otra unidad llamada decena, 10 decenas forman otra unidad llamada centena
y así sucesivamente. El valor de cada cifra de un número depende el lugar donde esté.
Con estas diez cifras se pueden formar todos los números posibles mediante las
combinaciones entre ellas. Ej.: con las cifras 1 y 2 se pueden formar: 12; 21; 11; 22; 121, etc.
El mínimo valor que puede tener una cifra es cero (cifra no significativa) y el máximo valor es 9
(una unidad menos que la base diez).
ACTIVIDAD # 2
Por grupos colaborativos y con la ayuda del docente, los estudiantes leen y e interpretan las
siguientes imágenes para comprender la forma como se compone el sistema de numeración
decimal.
1.
2.
3.
103
Tomadas de: http://www.bartolomecossio.com/MATEMATICAS/sistema_de_numeracin_decimal.html
ACTIVIDAD # 3
1. Escribe con palabras los siguientes números naturales.
a. 845.923________________________________________________________________
_____________________________________________________________
b. 2.345.200______________________________________________________________
______________________________________________________________
c. 24345.678______________________________________________________________
_____________________________________________________________
d. 12.567.895.490__________________________________________________________
_____________________________________________________________
2. Escriba el número que cumpla con las condiciones dadas:
a. Tiene 6 cifras, 4 unidades de mil y 9 decenas
______________________________________________________________________
b. Tiene 11 cifras, 4 unidades de millón y 9 decenas de mil
________________________________________________________________
3. En cada descomposición, escriba el número correspondiente:
a. 8 UMi + 5 CM + 2 DM + 4 UM + 9 D + 2 U=
104
b. 5UMi + 5 C + 9 U=
c. 9 DMi + 4 CM + 5 DM + 6 UM + 3 C + 9 D + 9 U=
d. 7 CMi + 8 DM + 4 UM + 2 D + 2 U=
4. El número 428 ¿Cuántas centenas, decenas y unidades tiene?
5. El número 2.344.500 ¿Cuántas unidades de millón, unidades de miles, centenas,
decenas y unidades tiene?
6. Completa la siguiente tabla indicando en qué posición se encuentra el número 8,
además indicar cuanto es su valor de acuerdo al lugar que ocupa.
NÚMERO ORDEN DE UNIDADES VALOR SEGÚN EL
LUGAR
12.380 Decenas Ochenta
8456
568
56.810
87.123.456
RÚBRICA DE EVALUACIÓN
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
NIVELES DE DESEMPEÑO
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
Interpretar los sistemas de
numeración egipcio y babilónico
para reconocer en ellos el
principio aditivo y posicional de
un número.
No interpreta los
sistemas de
numeración egipcio y
babilónico ni reconoce
en ellos el principio
aditivo y posicional de
un número.
Interpreta los sistemas
de numeración egipcio
y babilónico, pero no
reconoce en ellos el
principio aditivo y
posicional de un
número.
Interpreta los
sistemas de
numeración egipcio y
babilónico y reconoce
en ellos el principio
aditivo y posicional de
un número.
105
Identificar el sentido y el
significado de los números
naturales.
No Identifica el
sentido y el
significado de los
números naturales.
Identifica el sentido,
pero no el significado
de los números
naturales.
Identifica el sentido y
el significado de los
números naturales.
Conocer y aplicar el sistema de
numeración decimal en
situaciones contextuales desde la
lectura de números grandes y el
reconocimiento del valor
posicional de una cifra.
No conoce ni aplica el
sistema de
numeración decimal
en situaciones
contextuales desde la
lectura de números
grandes ni desde el
reconocimiento del
valor posicional de
una cifra.
Conoce y aplica el
sistema de numeración
decimal en situaciones
contextuales desde la
lectura de números
grandes, pero no desde
el reconocimiento del
valor posicional de una
cifra.
Conoce y aplica el
sistema de
numeración decimal
en situaciones
contextuales desde la
lectura de números
grandes y desde el
reconocimiento del
valor posicional de
una cifra.
SESIÓN # 2
LOS NUMEROS ENTEROS
GRADO: NOVENO
TIEMPO: UNA SEMANA (5 HORAS)
RECURSOS: Guías, Video Beam, folder.
ESTÁNDAR:
Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
Reconoce las situaciones históricas que dieron origen a los números enteros.
106
Identifica las características de los números enteros, en diferentes condiciones de
situaciones problema.
Ordena números enteros a partir de diferentes representaciones.
I. ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN
(Activación de conocimientos previos)
VÍDEO: ORIGEN DE LOS NÚMEROS NEGATIVOS
Se proyecta el siguiente video con el objetivo de introducir el concepto de números enteros a
partir de situaciones de deudas y estimular el sentido y significado de dichos números.
https://www.youtube.com/watch?v=ZTPQCw9In34
A partir del video responde las siguientes preguntas y discútelas con tus compañeros.
1. ¿Qué relación encuentra entre la marca que hacían los chinos encima de las varillas
para representar los negativos con símbolos de la actualidad?
107
2. ¿Si la economía se movía era por el intercambio de productos, qué haría que se
empezara a manejar deudas?
3. ¿Por qué cree que no se aceptaban los números negativos como solución a una
ecuación?
4. ¿Por qué absurdo y falso se refiere a negativo?
5. La formalización de los negativos en la recta numérica por Euler ha permanecido hasta
nuestro tiempo. ¿A qué se debe esta situación?
II. ACTIVIDADES DE DESARROLLO CON LA HISTORIA
ORIGEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Con los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden restar o
dividir. Por esta razón se hace una amplificación al conjunto de los naturales, esta situación
produce el conjunto de los números negativos.
En la antigüedad a los números negativos los llamaban “números deudos” o “números
absurdos”. En los siglos V en oriente, se muestran las primeras expresiones, pero es solo hasta
siglo XVI que llegan a occidente. En oriente se manejaban números positivos y negativos,
rigurosamente se operaban con ábacos, empleando tablillas o bolas de diversos colores.
LOS NÚMEROS NEGATIVOS PARA LOS CHINOS
Los chinos no aceptaron un número negativo como solución a una ecuación, fueron los indios
los que diferenciaron los números positivos y negativos, los explicaban como créditos y débitos,
correspondientemente, los diferenciaban por símbolos, a quienes también se les atribuye el
cero por el año 650 d. C. Los griegos utilizaban magnitudes negativas en sus teoremas del
álgebra geométrica, orientadas a las propiedades de la resta.
Ejemplo:
(a – b). (c – d) = ac + bd –ad –bc;
108
Estas operaciones quedaban indicadas. Los indios mostraron las reglas para trabajar con
números positivos y negativos.
Los chinos se negaron a aceptar soluciones negativas a una ecuación; por ello a estos
números los llamaron negativos.
Hacia el año 250 a.C, los matemáticos chinos, tenían un concepto de la negatividad, debido a
la dualidad de su filosofía basada en el “yin” y el “yang”. Se referían a los números “yin” y
“yang”, siendo el cero el equilibrio entre estas dos fuerzas opuestas.
ACTIVIDAD # 1
Representa los siguientes números utilizando los símbolos de varillas empleados por los
chinos:
• 102, -102
109
• 305, -305
• 408, -408
• 124, -124
• 398, -398
LÍNEA DE TIEMPO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
CULTURA HINDÚ Y ÁRABE
110
La civilización hindú introdujo en el siglo VII d.C. los números relativos como cantidades
aisladas llamándolos “las deudas”, “los bienes”, y “la nada”, empleando estos conceptos de
negatividad en la práctica, utilizado en la resolución de problemas.
Brahmagupta (628 d.C.) le da una extensión a los números que servían para contar, con los
números relativos. Al cero, lo nombraba como “la nada”, siendo el resultado de restar un
número de sí mismo. Detallaba operaciones con adiciones, sustracciones, multiplicaciones,
divisiones, potencias y extracción de raíces con los “bienes”, “las deudas” y “la nada”.
Propone la ley de los signos: el producto de dos deudas es una fortuna, mostrando reglas
numéricas de los números positivos y negativos.
ACTIVIDAD # 2
Clasifica estas situaciones de la vida diaria como Yin o absurdo, Yan o bienes, equilibrio
o nada, positiva o negativa.
• Temperaturas en invierno en Canadá.
• deudas que tengo en el banco.
• cobro de intereses.
• regalos recibidos en mi cumpleaños.
• ganancia por rifas.
• metros recorridos.
• bajo al sótano en ascensor.
• temperatura en Cartagena en verano.
• camino hacia el norte y me regreso al punto inicial (mido distancia).
A continuación, los estudiantes observan con atención el siguiente video donde se reconoce el
sentido y significado de los números enteros además de la función del cero en dicho conjunto.
www.youtube.com/watch?v=6wtxNfZEjVU
111
AHORA RESPONDE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS
1. ¿Para qué sirven los números enteros?
2. ¿Qué importancia tiene el cero?
3. ¿Para qué es importante conocer el nivel del mar?
4. ¿Qué importancia tiene la recta numérica?
5. ¿Qué significa el cero de manera convencional?
6. ¿Qué importancia tiene el sentido de los números?
CONTINUEMOS CON LA HISTORIA
Leonard Paul Euler, fue quien le dio un uso formal a los números negativos, demostrando que
(-1) x (-1) = +1. Es así como representa en la recta numérica los números positivos desde el
cero hacia la derecha y los números absurdos a la izquierda con el signo menos.
112
PENSANDO…
En el principio las situaciones de la vida cotidiana se solucionaban con los números
naturales, entonces ¿cómo crees que empezaron a hablar de números negativos?
¿Qué significa punto de referencia?
¿Qué significaba un número negativo según los datos que puede representar en la recta
numérica?
Podemos representar en la recta numérica situaciones de la civilización antigua tales
como:
La temperatura de un pueblo que era menor de cero y se marca como 6 grados.
Un tiburón que rescatan en el fondo del mar, bajo 7 metros.
Un filósofo que nace 4 años antes de cristo.
La temperatura de un pueblo a la orilla del mar que se marcaba como 6 grados
superiores a cero.
La altura del salto de una ballena por encima del nivel del mar 7 metros.
Un científico que nace en el año 4 después de cristo.
III. ACTIVIDADE DE CIERRE. FORMALIZACIÓN DE CONCEPTOS
¿Con el conjunto de los números naturales es imposible realizar una diferencia donde el
minuendo es menor que el sustraendo 2 – 10 = ?; Sin embargo, en la vida cotidiana nos
encontramos con situaciones donde se necesita restarle un número mayor a un número menor.
Por esta razón se define un nuevo conjunto numérico denominado números enteros.
113
DEFINIC
IÓN DE
NÚMERO
ENTERO
El conjunto de
los números
enteros está
conformado por
todos los números naturales (positivos), el cero, y los números opuestos a los naturales, es
decir los negativos.
114
ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Recuerda:
Todo número negativo, siempre es menor que cero −2 < 0
Todo número positivo siempre es mayor que cero 2 < 0
Entre dos números negativos es mayor el más pequeño -5 < -2
ACTIVIDAD # 1
Resuelve los siguientes problemas:
1. Usted se encuentra pescando en el rio sobre un bote. Estas sentado a un metro sobre
la superficie del agua. Cuando tirante el anzuelo quedó a 7 metros por debajo de la
superficie del agua.
a. Realiza un dibujo de la situación utilizando los números enteros.
b. ¿A qué distancia te encuentras del anzuelo?
2. Eres un inversionista de la bolsa. El día lunes ganaste 2000 dólares, al día siguiente
ganaste otros 500 dólares, pero finalmente, el día miércoles, por una mala decisión,
pierdes 5000 dólares.
a. Representa con números enteros las cantidades ganadas y perdidas cada día.
b. Representa con un número entero ¿cuál fue tu pérdida total el miércoles?
3. Al amanecer en tu cuidad en se registró una temperatura de 2 grados najo cero. A las
doce del mediodía la temperatura había aumentado 15 grados, y a las dos de la tarde
había subido 3 grados más. Desde las dos de la tarde hasta las 10 de la noche bajo 5
grados y finalmente desde las diez de la noche hasta las 5 de la mañana bajo 4 grados
más.
a. Representa con números enteros las temperaturas a cada hora.
115
b. ¿Qué temperatura hacia a las 5 de la mañana?
RÚBRICA DE EVALUACIÓN
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
NIVELES DESEMPEÑO
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
Reconocer las situaciones
históricas que dieron origen a los
números enteros.
No reconoce las
situaciones históricas
que dieron origen a los
números enteros.
Reconoce solo
algunas situaciones
históricas que dieron
origen a los números
enteros.
Reconoce las
situaciones históricas
que dieron origen a
los números enteros.
Identificar las características de
los números enteros, en
diferentes condiciones de
situaciones problema.
No identifica las
características de los
números enteros, en
diferentes condiciones
de situaciones
problema.
Identifica solo algunas
características de los
números enteros, en
diferentes condiciones
de situaciones
problema.
Identifica las
características de los
números enteros, en
diferentes condiciones
de situaciones
problema.
Ordena números enteros a partir
de diferentes representaciones.
No ordena números
enteros a partir de
diferentes
representaciones.
Ordena números
enteros solo a partir
de algunas
representaciones.
Ordena números
enteros a partir de
diferentes
representaciones.
116
SESIÓN # 3
LOS NUMEROS RACIONALES GRADO: NOVENO
TIEMPO: UNA SEMANA (5 HORAS)
RECURSOS: Guías, Video Beam, tijeras, hojas, folder.
ESTÁNDAR: Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
Reconoce las situaciones que dieron origen a la construcción de los números racionales
(fraccionarios)
Identifica las fracciones en sus diferentes contextos y representa situaciones haciendo
uso de ellas.
Ordena números racionales y reconoce la propiedad de la densidad en ellos.
I. ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN
(Activación de conocimientos previos)
1. Representa en tu folder que fracción está pintada en cada imagen
2. En una finca hay 50 animales, de los cuales 10 son vacas, 15 son caballos y 25 son
toros.
a. Representa como una fracción cada especie de animales.
b. Que fracción corresponde a las vacas y los toros juntos.
117
3. Si usted y 3 amigos más, compran 5 manzanas por 900 pesos…
a. ¿Cuántas manzanas le toca a cada uno, si desean repartirlas de forma igual?
b. ¿Cuánto dinero debe aportar cada uno, si deben de poner la misma cantidad?
4. Escribe en el folder con tus propias palabras, cómo se lee cada fracción que aparece a
continuación.
a. 5
3 b.
9
5 c.
12
7 d.
35
100 e.
1
20
5. El grupo de noveno uno está compuesto por 30 personas de las cuales los 3
5 son
mujeres. ¿cuántos hombres hay?
6. Representa con dibujos y escribe numéricamente las siguientes condiciones:
a. Dos fracciones que sean iguales a 1.
b. Tres fracciones menores que 1.
c. Tras fracciones mayores que 1.
7. Usando la calculadora, comprueba que al dividir el numerador con el denominador de
las siguientes fracciones da como resultado un número igual.
a. 2
5 y
4
10
b. 25
4 y
100
16
c. ¿Crees que es posible encontrar más fracciones equivalentes a las anteriores?
Justifica tu respuesta.
d. ¿Cuántas fracciones equivalentes (que al dividir dan el mismo resultado) crees que
puedes encontrar para 1
2
8. Encuentra fracciones equivalentes a 3
7 , pero cumpliendo las condiciones de la siguiente
tabla.
118
NUMERADOR 6 12 30 33 300
DENOMINADOR 21 56 105
9. Divide las siguientes fracciones usando la calculadora y escribe el resultado encontrado:
a. 9
5=
b. 12
11=
c. 13
22=
10. De los resultados encontrados en las divisiones anteriores escribe que tipo de numero
decimal encontró, descríbelo:
a. ____________________________________________________________
b. ____________________________________________________________
c. ____________________________________________________________
II. ACTIVIDADES DE DESARROLLO CON LA HISTORIA
LOS EGIPCIOS Y LAS FRACCIONES A continuación, se presenta algunas formas de como los egipcios trabajaban con los números
fraccionarios. (Evidencias encontradas en el Papiro de Rhind o Papiro de Ahmes)
Según Stewart, (2008). Se utilizaron diferentes notaciones para las fracciones. Una notación especial en el periodo (2.700 - 2.200 a.C.), para las fracciones 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 y 1/64 se hacía por división repetida de 2. Para esto utilizaba en ojo de “Horus”
119
Este ojo representaba una unidad de medida conocida como “Heqat” y se utilizaba para medir
extensiones de tierra de manera fraccionada donde cultivaban mayormente trigo y cebada.
Martín, (2010).
Las fracciones utilizadas por los egipcios utilizaban siempre el numerador 1 y los
denominadores eran potencias de 2 así:
ACTIVIDAD # 1
Toma una hoja de papel y recórtala de manera que obtengas un cuadrado como se muestra en
la figura:
Dobla la hoja a la mitad, luego, luego repite este proceso como se muestra en la figura hasta
llegar a la fracción 1 / 64.
120
Finalizada la actividad responde las siguientes preguntas:
1. ¿Escribe en tu folder la relación que encuentras entre la fracción del primer recorte ½ y
las fracciones de los recortes posteriores?
2. ¿Escribe la fracción hasta donde te fue posible doblar el papel?
3. ¿Es posible doblar el papel de manera infinita para seguir encontrando la fracción
correspondiente a cada doble?
4. ¿Crees que es posible encontrar las fracciones de cada doble del papel sin necesidad
de usarlo físicamente, es decir, mediante cálculos numéricos?
5. Escribe la fracción equivalente a doblar el papel en 30 veces.
EL PAPIRO RHIND El papiro de Rhind es uno de los documentos que ha brindado la mejor evidencia de los
conocimientos que tenían los egipcios sobre la matemática y como la utilizaban para la
resolución de problemas. Este papiro data de del año 1650 a.C; sin embargo, se habla de la
utilización de la matemática egipcia hacía unos 3000 años a.C. Pulpón, (2010).
El papiro fue escrito por el escriba Ahmes donde se encuentran
múltiples problemas matemáticos puramente prácticos, no
ahonda para nada en la matemática teórica demostrativa, sino
más bien es considerado un documento pedagógico que
presenta 87 problemas matemáticos con su respectiva
resolución.
Entre los múltiples problemas encontrados en el papiro nos
vamos a centrar en los problemas 1, 2, 3, 4, 5 y 6 que se
refieren al reparto de barras de pan entre 10 hombres sin provocar una pelea, es decir, que la
repartición sea justa.
121
ACTIVIDAD # 2
Explora tus conocimientos
1. Escribe en tu folder el procedimiento de como divides 9 panes entre 10 personas de tal
manera que cada una reciba partes iguales para que la repartición sea justa (problema
6 del papiro de Rhind).
2. Una vez escrito el procedimiento se debe socializar al grupo con el ánimo de observar
los diferentes puntos de vista y hacer un debate donde se retroalimenten las dudas y las
discrepancias encontradas.
3. Realizado el debate, el docente muestra el procedimiento realizado por el escriba
Ahmes, en el papiro de Rhind, para ilustrar la forma peculiar como hacía el reparto.
Tomado de https://www.youtube.com/watch?v=s_QM8VOsRxk
PROBLEMA 6 DEL PAPIRO DE RHIND
Repartir 9 panes entre 10 personas sin provocar una pelea.
Tomamos 5 panes y los dividimos por la mitad.
Ahora tomamos los 4 panes restantes y los partimos en tercios (1/3).
Así tendríamos 10 medios panes.
(½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½) y le
daríamos a cada persona de
momento ½ de pan.
122
Ahora cada persona tendría de momento ½ y 1/3 de pan.
Ahora nos quedan dos partes de 1/3 de pan.
Finalmente, si dividimos cada tercio en 5 partes iguales obtenemos 10 partes de 1/5 de
pan.
Así las cosas, cada persona recibirá:
Como es de notar se trata de ir partiendo los panes de tal manera que siempre se
obtengas 10 partes iguales.
Obtenemos 12 partes y le damos a cada
persona 1/3 de parte y nos sobrarían
dos partes de 1/3
Así podemos darle un trozo de 1/5
de pan a cada una de las 10
personas.
123
ACTIVIDAD # 3
Resolver los problemas del 1 al 5 del papiro de Rhind utilizando el método empleado por
el escriba Ahmes.
1. Repartir una barra de pan entre 10 personas
2. Repartir dos barras de pan entre 10 personas
3. Repartir seis barras de pan entre 10 personas
4. Repartir siete barras de pan entre 10 personas
5. Repartir ocho barras de pan entre 10 personas
III. ACTIVIDADES DE CIERRE. FORMALIZACIÓN DE
CONCEPTOS
Los números racionales se originan de la necesidad de dividir algo en partes iguales. Con los
números enteros se hace imposible hacer reparticiones no exactas, esta situación generó la
necesidad de construir un nuevo conjunto que solucionara dicha situación.
DEFINICIÓN DE NÚMERO RACIONAL
Cuando se quiere dividir un número entero por otro se genera un número racional. Por ello se
define como la división de dos números enteros a/b siempre que b sea distinto de cero. (No se
puede dividir por cero).
Como a todo número entero se le puede poner un 1 en el denominador, se deduce que todos
los enteros son racionales.
0 q , Z qp, / q
p
124
ACTIVIDAD # 1
Discute con tus compañeros las siguientes propiedades de los números racionales:
El conjunto de los números racionales es infinito.
Los racionales no tiene ni un primero ni un último elemento.
Entre dos números racionales, siempre existe otro número racional.
Diferentes formas de un número racional
Existen tres formas de expresar un número racional:
a) 0 b que talb
a (Forma de fraccionario)
b) 0,5 = 4÷ 2 = 4
2 :Ej. b÷ a =
b
a (Forma decimal)
% 25 = 100 x 4
1 :Ej. % 100 x
b
a c) (Forma porcentual)
ACTIVIDAD # 2
Resuelve los siguientes ejercicios
1. Indique cuál de las parejas de racionales son iguales:
5
2y
10
4 c)
3
2y
6
4 b)
7
4y
3
2 )
a
2. Escriba >, < o = según corresponda, en cada pareja de números racionales:
a) 6
1y
6
4 b)
7
4-y
8
2 c)
20
16y
5
4
3. Escribe 3 decimales entre:
81,y 31,5 b) 0,7y 50, )_-
a
125
RÚBRICA DE EVALUACIÓN
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
Reconocer las situaciones que dieron origen a la construcción de los números racionales (fraccionarios)
No reconoce las situaciones que dieron origen a la construcción de los números racionales (fraccionarios)
Reconoce solo algunas de las situaciones que dieron origen a la construcción de los números racionales (fraccionarios)
Reconoce las situaciones que dieron origen a la construcción de los números racionales (fraccionarios)
Identificar las fracciones en sus diferentes contextos y representar situaciones haciendo uso de ellas.
No Identifica las fracciones en sus diferentes contextos ni representa situaciones haciendo uso de ellas.
Identifica las fracciones en sus diferentes contextos, pero no representa situaciones haciendo uso de ellas.
Identifica las fracciones en sus diferentes contextos y representa situaciones haciendo uso de ellas.
Ordenar números racionales y reconocer la propiedad de la densidad en ellos.
No ordena números racionales ni reconoce la propiedad de la densidad en ellos.
Ordena números racionales, pero no reconoce la propiedad de la densidad en ellos.
Ordena números racionales y reconoce la propiedad de la densidad en ellos.
126
SESIÓN # 4
LOS NÚMEROS IRRACIONALES
GRADO: NOVENO
TIEMPO: UNA SEMANA (5 HORAS)
RECURSOS: Guías, Video Beam, tijeras, metro, cuerdas, circunferencias folder.
ESTÁNDAR: Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
Reconoce la situación histórica que dio origen a los números irracionales.
Comprende el sentido y el significado de los números irracionales y la diferencia de los
demás conjuntos de números.
Construye el valor de pi a partir de situaciones experimentales y lo reconoce como un
número irracional.
I. ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN
(Activación de conocimientos previos) Se propone el siguiente Vídeo “Números Irracionales: historia y definición” con el objetivo de ilustrar como fue el descubrimiento de dichos números y que consecuencias trajo para la evolución de las matemáticas.
https://www.youtube.com/watch?v=kXx6p46gS1E
127
A partir de lo observado en el video responde:
1. ¿Qué importancia tiene el teorema: “la suma del cuadrado de los catetos, es igual al
cuadrado de la hipotenusa” en la construcción de los números irracionales?
2. ¿Por qué crees que se esconde el descubrimiento de un número que no era
racional?
3. ¿Qué relación encuentra entre decimal infinito no periódico con la concepción de
irracional?
II. ACTIVIDADES DE DESARROLLO CON LA HISTORIA
HISTORIA DE LOS IRRACIONALES
Existen números con características particulares a los que llamaron, en la antigüedad,
inconmensurables, es decir, no medibles, estos números en la actualidad se llaman
irracionales. Este significado de irracional se observó en la geometría. Se dice que todo se
inicia con el nacimiento de Hipaso, 500 años a.C en la Grecia clásica, ciudad de Metaponto al
sur de la Italia actual. Hipaso era filósofo, teórico de la música y matemático, discípulo de
Pitágoras, quien pertenecía a la escuela Pitagórica.
Hipaso marcaría la historia de las matemáticas. Tenía la creencia que todo el universo podía
ser explicado con números naturales y racionales.
Hipaso, al estudiar un triángulo rectángulo con catetos cuya medida era 1, al realizar el teorema
de su maestro Pitágoras, pudo observar que la suma de los catetos al cuadrado es igual al
cuadrado de la hipotenusa, quedaría que 2 es igual a la hipotenusa al cuadrado, según la
creencia de los pitagóricos, debía existir un número racional cuyo cuadrado sea igual a 2. Se
128
empezó la búsqueda de dicho número, pero se encontró con que no era posible debido a que
no existía una razón que diera exactamente dos.
Entonces Hipaso llegó a la conclusión que existían números que no estaban dentro de la razón,
es decir irrazonables. Con este descubrimiento Hipaso rompió el pacto del secreto al divulgar
que existen números irracionales.
Teorema de Pitágoras:
ACTIVIDAD # 1
1. Calcula la en tu calculadora y escribe los decimales encontrados. ¿Qué tipo de
decimal es?
2. Usando el teorema de Pitágoras, encuentra 5 raíces que den origen a un decimal infinito
no periódico.
EL NÚMERO IRRACIONAL PI
ACTIVIDAD # 2
129
Experimenta:
Dibuja en una hoja de block una circunferencia cualquiera con su diámetro.
Toma una cuerda del mismo largo del diámetro y superpóngala consecutivamente en la
longitud de la circunferencia.
Responde las siguientes preguntas:
1. ¿Cuántas veces cabe el diámetro en el perímetro?
2. ¿Cupo exactamente o le sobro algo?
3. ¿Cómo se puede medir numéricamente ese algo?
4. ¿Te atreves a decir cuánto mide lo que te sobró, qué número es?
DIFERENTES APROXIMACIONES AL NÚMERO PI
Hace más de 3.800 años, un escriba egipcio llamado Ahmes, dio la primera aproximación de Pi
cuando dijo que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado sea 1/9 parte
más chico que el diámetro del círculo, dando como valor aproximado Pi = 3.16049, empezando
un problema que ha durado miles de años llamado la cuadratura del círculo.
Pi es un número irracional, significa que no se puede expresar como una fracción. Han existido
muchos métodos para calcular pi.
Arquímedes, se encontró uno muy ingenioso, dibujando polígonos de cada vez más lados
inscritos y circunscritos en un círculo y calculando sus perímetros dedujo que el valor de pi
estaba entre 3.1408 y 3.1429, llegando a un polígono de 96 lados.
El matemático Zu Chongzhi, usó un polígono de 12.288 caras y llegó a un resultado más
preciso entre 3.1415926 y 3.1415927. Durante mucho tiempo, estas aproximaciones han sido
suficientes para la mayoría de las prácticas, pero los matemáticos siguieron encontrando más y
más dígitos a lo largo de la historia.
130
A Newton, no le parecía bien calcular por tanto tiempo pi, fue entre 1671 y 1674 que los
europeos Gregory y Leibniz se enteraron de que un matemático de la India Madhava de
Sangamagrama, inventó un método que llamó de las series infinitas con el que Abraham Sharp
calculó 71 dígitos de pi. Antes del invento de las calculadoras el reto lo logró Daniel Ferguson
con 620 dígitos. En la actualidad con el invento del computador, se ha calculado que pi es igual
a 3.141592 y billones de dígitos más.
El nombre griego de π, no se lo pusieron los griegos, sino que se usó por primera vez en el
siglo XVII, debido a que con la letra π, empieza la palabra “περιμετρος” (perímetro), la hizo
popular Leonhard Euler en el siglo XVIII.
ACTIVIDAD # 3
Se propone el siguiente VÍDEO para ilustrar experimentalmente el valor de
Π (pi)
https://www.youtube.com/watch?v=54ix2K7V3ZY
A partir de la lectura y el VÍDEO, realiza por parejas los siguientes puntos.
1. Hacer una línea de tiempo sobre los matemáticos que plantearon aproximaciones al
valor de Π (pi).
131
2. Realizar el siguiente procedimiento para comprobar aproximadamente el valor de Π (pi).
a. Mida en centímetros las siguientes circunferencias (su perímetro):
b. Mida en centímetros en diámetro de cada circunferencia.
c. Escribe en la siguiente tabla los resultados obtenidos.
Circunferencias Perímetro Diámetro Perímetro ÷ Diámetro
1
2
3
4
d. Responde:
¿A qué valor se acerca la división del perímetro con el diámetro?
Compara el valor al que tú llegaste con el de algunos de tus compañeros.
¿Qué piensas de esta experiencia?
Escribe algunas conclusiones sobre la actividad realizada.
III. ACTIVIDADES DE CIERRE. FORMALIZACIÓN DE CONCEPTOS
CONCEPTO DE NÚMERO IRRACIONAL
132
Si un número posee infinitas cifras decimales no periódicas, Se define como número
irracional y, por tanto, no se puede expresar en forma de fracción, es decir, no existe la
forma de ponerlo como la división de dos números enteros.
Ejemplos:
1. El número pi, e y phi son números cuyas cifras decimales son infinitas y no
tienen un periodo definido.
2. Todas las raíces que no son exactas, dan como resultado decimales infinitos no
periódicos.
ACTIVIDAD # 1
1. Escribe con tus palaras que son los números irracionales.
2. Escribe 3 raíces cuadradas cuyos resultados sean números irracionales.
3. Ubica los siguientes números irracionales en la recta numérica, utilizando regla y
compas. (√3, √5, √7, √8, √10, √63
, √203
, ∛30).
4. Escribe 3 números irracionales que se encuentres entre 0 y 3
5. Completar la tabla poniendo ϵ (pertenece) o ∉ (no pertenece) en cada cuadro según el
caso.
133
Racionales (Q)
Irracionales (I)
20
√36
0.5555
√30
0.08 π
2.1245678898…
RÚBRICA DE EVALUACIÓN
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
Reconocer la situación histórica que dio origen a los números irracionales.
No reconoce la situación histórica que dio origen a los números irracionales.
Reconoce solo una parte de la situación histórica que dio origen a los números irracionales.
Reconoce la situación histórica que dio origen a los números irracionales.
Comprender el sentido y el significado de los números irracionales y diferenciarlos de los demás conjuntos de números.
No comprende el sentido y el significado de los números irracionales ni los diferencia de los demás conjuntos de números.
Comprende el sentido y el significado de los números irracionales, pero no los diferencia de los demás conjuntos de números.
Comprende el sentido y el significado de los números irracionales y los diferencia de los demás conjuntos de números.
134
Construir el valor de pi a partir de situaciones experimentales y reconocerlo como un número irracional.
No construye el valor de pi a partir de situaciones experimentales ni lo reconoce como un número irracional.
Construye el valor de pi a partir de situaciones experimentales, pero no lo reconoce como un número irracional.
Construye el valor de pi a partir de situaciones experimentales y lo reconoce como un número irracional.