MODELOS MATEMÁTICOS Y SOLUCIÓN

DE PROBLEMAS

UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE

Un modelo matemático se define, de manera general, como una formulación o una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representa mediante una relación funcional de la forma:

donde la variable dependiente es una característica que generalmente refleja el comportamiento o estado de un sistema; las variables independientes son, por lo común, dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales se determina el comportamiento del sistema; los parámetros son el reflejo de las propiedades o la composición del sistema; y las funciones de fuerza son influencias externas que actúan sobre el sistema.

La expresión matemática de la ecuación (1.1) va desde una simple relación algebraica hasta un enorme y complicado grupo de ecuaciones diferenciales.

(1.1)

Ejemplo: Segunda Ley de Newton

1. Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.2. Representa una idealización y una simplificación de la realidad. Es decir, ignora los detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en sus manifestaciones esenciales. Por ende, la segunda ley de Newton no incluye los efectos de la relatividad, que tienen una importancia mínima cuando se aplican a objetos y fuerzas que interactúan sobre o alrededor de la superficie de la Tierra, a velocidades y en escalas visibles a los seres humanos.3. Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia, llega a emplearse con la finalidad de predecir. Por ejemplo, dada la fuerza aplicada sobre un objeto de masa conocida, la ecuación (1.3) se emplea para calcular la aceleración.

Debido a su forma algebraica sencilla, la solución de la ecuación (1.2) se obtiene con facilidad. Sin embargo, es posible que otros modelos matemáticos de fenómenos físicos sean mucho más complejos y no se resuelvan con exactitud, o que requieran para su solución de técnicas matemáticas más sofisticadas que la simple álgebra. Por ejemplo del caso anterior

Con donde y

Por lo tanto o

Resolviendo por EDL tenemos la solución

Solución analítica del problema del paracaidista que cae

Planteamiento del problema. Un paracaidista con una masa de 68.1 kg salta de un globo aerostático fijo. Aplique la ecuación anterior para calcular la velocidad antes de que se abra el paracaídas. Considere que el coeficiente de resistencia es igual a 12.5 kg/s.

Solución. Al sustituir los valores de los parámetros en la ecuación (anterior) se obtiene

que sirve para calcular la velocidad del paracaidista a diferentes tiempos, tabulando se tiene

El paracaidista acelera rápidamente. Se alcanza una velocidad de 44.87 m/s después de 10 s. Observe también que, después de un tiempo suficientemente grande, alcanza una velocidad constante llamada velocidad terminal o velocidad límite de 53.39 m/s. Esta velocidad es constante porque después de un tiempo la fuerza de gravedad estará en equilibrio con la resistencia del aire. Entonces, la fuerza total es cero y cesa la aceleración.

Los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula el problema matemático para lograr resolverlo mediante operaciones aritméticas. Esto puede ilustrarse para el caso de la segunda ley de Newton, observando que a la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo se puede aproximar mediante

donde ∆v y ∆t son diferencias en la velocidad y en el tiempo, respectivamente, calculadas sobre intervalos finitos, v(ti) es la velocidad en el tiempo inicial ti, y v(ti+1) es la veloci dad algún tiempo más tarde ti+1. Observe que dv/dt ≅ Δv/Δt es aproximado porque Δt es finito.

A la ecuación anterior se le denomina una aproximación en diferencia finita dividida de la derivada en el tiempo ti. Sustituyendo en la ecuación, tenemos

Reordenando tenemos

Note que el término entre corchetes es el lado derecho de la propia ecuación diferencial. Es decir, este término nos da un medio para calcular la razón de cambio o la pendiente de v. Así, la ecuación diferencial se ha transformado en una ecuación que puede utilizarse para determinar algebraicamente la velocidad en ti+1, usando la pendiente y los valores anteriores de v y t. Si se da un valor inicial para la velocidad en algún tiempo ti, es posible calcular con facilidad la velocidad en un tiempo posterior ti+1. Este nuevo valor de la velocidad en ti+1 sirve para calcular la velocidad en ti+2 y así sucesivamente.

Es decir, a cualquier tiempo,

valor nuevo = valor anterior + pendiente × tamaño del paso

Observe que esta aproximación formalmente se conoce como método de Euler.

Solución numérica al problema de la caída de un paracaidista

Realice el mismo cálculo que en el ejemplo 1, pero usando la ecuación (anterior) para obtener la velocidad. Emplee un tamaño de paso de 2 s para el cálculo.

Solución. Al empezar con los cálculos (ti = 0), la velocidad del paracaidista es igual a cero, calculando la velocidad en ti+l = 2 s: