fundamentos matemáticos tercer departamental solución grupo 1pm1

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12

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Fundamentos Matemticos

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: 1PM1

[email protected]


Fundamentos Matemticos Pgina 2

Nombre: SOLUCIN Calificacin

Grupo: 1PM1 Fecha:06-06-2012


Instrucciones:

La realizacin de este examen tiene un peso sobre la calificacin del 60%

Problemas

Problema 1

Identifique la cnica como una circunferencia, o una elipse. Despus encuentre el

centro, los radios, los vrtices, los focos y la excentricidad de la cnica (si es

aplicable) y trace su grfica.

2 24 6 20 2 0x y x y

Solucin

Agrupamos trminos semejantes

2 2

22

2

2

256 9 4 5 2 9 25

4

53 4 36

2

5

3 21

36 9

x x y y

x y

yx

Elipse

2 2

2 2

36 6, 9 3

36 9 27 3 3

a a b b

c a b

Centro



5 3,

3

5( , ) 3,

2

con h k

C h k C

Vrtices

1 2

5( , ) 3 6,

2

5 59, , 3,

2 2

V h a k V

V V

Focos

1 2

5( , ) 3 3 3,

2

5 53 3 3, , 3 3 3,

2 2

F h c k F

F F

Excentricidad

3 3 3

6 2

ce

a



Problema 2

Arquitectura. Un arco semieliptico sobre un tnel, para un camino en un sentido a

travs de una montaa, tiene un eje mayor de 50 pies y una altura en el centro de

10 pies.

a) Dibuje un sistema coordenado rectangular sobre el bosquejo del tnel con el

centro del camino entrando al tnel en el origen. Identifique las coordenadas

de los puntos desconocidos.

b) Encuentre una ecuacin del arco semieliptico sobre el tnel.

c) Usted conduce un camin que tiene un ancho de 8 pies y una altura de 9

pies. Pasara el camin por la abertura del arco?

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5

0

5



Solucin

Inciso a

Inciso b

Tomando los datos del bosquejo anterior tenemos:

2 2

2 2

2 2

25, 10

1

1625 100

a b

x y

a b

x y

Inciso c

Considerando que el camin tiene un ancho de 8 pies, tomamos el valor cuando:

2 2

2

4

41

625 100

16 2436100 1

625 25

24369.87 9

25

x

y

y

y pies pies

Por lo tanto pasara el camin por la abertura del arco de acuerdo a la justificacin

anterior donde indica que el ancho del ancho es mayor al ancho del camin.



Problema 3

Encuentre de forma grfica los puntos de interseccin de las grficas y despus

verifique empleando algn graficador.

2 2

2 2

4 6 4 0

4 6 12 0

x y x y

x y x y

Solucin

Planteamiento del Problema

Agrupando las ecuaciones tenemos

2 22 2

2 22 2

2

4 6 4 0 3 2 1

4 6 12 0 2 3 1

2 12 16 0

2( 2)( 4) 0

2 4

x y x y y x

x y x y x y

y y

y y

y y

2 2

2

2

2 y sustituyendo en la ecuacin 2 tenemos

2 4 6(2) 12 0

4 4 0

2 0

2

Con y

x x

x x

x

x

2 2

2

2

y 4 y sustituyendo en la ecuacin 2 tenemos

4 4 6(4) 12 0

4 4 0

2 0

2

Con

x x

x x

x

x

Por lo tanto el punto de interseccin es (2,2) y 2,4



Por lo tanto graficando las ecuaciones tenemos:

Las Soluciones respectivas son:

Problema 4

Un espejo hiperblico. Un espejo hiperblico (empleado en algunos telescopios)

tiene la propiedad de que un haz de luz dirigido a un foco es reflejado al otro foco.

El foco de un espejo hiperblico (vea la figura) tiene coordenadas (24,0). Determine

el vrtice del espejo si la montura en el borde superior del espejo tiene

coordenadas (24,24).



Centro: (0,0) ( , )h k

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

2 2

24,0 24

Punto Solucin 24,24

24 24

1

24 241 1

24 24

Despejando a tenemos

12 2 3 5 12 5 1 14.83

355.9876

Entonces nosotros tenemos

1220.0124 355.9876

P

F c

a b b a

x h y k

a b

x y

a a a a

a a

b

x y

or lo tanto el vertice es ,0 14.83,0a

Problema 5

Encuentre el vrtice, el foco y la directriz de la parbola. Emplee un graficador para

representar grficamente la parbola.

2 4 6 2 0x x y



Solucin


2

2

2

2

2

4 6 2 0

4 6 2

4 4 6 2 4

2 6 1

32 4 1

2

32, 1,

2

Vertice: , 2,1

1Focos: , 2,

2

5:

2

Por lo tanto reescribiendo la ecuacin de la parabola tene

x x y

x x y

x x y

x y

x y

h k p

h k

h k p

Directriz y k p y

2mos

14 2

6y x x

Graficando esta ecuacin tenemos:



Problema 6

Antena parablica. Un receptor de una antena cncava de televisin se encuentra a

1.4 metros del vrtice y se ubica en el foco (vea la figura). Escriba una ecuacin

para una seccin transversal del reflector (suponga que la antena parablica esta

dirigida hacia arriba y el vrtice esta en origen).

Solucin


Vrtice: 0,0 0, 0h k

Focos: 0,4.5 4.5p

2

2

2 2

4 ( )

0 4 4.5 0

118

18

x h p y k

x y

x y x

Problema 7

Dada la ecuacin de la circunferencia 2 2 2 2x y ax ay . Calcular su centro y su

radio.

1.4m

Receptor



Solucin


2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 0

2 2 0

2 2

2

x y ax ay

x y ax ay

x ax y ay

x ax a y ay a a a

x a y a a

Por lo tanto

( , ) y 2C a a r a

Problema 8

Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el origen, 10r y la abscisa

de su centro es 6

Solucin

Planteamiento del problema

Como la circunferencia pasa por el origen se tiene que

2 2 2

2

2

bien

36 100

100 36 64

8

x y r

y

y

y

Entonces

2 2

2 2

6 8 100

6 8 100

x y

x y



Desarrollando lo anterior tenemos

2 2 12 16 0x y x y

2 2 12 16 0x y x y

Graficando lo anterior tenemos:

fundamentos matemáticos tercer departamental solución grupo 1pm1

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