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Este libro trata de las nociones básicas de la ges-tión de la calidad y de algunas técnicas estadísticas útiles en el contexto de la ingeniería en organización industrial. Presenta las tendencias actuales sobre gestión de la calidad, incluyendo los modelos más comunes: el Malcolm Baldrige Award, el European Quality Award de la EFQM y las normas de la se-rie ISO 9000. Proporciona la metodología y la for-mulación estadística para poder diseñar planes de muestreo de recepción de materiales, construir grá-ficos de control, realizar estudios de capacidad de un proceso y estudios de control de los equipos de medida. La terminología empleada es la que propo-ne la International Organization for Standardization (ISO), el organismo internacional de normalización (v. ISO 9000). Aunque su orientación es industrial, muchas de las cuestiones que se abordan en este libro también son válidas para empresas de servi-cios e incluso para la Administración pública.

Eulàlia Gríful es Doctora en Matemáticas por la Uni-versitat de Barcelona (UB). Es profesora del Depar-tamento de Estadística e Investigación Operativa de la Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Indus-trial de Terrassa (ETSEIT) de la UPC. Actualmente es subdirectora de Innovación Académica en la ET-SEIT y responsable de los estudios semipresencia-les de gestión de la calidad. Colabora en los progra-mas de doctorado del Departamento de Estadística e Investigación Operativa, en el Máster de Calidad en la Empresa y en el programa de posgrado Seis Sigma de la UPC. Ha trabajado como consultora de gestión de la calidad en el Departamento de Toxi-cología Medioambiental de la UPC y en el Institut Català de Tecnologia (ICT).Miguel Á. Canela es Doctor en Matemáticas por la UB. Ha trabajado como profesor en el Departamen-to de Matemática Aplicada y Análisis de dicha Uni-versidad desde 1976. Ha colaborado como profesor en los programas de doctorado de la Universitat Pompeu Fabra y del IESE, y como consultor de ges-tión de la calidad en el ICT.Ambos autores han colaborado, en los últimos diez años, en proyectos de asesoramiento y formación en gestión de la calidad en empresas industriales de Cataluña.

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AULA POLITÈCNICA/ ORGANIZACIÓN DE EMPRESAS

Eulàlia Griful PonsatiMiguel Ángel Canela Campos

Gestión de la calidad

EDICIONS UPC

9 788483 017913

AULA POLITÈCNICA/ ORGANIZACIÓN DE EMPRESAS

EDICIONS UPC

Eulàlia Griful PonsatiMiguel Ángel Canela Campos

Gestión de la calidad

Primera edición: septiembre de 2002Reimpresión: septiembre de 2005

Diseño de la cubierta: Jordi Calvet

© Los autores, 2002

© Edicions UPC, 2002 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel. 93 401 68 83 Fax 93 401 58 85 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es e-mail: [email protected]

Producción: CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord) La Cup. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona

Depósito legal: B-35993-2002ISBN: 84-8301-791-1

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las san-ciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o proce-dimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos.

Este libro trata de las nociones básicas de la gestión de la calidad y de algunas técnicas estadísticas útiles en el con-texto de la ingeniería en organización industrial. Presenta las tendencias actuales sobre gestión de la calidad, incluyendo los modelos más comunes: el Malcolm Baldrige Award, el European Quality Award de la EFQM y las normas de la serie ISO 9000. Proporciona la metodología y la formulación estadística para poder diseñar planes de muestreo de recepción de materia-les, construir gráficos de control, realizar estudios de capaci-dad de un proceso y estudios de control de los equipos de medida.La terminología empleada es la que propone la International Organization for Standardization (ISO), el organismo interna-cional de normalización (v. ISO 9000). Aunque su orientación es industrial, muchas de las cuestiones que se abordan en este libro también son válidas para empresas de servicios e incluso para la Administración pública.

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Módulo 2.Planes de muestreo 55

Módulo 2. Planes de muestreo

Capítulo 1. Introducción

Capítulo 2. Inspección por atributos

2.1 Planes de muestreo

2.2 Curva característica

2.3 Inspección con rectificación

Capítulo 3. Tablas de muestreo por atributos

3.1 Tablas de muestreo

3.2 Sistema MIL-STD-105

3.3 Sistema ISO 2859-2

3.4 Otras tablas de muestreo

ANEXO A3. Cálculo de probabilidades de aceptación

ANEXO A4. Caso práctico

ANEXO A5. Ejemplos numéricos

56 Gestión de la calidad

1. INTRODUCCIÓN

El propósito de este módulo es familiarizar al lector con los sistemas de muestreo para la inspección de hardware. En la terminología normalizada (ISO), el término hardware designa cualquier producto formado por unidades que no pueden dividirse ni unirse. Estas unidades se inspeccionan para verifi-car que cumplen unos requisitos de calidad, que se han especificado de forma que cada unidad puede ser cumplirlos o no independientemente de las otras. Cuando una unidad cumple estos requisi-tos, decimos que es conforme.

Una no conformidad es cualquier aspecto de una unidad del producto que hace que no cumpla al-guno de los requisitos, y, por tanto, que sea no conforme. Como normalmente los requisitos afectan a más de una característica del producto, hay no conformidades de varios tipos, y a veces una unidad puede presentar varias no conformidades del mismo tipo. Por ejemplo, un requisito de calidad de un tapón para un frasco de perfume puede ser que no se observe en él ninguna raya, pero un tapón no conforme puede presentar una o varias rayas. Se usa aquí, como es costumbre en la literatura del control de la calidad, la expresión no conformidad, evitando expresamente el término defecto, más habitual en el lenguaje ordinario, pero que implica cierta subjetividad. Un producto puede así tener requisitos distintos para clientes distintos, pudiendo cumplir los de un cliente y no los del otro, inde-pendientemente de que consideremos que tiene defectos''.

Los métodos que se comentan en este texto se aplican para tomar decisiones sobre la aceptación o el rechazo de conjuntos (en general grandes) de unidades de un producto, propio o ajeno. El conjun-to aceptado o rechazado se llama lote, y, en general, ha sido producido en condiciones estables, de forma que se puede suponer en él cierta homogeneidad, y tiene sentido aceptarlo o rechazarlo glo-balmente. En este contexto, se llama productor a quien suministra el lote sobre el cual se ha de de-cidir y consumidor a quien realiza la inspección para tomar la decisión de aceptar o no el lote.

Debe tenerse en cuenta que la inspección, por sí misma, no influye sobre la calidad del producto, que es consecuencia de la fabricación. En la inspección para la aceptación o rechazo de lotes se trata simplemente de recoger datos a partir de los cuales se toma una decisión, no habiendo posibilidad de mejora en el caso de que ésta sea negativa. Su objetivo no es evaluar la calidad del lote, sino decidir si se acepta o no.

En general, el muestreo es la selección de una parte o muestra dentro de un conjunto o población. La expresión inspección por muestreo se refiere a la inspección que se limita a una muestra extraí-da de un lote, a partir de cuyos resultados se decide la aceptación o rechazo de la totalidad. En el contexto de la inspección por muestreo, la población es, a veces, el lote que se acepta o rechaza, y, otras veces, el conjunto de la producción del proveedor.

Cuando la inspección consiste en la medición de una característica medible, que varía de forma con-tinua, como la longitud, el grosor, el peso, etc., se habla de inspección por variables. La aceptación o rechazo de un lote se basa en la media y la desviación típica de los valores que toma esa caracterís-tica en las unidades inspeccionadas. En la inspección por atributos, en cambio, consiste en exami-nar si la unidad que se inspecciona presenta o no disconformidades, como agujeros, rayas, abolla-duras, etc. Entonces, la aceptación o rechazo se basa en la cantidad de no conformidades halladas en la muestra. En general, en la inspección por variables se trabaja con muestras menores, el coste de la inspección es menor. No obstante, los métodos de muestreo por variables presuponen la vali-dez de determinadas hipótesis estadísticas, lo que, en general, es poco realista. En la práctica, la inspección por muestreo se realiza casi siempre por atributos.

En este módulo nos limitamos a la inspección por atributos. Se describen con algún detalle los méto-dos de la norma ISO 2859 (atributos). En cuanto al resto de métodos de muestreo que se mencionan, nos limitamos a un breve comentario.


La referencia básica sobre la inspección por muestreo es Schilling (1982), que cubre casi todos los métodos. Duncan (1986) y Wadsworth et al. (1986) tratan el control de la calidad en general, y en particular los planes de muestreo. En la bibliografía se han incluido algunas referencias que pueden ser útiles para el lector que esté interesado en otros métodos, como las reglas skip-lot, o el muestreo continuo.


2. INSPECCIÓN POR ATRIBUTOS

2.1 Planes de muestreo

En la inspección por atributos se supone definido un criterio inequívoco para determinar la conformi-dad de las unidades del producto, y, en ella, la aceptación o rechazo del lote resulta del número de unidades no conformes halladas en la muestra inspeccionada. En algunos casos, no obstante, una misma unidad puede presentar varias no conformidades, por lo que la aceptación o rechazo del lote se decide en función del número total de no conformidades halladas en la muestra. Ambos problemas se tratan igual en los planes de muestreo. Designamos por p el porcentaje de unidades no confor-mes, o porcentaje no conforme, aunque todo lo que se dice se puede aplicar a la situación en que p designa el número de no conformidades por 100 unidades, sin más que pequeños cambios de terminología.

A menudo, en el control de la calidad se distingue entre no conformidades más y menos graves, y se considera razonable una mayor permisividad para las de menor gravedad. La norma MIL-STD-105, por ejemplo, distingue entre no conformidades críticas, mayores y menores, y en la ISO 2859-1, entre las de clase A y clase B (se puede ampliar la clasificación añadiendo la clase C). A veces se inspec-cionan muestras distintas que pueden tener distinto número de unidades para aplicar distintos crite-rios de aceptación, referidos a distintos tipos de no conformidad, aunque es poco frecuente. Normal-mente los distintos tipos de no conformidad se examinan en una misma muestra, a la que se aplican varios criterios de aceptación diferentes.

La inspección por muestreo se lleva a cabo siguiendo planes de muestreo. Un plan de muestreo consta de dos partes:

• Instrucciones sobre cómo extraer la muestra

• Criterio para aceptar o rechazar un lote según los resultados obtenidos

Un plan de muestreo por atributos indica el número de unidades de cada lote que se tienen que ins-peccionar, que es el tamaño de la muestra, designado habitualmente por n, y el criterio para aceptar o rechazar el lote, que habitualmente se concreta en el número de aceptación (Ac) y el número de rechazo (Re). Si el número de unidades no conformes no supera Ac, se acepta el lote. Al alcanzar Re, se rechaza.

Se puede distinguir entre distintos tipos de planes de muestreo. En los planes simples, que son los más usados, sólo se inspecciona una muestra. El plan especifica el tamaño de muestra y el criterio de aceptación. En los planes dobles, se inspecciona una muestra y, en función del resultado, se acepta el lote, se rechaza o se inspecciona otra muestra. El plan especifica el tamaño y el criterio de acepta-ción y rechazo para cada muestra. El criterio de aceptación para la segunda muestra se refiere a la unión de ambas muestras.

Ejemplo 1

El esquema de funcionamiento de un plan de muestreo simple ( n1=50 c1=1) sería:


Se inspecciona una muestra aleatoria de n1=50 uni-dades de un lote y se observan d1 no conformida-des

Si d1≤c1=1 Si d1>c1=1

Ejemplo 2

El esquema de funcionamiento de un plan de muestreo doble (n1=50 c1=1 n2=100 c2=3) sería:

Se inspecciona una primera muestra aleatoria de n1=50 unidades de un lote y se observan d1 no conformidades

Si d1≤c1=1 Si d1>c2=3

Si 2 ≤d1 ≤ 3

Se inspecciona una segunda muestra aleatoria de n1=100 unidades de un lote y se observan d2 no conformidades

Si d1+d2≤c2=3 Si d1+d2>c2=3

En general, se dice que un plan de muestreo es más eficiente que otro cuando consigue objetivos similares con menor esfuerzo de inspección. Mediante cálculos basados en argumentos de tipo pro-babilístico, se puede probar que los planes dobles son más eficientes que los simples.

En los planes múltiples se sigue un procedimiento similar, pero el número de muestras adicionales que se pueden tomar después de la primera es mayor que 1, típicamente 5 o 6. Después de cada una de las muestras sucesivas se realiza la misma discusión: si se cumple el criterio de aceptación, se interrumpe el muestreo y se acepta el lote; si se cumple el de rechazo, se rechaza, y, si no se cumple ninguno de ambos, se extrae una nueva muestra hasta llegar al número máximo de muestras autori-zado en el plan. Los planes múltiples son más eficientes que los dobles.

RECHAZAMOS EL LOTE

ACEPTAMOS EL LOTE

RECHAZAMOS EL LOTE

ACEPTAMOS EL LOTE

RECHAZAMOS EL LOTE

ACEPTAMOS EL LOTE


Los planes secuenciales son el caso límite de los planes múltiples porque en ellos no hay un núme-ro máximo de muestras a inspeccionar. Las unidades se inspeccionan una a una y después de cada inspección se decide si se acepta el lote, se rechaza o se continúa la inspección. Estos planes son más eficientes que los anteriores, aunque se usan poco. McWilliams (1989) es una monografía sobre el tema.

En los cálculos que dan las probabilidades de aceptación de los planes de muestreo que se encuen-tran en la literatura sobre la inspección por muestreo se acepta, en general, una de las dos hipótesis siguientes:

• La muestra se extrae aleatoriamente, es decir, de modo que todas las muestras son igualmente probables, y las distintas unidades del lote tienen la misma probabilidad de entrar en la muestra. Este supuesto se hace cuando se quiere aplicar un plan de muestreo para tomar una decisión sobre un lote aislado, por ejemplo en el sistema ISO 2859-2/A (v. Capítulo 3). En los cálculos se usa la distribución hipergeométrica, o la distribución binomial cuando el lote es mucho mayor que la muestra (v. Anexo A3). En la práctica, el muestreo aleatorio se da poco y, en muchas oca-siones, es físicamente imposible. Para efectuar un muestreo que realmente fuese aleatorio se deberían numerar todas las unidades que integran el lote y seleccionar las que componen la muestra usando una tabla de números aleatorios, extraída de un libro de estadística o generada por un ordenador (por ejemplo, en una hoja Excel). En la mayoría de los casos, una inspección que involucre semejante complicación tiene un coste prohibitivo.

• Las disconformidades aparecen de modo aleatorio, y el lote que se inspecciona es homogéneo en el sentido de que el porcentaje no conforme puede considerarse el mismo en las distintas par-tes del lote. En este caso no tiene importancia la forma en que se extraiga la muestra. En el sis-tema MIL-STD-105 (v. Capítulo 3) se supone que la inspección se aplica a lotes de un proveedor con un proceso de producción estable, de forma que la probabilidad de extraer una unidad no conforme es siempre la misma, no sólo dentro del mismo lote, sino también en lotes distintos. En los cálculos se supone que la población de la que se extrae la muestra es infinita (toda la produc-ción del proveedor) y se usa la distribución binomial.

En general, estas hipótesis son poco realistas y, por consiguiente, las probabilidades de aceptación que se hallan en la literatura sobre inspección por muestreo deben considerarse a título indicativo.

2.2 Curva característica

En un plan de muestreo, la curva característica o curva OC (operating characteristic curve) es una función (o una curva, si la representamos gráficamente) que da la probabilidad de aceptación Pa de un lote en términos de p. La probabilidad de aceptación se calcula, bajo una de las dos hipótesis co-mentadas en la sección anterior, usando alguna de las fórmulas del Apéndice A3. Las curvas elabo-radas bajo el primero de los supuestos, el del muestreo aleatorio en una población finita, se llaman curvas de tipo A, y las que se basan en el supuesto del muestreo en una población infinita homogé-nea, curvas de tipo B. Esta distinción desaparece, a efectos prácticos, cuando el lote es mucho ma-yor que la muestra. Sea cual sea el método de cálculo, la probabilidad de aceptación decrece al au-mentar p. En general, la curva característica tiene forma de S invertida.

El nivel de calidad aceptable es el porcentaje no conforme que se considera aceptable en la inspec-ción. Se designa por AQL (acceptable quality level). El AQL es una indicación que se da al productor, y depende de criterios económicos y técnicos. Al usar este parámetro, es importante tener bien claro lo que significa, ya que, de lo contrario, puede generar expectativas sin fundamento. El AQL puede ser cualquier valor de p para el cual la probabilidad de aceptación sea muy alta (en general superior al 90%). Por consiguiente, podemos asignar distintos valores de AQL a un mismo plan. Por ejemplo, si en un plan de muestreo la probabilidad de aceptación de un lote con p = 2% es aproximadamente igual al 95%, podemos asignar a este plan AQL = 2%, pero también AQL = 1,5%, o AQL = 2,25%, etc.


La calidad límite es el porcentaje no conforme máximo que se considera aceptable en la inspección. Se designa por LQ (limiting quality), LQL (limiting quality level), RQL (rejectable quality level) o LTPD (lot tolerance percent defective). El significado de la LQ en un plan de muestreo es similar al del AQL, pero de sentido contrario. Si p = LQ, la probabilidad de aceptación es baja (en general inferior al 10%). Estos valores se usan en la selección de planes de muestreo, siendo el AQL el más corriente.

Hay dos probabilidades asociadas a estos parámetros que aparecen a veces en la literatura sobre la inspección por muestreo. El riesgo del productor α es la probabilidad de rechazar un lote con p =AQL (que debería ser aceptado). Al hacer p = AQL, la curva característica nos da Pa = 1 - α. Natu-ralmente, α representa el riesgo de cometer un error, que, en un plan bien escogido, debe ser bajo. El riesgo del consumidor, β, es la probabilidad de aceptar un lote con p = LQ (que debería ser recha-zado). Una vez fijados el AQL y la LQ, los riesgos α y β son las probabilidades de error al usar el plan de muestreo, sea rechazando lo que debería ser aceptado, sea aceptando lo que debería rechazarse. En la selección del plan deben tenerse en cuenta estos riesgos, ya que, para que un plan sea acep-table, ambos deben ser bajos (ordinariamente por debajo del 10%). Las tablas de muestreo disponi-bles, como las de la norma MIL-STD-105, son recopilaciones de planes de muestreo que cumplen este criterio.

El nivel de calidad indiferente, abreviadamente IQL (indifference quality level), es el porcentaje no conforme al que corresponde una probabilidad de aceptación del 50%. Se usa, a veces, en las tablas de muestreo.

El modo habitual de presentar los planes de muestreo en tablas; es identificarlos por el AQL No obs-tante, si alguien utiliza un plan seleccionado en una tabla de muestreo usando un cierto AQL podría creer que, como promedio, los lotes aceptados tienen un porcentaje no conforme inferior o igual al AQL, pero, en realidad, no es así. El AQL no representa más que un nivel de calidad que se conside-ra aceptable, y, por lo tanto, el plan tendrá entre otras consecuencias, la de no rechazar más que una proporción muy pequeña de lotes cuyo porcentaje no conforme sea inferior o igual al AQL. Pero eso no asegura que los lotes que aceptamos tengan esa calidad. Dicho de otro modo, el uso de un AQL determinado supone una protección del productor en el sentido de que los lotes con p ≤ AQL serán rechazados muy raramente, pero no una garantía para el consumidor, en el sentido de que los lotes aceptados cumplan p ≤ AQL.

Si el consumidor desea protegerse de la aceptación de lotes de calidad inferior, el camino es estable-cer un valor de LQ adecuado. Si, por ejemplo, LQ = 8%, con un riesgo del consumidor β = 0,05, en un plan de muestreo que cumpla estos requisitos será aceptado un 5%, aproximadamente, de los lotes con p = 8%. Si p > 8%, el porcentaje de lotes aceptados será menor del 5%.

Naturalmente, se puede rebajar α y β con muestras mayores, pero eso aumenta el coste de inspec-ción. La elección del plan debe resultar de un compromiso entre la moderación del coste y el poder de discriminación del plan. En general, en los esquemas de muestreo, que son conjuntos de planes es-cogidos con un cierto método, se propone el plan más barato dentro de los que mantienen los riesgos en un nivel satisfactorio.

Ejemplo 3

Vamos a calcular algunas probabilidades de aceptación para dos planes de muestreo simple:

• Plan A: Extraer una muestra de 20 unidades y aceptar el lote si no hay unidades no conformes (n = 20, Ac = 0).

• Plan B: Extraer una muestra de 50 unidades y aceptar el lote si hay, como máximo, una no con-forme (n = 50, Ac = 1).


La tabla 2.1 da algunos valores de la probabilidad de aceptación para estos planes, calculados a par-tir de la fórmula binomial en una hoja Excel. Se puede pasar de la tabla a un gráfico (la curva caracte-rística) en la misma hoja de cálculo (Figura 2.1).

TABLA 2.1 Probabilidades de aceptación en función del porcentaje no conforme del lote para los planes A y B

Porcentaje Plan A Plan B

0,1% 0,9802 0,9988

0,2% 0,9608 0,9954

0,5% 0,9046 0,9739

1% 0,8179 0,9106

2% 0,6676 0,7358

3% 0,5438 0,5553

4% 0,4420 0,4005

5% 0,3585 0,2794

6% 0,2901 0,1900

7% 0,2342 0,1265

8% 0,1887 0,0827

9% 0,1516 0,0532

10% 0,1216 0,0338

15,0% 0,0388 0,0029

20,0% 0,0115 0,0002

0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

0,0% 1,5% 3,0% 4,5% 6,0% 7,5% 9,0% 10,5% 12,0% 13,5% 15,0%

Porcentaje de no conformidades

Prob

abili

dad

acep

taci

ón d

el

lote

Figura 2.1 Curvas características de los planes A (línea con cuadrado) y B (línea con rombo) del Ejemplo 3.

De la tabla resulta que el plan A sólo podría ser adecuado para AQL < 0.50%, mientras que el plan B sería adecuado para AQL ≤ 1%. Por otro lado, el plan A no sería adecuado para LQ = 8%, pero el plan B sí.


2.3 Inspección con rectificación

A veces se aplica una variante de la inspección por muestreo, en la cual los lotes rechazados (según el plan usado) se inspeccionan al 100%, separándose las unidades no conformes, que, a veces, se reemplazan por conformes. Se reemplacen o no las unidades no conformes, se llama lotes rectifica-dos a los lotes inicialmente rechazados en los que, después de la inspección 100%, el porcentaje de no conformidades es p = 0. Cuanto más estricto es el criterio de aceptación, mayor es la calidad re-sultante, al haber más lotes rectificados. La calidad resultante media, abreviadamente AOQ (avera-ge outgoing quality), es el porcentaje no conforme final medio (contando los lotes aceptados inicial-mente y los rectificados). Se puede dar en función de p, obteniendo la curva AOQ. Su valor máximo es el límite de calidad resultante media, abreviadamente AOQL (average outgoing quality limit).

Los planes de inspección con rectificación se clasifican por LQ o AOQL. Se usaban tradicionalmente en la inspección final de la producción propia. Modernamente, la eliminación de los stocks de materia-les obliga, a veces, a usar estos métodos en el control de recepción para asegurar el cumplimiento de los planes de fabricación. En estos caso, el coste de la inspección 100 % de los lotes rechazados se traslada al proveedor.

Es fácil ver que la calidad resultante media se puede obtener como el producto de la abscisa por la ordenada de la curva característica,

AOQ = p × Pa .

Ejemplo 4

Vamos a calcular la calidad resultante media los planes de muestreo simple A y B del ejemplo 3. Su-ponemos ahora que se rectifican los lotes no aceptados. Si, por ejemplo, p = 1%, con el plan A se acepta el 81,8% de los lotes. El 18,2% restante será rectificado y acabará teniendo el 0% de unidades no conformes. En total, como promedio, tendremos

AOQ = (1%) × (81,8)% = 0,818%.

Para el plan B, un razonamiento análogo da

AOQ = (1%) × (91,1%) = 0,911%.

La tabla 2.2 da algunos valores del porcentaje de la calidad resultante media en función del porcenta-je de no conformidades del lote antes del muestreo rectificativo para los planes A y B, calculados a partir de la fórmula AOQ = Pa× p en una hoja Excel. A partir de la tabla se puede calcular de forma aproximada el AOQL que para el plan A es un porcentaje de 1,79 de no conformidades y en el plan B de 1,67. Esto indica que en el caso más desfavorable en media saldrán 1,79% de unidades no con-formes para el plan A después de un muestreo rectificativo, y un 1,67% para el plan B.

Se puede pasar de la tabla 2.2 a un gráfico (la curva de calidad resultante media AOQ) utilizando la hoja de cálculo (Figura 2.2).


Tabla 2.2 Porcentajes de la calidad resultante media AOQ en función del porcentaje de no conformidades del lote


0,1% 0,10% 0,10%

0,2% 0,19% 0,20%

0,5% 0,45% 0,49%

1% 0,82% 0,91%

2% 1,34% 1,47%

3% 1,63% 1,67% 4% 1,77% 1,60%

5% 1,79% 1,40%

6% 1,74% 1,14%

7% 1,64% 0,89%

8% 1,51% 0,66%

9% 1,36% 0,48%

10% 1,22% 0,34%

15,0% 0,58% 0,044%

20,0% 0,23% 0,004%

0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20% 1,40% 1,60% 1,80% 2,00%

0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0% 16,0% 18,0% 20,0%

Porcentaje no conformidades

AOQ

Plan A Plan B

Figura 2.2 Curvas de calidad resultante media AOQ de los planes A y B


Para evaluar el coste de la inspección con rectificación se puede usar otro parámetro, la inspección total media, abreviadamente ATI (average total inspection), que es el número medio de unidades inspeccionadas, teniendo en cuenta las proporciones de lotes aceptados y rectificados. En estos últi-mos, la inspección acaba realizándose al 100%. El ATI se calcula con la fórmula:

ATI = n + (1 - Pa)(N - n),

en la que N es el tamaño de lote, n es el tamaño de la muestra y Pa es la probabilidad de Si represen-tamos el ATI como función de p, obtenemos la curva ATI, que tiene forma de S.

Ejemplo 5

Vamos a calcular la inspección total media de los planes de muestreo simple A y B del Ejemplo 3. Suponemos ahora que se rectifican los lotes no aceptados. Para un lote de tamaño N = 1000, la ins-pección total media del plan A, si el lote tiene un 1% de no conformidades, es

ATI = 20 + (1 - 0,818)(1000 - 20) = 198,36,

y la del plan B,

ATI = 50 + (1 - 0,911)(1000 - 50) = 134,56

La tabla 2.3 da algunos valores de la inspección total en función del porcentaje de no conformidades del lote antes del muestreo rectificativo para los planes A y B, calculados a partir de la fórmula ATI = n + (1 - Pa)(N - n) en una hoja Excel. Se puede pasar de la tabla 2.3 a un gráfico (la curva de inspección total media ATI) en la misma hoja de cálculo (Figura 2.3).

Tabla 2.3 Inspección total media para los planes A y B en función del porcentaje de no conformida-des del lote de 1.000 unidades


0,1% 39,41 51,13

0,2% 58,46 54,37

0,5% 113,48 74,82

1% 198,45 134,96

2% 345,74 301,02

3% 467,08 472,48

4% 566,84 619,54

5% 648,68 734,54

6% 715,70 819,50

7% 770,45 879,83

8% 815,08 921,42

9% 851,39 949,42

10% 880,85 967,90

15,0% 962,02 997,24

20,0% 988,70 999,82


0100200300400500600700800900

1000

0,00% 2,00% 4,00% 6,00% 8,00% 10,00% 12,00% 14,00% 16,00% 18,00% 20,00%

Porcentaje no conformidades

ATI

Plan APlan B

Figura 2.3 Curvas de la inspección total media (ATI) de los planes A y B


3. TABLAS DE MUESTREO POR ATRIBUTOS

3.1 Tablas de muestreo

Habitualmente, los técnicos seleccionan los planes de muestreo de entre los contenidos en las tablas de muestreo de los manuales de control de la calidad, o en normas como la MIL-STD-105 o la ISO 2859, donde las tablas suelen venir agrupadas en esquemas y sistemas de muestreo. Un esquema de muestreo es un conjunto de planes con reglas para cambiar de unos a otros. Naturalmente, esto sólo tiene sentido cuando se aplica a una serie continua de lotes. Normalmente, un esquema está tabulado por el tamaño del lote y por AQL, LQ o AOQL. Un sistema de muestreo es una colección de esquemas con instrucciones para escoger el más adecuado.

El sistema MIL-STD-105 es el más conocido y mejor documentado, pudiendo encontrarse una des-cripción más o menos resumida de él en casi todos los manuales de control de calidad. Fue desarro-llado bajo el patrocinio del Departamento de Defensa de los Estados Unidos, más tarde adoptado en el resto del mundo, y finalmente incorporado a diversas normas internacionales. La primera versión apareció en la norma MIL-STD-105A (1950). La última versión es la MIL-STD-105E (1989). La versión civil equivalente es la ANSI Z1.4, adoptada en 1974 como norma internacional, presentada como norma ISO 2859 y más tarde (1989) como norma ISO 2859-1. En el sistema MIL-STD-105, los planes de muestreo están tabulados por el AQL.

Las tablas de Dodge-Romig constituyen uno de los sistemas de muestreo más antiguos. Fueron desarrolladas en los años 30 en los Bell Telephone Laboratories por H. F. Dodge y H. G. Romig, pio-neros de la inspección por muestreo. Los planes de estas tablas son planes para inspección con recti-ficación, simples o dobles, con valores bajos de AOQL.

Recientemente, la tendencia se ha desplazado hacia los planes tabulados por la LQ, particularmente en la industria electrónica, donde es necesario trabajar con valores de β muy ajustados cuando se trata de elementos como circuitos integrados. En particular, esta tendencia ha dado lugar a sistemas LQ, compatibles con los esquemas AQL de la MIL-STD-105. El más común es el que propone la norma ISO 2859-2 (y anteriormente la norma británica British Std. 6.001). En ella se ha intentado garantizar al máximo la compatibilidad con el sistema AQL del MIL-STD-105, en el aspecto de que los tamaños de lote y muestra sean los mismos. Las tablas de Dodge-Romig también puede usarse co-mo un sistema LQ. En los sistemas LQ no hay reglas para cambiar de plan, ya que se aplican a lotes aislados.

3.2 Sistema MIL-STD-105 (ISO 2859-1)

El sistema MIL-STD-105 es un conjunto de planes, simples, dobles y múltiples, tabulados según el tamaño de lote y AQL, estructurado en la forma que comento más abajo. Se aplica en la recepción de series de lotes fabricados de forma continua, y las curvas características son de tipo B, calculadas con la distribución binomial o la distribución de Poisson (ver Anexo A3). Contiene dos tablas con información sobre valores de LQ a los que corresponderían (aproximadamente) riesgos β del 10 y del 5%. Consta de tres esquemas de muestreo formados, respectivamente, por planes simples, dobles y múltiples. Cada esquema contiene un conjunto de planes de muestreo, agrupados en varias tablas, en las que los planes vienen tabulados por tamaño de lote y AQL. Los planes se han escogido de modo que el riesgo α sea aproximadamente del 5%, aunque el valor de α no se especifica en las tablas. Tampoco tienen en cuenta explícitamente un valor de LQ ni del riesgo β, aunque, para LQ = 5 × AQL, β suele ser pequeño. Además de las tablas mencionadas, las normas MIL-STD-105 e ISO 2859-1 contienen información adicional sobre los planes de las tablas.

Conviene insistir en que este sistema es un conjunto de esquemas para ser aplicados a series de lotes que provienen de un mismo proceso productivo, que se puede considerar estable (en estado de


control estadístico). Al usar este sistema, se elige un esquema (esto es, no un plan fijo, sino un con-junto de planes con unas reglas para pasar de unos a otros) y se aplica el plan que corresponde a cada uno de los sucesivos lotes. Naturalmente, siempre se le puede considerar como una simple recopilación de planes de muestreo y elegir uno. Lo que se debe hacer entonces (siempre, pero con más razón al apartarse de la norma) es examinar la curva característica del plan elegido y evaluar α y β. En el caso de la norma ISO 2589-1, se indica explícitamente que no se puede acreditar que se sigue la norma si no se respetan las reglas allí establecidas.

El propósito del sistema es ejercer presión sobre el productor, a través del rechazo de lotes (e incluso mediante la interrupción de la recepción), para que suministre un material con p ≤ AQL. Por otra par-te, si p < AQL, el paso a la inspección reducida (ver más abajo) permite rebajar el coste de inspec-ción. Observa que la norma establece unas reglas de juego'' que deben quedar claras entre el pro-ductor y el consumidor. Recuerda también la advertencia hecha anteriormente sobre el hecho de que el uso de un plan de muestreo al que se le ha asociado un determinado AQL no garantiza que los lotes aceptados cumplan p≤ AQL.

En el sistema MIL-STD-105 se distingue entre distintos niveles y rigores de inspección. El nivel de inspección se fija en función del coste de inspección, y, en principio, no se cambia a lo largo de la misma. El rigor de inspección se va ajustando en función de los resultados, como se verá más ade-lante, lo que en la práctica significa cambiar de una tabla a otra.

El nivel de inspección determina la relación entre los tamaños del lote y de la muestra, lo que controla la potencia del esquema de muestreo y la probabilidad de rechazar un lote con p > AQL. Hay tres niveles de inspección generales, designados I, II y III, para los que los tamaños de muestra van de menor a mayor, y que corresponden a costes de inspección bajo, estándar y alto, respectivamente. Hay además cuatro niveles de inspección especiales, designados como S-1, S-2, S-3 y S-4, que se adoptan cuando es necesario usar muestras pequeñas y se pueden tolerar riesgos mayores (por ejemplo, en ensayos destructivos). Para escoger un plan de muestreo, la norma la ISO 2859 propone que a menos que se indique lo contrario se utilizará la inspección para usos generales nivel II. En general, es válida la misma regla: cuanto mayor es la muestra, mayor la protección del consumidor, aunque no hay una regla fija que prevea la forma concreta en que esto se produce para cada caso (v. Ejemplo 6). Una vez decidido el nivel de inspección y conocido el tamaño de lote, se consulta una tabla, reproducida parcialmente en la tabla 3.1, para obtener una letra-código de inspección, que se usará después para seleccionar el plan en las tablas de muestreo.

Tabla 3.1 Letra-código del tamaño de lote

Tamaño de lote S-1 S-2 S-3 S-4 I II III 16-25 A A B B B C D 26-50 A B B C C D E 51-90 B B C C D E F

91-150 B B C D D F G 151-280 B C D E E G H 281-500 B C D E F H J 501-1200 C C E F G J K 1201-3200 C D E G H K L 3201-10000 C D F G J L M 10001-35000 C D F H K M N

35001-150000 D E G J L N P 150001-500000 D E G J M P Q

>500000 D E H K N Q R


En las tablas del sistema MIL-STD-105 se dan valores de AQL típicos: 0,010, 0,015, 0,025, 0,040, etc., hasta 1000. Estos valores se pueden interpretar de dos formas: como porcentaje de unidades no conformes (sólo si el valor dado es menor o igual que 10), o como número de no conformidades por cada 100 unidades. Una vez fijado el tipo de plan (simple, doble o múltiple), y el nivel de inspección (I, II, etc.), se decide entre usar un plan simple, doble o múltiple, y se elige el plan en una tabla, entrando en ella por tamaño de lote y AQL. Hay tres tablas posibles, correspondientes a los tres rigores de inspección: reducida, normal y rigurosa (o estricta). Una vez fijado el nivel de inspección, el tamaño de muestra es el mismo para la inspección normal y la rigurosa, pero menor para la reducida. La le-tra-código se entra en la tabla propia del rigor de inspección que corresponde, dando el tamaño de muestra, y entrando el AQL se obtienen Ac y Re.

Se comienza con un plan normal y según los resultados obtenidos en las sucesivas inspecciones, se va variando el rigor de inspección. La norma contiene una colección de reglas para variar el rigor de inspección:

• Paso de inspección normal a rigurosa. Cuando dos de cinco lotes consecutivos sean rechazados en inspección normal.

• Paso de inspección rigurosa a normal. Cuando se acepten cinco lotes consecutivos en inspección rigurosa.

• Paso de inspección normal a reducida. Cuando se aceptan diez lotes consecutivos en inspección normal.

• Paso de inspección reducida a normal. Cuando se rechace un lote en inspección reducida.

En las sucesivas inspecciones se va ajustando el rigor de inspección siguiendo estas reglas. Las re-glas se completan con la recomendación de interrumpir el suministro, cuando se llegue a una situa-ción en la que se hayan rechazado cinco lotes seguidos. La suspensión debe mantenerse hasta que haya evidencia de la aplicación de medidas destinadas a la mejora de la calidad. En las tablas 3.2, 3.3 y 3.4 se han reproducido parcialmente las tablas de muestreo simples, para inspección normal, reducida y rigurosa, respectivamente.

Tabla 3.2 Tabla de muestreo simple para inspección normal

AQL 0.15 0.25 0.40 0.65 1.0 1.5 2.5 4.0 6.5 Letra

código

Tamaño de

muestra Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re A 2 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 B 3 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑ C 5 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑ ↓ D 8 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ 1 2 E 13 ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ 1 2 2 3 F 20 ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ 1 2 2 3 3 4 G 32 ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 H 50 ↓ 0 1 ↑ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 J 80 0 1 ↑ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 K 125 ↑ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 L 200 ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 M 315 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ↑ N 500 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ↑ ↑ P 800 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ↑ ↑ ↑ Q 1500 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ↑ ↑ ↑ ↑ R 2000 7 8 10 11 14 15 21 22 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑


Tabla 3.3 Tabla de muestreo simple para inspección reducida

AQL 0.15 0.25 0.40 0.65 1.0 1.5 2.5 4.0 6.5

Letra código

Tamaño de

muestra Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re A 2 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 B 2 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑ C 2 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ D 3 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ 0 2 E 5 ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ 0 2 1 3 F 8 ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ 0 2 1 3 1 4 G 13 ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ 0 2 1 3 1 4 2 5 H 20 ↓ 0 1 ↑ ↓ 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 J 32 0 1 ↑ ↓ 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 K 50 ↑ ↓ 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 L 80 ↓ 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13 M 125 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13 ↑ N 200 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13 ↑ ↑ P 315 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13 ↑ ↑ ↑ Q 500 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13 ↑ ↑ ↑ ↑ R 800 3 6 5 8 7 10 10 13 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

↓ Indica plan de muestreo inferior ↑ indica plan de muestreo superior

Tabla 3.4 Tabla de muestreo simple para inspección rigurosa

AQL 0.15 0.25 0.40 0.65 1.0 1.5 2.5 4.0 6.5

Letra código

Tamaño de

muestra Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re A 2 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ B 3 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 C 5 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↓ D 8 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↓ ↓ E 13 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↓ ↓ 1 2 F 20 ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↓ ↓ 1 2 2 3 G 32 ↓ ↓ ↓ 0 1 ↓ ↓ 1 2 2 3 3 4 H 50 ↓ ↓ 0 1 ↓ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 J 80 ↓ 0 1 ↓ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 K 125 0 1 ↓ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 L 200 ↓ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19 M 315 ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19 ↑ N 500 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19 ↑ ↑ P 800 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19 ↑ ↑ ↑ Q 1500 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19 ↑ ↑ ↑ ↑ R 2000 5 6 8 9 12 13 18 19 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

↓ Indica plan de muestreo inferior ↑ indica plan de muestreo superior

Salvo para inspección reducida, en los planes simples la diferencia entre el Re y Ac es 1, con lo cual bastaría dar uno de ellos. En inspección reducida, si el número de unidades está comprendido entre el Ac y Re, se acepta el lote, pero se restablece la inspección normal. En cuanto a tamaño de mues-tra y número de aceptación, los planes para inspección reducida coinciden con los normales del nivel


inferior de inspección, de acuerdo con la filosofía de la norma de rebajar el coste de inspección cuan-do los resultados son satisfactorios. Por el contrario, los planes para inspección normal y rigurosa tienen el mismo tamaño de muestra dentro del mismo nivel, y el plan para inspección rigurosa asig-nado a un cierto AQL coincide en muchos casos con el plan normal propuesto para el AQL inferior.

Ejemplo 6

Supongamos el tamaño de lote comprendido entre 35.001 y 150.000. Los planes para inspección normal a los niveles de inspección I, II y III, corresponden a las letras-código L, N y P, con tamaños de muestra 200, 500 y 800, respectivamente. En la Tabla 3.5 se pueden ver algunas probabilidades de aceptación, calculadas usando la fórmula binomial para AQL = 0,65% donde la letra código L da n = 200 y Ac = 3, la letra código N, n = 500 y Ac = 7 y la letra código P, n = 800 y Ac = 10.

Tabla 3.5 Probabilidades de aceptación (Ejemplo 6)

p Nivel I Nivel II Nivel III p Nivel I Nivel II Nivel III

0,25% 0,998 1,000 1,000 2,25% 0,339 0,125 0,029

0,50% 0,981 0,996 0,997 2,50% 0,261 0,067 0,010

0,75% 0,935 0,963 0,958 2,75% 0,198 0,034 0,003

1,00% 0,858 0,868 0,817 3,00% 0,147 0,017 0,001

1,25% 0,758 0,710 0,583 3,25% 0,108 0,008 0,000

1,50% 0,647 0,524 0,346 3,50% 0,078 0,004 0,000

1,75% 0,536 0,352 0,173 3,75% 0,056 0,002 0,000

2,00% 0,431 0,217 0,075 4,00% 0,040 0,001 0,000

Figura 3.1 Curvas características del Ejemplo 6

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0,00% 0,50% 1,00% 1,50% 2,00% 2,50% 3,00% 3,50% 4,00%

Nivel I

Nivel II

Nivel III


Ejemplo 7

Supongamos como antes el tamaño de lote comprendido entre 35.001 y 150.000, y tomemos AQL = 0,65% (valor típico de la MIL-STD-105). Si usamos el nivel de inspección II, la letra-código es N, que nos da:

• Inspección normal: n = 500, Ac = 7, Re = 8.

• Inspección rigurosa: n = 500, Ac = 5, Re = 6.

• Inspección reducida: n = 200, Ac = 3, Re = 6 .

En la inspección reducida, Ac = 3 y Re = 6 indica que el lote se acepta si la muestra (n =200) tiene como máximo 5 no conformidades; en caso de que el número de no conformidades sea de 4 o 5, el siguiente lote se pasa a inspección normal. Obsérvese que el plan para inspección rigurosa de AQL=0,65% coincide con el plan normal correspondiente a AQL = 0,40%. En la tabla 3.6 se dan algu-nas probabilidades de aceptación, calculadas con la fórmula binomial. Para el plan de inspección reducida se ha realizado el cálculo teniendo en cuenta que un lote se acepta hasta con 5 unidades no conformes.

Tabla 3.6 Probabilidades de aceptación (Ejemplo 7)

p Reducida Normal Rigurosa p Reducida Normal Rigurosa

0,25% 1,000 1,000 0,998 2,25% 0,704 0,125 0,031

0,50% 0,999 0,996 0,958 2,50% 0,616 0,067 0,014

0,75% 0,996 0,963 0,824 2,75% 0,528 0,034 0,006

1,00% 0,984 0,868 0,616 3,00% 0,443 0,017 0,003

1,25% 0,959 0,710 0,405 3,25% 0,365 0,008 0,001

1,50% 0,918 0,524 0,239 3,50% 0,296 0,004 0,000

1,75% 0,859 0,352 0,130 3,75% 0,236 0,002 0,000

2,00% 0,787 0,217 0,065 4,00% 0,186 0,001 0,000

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0,00% 0,50% 1,00% 1,50% 2,00% 2,50% 3,00% 3,50% 4,00%

Porcenteje no conformidades

Prob

abili

dad

acce

ptac

ión

Reducida

NormalRigurosa

Figura 3.2 Curvas características del Ejemplo 7


3.3 Sistema ISO-2859-2

El sistema ISO 2859-2 se presenta como un sistema de muestreo para lotes aislados. Aparte de presentar una colección de planes de muestreo tabulados por QL, pretende cubrir una serie de situa-ciones en las que la primera parte de la norma (el sistema MIL-STD-105) se aplica incorrectamente. La más típica de estas situaciones es la de lotes aislados. Se habla de lotes aislados cuando la regla de decisión para aceptar o rechazar un lote se aplica a cada lote independientemente de lo sucedido con los lotes anteriores.

El sistema ISO 2859-2 contiene una colección de planes de muestreo, tabulados según QL, de forma que β <10%, salvo en una minoría de casos, en los cuales no supera el 13%. Consta de dos esque-mas, denominados procedimiento A (hipergeométrica) y procedimiento B (binomial). El procedi-miento A se usa cuando hay interés, por parte del productor y del consumidor, en considerar los lotes aisladamente (puede haber razones que fuercen a hacerlo así). En este caso, el procedimiento de cálculo usado en la elaboración de los planes de la norma ISO 2859-1, basado en la fórmula binomial, puede dar lugar a errores apreciables. La magnitud de los errores obtenidos al usar esta fórmula en el cálculo de las curvas características depende de los tamaños de lote y muestra.

En cualquier caso, la norma ISO 2859-2 propone para esta situación el uso de los planes del proce-dimiento A, que se ha recogido parcialmente en la tabla 3.7. El cálculo de las probabilidades de acep-tación se basa en la fórmula hipergeométrica, aunque, salvo en el caso de los planes de aceptación cero (Ac = 0), la binomial da una buena aproximación. Por consiguiente, las curvas características de los planes con Ac ≠ 0 pueden aproximarse por las curvas de los planes correspondientes del proce-dimiento B. Cuando el tamaño de muestra n supere al del lote, se entiende que el muestreo es al 100%.

Tabla 3.7. Tabla de planes de muestreo tabulados por la calidad límite LQ (ISO 2859-2; procedi-miento A). Cuando n accede el tamaño del lote, utilizar la inspección 100% con un número de aceptación cero.

Tamaño Calidad límite en porcentaje LQ de lote 0.5 0.8 1.25 2.0 3.15 5.0 8.0 12.5 20 16-25 n → → → → 25 17 13 9 6

Ac 0 0 0 0 0 26-50 n → → → 50 50 28 22 15 10

Ac 0 0 0 0 0 0 51-90 n → → 90 50 44 34 24 16 10

Ac 0 0 0 0 0 0 0 91-150 n → 150 90 80 55 38 26 18 13

Ac 0 0 0 0 0 0 0 0 151-280 n 200 170 130 95 65 42 28 20 20

Ac 0 0 0 0 0 0 0 0 0 281-500 n 280 220 155 105 80 50 32 32 20

Ac 0 0 0 0 0 0 0 1 1 501-1200 n 380 255 170 125 125 80 50 32 32

Ac 0 0 0 0 1 1 1 1 3 1201-3200 n 430 280 200 200 125 125 80 50 50

Ac 0 0 0 1 1 3 3 3 5 3201-10000 n 450 315 315 200 200 200 125 80 80

Ac 0 0 1 1 3 5 5 5 10 10001-35000 n 500 500 315 315 315 315 200 125 125

Ac 0 1 1 3 5 10 10 10 18 35001-150000 n 800 500 500 500 500 315 200 200 125

Ac 1 1 3 5 10 18 18 18 18


El procedimiento A es muy simple, ya que se basa en una sola tabla, donde los planes se dan por tamaño de lote y LQ. La norma contiene asimismo información adicional sobre:

• Los riesgos β asociados a los valores de LQ usados para seleccionar los planes, así como valo-res de p con probabilidades altas de aceptación.

• Curvas características para los planes de aceptación cero.

El procedimiento B se utiliza cuando el consumidor tiene interés en considerar el lote como aislado, mientras que para el productor forma parte de una serie continua de lotes. De cara al consumidor, ofrece una protección, basada en la LQ, y de cara al productor, proporciona el valor de AQL corres-pondiente al plan escogido en las tablas de la ISO 2859-1, con lo cual el productor tiene una indica-ción sobre el nivel de calidad que no va a tener problemas de aceptación.

Se trata de un esquema que consta de varios subesquemas, correspondientes a los siete niveles de inspección, que son los mismos de la ISO 2859-1. El plan se identifica por LQ y tamaño de lote. Para escoger el plan se dispone de 10 tablas, correspondientes a distintos valores de LQ: 0,5%, 0,8%, etc. Entrando en la tabla el nivel de inspección escogido (la norma recomienda usar, el nivel II salvo espe-cificación en sentido contrario) y el tamaño de lote, obtenemos:

• El tamaño de muestra n

• El número de aceptación Ac

• La curva característica del plan

• El riesgo β asociado al valor de LQ fijado

• El valor de AQL que la norma ISO 28591, para inspección normal, asigna a ese plan

Por consiguiente, los planes del procedimiento B se seleccionan de entre los de la norma ISO 2859-1 (para inspección normal), con lo que se consigue la compatibilidad. Por último, la norma ISO 2859-2 contiene una tabla con las correspondencias entre ambos sistemas. El procedimiento B no contiene planes de aceptación cero, reemplazándolos por la inspección 100%.

3.4 Otras tablas de muestreo

En el caso de un producto que se suministra en lotes que se reciben ininterrumpidamente y provienen de un proceso estable, puede ser interesante reducir el coste de inspección. El sistema MIL-STD-105 combina planes de distinto rigor, de acuerdo con unas reglas para pasar de uno a otro, según los resultados de las inspecciones precedentes, y la aplicación de estas reglas puede llevar a la conclu-sión de que el proceso de producción no es satisfactorio. Sin embargo, los resultados de las inspec-ciones precedentes no se incorporan específicamente al criterio de aceptación, sino que sólo dan lugar a cambios de un plan de muestreo a otro.

En los planes de muestreo basados en resultados acumulados, las reglas de decisión se van modificando en función de los resultados que se van obteniendo de la inspección. El objetivo de estos planes es minimizar el coste de inspección, manteniendo una protección razonable. En general, los planes basados en resultados acumulados requieren que se den ciertas condiciones, para ser aplica-dos de forma satisfactoria:

• El lote inspeccionado forma parte de una serie continua.

• Se espera que los lotes sean de calidad similar.


• El consumidor no tiene razones para creer que el lote que se inspecciona sea de peor calidad que los precedentes.

• El consumidor tiene confianza en el productor, en el sentido de que no aprovechará los resultados favorables de la inspección para suministrar lotes de calidad inferior.

Entre estos planes, los más usados son los planes de muestreo en cadena, abreviadamente ChSP (chain sampling plans), y los planes skip-lot, abreviadamente SkSP. Los planes de muestreo en cadena ligan la decisión sobre un lote a los resultados de la inspección de los lotes precedentes, de forma que los resultados de las sucesivas inspecciones se combinan obteniendo un efecto equivalen-te al proporcionado por el muestreo con tamaños mayores de muestra. Estos planes tratan de cubrir situaciones en las cuales, por razones de coste, el tamaño de muestra debe ser pequeño, lo que obli-ga a escoger planes de aceptación cero, que tienen poco poder de discriminación.

En los planes skip-lot la inspección se realiza sólo sobre una fracción de los lotes. La fracción depen-de del resultado de la inspección en los lotes precedentes. Se usan cuando los resultados de la ins-pección sobre una serie de lotes han proporcionado suficiente evidencia como para considerar que el proceso de producción opera de forma estable a un nivel satisfactorio. Pueden hallarse planes de muestreo de este tipo en la norma ANSI/ASQC S1 o en la tercera parte de la norma ISO 2859.

Entre los planes basados en resultados acumulados, ocupan un lugar especial los planes de mues-treo en continuo, abreviadamente CSP (continuous sampling plans), que se usan cuando el produc-to no se recibe agrupado en lotes diferenciados, sino en un flujo continuo de unidades. Estos planes alternan la inspección 100% con el muestreo, en función de la calidad observada. La manera de tra-bajar de estos planes es muy similar a la de los planes skip-lot, con la diferencia de que en lugar de lotes se consideran aquí unidades. De hecho, los planes skip-lot fueron desarrollados a partir de los planes de muestreo continuo.

Los primeros planes de muestreo continuo fueron propuestos por Dodge en 1943, y con el tiempo han pasado a conocerse por las siglas CSP-1. Estos planes estaban tabulados por AOQL, es decir, para ser usados en la inspección con rectificación. Dodge y M. N. Torrey introdujeron en 1951 nuevas va-riantes, conocidas como CSP-2 y CSP-3, para cubrir situaciones en las que la aparición de defectos de poca importancia no justifica el paso a la inspección 100%. La norma MIL-STD-1235 incluye cinco tipos de planes: los CSP-1 y CSP-2 citados anteriormente, y otros tres, CSP-F, CSP-T y CSP-V, a fin de ofrecer una mayor flexibilidad para adaptarse a situaciones reales.

Básicamente hay dos tipos de planes de muestreo continuo, según se autorice o no alguna unidad no conforme antes de volver a la inspección 100%. En los planes más sencillos (simple continuous sam-pling), como los de la tabla CSP-1, se inicia la inspección al 100%, y se prosigue hasta hallar i unida-des conformes consecutivas. Entonces se pasa a inspeccionar solamente una fracción f de las unida-des. Cuando se halla una unidad no conforme, se vuelve a la inspección 100% hasta haber hallado i unidades conformes consecutivas, y así sucesivamente.

En otros planes de muestreo en continuo no se vuelve inmediatamente a la inspección 100% después de hallar una unidad no conforme (continuous sampling allowing a defective). Un ejemplo sería el siguiente:

• Se inspecciona 100% hasta hallar 50 unidades conformes consecutivas.

• Se pasa a inspeccionar 10% (f = 1/10) hasta hallar alguna no conforme.

• Al hallar una unidad no conforme, se prosigue inspeccionando una de cada 10, pero si se vuelve a encontrar otra entre las siguientes 50 inspeccionadas, se vuelve a la inspección 100%. En caso contrario, se prosigue con la inspección 10% hasta hallar otra unidad no conforme, y entonces se vuelve a hacer el planteamiento de antes (pasar a inspección 100% si hay otra unidad no confor-me entre las siguientes 50 inspeccionadas).


A3. CÁLCULO DE PROBABILIDADES DE ACEPTACIÓN

Las probabilidades de aceptación de los lotes en los planes de muestreo se calculan, siempre bajo la hipótesis de que el muestreo es aleatorio, usando alguna de las tres distribuciones de probabilidad siguientes:

Distribución hipergeométrica

Da la probabilidad de obtener, extrayendo una muestra de tamaño n de un lote de tamaño N que con-tiene d unidades no conformes, un resultado de x no conformes (x es el número de no conformes en la muestra, y d en el lote), donde este tipo de muestreo se asimila al conocido muestreo sin reposi-ción.

Sea X = número de unidades no conformes en una muestra de tamaño n. X puede tomar valores entre 0 y el mínimo de d y n.

La probabilidad de que el número de no conformidades de la muestra sea x es:

Px = Prob(X =x) =

d N dx n x

Nn

− −

, x = 0, 1, 2, ..., mind,n.

donde los términos que aparecen en el numerador y el denominador de la fracción son números combinatorios. Por ejemplo:

!!( )!

N Nn n N n

= −

.

La probabilidad de aceptación se obtiene sumando las probabilidades Px desde x = 0 hasta x = Ac.

Nota: El cálculo manual de los números combinatorios resulta inasequible para los valores de N que se dan en la industria, pero la disponibilidad de medios electrónicos de cálculo permite superar esta dificultad fácilmente y el cálculo de probabilidades mediante la fórmula hipergeométrica puede reali-zarse sin problemas en una hoja electrónica de cálculo e incluso con algunas calculadoras de bolsillo.

Distribución binomial

Da la probabilidad de obtener x veces un resultado cuya probabilidad es p, realizando n pruebas in-dependientes. Sea X = número de no conformidades en una muestra de tamaño n; la probabilidad de obtener x no conformidades es

Px = Prob(X = x)=nx

px (1 - p)n-x x = 0, 1,..., n

La distribución binomial puede aplicarse al cálculo de probabilidades de aceptación en la inspección por muestreo, suponiendo que la muestra se extrae de un conjunto muy grande, de modo que poda-mos considerar que las extracciones sucesivas son independientes. Como antes, la probabilidad de aceptación Pa se obtiene sumando las probabilidades Px desde x = 0 hasta x = Ac.

Nota: Puede probarse que la fórmula hipergeométrica da como límite la binomial cuando N es muy grande y d/N = p, por lo que en la práctica la binomial se usa para aproximar la hipergeométrica cuando n/N < 0.1.


Distribución de Poisson

Da la probabilidad de que un suceso esporádico, como la aparición de una disconformidad, se dé x veces en un intervalo de tiempo dado o en una muestra de tamaño dado. Para que sea válida se ha de suponer que el número medio de veces que se da ese suceso es una constante λ y que sus apari-ciones son independientes entre sí. Sea X = número de no conformidades por unidad; la probabilidad de x no conformidades por unidad es

Px = Prob (X =x) =!

xe

xλλ− , x = 0, 1, 2 ,... , ∞; λ > 0.

Sumando Px desde x = 0 hasta x = Ac se obtiene la probabilidad de aceptación en la inspección por muestreo.

Nota: La fórmula de Poisson se utilizaba clásicamente como aproximación de la binomial para n grande y p pequeña (n > 20 y np < 5), haciendo λ = np, pero con los medios de cálculo disponibles actualmente estas aproximaciones han perdido interés.


A4. CASO PRÁCTICO

PRESENTACIÓN DEL CASO:

Una empresa dedicada a la fabricación de aparatos de aire acondicionado va a incorporar en un nue-vo producto un componente metálico suministrado por un proveedor. No se trata de un proveedor nuevo y el responsable de calidad es consciente de que los lotes suministrados por ese proveedor contienen a veces un porcentaje de unidades no conformes elevado (a veces superior al 10%). El Departamento de Ingeniería ha elaborado un plano para este componente donde se establecen lími-tes de tolerancia para una serie de características dimensionales. Los lotes constarán de 25 cajas de 200 unidades, en total 5000 unidades.

El responsable de calidad decide reunir a los responsables de Compras, Producción e Ingeniería y someter a discusión la posibilidad de realizar un control de recepción para estos componentes, por lo menos hasta que los datos recogidos en las sucesivas recepciones permitan confiar en el control de calidad del proveedor. En este control se inspeccionaría cada lote, para decidir aceptarlo o rechazarlo en función del resultado de la inspección. La inspección al 100% parece inviable, y propone inspec-cionar solamente una muestra de cada lote. Propone asimismo que la inspección se realice de forma sistemática, de acuerdo con un procedimiento preestablecido y dando a todos los lotes el mismo tra-tamiento. Considera que se debe evitar la subjetividad de procedimientos basados en la experiencia, en criterios personales o en el sentido común, adoptando procedimientos científicos, basados en principios de tipo estadístico. A los restantes directivos les parece razonable la propuesta del respon-sable de Calidad. Sin embargo, al concretar los detalles de cómo se va a llevar a cabo la inspección surgen numerosos interrogantes.

La primera cuestión que se plantea se refiere al método a seguir para extraer la muestra. El respon-sable de Compras sugiere que se extraigan unidades de todas las cajas que componen el lote para que la muestra sea representativa, aunque no consigue aclarar lo que eso significa. El responsable de Ingeniería, que ha seguido varios cursos de Estadística, sugiere que la extracción de la muestra debe hacerse de forma aleatoria, pero tampoco está claro cómo se consigue la aleatoriedad, ni qué ventajas aporta, sino solamente que al utilizar las fórmulas estadísticas siempre se da por hecho que las muestras son aleatorias. La segunda cuestión hace referencia al número de unidades que hay que inspeccionar de cada lote, es decir, al tamaño de la muestra. No queda claro si es el tamaño de la muestra lo que la hace representativa o es el procedimiento de muestreo, o ambas cosas.

REFLEXIONES:

¿Cómo se debe extraer la muestra? ¿Qué quiere decir que una muestra es aleatoria? ¿Qué se ha de hacer para que lo sea? ¿Es esencial que la muestra sea aleatoria? ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra?

CONTINUACIÓN DEL CASO:

Se decide que se consultará una tabla de muestreo para establecer el tamaño de la muestra. Una vez aclarado este punto, habrá que decidir de dónde se extrae la muestra, ya que al estar dividido el lote en cajas, se debe especificar si la muestra se extrae de una o de varias cajas. La primera variante simplifica el problema, pero la segunda garantiza aparentemente que la muestra sea más representa-tiva.

Una vez extraída la muestra e inspeccionadas las unidades que la componen, hay que disponer de un criterio para aceptar o rechazar el lote. No está claro si deben tenerse en cuenta los valores numé-ricos obtenidos para las medidas dimensionales, o sólo si caen dentro de los límites de tolerancia. Si


se decide simplificar y tener en cuenta solamente la conformidad o disconformidad para cada dimen-sión especificada en el plano, el criterio de aceptación se puede basar en el número de unidades no conformes, contando igual las unidades que no son conformes para una sola característica y las que presentan varias no conformidades, o por el contrario se puede basar en el número global de no con-formidades. Se deciden por la primera alternativa. Deberán ahora especificar el número máximo de no conformidades admisible.

REFLEXIONES:

¿Está Vd. de acuerdo con los criterios con los cuales se va a decidir la aceptación o rechazo de un lote? ¿Cuál debe ser el número máximo de disconformidades para aceptar un lote?


Tanto el responsable de Calidad como el de Producción disponen de alguna experiencia en la ins-pección por muestreo, concretamente en el uso de las tablas de la norma MIL-STD-105. En estas experiencias previas, las unidades inspeccionadas se clasificaban en conformes y no conformes se-gún cumplieran o no unos requisitos especificados y conocidos por el proveedor, y la decisión de aceptar o rechazar el lote se tomaba en función del número de unidades no conformes halladas en la muestra, de acuerdo con la tabla de muestreo. Sin embargo, ninguno de los dos tiene una idea muy clara sobre las garantías que proporciona seguir estas tablas. El responsable de Calidad ha oído de-cir que el sistema MIL-STD-105 está obsoleto y que ya no lo usa casi nadie, aunque no tiene tampoco muy claro si está obsoleto porque las tablas son defectuosas o porque la inspección resulta muy cara. El responsable de Producción está de acuerdo en que la inspección según las tablas MIL-STD-105 representa un coste elevado que sólo puede asumirse con carácter excepcional.

REFLEXIONES:

Así pues, ¿es aconsejable usar las tablas MIL-STD-105 o hay otra alternativa basada en principios estadísticos sólidos?


En realidad la experiencia con el sistema MIL-STD-105 se limita al uso de una sola tabla, la titulada Planes simples para inspección normal, de la que se dispone de fotocopia desde hace bastantes años. No se sabe muy bien qué quiere decir inspección normal, pero parece lógico utilizar la variante normal cuando no se tienen las ideas claras.

Para aclararlas, se decide consultar la norma completa, que no es difícil de conseguir, ya que hay una norma ISO equivalente, la 2859-1, de fácil adquisición en España. La verdad es que el sistema MIL-STD-105 no viene presentado de forma muy pedagógica y la consulta de la norma no aclara mucho las ideas. En primer lugar hay que usar una tabla que da una letra-código, en función del tamaño del lote y del nivel de inspección. Manejando ambas tablas conjuntamente, se ve que la selección del nivel de inspección implica un tamaño de muestra mayor o menor. En experiencias previas siempre se ha mantenido el nivel de inspección II, y así se decide hacerlo en este caso, con lo cual corres-ponde utilizar la letra-código L. En la tabla de planes de inspección, la letra L da un tamaño de mues-tra de 200 unidades, el equivalente de una caja, lo que representa mucho trabajo. Esto desanima a nuestros directivos, que no obstante deciden seguir adelante.


REFLEXIONES:

¿No puede reducirse el tamaño de muestra? ¿Qué se pierde en tal caso?


Hasta el momento no se ha entendido muy bien lo que se hacía, pero se han hecho las cosas como todo el mundo. Para concluir y seleccionar efectivamente un plan en la tabla, hay que establecer un valor para un parámetro denominado nivel de calidad admisible, que se designa habitualmente como AQL, usando la abreviatura anglosajona. Parece que el AQL debe establecerse en función del perjui-cio que representen las unidades no conformes que pueda contener el lote, lo que debería traducirse a un porcentaje máximo admisible de unidades no conformes.

REFLEXIONES:

¿Cómo se establece el valor del AQL y qué garantías proporciona el uso de un AQL determina-do?¿Garantiza el sistema MIL-STD-105 que el porcentaje de unidades no conformes en los lotes aceptados no supere el valor del AQL?


El responsable de Producción considera que lo máximo que puede aceptarse es un 5% de unidades no conformes e interpreta que se debe hacer AQL = 5. La tabla solamente permite unos cuantos valo-res de AQL, y el más cercano a 5 es AQL = 4. Si se usa este valor, la tabla da un número de acepta-ción Ac = 14 y un número de rechazo Re = 15. Esto significa que se aceptará un lote cuando de las 200 unidades inspeccionadas haya, como máximo, 14 no conformes.

En este punto de la discusión, el Responsable de Compras recuerda que los lotes vienen divididos en cajas y plantea un problema de orden práctico sobre la ejecución del plan de muestreo. Cuando el lote está dividido en varios cajas, ¿puede repartirse la muestra entre ellas? ¿Hay que repartir enton-ces el número de aceptación, y se puede aceptar unas cajas y rechazar las otras? Por ejemplo, en nuestro caso una muestra de 200 unidades puede repartirse entre 5 cajas para que sea más repre-sentativa. ¿Hay que repartir entonces el número de rechazo Re = 15, y rechazar una caja donde se hallen 3 unidades no conformes?

REFLEXIONES:

¿Cree Vd. que tienen sentido estas operaciones con el tamaño de muestra y el número de aceptación cuando un lote esté dividido en varios segmentos?


La opinión de los otros tres es contraria a complicar más el asunto. El responsable de Calidad argu-menta que en la literatura de su especialidad se habla sólo de aceptar y rechazar lotes. Si se quiere aplicar el sistema a las cajas lo que debería hacerse, según él, es usar un tamaño de lote 200, lo que encarecería mucho el coste de la inspección. El responsable de Compras acepta el argumento, pero no ve claro que se rechace un lote porque una caja sea peor que las otras o vivecersa. El responsa-ble de Calidad considera que no debe haber cajas buenas y cajas malas, si el proveedor tiene un


proceso en estado de control. El de Compras considera que ésta es una suposición muy cándida. Finalmente, se decide inspeccionar sólo una de las cajas, entera.

REFLEXIONES:

¿Está Vd. de acuerdo con esta decisión?


El responsable de Producción, que trabajaba antes en una empresa donde se utilizaban estos planes de muestreo, recuerda una anécdota inquietante. En su anterior empresa utilizaban estos planes por partida doble. En primer lugar, el personal de Producción inspeccionaba cada lote dentro del control de proceso. Por otro lado, al entrar en el almacén de producto acabado, el personal de Calidad ins-peccionaba algunos lotes. El resultado era que la segunda inspección rechazaba a veces lotes acep-tados en la primera, lo que provocaba el consiguiente malestar, además del coste de una inspección 100% para separar las unidades no conformes del lote rechazado. Sin embargo, las muestras utiliza-das en la primera inspección, conservadas por el Departamento de Producción, habían sido inspec-cionadas correctamente.

REFLEXIONES:

¿Por qué pasa esto? ¿No hay forma de evitarlo? ¿No hay garantías de que al repetir una inspección realizada con un plan del MIL-STD-105 el resultado va a ser el mismo?


El responsable de Ingeniería opina que tal cosa es posible si en ambas inspecciones las muestras son distintas, del mismo modo que dos encuestas distintas no dan exactamente los mismos resulta-dos, aunque está de acuerdo en que la posibilidad de que el proveedor realice el mismo tipo de ins-pección y su resultado sea distinto complica el asunto. Se decide finalmente seguir con el plan de inspección propuesto por la norma, y ver más adelante si estas complicaciones se presentan.

REFLEXIÓN FINAL:

¿Son correctos los argumentos que han conducido a nuestros directivos a adoptar este plan de ins-pección? ¿Hay un procedimiento mejor?


A5. EJEMPLOS NUMÉRICOS

1. Sea un lote de N=30 unidades que contiene d=5 no conformes. Se toma una muestra aleatoria de n=10 unidades del lote.

Sea X la variable aleatoria número de no conformidades en una muestra de tamaño n=10 de un lote de tamaño N=30 que contiene d=5 no conformes.

La variable aleatoria X puede tomar los valores 0,1,2,3,4 y 5 donde X se distribuye según la distribu-ción hipergeométrica H(N=30;d=5;n=10).

La distribución de probabilidades es:

P(X = x) = Px ,

d N dx n x

Nn

x

− −

== 1, 2, 3, 4, 5

a. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga x=2 no conformidades?

Que la muestra contenga 2 no conformidades es el suceso X=2, por lo que la probabilidad es:

P( X = 2)

5 30 52 10 2

3010

− −

= = 0,35999

Para el cálculo puede utilizarse la función de la hoja de cálculo Excel =DISTR.HIPERGEOM(2;10;5;30).

b. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga como máximo x=1 no conformidades?

Que la muestra contenga como máximo 1 no conformidad es la unión de dos sucesos independientes X=0 y X=1, por lo que la probabilidad es la suma:

P(X ≤ 1) = P(X=0) + (X=1)

5 25 5 250 10 1 9

30 3010 10

= + = 0,10879+ 0,33999= 0,44878

Para el cálculo puede utilizarse la función de la hoja de cálculo Excel =DISTR.HIPERGEOM(0;10;5;30)+ DISTR.HIPERGEOM(1;10;5;30).


2. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote de tamaño N=500 con 25 no conformidades si utiliza-mos el plan de muestreo n=16 Ac=1?

Sea X la variable aleatoria número de no conformidades en una muestra de tamaño n=16.

Como n×10<N=500 podemos aproximar la variable aleatoria por una binomial de parámetros n=16 y p = probabilidad de no-conformidad=25/500=0,05.

Dado el plan de muestreo n=16, Ac=1, la probabilidad de aceptar el lote para una proporción de no conformidad p=0,05 es:

P(aceptar el lote | p=0,05)=P(X≤1)=B(1;16;0,05)=0,8108

3. Calcule el riesgo α para un plan doble n1=18,c1=2,n2=25,c2=4 si el nivel de calidad aceptable (AQL) es 0,05, suponiendo que el lote es grande.

Sea X1 la variable aleatoria número de no conformidades en una muestra de tamaño n=18.

X1≅ B(18; p)

Sea X2 la variable aleatoria número de no conformidades en una muestra de tamaño n=25.

X2≅ B(25;p)

P(aceptar el lote |p=0,05)=P(X1≤2)+ P(X1=3)×P(X2≤1)+ P(X1=4) ×P(X2=0) = =0,9419 +(0,9891-0,9419) ×0,6424+(0,9985-0,9891) ×0,2774=0,9748.

α=P(rechazar el lote |p=0,05)=1-0,9748=0,0252

4. Un contrato de compra estipula que el nivel de calidad aceptable es AQL=0,04 y el nivel de calidad límite es LQ=0,3. Se propone un plan de muestreo n=10 y Ac= 1 para recepcionar lotes de tamaño N=100.

a. Calcular la curva característica utilizando para el cálculo de probabilidades la distribución hiper-geométrica.

En la segunda columna de la tabla A5.1 se encuentra el cálculo de probabilidades de la curva carac-terística utilizado la fórmula de la hoja de cálculo Excel :

=DISTR.HIPERGEOM(0;10;A3*100;100)+DISTR.HIPERGEOM(1;10;A3*100;100)

donde A es la columna de proporciones de unidades no conformes.

La figura A5.1 es la gráfica de la curva característica cuyos valores están calculados en la segunda columna de la tabla A5.1.


Curva característica

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4

Proporción no conformidades

Prob

abili

dad

acep

taci

ón

del l

ote

Figura A5.1 Curva característica del ejemplo 4 utilizando la distribución hipergeométrica

b. Calcular el riesgo del productor y el riesgo del consumidor.

La probabilidad de aceptación del lote si éste tiene una proporción de no conformidades igual al AQL=0,04 es 0,951, por lo que el riesgo del productor es α=1-0,951=0,049.

La probabilidad de aceptación del lote si éste tiene una proporción de no conformidades igual al LQL=0,3 es 0,136, por lo que el riesgo del consumidor es β=0,136.

c. ¿Cuál es el nivel de calidad indiferente?

El nivel de calidad indiferente es aquel que tiene una probabilidad asociada del 0,5; en este caso es 0,16. Este índice se interpreta de la forma siguiente: si los lotes llevarán un 16% de las unidades no conformes, la aceptación del lote podría decidirse al azar lanzando una moneda: si sale cara acep-tarlo y si sale cruz rechazarlo. De todas formas hay que remarcar

d. Realizar los apartados anteriores utilizando para el cálculo la distribución binomial.

En la tercera columna de la tabla A5.1 se encuentran los cálculos de las probabilidades de la curva característica se utiliza la hoja de cálculo Excel donde la fórmula en este caso es

= DISTR.BINOM(1;10;A3;VERDADERO)

y A es la columna de proporciones de unidades no conformes. Se puede pasar de la tabla al gráfico de la curva característica en la misma hoja de cálculo (Figura A5.2).



0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

Proporción de no conformidades

Prob

abili

dad

acep

taci

ón d

ello

te

Figura A5.2 Curva característica del ejemplo 4 utilizando la distribución binomial

Tabla A5.1 Cálculo de las probabilidades de la curva característica del ejemplo 4 utilizando la distribución hipergeométrica y la binomial

Proporción de unida-des no conformes

Probabilidad de aceptación del lote (Hipergeométrica)

Probabilidad de aceptación del lote

(Binomial) 0,02 0,991 0,984

0,04=AQL 0,951 0,942 0,06 0,891 0,882 0,08 0,818 0,812 0,1 0,738 0,736 0,12 0,657 0,658 0,14 0,576 0,582 0,16 0,500 0,508 0,18 0,428 0,439 0,2 0,363 0,376 0,22 0,333 0,318 0,24 0,278 0,267 0,26 0,229 0,222 0,28 0,187 0,183

0,3=LQL 0,136 0,149 0,32 0,108 0,121 0,34 0,085 0,096 0,36 0,066 0,076 0,38 0,051 0,060 0,4 0,039 0,046 0,42 0,029 0,036


Conclusión: A la vista de los cálculos realizados en la tabla A5.1, puede observarse que hay diferen-cias utilizando la distribución hipergeométrica y la binomial. El procedimiento correcto en este caso sería utilizar la distribución hipergeométrica puesto que el tamaño del lote no es suficientemente grande.

5. Un contrato de compra estipula la compra de componentes en lotes grandes que han de contener como máximo un 5% de componentes no conformes (el AQL=0,05). Para comprobar la calidad se inspeccionan 10 unidades del producto de cada lote, aceptando si hay como máximo una unidad de-fectuosa. Estudiar la probabilidad de aceptación de un lote cuando la proporción real de componentes no conformes en los lotes es 0,05, 0,10, 0,15 y 0,20.

Se trata de un plan de muestreo simple donde el tamaño de la muestra es n=10 y la aceptación del lote es Ac=1.

Sea X la variable aleatoria numero de no conformidades en una muestra de tamaño n=10.

Como que el tamaño del lote N es grande (supongamos 10n<N) podemos aproximar la distribución de la variable aleatoria por una binomial de parámetros n=10 y p=probabilidad de no conformidad.

Dado el plan de muestreo n=10, Ac=1, la probabilidad de aceptar el lote si la proporción de no con-formidad es P= 0,01; 0,05; 0,10; 0,15; 0,20 son1:

P(aceptar el lote | p=0,01)=P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1)=B(1;10;0,01)=0,9957





A la vista de los resultados, podemos observar que:

• Si el lote tiene un 1% de piezas no conformes (por debajo del nivel aceptable), tiene una probabi-lidad de aceptarlo de 0,9957, con lo cual al consumidor le puede parecer bien el plan de muestreo pero al fabricante no, ya que el contrato estipula un nivel de calidad aceptable de un 5% y si él sirve lotes con 1% de no conformidades le devolverán un 1,47% de los lotes.

• Si el lote tiene un 5% de las piezas no conformes, tiene una probabilidad de aceptarlo de 0,9139, con lo cual al consumidor le puede parecer bien pero al fabricante no, ya que el contrato estipula un nivel de calidad aceptable de un 5% y si él sirve lotes con esta proporción le devolverán un 8,61% de los lotes.

1 Las probabilidades pueden calcularse con la hoja de cálculo excel con la fórmula

B(1;10;p=A·3)=DISTR.BINOM(1;10;A3;VERDADERO) o con las tablas de la Binomial del Anexo.


• Si el lote tiene un 10% de las piezas no conformes, tiene una probabilidad de aceptarlo de 0,7361. con lo cual al consumidor no le parecerá bien, ya que el contrato estipulaba como máxi-mo un 5% de piezas no conformes y sólo rechaza un 26,39% de los lotes con un 10% de no con-formidades.

6. Dado el plan de muestreo n=25, Ac=1, utilizando la hoja de cálculo Excel, resolver las siguientes cuestiones teniendo en cuenta que el lote es de tamaño N = 1.000.

a. Calcular y dibujar la curva característica o curva operativa (OC) del plan de muestreo. Justificar la distribución de probabilidad utilizada para calcular las probabilidades.

En un plan de muestreo, la curva característica, o curva OC (operating characteristic curve), es una función (o una curva, si la representamos gráficamente) que da la probabilidad de aceptación Pa de un lote en términos de el porcentaje de no conformidades p. Dado el plan de muestreo n=25, Ac =1 para calcular las probabilidades asociadas a los porcentajes de no conformidades utilizaremos el modelo probabilístico binomial puesto que el tamaño de la muestra 25 < N/10 donde N=1000 es el tamaño del lote.

Sea la variable aleatoria X = número de unidades no conformes en la muestra de tamaño n=25. X~ Binomial(25;p).

En la tabla A5.2 se dan algunas probabilidades de aceptación, calculadas a partir de la distribución binomial.

Tabla A5.2 Probabilidades de aceptación

Porcentaje Probabilidad de acep-tación

1% 0,974 1,3% 0,958 1,4% 0,952 1,6% 0,940 2% 0,911 3% 0,828 4% 0,736 5% 0,642 6% 0,553 7% 0,470 8% 0,395 9% 0,329 10% 0,271 12% 0,180 14% 0,117 16% 0,074 18% 0,045 20% 0,027 22% 0,016 26% 0,005


Indicación: los cálculos pueden hacerse con la hoja de cálculo Excel con la fórmula =DISTR.BINOM(1;25;A3;1) o utilizando las tablas estadísticas del anexo.

Utilizando la hoja de cálculo puede dibujarse la curva característica:


00,20,40,60,8

1

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

Porcentaje de no conformidades

prob

abilid

ad d

e ac

epta

ción

Figura A5. Curva característica del ejemplo 6 utilizando la distribución Binomial.

b. ¿Qué valor identificarías como nivel de calidad aceptable (AQL)?

El nivel de calidad aceptable es el porcentaje no conforme que se considera aceptable en la inspec-ción. Se designa por AQL (acceptable quality level). El AQL es una indicación que se da al productor, y depende de criterios económicos y técnicos. Al usar este parámetro, es importante tener bien claro lo que significa, ya que, de lo contrario, puede generar expectativas sin fundamento. El AQL puede ser cualquier valor de p para el cual la probabilidad de aceptación sea alta (en general superior al 90%) . Normalmente se escoge del 0,95 y en este caso podría ser AQL=1,4%.

c. ¿Qué valor identificarías como nivel de calidad límite (LQ)?

La calidad límite es el porcentaje no conforme máximo que se considera aceptable en la inspección. Se designa por LQ (limiting quality), LQL (limiting quality level), RQL (rejectable quality level) o LTPD (lot tolerance percent defective). El significado de la LQ en un plan de muestreo es similar al del AQL, pero de sentido contrario. Si p=LQL, la probabilidad de aceptación es baja (en general inferior al 10%). En este caso particular se podría coger LQ=16%. ( Tabla A5.2).

d. ¿Cuál sería el riesgo del productor (α) y el del consumidor (β), teniendo en cuenta los valores AQL y LQ que se haya escogido?

El riesgo del productor α es la probabilidad de rechazar un lote con p=AQL (que debería ser acepta-do). Al escoger AQL= 1,4 % en la tabla A5.2, le corresponde una probabilidad de aceptación de 0,952, de donde se deduce que al hacer p=AQL la curva característica nos da Pa=1-α

En este caso α=1-0,952=0,048

El riesgo del consumidor, β, es la probabilidad de aceptar un lote con LQ de no conformidades (que debería ser rechazado).

Si LQ = 16 %, en la tabla A5.2 le corresponde una β=0,074.


7. Indicar el plan de muestreo (para inspección rigurosa) que propone la ISO 2859 1ª parte si se quieren inspeccionar lotes de N=20.000 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable (AQL) pactado con el proveedor es de 0,25% no conformidades.

Para escoger un plan de muestreo, la norma la ISO 2859 propone que a menos que se indique lo contrario se utilizará la inspección para usos generales nivel II.

Mirando la tabla 3.1 del capítulo 2 (Módulo 2), para un lote de tamaño N=20.000 unidades le corres-ponde la letra código M.

Para la letra código M, para inspección rigurosa, mirando la tabla 3.4 del capítulo 2, le corresponde para un AQL=0,25% el plan de muestreo n=315 Ac=1

8. Indicar el plan de muestreo (para inspección normal) que propone la ISO 2859 1ª parte si se quie-ren inspeccionar lotes de N=700 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable (AQL) pactado con el proveedor es de 0,15% no conformidades.


Mirando la tabla 3.1 del capítulo 2 (Módulo 2), para un lote de tamaño N=700 unidades le correspon-de la letra código J.

Para la letra código J, para inspección normal, mirando la tabla 3.4 del capítulo 2, le corresponde para un AQL=0,15% el plan de muestreo n=80 Ac=0.

9. Indicar el plan de muestreo (para inspección reducida) que propone la ISO 2859 1ª parte si se quieren inspeccionar lotes de N=500 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable (AQL) pactado con el proveedor es de 1% no conformidades.


Mirando la tabla 3.1 del capítulo 2 (Módulo 2), para un lote de tamaño N=500 unidades le correspon-de la letra código H.

Para la letra código H, para inspección reducida, mirando la tabla 3.3 del capítulo 2, le corresponde para un AQL=1% el plan de muestreo n=20 Ac=0 y Re=2, lo que indica que en caso de detectar una unidad no conforme se acepta el lote y se restablece la inspección normal.

10. Con el plan escogido en el ejercicio 9 determinar ¿cuál sería la probabilidad de aceptar un lote de N=500 con 50 no conformidades?

La proporción de no conformidades del lote es p=50/500=0,10.

Sea X la variable aleatoria número de no conformidades en una muestra de tamaño n=20. Por ser 10n<N podemos aproximar X por la distribución binomial de parámetros n=20 y p=0,10. La probabili-dad de aceptar el lote con un 10% de no conformidades es:

P(aceptar el lote p=0,10)=P( X ≤ 1)=B(1;20;0,10)=0,3917 ( mirando las tablas de la binomial).


Obsérvese que se ha hecho el cálculo de la probabilidad de aceptar el lote con el plan de muestreo n=20 Ac=1 ya que en el apartado anterior para inspección reducida, mirando la tabla 3.3 del capítulo 2, le corresponde para un AQL=1% el plan de muestreo n=20 Ac=0 y Re=2, lo que indica que en caso de detectar una unidad no conforme se acepta el lote y se restablece la inspección normal.

11. Con el plan escogido en el ejercicio 9 determinar ¿cuál sería la el riesgo del productor α?.

El riesgo del productor, α, es la probabilidad de rechazar un lote con p=AQL (que debería ser acepta-do). La probabilidad de aceptar el lote cuando p=AQL=1% es:

P(aceptar el lote p=0,01)= P( X ≤ 1)=B(1;20;0,01)=0,9831 ( mirando las tablas de la binomial).

Por lo que la probabilidad de rechazarlo es:

α=1- P(aceptar el lote p=0,01)=1-0,9831=0,0169.

Módulo 3. Control estadístico de proceso 91

Módulo 3. Control estadístico de proceso


Capítulo 2. Gráficos de control

2.1 Algunas fórmulas de los gráficos de control

2.2 Primeras ideas de los gráficos de control

2.3 Variantes de los gráficos de control

2.4 Límites de control

2.5 Pautas en los límites de control

Capítulo 3. Capacidad de un proceso

3.1 Variantes en la expresión de la capacidad

3.2 Índices de capacidad

3.3 Validez de los índices

Capítulo 4. Gráficos de control para variables

4.1 Gráficos de control para subgrupos

4.2 Gráficos /X R y /X s

4.3 Gráficos para observaciones individuales

Capítulo 5. Gráficos de control para atributos

5.1 Control de la proporción de unidades no conformes

5.2 Control del número de no conformidades

5.3 Control del número de deméritos

Anexo A6. Distribuciones de probabilidad

Anexo A7. Caso práctico 1

Anexo A8. Caso práctico 2


1. INTRODUCCIÓN

Este módulo trata sobre la construcción e interpretación de los gráficos de control. La mayor parte de ellas está dedicada a los gráficos de control clásicos, que fueron diseñados por W. E. Shewhart en los años 20 y a los que modernamente denominamos gráficos de Shewhart.

Los métodos que presentamos se ilustran con su aplicación a cinco ejemplos de proceso, que se han considerado representativos y que se describen brevemente en este capítulo. Tanto las tablas como los gráficos que se han incluido en estas notas, han sido preparados en hojas de cálculo Excel.

La terminología estadística que se usa es completamente estándar y no difiere de la que se pueda hallar en cualquier manual de control estadístico de proceso. En este sentido, estas notas son autosu-ficientes.

En el anexo A1 del módulo 1 se incluyen unas notas históricas sobre la evolución del control estadís-tico de la calidad, desde Shewhart hasta hoy. Confiamos en que estos apuntes, respaldados por las referencias bibliográficas que se dan al final, resulten suficientes para los lectores que deseen adquirir una perspectiva histórica de los gráficos de control.

Hemos incluido en la bibliografía las normas americanas, británicas e internacionales que se ocupan de los gráficos de control y algunos artículos que pueden ayudar a los lectores a profundizar en algún aspecto que nosotros tratamos muy por encima, como la relación entre los métodos SPC y el control automático de proceso.

En este primer capítulo daremos un repaso a las nociones básicas del control de proceso, algunas de ellas introducidas en el módulo 1, a fin de dejarlas bien claras y establecer la terminología del lengua-je del control de proceso, que se usará con frecuencia en estas notas. El concepto de proceso es fundamental en la empresa contemporánea. En los orígenes del control de la calidad (años 20), el término proceso se usaba para designar un proceso de fabricación, que implicaba operarios, máqui-nas, materias primas, etc. Poco a poco el concepto fue adquiriendo mayor alcance, extendiéndose a los procesos de soporte o de servicio. En el lenguaje empresarial de hoy, proceso es la transforma-ción de unos elementos de entrada o inputs en unos elementos de salida o outputs. Un proceso puede subdividirse en subprocesos, o fases, según convenga desde el punto de vista práctico.

Se denomina producto al resultado de un proceso. Controlar un proceso significa gestionarlo de mo-do que el producto sea predecible y satisfactorio. Cuando se alcanza tal situación, se dice que el pro-ceso está en estado de control. El control de un proceso es el conjunto de actividades que se rea-lizan para controlarlo. Cuando el control de un proceso se lleva a cabo según un programa predefini-do, a éste se le denomina plan de control del proceso. La existencia del plan de control no presu-pone que haya un documento único, con ese nombre u otro, que lo describa.

El objetivo del control de proceso es conseguir que se satisfagan de forma continuada unos requisi-tos. Los requisitos hacen referencia al proceso en sí (al modo en que se realiza la transformación) o al producto. El documento que recoge estos requisitos (si existe) se denomina especificación (de proceso o de producto). En caso de cumplirse los requisitos especificados, se habla de proceso o producto conforme. Una especificación debe indicar, en la medida de lo posible, cómo puede verifi-carse la conformidad.

Una estrategia clásica del control de proceso consiste en el seguimiento, a lo largo del tiempo, de uno o varios indicadores relacionados con él. Los gráficos de control, de los que trataremos en estas notas, constituyen una herramienta sencilla para realizar este seguimiento. La denominación control estadístico de proceso, abreviadamente SPC (statistical process control), se refiere al uso de los gráficos de control y las fórmulas estadísticas asociadas a ellos en el control de la producción.


Un gráfico de control muestra la evolución, a lo largo del tiempo, de un indicador. Los indicadores usados pueden ser:

• Parámetros de proceso, como temperatura, tiempo de reacción, etc.

• Medidas de eficiencia, como rendimiento, coste, consumo, mermas, etc.

• Resultados de la inspección del producto

En la última parte de este capítulo daremos algunos ejemplos de procesos y de indicadores adecua-dos para el control de esos procesos.

Las causas o condiciones que influyen sobre la transformación que constituye la esencia de un pro-ceso se denominan genéricamente factores del proceso. Factores típicos en los procesos industria-les son las materias primas, el medio ambiente y los operarios. Los factores del proceso no actúan siempre de la misma forma, lo que da lugar a fluctuaciones en los indicadores a través de los cuales vemos el proceso. La expresión variabilidad del proceso alude a este hecho. Decimos que un proceso está en estado de control estadístico (respecto a un indicador) cuando su variabilidad si-gue una pauta conocida y consistente en el tiempo. El significado exacto de esta definición para cada caso particular depende de la naturaleza del proceso y del indicador usado. Un proceso en estado de control estadístico es predecible, en el sentido de que podemos predecir el intervalo de valores dentro del cual oscilará el indicador considerado.

Decimos que un proceso es capaz (respecto a un indicador y unos requisitos relativos a ese indica-dor) cuando del estudio de su variabilidad se concluye que podemos esperar que satisfaga los requi-sitos de forma continua a lo largo del tiempo. No tiene sentido discutir la capacidad de un proceso que no esté en estado de control estadístico para el indicador correspondiente, ni sin especificar el indica-dor a que nos referimos, ya que un proceso puede ser capaz para un indicador, pero no serlo para otro.

Presentamos a continuación algunos ejemplos que ilustran las distintas clases de proceso.

Ejemplo 1: Fabricación de hojas de acero

Una industria del sector metalúrgico produce hojas de acero. Para ello se prensa una lámina de acero entre dos rodillos y después se corta para conseguir las dimensiones deseadas. En el proceso de prensado se utiliza como indicador el grosor de las hojas, que se mide con un micrómetro.

Ejemplo 2: Servicio de atención al cliente

En una empresa se ha organizado un servicio telefónico de atención al cliente. Como indicador se utiliza el porcentaje de llamadas que son contestadas antes de que suene la tercera señal. Tanto en este ejemplo como en el anterior tenemos un proceso en el que el producto consiste en un conjunto de unidades, cada una de las cuales puede ser conforme o no a la especificación. El caso más sim-ple, cubierto en todos manuales de control estadístico de proceso (algunos parecen considerar úni-camente éste), es aquel en el cual las unidades se producen de la misma forma, una después de otra. En estos procesos todos los factores tienen la posibilidad de actuar en el intervalo de tiempo que media entre dos unidades consecutivas.

Ejemplo 3: Fabricación de ferritas

En la fabricación de ferritas hay una primera fase, que podemos denominar proceso de prensado, en la cual una prensa transforma un polvo compuesto por una mezcla de óxidos en unas unidades sóli-das. La prensa tiene uno o varios moldes y en cada golpe arroja tantas unidades como moldes tiene.


El número de golpes por minuto es elevado. Se utilizan como indicadores las dimensiones y el peso de cada unidad.

Hay procesos, como el de este ejemplo, en los que las unidades no se producen una después de otra del mismo modo. Por ejemplo, consideremos una máquina con varias posiciones (orificios, cavidades de un molde, etc.) en las que tiene lugar una transformación de las unidades del producto. Las unida-des que provienen de distintas posiciones pueden presentar diferencias entre ellas, a causa de que la transformación no se realiza exactamente del mismo modo en las diferentes posiciones. Estas dife-rencias siguen a veces una pauta consistente en el tiempo, pero otras veces no. Para analizar la va-riabilidad de este tipo de procesos hay que tener en cuenta las dos fuentes que la originan. Una da lugar a diferencias entre unidades producidas en distintas posiciones y la otra a diferencias entre uni-dades de la misma posición. A pesar de que esta situación es muy frecuente en la industria, ya que permite mayor productividad, es esquivada en la mayoría de los manuales de control estadístico de proceso. La expresión proceso multiposicional alude a este tipo de proceso.

Ejemplo 4: Tejido para asientos de automóvil

En una industria textil, uno de los productos es un tejido para el revestimiento de asientos de automó-vil. El tejido se produce en continuo y se suministra al cliente en bobinas de 100 metros. Como indi-cador se utiliza el número de defectos por metro. En los procesos continuos, o procesos de fabrica-ción en continuo, no se producen unidades individuales, sino un flujo continuo de material.

Ejemplo 5: Fabricación de productos químicos

En una industria química, uno de los productos con mayor facturación es un producto para tratamien-to de superficies. Este producto se fabrica en un reactor donde se mezclan diversos componentes en condiciones especificadas. Cada batch constituye un lote del producto. Uno de los indicadores que se utilizan para el seguimiento de este producto es el pH de un lote, que se obtiene analizando una muestra extraída del reactor antes de su descarga.

Un proceso en batch es una transformación por la que se obtiene una cierta cantidad del producto, denominada batch, en las mismas condiciones. El batch puede presentar una variabilidad interna, con lo que no tendría sentido tratar de definirlo mediante una sola medición, a menos que ésta se realice sobre una muestra compuesta. Si la variabilidad interna es pequeña frente a la variabilidad entre bat-ches, se puede tratar cada batch como si fuera una unidad separada. En la fabricación en batch se realizan a veces cambios frecuentes de producto, que pueden hacer inútil el seguimiento mediante gráficos de control, a menos que se use como indicador una característica o parámetro de proceso común a varios productos. Este hecho y la existencia de variabilidad interna hacen que no pueda darse un método general para el seguimiento de los datos de un proceso en batch.


2. GRÁFICOS DE CONTROL

2.1 Algunas fórmulas estadísticas

En esta primera sección vamos a dar un repaso a algunas fórmulas estadísticas que intervienen en la elaboración de los gráficos de control. Llamamos estadístico al resultado de realizar una operación matemática sobre un conjunto de datos, normalmente con el fin de resumir la información y hacerla más comprensible. Cuanto mayor es el número de datos, más interesa resumir la información me-diante estadísticos. El estadístico más utilizado es la media. Si x1, x2, ..., xn son resultados de la ob-servación de una variable aleatoria X, su media es

1 nx xxn

+ += L

La media es una medida de posición, que marca un punto en torno al cual están más o menos agru-pados los datos. Si aplicamos a los datos una transformación lineal, la media se transforma de la misma forma. Es decir, si definimos Y = a + bX, entonces la media de los datos yi = a + bxi es

y a bx= +

El recorrido es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores hallados. Se designa habitual-mente por R. El recorrido es una medida de la dispersión de los datos y puede usarse para evaluar la variabilidad de X.

Otra medida de dispersión es la varianza,

2 22 1( ) ( )

1nx x x xs

n− + + −

=−L

Para comprender por qué la varianza mide la dispersión de los datos basta observar que los suman-dos que hay en el numerador de esta fórmula son positivos, al ser cuadrados, y mayores cuanto ma-yores sean las desviaciones de los valores de X respecto de su media.

Se llama desviación estándar a la raíz cuadrada de la varianza. Las dimensiones de la varianza de X no son las mismas que las de X (por ejemplo, si X se mide en mm, la varianza resulta en mm2), pero las de la desviación estándar sí, por lo que ésta puede usarse como escala para medir la magni-tud de la desviación de un valor xi respecto de la media. A veces se efectúa la transformación

ii

x xzs−

=

lo que equivale a dar las desviaciones respecto a la media como múltiplos de s". Esta transformación se denomina estandarización o normalización. La media de los zi es 0, y la desviación estándar 1.

La desviación estándar s y el recorrido R son dos formas alternativas de evaluar la variabilidad de X. Si sumamos una constante a todos los datos, su valor no se altera, pero si los multiplicamos por un factor constante, la desviación estándar y el recorrido quedan multiplicados por ese factor. s y R tie-nen sus ventajas e inconvenientes:

• El recorrido es más sencillo de calcular, y mucho más fácil de entender, que la desviación están-dar.

• El recorrido sólo tiene en cuenta los dos valores extremos, mientras que la desviación estándar considera todos los datos. Por consiguiente, el recorrido es menos aconsejable a medida que


aumenta el número de datos, ya que su uso involucra pérdida de información. De hecho, sólo se usa cuando el número de datos es pequeño (5 o 6 como máximo).

• La interpretación del valor de R depende del número de datos a partir de los que se ha obtenido, ya que no puede esperarse la misma magnitud para un recorrido de 5 datos que para uno de 2. En cambio, se puede usar el valor de s independientemente del número de datos. En la práctica, se usa a veces el recorrido para series de datos pequeñas, pero para su interpretación siempre se transforma previamente en una desviación estándar, como veremos en el capítulo 4.

NOTA. La desviación estándar, tal como la hemos definido aquí, se denomina, si hay riesgo de con-fusión, desviación estándar muestral o, en el contexto de las ciencias experimentales, desviación estándar experimental. La desviación estándar muestral no debe confundirse con la de una población, que es un parámetro estadístico que se usa cuando se conocen todos los valores de una variable X para una población (finita) de N individuos, cuya media es µ. La fórmula es entonces

2 21( ) ( )Nx x

Nµ µ

σ− + + −

=L

Ejemplo 1 (continuación)

Los límites de tolerancia para el grosor de las hojas de acero son 0,6 ± 0,002 mm. Para verificar el estado de control del proceso se extraen muestras de cinco unidades de 20 lotes consecutivos y se mide el grosor de cada unidad. Los resultados (en micras) se presentan en la tabla 2.1 junto con la media, la desviación estándar y el recorrido de cada muestra. En la última fila se dan las medias de las cuatro últimas columnas, es decir, la media de los 100 datos, la desviación estándar media, la varianza y el recorrido medio. La tabla se ha preparado en una hoja Excel.

Tabla 2.1 Grosor de una hoja de acero

Muestra x1 x2 x3 x4 x5 x s s2 R 1 598,0 599,8 600,0 599,8 600,0 599,5 0,856 0,732 2 2 600,0 598,8 598,2 599,4 599,6 599,2 0,707 0,5 1,8 3 599,4 599,4 600,0 598,8 599,2 599,4 0,434 0,188 1,2 4 599,4 599,6 599,0 599,2 600,6 599,6 0,623 0,388 1,6 5 598,8 598,8 599,8 599,2 599,4 599,2 0,424 0,18 1 6 600,0 600,2 600,2 599,6 599,0 599,8 0,51 0,26 1,2 7 599,0 599,8 600,8 598,8 598,2 599,3 1,006 1,012 2,6 8 6,000 599,2 599,8 601,2 600,4 600,1 0,743 0,552 2 9 600,2 599,6 599,6 599,6 600,2 599,8 0,329 0,108 0,6

10 599,2 599,0 599,6 600,4 600.0 599,6 0,573 0,328 1,4 11 599,0 599,6 599,4 599,2 597,8 599 0,707 0,5 1,8 12 600,4 599,6 600,0 600,8 600,4 600,2 0,456 0,208 1,2 13 599,4 599,0 598,4 599,0 599,6 599,1 0,46 0,212 1,2 14 598,8 599,2 599,6 598,6 599,8 599,2 0,51 0,26 1,2 15 599,6 599,2 599,6 600,2 599,8 599,7 0,363 0,132 1 16 599,6 600.0 599,6 599,2 598,6 599,4 0,529 0,28 1,4 17 599,6 601,2 599,6 600,2 600.0 600,1 0,657 0,432 1,6 18 600.0 599,4 599,8 599,2 599,6 599,6 0,316 0,1 0,8 19 599,4 600.0 600 599,2 599,4 599,6 0,374 0,14 0,8 20 599,6 599,8 599.0 599,6 599,4 599,5 0,303 0,092 0,8

Promedios 599,54 0,544 0,3302 1,36


2.2 Primeras ideas sobre los gráficos de control

El gráfico de control es la herramienta básica del control estadístico de proceso. Su empleo permite comparar los datos de un indicador de un proceso con unos límites fijados a partir de un estudio de la variabilidad del proceso o de requisitos previamente establecidos. En un gráfico de control se repre-sentan los valores de algún estadístico, calculado a partir de datos del proceso recogidos a lo largo de un período de tiempo. Hay varios tipos de gráficos de control, según el estadístico que se use para elaborarlos y la forma de establecer los límites.

En los gráficos de control típicos, además de los puntos que representan los valores del estadístico correspondiente, unidos por una línea quebrada, se dibujan tres líneas horizontales que ayudan a la interpretación del gráfico:

• La línea central, asociada al valor medio del estadístico utilizado.

• Los límites de control, superior e inferior, situados a ambos lados de la línea central y, en la mayoría de los casos, equidistantes de ella.


En las figuras 2.1, 2.2 y 2.3 pueden verse gráficos de control elaborados a partir de los datos de la tabla 2.1, usando la media, la desviación estándar y el recorrido, respectivamente. Más adelante se verá cómo se han obtenido los límites de control que hay en estos gráficos.

Los gráficos de control se elaboran a partir de datos relativos a unos determinados indicadores. Estos indicadores pueden obtenerse de dos formas alternativas:

• A través de mediciones de una característica medible del producto (longitud, peso, etc.) o de un parámetro del proceso (temperatura, presión, etc.). Los gráficos de control que se usan en este caso son los gráficos de control por variables.

• Contando las unidades no conformes o las no conformidades (incumplimientos de uno o varios requisitos). En el primer caso hablaremos de control por la proporción de unidades no con-formes, y en el segundo de control por el número de no conformidades. Ambas situaciones quedan dentro de lo que se llama control por atributos.

598

598,5

599

599,5

600

600,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Figura 2.1 Gráfico de control para las medias de la Tabla 2.1


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Figura 2.2. Gráfico de control para las desviaciones estándar de la Tabla 2.1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Figura 2.3. Gráfico de control para los recorridos de la Tabla 2.1

En el control por variables se trabaja con más información que en el control por atributos y, por consi-guiente, el número de observaciones que se realizan es menor. No obstante, el control por atributos es más sencillo.

2.3 Variantes de los gráficos de control

En el control por variables el indicador es una característica medible cuyos valores se obtienen me-diante la inspección de muestras del producto o se extraen de los registros de un parámetro de pro-ceso. Para una característica medible, la especificación se concreta en la definición de una zona de tolerancia, que es la zona de valores dentro de la cual el valor de la característica se considera acep-table. La zona de tolerancia viene definida por uno o dos límites de tolerancia. Cuando hay límite superior e inferior, se llama tolerancia a la diferencia entre ambos.

El modelo teórico habitual en el control por variables es la distribución normal (ver Anexo A6), que tiene dos parámetros (estadísticos), µ y σ. Se interpreta µ como una indicación del nivel medio de la característica y σ como una medida de su variabilidad. El rasgo esencial de esta variante del control de proceso, desde el punto de vista matemático, es que estas variables pueden variar de forma conti-nua, de modo que todos los valores de un intervalo son posibles. Naturalmente, esto sólo es así en


teoría, ya que, en la realidad, el instrumental usado en las mediciones sólo permite obtener un con-junto finito de valores. Sin embargo, en la mayoría de los casos el uso de variables continuas propor-ciona una aproximación razonable y simplifica el tratamiento matemático. Como para caracterizar el proceso se necesitan dos parámetros, µ y σ, para su seguimiento se usan dos gráficos de control.

La inspección por atributos consiste en verificar la presencia o ausencia de alguna característica o atributo en la muestra de producto que se inspecciona. Los datos a partir de los cuales se elaboran los gráficos de control se obtienen al contar las no conformidades presentes en la muestra y en esta-do primario son números naturales (0, 1, 2, etc.), aunque se pueden transformar, por ejemplo, en porcentajes para facilitar su interpretación.

Una primera variante del control por atributos se ocupa de la proporción de unidades no conformes que se halla en muestras extraídas de la producción. La proporción de unidades no conformes es el cociente de dividir el número de unidades no conformes por el número de unidades inspeccionadas. Esta variante de control por atributos tiene cuando el producto está formado por unidades discretas, que se pueden clasificar en conformes y no conformes en base a la especificación.

El modelo teórico para estas variables es la distribución binomial (ver Anexo A6), con un parámetro p que se interpreta como la proporción de unidades no conformes producida por el proceso. El núme-ro medio de unidades no conformes en una muestra de tamaño n es np. En esta variante del control de estadístico de proceso sólo se usa un gráfico, en el que sigue la evolución de p (o np) a lo largo del tiempo.

Por definición, la proporción de unidades no conformes está comprendida entre 0 y 1. Si la multipli-camos por 100 obtenemos el porcentaje. El uso de porcentajes es común en el lenguaje coloquial, pero desde el punto de vista estadístico, el multiplicar las proporciones por 100 es irrelevante. A ve-ces se usa el símbolo p para designar porcentajes. Por ejemplo, en las tablas de muestreo MIL-STD-105 (v. Módulo 2), p es el porcentaje de unidades no conformes. Sin embargo, en este módulo, p siempre designa una proporción.

Una segunda variante del control por atributos se ocupa del número de no conformidades halladas en muestras extraídas de la producción. El modelo teórico es, en este caso, la distribución de Poisson (v. Anexo A6), con un parámetro c que se interpreta como el número medio de no conformidades por muestra. Como en el caso anterior, se usa un único gráfico de control para seguir la evolución de c.

El control por el número de no conformidades se utiliza típicamente en dos situaciones:

• Para el hardware y los servicios, en el caso en que cada unidad pueda presentar más de una no conformidad e interese el número de éstas, no el de unidades no conformes.

• En material procesado en continuo que se inspecciona por atributos, como cable, papel, tejido, etc.

Si existen unidades'', el número medio de no conformidades por unidad, en una muestra de tamaño n, es u = c/n. En los materiales continuos no hay unidades'', pero la definición también tiene sentido. Para ello se toma como unidad un segmento o área de producto, de forma que las muestras conside-radas sean mayores que estos segmentos. Por ejemplo, en la fabricación de un tejido podemos con-siderar el número de defectos por metro (así lo haremos al discutir el Ejemplo 3 en el próximo capítu-lo).

En ciertos productos interesa distinguir las no conformidades según su gravedad. Para ello se asigna, a cada clase de no conformidad, un coeficiente o peso w, que se interpreta como el número de de-méritos que corresponde a una no conformidad de esa clase. Al inspeccionar una muestra de pro-ducto, se multiplica el número de no conformidades de cada clase halladas en la inspección por su peso, sumando los resultados para obtener el número total de deméritos de la muestra. El proceso se evalúa por el número medio de deméritos por muestra (o unidad).


Habitualmente, en la asignación del peso w a una clase de no conformidades se tiene en cuenta el impacto que produce sobre el cliente o usuario del producto. Por tanto, los deméritos no son algo intrínseco, sino que dependen principalmente del destino que se dé al producto.

En una situación estándar, podemos dividir las no conformidades en cuatro clases:

• Críticas. Las que representan un peligro para la integridad del usuario o que afectarán con segu-ridad al rendimiento del producto. Podemos asignarles un peso w = 50.

• Mayores. Las que afectarán probablemente al rendimiento del producto, o que son causa de que el usuario tenga que efectuar correcciones. Ahora w = 10.

• Menores. Las que pueden causar fallos en el servicio, pero el producto podrá realizar su función principal. Su aparición reiterada podría inducir al usuario a comprar el producto a la competencia. En este caso, w = 5.

• Intrascendentes. Las que no son advertidas por el usuario cuando se presentan de forma aisla-da, pero su aparición reiterada podría inducir al usuario a adquirir el producto a la competencia en el futuro. Podemos asignarles w = 1.

En otros casos, los pesos son 100, 50, 10 y 1, como en un sistema usado por AT&T. Otro ejemplo es el sistema usado por Peugeot en sus auditorías internas, en las que se asigna w = 3 a los defectos aceptados por el comprador medio, w = 5 a los defectos importantes que el comprador medio no ad-mitiría, y w = 15 a defectos más notorios, que serían detectados con toda seguridad por cualquier cliente.

2.4 Límites de control

Los límites de control son valores con los que se comparan los del estadístico cuyo seguimiento se realiza en el gráfico de control. La comparación puede tener dos fines distintos:

• Proporcionar un criterio de advertencia para intervenir en el proceso, corrigiendo su funciona-miento. Para ello es preciso que los límites de control se establezcan de antemano, de forma que, al ir añadiendo puntos al gráfico, se pueda ver la posición de cada punto respecto a los límites. Diremos en este caso que el gráfico tiene límites de control prefijados. Los límites prefijados se establecen a partir de datos anteriores, sean de un estudio previo o de otros gráficos. A veces, no son sólo el resultado de un análisis estadístico, sino que representan un compromiso entre la va-riabilidad observada en el proceso y los requisitos especificados.

• Servir de base para juzgar si el proceso está en estado de control estadístico. En este caso, lo normal es que los límites se calculen a partir de los propios datos, cuando se disponga de todos ellos. Hablamos entonces de límites de control calculados.

Obsérvese que, con límites de control prefijados, se puede ir trazando el gráfico a medida que se va disponiendo de los datos, mientras que para los límites calculados hay que esperar a tenerlos todos.

Se puede usar un gráfico con límites prefijados como instrucción de trabajo gráfica, para decidir cuándo se debe intervenir en el proceso. No es aconsejable establecer instrucciones de este tipo sin un estudio previo del proceso por alguien con una cierta experiencia en el análisis de gráficos de con-trol, ni sin que el proceso haya alcanzado el estado de control estadístico.

Un punto fuera de la banda de control definida por los límites (punto fuera de control) puede dar lugar, si así lo establece el procedimiento de control, a una intervención, que puede consistir en:


• La identificación de la causa de la aparición de ese punto

• El ajuste del proceso

• La interrupción del proceso

Naturalmente, para que estas intervenciones tengan sentido es necesario que al establecer los límites de control se haya tenido en cuenta cuál es la variabilidad natural del proceso, que puede determi-narse mediante un estudio de capacidad como los que veremos en el capítulo 3. De lo contrario, si la banda de control fuera demasiado estrecha, se producirían falsas alarmas'', que darían lugar a inter-venciones innecesarias.

Los límites calculados se obtienen mediante fórmulas escogidas, de forma que, si hay puntos más allá de los límites, pueda considerarse que el valor del parámetro cuyo seguimiento se realiza con el gráfico puede haber cambiado. Los gráficos de control con límites calculados son una herramienta del análisis de procesos y normalmente se construyen a posteriori (es decir, cuando ya se tienen los da-tos) con el fin de analizar el comportamiento del proceso, ver cuál es su variabilidad, y si ésta presen-ta una pauta consistente en el tiempo. Su objeto es verificar el estado de control estadístico y la ca-pacidad del proceso o, en caso negativo, ayudar al diagnóstico sobre las medidas que se deben to-mar.

El control por variables se basa en la distribución normal. Se supone que la variable que se represen-ta en el gráfico tiene una distribución normal de parámetros µ y σ. Si los parámetros permanecen constantes, debe haber muy pocos valores fuera del intervalo µ ± 3σ, con lo que éste da una banda de variabilidad que podemos considerar como normal (v. Anexo A6). En el control por atributos se usa también, para simplificar, la regla µ ± 3σ. Hay que advertir que la mayoría de las fórmulas usadas en el cálculo de los límites de control sólo son válidas si las observaciones son estadísticamente inde-pendientes (v. Anexo A6). Frecuentemente, esta condición no se tiene en cuenta, y muchos manuales de Control Estadístico de Proceso ni siquiera la mencionan.


En el gráfico de la figura 2.1 se ha usado, para la línea central, el valor medio de todos los Datos, x=599,545, que coincide con la media de los valores de la columna de medias de la tabla 2.1, y los límites de control UCL=600,32 Y LCL=598,77 se han obtenido a partir de los datos por un procedi-miento que veremos en el Capítulo 4.

En el gráfico de la figura 2.2 se ha usado para la línea central la desviación estándar media, s =0,544, y el límite de control superior (calculado), UCL = 1,14, se ha obtenido por un procedimiento que veremos más adelante. En el de la Figura 2.3 se ha usado para la línea central el recorrido me-dio, R =1,36, y el límite de control superior (calculado) es UCL = 2,88.

2.5 Pautas en un gráfico de control

Además de verificar que todos los puntos están entre los límites de control, es interesante examinar si aparecen de ciertas pautas en los gráficos de control. La idea es simple: un proceso en estado de control debe parecerse lo más posible a un fenómeno puramente aleatorio, y por consiguiente cual-quier pauta que podamos descubrir en un gráfico de control puede ser un síntoma de la actuación de una causa que nos interese identificar.


Figura 2.4 Pautas en un gráfico de control

Una de las pautas más sencillas de detectar es la racha. La racha es una serie interrumpida de pun-tos por encima o por debajo de la línea central. Si la línea central se ha escogido de forma que sea igualmente probable encontrar un punto por encima de la línea central como por debajo, la probabili-dad de hallar una racha larga es pequeña. Por consiguiente, la aparición de una racha sugiere un cambio en el proceso. Aunque no hay unanimidad, en general se considera que una racha de siete u ocho puntos es una evidencia en contra del estado de control estadístico. La última de las reglas de Western Electric, que veremos a continuación, prohíbe las rachas de ocho puntos.

Una tendencia en un proceso se detecta por la presencia de una serie interrumpida de puntos del gráfico en sentido ascendente o descendente. Las tendencias pueden corresponder a una deriva en las instalaciones de fabricación, en los mecanismos de regulación o en los instrumentos de medida, y su detección precoz es importante, de cara a adoptar medidas preventivas. De todos modos, debe tenerse en cuenta que un gráfico de control no siempre es capaz de detectar una tendencia en la forma descrita. Una tendencia puede ser lenta y materializarse en el gráfico por fluctuaciones por encima y por debajo de una cierta curva. Estas tendencias se detectan más claramente en una va-riante especial de los gráficos de control, los gráficos de control para la media móvil.

Tendencias

Comportamiento

Ciclico

Ráfagas


El comportamiento cíclico de un proceso se da cuando se va repitiendo en los gráficos de control una cierta pauta a intervalos de tiempo más o menos regulares. Cuando la fabricación está organiza-da por turnos, se dan con frecuencia comportamientos de tipo cíclico.

Cualquier cosa que pueda verse en un gráfico de control es interesante, si se puede interpretar sobre el proceso. En cualquier caso, debe tenerse presente que al aumentar el número de pruebas aumen-ta también la probabilidad de que alguna de ellas dé positivo" por razones puramente aleatorias. Lo que importa realmente es limitar la variabilidad del proceso, y por tanto, el principal objetivo es man-tener el gráfico dentro de la banda de control. Los tests adicionales son interesantes como oportuni-dad de descubrir algo sobre el proceso que permita mejorarlo, pero no como una vía para someterlo a un examen más riguroso.

El que un punto caiga más allá de los límites de 3σ no es el único test que puede usarse para verificar si un indicador presenta un comportamiento irregular. Un manual clásico de Western Electric proponía otros tres tests. El conjunto de estos cuatro tests se popularizó en la industria de los Estados Unidos con el nombre de reglas de Western Electric. Las tres reglas restantes se basan en la división de las mitades superior e inferior de la banda de control en tres zonas, designadas como A, B y C, deli-mitadas por líneas horizontales a distancia 3σ, 2σ y σ de la línea central. Las reglas se aplican sepa-radamente a la mitad superior y a la inferior. Entiéndase siempre que σ se refiere a la desviación típi-ca del estadístico que se dibuja y por lo tanto si se trata de un gráfico de medias será la desviación típica de la característica de interés dividida por √n, siendo n el tamaño del subgrupo.

De acuerdo con las reglas de Western Electric, se considera que un proceso no está en estado de control estadístico cuando se da una de las condiciones siguientes:

• Un punto cae más lejos de la línea de 3σ (más allá de la zona A).

• Dos de tres puntos consecutivos caen más lejos de la línea de 2σ (zona A o más allá).

• Cuatro de cinco puntos consecutivos caen más lejos de la línea de σ (zona B o más allá).

• Ocho puntos consecutivos caen en la misma mitad del gráfico (zona C o más allá).


En la figura 2.5 puede verse el gráfico de la figura 2.1 dividido en zonas según las reglas de Western Electric. En este ejemplo no se incumple ninguna de las cuatro reglas.

598

598,5

599

599,5

600

600,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Zona B

ZonaC Zona B Zona A

Zona C

Zona A

Figura 2.5. Gráfico de medias del ejemplo 1 dividido en las zonas A, B y C


Además de las reglas de Western Electric, se han propuesto otros conjuntos de pruebas para decidir si un gráfico permite considerar un proceso fuera de control estadístico. Algunos de estos sistemas son más sofisticados, y consideran la probabilidad de error al concluir que existe una racha o tenden-cia. Por ejemplo, en Duncan (1986) se puede encontrar información sobre las probabilidades de apa-rición de rachas de diferentes longitudes.

Otros sistemas con estructura similar al de Western Electric han sido adoptados por distintas organi-zaciones. Las reglas Ford, por ejemplo, adoptadas por Ford para sí misma y para sus proveedores, prohíben en un gráfico de un proceso en estado de control las siguientes pautas:

• Los puntos más allá de las líneas de 3σ

• Una racha de 7 o más puntos

• Una tendencia de 7 o más puntos

• 2/3 de los puntos del gráfico en el tercio central (zona C)

Las reglas SAS deben su nombre a SAS Institute, fabricante de software estadístico. El módulo de control de calidad de SAS las usa para realizar un test a los datos usados en un gráfico de control. Las reglas SAS prohíben:

• 9 o más puntos seguidos en la zona C


• 14 o más puntos alternando encima y debajo de la línea central

• 2 puntos sobre 3 seguidos en la zona A

• 4 puntos de 5 seguidos en la zona C

• 8 puntos seguidos fuera de la zona C

Otro sistema es el recomendado por AFNOR, que es una organización francesa de normalización, homóloga de la española AENOR. En las normas AFNOR se proponen las siguientes reglas de ex-clusión:

• 2 puntos de 3 seguidos entre los límites de control y los de vigilancia (zona B)

• Una racha de 9 o más puntos



3. CAPACIDAD DE UN PROCESO

3.1 Variantes en la expresión de la capacidad

El objetivo de un estudio de capacidad es verificar que un proceso es capaz respecto a un cierto requisito, que se refiere a un indicador. La capacidad es función de la variabilidad del proceso y, por lo tanto, para analizar la capacidad de un proceso y extraer conclusiones válidas, éste debe hallarse en una situación de control estadístico, es decir, que las pautas que rigen la variabilidad del proceso deben ser conocidas y permanecer estables. Recordemos que un proceso en estado de control esta-dístico puede no ser capaz, y que puede ser capaz respecto a la especificación de un usuario o clien-te, pero no respecto a las de otro, que sea más restrictivo. También puede ocurrir que el proceso cumpla habitualmente la especificación, sin estar en estado de control estadístico.

El estudio de capacidad comporta un contraste entre una evaluación numérica de la variabilidad del indicador considerado y los límites de tolerancia establecidos para ese indicador. Este contraste se denomina análisis de capacidad. En el control por variables, el análisis de capacidad da lugar a uno o varios índices de capacidad. Por eso, se confunde a veces el análisis de capacidad con el cálculo de los índices de capacidad, que no es sino un aspecto particular.

A veces, en el estudio de la variabilidad de un proceso se han de considerar distintas componentes. En primer lugar, se debe examinar la variabilidad del proceso de medida que genera los datos del indicador que consideramos. La variabilidad generada por el propio proceso de medida representa ya de por sí una limitación a la capacidad del proceso, no en cuanto a sí mismo, sino a cómo lo vemos. Es necesario evaluar esta limitación si se quiere saber realmente lo que el proceso puede dar de sí.

Para tener información válida sobre el proceso que se estudia, la variabilidad del proceso de medida debe ser pequeña comparada con la variabilidad observada en los datos de control de proceso. Por la aditividad de la varianza, la varianza observada es la suma de la varianza del proceso más la de la medida,

σ2OBS = σ2

PRO + σ2MED

En la práctica, esta fórmula implica que, según cuál sea la magnitud relativa de ambas varianzas, la variabilidad del proceso de medida sea irrelevante o, por el contrario, haga justificar que las fluctua-ciones observadas en el indicador cuyo seguimiento se realiza se atribuyan al proceso de medida, con lo cual la variabilidad propia del proceso no puede ser evaluada y el análisis de capacidad no es viable.

NOTA. En la norma ISO 9001 se exige un análisis previo de la variabilidad de los procesos de medida que intervienen en el aseguramiento de la calidad y que esta variabilidad sea compatible con la capa-cidad de medida requerida. De hecho, un requisito como éste puede ser considerado como una exi-gencia de que el proceso de medida sea capaz y, en consecuencia, usar los índices de capacidad que veremos después para evaluar la capacidad del proceso de medida. La norma QS-9000 del sec-tor de automoción propone un sistema distinto al de los índices de capacidad para evaluar la capaci-dad del proceso de medida (v. Measurement System Analysis, 1995). Nos ocuparemos del control de los equipos de medida en el módulo 4.

Conviene, asimismo, distinguir entre la variabilidad instantánea de un proceso, que se refiere a resul-tados separados por un margen muy estrecho de tiempo, y la variabilidad a más largo plazo. En los estudios de capacidad a corto plazo es viable, en general, asumir que el proceso está en estado de control estadístico, pero no así en los estudios a largo plazo, donde hay un margen de tiempo más amplio para que cambien las condiciones en que trabaja el proceso.


El estudio de capacidad a corto plazo es típico del sector de automoción, donde a menudo se le llama estudio de capacidad de máquina y, en el contexto de la norma QS-9000 (v. APQP, 1995), forma parte de la validación del proceso de producción de un producto nuevo, El estudio típico de capacidad de máquina se aplica a una máquina que produce unas piezas o componentes, y en él se produce una serie de, por ejemplo, 100 unidades (el número varía en función de diversos factores, pero es mayor que 40) y se evalúa la variabilidad a partir de un histograma (v. más adelante), una desviación estándar o un índice de capacidad. La variabilidad hallada en un estudio tal es la mínima posible y se atribuye a la máquina, de ahí la denominación capacidad de máquina''. Presumiblemente, el proceso presentará más variabilidad en un intervalo de tiempo más largo. El objetivo del estudio de capaci-dad de proceso, que se hace a continuación, es conseguir que la variabilidad del proceso esté lo más cerca posible de esta variabilidad mínima hallada en el estudio de capacidad de máquina.

3.2 Índices de capacidad

Supongamos un proceso en estado de control respecto a un indicador X, y que X tiene distribución normal, con parámetros µ y σ. Entonces la práctica totalidad de los valores observados deben caer entre los límites µ ± 3σ, es decir, dentro de un intervalo de longitud 6σ. El índice Cp es el cociente entre la tolerancia y 6σ. Si los límites de tolerancia superior e inferior se designan por TS y TI, respec-tivamente, tenemos

6pTS TIC

σ−

=

La condición de proceso capaz se asocia a valores de este índice mayores que 1. Recuérdese que la discusión sólo tiene sentido para procesos en estado de control.


Los datos de la tabla 3.1 proceden de un primer estudio de capacidad de máquina, realizado en una prensa con una sola cavidad. En él se han recogido 60 unidades, prensadas consecutivamente. Se trata de ferritas de forma cilíndrica, cuyas alturas aparecen en la tabla.

Tabla 3.1 Estudio de capacidad de máquina

15,33 15,23 15,29 15,25 15,23 15,27 15,22 15,20 15,28 15,23 15,29 15,21 15,18 15,30 15,21 15,27 15,23 15,35 15,28 15,24 15,29 15,27 15,18 15,25 15,22 15,2 15,33 15,16 15,30 15,24 15,34 15,24 15,17 15,28 15,18 15,32 15,26 15,19 15,19 15,19 15,41 15,25 15,25 15,21 15,32 15,21 15,29 15,21 15,22 15,16 15,27 15,22 15,27 15,25 15,20 15,35 15,31 15,23 15,28 15,32

Los límites de tolerancia (internos) son 15,30 ± 0,25mm.


La desviación estándar de los 60 valores es s = 0,05386. Usando s como valor estimado de σ, obte-nemos el índice de capacidad de máquina:

0,5 1,5476 0,05386pC = =×

A veces es interesante distinguir entre capacidad de máquina y capacidad de proceso. Se puede distinguir entre ambos índices, designándolos respectivamente por Cp, índice de capacidad, y Pp, índice de rendimiento (performance). Esta notación es habitual en la sector de automoción y, en general, se usa para distinguir entre distintos niveles de variabilidad en un proceso, que se atribuyen a factores que interesa diferenciar.

Esta distinción se basa en que si la capacidad de máquina es insuficiente, no tiene sentido esforzarse en intentar obtener del control del proceso más de lo que puede dar de sí. De hecho, el índice Cp debe ser netamente mayor que 1, si tenemos en cuenta que la variabilidad del proceso en la produc-ción real es, normalmente, mayor que la que observamos a corto plazo. Por eso, algunos clientes exigen a sus proveedores índices Cp superiores a 1,33. También es esencial conocer la capacidad de máquina antes de establecer una especificación interna.

Cabe esperar que el índice Pp sea menor que el Cp, aunque no mucho, si el proceso está realmente en estado de control. Como los límites de control basados en la regla ±3σ son muy conservadores, puede darse una diferencia entre ambos índices sin que en los gráficos aparezcan puntos fuera de los límites de control.


Se realiza un segundo estudio de capacidad de proceso para la misma prensa, en el que se recogen 5 unidades cada media hora, durante 10 horas, en las que no se realiza ningún ajuste de la prensa, obteniéndose los resultados de la Tabla 3.2.

Tabla 3.2. Resultados del segundo estudio de capacidad

Muestra Resultados 1 15,17 15,22 15,30 15,25 15,25 2 15,28 15,25 15,28 15,26 15,35 3 15,35 15,28 15,36 15,34 15,30 4 15,29 15,28 15,29 15,32 15,27 5 15,35 15,32 15,38 15,37 15,36 6 15,30 15,27 15,34 15,31 15,41 7 15,26 15,20 15,16 15,43 15,29 8 15,25 15,30 15,30 15,32 15,36 9 15,30 15,30 15,33 15,23 15,15 10 15,26 15,23 15,22 15,28 15,21 11 15,20 15,17 15,35 15,19 15,19 12 15,16 15,21 15,20 15,17 15,17 13 15,23 15,12 15,29 15,21 15,16 14 15,19 15,19 15,21 15,21 15,23 15 15,20 15,22 15,23 15,24 15,16 16 15,18 15,12 15,16 15,17 15,16 17 15,16 15,16 15,14 15,15 15,16 18 15,25 15,23 15,15 15,22 15,16 19 15,14 15,23 15,20 15,10 15,18 20 15,25 15,14 15,19 15,19 15,17


La desviación estándar de estos 100 valores es s = 0,070645, mayor que en el estudio de capacidad de máquina comentado más arriba. Usando este resultado como valor estimado de σ, aunque más adelante veremos que no es lo correcto, resulta Pp = 1,1796.

La diferencia entre ambos índices puede atribuirse, como ya hemos comentado, a que la variabilidad en 10 horas es mayor que la instantánea. La Figura 3.1 ilustra la evolución de la altura media de las ferritas a lo largo de las 10 horas. El gráfico sugiere que se ha producido una variación en la altura media durante este período, con lo que el proceso no se halla en estado de control estadístico y no tiene sentido el cálculo del índice Pp. Como se verá en el apartado siguiente, los índices son válidos si se puede suponer que la distribución de los datos sigue la ley normal.

15,10

15,15

15,20

15,25

15,30

15,35

15,40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

CL = 15,2394

Figura 3.1 Seguimiento del proceso de prensado durante 10 horas

No tiene sentido esperar que el valor medio µ de una variable X coincida exactamente con el punto medio del intervalo de tolerancia establecido para esa variable. Si la diferencia entre ambos es apre-ciable (proceso no centrado), el que el índice Cp sea mayor que 1 no garantiza que se cumpla la es-pecificación. Por esta razón, es interesante considerar el índice Cpk, que se define como

Cpk = min ,3 3

TS TIµ µσ σ− −

Obsérvese que, si µ coincide con el punto medio de los límites de tolerancia, Cp y Cpk coinciden. Esto no es nunca exactamente cierto, y en la práctica Cpk es menor que Cp. En la figura 3.2 se puede apreciar cómo varían ambos índices, dependiendo de la situación del proceso.


Figura 3.2 Ejemplos de cómo varían los valores de los índices Cp y Cpk para una ca-racterística de un proceso de TI=38, TS=62 y σ=2, donde la media del proceso m es pro-ceso dependiendo de la situación del proceso.

El índice Cpk no sólo sirve para controlar que la dispersión del proceso no exceda de lo que sería ad-misible en relación a la especificación, sino también que el proceso no esté descentrado. El índice Ppk puede definirse de forma análoga.



En el primer estudio de capacidad de máquina descrito anteriormente, se puede usar la media x =15,252 como valor estimado de µ, obteniéndose

15,252 15,05 1,25013 0,05386pkC −

= =×

Para el estudio de capacidad de proceso, si se usa como valor estimado de µ la media de los 100 resultados, que es x =15,2394, se obtiene

15,2394 15,05 0,89373 0,07064pkP −

= =×

Aquí tampoco es correcto usar el índice Ppk, puesto que el proceso no se halla en estado de control estadístico.

NOTA. El ejemplo 3 es un ejemplo real y muy típico en la industria. Cuando se realizar un estudio de capacidad de proceso la forma de proceder podría ser: primero realizar un estudio de capacidad de máquina tomando una serie de muestras seguidas de la fabricación (entre 50 y 100). Seguidamente, se comprueba la validez de la distribución normal y, en caso afirmativo los índices de capacidad son válidos. En caso de que éstos tengan un valor aceptable (sobradamente superiores a 1) se hace un estudio de capacidad de proceso. Para que los índices de capacidad sean válidos se debe verificar que el proceso se halla en estado de control estadístico.

El sistema de cálculo de los índices de capacidad expuesto aquí se llama, a veces, analítico, en opo-sición a un método gráfico, poco usado actualmente. Este método se basa en un gráfico denominado recta de probabilidad normal, o, en el contexto del control estadístico de calidad, recta de Henry, que consiste en un conjunto de puntos (uno por dato) que se sitúan en un diagrama XY, sobre un papel especial, llamado papel probabilístico, en el que la escala de uno de los ejes se basa en la dis-tribución normal. Ajustando a ojo una recta al conjunto de puntos, se pueden obtener los valores µ ± 3σ de forma gráfica.

Una ventaja del método gráfico es que obvia los cálculos, en especial el de la desviación estándar, que es inviable si se calcula a mano. Sin embargo, si se dispone de un ordenador convencional con una hoja de cálculo, no hay problema para calcular un índice de capacidad directamente a partir de los datos, por lo que hoy en día el método gráfico se usa poco. Ahora bien, el método gráfico tiene otra ventaja: permite contrastar los datos con la distribución normal de forma sencilla y rápida, com-probando que los puntos del gráfico están (aproximadamente) en línea recta. Veremos en el siguiente apartado cómo puede hacerse esto.

3.3. Validez de los índices

Los índices de capacidad que hemos comentado en estas notas están basados en la distribución normal. Ahora bien, ¿qué sucede si X no sigue la distribución normal? En ese caso, al intervalo µ ± 3σ ya le no corresponde una probabilidad del 99,73%, y la interpretación de los índices no es válida. No obstante, los índices de capacidad tienen la ventaja de estar normalizados en un doble sentido:

• No dependen de la escala, y su valor puede interpretarse directamente, independientemente de la característica a la que se refieren y de las unidades de medida.

• Todo el mundo usa las mismas fórmulas.


Teniendo en cuenta estas ventajas, es interesante, si se quiere disponer de una evaluación numérica de la capacidad, mantener las fórmulas clásicas. Vamos a ver cómo se puede ver si la aproximación por la distribución normal es razonable.

Una tabla de frecuencia para X es una tabla en la que se dan las frecuencias con las que X toma valores en una serie de intervalos adyacentes (v. Tablas 3.3 y 3.4). Un diagrama de barras basado en una tabla de frecuencia se denomina histograma. La tabla de frecuencia es el reflejo experimental de la distribución de frecuencia teórica, dada por la curva de probabilidad (v. Apéndice A6). Cuando la tabla de frecuencia refleja una distribución de frecuencia con un máximo en el centro, lo que en los libros de Estadística se llama una distribución unimodal, y es aceptablemente simétrica respecto al centro, el intervalo µ ± 3σ se puede usar para una predicción estadística, como la que se quiere hacer en un estudio de capacidad.

Tabla 3.3 Tabla de frecuencia (primer estudio)

Intervalo Frecuencia 15.10-15.15 0 15.15-15.20 12 15.20-15.25 22 15.25-15.30 16 15.30-15.35 9 15.35-15.40 0 15.40-15.45 1

Tabla 3.4 Tabla de frecuencia (segundo estudio)

Intervalo Frecuencia 15.05-15.10 1 15.10-15.15 8 15.15-15.20 29 15.20-15.25 23 15.25-15.30 21 15.30-15.35 11 15.35-15.40 5 15.40-15.45 2


La tabla 3.3 es una tabla de frecuencia para los resultados del primer estudio de capacidad que hemos comentado (v. Tabla 3.1). Se puede considerar válida, a los efectos de un estudio de capaci-dad, la aproximación por el modelo normal, ya que se trata de una distribución unimodal y razona-blemente simétrica.

¿Qué pasa con el segundo estudio (Tabla 3.2)? Que la media µ va cambiando a lo largo de las diez horas, con lo cual la fórmula usada en el primer estudio para obtener un valor estimado de σ ya no sirve. Sin embargo, eso es difícil de ver en la tabla de frecuencia (v. Tabla 3.4), que muestra una dis-tribución más aplanada (la desviación estándar es mayor), pero aceptable. La manera de entender lo que sucede es utilizar un gráfico como el de la figura 4.1.


En los cursos de Estadística se recomienda a menudo comprobar la validez del modelo normal exa-minando un histograma. No obstante, a menos que el número de datos sea elevado (más de 50), la distribución de frecuencia, sea en forma de tabla o en forma gráfica, es difícil de interpretar para al-guien que no tenga práctica en el análisis de datos. Por el contrario, los gráficos de probabilidad, que presentamos a continuación, pueden usarse aunque el número de datos sea pequeño. Hace algunos años estos gráficos se dibujaban a mano, usando un papel milimetrado especial. Hoy día, la mayor parte del software estadístico comercializado incluye la construcción de estos gráficos. En una hoja Excel, la construcción es algo más elaborada, pero no presenta mucha dificultad, como vamos a ver.

Para dibujar un gráfico de probabilidad en Excel basta construir una tabla (v. Tabla 3.5), en la que en la primera columna se colocan los datos cuya distribución se quiere contrastar con el mo-delo normal, ordenados de menor a mayor. En la segunda columna se coloca el rango corres-pondiente a cada dato, es decir, su número de orden en la lista. En la siguiente columna se calcula el valor Pk asociado a cada dato xk, que representa la proporción de datos menores que xk, del si-guiente modo: si k es el rango de xk y n es el número de datos, entonces

0,5k

kPn−

=

En la última columna se colocan los valores zP correspondientes las probabilidades Pk en el distribu-ción normal, con µ = 0, σ = 1. Si Z es una variable que sigue este modelo, zP es un valor que cumple Prob(Z < zP) = P. En Excel, la función DISTR.NORM.ESTAND.INV permite obtener estos valores fácilmente.

Finalmente, se construye un gráfico XY, en el que se coloca un punto para cada dato, tomando como abscisa el valor xk (primera columna de la tabla) y como ordenada zk (cuarta columna).


La tabla 3.5 es un resumen los resultados del primer estudio de capacidad (v. Tabla 3.1) y la figura 3.3 el gráfico correspondiente. Usando una de las opciones gráficas de Excel se puede agregar la línea de tendencia lineal sobre los puntos del gráfico, lo que indica que el modelo normal da una aproximación aceptable.

NOTA. Si se concluye que el modelo normal no es válido, se pueden usarse gráficos de otras distri-buciones de probabilidad, como la lognormal o la de Weibull. De todos modos, esto sólo tiene interés si el modelo normal no da una buena aproximación, ya que si no, no merece la pena complicar el estudio introduciendo un modelo que no se entienda bien. Si se descarta el modelo normal, se susti-tuyen los valores µ ± 3σ por unos valores x1 y x2 tales que Prob(x1 < X < x2) = 0,9973.

Para un proceso multiposicional se puede hacer un estudio de capacidad como el que hemos descri-to, pero no es válido juntar los datos correspondientes a unidades producidas en diferentes posicio-nes para el cálculo de una desviación estándar sin haber comprobado previamente que las diferen-cias entre las posiciones son despreciables. Sin embargo, en la práctica, muchas veces no es así.

No es posible avanzar mucho en una discusión general sobre este tema, ya que se pueden dar situa-ciones muy diversas. El número de posiciones puede ser pequeño (2, 3, etc.) de modo que tenga sentido analizar lo que sucede en cada posición por separado, o grande (más de 10), de modo que el análisis individualizado de las distintas posiciones sea inviable. Nos limitaremos, pues, a comentar un ejemplo sencillo.


y = 18,297x - 279,06R2 = 0,9754

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

15,1 15,15 15,2 15,25 15,3 15,35 15,4 15,45

Figura 3.3 Gráfico de probabilidad normal

Tabla 3.5. Tabla para un gráfico de probabilidad normal

xk k Pk zk xk k Pk zk

15,16 1 0,008 -2,394 15,25 31 0,508 0,021 15,16 2 0,025 -1,960 15,25 32 0,525 0,063 15,17 3 0,042 -1,732 15,25 33 0,542 0,105 15,18 4 0,058 -1,569 15,25 34 0,558 0,147 15,18 5 0,075 -1,440 15,26 35 0,575 0,189 15,18 6 0,092 -1,331 15,27 36 0,592 0,232 15,19 7 0,108 -1,235 15,27 37 0,608 0,275 15,19 8 0,125 -1,150 15,27 38 0,625 0,319 15,19 9 0,142 -1,073 15,27 39 0,642 0,363 15,20 10 0,158 -1,001 15,27 40 0,658 0,408 15,20 11 0,175 -0,935 15,28 41 0,675 0,454 15,20 12 0,192 -0,872 15,28 42 0,692 0,501 15,21 13 0,208 -0,812 15,28 43 0,708 0,549 15,21 14 0,225 -0,755 15,28 44 0,725 0,598 15,21 15 0,242 -0,701 15,29 45 0,742 0,648 15,21 16 0,258 -0,648 15,29 46 0,758 0,701 15,21 17 0,275 -0,598 15,29 47 0,775 0,755 15,22 18 0,292 -0,549 15,29 48 0,792 0,812 15,22 19 0,308 -0,501 15,30 49 0,808 0,872 15,22 20 0,325 -0,454 15,30 50 0,825 0,935 15,22 21 0,342 -0,408 15,31 51 0,842 1,001 15,23 22 0,358 -0,363 15,32 52 0,858 1,073 15,23 23 0,375 -0,319 15,32 53 0,875 1,150 15,23 24 0,392 -0,275 15,32 54 0,892 1,235 15,23 25 0,408 -0,232 15,33 55 0,908 1,331 15,23 26 0,425 -0,189 15,33 56 0,925 1,440 15,24 27 0,442 -0,147 15,34 57 0,942 1,569 15,24 28 0,458 -0,105 15,35 58 0,958 1,732 15,24 29 0,475 -0,063 15,35 59 0,975 1,960 15,25 30 0,492 -0,021 15,41 60 0,992 2,394



Se hace un tercer estudio de capacidad, para una prensa con tres cavidades, en el que se recogen las unidades resultantes de siete golpes de prensa, en total 21 unidades, y se miden el peso y la altu-ra. Los resultados obtenidos se pueden ver en la tabla 3.6. Los límites de tolerancia para la altura son 8,15 ± 0,10 cm y, para el peso, 4,08 ± 0,05 g.

Tabla 3.6. Resultados del estudio de capacidad para la prensa con tres cavidades

Altura (Spec 8,15±0,10 cm) Peso (Spec 4,08±0,05 g)

Pieza Izquierda Centro Derecha Izquierda Centro Derecha 1 8,09 8,08 8,11 4,09 4,00 4,10 2 8,08 8,07 8,12 4,08 4,01 4,10 3 8,08 8,08 8,12 4,09 4,01 4,10 4 8,09 8,09 8,12 4,09 4,00 4,10 5 8,09 8,08 8,11 4,08 4,00 4,10 6 8,08 8,08 8,12 4,08 4,01 4,10 7 8,08 8,07 8,12 4,08 4,01 4,10

En este caso, es obvio que la altura media y el peso medio son distintos en las tres cavidades y, por consiguiente, no es correcto juntar los datos de distintas cavidades y calcular los índices de capaci-dad como hicimos con los datos de la tabla 3.1. Por otra parte, no es necesario un índice de capaci-dad para concluir que difícilmente se pueden mantener los límites de tolerancia del peso, ya que entre la cavidad central y la derecha se hallan diferencias de 0,10 g. Si esta situación no se puede cambiar, hay que ampliar la tolerancia.


4. GRÁFICOS DE CONTROL PARA VARIABLES

4.1. Gráficos de control para subgrupos

Consideremos un proceso cuyo control se ejerce mediante el seguimiento de una característica me-dible. En la variante más habitual, los datos se obtienen realizando series cortas de observaciones, separadas por un intervalo de tiempo de longitud más o menos constante. Estas series se denominan subgrupos racionales o simplemente subgrupos. Cada subgrupo da lugar a un punto en el gráfico de control. En la tabla 2.1 hemos visto un conjunto de 100 observaciones, agrupadas en 20 subgru-pos de 5 observaciones. A partir de estos datos se pueden trazar gráficos de control con 20 puntos (Figuras 2.1--2.4).

Al examinar la variabilidad que presentan los datos obtenidos de esta forma, se debe distinguir entre los datos que pertenecen al mismo subgrupo y los de subgrupos distintos. Por consiguiente, la forma-ción de subgrupos no puede hacerse de forma arbitraria, sino que debe satisfacer unas reglas. Las reglas siguientes suelen dar un resultado satisfactorio:

• Todas las observaciones del mismo subgrupo se obtienen en las mismas condiciones.

• Un subgrupo no contiene datos de lotes distintos ni de distinta naturaleza.

• Se puede aceptar que las observaciones son estadísticamente independientes (v. Apéndice A6).

Las observaciones de un mismo subgrupo se realizan, en el caso más típico, sobre unidades de pro-ducto obtenidas en un intervalo corto de tiempo. En la mayoría de los casos, el intervalo de tiempo entre subgrupos sucesivos se establece de forma empírica. Para ello, se empieza por un intervalo que parezca adecuado (preferentemente corto), y posteriormente se alarga o acorta el intervalo en función del resultado obtenido. Desde luego, la frecuencia de muestreo debe ser compatible con la disponibilidad de personal, pero no hay que olvidar que cada proceso tiene su propio timing, que no tiene nada que ver con los recursos de plantilla. En bastantes casos, la misma naturaleza del proceso impone un intervalo mínimo de tiempo. Por ejemplo, en el control de un proceso en batch, podemos tener a lo sumo un dato por batch.

En la mayoría de aplicaciones, el tamaño de los subgrupos (o sea, el número de observaciones que los componen) es 4 o 5, aunque no hay ninguna regla que diga que debe ser así. A favor de un mayor tamaño de subgrupo juega el que se consiga de esa forma un mayor poder de detección. En efecto, de acuerdo con la fórmula de la desviación estándar de la media muestral,

xx n

σσ =

por lo que la variabilidad de la media disminuye al aumentar el tamaño de subgrupo, reduciéndose la distancia entre los límites de control de la media, que se calculan con la regla 3 xσ± . En contra de un tamaño de subgrupo elevado juega el coste de inspección que supone. Un tamaño 4 o 5 representa en muchos casos un equilibrio entre estos dos factores.

NOTA. Se han propuesto diversos métodos para fijar la frecuencia de muestreo y el tamaño de sub-grupo, basados en criterios de tipo económico. Estos métodos son, sin embargo, aplicables en pocos casos, ya que precisan de una evaluación del coste de inspección y del coste de no detectar una desviación respecto al estado de control. La dificultad para evaluar este último representa una limita-ción importante para la aplicación de estos métodos. Puede hallarse información sobre ellos en Dun-can (1986) y Montgomery (1991).


Para calcular los límites de control se necesita un valor estimado de σ. En esencia, el método para obtener un valor estimado de σ a partir de subgrupos es el siguiente: se calcula un estadístico que mida la dispersión en cada subgrupo y se promedian los valores obtenidos para obtener una esti-mación de σ que considere la información de todos los subgrupos. Designaremos por σ el valor esti-mado de σ, siguiendo la costumbre en los libros de Estadística de diferenciar el valor estimado de σ del auténtico colocando un acento circunflejo.

Se pueden usar tres estadísticos para evaluar la dispersión dentro de los subgrupos: el recorrido R, la desviación estándar s y la varianza s2. Para mostrar cómo se pueden obtener valores estimados de σ a partir de estos estadísticos, supongamos un conjunto de datos formado por la unión de k subgrupos de tamaño n. Designamos por xij la observación j-ésima del subgrupo i-ésimo, y por ,ix Ri y si la media, el recorrido y la desviación estándar, respectivamente, del subgrupo i-ésimo. La tabla 4.1 es una tabla de datos organizada de esta forma, con estructura similar a la de la tabla 2.1.

Tabla 4.1. Datos estructurados en subgrupos

Subgrupo Observaciones Media Varianza Recorrido Desv. estándar 1 x11 x12 ... x1n 1x s2

1 R1 s1

2 x21 x22 ... x2n 2x s22 R2 s2

... ... ... ... k xk1 xk2 ... xkn kx s2

k Rk sk

El procedimiento más usado y también el más sencillo si los cálculos se hacen a mano, es el que usa el recorrido medio,

1 kR RRk

+ +=

L

Dividiendo R por una constante que se designa por d2, se obtiene un valor estimado

2

Rd

σ =

El valor de d2 depende de n. En la Tabla 4.2 pueden hallarse los valores de d2, junto a los de otras constantes que comentaremos más adelante, para 2 ≤ n ≤ 10.

Tabla 4.2. Constantes de los gráficos X /R

n A2 d2 D3 D4

2 1,88 1,13 0,00 3,27 3 1,02 1,69 0,00 2,58 4 0,73 2,06 0,00 2,28 5 0,58 2,37 0,00 2,12 6 0,48 2,53 0,00 2,00 7 0,42 2,70 0,08 1,92 8 0,37 2,85 0,14 1,86 9 0,34 2,97 0,18 1,82 10 0,31 3,08 0,22 1,78



En el ejemplo del grosor de las hojas de acero (tabla 2.1), obtuvimos R =1,36. Como n=5, debemos tomar d2 = 2,37 en la tabla 4.2, lo que nos da el valor estimado

1,36 0,5738 2,37

σ = =

Otro procedimiento clásico para obtener un valor estimado de σ utiliza la desviación estándar media,

1 ks ssk

+ +=

L

y es análogo al del recorrido medio. En este caso la fórmula es

4

sc

σ =

donde c4 es una constante cuyos valores, para 2 ≤ n ≤ 10, pueden verse en la tabla 4.3, junto a los de otras constantes que aparecerán más adelante.

Tabla 4.3. Constantes de los gráficos X /s

n A3 c4 B3 B4

2 2,66 0,80 0,00 3,27

3 1,95 0,87 0,00 2,57

4 1,63 0,92 0,00 2,27 5 1,43 0,94 0,00 2,09

6 1,29 0,95 0,03 1,97

7 1,18 0,96 0,12 1,88 8 1,10 0,97 0,18 1,82

9 1,03 0,97 0,24 1,76

10 0,97 0,97 0,28 1,72


En la tabla 2.1, la desviación estándar media es s = 0,544. Como n=5, tomamos c4 = 0,94 en la tabla 4.3, lo que nos da un valor estimado

0 544 0 57870 94, ,,

σ = =

Un tercer método utiliza la varianza media

2 21 k

ks s

σ =+ +L


En este caso no se necesita constante, ya que las varianzas son aditivas, como ya hemos comentado anteriormente. La varianza media es un valor estimado de σ2 y su raíz cuadrada da un valor estimado de σ. Como la raíz cuadrada de la media no es igual a la media de las raíces cuadradas, la varianza media no coincide con el cuadrado de la desviación estándar media, ya que la raíz cuadrada de la media no es igual a la media de las raíces cuadradas.


En el ejemplo del grosor de las hojas de acero (v. Tabla 2.1), la varianza media es 0,3302. Resulta un valor estimado

0,3302 0,5746 σ = = Como es de esperar, puesto que las fórmulas son distintas, estos tres procedimientos dan valores estimados de σ distintos (y, por consiguiente, si usamos estos valores en el cálculo de índices de capacidad, obtenemos índices distintos). Así se ha visto en el ejemplo de la tabla 2.1, donde hemos ido aplicando los tres métodos sucesivamente. No obstante, asumiendo el estado de control estadís-tico y la validez del modelo normal, los tres métodos deben conducir a resultados parecidos, como ha ocurrido en este ejemplo.

Puede parecer que el camino más directo para obtener un valor estimado de σ sería calcular la des-viación estándar s de la serie obtenida juntando las observaciones de todos los subgrupos. Sin em-bargo, este procedimiento no se usa hasta haber comprobado que el proceso está en estado de con-trol (se usa entonces para el estudio de capacidad). La razón de ello es que, si hay puntos fuera de control, la fórmula de la desviación estándar puede conducirnos a una sobreestimación de σ. Si usá-ramos este valor sobreestimado para calcular límites de control, obtendríamos una banda de control demasiado ancha, y posiblemente la existencia de puntos fuera de control nos impediría reconocer que están fuera de control. De todos modos, hay que tener en cuenta que las tres fórmulas que he-mos dado estiman σ teniendo en cuenta solamente la variabilidad a corto plazo, mientras que en el valor de la desviación estándar s influye la variabilidad a más largo plazo. Por eso, aunque los gráfi-cos de control no presenten puntos más allá de los límites, el valor de s es normalmente mayor que los valores estimados a partir de los subgrupos (y por tanto da menos capacidad).


En la tabla 2.1, la desviación estándar de los 100 datos es

0,61929.sσ = = Este valor estimado de σ es mayor que los anteriores, tal como habíamos previsto. La tolerancia para el grosor de las hojas de acero es 2 × 2 = 4 micras, y podemos calcular índices de capacidad usando los diferentes valores estimados de σ. Por ejemplo, el índice Cp obtenido con este último valor esti-mado de σ es

4 4 1,07646 6 0,6192pC

σ= = =

× ×

En cambio, los índices obtenidos con los otros valores estimados de σ son

4 4 1,1617 6 6 0,5738pC

σ= = =

× ×


para el valor estimado a partir del recorrido medio,

4 4 1,15196 6 0,5787pC

σ= = =

× × para el valor estimado a partir de la desviación estándar media, y

4 4 1,16016 6 0,5746pC

σ= = =

× × para el valor estimado a partir de la varianza media.

4.2. Gráficos X /R y X /s

Hay dos alternativas clásicas para los gráficos de control para variables, según se mida la variabilidad dentro de los subgrupos con el recorrido, o con la desviación estándar. En el primer caso se trabaja con un gráfico X /R, y en el segundo con un gráfico X /s.

Un gráfico X /R es un sistema formado por dos gráficos de control. Uno se elabora con las medias de los subgrupos y el otro con los recorridos. En el caso de límites calculados, éstos se obtienen usando un valor estimado de la desviación estándar σ obtenido a partir del recorrido medio. Análogamente, un gráfico X /s es un sistema formado por un gráfico de medias y otro de desviaciones estándar, con los límites de control calculados usando un valor estimado de σ obtenido a partir de la desviación estándar media.

Sea cual sea el procedimiento, debe recalcarse que el uso de los recorridos o de las desviaciones estándar de los subgrupos para estimar σ, y por tanto para calcular los límites de control para la me-dia, sólo tiene sentido si la estabilidad del parámetro σ es admisible, lo que se comprueba mediante un gráfico s o R. Por consiguiente, haya o no algún punto fuera de control en el gráfico ,X los límites de control no son válidos si la variabilidad del proceso no es estable, es decir, si los valores de s o R que intervienen en el cálculo de los límites no han pasado el test del segundo gráfico.

Supongamos que X tiene distribución normal, con media µ y desviación estándarσ. Entonces un valor estimado de µ es

1 11... ... k knx x x xxk kn

µ+ + + +

= = =

La media de n observaciones independientes de X tiene distribución normal, con media µ y varianza σ2/n. Si el parámetro σ se estima a partir del recorrido medio ,R se obtiene un valor estimado de la desviación estándar de la media haciendo

2

xR

d nσ =

El límite de control superior UCL (upper control limit) es entonces

2

UCL 3 Rxd n

= +


y el límite de control inferior LCL (lower control limit),

2

LCL 3 Rxd n

= −

Se designa por A2 el coeficiente de R en la fórmula de los límites de control,

22

3Ad n

=

con lo cual se obtiene una fórmula simplificada para el cálculo de los límites,

2x A R± A2 está tabulado para distintos valores de n (v. Tabla 4.2).


En la tabla 2.1, X =599,545 y R =1,36. Entrando n = 5 en la tabla 4.2 resulta A2 = 0,58. Por lo tanto,

UCL = 599,545 + 0,58 × 1,36 = 600,33

LCL = 599,545 - 0,58 × 1,36 = 598,76

Estos límites son los que se usaron en el gráfico de la figura 2.1. Análogamente, el valor estimado de la desviación estándar de la media es ahora

4

sc n

σ =

con lo que los límites de control UCL y LCL se obtienen haciendo 3 ,x A s± donde

34

3Ac n

=

es una constante que depende de n (Tabla 4.3). Por descontado, los límites obtenidos por ambos procedimientos serán distintos, pero la diferencia debe ser pequeña si el estado de control estadístico y la validez del modelo normal son aceptables.


En la tabla 2.1, x = 599,54 y s = 0,544. Entrando n = 5 en la tabla 4.3, resulta A3 = 1,43. Por tanto,

UCL = 599,545 + 1,43 × 0,544 = 600,32

LCL = 599,545 - 1,43 × 0,544 = 598,77

También se puede usar el valor estimado de σ extraído de la varianza media. Entonces no se necesi-tan constantes, sino que se hace directamente,

3xnσ

±



En el ejemplo del grosor de las hojas de acero (v. Tabla 2.1), el valor estimado de σ a partir de la varianza media es 0,5746.σ = Luego

0,5746 0,5746UCL 599 545 3 600,316; LCL 599 545 3 598,745 5

, ,= + × = = − × =

NOTAS:

(a) Las fórmulas que hemos presentado para el cálculo de los límites de control constituyen el siste-ma más difundido, que ha sido recientemente normalizado (ISO 8258). Existen, no obstante, dis-tintas variantes, unas destinadas al mismo uso que las fórmulas de Shewhart, y otras a usos al-ternativos. Por ejemplo, algunos autores recomiendan complementar los límites de control a dis-tancia 3σ de la línea central con otros límites a distancia 2σ, denominados límites de vigilancia. Estos límites separan las zonas A y B de las reglas de Western Electric. El uso de los límites de vigilancia es típico en situaciones en las que se precisa gran sensibilidad a las desviaciones, por ejemplo, en el control de la calidad del laboratorio. Pueden hallarse más detalles sobre los límites de vigilancia en la norma ISO 7873, y sobre su aplicación en el laboratorio en Miller & Miller (1993).

(b) La regla de fijar los límites de control a distancia 3σ, en los gráficos de control con límites calcula-dos, se extendió de los Estados Unidos al resto de los países, con excepción del Reino Unido, donde ha persistido un sistema alternativo. En la norma británica la banda de control corresponde a una probabilidad del 99,9%, lo que equivale, para un gráfico basado en la distribución normal, a colocar los límites a distancia 3,09σ de la línea central. Puede encontrarse información sobre el sistema británico en Bisell (1994), en Wetherill & Brown (1991), y en la norma BS 5700.

(c) También se han desarrollado gráficos de control para la aceptación/rechazo de un proceso. Estos gráficos son análogos a los de Shewhart, aunque con un algoritmo de cálculo diferente pa-ra los límites de control, que en este caso se llaman límites de aceptación. Estos límites se ba-san en unos parámetros denominados APL (nivel de proceso aceptable), RPL (nivel de proceso rechazable), α (riesgo del productor) y β (riesgo del comprador), que son típicos del diseño de planes de muestreo para inspección de producto acabado. Pueden hallarse detalles en la norma ISO 7966, dedicada al tema, en Duncan (1986) y en Schilling (1982).

(d) A veces se usa la mediana en lugar de la media en los gráficos de control para variables. La construcción es totalmente análoga a la de un gráfico X /R, aunque, si se trabaja con límites cal-culados, las fórmulas son diferentes. La línea central se sitúa en la media de las medianas de los subgrupos, y los límites de control se obtienen sumando y restando el producto del recorrido me-dio por una constante Am que depende de del tamaño de subgrupo n (v. Tabla 4.4).

Tabla 4.4. Constantes para medianas

n Am

2 1,88 3 1,19 4 0,80 5 0,69 6 0,55 7 0,51 8 0,43 9 0,41 10 0,36


Para trazar el gráfico de control R se usan los recorridos de los subgrupos. Si los límites de control se calculan a partir de los datos, se usan las fórmulas:

3 4LCL ; UCL ,D R D R= =

donde D3 y D4 son constantes, que se pueden extraer de la tabla 4.2, y que resultan de aplicar el es-quema µ ± 3σ al recorrido R. Para ello se obtiene un valor estimado Rσ de la desviación estándar R,

y se hace 3 RR σ± . Mediante una transformación que no vamos a detallar aquí, estos límites se pue-den expresar en la forma presentada anteriormente. Este es el procedimiento que se halla, general-mente sin la menor explicación, en los manuales de control estadístico de proceso.

Hay que mencionar que un intervalo de este tipo no corresponde en este caso a un 99,73% de las observaciones, aunque X tenga distribución normal, ya que R no tiene distribución normal en ningún caso. No obstante, este esquema es sencillo, y se aplica al cálculo de los límites de control incluso para variables discretas, como se verá en el control por atributos.

Se observa en la tabla 4.2 que D3 = 0 para n < 6. Lo que sucede en realidad es que el valor 3 RR σ− es negativo en estos casos, y se hace igual a cero para evitar el absurdo que supondría un límite de control negativo para un estadístico que sólo toma valores positivos. Como la curva de probabilidad de R es asimétrica, puede suceder el límite inferior obtenido por este procedimiento (basado en la curva normal, que es simétrica) caiga fuera del intervalo de valores posibles.


En la tabla 2.1, R =1,36, y, entrando n = 5 en la tabla 4.2 resultan D3 = 0 y D4 = 2,12. Por tanto, UCL = 2,12 × 1,36 = 2,88, y LCL = 0. Estos son los límites de la figura 2.3.

Para trazar el gráfico s se usan las desviaciones estándar de los subgrupos. Su interpretación es análoga a la del gráfico R. Los límites de control vienen dados por fórmulas análogas a las del reco-rrido, sustituyendo las constantes D3 y D4 por otras, B3 y B4, que se pueden extraer de la Tabla 4.3. Por idénticas razones a las que hemos comentado para D3, se hace B3 = 0 para n < 6.


En la tabla 2.1, s = 0,544, y, entrando n = 5 en la tabla 4.3 resultan B3 = 0 y B4 = 2,09. Por tanto, UCL = 2,09 × 0,544 = 1,1369 y LCL = 0. Estos son los límites de la figura 2.2.

NOTA. Hay un método alternativo para el cálculo de los límites de control del gráfico s, basado en la distribución de s2. Los límites de control se obtienen multiplicando el valor estimado σ por unos facto-res que se extraen de una tabla estadística denominada tabla chi cuadrado. Para más detalles, puede consultarse Ryan (1989).

4.3. Gráficos para observaciones individuales

Los gráficos de control X /R y X /s se pueden usar cuando las observaciones se presentan en sub-grupos. Esto no siempre es posible, y a veces es posible pero no práctico. En ciertas situaciones se debe trabajar con observaciones individuales, en lugar de medias de subgrupos. Las razones para ello pueden ser:


• Se dispone de pocas mediciones de la característica estudiada, bien porque recoger los datos sea demasiado caro o demasiado lento, o porque se deba limitar la inspección a un número pe-queño de unidades (por ejemplo, si se trata de ensayos destructivos).

• Se trata de una característica para la que un solo número representa una condición dada (en general, los parámetros de proceso o las características de producto para los procesos en batch).

La técnica para construir un gráfico de observaciones individuales, o gráfico X, es muy simple. Se traza en el gráfico un punto para cada observación. Si se usan límites de control calculados, éstos resultan de sumar y restar 3σ a la media, y lo único nuevo es cómo obtener un valor estimado de σ.

La solución más utilizada consiste en obtener un valor estimado de σ a partir de un recorrido medio, que se obtiene como sigue. Supongamos que se dispone de una serie x1, x2, …, xk de observaciones de la variable X. Se considera la serie de recorrido móvil asociada a esta serie de observaciones,

MR1 = |x1 - x2|, MR2 = |x2 - x3|, ..., MRk-1 = |xk-1 - xk|

y se extrae su media ,MR que es el recorrido móvil medio,

1 1

1kMR MRMR

k−+ +

=−

L Como se trata de recorridos de grupos de 2 valores, el recorrido móvil medio es un valor estimado de d2σ donde d2 = 1,13, se puede extraer de la tabla 4.2, tomando n = 2. Dividiendo por d2 resulta el va-lor estimado .σ Al igual que en los gráficos X /R, este procedimiento equivale a sumar y restar al valor central la cantidad

3 3 2,661,13MR MRσ = =

El segundo procedimiento para el cálculo de los límites de control usa como valor estimado de σ la desviación estándar s (variabilidad a largo plazo). Recordemos que s es muy sensible a la presencia de observaciones discordantes y, en caso de usar este procedimiento para estimar σ, se debe prestar mucha atención a la posible aparición de estos valores, y suprimirlos si se identifica la causa que los ha producido.

NOTA. Algunos autores desaconsejan el método del recorrido móvil medio para el cálculo de límites de control en los gráficos de observaciones individuales, abogando por usar el valor estimado de σ dado por la desviación estándar s, a pesar de los inconvenientes de la estimación directa, que ya hemos comentado. Repasamos a continuación las razones en contra del método de los recorridos móviles. Una discusión más a fondo, con ejemplos reales y simulados, puede encontrarse en Ryan(1989).

• Los recorridos MR1, ..., MRk-1 no son independientes, aunque las observaciones x1, x2, …, xk lo sean (dos recorridos consecutivos tienen correlación 1/2 o -1/2).

• Si X tiene una pauta de comportamiento no detectada, los recorridos serán menores, ya que un valor de X se parecerá a los contiguos, lo que hace que el recorrido medio sea bajo y σ quede in-fraestimada.

• El recorrido móvil depende fuertemente de la frecuencia del muestreo y, por consiguiente, el valor estimado de σ a partir del recorrido móvil medio no es fiable en tanto no quede claro que la dis-tancia entre observaciones consecutivas es representativa de la variabilidad del proceso.



Interesa conocer la variabilidad del pH de uno de los productos de mayor producción (unos 20 lotes al año). Se realiza un análisis estadístico (exploratorio) de los registros de producción del último año mediante un gráfico de observaciones individuales. Los datos del pH de los 22 lotes producidos el último año pueden verse en la tabla 4.5, junto con los valores del recorrido móvil.

Tabla 4.5. Valores de pH de la producción de un año

Lote

Ph

MR

Lote

Ph

MR

1 11,23 12 11,30 0,40 2 11,10 0,13 13 10,95 0,35 3 11,20 0,10 14 11,20 0,25 4 11,20 0,00 15 11,57 0,37 5 11,40 0,20 16 11,26 0,31 6 11,20 0,20 17 11,21 0,05 7 11,20 0,00 18 11,10 0,11 8 11,35 0,15 19 11,45 0,35 9 11,40 0,05 20 11,02 0,43 10 10,60 0,80 21 11,35 0,33 11 10,90 0,30 22 11,52 0,17

La media y el recorrido móvil medio son

11,2141; 0,2405X MR= =

y los límites de control

UCL = 11,2141 + 2,66 x 0,2405 = 11,8537

LCL = 11,2141 - 2,66 x 0,2405 = 10,5745

El gráfico X correspondiente se presenta en la figura 4.1. En él no hay ningún punto fuera de los lími-tes de control, aunque se pueden abrigar sospechas sobre el lote 10, ya que el punto del gráfico que corresponde a este lote está muy cerca del límite inferior.

10,410,610,8

1111,211,411,611,8

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Muestra

ph

Figura 4.1. Gráfico de control para los datos de la Tabla 4.5


El valor estimado de σ a partir del recorrido móvil medio es:

2

0,2405 0,21321,13

MRd

σ = = =

Este valor no difiere mucho del de la desviación estándar de los 22 datos de pH, que es s = 0,2184. Así pues, en este caso no tiene mucha importancia usar uno u otro método.

Cuando los límites de control se calculan a partir de los propios datos con los que se traza el gráfico de control, se plantea con frecuencia la cuestión de si hay que incluir los datos que corresponden a puntos fuera de control. Como regla general, se admite que uno de estos puntos debe suprimirse cuando:

• Se ha hallado la causa que produjo la desviación puesta de manifiesto por ese punto.

• Se ha eliminado dicha causa.

Si la causa no ha sido identificada o, aun siéndolo, no ha sido eliminada, los datos correspondientes al punto fuera de control se consideran todavía típicos del proceso y deben tenerse en cuenta. Por otra parte, si se efectúa un cambio significativo en el proceso, los datos recogidos con anterioridad a dicho cambio no pueden considerarse ya como típicos del proceso y deben tratarse con precaución.

De todas maneras, hay que tener en cuenta que, al suprimir un punto fuera de control y rehacer los cálculos, cambia la posición de la línea central y de los límites de control y, en particular, la banda de control se hace más estrecha. Puede suceder que un punto que estaba entre los límites de control quede fuera al recalcular los límites. Esto es un síntoma de que el problema no se limita a la causa previamente detectada.


Si se decide ignorar el lote 10 de la tabla 4.5, por considerar que no es típico del proceso, hay que rehacer los cálculos, lo que es sencillo si se usa una hoja de cálculo. En la Tabla 4.6 se incluyen so-lamente los datos correspondientes a los 21 lotes restantes.

Tabla 4.6. Resultado de suprimir un lote en la Tabla 4.5

Lote

Ph MR

Lote

Ph

MR

1 11,23 12 10,95 0,35 2 11,10 0,13 13 11,20 0,25 3 11,20 0,10 14 11,57 0,37 4 11,20 0,00 15 11,26 0,31 5 11,40 0,20 16 11,21 0,05 6 11,20 0,20 17 11,10 0,11 7 11,20 0,00 18 11,45 0,35 8 11,35 0,15 19 11,02 0,43 9 11,40 0,05 20 11,35 0,33 10 10,90 0,05 21 11,52 0,17 11 11,30 0,40


La media y el recorrido móvil medio son, ahora,

11,2433; 0,2225x MR= =

y los límites de control

UCL = 11,2433 + 2,66 x 0.2225 = 11,8352

LCL = 11,2433 - 2,66 x 0,2225 = 10,6515 El gráfico que corresponde a la tabla 4.6 se presenta en la figura 4.2. Tampoco hay ningún punto fuera de los límites de control, y da una mayor apariencia de regularidad.

10,410,610,8

1111,211,411,611,8

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Muestra

ph

Figura 4.2 Gráfico de control para los datos de la Tabla 4.6

A veces se acompaña el gráfico X con un gráfico de recorridos móviles o gráfico MR, en el que los límites se pueden calcular como en el gráfico R ordinario, usando las constantes D3 y D4, con n = 2 (naturalmente, D3 = 0, y por tanto LCL=0). Algunos autores critican el gráfico MR con el argumento de que los coeficientes usados en el cálculo de los límites de control no son aplicables, por no ser váli-das las hipótesis en las que se basa el procedimiento de cálculo. En efecto, los recorridos no son estadísticamente independientes, como lo eran cuando se extraían de subgrupos distintos. Al margen de estas objeciones de naturaleza teórica, la realidad es que los usuarios prestan poca atención a los gráficos MR, debido a que no contienen información nueva respecto al gráfico X, salvo un nuevo lími-te de control.


Para los datos de la tabla 4.5 tenemos

4UCL 3,27 0,2405 0,7864D MR= = × = con lo que el recorrido entre el lote 9 y el 10 está fuera de control, lo que confirma las reservas que suscitaba el gráfico de la figura 4.1. La figura 4.3 es el gráfico MR correspondiente.


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Muestra

MR

Figura 4.3 Gráfico MR para los datos de la Tabla 4.5

Finalmente, comentamos brevemente algunos de los inconvenientes y ventajas de los gráficos de observaciones individuales. Entre los inconvenientes podemos destacar:

• No existe un método satisfactorio para la estimación de σ.

• Tienen menor poder de detección, ya que la banda de control es más estrecha.

• Si la distribución normal no da una descripción aceptable de la variable, los límites de control no son válidos. Al usar medias, en cambio, se tiene una mejor aproximación a la distribución normal, por el teorema central del límite, como se menciona en el anexo 3.1.

Entre las ventajas podemos citar:

• Los cálculos son más sencillos.

• Los gráficos son más fáciles de entender.

• En los gráficos de observaciones individuales se pueden incluir los límites de tolerancia.


5. GRÁFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS

5.1. Control de la proporción de unidades no conformes

En el capítulo 2 hemos comentado las variantes del control por atributos, que se diferencian según el parámetro estadístico al que se aplican:

• La proporción de unidades no conformes

• El número medio de no conformidades por muestra o por unidad

• El número medio de deméritos por muestra o por unidad

En este capítulo discutimos estas variantes y los gráficos que se usan en cada una de ellas. Nos limi-taremos a los gráficos más típicos, que se construyen siguiendo las directrices dadas por Shewhart.

Consideramos en primer lugar la situación en la cual el producto está formado por unidades, que se clasifican en conformes y no conformes, y el control se ejerce a través de la inspección de conjuntos de n unidades. Se denomina a estos conjuntos muestras, y n es el tamaño de muestra.

El tamaño de muestra en el control por atributos es, en general, mucho mayor que el tamaño de sub-grupo del control por variables. En efecto, la proporción de unidades no conformes es pequeña, y si las muestras no fuesen grandes, el número de muestras debería serlo para que apareciesen unida-des no conformes. Así pues, muestras de 50 y hasta 100 unidades son frecuentes en el control por atributos, mientras que en el control por variables el tamaño de los subgrupos no acostumbra pasar de 5.

Se considera que el proceso está en estado de control estadístico cuando:

• La proporción p de unidades no conformes generadas por el proceso es estable a lo largo del

período en el que se han obtenido las muestras.

• La aparición de una unidad no conforme en una muestra es independiente de lo que suceda en las otras muestras, y el que una unidad de una muestra sea no conforme es independiente de que las restantes lo sean.

En estas condiciones, el número de unidades no conformes en una muestra de tamaño n tiene una distribución binomial de parámetros n y p. El control efectivo del proceso puede hacerse llevando a un gráfico el número de unidades no conformes por muestra, o bien la proporción de unidades no conformes en las muestras inspeccionadas.

La relación entre ambos métodos está clara: si designamos por p la proporción de unidades no con-formes, y las muestras tienen tamaño n, el número medio de unidades no conformes es np. Desde el punto de vista matemático, ambos procedimientos son equivalentes y se pueden usar indistintamente, salvo cuando el tamaño de muestra es variable, situación en la que sólo tiene sentido usar la propor-ción de unidades no conformes. Los gráficos de control del número de unidades no conformes son los gráficos np, y los de la proporción de unidades no conformes, los gráficos p.


Para una distribución binomial de parámetros n y p, la media es µ = np. Se obtiene un valor estimado de µ sustituyendo en esta fórmula la proporción p por su valor estimado, que se puede obtener como sigue. Supongamos que se han inspeccionado k muestras de tamaño n y se cuentan en cada una las unidades no conformes, obteniendo los valores r1, r2, …, Rk. Entonces el valor estimado de p es el cociente del número de unidades no conformes halladas entre el número total de unidades inspeccionado,

1 kr rpnk

+ +=

L

y el valor estimado de µ es

npµ =

Esto equivale a calcular la proporción de unidades no conformes en cada muestra y extraer la media. Es decir, designando por pi=ri/n la proporción de unidades no conformes en la muestra i-ésima,

1 kp ppk

+ +=

L

El valor estimado de la desviación típica se obtiene haciendo

(1- )np pσ =

Estos valores se usan directamente si el control se aplica al número de unidades no conformes por muestra (gráfico np). Si se aplica a la proporción de unidades no conformes, hay que dividir la media y la desviación típica por el tamaño de muestra. Entonces el valor estimado de la media es ,pµ = y el de la desviación típica,

(1 ) p pn

σ −=


Para estudiar la regularidad estadística del proceso del servicio de atención al cliente, se registran los datos relativos a 50 llamadas seleccionadas diariamente de forma aleatoria, durante 20 días consecu-tivos. Las llamadas que se han contestado después de la tercera señal se consideran no conformes. El número de llamadas no conformes en cada una de estas muestras se presenta en la tabla 5.1.


Tabla 5.1 Respuestas no conformes

muestra No conformes p 1 1 0,02 2 0 0 3 1 0,02 4 2 0,04 5 2 0,04 6 0 0 7 1 0,02 8 3 0,06 9 0 0 10 0 0 11 2 0,04 12 0 0 13 1 0,02 14 4 0,08 15 0 0 16 1 0,02 17 0 0 18 0 0 19 2 0,04 20 0 0

Hay, en total, 20 unidades no conformes y, por lo tanto, el número medio es 1,np = y la proporción media 0,02.p = La desviación típica estimada para el número de unidades no conformes es

(1 ) 0,9899np pσ = − = En un gráfico np, en el que se efectúa el seguimiento del número de unidades no conformes por muestra, la línea central se sitúa en .np Los límites de control se obtienen sumando y restando 3 σ al valor medio,

3 (1 )np np p± −

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

UCL

CL

Figura 5.1 Gráfico np para los datos de la Tabla 5.1


Para pasar de un gráfico np a un gráfico p, basta dividir todo por n. La línea central se sitúa en el va-lor estimado de la media, que es ,p y los límites se obtienen sumando y restando 3 ,σ

(1 )3 p ppn−

± Si el tamaño de muestra es variable, el gráfico np no puede usarse, ya que la media cambia de una muestra a otra. El gráfico p sí tiene sentido, aunque los límites de control son distintos para muestras de distinto tamaño, lo que es muy engorroso si los gráficos se hacen a mano. Designando por ni el tamaño de la muestra i-ésima, p se obtiene

1

1

k

k

r rpn n+ +

=+ +L

L y los límites de control para la proporción de unidades no conformes en la muestra i-ésima son

(1 )3i

p ppn−

±

Si los ni no son muy distintos, se puede usar un valor medio n para simplificar, y así tener los mismos límites a lo largo de todo el gráfico. Esta reducción simplifica efectivamente los cálculos, pero introdu-ce un error. Si las muestras tienen tamaños parecidos (en general, se recomienda no usar esta re-ducción si los ni difieren en más de un 25%) el error es pequeño, pero si no es así, puede ser impor-tante.

NOTAS:

(a) Al igual que sucedía en los gráficos R y s del control por variables, las fórmulas para el cálculo de los límites de control se basan en la regla µ ± 3σ, derivada de la distribución normal, y no son exactamente ciertas para una distribución binomial.

(b) El límite inferior rara vez se usa, ya que casi siempre se quiere controlar que el número de unida-des no conformes no sea demasiado grande. Por otra parte, por la asimetría de la distribución bi-nomial, este límite puede ser negativo y carecer de sentido, como sucedía en los gráficos R y s.


La línea central del gráfico np correspondiente a los datos de la tabla 5.1 es 1, y los límites de control son

UCL = 1 + 3 x 0,9899 = 3,9698

LCL = 1 3 x 0,9899 = -1,9698

El límite inferior no tiene sentido y se ignora. El gráfico np correspondiente a estos resultados es la figura 5.1. Se aprecia en ella que el valor de la muestra 14 excede el límite de control. Al ser UCL < 4, para que no haya puntos fuera de control, puede haber, como máximo, 3 llamadas no conformes en una muestra de 50. No obstante, la proximidad entre el punto en cuestión y el límite aconseja no ex-traer conclusiones precipitadas, ya que basta modificar ligeramente los datos para que no haya pun-tos fuera de control.


NOTA. Puede verse que, si la variable aleatoria X = número de no conformidades se distribuye bi-nomialmente n = 50 y p = 0,02, la probabilidad de X = 4 es del 1,45% y la de X > 4 del 1,78% (mucho mayor que la probabilidad del 0,27% de que X - µ > 3σ que dimos para la distribución normal). Si se extraen 20 muestras, la probabilidad de que en alguna de ellas se obtenga un valor un valor mayor o igual que 4 es superior al 30%. Tales contradicciones se dan cuando el número medio de unidades no conformes por muestra es pequeño y el límite de control es muy próximo a un número entero. Por esta razón se recomienda usar un tamaño de muestra suficiente para que np > 3. Cuando p es pe-queña, esto encarece el control por atributos y puede hacerlo inviable.

5.2. Control de las no conformidades

Consideramos ahora la situación en la cual el seguimiento de un proceso se realiza a través del nú-mero de no conformidades observado en muestras de producto inspeccionadas con frecuencia prefi-jada. Estas muestras pueden ser conjuntos de unidades, en el caso del hardware, o segmentos de magnitud constante, en materiales continuos, donde las unidades son artificiales (por ejemplo, un metro de cable).

En esta variante del control de procesos se puede escoger entre usar, como estadístico para la elabo-ración de los gráficos, el número de no conformidades por muestra (de área, de longitud, etc.), que es lo más directo cuando todas las muestras tienen el mismo tamaño, o el número de no conformidades por unidad, que tiene sentido aun cuando las muestras no tienen el mismo tamaño. En el primer caso obtendremos un gráfico c, y en el segundo un gráfico u. Ambas variantes se basan en el mismo modelo estadístico, la distribución de Poisson (v. Apéndice A6).

Supongamos que se inspeccionan muestras de n unidades (n puede ser constante o variable) y se cuentan las no conformidades en cada muestra. Podemos considerar que el proceso está en estado de control estadístico cuando:

• El número medio c de no conformidades por muestra es estable.

• Las no conformidades aparecen independientemente unas de otras.

Entonces el número de no conformidades por muestra tiene una distribución de Poisson de parámetro c. La media y la varianza de esta distribución son iguales a c. (v. Anexo A6).

Supongamos en primer lugar que todas las muestras tienen el mismo tamaño. Entonces el número de no conformidades por muestra sigue una distribución de Poisson, y se obtiene un valor estimado de la media (que coincide con la varianza) como sigue. Se cuenta el número de no conformidades ci en cada muestra y el valor estimado de µ es

1 kc cck

+ +=

L

donde k es el número de muestras.

Para un producto formado por unidades' podemos estar interesados en el seguimiento del número de no conformidades por unidad, ui = ci/n. Entonces, si las muestras tienen n unidades, basta dividir por n. Así, el valor estimado del número medio de no conformidades por unidad es

1 1 k ku u c cuk nk

µ+ + + +

= = =L L

siendo ui=ci/n el número de no conformidades por unidad en la muestra i-ésima.


Supongamos ahora que el número de unidades por muestra no es constante, y que n1, n2, …, nk son los respectivos tamaños de muestra. En esta situación no tiene sentido el seguimiento del número de no conformidades por muestra, sino que el control se aplica al número de no conformidades por uni-dad, ui. El valor estimado de la media es entonces

1

1

k

k

c cun n

µ+ +

= =+ +L

L Ejemplo 4 (continuación)

Para el control del proceso de tejido se inspeccionan 20 piezas de varios metros cada una que, por razones de organización, tienen distinta longitud. Los resultados de la inspección se presentan en la tabla 5.2.

Tabla 5.2 Defectos hallados en la inspección

muestra Longitud defectos Defectos / metro

1 13 4 0,31

2 15 3 0,20

3 12 5 0,42

4 16 2 0,13

5 9 1 0,11

6 16 4 0,25

7 12 3 0,25

8 16 4 0,25

9 8 2 0,25

10 18 5 0,28

11 13 3 0,23

12 14 3 0,21

13 16 6 0,38

14 15 5 0,33

15 14 1 0,07

16 13 3 0,23

17 14 2 0,14

18 15 5 0,33

19 20 7 0,35

20 14 2 0,14

Como las muestras tienen distinta longitud, se debe usar un gráfico u. El valor estimado del número medio de defectos por metro es

4 3 2 0,247.13 15 14

u + + += =

+ + +L

L


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Figura 5.2 Gráfico u para los datos de la Tabla 5.2

Para controlar el número de no conformidades por muestra se usa un gráfico c. La línea central se sitúa en el valor ,c y los límites de control se obtienen sumando y restando 3 ,σ

3c c± Para controlar el número de no conformidades por unidad se usa un gráfico u. El valor estimado de σ es

un

σ = La línea central se sitúa en el valor ,u y los límites de control se obtienen sumando y restando 3 ,σ

3 uun

± Si el número de unidades por muestra no es constante, el gráfico c no tiene sentido, y sólo puede usarse el gráfico u. Entonces, la línea central se sitúa en ,u y los límites de control para la muestra i-ésima son

3i

uun

±

Como para el gráfico p, si los ni no son muy distintos, puede usarse un valor medio, ,n para simplificar, y así tener los mismos límites a lo largo de todo el gráfico.

NOTA. Como en la sección anterior, los límites de control están basados en la regla µ ± 3σ.



El tamaño medio de muestra es 14,50.n = Con este valor medio, los límites de control son

0,247UCL 0,247 3 0,64414,15

= + =

0,247LCL 0,247 3 0,14914,15

= − = −

El límite inferior es negativo y se ignora. El gráfico correspondiente es la figura 5.2. No hay puntos fuera de control.

Para mostrar cómo puede afectar a los límites de control el tomar un tamaño medio de muestra, cal-culamos el límite superior para la muestra mayor y para la menor. La mayor tiene 20 metros, y por tanto,

0,247UCL 0,247 3 0,58120

= + =

y la menor 8 metros, con lo que

0,247UCL 0,247 3 0,7758

= + =

La diferencia entre ambos límites hace recomendable una cierta precaución al usar este tipo de apro-ximaciones.

5.4. Control del número de deméritos

Consideremos finalmente el caso de un producto que puede presentar varias clases de no conformi-dad, de distinta importancia. Puede ser interesante en esta situación usar un método que tenga en cuenta la diferente consideración que nos merecen los distintas clases de no conformidad, tal como comentamos en el capítulo 2. Se asigna un número de deméritos a cada clase, y el número de demé-ritos de una muestra es la suma de los productos del número de no conformidades de cada clase por el número de deméritos correspondiente a esa clase.

Se puede realizar el seguimiento del número de deméritos por muestra en un gráfico de control, que se denomina gráfico D. Consideremos, para simplificar, un producto que pueda presentar cuatro clases de disconformidad. Atribuimos a cada clase un número de deméritos w, que normalmente será un número entero positivo. Si una muestra presenta c1, c2, c3 y c4 no conformidades de cada clase, respectivamente, el número de deméritos de esa muestra será

D = w1c1 + w2c2 + w3c3 + w4c4

Ahora D ya no tiene distribución de Poisson, como en los gráficos c, y no podemos usar el mismo valor estimado para la media y la varianza. La media de D se estima por la media de los números de deméritos de las sucesivas muestras,

1 1 2 2 3 3 4 4 D w c w c w c w cµ = = + + +


Si se puede asumir que la aparición de un tipo de disconformidad es independiente de la aparición de los restantes tipos, la desviación típica de D puede estimarse por

2 2 2 21 1 2 2 3 3 4 4 w c w c w c w cσ = + + +

La línea central se sitúa en D y los límites de control se obtienen sumando y restando 3 ,σ

3 D σ± Todo esto se aplica a un gráfico de deméritos que viene a ser el homólogo de un gráfico c, es decir, al gráfico del número de deméritos por muestra. Para un producto formado por unidades, se puede considerar el número de deméritos por unidad,

1 1 2 2 3 3 4 4uDD w u w u w u w un

= = + + +

La línea central para el gráfico se obtiene haciendo la media de los números de deméritos para las sucesivas muestras y los límites de control se calculan como en el caso anterior.


A6. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

A6.1 Discusión general

Todo proceso presenta una variabilidad, que se pone de manifiesto en las variaciones que se obser-van a lo largo del tiempo en los indicadores cuyo seguimiento se realiza en el control estadístico de proceso. El lenguaje estadístico que introducimos en este apéndice es útil para evaluar esa variabili-dad. Una hipótesis de trabajo habitual de la estadística consiste en suponer que el problema que se quiere tratar puede describirse en términos de un modelo teórico. El modelo cubre todas las situa-ciones posibles para el problema, y entonces cada situación particular puede caracterizarse por los valores de unos parámetros. Identificando los valores de los parámetros podemos prever, en térmi-nos estadísticos, las variaciones de un indicador ligado al problema que se considera. Presentaremos aquí tres modelos, el normal, el binomial y el de Poisson.

Conocer el valor de los parámetros estadísticos es fundamental para poder prever con qué frecuencia los valores de un indicador estarán dentro de un cierto intervalo, y poder, en consecuencia, decidir si un proceso es capaz. Un paso previo esencial es asegurar la regularidad estadística del proceso, es decir, la estabilidad de los parámetros. Si no puede suponerse que los valores actuales de los pará-metros estadísticos continuarán siendo válidos, no tiene sentido hacer predicciones basadas en esos valores.

Por probabilidad de un suceso se entiende la expectativa de la proporción de casos en que se obtie-ne dicho suceso cuando el número de experiencias realizadas sea grande. Cuanto mayor sea el nú-mero de experiencias, mejor será la aproximación de la proporción observada a esta expectativa. Podemos obtener una aproximación de la probabilidad de un fenómeno realizando un número eleva-do de experiencias y calculando la proporción de experiencias en las que se da el fenómeno. Diremos entonces que esa proporción es un valor estimado de la probabilidad. Si, por ejemplo, inspecciona-mos 1000 unidades de un producto, resultando 20 defectuosas, el valor 0,02 es una estimación de la probabilidad de que, al escoger al azar una unidad de ese producto, obtengamos una unidad defec-tuosa.

No obstante, las probabilidades no siempre se estiman directamente a partir de proporciones obser-vadas, sino mediante fórmulas que se deducen matemáticamente de algún modelo, cuya validez se asume, implícita o explícitamente. Por ejemplo, en el control por variables, las probabilidades se cal-culan a partir de los valores de la media y la desviación típica, asumiendo la validez de la distribución normal, que presentaremos en el apartado siguiente. Debe entenderse que, al proceder de este mo-do, los métodos sólo son exactos para aquellos casos en los que las hipótesis estadísticas implícitas son completamente válidas, lo que en la práctica no es verdad nunca. Por consiguiente, las predic-ciones que se hacen a partir del tratamiento estadístico de los datos son sólo aproximaciones, tanto mejores cuanto mayor sea la adecuación entre la realidad y las hipótesis asumidas en los métodos empleados.

Un concepto importante, ligado a la probabilidad, es el de independencia estadística. Se dice que dos sucesos son estadísticamente independientes cuando el conocimiento de que uno de ellos se da no modifica la probabilidad de que se dé el otro. La independencia es una de las nociones básicas de la Estadística y su importancia radica en el hecho de que, en general, la mayoría de los métodos clá-sicos de la estadística asumen la independencia de las observaciones. Esta hipótesis, implícita en algunas de las fórmulas de los gráficos de control, no siempre se tiene en cuenta. En general, la hipó-tesis de la independencia de las observaciones supone que éstas se hacen de forma que los resulta-dos de unas no modifican las expectativas en las otras. Aunque ambas cosas no sean exactamente lo mismo, se dice, cuando no hay independencia, que las observaciones están correlacionadas.


A6.2 Distribuciones continuas

En el control por variables se realizan mediciones de características que pueden variar de forma con-tinua. No tiene sentido, entonces, considerar la probabilidad de que esa característica tome un valor determinado, sino que se consideran probabilidades de intervalos (por ejemplo, la probabilidad de que el grosor de las hojas de acero del ejemplo 1 esté comprendido entre los límites de tolerancia 598 y 602 µm). Estas probabilidades se calculan habitualmente a partir de distribuciones de probabili-dad. Para una variable continua, la distribución se materializa en una curva, llamada curva de den-sidad de probabilidad o, más brevemente, curva de probabilidad.

La curva de probabilidad de una variable continua X permite calcular probabilidades del siguiente modo: la probabilidad de que el valor de X esté comprendido entre dos valores dados x1 y x2 (x1 < X < x2) es igual al área delimitada por el eje x, la curva de probabilidad y las verticales x = x1 y x = x2 (v. Figura A6.1). Esto implica, en particular, que la probabilidad sea mayor en los intervalos sobre los cuales la curva de probabilidad esté más separada del eje x. De este modo, una simple ojeada a la curva de probabilidad permite saber en qué intervalos la probabilidad de hallar el valor de X es mayor.

Figura A6.1 Curva de probabilidad

La curva de probabilidad puede darse también a través de su ecuación, que es una expresión del tipo y = f(x), donde f es una función matemática. Entonces el área entre x1 y x2 se puede calcular inte-grando f,

2

1

1 2Prob( ) .x

x

x X x f(x) dx< < = ∫

La media de una variable continua se define por

( )x f x dxµ+∞

−∞

= ∫

µ es un parámetro asociado al modelo. Cuando se asume la validez de una determinada distribución, se supone que el valor de µ es desconocido, pero que se puede obtener un valor estimado a partir


de los resultados de las observaciones de la variable X. En particular, el estadístico x da un valor es-timado de µ. De ahí que se use la misma palabra para designar ambas cosas. Debe entenderse, sin embargo, que µ es un valor teórico constante (y desconocido) y x un valor experimental que varía de una experiencia a otra. Puede demostrarse matemáticamente que µ es el límite de x cuando el núme-ro de observaciones tiende a infinito, con lo cual puede interpretarse como la expectativa del valor medio que obtendríamos si el número de observaciones fuese muy grande.

Otro parámetro del modelo es la varianza, que se define por

2 2( ) ( )x f x dxσ µ+∞

−∞

= −∫

La desviación estándar σ es la raíz cuadrada de la varianza. Algunas distribuciones, como la nor-mal, que presentamos en el apartado siguiente, quedan determinados por los valores de µ y σ. Puede hacerse un comentario similar al del párrafo anterior respecto a la relación entre el parámetro σ y el estadístico s, con un añadido, que s solamente da un valor estimado de σ cuando las observaciones son independientes.

A6.3 Distribuciones discretas

En el control por atributos se manejan datos que resultan de contar las apariciones de un cierto fenó-meno (por ejemplo, el número de unidades no conformes en una muestra extraída de un lote para la inspección final). Si designamos por X el número de veces que aparece ese fenómeno en una ins-pección, X es una variable cuyos valores son 0, 1, 2, …, pero X no puede tomar, por ejemplo, ningún valor comprendido entre 1 y 2. La curva de probabilidad no tiene sentido, sino que se utiliza una dis-tribución de probabilidad discreta, que asigna a cada valor su probabilidad.

En general, si designamos por x1, x2, …, xi, … los valores de X, podemos asociar a cada uno de ellos una probabilidad pi = Prob(X = xi). La media se define entonces por

1 1 2 2 i ip x p x p xµ = + + + +L L

y la varianza por

( ) ( ) ( )2 2 221 1 2 2 i ip x p x p xσ µ µ µ= − + − + + − +L L

La interpretación de µ y σ es análoga a la que tienen en las distribuciones continuas.


Supongamos que el servicio de atención al cliente responde el 18% de las llamadas después de la tercera señal y que la hora, la duración y el número de señales antes de que la llamada sea contesta-da quedan registrados por el sistema informático de la empresa. Podemos seleccionar aleatoriamente una muestra de 10 llamadas y ver cuántas han sido respondidas después de la tercera señal. Si de-signamos por X el número de llamadas donde eso sucede, los valores posibles de X son 0, 1, 2, …, 10. Cada valor de X tiene una probabilidad asociada que puede calcularse con la distribución binomial que veremos más adelante. En la tabla A6.1 pueden verse estas probabilidades, junto a los valores de los parámetros µ y σ que resultan de aplicar las expresiones que hemos usado para definirlos.


TABLA A6.1 Probabilidades en un modelo binomial con n=10 y p=0,18

X P(X=x)

0 0,1374

1 0,3017

2 0,2980

3 0,1745

4 0,0670

5 0,0177

6 0,0032

7 0,0004

8 0,0000

9 0,0000

10 0,0000

Media =10

0( )

Xx P X x

=

× =∑ =1,8

Desviación estándar =10

2

0( 1,8) ( )

Xx P X x

=

− × =∑ =1,21149

A6.4 Distribución normal

El modelo habitual del control por variables y el más usado en general en la estadística es la distri-bución normal. Otras distribuciones de interés en el control de la calidad como la exponencial o la de Weibull, de gran importancia en la fiabilidad industrial, no se tratan en estas notas. En la distribución normal, la curva de probabilidad viene dada por

( )2

2

1 exp22

xy

µσπσ

− = −

donde µ y σ son los parámetros del modelo, π designa el número pi de las Matemáticas, y exp es la función exponencial.

Puede demostrarse matemáticamente que, al aplicar las fórmulas que hemos dado al definir la media y la desviación estándar se obtienen precisamente los valores µ y σ que aparecen en la expresión de f(x). De ahí que hayamos usado directamente esos símbolos para los parámetros. En las figuras A6.2 y A6.3 pueden verse curvas normales con distintos valores de µ y σ.


Figura A6.2 Comparación de curvas normales con distinto valor de µ e igual σ

Figura A6.3 Comparación de curvas normales con distintos valor de σ e igual µ

Conociendo los parámetros µ y σ de una distribución normal, se puede hallar la probabilidad de cual-quier intervalo. Para ello no hace falta calcular una integral, ya que pueden usarse las tablas de la distribución normal de los libros de Estadística o medios electrónicos de cálculo (por ejemplo, la fun-ción DISTR.NORM de Excel).


Si tomamos como valor de µ la media de los datos de la tabla 2.1, 599,545x = micras, y como valor de σ la desviación estándar s = 0,619299 micras, podemos calcular la probabilidad de que el grosor de una hoja de acero, extraída al azar de la producción, esté comprendido entre los límites de tole-


rancia de 598 y 602 micras. Este cálculo es bastante sencillo si se dispone de una calculadora que dé probabilidades asociadas a la distribución normal, o de una hoja de cálculo (en Excel esta probabili-dad es igual a la diferencia entre los valores de la función DISTR.NORM en 598 y 602). En este caso, se obtiene

( ) ( )Prob(598 602) Prob 602 Prob 598 0,999963 0,006302 0,99361.X X X< < = < − < = − =

No obstante, estos cálculos son poco frecuentes en este contexto, y en la práctica el uso de la distri-bución normal en el control de la calidad se limita, casi exclusivamente, al manejo de unos pocos valores. En estas notas nos limitaremos a los intervalos µ ± σ, µ ± 2σ y µ ± 3σ,

( )Prob - 0,6826Xµ σ µ σ< < + =

( )Prob - 2 2 0,9544Xµ σ µ σ< < + =

( )Prob - 3 3 0,9973Xµ σ µ σ< < + =

En particular, la última de estas expresiones significa que el 99,73% del área comprendida bajo la curva normal corresponde a los valores cuya distancia a µ es inferior a 3σ. Una consecuencia de este esquema es que, en la práctica, para una variable con distribución normal no se hallan más que muy raramente valores fuera del intervalo µ ± 3σ. Este es, pues, un intervalo natural del cual no debe salir X, a menos que cambien los valores de los parámetros. Este hecho se utiliza para calcular índi-ces de capacidad (v. Capítulo 3) y límites de control (v. Capítulos 4 y 5).

Supongamos que X es una variable con distribución normal de media µ y desviación estándar σ. de-signamos por X la media de n observaciones independientes de X. Por ejemplo, en el Ejemplo 1, si X es el grosor de una hoja de acero, X sería el grosor medio de una muestra de cinco unidades. Los valores de la columna de medias en la tabla 2.1 son las observaciones de la variable .X

Un teorema clásico de la estadística asegura que X tiene distribución normal de media µ y desviación estándar σ/√n. Este resultado no hace sino cuantificar el hecho de que las fluctuaciones estadísticas de la media de n observaciones son de menor magnitud cuanto mayor es n. Usando esto podemos calcular probabilidades para X como hicimos para X, sin más que corregir el valor de la desviación estándar, cambiando σ por σ/√n. Por ejemplo,

Prob 3 3 0,9973Xn nσ σµ µ

− < < + =

Si X no tiene distribución normal, puede asegurarse aún que la media de X es µ, y su desviación es-tándar σ/√n, aunque no que la distribución normal sea válida. Sin embargo, un teorema clásico de la estadística, el teorema central del límite, asegura que la curva de probabilidad de la media se apro-xima a la normal cuando n es grande. Por consiguiente, aunque el número de observaciones que se promedien sea pequeño, puede esperarse, razonablemente, que la distribución normal sea una apro-ximación mejor para X que para X.

La distribución normal se viene usando regularmente desde que fuera introducida por C.F. Gauss (de ahí viene el nombre de distribución gaussiana que se le da a veces) hace aproximadamente 200 años para el estudio de los errores de ciertas medidas astronómicas. Ello es debido, aparte de sus propie-dades matemáticas, al hecho de que tiene una curva de probabilidad simétrica, de forma acampana-da, lo que hace que proporcione una aproximación satisfactoria para las variables que intervienen en diversas situaciones. Eso no quiere decir que otras distribuciones cuya curva de probabilidad sea parecida no proporcionen aproximaciones igualmente buenas a situaciones en los que se usa la nor-mal. Pero debido a las propiedades de la normal, se usa siempre que no haya razones de peso en


contra. Por otro lado, no hay que precipitarse en descartar la distribución normal, aunque los primeros datos muestren divergencias importantes con la curva normal, porque a veces estas divergencias se deben a la inestabilidad de los parámetros estadísticos de la variable de la que se han obtenido los datos.

Hemos dado, para la distribución normal, las probabilidades de distintos intervalos. Estas probabilida-des no son exactamente válidas para otras distribuciones. ¿Invalida esto los métodos del control por variables, que están basados en la normal? La respuesta es que la desviación respecto a la normal afecta a unos métodos más que a otros, por lo que la cuestión es sólo importante en algunas situa-ciones especiales. La cuestión central, en lo que concierne al control de proceso, no es si la distribu-ción normal es o no es la mejor descripción de la variabilidad de un proceso, sino si los límites µ ± 3σ definen un intervalo donde se halle aproximadamente el 99,73% de las observaciones que puedan hacerse. Los problemas se presentarán, pues, cuando el intervalo sea demasiado estrecho y los valores obtenidos se escapen, por la izquierda o por la derecha, con mayor frecuencia de la prevista por el modelo normal, o cuando sea demasiado ancho y los valores observados sólo ocupen una parte del intervalo.

A6.5 Distribución Binomial y Poisson

Consideremos ahora el problema siguiente: se hacen n experiencias independientes en las que pue-de ocurrir un cierto suceso D, siempre con la misma probabilidad p. Por ejemplo, se extrae una muestra de n unidades de un producto de un lote homogéneo que contiene un número de unidades mucho mayor que n (para que se pueda admitir que las extracciones son independientes) y se obser-va la aparición de un cierto defecto que se produce, como término medio, en una fracción p de la producción. Sea X el número de veces que ocurre D en n experiencias. Entonces los valores posibles de X son 0, 1, 2, …, n. Puede demostrarse, mediante un argumento de tipo combinatorio, que las probabilidades de estos valores vienen dadas por la distribución binomial,

( ) ( )Prob 1 0,1,2, , .n xxx

nP X x p p x n

x−

= = = − =

K

Esta situación se expresa diciendo que X tiene una distribución binomial de parámetros n y p. La me-dia y la desviación estándar se pueden obtener en función de estos parámetros mediante las fórmulas

, (1 )np np pµ σ= = −

Sin hacer cálculos, el valor de µ puede preverse por intuición: si la proporción de casos en los que se obtiene un cierto fenómeno es p, y se realizan n experiencias, el número medio de experiencias en las que se obtiene ese fenómeno debe ser np. En cambio, el valor de σ no se explica por un razona-miento tan sencillo.

Es interesante tener presentes las condiciones en las que es válido el uso del modelo binomial, que podemos resumir en:

• Que existan dos alternativas posibles para cada experiencia, por ejemplo, conforme o no confor-me.

• Que la probabilidad p sea la misma en cada experiencia.

• Que las experiencias sean independientes.



Las probabilidades de la tabla A6.1 se pueden obtener mediante la fórmula binomial. Por ejemplo,

( ) ( ) ( )5 55

10Prob 5 0,18 0,82 0,0177

5P X

= = = =

Se pueden comprobar, asimismo, los valores de la media y la desviación estándar,

0,18 10 1,8; 10 0,18 0,82 1,2149µ σ= × = = × × = NOTA. El cálculo de las probabilidades con la fórmula binomial puede resultar muy tedioso si se hace a mano, pero una hoja de cálculo permite obtenerlas sin mucho trabajo. De hecho, la tabla A6.1 se ha construido en una hoja Excel, usando la función DISTR.BINOM.

Aunque la distribución de Poisson tiene muchas aplicaciones, nos limitaremos aquí a una presen-tación breve, aunque suficiente para el uso que haremos de este modelo. Consideramos la variable X igual al número de veces que aparece un cierto fenómeno esporádico en una unidad de tiempo o de espacio y asumimos la validez de las condiciones siguientes:

• El número medio c de veces que el fenómeno aparece por unidad es fijo.

• El hecho de que el fenómeno aparezca en un momento o lugar concreto es independiente del hecho de que lo haga en otro.

• No hay límite teórico al número posible de apariciones por unidad del fenómeno considerado.

En estas condiciones, diremos que X tiene una distribución de Poisson de parámetro c. La probabili-dad de que el fenómeno considerado ocurra k veces se calcula con la fórmula

( )Prob ; 0,1,2,!k

kccP X k e kk

−= = = …=

La distribución de Poisson tiene un solo parámetro c, y la media y la varianza coinciden precisamente con ese parámetro,

2 cµ σ= = En general, no es cierto que la media y la varianza de una variable coincidan, y esta igualdad es una propiedad muy especial de la distribución de Poisson, muy interesante en las aplicaciones. El pará-metro c se estima a partir del número medio de apariciones del fenómeno observadas experimental-mente.


Como resultado de la inspección de muestras extraídas de la producción, se ha obtenido una aproxi-mación del número medio de defectos por metro, c = 0,247. Si inspeccionamos una pieza de un metro extraída de forma aleatoria de la producción, el número de defectos X puede tomar los valores 0, 1, 2, etc., cuyas probabilidades se pueden calcular con la fórmula de Poisson. Los resultados se pueden ver en la tabla A6.2, donde se incluyen los valores de la media y la desviación estándar.


Tabla A6 Probabilidades en un modelo de Poisson

X P(X=x)

0 0,7811

1 0,1929

2 0,0238

3 0,0020

4 0,0001

5 0,0000

6 0,0000

Media =0

( )X

x P X x∞

=

× =∑ =0,247

Desviación estándar 2

0( 0,247) ( ) 0,247

Xx P X x

∞

=

− × = =∑ =0,497

A7. CASO PRÁCTICO 1


Un empresa, que forma parte de una multinacional cuya actividad gira en torno al caucho y sus deri-vados, suministra componentes de freno a varios clientes del sector de automoción. Como la mayoría de las empresas proveedoras del sector, aplica desde hace años los métodos SPC, impuestos por los fabricantes de automóviles. El responsable de Producción no está de acuerdo con los métodos apli-cados y decide exponerle sus objeciones al responsable de Calidad. Este no tiene inconveniente en revisar los métodos empleados, pero le recuerda que los métodos SPC que se usan son completa-mente estándar y han sido impuestos por los clientes, por lo que pocas variantes pueden hacerse. Acuerdan discutir las cuestiones planteadas por el responsable de Producción en un grupo de trabajo que formarán ellos dos junto al responsable de Ventas, muy sensibilizado respecto a cualquier tema que pueda afectar a la relación con los clientes, y el responsable de Ingeniería.

El responsable de Producción acaba de realizar un curso de Control Estadístico de Proceso, por re-comendación del responsable de Calidad, y algunas cosas que ha aprendido en este curso no aca-ban de cuadrar con lo que ve en la planta. Empieza por exponer sus reservas sobre la forma en que se realiza el control en la última operación del proceso, la de rectificado. Una de las características controladas en esta operación es el diámetro exterior de las piezas, y el control se lleva a cabo me-diante gráficos SPC que trazan a mano los operarios, en tiempo real.

El procedimiento para elaborar los gráficos es el siguiente. Cada 4 horas se inspeccionan 5 unidades, se mide el diámetro de cada una, y se calculan la media x y el recorrido R. Con las medias se traza un gráfico X y con los recorridos un gráfico R. Como los turnos son de 8 horas, se hace una inspec-ción al empezar el turno y otra a medio turno, con lo que los datos recogidos en un día normal dan lugar a 6 puntos en cada uno de los gráficos. Normalmente, el mismo gráfico se mantiene toda la semana (de lunes a viernes), con lo que, si no ha habido cambio de producto, el gráfico puede llegar a tener 30 puntos. En ambos gráficos se trazan al empezar unas líneas horizontales que correspon-


den a un valor medio y a los límites de control. Cuando un punto cae más allá de los límites, se debe ajustar la máquina rectificadora. Tanto la línea central como los límites de control se dibujan a partir de valores obtenidos mediante cálculos realizados con los datos que se usaron para trazar el anterior par de gráficos.

En la tabla A7.1 puede verse una serie (semanal) de datos, relativos a un producto cuyos límites de tolerancia para el diámetro exterior son 39,10 ± 0,10 mm. La tabla se ha preparado en una plantilla Excel, lo que permite obtener automáticamente las medias, los recorridos y los límites para el siguien-te gráfico.

Tabla A7. 1 Datos para los gráficos SPC (Caso práctico 1)

Observaciones Media Recorrido39.07 39.08 39.16 39.06 39.20 39.114 0.1439.09 39.15 39.12 39.12 39.09 39.114 0.0639.15 39.18 39.11 39.10 39.10 39.128 0.0839.06 39.09 39.11 39.11 39.02 39.078 0.0939.10 39.12 39.10 39.10 39.14 39.112 0.0439.08 39.10 39.11 39.14 39.16 39.118 0.0839.13 39.07 39.12 39.13 39.11 39.112 0.0639.06 39.12 39.10 39.10 39.06 39.088 0.0639.08 39.11 39.13 39.10 39.13 39.110 0.0539.07 39.07 39.11 39.05 39.13 39.086 0.0839.09 39.09 39.11 39.07 39.17 39.106 0.1039.13 39.07 39.11 39.10 39.17 39.116 0.1039.07 39.06 39.07 39.10 39.10 39.080 0.0439.04 39.07 39.06 39.14 39.08 39.078 0.1039.07 39.11 39.07 39.07 39.10 39.084 0.0439.09 39.14 39.10 39.07 39.05 39.090 0.0939.08 39.12 39.11 39.12 39.11 39.108 0.0439.04 39.07 39.10 39.12 39.09 39.084 0.0839.13 39.09 39.06 39.08 39.13 39.098 0.0739.07 39.02 39.06 39.10 39.10 39.070 0.0839.13 39.11 39.11 39.11 39.11 39.114 0.0239.09 39.10 39.11 39.14 39.04 39.096 0.1039.10 39.06 39.08 39.09 39.03 39.072 0.0739.08 39.14 39.06 39.12 39.08 39.096 0.0839.11 39.12 39.06 39.08 39.09 39.092 0.0639.09 39.18 39.09 39.07 39.14 39.114 0.1139.11 39.07 39.08 39.11 39.09 39.092 0.0439.16 39.07 39.03 39.09 39.13 39.096 0.1339.07 39.15 39.13 39.12 39.10 39.114 0.0839.17 39.11 39.12 39.15 39.09 39.128 0.08

El procedimiento para obtener los valores correspondientes a la línea central y los límites de control es el que sigue. Primero se calculan la media total ,x que es el promedio de los 30 valores medios, y el recorrido medio ,R promedio de los 30 recorridos. Estos valores se usan para las líneas centrales de ambos gráficos. Para el gráfico ,X los límites de control superior (UCL) e inferior (LCL) se calculan mediante las fórmulas clásicas de Shewhart.


En la figura A7.1 pueden verse los gráficos correspondientes a los datos de la tabla A7.1. Cada punto del primer gráfico es la media de 5 unidades, y cada punto del segundo el recorrido de 5 unidades. Entre dos puntos consecutivos de un gráfico han pasado 4 horas. En un mismo gráfico intervienen tres operarios, el del turno de mañana, el de tarde y el de noche. Los gráficos no presentan puntos fuera de control y, por lo tanto, no ha habido necesidad de ajustes (eso no quiere decir que los opera-rios no los hayan hecho por su cuenta). En estos gráficos los límites se han calculado a partir de los datos de la semana anterior, por el procedimiento que hemos resumido más arriba.

39.040

39.060

39.080

39.100

39.120

39.140

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

UCL = 39.132

LCL = 39.046

Figura A7.1.a Gráfico X (Caso práctico 1)

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

UCL = 0.151

Figura A7.1.b Gráfico R (Caso práctico 1)

El responsable de Producción presenta a los demás una serie de objeciones. La primera se refiere al número de unidades inspeccionadas, 5 cada 4 horas, que considera excesivo. Por un lado, los opera-rios se quejan de que el control de calidad es una tarea añadida a lo que ellos consideran su trabajo, la producción, y no ven la necesidad de inspeccionar 5 unidades para saber si tienen que ajustar la máquina rectificadora. Por otro lado, según lo que él ha aprendido sobre gráficos de control, para cada punto del gráfico se inspeccionan varias unidades, que forman lo que en ese contexto se deno-mina un subgrupo, pero los subgrupos no tienen necesariamente tamaño 5, sino que pueden ser de 3 o 4 unidades.


REFLEXIONES:

¿Cómo se forman los subgrupos? ¿Cuál debe ser el tamaño de los subgrupos? ¿Qué ventajas tienen los subgrupos de 5 unidades?


El responsable de Calidad le responde que, efectivamente, los subgrupos pueden tener tamaño dis-tinto de 5, y que no recuerda por qué se estableció el tamaño de subgrupo 5, pero presume que fue a sugerencia de algún cliente. De todos modos, los subgrupos de 5 unidades son habituales en las aplicaciones reales del Control Estadístico de Proceso, aunque no sean obligatorios. El responsable de Ventas considera que esto lo tienen que decidir los técnicos, que son los otros dos, pero insiste en que si modifican algo lo hagan de forma que los clientes no lo noten, para evitar dar explicaciones.

Deciden realizar una prueba a partir de datos ya existentes, para ver qué aspecto tendría un gráfico realizado con subgrupos de 3 unidades. El responsable de Calidad se ofrece para hacer la demostra-ción con los datos de la tabla A7.1, usando sólo las tres primeras unidades de cada subgrupo (v. Ta-bla A7.2). Además, explica a los otros dos, debe recalcular los límites de control de ambos gráficos y la línea central del gráfico R.

TABLA A7.2 Datos para gráficos SPC (tamaño de subgrupo 3)

Observaciones Media Recorrido39.07 39.08 39.16 39.103 0.0939.09 39.15 39.12 39.120 0.0639.15 39.18 39.11 39.147 0.0739.06 39.09 39.11 39.087 0.0539.10 39.12 39.10 39.107 0.0239.08 39.10 39.11 39.097 0.0339.13 39.07 39.12 39.107 0.0639.06 39.12 39.10 39.093 0.0639.08 39.11 39.13 39.107 0.0539.07 39.07 39.11 39.083 0.0439.09 39.09 39.11 39.097 0.0239.13 39.07 39.11 39.103 0.0639.07 39.06 39.07 39.067 0.0139.04 39.07 39.06 39.057 0.0339.07 39.11 39.07 39.083 0.0439.09 39.14 39.10 39.110 0.0539.08 39.12 39.11 39.103 0.0439.04 39.07 39.10 39.070 0.0639.13 39.09 39.06 39.093 0.0739.07 39.02 39.06 39.050 0.0539.13 39.11 39.11 39.117 0.0239.09 39.10 39.11 39.100 0.0239.10 39.06 39.08 39.080 0.0439.08 39.14 39.06 39.093 0.0839.11 39.12 39.06 39.097 0.0639.09 39.18 39.09 39.120 0.0939.11 39.07 39.08 39.087 0.0439.16 39.07 39.03 39.087 0.1339.07 39.15 39.13 39.117 0.0839.17 39.11 39.12 39.133 0.06


Los nuevos gráficos pueden verse en la figura A7.2. Como era de esperar, la forma de los gráficos ha cambiado. Como consecuencia de las correcciones efectuadas por el responsable de Calidad, la se-paración entre los límites de la media ha aumentado, mientras que en el gráfico R la escala se ha reducido. En el gráfico X aparece un punto fuera de control y en el gráfico R hay un punto muy cerca del límite de control.

39.020

39.040

39.060

39.080

39.100

39.120

39.140

39.160

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

LCL = 39.033

UCL = 39.145

Figura A7.2.a Gráfico X (tamaño de subgrupo 3)

0.00

0.03

0.05

0.08

0.10

0.13

0.15

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

UCL = 0.131

Figura A7.2.b Gráfico R (tamaño de subgrupo 3)

REFLEXIONES:

¿Por qué los límites de control de la media están más separados al reducir el tamaño de los subgru-pos? ¿Cómo realizó el responsable de Calidad la conversión de los límites de control de un gráfico a otro? ¿Por qué modificó la línea central sólo en el gráfico R? ¿Qué se puede concluir del hecho de que haya un punto fuera de control?



El responsable de Producción se sorprende de que un proceso que estaba en estado de control deje de estarlo si se usan menos datos para construir el gráfico. La idea de que se deba efectuar o no un ajuste en función de si se inspeccionan 3 o 5 unidades resulta desalentadora. Reconoce que el asun-to es más complejo de lo que él creía.

El responsable de Calidad no concede mucha importancia al punto fuera de control. Según él, estas cosas suceden a veces cuando se usan límites de control distintos a los que resultarían de los datos con los que se traza el gráfico (por ejemplo, los límites correspondientes a un gráfico de la semana anterior). Para convencerlos, calcula los límites usando los datos de la tabla A7.2, y les presenta los nuevos gráficos, que pueden verse en la Figura A7.3.

39.020

39.040

39.060

39.080

39.100

39.120

39.140

39.160

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

LCL = 39.043

UCL = 39.151

Figura A7.3.a Gráfico X (tamaño de subgrupo 3, límites calculados)

0.00

0.03

0.05

0.08

0.10

0.13

0.15

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

UCL = 0.136

Figura A7.3.b Gráfico R (tamaño de subgrupo 3, límites calculados)


REFLEXIONES:

¿Por qué ahora ya no hay puntos fuera de control? ¿El problema estaba en los límites y no en los datos?


Después de esta demostración, nuestros directivos consideran que es prudente realizar una prueba piloto de tres semanas con este mismo producto. En esta prueba se inspeccionarán 3 unidades cada 4 horas. Los tres directivos se ocuparán personalmente de analizar los gráficos elaborados con los datos recogidos y de calcular los límites al final de la semana.

El ejercicio que se lleva a cabo reafirma al responsable de Producción en la siguiente objeción que tenía preparada, referida a los cambios continuos en los límites de control, que según él despistan a los operarios. En su opinión, es correcto calcular los límites de control al concluir un gráfico para veri-ficar la estabilidad del proceso. Sin embargo, si los límites se usan para el control efectivo del proce-so, deberían permanecer fijos, como el resto de las instrucciones de control de proceso.

REFLEXIONES:

¿Tiene sentido utilizar límites de control calculados a partir de datos distintos de los que se utilizan para trazar el gráfico? ¿Si no se hace así, cómo se puede disponer de límites al iniciar el gráfico? ¿Si los límites cambian de un gráfico a otro, no se dará una situación en la que se ajuste hoy el proceso a partir de un valor a partir del cual no se hubiera ajustado la semana pasada?


El responsable de Calidad explica a los otros que las fórmulas de los gráficos de control sólo permiten calcular los límites cuando se tienen todos los datos, cosa que, efectivamente, él hace cuando el grá-fico está concluido. Sin embargo, para que los operarios tengan una referencia al ir trazando el gráfi-co, usa los cálculos efectuados con los datos del gráfico anterior para establecer límites. No obstante, reconoce que resultaría más coherente para los operarios que los límites se mantuvieran constantes. Se compromete, pues, a hacer un estudio a partir de los datos existentes, establecer límites de con-trol fijos, revisándolos a los seis meses, y posteriormente, cada año. De todos modos, él cree que si el proceso está en estado de control, los límites no deben cambiar mucho de un gráfico a otro.

En esto están de acuerdo todos. El principal problema con los límites de control, en opinión del res-ponsable de Producción, estriba en que los operarios, al margen de lo que pase con los límites de control, ajustan la máquina rectificadora al iniciar el turno, lo cual introduce una fuente adicional de variabilidad en el proceso. El diagnóstico que pueda hacer el responsable de Calidad sobre la estabi-lidad del proceso mediante los gráficos de control no tiene mucho sentido, ya que los datos no co-rresponden al proceso propiamente dicho, sino al proceso perturbado por una serie de intervencio-nes. En su opinión, estos ajustes innecesarios no deberían hacerse. Más aún, si se efectúa un ajuste motivado por un punto fuera de control, debería dividirse la serie de datos en dos partes y calcular límites para cada subserie.

REFLEXIONES:

¿Tiene sentido calcular los límites de control a partir de una serie de datos que cubre un período en el que se ha efectuado un ajuste del proceso?



Todos están de acuerdo en que se debe ajustar el proceso en función de los datos que se van reco-giendo, nunca en función de preferencias personales. Si cada operario ajusta cuando lo cree conve-niente, los gráficos no sirven para nada. El responsable de Calidad propone que dentro de la prueba piloto que se va a realizar, los operarios respeten escrupulosamente la consigna de no efectuar un ajuste más que cuando el gráfico indique la necesidad de hacerlo, anotando al reverso de la hoja donde se dibuja el gráfico el momento del ajuste y en qué consistió éste.

El responsable de Ventas sugiere prudencia, ya que, a fin de cuentas, el cliente está satisfecho con el control tal como se realiza actualmente. El responsable de Producción está de acuerdo en que el control debe hacerse de forma que satisfaga al cliente, pero insiste en que los gráficos no se hacen solamente para enseñarlos a los clientes, sino que se deben usar como una fuente de información para un diagnóstico del proceso y para evaluar la eficacia de los cambios introducidos. Por consi-guiente, los gráficos deben hacerse de forma que la empresa saque el mayor rendimiento posible. Acuerdan finalmente realizar la prueba en la forma que sugiere el responsable de Calidad.

REFLEXIÓN FINAL:

¿Son correctos los argumentos que han conducido a los directivos de Rubber a realizar estas prue-bas? ¿Sugeriría usted algo más?


A8. CASO PRACTICO 2


Un empresa se dedica al desarrollo, producción y comercialización de productos químicos para usos específicos. El proceso de incorporación de un nuevo producto a su catálogo sigue, más o menos, el guión siguiente. En primer lugar, el Departamento Comercial apalabra las prestaciones del producto con los clientes potenciales. A continuación, hace el desarrollo del producto y el proceso de produc-ción, estableciendo provisionalmente límites de tolerancia para una serie de características cuyo valor se puede determinar en el laboratorio de I+D a partir del análisis de una muestra. Pasado un tiempo, los límites de tolerancia se establecen de forma definitiva.

El proceso de producción es un proceso en batch, que en la mayoría de los casos se puede resumir como sigue. Se vierten en un reactor los componentes del producto, en las dosis adecuadas, y des-pués de permanecer la mezcla en el reactor, en agitación permanente, durante un tiempo y en unas condiciones especificadas, se analiza una muestra en el Laboratorio de Control de Calidad para veri-ficar la conformidad con la especificación del producto (provisional o definitiva). En caso afirmativo, el laboratorio emite el correspondiente boletín de análisis y se descarga el reactor envasando el produc-to en la forma que corresponde. En caso de no conformidad con la especificación, se añade una cier-ta cantidad del componente adecuado, se mezcla, y se vuelve a analizar una muestra, y así hasta obtener valores satisfactorios. En algunos productos, la corrección no es algo excepcional, sino que se ha convertido en habitual, incorporándose tácitamente al procedimiento de fabricación.

El responsable de I+D desea hacer un seguimiento de algunas características críticas de ciertos pro-ductos para establecer definitivamente los límites de tolerancia, modificando si es preciso los límites establecidos provisionalmente por el laboratorio de I+D. Su deseo es que el seguimiento se haga de forma científica, huyendo de criterios subjetivos tales como parece que va bien o estamos tenien-do problemas. Tiene la intención de usar gráficos de control, que le servirán no sólo hacer el segui-miento, sino también para exponer sus conclusiones a los demás. En los gráficos espera ver si el proceso de producción de un producto es estable a lo largo del tiempo y, si así es, podrá usar las fórmulas de los límites de control para establecer límites de tolerancia compatibles con la capacidad del proceso.

Decide empezar por un producto de reciente introducción, de gran volumen de ventas. Una caracte-rística crítica de este producto es la viscosidad, cuyos límites de tolerancia (método de copa) son 80 y 110 segundos. Decide recoger datos de 22 lotes consecutivos, que equivalen a la producción de un trimestre. De acuerdo con lo que aprendió en un curso de Control Estadístico de Calidad realizado hace algunos años, para calcular los límites de control los datos deben recogerse agrupados en sub-grupos. Tal como él lo entiende, un subgrupo es una serie corta de observaciones realizadas en las mismas condiciones, y de modo que el tiempo que transcurra entre dos observaciones consecutivas sea mínimo. Estos subgrupos constan típicamente de 5 observaciones, pero hay fórmulas para sub-grupos de cualquier tamaño.

REFLEXIONES:

¿Cómo se forman los subgrupos? ¿Cuál debe ser el tamaño de los subgrupos?


Para simplificar al máximo, el responsable de I+D decide construir los gráficos de control usando sub-grupos de tamaño 2. Ahora bien, en el control de calidad se analiza una única muestra, una sola vez (aunque a veces se repite el análisis si los resultados difieren de los esperados), y por consiguiente


sólo se dispone de un dato para cada lote de producción. Para formar los subgrupos, considera las siguientes opciones:

• Analizar por duplicado cada muestra, y con los dos resultados obtenidos formar un subgrupo de tamaño 2.

• Extraer dos muestras de cada lote, y con los resultados de ambas formar un subgrupo de tamaño 2.

• Agrupar los lotes por parejas, de modo que cada dos lotes den lugar a un subgrupo de tamaño 2.

La tercera opción es la más barata, ya que no supone aumentar el trabajo del laboratorio, pero el tiempo hasta completar el mismo número de subgrupos es el doble. Por otra parte, le parece que este procedimiento no está de acuerdo con la teoría de los gráficos de control, donde se supone que las observaciones de un mismo subgrupo se realizan en las mismas condiciones, y el gráfico sirve para ver si de un subgrupo a otro ha habido variaciones en el proceso. Con los subgrupos de dos lotes, si hubiera cambios en el proceso, éstos podrían producirse tanto dentro de un subgrupo como entre dos subgrupos consecutivos.

Finalmente, entre las dos primeras opciones, se decide por la segunda. De este modo las diferencias entre las observaciones de un mismo subgrupo reflejarán no sólo la imprecisión en la determinación de la viscosidad, sino las posibles diferencias entre muestras del mismo lote, que le interesa investi-gar. De hecho, la gran cantidad de muestras adicionales que se extraen para confirmar los resultados cuando la viscosidad de la primera muestra no es conforme, revela una desconfianza en el muestreo, que le hace pensar que existe un problema en la homogeneización de este producto.

REFLEXIONES:

¿Es correcto este procedimiento para formar los subgrupos?


El responsable de I+D habla con el responsable de Calidad para ver si es viable realizar una prueba en la que se analicen dos muestras por lote, en 22 lotes consecutivos. El responsable de Calidad accede a realizar la extracción y el análisis de las muestras suplementarias, aunque sólo como prue-ba piloto, ya que no ve muy canónico el procedimiento, y no cree que el coste de las muestras adicio-nales vaya a ser aceptado por la gerencia más que en casos excepcionales. Las muestras se extrae-rán de la parte superior y de la parte inferior del reactor.

Los gráficos de control elaborados a partir de los datos recogidos para este estudio pueden verse en la figura A8.1. Cada punto de un gráfico corresponde a un lote, de modo los gráficos reflejan la evolu-ción del proceso a lo largo del período cubierto por los 22 lotes. Los datos de viscosidad se presentan en la tabla A8.1. Junto a las viscosidades obtenidas para ambas muestras se dan la media de ambos resultados, y el recorrido. Con las 22 medias se ha trazado el gráfico X (Figura A8.1.a) y, con los re-corridos, el gráfico R (Figura A8.1.b). En ambos gráficos se trazan unas líneas horizontales que co-rresponden a un valor medio y a los límites de control, más allá de los cuales no debiera hallarse nin-gún punto del gráfico si el proceso fuese estable. La tabla se ha preparado en una plantilla Excel, lo que permite obtener automáticamente las medias, los recorridos y los límites de control. El procedi-miento que se sigue para obtener los valores correspondientes a la línea central y los límites de con-trol es el clásico de Shewhart.


Tabla A8.1 Resultados de viscosidad de 22 lotes (Caso práctico 2)

Batch Muestra 1 Muestra 2 Media Recorrido 1 98 92 95 6 2 82 98 90 16 3 94 78 86 16 4 70 102 86 32 5 86 86 86 0 6 102 92 97 10 7 98 96 97 2 8 94 94 94 0 9 97 83 90 14 10 79 115 97 36 11 103 93 98 10 12 86 98 92 12 13 106 82 94 24 14 74 98 86 24 15 84 108 96 24 16 105 85 95 20 17 87 85 86 2 18 92 84 88 8 19 105 91 98 14 20 101 79 90 22 21 92 88 90 4 22 100 96 98 4

60

70

80

90

100

110

120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

UCL=117,83

LCL=66,63

Figura A8.1.a Gráfico X para la viscosidad (Caso práctico 2)


05

101520253035404550

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

UCL=44,59

Figura A8.1.b Gráfico R para la viscosidad (Caso práctico 2)

No hay puntos fuera de los límites de control, lo que constituye una buena noticia. El gráfico R tiene un aspecto satisfactorio en cuanto que pone de manifiesto una cierta estabilidad en la diferencias entre las muestras del mismo lote, aunque las diferencias halladas son muy grandes para una tole-rancia de 30 segundos. Está claro que habrá que revisar la tolerancia o mejorar la homogeneidad de los lotes.

El gráfico X presenta una pauta que extraña al responsable de I+D, porque el proceso le parece de-masiado controlado. Las fluctuaciones de la media no ocupan más que una tercera parte de la banda determinada por los límites de control. Parece como los límites fueran de un proceso distinto, con mayor variabilidad.

REFLEXIONES:

¿Cómo puede ser que las fluctuaciones de un proceso sean tan pequeñas en relación a la banda de control? Si los límites se han calculado con los mismos datos con los que se ha trazado el gráfico, ¿no deberían reflejar la variabilidad de estos datos?


El responsable de I+D no entiende muy bien lo que sucede y decide pedirle ayuda al responsable de Calidad. Este le hace notar que los subgrupos no pueden formarse de cualquier manera, sino de acuerdo con unas reglas. Opina que los subgrupos formados de este modo no tienen sentido, ya que las observaciones que integran un subgrupo deben corresponder a unidades distintas, de modo que cada una puede ser conforme o no, independientemente de que lo sean las restantes. En este estu-dio, por el contrario, las diferencias entre las observaciones del mismo subgrupo se deben a errores del proceso de medida (entendiendo como tal la secuencia formada por la extracción de una muestra y la medida de su viscosidad). En su opinión, la noción de subgrupo tiene sentido cuando el producto está formado por unidades, pero no en el caso de materiales continuos como los productos quími-cos. Le pide unos días para repasar la documentación de que dispone sobre el tema, pues cree re-cordar que existe un método específico para calcular los límites de control sin necesidad de agrupar los datos formando subgrupos.


REFLEXIONES:

¿Tiene razón el responsable de Calidad y los límites de control calculados de esta forma no tienen sentido? ¿Solamente los límites de la media carecen de sentido, o también los del gráfico R? ¿El problema está el diseño del estudio o sólo en los cálculos que se han hecho para obtener los límites de control?


Transcurridos unos días, el responsable de Calidad confirma que, efectivamente, hay un método para calcular límites de control para procesos en los que se dispone de una sola observación para cada inspección. Los gráficos de control correspondientes se denominan gráficos X, o gráficos de observa-ciones individuales, y pueden ser usados para los procesos en batch.

El procedimiento de cálculo de los límites de control en este caso se puede resumir como sigue. Se recoge una serie de datos de una variable X, por ejemplo de 22 lotes consecutivos, un dato por lote. A partir de esta serie se forma la serie de recorrido móvil, MR, en la que hay 21 observaciones, que son las diferencias absolutas (sin signo) entre lotes consecutivos. Se calculan la media x de las 22 observaciones de la variable X y el recorrido móvil medio MR , que es la media de los 21 valores de la serie de recorrido móvil, y se usa una fórmula similar a la que se aplica cuando efectivamente hay subgrupos:

UCL 2.66 ; LCL - 2.66x MR x MR= + =

REFLEXIONES:

¿Por qué ahora los recorridos que se usan para calcular la anchura de la banda de control son dife-rencias entre las viscosidades medias (duplicados), mientras que antes eran diferencias entre deter-minaciones individuales?


Para aclarar el procedimiento, deciden construir un gráfico de control para la viscosidad, calculando los límites de esta forma y aprovechando los datos del estudio ya realizado. Usan como variable X la media de las viscosidades de las dos muestras de cada lote, considerando que es un valor más fiable que las determinaciones individuales. A partir de la tabla A8.1, preparan una nueva hoja de cálculo para obtener la serie MR, como puede verse en la tabla A8.2. La figura A8.2 es el gráfico X que resul-ta. La banda de control se ha reducido, aunque los límites de control todavía quedan algo lejos. Por otra parte, la anchura de la banda de control es menor que la tolerancia, lo que resulta tranquilizador.


Tabla A8.2 Datos para un gráfico X

Batch Viscosidad media

Recorrido móvil

Batch Viscosidad media

Recorrido móvil

1 95 12 92 6 2 90 5 13 94 2 3 86 4 14 86 8 4 86 0 15 96 10 5 86 0 16 95 1 6 97 11 17 86 9 7 97 0 18 88 2 8 94 3 19 98 10 9 90 4 20 90 8 10 97 7 21 90 0 11 98 1 22 98 8

70

80

90

100

110

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

UCL = 104.8

LCL = 79.7

Figura A8.2 Gráfico X para la viscosidad media

El responsable de I+D desearía resumir la información contenida en el gráfico de la figura A8.2 dando un valor medio y una desviación estándar. La desviación estándar corresponde a la fórmula

( )2--1ix x

sn

= ∑

Estos valores pueden obtenerse fácilmente en la hoja de cálculo a partir de los datos de la tabla A8.2. Los resultados obtenidos son

92,2; 4,56x s= = Aquí hay algo que no le cuadra al responsable de I+D. La media 92,2 coincide con el valor asociado a la línea central en el gráfico de la Figura A8.2, pero la anchura de la banda de control en el gráfico debería coincidir con 6s = 27,33, si los límites se calculan usando la fórmula habitual en los métodos SPC. Sin embargo la diferencia entre los límites de control del gráfico es

104,8 79,7 = 25,1


El responsable de Calidad le aclara que, efectivamente, los límites de control en el gráfico de la figura A8.2 se han obtenido según la regla µ± 3σ, pero el valor de σ que se ha usado no ha sido el que él supone, sino el obtenido a través de la fórmula:

2

MRd

σ =

en la que la constante d2 se extrae de la tabla de constantes de los gráficos de control, tomando n = 2. Así,

4,71 4,17.1,13

= =σ

Esta fórmula alternativa proporciona también un valor estimado de la desviación típica y la diferencia entre ambas estimaciones no es relevante, según el responsable de Calidad.

REFLEXIONES:

¿Tiene razón el responsable de Calidad y la diferencia hallada entre ambos valores de σ no tiene relevancia? ¿Por qué se usan dos fórmulas distintas, que dan resultados distintos, para calcular lo mismo?

El responsable de Calidad le explica que, para el caso de observaciones individuales, también existe un gráfico de recorridos, denominado gráfico MR, o gráfico de recorrido móvil. La línea central se asocia al recorrido móvil medio y el límite de control se calcula usando la constante D4 = 3,27 de la tabla de constantes, correspondiente a n = 2,

UCL 3,27 MR=

Para ilustrar la explicación, le presenta el gráfico MR de la figura A8.3. Confiesa que él no ve muy claro cuál es el interés del gráfico MR, y cree que no les va a ser de utilidad. Opina que lo más prácti-co sería usar un gráfico de observaciones individuales para el seguimiento de las características críti-cas de aquellos productos para los que se crea interesante, con los gráficos de control calculados a partir del recorrido móvil medio y prescindir de los gráficos MR.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

UCL = 15.42

Figura A8.3 Gráfico MR para la viscosidad media


REFLEXIONES:

¿Es cierto, como dice el responsable de Calidad, que el gráfico MR no tiene interés en una situación como ésta?


El responsable de Producción está de acuerdo en lo que se refiere al gráfico MR. En lo referente al gráfico X, considera que el gráfico de la figura A8.2 solamente le sirve para comprobar la estabilidad del proceso de fabricación del producto en lo que se refiere a la viscosidad del producto, pero que los límites de control sólo pueden aplicarse a un promedio de las viscosidades de dos muestras y no a una determinación individual, que es a lo que se refiere la especificación del producto.

El responsable de Calidad está de acuerdo y le propone que hagan una prueba para ver qué resulta-ría de usar los valores individuales de viscosidad para los gráficos X. En la prueba usan la segunda columna de la tabla A8.1, en la que hay 3 lotes fuera de especificación (viscosidad inferior a 80), co-mo serie X, y preparan la correspondiente hoja de cálculo, que puede verse en la tabla A8.3.

Tabla A8.3 Datos para el gráfico X de la viscosidad

Batch Viscosidad Rec. móvil Batch Viscosidad Rec. móvil 1 98 12 86 17 2 82 16 13 106 20 3 94 12 14 74 32 4 70 24 15 84 10 5 86 16 16 105 21 6 102 16 17 87 18 7 98 4 18 92 5 8 94 4 19 105 13 9 97 3 20 101 4 10 79 18 21 92 9 11 103 24 22 100 8

50

70

90

110

130

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

UCL = 129.7

LCL = 55.3

Figura A8.4 Gráfico X para la viscosidad


La Figura A8.4 es el gráfico X correspondiente, en el que los límites de control se han calculado por el mismo método que en la Figura A8.2. No hay puntos fuera de control, pero la banda de control tiene una anchura que excede del doble de la tolerancia. La media y la desviación estándar son

92,5, 10,32x s= =

Si se mantiene la idea inicial de fijar los límites de tolerancia a partir de los límites de control, se ob-tiene una tolerancia:

129,7 56,3 = 74,5

En cambio, si se usa la fórmula 3x s± , resulta 6s = 61,93

Tras todo este trabajo, el responsable de I+D ha llegado a las conclusiones siguientes:

• Utilizará los gráficos de control como había previsto inicialmente, pero trabajando con observa-ciones individuales.

• Se limitará a los gráficos X, dejando de lado los gráficos MR.

• Usará los límites de control para definir límites de tolerancia. Cuando hacerlo de este modo sea incompatible con lo que requieren los clientes, deberá mejorarse el proceso, reduciendo la varia-bilidad.

REFLEXIONES:

¿Son correctas estas conclusiones?


Sin embargo, hay algunas cosas que no acaban de cuadrar. En primer lugar, sigue viendo los datos del proceso demasiado lejos de los límites de control. De hecho, el recorrido total de los 22 lotes es

R = 106 - 70 = 36

que representa menos de la mitad de la banda de control.

REFLEXIONES:

¿Hay que buscar una explicación a este hecho o se trata sólo de una contradicción aparente, que se produce porque el responsable de I+D no ha entendido bien lo que significan los límites de control?


El responsable de Calidad le dice que no se preocupe, porque estos datos son algo raros desde el punto de vista de la estadística y no responden al comportamiento aleatorio que se da por hecho en los libros de estadística. Como la viscosidad es una característica crítica de este producto, debe co-rregirse cuando no es conforme. Sucede que es fácil rebajar la viscosidad, añadiendo un componente que aumenta la fluidez del producto, pero no es sencillo aumentarla. Por esta razón se ha diseñado el proceso de forma que la viscosidad salga más alta de lo previsto por I+D. Cuando el resultado obteni-do en el control de calidad supera 110 segundos, que es el límite de tolerancia superior, se rebaja la


viscosidad, y por esta razón no hay valores por encima de 110. En cambio, cuando es inferior a 80 segundos, siempre se analiza otra muestra, para ver si el resultado del segundo análisis es conforme, que es lo que ha pasado con los lotes 4, 10 y 14, que se han dado como buenos.

El responsable de I+D admite que su desconocimiento de los entresijos de la producción representa una dificultad a la hora de establecer la especificación de un producto, pero insiste en que las diferen-cias de viscosidad entre muestras diferentes del mismo lote representan un problema que se debe intentar resolver en lugar de convivir con él, que es lo que se viene haciendo con este apaño de la segunda muestra. Si no puede mejorarse la homogeneidad, debe ampliarse la tolerancia del produc-to.

REFLEXIÓN FINAL:

¿Son correctas las conclusiones a las que ha llegado el responsable de I+D? ¿Añadiría Vd. algo más?

Módulo 4. Control metrológico 163

Módulo 4. Control metrológico


Capítulo 2. Conceptos fundamentales

2.1 Control de un proceso de medida

2.2 Exactitud

2.3 Calibración y patrones

2.4 Incertidumbre

2.5 Expresión del sesgo y la imprecisión

Capítulo 3. Plan de control metrológico

3.1 Planteamiento general

3.2 Requisitos metrológicos

3.3 Plan de control metrológico

3.4 Procedimientos de control metrológico

3.5 Registros del control metrológico

Capítulo 4. Calibración

4.1 Obtención del sesgo

4.2 Factores de calibración

4.3 Recta de calibración

Capítulo 5. Estudios de precisión

5.1 Consideraciones previas

5.2 Cálculos con varianzas

5.3 Componentes de imprecisión

5.4 Repetibilidad y reproducibilidad


1. INTRODUCCIÓN

Este módulo trata sobre el control metrológico en la industria, en el contexto de la gestión de la cali-dad. El control metrológico, que es uno de los componentes de un sistema de calidad, recibe distintos nombres en la literatura sobre gestión de la calidad, como control de los equipos de medida, en la versión de 1994 de la norma ISO 9001, control de los dispositivos de seguimiento y medición, en la versión actual (2000), o sistema de gestión de las mediciones, en la ISO 10012. La expresión análisis del sistema de medida, que aparece en las normas de la industria de automoción (v. ISO 16949 o MSA, 1995), está ligada también al control metrológico.

En estas notas, llamamos control metrológico al control de los procesos de medida de una organiza-ción, sea una industria, un laboratorio de análisis clínicos, un hospital, etc., usando la expresión pro-ceso de medida'', en lugar de equipos de medida'', para recalcar que el control no se limita a unos objetos materiales, sino también a los métodos usados y a las personas que intervienen. Definiremos formalmente estos conceptos en el capítulo 2.

En los diferentes modelos de gestión de la calidad (ISO 9001, ISO 16949, etc.) se hallan requisitos de control metrológico que tienen una importancia mayor o menor según la complejidad de los procesos de medida de la empresa. En estas notas presentamos los conceptos metrológicos fundamentales y algunas ideas sobre cómo organizar el control metrológico de forma práctica, garantizando el cumpli-miento de los requisitos del correspondiente modelo, pero evitando procedimientos complejos y difíci-les de mantener. Nos centramos en los requisitos de la norma ISO 9001, teniendo presente que el modelo de la norma ISO 16949, es de aplicación para los proveedores del sector de automoción.

Así pues, el objeto de estas notas es doble:

• Facilitar la comprensión de los requisitos de control metrológicos incluidos en la norma ISO 9001 sobre los sistemas de calidad.

• Dar algunas recomendaciones de carácter práctico sobre el modo de realizar dicho control.

Ya hemos hablado en el módulo 1 de la gestión de la calidad, y por lo tanto nos limitaremos aquí a los requisitos de carácter metrológico, y con especial detalle al elemento 7.6 de la versión vigente (2000) de la norma ISO 9001, relativo al control de los dispositivos de seguimiento y medición.

Tal como los establece la norma ISO 9001 (en su versión en castellano), los requisitos son:

La organización debe determinar el seguimiento y la medición a realizar, y los dispositivos de medi-ción y seguimiento necesarios para proporcionar la evidencia de la conformidad del producto con los requisitos determinados (véase 7.2.1).

La organización debe establecer procesos para asegurarse de que el seguimiento y medición pueden realizarse y se realizan de una manera coherente con los requisitos de seguimiento y medición.

Cuando sea necesario asegurarse de la validez de los resultados, el equipo de medición debe:

a) calibrarse o verificarse a intervalos especificados o antes de su utilización, comparado con patro-nes de medición trazables a patrones de medición nacionales o internacionales; cuando no existan tales patrones debe registrarse la base utilizada para la calibración o la verificación;

b) ajustarse o reajustarse según sea necesario;

c) identificarse para poder determinar el estado de calibración;

d) protegerse contra ajustes que pudieran invalidar el resultado de la medición;


e) protegerse contra los daños y el deterioro durante la manipulación, el mantenimiento y el almace-namiento.

Además, la organización debe evaluar y registrar la validez de los resultados de las mediciones ante-riores cuando se detecte que el equipo no está conforme con los requisitos. La organización debe tomar las acciones apropiadas sobre el equipo y sobre cualquier producto afectado. Deben mante-nerse registros de los resultados de la calibración y la verificación (véase 4.2.4).

Debe confirmarse la capacidad de los programas informáticos para satisfacer su aplicación prevista cuando éstos se utilicen en las actividades de seguimiento y medición de los requisitos especificados. Esto debe llevarse a cabo antes de iniciar su utilización y confirmarse de nuevo cuando sea necesa-rio.

NOTA. -- Véanse la Norma ISO 10012.

Según nuestra experiencia, buena parte de la dificultad para el tratamiento del control metrológico en el contexto industrial reside en el lenguaje que se usa, y creemos oportuno hacer dos consideracio-nes previas. Por un lado, términos que en el lenguaje coloquial son intercambiables (por ejemplo, exactitud y precisión), en el ámbito de la metrología tienen significados perfectamente diferenciados. Por otro, los profesionales de los distintos campos de la metrología (fabricantes de balanzas, de ter-mómetros, profesionales de laboratorio, etc.) no usan una terminología unificada. Hay que observar que tres términos que en la anterior versión de la norma inducían a bastantes confusiones, la incerti-dumbre, la exactitud y la precisión (que en estas notas se discuten a fondo) han desaparecido en la versión actual, donde el lenguaje es más llano: hay que establecer unos requisitos para los dispositi-vos de seguimiento y medida y controlarlos para garantizar que los requisitos se cumplen. Es posible que esta nueva presentación de los requisitos de control metrológico sea más comprensible para los usuarios.

Por otro lado, la norma ISO 9001 remite a los usuarios que necesiten una orientación a las normas ISO 10012-1 e ISO 10012-2. En el 2003 se ha publicado la revisión de la ISO 10012 Sistema de gestión de las mediciones. Requisitos para los procesos de medición y los equipos de medi-ción.

Para facilitar la comprensión, hemos adoptado en estas notas las siguientes directrices:

• Emplear un mínimo de terminología específica, limitándonos a los términos siguientes: exactitud, sesgo, precisión (o imprecisión), resolución, patrón, calibración y ajuste. Es recomendable, en general, a quien tenga que documentar el control metrológico, que adopte alguna medida de este tipo.

• Definir todos los términos usados, dando entre paréntesis la versión en inglés.

• Usar sólo definiciones normalizadas, extraídas de las normas y guías recogidas en la bibliografía. Es posible que alguna de estas definiciones no coincida con las que maneje el lector, o personas con las que haya tenido contacto profesional (clientes, auditores, consultores, etc.). Estas defini-ciones se pueden hallar en el Glosario.

Para entender lo que significan los requisitos de tipo metrológico que hemos reproducido más arriba, puede ser útil el ejemplo siguiente, en cuya presentación se usan algunos términos cuya definición formal vendrá después.


Ejemplo 1

Uno de los productos de un fabricante de papel para envasado de productos alimentarios es un papel recubierto por una capa de cera. Uno de los requisitos de calidad de este producto se refiere al gra-maje (peso por unidad de superficie) de cera La tolerancia (interna) de fabricación es ± 1gr/m2. El gramaje se mide por un procedimiento que consiste esencialmente en pesar una muestra de papel de área especificada, quitarle la cera, y volver a pesar, obteniendo el gramaje de cera por diferencia.

Para esta medida no se dispone de un papel patrón (no existe tal cosa), aunque sí de un juego de pesas patrón para calibrar la balanza (es decir, para evaluar el sesgo). Por otro lado, la imprecisión de la balanza es una componente poco relevante de la imprecisión del método.

En un experimento para explorar la precisión del método, se hacen 6 medidas del gramaje de una muestra de producción (que son pocas para usar de modo fiable las fórmulas estadísticas que vere-mos después, pero suficientes en un experimento exploratorio). Los valores obtenidos son: 12,1, 12,7, 11,6, 11,8, 11,5 y 10,7. El recorrido de estos valores (12,7-10,7 = 2,0) coincide con la tolerancia del gramaje. Este experimento sencillo muestra que, de cualquier forma que se establezcan los requi-sitos de medida en este caso, si han de ser coherentes con la tolerancia de fabricación, este proceso de medida no los cumplirá.

NOTA. No hemos considerado en esta discusión si la variabilidad observada en los resultados de medida se debe atribuir a los instrumentos de medida o a la irregularidad del material. Resulta impo-sible en este caso separar una cosa de la otra, ya que el ensayo es destructivo y no se puede repetir sobre el mismo trozo de papel. Por otro lado, tendría poco interés práctico, ya que en el control del proceso de producción la conformidad del producto se establece asignando el valor de gramaje obte-nido a una cantidad mucho mayor de papel, normalmente a bobinas de varios miles de metros, y de lo que se trata es de que esta asignación sea fiable. Probablemente, el problema que se ha detectado no radica en los instrumentos, sino en el método, y es posible que modificando éste de forma que la superficie que se pesa para obtener el gramaje sea mayor, se mejore la precisión de la medida.


2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

2.1 Control de un proceso de medida

Como en otros contextos, en el de control metrológico resulta útil el lenguaje del control de proceso, y se usará con frecuencia en estas notas, en la misma línea del módulo 1. Nos ocupamos en estas notas de los procesos de medida. En un proceso de medida:

• El input es el material cuyo estado se quiere caracterizar mediante un resultado de medida.

• El output es el resultado de la medida.

• Las actividades están reguladas por procedimientos y consisten en usar de una cierta forma ins-trumentos de muestreo, de medida, reactivos, patrones, etc.

Podemos imponer requisitos de calidad a un proceso de medida, del mismo modo que a un proceso de producción o distribución. De esta forma, podemos definir el control metrológico como el conjunto de actividades que se llevan a cabo para garantizar que los procesos de medida cumplan los requisi-tos establecidos para ellos. En una industria, estos requisitos son consecuencia del papel que tienen los procesos de medida en el plan de control de la producción. Es, por tanto, el usuario quien debe establecerlos, en función de las prestaciones que requiera el control de la producción.

NOTA. La expresión proceso de medida es cómoda para discutir estas cuestiones. En el glosario del VIM se define proceso de medida como un conjunto de informaciones, equipos y operaciones relativos a la medida, mientras que en la norma ISO 10012 es un conjunto de operaciones para de-terminar el valor de una cantidad.

2.2 Exactitud

La exactitud (accuracy) de un resultado de medida es el grado de coincidencia entre ese resultado y un valor de referencia aceptado. La exactitud de un resultado de medida se evalúa mediante el error, que es la diferencia entre el resultado y el valor de referencia. Observa que el valor de referencia, o valor patrón, está implícito en la noción de exactitud. La exactitud siempre se refiere a un valor de referencia. En esta definición (extraída de la norma ISO 5725), se elude mencionar el valor auténti-co, que es una noción bastante etérea para muchas medidas que se hacen en la industria.

La exactitud de un resultado de medida individual se evalúa mediante un único número, el error. Sin embargo, el error no es el mismo cada vez que se realiza la medida (aunque se repita sobre el mismo espécimen). La variabilidad del error hace que sea interesante considerar la medida como un proce-so.

La exactitud de un proceso de medida se puede definir como su aptitud para dar resultados próxi-mos a un valor de referencia aceptado. Dada la variabilidad del error, para evaluar la exactitud de un proceso de medida es conveniente recurrir al lenguaje estadístico. La exactitud de un proceso no siempre se puede evaluar directamente, ya que no se dispone (salvo en casos muy especiales) de especímenes con valores de referencia asignados. Existen patrones, pero son distintos de los espe-címenes que se miden en la aplicación real del proceso de medida (ver ejemplos del final del capítu-lo).

En el modelo clásico, que permite simplificar el examen de la exactitud de un proceso de medida, se descompone el error de medida en dos sumandos: un término constante, llamado sesgo (bias), o error sistemático, y un término variable, llamado error aleatorio,

Error = Error sistemático + Error aleatorio.


El error aleatorio varía de una medición a otra, y es impredecible, aunque se pueden dar límites a su variación, como veremos más adelante. La precisión, que se puede definir como el grado de coinci-dencia entre los resultados de medida obtenidos al repetir la medida, es un concepto que hace refe-rencia a la dispersión del error aleatorio. En estas notas usamos el término precisión en sentido cuali-tativo, y con el término imprecisión nos referimos a una medida numérica de la precisión, es decir, de la magnitud del error aleatorio.

La resolución de un proceso de medida es la menor diferencia que puede obtenerse entre dos resul-tados de medida. Para procesos de medida muy sencillos, que se reducen a la lectura de un instru-mento (por ejemplo, un termómetro), la resolución coincide con la distancia mínima entre dos indica-ciones del instrumento. La conveniencia de utilizar fórmulas estadísticas, como medias y desviacio-nes estándar, para evaluar la exactitud, depende de la resolución, como veremos más adelante.

2.3 Calibración y patrones

Un patrón de medida (measure standard) es algo a lo que podemos asignar un valor de referencia para verificar la exactitud de un proceso de medida. Un patrón puede ser:

• Una medida materializada, como una pesa de 1 Kg, o una resistencia de 100 Ω.

• Un instrumento de medida, como un termómetro patrón.

• Un material de referencia, como el aceite patrón del viscosímetro, o la solución tampón del pH-metro. En general, se llama material de referencia a una sustancia de la cual una o varias propie-dades son lo suficientemente conocidas como para ser usadas en la calibración de un instrumen-to, la evaluación de un método de medida o para asignar valores a materiales (v. ISO Guide 30, 1981).

El valor de referencia asignado al patrón puede ser:

• Un valor certificado, si figura en un certificado u otro documento que acompaña al patrón, y ha sido obtenido por un procedimiento técnicamente válido. La certificación, en este caso, es el procedimiento para establecer, por operaciones técnicamente válidas, valores de una magnitud de un material (v. ISO Guide 31, 1981).

• Un valor documentado por el fabricante del patrón, pero no certificado, ni por éste ni por otro or-ganismo.

• Un valor consenso, si ha sido obtenido a través de un ensayo inter-laboratorios, o por acuerdo entre varios organismos.

• Un valor obtenido por el usuario.

La calibración de un proceso de medida es el conjunto de operaciones que se realizan para estable-cer la relación entre los resultados de medida y uno o varios valores de referencia.

En la práctica, la relación entre los valores de referencia y las lecturas de un instrumento puede pre-sentar formas distintas. Se dan dos situaciones típicas:

• La lectura del instrumento se refiere a la magnitud que se mide, por ejemplo, en una balanza. En este caso, el objeto de la calibración es establecer la diferencia entre los valores de referencia y los valores indicados por el instrumento en el intervalo de trabajo, es decir, obtener un sesgo para cada valor de referencia.


• Cuando la lectura se refiere a una magnitud diferente de la que se quiere medir, el objeto de la calibración es establecer la relación matemática entre ambas magnitudes. Por ejemplo, en un vis-cosímetro capilar se mide el tiempo que tarda en pasar un fluido entre dos señales de un tubo, que se multiplica por un factor para obtener la viscosidad, y la calibración es la operación que permite obtener este factor. En otros casos, por ejemplo en un espectrofotómetro, la relación es más compleja, y debe hallarse una ecuación lineal (la recta de calibración).

Esta definición de calibración no se aplica sólo a instrumentos de medida (por ejemplo, a una balan-za), sino a procesos en los que intervienen instrumentos de medida, aparatos auxiliares y personas. Por ejemplo, la calibración del viscosímetro capilar es, en realidad, la calibración del sistema formado por: a) el propio instrumento, b) el baño termostático, con su termómetro, c) el cronómetro, y d) la persona que acciona el cronómetro.

En el lenguaje ordinario (y a veces en la documentación que acompaña a los instrumentos de medi-da), se confunden la calibración de un instrumento de medida y el ajuste, que es una operación que se realiza sobre el instrumento para eliminar el sesgo. El ajuste es una medida correctiva, que no siempre se aplica aunque el sesgo sea diferente de cero y, por tanto, no toda calibración va seguida de un ajuste. Mantendremos en estas notas la diferenciación entre ambos conceptos (que ya hace la norma ISO 9001).

La calibración de un patrón tiene por finalidad asignarle un valor de referencia, o establecer la vali-dez de una asignación previa. Por ejemplo, enviamos una pesa de 1 Kg a un laboratorio acreditado para su calibración y nos la devuelven con un certificado que establece que su peso es 1007 g. Se incluye con frecuencia en el certificado una evaluación de la incertidumbre (ver definición en la sec-ción siguiente) de esta asignación, que se llama, a veces, incertidumbre del patrón.

2.4 Incertidumbre

En general, el término incertidumbre (uncertainty) se asocia a la proximidad mayor o menor de los resultados de medida a un valor auténtico o verdadero. En el contexto de la metrología profesional, es un parámetro que informa sobre la magnitud de las diferencias que cabe esperar entre los resulta-dos de medida y el valor auténtico y, por tanto, sobre la exactitud. Este término, fuente de frecuentes confusiones, ha desaparecido en la última revisión de la norma ISO 9001.

En el contexto del control de la calidad en la industria, no obstante, el manejo de esta noción presenta algunos problemas:

• El significado del valor auténtico en algunas mediciones que se hacen en la industria no está claro (en especial en ciertos sectores de la industria de proceso, como el textil).

• No hay consenso sobre la forma de expresar la incertidumbre (v. GUM, 1995).

• Al adoptar fórmulas extraídas de la documentación técnica que acompaña a los instrumentos de medida o a los certificados de calibración, se produce un malentendido bastante frecuente en el aseguramiento de la calidad: se evalúa la incertidumbre de una calibración en la que las medidas se efectúan sobre un patrón, en lugar de la incertidumbre de las medidas que forman parte del control de la calidad. Esta última incertidumbre, que es la que interesa al aseguramiento de la ca-lidad, puesto que cuestiona la conformidad del producto verificada en la inspección, es en mu-chos casos, significativamente mayor que la primera, por la intervención de factores como el muestreo, la irregularidad de la superficie del producto, la falta de uniformidad, etc. (v. Ejemplos 2 y 3).

En estas notas proponemos una aproximación bastante transparente y sencilla de llevar a cabo en la práctica (ésa es al menos, nuestra experiencia), que consiste en:


• Renunciar a condensar en un único parámetro (la incertidumbre) la información sobre los errores de medida, considerando en su lugar dos parámetros, sesgo e imprecisión.

• No usar el término incertidumbre más que en sentido cualitativo.

2.5 Expresión del sesgo y la imprecisión

Para evaluar la exactitud de un proceso de medida, consideremos una variable X cuyos valores sean los resultados de medida obtenidos ejecutando el proceso sobre un espécimen fijo. Si admitimos que X tiene distribución normal (v. Apéndice A6), lo que representa una aproximación satisfactoria para lo que pretendemos, esto es, dar una descripción estadística de la exactitud, podemos evaluar la exacti-tud del proceso mediante dos parámetros estadísticos:

• La diferencia entre la media y el valor de referencia es el sesgo.

• La desviación estándar proporciona una evaluación de la imprecisión.

No obstante, no siempre son útiles las fórmulas estadísticas para evaluar la exactitud. Para verlo, imaginemos la siguiente situación: aplicamos repetidamente un determinado proceso de medida so-bre un mismo espécimen, obteniendo una colección de resultados. Entonces:

• Si todos los resultados son iguales, no hacen falta fórmulas estadísticas: hay o no hay sesgo, y no tiene sentido hablar de precisión (a veces se dice que la imprecisión es inferior a la resolu-ción).

• Si se obtienen resultados distintos, tiene sentido usar fórmulas estadísticas derivadas de la distri-bución normal cuando el número de valores distintos sea alto. En este caso es útil sustituir X, que es discreta (ya que el proceso tiene una resolución dada), por una variable continua.

¿A partir de qué punto tiene sentido el uso de medias y desviaciones estándar para evaluar la exacti-tud? No hay ninguna norma que regule esta cuestión, por lo que sólo podemos recomendar, a título privado:

• Usar las fórmulas estadísticas (media y/o desviación estándar) a partir de una imprecisión igual a 5 veces la resolución. En caso contrario, hacer una estimación directa (v. Ejemplo 2).

• Mantener una cierta cautela al usar las fórmulas derivadas de la distribución normal, cuando la imprecisión no sea por lo menos 10 veces mayor que la resolución.

Supongamos que se realiza n veces una medida sobre un patrón. La diferencia entre la media x de los resultados de medida y el valor patrón es un valor estimado del sesgo. Este sesgo estimado es un valor experimental, y si repetimos el experimento (las n mediciones), el valor obtenido será distinto. Dicho de otro modo, el valor del sesgo que hemos obtenido tiene un error. La desviación estándar del error del sesgo obtenido a partir de n medidas es igual a la del error de medida dividida por √n (v. Apéndice). Entonces, si x0 es el valor patrón y σ la desviación estándar en la medida del patrón, po-demos dar límites de confianza del 95% (v. Apéndice) para el sesgo mediante la fórmula

0 2x xnσ

− ±

El segundo sumando de esta fórmula se llama a veces incertidumbre de la calibración o, cuando se calibra un patrón, incertidumbre del patrón.


La imprecisión de un proceso de medida puede evaluarse directamente, cuando es pequeña (respec-to a la resolución), o mediante una fórmula estadística. No hay un método normalizado para cuantifi-car la precisión, por lo que conviene aclarar cuál se usa. Todas las expresiones numéricas de la pre-cisión, salvo en casos de baja resolución, están basadas en una desviación estándar σ. Citamos a continuación algunas variantes.

• Con el valor de σ

• Con el valor 2σ, de modo que ±2σ define (aproximadamente) un intervalo de confianza del 95%

• Con el valor 2,8σ, que corresponde (aproximadamente) a un límite del 95% de confianza para la diferencia absoluta (sin signo) de dos medidas independientes. Este es el sistema establecido por la norma ISO 5725, usado en las normas ASTM y, por la IUPAC, para evaluar la repetibilidad y la reproducibilidad de un método analítico.

• Con el valor 5,15σ (±2,575σ), que corresponde a la longitud de un intervalo de confianza del 99%. Es el sistema recomendado por la norma ISO 16969 del sector de automoción (ver Capítulo 6).

Empleamos en estas notas la expresión ±2σ, dando a σ el valor estimado de que se disponga. La imprecisión la cuantificaremos por 4σ, cuando se compare con una tolerancia.

Ejemplo 2

En una industria química se calibran, por primera vez, tres viscosímetros. El primero es un viscosíme-tro Brookfield LVT DV-I digital, de resolución 0,1 mps. Como patrón se usa un aceite suministrado por Brookfield, con valor de referencia 50 mps. Se mide 10 veces la viscosidad del patrón, obteniendo los valores: 51,3, 50,3, 51,7, 51,5, 50,9, 50,9, 51,8, 50,7, 50,9 y 51,1. La media y la desviación estándar de estos resultados son

51,110; 0,468x s= =

El sesgo estimado es 51,110 - 50 = 1,110. El valor estimado para la desviación estándar del sesgo es

0,468 0,14810

sn= =

Podemos expresar, usando límites de confianza del 95%, el sesgo en la forma 1,110 ± 0,296. La lon-gitud de este intervalo, 2 × 0,296=0,492, es la incertidumbre de la calibración. Observa que el interva-lo de confianza no contiene el cero. Cuando se da esta situación, se dice que el sesgo es estadísti-camente significativo.

El segundo es un viscosímetro RVT DV-I digital, de resolución 1 mps, para el que se usa como patrón un aceite de 500 mps. Se hacen 10 medidas del patrón, obteniendo los resultados: 516, 517, 517, 516, 517, 517, 517, 517, 517, y 517.

Las conclusiones del experimento son:

• El sesgo está comprendido entre 16 y 17 mps.

• No es necesario hacer medidas replicadas para evaluar el sesgo.

Por último, se calibra también un viscosímetro RVT DV-II analógico, de resolución 5 mps, usando otra vez el patrón de 500 mps. Después de 6 medidas, se interrumpe el experimento considerando que no tiene interés proseguir, a la vista de los resultados: 515--520, 520, 515--520, 520, 520, y 515--520. Las conclusiones del experimento son:


• El sesgo está comprendido entre 15 y 20 mps.

• Como antes, las medidas replicadas no son necesarias para evaluar el sesgo.

Ejemplo 3

En una fábrica de tarjetas de plástico magnetizadas se desea evaluar el sesgo y la precisión de un micrómetro que se usa para verificar la altura de tarjetas de plástico. Para una tarjeta típica, los lími-tes de tolerancia son 53,920 y 54,030 mm. Como patrón, se usa una galga con valor nominal 54,991 mm. Se efectúan cinco medidas del patrón, obteniendo los resultados siguientes: 54,995, 54,993, 54,994, 54,996, y 54,994.

Las conclusiones de este primer experimento son:

• El sesgo está entre 0,003 y 0,004 mm.

• La imprecisión (sobre el patrón) es del orden de 0,03 mm.

Para evaluar la precisión de la medida de la altura de una tarjeta se hace un experimento en el que cuatro operarios miden la misma tarjeta cinco veces cada uno (ver Tabla 2.1).

TABLA 2.1 Estudio de precisión del micrómetro (Ejemplo 3)

Operario Resultados Media Varianza

1 53,964 53,960 53,959 53,957 53,956 53,9592 9,7E-06 2 53,953 53,958 53,956 53,957 53,953 53,9554 5,3E-06 3 53,961 53,954 53,952 53,952 53,952 53,9542 1,52E-05 4 53,961 53,957 53,957 53,955 53,953 53,9566 8,8E-06

Las conclusiones del segundo experimento son:

• La imprecisión de la medida sobre el producto es mayor que sobre el patrón (lo que es típico en las medidas dimensionales de materiales deformables).

• Usando la media de las varianzas de los cuatro operarios como valor estimado de la varianza de los errores de medida (v. Apéndice), tenemos s2 = 9,75 × 10-6 y, por lo tanto s = 0,003 mm. Esto da una imprecisión de ±0,006 mm para medidas realizadas por el mismo operario. Puede consi-derarse aceptable la relación

Imprecisión 0,012 10,01%Tolerancia 0,11

= =

• Se observan diferencias entre los resultados obtenidos por los cuatro operarios, aunque éstas no superan el 5% de la tolerancia, por lo que no parecen preocupantes. No obstante, sería oportuno revisar el procedimiento de uso del micrómetro para ver si se puede uniformizar más la manera de aplicarlo.



Se desea ahora evaluar la precisión de un proceso de medida en el que se usa el primero de los vis-cosímetros del ejemplo 2. Se trata de la medida de la viscosidad de una resina. Se efectúan 10 de-terminaciones replicadas de la viscosidad de una muestra. Con el fin de hacer el experimento más completo, se determina la viscosidad a 30 y 60 rpm (el método Brookfield, para un fluido no newto-niano, puede dar resultados distintos, según la velocidad de giro del husillo).

Los resultados obtenidos han sido:

• A 30 rpm: 88, 76, 92, 88, 88, 72, 72, 100, 80, 76. La media es 1 84,00x = y la desviación estándar s1 = 9,43.

• A 60 rpm: 72, 76, 74, 70, 76, 70, 82, 74, 70, 72. La media es 2 73,60x = y la desviación estándar s2 = 3,75.

Las conclusiones del experimento son:

• La imprecisión mayor es en la muestra de producción que en el patrón.

• En algunos casos la imprecisión no depende sólo del instrumento de medida, sino de cómo se use. Así, se obtiene mayor imprecisión a 30 rpm (F = (9,43/3,75)2 = 6,32, v. Apéndice). Recuérde-se que la norma ISO 9001 establece que el seguimiento y medición pueden realizarse y se reali-zan de una manera coherente con los requisitos de seguimiento y medición.


3. PLAN DE CONTROL METROLÓGICO

3.1 Planteamiento general

Como dijimos en la introducción, nuestra intención es presentar un enfoque sencillo y ordenado del control metrológico. Para ello, lo mejor es seguir el desarrollo lógico de la planificación de la calidad, tratando el control metrológico como un caso más de control de proceso que se ejecuta de acuerdo con un plan de control, el plan de control metrológico.

La planificación de la calidad requiere planes de control más o menos formalizados. El objetivo de un plan de control es garantizar que se cumplen unos requisitos (de un producto o proceso). En la mayo-ría de los casos, el plan de control no existe formalmente, sino descompuesto en planes más locali-zados (por ejemplo, un plan de control de producto consta del plan de control de materias primas, el de control de proceso, el de control de producto acabado, etc.). El plan de control incluye el uso de unos dispositivos que, en la norma ISO 9001, son los necesarios para proporcionar la evidencia de la conformidad del producto con los requisitos determinados. El control metrológico debe incluir estos dispositivos, así como los que intervengan en su control (por ejemplo, una balanza que se usa para preparar una disolución patrón).

Un guión lógico para el desarrollo del plan de control metrológico podría ser, siguiendo el hilo de la norma ISO 9001:

1. Establecer el alcance del sistema de calidad. ¿A qué productos afecta?

2. Establecer los requisitos de calidad que deben cumplir los productos afectados por el sistema. ¿Qué atributos? ¿Qué características medibles? ¿Cuáles son los límites de tolerancia?

3. Identificar los dispositivos de seguimiento y medición que proporcionan evidencia de que el pro-ducto cumple los requisitos de calidad (aquí empieza el control metrológico).

4. Establecer los requisitos de seguimiento y medición (metrológicos). ¿Qué resolución deben te-ner? ¿Cuál es el error máximo permitido?

5. Validar (es decir, verificar que cumple los requisitos establecidos) el dispositivo de seguimiento y medición antes de empezar a usarlo.

6. Efectuar el control del dispositivo, mediante unas verificaciones que se realizan de acuerdo con un procedimiento o instrucción de trabajo, para garantizar que sigue cumpliendo los requisitos.

7. Mantener registros de la validación y de las verificaciones posteriores.

Hemos distinguido aquí entre la validación y las verificaciones que forman parte del control (v. defini-ciones en el glosario). La razón de ello es que, normalmente, lo que llamamos aquí validación se hace solamente una vez, mientras que las restantes verificaciones se van repitiendo con una periodi-cidad que se especifica en la documentación del sistema.

3.2 Requisitos metrológicos

Algunos requisitos metrológicos, como la resolución, se aseguran al elegir adecuadamente el disposi-tivo de medida, y se establecen teniendo en cuenta la oferta existente. El requisito fundamental, que afecta a la magnitud de los errores de medida, se puede desglosar en dos, uno relativo al sesgo y otro a la precisión (esa era mi recomendación en el capítulo anterior). Un modo práctico de plantear esta cuestión es establecer un límite para el valor absoluto (sin signo) del error. Usaremos aquí, en


este sentido, la expresión error máximo permisible, extraída de las normas ISO 9000 y 10012 (a veces se usa esta expresión, u otras similares, para referirse a un límite del sesgo o error medio), aunque cualquiera otra que admita una interpretación análoga es adecuada.

Un ejemplo sencillo es el siguiente: considerando la influencia de la temperatura sobre las transfor-maciones que tienen lugar en un proceso químico, un técnico de producción establece que los errores de una sonda de temperatura no pueden superar 1 grado. Entonces el error máximo permisible es 1 grado. Este límite se refiere a todos los errores de medida, no bastando, salvo cuando la precisión es absoluta y el error es constante, con efectuar una sola observación y verificar que el error no supera 1

grado.

Una vez establecido el error máximo permisible, los requisitos de la norma ISO 9001 son indiscuti-bles: hay que garantizar, de forma continuada y con evidencias objetivas (certificados, registros, etc.), que este límite no se supera. El conjunto de las operaciones necesarias para ello se llama con-firmación metrológica. En general, la confirmación metrológica incluye la calibración o la verifica-ción, cualquier ajuste o reparación, la subsiguiente recalibración, la comparación con los requisitos metrológicos del equipo y cualquier sellado o etiquetado.

El error máximo permisible se establece en función de cómo los errores de medida puedan afectar a la conformidad de los productos en cuyos planes de control interviene el equipo. Esta posible influen-cia se puede aclarar mediante un razonamiento teórico o experimentalmente. Dada la variedad de situaciones que pueden darse y las limitaciones que en algunas ocasiones tienen los equipos existen-tes, no hay reglas que establezcan qué porcentaje de la tolerancia establecida para el resultado de medida puede admitirse. El error máximo permisible nunca puede ser inferior a la resolución.

Una vez fijado el error máximo permisible, se comprueba la capacidad del proceso de medida. Es aconsejable separar imprecisión y sesgo. Si no se conoce la precisión, se la puede evaluar experi-mentalmente realizando lo que se denomina un estudio de precisión (v. Capítulo 5). Hay que docu-mentar los estudios de precisión. En la mayoría de los casos, una vez evaluada la precisión y visto que es compatible con el límite de error máximo permisible establecido, no hace falta reevaluarla, salvo que pueda cambiar (desgaste de algún elemento, incorporación de nuevos analistas, etc.).

Una vez se ha comprobado que la precisión es suficiente, debe verificarse el sesgo. Para algunos procesos de medida, la verificación puede hacerse globalmente, pero si no existe un patrón, hay que verificar el sesgo de los distintos instrumentos implicados en el proceso de medida. Hay que notar que la precisión se evalúa sobre una muestra, sea de materia prima o de producto (final o interme-dio), y el sesgo sobre el patrón. Si la precisión es, en ambos casos, del mismo orden, el estudio resul-ta más sencillo.

NOTA. En la norma QS-9000 se dan criterios numéricos para establecer límites para los errores de medida (v. MSA, 1995).

3.3 Plan de control metrológico

Una vez validado el equipo para su uso en el plan de control del producto, el control metrológico con-siste en una serie de verificaciones de que las prestaciones del equipo se mantienen. No existen re-glas generales sobre cómo tienen que hacerse las verificaciones, ya que pueden ir desde una mera limpieza (viscosímetro capilar) a una calibración, y eventual ajuste, cada vez que se conecta el equipo (pH-metro).

La finalidad del control es prevenir, y corregir si es necesario, la degradación de las características metrológicas. En muchos casos, se reduce a una simple verificación periódica del sesgo, ya que la precisión no cambia. La frecuencia de la verificación depende del equipo y del uso que de él se haga.


Una forma sencilla de documentar el plan de control metrológico es mantener una ficha para cada equipo objeto del control, junto con un calendario de actuaciones. Estas fichas pueden integrarse en un único documento o en una base de datos. Un posible contenido de esta ficha sería:

• Código que identifica el equipo

• Descripción del equipo. Se especifica qué clase de equipo es: balanza de laboratorio, termómetro de mercurio, viscosímetro Brookfield, etc.

• Resolución. Conviene especificarla cuando en un mismo centro de producción hay instrumentos de medida de la misma magnitud, pero con distinta resolución. Para algunos equipos (por ejem-plo, un cromatógrafo), no tiene sentido especificar la resolución, ya que depende de la aplicación.

• Uso y ubicación. Dónde se encuentra y para qué se usa.

• Intervalo de trabajo. Los valores medidos se mueven dentro de un intervalo, determinado por los límites de tolerancia establecidos en los planes de control en los que interviene el equipo. En la mayoría de los casos, el equipo puede trabajar fuera de este intervalo.

• Precisión. Siempre que pueda establecerse de forma general e inequívoca, y no dependa de la aplicación.

• Error máximo permisible. Se establece teniendo en cuenta todos los planes de control en que interviene el equipo. Puede variar a lo largo del intervalo de trabajo.

• Procedimiento de calibración y/o control metrológico (código)

• Intervalo de control. Es el máximo período que puede transcurrir entre dos confirmaciones conse-cutivas. Las expresiones frecuencia de control o intervalo de calibración aluden al mismo concep-to.

• Documentación de interés (identificación)

NOTA. En la documentación técnica de la norma QS-9000 se presentan formatos de plan de control de producto que permiten incluir, para cada verificación incluida en el plan de control, información sobre el equipo de medida implicado, con lo que el plan de control de los equipos de medida puede unirse al de producto (v. APQP, 1995).

3.4 Procedimientos de control metrológico

Las directrices generales para el control metrológico pueden establecerse en el manual de calidad o en un procedimiento de carácter general y el modo en que se realiza el control de un equipo indivi-dual, en un procedimiento particular.

Está bastante arraigada la costumbre de separar los casos en que el control se reduce a operaciones de mantenimiento, como limpieza y sustitución de componentes, de aquellos en que el control incluye la calibración, de forma que hay procedimientos de mantenimiento y procedimientos de calibra-ción. Se trata de una cuestión de orden práctico, que no tiene trascendencia si todo el control lo reali-zan las mismas personas. Lo que sí es aconsejable, en las industrias de proceso donde unos equipos están acoplados a las instalaciones, mientras que otros se encuentran en uno o varios laboratorios, es separar el control de los equipos de proceso y el control de los equipos de laboratorio, ya que ge-neralmente lo realizan personas distintas, con calendarios distintos, puesto que el control de la ins-trumentación de proceso está subordinado a la programación de la producción.


NOTA. Algunos técnicos denominan procedimientos a los procedimientos de carácter general, que no hacen referencia a un equipo o producto concreto, e instrucciones de trabajo a los procedimientos que se refieren a situaciones particulares. Esta terminología ha sido incorporada por la norma QS-9000 (v. QS-9000, 1995). No obstante, en la terminología ISO (v. ISO 9000) cualquier documento en el que se especifica el modo de realizar una actividad es un procedimiento.

El guión de un procedimiento (o instrucción de trabajo) de control de un equipo de medida se puede establecer del siguiente modo:

• Objeto. El control del equipo, con el fin de asegurar que no se supere el límite de error máximo permisible.

• Alcance. Los equipos afectados por el procedimiento.

• Responsabilidades. Hay que especificar quién tiene la responsabilidad sobre el presente docu-mento, quién es responsable de que se realice el control y quién lo realiza.

• Patrones. Si el control incluye calibraciones, se ha de documentar la información relativa a los patrones: la identificación del patrón, su procedencia, las condiciones de conservación, la forma de prepararlo (por ejemplo, para un espectrofotómetro, una disolución patrón) y la caducidad.

• Operaciones. Se describen las operaciones que constituyen el control. En la mayoría de los ca-sos, estas operaciones dan lugar a resultados numéricos (por ejemplo, si hay una calibración). Debe especificarse cómo se obtienen estos resultados, si hay operaciones matemáticas que rea-lizar (por ejemplo, calcular una media para obtener un sesgo).

• Criterio de aceptación. Se especifica el criterio que deben satisfacer los resultados obtenidos (por ejemplo, sesgo menor que 0,1 mm). Si se satisface el criterio, el equipo es conforme, y si no, no lo es.

• Acciones correctivas. Se describen las acciones correctivas que se han de llevar a cabo si el equipo no es conforme. Las más típicas son el ajuste, la sustitución de algún elemento (o de todo el equipo), la limpieza y la reparación.

• Registros. Se indica cómo debe registrarse el control (v. la sección siguiente).

• Identificación del estado de control. Se indica cómo se identifica (por ejemplo, con una etiqueta) el estado de control del equipo. La función de la identificación es evitar el uso de un equipo que ha superado el intervalo de control o que ha resultado no conforme, sin que se haya realizado la per-tinente acción correctiva.

3.5 Registros del control metrológico

En general, un registro es un documento que presenta unos resultados obtenidos o proporciona evi-dencia de alguna actividad realizada. Uno de los requisitos de la norma ISO 9001 es mantener regis-tros del control metrológico. Estos registros y, en general, todos los registros de calidad, pueden reali-zarse sobre papel o soporte informático.

Una posible lista de informaciones a incluir en el registro podría ser la siguiente:

• Identificación del equipo afectado

• Procedimiento de control/calibración (código)


• Fecha de la verificación realizada

• Decisión (conforme/no conforme)

• Identificación del responsable de la verificación

• Acción correctiva (en caso de no conformidad). Se puede incluir información sobre la descripción de la acción realizada, la fecha de la nueva verificación, los resultados obtenidos y la identifica-ción del responsable de la acción

• Fecha de la próxima verificación.


4. CALIBRACIÓN

4.1 Obtención del sesgo

En el capítulo anterior hemos expuesto algunas ideas básicas sobre la organización del control metro-lógico. En éste avanzamos algo más en la descripción de las verificaciones a realizar. Como las veri-ficaciones, su frecuencia y las eventuales acciones correctivas son distintas para cada situación, no es posible hacer una exposición general, por lo que nos limitaremos a considerar algunos ejemplos.

Consideremos en primer lugar un pH-metro, que es un instrumento de gran difusión en la industria de proceso, ya que el pH es una característica sustitutoria bastante habitual. En principio, el pH puede variar entre 0 a 14, pero, en la práctica, en una industria particular, el intervalo de trabajo es mucho más restringido. El pH- metro se calibra frecuentemente, debido a que la mera conexión/desconexión del equipo puede generar un sesgo, y el usuario puede ajustarlo por sí mismo. Cuando no lo consi-gue, una acción correctiva típica es la sustitución de un electrodo.

Los patrones son disoluciones comerciales, cuyos valores de referencia habituales son 4, 7 y 9 (se usa una u otra disolución patrón según el intervalo de trabajo). Si la disolución patrón se prepara a partir de otra más concentrada, los equipos usados en la preparación deben incluirse en el plan de control metrológico.

Si se trata de un pH-metro de resolución 0,1, la imprecisión es, normalmente, de este mismo orden, por lo que no tiene sentido hacer medidas replicadas en la calibración. El procedimiento que resumi-mos a continuación se refiere a este caso. Si la resolución es 0.01, la discusión sería parecida a la del viscosímetro Brookfield (v. Ejemplo 2).

El procedimiento de control del equipo debe contener:

• La descripción de los patrones y la manera de prepararlos

• Las operaciones a realizar para medir el pH de la disolución patrón con ese equipo (a menos que se describan en otro lugar).

• El criterio de aceptación para el resultado obtenido (por ejemplo, el error obtenido al medir el pH de la disolución patrón no debe superar 0,1).

• La forma de ajustar el equipo

• Otras posibles acciones correctivas

• Dónde se registra la verificación realizada

• La frecuencia con que se efectúa la verificación

• El modo de identificar el estado de control


Usaremos ahora el primero de los viscosímetros del ejemplo 2 para ilustrar el modo en que se esta-blecen, en distintas situaciones, el criterio de aceptación y el número de medidas replicadas. Para el resto del procedimiento puede servir el guión dado para el pH-metro, salvo en lo referente al ajuste, que, en este caso, exige una cierta especialización.


• Situación 1. Supongamos que el error admisible fijado para la medida de viscosidad de un pro-ducto es 10 mps, y que la imprecisión de la medida de viscosidad del producto es ±6 mps (una suposición realista, según lo que se vio en el capítulo 2, donde obtuvimos s = 3,75 mps a 60 rpm). Entonces el sesgo no puede superar 4 mps (10 6 = 4). Como la precisión en la medida de la viscosidad del patrón puede estimarse como ±1 mps (en el capítulo 2 obtuvimos s = 0,468 mps), puede limitarse la verificación a realizar una medida de viscosidad del patrón, y el criterio de aceptación a que el error de esa medida no supere 3 mps.

• Situación 2. Supongamos que el error admisible es 5 mps y la imprecisión ±3 mps. Entonces el sesgo no puede superar 2 mps. Podemos hacer 4 medidas replicadas e imponer como criterio de aceptación que el sesgo obtenido (media de los 4 errores) no supere 1,5 mps, ya que los límites de confianza para el sesgo son:

1Sesgo obtenido Sesgo obtenido 0 54

,± = ±

• Situación 3. Supongamos que el error admisible es 5 mps y la imprecisión ±4 mps. Entonces el sesgo no puede superar 1 mps. Podemos realizar 10 medidas replicadas e imponer como criterio de aceptación que el sesgo obtenido (media de los 10 errores) no supere 0.65 mps, ya que los límites de confianza son:

1Sesgo obtenido Sesgo obtenido 0 3210

,± = ±

• Situación 4. Supongamos que el error admisible es 5 mps y la imprecisión ±5 mps. En este caso, el equipo no es válido para esta aplicación.

Como se ve, el número de replicados y el criterio de aceptación se deciden en función de la magnitud relativa del error admisible y la imprecisión. Cuento menor es la diferencia entre ambos, más se com-plica el procedimiento.

Hemos basado la discusión en la regla:

Sesgo + Imprecisión ≤ Error admisible,

o, si se prefiere:

Error total = Error sistemático + Error aleatorio ≤ Error admisible.

4.2 Factores de calibración

El viscosímetro Cannon-Fenske ya ha aparecido en el capítulo 2. En este caso, la calibración es un experimento cuyo fin es determinar un factor, el factor de calibración, que se usará para transformar tiempos en viscosidades. Una vez determinado el factor, el control 00puede limitarse a limpiar el tubo y verificar su integridad. Como se limpian con frecuencia, los tubos pueden romperse, por lo que se acostumbra a tener varios, cada uno con su factor asociado.

Los patrones son fluidos de viscosidad conocida. Los factores pueden ser distintos para los distintos patrones. Para obtener el factor, se mide varias veces el tiempo de paso del fluido patrón, se calcula la media, y se efectúa la división

Viscosidad patrónFactortiempo medio

=


Para decidir el número de medidas replicadas, se puede razonar como en el apartado anterior. La fórmula para el cálculo de los límites de confianza del factor (la incertidumbre de la calibración) es más complicada, por lo que la obviamos aquí, pero puede hacerse una simulación sencilla para saber cuál sería la magnitud de los errores en la medida de viscosidad originados por los errores en la ob-tención del factor. Para ello basta medir el tiempo de paso varias veces, y traducir las diferencias entre los resultados a unidades de viscosidad.

Es importante también el control del personal que efectúa la medida, ya que, en sentido estricto, el factor sólo es válido para la persona que lo obtuvo.

El procedimiento de control debe incluir:

• La descripción de los patrones y su preparación

• Las operaciones a realizar para obtener el tiempo de paso del fluido patrón (a menos que ya se describan en otro lugar).

• El modo de obtener el factor

• Dónde se registra la calibración

• Limpieza, comprobación y sustitución de los tubos

• Control del personal que realiza las medidas

• Modo de identificar el estado de control

4.3 Recta de calibración

Por último, para ilustrar el caso más complejo, consideramos el caso de un espectrofotómetro, que se usa para determinar el contenido de uno de los componentes de una sustancia. La calibración del espectrofotómetro tiene como fin determinar la función matemática que permite transformar su res-puesta (la absorbancia) en el contenido de ese componente, que, normalmente, es lineal. Su gráfica es la recta de calibración. La calibración es específica para cada análisis en que intervenga el equi-po. Los patrones son disoluciones, normalmente preparadas por el usuario, cuya concentración en el componente que interesa es conocida.

Para determinar los dos parámetros de la recta, se obtienen una o varias veces las respuestas co-rrespondientes a las disoluciones patrón, a las que se aplican las fórmulas de la regresión lineal, tomando como variable X el contenido del componente que interesa en la disolución patrón, y como Y la respuesta del equipo. Estos equipos disponen de software para los cálculos, de modo que el usua-rio no tiene que preocuparse por ellos, ni anotar la ecuación de la recta, salvo si el procedimiento correspondiente prevé hacerlo en el registro de la calibración. En cambio, es importante la disciplina en la realización del experimento, especialmente en la preparación de las disoluciones patrón.

El procedimiento de calibración debe incluir:

• La descripción de los patrones y su preparación

• Las operaciones a realizar para obtener la respuesta del equipo para las disoluciones patrón (a menos que ya se describan en otro lugar)

• La frecuencia de la calibración


• Dónde se registra la calibración

• El modo de identificar si el equipo ha sido calibrado

El control propiamente dicho puede realizarse estableciendo unos límites de tolerancia para los pa-rámetros de una de la recta de calibración de uno de los análisis en los que se use el equipo, o usan-do un patrón de control (check standard). El patrón de control es una sustancia, cuya composición no es importante conocer, para la que se hace la lectura periódicamente (sin traducirla a unidades de concentración). Para esta lectura se establecen límites de tolerancia. Es aconsejable el seguimiento de los resultados durante un tiempo en un gráfico de control, antes de establecer los límites.

Ejemplo 4

Se calibra un espectrofotómetro para la determinación del contenido (ppm) de boro en aguas residua-les. El método está basado en la norma ASTM D-3082-74, y usa un blanco (un espécimen con conte-nido cero) de agua destilada. La calibración se realiza con siete disoluciones patrón, cuyos conteni-dos de boro se presentan en la tabla 4.1, junto a las absorbancias (diferencias patrón menos blanco) obtenidas.

Tabla 4.1 Resultados experimentales

Contenido de boro (X) Absorbancia

(Y) 0,0000 0,000 1,0016 0,049 2,0032 0,077 3,0048 0,120 4,0065 0,163 5,0810 0,200 10,1600 0,423

Los coeficientes de la recta de calibración (Y = a + bX, donde Y es la absorbancia y X el contenido de boro) son

a = 0,0015 b = 0,04128

y la correlación,

r = 0,9991

Esta correlación es satisfactoria (si no se obtiene una correlación muy próxima a 1, el método no es apropiado, o ha habido algún error).


5. ESTUDIOS DE PRECISIÓN

5.1 Consideraciones previas

Para ilustrar la importancia de conocer la precisión de los procesos de medida, consideremos la si-tuación siguiente: se tiene un lote de producto (propio o de un proveedor), sobre una muestra del cual se efectúa una medida, obteniéndose un resultado numérico a partir del cual se toma una decisión (por ejemplo, que el lote pase al estado de disponible para su entrega al cliente). Si se repite todo el proceso, extrayendo otra muestra y midiéndola, se obtiene un resultado diferente, con lo que la deci-sión podría ser también diferente. Esto significa que la imprecisión resta fiabilidad a las decisiones que se tomen a partir de los resultados de medida. La medida en que esto ocurre depende, en gene-ral, de la magnitud relativa de la imprecisión y la tolerancia establecida para la verificación que se está realizando.

Por consiguiente, uno de los requisitos metrológicos debe ser, o incluir implícitamente, la imprecisión máxima permisible. Una sugerencia para establecer este límite es partir de un límite para el cociente

ImprecisiónTolerancia

que da una medida numérica de la capacidad de la medida, parecida al índice de capacidad Cp del control estadístico de proceso. Este límite se establece a priori, por ejemplo, un 10% (sin que esto sea una norma, sino una sugerencia nuestra para quien no sepa por dónde empezar).

Pero ¿es importante conocer con detalle la imprecisión? En la mayoría de los casos, la imprecisión es mucho menor que la tolerancia, por lo que no es importante disponer de una evaluación muy fiable, ya que lo que realmente interesa es tener (y garantizar) la capacidad de medida, más que cuantificar-la. Sin embargo, si la imprecisión supera, por ejemplo, el 10% de la tolerancia, se deben analizar la distintas causas que la originan y tratar de mejorar el proceso de medida. La mejora de un proceso de medida pasa, en muchos casos, por analizar los distintos factores de imprecisión. En este capítulo presentamos un método para hacer este análisis.

En el Capítulo 2, vimos cómo evaluar la precisión a partir de una desviación típica y la regla dada allí se ha usado en varios ejemplos. La desviación típica se puede obtener a partir de la serie de resulta-dos obtenidos repitiendo la medición, o como promedio de desviaciones típicas obtenidas en distin-tos experimentos. Esto último puede hacerse de dos formas diferentes:

• Promediando varianzas. Así se hará en el ejemplo 5.

• Promediando recorridos. Este método es muy intuitivo cuando los cálculos se acompañan con gráficos de control (v. Módulo 3).

5.2 Cálculo con varianzas

Una varianza es una suma de cuadrados dividida por un número, que se llama número de grados de libertad (degrees of freedom). Para una varianza muestral, el número de grados de libertad es igual al número de observaciones menos 1. Si usamos la varianza muestral, s2, como aproximación de la varianza de la población, σ2, el número de grados de libertad es una medida de la calidad de la aproximación, en el sentido de que a partir de ella se pueden obtener límites de confianza para σ2. No profundizaremos aquí en esta cuestión, que es complicada, pero sí presentamos en la figura 5.1, para ilustrar el significado práctico del número de grados de libertad, los límites del 95% para el cociente s/σ en el caso de una distribución normal. Estos límites se pueden obtener usando un modelo mate-


mático llamado distribución chi cuadrado. Se observa que, a partir de un cierto punto, el aumento del coste experimental repercute poco en la calidad de los resultados. Bajo este punto de vista, 10 observaciones serían una opción razonable.

0%

25%

50%

75%

100%

125%

150%

175%

200%

225%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Grados de libertad

Porc

enta

je v

alor

est

imad

o/va

lor r

eal

Figura 5.1 Porcentaje del valor estimado respecto al valor real de la desviación estándar

Una propiedad importante de la varianza es que es aditiva. Si X1, X2, …, Xn son variables indepen-dientes, con varianzas 2 2 2

1 2, , , ,nσ σ σK y 1 2 ,nX X X X= + + +L la varianza de X es la suma

2 2 2 21 2 nσ σ σ σ= + + +L

Los sumandos 2 2 21 2, , , ,nσ σ σL se denominan componentes de la varianza. Obsérvese que lo que se

suma son varianzas y no desviaciones típicas. Algunas aplicaciones de esta propiedad al control me-trológico son las siguientes:

• La desviación típica de la media de n observaciones independientes de una variable con desvia-ción típica σ es .nσ Esto resulta de que la varianza de la suma de las n observaciones es nσ2, por lo que, al dividir por n (o sea, dividir por n2 la varianza), se obtiene una varianza σ2/n para la media.

• Si se hacen dos observaciones independientes, la varianza de la diferencia es 2σ2. Por tanto la desviación típica de la diferencia es 2 .σ Este hecho se usa para calcular los límites de repetibili-dad y reproducibilidad.


• Supongamos k experimentos independientes, en cada uno de los cuales se hacen n observacio-nes de una variable X, siendo las varianzas respectivas 2 2 2

1 2, , , ,ks s sK con n -1 grados de libertad to-das ellas. Entonces, el promedio

2 2 22 1 2 ks s ss

k+ + +

=L

es un valor estimado de la varianza de X, con k(n - 1) grados de libertad.

• Si el error de una medida es la suma de errores independientes debidos a distintos factores que actúan independientemente, 1 2 ,ke e e e= + + +L la varianza del error total es la suma de las va-rianzas de los errores debidos a cada uno de los factores. Un enunciado equivalente sería: la im-precisión total es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

El análisis de la varianza, abreviadamente ANOVA (analysis of variance), es una técnica estadística que consiste en descomponer la variación total de un conjunto de datos en componentes asociadas a distintos factores. Una de las variantes del ANOVA permite obtener valores estimados de las compo-nentes de la varianza. A veces se alude a esta variante como ANOVA de tipo II, para diferenciarlo del de tipo I, que es el que aparece normalmente en los cursos de Estadística que tratan sobre Diseño de Experimentos.

Para poder estimar las componentes de la varianza se debe organizar un experimento según un cier-to esquema o diseño experimental, que se llama diseño jerarquizado, o diseño encajado (nested). Estos diseños son típicos en el estudio de la variabilidad en los procesos industriales, en situaciones en las que se descompone la variabilidad observada en las contribuciones de distintos factores.

Nos limitaremos aquí al caso en de dos componentes. El lector interesado en situaciones más com-plejas puede consultar Box et al. (1978). Supongamos que los factores son A y B, y que, en la se-cuencia de operaciones que constituyen el procedimiento, A actúa primero y B después (por ejemplo, A podría ser la extracción de la muestra y B el análisis). Un diseño experimental k × n para este pro-blema consiste en la obtención de kn resultados, agrupados en k grupos de n observaciones, de for-ma que las diferencias entre resultados de un mismo grupo se atribuyan al factor B, pero las diferen-cias entre resultados de grupos diferentes se atribuyan a ambos factores conjuntamente (por ejemplo, se extraen k muestras, a partir de cada una de las cuales se hacen n análisis replicados).

Supongamos que se han recogido los datos de acuerdo con un diseño k × n. Hay k grupos de n ob-servaciones, cada uno con su media y su varianza (Tabla 5.1).

Tabla 5.1 Resultados de un diseño k×n

Observaciones Media Varianza

x11 x12 ... x1n 1x 21s

x21 x22 ... x2n 2x 22s

... ... ... ... xk1 xk2 ... xkn kx 2

ks

La varianza promedio da un valor estimado de la varianza asociada al factor B, o varianza dentro de los grupos,


2 2 22 1 2 kB

s s ssk

+ + +=

L Para obtener un valor estimado de la varianza 2,Aσ asociada al factor A, se calcula en primer lugar la varianza de las medias de los grupos varianza entre grupos. Una parte de esta varianza, igual a

2 ,B nσ es atribuible al factor B, ya que se ha calculado a partir de datos obtenidos promediando n ob-servaciones que tienen un error con varianza 2.Bσ Por tanto, un valor estimado de 2

Aσ es la diferencia

22

1 2( , , , ) BA k

ss Var x x xn

= −L

Un valor estimado de la varianza total es

2 2 2A Bs s s= +

NOTA. Estas operaciones pueden realizarse con una calculadora de bolsillo que sea capaz de calcu-lar medias y varianzas, o en una hoja electrónica de cálculo. Esta última opción, en la que puede usarse el formato de la tabla 5.1, añadiendo las fórmulas para 2

As y 2Bs , es muy práctica, ya que per-

mite presentar juntos los datos y los resultados del análisis y elimina los errores introducidos por los redondeos. En los libros de estadística, el análisis de la varianza se presenta en una tabla, denomi-nada tabla ANOVA, que aquí hemos obviado para aligerar la exposición.

En un diseño experimental como éste, no sólo hay que fijar las condiciones en las que se recoge ca-da dato, sino también determinar el número de grupos, k, y el número de observaciones por grupo, n. Por un lado, cuanto mayores sean k y n, mejores serán las estimaciones y, por otro, debe limitarse el coste del experimento. Supongamos, por ejemplo, que pensamos hacer 30 mediciones. Las opciones son: 2 × 15, 15 × 2,3 × 10, 10 × 3,5 × 6 y 6 × 5. ¿Cuál es la mejor (en términos estadísticos)? Un va-lor estimado de una varianza es tanto mejor cuanto mayor sea el número de grados de libertad aso-ciado. En un diseño k × k, debemos tener en cuenta lo siguiente:

• 2Bs es el promedio de k varianzas, todas ellas con n 1 grados de libertad, es decir, es una suma

de cuadrados dividida por k(n - 1), que es su número de grados de libertad.

• La varianza entre grupos tiene k - 1 grados de libertad.

El problema está, pues, en mantener un número de grupos alto, para conseguir una buena estimación de 2.Aσ Esta conclusión es importante porque, en muchos casos, el coste de aumentar k es superior al de aumentar n. Los cálculos de la tabla 5.2 muestran que el diseño 15 × 2 es el más adecuado.

Tabla 5.2 Grados de libertad en distintos diseños

Diseño Entre grupos Dentro de grupos

2×15 1 28 15×2 14 15 3×10 2 27 10×3 9 20 5×6 4 25 6×5 5 24


En otro procedimiento, empleado en los gráficos de control, se calculan los recorridos R1, R2, …, Rk, y su media ,R que es el recorrido medio (mean range). Dividiendo el recorrido medio por una cons-tante, que se designa por d2 y que depende de n, se obtiene un valor estimado de σ. d2 puede hallar-se en una tabla de constantes para gráficos de control (v. Tabla 5.3). Si k es elevado (por ejemplo k > 10), los recorridos se pueden representar en un gráfico de control R, lo que resulta muy intuitivo. El límite de control superior se calcula mediante la fórmula 4 ,UCL D R= en la que D4 es una constante que puede hallarse en la misma tabla de constantes.

NOTA. ¿Qué ocurre si el valor de 2As es negativo? Un valor negativo carece de sentido, ya que una

varianza no puede serlo. Siempre que en un análisis estadístico el valor estimado de una varianza sea negativo, se tiene que interpretar como una indicación de que el modelo usado no es correcto. En este caso, lo que sucede es que la influencia de A no es significativa y para el análisis debemos su-primirlo (el factor, no los datos). Eso no siempre quiere decir que esa influencia no exista, sino que a veces lo que sucede es que no disponemos de suficiente información para evaluarla (k es demasiado bajo).

5.3. Componentes de imprecisión

Los factores que pueden contribuir a la variabilidad de un proceso de medida son numerosos. Entre los más típicos, se pueden citar:

• El personal implicado en la medición

• Los instrumentos de medida y aparatos auxiliares

• El medio ambiente

• La extracción de la muestra

• Las manipulaciones realizadas para preparar el espécimen que se analiza

Naturalmente, cabe esperar una variabilidad mayor cuando las mediciones las hagan personas distin-tas, con instrumentos distintos, en condiciones ambientales distintas, etc., es decir, cuanta más liber-tad se permita a la actuación de estos factores. La evaluación de la contribución de estos factores a la variabilidad total se plasma en unos valores llamados componentes de la varianza. En los estudios de precisión, las componentes de la varianza se asocian a componentes de imprecisión.

Supongamos un proceso en batch en el que se extrae una muestra de cada batch, que se analiza en el laboratorio, obteniéndose un resultado que se registra en un boletín de análisis, que se asocia a ese batch y, en muchos casos, se entrega al cliente. Se considera que la imprecisión de esta medida se debe a la actuación de dos factores, el muestreo (A) y el análisis (B). La componente de impreci-sión B es una medida numérica del grado de coincidencia entre los resultados analíticos obtenidos sobre una misma muestra, mientras que la componente A es una medida del grado de coincidencia entre los resultados medios de muestras distintas extraídas del mismo batch. El diseño experimental para evaluar ambas componentes podría ser el siguiente: se extraen 10 muestras de un batch y se realizan 3 análisis replicados de cada muestra, obteniéndose una tabla de 30 resultados.

Hay que tener en cuenta que el principal beneficio de este experimento no es evaluar la precisión, cosa que puede hacerse con un experimento más sencillo, sino conocer la magnitud relativa de las componentes. Frecuentemente, una es mucho mayor que la otra (v. Ejemplo 5) y su magnitud relativa nos dice cuál de los factores contribuye en mayor grado a la variabilidad del proceso de medida. Este dato es esencial si queremos mejorar la precisión de la medida.


El estudio de tres componentes de la varianza lleva a estudios de mayor coste, que son poco frecuen-tes en la industria, ya que para un proceso de medida complejo, que conste de numerosas operacio-nes, se pueden integrar los distintos factores en dos, ver cuál de ambos tiene una contribución mayor e investigar éste. En cualquier caso, siempre es recomendable un estudio exploratorio para disponer de una primera evaluación de la precisión que permita valorar si vale la pena realizar un estudio de este tipo. En estas notas nos limitamos al caso de dos factores.

Ejemplo 5

Una de las características de una resina sintética es el valor epoxi, que es una medida del grado de polimerización del compuesto que la constituye. Este valor se obtiene mediante una valoración con un reactivo, cuya normalidad se determina en el mismo laboratorio. Se desea evaluar la precisión de la valoración, y se cree que, entre los diversos factores que contribuyen a la imprecisión de la medida, el más decisivo es la valoración del reactivo. En consecuencia, se organiza un experimento según un diseño jerarquizado 10 × 3 con dos factores: la valoración del reactivo (A) y la determinación del valor epoxi (B). Se preparan 10 reactivos, con cada uno de los cuales se hacen tres valoraciones de una muestra de uno de los productos de mayor venta. Los resultados se presentan en la tabla 5.3, a la que se han añadido dos columnas con las medias y varianzas de los triplicados, respectivamente.

Tabla 5.3 Constantes de los gráficos de control

n d2 D4

2 1,13 3,27 3 1,69 2,58 4 2,06 2,28 5 2,37 2,12 6 2,53 2,00 7 2,70 1,92 8 2,85 1,86 9 2,97 1,82 10 3,08 1,78

En primer lugar, se calcula la varianza dentro de los grupos (promedio de la última columna de la tabla), que da 2 0,000020,Bs = y es una estimación de la varianza del análisis. A continuación, se calcu-la la varianza entre grupos (varianza de los valores de la quinta columna de la tabla), que es 0,000153. Restando 2 3Bs a este valor, se obtiene

2 0,0000200,000153 0,0001473As = − =

que es una estimación de la varianza debida a la valoración del reactivo. La varianza total es la suma de las varianzas debidas a ambos factores,

2 0,000147 0,000020 0,000167s = + = Como puede verse, las contribuciones de ambos factores tienen distinto orden de magnitud. El valor estimado de la desviación típica del proceso analítico es, finalmente, s = 0,0129. Este estudio muestra que los intentos de mejorar la precisión del análisis deben encaminarse a reducir la variabilidad gene-rada por la valoración del reactivo.


5.4 Repetibilidad y reproducibilidad

Según la norma ISO 5725, para definir con bastante aproximación la realidad de muchos procedi-mientos de medida, bastan dos medidas extremas de la precisión, la repetibilidad (r) y la reproduci-bilidad (R). La repetibilidad se aplica a las medidas realizadas en condiciones lo más estables posi-ble, con diferencias pequeñas de tiempo, por un mismo operario y con el mismo equipo. Se habla entonces de condiciones de repetibilidad. La reproducibilidad, por el contrario, se aplica a medidas hechas en distintas condiciones (distintos operarios, distintos aparatos, distintos laboratorios, o épo-cas distintas). Para que una expresión de la reproducibilidad sea válida, se deben especificar las con-diciones que pueden cambiar de una medida a otra. Las restantes condiciones, que no se alteran, son las condiciones de reproducibilidad.

Este planteamiento equivale a la descomposición en dos componentes de imprecisión, en la que se consideran dos factores: uno de ellos genera la imprecisión mínima, presente en condiciones de repe-tibilidad, y el otro la imprecisión adicional, obtenida en condiciones de reproducibilidad. Es un plan-teamiento especialmente adecuado para un ensayo inter-laboratorios, en el que los factores corres-ponden, respectivamente, a la variabilidad entre medidas repetidas en el mismo laboratorio y a la variabilidad debida al cambio de laboratorio.

La norma ISO 5725 presenta un método para la evaluación de la repetibilidad y la reproducibilidad de un procedimiento de medida, aplicable en un ensayo inter-laboratorios. La variabilidad debida al factor laboratorio se suma a la variabilidad interna de los laboratorios (repetibilidad) para dar la variabilidad total (reproducibilidad) de la medida. Según la norma, la repetibilidad se evalúa dando un valor por debajo del cual se debe obtener, con una probabilidad especificada (habitualmente del 95%), el valor absoluto de la diferencia entre dos resultados individuales. Para ello se parte de la desviación típica de repetibilidad σr, o desviación típica en condiciones de repetibilidad, y se calcula el límite de repe-tibilidad

2,8 rr σ= que puede usarse para ver si la diferencia entre dos medidas hechas en un mismo laboratorio son significativamente diferentes. La reproducibilidad se evalúa de modo análogo, mediante el límite de reproducibilidad,

2,8 RR s= El método de la norma ISO 5725 coincide básicamente con el propuesto en la norma ASTM E691, que tiene idéntico objeto, y con el recomendado por la IUPAC. En la presentación de los métodos de análisis aceptados por estos organismos, se evalúa la precisión mediante valores r y R.

Módulo 2: Autoevaluaciones 191

Módulo 2: Autoevaluaciones

1. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote de tamaño N=500 con 25 no conformidades si

utilizamos el plan de muestreo n=16 Ac=1?

0,2525 ! 0,8108 ! 0,5147 ! 0,3707 ! .............! 2. ¿Cuál es la calidad de salida media (AOQ) para un lote de N=500 unidades con un 1% de no

conformidades si utilizamos un plan de muestreo rectificativo n=14 Ac=0?

0,043 ! 0,001 ! 0,009 ! 0,9913 ! .............! 3. Dado el plan de muestreo n=11 Ac=1 y el tamaño del lote es N=200. Si el AQL=0.01, indique

cuál es el riesgo α: 0,0052 ! 0,05 ! 0,0062 ! 0,9998 ! .............!

4. ¿Cuál es el LQL del plan de muestreo n=11 Ac=1 si el riesgo es β=0.0606 y el lote de tamaño

N=200? 0,30 ! 0,35 ! 0,20 ! 0,25 ! .............!

5. ¿Cuál es la inspección total media (ATI) si la proporción de unidades no conformes de entrada a almacén es p=0.15, para un plan de muestreo rectificativo n=12 Ac=0, donde el tamaño de los lotes es de N=1000 unidades?

859,51 ! 982,45 ! 928,32 ! 892,45 ! .............!

6.1. Indique el plan de muestreo (para inspección rigurosa) que propone la ISO 2859 1ª parte si queremos inspeccionar lotes de N=50.000 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable (AQL) pactado con el proveedor es de 0,25% de no conformidades.

n=500 Ac=3 ! n=800 Ac=1 ! n=500 Ac=2 ! n=800 Ac=2 ! n=..... Ac=...!

6.2. Con el plan que haya escogido en el apartado 6.1., cuál es la probabilidad de aceptación de un

lote que lleve 0,2% de piezas no conformes:

0,9976 ! 0,9503 ! 0,7576! 0,9197 ! .............!

7. Calcule el riesgo α por un plan doble n1=18, c1=2, n2=25, c2=4 si el nivel de calidad aceptable (AQL) es 0.05, suponiendo que el lote es grande.

0,031 ! 0,0341 ! 0,0251 ! 0,05 ! .............!

8. Dado el plan de muestreo n=12 Ac=1 y el tamaño del lote N=200, si el AQL=0.01, indique cuál es

el riesgo α: 0,043 ! 0,05 ! 0,0062 ! 0,3707 ! .............!

9. ¿Cuál es la calidad de salida media (AOQ) para un lote de N=500 unidades con un 5% de no conformidades si utilizamos un plan de muestreo rectificativo n=13 Ac=1?

0,034 ! 0,043 ! 0,009 ! 0,9913 ! .............!


10. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote de tamaño N=1000 con 150 no conformidades si utilizamos el plan de muestreo n=17 Ac=1? 0,2734 ! 0,8108 ! 0,2525 ! 0,3707 ! .............!

11. ¿Cuál es el LQ del plan de muestreo n=12 Ac=1 si el riesgo β=0.085 y el lote de tamaño N=200?

0,30 ! 0,27 ! 0,20 ! 0,25 ! .............!

12. ¿Cuál es la inspección total mediana (ATI) si la proporción de unidades no conformes de entrada

a almacén es p=0,25, para un plan de muestreo rectificativo n=14 Ac=0, donde el tamaño de los lotes es de N=1.000 unidades?

859,51 ! 982,45 ! 928,32 ! 892,45 ! .............!

13.1Indique el plan de muestreo (para inspección rigurosa) que propone la ISO 2859 1ª parte si queremos inspeccionar lotes de N=70.000 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable (AQL) pactado con el proveedor es de 0,40% de no conformidades.

n=500 Ac=3 ! n=800 Ac=1 ! n=500 Ac=2 ! n=800 Ac=2 ! n=..... Ac=... !

13.2 Con el plan que haya escogido en el apartado 13.1, ¿cuál es la probabilidad de aceptación de un lote que lleve 0,5% de piezas no conformes?:

0,9976 ! 0,9503! 0,7576 ! 0,9197 ! .............!

14. Calcule el riesgo α para un plan doble n1=10, c1=3, n2=12, c2=5 si el nivel de calidad aceptable (AQL) es 0.15, suponiendo que el lote es grande. 0,031 ! 0,0341 ! 0,0251 ! 0,05 ! .............!

15. Dado el plan de muestreo n=20 Ac=1. Si el LQL=0.15, indicar cuál es el riesgo β: 0, 15 ! 0,18 ! 0,10 ! 0,05 ! ............! 16. Dado un plan de muestreo n=15 Ac=2. Si el AQL=0,05, calcule el valor del riesgo α:

0,05 ! 0,04 ! 0,08 ! 0,10 ! ...........! 17. Calcule la calidad de salida media (AOQ) para p=0,10 si utilizamos un plan de muestreo

rectificativo para lotes de N=1.000 unidades y n=20 Ac=1:

0,05 ! 0,04 ! 0,15 ! 0,01 ! ..........! 18. Calcule la Inspección total media (ATI) si la proporción de unidades no conformes de entrada a

almacén es p=0,05, para un plan de muestreo rectificativo n=20 Ac=1, donde el tamaño de los lotes es de N=1000 unidades:

279 ! 980 ! 350 ! 337 ! ............!

19. Calcule el riesgo β para un plan doble n1=15, c1=0, n2=20, c2=1 si el nivel de calidad límite (LQL)

es 0,15. 0,10 ! 0,13 ! 0,15 ! 0,05 ! ............ !


20. Indicar el plan de muestreo (para inspección normal) que propone la ISO 2859 si hemos de inspeccionar lotes de N=2000 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable (AQL) pactado con el proveedor es de 0,15% de no conformidades:

n=125, Ac=3 ! n=125, Ac=0 ! n=315, Ac=1 ! n=80, Ac=0 ! n= , Ac= ! 21. Dado el plan de muestreo n=20 Ac=0. Si el LQL=0,10, indicar cuál es el riesgo β 0, 15 ! 0,18 ! 0,12 ! 0,05 ! ..........! 22. Dado un plan de muestreo n=20 Ac=3. Si el AQL=0,05, calcule el valor del riesgo α:

0,05 ! 0,04 ! 0,02 ! 0,10 ! ...........! 23. Calcule la calidad de salida media (AOQ) para p=0,20 si utilizamos un plan de muestreo

rectificativo para lotes de N=1000 unidades y n=20 Ac=2:

0,05 ! 0,04 ! 0,15 ! 0,01 ! ..........!

24. Calcule la inspección total media (ATI) si la proporción de unidades no conformes de entrada a almacén es p=0,10, para un plan de muestreo rectificativo n=20 Ac=1, donde el tamaño de los lotes es de N=1.000 unidades:

279 ! 617 ! 350 ! 220 ! ............!

25. Calcule el riesgo β per un plan doble n1=20, c1=0, n2=15, c2=1 si el nivel de calidad límite (LQ) es

0,15: 0,10 ! 0,13 ! 0,15 ! 0,05 ! ............ ! 26 Indicar el plan de muestreo (para inspección normal) que propone la ISO 2859 si hemos de

inspeccionar lotes de N=1000 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable (AQL) pactado con el proveedor es de 1% de no conformidades:

n=125, Ac=3 ! n=125, Ac=0 ! n=315, Ac=1 ! n=80, Ac=2 ! n= ...., Ac=.... !



1. En un proceso de fabricación la altura en mm de una pieza sigue una ley normal de media m= 20

y desviación estándar σ= 0,2. Calcule el % de piezas que no cumplirán la tolerancia si los límites de tolerancia son 20,2± 0,5.

16% # 6,9% # 6,7% # 18% # ..............#

2. Cuál es la σ de un proceso de media m=14, Cpk=1,1 y tolerancias TI=11 y TS=16:

0,47 # 0,243 # 0,606 # 1,72 # ................# 3. En un proceso de fabricación la altura en mm de una pieza sigue una ley normal de media m= 22

y desviación estándar σ=0,2. Calcule el % de peces que no cumplirán la tolerancia si los límites de tolerancia son 22,2±0,4.

16% # 6,9% # 6,7% # 19% # ..............#

4. ¿Cuál es la σ de un proceso de media m=12, Cpk=1,4 y tolerancias TI=11 y TS=16?

0,238 # 0,73 # 0,47 # 1,72 # ..............# 5. El diámetro de una pieza de un proceso de fabricación sigue una ley normal. Qué porcentaje de

la fabricación no cumple la tolerancia si las tolerancias son TI= 40 mm TS= 50 mm, el Cp= 1,4 y el Cpk= 0:

0% # 50% # 2% # 1,4% # ............#

6. Calcular el Cpk de un proceso que sigue una ley normal de media m= 40, σ2 =4, Cp= 2 y la

tolerancia inferior es 20:

-1,33333 # 1,33333 # -0.6667 # 0,6667 # ............ # 7. En un gráfico de control u, de una fabricación de tejido, se cogen 20 muestras de 10 m2. Si

u =0,20 defectos/m2 y la muestra 18 tiene 0,60 defectos/m2, podemos decir que

! la muestra18 se encuentra dentro de los límites de control # ! la muestra 18 se encuentra fuera de los límites de control # ! no podemos decir nada sobre la muestra 18 #

.......................................................................... # 8. El punto de un gráfico de control de medias (k= 20 y n=4) correspondiente a la 6a muestra: 3.56,

3.65, 3.72 y 3.62, utilizando las reglas del test de Western Electric de un proceso en X =3.5 mm y σ 2=0.01 mm2 ,se encontrará en:

Zona A # Zona B # Zona C # Más allá de la zona A # .............. #

9. El diámetro de una pieza de un proceso de fabricación sigue una ley normal. ¿Cuál es la media

de los diámetros si un 50% de las piezas son defectuosas por exceso, las tolerancias son TI=30mm TS=40 mm, el Cp=1,3 y el Cpk=0?:

35 # 55 # 30 # 40 # ............#


10. Calcular el Cpk de un proceso que sigue una ley normal de media m=40, σ2 =4, Cp=1 y la tolerancia inferior es 20:

1,33333 # -1,3333 # -0,6667 # 0,6667 # ............#

11. En un gráfico de control u, de una fabricación de tejido, se cogen 18 muestras de 10 m2. Si 0,20u = defectos/m2 y la muestra 18 tiene 0,65 defectos/m2. , podemos decir que

! la muestra 18 se encuentra dentro de los límites de control # ! la muestra 18 se encuentra fuera de los límites de control # ! no podemos decir nada sobre la muestra 18 # ! ............................................................................................ # .

12. El punto de un gráfico de control de medias (k=20 y n=4) correspondiente a la 6ª muestra: 3,45,

3,52, 3,31 y 3,75, utilizando las reglas del test de Western Electric de un proceso con X =3,5 mm y 2σ =0,01 mm2 , se encontrará en:

Zona A # Zona B # Zona C # Más allá de la zona A # .............. €

13. En un gráfico de control con 20 observaciones individuales, x =2,90 y 2S =0,01, utilizando las reglas del Test de Western Electric la 7a muestra 3,15 se encontrará:


14. En un gráfico de control np con 20 muestras de tamaño 25, si p =0,05 cual es la probabilidad de que un punto se encuentre fuera de los límites de control si se asume que el número de no conformidades por muestra sigue la distribución binomial.

0,8729 # 0,1271 # 0,9245 # 0,2642 # .............. €

15. El punto 12 de un gráfico de control de observaciones individuales es 4,54, con 20 puntos, x =4,9 y 2S =0,01, utilizando las reglas del Test de Western Electric se encontrará en:


16. En un gráfico de control np con 20 muestras de tamaño 19, si p =0,05 cual es la probabilidad de que un punto se encuentre fuera de los límites de control si se asume que el número de no conformidades por muestra sigue la distribución binomial.

0,8729 # 0,7547 # 0,2453 # 0,2642 # .............. €

17. Calcular el Cpk de un proceso que sigue una ley normal de media µ= 100, σ =4, Cp= 2 y la TS

es 103:

0,8333 # 0,78 # 0,25 # 3,75 # .............. €

18. Calcular los límites de control de un gráfico de medias, si x =12,3 y R =0,24 (n=3 y k=20). 12,14 y 12,46# 12,12 y 12,48# 12,05 y 12,55# 12,19 y 12,41# .....,...... y............ #


19. La tolerancia de una cota de una pieza es 125mm±0,5. Calcular el porcentaje de piezas de

fabricación que serán defectuosas por defecto si la media del proceso es 225,2 mm y la desviación estándar 0,2 mm.

99,98% # 0,02% # 6,68% # 93,32% # ................. #

20. La tolerancia de una cota de una pieza es 125mm±0,5. Calcular el porcentaje de piezas de fabricación que serán defectuosas por exceso si la media del proceso es 325,1 mm y la desviación estándar 0,2 mm.

97,72 %# 2,28% # 0,13 % # 99,87% # .................. #

21. Calcular el Cpk de un proceso que sigue una ley normal de media µ= 90, σ =4, Cp= 2 y la TS es 93:

0,8333 # 0,78 # 0,25 # 3,75 # .............. €

22. Calcular los límites de control de un gráfico de medias, si x =22,3 y R =0,24 (n=3 y k=20).

22,19 y 22,41# 22,16 y 22,44# 22,05 y 22,55# 22,21 y 12,39 # .....,..... y............ #



Calcular el sesgo y la incertidumbre de la calibración de un equipo de medida de resolución 0,01 cl, donde se han realizado n=10 repeticiones en condiciones de repetibilidad, X =2,30 cl, s2=0,0043, el valor del patrón es 2,33cl ±0,1 ml (para K=2):

1. El sesgo es

0,03 " 0,01 " -0,03 " 0,02 " ........"

2. La incertidumbre de la calibración expresada en ml, en términos de ±2σ es ±0,05247 " ±0,430503 " ±0,416333 " ±0,05132 " ............"

3. En un estudio de repetibilidad y reproducibilidad de un pie de rey, tres operarios han cogido 10

piezas de tolerancia 25±0,9 mm, y se han realizado tres mediciones de cada pieza. Utilizando el método del recorrido y la media se ha obtenido: la variación del equipo EV= 0,42mm, la variación de los operarios AV= 0,16 mm y la variación de las piezas PV= 0,95. El % respecto la tolerancia es:

42,765% " 24,969% " 44,21% " 64,444% " ............ "

Para evaluar la imprecisión de un método de ensayo se han realizado dos series de n=10 valores y se han obtenido s1=0,456 y s2=0,230. Queremos comprobar si las varianzas son estadísticamente diferentes con un riesgo α=0,10:

4. Calcular el valor del estadístico y el valor superior de las tablas F

1,9826 y 3.18 " 3,9307 y 3,18 " 3,9307 y 3.44 " 1,9826 y 3.44 " .......... y ............ "

5. Las varianzas experimentales son:

! Diferentes con un nivel de confianza del 0,90 " ! No hay divergencia entre las varianzas en un riesgo del 0.10 " ! .............................................................................................. "

6. El valor de reproducibilidad de un ensayo de viscosidad es R=18 mps. Se ha realizado un estudio

en dos laboratorios sobre el mismo espécimen y ha resultado 523 mps y 540 mps respectivamente; podemos decir que: ! Las diferencias no son estadísticamente diferentes con un riesgo del 0.05 " ! Se ha de determinar cuál es el valor de repetibilidad " ! Las diferencias son estadísticamente diferentes con una confianza 0.95 " ! ....................................................................... ................... ......................... "

Calcular el sesgo y la incertidumbre de la calibración de un equipo de medida de resolución 0,01 cl, donde se han realizado n=10 repeticiones en condiciones de repetibilidad, X =4,25 cl, s2=0,004, el valor del patrón es 4,23cl ± 0,1 ml (para K=2):

7. El sesgo es

0,03 " -0,02 " -0,03 " 0,02 " ............."


8. La incertidumbre de la calibración expresada en ml, en términos de ±2σ es

0,05247 " 0,416333 " 0,430503 " 0,05132 " ............"

9. El valor de reproducibilidad de un ensayo de viscosidad es R=22 mps. Se ha realizado un estudio en dos laboratorios sobre el mismo espécimen y ha resultado 123 mps y 146 mps respectivamente; podemos decir que:

! Las diferencias no son estadísticamente diferentes con un riesgo del 0,05 " ! Se ha de determinar cuál es el valor de repetibilidad " ! Las diferencias son estadísticamente diferentes con una confianza 0,95 " ....................................................................... ................... ......................... "

10. En un estudio de repetibilidad y reproducibilidad de un pie de rey, tres operarios han cogido 10

piezas de tolerancia 25±0,9 mm, y se han realizado tres mediciones de cada pieza. Utilizando el método del recorrido y la media se ha obtenido: la variación del equipo EV=0,42mm, la variación de los operarios AV= 0,16 mm y la variación de las piezas PV=0,95. El % R&R respecto la variación del proceso es:

42,765% " 24,969% " 44,21% " 64,444% " ............"

Para evaluar la imprecisión de un método de ensayo se han realizado dos series de n=9 valores y se han obtenido s21=0,456 y s22=0,230. Queremos comprobar si las varianzas son estadísticamente diferentes con un riesgo α=0.10:

11. Calcular el valor del estadístico y el valor superior de las tablas F

1,9826 y 3,18 " 3,9307 y 3,18 " 3,9307 y 3,44 " 1,9826 y 3,44 " ......... y ............ "

12. Las varianzas experimentales son:

! Diferentes con un nivel de confianza del 0,90 " ! No hay divergencia entre las varianzas con un riesgo del 0,10 " ! ............................................................................................. "

Un fabricante de envases de productos alimentarios se halla en el proceso de certificación de la ISO 9001. Para determinar los requisitos metrológicos extrae una muestra de producción y realiza 6 medidas repetidas del ensayo del gramaje donde la tolerancia de fabricación es ± 5 g/m2. Los resultados son 13,9; 14,3; 14,2; 14,4; 14 y 14,4.

13. La imprecisión de lassaig expresado en g/m2, en términos de ±2σ es:

±0,94 " ±1,38 " ±0,42 " ±0,09 " ........ "

14. Se puede concluir: La imprecisión del ensayo es coherente con los requisitos metrológicos " La imprecisión del ensayo No es coherente con los requisitos metrológicos " La repetibilidad del ensayo es 1,32 " La reproducibilidad del ensayo es 1,93 " ................................................................. "

Soluciones a las autoevaluaciones 201

Soluciones a las autoevaluaciones

SOLUCIÓN

PREGUNTA MÓDULO 2 MÓDULO 3 MÓDULO 4

1 0,8108 6,7% - 0,03 2 0,009 0,606 ± 0,430503 3 0,0052 16% 24,969% 4 0,35 0,238 3,9307 y 3,18

5 859,51 50% Son diferentes con un nivel de confianza del 0,9

6.1 n= 500 Ac= 2 0,6667 Las diferencias no son

estadísticamente diferentes con riesgo del 0,05

6.2 0,9197 _ _

7 0,0251 La muestra 18 se encuentra fuera de los límites de control 0,02

8 0,0062 Zona B 0,416333

9 0,043 40 Las diferencias son

estadísticamente diferentes con una confianza 0,95

10 0,2525 - 1,3333 42,765 %

11 0,30 La muestra 18 se encuentra fuera de los límites de control 1,9826 y 3,44

12 982,45 Zona C No hay divergencia entre las varianzas con un riesgo del

0,10 13.1 n= 500 Ac= 3 Zona A - 0,03 13.2 0,7576 _ ±0,42

14 0,031 0,1271 La imprecisión del ensayo

es coherente con los requisitos metrológicos

15 0,18 Más allá de la zona A _ 16 0,04 0,2453 _ 17 0,04 0,25 _ 18 279 12,05 y 12,55 _ 19 0,10 0,02% _ 20 n= 80 Ac= 0 2,28% _ 21 0,12 0,25 _ 22 0,02 22,05 y 22,55 _ 23 0,04 _ _ 24 617 _ _ 25 0,05 _ _ 26 n= 80 Ac= 2 _ _

Glosario 203

GLOSARIO

Acción correctiva (ISO 9000) Acción tomada para eliminar la causa de una no conformidad existente u otra situación indeseable.

Acción preventiva (ISO 9000) Acción tomada para eliminar la causa de una potencial no conformidad u otra potencial situación in-deseable.

Ajuste (VIM) Operación destinada a llevar un aparato de medida a una situación en la que no tenga sesgo.

Aseguramiento de la calidad (ISO 9000) Parte de la gestión de la calidad orientada a proporcionar confianza de que se cumplirán los requisi-tos de la calidad.

Auditoría (ISO 9000) Proceso sistemático, independiente y documentado para obtener evidencias y evaluarlas de manera objetiva con el fin de determinar el alcance al que se cumplen los criterios de la auditoria.

Calibración (VIM) Conjunto de operaciones que establecen, bajo condiciones especificadas, la relación entre a) los va-lores indicados por un equipo o sistema de medida, o b) los valores representados por un material de referencia, y los valores correspondientes conocidos de una magnitud.

Calidad (ISO 9000) Facultad de un conjunto de características inherentes de un producto, sistema o proceso para cumplir los requisitos de los clientes y de otras partes interesadas.

Característica (ISO 9000) Rasgo diferenciador.

Característica de la calidad (ISO 9000) Característica inherente de un producto, proceso o sistema, derivada de un requisito.

Característica metrológica (ISO 9000) Rasgo distintivo que puede influir sobre los resultados de la medición.

Certificación (ISO Guide 30) Procedimiento para establecer, por operaciones técnicamente válidas, los valores medidos de una magnitud de un material.


Cliente (ISO 9000) Organización o persona que recibe un producto.

Condiciones de repetibilidad (ISO 5725--1) Condiciones en las que se obtienen resultados de medida independientes, usando el mismo método, sobre material idéntico, en el mismo laboratorio, por el mismo operario, usando el mismo equipo y dentro de un intervalo de tiempo corto.

Condiciones de reproducibilidad (ISO 5725--1) Condiciones en las que se obtienen resultados de medida, usando el mismo método sobre material idéntico, en distintos laboratorios, por distintos operarios, usando distinto equipo.

Confirmación metrológica (ISO 9000) Conjunto de operaciones necesarias para asegurar que el equipo de medición cumple con los requisi-tos para su uso previsto.

NOTA 1 La confirmación metrológica incluye calibración y/o verificación; cualquier ajuste necesario; reparación y posterior recalibración; comparación con los requisitos metrológicos para el uso previsto del equipo de medición; así como cualquier sellado y etiquetado requeridos.

NOTA 2 La confirmación metrológica no se consigue hasta que se demuestra y documenta la ade-cuación de los equipos de medición para la utilización prevista.

NOTA 3 -- Los requisitos relativos a la utilización prevista pueden incluir consideraciones tales como el rango, la resolución, los errores máximos permisibles, etc.

NOTA 4 Los requisitos de la confirmación metrológica normalmente son distintos de los requisitos del producto y no se encuentran especificados en los mismos.

Control de la calidad (ISO 9000) Parte de la gestión de la calidad orientada a la satisfacción de los requisitos de calidad.

Conformidad (ISO 9000) Cumplimiento de un requisito.

Documento (ISO 9000) Información y su medio de transporte.

Eficacia (ISO 9000) Extensión en la que se realizan las actividades planificadas y se alcanzan los resultados planificados.

Eficiencia (ISO 9000) Relación entre el resultado alcanzado y los recursos utilizados.

Ensayo (ISO 9000) Determinación de una o más característica de acuerdo con un procedimiento.

Glosario 205

Equipo de medición (ISO 9000) Instrumento de medición, software, patrón de medición, material de referencia o equipos auxiliares o combinación de ellos, necesarios para llevar a cabo un proceso de medición.

Especificación (ISO 9000) Documento que establece requisitos.

Estructura organizativa (ISO 9000) Descripción de responsabilidades, autoridades y relaciones entre el personal.

Evidencia objetiva (ISO 9000) Datos que respaldan la evidencia o verdad de algo.

NOTA La evidencia objetiva se obtiene por medio de la observación, medida, ensayo u otros me-dios.

Exactitud (ISO 5725--1) Grado de coincidencia entre un resultado de medida y el valor de referencia aceptado.

Gestión de la calidad (ISO 9000) Actividades coordinadas para dirigir y controlar una organización en lo relativo a la calidad.

Incertidumbre (GUM) Parámetro, asociado al resultado de una medición, que caracteriza la dispersión de los valores que pueden ser razonablemente atribuidos a la magnitud medida.

Información (ISO 9000) Datos que poseen significado

Inspección (ISO 9000) Evaluación de la conformidad por medio de observación y dictamen, acompañado cuando sea apro-piado por medidas, ensayos o cálculos.

Límite de tolerancia (ISO 3534) Valor límite (inferior o superior) especificado para una característica medible. Cuando hay un único límite especificado, se le denomina límite simple de tolerancia. Cuando hay dos límites, superior e inferior, se les denomina respectivamente

Manual de la calidad (ISO 9000) Documento que describe el sistema de gestión de la calidad de una organización.


Material de referencia (VIM) Sustancia para la cual una o varias propiedades están lo suficientemente bien establecidas como para calibrar un instrumento o validar un procedimiento de medida.

Mejora de la calidad (ISO 9000) Parte de la gestión de la calidad orientada a mejorar su eficacia y eficiencia.

Método de referencia (ISO Guide 30) Método de medida que ha sido exhaustivamente utilizado y claramente descrito, habiéndose evalua-do su exactitud, y que puede ser utilizado para evaluar la exactitud de otros métodos (y eventualmen-te validarlos) y para asignar valores de referencia.

Muestra (ISO 3534) Uno o más objetos extraídos de una población y destinados a proporcionar información sobre la po-blación y, eventualmente, servir de base para una decisión sobre la población o el proceso que la ha producido.

Muestreo (ISO 3534) El procedimiento usado para seleccionar o constituir una muestra.

No conformidad (ISO 9000)

Incumplimiento de un requisito.

Organización (ISO 9000) Conjunto de personal e instalaciones con un claro establecimiento de responsabilidades, autoridades y relaciones.

Parte interesada (ISO 9000) Persona con un interés o grupo que tenga un interés compartido en el éxito de una organización.

Patrón de medida (VIM) Medida materializada, aparato de medida, material de referencia o sistema de medida destinado a definir, realizar o reproducir una unidad o uno o varios valores de una magnitud para transmitirlos por comparación a otros instrumentos de medida.

Planificación de la calidad (ISO 9000)

La parte de la gestión de la calidad enfocada al establecimiento de los objetivos de la calidad y a la especificación de los procesos operativos necesarios y de los recursos relacionados para cumplir los objetivos de la calidad.

Glosario 207

Política de la calidad (ISO 9000) Intenciones y dirección global de una organización relativas a la calidad tal como se expresan for-malmente por la alta dirección.

Precisión (ISO 5725-1) Grado de coincidencia entre resultados de medida independientes, obtenidos en condiciones prescri-tas.

Procedimiento (ISO 9000) Forma especificada para llevar a cabo una actividad o un proceso.

Proceso (ISO 9000) Sistema de actividades, que utilizan recursos para transformar entradas en salidas.

Proceso de medición (ISO 9000) Conjunto de recursos, actividades interrelacionadas e influencias relativas a una medición.

Producto (ISO 9000) Resultado de un proceso.

Registro (ISO 9000) Documento que proporciona resultados conseguidos o evidencia de actividades efectuadas.

Repetibilidad (ISO 5725-1) Precisión bajo condiciones de repetibilidad.

Reproducilidad (ISO 5725-1) Precisión bajo condiciones de reproducibilidad.

Requisito (ISO 9000) Necesidad o expectativa establecida o habitualmente implícita u obligatoria.

Requisito metrológico (ISO 9000) Requisito para una característica metrológica.

Resolución (VIM) Expresión cuantitativa de la aptitud de un dispositivo indicador para permitir distinguir de modo signifi-cativo entre dos valores próximos de la magnitud indicada.


Revisión (ISO 9000) Actividad formal y sistemática para asegurar la continua conformidad, la adecuación, eficiencia y efi-cacia de la materia objeto de la revisión para alcanzar unos objetivos claramente establecidos.

Sesgo (ISO 5725-1) Diferencia entre la esperanza de los resultados de medida y el valor de referencia aceptado.

Servicio (ISO 9000) Producto intangible resultado de al menos una actividad efectuada en el interfaz entre el suministra-dor y el cliente.

Sistema (ISO 9000) Conjunto de elementos mutuamente relacionados o que actúan entre sí.

Sistema de control de las mediciones (ISO 9000) Conjunto de operaciones necesarias para lograr la confirmación metrológica y el control continuo de los procesos de medición.

Sistema de gestión de la calidad (ISO 9000) Sistema para establecer la política de la calidad y los objetivo de la calidad y para la consecución de dichos objetivos.

Tolerancia (ISO 3534) Diferencia entre los límites superior e inferior de tolerancia.

Trazabilidad (ISO 9000)

Capacidad para seguir la historia, aplicación o localización de todo aquello que está en consideración.

Unidad de muestreo (ISO 3534)

Objeto extraído de la población.

Validación (ISO 9000) Confirmación mediante el examen y la aportación de evidencia objetiva de que se han cumplido los requisitos particulares para una utilización o específica prevista.

Verificación (ISO 9000) Confirmación mediante el examen y la aportación de evidencia objetiva de que se han cumplido los requisitos específicados.

Zona de tolerancia (ISO 3534) La zona de valores en la cual una característica medible es conforme a su especificación.

ÍNDICE 1. Ley de Snedecor F .................................................................................................... 211

1.1. Ley de Snedecor F: P(0,99)................................................................................. 211



2. Función de distribución de la ley Normal............................................................... 214 3. Función de la distribución X2................................................................................... 215 4. Función de la distribución T- Student..................................................................... 216 5. Función de distribución Binomial (Tabla 1) ........................................................... 217 5. Función de distribución Binomial (Tabla 2) ........................................................... 218 5. Función de distribución Binomial (Tabla 3) ........................................................... 219 5. Función de distribución Binomial (Tabla 4) ........................................................... 220 5. Función de distribución Binomial (Tabla 5) ........................................................... 221 5. Función de distribución Binomial (Tabla 6) ........................................................... 222 6. Función de distribución Poisson (Tabla 1)............................................................. 223 6. Función de distribución Poisson (Tabla 2)............................................................. 224 6. Función de distribución Poisson (Tabla 3)............................................................. 225 6. Función de distribución Poisson (Tabla 4)............................................................. 226

Tablas de Estadística 211

1. Ley de Snedecor F

1.1. Ley de Snedecor F: P(0,99) ν1

0,01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 25 30 40 60 1201 4052 4999 5404 5624 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6083 6107 6126 6143 6157 6209 6240 6260 6286 6313 63402 98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39 99,40 99,41 99,42 99,42 99,43 99,43 99,45 99,46 99,47 99,48 99,48 99,493 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,13 27,05 26,98 26,92 26,87 26,69 26,58 26,50 26,41 26,32 26,224 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,45 14,37 14,31 14,25 14,20 14,02 13,91 13,84 13,75 13,65 13,565 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,96 9,89 9,82 9,77 9,72 9,55 9,45 9,38 9,29 9,20 9,116 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,79 7,72 7,66 7,60 7,56 7,40 7,30 7,23 7,14 7,06 6,977 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,54 6,47 6,41 6,36 6,31 6,16 6,06 5,99 5,91 5,82 5,748 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,73 5,67 5,61 5,56 5,52 5,36 5,26 5,20 5,12 5,03 4,959 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,18 5,11 5,05 5,01 4,96 4,81 4,71 4,65 4,57 4,48 4,40

10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,77 4,71 4,65 4,60 4,56 4,41 4,31 4,25 4,17 4,08 4,0011 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,46 4,40 4,34 4,29 4,25 4,10 4,01 3,94 3,86 3,78 3,6912 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,22 4,16 4,10 4,05 4,01 3,86 3,76 3,70 3,62 3,54 3,4513 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 4,02 3,96 3,91 3,86 3,82 3,66 3,57 3,51 3,43 3,34 3,2514 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,86 3,80 3,75 3,70 3,66 3,51 3,41 3,35 3,27 3,18 3,0915 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,73 3,67 3,61 3,56 3,52 3,37 3,28 3,21 3,13 3,05 2,9616 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,62 3,55 3,50 3,45 3,41 3,26 3,16 3,10 3,02 2,93 2,84

ν2 17 8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,52 3,46 3,40 3,35 3,31 3,16 3,07 3,00 2,92 2,83 2,7518 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,43 3,37 3,32 3,27 3,23 3,08 2,98 2,92 2,84 2,75 2,6619 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,36 3,30 3,24 3,19 3,15 3,00 2,91 2,84 2,76 2,67 2,5820 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,29 3,23 3,18 3,13 3,09 2,94 2,84 2,78 2,69 2,61 2,5221 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 3,24 3,17 3,12 3,07 3,03 2,88 2,79 2,72 2,64 2,55 2,4622 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 3,18 3,12 3,07 3,02 2,98 2,83 2,73 2,67 2,58 2,50 2,4023 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 3,14 3,07 3,02 2,97 2,93 2,78 2,69 2,62 2,54 2,45 2,3524 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 3,09 3,03 2,98 2,93 2,89 2,74 2,64 2,58 2,49 2,40 2,3125 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 3,06 2,99 2,94 2,89 2,85 2,70 2,60 2,54 2,45 2,36 2,2726 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 3,02 2,96 2,90 2,86 2,81 2,66 2,57 2,50 2,42 2,33 2,2327 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 2,99 2,93 2,87 2,82 2,78 2,63 2,54 2,47 2,38 2,29 2,2028 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,96 2,90 2,84 2,79 2,75 2,60 2,51 2,44 2,35 2,26 2,1729 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 2,93 2,87 2,81 2,77 2,73 2,57 2,48 2,41 2,33 2,23 2,1430 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,91 2,84 2,79 2,74 2,70 2,55 2,45 2,39 2,30 2,21 2,1140 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,73 2,66 2,61 2,56 2,52 2,37 2,27 2,20 2,11 2,02 1,9260 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,56 2,50 2,44 2,39 2,35 2,20 2,20 2,20 2,20 1,84 1,73

120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47 2,40 2,34 2,28 2,23 2,19 2,03 2,03 2,03 2,03 1,66 1,53


1.2. Ley de Snedecor F: P(0,95)

ν10,05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 25 30 40 60 120

1 161 199 216 225 230 234 237 239 241 242 243 244 245 245 246 248 249 250 251 252 2532 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,40 19,41 19,42 19,42 19,43 19,45 19,46 19,46 19,47 19,48 19,493 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,76 8,74 8,73 8,71 8,70 8,66 8,63 8,62 8,59 8,57 8,554 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94 5,91 5,89 5,87 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,69 5,665 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,70 4,68 4,66 4,64 4,62 4,56 4,52 4,50 4,46 4,43 4,406 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 3,98 3,96 3,94 3,87 3,83 3,81 3,77 3,74 3,707 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60 3,57 3,55 3,53 3,51 3,44 3,40 3,38 3,34 3,30 3,278 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31 3,28 3,26 3,24 3,22 3,15 3,11 3,08 3,04 3,01 2,979 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10 3,07 3,05 3,03 3,01 2,94 2,89 2,86 2,83 2,79 2,75

10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94 2,91 2,89 2,86 2,85 2,77 2,73 2,70 2,66 2,62 2,5811 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82 2,79 2,76 2,74 2,72 2,65 2,60 2,57 2,53 2,49 2,4512 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72 2,69 2,66 2,64 2,62 2,54 2,50 2,47 2,43 2,38 2,3413 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,63 2,60 2,58 2,55 2,53 2,46 2,41 2,38 2,34 2,30 2,2514 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,57 2,53 2,51 2,48 2,46 2,39 2,34 2,31 2,27 2,22 2,1815 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 2,33 2,28 2,25 2,20 2,16 2,1116 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,46 2,42 2,40 2,37 2,35 2,28 2,23 2,19 2,15 2,11 2,06

ν2 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,33 2,31 2,23 2,18 2,15 2,10 2,06 2,0118 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,37 2,34 2,31 2,29 2,27 2,19 2,14 2,11 2,06 2,02 1,9719 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,34 2,31 2,28 2,26 2,23 2,16 2,11 2,07 2,03 1,98 1,9320 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31 2,28 2,25 2,22 2,20 2,12 2,07 2,04 1,99 1,95 1,9021 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,28 2,25 2,22 2,20 2,18 2,10 2,05 2,01 1,96 1,92 1,8722 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,26 2,23 2,20 2,17 2,15 2,07 2,02 1,98 1,94 1,89 1,8423 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,24 2,20 2,18 2,15 2,13 2,05 2,00 1,96 1,91 1,86 1,8124 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,22 2,18 2,15 2,13 2,11 2,03 1,97 1,94 1,89 1,84 1,7925 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,20 2,16 2,14 2,11 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,82 1,7726 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,18 2,15 2,12 2,09 2,07 1,99 1,94 1,90 1,85 1,80 1,7527 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 2,17 2,13 2,10 2,08 2,06 1,97 1,92 1,88 1,84 1,79 1,7328 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,15 2,12 2,09 2,06 2,04 1,96 1,91 1,87 1,82 1,77 1,7129 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,14 2,10 2,08 2,05 2,03 1,94 1,89 1,85 1,81 1,75 1,7030 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,13 2,09 2,06 2,04 2,01 1,93 1,88 1,84 1,79 1,74 1,6840 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,04 2,00 1,97 1,95 1,92 1,84 1,78 1,74 1,69 1,64 1,5860 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,95 1,92 1,89 1,86 1,84 1,75 1,75 1,75 1,75 1,53 1,47

120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 1,87 1,83 1,80 1,78 1,75 1,66 1,66 1,66 1,66 1,43 1,35


1.3. Función de distribución F: P(0,90)

ν10,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 25 30 40 60 120

1 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 59,86 60,19 60,47 60,71 60,90 61,07 61,22 61,74 62,05 62,26 62,53 62,79 63,062 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 9,40 9,41 9,41 9,42 9,42 9,44 9,45 9,46 9,47 9,47 9,483 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 5,22 5,22 5,21 5,20 5,20 5,18 5,17 5,17 5,16 5,15 5,144 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 3,91 3,90 3,89 3,88 3,87 3,84 3,83 3,82 3,80 3,79 3,785 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 3,28 3,27 3,26 3,25 3,24 3,21 3,19 3,17 3,16 3,14 3,126 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 2,92 2,90 2,89 2,88 2,87 2,84 2,81 2,80 2,78 2,76 2,747 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 2,68 2,67 2,65 2,64 2,63 2,59 2,57 2,56 2,54 2,51 2,498 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 2,52 2,50 2,49 2,48 2,46 2,42 2,40 2,38 2,36 2,34 2,329 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 2,40 2,38 2,36 2,35 2,34 2,30 2,27 2,25 2,23 2,21 2,18

10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32 2,30 2,28 2,27 2,26 2,24 2,20 2,17 2,16 2,13 2,11 2,0811 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27 2,25 2,23 2,21 2,19 2,18 2,17 2,12 2,10 2,08 2,05 2,03 2,0012 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 2,17 2,15 2,13 2,12 2,10 2,06 2,03 2,01 1,99 1,96 1,9313 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14 2,12 2,10 2,08 2,07 2,05 2,01 1,98 1,96 1,93 1,90 1,8814 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12 2,10 2,07 2,05 2,04 2,02 2,01 1,96 1,93 1,91 1,89 1,86 1,8315 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 2,04 2,02 2,00 1,99 1,97 1,92 1,89 1,87 1,85 1,82 1,7916 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06 2,03 2,01 1,99 1,97 1,95 1,94 1,89 1,86 1,84 1,81 1,78 1,75

ν2 17 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03 2,00 1,98 1,96 1,94 1,93 1,91 1,86 1,83 1,81 1,78 1,75 1,7218 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00 1,98 1,95 1,93 1,92 1,90 1,89 1,84 1,80 1,78 1,75 1,72 1,6919 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,98 1,96 1,93 1,91 1,89 1,88 1,86 1,81 1,78 1,76 1,73 1,70 1,6720 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94 1,91 1,89 1,87 1,86 1,84 1,79 1,76 1,74 1,71 1,68 1,6421 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95 1,92 1,90 1,87 1,86 1,84 1,83 1,78 1,74 1,72 1,69 1,66 1,6222 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 1,88 1,86 1,84 1,83 1,81 1,76 1,73 1,70 1,67 1,64 1,6023 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92 1,89 1,87 1,84 1,83 1,81 1,80 1,74 1,71 1,69 1,66 1,62 1,5924 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91 1,88 1,85 1,83 1,81 1,80 1,78 1,73 1,70 1,67 1,64 1,61 1,5725 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 1,87 1,84 1,82 1,80 1,79 1,77 1,72 1,68 1,66 1,63 1,59 1,5626 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,88 1,86 1,83 1,81 1,79 1,77 1,76 1,71 1,67 1,65 1,61 1,58 1,5427 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,87 1,85 1,82 1,80 1,78 1,76 1,75 1,70 1,66 1,64 1,60 1,57 1,5328 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,87 1,84 1,81 1,79 1,77 1,75 1,74 1,69 1,65 1,63 1,59 1,56 1,5229 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,86 1,83 1,80 1,78 1,76 1,75 1,73 1,68 1,64 1,62 1,58 1,55 1,5130 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 1,82 1,79 1,77 1,75 1,74 1,72 1,67 1,63 1,61 1,57 1,54 1,5040 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 1,76 1,74 1,71 1,70 1,68 1,66 1,61 1,57 1,54 1,51 1,47 1,4260 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 1,71 1,68 1,66 1,64 1,62 1,60 1,54 1,54 1,54 1,54 1,40 1,35

120 2,75 2,35 2,13 1,99 1,90 1,82 1,77 1,72 1,68 1,65 1,63 1,60 1,58 1,56 1,55 1,48 1,48 1,48 1,48 1,32 1,26


2. Función de distribución de la ley Normal

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,57530,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,65170,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,68790,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,72240,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,75490,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,78520,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,81330,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,83891 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90151,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,91771,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,93191,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,94411,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,95451,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,96331,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,97061,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,97672 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,98572,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,98902,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,99162,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,99362,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,99522,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,99642,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,99742,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,99812,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,99863 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,99933,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,99953,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,99973,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,99983,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,99983,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,99993,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,99993,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,99993,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000


3. Función de la distribución X2

ν p 0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,75 0,5 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,0051 7,879 6,635 5,024 3,841 0,016 1,323 0,455 0,102 0,016 0,004 0,001 0,000 0,0002 10,597 9,210 7,378 5,991 0,211 2,773 1,386 0,575 0,211 0,103 0,051 0,020 0,0103 12,838 11,345 9,348 7,815 0,584 4,108 2,366 1,213 0,584 0,352 0,216 0,115 0,0724 14,860 13,277 11,143 9,488 1,064 5,385 3,357 1,923 1,064 0,711 0,484 0,297 0,2075 16,750 15,086 12,832 11,070 1,610 6,626 4,351 2,675 1,610 1,145 0,831 0,554 0,4126 18,548 16,812 14,449 12,592 2,204 7,841 5,348 3,455 2,204 1,635 1,237 0,872 0,6767 20,278 18,475 16,013 14,067 2,833 9,037 6,346 4,255 2,833 2,167 1,690 1,239 0,9898 21,955 20,090 17,535 15,507 3,490 10,219 7,344 5,071 3,490 2,733 2,180 1,647 1,3449 23,589 21,666 19,023 16,919 4,168 11,389 8,343 5,899 4,168 3,325 2,700 2,088 1,735

10 25,188 23,209 20,483 18,307 4,865 12,549 9,342 6,737 4,865 3,940 3,247 2,558 2,15611 26,757 24,725 21,920 19,675 5,578 13,701 10,341 7,584 5,578 4,575 3,816 3,053 2,60312 28,300 26,217 23,337 21,026 6,304 14,845 11,340 8,438 6,304 5,226 4,404 3,571 3,07413 29,819 27,688 24,736 22,362 7,041 15,984 12,340 9,299 7,041 5,892 5,009 4,107 3,56514 31,319 29,141 26,119 23,685 7,790 17,117 13,339 10,165 7,790 6,571 5,629 4,660 4,07515 32,801 30,578 27,488 24,996 8,547 18,245 14,339 11,037 8,547 7,261 6,262 5,229 4,60116 34,267 32,000 28,845 26,296 9,312 19,369 15,338 11,912 9,312 7,962 6,908 5,812 5,14217 35,718 33,409 30,191 27,587 10,085 20,489 16,338 12,792 10,085 8,672 7,564 6,408 5,69718 37,156 34,805 31,526 28,869 10,865 21,605 17,338 13,675 10,865 9,390 8,231 7,015 6,26519 38,582 36,191 32,852 30,144 11,651 22,718 18,338 14,562 11,651 10,117 8,907 7,633 6,84420 39,997 37,566 34,170 31,410 12,443 23,828 19,337 15,452 12,443 10,851 9,591 8,260 7,43421 41,401 38,932 35,479 32,671 13,240 24,935 20,337 16,344 13,240 11,591 10,283 8,897 8,03422 42,796 40,289 36,781 33,924 14,041 26,039 21,337 17,240 14,041 12,338 10,982 9,542 8,64323 44,181 41,638 38,076 35,172 14,848 27,141 22,337 18,137 14,848 13,091 11,689 10,196 9,26024 45,558 42,980 39,364 36,415 15,659 28,241 23,337 19,037 15,659 13,848 12,401 10,856 9,88625 46,928 44,314 40,646 37,652 16,473 29,339 24,337 19,939 16,473 14,611 13,120 11,524 10,52026 48,290 45,642 41,923 38,885 17,292 30,435 25,336 20,843 17,292 15,379 13,844 12,198 11,16027 49,645 46,963 43,195 40,113 18,114 31,528 26,336 21,749 18,114 16,151 14,573 12,878 11,80828 50,994 48,278 44,461 41,337 18,939 32,620 27,336 22,657 18,939 16,928 15,308 13,565 12,46129 52,335 49,588 45,722 42,557 19,768 33,711 28,336 23,567 19,768 17,708 16,047 14,256 13,12130 53,672 50,892 46,979 43,773 20,599 34,800 29,336 24,478 20,599 18,493 16,791 14,953 13,78738 64,181 61,162 56,895 53,384 27,343 43,462 37,335 31,815 27,343 24,884 22,878 20,691 19,28940 66,766 63,691 59,342 55,758 29,051 45,616 39,335 33,660 29,051 26,509 24,433 22,164 20,70760 91,952 88,379 83,298 79,082 46,459 66,981 59,335 52,294 46,459 43,188 40,482 37,485 35,534


4. Función de la distribución t- Student

v α 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0025 0,0011 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 127,321 318,2892 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,089 22,3283 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,2144 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,1735 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,8946 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,2087 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,7858 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,5019 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297

10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,14411 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,02512 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,93013 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,85214 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,78715 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,73316 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,68617 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,64618 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,61019 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,57920 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,55221 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,52722 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,50523 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,48524 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,46725 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,45026 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,43527 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,42128 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,40829 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,39630 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,38531 1,309 1,696 2,040 2,453 2,744 3,022 3,37532 1,309 1,694 2,037 2,449 2,738 3,015 3,36533 1,308 1,692 2,035 2,445 2,733 3,008 3,35634 1,307 1,691 2,032 2,441 2,728 3,002 3,34835 1,306 1,690 2,030 2,438 2,724 2,996 3,34036 1,306 1,688 2,028 2,434 2,719 2,990 3,33337 1,305 1,687 2,026 2,431 2,715 2,985 3,32638 1,304 1,686 2,024 2,429 2,712 2,980 3,31939 1,304 1,685 2,023 2,426 2,708 2,976 3,31340 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307


5. Función de distribución Binomial (Tabla 1)

n 0,01 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

2 0 0,9801 0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,251 0,9999 0,9975 0,9900 0,9775 0,9600 0,9375 0,9100 0,8775 0,8400 0,7975 0,752 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

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10 1,0000 0,9995 0,9944 0,9703 0,9022 0,7712 0,5858 0,3843 0,212211 0,9999 0,9985 0,9893 0,9558 0,8746 0,7323 0,5426 0,345012 1,0000 0,9996 0,9966 0,9825 0,9396 0,8462 0,6937 0,500013 0,9999 0,9991 0,9940 0,9745 0,9222 0,8173 0,655014 1,0000 0,9998 0,9982 0,9907 0,9656 0,9040 0,787815 1,0000 0,9995 0,9971 0,9868 0,9560 0,885216 0,9999 0,9992 0,9957 0,9826 0,946117 1,0000 0,9998 0,9988 0,9942 0,978418 1,0000 0,9997 0,9984 0,992719 0,9999 0,9996 0,998020 1,0000 0,9999 0,999521 1,0000 0,999922 1,0000



n 0,01 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,5030 0 0,7397 0,2146 0,0424 0,0076 0,0012 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,9639 0,5535 0,1837 0,0480 0,0105 0,0020 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,00002 0,9967 0,8122 0,4114 0,1514 0,0442 0,0106 0,0021 0,0003 0,0000 0,0000 0,00003 0,9998 0,9392 0,6474 0,3217 0,1227 0,0374 0,0093 0,0019 0,0003 0,0000 0,00004 1,0000 0,9844 0,8245 0,5245 0,2552 0,0979 0,0302 0,0075 0,0015 0,0002 0,00005 0,9967 0,9268 0,7106 0,4275 0,2026 0,0766 0,0233 0,0057 0,0011 0,00026 0,9994 0,9742 0,8474 0,6070 0,3481 0,1595 0,0586 0,0172 0,0040 0,00077 0,9999 0,9922 0,9302 0,7608 0,5143 0,2814 0,1238 0,0435 0,0121 0,00268 1,0000 0,9980 0,9722 0,8713 0,6736 0,4315 0,2247 0,0940 0,0312 0,00819 0,9995 0,9903 0,9389 0,8034 0,5888 0,3575 0,1763 0,0694 0,0214

10 0,9999 0,9971 0,9744 0,8943 0,7304 0,5078 0,2915 0,1350 0,049411 1,0000 0,9992 0,9905 0,9493 0,8407 0,6548 0,4311 0,2327 0,100212 0,9998 0,9969 0,9784 0,9155 0,7802 0,5785 0,3592 0,180813 1,0000 0,9991 0,9918 0,9599 0,8737 0,7145 0,5025 0,292314 0,9998 0,9973 0,9831 0,9348 0,8246 0,6448 0,427815 0,9999 0,9992 0,9936 0,9699 0,9029 0,7691 0,572216 1,0000 0,9998 0,9979 0,9876 0,9519 0,8644 0,707717 0,9999 0,9994 0,9955 0,9788 0,9286 0,819218 1,0000 0,9998 0,9986 0,9917 0,9666 0,899819 1,0000 0,9996 0,9971 0,9862 0,950620 0,9999 0,9991 0,9950 0,978621 1,0000 0,9998 0,9984 0,991922 1,0000 0,9996 0,997423 0,9999 0,999324 1,0000 0,999825 1,0000


6. Función de distribución Poisson (Tabla 1)

x/λ 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066 0,36791 0,9953 0,9825 0,9631 0,9384 0,9098 0,8781 0,8442 0,8088 0,7725 0,73582 0,9998 0,9989 0,9964 0,9921 0,9856 0,9769 0,9659 0,9526 0,9371 0,91973 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,9982 0,9966 0,9942 0,9909 0,9865 0,98104 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9992 0,9986 0,9977 0,99635 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9997 0,99946 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,99997 1,0000

x/λ 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

0 0,3329 0,3012 0,2725 0,2466 0,2231 0,2019 0,1827 0,1653 0,1496 0,13531 0,6990 0,6626 0,6268 0,5918 0,5578 0,5249 0,4932 0,4628 0,4337 0,40602 0,9004 0,8795 0,8571 0,8335 0,8088 0,7834 0,7572 0,7306 0,7037 0,67673 0,9743 0,9662 0,9569 0,9463 0,9344 0,9212 0,9068 0,8913 0,8747 0,85714 0,9946 0,9923 0,9893 0,9857 0,9814 0,9763 0,9704 0,9636 0,9559 0,94735 0,9990 0,9985 0,9978 0,9968 0,9955 0,9940 0,9920 0,9896 0,9868 0,98346 0,9999 0,9997 0,9996 0,9994 0,9991 0,9987 0,9981 0,9974 0,9966 0,99557 1,0000 1,0000 0,9999 0,9999 0,9998 0,9997 0,9996 0,9994 0,9992 0,99898 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9999 0,9998 0,99989 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

x/λ 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0

0 0,1225 0,1108 0,1003 0,0907 0,0821 0,0743 0,0672 0,0608 0,0550 0,04981 0,3796 0,3546 0,3309 0,3084 0,2873 0,2674 0,2487 0,2311 0,2146 0,19912 0,6496 0,6227 0,5960 0,5697 0,5438 0,5184 0,4936 0,4695 0,4460 0,42323 0,8386 0,8194 0,7993 0,7787 0,7576 0,7360 0,7141 0,6919 0,6696 0,64724 0,9379 0,9275 0,9162 0,9041 0,8912 0,8774 0,8629 0,8477 0,8318 0,81535 0,9796 0,9751 0,9700 0,9643 0,9580 0,9510 0,9433 0,9349 0,9258 0,91616 0,9941 0,9925 0,9906 0,9884 0,9858 0,9828 0,9794 0,9756 0,9713 0,96657 0,9985 0,9980 0,9974 0,9967 0,9958 0,9947 0,9934 0,9919 0,9901 0,98818 0,9997 0,9995 0,9994 0,9991 0,9989 0,9985 0,9981 0,9976 0,9969 0,99629 0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 0,9997 0,9996 0,9995 0,9993 0,9991 0,9989

10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 0,9998 0,999711 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,999912 1,0000 1,0000



x/λ 3,1 3,2 3,2 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0

0 0,0450 0,0408 0,0408 0,0334 0,0302 0,0273 0,0247 0,0224 0,0202 0,01831 0,1847 0,1712 0,1712 0,1468 0,1359 0,1257 0,1162 0,1074 0,0992 0,09162 0,4012 0,3799 0,3799 0,3397 0,3208 0,3027 0,2854 0,2689 0,2531 0,23813 0,6248 0,6025 0,6025 0,5584 0,5366 0,5152 0,4942 0,4735 0,4532 0,43354 0,7982 0,7806 0,7806 0,7442 0,7254 0,7064 0,6872 0,6678 0,6484 0,62885 0,9057 0,8946 0,8946 0,8705 0,8576 0,8441 0,8301 0,8156 0,8006 0,78516 0,9612 0,9554 0,9554 0,9421 0,9347 0,9267 0,9182 0,9091 0,8995 0,88937 0,9858 0,9832 0,9832 0,9769 0,9733 0,9692 0,9648 0,9599 0,9546 0,94898 0,9953 0,9943 0,9943 0,9917 0,9901 0,9883 0,9863 0,9840 0,9815 0,97869 0,9986 0,9982 0,9982 0,9973 0,9967 0,9960 0,9952 0,9942 0,9931 0,9919

10 0,9996 0,9995 0,9995 0,9992 0,9990 0,9987 0,9984 0,9981 0,9977 0,997211 0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 0,9997 0,9996 0,9995 0,9994 0,9993 0,999112 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 0,9998 0,999713 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,999914 1,0000 1,0000

x/λ 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0

0 0,0166 0,0150 0,0136 0,0123 0,0111 0,0101 0,0091 0,0082 0,0074 0,00671 0,0845 0,0780 0,0719 0,0663 0,0611 0,0563 0,0518 0,0477 0,0439 0,04042 0,2238 0,2102 0,1974 0,1851 0,1736 0,1626 0,1523 0,1425 0,1333 0,12473 0,4142 0,3954 0,3772 0,3594 0,3423 0,3257 0,3097 0,2942 0,2793 0,26504 0,6093 0,5898 0,5704 0,5512 0,5321 0,5132 0,4946 0,4763 0,4582 0,44055 0,7693 0,7531 0,7367 0,7199 0,7029 0,6858 0,6684 0,6510 0,6335 0,61606 0,8786 0,8675 0,8558 0,8436 0,8311 0,8180 0,8046 0,7908 0,7767 0,76227 0,9427 0,9361 0,9290 0,9214 0,9134 0,9049 0,8960 0,8867 0,8769 0,86668 0,9755 0,9721 0,9683 0,9642 0,9597 0,9549 0,9497 0,9442 0,9382 0,93199 0,9905 0,9889 0,9871 0,9851 0,9829 0,9805 0,9778 0,9749 0,9717 0,9682

10 0,9966 0,9959 0,9952 0,9943 0,9933 0,9922 0,9910 0,9896 0,9880 0,986311 0,9989 0,9986 0,9983 0,9980 0,9976 0,9971 0,9966 0,9960 0,9953 0,994512 0,9997 0,9996 0,9995 0,9993 0,9992 0,9990 0,9988 0,9986 0,9983 0,998013 0,9999 0,9999 0,9998 0,9998 0,9997 0,9997 0,9996 0,9995 0,9994 0,999314 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 0,999815 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9999



x/λ 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0

0 0,0061 0,0055 0,0050 0,0043 0,0041 0,0037 0,0033 0,0030 0,0027 0,00251 0,0372 0,0342 0,0314 0,0279 0,0266 0,0244 0,0224 0,0206 0,0189 0,01742 0,1165 0,1088 0,1016 0,0922 0,0884 0,0824 0,0768 0,0715 0,0666 0,06203 0,2513 0,2381 0,2254 0,2086 0,2017 0,1906 0,1800 0,1700 0,1604 0,15124 0,4231 0,4061 0,3895 0,3669 0,3575 0,3422 0,3272 0,3127 0,2987 0,28515 0,5984 0,5809 0,5635 0,5392 0,5289 0,5119 0,4950 0,4783 0,4619 0,44576 0,7474 0,7324 0,7171 0,6954 0,6860 0,6703 0,6544 0,6384 0,6224 0,60637 0,8560 0,8449 0,8335 0,8168 0,8095 0,7970 0,7841 0,7710 0,7576 0,74408 0,9252 0,9181 0,9106 0,8994 0,8944 0,8857 0,8766 0,8672 0,8574 0,84729 0,9644 0,9603 0,9559 0,9493 0,9462 0,9409 0,9352 0,9292 0,9228 0,9161

10 0,9844 0,9823 0,9800 0,9764 0,9747 0,9718 0,9686 0,9651 0,9614 0,957411 0,9937 0,9927 0,9916 0,9898 0,9890 0,9875 0,9859 0,9841 0,9821 0,979912 0,9976 0,9972 0,9967 0,9959 0,9955 0,9949 0,9941 0,9932 0,9922 0,991213 0,9992 0,9990 0,9988 0,9985 0,9983 0,9980 0,9977 0,9973 0,9969 0,996414 0,9997 0,9997 0,9996 0,9995 0,9994 0,9993 0,9991 0,9990 0,9988 0,998615 0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 0,9998 0,9998 0,9997 0,9996 0,9996 0,999516 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,999817 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

x/λ 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0

0 0,0015 0,0009 0,0006 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,00001 0,0113 0,0073 0,0047 0,0030 0,0019 0,0012 0,0008 0,0005 0,0003 0,00022 0,0430 0,0296 0,0203 0,0138 0,0093 0,0062 0,0042 0,0028 0,0018 0,00123 0,1118 0,0818 0,0591 0,0424 0,0301 0,0212 0,0149 0,0103 0,0071 0,00494 0,2237 0,1730 0,1321 0,0996 0,0744 0,0550 0,0403 0,0293 0,0211 0,01515 0,3690 0,3007 0,2414 0,1912 0,1496 0,1157 0,0885 0,0671 0,0504 0,03756 0,5265 0,4497 0,3782 0,3134 0,2562 0,2068 0,1649 0,1301 0,1016 0,07867 0,6728 0,5987 0,5246 0,4530 0,3856 0,3239 0,2687 0,2202 0,1785 0,14328 0,7916 0,7291 0,6620 0,5925 0,5231 0,4557 0,3918 0,3328 0,2794 0,23209 0,8774 0,8305 0,7764 0,7166 0,6530 0,5874 0,5218 0,4579 0,3971 0,3405

10 0,9332 0,9015 0,8622 0,8159 0,7634 0,7060 0,6453 0,5830 0,5207 0,459911 0,9661 0,9467 0,9208 0,8881 0,8487 0,8030 0,7520 0,6968 0,6387 0,579312 0,9840 0,9730 0,9573 0,9362 0,9091 0,8758 0,8364 0,7916 0,7420 0,688713 0,9929 0,9872 0,9784 0,9658 0,9486 0,9261 0,8981 0,8645 0,8253 0,781314 0,9970 0,9943 0,9897 0,9827 0,9726 0,9585 0,9400 0,9165 0,8879 0,854015 0,9988 0,9976 0,9954 0,9918 0,9862 0,9780 0,9665 0,9513 0,9317 0,907416 0,9996 0,9990 0,9980 0,9963 0,9934 0,9889 0,9823 0,9730 0,9604 0,944117 0,9998 0,9996 0,9992 0,9984 0,9970 0,9947 0,9911 0,9857 0,9781 0,967818 0,9999 0,9999 0,9997 0,9993 0,9987 0,9976 0,9957 0,9928 0,9885 0,982319 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9995 0,9989 0,9980 0,9965 0,9942 0,990720 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9991 0,9984 0,9972 0,995321 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9993 0,9987 0,997722 1,0000 0,9999 0,9999 0,9997 0,9994 0,999023 1,0000 0,9999 0,9999 0,9998 0,999524 1,0000 1,0000 0,9999 0,999825 1,0000 0,9999



x/λ 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0 25,0

0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00002 0,0005 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00003 0,0023 0,0011 0,0005 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00004 0,0076 0,0037 0,0018 0,0009 0,0004 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,00005 0,0203 0,0107 0,0055 0,0028 0,0014 0,0007 0,0003 0,0002 0,0001 0,00006 0,0458 0,0259 0,0142 0,0076 0,0040 0,0021 0,0010 0,0005 0,0003 0,00007 0,0895 0,0540 0,0316 0,0180 0,0100 0,0054 0,0029 0,0015 0,0008 0,00008 0,1550 0,0998 0,0621 0,0374 0,0220 0,0126 0,0071 0,0039 0,0021 0,00019 0,2424 0,1658 0,1094 0,0699 0,0433 0,0261 0,0154 0,0089 0,0050 0,0002

10 0,3472 0,2517 0,1757 0,1185 0,0774 0,0491 0,0304 0,0183 0,0108 0,000611 0,4616 0,3532 0,2600 0,1848 0,1270 0,0847 0,0549 0,0347 0,0214 0,001412 0,5760 0,4631 0,3585 0,2676 0,1931 0,1350 0,0917 0,0606 0,0390 0,003113 0,6815 0,5730 0,4644 0,3632 0,2745 0,2009 0,1426 0,0984 0,0661 0,006514 0,7720 0,6751 0,5704 0,4657 0,3675 0,2808 0,2081 0,1497 0,1049 0,012415 0,8444 0,7636 0,6694 0,5681 0,4667 0,3715 0,2867 0,2148 0,1565 0,022316 0,8987 0,8355 0,7559 0,6641 0,5660 0,4677 0,3751 0,2920 0,2211 0,037717 0,9370 0,8905 0,8272 0,7489 0,6593 0,5640 0,4686 0,3784 0,2970 0,060518 0,9626 0,9302 0,8826 0,8195 0,7423 0,6550 0,5622 0,4695 0,3814 0,092019 0,9787 0,9573 0,9235 0,8752 0,8122 0,7363 0,6509 0,5606 0,4703 0,133620 0,9884 0,9750 0,9521 0,9170 0,8682 0,8055 0,7307 0,6472 0,5591 0,185521 0,9939 0,9859 0,9712 0,9469 0,9108 0,8615 0,7991 0,7255 0,6437 0,247322 0,9970 0,9924 0,9833 0,9673 0,9418 0,9047 0,8551 0,7931 0,7206 0,317523 0,9985 0,9960 0,9907 0,9805 0,9633 0,9367 0,8989 0,8490 0,7875 0,393924 0,9993 0,9980 0,9950 0,9888 0,9777 0,9594 0,9317 0,8933 0,8432 0,473425 0,9997 0,9990 0,9974 0,9938 0,9869 0,9748 0,9554 0,9269 0,8878 0,552926 0,9999 0,9995 0,9987 0,9967 0,9925 0,9848 0,9718 0,9514 0,9221 0,629427 0,9999 0,9998 0,9994 0,9983 0,9959 0,9912 0,9827 0,9687 0,9475 0,700228 1,0000 0,9999 0,9997 0,9991 0,9978 0,9950 0,9897 0,9805 0,9657 0,763429 1,0000 0,9999 0,9996 0,9989 0,9973 0,9941 0,9882 0,9782 0,817930 0,9999 0,9998 0,9994 0,9986 0,9967 0,9930 0,9865 0,863331 1,0000 0,9999 0,9997 0,9993 0,9982 0,9960 0,9919 0,899932 1,0000 0,9999 0,9996 0,9990 0,9978 0,9953 0,928533 0,9999 0,9998 0,9995 0,9988 0,9973 0,950234 1,0000 0,9999 0,9998 0,9994 0,9985 0,966235 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,977536 0,9999 0,9998 0,9996 0,985437 1,0000 0,9999 0,9998 0,990838 1,0000 0,9999 0,994339 0,9999 0,996640 1,0000 0,998041 0,9988

Bibliografía 227

BIBLIOGRAFÍA

Libros

1. Akao, Y. (1990). Quality Function Deployment: Integrating Customer Requirements into Product Design. Productivity Press.

2. APQP (1995). Advanced Product Quality Planning and Control Plan. Carwin.

3. Barba, E. (1993). La excelencia en el desarrollo de nuevos productos. Gestió 2000.

4. Bissell, D. (1994), Statistical Techniques for SPC and TQM. Chapman & Hall.

5. Box, G. & Luceño, A. (1997), Statistical Control by Monitoring and Feedback Adjustment. Wiley.

6. Box, G. E. P., Hunter, W. G. & Hunter, J. S. (1978). Statistics for Experimenters: An Introduction to Design, Data Analysis, and Model Building. Wiley.

7. Breyfogle, F. W. (1999). Implementing Six Sigma: Smarter Solutions Using Statistical Methods. ASQC Quality Press.

8. Camp, R. C. (1989). Benchmarking: Search for Industry Best Practices That Lead to Superior Performance. ASQC Quality Press.

9. Dahlgaard, J. J. Kristensen, K. and Kanji, G. P. (1998). Fundamentals of Quality Management. Chapman & Hall.

10. Davenport, T. H. (1993). Innovación de procesos. Díaz de Santos.

11. Deming, W. E. (1989). Calidad, productividad y competitividad: La salida de la crisis. Díaz de Santos.

12. Deming, W. E. (1993). The New Economics. Massachussetts Institute of Technology.

13. Dodge, H. F. & Romig, H. G. (1959). Sampling Inspection Tables. Wiley.

14. Duncan, A. J. (1986). Quality Control and Industrial Statistics. Irwin.

15. Feigenbaum, A. V. (1983). Total Quality control. McGraw-Hill.

16. FMEA (1995). Potential Failure Mode and Effect Analysis. Carwin.

17. Gómez, G. & Canela, M. A. (1992). Fiabilidad industrial. Edicions UPC.

18. Haavind, R. (1992). The Road to the Baldrige Award: Quest for Total Quality. Butterworth-Heinemann.

19. Hammer, M. (1995). The Reengineering Revolution. Harper Business.

20. Hammer, M. & Champy, J. (1993). Reingeniería de la empresa. Parramón.

21. Harrington, H. J. (1993). Mejoramiento de los procesos de la empresa. McGraw-Hill.

22. Harrington, H. J. (1993). Los costes de la mala calidad. Díaz de Santos.

23. Harry, M. J. & Schroeder, R. (2000). Six Sigma. The Breakthrough Management Strategy Revolutionizing the Worlds Top Corporations. ASQC Quality Press.

24. Imai, M. (1986). Kaizen: The Key to Japans Competitivity Success. Random House.

25. Ishikawa, K. (1991). Introduction to Quality Control. Third Corporation.

26. Juran, J. M. (1988). Jurans Quality Control Handbook. McGraw-Hill.

27. Juran, J. M. (1992). Juran on Quality by Design.

28. Juran, J. M. (1993). Quality Planning Analysis.


29. King, B. (1989). Better Design in Half the Time. GOAL/QPC.

30. Kotz, S. & Johnson, N. L. (1993). Process Capability Indices. Chapman & Hall.

31. Mandel, J. (1991). Evaluation and Control of Measurements, Dekker

32. McWilliams, Th. P. (1989). How to Use Sequential Statistical Methods. ASQC Quality Press.

33. Miller, J. C. & Miller, J. N. (1993), Statistics in Analytical Chemistry, Ellis Horwood.

34. Mizuno, S. (1988). Company-Wide Total Quality Control. Asian Productivity Organization.

35. MSA (1995). Measurement System Analysis. Carwin.

36. Montgomery, D. C. (1991). Statistical Quality Control. John Wiley.

37. Montgomery, D. C. (1991). Design and Analysis of Experiments. John Wiley.

38. Nakajima, S. (1991). TPM: Programa de desarrollo. Productivity Press.

39. Neave, H. R. (1990). The Deming Dimension. SPC Press.

40. Osada, (1991). The 5 Ss: Five Keys to a Total Quality Environment. Asian Productivity Organization.

41. Ott, E. R. & Schilling, E.G. (1990). Process Quality Control. McGraw-Hill.

42. Padkhe, M. (1989). Quality Engineering Using Robust design. Prentice-Hall.

43. Ross, P. J. (1996). Taguchi Techniques for Quality Engineering. ASQC Quality Press.

44. Ryan, T. P. (1989). Statistical Methods for Quality Improvement. John Wiley.

45. Rotger, J. J & Canela, M. A. (1996). Gestión de la Calidad: Una visión práctica. BETA.

46. Schilling, E. G. (1982). Acceptance Sampling in Quality Control, Dekker.

47. Scholtes. P. (1988). The Team Handbook. Joiner.

48. Shewhart, W. A. (1931). The Economic Control of Quality of Manufactured Product. ASQC Quality Press.

49. Shingo, S. (1990). Tecnologías para el cero defectos: Inspecciones en la fuente y el sistema Poka-Yoke. Productivity Press.

50. SPC (1995). Statistical Process Control. Carwin.

51. Stamatis, D. H. (1995). Failure Mode and Effect Analysis: FMEA from Theory to Execution. ASQC Quality Press.

52. Statistical Quality Control Handbook (1956). Western Electric Co. (desde 1984, publicado por AT&T).

53. Steeples, M. M. (1992). The Corporate guide to the Malcolm Baldrige Award. ASQC Quality Press.

54. Stephens, K. S. (1986). How to Perform Skip-Lot and Chain Sampling. ASQC Quality Press.

55. Stephens, K. S. (1986). How to Perform Continuous Sampling (CSP). ASQC Quality Press.

56. Taguchi, G. (1986). Introduction to Quality Engineering. UNIPUB/Kraus International.

57. Taguchi, G. & Wu, Y. (1980). Introduction to Off-Line Quality Control. Central Japan Quality Control Association.

58. Taylor, J. K. (1987), Quality Assurance of Chemical Measurements, Lewis.

59. Wadsworth, H. M., Stephens, K. S. & Godfrey, A. B. (1986). Modern Methods for Quality Control and Improvement. Wiley.

60. Wetherill, G. B. & Brown, D. W. (1991). Statistical Process Control. Chapman & Hall.

Bibliografía 229

61. Wheeler, D. J. & Chambers, D. S. (1990). Understanding Statistical Process Control. Addison-Wesley.

Normas

1. ANSI/ASQC S1 (1987), An Attribute Skip-Lot Sampling Program.

2. ANSI/ASTM E 178 (1989). Standard Practice for Dealing with Outlying 0bservations.

3. ANSI/ASTM E 456 (1991). Standard Terminology Relating to Quality and Statistics.

4. ANSI/ASTM E 691 (1979). Standard Practice for Conducting an Interlaboratory Test Program to Determine the Precision of Test Methods.

5. ASQC (1987). Quality Assurance for the Chemical and Process Industries.

6. ASQC (1983). Glosary & Tables for Statistical Quality Control.

7. ASTM MNL 7 (1990). Manual on Presentation of Data and Control Chart Analysis.

8. BS 5700 (1984). Guide to Process Control Using Quality Control Chart Methods and CuSum Techniques.

9. BS 5703 (1980). Data Analysis and Quality Control Using Cusum Techniques.

10. Department of Defense (1994). Framework for Managing Process Improvement: A Guide to the Methodology.

11. FAO/WHO Codex Alimentarius (1985). Recommended international Code for Hygienic Practices for Production Meat and Poultry Products.

12. FDA (1987). Guideline on General Principles of Process Validation.

13. GUM (1995). Guide to the expression of uncertainty in measurement. BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML.

14. IDEF0 (1993). Integration Definition for Function Modeling.

15. ISO Guide 30 (1981). Termes et definitions utilisés en rapport avec les matériaux de référence.

16. ISO Guide 31 (1981). Contenu des certificats des matériaux de référence.

17. ISO 2859 (1989). Règles d'échantillonage pour les contrôles par attributs. Partie 0. Introduction au système d'échantillonage par attributs de l'ISO 2859. Partie 1. Plans d'échantillonage pour les contrôles lot par lot, indexés d'après le niveau de qualité acceptable (NQA). Partie 2. Plans d'échantillonage pour les contrôles de lots isolés, indexés d'après la qualité limite (QL).

18. ISO 3534 (1993). Statistics --- Vocabulary and symbols. Part 1. Probability and general statistical terms. Part 2. Statistical quality control.

19. ISO 3951 (1989). Règles et tables d'échantillonage pour les contrôles par mesures des pourcentages de non conformes.

20. ISO 5725 (1991). Accuracy (Trueness and Precision) of Measurement Methods and Results. Part 1. General principles and definitions. Part 2. A basic method for the determination of repeatability and reproducibility of a standard measurement method. Part 3. Intermediate measures on the precision of a standard measurement method. Part 4. Basic methods for the determination of the trueness of a standard measurement method. Part 5. Alternative methods for the determination of the precision of a standard measurement method. Part 6. Use in practice of accuracy values.


21. ISO 7870 (1988). Control Charts---General Guide and Introduction.

22. ISO 7873 (1988). Control Charts for Arithmetic Average with Warning Limits.

23. ISO 7966 (1989). Acceptance Control Charts.

24. ISO 8258 (1991). Shewhart Control Charts.

25. ISO 8422 (1988). Plans d'échantillonage progressifs par attributs.

26. ISO 8423 (1988). Plans d'échantillonage progressifs pour le contrôle par mesures de la proportion d'individus non conformes (écart-type connu).

27. ISO 14560 (2001). Acceptance sampling procedures by attributes --- Specified quality levels in nonconforming items per million.

28. MIL-STD-105E (1989). Sampling procedures and tables for inspection by attributes.

29. MIL-STD-1235B (1962). Single and multi-level continuous sampling procedures and tables for inspection by attributes.

30. MSA Measurement System Analysis Manual reference QS-9000 (1998). Carwin

31. QS-9000 (1995). Quality System Requirements. Carwin.

32. UNE 66175:2003. Sistema de gestión de la calidad. Guía para la implantación del sistema de indicadores.

33. UNE-EN ISO 9000 (2000). Sistemas de gestión de la calidad --- Fundamentos y vocabulario.(ISO 9000:2000).

34. UNE-EN ISO 9001 (2000). Sistemas de gestión de la calidad --- Requisitos. (ISO 9001:2000).

35. UNE-EN ISO 9004 (2000). Sistema de gestión de la calidad --- Directrices para la mejora del desempeño. (ISO 9004:2000).

36. UNE-EN ISO 10012 (2003). Sistema de gestión de las mediciones. Requisitos para los procesos de medición y los equipos de medición (ISO 10012:2003).

37. UNE-EN ISO 19011 (2002).Directrices para la auditoria de los sistemas de gestión de la calidad y/o ambiental (ISO 19011:2002).

38. UNE-EN ISO 19011 (2002) ERRATUM. Directrices para la auditoria de los sistemas de gestión de la calidad y/o ambiental.

39. UNE-EN ISO/IEC 17024:2003. Evaluación de la conformidad. Requisitos generales para los organismos que realizan certificación de personas (ISO/IEC 2003).

40. UNE-EN ISO/IEC 17025:2003. Requisitos generales relativos a la competencia de los laboratorios de ensayo y calibración (ISO/IEC 1999).

41. UNE-EN ISO/TS 16949:2002. Sistema de gestión de la calidad. Requisitos particulares para la aplicación de la norma ISO 9001:2000 para la producción en serie y de piezas de recambio en la industria del automóvil.

42. UNE-EN ISO/TS 16949:2002 ERRATUM. Sistema de gestión de la calidad. Requisitos particulares para la aplicación de la norma ISO 9001:2000 para la producción en serie y de piezas de recambio en la industria del automóvil.

43. VIM (1993). International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology. BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML.

Bibliografía 231

Artículos

1. Alt, F. B. & Smith, N. D. (1988).Multivariate Control Process, en Handbook of Statistics, ed. P.R. Krishnaiah & C.R. Rao, pp. 333-351, Elsevier.

2. Alwan, L. C. & Roberts, H. V. (1989). Time Series Modeling for Statistical Process Control. Journal of Bussiness & Economic Statistics 6, 87-95.

3. Box, G. & Kramer, T. (1992). Statistical Process Monitoring and Feedback Adjustement: A Discussion. Technometrics 34, 251-285.

4. Barba, E. (1994). La ingeniería simultánea. Quaderns de Tecnologia 8, 152-153.

5. Boardman, T. J. (1994). The Statiscian who Changed the World: W. Edwards Deming, 1900-1993. The American Statistician 48.

6. Canela, M. A. & Rotger, J. J. (1994). La cultura de la calidad en Japón. Quaderns de Tecnologia 8, 133-136.

7. IUPAC (1990). Harmonized Protocols for the Adoption of Standardized Analytical Methods and for the Presentation of their Performance Characteristics. Pure and Applied Chemistry 62, 149--162.

8. Juran, M. (1994). The Upcoming Century of Quality, Quality Progress.

9. Kondo (1995). Quality and people, en Total Quality Management, Proceedings of the First World Congress. Chapman & Hall.

10. Montgomery, D. G. & Mastrangelo, C.M. (1991). Some Statistical Process Control Methods for Autocorelated Data. Journal of Quality Technology 23, 179-204.

11. Rodríguez, R. R. (1992). Recent Developments in Process Capability Analysis. Journal of Quality Technology 24, 176-187.

12. Romano, P. (2000). ISO 9000; What is its impact on performance? Quality Management Journal 7.

13. Vander Wiel, S. A., Faltin, F.W. & Doganaksoy, N. (1992). Algorithmic Statistical Process Control: Concepts and Application. Technometrics 34, 286-297.

14. Woodall, W. H. & Adams, B. M. (1993). The Statistical design of CUSUM Charts. Quality Engineering 5, 559-570.

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